సహజ సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు, గ్రాఫ్, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, విలువల సమితి, ప్రాథమిక సూత్రాలు, ఉత్పన్నం, సమగ్రం, విస్తరణ శక్తి సిరీస్మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి ln x ఫంక్షన్ ప్రాతినిధ్యం.
నిర్వచనం
సహజ సంవర్గమానంఫంక్షన్ y = ln x, దీనికి విలోమం ఘాతాంక, x = e y , మరియు ఉంది సంవర్గమానంసంఖ్య e ఆధారంగా: ln x = లాగ్ ఇ x.
సహజ సంవర్గమానం గణితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది ఎందుకంటే దాని ఉత్పన్నం సరళమైన రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: (ln x)′ = 1/ x.
ఆధారిత నిర్వచనాలు, సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం సంఖ్య ఇ:
ఇ ≅ 2.718281828459045...;
.
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = ln x.
సహజ సంవర్గమానం యొక్క గ్రాఫ్ (ఫంక్షన్లు y = ln x) నుండి పొందబడింది ఘాతాంక గ్రాఫిక్స్ ప్రతిబింబం y = x సరళ రేఖకు సంబంధించి.
సహజ సంవర్గమానం ఇక్కడ నిర్వచించబడింది సానుకూల విలువలువేరియబుల్ x. ఇది దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది.
x → వద్ద 0 సహజ సంవర్గమానం యొక్క పరిమితి మైనస్ అనంతం (-∞).
x → + ∞ వలె, సహజ సంవర్గమానం యొక్క పరిమితి ప్లస్ అనంతం (+ ∞). పెద్ద x కోసం, లాగరిథమ్ చాలా నెమ్మదిగా పెరుగుతుంది. ఏదైనా శక్తి ఫంక్షన్ x a s సానుకూల సూచికడిగ్రీ a లాగరిథమ్ కంటే వేగంగా పెరుగుతుంది.
సహజ సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాలు
నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, విలువల సమితి, తీవ్రత, పెరుగుదల, తగ్గుదల
సహజ సంవర్గమానం అనేది ఒక మోనోటోనికల్‌గా పెరుగుతున్న ఫంక్షన్, కాబట్టి దీనికి తీవ్రత లేదు. సహజ సంవర్గమానం యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.
ln x విలువలు
ln 1 = 0
సహజ లాగరిథమ్‌ల కోసం ప్రాథమిక సూత్రాలు
విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం నుండి క్రింది సూత్రాలు:
లాగరిథమ్‌ల యొక్క ప్రధాన లక్షణం మరియు దాని పరిణామాలు
బేస్ రీప్లేస్‌మెంట్ ఫార్ములా
ఏదైనా లాగరిథమ్ పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు సహజ సంవర్గమానాలుబేస్ రీప్లేస్‌మెంట్ ఫార్ములా ఉపయోగించి:
ఈ సూత్రాల యొక్క రుజువులు విభాగంలో ప్రదర్శించబడ్డాయి "సంవర్గమానం".
విలోమ ఫంక్షన్
సహజ సంవర్గమానం యొక్క విలోమం ఘాతాంకం.
ఉంటే, అప్పుడు
ఉంటే, అప్పుడు.
ఉత్పన్నం ln x
సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం:
.
మాడ్యులస్ x యొక్క సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం:
.
n వ ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నం:
.
సూత్రాలను పొందడం >>>
సమగ్ర
సమగ్రం లెక్కించబడుతుంది భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ :
.
కాబట్టి,
సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలు
కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్ z ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి:
.
కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్‌ని ఎక్స్‌ప్రెస్ చేద్దాం zమాడ్యూల్ ద్వారా ఆర్మరియు వాదన φ
:
.
లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
.
లేదా
.
వాదన φ ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడలేదు. మీరు పెట్టినట్లయితే
, ఇక్కడ n అనేది పూర్ణాంకం,
ఇది వేర్వేరు n కోసం ఒకే సంఖ్యగా ఉంటుంది.
అందువల్ల, సహజ సంవర్గమానం, సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క విధిగా, ఒకే-విలువ గల ఫంక్షన్ కాదు.
పవర్ సిరీస్ విస్తరణ
విస్తరణ ఎప్పుడు జరుగుతుంది:
ప్రస్తావనలు:
ఐ.ఎన్. బ్రోన్‌స్టెయిన్, K.A. సెమెండ్యావ్, ఇంజనీర్లు మరియు కళాశాల విద్యార్థుల కోసం మ్యాథమెటిక్స్ హ్యాండ్‌బుక్, "లాన్", 2009.
మేము లాగరిథమ్లను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ వ్యాసంలో మనం మాట్లాడతాము లాగరిథమ్లను గణించడం, ఈ ప్రక్రియ అంటారు సంవర్గమానం. మొదట మేము నిర్వచనం ద్వారా లాగరిథమ్‌ల గణనను అర్థం చేసుకుంటాము. తరువాత, లాగరిథమ్‌ల విలువలు వాటి లక్షణాలను ఉపయోగించి ఎలా కనుగొనబడతాయో చూద్దాం. దీని తరువాత, మేము మొదట్లో లాగరిథమ్లను లెక్కించడంపై దృష్టి పెడతాము సెట్ విలువలుఇతర సంవర్గమానాలు. చివరగా, లాగరిథమ్ పట్టికలను ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుందాం. మొత్తం సిద్ధాంతం వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలతో అందించబడింది.
పేజీ నావిగేషన్.
నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్లను గణించడం
సరళమైన సందర్భాల్లో, చాలా త్వరగా మరియు సులభంగా నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది నిర్వచనం ద్వారా సంవర్గమానాన్ని కనుగొనడం. ఈ ప్రక్రియ ఎలా జరుగుతుందో నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.
దాని సారాంశం a c రూపంలో సంఖ్యను సూచించడం, దీని నుండి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, సంఖ్య c అనేది లాగరిథమ్ యొక్క విలువ. అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, క్రింది సమానత్వ గొలుసు సంవర్గమానాన్ని కనుగొనడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది: లాగ్ a b=log a a c =c.
కాబట్టి, నిర్వచనం ద్వారా సంవర్గమానాన్ని గణించడం అనేది c = b అనే సంఖ్యను కనుగొనడానికి వస్తుంది మరియు c సంఖ్య కూడా లాగరిథమ్ యొక్క కావలసిన విలువ.
మునుపటి పేరాల్లోని సమాచారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, లాగరిథమ్ గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య లాగరిథమ్ బేస్ యొక్క నిర్దిష్ట శక్తి ద్వారా ఇవ్వబడినప్పుడు, మీరు వెంటనే లాగరిథమ్ దేనికి సమానమో సూచించవచ్చు - ఇది సూచికకు సమానండిగ్రీలు. ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూపుదాం.
ఉదాహరణ.
లాగ్ 2 2 −3ని కనుగొనండి మరియు సంఖ్య ఇ 5,3 యొక్క సహజ సంవర్గమానాన్ని కూడా లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం లాగ్ 2 2 −3 =-3 అని వెంటనే చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది. నిజానికి, సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య బేస్ 2కి −3 పవర్‌కి సమానం.
అదేవిధంగా, మేము రెండవ సంవర్గమానాన్ని కనుగొంటాము: lne 5.3 =5.3.
సమాధానం:
లాగ్ 2 2 −3 =-3 మరియు lne 5,3 =5,3.
సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య b సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క శక్తిగా పేర్కొనబడకపోతే, మీరు a c రూపంలో సంఖ్య b యొక్క ప్రాతినిధ్యంతో రావడం సాధ్యమేనా అని జాగ్రత్తగా చూడాలి. తరచుగా ఈ ప్రాతినిధ్యం చాలా స్పష్టంగా ఉంటుంది, ప్రత్యేకించి సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య 1, లేదా 2, లేదా 3 యొక్క శక్తికి బేస్కు సమానంగా ఉన్నప్పుడు, ...
ఉదాహరణ.
లాగరిథమ్స్ లాగ్ 5 25 మరియు గణించండి.
పరిష్కారం.
25=5 2 అని చూడటం సులభం, ఇది మొదటి సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది: లాగ్ 5 25=లాగ్ 5 5 2 =2.
రెండవ సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి వెళ్దాం. సంఖ్యను 7 శక్తిగా సూచించవచ్చు: 
(అవసరమైతే చూడండి). అందుకే, 
.
మూడవ సంవర్గమానాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం క్రింది రూపం. ఇప్పుడు మీరు దానిని చూడవచ్చు 
, దాని నుండి మేము దానిని ముగించాము 
. కాబట్టి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం 
.
క్లుప్తంగా, పరిష్కారం క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: .
సమాధానం:
లాగ్ 5 25=2 , 
మరియు .
సంవర్గమానం గుర్తు కింద తగినంత పెద్దది ఉన్నప్పుడు సహజ సంఖ్య, అప్పుడు దానిని కుళ్ళిపోవడం బాధించదు ప్రధాన కారకాలు. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క కొంత శక్తి వలె అటువంటి సంఖ్యను సూచించడానికి ఇది తరచుగా సహాయపడుతుంది మరియు అందువల్ల ఈ సంవర్గమానాన్ని నిర్వచనం ద్వారా లెక్కించండి.
ఉదాహరణ.
సంవర్గమానం యొక్క విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
లాగరిథమ్‌ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలు సంవర్గమానాల విలువను వెంటనే పేర్కొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. ఈ లక్షణాలలో ఒక యూనిట్ యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం మరియు సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం, బేస్కు సమానం: లాగ్ 1 1=లాగ్ a a 0 =0 మరియు లాగ్ a = log a a 1 =1 . అంటే, సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద సంఖ్య 1 లేదా సంవర్గమానం యొక్క ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య ఉన్నప్పుడు, ఈ సందర్భాలలో లాగరిథమ్‌లు వరుసగా 0 మరియు 1కి సమానంగా ఉంటాయి.
ఉదాహరణ.
లాగరిథమ్‌లు మరియు లాగ్10 దేనికి సమానం?
పరిష్కారం.
నుండి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది 
.
రెండవ ఉదాహరణలో, సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య 10 దాని ఆధారంతో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి పది యొక్క దశాంశ సంవర్గమానం ఒకరికి సమానం, అంటే, log10=lg10 1 =1.
సమాధానం:
మరియు lg10=1 .
నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌ల గణన (దీనిలో మేము చర్చించాము మునుపటి పేరా) సమానత్వ లాగ్ a a p =p ఉపయోగాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలలో ఒకటి.
ఆచరణలో, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తిగా సులభంగా సూచించబడినప్పుడు, సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. 
, ఇది లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలలో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ ఫార్ములా వినియోగాన్ని వివరించే సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
సమాధానం:
.
పైన పేర్కొనబడని లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు గణనలలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి, అయితే మేము దీని గురించి క్రింది పేరాల్లో మాట్లాడుతాము.
ఇతర తెలిసిన లాగరిథమ్‌ల ద్వారా లాగరిథమ్లను కనుగొనడం
ఈ పేరాలోని సమాచారం వాటిని లెక్కించేటప్పుడు లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించడం అనే అంశాన్ని కొనసాగిస్తుంది. కానీ ఇక్కడ ప్రధాన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, సంవర్గమానాల యొక్క లక్షణాలు అసలు సంవర్గమానాన్ని మరొక లాగరిథమ్ పరంగా వ్యక్తీకరించడానికి ఉపయోగించబడతాయి, దాని విలువ తెలిసినది. స్పష్టత కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. లాగ్ 2 3≈1.584963 అని మనకు తెలుసు అని అనుకుందాం, ఉదాహరణకు, లాగరిథమ్ లక్షణాలను ఉపయోగించి కొద్దిగా పరివర్తన చేయడం ద్వారా లాగ్ 2 6ని కనుగొనవచ్చు: లాగ్ 2 6=లాగ్ 2 (2 3)=లాగ్ 2 2+లాగ్ 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
పై ఉదాహరణలో, ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగించడం మాకు సరిపోతుంది. అయినప్పటికీ, ఇచ్చిన వాటి ద్వారా అసలైన లాగరిథమ్‌ను లెక్కించడానికి లాగరిథమ్‌ల లక్షణాల యొక్క విస్తృత ఆర్సెనల్‌ను ఉపయోగించడం చాలా తరచుగా అవసరం.
ఉదాహరణ.
లాగ్ 60 2=a మరియు లాగ్ 60 5=b అని మీకు తెలిస్తే, 27 నుండి బేస్ 60 నుండి సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
కాబట్టి మనం లాగ్ 60 27ని కనుగొనాలి. 27 = 3 3, మరియు శక్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం కారణంగా అసలు సంవర్గమానం 3·లాగ్ 60 3గా తిరిగి వ్రాయబడుతుందని చూడటం సులభం.
ఇప్పుడు తెలిసిన లాగరిథమ్‌ల పరంగా లాగ్ 60 3ని ఎలా వ్యక్తీకరించాలో చూద్దాం. ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం 60 60=1 సమానత్వ లాగ్‌ను వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది. మరోవైపు, లాగ్ 60 60=log60(2 2 3 5)= లాగ్ 60 2 2 +లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5= 2·లాగ్ 60 2+లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5 . ఈ విధంగా, 2 లాగ్ 60 2+లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5=1. అందుకే, లాగ్ 60 3=1−2·లాగ్ 60 2−లాగ్ 60 5=1−2·a−b.
చివరగా, మేము అసలు సంవర్గమానాన్ని గణిస్తాము: లాగ్ 60 27=3 లాగ్ 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
సమాధానం:
లాగ్ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
విడిగా, ఫారమ్ యొక్క లాగరిథమ్ యొక్క కొత్త స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రం యొక్క అర్ధాన్ని పేర్కొనడం విలువ. 
. ఇది ఏదైనా బేస్‌తో లాగరిథమ్‌ల నుండి నిర్దిష్ట బేస్‌తో లాగరిథమ్‌లకు తరలించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, వాటి విలువలు తెలిసినవి లేదా వాటిని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది. సాధారణంగా, ఒరిజినల్ లాగరిథమ్ నుండి, పరివర్తన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, అవి 2, ఇ లేదా 10 బేస్‌లలో ఒకదానిలో లాగరిథమ్‌లకు మారతాయి, ఎందుకంటే ఈ బేస్‌ల కోసం లాగరిథమ్‌ల పట్టికలు ఉన్నాయి, ఇవి వాటి విలువలను నిర్దిష్ట స్థాయితో లెక్కించడానికి అనుమతిస్తాయి. ఖచ్చితత్వం. IN తదుపరి పాయింట్ఇది ఎలా జరిగిందో మేము మీకు చూపుతాము.
లాగరిథమ్ పట్టికలు మరియు వాటి ఉపయోగాలు
సంవర్గమాన విలువల యొక్క ఉజ్జాయింపు గణన కోసం ఉపయోగించవచ్చు లాగరిథమ్ పట్టికలు. అత్యంత సాధారణంగా ఉపయోగించే బేస్ 2 సంవర్గమాన పట్టిక, సహజ సంవర్గమాన పట్టిక మరియు దశాంశ సంవర్గమానాలు. లో పని చేస్తున్నప్పుడు దశాంశ వ్యవస్థకాలిక్యులస్ కోసం, బేస్ టెన్ ఆధారంగా లాగరిథమ్‌ల పట్టికను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దాని సహాయంతో మేము లాగరిథమ్‌ల విలువలను కనుగొనడం నేర్చుకుంటాము.
సమర్పించబడిన పట్టిక 1,000 నుండి 9,999 వరకు (మూడు దశాంశ స్థానాలతో) సంఖ్యల దశాంశ లాగరిథమ్‌ల విలువలను పదివేల వంతు ఖచ్చితత్వంతో కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మేము దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టికను ఉపయోగించి సంవర్గమాన విలువను కనుగొనే సూత్రాన్ని విశ్లేషిస్తాము నిర్దిష్ట ఉదాహరణ- ఇది ఆ విధంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది. లాగ్1.256ని కనుగొనండి.
దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టిక యొక్క ఎడమ కాలమ్‌లో 1.256 సంఖ్య యొక్క మొదటి రెండు అంకెలను మనం కనుగొంటాము, అనగా, మేము 1.2 (స్పష్టత కోసం ఈ సంఖ్య నీలం రంగులో సర్కిల్ చేయబడింది). మేము 1.256 (అంకె 5) యొక్క మూడవ అంకెను మొదటి లేదా చివరి పంక్తిడబుల్ లైన్ యొక్క ఎడమ వైపున (ఈ సంఖ్య ఎరుపు రంగులో సర్కిల్ చేయబడింది). అసలైన సంఖ్య 1.256 (అంకె 6) యొక్క నాల్గవ అంకె డబుల్ లైన్ యొక్క కుడి వైపున మొదటి లేదా చివరి పంక్తిలో కనుగొనబడింది (ఈ సంఖ్య ఆకుపచ్చ గీతతో సర్కిల్ చేయబడింది). ఇప్పుడు మనం గుర్తించబడిన అడ్డు వరుస మరియు గుర్తించబడిన నిలువు వరుసల ఖండన వద్ద లాగరిథమ్‌ల పట్టికలోని కణాలలో సంఖ్యలను కనుగొంటాము (ఈ సంఖ్యలు హైలైట్ చేయబడ్డాయి నారింజ) గుర్తించబడిన సంఖ్యల మొత్తం నాల్గవ దశాంశ స్థానానికి ఖచ్చితమైన దశాంశ సంవర్గమానం యొక్క కావలసిన విలువను ఇస్తుంది, అనగా, లాగ్1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
పై పట్టికను ఉపయోగించి, దశాంశ బిందువు తర్వాత మూడు కంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉన్న సంఖ్యల దశాంశ లాగరిథమ్‌ల విలువలను, అలాగే 1 నుండి 9.999 పరిధికి మించిన వాటిని కనుగొనడం సాధ్యమేనా? మీరు చెయ్యవచ్చు అవును. ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.
lg102.76332ని లెక్కిద్దాం. మొదట మీరు వ్రాయవలసి ఉంటుంది సంఖ్య ప్రామాణిక రూపం : 102.76332=1.0276332·10 2. దీని తరువాత, మాంటిస్సా మూడవ దశాంశ స్థానానికి గుండ్రంగా ఉండాలి, మనకు ఉంది 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, అసలు దశాంశ సంవర్గమానం సుమారుగా ఉంటుంది సంవర్గమానానికి సమానంఫలిత సంఖ్య, అంటే, మేము log102.76332≈lg1.028·10 2ని తీసుకుంటాము. ఇప్పుడు మేము లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను వర్తింపజేస్తాము: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. చివరగా, మేము దశాంశ సంవర్గమానాల lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 పట్టిక నుండి లాగరిథమ్ lg1.028 విలువను కనుగొంటాము. ఫలితంగా, లాగరిథమ్‌ను లెక్కించే మొత్తం ప్రక్రియ ఇలా కనిపిస్తుంది: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
ముగింపులో, దశాంశ సంవర్గమానాల పట్టికను ఉపయోగించి మీరు ఏదైనా లాగరిథమ్ యొక్క సుమారు విలువను లెక్కించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, దశాంశ లాగరిథమ్‌లకు వెళ్లడానికి, వాటి విలువలను పట్టికలో కనుగొని, మిగిలిన గణనలను నిర్వహించడానికి పరివర్తన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సరిపోతుంది.
ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 3ని లెక్కిద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క కొత్త స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రం ప్రకారం, మనకు . దశాంశ సంవర్గమానాల పట్టిక నుండి మనం లాగ్3≈0.4771 మరియు లాగ్2≈0.3010లను కనుగొంటాము. ఈ విధంగా, 
.
గ్రంథ పట్టిక.
- కోల్మోగోరోవ్ A.N., అబ్రమోవ్ A.M., డడ్నిట్సిన్ యు.పి. మరియు ఇతరులు బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం: సాధారణ విద్యా సంస్థల 10 - 11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం.
- గుసేవ్ V.A., మోర్డ్కోవిచ్ A.G. గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లో ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్).
సూచనలు
ఇచ్చిన వాటిని వ్రాయండి సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణ. వ్యక్తీకరణ 10 యొక్క సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగిస్తే, దాని సంజ్ఞామానం కుదించబడుతుంది మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది: lg b అనేది దశాంశ సంవర్గమానం. సంవర్గమానం e సంఖ్యను బేస్‌గా కలిగి ఉంటే, వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి: ln b - సహజ సంవర్గమానం. బి సంఖ్యను పొందడానికి ఆధార సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి ఏదైనా ఫలితం అని అర్థం.
రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మీరు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా వేరు చేసి ఫలితాలను జోడించాలి: (u+v)" = u"+v";
రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ దానితో గుణించడం అవసరం మరియు రెండవ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని మొదటి ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించడం అవసరం: (u*v)" = u"*v +v"*u;
రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తి నుండి డివిడెండ్ ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించబడిన డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తిని డివిడెండ్ యొక్క ఫంక్షన్ ద్వారా గుణిస్తే, మరియు విభజించడం అవసరం. డివైజర్ ఫంక్షన్ స్క్వేర్డ్ ద్వారా ఇవన్నీ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
ఇస్తే క్లిష్టమైన ఫంక్షన్, అప్పుడు ఉత్పన్నాన్ని గుణించడం అవసరం అంతర్గత పనితీరుమరియు బాహ్య ఒకటి యొక్క ఉత్పన్నం. y=u(v(x)), ఆపై y"(x)=y"(u)*v"(x) అని చెప్పండి.
పైన పొందిన ఫలితాలను ఉపయోగించి, మీరు దాదాపు ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయవచ్చు. కాబట్టి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని గణించడంలో సమస్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఫంక్షన్ y=e^(x^2+6x+5) ఇవ్వబడనివ్వండి, మీరు x=1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనాలి.
1) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి ఇచ్చిన పాయింట్ y"(1)=8*e^0=8
అంశంపై వీడియో
ప్రాథమిక ఉత్పన్నాల పట్టికను తెలుసుకోండి. ఇది గణనీయంగా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.
మూలాలు:
- స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం
కాబట్టి, మధ్య తేడా ఏమిటి హేతుబద్ధమైన సమీకరణంహేతుబద్ధమైన నుండి? గుర్తు కింద తెలియని వేరియబుల్ ఉంటే వర్గమూలం, అప్పుడు సమీకరణం అహేతుకంగా పరిగణించబడుతుంది.
సూచనలు
అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతి రెండు వైపులా నిర్మించే పద్ధతి సమీకరణాలుఒక చతురస్రాకారంలోకి. అయితే. ఇది సహజమైనది, మీరు చేయవలసిన మొదటి విషయం గుర్తును వదిలించుకోవడమే. ఈ పద్ధతి సాంకేతికంగా కష్టం కాదు, కానీ కొన్నిసార్లు ఇది ఇబ్బందికి దారి తీస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమీకరణం v(2x-5)=v(4x-7). రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా మీరు 2x-5=4x-7 పొందుతారు. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కష్టం కాదు; x=1. కానీ నంబర్ 1 ఇవ్వబడదు సమీకరణాలు. ఎందుకు? x విలువకు బదులుగా సమీకరణంలో ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు కుడి మరియు ఎడమ వైపులా అర్థం లేని వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి, అనగా. వర్గమూలానికి ఈ విలువ చెల్లదు. కాబట్టి 1 ఒక అదనపు మూలం, అందువలన ఇచ్చిన సమీకరణంమూలాలు లేవు.
కాబట్టి, అహేతుక సమీకరణందాని రెండు భాగాలను స్క్వేర్ చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, అదనపు మూలాలను కత్తిరించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కనుగొన్న మూలాలను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చండి.
మరొకటి పరిగణించండి.
2х+vx-3=0
వాస్తవానికి, ఈ సమీకరణాన్ని మునుపటి మాదిరిగానే అదే సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. సమ్మేళనాలను తరలించండి సమీకరణాలు, వర్గమూలం లేని, కుడి వైపుకు ఆపై స్క్వేర్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ఫలిత హేతుబద్ధ సమీకరణం మరియు మూలాలను పరిష్కరించండి. కానీ మరొకటి, మరింత సొగసైనది. కొత్త వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి; vх=y. దీని ప్రకారం, మీరు 2y2+y-3=0 ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని అందుకుంటారు. అంటే మామూలు వర్గ సమీకరణం. దాని మూలాలను కనుగొనండి; y1=1 మరియు y2=-3/2. తరువాత, రెండు పరిష్కరించండి సమీకరణాలు vх=1; vх=-3/2. రెండవ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు; మొదటిది x=1. మూలాలను తనిఖీ చేయడం మర్చిపోవద్దు.
గుర్తింపులను పరిష్కరించడం చాలా సులభం. దీన్ని చేయడానికి మీరు చేయాలి గుర్తింపు పరివర్తనలులక్ష్యం సాధించే వరకు. అందువలన, సరళమైన సహాయంతో అంకగణిత కార్యకలాపాలుచేతిలో ఉన్న పని పరిష్కరించబడుతుంది.
నీకు అవసరం అవుతుంది
- - కాగితం;
- - పెన్.
సూచనలు
అటువంటి పరివర్తనలలో సరళమైనది బీజగణిత సంక్షిప్త గుణకారాలు (మొత్తం యొక్క వర్గము (తేడా), చతురస్రాల వ్యత్యాసం, మొత్తం (తేడా), మొత్తం యొక్క ఘనం (తేడా) వంటివి. అదనంగా, అనేక మరియు ఉన్నాయి త్రికోణమితి సూత్రాలు, ఇవి తప్పనిసరిగా ఒకే గుర్తింపులు.
నిజానికి, రెండు పదాల మొత్తం యొక్క వర్గము చతురస్రానికి సమానంమొదటి ప్లస్ మొదటి దాని యొక్క ఉత్పత్తిని రెండవ దానితో రెట్టింపు చేయండి మరియు రెండవ దాని యొక్క వర్గాన్ని కలిపి, అంటే (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
రెండింటినీ సరళీకరించండి
పరిష్కారం యొక్క సాధారణ సూత్రాలు
పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం పునరావృతం చేయండి గణిత విశ్లేషణలేదా ఉన్నత గణితం, ఇది ఖచ్చితమైన సమగ్రమైనది. తెలిసినట్లుగా, పరిష్కారం ఖచ్చితమైన సమగ్రఒక ఫంక్షన్ ఉంది, దీని ఉత్పన్నం సమగ్రతను ఇస్తుంది. ఈ ఫంక్షన్యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు. ద్వారా ఈ సూత్రంమరియు ప్రధాన సమగ్రాలను నిర్మిస్తుంది.పట్టిక సమగ్రాలలో ఏది సరిపోతుందో సమగ్ర రూపం ద్వారా నిర్ణయించండి ఈ విషయంలో. దీన్ని వెంటనే గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమగ్రతను సరళీకృతం చేయడానికి అనేక రూపాంతరాల తర్వాత మాత్రమే పట్టిక రూపం గుర్తించదగినదిగా మారుతుంది.
వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మెథడ్
ఇంటిగ్రండ్ ఫంక్షన్ అయితే త్రికోణమితి ఫంక్షన్, దీని వాదనలో కొంత బహుపది ఉంది, ఆపై వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి. దీన్ని చేయడానికి, సమగ్రత యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లోని బహుపదిని కొన్ని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేయండి. కొత్త మరియు పాత వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం ఆధారంగా, ఏకీకరణ యొక్క కొత్త పరిమితులను నిర్ణయించండి. ఈ వ్యక్తీకరణను వేరు చేయడం ద్వారా, లో కొత్త అవకలనాన్ని కనుగొనండి. కాబట్టి మీరు పొందుతారు కొత్త రకంమునుపటి సమగ్రమైనది, ఏదైనా పట్టికకు దగ్గరగా లేదా దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.రెండవ రకమైన సమగ్రాలను పరిష్కరించడం
సమగ్రత అనేది రెండవ రకానికి చెందిన సమగ్రం అయితే, సమగ్రత యొక్క వెక్టార్ రూపం, అప్పుడు మీరు ఈ ఇంటిగ్రల్స్ నుండి స్కేలార్ వాటికి మారడానికి నియమాలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. అటువంటి నియమాలలో ఒకటి ఆస్ట్రోగ్రాడ్‌స్కీ-గాస్ సంబంధం. ఈ చట్టంఇచ్చిన వెక్టర్ ఫీల్డ్ యొక్క డైవర్జెన్స్‌పై కొన్ని వెక్టర్ ఫంక్షన్ యొక్క రోటర్ ఫ్లక్స్ నుండి ట్రిపుల్ ఇంటిగ్రల్‌కు వెళ్లడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.ఏకీకరణ పరిమితుల ప్రత్యామ్నాయం
యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొన్న తర్వాత, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. మొదట విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి గరిష్ట పరిమితియాంటీడెరివేటివ్ కోసం వ్యక్తీకరణగా. మీకు కొంత సంఖ్య వస్తుంది. తరువాత, ఫలిత సంఖ్య నుండి తక్కువ పరిమితి నుండి పొందిన మరొక సంఖ్యను యాంటీడెరివేటివ్‌లోకి తీసివేయండి. ఏకీకరణ యొక్క పరిమితుల్లో ఒకటి అనంతం అయితే, దానిని ప్రత్యామ్నాయం చేసేటప్పుడు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్పరిమితికి వెళ్లి, వ్యక్తీకరణ దేని కోసం ప్రయత్నిస్తుందో కనుగొనడం అవసరం.సమగ్రం రెండు డైమెన్షనల్ లేదా త్రిమితీయ అయితే, సమగ్రతను ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలో అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు జ్యామితీయంగా ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను సూచించాలి. నిజానికి, చెప్పాలంటే, త్రిమితీయ సమగ్రత విషయంలో, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు మొత్తం సమతలంగా ఉంటాయి, ఇవి ఏకీకృతమయ్యే వాల్యూమ్‌ను పరిమితం చేస్తాయి.
274. వ్యాఖ్యలు.
ఎ)మీరు మూల్యాంకనం చేయాలనుకుంటున్న వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉంటే మొత్తంలేదా తేడాసంఖ్యలు, అప్పుడు అవి పట్టికల సహాయం లేకుండా కనుగొనబడాలి సాధారణ అదనంగాలేదా వ్యవకలనం ద్వారా. ఉదా:
లాగ్ (35 +7.24) 5 = 5 లాగ్ (35 + 7.24) = 5 లాగ్ 42.24.
బి)వ్యక్తీకరణలను లాగరిథమ్ ఎలా చేయాలో తెలుసుకోవడం, మేము విలోమంగా, ద్వారా చేయవచ్చు ఈ ఫలితంఈ ఫలితం పొందిన వ్యక్తీకరణను కనుగొనడానికి లాగరిథమ్లను ఉపయోగించడం; అలా అయితే
లాగ్ X= చిట్టా a+ లాగ్ బి- 3 లాగ్ తో,
అప్పుడు అర్థం చేసుకోవడం సులభం
V)సంవర్గమాన పట్టికల నిర్మాణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకునే ముందు, మేము దశాంశ లాగరిథమ్‌ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను సూచిస్తాము, అనగా. 10 సంఖ్యను బేస్‌గా తీసుకున్నవి (గణనల కోసం అటువంటి సంవర్గమానాలు మాత్రమే ఉపయోగించబడతాయి).
అధ్యాయం రెండు.
దశాంశ లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు.
275 . ఎ) 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, మొదలైనవి నుండి, ఆపై లాగ్ 10 = 1, లాగ్ 100 = 2, లాగ్ 1000 = 3, లాగ్ 10000 = 4, మరియు మొదలైనవి.
అంటే, ఒక పూర్ణాంకం యొక్క సంవర్గమానం ఒకదాని తర్వాత సున్నాలతో సూచించబడుతుంది సానుకూల సంఖ్య, సంఖ్య చిత్రంలో సున్నాల వంటి అనేక వాటిని కలిగి ఉంటుంది.
ఈ విధంగా: లాగ్ 100,000 = 5, లాగ్ 1000 000 = 6 , మొదలైనవి
బి) ఎందుకంటే
లాగ్ 0.1 = -l; లాగ్ 0.01 = - 2; లాగ్ 0.001 == -3; లాగ్ 0.0001 = - 4,మొదలైనవి
అంటే, సంవర్గమానం దశాంశ, ముందున్న సున్నాలతో కూడిన యూనిట్ ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది, 0 పూర్ణాంకాలతో సహా భిన్నం యొక్క ప్రాతినిధ్యంలో సున్నాలు ఉన్నన్ని ప్రతికూల యూనిట్లను కలిగి ఉన్న ప్రతికూల పూర్ణాంకం.
ఈ విధంగా: లాగ్ 0.00001= - 5, లాగ్ 0.000001 = -6,మొదలైనవి
V)ఉదాహరణకు, ఒకటి మరియు సున్నాలచే సూచించబడని పూర్ణాంకాన్ని తీసుకుందాం. 35, లేదా భిన్నంతో కూడిన పూర్తి సంఖ్య, ఉదాహరణకు. 10.7 అటువంటి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం పూర్ణాంకం కాదు, ఎందుకంటే పూర్ణాంకం ఘాతాంకం (పాజిటివ్ లేదా నెగటివ్) ఉన్న శక్తికి 10ని పెంచడం వలన, మనకు సున్నాలతో 1 వస్తుంది (1ని అనుసరించి, లేదా దాని ముందు). అటువంటి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం కొంత భిన్నం అని ఇప్పుడు మనం అనుకుందాం a / బి . అప్పుడు మనకు సమానత్వం ఉంటుంది
కానీ ఈ సమానతలు అసాధ్యం, వంటి 10ఎ సున్నాలతో 1సె ఉన్నాయి, అయితే డిగ్రీలు 35బి మరియు 10,7బి ఏదైనా కొలత ద్వారా బి 1 తర్వాత సున్నాలు ఇవ్వలేము. మేము అనుమతించలేమని దీని అర్థం లాగ్ 35మరియు లాగ్ 10.7భిన్నాలకు సమానంగా ఉండేవి. కానీ ఆస్తుల నుండి లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్మనకు తెలుసు () ప్రతి ధన సంఖ్యకు సంవర్గమానం ఉంటుంది; పర్యవసానంగా, ప్రతి సంఖ్యలు 35 మరియు 10.7 దాని స్వంత సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉంటాయి మరియు ఇది పూర్ణాంకం సంఖ్య లేదా పాక్షిక సంఖ్య కాకపోవచ్చు కాబట్టి, ఇది అకరణీయ సంఖ్య మరియు అందువల్ల సంఖ్యల ద్వారా ఖచ్చితంగా వ్యక్తీకరించబడదు. అహేతుక లాగరిథమ్‌లు సాధారణంగా అనేక దశాంశ స్థానాలతో సుమారుగా దశాంశ భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఈ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంక సంఖ్య (ఇది "0 పూర్ణాంకాలు" అయినప్పటికీ) అంటారు లక్షణం, ఎ భిన్నం- లాగరిథమ్ యొక్క మాంటిస్సా. ఉదాహరణకు, సంవర్గమానం ఉంటే 1,5441 , అప్పుడు దాని లక్షణం సమానంగా ఉంటుంది 1 , మరియు మాంటిస్సా ఉంది 0,5441 .
జి)ఉదాహరణకు కొంత పూర్ణాంకం లేదా మిశ్రమ సంఖ్యను తీసుకుందాం. 623 లేదా 623,57 . అటువంటి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం ఒక లక్షణం మరియు మాంటిస్సాను కలిగి ఉంటుంది. దశాంశ లాగరిథమ్‌లకు సౌలభ్యం ఉందని తేలింది మేము ఎల్లప్పుడూ ఒక రకమైన సంఖ్య ద్వారా వారి లక్షణాలను కనుగొనవచ్చు . దీన్ని చేయడానికి, ఇచ్చిన పూర్ణ సంఖ్యలో లేదా పూర్ణాంక భాగంలో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో మేము లెక్కిస్తాము మిశ్రమ సంఖ్య, ఈ సంఖ్యల యొక్క మా ఉదాహరణలలో 3 . అందువలన, సంఖ్యలు ప్రతి 623 మరియు 623,57 100 కంటే ఎక్కువ కానీ 1000 కంటే తక్కువ; దీనర్థం వాటిలో ప్రతి సంవర్గమానం ఎక్కువగా ఉంటుంది లాగ్ 100, అంటే మరింత 2 , కానీ తక్కువ లాగ్ 1000, అంటే తక్కువ 3 (పెద్ద సంఖ్యలో కూడా పెద్ద సంవర్గమానం ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి). అందుకే, లాగ్ 623 = 2,..., మరియు లాగ్ 623.57 = 2,... (చుక్కలు తెలియని మాంటిస్సాలను భర్తీ చేస్తాయి).
ఇలాంటివి మనం కనుగొంటాము:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 లాగ్ 56.7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 లాగ్ 8634 = 3,... |
సాధారణంగా ఇచ్చిన పూర్ణాంకం సంఖ్య లేదా ఇచ్చిన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంకం భాగం కలిగి ఉండనివ్వండి m సంఖ్యలు కలిగి ఉన్న అతి చిన్న పూర్ణాంకం నుండి m సంఖ్యలు, అవును 1 తో m - 1 చివర సున్నాలు, ఆపై (ఈ సంఖ్యను సూచిస్తుంది ఎన్) మేము అసమానతలను వ్రాయవచ్చు:
ఇందుమూలంగా
m - 1 < log N < m ,
లాగ్ N = ( m - 1) + సానుకూల భిన్నం .
కాబట్టి లక్షణం logN = m - 1 .
మనం ఈ విధంగా చూస్తాము పూర్ణాంకం లేదా మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం సంఖ్య మైనస్ ఒకటి యొక్క పూర్ణాంకం భాగంలో ఎన్ని ధనాత్మక యూనిట్లు ఉంటాయో అంత ఎక్కువ సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది.
దీనిని గమనించిన తరువాత, మనం నేరుగా వ్రాయవచ్చు:
లాగ్ 7.205 = 0,...; లాగ్ 83 = 1,...; లాగ్ 720.4 = 2,...మరియు అందువలన న.
d)అనేక దశాంశ భిన్నాలను చిన్నదిగా తీసుకుందాం 1 (అంటే కలిగి 0 మొత్తం): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, మరియు అందువలన న.
ఈ విధంగా, ఈ సంవర్గమానాలలో ప్రతి ఒక్కటి ఒక యూనిట్ తేడాతో రెండు ప్రతికూల పూర్ణాంకాల మధ్య ఉంటుంది; అందువల్ల వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి కొంత సానుకూల భిన్నం ద్వారా పెరిగిన ఈ ప్రతికూల సంఖ్యలలో చిన్నదానికి సమానం. ఉదాహరణకి, log0.0056= -3 + సానుకూల భిన్నం. ఈ భిన్నం 0.7482 అని అనుకుందాం. అప్పుడు దీని అర్థం:
లాగ్ 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).
వంటి మొత్తాలు - 3 + 0,7482 , ప్రతికూల పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మక దశాంశ భిన్నంతో కూడినది అంగీకరించబడింది లాగరిథమిక్ లెక్కలుఈ క్రింది విధంగా సంక్షిప్తీకరించబడింది: 3 ,7482 (ఈ సంఖ్య ఇలా ఉంది: 3 మైనస్, 7482 పదివేలు.), అనగా వారు ఈ లక్షణానికి మాత్రమే సంబంధించినదని మరియు సానుకూలంగా ఉన్న మాంటిస్సాకు కాదని చూపించడానికి లక్షణంపై మైనస్ గుర్తును ఉంచారు. కాబట్టి, పై పట్టిక నుండి అది స్పష్టంగా ఉంది
లాగ్ 0.35 == 1 ,....; లాగ్ 0.07 = 2,....; లాగ్ 0.0008 = 4 ,....
అన్ని వద్ద లెట్ 
. మొదటిదానికి ముందు దశాంశ భిన్నం ఉంది ముఖ్యమైన వ్యక్తి α
ఖర్చులు m
సున్నాలు, 0 పూర్ణాంకాలతో సహా. అప్పుడు తెలుస్తుంది
- m < log A < - (m- 1).
రెండు పూర్ణాంకాల నుండి:- m మరియు - (m- 1) తక్కువ ఉంది - m , ఆ
లాగ్ A = - m+ సానుకూల భిన్నం,
అందువలన లక్షణం లాగ్ A = - m (పాజిటివ్ మాంటిస్సాతో).
ఈ విధంగా, 1 కంటే తక్కువ దశాంశ భిన్నం యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం సున్నా పూర్ణాంకాలతో సహా మొదటి ముఖ్యమైన అంకెకు ముందు దశాంశ భిన్నం యొక్క చిత్రంలో సున్నాలు ఉన్నంత ప్రతికూల వాటిని కలిగి ఉంటుంది; అటువంటి సంవర్గమానం యొక్క మాంటిస్సా సానుకూలంగా ఉంటుంది.
ఇ)కొంత సంఖ్యను గుణిద్దాం ఎన్(పూర్ణాంకం లేదా భిన్నం - ఇది పట్టింపు లేదు) 10 ద్వారా, 100 ద్వారా 1000..., సాధారణంగా 1 ద్వారా సున్నాలు. ఇది ఎలా మారుతుందో చూద్దాం లాగ్ ఎన్. ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం నుండి మొత్తానికి సమానంకారకాల సంవర్గమానాలు, అప్పుడు
లాగ్ (N 10) = లాగ్ N + లాగ్ 10 = లాగ్ N + 1;
లాగ్ (N 100) = లాగ్ N + లాగ్ 100 = లాగ్ N + 2;
లాగ్ (N 1000) = లాగ్ N + లాగ్ 1000 = లాగ్ N + 3;మొదలైనవి
ఎప్పుడు లాగ్ ఎన్మేము కొంత పూర్ణాంకాన్ని జోడిస్తాము, అప్పుడు మనం ఎల్లప్పుడూ ఈ సంఖ్యను లక్షణానికి జోడించవచ్చు మరియు మాంటిస్సాకు కాదు.
కాబట్టి, లాగ్ N = 2.7804 అయితే, అప్పుడు 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801, మొదలైనవి;
లేదా లాగ్ N = 3.5649 అయితే, అప్పుడు 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, మొదలైనవి.
ఒక సంఖ్యను 10, 100, 1000,..., సాధారణంగా సున్నాలతో 1తో గుణించినప్పుడు, సంవర్గమానం యొక్క మాంటిస్సా మారదు మరియు కారకంలో సున్నాలు ఉన్నన్ని యూనిట్ల ద్వారా లక్షణం పెరుగుతుంది. .
అదేవిధంగా, విభజన యొక్క సంవర్గమానం లేకుండా డివిడెండ్ యొక్క లాగరిథమ్‌కు భాగస్వామ్య సంవర్గమానం సమానంగా ఉంటుందని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మనకు లభిస్తుంది:
లాగ్ N / 10 = లాగ్ N- లాగ్ 10 = లాగ్ N -1;
లాగ్ N / 100 = లాగ్ N- లాగ్ 100 = లాగ్ N -2;
లాగ్ N / 1000 = లాగ్ N- లాగ్ 1000 = లాగ్ N -3;మరియు అందువలన న.
సంవర్గమానం నుండి పూర్ణాంకాన్ని తీసివేసేటప్పుడు, ఎల్లప్పుడూ ఈ పూర్ణాంకాన్ని లక్షణం నుండి తీసివేసి, మాంటిస్సాను మార్చకుండా ఉంచడానికి మేము అంగీకరిస్తే, అప్పుడు మనం ఇలా చెప్పవచ్చు:
సున్నాలతో సంఖ్యను 1తో భాగిస్తే సంవర్గమానం యొక్క మాంటిస్సా మారదు, కానీ భాగహారంలో సున్నాలు ఉన్నందున లక్షణం చాలా యూనిట్ల ద్వారా తగ్గుతుంది.
276. పరిణామాలు.ఆస్తి నుండి ( ఇ) ఈ క్రింది రెండు సహసంబంధాలను తగ్గించవచ్చు:
ఎ) దశాంశ బిందువుకు తరలించినప్పుడు దశాంశ సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్ యొక్క మాంటిస్సా మారదు , ఒక దశాంశ బిందువును తరలించడం అనేది 10, 100, 1000 మొదలైన వాటితో గుణించడం లేదా భాగించడంతో సమానం. అందువలన, సంఖ్యల సంవర్గమానాలు:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
లక్షణాలలో మాత్రమే తేడా ఉంటుంది, కానీ మాంటిసాస్‌లో కాదు (అన్ని మాంటిసాలు సానుకూలంగా ఉంటే).
బి) అదే కలిగి ఉన్న సంఖ్యల మాంటిస్సాస్ ముఖ్యమైన భాగం, కానీ చివరిలో సున్నాలతో మాత్రమే తేడా ఉంటుంది, ఇవి ఒకే విధంగా ఉంటాయి: ఈ విధంగా, సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లు: 23, 230, 2300, 23,000 లక్షణాలలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి.
వ్యాఖ్య. నుండి పేర్కొన్న లక్షణాలుదశాంశ సంవర్గమానాలు, పట్టికల సహాయం లేకుండా పూర్ణాంకం మరియు దశాంశ భిన్నం యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాలను మనం కనుగొనగలమని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది (ఇది దశాంశ లాగరిథమ్‌ల యొక్క గొప్ప సౌలభ్యం); ఫలితంగా, సంవర్గమాన పట్టికలలో ఒక మాంటిస్సా మాత్రమే ఉంచబడుతుంది; అదనంగా, భిన్నాల సంవర్గమానాలను కనుగొనడం అనేది పూర్ణాంకాల సంవర్గమానాలను కనుగొనడానికి తగ్గించబడింది (ఒక భిన్నం యొక్క సంవర్గమానం = హారం యొక్క సంవర్గమానం లేకుండా గణన యొక్క సంవర్గమానం), కేవలం పూర్ణాంకాల యొక్క లాగరిథమ్‌ల మాంటిసాస్ పట్టికలలో ఉంచబడ్డాయి.
అధ్యాయం మూడు.
నాలుగు అంకెల పట్టికల రూపకల్పన మరియు ఉపయోగం.
277. లాగరిథమ్స్ సిస్టమ్స్.లాగరిథమ్‌ల వ్యవస్థ అనేది ఒకే ఆధారాన్ని ఉపయోగించి అనేక వరుస పూర్ణాంకాల కోసం లెక్కించబడే లాగరిథమ్‌ల సమితి. రెండు వ్యవస్థలు ఉపయోగించబడతాయి: సాధారణ లేదా దశాంశ లాగరిథమ్‌ల వ్యవస్థ, దీనిలో సంఖ్యను బేస్‌గా తీసుకుంటారు. 10 , మరియు సహజ సంవర్గమానాలు అని పిలవబడే వ్యవస్థ, దీనిలో అహేతుక సంఖ్యను ఆధారంగా తీసుకుంటారు (కొన్ని కారణాల వల్ల గణితశాస్త్రంలోని ఇతర శాఖలలో స్పష్టంగా ఉంటుంది) 2,7182818 ... గణనల కోసం, దశాంశ లాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి, మేము అటువంటి లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను జాబితా చేసినప్పుడు మేము సూచించిన సౌలభ్యం కారణంగా.
సహజ సంవర్గమానాలను నెపెరోవ్ అని కూడా పిలుస్తారు, సంవర్గమానాల ఆవిష్కర్త, స్కాటిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పేరు పెట్టారు. నేపెరా(1550-1617), మరియు దశాంశ సంవర్గమానాలు - బ్రిగ్స్ ప్రొఫెసర్ పేరు పెట్టారు బ్రిగ్గా(నేపియర్ యొక్క సమకాలీనుడు మరియు స్నేహితుడు), ఈ సంవర్గమానాల పట్టికలను మొదట సంకలనం చేశాడు.
278. ప్రతికూల సంవర్గమానాన్ని మాంటిస్సా సానుకూలంగా మరియు విలోమ పరివర్తనగా మార్చడం. 1 కంటే తక్కువ సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లు ప్రతికూలంగా ఉన్నాయని మనం చూశాము. అంటే అవి ప్రతికూల లక్షణం మరియు ప్రతికూల మాంటిస్సాను కలిగి ఉంటాయి. ఇటువంటి లాగరిథమ్‌లు ఎల్లప్పుడూ రూపాంతరం చెందుతాయి, తద్వారా వాటి మాంటిస్సా సానుకూలంగా ఉంటుంది, కానీ లక్షణం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, మాంటిస్సాకు సానుకూలమైనదాన్ని జోడించడం సరిపోతుంది మరియు లక్షణానికి ప్రతికూలమైనది (ఇది లాగరిథమ్ విలువను మార్చదు).
ఉదాహరణకు, మనకు సంవర్గమానం ఉంటే - 2,0873 , అప్పుడు మీరు వ్రాయవచ్చు:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
లేదా సంక్షిప్తంగా:
దీనికి విరుద్ధంగా, ప్రతికూల లక్షణం మరియు సానుకూల మాంటిస్సా ఉన్న ఏదైనా లాగరిథమ్ ప్రతికూలంగా మార్చబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, సానుకూల మాంటిస్సాకు ప్రతికూలమైనదాన్ని మరియు ప్రతికూల లక్షణానికి సానుకూలమైనదాన్ని జోడించడం సరిపోతుంది: కాబట్టి, మీరు వ్రాయవచ్చు:
279. నాలుగు అంకెల పట్టికల వివరణ.మెజారిటీ నిర్ణయం కోసం ఆచరణాత్మక సమస్యలునాలుగు అంకెల పట్టికలు సరిపోతాయి, వీటిని నిర్వహించడం చాలా సులభం. ఈ పట్టికలు (పైభాగంలో "లాగరిథమ్స్" అనే శాసనంతో) ఈ పుస్తకం చివరలో ఉంచబడ్డాయి మరియు కాదు చాలా వరకుఅవి (స్థానాన్ని వివరించడానికి) ఈ పేజీలో ముద్రించబడ్డాయి. అవి మాంటిసాలను కలిగి ఉంటాయి
లాగరిథమ్స్.
నుండి అన్ని పూర్ణాంకాల సంవర్గమానాలు 1 ముందు 9999 కలుపుకొని, నాలుగు దశాంశ స్థానాలకు లెక్కించబడుతుంది, వీటిలో చివరి స్థానాలు పెరిగాయి 1 5వ దశాంశ స్థానం 5 లేదా 5 కంటే ఎక్కువ ఉన్న అన్ని సందర్భాలలో; కాబట్టి, 4-అంకెల పట్టికలు సుమారుగా మాంటిస్సాలను అందిస్తాయి 1 / 2 పదివేల వంతు (ఒక లోపం లేదా అదనపు తో).
దశాంశ లాగరిథమ్‌ల లక్షణాల ఆధారంగా పూర్ణాంకం లేదా దశాంశ భిన్నం యొక్క సంవర్గమానాన్ని మనం నేరుగా వర్గీకరించవచ్చు కాబట్టి, మనం పట్టికల నుండి మాంటిసాస్‌ను మాత్రమే తీసుకోవాలి; అదే సమయంలో, కామా యొక్క స్థానం ఇన్ అని మనం గుర్తుంచుకోవాలి దశాంశ సంఖ్య, అలాగే సంఖ్య చివరిలో ఉన్న సున్నాల సంఖ్య, మాంటిస్సా విలువపై ప్రభావం చూపదు. అందువలన, ద్వారా mantissa కనుగొనడంలో ఉన్నప్పుడు ఇచ్చిన సంఖ్యమేము ఈ సంఖ్యలో కామాను, అలాగే దాని చివర ఉన్న సున్నాలు ఏవైనా ఉంటే వాటిని విస్మరిస్తాము మరియు దీని తర్వాత ఏర్పడిన పూర్ణాంకం యొక్క మాంటిస్సాను కనుగొంటాము. కింది కేసులు తలెత్తవచ్చు.
1) ఒక పూర్ణాంకం 3 అంకెలను కలిగి ఉంటుంది.ఉదాహరణకు, మనం 536 సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్ యొక్క మాంటిస్సాను కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం. ఈ సంఖ్య యొక్క మొదటి రెండు అంకెలు, అంటే 53, ఎడమవైపున మొదటి నిలువు నిలువు వరుసలోని పట్టికలలో కనిపిస్తాయి (టేబుల్ చూడండి). 53 సంఖ్యను కనుగొన్న తర్వాత, ఎగువన ఉంచబడిన 0, 1, 2, 3,... 9 (మరియు దిగువన) పట్టిక, ఇది ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క 3-వ అంకె, అనగా మా ఉదాహరణలో, సంఖ్య 6. ఖండన వద్ద మనం 536 సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్‌కు చెందిన మాంటిస్సా 7292 (అనగా 0.7292) ను పొందుతాము. , 508 సంఖ్య కోసం మేము mantissa 0.7059, సంఖ్య 500 కోసం మేము 0.6990, మొదలైనవి కనుగొంటాము.
2) పూర్ణాంకం 2 లేదా 1 అంకెలను కలిగి ఉంటుంది.అప్పుడు మేము ఈ సంఖ్యకు మానసికంగా ఒకటి లేదా రెండు సున్నాలను కేటాయించాము మరియు ఈ విధంగా ఏర్పడిన మూడు అంకెల సంఖ్య కోసం మాంటిస్సాను కనుగొంటాము. ఉదాహరణకు, మేము 51 సంఖ్యకు ఒక సున్నాని జోడిస్తాము, దాని నుండి మనకు 510 వస్తుంది మరియు మాంటిస్సా 7070ని కనుగొంటాము; సంఖ్య 5కి మేము 2 సున్నాలను కేటాయించి, mantissa 6990, మొదలైన వాటిని కనుగొంటాము.
3) పూర్ణాంకం 4 అంకెలలో వ్యక్తీకరించబడింది.ఉదాహరణకు, మీరు లాగ్ 5436 యొక్క మాంటిస్సాను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ఆపై మొదట మేము పట్టికలలో, ఇప్పుడే సూచించినట్లుగా, ఈ సంఖ్య యొక్క మొదటి 3 అంకెల ద్వారా సూచించబడిన సంఖ్య కోసం మాంటిస్సాను కనుగొంటాము, అనగా 543 కోసం (ఈ మాంటిస్సా 7348 అవుతుంది) ; అప్పుడు మేము కనుగొనబడిన మాంటిస్సా నుండి క్షితిజ సమాంతర రేఖ వెంట కుడి వైపుకు (పట్టిక యొక్క కుడి వైపున, మందపాటి నిలువు రేఖ వెనుక ఉన్న) సంఖ్యలలో ఒకదాని గుండా వెళుతున్న నిలువు కాలమ్‌తో కలుస్తుంది వరకు: 1, 2 3,. .. 9, పట్టిక యొక్క ఈ భాగం యొక్క ఎగువన (మరియు దిగువన) ఉంది, ఇది ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క 4 వ అంకెను సూచిస్తుంది, అనగా, మా ఉదాహరణలో, సంఖ్య 6. ఖండన వద్ద మేము దిద్దుబాటు (సంఖ్యను కనుగొంటాము 5), ఇది 5436 సంఖ్య యొక్క మాంటిస్సాను పొందడానికి 7348 యొక్క మాంటిస్సాకు మానసికంగా వర్తించాలి; ఈ విధంగా మనకు మాంటిస్సా 0.7353 వస్తుంది.
4) పూర్ణాంకం 5 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలతో వ్యక్తీకరించబడుతుంది.అప్పుడు మేము మొదటి 4 మినహా అన్ని అంకెలను విస్మరించి, సుమారుగా నాలుగు అంకెల సంఖ్యను తీసుకుంటాము మరియు ఈ సంఖ్య యొక్క చివరి అంకెను ఆ సంఖ్యలో 1 పెంచుతాము. సంఖ్య యొక్క విస్మరించిన 5వ అంకె 5 లేదా 5 కంటే ఎక్కువ ఉన్నప్పుడు. కాబట్టి, మనం 57842కి బదులుగా 5784ని తీసుకుంటాము, 30257కి బదులుగా 3026ని తీసుకుంటాము, 583263కి బదులుగా మనం 5833ని తీసుకుంటాము. ఈ గుండ్రని నాలుగు అంకెల సంఖ్య కోసం, మేము ఇప్పుడే వివరించిన విధంగా మాంటిస్సాను కనుగొంటాము.
ఈ మార్గదర్శకాల ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయబడి, ఉదాహరణగా లాగరిథమ్లను కనుగొనండి క్రింది సంఖ్యలు:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
అన్నింటిలో మొదటిది, ప్రస్తుతానికి పట్టికల వైపు తిరగకుండా, మేము లక్షణాలను మాత్రమే ఉంచుతాము, మాంటిసాస్ కోసం గదిని వదిలివేస్తాము, దాని తర్వాత మేము వ్రాస్తాము:
లాగ్ 36.5 = 1,.... లాగ్ 0.00345 = 3,....
లాగ్ 804.7 = 2,.... లాగ్ 7.2634 = 0,....
లాగ్ 0.26 = 1,.... లాగ్ 3456.86 = 3,....
లాగ్ 36.5 = 1.5623; లాగ్ 0.00345 = 3.5378;
లాగ్ 804.7 = 2.9057; లాగ్ 7.2634 = 0.8611;
లాగ్ 0.26 = 1.4150; లాగ్ 3456.86 = 3.5387.
280. గమనిక. కొన్ని నాలుగు అంకెల పట్టికలలో (ఉదాహరణకు, పట్టికలలో V. లోర్చెంకో మరియు N. ఓగ్లోబ్లినా, S. గ్లాజెనాప్, N. కమెన్షికోవా) ఈ సంఖ్య యొక్క 4వ అంకె కోసం దిద్దుబాట్లు ఉంచబడలేదు. అటువంటి పట్టికలతో వ్యవహరించేటప్పుడు, మీరు ఈ దిద్దుబాట్లను ఉపయోగించి కనుగొనవలసి ఉంటుంది సాధారణ గణన, ఇది క్రింది సత్యం ఆధారంగా నిర్వహించబడుతుంది: సంఖ్యలు 100 మించి ఉంటే మరియు వాటి మధ్య తేడాలు 1 కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు సున్నితమైన లోపం లేకుండా దానిని అంగీకరించవచ్చు సంవర్గమానాల మధ్య వ్యత్యాసాలు సంబంధిత సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి . ఉదాహరణకు, మనం 5367 సంఖ్యకు సంబంధించిన మాంటిస్సాను కనుగొనాలి. ఈ మాంటిస్సా, వాస్తవానికి, 536.7 సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది. 536 మాంటిస్సా 7292 సంఖ్య కోసం మేము పట్టికలలో కనుగొంటాము. ఈ మాంటిస్సాను కుడి ప్రక్కన ఉన్న మాంటిస్సా 7300తో పోల్చడం, సంఖ్యకు అనుగుణంగా 537, 536 సంఖ్య 1 పెరిగితే, దాని మాంటిస్సా 8 పదివేలు పెరుగుతుందని మేము గమనించాము (8 అని పిలవబడేది పట్టిక వ్యత్యాసంరెండు ప్రక్కనే ఉన్న మాంటిస్సాల మధ్య); 536 సంఖ్య 0.7 పెరిగితే, దాని మాంటిస్సా 8 పదివేలు కాదు, కొంత పెరుగుతుంది. చిన్న సంఖ్యX పదివేల వంతు, ఇది ఊహించిన దామాషా ప్రకారం, నిష్పత్తులను సంతృప్తి పరచాలి:
X :8 = 0.7:1; ఎక్కడ X = 8 07 = 5,6,
ఇది 6 పదివేలకు గుండ్రంగా ఉంటుంది. దీనర్థం 536.7 (అందువలన 5367 సంఖ్యకు) కోసం మాంటిస్సా: 7292 + 6 = 7298.
పట్టికలలో రెండు ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యలను ఉపయోగించి ఇంటర్మీడియట్ సంఖ్యను కనుగొనడాన్ని అంటారు ఇంటర్పోలేషన్.ఇక్కడ వివరించిన ఇంటర్పోలేషన్ అంటారు దామాషా, ఇది సంవర్గమానంలో మార్పు సంఖ్యలో మార్పుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది అనే ఊహపై ఆధారపడి ఉంటుంది. లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్‌లో గ్రాఫికల్‌గా మార్పు సరళ రేఖ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుందని భావించినందున దీనిని లీనియర్ అని కూడా పిలుస్తారు.
281. ఉజ్జాయింపు సంవర్గమానం యొక్క లోపం పరిమితి.సంవర్గమానం కోరబడిన సంఖ్య ఖచ్చితమైన సంఖ్య అయితే, 4-అంకెల పట్టికలలో కనుగొనబడిన దాని లాగరిథమ్ యొక్క లోపం యొక్క పరిమితిని మనం చెప్పినట్లు తీసుకోవచ్చు. 1 / 2 పదివేల వంతు. ఈ సంఖ్య ఖచ్చితమైనది కానట్లయితే, ఈ లోపం పరిమితికి మనం తప్పక సంఖ్య యొక్క సరికాని కారణంగా ఏర్పడే మరొక లోపం యొక్క పరిమితిని కూడా జోడించాలి. అటువంటి పరిమితిని ఉత్పత్తిగా తీసుకోవచ్చని నిరూపించబడింది (మేము ఈ రుజువును వదిలివేస్తాము).
a(డి +1) పదివేలు.,
దీనిలో ఎ అని ఊహిస్తూ, అత్యంత ఖచ్చితమైన సంఖ్యకు లోపం యొక్క మార్జిన్ దాని పూర్ణాంకం భాగం 3 అంకెలను కలిగి ఉంటుంది,ఎ డి రెండు వరుస మూడు-అంకెల సంఖ్యలకు సంబంధించిన మాంటిస్సాస్ యొక్క పట్టిక వ్యత్యాసం, వాటి మధ్య ఇచ్చిన ఖచ్చితమైన సంఖ్య ఉంటుంది. అందువలన, సంవర్గమానం యొక్క తుది లోపం యొక్క పరిమితి సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:
1 / 2 + a(డి +1) పదివేలు
ఉదాహరణ. లాగ్‌ను కనుగొనండి π , తీసుకోవడం π సుమారు సంఖ్య 3.14, ఖచ్చితంగా 1 / 2 వందో.
3.14 నంబర్‌లో 3వ అంకె తర్వాత కామాను తరలించడం, ఎడమవైపు నుండి లెక్కించడం, మనకు లభిస్తుంది మూడు అంకెల సంఖ్య 314, ఖచ్చితంగా 1 / 2 యూనిట్లు; దీనర్థం సరికాని సంఖ్య కోసం ఎర్రర్ మార్జిన్, అంటే మనం అక్షరం ద్వారా సూచించినది ఎ , ఉంది 1 / 2 పట్టికల నుండి మేము కనుగొన్నాము:
లాగ్ 3.14 = 0.4969.
టేబుల్ తేడా డి 314 మరియు 315 సంఖ్యల మాంటిస్సాల మధ్య 14కి సమానం, కనుక కనుగొనబడిన సంవర్గమానం యొక్క లోపం తక్కువగా ఉంటుంది
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 పదివేలు.
సంవర్గమానం 0.4969 లోపమా లేదా అధికంగా ఉందా అనేది మాకు తెలియదు కాబట్టి, మేము ఖచ్చితమైన లాగరిథమ్‌కు మాత్రమే హామీ ఇవ్వగలము π 0.4969 - 0.0008 మరియు 0.4969 + 0.0008 మధ్య ఉంటుంది, అంటే 0.4961< log π < 0,4977.
282. ఇచ్చిన సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగించి సంఖ్యను కనుగొనండి. ఇచ్చిన సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగించి సంఖ్యను కనుగొనడానికి, ఇచ్చిన సంఖ్యల మాంటిస్సాలను కనుగొనడానికి అదే పట్టికలను ఉపయోగించవచ్చు; కానీ యాంటీలోగారిథమ్స్ అని పిలవబడే ఇతర పట్టికలను ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, అనగా, ఈ మాంటిస్సాలకు సంబంధించిన సంఖ్యలు. ఎగువ "యాంటీలోగారిథమ్స్" వద్ద ఉన్న శాసనం ద్వారా సూచించబడిన ఈ పట్టికలు, లాగరిథమ్‌ల పట్టికలు ఈ పేజీలో ఉంచబడిన తర్వాత (వివరణ కోసం) ఈ పుస్తకం చివరలో ఉంచబడ్డాయి;
మీకు 4-అంకెల మాంటిస్సా 2863 ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం (మేము లక్షణానికి శ్రద్ధ చూపము) మరియు మీరు సంబంధిత పూర్ణాంకాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది. అప్పుడు, యాంటీలాగరిథమ్‌ల పట్టికలను కలిగి ఉంటే, మీరు ఇచ్చిన సంఖ్య కోసం మాంటిస్సాను కనుగొనడానికి గతంలో వివరించిన విధంగానే వాటిని ఉపయోగించాలి, అవి: ఎడమవైపు మొదటి నిలువు వరుసలో మాంటిస్సా యొక్క మొదటి 2 అంకెలను మేము కనుగొంటాము. మాంటిస్సా యొక్క 3 వ అంకె నుండి వచ్చే నిలువు కాలమ్‌తో కలిసే వరకు మేము ఈ సంఖ్యల నుండి క్షితిజ సమాంతర రేఖ వెంట కుడి వైపుకు వెళ్తాము, ఇది ఎగువ పంక్తిలో (లేదా దిగువన) చూడాలి. ఖండన వద్ద, మాంటిస్సా 286కి అనుగుణంగా ఉన్న నాలుగు అంకెల సంఖ్య 1932ని మేము కనుగొంటాము. అప్పుడు ఈ సంఖ్య నుండి 4-అంకెల 4 వ అంకె నుండి వచ్చే నిలువు నిలువు వరుసతో ఖండన వరకు ఈ సంఖ్య నుండి మేము క్షితిజ సమాంతర రేఖ వెంట కుడి వైపున ముందుకు వెళ్తాము. అక్కడ ఉంచబడిన 1, 2 సంఖ్యలలో ఎగువన (లేదా దిగువన) కనుగొనబడుతుంది , 3,... 9. ఖండన వద్ద మేము దిద్దుబాటు 1ని కనుగొంటాము, ఇది ముందుగా కనుగొనబడిన 1032 సంఖ్యకు (మనస్సులో) వర్తింపజేయాలి. mantissa 2863కి సంబంధించిన సంఖ్యను పొందేందుకు.
ఈ విధంగా, సంఖ్య 1933 అవుతుంది. దీని తరువాత, లక్షణానికి శ్రద్ధ చూపుతూ, మీరు 1933 నంబర్‌లో సరైన స్థానంలో ఆక్రమించబడాలి. ఉదాహరణకి:
ఉంటే లాగ్ x = 3.2863, అప్పుడు X = 1933,
„ లాగ్ x = 1,2863, „ X = 19,33,
, లాగ్ x = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ లాగ్ x = 2 ,2863, „ X = 0,01933
ఇక్కడ మరిన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:
లాగ్ x = 0,2287, X = 1,693,
లాగ్ x = 1 ,7635, X = 0,5801,
లాగ్ x = 3,5029, X = 3184,
లాగ్ x = 2 ,0436, X = 0,01106.
మాంటిస్సాలో 5 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉంటే, మేము మొదటి 4 అంకెలను మాత్రమే తీసుకుంటాము, మిగిలిన వాటిని విస్మరిస్తాము (మరియు 5 వ అంకెలో ఐదు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటే 4 వ అంకెను 1 ద్వారా పెంచండి). ఉదాహరణకు, mantissa 35478కి బదులుగా మనం 3548ని తీసుకుంటాము, 47562కి బదులుగా 4756ని తీసుకుంటాము.
283. గమనిక.మాంటిస్సా యొక్క 4వ మరియు తదుపరి అంకెల యొక్క దిద్దుబాటును కూడా ఇంటర్పోలేషన్ ద్వారా కనుగొనవచ్చు. కాబట్టి, మాంటిస్సా 84357 అయితే, మాంటిస్సా 843కి అనుగుణంగా 6966 సంఖ్యను కనుగొన్న తర్వాత, మనం ఈ క్రింది విధంగా వాదించవచ్చు: మాంటిస్సా 1 (వెయ్యి) పెరిగితే, అది 844 అవుతుంది, ఆపై సంఖ్య. పట్టికలు నుండి చూడవచ్చు, 16 యూనిట్లు పెరుగుతుంది; మాంటిస్సా 1 (వెయ్యి వంతు) కాకుండా 0.57 (వెయ్యి) పెరిగితే, అప్పుడు సంఖ్య పెరుగుతుంది. X యూనిట్లు, మరియు X నిష్పత్తులను సంతృప్తి పరచాలి:
X : 16 = 0.57: 1, ఎక్కడ నుండి x = 16 0,57 = 9,12.
అంటే అవసరమైన సంఖ్య 6966+ 9.12 = 6975.12 లేదా (కేవలం నాలుగు అంకెలకు మాత్రమే పరిమితం) 6975.
284. కనుగొనబడిన సంఖ్య యొక్క దోష పరిమితి.దొరికిన సంఖ్యలో కామా ఎడమ వైపు నుండి 3 వ అంకె తర్వాత ఉన్న సందర్భంలో, అంటే లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణం 2 అయినప్పుడు, మొత్తాన్ని దోష పరిమితిగా తీసుకోవచ్చని నిరూపించబడింది.
ఎక్కడ ఎ సంఖ్య కనుగొనబడిన సంవర్గమానం యొక్క దోష పరిమితి (పది వేలల్లో వ్యక్తీకరించబడింది), మరియు డి - కనుగొనబడిన సంఖ్య (ఎడమవైపు నుండి 3వ అంకె తర్వాత కామాతో) మధ్య ఉన్న రెండు మూడు అంకెల వరుస సంఖ్యల మాంటిసాల మధ్య వ్యత్యాసం. లక్షణం 2 కానప్పుడు, కానీ మరొకటి కానప్పుడు, కనుగొనబడిన సంఖ్యలో కామాను ఎడమ లేదా కుడికి తరలించవలసి ఉంటుంది, అనగా, సంఖ్యను 10 యొక్క కొంత శక్తితో విభజించండి లేదా గుణించండి. ఈ సందర్భంలో, లోపం ఫలితం కూడా 10 యొక్క అదే శక్తితో భాగించబడుతుంది లేదా గుణించబడుతుంది.
ఉదాహరణకు, మేము లాగరిథమ్ ఉపయోగించి సంఖ్య కోసం చూస్తున్నాము 1,5950 , ఇది 3 పది-వేల వంతుల వరకు ఖచ్చితమైనదిగా గుర్తించబడింది; అంటే అప్పుడు ఎ = 3 . యాంటీలాగరిథమ్‌ల పట్టిక నుండి కనుగొనబడిన ఈ సంవర్గమానానికి సంబంధించిన సంఖ్య 39,36 . ఎడమవైపు నుండి 3వ అంకె తర్వాత కామాను కదిలిస్తే, మనకు సంఖ్య ఉంటుంది 393,6 , మధ్య ఉంటుంది 393 మరియు 394 . లాగరిథమ్‌ల పట్టికల నుండి ఈ రెండు సంఖ్యలకు సంబంధించిన మాంటిసాస్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం 11 పదివేలు; అర్థం డి = 11 . 393.6 సంఖ్య యొక్క లోపం తక్కువగా ఉంటుంది
అంటే నంబర్‌లో లోపం 39,36 తక్కువ ఉంటుంది 0,05 .
285. ప్రతికూల లక్షణాలతో లాగరిథమ్‌లపై కార్యకలాపాలు.లాగరిథమ్లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం వల్ల ఎటువంటి ఇబ్బందులు ఉండవు, ఈ క్రింది ఉదాహరణల నుండి చూడవచ్చు:
సంవర్గమానాన్ని ధనాత్మక సంఖ్యతో గుణించడంలో కూడా ఇబ్బంది లేదు, ఉదాహరణకు:
IN చివరి ఉదాహరణధనాత్మక మాంటిస్సాను విడిగా 34తో గుణించండి ప్రతికూల లక్షణం 34 వద్ద.
ప్రతికూల లక్షణం మరియు సానుకూల మాంటిస్సా యొక్క సంవర్గమానం ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించబడితే, రెండు విధాలుగా కొనసాగండి: ఇవ్వబడిన సంవర్గమానం మొదట ప్రతికూలంగా మార్చబడుతుంది లేదా మాంటిస్సా మరియు లక్షణం విడివిడిగా గుణించబడతాయి మరియు ఫలితాలు కలిసి ఉంటాయి, ఉదాహరణకు :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
విభజించేటప్పుడు, రెండు సందర్భాలు తలెత్తవచ్చు: 1) ప్రతికూల లక్షణం విభజించబడింది మరియు 2) డివైజర్ ద్వారా భాగించబడదు. మొదటి సందర్భంలో, లక్షణం మరియు మాంటిస్సా విడిగా వేరు చేయబడతాయి:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
రెండవ సందర్భంలో, లక్షణానికి చాలా ప్రతికూల యూనిట్లు జోడించబడతాయి, తద్వారా ఫలిత సంఖ్య విభజన ద్వారా విభజించబడుతుంది; మాంటిస్సాకు అదే సంఖ్యలో సానుకూల యూనిట్లు జోడించబడ్డాయి:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
ఈ పరివర్తన మనస్సులో జరగాలి, కాబట్టి చర్య ఇలా ఉంటుంది:
286. తీసివేసిన లాగరిథమ్లను నిబంధనలతో భర్తీ చేయడం.కొన్ని లెక్కించేటప్పుడు సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలాగరిథమ్‌లను ఉపయోగించి మీరు కొన్ని లాగరిథమ్లను జోడించాలి, మరికొన్నింటిని తీసివేయాలి; ఈ సందర్భంలో, చర్యలను చేసే సాధారణ పద్ధతిలో, వారు జోడించిన లాగరిథమ్‌ల మొత్తాన్ని విడిగా కనుగొంటారు, ఆపై తీసివేసిన వాటి మొత్తాన్ని మరియు మొదటి మొత్తం నుండి రెండవ దాన్ని తీసివేయండి. ఉదాహరణకు, మనకు ఉంటే:
లాగ్ X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
అప్పుడు చర్యల యొక్క సాధారణ అమలు ఇలా ఉంటుంది:
అయితే, వ్యవకలనాన్ని అదనంగా భర్తీ చేయడం సాధ్యపడుతుంది. కాబట్టి:
ఇప్పుడు మీరు గణనను ఇలా ఏర్పాటు చేసుకోవచ్చు:
287. లెక్కల ఉదాహరణలు.
ఉదాహరణ 1. వ్యక్తీకరణను అంచనా వేయండి:
ఉంటే A = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127మరియు D = 7.246.
సంవర్గమానం తీసుకుందాం ఈ వ్యక్తీకరణ:
లాగ్ X= 1/3 లాగ్ A + 4 లాగ్ B - 3 లాగ్ C - 1/3 లాగ్ D
ఇప్పుడు, అనవసరమైన సమయ నష్టాన్ని నివారించడానికి మరియు లోపాల సంభావ్యతను తగ్గించడానికి, ముందుగా మేము అన్ని గణనలను ప్రస్తుతానికి అమలు చేయకుండా మరియు అందువల్ల పట్టికలను సూచించకుండా ఏర్పాటు చేస్తాము:
దీని తరువాత, మేము పట్టికలను తీసుకొని మిగిలిన వాటిపై లాగరిథమ్లను ఉంచుతాము ఉచిత స్థలాలు:
లోపం పరిమితి.ముందుగా, సంఖ్య యొక్క దోష పరిమితిని కనుగొనండి x 1 = 194,5 , సమానంగా:
కాబట్టి, మొదట మీరు కనుగొనవలసి ఉంటుంది ఎ , అంటే, సుమారుగా సంవర్గమానం యొక్క లోపం పరిమితి, పదివేల వంతులలో వ్యక్తీకరించబడింది. ఈ సంఖ్యలు అని అనుకుందాం ఎ, బి, సిమరియు డిఅన్నీ ఖచ్చితమైనవి. అప్పుడు వ్యక్తిగత లాగరిథమ్‌లలో లోపాలు క్రింది విధంగా ఉంటాయి (పది వేలల్లో):
వి logA.......... 1 / 2
వి 1/3 లాగ్ A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 జోడించబడింది ఎందుకంటే 1.9146 యొక్క 3 లాగరిథమ్‌లతో భాగించినప్పుడు, మేము దాని 5వ అంకెను విస్మరించడం ద్వారా గుణకాన్ని చుట్టుముట్టాము మరియు అందువల్ల, మరింత చిన్న పొరపాటు చేసాము 1 / 2 పదివేలు).
ఇప్పుడు మనం లాగరిథమ్ యొక్క దోష పరిమితిని కనుగొంటాము:
ఎ = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (పది వేలు).
మనం ఇంకా నిర్వచిద్దాం డి . ఎందుకంటే x 1 = 194,5 , తర్వాత 2 పూర్ణాంకాలు వరుస సంఖ్యలు, దీని మధ్య ఉంటుంది x 1 రెడీ 194 మరియు 195 . టేబుల్ తేడా డి ఈ సంఖ్యలకు సంబంధించిన మాంటిస్సాస్ మధ్య సమానం 22 . అంటే సంఖ్య యొక్క దోష పరిమితి x 1 ఉంది:
ఎందుకంటే x = x 1 : 10, ఆపై సంఖ్యలో దోష పరిమితి x సమానం 0,3:10 = 0,03 . అందువలన, మేము కనుగొన్న సంఖ్య 19,45 కంటే తక్కువ ఖచ్చితమైన సంఖ్య నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది 0,03 . మా ఉజ్జాయింపు లోపంతో లేదా అధికంగా కనుగొనబడిందా అనేది మాకు తెలియదు కాబట్టి, మేము దానికి మాత్రమే హామీ ఇవ్వగలము.
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , అనగా
19,48 > X > 19,42 ,
అందువలన, మేము అంగీకరిస్తే X =19,4 , అప్పుడు మేము 0.1 వరకు ఖచ్చితత్వంతో ప్రతికూలతతో ఉజ్జాయింపుని కలిగి ఉంటాము.
ఉదాహరణ 2.లెక్కించు:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
ఎందుకంటే ప్రతికూల సంఖ్యలుసంవర్గమానాలు లేవు, అప్పుడు మనం మొదట కనుగొంటాము:
X" = (2,31) 3 5 √72
కుళ్ళిపోవడం ద్వారా:
లాగ్ X"= 3 లాగ్ 2.31 + 1 / 5 లాగ్72.
గణన తర్వాత ఇది మారుతుంది:
X" = 28,99 ;
అందుచేత,
x = - 28,99 .
ఉదాహరణ 3. లెక్కించు:
మూలం యొక్క సంకేతం c u m m a కాబట్టి, నిరంతర సంవర్గీకరణ ఇక్కడ ఉపయోగించబడదు. అటువంటి సందర్భాలలో, భాగాల ద్వారా సూత్రాన్ని లెక్కించండి.
మొదట మనం కనుగొంటాము ఎన్ = 5 √8 , అప్పుడు ఎన్ 1 = 4 √3 ; అప్పుడు సాధారణ అదనంగా మేము నిర్ణయిస్తాము ఎన్+ ఎన్ 1 , మరియు చివరకు మేము లెక్కిస్తాము 3 √ఎన్+ ఎన్ 1 ; ఇది మారుతుంది:
N=1.514, ఎన్ 1 = 1,316 ; ఎన్+ ఎన్ 1 = 2,830 .
లాగ్ x= లాగ్ 3 √ 2,830 = 1 / 3 లాగ్ 2.830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
అధ్యాయం నాలుగు.
ఘాతాంక మరియు సంవర్గమాన సమీకరణాలు.
288. ఘాతాంక సమీకరణాలు అంటే తెలియని వాటిని ఘాతాంకంలో చేర్చారు, మరియు లాగరిథమిక్- గుర్తు కింద తెలియని వారు ప్రవేశించినవి లాగ్. ఇటువంటి సమీకరణాలు ప్రత్యేక సందర్భాలలో మాత్రమే పరిష్కరించబడతాయి మరియు సంవర్గమానాల లక్షణాలపై ఆధారపడాలి మరియు సంఖ్యలు సమానంగా ఉంటే, వాటి లాగరిథమ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి మరియు దానికి విరుద్ధంగా, లాగరిథమ్‌లు సమానంగా ఉంటే, సంబంధితంగా ఉంటాయి. సంఖ్యలు సమానంగా ఉంటాయి.
ఉదాహరణ 1.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: 2 x = 1024 .
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంవర్గమానం చేద్దాం:
ఉదాహరణ 2.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: a 2x - a x = 1 . పెట్టడం a x = వద్ద , మేము ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:
వై 2 - వద్ద - 1 = 0 ,
ఎందుకంటే 1-√5 < 0 , అప్పుడు చివరి సమీకరణం అసాధ్యం (ఫంక్షన్ a x ఎల్లప్పుడూ సానుకూల సంఖ్య ఉంటుంది), మరియు మొదటిది ఇస్తుంది:
ఉదాహరణ 3.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
లాగ్ ( a + x) + లాగ్ ( b + x) = లాగ్ ( c + x) .
సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
లాగ్[( a + x) (b + x)] = లాగ్ ( c + x) .
లాగరిథమ్‌ల సమానత్వం నుండి, సంఖ్యలు సమానంగా ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించాము:
(a + x) (b + x) = c + x .
ఇది చతుర్భుజ సమీకరణం, దీని పరిష్కారం కష్టం కాదు.
అధ్యాయం ఐదు.
కాంపౌండ్ వడ్డీ, టర్మ్ చెల్లింపులు మరియు టర్మ్ చెల్లింపులు.
289. చక్రవడ్డీపై ప్రాథమిక సమస్య.రాజధాని ఎట్లా మారుతుంది? ఎ రూబిళ్లు, వద్ద పెరుగుదల ఇవ్వబడింది ఆర్ చక్రవడ్డీ, ముగిసిన తర్వాత t సంవత్సరాలు ( t - పూర్ణ సంఖ్య)?
“వడ్డీపై వడ్డీ” అని పిలవబడే వాటిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అంటే మూలధనంపై చెల్లించాల్సిన వడ్డీ డబ్బును పెంచడానికి ప్రతి సంవత్సరం చివరిలో మూలధనానికి కలిపితే మూలధనం చక్రవడ్డీకి చెల్లుతుందని వారు అంటున్నారు. తదుపరి సంవత్సరాలలో ఆసక్తితో.
మూలధనం యొక్క ప్రతి రూబుల్ ఇవ్వబడింది ఆర్ %, ఒక సంవత్సరంలోపు లాభం తెస్తుంది p / 100 రూబుల్, మరియు, అందువలన, 1 సంవత్సరంలో మూలధనం యొక్క ప్రతి రూబుల్ మారుతుంది 1 + p / 100 రూబుల్ (ఉదాహరణకు, మూలధనం ఇచ్చినట్లయితే 5 %, అప్పుడు ఒక సంవత్సరంలో దాని ప్రతి రూబుల్ మారుతుంది 1 + 5 / 100 , అనగా లో 1,05 రూబుల్).
సంక్షిప్తత కోసం, భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది p / 100 ఒక అక్షరంతో, ఉదాహరణకు, ఆర్ , ఒక సంవత్సరంలో మూలధనం యొక్క ప్రతి రూబుల్ మారుతుందని మేము చెప్పగలం 1 + ఆర్ రూబిళ్లు; అందుచేత, ఎ రూబిళ్లు 1 సంవత్సరంలో తిరిగి ఇవ్వబడతాయి ఎ (1 + ఆర్ ) రుద్దు. మరొక సంవత్సరం తర్వాత, అంటే వృద్ధి ప్రారంభం నుండి 2 సంవత్సరాలు, వీటిలో ప్రతి రూబుల్ ఎ (1 + ఆర్ ) రుద్దు. మళ్లీ సంప్రదిస్తాను 1 + ఆర్ రుద్దు.; అంటే రాజధాని అంతా మారిపోతుంది ఎ (1 + ఆర్ ) 2 రుద్దు. అదే విధంగా మూడేళ్ల తర్వాత రాజధాని ఉంటుందని గుర్తించాం ఎ (1 + ఆర్ ) 3 , నాలుగేళ్లలో అది అవుతుంది ఎ (1 + ఆర్ ) 4 ,... సాధారణంగా ద్వారా t సంవత్సరాలు ఉంటే t పూర్ణాంకం, అది మారుతుంది ఎ (1 + ఆర్ ) tరుద్దు. అందువలన, ద్వారా సూచిస్తుంది ఎఅంతిమ రాజధాని, మనకు ఉంటుంది క్రింది సూత్రంచక్రవడ్డీ:
ఎ = ఎ (1 + ఆర్ ) tఎక్కడ ఆర్ = p / 100 .
ఉదాహరణ.వీలు a =2,300 రబ్., p = 4, t=20 సంవత్సరాలు; అప్పుడు సూత్రం ఇస్తుంది:
ఆర్ = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1.04) 20.
లెక్కించేందుకు ఎ, మేము లాగరిథమ్లను ఉపయోగిస్తాము:
లాగ్ a = లాగ్ 2 300 + 20 లాగ్ 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.
A = 5031రూబుల్.
వ్యాఖ్య.ఈ ఉదాహరణలో మనం చేయాల్సి వచ్చింది లాగ్ 1.04ద్వారా గుణిస్తారు 20 . సంఖ్య నుండి 0,0170 సుమారు విలువ ఉంది లాగ్ 1.04వరకు 1 / 2 పది-వెయ్యి భాగం, ఆపై ఈ సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తి ద్వారా 20 ఇది ఖచ్చితంగా వరకు మాత్రమే ఉంటుంది 1 / 2 20, అంటే 10 పది-వేలు = 1 వేల వంతు వరకు. అందువలన మొత్తంగా 3,7017 పదివేల వంతులకే కాదు, వెయ్యేళ్ల సంఖ్యకు కూడా మేము హామీ ఇవ్వలేము. కాబట్టి అటువంటి సందర్భాలలో అది పొందడం సాధ్యమవుతుంది ఎక్కువ ఖచ్చితత్వం, సంఖ్య కోసం ఉత్తమం 1 + ఆర్ లాగరిథమ్లను 4-అంకెలతో కాకుండా తీసుకోండి పెద్ద సంఖ్యలోసంఖ్యలు, ఉదా. 7-అంకెలు. ఈ ప్రయోజనం కోసం, అత్యంత సాధారణ విలువల కోసం 7-అంకెల లాగరిథమ్‌లు వ్రాయబడిన చిన్న పట్టికను మేము ఇక్కడ అందిస్తున్నాము. ఆర్ .
290. ప్రధాన పని అత్యవసర చెల్లింపులు.ఎవరో తీసుకున్నారు ఎ రూబిళ్లు చొప్పున ఆర్ % రుణాన్ని తిరిగి చెల్లించే షరతుతో పాటు, దానిపై చెల్లించాల్సిన వడ్డీతో సహా t సంవత్సరాలు, ప్రతి సంవత్సరం చివరిలో అదే మొత్తాన్ని చెల్లిస్తారు. ఈ మొత్తం ఎంత ఉండాలి?
మొత్తం x , అటువంటి పరిస్థితులలో సంవత్సరానికి చెల్లించే, అత్యవసర చెల్లింపు అంటారు. మనం మళ్ళీ అక్షరం ద్వారా సూచిస్తాము ఆర్ 1 రబ్ నుండి వార్షిక వడ్డీ డబ్బు., అంటే సంఖ్య p / 100 . అప్పుడు మొదటి సంవత్సరం చివరి నాటికి అప్పు ఎ వరకు పెరుగుతుంది ఎ (1 + ఆర్ ), ప్రాథమిక చెల్లింపు X ఇది రూబిళ్లు ఖర్చు అవుతుంది ఎ (1 + ఆర్ )-X .
రెండవ సంవత్సరం చివరి నాటికి, ఈ మొత్తంలో ప్రతి రూబుల్ మళ్లీ మారుతుంది 1 + ఆర్ రూబిళ్లు, అందువలన రుణం ఉంటుంది [ ఎ (1 + ఆర్ )-X ](1 + ఆర్ ) = ఎ (1 + ఆర్ ) 2 - x (1 + ఆర్ ), మరియు చెల్లింపు కోసం x రూబిళ్లు ఉంటుంది: ఎ (1 + ఆర్ ) 2 - x (1 + ఆర్ ) - X . అదే విధంగా 3వ సంవత్సరం ముగిసే నాటికి అప్పులు ఉండేలా చూస్తాం
ఎ (1 + ఆర్ ) 3 - x (1 + ఆర్ ) 2 - x (1 + ఆర్ ) - x ,
మరియు సాధారణంగా మరియు ముగింపు t సంవత్సరం ఇది అవుతుంది:
ఎ (1 + ఆర్ ) t - x (1 + ఆర్ ) t -1 - x (1 + ఆర్ ) t -2 ... - x (1 + ఆర్ ) - x , లేదా
ఎ (1 + ఆర్ ) t - x [ 1 + (1 + ఆర్ ) + (1 + ఆర్ ) 2 + ...+ (1 + ఆర్ ) t -2 + (1 + ఆర్ ) t -1 ]
కుండలీకరణాల్లోని బహుపది పదాల మొత్తాన్ని సూచిస్తుంది రేఖాగణిత పురోగతి; ఇందులో మొదటి సభ్యుడు ఉన్నారు 1 , చివరి ( 1 + ఆర్ ) t -1, మరియు హారం ( 1 + ఆర్ ) రేఖాగణిత పురోగతి (సెక్షన్ 10, అధ్యాయం 3, § 249) నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము కనుగొంటాము:
మరియు తర్వాత అప్పు మొత్తం t -వ చెల్లింపు ఉంటుంది:
సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, అప్పు చివరిలో ఉంది t -వ సంవత్సరం తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి 0 ; అందుకే:
ఎక్కడ
దీన్ని లెక్కించేటప్పుడు అత్యవసర చెల్లింపు సూత్రాలులాగరిథమ్‌లను ఉపయోగించి మనం మొదట సహాయక సంఖ్యను కనుగొనాలి ఎన్ = (1 + ఆర్ ) tసంవర్గమానం ద్వారా: లాగ్ N= tలాగ్(1+ ఆర్) ; కనుగొన్నారు ఎన్, దాని నుండి 1ని తీసివేయండి, అప్పుడు మనకు ఫార్ములా యొక్క హారం వస్తుంది X, దాని తర్వాత మనం ద్వితీయ సంవర్గమానం ద్వారా కనుగొంటాము:
లాగ్ X= చిట్టా a+ లాగ్ N + లాగ్ r - లాగ్ (N - 1).
291. టర్మ్ రచనల కోసం ప్రధాన పని.ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో ఎవరైనా అదే మొత్తాన్ని బ్యాంకులో డిపాజిట్ చేస్తారు. ఎ రుద్దు. ఈ విరాళాల నుండి ఏ మూలధనం ఏర్పడుతుందో నిర్ణయించండి t బ్యాంకు చెల్లిస్తే సంవత్సరాలు ఆర్ చక్రవడ్డీ.
ద్వారా నియమించబడినది ఆర్ 1 రూబుల్ నుండి వార్షిక వడ్డీ డబ్బు, అనగా. p / 100 , మేము ఇలా తర్కించాము: మొదటి సంవత్సరం చివరి నాటికి రాజధాని ఉంటుంది ఎ (1 + ఆర్ );
2వ సంవత్సరం ప్రారంభంలో ఈ మొత్తానికి జోడించబడుతుంది ఎ రూబిళ్లు; దీని అర్థం ఈ సమయంలో రాజధాని ఉంటుంది ఎ (1 + ఆర్ ) + a . 2వ సంవత్సరం చివరి నాటికి అతను అవుతాడు ఎ (1 + ఆర్ ) 2 + ఎ (1 + ఆర్ );
3వ సంవత్సరం ప్రారంభంలో అది మళ్లీ నమోదు చేయబడుతుంది ఎ రూబిళ్లు; దీని అర్థం ఈ సమయంలో రాజధాని ఉంటుంది ఎ (1 + ఆర్ ) 2 + ఎ (1 + ఆర్ ) + ఎ ; 3వ తేదీ చివరి నాటికి అతను ఉంటాడు ఎ (1 + ఆర్ ) 3 + ఎ (1 + ఆర్ ) 2 + ఎ (1 + ఆర్ ) ఈ వాదనలను మరింత కొనసాగిస్తూ, చివరికి మేము దానిని కనుగొంటాము t సంవత్సరం అవసరమైన మూలధనం ఎఉంటుంది:
ఇది ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో చేసే టర్మ్ కంట్రిబ్యూషన్‌ల ఫార్ములా.
అదే సూత్రాన్ని క్రింది తార్కికం ద్వారా పొందవచ్చు: డౌన్ చెల్లింపు ఎ బ్యాంకులో ఉన్నప్పుడు రూబిళ్లు t సంవత్సరాలు, చక్రవడ్డీ సూత్రం ప్రకారం మారుతుంది ఎ (1 + ఆర్ ) tరుద్దు. రెండవ విడత, ఒక సంవత్సరం తక్కువ బ్యాంకులో ఉండటం, అనగా. t - 1 సంవత్సరాల వయస్సు, సంప్రదించండి ఎ (1 + ఆర్ ) t- 1రుద్దు. అదేవిధంగా మూడో విడత కూడా ఇస్తారు ఎ (1 + ఆర్ ) t-2మొదలైనవి, మరియు చివరిగా, కేవలం 1 సంవత్సరం మాత్రమే బ్యాంకులో ఉన్నందున, చివరి వాయిదాకు వెళ్తుంది ఎ (1 + ఆర్ ) రుద్దు. దీని అర్థం చివరి రాజధాని ఎరుద్దు. ఉంటుంది:
ఎ= ఎ (1 + ఆర్ ) t + ఎ (1 + ఆర్ ) t- 1 + ఎ (1 + ఆర్ ) t-2 + . . . + ఎ (1 + ఆర్ ),
ఇది, సరళీకరణ తర్వాత, పైన కనుగొనబడిన సూత్రాన్ని ఇస్తుంది.
ఈ ఫార్ములా యొక్క లాగరిథమ్లను ఉపయోగించి గణిస్తున్నప్పుడు, మీరు అత్యవసర చెల్లింపుల కోసం సూత్రాన్ని లెక్కించేటప్పుడు అదే విధంగా కొనసాగాలి, అనగా, ముందుగా సంఖ్య N = ( 1 + ఆర్ ) tదాని సంవర్గమానం ద్వారా: లాగ్ N= tలాగ్(1 + ఆర్ ), తర్వాత సంఖ్య N- 1ఆపై సూత్రం యొక్క సంవర్గమానాన్ని తీసుకోండి:
లాగ్ A = లాగ్ a+లాగ్(1+ ఆర్) + లాగ్ (N - 1) - 1ogఆర్
వ్యాఖ్య.అత్యవసర సహకారం ఉంటే ఎ రుద్దు. ప్రారంభంలో కాదు, కానీ ప్రతి సంవత్సరం చివరిలో (ఉదాహరణకు, అత్యవసర చెల్లింపు చేయబడుతుంది X రుణాన్ని చెల్లించడానికి), ఆపై, మునుపటి మాదిరిగానే తర్కించడం, చివరికి మేము దానిని కనుగొంటాము t సంవత్సరం అవసరమైన మూలధనం ఎ"రుద్దు. ఉంటుంది (చివరి విడతతో సహా ఎ రుద్దు., వడ్డీని భరించడం లేదు):
ఎ"= ఎ (1 + ఆర్ ) t- 1 + ఎ (1 + ఆర్ ) t-2 + . . . + ఎ (1 + ఆర్ ) + ఎ
ఇది సమానం:
అనగా ఎ"ముగుస్తుంది ( 1 + ఆర్ ) రెట్లు తక్కువ ఎ, ఇది ఊహించినది, రాజధాని యొక్క ప్రతి రూబుల్ నుండి ఎ"మూలధనం యొక్క సంబంధిత రూబుల్ కంటే తక్కువ సంవత్సరానికి బ్యాంకులో ఉంది ఎ.