సంఖ్య a యొక్క పూర్ణాంక ఘాతాంకాల నుండి, హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలకు పరివర్తన స్వయంగా సూచిస్తుంది. క్రింద మేము హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీని నిర్వచిస్తాము మరియు పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క అన్ని లక్షణాలు సంరక్షించబడే విధంగా మేము దీన్ని చేస్తాము. పూర్ణాంకాలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలలో భాగం కాబట్టి ఇది అవసరం.

హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితి పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు ప్రతి భిన్నాన్ని సానుకూల లేదా ప్రతికూల సాధారణ భిన్నం వలె సూచించవచ్చు. మేము మునుపటి పేరాలో పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని నిర్వచించాము, కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని పూర్తి చేయడానికి, మేము సంఖ్య యొక్క డిగ్రీకి అర్థం ఇవ్వాలి aపాక్షిక సూచికతో m/n, ఎక్కడ mపూర్ణాంకం, మరియు n- సహజ. మనం చేద్దాం.

ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని పరిశీలిద్దాం . పవర్-టు-పవర్ ఆస్తి చెల్లుబాటులో ఉండాలంటే, సమానత్వం తప్పనిసరిగా ఉండాలి . మేము ఫలిత సమానత్వాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే మరియు మేము డిగ్రీ యొక్క n వ మూలాన్ని ఎలా నిర్ణయించాము, అప్పుడు అందించిన వాటిని అంగీకరించడం తార్కికంగా ఉంటుంది m, nమరియు aవ్యక్తీకరణ అర్ధమే.

పూర్ణాంక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ యొక్క అన్ని లక్షణాలకు చెల్లుబాటు అయ్యేలా తనిఖీ చేయడం సులభం (ఇది హేతుబద్ధ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క విభాగం లక్షణాలలో జరిగింది).

పై తార్కికం కింది వాటిని చేయడానికి మాకు అనుమతిస్తుంది ముగింపు: డేటా ఇచ్చినట్లయితే m, nమరియు aవ్యక్తీకరణ అర్ధమే, అప్పుడు సంఖ్య యొక్క శక్తి aపాక్షిక సూచికతో m/nరూట్ అని nయొక్క డిగ్రీ aఒక డిగ్రీ వరకు m.

ఈ ప్రకటన ఫ్రాక్షనల్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. దేని గురించి వివరించడమే మిగిలి ఉంది m, nమరియు aవ్యక్తీకరణ అర్ధమే. విధించిన ఆంక్షలను బట్టి m, nమరియు aరెండు ప్రధాన విధానాలు ఉన్నాయి.

1. పరిమితి విధించడం సులభమయిన మార్గం a, అంగీకరించిన తరువాత a≥0సానుకూల కోసం mమరియు a>0ప్రతికూల కోసం m(ఎప్పట్నుంచి m≤0డిగ్రీ 0 మీనిర్ధారించలేదు). అప్పుడు మనం పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీకి క్రింది నిర్వచనాన్ని పొందుతాము.

నిర్వచనం.

సానుకూల సంఖ్య యొక్క శక్తి aపాక్షిక సూచికతో m/n , ఎక్కడ m- మొత్తం, మరియు n- సహజ సంఖ్య, రూట్ అని పిలుస్తారు nసంఖ్య యొక్క -వ aఒక డిగ్రీ వరకు m, అంటే, .

సున్నా యొక్క పాక్షిక శక్తి కూడా సూచిక సానుకూలంగా ఉండాలనే ఏకైక హెచ్చరికతో నిర్ణయించబడుతుంది.

నిర్వచనం.

పాక్షిక సానుకూల ఘాతాంకంతో సున్నా యొక్క శక్తి m/n , ఎక్కడ mధన పూర్ణాంకం, మరియు n- సహజ సంఖ్య, ఇలా నిర్వచించబడింది .
డిగ్రీ నిర్ణయించబడనప్పుడు, అంటే, పాక్షిక ప్రతికూల ఘాతాంకంతో సున్నా సంఖ్య యొక్క డిగ్రీ అర్ధవంతం కాదు.

పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క ఈ నిర్వచనంతో, ఒక మినహాయింపు ఉందని గమనించాలి: కొంత ప్రతికూలత కోసం aఇంకా కొన్ని mమరియు nవ్యక్తీకరణ అర్థవంతంగా ఉంది, కానీ మేము పరిస్థితిని పరిచయం చేయడం ద్వారా ఈ కేసులను విస్మరించాము a≥0. ఉదాహరణకు, ఎంట్రీలు అర్ధవంతంగా ఉంటాయి లేదా , మరియు పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక ఘాతాంకంతో శక్తులు అని చెప్పడానికి మనల్ని బలవంతం చేస్తుంది అర్థం లేదు, ఎందుకంటే ఆధారం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు.

2. పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని నిర్ణయించడానికి మరొక విధానం m/nమూలం యొక్క సరి మరియు బేసి ఘాతాంకాలను విడిగా పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. ఈ విధానానికి అదనపు షరతు అవసరం: సంఖ్య యొక్క శక్తి a, ఘాతాంకం తగ్గించదగిన సాధారణ భిన్నం, సంఖ్య యొక్క శక్తిగా పరిగణించబడుతుంది a, దీని సూచిక సంబంధిత తగ్గించలేని భిన్నం (ఈ పరిస్థితి యొక్క ప్రాముఖ్యత క్రింద వివరించబడుతుంది). అంటే, ఉంటే m/nఅనేది తగ్గించలేని భిన్నం, తర్వాత ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు కెడిగ్రీని ప్రాథమికంగా భర్తీ చేస్తారు.

సరి కోసం nమరియు పాజిటివ్ mవ్యక్తీకరణ ఏదైనా ప్రతికూలమైనదానికి అర్ధమే a(ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క సరి మూలానికి అర్థం లేదు), ప్రతికూలానికి mసంఖ్య aఇప్పటికీ సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉండాలి (లేకపోతే సున్నా ద్వారా భాగహారం ఉంటుంది). మరియు బేసి కోసం nమరియు పాజిటివ్ mసంఖ్య aఏదైనా కావచ్చు (ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యకు బేసి మూలం నిర్వచించబడుతుంది), మరియు ప్రతికూలత కోసం mసంఖ్య aతప్పనిసరిగా సున్నా కానిదిగా ఉండాలి (తద్వారా సున్నా ద్వారా విభజన ఉండదు).

పై తార్కికం పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీకి ఈ నిర్వచనానికి దారి తీస్తుంది.

నిర్వచనం.

వీలు m/n- తగ్గించలేని భిన్నం, m- మొత్తం, మరియు n- సహజ సంఖ్య. ఏదైనా తగ్గించగల భిన్నం కోసం, డిగ్రీ భర్తీ చేయబడుతుంది. యొక్క డిగ్రీ aతగ్గించలేని పాక్షిక ఘాతాంకంతో m/n- ఇది కోసం

ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య a, మొత్తం పాజిటివ్ mమరియు బేసి సహజ n, ఉదాహరణకి, ;

o ఏదైనా సున్నా కాని వాస్తవ సంఖ్య a, ప్రతికూల పూర్ణాంకం mమరియు బేసి n, ఉదాహరణకి, ;

o ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య a, మొత్తం పాజిటివ్ mమరియు కూడా n, ఉదాహరణకి, ;

ఓ ఏదైనా పాజిటివ్ a, ప్రతికూల పూర్ణాంకం mమరియు కూడా n, ఉదాహరణకి, ;

o ఇతర సందర్భాల్లో, పాక్షిక సూచికతో డిగ్రీ నిర్ణయించబడదు, ఉదాహరణకు డిగ్రీలు నిర్వచించబడలేదు .a మేము ఎంట్రీకి ఎటువంటి అర్థాన్ని జోడించము; మేము సానుకూల భిన్న ఘాతాంకాలకు సున్నా సంఖ్య యొక్క శక్తిని నిర్వచించాము m/nఎలా , ప్రతికూల పాక్షిక ఘాతాంకాలకు సున్నా సంఖ్య యొక్క శక్తి నిర్ణయించబడదు.

ఈ పాయింట్ ముగింపులో, పాక్షిక ఘాతాంకాన్ని దశాంశ భిన్నం లేదా మిశ్రమ సంఖ్యగా వ్రాయవచ్చు అనే వాస్తవాన్ని దృష్టిలో ఉంచుకుందాం, ఉదాహరణకు, . ఈ రకమైన వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించడానికి, మీరు ఘాతాంకాన్ని సాధారణ భిన్నం రూపంలో వ్రాయాలి, ఆపై ఘాతాంకం యొక్క నిర్వచనాన్ని పాక్షిక ఘాతాంకంతో ఉపయోగించండి. పైన పేర్కొన్న ఉదాహరణల కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము మరియు

వీడియో పాఠం "ఒక హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఘాతాంకం" ఈ అంశంపై పాఠం బోధించడానికి దృశ్యమాన విద్యా విషయాలను కలిగి ఉంది. వీడియో పాఠంలో హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ భావన, అటువంటి డిగ్రీల లక్షణాలు, అలాగే ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి విద్యా సామగ్రిని ఉపయోగించడాన్ని వివరించే ఉదాహరణలు ఉన్నాయి. ఈ వీడియో పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం విద్యా విషయాలను స్పష్టంగా మరియు స్పష్టంగా ప్రదర్శించడం, విద్యార్థులచే దాని అభివృద్ధి మరియు జ్ఞాపకశక్తిని సులభతరం చేయడం మరియు నేర్చుకున్న భావనలను ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం.

వీడియో పాఠం యొక్క ప్రధాన ప్రయోజనాలు దృశ్యమానంగా రూపాంతరాలు మరియు గణనలను నిర్వహించగల సామర్థ్యం, ​​అభ్యాస సామర్థ్యాన్ని మెరుగుపరచడానికి యానిమేషన్ ప్రభావాలను ఉపయోగించగల సామర్థ్యం. వాయిస్ సహవాయిద్యం సరైన గణిత ప్రసంగాన్ని అభివృద్ధి చేయడంలో సహాయపడుతుంది మరియు ఉపాధ్యాయుని వివరణను భర్తీ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, వ్యక్తిగత పనిని నిర్వహించడానికి అతన్ని ఖాళీ చేస్తుంది.

అంశాన్ని పరిచయం చేయడం ద్వారా వీడియో పాఠం ప్రారంభమవుతుంది. మునుపు అధ్యయనం చేసిన మెటీరియల్‌తో కొత్త టాపిక్ యొక్క అధ్యయనాన్ని కనెక్ట్ చేస్తున్నప్పుడు, n √a సహజమైన n కోసం 1/n మరియు పాజిటివ్ a కోసం సూచించబడుతుందని గుర్తుంచుకోవాలని సూచించబడింది. ఈ n-రూట్ ప్రాతినిధ్యం స్క్రీన్‌పై ప్రదర్శించబడుతుంది. తరువాత, m/n అనే వ్యక్తీకరణకు అర్థం ఏమిటో పరిగణించాలని మేము ప్రతిపాదించాము, దీనిలో a అనేది సానుకూల సంఖ్య మరియు m/n ఒక భిన్నం. m/n = n √a mగా హేతుబద్ధ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం ఫ్రేమ్‌లో హైలైట్ చేయబడింది. n అనేది సహజ సంఖ్య కావచ్చు మరియు m అనేది పూర్ణాంకం కావచ్చు.

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీని నిర్వచించిన తర్వాత, దాని అర్థం ఉదాహరణల ద్వారా తెలుస్తుంది: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. ఇది ఒక దశాంశం ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహించే శక్తిని మూలంగా సూచించడానికి భిన్నానికి మార్చబడిన ఉదాహరణను కూడా చూపుతుంది: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 మరియు ప్రతికూల శక్తితో ఒక ఉదాహరణ: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

డిగ్రీ యొక్క ఆధారం సున్నా అయినప్పుడు ప్రత్యేక సందర్భం యొక్క విశిష్టత విడిగా సూచించబడుతుంది. ఈ డిగ్రీ సానుకూల పాక్షిక ఘాతాంకంతో మాత్రమే అర్ధవంతంగా ఉంటుందని గుర్తించబడింది. ఈ సందర్భంలో, దాని విలువ సున్నా: 0 m/n =0.

హేతుబద్ధ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ యొక్క మరొక లక్షణం గుర్తించబడింది - పాక్షిక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీని పాక్షిక ఘాతాంకంతో పరిగణించలేము. డిగ్రీ యొక్క తప్పు సంజ్ఞామానం యొక్క ఉదాహరణలు ఇవ్వబడ్డాయి: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

వీడియో పాఠంలో తదుపరి మేము హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను చర్చిస్తాము. పూర్ణాంక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీకి కూడా చెల్లుబాటు అవుతాయని గుర్తించబడింది. ఈ సందర్భంలో కూడా చెల్లుబాటు అయ్యే లక్షణాల జాబితాను రీకాల్ చేయాలని ప్రతిపాదించబడింది:

1. అదే స్థావరాలతో శక్తులను గుణించినప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి: a p a q =a p+q.
2. ఒకే బేస్‌లతో డిగ్రీల విభజన ఇచ్చిన బేస్‌తో డిగ్రీకి తగ్గించబడుతుంది మరియు ఘాతాంకాలలో వ్యత్యాసం: a p:a q =a p-q.
3. మేము డిగ్రీని ఒక నిర్దిష్ట శక్తికి పెంచినట్లయితే, మేము ఇచ్చిన బేస్ మరియు ఘాతాకాల ఉత్పత్తితో డిగ్రీని ముగించాము: (a p) q =a pq.

ఈ లక్షణాలన్నీ హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలు p, q మరియు పాజిటివ్ బేస్ a>0 ఉన్న శక్తులకు చెల్లుతాయి. అలాగే, కుండలీకరణాలను తెరిచేటప్పుడు డిగ్రీ పరివర్తనాలు నిజమైనవి:

1. (ab) p =a p b p - హేతుబద్ధ ఘాతాంకంతో కొంత శక్తిని పెంచడం వలన రెండు సంఖ్యల ఉత్పత్తి సంఖ్యల ఉత్పత్తికి తగ్గించబడుతుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఇచ్చిన శక్తికి పెంచబడుతుంది.
2. (a/b) p =a p /b p - హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ఉన్న శక్తికి భిన్నాన్ని పెంచడం, లవం మరియు హారం ఇచ్చిన శక్తికి పెంచబడిన భిన్నానికి తగ్గించబడుతుంది.

వీడియో ట్యుటోరియల్ హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో అధికారాల యొక్క పరిగణించబడిన లక్షణాలను ఉపయోగించే పరిష్కార ఉదాహరణలను చర్చిస్తుంది. ఫ్రాక్షనల్ పవర్‌లో x వేరియబుల్స్ ఉన్న ఎక్స్‌ప్రెషన్ విలువను కనుగొనమని మొదటి ఉదాహరణ మిమ్మల్ని అడుగుతుంది: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). వ్యక్తీకరణ యొక్క సంక్లిష్టత ఉన్నప్పటికీ, శక్తుల లక్షణాలను ఉపయోగించి ఇది చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది. సమస్యను పరిష్కరించడం అనేది వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడంతో ప్రారంభమవుతుంది, ఇది శక్తికి హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తిని పెంచే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తుంది, అలాగే అదే ఆధారంతో శక్తులను గుణించడం. అందించిన విలువ x=8ని సరళీకృత వ్యక్తీకరణ x 1/3 +48కి ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తర్వాత, విలువను పొందడం సులభం - 50.

రెండవ ఉదాహరణలో, మీరు లవం మరియు హారం హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో అధికారాలను కలిగి ఉన్న భిన్నాన్ని తగ్గించాలి. డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము వ్యత్యాసం నుండి కారకం x 1/3ని సంగ్రహిస్తాము, అది లవం మరియు హారంలో తగ్గించబడుతుంది మరియు స్క్వేర్‌ల తేడా కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, లవం కారకం చేయబడింది, ఇది ఒకేలా మరింత తగ్గింపులను ఇస్తుంది న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని కారకాలు. అటువంటి రూపాంతరాల ఫలితం చిన్న భిన్నం x 1/4 +3.

ఉపాధ్యాయుడు కొత్త పాఠ్యాంశాన్ని వివరించే బదులు "హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఘాతాంకం" అనే వీడియో పాఠాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. ఈ మాన్యువల్‌లో విద్యార్థి స్వతంత్రంగా చదువుకోవడానికి కావలసినంత పూర్తి సమాచారం కూడా ఉంది. మెటీరియల్ దూరవిద్యకు కూడా ఉపయోగపడుతుంది.

MBOU "సిడోర్స్కాయ"

సమగ్ర పాఠశాల"

బహిరంగ పాఠ్య ప్రణాళిక అభివృద్ధి

అంశంపై 11వ తరగతిలో బీజగణితంలో:

సిద్ధం చేసి చేపట్టారు

గణిత ఉపాధ్యాయుడు

ఇస్ఖాకోవా E.F.

11వ తరగతిలో బీజగణితంలో బహిరంగ పాఠం యొక్క రూపురేఖలు.

విషయం : "హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఒక డిగ్రీ."

పాఠం రకం : కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం

పాఠం లక్ష్యాలు:

గతంలో అధ్యయనం చేసిన మెటీరియల్ (పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ) ఆధారంగా హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం మరియు దాని ప్రాథమిక లక్షణాలతో డిగ్రీ భావనను విద్యార్థులకు పరిచయం చేయండి.

గణన నైపుణ్యాలు మరియు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో సంఖ్యలను మార్చే మరియు సరిపోల్చగల సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి.

విద్యార్థులలో గణిత అక్షరాస్యత మరియు గణిత ఆసక్తిని పెంపొందించడం.

పరికరాలు : టాస్క్ కార్డ్‌లు, పూర్ణాంక సూచికతో డిగ్రీ వారీగా విద్యార్థి ప్రదర్శన, హేతుబద్ధ సూచికతో డిగ్రీ ద్వారా ఉపాధ్యాయుల ప్రదర్శన, ల్యాప్‌టాప్, మల్టీమీడియా ప్రొజెక్టర్, స్క్రీన్.

తరగతుల సమయంలో:

ఆర్గనైజింగ్ సమయం.

వ్యక్తిగత టాస్క్ కార్డ్‌లను ఉపయోగించి కవర్ చేయబడిన అంశం యొక్క నైపుణ్యాన్ని తనిఖీ చేస్తోంది.

పని సంఖ్య 1.

=2;

బి) =x + 5;

అహేతుక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

పని సంఖ్య 2.

అహేతుక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: = - 3;

బి) = x - 2;

అహేతుక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

పాఠం యొక్క అంశం మరియు లక్ష్యాలను తెలియజేయండి.

ఈ రోజు మా పాఠం యొక్క అంశం " హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి».

గతంలో అధ్యయనం చేసిన మెటీరియల్ ఉదాహరణను ఉపయోగించి కొత్త మెటీరియల్ యొక్క వివరణ.

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ భావన మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉంటుంది. వారిని గుర్తుంచుకోవడానికి నాకు ఎవరు సహాయం చేస్తారు?

ప్రదర్శనను ఉపయోగించి పునరావృతం " పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ».

ఏదైనా సంఖ్యల కోసం a, b మరియు ఏదైనా పూర్ణాంకాలు m మరియు n సమానతలు చెల్లుబాటులో ఉంటాయి:

a m * a n =a m+n;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1(a ≠ 0)

ఈ రోజు మనం సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క భావనను సాధారణీకరిస్తాము మరియు పాక్షిక ఘాతాంకాన్ని కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలకు అర్థాన్ని ఇస్తాము. పరిచయం చేద్దాం నిర్వచనంహేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీలు (ప్రెజెంటేషన్ “రేషనల్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ”):

A యొక్క శక్తి > హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో 0 ఆర్ = , ఎక్కడ m పూర్ణాంకం, మరియు n - సహజ ( n > 1), నంబర్‌కు కాల్ చేసారు m .

కాబట్టి, నిర్వచనం ప్రకారం మేము దానిని పొందుతాము = m .

ఒక పనిని పూర్తి చేసేటప్పుడు ఈ నిర్వచనాన్ని వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

ఉదాహరణ నం. 1

నేను వ్యక్తీకరణను సంఖ్య యొక్క మూలంగా ప్రదర్శిస్తాను:

ఎ) బి) IN) .

ఇప్పుడు ఈ నిర్వచనాన్ని రివర్స్‌లో వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం

II వ్యక్తీకరణను హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తిగా వ్యక్తపరచండి:

ఎ) 2 బి) IN) 5 .

0 యొక్క శక్తి సానుకూల ఘాతాంకాలకు మాత్రమే నిర్వచించబడింది.

0 ఆర్దేనికైనా = 0 ఆర్> 0.

ఈ నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, ఇళ్ళుమీరు #428 మరియు #429ని పూర్తి చేస్తారు.

పైన రూపొందించిన హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనంతో, డిగ్రీల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు భద్రపరచబడతాయి, ఇవి ఏవైనా ఘాతాంకాలకు నిజమైనవి అని ఇప్పుడు చూపిద్దాం.

ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్యలు r మరియు s మరియు ఏదైనా ధనాత్మక a మరియు b కోసం, క్రింది సమానతలు కలిగి ఉంటాయి:

1 0 . a ఆర్ a లు = ఎ r+s ;

ఉదాహరణ: *

20 . a r: a s =a r-s ;

ఉదాహరణ: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

ఉదాహరణ: ( -2/3

4 0 . ( ab) ఆర్ = a ఆర్ బి ఆర్ ; 5 0 . ( = .

ఉదాహరణ: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ఒకేసారి అనేక లక్షణాలను ఉపయోగించడం యొక్క ఉదాహరణ: * : .

శారీరక విద్య నిమిషం.

మేము పెన్నులను డెస్క్ మీద ఉంచాము, వెనుకభాగాలను నిఠారుగా ఉంచాము మరియు ఇప్పుడు మేము ముందుకు చేరుకుంటాము, మేము బోర్డుని తాకాలనుకుంటున్నాము. ఇప్పుడు మేము దానిని పెంచాము మరియు కుడి, ఎడమ, ముందుకు, వెనుకకు వంగి ఉన్నాము. మీరు మీ చేతులను నాకు చూపించారు, ఇప్పుడు మీ వేళ్లు ఎలా డ్యాన్స్ చేయవచ్చో నాకు చూపించండి.

పదార్థంపై పని చేస్తోంది

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో శక్తుల యొక్క మరో రెండు లక్షణాలను మనం గమనించండి:

6 0 . వీలు r అనేది హేతుబద్ధ సంఖ్య మరియు 0< a < b . Тогда

a ఆర్ < b ఆర్వద్ద ఆర్> 0,

a ఆర్ < b ఆర్వద్ద ఆర్< 0.

7 0 . ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్యల కోసంఆర్మరియు లుఅసమానత నుండి ఆర్> లుదానిని అనుసరిస్తుంది

a ఆర్> ఎ ఆర్ఒక > 1 కోసం,

a ఆర్ < а ఆర్ 0 వద్ద< а < 1.

ఉదాహరణ: సంఖ్యలను సరిపోల్చండి:

మరియు ; 2 300 మరియు 3 200 .

పాఠం సారాంశం:

ఈ రోజు పాఠంలో మేము పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను గుర్తుచేసుకున్నాము, హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం మరియు ప్రాథమిక లక్షణాలను నేర్చుకున్నాము మరియు వ్యాయామాలు చేసేటప్పుడు ఆచరణలో ఈ సైద్ధాంతిక పదార్థం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలించాము. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ టాస్క్‌లలో "రేషనల్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ" అనే అంశం తప్పనిసరి అని నేను మీ దృష్టిని ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను. హోంవర్క్ సిద్ధం చేస్తున్నప్పుడు (నం. 428 మరియు నం. 429

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి

ఖస్యనోవా T.G.,

గణిత ఉపాధ్యాయుడు

"ఒక హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఘాతాంకం" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేసేటప్పుడు సమర్పించిన మెటీరియల్ గణిత ఉపాధ్యాయులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

సమర్పించబడిన మెటీరియల్ యొక్క ఉద్దేశ్యం: "గణితం" అనే క్రమశిక్షణ యొక్క పని కార్యక్రమం యొక్క "రేషనల్ ఎక్స్పోనెంట్తో డిగ్రీ" అనే అంశంపై పాఠాన్ని నిర్వహించే నా అనుభవాన్ని బహిర్గతం చేయడం.

పాఠాన్ని నిర్వహించే పద్దతి దాని రకానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది - కొత్త జ్ఞానాన్ని అధ్యయనం చేయడం మరియు ప్రారంభంలో ఏకీకృతం చేయడంలో పాఠం. మునుపు పొందిన అనుభవం ఆధారంగా ప్రాథమిక జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాలు నవీకరించబడ్డాయి; ప్రాథమిక జ్ఞాపకం, ఏకీకరణ మరియు కొత్త సమాచారం యొక్క అప్లికేషన్. కొత్త మెటీరియల్ యొక్క కన్సాలిడేషన్ మరియు అప్లికేషన్ సమస్యలను పరిష్కరించే రూపంలో జరిగింది, నేను విభిన్న సంక్లిష్టతను పరీక్షించాను, ఇది టాపిక్‌పై పట్టు సాధించడంలో సానుకూల ఫలితాన్ని ఇస్తుంది.

పాఠం ప్రారంభంలో, నేను విద్యార్థుల కోసం ఈ క్రింది లక్ష్యాలను నిర్దేశించాను: విద్యా, అభివృద్ధి, విద్యా. పాఠం సమయంలో నేను వివిధ కార్యకలాపాల పద్ధతులను ఉపయోగించాను: ఫ్రంటల్, వ్యక్తిగత, జత, స్వతంత్ర, పరీక్ష. పనులు వేరు చేయబడ్డాయి మరియు పాఠం యొక్క ప్రతి దశలో, జ్ఞాన సముపార్జన స్థాయిని గుర్తించడం సాధ్యమైంది. పనుల వాల్యూమ్ మరియు సంక్లిష్టత విద్యార్థుల వయస్సు లక్షణాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. నా అనుభవం నుండి, ఇంటి పని, తరగతి గదిలో పరిష్కరించబడిన సమస్యల మాదిరిగానే, మీరు పొందిన జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాలను విశ్వసనీయంగా ఏకీకృతం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. పాఠం ముగింపులో, ప్రతిబింబం నిర్వహించబడింది మరియు వ్యక్తిగత విద్యార్థుల పని అంచనా వేయబడింది.

లక్ష్యాలను సాధించారు. విద్యార్థులు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క భావన మరియు లక్షణాలను అధ్యయనం చేశారు మరియు ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ లక్షణాలను ఉపయోగించడం నేర్చుకున్నారు. స్వతంత్ర పని కోసం, తదుపరి పాఠంలో గ్రేడ్‌లు ప్రకటించబడతాయి.

గణితాన్ని బోధించడానికి నేను ఉపయోగించే పద్దతిని గణిత ఉపాధ్యాయులు ఉపయోగించవచ్చని నేను నమ్ముతున్నాను.

పాఠం అంశం: హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:

జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాల సముదాయంలో విద్యార్థుల నైపుణ్యం స్థాయిని గుర్తించడం మరియు దాని ఆధారంగా, విద్యా ప్రక్రియను మెరుగుపరచడానికి కొన్ని పరిష్కారాలను వర్తింపజేయడం.

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

విద్యాపరమైన:ప్రాథమిక భావనలు, నియమాలు, హేతుబద్ధమైన సూచికతో డిగ్రీలను నిర్ణయించే చట్టాలు, ప్రామాణిక పరిస్థితులలో, సవరించిన మరియు ప్రామాణికం కాని పరిస్థితులలో స్వతంత్రంగా జ్ఞానాన్ని వర్తింపజేయగల సామర్థ్యం విద్యార్థులలో కొత్త జ్ఞానాన్ని రూపొందించడానికి;

అభివృద్ధి చెందుతున్న:తార్కికంగా ఆలోచించండి మరియు సృజనాత్మక సామర్థ్యాలను గ్రహించండి;

పెంచడం:గణితంలో ఆసక్తిని పెంపొందించుకోండి, మీ పదజాలాన్ని కొత్త నిబంధనలతో నింపండి మరియు మీ చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచం గురించి అదనపు సమాచారాన్ని పొందండి. సహనం, పట్టుదల మరియు కష్టాలను అధిగమించే సామర్థ్యాన్ని పెంపొందించుకోండి.

ఆర్గనైజింగ్ సమయం

సూచన పరిజ్ఞానం యొక్క నవీకరణ

అదే స్థావరాలతో శక్తులను గుణించినప్పుడు, ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి, కానీ ఆధారం అలాగే ఉంటుంది:

ఉదాహరణకి,

2. అదే స్థావరాలతో డిగ్రీలను విభజించినప్పుడు, డిగ్రీల ఘాతాంకాలు తీసివేయబడతాయి, కానీ ఆధారం అలాగే ఉంటుంది:

ఉదాహరణకి,

3. డిగ్రీని శక్తికి పెంచేటప్పుడు, ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి, కానీ ఆధారం అలాగే ఉంటుంది:

ఉదాహరణకి,

4. ఉత్పత్తి యొక్క డిగ్రీ కారకాల యొక్క డిగ్రీల ఉత్పత్తికి సమానం:

ఉదాహరణకి,

5. భాగము యొక్క డిగ్రీ డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క డిగ్రీల భాగానికి సమానం:

ఉదాహరణకి,

పరిష్కారాలతో వ్యాయామాలు

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

పరిష్కారం:

ఈ సందర్భంలో, అన్ని డిగ్రీలు వేర్వేరు స్థావరాలు కలిగి ఉన్నందున, సహజ ఘాతాంకం కలిగిన డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలు ఏవీ స్పష్టంగా వర్తించవు. కొన్ని శక్తులను వేరే రూపంలో వ్రాద్దాం:

(ఉత్పత్తి యొక్క డిగ్రీ కారకాల యొక్క డిగ్రీల ఉత్పత్తికి సమానం);

(అదే స్థావరాలతో శక్తులను గుణించినప్పుడు, ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి, కానీ ఆధారం అలాగే ఉంటుంది; శక్తికి డిగ్రీని పెంచినప్పుడు, ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి, కానీ ఆధారం అలాగే ఉంటుంది).

అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

ఈ ఉదాహరణలో, సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క మొదటి నాలుగు లక్షణాలు ఉపయోగించబడ్డాయి.

అంకగణిత వర్గమూలం
అనేది నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య, దీని వర్గానికి సమానంa,
. వద్ద
- వ్యక్తీకరణ
నిర్వచించబడలేదు, ఎందుకంటే ప్రతికూల సంఖ్యకు సమానమైన స్క్వేర్ ఉన్న వాస్తవ సంఖ్య లేదుa.

గణిత డిక్టేషన్(8-10 నిమి.)

ఎంపిక

II. ఎంపిక

1. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి

ఎ)

బి)

1. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి

ఎ)

బి)

2.లెక్కించు

ఎ)

బి)

IN)

2.లెక్కించు

ఎ)

బి)

V)

స్వీయ పరీక్ష(లాపెల్ బోర్డు మీద):

ప్రతిస్పందన మాతృక:

№ ఎంపిక/పని

సమస్య 1

సమస్య 2

ఎంపిక 1

ఎ) 2

బి) 2

ఎ) 0.5

బి)

V)

ఎంపిక 2

ఎ) 1.5

బి)

ఎ)

బి)

4 వద్ద

II. కొత్త జ్ఞానం ఏర్పడటం

వ్యక్తీకరణకు ఏ అర్థం, ఎక్కడ ఉందో పరిశీలిద్దాం - సానుకూల సంఖ్య- భిన్న సంఖ్య మరియు m-పూర్ణాంకం, n-సహజ (n›1)

నిర్వచనం: హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో a›0 యొక్క శక్తిఆర్ = , m-మొత్తం, n-సహజ ( n›1) నంబర్ అంటారు.

కాబట్టి:

ఉదాహరణకి:

గమనికలు:

1. ఏదైనా సానుకూల a మరియు ఏదైనా హేతుబద్ధమైన r సంఖ్య కోసం సానుకూలంగా.

2. ఎప్పుడు
సంఖ్య యొక్క హేతుబద్ధమైన శక్తిaనిర్ధారించలేదు.

వంటి వ్యక్తీకరణలు
అర్థం లేదు.

3. ఉంటే పాక్షిక సానుకూల సంఖ్య
.

ఉంటే భిన్నమైన ప్రతికూల సంఖ్య, అప్పుడు -అర్ధం కావడం లేదు.

ఉదాహరణకి: - అర్ధం కాదు.

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.

ఒక >0, b>0; r, s - ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్యలు. ఏదైనా హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ కింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది:

1.
2.
3.
4.
5.

III. ఏకీకరణ. కొత్త నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల ఏర్పాటు.

టాస్క్ కార్డ్‌లు పరీక్ష రూపంలో చిన్న సమూహాలలో పని చేస్తాయి.

మొదటి స్థాయి

డిగ్రీ మరియు దాని లక్షణాలు. సమగ్ర గైడ్ (2019)

డిగ్రీలు ఎందుకు అవసరం? మీకు అవి ఎక్కడ అవసరం? వాటిని అధ్యయనం చేయడానికి మీరు ఎందుకు సమయాన్ని వెచ్చించాలి?

డిగ్రీల గురించి, అవి దేనికి అవసరమవుతాయి మరియు రోజువారీ జీవితంలో మీ జ్ఞానాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోవడానికి, ఈ కథనాన్ని చదవండి.

మరియు, కోర్సు యొక్క, డిగ్రీల జ్ఞానం యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ లేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి మరియు మీ కలల విశ్వవిద్యాలయంలోకి ప్రవేశించడానికి మిమ్మల్ని దగ్గర చేస్తుంది.

వెళ్దాం... (వెళ్దాం!)

ముఖ్య గమనిక! మీరు ఫార్ములాలకు బదులుగా గోబ్లెడీగూక్‌ని చూసినట్లయితే, మీ కాష్‌ని క్లియర్ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, CTRL+F5 (Windowsలో) లేదా Cmd+R (Macలో) నొక్కండి.

మొదటి స్థాయి

ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ అనేది కూడిక, తీసివేత, గుణకారం లేదా భాగహారం వంటి గణిత ఆపరేషన్.

ఇప్పుడు నేను చాలా సులభమైన ఉదాహరణలను ఉపయోగించి మానవ భాషలో ప్రతిదీ వివరిస్తాను. జాగ్రత్త. ఉదాహరణలు ప్రాథమికమైనవి, కానీ ముఖ్యమైన విషయాలను వివరించండి.

అదనంగా ప్రారంభిద్దాం.

ఇక్కడ వివరించడానికి ఏమీ లేదు. మీకు ఇప్పటికే ప్రతిదీ తెలుసు: మాలో ఎనిమిది మంది ఉన్నారు. అందరి దగ్గర రెండు కోలా సీసాలు ఉంటాయి. ఎంత కోలా ఉంది? అది నిజం - 16 సీసాలు.

ఇప్పుడు గుణకారం.

కోలాతో అదే ఉదాహరణను విభిన్నంగా వ్రాయవచ్చు: . గణిత శాస్త్రవేత్తలు జిత్తులమారి మరియు సోమరి వ్యక్తులు. వారు మొదట కొన్ని నమూనాలను గమనిస్తారు, ఆపై వాటిని వేగంగా "లెక్కించడానికి" ఒక మార్గాన్ని కనుగొంటారు. మా విషయంలో, ఎనిమిది మందిలో ప్రతి ఒక్కరికి ఒకే సంఖ్యలో కోలా సీసాలు ఉన్నాయని వారు గమనించారు మరియు గుణకారం అనే సాంకేతికతను కనుగొన్నారు. అంగీకరిస్తున్నారు, ఇది కంటే సులభంగా మరియు వేగంగా పరిగణించబడుతుంది.

కాబట్టి, వేగంగా, సులభంగా మరియు లోపాలు లేకుండా లెక్కించడానికి, మీరు కేవలం గుర్తుంచుకోవాలి గుణకార పట్టిక. వాస్తవానికి, మీరు ప్రతిదీ నెమ్మదిగా, మరింత కష్టంగా మరియు తప్పులతో చేయవచ్చు! కానీ…

ఇక్కడ గుణకారం పట్టిక ఉంది. పునరావృతం చేయండి.

మరియు మరొకటి, మరింత అందమైనది:

సోమరితనం గల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఏ ఇతర తెలివైన లెక్కింపు ఉపాయాలను కనుగొన్నారు? కుడి- సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం.

సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం

మీరు ఒక సంఖ్యను ఐదుసార్లు గుణించవలసి వస్తే, మీరు ఆ సంఖ్యను ఐదవ శక్తికి పెంచాలని గణిత శాస్త్రవేత్తలు అంటున్నారు. ఉదాహరణకి, . గణిత శాస్త్రజ్ఞులు రెండు నుండి ఐదవ శక్తికి గుర్తు... మరియు వారు వారి తలలలో ఇటువంటి సమస్యలను పరిష్కరిస్తారు - వేగంగా, సులభంగా మరియు తప్పులు లేకుండా.

మీరు చేయాల్సిందల్లా సంఖ్యల శక్తుల పట్టికలో రంగులో హైలైట్ చేయబడిన వాటిని గుర్తుంచుకోండి. నన్ను నమ్మండి, ఇది మీ జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది.

మార్గం ద్వారా, దీనిని రెండవ డిగ్రీ అని ఎందుకు పిలుస్తారు? చతురస్రంసంఖ్యలు మరియు మూడవది - క్యూబ్? దాని అర్థం ఏమిటి? చాలా మంచి ప్రశ్న. ఇప్పుడు మీకు చతురస్రాలు మరియు ఘనాల రెండూ ఉంటాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #1

సంఖ్య యొక్క స్క్వేర్ లేదా రెండవ శక్తితో ప్రారంభిద్దాం.

ఒక చతురస్రాకారపు కొలను ఒక మీటరుకు ఒక మీటరుతో కొలిచినట్లు ఊహించండి. కొలను మీ డాచా వద్ద ఉంది. ఇది వేడిగా ఉంది మరియు నేను నిజంగా ఈత కొట్టాలనుకుంటున్నాను. కానీ... కొలనుకి అడుగు లేదు! మీరు పూల్ దిగువన పలకలతో కప్పాలి. మీకు ఎన్ని పలకలు అవసరం? దీన్ని గుర్తించడానికి, మీరు పూల్ దిగువ ప్రాంతాన్ని తెలుసుకోవాలి.

పూల్ దిగువన మీటర్ మీటర్ క్యూబ్‌లు ఉన్నాయని మీ వేలిని చూపడం ద్వారా మీరు లెక్కించవచ్చు. మీరు ఒక మీటర్ నుండి ఒక మీటర్ టైల్స్ కలిగి ఉంటే, మీకు ముక్కలు అవసరం. ఇది సులభం ... కానీ మీరు అలాంటి పలకలను ఎక్కడ చూశారు? టైల్ ఎక్కువగా సెం.మీ ఉంటుంది. ఆపై మీరు "మీ వేలితో లెక్కించడం" ద్వారా హింసించబడతారు. అప్పుడు మీరు గుణించాలి. కాబట్టి, పూల్ దిగువన ఒక వైపున మేము టైల్స్ (ముక్కలు) మరియు మరొకదానిపై కూడా టైల్స్ సరిపోతాము. ద్వారా గుణించండి మరియు మీరు పలకలను పొందుతారు ().

పూల్ బాటమ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి మేము అదే సంఖ్యను స్వయంగా గుణించామని మీరు గమనించారా? దాని అర్థం ఏమిటి? మనం ఒకే సంఖ్యను గుణించడం వలన, మనం "ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్" టెక్నిక్‌ని ఉపయోగించవచ్చు. (వాస్తవానికి, మీకు రెండు సంఖ్యలు మాత్రమే ఉన్నప్పుడు, మీరు వాటిని గుణించాలి లేదా వాటిని శక్తికి పెంచాలి. కానీ మీరు వాటిని చాలా కలిగి ఉంటే, వాటిని శక్తికి పెంచడం చాలా సులభం మరియు గణనలలో తక్కువ లోపాలు కూడా ఉన్నాయి. . ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం, ఇది చాలా ముఖ్యమైనది).
కాబట్టి, ముప్పై నుండి రెండవ శక్తి () అవుతుంది. లేదా ముప్పై స్క్వేర్డ్ అవుతుందని చెప్పవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిని ఎల్లప్పుడూ చతురస్రం వలె సూచించవచ్చు. మరియు వైస్ వెర్సా, మీరు ఒక చతురస్రాన్ని చూసినట్లయితే, అది ఎల్లప్పుడూ కొంత సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిగా ఉంటుంది. చతురస్రం అనేది సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తి యొక్క చిత్రం.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #2

మీ కోసం ఇక్కడ ఒక పని ఉంది: సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఉపయోగించి చదరంగం బోర్డులో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయో లెక్కించండి... సెల్‌ల యొక్క ఒక వైపు మరియు మరొక వైపు కూడా. వారి సంఖ్యను లెక్కించడానికి, మీరు ఎనిమిదిని ఎనిమిదితో గుణించాలి లేదా... చదరంగం బోర్డ్ ఒక వైపు ఉన్న చతురస్రం అని మీరు గమనించినట్లయితే, మీరు ఎనిమిదికి వర్గీకరించవచ్చు. మీరు కణాలు పొందుతారు. () కాబట్టి?

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #3

ఇప్పుడు సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ లేదా మూడవ శక్తి. అదే కొలను. కానీ ఇప్పుడు మీరు ఈ కొలనులో ఎంత నీరు పోయవలసి ఉంటుందో తెలుసుకోవాలి. మీరు వాల్యూమ్ను లెక్కించాలి. (వాల్యూమ్‌లు మరియు లిక్విడ్‌లు క్యూబిక్ మీటర్లలో కొలుస్తారు. ఊహించనిది, సరియైనదా?) ఒక కొలను గీయండి: దిగువన ఒక మీటర్ పరిమాణం మరియు ఒక మీటరు లోతు, మరియు మీటర్‌కు మీటర్‌ని కొలిచే క్యూబ్‌ల సంఖ్యను లెక్కించడానికి ప్రయత్నించండి. మీ పూల్‌లోకి సరిపోతుంది.

మీ వేలు చూపించి లెక్కించండి! ఒకటి, రెండు, మూడు, నాలుగు... ఇరవై రెండు, ఇరవై మూడు... మీకు ఎన్ని వచ్చాయి? ఓడిపోలేదా? వేలితో లెక్కించడం కష్టమా? అందువలన! గణిత శాస్త్రజ్ఞుల నుండి ఒక ఉదాహరణ తీసుకోండి. వారు సోమరితనం, కాబట్టి పూల్ యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు దాని పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తును ఒకదానికొకటి గుణించాలి అని వారు గమనించారు. మా విషయంలో, పూల్ యొక్క వాల్యూమ్ ఘనాలకి సమానంగా ఉంటుంది... సులభం, సరియైనదా?

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీన్ని కూడా సరళీకృతం చేస్తే ఎంత సోమరితనం మరియు మోసపూరితంగా ఉంటారో ఇప్పుడు ఊహించండి. మేము అన్నింటినీ ఒక చర్యకు తగ్గించాము. పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు సమానంగా ఉండటం మరియు అదే సంఖ్యను స్వయంగా గుణించడం గమనించారు... దీని అర్థం ఏమిటి? దీని అర్థం మీరు డిగ్రీని సద్వినియోగం చేసుకోవచ్చు. కాబట్టి, మీరు ఒకసారి మీ వేలితో ఏమి లెక్కించారో, వారు ఒక చర్యలో చేస్తారు: మూడు క్యూబ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి. ఇది ఇలా వ్రాయబడింది: .

ఇక మిగిలింది ఒక్కటే డిగ్రీల పట్టికను గుర్తుంచుకోండి. తప్ప, మీరు గణిత శాస్త్రవేత్తల వలె సోమరితనం మరియు మోసపూరితంగా ఉంటారు. మీరు కష్టపడి తప్పులు చేయడానికి ఇష్టపడితే, మీరు మీ వేలితో లెక్కించడం కొనసాగించవచ్చు.

సరే, డిగ్రీలు విడిచిపెట్టేవారు మరియు మోసపూరిత వ్యక్తులు వారి జీవిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మరియు మీ కోసం సమస్యలను సృష్టించడానికి కాదు అని చివరకు మిమ్మల్ని ఒప్పించడానికి, ఇక్కడ జీవితం నుండి మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #4

మీకు మిలియన్ రూబిళ్లు ఉన్నాయి. ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో, మీరు సంపాదించే ప్రతి మిలియన్ కోసం, మీరు మరొక మిలియన్ సంపాదిస్తారు. అంటే, ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో మీ వద్ద ఉన్న ప్రతి మిలియన్ రెండింతలు. సంవత్సరాలలో మీ వద్ద ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? మీరు ఇప్పుడు కూర్చుని, "మీ వేలితో లెక్కించడం" చేస్తే, మీరు చాలా కష్టపడి పనిచేసే వ్యక్తి మరియు ... తెలివితక్కువవారు. కానీ చాలా మటుకు మీరు కొన్ని సెకన్లలో సమాధానం ఇస్తారు, ఎందుకంటే మీరు తెలివైనవారు! కాబట్టి, మొదటి సంవత్సరంలో - రెండు రెండిటితో గుణించబడింది ... రెండవ సంవత్సరంలో - ఏమి జరిగింది, మరో రెండు, మూడవ సంవత్సరంలో ... ఆపు! ఆ సంఖ్య దానికదే రెట్లు గుణించబడుతుందని మీరు గమనించారు. కాబట్టి రెండు నుండి ఐదవ శక్తి ఒక మిలియన్! ఇప్పుడు మీకు పోటీ ఉందని ఊహించుకోండి మరియు వేగంగా లెక్కించగల వ్యక్తి ఈ మిలియన్లను పొందుతాడు ... ఇది సంఖ్యల శక్తులను గుర్తుంచుకోవడం విలువైనది, మీరు అనుకోలేదా?

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #5

మీ దగ్గర మిలియన్ ఉంది. ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో, మీరు సంపాదించే ప్రతి మిలియన్‌కు, మీరు మరో రెండు సంపాదిస్తారు. గొప్పది కాదా? ప్రతి మిలియన్ మూడు రెట్లు. ఒక సంవత్సరంలో మీ దగ్గర ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? లెక్క తీసుకుందాం. మొదటి సంవత్సరం - గుణించండి, ఆపై ఫలితం మరొక దానితో గుణించండి ... ఇది ఇప్పటికే బోరింగ్, ఎందుకంటే మీరు ఇప్పటికే ప్రతిదీ అర్థం చేసుకున్నారు: మూడు దానికదే రెట్లు గుణించబడుతుంది. కాబట్టి నాల్గవ శక్తికి అది మిలియన్‌కు సమానం. మీరు కేవలం మూడు నుండి నాల్గవ శక్తి లేదా అని గుర్తుంచుకోవాలి.

సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం ద్వారా మీరు మీ జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తారని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు. మీరు డిగ్రీలతో ఏమి చేయవచ్చు మరియు వాటి గురించి మీరు తెలుసుకోవలసిన వాటిని మరింత పరిశీలిద్దాం.

నిబంధనలు మరియు భావనలు... గందరగోళానికి గురికాకుండా ఉండేందుకు

కాబట్టి, మొదట, భావనలను నిర్వచించండి. మీరు ఏమనుకుంటున్నారు, ఘాతాంకం అంటే ఏమిటి? ఇది చాలా సులభం - ఇది సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క "ఎగువ భాగంలో" ఉన్న సంఖ్య. శాస్త్రీయమైనది కాదు, కానీ స్పష్టంగా మరియు సులభంగా గుర్తుంచుకోవడానికి...

బాగా, అదే సమయంలో, ఏమి అటువంటి డిగ్రీ ఆధారంగా? మరింత సరళమైనది - ఇది దిగువన, బేస్ వద్ద ఉన్న సంఖ్య.

మంచి కొలత కోసం ఇక్కడ డ్రాయింగ్ ఉంది.

బాగా, సాధారణ పరంగా, సాధారణీకరించడానికి మరియు బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి... బేస్ "" మరియు ఘాతాంకంతో "" డిగ్రీని "డిగ్రీకి" చదవండి మరియు ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:

సహజ ఘాతాంకం కలిగిన సంఖ్య యొక్క శక్తి

మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఊహించి ఉండవచ్చు: ఎందుకంటే ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య. అవును, కానీ అది ఏమిటి సహజ సంఖ్య? ప్రాథమిక! సహజ సంఖ్యలు వస్తువులను జాబితా చేసేటప్పుడు లెక్కించడంలో ఉపయోగించే ఆ సంఖ్యలు: ఒకటి, రెండు, మూడు... మనం వస్తువులను లెక్కించినప్పుడు, మనం చెప్పము: “మైనస్ ఐదు,” “మైనస్ ఆరు,” “మైనస్ ఏడు.” మేము కూడా చెప్పము: "మూడవ వంతు", లేదా "సున్నా పాయింట్ ఐదు". ఇవి సహజ సంఖ్యలు కావు. ఇవి ఏ సంఖ్యలు అని మీరు అనుకుంటున్నారు?

"మైనస్ ఐదు", "మైనస్ ఆరు", "మైనస్ ఏడు" వంటి సంఖ్యలు సూచిస్తాయి మొత్తం సంఖ్యలు.సాధారణంగా, పూర్ణాంకాలలో అన్ని సహజ సంఖ్యలు, సహజ సంఖ్యలకు వ్యతిరేక సంఖ్యలు (అంటే మైనస్ గుర్తుతో తీసుకోబడినవి) మరియు సంఖ్య ఉంటాయి. సున్నా అర్థం చేసుకోవడం సులభం - అది ఏమీ లేనప్పుడు. ప్రతికూల ("మైనస్") సంఖ్యల అర్థం ఏమిటి? కానీ అవి ప్రధానంగా అప్పులను సూచించడానికి కనుగొనబడ్డాయి: మీరు మీ ఫోన్‌లో రూబిళ్లు బ్యాలెన్స్ కలిగి ఉంటే, మీరు ఆపరేటర్ రూబిళ్లు రుణపడి ఉంటారని దీని అర్థం.

అన్ని భిన్నాలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు. అవి ఎలా పుట్టుకొచ్చాయి, మీరు అనుకుంటున్నారా? చాలా సింపుల్. అనేక వేల సంవత్సరాల క్రితం, మన పూర్వీకులు పొడవు, బరువు, ప్రాంతం మొదలైనవాటిని కొలవడానికి సహజ సంఖ్యలు లేవని కనుగొన్నారు. మరియు వారు ముందుకు వచ్చారు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు... ఆసక్తికరంగా ఉంది, కాదా?

అకరణీయ సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఈ సంఖ్యలు ఏమిటి? సంక్షిప్తంగా, ఇది అనంతమైన దశాంశ భిన్నం. ఉదాహరణకు, మీరు ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను దాని వ్యాసంతో భాగిస్తే, మీరు అహేతుక సంఖ్యను పొందుతారు.

సారాంశం:

ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య (అంటే పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మకం) అయిన డిగ్రీ భావనను నిర్వచిద్దాం.

1. మొదటి శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య దానికి సమానం:
2. సంఖ్యను వర్గీకరించడం అంటే దానిని దానితో గుణించడం:
3. సంఖ్యను క్యూబ్ చేయడం అంటే దానిని మూడుసార్లు గుణించడం:

నిర్వచనం.సంఖ్యను సహజ శక్తికి పెంచడం అంటే ఆ సంఖ్యను దానికదే రెట్లు గుణించడం:
.

డిగ్రీల లక్షణాలు

ఈ ఆస్తులు ఎక్కడి నుంచి వచ్చాయి? నేను ఇప్పుడు మీకు చూపిస్తాను.

చూద్దాం: అది ఏమిటి మరియు ?

A-ప్రియరీ:

మొత్తం ఎన్ని గుణకాలు ఉన్నాయి?

ఇది చాలా సులభం: మేము కారకాలకు మల్టిప్లైయర్‌లను జోడించాము మరియు ఫలితం గుణకాలు.

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి, అంటే: , ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఉదాహరణ: వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం:

ఉదాహరణ:వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం:మన పాలనలో గమనించాల్సిన విషయం తప్పనిసరిగాఅవే కారణాలు ఉండాలి!
అందువల్ల, మేము శక్తులను బేస్తో కలుపుతాము, కానీ ఇది ఒక ప్రత్యేక కారకంగా మిగిలిపోయింది:

అధికారాల ఉత్పత్తికి మాత్రమే!

ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అలా రాయకూడదు.

2. అంతే సంఖ్య యొక్క శక్తి

మునుపటి ఆస్తి వలె, డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం:

వ్యక్తీకరణ స్వయంగా రెట్లు గుణించబడిందని తేలింది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సంఖ్య యొక్క వ శక్తి:

సారాంశంలో, దీనిని "బ్రాకెట్ల నుండి సూచికను తీసుకోవడం" అని పిలుస్తారు. కానీ మీరు దీన్ని పూర్తిగా ఎప్పటికీ చేయలేరు:

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి: మనం ఎన్నిసార్లు వ్రాయాలనుకుంటున్నాము?

కానీ ఇది నిజం కాదు, అన్ని తరువాత.

ప్రతికూల ఆధారంతో శక్తి

ఈ పాయింట్ వరకు, మేము ఘాతాంకం ఏమిటో మాత్రమే చర్చించాము.

అయితే ఏది ఆధారం కావాలి?

అధికారాలలో సహజ సూచికఆధారం కావచ్చు ఏదైనా సంఖ్య. నిజమే, మనం ఏదైనా సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు, అవి సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సమానంగా ఉండవచ్చు.

ఏ సంకేతాలు ("" లేదా "") సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయో ఆలోచిద్దాం?

ఉదాహరణకు, సంఖ్య సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా? ఎ? ? మొదటిదానితో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మనం ఎన్ని సానుకూల సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినా, ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

కానీ ప్రతికూలమైనవి కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. మేము 6వ తరగతి నుండి సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము: "మైనస్ కోసం మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది." అంటే, లేదా. కానీ మనం గుణిస్తే, అది పని చేస్తుంది.

కింది వ్యక్తీకరణలు ఏ సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయో మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

మీరు నిర్వహించారా?

ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి: మొదటి నాలుగు ఉదాహరణలలో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? మేము కేవలం బేస్ మరియు ఘాతాంకాన్ని చూసి తగిన నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ఉదాహరణ 5) ప్రతిదీ కూడా కనిపించేంత భయానకంగా లేదు: అన్నింటికంటే, బేస్ దేనికి సమానం అనేది పట్టింపు లేదు - డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది, అంటే ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

బాగా, బేస్ సున్నా ఉన్నప్పుడు తప్ప. ఆధారం సమానంగా లేదు, అవునా? స్పష్టంగా లేదు, నుండి (ఎందుకంటే).

ఉదాహరణ 6) ఇకపై అంత సులభం కాదు!

సాధన చేయడానికి 6 ఉదాహరణలు

పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ 6 ఉదాహరణలు

మనం ఎనిమిదవ శక్తిని విస్మరిస్తే, మనం ఇక్కడ ఏమి చూస్తాము? 7వ తరగతి కార్యక్రమం గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం. కాబట్టి, మీకు గుర్తుందా? ఇది సంక్షిప్త గుణకారానికి సూత్రం, అవి వర్గాల వ్యత్యాసం! మాకు దొరికింది:

హారం గురించి జాగ్రత్తగా చూద్దాం. ఇది చాలా న్యూమరేటర్ కారకాలలో ఒకటిగా కనిపిస్తోంది, కానీ తప్పు ఏమిటి? నిబంధనల క్రమం తప్పు. అవి రివర్స్ అయితే, నియమం వర్తించవచ్చు.

కానీ అది ఎలా చేయాలి? ఇది చాలా సులభం అని తేలింది: హారం యొక్క సరి స్థాయి ఇక్కడ మాకు సహాయపడుతుంది.

అద్భుతంగా నిబంధనలు స్థలాలను మార్చాయి. ఈ "దృగ్విషయం" ఏదైనా వ్యక్తీకరణకు సమాన స్థాయికి వర్తిస్తుంది: మనం కుండలీకరణాల్లోని సంకేతాలను సులభంగా మార్చవచ్చు.

కానీ గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం: అన్ని సంకేతాలు ఒకే సమయంలో మారుతాయి!

ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం:

మరియు మళ్ళీ సూత్రం:

మొత్తంమేము సహజ సంఖ్యలను, వాటి వ్యతిరేకతలను (అంటే, "" గుర్తుతో తీసుకున్న) మరియు సంఖ్య అని పిలుస్తాము.

ధన పూర్ణాంకం, మరియు ఇది సహజంగా భిన్నంగా లేదు, అప్పుడు ప్రతిదీ మునుపటి విభాగంలో సరిగ్గా కనిపిస్తుంది.

ఇప్పుడు కొత్త కేసులను చూద్దాం. సమానమైన సూచికతో ప్రారంభిద్దాం.

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం:

ఎప్పటిలాగే, మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుందాం: ఇది ఎందుకు?

బేస్ తో కొంత డిగ్రీని పరిశీలిద్దాం. ఉదాహరణకు తీసుకోండి మరియు దీని ద్వారా గుణించండి:

కాబట్టి, మేము సంఖ్యను గుణించాము మరియు మనకు అదే విషయం వచ్చింది - . ఏమీ మారకుండా మీరు ఏ సంఖ్యతో గుణించాలి? అది నిజం, న. అర్థం.

మేము ఏకపక్ష సంఖ్యతో అదే విధంగా చేయవచ్చు:

నియమాన్ని పునరావృతం చేద్దాం:

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం.

కానీ చాలా నియమాలకు మినహాయింపులు ఉన్నాయి. మరియు ఇక్కడ అది కూడా ఉంది - ఇది ఒక సంఖ్య (ఆధారంగా).

ఒక వైపు, అది ఏ డిగ్రీకి సమానంగా ఉండాలి - మీరు సున్నాని దానితో ఎంత గుణించినా, మీరు ఇప్పటికీ సున్నాని పొందుతారు, ఇది స్పష్టంగా ఉంది. కానీ మరోవైపు, సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య వలె, అది తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి. అయితే ఇందులో నిజం ఎంత? గణిత శాస్త్రవేత్తలు జోక్యం చేసుకోకూడదని నిర్ణయించుకున్నారు మరియు సున్నాని సున్నాకి పెంచడానికి నిరాకరించారు. అంటే, ఇప్పుడు మనం సున్నాతో విభజించడమే కాదు, దానిని సున్నా శక్తికి కూడా పెంచలేము.

ముందుకు వెళ్దాం. సహజ సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలతో పాటు, పూర్ణాంకాలు ప్రతికూల సంఖ్యలను కూడా కలిగి ఉంటాయి. ప్రతికూల శక్తి అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి, చివరిసారిగా చేద్దాం: కొంత సాధారణ సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో ప్రతికూల శక్తికి గుణించండి:

ఇక్కడ నుండి మీరు వెతుకుతున్న దాన్ని వ్యక్తీకరించడం సులభం:

ఇప్పుడు ఫలిత నియమాన్ని ఏకపక్ష స్థాయికి పొడిగిద్దాం:

కాబట్టి, ఒక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం:

ప్రతికూల శక్తి ఉన్న సంఖ్య సానుకూల శక్తితో అదే సంఖ్యకు పరస్పరం. కానీ అదే సమయంలో ఆధారం శూన్యంగా ఉండకూడదు:(ఎందుకంటే మీరు విభజించలేరు).

సారాంశం చేద్దాం:

I. సందర్భంలో వ్యక్తీకరణ నిర్వచించబడలేదు. ఒకవేళ, అప్పుడు.

II. సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం: .

III. ప్రతికూల శక్తికి సున్నాకి సమానం కాని సంఖ్య సానుకూల శక్తికి అదే సంఖ్య యొక్క విలోమం: .

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం విధులు:

బాగా, ఎప్పటిలాగే, స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు:

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం సమస్యల విశ్లేషణ:

నాకు తెలుసు, నాకు తెలుసు, సంఖ్యలు భయానకంగా ఉన్నాయి, కానీ ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో మీరు దేనికైనా సిద్ధంగా ఉండాలి! మీరు వాటిని పరిష్కరించలేకపోతే ఈ ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి లేదా వాటి పరిష్కారాలను విశ్లేషించండి మరియు మీరు పరీక్షలో వాటిని సులభంగా ఎదుర్కోవడం నేర్చుకుంటారు!

"సరిపోయే" సంఖ్యల పరిధిని ఘాతాంకం వలె విస్తరించడాన్ని కొనసాగిద్దాం.

ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం హేతుబద్ధ సంఖ్యలు.ఏ సంఖ్యలను హేతుబద్ధం అంటారు?

సమాధానం: ఒక భిన్నం వలె సూచించబడే ప్రతిదీ, ఎక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు, మరియు.

అది ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి "పాక్షిక డిగ్రీ", భిన్నాన్ని పరిగణించండి:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా శక్తికి పెంచుదాం:

ఇప్పుడు నియమాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం "డిగ్రీ నుండి డిగ్రీ":

పొందడానికి ఏ సంఖ్యను శక్తికి పెంచాలి?

ఈ సూత్రీకరణ వ డిగ్రీ యొక్క మూలం యొక్క నిర్వచనం.

నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: సంఖ్య () యొక్క వ శక్తి యొక్క మూలం, ఒక శక్తికి పెంచబడినప్పుడు, దానికి సమానంగా ఉండే సంఖ్య.

అంటే, వ శక్తి యొక్క మూలం శక్తికి పెంచే విలోమ చర్య: .

అని తేలుతుంది. సహజంగానే, ఈ ప్రత్యేక సందర్భాన్ని విస్తరించవచ్చు: .

ఇప్పుడు మేము న్యూమరేటర్‌ను జోడిస్తాము: ఇది ఏమిటి? పవర్-టు-పవర్ నియమాన్ని ఉపయోగించి సమాధానం పొందడం సులభం:

కానీ ఆధారం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు? అన్ని తరువాత, అన్ని సంఖ్యల నుండి రూట్ సంగ్రహించబడదు.

ఏదీ లేదు!

మనం నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: సమాన శక్తికి పెంచబడిన ఏదైనా సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య. అంటే, ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి మూలాలను కూడా సంగ్రహించడం అసాధ్యం!

దీనర్థం అటువంటి సంఖ్యలను సమాన హారంతో పాక్షిక శక్తికి పెంచడం సాధ్యం కాదు, అంటే వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదు.

వ్యక్తీకరణ గురించి ఏమిటి?

కానీ ఇక్కడ ఒక సమస్య తలెత్తుతుంది.

సంఖ్యను ఇతర, తగ్గించదగిన భిన్నాల రూపంలో సూచించవచ్చు, ఉదాహరణకు, లేదా.

మరియు అది ఉనికిలో ఉందని, కానీ ఉనికిలో లేదని తేలింది, కానీ ఇవి ఒకే సంఖ్యలో ఉన్న రెండు వేర్వేరు రికార్డులు.

లేదా మరొక ఉదాహరణ: ఒకసారి, మీరు దానిని వ్రాయవచ్చు. కానీ మేము సూచికను భిన్నంగా వ్రాస్తే, మేము మళ్ళీ ఇబ్బందుల్లో పడతాము: (అంటే, మాకు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితం వచ్చింది!).

అటువంటి వైరుధ్యాలను నివారించడానికి, మేము పరిశీలిస్తాము పాక్షిక ఘాతాంకంతో ధనాత్మక మూల ఘాతాంకం మాత్రమే.

కనుక:

• - సహజ సంఖ్య;
• - పూర్ణ సంఖ్య;

ఉదాహరణలు:

మూలాలతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి, ఉదాహరణకు:

సాధన చేయడానికి 5 ఉదాహరణలు

శిక్షణ కోసం 5 ఉదాహరణల విశ్లేషణ

బాగా, ఇప్పుడు కష్టతరమైన భాగం వస్తుంది. ఇప్పుడు మేము దానిని గుర్తించాము అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.

ఇక్కడ ఉన్న డిగ్రీల యొక్క అన్ని నియమాలు మరియు లక్షణాలు మినహాయించి, హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీకి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి

అన్నింటికంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, అహేతుక సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించబడని సంఖ్యలు, ఇక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు (అనగా, అహేతుక సంఖ్యలు హేతుబద్ధమైన వాటిని మినహాయించి అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు).

సహజ, పూర్ణాంకం మరియు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో డిగ్రీలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ప్రతిసారీ మేము నిర్దిష్ట "చిత్రం", "సారూప్యత" లేదా వివరణను మరింత సుపరిచితమైన పరంగా సృష్టించాము.

ఉదాహరణకు, సహజ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ అనేది అనేక సార్లు దానితో గుణించబడిన సంఖ్య;

...సున్నా శక్తికి సంఖ్య- ఇది, ఒక సారి స్వయంగా గుణించబడిన సంఖ్య, అనగా, వారు దానిని ఇంకా గుణించడం ప్రారంభించలేదు, అంటే ఆ సంఖ్య ఇంకా కనిపించలేదు - కాబట్టి ఫలితం ఒక నిర్దిష్ట “ఖాళీ సంఖ్య” మాత్రమే. , అవి ఒక సంఖ్య;

...ప్రతికూల పూర్ణాంకం డిగ్రీ- ఇది ఏదో "రివర్స్ ప్రాసెస్" సంభవించినట్లుగా ఉంది, అనగా, సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడలేదు, కానీ విభజించబడింది.

మార్గం ద్వారా, సైన్స్‌లో కాంప్లెక్స్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, అంటే ఘాతాంకం వాస్తవ సంఖ్య కూడా కాదు.

కానీ పాఠశాలలో మేము అలాంటి ఇబ్బందుల గురించి ఆలోచించము; ఇన్స్టిట్యూట్‌లో ఈ కొత్త భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు అవకాశం ఉంటుంది.

మీరు ఎక్కడికి వెళ్తారని మేము ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాము! (మీరు అలాంటి ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటే :))

ఉదాహరణకి:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

పరిష్కారాల విశ్లేషణ:

1. శక్తికి శక్తిని పెంచడానికి సాధారణ నియమంతో ప్రారంభిద్దాం:

ఇప్పుడు సూచిక చూడండి. అతను మీకు ఏమీ గుర్తు చేయలేదా? చతురస్రాల వ్యత్యాసం యొక్క సంక్షిప్త గుణకారం కోసం సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:

ఈ విషయంలో,

ఇది ఇలా మారుతుంది:

సమాధానం: .

2. మేము ఘాతాంకాలలో భిన్నాలను ఒకే రూపంలోకి తగ్గిస్తాము: రెండు దశాంశాలు లేదా రెండూ సాధారణమైనవి. మేము పొందుతాము, ఉదాహరణకు:

సమాధానం: 16

3. ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, మేము డిగ్రీల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:

అధునాతన స్థాయి

డిగ్రీ నిర్ధారణ

డిగ్రీ అనేది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ: , ఎక్కడ:

• — డిగ్రీ బేస్;
• - ఘాతాంకం.

సహజ సూచికతో డిగ్రీ (n = 1, 2, 3,...)

సంఖ్యను సహజ శక్తి nకి పెంచడం అంటే సంఖ్యను దానికదే రెట్లు గుణించడం:

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ (0, ±1, ±2,...)

ఘాతాంకం ఉంటే ధన పూర్ణాంకంసంఖ్య:

నిర్మాణం సున్నా డిగ్రీకి:

వ్యక్తీకరణ నిరవధికంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే, ఒక వైపు, ఏ స్థాయికి ఇది, మరియు మరోవైపు, వ డిగ్రీకి ఏదైనా సంఖ్య ఇది.

ఘాతాంకం ఉంటే ప్రతికూల పూర్ణాంకంసంఖ్య:

(ఎందుకంటే మీరు విభజించలేరు).

సున్నాల గురించి మరోసారి: వ్యక్తీకరణ సందర్భంలో నిర్వచించబడలేదు. ఒకవేళ, అప్పుడు.

ఉదాహరణలు:

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి

• - సహజ సంఖ్య;
• - పూర్ణ సంఖ్య;

ఉదాహరణలు:

డిగ్రీల లక్షణాలు

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభతరం చేయడానికి, అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం: ఈ లక్షణాలు ఎక్కడ నుండి వచ్చాయి? వాటిని నిరూపిద్దాం.

చూద్దాం: ఏమిటి మరియు?

A-ప్రియరీ:

కాబట్టి, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క కుడి వైపున మేము ఈ క్రింది ఉత్పత్తిని పొందుతాము:

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం ఇది ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి, అంటే:

Q.E.D.

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం : .

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం : మన పాలనలో ఇది గమనించాల్సిన విషయం తప్పనిసరిగాఅవే కారణాలు ఉండాలి. అందువల్ల, మేము శక్తులను బేస్తో కలుపుతాము, కానీ ఇది ఒక ప్రత్యేక కారకంగా మిగిలిపోయింది:

మరొక ముఖ్యమైన గమనిక: ఈ నియమం - అధికారాల ఉత్పత్తికి మాత్రమే!

ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అలా రాయకూడదు.

మునుపటి ఆస్తి వలె, డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం:

ఈ పనిని ఇలా మళ్లీ సమూహిద్దాం:

వ్యక్తీకరణ స్వయంగా రెట్లు గుణించబడిందని తేలింది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సంఖ్య యొక్క వ శక్తి:

సారాంశంలో, దీనిని "బ్రాకెట్ల నుండి సూచికను తీసుకోవడం" అని పిలుస్తారు. కానీ మీరు దీన్ని మొత్తంగా ఎప్పటికీ చేయలేరు: !

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి: మనం ఎన్నిసార్లు వ్రాయాలనుకుంటున్నాము? కానీ ఇది నిజం కాదు, అన్ని తరువాత.

ప్రతికూల ఆధారంతో శక్తి.

ఇది వరకు మేము అది ఎలా ఉండాలో మాత్రమే చర్చించాము సూచికడిగ్రీలు. అయితే ఏది ఆధారం కావాలి? అధికారాలలో సహజ సూచిక ఆధారం కావచ్చు ఏదైనా సంఖ్య .

నిజమే, మనం ఏదైనా సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు, అవి సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సమానంగా ఉండవచ్చు. ఏ సంకేతాలు ("" లేదా "") సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయో ఆలోచిద్దాం?

ఉదాహరణకు, సంఖ్య సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా? ఎ? ?

మొదటిదానితో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మనం ఎన్ని సానుకూల సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినా, ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

కానీ ప్రతికూలమైనవి కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. మేము 6వ తరగతి నుండి సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము: "మైనస్ కోసం మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది." అంటే, లేదా. కానీ మనం () ద్వారా గుణిస్తే మనకు లభిస్తుంది - .

మరియు ప్రకటన అనంతం: ప్రతి తదుపరి గుణకారంతో గుర్తు మారుతుంది. కింది సాధారణ నియమాలను రూపొందించవచ్చు:

1. కూడాడిగ్రీ, - సంఖ్య అనుకూల.
2. ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది బేసిడిగ్రీ, - సంఖ్య ప్రతికూల.
3. ఏదైనా డిగ్రీకి సానుకూల సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య.
4. ఏదైనా శక్తికి సున్నా సున్నాకి సమానం.

కింది వ్యక్తీకరణలు ఏ సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయో మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

మీరు నిర్వహించారా? ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

మొదటి నాలుగు ఉదాహరణలలో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? మేము కేవలం బేస్ మరియు ఘాతాంకాన్ని చూసి తగిన నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

ఉదాహరణలో 5) ప్రతిదీ కూడా కనిపించేంత భయానకంగా లేదు: అన్నింటికంటే, బేస్ దేనికి సమానం అనేది పట్టింపు లేదు - డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది, అంటే ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది. సరే, బేస్ సున్నా అయినప్పుడు తప్ప. ఆధారం సమానంగా లేదు, అవునా? స్పష్టంగా లేదు, నుండి (ఎందుకంటే).

ఉదాహరణ 6) ఇకపై అంత సులభం కాదు. ఇక్కడ మీరు ఏది తక్కువ అని తెలుసుకోవాలి: లేదా? మనం దానిని గుర్తుంచుకుంటే, ఆధారం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉందని స్పష్టమవుతుంది. అంటే, మేము నియమం 2ని వర్తింపజేస్తాము: ఫలితం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

మరియు మళ్ళీ మేము డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

ప్రతిదీ ఎప్పటిలాగే ఉంది - మేము డిగ్రీల నిర్వచనాన్ని వ్రాసి వాటిని ఒకదానికొకటి విభజించి, వాటిని జంటలుగా విభజించి పొందండి:

మేము చివరి నియమాన్ని చూసే ముందు, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం.

వ్యక్తీకరణలను లెక్కించండి:

పరిష్కారాలు :

మనం ఎనిమిదవ శక్తిని విస్మరిస్తే, మనం ఇక్కడ ఏమి చూస్తాము? 7వ తరగతి కార్యక్రమం గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం. కాబట్టి, మీకు గుర్తుందా? ఇది సంక్షిప్త గుణకారానికి సూత్రం, అవి వర్గాల వ్యత్యాసం!

మాకు దొరికింది:

హారం గురించి జాగ్రత్తగా చూద్దాం. ఇది చాలా న్యూమరేటర్ కారకాలలో ఒకటిగా కనిపిస్తోంది, కానీ తప్పు ఏమిటి? నిబంధనల క్రమం తప్పు. అవి రివర్స్ అయితే, రూల్ 3 వర్తించవచ్చు. అయితే ఎలా? ఇది చాలా సులభం అని తేలింది: హారం యొక్క సరి స్థాయి ఇక్కడ మాకు సహాయపడుతుంది.

మీరు దానిని గుణిస్తే, ఏమీ మారదు, సరియైనదా? కానీ ఇప్పుడు ఇది ఇలా మారుతుంది:

అద్భుతంగా నిబంధనలు స్థలాలను మార్చాయి. ఈ "దృగ్విషయం" ఏదైనా వ్యక్తీకరణకు సమాన స్థాయికి వర్తిస్తుంది: మనం కుండలీకరణాల్లోని సంకేతాలను సులభంగా మార్చవచ్చు. కానీ గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం: అన్ని సంకేతాలు ఒకే సమయంలో మారతాయి!మేము ఇష్టపడని ఒక ప్రతికూలతను మాత్రమే మార్చడం ద్వారా మీరు దాన్ని భర్తీ చేయలేరు!

ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం:

మరియు మళ్ళీ సూత్రం:

కాబట్టి ఇప్పుడు చివరి నియమం:

మేము దానిని ఎలా నిరూపిస్తాము? వాస్తవానికి, ఎప్పటిలాగే: డిగ్రీ భావనను విస్తరింపజేద్దాం మరియు దానిని సరళీకృతం చేద్దాం:

సరే, ఇప్పుడు బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం. మొత్తం ఎన్ని అక్షరాలు ఉన్నాయి? గుణకాల ద్వారా సార్లు - ఇది మీకు ఏమి గుర్తు చేస్తుంది? ఇది ఆపరేషన్ యొక్క నిర్వచనం తప్ప మరేమీ కాదు గుణకారం: అక్కడ గుణకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. అంటే, ఇది నిర్వచనం ప్రకారం, ఘాతాంకంతో కూడిన సంఖ్య యొక్క శక్తి:

ఉదాహరణ:

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

సగటు స్థాయికి సంబంధించిన డిగ్రీల గురించిన సమాచారంతో పాటు, మేము డిగ్రీని అహేతుక ఘాతాంకంతో విశ్లేషిస్తాము. ఇక్కడ ఉన్న డిగ్రీల యొక్క అన్ని నియమాలు మరియు లక్షణాలు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఉన్న డిగ్రీకి ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉంటాయి, మినహాయింపుతో - అన్ని తరువాత, నిర్వచనం ప్రకారం, అహేతుక సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించలేని సంఖ్యలు, ఎక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు (అంటే , అకరణీయ సంఖ్యలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు తప్ప అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు).

సహజ, పూర్ణాంకం మరియు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో డిగ్రీలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ప్రతిసారీ మేము నిర్దిష్ట "చిత్రం", "సారూప్యత" లేదా వివరణను మరింత సుపరిచితమైన పరంగా సృష్టించాము. ఉదాహరణకు, సహజ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ అనేది అనేక సార్లు దానితో గుణించబడిన సంఖ్య; సున్నా శక్తికి ఒక సంఖ్య, అది ఉన్నట్లుగా, ఒకసారి దానితో గుణించిన సంఖ్య, అనగా, వారు ఇంకా దానిని గుణించడం ప్రారంభించలేదు, అంటే ఆ సంఖ్య ఇంకా కనిపించలేదు - కాబట్టి ఫలితం ఖచ్చితంగా ఉంటుంది "ఖాళీ సంఖ్య", అవి ఒక సంఖ్య; పూర్ణాంకం ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ - ఇది ఏదో "రివర్స్ ప్రాసెస్" సంభవించినట్లుగా ఉంటుంది, అనగా, సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడలేదు, కానీ విభజించబడింది.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని ఊహించడం చాలా కష్టం (4-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌ను ఊహించడం కష్టంగా ఉంటుంది). ఇది పూర్తిగా గణిత వస్తువు, ఇది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు డిగ్రీ భావనను సంఖ్యల మొత్తం స్థలానికి విస్తరించడానికి సృష్టించారు.

మార్గం ద్వారా, సైన్స్‌లో కాంప్లెక్స్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, అంటే ఘాతాంకం వాస్తవ సంఖ్య కూడా కాదు. కానీ పాఠశాలలో మేము అలాంటి ఇబ్బందుల గురించి ఆలోచించము; ఇన్స్టిట్యూట్‌లో ఈ కొత్త భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు అవకాశం ఉంటుంది.

కాబట్టి మనం అహేతుక ఘాతాంకాన్ని చూస్తే మనం ఏమి చేస్తాము? దాన్ని వదిలించుకోవడానికి మేము మా వంతు ప్రయత్నం చేస్తున్నాము! :)

ఉదాహరణకి:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1)

2)

3)

సమాధానాలు:

1. స్క్వేర్స్ ఫార్ములా తేడాను గుర్తుంచుకోండి. సమాధానం: .
2. మేము భిన్నాలను ఒకే రూపానికి తగ్గిస్తాము: రెండు దశాంశాలు లేదా రెండూ సాధారణమైనవి. మేము పొందుతాము, ఉదాహరణకు: .
3. ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, మేము డిగ్రీల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:

విభాగం మరియు ప్రాథమిక సూత్రాల సారాంశం

డిగ్రీరూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ అని పిలుస్తారు: , ఎక్కడ:

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య (అంటే పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మకం) అయిన డిగ్రీ.

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి

డిగ్రీ, దీని ఘాతాంకం ప్రతికూల మరియు భిన్న సంఖ్యలు.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

ఒక డిగ్రీ, దీని ఘాతాంకం అనంతమైన దశాంశ భిన్నం లేదా మూలం.

డిగ్రీల లక్షణాలు

డిగ్రీల లక్షణాలు.

• ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది కూడాడిగ్రీ, - సంఖ్య అనుకూల.
• ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది బేసిడిగ్రీ, - సంఖ్య ప్రతికూల.
• ఏదైనా డిగ్రీకి సానుకూల సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య.
• సున్నా ఏ శక్తికైనా సమానం.
• సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య సమానం.

ఇప్పుడు మీకు పదం ఉంది...

మీకు కథనం ఎలా నచ్చింది? మీకు నచ్చిందా లేదా అని క్రింద కామెంట్స్ లో వ్రాయండి.

డిగ్రీ లక్షణాలను ఉపయోగించి మీ అనుభవం గురించి మాకు చెప్పండి.

బహుశా మీకు ప్రశ్నలు ఉండవచ్చు. లేదా సూచనలు.

వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి.

మరియు మీ పరీక్షలలో అదృష్టం!