మేము లాగరిథమ్‌లను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ వ్యాసంలో మనం మాట్లాడతాము లాగరిథమ్‌లను గణించడం, ఈ ప్రక్రియ అంటారు సంవర్గమానం. మొదట మేము నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌ల గణనను అర్థం చేసుకుంటాము. తరువాత, లాగరిథమ్‌ల విలువలు వాటి లక్షణాలను ఉపయోగించి ఎలా కనుగొనబడతాయో చూద్దాం. దీని తరువాత, మేము మొదటగా లాగరిథమ్‌లను లెక్కించడంపై దృష్టి పెడతాము సెట్ విలువలుఇతర సంవర్గమానాలు. చివరగా, లాగరిథమ్ పట్టికలను ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుందాం. మొత్తం సిద్ధాంతం వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలతో అందించబడింది.
పేజీ నావిగేషన్.
నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌లను గణించడం
సరళమైన సందర్భాల్లో, చాలా త్వరగా మరియు సులభంగా నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది నిర్వచనం ద్వారా సంవర్గమానాన్ని కనుగొనడం. ఈ ప్రక్రియ ఎలా జరుగుతుందో నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.
దాని సారాంశం a c రూపంలో సంఖ్యను సూచించడం, దీని నుండి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, సంఖ్య c అనేది లాగరిథమ్ యొక్క విలువ. అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, క్రింది సమానత్వ గొలుసు సంవర్గమానాన్ని కనుగొనడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది: లాగ్ a b=log a a c =c.
కాబట్టి, నిర్వచనం ద్వారా సంవర్గమానాన్ని గణించడం అనేది c = b అనే సంఖ్యను కనుగొనడానికి వస్తుంది మరియు c సంఖ్య కూడా లాగరిథమ్ యొక్క కావలసిన విలువ.
మునుపటి పేరాగ్రాఫ్‌లలోని సమాచారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య లాగరిథమ్ బేస్ యొక్క నిర్దిష్ట శక్తి ద్వారా ఇవ్వబడినప్పుడు, మీరు వెంటనే లాగరిథమ్ దేనికి సమానమో సూచించవచ్చు - ఇది సూచికకు సమానండిగ్రీలు. ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూపుదాం.
ఉదాహరణ.
లాగ్ 2 2 −3ని కనుగొనండి మరియు సంఖ్య ఇ 5,3 యొక్క సహజ సంవర్గమానాన్ని కూడా లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం లాగ్ 2 2 −3 =-3 అని వెంటనే చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది. నిజానికి, సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య బేస్ 2కి −3 పవర్‌కి సమానం.
అదేవిధంగా, మేము రెండవ సంవర్గమానాన్ని కనుగొంటాము: lne 5.3 =5.3.
సమాధానం:
లాగ్ 2 2 −3 =-3 మరియు lne 5,3 =5,3.
సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య b సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క శక్తిగా పేర్కొనబడకపోతే, మీరు a c రూపంలో సంఖ్య b యొక్క ప్రాతినిధ్యంతో రావడం సాధ్యమేనా అని జాగ్రత్తగా చూడాలి. తరచుగా ఈ ప్రాతినిధ్యం చాలా స్పష్టంగా ఉంటుంది, ప్రత్యేకించి సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య 1, లేదా 2, లేదా 3 యొక్క శక్తికి బేస్కు సమానం అయినప్పుడు, ...
ఉదాహరణ.
సంవర్గమానాల లాగ్ 5 25 మరియు గణించండి.
పరిష్కారం.
25=5 2 అని చూడటం సులభం, ఇది మొదటి సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది: లాగ్ 5 25=లాగ్ 5 5 2 =2.
రెండవ సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి వెళ్దాం. సంఖ్యను 7 శక్తిగా సూచించవచ్చు: 
(అవసరమైతే చూడండి). అందుకే, 
.
మూడవ సంవర్గమానాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం క్రింది రూపం. ఇప్పుడు మీరు దానిని చూడవచ్చు 
, దాని నుండి మేము దానిని ముగించాము 
. కాబట్టి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం 
.
క్లుప్తంగా, పరిష్కారం క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: .
సమాధానం:
లాగ్ 5 25=2 , 
మరియు .
సంవర్గమానం గుర్తు కింద తగినంత పెద్దది ఉన్నప్పుడు సహజ సంఖ్య, అప్పుడు దానిని కుళ్ళిపోవడం బాధించదు ప్రధాన కారకాలు. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క కొంత శక్తి వలె అటువంటి సంఖ్యను సూచించడానికి ఇది తరచుగా సహాయపడుతుంది మరియు అందువల్ల ఈ సంవర్గమానాన్ని నిర్వచనం ద్వారా లెక్కించండి.
ఉదాహరణ.
సంవర్గమానం యొక్క విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
లాగరిథమ్‌ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలు సంవర్గమానాల విలువను వెంటనే పేర్కొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. ఈ లక్షణాలలో ఒక యూనిట్ యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం మరియు సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం, బేస్కు సమానం: లాగ్ 1 1=లాగ్ a a 0 =0 మరియు లాగ్ a = log a a 1 =1 . అంటే, సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద సంఖ్య 1 లేదా సంవర్గమానం యొక్క ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య ఉన్నప్పుడు, ఈ సందర్భాలలో లాగరిథమ్‌లు వరుసగా 0 మరియు 1కి సమానంగా ఉంటాయి.
ఉదాహరణ.
లాగరిథమ్‌లు మరియు లాగ్10 దేనికి సమానం?
పరిష్కారం.
నుండి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది 
.
రెండవ ఉదాహరణలో, సంవర్గమాన చిహ్నం క్రింద ఉన్న 10 సంఖ్య దాని ఆధారంతో సమానంగా ఉంటుంది దశాంశ సంవర్గమానంపది ఒకరికి సమానం, అంటే, log10=lg10 1 =1.
సమాధానం:
మరియు lg10=1 .
నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌ల గణన (దీనిలో మేము చర్చించాము మునుపటి పేరా) సమానత్వ లాగ్ a a p =p ఉపయోగాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలలో ఒకటి.
ఆచరణలో, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తిగా సులభంగా సూచించబడినప్పుడు, సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. 
, ఇది లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలలో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ ఫార్ములా వినియోగాన్ని వివరించే సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
సమాధానం:
.
పైన పేర్కొనబడని లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు గణనలలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి, అయితే మేము దీని గురించి క్రింది పేరాల్లో మాట్లాడుతాము.
ఇతర తెలిసిన లాగరిథమ్‌ల ద్వారా లాగరిథమ్‌లను కనుగొనడం
ఈ పేరాలోని సమాచారం వాటిని లెక్కించేటప్పుడు లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించడం అనే అంశాన్ని కొనసాగిస్తుంది. కానీ ఇక్కడ ప్రధాన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, సంవర్గమానాల యొక్క లక్షణాలు అసలు సంవర్గమానాన్ని మరొక లాగరిథమ్ పరంగా వ్యక్తీకరించడానికి ఉపయోగించబడతాయి, దాని విలువ తెలిసినది. స్పష్టత కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. లాగ్ 2 3≈1.584963 అని మనకు తెలుసు అని అనుకుందాం, ఉదాహరణకు, లాగరిథమ్ లక్షణాలను ఉపయోగించి కొద్దిగా పరివర్తన చేయడం ద్వారా లాగ్ 2 6ని కనుగొనవచ్చు: లాగ్ 2 6=లాగ్ 2 (2 3)=లాగ్ 2 2+లాగ్ 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
పై ఉదాహరణలో, ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగించడం మాకు సరిపోతుంది. అయినప్పటికీ, ఇచ్చిన వాటి ద్వారా అసలైన లాగరిథమ్‌ను లెక్కించడానికి లాగరిథమ్‌ల లక్షణాల యొక్క విస్తృత ఆర్సెనల్‌ను ఉపయోగించడం చాలా తరచుగా అవసరం.
ఉదాహరణ.
లాగ్ 60 2=a మరియు లాగ్ 60 5=b అని మీకు తెలిస్తే, 27 నుండి బేస్ 60 నుండి సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
కాబట్టి మనం లాగ్ 60 27ని కనుగొనాలి. 27 = 3 3 , మరియు శక్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం కారణంగా అసలు సంవర్గమానం 3·లాగ్ 60 3గా తిరిగి వ్రాయబడుతుందని చూడటం సులభం.
ఇప్పుడు తెలిసిన లాగరిథమ్‌ల పరంగా లాగ్ 60 3ని ఎలా వ్యక్తీకరించాలో చూద్దాం. ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం 60 60=1 సమానత్వ లాగ్‌ను వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది. మరోవైపు, లాగ్ 60 60=log60(2 2 3 5)= లాగ్ 60 2 2 +లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5= 2·లాగ్ 60 2+లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5 . ఈ విధంగా, 2 లాగ్ 60 2+లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5=1. అందుకే, లాగ్ 60 3=1−2·లాగ్ 60 2−లాగ్ 60 5=1−2·a−b.
చివరగా, మేము అసలు సంవర్గమానాన్ని గణిస్తాము: లాగ్ 60 27=3 లాగ్ 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
సమాధానం:
లాగ్ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
విడిగా, ఫారమ్ యొక్క లాగరిథమ్ యొక్క కొత్త స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రం యొక్క అర్ధాన్ని పేర్కొనడం విలువ. 
. ఇది ఏదైనా బేస్‌తో లాగరిథమ్‌ల నుండి నిర్దిష్ట బేస్‌తో లాగరిథమ్‌లకు తరలించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, వాటి విలువలు తెలిసినవి లేదా వాటిని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది. సాధారణంగా, ఒరిజినల్ లాగరిథమ్ నుండి, పరివర్తన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, అవి 2, ఇ లేదా 10 బేస్‌లలో ఒకదానిలో లాగరిథమ్‌లకు మారతాయి, ఎందుకంటే ఈ బేస్‌ల కోసం లాగరిథమ్‌ల పట్టికలు ఉన్నాయి, ఇవి వాటి విలువలను నిర్దిష్ట స్థాయితో లెక్కించడానికి అనుమతిస్తాయి. ఖచ్చితత్వం. IN తదుపరి పాయింట్ఇది ఎలా జరిగిందో మేము మీకు చూపుతాము.
లాగరిథమ్ పట్టికలు మరియు వాటి ఉపయోగాలు
సంవర్గమాన విలువల యొక్క ఉజ్జాయింపు గణన కోసం ఉపయోగించవచ్చు లాగరిథమ్ పట్టికలు. అత్యంత సాధారణంగా ఉపయోగించే బేస్ 2 సంవర్గమాన పట్టిక, సహజ సంవర్గమాన పట్టిక మరియు దశాంశ సంవర్గమాన పట్టిక. లో పని చేస్తున్నప్పుడు దశాంశ వ్యవస్థకాలిక్యులస్ కోసం, బేస్ టెన్ ఆధారంగా లాగరిథమ్‌ల పట్టికను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దాని సహాయంతో మేము లాగరిథమ్‌ల విలువలను కనుగొనడం నేర్చుకుంటాము.
సమర్పించబడిన పట్టిక 1,000 నుండి 9,999 వరకు (మూడు దశాంశ స్థానాలతో) సంఖ్యల దశాంశ లాగరిథమ్‌ల విలువలను పదివేల వంతు ఖచ్చితత్వంతో కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మేము దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టికను ఉపయోగించి సంవర్గమాన విలువను కనుగొనే సూత్రాన్ని విశ్లేషిస్తాము నిర్దిష్ట ఉదాహరణ- ఇది ఆ విధంగా స్పష్టంగా ఉంది. లాగ్1.256ని కనుగొనండి.
దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టిక యొక్క ఎడమ కాలమ్‌లో 1.256 సంఖ్య యొక్క మొదటి రెండు అంకెలను మనం కనుగొంటాము, అనగా, మేము 1.2 (స్పష్టత కోసం ఈ సంఖ్య నీలం రంగులో సర్కిల్ చేయబడింది). మేము 1.256 (అంకె 5) యొక్క మూడవ అంకెను మొదటి లేదా చివరి పంక్తిడబుల్ లైన్ యొక్క ఎడమ వైపున (ఈ సంఖ్య ఎరుపు రంగులో సర్కిల్ చేయబడింది). అసలైన సంఖ్య 1.256 (అంకె 6) యొక్క నాల్గవ అంకె డబుల్ లైన్ యొక్క కుడి వైపున మొదటి లేదా చివరి పంక్తిలో కనుగొనబడింది (ఈ సంఖ్య ఆకుపచ్చ గీతతో సర్కిల్ చేయబడింది). ఇప్పుడు మనం గుర్తించబడిన అడ్డు వరుస మరియు గుర్తించబడిన నిలువు వరుసల ఖండన వద్ద లాగరిథమ్‌ల పట్టికలోని కణాలలో సంఖ్యలను కనుగొంటాము (ఈ సంఖ్యలు హైలైట్ చేయబడ్డాయి నారింజ) గుర్తించబడిన సంఖ్యల మొత్తం నాల్గవ దశాంశ స్థానానికి ఖచ్చితమైన దశాంశ సంవర్గమానం యొక్క కావలసిన విలువను ఇస్తుంది, అనగా, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
పై పట్టికను ఉపయోగించి, దశాంశ బిందువు తర్వాత మూడు కంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉన్న సంఖ్యల దశాంశ లాగరిథమ్‌ల విలువలను, అలాగే 1 నుండి 9.999 పరిధికి మించిన వాటిని కనుగొనడం సాధ్యమేనా? మీరు చెయ్యవచ్చు అవును. ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.
lg102.76332ని లెక్కిద్దాం. మొదట మీరు వ్రాయాలి సంఖ్య ప్రామాణిక రూపం : 102.76332=1.0276332·10 2. దీని తరువాత, మాంటిస్సా మూడవ దశాంశ స్థానానికి గుండ్రంగా ఉండాలి, మనకు ఉంది 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, అసలు దశాంశ సంవర్గమానం సుమారుగా ఉంటుంది సంవర్గమానానికి సమానంఫలిత సంఖ్య, అంటే, మేము log102.76332≈lg1.028·10 2ని తీసుకుంటాము. ఇప్పుడు మేము లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను వర్తింపజేస్తాము: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. చివరగా, మేము దశాంశ సంవర్గమానాల lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 పట్టిక నుండి లాగరిథమ్ lg1.028 విలువను కనుగొంటాము. ఫలితంగా, లాగరిథమ్‌ను లెక్కించే మొత్తం ప్రక్రియ ఇలా కనిపిస్తుంది: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
ముగింపులో, దశాంశ సంవర్గమానాల పట్టికను ఉపయోగించి మీరు ఏదైనా లాగరిథమ్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను లెక్కించవచ్చని గమనించాలి. దీన్ని చేయడానికి, దశాంశ లాగరిథమ్‌లకు వెళ్లడానికి, వాటి విలువలను పట్టికలో కనుగొని, మిగిలిన గణనలను నిర్వహించడానికి పరివర్తన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సరిపోతుంది.
ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 3ని లెక్కిద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క కొత్త స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రం ప్రకారం, మనకు . దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టిక నుండి మనం లాగ్3≈0.4771 మరియు లాగ్2≈0.3010లను కనుగొంటాము. ఈ విధంగా, 
.
గ్రంథ పట్టిక.
- కోల్మోగోరోవ్ A.N., అబ్రమోవ్ A.M., డడ్నిట్సిన్ యు.పి. మరియు ఇతరులు. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం: సాధారణ విద్యా సంస్థల 10 - 11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం.
- గుసేవ్ V.A., మోర్డ్కోవిచ్ A.G. గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లోకి ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్).
ఈ రోజు మనం మాట్లాడతాము సంవర్గమాన సూత్రాలుమరియు మేము సూచనను అందిస్తాము పరిష్కార ఉదాహరణలు.
లాగరిథమ్‌ల ప్రాథమిక లక్షణాల ప్రకారం అవి స్వయంగా పరిష్కార నమూనాలను సూచిస్తాయి. పరిష్కరించడానికి సంవర్గమాన సూత్రాలను వర్తించే ముందు, మేము మీకు అన్ని లక్షణాలను గుర్తు చేద్దాం:
ఇప్పుడు, ఈ సూత్రాలు (గుణాలు) ఆధారంగా, మేము చూపుతాము లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు.
సూత్రాల ఆధారంగా లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు.
సంవర్గమానం a (లాగ్ a bతో సూచించబడుతుంది) ధనాత్మక సంఖ్య b అనేది b > 0, a > 0 మరియు 1 లతో b పొందడానికి తప్పనిసరిగా పెంచాల్సిన ఘాతాంకం.
ప్రకారం లాగ్ యొక్క నిర్వచనాలు a b = x, ఇది a x = bకి సమానం, కాబట్టి a a x = xని లాగ్ చేయండి.
లాగరిథమ్స్, ఉదాహరణలు:
లాగ్ 2 8 = 3, ఎందుకంటే 2 3 = 8
లాగ్ 7 49 = 2, ఎందుకంటే 7 2 = 49
లాగ్ 5 1/5 = -1, ఎందుకంటే 5 -1 = 1/5
దశాంశ సంవర్గమానం- ఇది సాధారణ సంవర్గమానం, దీని ఆధారం 10. ఇది lgగా సూచించబడుతుంది.
లాగ్ 10 100 = 2, ఎందుకంటే 10 2 = 100
సహజ సంవర్గమానం- సాధారణ సంవర్గమాన సంవర్గమానం కూడా, కానీ బేస్ ఇతో (e = 2.71828... - అకరణీయ సంఖ్య) ln గా సూచించబడింది.
లాగరిథమ్‌ల సూత్రాలు లేదా లక్షణాలను గుర్తుంచుకోవడం మంచిది, ఎందుకంటే లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించేటప్పుడు మనకు అవి తరువాత అవసరం, సంవర్గమాన సమీకరణాలుమరియు అసమానతలు. ఉదాహరణలతో ప్రతి ఫార్ములా ద్వారా మళ్లీ పని చేద్దాం.
- బేసిక్స్ లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
ఒక లాగ్ a b = b8 2లాగ్ 8 3 = (8 2లాగ్ 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం మొత్తానికి సమానంలాగరిథమ్స్
లాగ్ ఎ (బిసి) = లాగ్ ఎ బి + లాగ్ ఎ సిలాగ్ 3 8.1 + లాగ్ 3 10 = లాగ్ 3 (8.1*10) = లాగ్ 3 81 = 4
- సంవర్గమానం యొక్క సంవర్గమానం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం
log a (b/c) = log a b - log a c9 లాగ్ 5 50/9 లాగ్ 5 2 = 9 లాగ్ 5 50- లాగ్ 5 2 = 9 లాగ్ 5 25 = 9 2 = 81
- సంవర్గమాన సంఖ్య యొక్క శక్తి మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క లక్షణాలు
సంవర్గమానం యొక్క ఘాతాంకం లాగ్ సంఖ్యలు a b m = mlog a b
సంవర్గమానం లాగ్ యొక్క బేస్ యొక్క ఘాతాంకం a n b =1/n*log a b
లాగ్ a n b m = m/n*log a b,
m = n అయితే, మనకు లాగ్ a n b n = log a b వస్తుంది
లాగ్ 4 9 = లాగ్ 2 2 3 2 = లాగ్ 2 3
- కొత్త పునాదికి మార్పు
log a b = log c b/log c a,c = b అయితే, మనకు లాగ్ b b = 1 వస్తుంది
అప్పుడు లాగ్ a b = 1/log b a
లాగ్ 0.8 3*లాగ్ 3 1.25 = లాగ్ 0.8 3*లాగ్ 0.8 1.25/లాగ్ 0.8 3 = లాగ్ 0.8 1.25 = లాగ్ 4/5 5/4 = -1
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, లాగరిథమ్‌ల సూత్రాలు కనిపించేంత క్లిష్టంగా లేవు. ఇప్పుడు, లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలించిన తరువాత, మనం లాగరిథమిక్ సమీకరణాలకు వెళ్లవచ్చు. సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను మేము వ్యాసంలో మరింత వివరంగా పరిశీలిస్తాము: "". వదులుకోకు!
పరిష్కారం గురించి మీకు ఇంకా ప్రశ్నలు ఉంటే, వాటిని వ్యాసానికి వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి.
గమనిక: మేము వేరే తరగతి విద్యను పొందాలని మరియు విదేశాలలో చదువుకోవాలని నిర్ణయించుకున్నాము.
సూచనలు
ఇచ్చిన వాటిని వ్రాయండి సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణ. వ్యక్తీకరణ 10 యొక్క సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగిస్తే, దాని సంజ్ఞామానం కుదించబడుతుంది మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది: lg b అనేది దశాంశ సంవర్గమానం. సంవర్గమానం e సంఖ్యను బేస్‌గా కలిగి ఉంటే, వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి: ln b - సహజ సంవర్గమానం. బి సంఖ్యను పొందాలంటే ఆధార సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి ఏదైనా ఫలితం అని అర్థం అవుతుంది.
రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మీరు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా వేరు చేసి ఫలితాలను జోడించాలి: (u+v)" = u"+v";
రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనేటప్పుడు, మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ దానితో గుణించడం అవసరం మరియు రెండవ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని మొదటి ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించడం అవసరం: (u*v)" = u"*v +v"*u;
రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తి నుండి డివిడెండ్ ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించబడిన డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తిని డివిడెండ్ యొక్క ఫంక్షన్ ద్వారా గుణిస్తే, మరియు విభజించడం అవసరం. డివైజర్ ఫంక్షన్ స్క్వేర్డ్ ద్వారా ఇవన్నీ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
ఇస్తే క్లిష్టమైన ఫంక్షన్, అప్పుడు ఉత్పన్నాన్ని గుణించడం అవసరం అంతర్గత పనితీరుమరియు బాహ్య ఒకటి యొక్క ఉత్పన్నం. y=u(v(x)), ఆపై y"(x)=y"(u)*v"(x) అని చెప్పండి.
పైన పొందిన ఫలితాలను ఉపయోగించి, మీరు దాదాపు ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయవచ్చు. కాబట్టి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఫంక్షన్ y=e^(x^2+6x+5) ఇవ్వబడనివ్వండి, మీరు x=1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనాలి.
1) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి పాయింట్ ఇచ్చారు y"(1)=8*e^0=8
అంశంపై వీడియో
ప్రాథమిక ఉత్పన్నాల పట్టికను తెలుసుకోండి. ఇది గణనీయంగా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.
మూలాలు:
- స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం
కాబట్టి, తేడా ఏమిటి? ir హేతుబద్ధమైన సమీకరణంహేతుబద్ధమైన నుండి? గుర్తు కింద తెలియని వేరియబుల్ ఉంటే వర్గమూలం, అప్పుడు సమీకరణం అహేతుకంగా పరిగణించబడుతుంది.
సూచనలు
అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతి రెండు వైపులా నిర్మించే పద్ధతి సమీకరణాలుఒక చతురస్రాకారంలోకి. అయితే. ఇది సహజమైనది, మీరు చేయవలసిన మొదటి విషయం గుర్తును వదిలించుకోవడమే. ఈ పద్ధతి సాంకేతికంగా కష్టం కాదు, కానీ కొన్నిసార్లు ఇది ఇబ్బందికి దారి తీస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమీకరణం v(2x-5)=v(4x-7). రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా మీరు 2x-5=4x-7 పొందుతారు. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కష్టం కాదు; x=1. కానీ నంబర్ 1 ఇవ్వబడదు సమీకరణాలు. ఎందుకు? x విలువకు బదులుగా సమీకరణంలో ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు కుడి మరియు ఎడమ వైపులా అర్థం లేని వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి, అనగా. వర్గమూలానికి ఈ విలువ చెల్లదు. కాబట్టి 1 ఒక అదనపు మూలం, అందువలన ఇచ్చిన సమీకరణంమూలాలు లేవు.
కాబట్టి, ఒక అహేతుక సమీకరణం దాని రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, అదనపు మూలాలను కత్తిరించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కనుగొన్న మూలాలను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చండి.
మరొకటి పరిగణించండి.
2х+vx-3=0
వాస్తవానికి, ఈ సమీకరణాన్ని మునుపటి మాదిరిగానే అదే సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. సమ్మేళనాలను తరలించండి సమీకరణాలు, వర్గమూలం లేని, కుడి వైపుకు ఆపై స్క్వేర్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ఫలిత హేతుబద్ధ సమీకరణం మరియు మూలాలను పరిష్కరించండి. కానీ మరొకటి, మరింత సొగసైనది. కొత్త వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి; vх=y. దీని ప్రకారం, మీరు 2y2+y-3=0 ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని అందుకుంటారు. అంటే మామూలు వర్గ సమీకరణం. దాని మూలాలను కనుగొనండి; y1=1 మరియు y2=-3/2. తరువాత, రెండు పరిష్కరించండి సమీకరణాలు vх=1; vх=-3/2. రెండవ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు; మొదటి నుండి మనం x=1 అని కనుగొంటాము. మూలాలను తనిఖీ చేయడం మర్చిపోవద్దు.
గుర్తింపులను పరిష్కరించడం చాలా సులభం. దీన్ని చేయడానికి మీరు చేయాలి గుర్తింపు పరివర్తనలులక్ష్యం సాధించే వరకు. అందువలన, సరళమైన సహాయంతో అంకగణిత కార్యకలాపాలుచేతిలో ఉన్న పని పరిష్కరించబడుతుంది.
నీకు అవసరం అవుతుంది
- - కాగితం;
- - పెన్.
సూచనలు
అటువంటి రూపాంతరాలలో సరళమైనది బీజగణిత సంక్షిప్త గుణకారాలు (మొత్తం యొక్క వర్గము (తేడా), చతురస్రాల వ్యత్యాసం, మొత్తం (తేడా), మొత్తం యొక్క ఘనం (తేడా) వంటివి). అదనంగా, అనేక మరియు ఉన్నాయి త్రికోణమితి సూత్రాలు, ఇవి తప్పనిసరిగా ఒకే గుర్తింపులు.
నిజానికి, రెండు పదాల మొత్తం యొక్క వర్గము చతురస్రానికి సమానంమొదటి ప్లస్ మొదటి దాని యొక్క ఉత్పత్తిని రెండవ దానితో రెట్టింపు చేయండి మరియు రెండవ దాని యొక్క వర్గాన్ని కలిపి, అంటే (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
రెండింటినీ సరళీకరించండి
పరిష్కారం యొక్క సాధారణ సూత్రాలు
పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం పునరావృతం చేయండి గణిత విశ్లేషణలేదా ఉన్నత గణితం, ఇది ఖచ్చితమైన సమగ్రమైనది. తెలిసినట్లుగా, పరిష్కారం ఖచ్చితమైన సమగ్రఒక ఫంక్షన్ ఉంది, దీని ఉత్పన్నం సమగ్రతను ఇస్తుంది. ఈ ఫంక్షన్యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు. ద్వారా ఈ సూత్రంమరియు ప్రధాన సమగ్రాలను నిర్మిస్తుంది.పట్టిక సమగ్రాలలో ఏది సరిపోతుందో సమగ్ర రూపం ద్వారా నిర్ణయించండి ఈ విషయంలో. దీన్ని వెంటనే గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమగ్రతను సరళీకృతం చేయడానికి అనేక రూపాంతరాల తర్వాత మాత్రమే పట్టిక రూపం గుర్తించదగినదిగా మారుతుంది.
వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మెథడ్
ఇంటిగ్రండ్ ఫంక్షన్ అయితే త్రికోణమితి ఫంక్షన్, దీని వాదనలో కొంత బహుపది ఉంది, ఆపై వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి. దీన్ని చేయడానికి, సమగ్రత యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లోని బహుపదిని కొన్ని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేయండి. కొత్త మరియు పాత వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం ఆధారంగా, ఏకీకరణ యొక్క కొత్త పరిమితులను నిర్ణయించండి. భేదం ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణలో కొత్త భేదాన్ని కనుగొనండి. కాబట్టి మీరు పొందుతారు కొత్త రకంమునుపటి సమగ్రం, ఏదైనా పట్టికకు దగ్గరగా లేదా దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.రెండవ రకమైన సమగ్రాలను పరిష్కరించడం
సమగ్రత అనేది రెండవ రకానికి చెందిన సమగ్రం అయితే, సమగ్రత యొక్క వెక్టార్ రూపం, అప్పుడు మీరు ఈ ఇంటిగ్రల్స్ నుండి స్కేలార్ వాటికి మారడానికి నియమాలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. అటువంటి నియమాలలో ఒకటి ఆస్ట్రోగ్రాడ్‌స్కీ-గాస్ సంబంధం. ఈ చట్టంఇచ్చిన వెక్టర్ ఫీల్డ్ యొక్క డైవర్జెన్స్‌పై కొన్ని వెక్టర్ ఫంక్షన్ యొక్క రోటర్ ఫ్లక్స్ నుండి ట్రిపుల్ ఇంటిగ్రల్‌కు వెళ్లడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.ఏకీకరణ పరిమితుల ప్రత్యామ్నాయం
యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొన్న తర్వాత, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. మొదట విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి గరిష్ట పరిమితియాంటీడెరివేటివ్ కోసం వ్యక్తీకరణగా. మీకు కొంత సంఖ్య వస్తుంది. తరువాత, ఫలిత సంఖ్య నుండి తక్కువ పరిమితి నుండి పొందిన మరొక సంఖ్యను యాంటీడెరివేటివ్‌లోకి తీసివేయండి. ఏకీకరణ యొక్క పరిమితుల్లో ఒకటి అనంతం అయితే, దానిని ప్రత్యామ్నాయం చేసేటప్పుడు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్పరిమితికి వెళ్లి, వ్యక్తీకరణ దేని కోసం ప్రయత్నిస్తుందో కనుగొనడం అవసరం.సమగ్రం రెండు డైమెన్షనల్ లేదా త్రిమితీయ అయితే, సమగ్రతను ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలో అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు జ్యామితీయంగా ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను సూచించాలి. నిజానికి, చెప్పాలంటే, త్రిమితీయ సమగ్రత విషయంలో, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు మొత్తం సమతలంగా ఉంటాయి, ఇవి ఏకీకృతమయ్యే వాల్యూమ్‌ను పరిమితం చేస్తాయి.
దాని నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది. కాబట్టి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా ఎసంఖ్యను పెంచాల్సిన ఘాతాంకం వలె నిర్వచించబడింది aసంఖ్యను పొందడానికి బి(సంవర్గమానం సానుకూల సంఖ్యలకు మాత్రమే ఉంటుంది).
ఈ సూత్రీకరణ నుండి అది గణనను అనుసరిస్తుంది x=లాగ్ ఎ బి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సమానం a x =b.ఉదాహరణకి, లాగ్ 2 8 = 3ఎందుకంటే 8 = 2 3 . సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ దానిని సమర్థించడం సాధ్యం చేస్తుంది b=a c, ఆపై సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా aసమానం తో. సంవర్గమానాల అంశం సంఖ్య యొక్క శక్తుల అంశానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉందని కూడా స్పష్టమవుతుంది.
లాగరిథమ్‌లతో, ఏదైనా సంఖ్యల మాదిరిగానే, మీరు చేయవచ్చు కూడిక, తీసివేత కార్యకలాపాలుమరియు సాధ్యమైన ప్రతి విధంగా మార్చండి. కానీ లాగరిథమ్‌లు పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, వాటి స్వంత ప్రత్యేక నియమాలు ఇక్కడ వర్తిస్తాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం.
తో రెండు సంవర్గమానాలను తీసుకుందాం అదే ప్రాతిపదికన: లాగ్ a xమరియు లాగ్ a y. అప్పుడు అదనంగా మరియు తీసివేత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది:
లాగ్ a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
లాగ్ a(x 1 . x 2 . x 3 ... x కె) = లాగ్ a x 1 + లాగ్ a x 2 + లాగ్ a x 3 + ... + లాగ్ a x k.
నుండి సంవర్గమాన గణిత సిద్ధాంతంసంవర్గమానం యొక్క మరొక ఆస్తిని పొందవచ్చు. లాగ్ అని సాధారణ జ్ఞానం a 1= 0, కాబట్టి
లాగ్ a 1 /బి= చిట్టా a 1 - లాగ్ ఒక బి= -లాగ్ ఒక బి.
అంటే సమానత్వం ఉంది:
లాగ్ ఎ 1 / బి = - లాగ్ ఎ బి.
రెండు పరస్పర సంఖ్యల సంవర్గమానాలుఅదే కారణంతో ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటుంది. కాబట్టి:
లాగ్ 3 9= - లాగ్ 3 1 / 9 ; లాగ్ 5 1 / 125 = -లాగ్ 5 125.
ఆదిమ స్థాయి బీజగణితం యొక్క మూలకాలలో ఒకటి సంవర్గమానం. పేరు నుండి వచ్చింది గ్రీకు భాష"సంఖ్య" లేదా "శక్తి" అనే పదం నుండి మరియు అంతిమ సంఖ్యను కనుగొనడానికి బేస్‌లోని సంఖ్యను ఏ స్థాయికి పెంచాలి అని అర్థం.
లాగరిథమ్‌ల రకాలు
- లాగ్ a b – a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) ఆధారంగా b సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం;
- లాగ్ బి - దశాంశ సంవర్గమానం (సంవర్గమానం నుండి బేస్ 10, a = 10);
- ln b – సహజ సంవర్గమానం (సంవర్గమానం నుండి బేస్ ఇ, a = ఇ).
లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి?
b నుండి a ఆధారిత సంవర్గమానం ఒక ఘాతాంకం, దీనికి bని బేస్ aకి పెంచాలి. పొందిన ఫలితం ఇలా ఉచ్ఛరిస్తారు: "b యొక్క సంవర్గమానం a బేస్ a." పరిష్కారం లాగరిథమిక్ సమస్యలుఅనేది మీరు నిర్ణయించుకోవాలి ఈ డిగ్రీసంఖ్యల ద్వారా సూచించిన సంఖ్యలు. సంవర్గమానాన్ని గుర్తించడానికి లేదా పరిష్కరించడానికి, అలాగే సంజ్ఞామానాన్ని మార్చడానికి కొన్ని ప్రాథమిక నియమాలు ఉన్నాయి. వాటిని ఉపయోగించి, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు పరిష్కరించబడతాయి, ఉత్పన్నాలు కనుగొనబడతాయి, సమగ్రతలు పరిష్కరించబడతాయి మరియు అనేక ఇతర కార్యకలాపాలు నిర్వహించబడతాయి. ప్రాథమికంగా, లాగరిథమ్‌కు పరిష్కారం దాని సరళీకృత సంజ్ఞామానం. క్రింద ప్రాథమిక సూత్రాలు మరియు లక్షణాలు ఉన్నాయి:
ఏదైనా ఒక కోసం; a > 0; a ≠ 1 మరియు ఏదైనా x ; y > 0.
- a log a b = b – ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు
- లాగ్ a 1 = 0
- లోగా a = 1
- log a (x y) = లాగ్ a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- లాగ్ a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- లాగ్ a k x = 1/k లాగ్ a x , k ≠ 0 కోసం
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రం
- లాగ్ a x = 1/లాగ్ x a
లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి - పరిష్కరించడానికి దశల వారీ సూచనలు
- మొదట, అవసరమైన సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
దయచేసి గమనించండి: బేస్ సంవర్గమానం 10 అయితే, ప్రవేశం కుదించబడుతుంది, ఫలితంగా దశాంశ సంవర్గమానం వస్తుంది. సహజ సంఖ్య e ఉంటే, మేము దానిని వ్రాసి, దానిని తగ్గిస్తాము సహజ సంవర్గమానం. దీనర్థం అన్ని లాగరిథమ్‌ల ఫలితం b సంఖ్యను పొందేందుకు మూల సంఖ్యను పెంచిన శక్తి.
నేరుగా, ఈ డిగ్రీని లెక్కించడంలో పరిష్కారం ఉంది. సంవర్గమానంతో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించే ముందు, దానిని నియమం ప్రకారం సరళీకృతం చేయాలి, అంటే సూత్రాలను ఉపయోగించడం. మీరు వ్యాసంలో కొంచెం వెనక్కి వెళ్లడం ద్వారా ప్రధాన గుర్తింపులను కనుగొనవచ్చు.
రెండు తో లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం వివిధ సంఖ్యలు, కానీ అదే స్థావరాలతో, వరుసగా b మరియు c సంఖ్యల ఉత్పత్తి లేదా విభజనతో ఒక లాగరిథమ్‌తో భర్తీ చేయండి. ఈ సందర్భంలో, మీరు మరొక స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు (పైన చూడండి).
మీరు లాగరిథమ్‌ను సరళీకృతం చేయడానికి వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగిస్తే, పరిగణించవలసిన కొన్ని పరిమితులు ఉన్నాయి. మరియు అది: సంవర్గమానం a యొక్క ఆధారం మాత్రమే సానుకూల సంఖ్య, కాని కాదు ఒకరికి సమానం. సంఖ్య b, a లాగా, తప్పనిసరిగా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.
వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం ద్వారా, మీరు లాగరిథమ్‌ను లెక్కించలేని సందర్భాలు ఉన్నాయి సంఖ్యా రూపం. అటువంటి వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదని ఇది జరుగుతుంది, ఎందుకంటే అనేక శక్తులు అహేతుక సంఖ్యలు. ఈ పరిస్థితిలో, సంఖ్య యొక్క శక్తిని లాగరిథమ్‌గా వదిలివేయండి.
