సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను నిర్వచించండి. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు

పని యొక్క వచనం చిత్రాలు మరియు సూత్రాలు లేకుండా పోస్ట్ చేయబడింది.
పని యొక్క పూర్తి వెర్షన్ PDF ఆకృతిలో "వర్క్ ఫైల్స్" ట్యాబ్‌లో అందుబాటులో ఉంది

పరిచయం

సంఖ్యల ప్రపంచం చాలా రహస్యమైనది మరియు ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. మన ప్రపంచంలో సంఖ్యలు చాలా ముఖ్యమైనవి. సంఖ్యల మూలం మరియు మన జీవితంలో వాటి అర్థం గురించి నేను వీలైనంత ఎక్కువగా తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నాను. వాటిని ఎలా ఉపయోగించాలి మరియు అవి మన జీవితంలో ఏ పాత్ర పోషిస్తాయి?

గత సంవత్సరం గణిత పాఠాలలో మేము "పాజిటివ్ మరియు నెగటివ్ నంబర్స్" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించాము. నాకు ఒక ప్రశ్న ఉంది: ప్రతికూల సంఖ్యలు ఎప్పుడు కనిపించాయి, ఏ దేశంలో, ఏ శాస్త్రవేత్తలు ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేశారు. నేను వికీపీడియాలో చదివాను, ప్రతికూల సంఖ్య ప్రతికూల సంఖ్యల సమితి యొక్క మూలకం, ఇది సహజ సంఖ్యల సమితిని విస్తరించేటప్పుడు గణితంలో (సున్నాతో కలిపి) కనిపించింది. పొడిగింపు యొక్క ఉద్దేశ్యం వ్యవకలన చర్యను ఏదైనా సంఖ్యపై నిర్వహించడానికి అనుమతించడం. విస్తరణ ఫలితంగా, పూర్ణాంకాల సమితి (రింగ్) పొందబడుతుంది, ఇందులో ధనాత్మక (సహజ) సంఖ్యలు, ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు సున్నా ఉంటాయి.

ఫలితంగా, నేను ప్రతికూల సంఖ్యల చరిత్రను అన్వేషించాలని నిర్ణయించుకున్నాను.

ప్రతికూల మరియు సానుకూల సంఖ్యల ఆవిర్భావం యొక్క చరిత్రను అధ్యయనం చేయడం ఈ పని యొక్క ఉద్దేశ్యం.

అధ్యయనం యొక్క వస్తువు - ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు సానుకూల సంఖ్యలు

సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల చరిత్ర

ప్రజలు ప్రతికూల సంఖ్యలకు అలవాటు పడటానికి చాలా సమయం పట్టింది. ప్రతికూల సంఖ్యలు వారికి అపారమయినవిగా అనిపించాయి, వారు వాటిని ఉపయోగించలేదు, వాటిలో ఎక్కువ అర్థాన్ని చూడలేదు. ఈ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు మరియు సాధారణ భిన్నాల కంటే చాలా ఆలస్యంగా కనిపించాయి.

ప్రతికూల సంఖ్యల గురించిన మొదటి సమాచారం 2వ శతాబ్దంలో చైనీస్ గణిత శాస్త్రవేత్తలచే కనుగొనబడింది. క్రీ.పూ ఇ. మరియు అప్పుడు కూడా, సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాలు మాత్రమే తెలుసు; గుణకారం మరియు భాగహారం యొక్క నియమాలు వర్తించవు.

చైనీస్ గణితంలో, సానుకూల పరిమాణాలను "చెన్" అని పిలుస్తారు, ప్రతికూల పరిమాణాలను "ఫు" అని పిలుస్తారు; అవి వేర్వేరు రంగులలో చిత్రీకరించబడ్డాయి: "చెన్" - ఎరుపు, "ఫు" - నలుపు. ఇది "అరిథ్మెటిక్ ఇన్ నైన్ చాప్టర్స్" (రచయిత జాంగ్ కెన్) పుస్తకంలో చూడవచ్చు. ఈ వర్ణన పద్ధతి 12వ శతాబ్దం మధ్యకాలం వరకు చైనాలో ఉపయోగించబడింది, ప్రతికూల సంఖ్యలకు మరింత అనుకూలమైన హోదాను లి యే ప్రతిపాదించే వరకు - ప్రతికూల సంఖ్యలను వర్ణించే సంఖ్యలు కుడి నుండి ఎడమకు వికర్ణంగా ఒక రేఖతో దాటబడ్డాయి.

7వ శతాబ్దంలో మాత్రమే. భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ప్రతికూల సంఖ్యలను విస్తృతంగా ఉపయోగించడం ప్రారంభించారు, కానీ వాటిని కొంత అపనమ్మకంతో చూశారు. భాస్కర నేరుగా ఇలా వ్రాశాడు: “ప్రజలు నైరూప్య ప్రతికూల సంఖ్యలను ఆమోదించరు...”. భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు బ్రహ్మగుప్తుడు కూడిక మరియు తీసివేత నియమాలను ఈ విధంగా రూపొందించాడు: “ఆస్తి మరియు ఆస్తి ఆస్తి, రెండు అప్పుల మొత్తం అప్పు; ఆస్తి మరియు సున్నా మొత్తం ఆస్తి; రెండు సున్నాల మొత్తం సున్నా... సున్నా నుండి తీసివేసిన అప్పు ఆస్తిగా మారుతుంది మరియు ఆస్తి అప్పుగా మారుతుంది. అప్పు నుండి ఆస్తిని మరియు ఆస్తి నుండి అప్పును తీసివేయవలసి వస్తే, వారు వారి మొత్తాన్ని తీసుకుంటారు. "రెండు ఆస్తుల మొత్తం ఆస్తి."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

భారతీయులు సానుకూల సంఖ్యలను "ధన" లేదా "స్వ" (ఆస్తి), మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను "రిణ" లేదా "క్షయ" (రుణం) అని పిలుస్తారు. భారతీయ శాస్త్రవేత్తలు, జీవితంలో అటువంటి వ్యవకలనం యొక్క ఉదాహరణలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తున్నారు, వాణిజ్య గణనల కోణం నుండి దానిని అర్థం చేసుకోవడానికి వచ్చారు. ఒక వ్యాపారి 5000 రూబిళ్లు కలిగి ఉంటే. మరియు 3000 రూబిళ్లు కోసం వస్తువులను కొనుగోలు చేస్తాడు, అతనికి 5000 - 3000 = 2000 రూబిళ్లు మిగిలి ఉన్నాయి. అతను 3,000 రూబిళ్లు కలిగి ఉంటే, కానీ 5,000 రూబిళ్లు కోసం కొనుగోలు చేస్తే, అప్పుడు అతను 2,000 రూబిళ్లు రుణంలో ఉంటాడు. దీనికి అనుగుణంగా, ఇక్కడ 3000 - 5000 వ్యవకలనం జరిగిందని నమ్ముతారు, ఫలితంగా 2000 సంఖ్య ఎగువన చుక్కతో ఉంటుంది, అంటే "రెండు వేల అప్పు". ఈ వివరణ కృత్రిమమైనది; వ్యాపారి 3000 - 5000 తీసివేయడం ద్వారా అప్పు మొత్తాన్ని కనుగొనలేదు, కానీ ఎల్లప్పుడూ 5000 - 3000 తీసివేసాడు.

కొద్దిసేపటి తరువాత, ప్రాచీన భారతదేశం మరియు చైనాలో, వారు "10 యువాన్ల అప్పు" అనే పదాలకు బదులుగా "10 యువాన్" అని వ్రాస్తారు, కానీ ఈ చిత్రలిపిని నల్ల సిరాతో గీస్తారు. మరియు పురాతన కాలంలో సంఖ్యల కోసం లేదా చర్యల కోసం “+” మరియు “-” సంకేతాలు లేవు.

గ్రీకులు కూడా మొదట సంకేతాలను ఉపయోగించలేదు. పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త డయోఫాంటస్ ప్రతికూల సంఖ్యలను అస్సలు గుర్తించలేదు మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ప్రతికూల మూలాన్ని పొందినట్లయితే, అతను దానిని "అసాధ్యం" అని విస్మరించాడు. మరియు డయోఫాంటస్ ప్రతికూల మూలాలను నివారించే విధంగా సమస్యలను రూపొందించడానికి మరియు సమీకరణాలను రూపొందించడానికి ప్రయత్నించాడు, కాని త్వరలో అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన డయోఫాంటస్ ఒక సంకేతంతో వ్యవకలనాన్ని సూచించడం ప్రారంభించాడు.

సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలతో వ్యవహరించే నియమాలు 3వ శతాబ్దంలో ఈజిప్టులో ఇప్పటికే ప్రతిపాదించబడ్డాయి. ప్రతికూల పరిమాణాల పరిచయం మొదట డయోఫాంటస్‌తో సంభవించింది. వాటి కోసం ప్రత్యేక చిహ్నాన్ని కూడా ఉపయోగించాడు. అదే సమయంలో, డయోఫాంటస్ "రెండు వైపులా ప్రతికూలతను జోడిద్దాం" వంటి ప్రసంగం యొక్క గణాంకాలను ఉపయోగిస్తాడు మరియు సంకేతాల నియమాన్ని కూడా రూపొందిస్తాడు: "ప్రతికూలతతో గుణించిన ప్రతికూలత సానుకూలతను ఇస్తుంది, అయితే ప్రతికూలతతో గుణించడం సానుకూలతను ఇస్తుంది. ప్రతికూల."

ఐరోపాలో, ప్రతికూల సంఖ్యలను 12వ-13వ శతాబ్దాల నుండి ఉపయోగించడం ప్రారంభమైంది, కానీ 16వ శతాబ్దం వరకు కాదు. చాలా మంది శాస్త్రవేత్తలు వాటిని "తప్పుడు", "ఊహాత్మక" లేదా "అసంబద్ధం"గా భావించారు, సానుకూల సంఖ్యలకు విరుద్ధంగా - "నిజం". సానుకూల సంఖ్యలు "ఆస్తి"గా మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను "రుణం", "కొరత"గా కూడా అన్వయించబడ్డాయి. ప్రఖ్యాత గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు బ్లేజ్ పాస్కల్ కూడా 0 - 4 = 0 అని వాదించాడు, ఎందుకంటే ఏదీ ఏమీ తక్కువ కాదు. ఐరోపాలో, పిసాకు చెందిన లియోనార్డో ఫిబొనాక్సీ 13వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో ప్రతికూల పరిమాణం యొక్క ఆలోచనకు చాలా దగ్గరగా వచ్చారు. ఫ్రెడరిక్ II యొక్క కోర్టు గణిత శాస్త్రజ్ఞులతో సమస్య-పరిష్కార పోటీలో, పిసాకు చెందిన లియోనార్డో సమస్యను పరిష్కరించమని అడిగారు: అనేక మంది వ్యక్తుల మూలధనాన్ని కనుగొనడం అవసరం. Fibonacci ప్రతికూల విలువను పొందింది. "ఈ కేసు" అని ఫిబొనాక్సీ అన్నాడు, "ఒకరికి మూలధనం లేదని, కానీ అప్పు ఉందని మేము అంగీకరించకపోతే తప్ప, అసాధ్యం." అయినప్పటికీ, ప్రతికూల సంఖ్యలను మొదటిసారిగా 15వ శతాబ్దం చివరలో ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు చుక్వెట్ స్పష్టంగా ఉపయోగించారు. అంకగణితం మరియు బీజగణితంపై చేతితో వ్రాసిన గ్రంథం రచయిత, "మూడు భాగాలలో సంఖ్యల శాస్త్రం." షుక్ యొక్క ప్రతీకవాదం ఆధునికతకు దగ్గరగా ఉంటుంది.

ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, భౌతిక శాస్త్రవేత్త మరియు తత్వవేత్త రెనే డెస్కార్టెస్ యొక్క పని ద్వారా ప్రతికూల సంఖ్యల గుర్తింపు సులభతరం చేయబడింది. అతను సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల రేఖాగణిత వివరణను ప్రతిపాదించాడు - అతను కోఆర్డినేట్ లైన్‌ను ప్రవేశపెట్టాడు. (1637)

ప్రారంభ 0 యొక్క కుడి వైపున ఉన్న పాయింట్ల ద్వారా సంఖ్య అక్షంపై సానుకూల సంఖ్యలు సూచించబడతాయి, ప్రతికూల సంఖ్యలు - ఎడమ వైపున ఉంటాయి. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల రేఖాగణిత వివరణ వారి గుర్తింపుకు దోహదపడింది.

1544లో, జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మైఖేల్ స్టీఫెల్ మొదట ప్రతికూల సంఖ్యలను సున్నా కంటే తక్కువ సంఖ్యలుగా పరిగణించాడు (అంటే "ఏమీ కంటే తక్కువ"). ఈ పాయింట్ నుండి, ప్రతికూల సంఖ్యలు ఇకపై రుణంగా పరిగణించబడవు, కానీ పూర్తిగా కొత్త మార్గంలో. స్టీఫెల్ స్వయంగా ఇలా వ్రాశాడు: "సున్నా మరియు అసంబద్ధ సంఖ్యల మధ్య సున్నా ఉంది ..."

స్టీఫెల్‌తో దాదాపు ఏకకాలంలో, డయోఫాంటస్ యొక్క పనిని తిరిగి కనుగొన్న ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఇంజనీర్ అయిన బొంబెల్లి రాఫెల్ (సుమారు 1530-1572) ద్వారా ప్రతికూల సంఖ్యల ఆలోచనను సమర్థించారు.

అదేవిధంగా, గిరార్డ్ ప్రతికూల సంఖ్యలను పూర్తిగా ఆమోదయోగ్యమైన మరియు ఉపయోగకరమైనదిగా పరిగణించాడు, ప్రత్యేకించి, ఏదో లేకపోవడాన్ని సూచించడానికి.

ప్రతి భౌతిక శాస్త్రవేత్త నిరంతరం సంఖ్యలతో వ్యవహరిస్తాడు: అతను ఎల్లప్పుడూ ఏదో కొలుస్తాడు, లెక్కిస్తాడు, లెక్కిస్తాడు. అతని పేపర్లలో ప్రతిచోటా అంకెలు, సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలు ఉన్నాయి. మీరు భౌతిక శాస్త్రవేత్త యొక్క గమనికలను దగ్గరగా చూస్తే, సంఖ్యలను వ్రాసేటప్పుడు, అతను తరచుగా "+" మరియు "-" సంకేతాలను ఉపయోగిస్తాడని మీరు కనుగొంటారు. (ఉదాహరణకు: థర్మామీటర్, లోతు మరియు ఎత్తు స్థాయి)

19వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో మాత్రమే. ప్రతికూల సంఖ్యల సిద్ధాంతం దాని అభివృద్ధిని పూర్తి చేసింది మరియు "అసంబద్ధ సంఖ్యలు" సార్వత్రిక గుర్తింపును పొందాయి.

సంఖ్య యొక్క భావన యొక్క నిర్వచనం

ఆధునిక ప్రపంచంలో, ప్రజలు తమ మూలం గురించి కూడా ఆలోచించకుండా నిరంతరం సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తారు. గత జ్ఞానం లేకుండా వర్తమానాన్ని అర్థం చేసుకోవడం అసాధ్యం. గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో సంఖ్య ఒకటి. సంఖ్య యొక్క భావన పరిమాణాల అధ్యయనంతో సన్నిహిత సంబంధంలో అభివృద్ధి చేయబడింది; ఈ అనుబంధం నేటికీ కొనసాగుతోంది. ఆధునిక గణితశాస్త్రంలోని అన్ని శాఖలలో మనం వేర్వేరు పరిమాణాలను పరిగణించాలి మరియు సంఖ్యలను ఉపయోగించాలి. సంఖ్య అనేది వస్తువులను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సంగ్రహణం. లెక్కింపు అవసరాల నుండి ఆదిమ సమాజంలో ఉద్భవించిన తరువాత, సంఖ్య యొక్క భావన మార్చబడింది మరియు సుసంపన్నం చేయబడింది మరియు అతి ముఖ్యమైన గణిత భావనగా మారింది.

"సంఖ్య" అనే భావనకు పెద్ద సంఖ్యలో నిర్వచనాలు ఉన్నాయి.

సంఖ్య యొక్క మొదటి శాస్త్రీయ నిర్వచనం యూక్లిడ్ తన మూలకాలలో అందించాడు, అతను స్పష్టంగా తన దేశస్థుడైన యూడోక్సస్ ఆఫ్ క్నిడస్ (సుమారు 408 - సుమారు 355 BC) నుండి వారసత్వంగా పొందాడు: “ఒక యూనిట్ అంటే దాని ప్రకారం ఉన్న ప్రతి వస్తువును ఒకటిగా పిలుస్తారు. . ఒక సంఖ్య అనేది యూనిట్లతో రూపొందించబడిన సమితి." ఈ విధంగా రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మాగ్నిట్స్కీ తన "అరిథ్మెటిక్" (1703)లో సంఖ్య యొక్క భావనను నిర్వచించాడు. యూక్లిడ్ కంటే ముందే, అరిస్టాటిల్ ఈ క్రింది నిర్వచనాన్ని ఇచ్చాడు: "ఒక సంఖ్య అనేది యూనిట్లను ఉపయోగించి కొలవబడే సమితి." అతని “జనరల్ అరిథ్మెటిక్” (1707)లో, గొప్ప ఆంగ్ల భౌతిక శాస్త్రవేత్త, మెకానిక్, ఖగోళ శాస్త్రవేత్త మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఐజాక్ న్యూటన్ ఇలా వ్రాశాడు: “సంఖ్య ద్వారా మనం అదే రకమైన మరొక పరిమాణానికి పరిమాణానికి సంబంధించిన నైరూప్య సంబంధమైన యూనిట్ల సమితిని కాదు. , యూనిట్‌గా తీసుకోబడింది.” . మూడు రకాల సంఖ్యలు ఉన్నాయి: పూర్ణాంకం, భిన్నం మరియు అహేతుకం. పూర్ణ సంఖ్య అనేది ఒకదానితో కొలవబడేది; భిన్నం అనేది ఒకదాని యొక్క గుణకం, అహేతుకం అనేది ఒకదానికి సరిపోని సంఖ్య."

మారియుపోల్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు S.F. క్లయికోవ్ కూడా సంఖ్య యొక్క భావన యొక్క నిర్వచనానికి దోహదపడ్డారు: "సంఖ్యలు వాస్తవ ప్రపంచం యొక్క గణిత నమూనాలు, మనిషి తన జ్ఞానం కోసం కనుగొన్నారు." అతను "ఫంక్షనల్ నంబర్స్" అని పిలవబడే సంఖ్యలను సాంప్రదాయిక సంఖ్యల వర్గీకరణలో ప్రవేశపెట్టాడు, అంటే సాధారణంగా ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఫంక్షన్లు అని పిలుస్తారు.

వస్తువులను లెక్కించేటప్పుడు సహజ సంఖ్యలు ఉద్భవించాయి. దీని గురించి నేను 5వ తరగతిలో నేర్చుకున్నాను. పరిమాణాలను కొలవవలసిన మానవ అవసరం ఎల్లప్పుడూ పూర్ణ సంఖ్యలలో వ్యక్తీకరించబడదని నేను తెలుసుకున్నాను. సహజ సంఖ్యల సమితిని భిన్నాలకు విస్తరించిన తర్వాత, ఏదైనా పూర్ణాంకాన్ని మరొక పూర్ణాంకంతో భాగించడం సాధ్యమైంది (సున్నాతో భాగహారం మినహా). పాక్షిక సంఖ్యలు కనిపించాయి. చాలా కాలం వరకు, ఒక పూర్ణాంకాన్ని మరొక పూర్ణాంకం నుండి తీసివేయడం, తగ్గించబడినదాని కంటే తీసివేయబడినది ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు, అసాధ్యం అనిపించింది. నాకు ఆసక్తికరమైన విషయం ఏమిటంటే, చాలా కాలంగా చాలా మంది గణిత శాస్త్రవేత్తలు ప్రతికూల సంఖ్యలను గుర్తించలేదు, అవి నిజమైన దృగ్విషయాలకు అనుగుణంగా లేవని నమ్ముతారు.

"ప్లస్" మరియు "మైనస్" పదాల మూలం

పదాలు ప్లస్ - "ఎక్కువ", మైనస్ - "తక్కువ" పదాల నుండి వచ్చాయి. మొదట, చర్యలు p అనే మొదటి అక్షరాలతో సూచించబడ్డాయి; m. చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఇష్టపడతారు లేదా ఆధునిక సంకేతాల మూలం “+” మరియు “-” పూర్తిగా స్పష్టంగా లేదు. “+” గుర్తు బహుశా సంక్షిప్తీకరణ et నుండి వచ్చింది, అనగా. "మరియు". అయినప్పటికీ, ఇది వాణిజ్య అభ్యాసం నుండి ఉద్భవించి ఉండవచ్చు: బారెల్‌పై విక్రయించబడిన వైన్ కొలతలు "-" అని గుర్తించబడ్డాయి మరియు స్టాక్ పునరుద్ధరించబడినప్పుడు, అవి "+" గుర్తుకు దారితీశాయి.

ఇటలీలో, వడ్డీ వ్యాపారులు, డబ్బు అప్పుగా ఇచ్చేటప్పుడు, రుణగ్రహీత పేరు ముందు అప్పు మొత్తాన్ని మరియు డాష్‌ను మా మైనస్ లాగా ఉంచారు మరియు రుణగ్రహీత డబ్బును తిరిగి ఇచ్చినప్పుడు, వారు దానిని దాటినప్పుడు, అది మన ప్లస్ లాగా మారింది.

15వ శతాబ్దం చివరి దశాబ్దంలో జర్మనీలో ఆధునిక "+" సంకేతాలు కనిపించాయి. విడ్మాన్ పుస్తకంలో, ఇది వ్యాపారులకు గణనకు మార్గదర్శకంగా ఉంది (1489). చెక్ జాన్ విడ్‌మాన్ ఇప్పటికే కూడిక మరియు తీసివేత కోసం “+” మరియు “-” వ్రాసారు.

కొద్దిసేపటి తరువాత, జర్మన్ శాస్త్రవేత్త మిచెల్ స్టీఫెల్ 1544లో ప్రచురించబడిన "కంప్లీట్ అరిథ్మెటిక్" రాశాడు. ఇది సంఖ్యల కోసం క్రింది ఎంట్రీలను కలిగి ఉంది: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. అతను మొదటి రకం సంఖ్యలను "ఏమీ కంటే తక్కువ" లేదా "ఏమీ కంటే తక్కువ" అని పిలిచాడు. అతను రెండవ రకం సంఖ్యలను "ఏమీ కంటే ఎక్కువ" లేదా "ఏమీ కంటే ఎక్కువ" అని పిలిచాడు. వాస్తవానికి, మీరు ఈ పేర్లను అర్థం చేసుకున్నారు, ఎందుకంటే “ఏమీ లేదు” 0.

ఈజిప్టులో ప్రతికూల సంఖ్యలు

అయినప్పటికీ, అటువంటి సందేహాలు ఉన్నప్పటికీ, సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలతో పనిచేసే నియమాలు ఈజిప్టులో 3వ శతాబ్దంలో ఇప్పటికే ప్రతిపాదించబడ్డాయి. ప్రతికూల పరిమాణాల పరిచయం మొదట డయోఫాంటస్‌తో సంభవించింది. అతను వాటి కోసం ఒక ప్రత్యేక చిహ్నాన్ని కూడా ఉపయోగించాడు (ఈ రోజుల్లో మనం ఈ ప్రయోజనం కోసం మైనస్ గుర్తును ఉపయోగిస్తాము). నిజమే, శాస్త్రవేత్తలు డయోఫాంటస్ యొక్క చిహ్నం ప్రతికూల సంఖ్యను సూచిస్తుందా లేదా కేవలం వ్యవకలనం ఆపరేషన్ అని వాదించారు, ఎందుకంటే డయోఫాంటస్‌లో ప్రతికూల సంఖ్యలు ఒంటరిగా జరగవు, కానీ సానుకూల వ్యత్యాసాల రూపంలో మాత్రమే; మరియు అతను సమస్యలకు సమాధానాలుగా హేతుబద్ధమైన సానుకూల సంఖ్యలను మాత్రమే పరిగణిస్తాడు. కానీ అదే సమయంలో, డయోఫాంటస్ "రెండు వైపులా ప్రతికూలతను జోడిద్దాం" వంటి ప్రసంగాన్ని ఉపయోగిస్తాడు మరియు సంకేతాల నియమాన్ని కూడా రూపొందిస్తాడు: "ప్రతికూలతతో గుణించిన ప్రతికూలత సానుకూలతను ఇస్తుంది, అయితే ప్రతికూలత సానుకూలంగా గుణించబడుతుంది. ప్రతికూలతను ఇస్తుంది” (అంటే, ఇది ఇప్పుడు సాధారణంగా రూపొందించబడింది: “మైనస్ బై మైనస్ ప్లస్‌ని ఇస్తుంది, మైనస్ బై ప్లస్ మైనస్ ఇస్తుంది”).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

ప్రాచీన ఆసియాలో ప్రతికూల సంఖ్యలు

చైనీస్ గణితంలో, సానుకూల పరిమాణాలను "చెన్" అని పిలుస్తారు, ప్రతికూల పరిమాణాలను "ఫు" అని పిలుస్తారు; అవి వేర్వేరు రంగులలో చిత్రీకరించబడ్డాయి: "చెన్" - ఎరుపు, "ఫు" - నలుపు. ఈ వర్ణన పద్ధతి 12వ శతాబ్దం మధ్యకాలం వరకు చైనాలో ఉపయోగించబడింది, ప్రతికూల సంఖ్యలకు మరింత అనుకూలమైన హోదాను లి యే ప్రతిపాదించే వరకు - ప్రతికూల సంఖ్యలను వర్ణించే సంఖ్యలు కుడి నుండి ఎడమకు వికర్ణంగా ఒక రేఖతో దాటబడ్డాయి. భారతీయ శాస్త్రవేత్తలు, జీవితంలో అటువంటి వ్యవకలనం యొక్క ఉదాహరణలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తున్నారు, వాణిజ్య గణనల కోణం నుండి దానిని అర్థం చేసుకోవడానికి వచ్చారు.

ఒక వ్యాపారి 5000 రూబిళ్లు కలిగి ఉంటే. మరియు 3000 రూబిళ్లు కోసం వస్తువులను కొనుగోలు చేస్తాడు, అతనికి 5000 - 3000 = 2000 రూబిళ్లు మిగిలి ఉన్నాయి. అతను 3,000 రూబిళ్లు కలిగి ఉంటే, కానీ 5,000 రూబిళ్లు కోసం కొనుగోలు చేస్తే, అప్పుడు అతను 2,000 రూబిళ్లు రుణంలో ఉంటాడు. దీనికి అనుగుణంగా, ఇక్కడ 3000 - 5000 వ్యవకలనం జరిగిందని నమ్ముతారు, ఫలితంగా 2000 సంఖ్య ఎగువన చుక్కతో ఉంటుంది, అంటే "రెండు వేల అప్పు".

ఈ వివరణ కృత్రిమమైనది; వ్యాపారి 3000 - 5000 తీసివేయడం ద్వారా అప్పు మొత్తాన్ని కనుగొనలేదు, కానీ ఎల్లప్పుడూ 5000 - 3000 తీసివేసాడు. అదనంగా, ఈ ప్రాతిపదికన, "సంఖ్యలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాలను పొడిగించడంతో మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. చుక్కలతో,” కానీ గుణకారం లేదా భాగహారం యొక్క నియమాలను వివరించడం అసాధ్యం.

5-6వ శతాబ్దాలలో, ప్రతికూల సంఖ్యలు కనిపించాయి మరియు భారతీయ గణితంలో చాలా విస్తృతంగా వ్యాపించాయి. భారతదేశంలో, ప్రతికూల సంఖ్యలు క్రమపద్ధతిలో ఉపయోగించబడుతున్నాయి, మనం ఇప్పుడు చేస్తున్నట్లే. భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు 7వ శతాబ్దం నుండి ప్రతికూల సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తున్నారు. n. ఇ.: బ్రహ్మగుప్తుడు వారితో అంకగణిత కార్యకలాపాలకు సంబంధించిన నియమాలను రూపొందించాడు. అతని పనిలో మనం ఇలా చదువుతాము: “ఆస్తి మరియు ఆస్తి ఆస్తి, రెండు అప్పుల మొత్తం అప్పు; ఆస్తి మరియు సున్నా మొత్తం ఆస్తి; రెండు సున్నాల మొత్తం సున్నా... సున్నా నుండి తీసివేసిన అప్పు ఆస్తిగా మారుతుంది మరియు ఆస్తి అప్పుగా మారుతుంది. అప్పు నుండి ఆస్తిని మరియు ఆస్తి నుండి అప్పును తీసివేయవలసి వస్తే, వారు వారి మొత్తాన్ని తీసుకుంటారు.

భారతీయులు సానుకూల సంఖ్యలను "ధన" లేదా "స్వ" (ఆస్తి), మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను "రిణ" లేదా "క్షయ" (రుణం) అని పిలుస్తారు. అయితే, భారతదేశంలో ప్రతికూల సంఖ్యలను అర్థం చేసుకోవడం మరియు అంగీకరించడంలో సమస్యలు ఉన్నాయి.

ఐరోపాలో ప్రతికూల సంఖ్యలు

యూరోపియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వాటిని చాలా కాలంగా ఆమోదించలేదు, ఎందుకంటే "ఆస్తి-అప్పు" యొక్క వివరణ చికాకు మరియు సందేహాన్ని కలిగించింది. వాస్తవానికి, ఆస్తి మరియు అప్పులను "జోడించడం" లేదా "తీసివేయడం" ఎలా చేయవచ్చు, అప్పు ద్వారా ఆస్తిని "గుణించడం" లేదా "భాగించడం" అనే అసలు అర్థం ఏమిటి? (G.I. గ్లేజర్, పాఠశాల తరగతుల IV-VIలో గణిత చరిత్ర. మాస్కో, ప్రోస్వేష్చెనీ, 1981)

అందుకే గణితంలో నెగెటివ్ నంబర్లు అతికష్టమ్మీద చోటు సంపాదించుకున్నాయి. ఐరోపాలో, పిసాకు చెందిన లియోనార్డో ఫిబొనాక్సీ 13వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో ప్రతికూల పరిమాణం యొక్క ఆలోచనకు చాలా దగ్గరగా వచ్చారు, అయితే ప్రతికూల సంఖ్యలను 15వ శతాబ్దం చివరిలో ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు చుకెట్‌చే స్పష్టంగా ఉపయోగించారు. అంకగణితం మరియు బీజగణితంపై చేతితో వ్రాసిన గ్రంథం రచయిత, "మూడు భాగాలలో సంఖ్యల శాస్త్రం." షుకెట్ సింబాలిజం ఆధునిక వాటిని చేరుకుంటోంది (గణిత ఎన్‌సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు. M., Sov. ఎన్‌సైక్లోపీడియా, 1988)

ప్రతికూల సంఖ్యల యొక్క ఆధునిక వివరణ

1544లో, జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మైఖేల్ స్టీఫెల్ మొదట ప్రతికూల సంఖ్యలను సున్నా కంటే తక్కువ సంఖ్యలుగా పరిగణించాడు (అంటే "ఏమీ కంటే తక్కువ"). ఈ పాయింట్ నుండి, ప్రతికూల సంఖ్యలు ఇకపై రుణంగా పరిగణించబడవు, కానీ పూర్తిగా కొత్త మార్గంలో. స్టీఫెల్ స్వయంగా ఇలా వ్రాశాడు: "సున్నా మరియు అసంబద్ధ సంఖ్యల మధ్య సున్నా ఉంది..." (G.I. గ్లేజర్, పాఠశాల తరగతులు IV-VIలో గణిత చరిత్ర. మాస్కో, ప్రోస్వేష్చెనీ, 1981)

దీని తరువాత, స్టీఫెల్ తన పనిని పూర్తిగా గణితానికి అంకితం చేశాడు, అందులో అతను స్వీయ-బోధన మేధావి. నికోలా చుకెట్ ప్రతికూల సంఖ్యలతో పనిచేయడం ప్రారంభించిన తర్వాత ఐరోపాలో మొదటిది.

"జ్యామితి" (1637)లో ప్రసిద్ధ ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు రెనే డెస్కార్టెస్ సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల రేఖాగణిత వివరణను వివరించాడు; ధనాత్మక సంఖ్యలు సంఖ్య అక్షంపై ప్రారంభ 0 యొక్క కుడి వైపున ఉన్న పాయింట్ల ద్వారా సూచించబడతాయి, ప్రతికూల సంఖ్యలు - ఎడమ వైపున ఉంటాయి. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల యొక్క రేఖాగణిత వివరణ ప్రతికూల సంఖ్యల స్వభావాన్ని స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవడానికి దారితీసింది మరియు వాటి గుర్తింపుకు దోహదపడింది.

స్టీఫెల్‌తో దాదాపు ఏకకాలంలో, ప్రతికూల సంఖ్యల ఆలోచనను ఆర్. బొంబెల్లి రాఫెల్ (సుమారు 1530-1572), ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఇంజనీర్ డయోఫాంటస్ యొక్క పనిని తిరిగి కనుగొన్నారు.

బొంబెల్లి మరియు గిరార్డ్, దీనికి విరుద్ధంగా, ప్రతికూల సంఖ్యలు చాలా ఆమోదయోగ్యమైనవి మరియు ఉపయోగకరమైనవిగా పరిగణించబడ్డాయి, ప్రత్యేకించి ఏదో లేకపోవడాన్ని సూచించడానికి. "+" మరియు "-" సంకేతాలతో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం ఆధునిక హోదాను జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు విడ్మాన్ ఉపయోగించారు. "ఏమీ కంటే తక్కువ" అనే వ్యక్తీకరణ స్టీఫెల్ మరియు మరికొందరు మానసికంగా సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను నిలువు స్కేల్‌లో (థర్మామీటర్ స్కేల్ లాగా) పాయింట్‌లుగా ఊహించినట్లు చూపిస్తుంది. అప్పుడు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు A. గిరార్డ్ అభివృద్ధి చేసాడు, ప్రతికూల సంఖ్యలను ఒక నిర్దిష్ట రేఖపై పాయింట్లుగా భావించడం, సానుకూల వాటి కంటే సున్నాకి మరొక వైపున ఉన్న ఆలోచన, ఈ సంఖ్యలకు పౌరసత్వ హక్కులను అందించడంలో నిర్ణయాత్మకంగా మారింది, ముఖ్యంగా P. ఫెర్మాట్ మరియు R. డెస్కార్టెస్ ద్వారా సమన్వయ పద్ధతి అభివృద్ధి ఫలితంగా.

ముగింపు

నా పనిలో, నేను ప్రతికూల సంఖ్యల ఆవిర్భావం యొక్క చరిత్రను పరిశోధించాను. పరిశోధన సమయంలో, నేను ఇలా ముగించాను:

ఆధునిక శాస్త్రం అటువంటి సంక్లిష్ట స్వభావం యొక్క పరిమాణాలను ఎదుర్కొంటుంది, వాటిని అధ్యయనం చేయడానికి కొత్త రకాల సంఖ్యలను కనుగొనడం అవసరం.

కొత్త సంఖ్యలను పరిచయం చేస్తున్నప్పుడు, రెండు పరిస్థితులు చాలా ముఖ్యమైనవి:

ఎ) వాటిపై చర్య యొక్క నియమాలు పూర్తిగా నిర్వచించబడాలి మరియు వైరుధ్యాలకు దారితీయకూడదు;

బి) కొత్త నంబర్ సిస్టమ్‌లు కొత్త సమస్యలను పరిష్కరించడానికి లేదా ఇప్పటికే తెలిసిన పరిష్కారాలను మెరుగుపరచడంలో సహాయపడతాయి.

ప్రస్తుతం, సమయం సాధారణంగా ఆమోదించబడిన సంఖ్యల యొక్క ఏడు స్థాయిలను కలిగి ఉంది: సహజ, హేతుబద్ధమైన, వాస్తవమైన, సంక్లిష్టమైన, వెక్టర్, మాతృక మరియు ట్రాన్స్‌ఫినైట్ సంఖ్యలు. కొంతమంది శాస్త్రవేత్తలు విధులను క్రియాత్మక సంఖ్యలుగా పరిగణించాలని మరియు సంఖ్యల సాధారణీకరణ స్థాయిని పన్నెండు స్థాయిలకు విస్తరించాలని ప్రతిపాదించారు.

నేను ఈ సంఖ్యల సెట్లన్నింటినీ అధ్యయనం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

అప్లికేషన్

POEM

"వివిధ సంకేతాలతో ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలను జోడించడం"

మీరు నిజంగా మడవాలనుకుంటే

సంఖ్యలు ప్రతికూలంగా ఉన్నాయి, ఇబ్బంది పడవలసిన అవసరం లేదు:

మేము మాడ్యూల్స్ మొత్తాన్ని త్వరగా కనుగొనాలి,

తర్వాత తీసుకుని దానికి మైనస్ గుర్తును జోడించండి.

వేర్వేరు సంకేతాలతో సంఖ్యలు ఇచ్చినట్లయితే,

వారి మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి, మేము అక్కడే ఉన్నాము.

మేము త్వరగా పెద్ద మాడ్యూల్‌ని ఎంచుకోవచ్చు.

దాని నుండి మనం చిన్నదాన్ని తీసివేస్తాము.

అతి ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే గుర్తును మరచిపోకూడదు!

మీరు దేన్ని పెడతారు? - మేము అడగాలనుకుంటున్నాము

మేము మీకు ఒక రహస్యం చెబుతాము, ఇది అంత సులభం కాదు,

మీ సమాధానంలో మాడ్యూల్ ఎక్కువగా ఉన్న గుర్తును వ్రాయండి.

సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను జోడించడానికి నియమాలు

మైనస్‌కి మైనస్‌ని జోడించండి,

మీరు మైనస్ పొందవచ్చు.

మీరు మైనస్, ప్లస్ కలిపితే,

ఇబ్బందిగా మారుతుందా?!

మీరు సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఎంచుకోండి

ఏది బలమైనది, ఆవలించవద్దు!

వాటిని మాడ్యూల్స్ నుండి తీసివేయండి

అన్ని సంఖ్యలతో శాంతిని పొందండి!

గుణకారం యొక్క నియమాలను ఈ విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు:

"నా స్నేహితుడి స్నేహితుడు నా స్నేహితుడు": + ∙ + = + .

"నా శత్రువు యొక్క శత్రువు నా స్నేహితుడు": ─ ∙ ─ = +.

"నా శత్రువు యొక్క స్నేహితుడు నా శత్రువు": + ∙ ─ = ─.

"నా స్నేహితుడి శత్రువు నా శత్రువు": ─ ∙ + = ─.

గుణకారం ఒక చుక్క, దీనికి మూడు సంకేతాలు ఉన్నాయి:

వాటిలో రెండు కవర్, మూడవ సమాధానం ఇస్తుంది.

ఉదాహరణకి.

ఉత్పత్తి 2∙(-3) గుర్తును ఎలా గుర్తించాలి?

ప్లస్ మరియు మైనస్ సంకేతాలను మన చేతులతో కవర్ చేద్దాం. మైనస్ గుర్తు మిగిలి ఉంది

గ్రంథ పట్టిక

"ప్రాచీన ప్రపంచ చరిత్ర", 5వ తరగతి. కోల్పకోవ్, సెల్న్స్కాయ.

"పురాతన కాలంలో గణిత చరిత్ర", E. కోల్మన్.

"విద్యార్థుల హ్యాండ్‌బుక్." పబ్లిషింగ్ హౌస్ "VES", సెయింట్ పీటర్స్బర్గ్. 2003

గ్రేట్ మ్యాథమెటికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా. యకుషేవా G.M. మరియు మొదలైనవి

విగాసిన్ A.A., గోడర్ G.I., "హిస్టరీ ఆఫ్ ది ఏన్షియంట్ వరల్డ్," 5వ తరగతి పాఠ్య పుస్తకం, 2001.

వికీపీడియా. ఉచిత ఎన్సైక్లోపీడియా.

గణిత శాస్త్రం యొక్క ఆవిర్భావం మరియు అభివృద్ధి: పుస్తకం. గురువు కోసం. - M.: విద్య, 1987.

గెల్ఫ్‌మాన్ E.G. "పాజిటివ్ మరియు నెగటివ్ నంబర్స్", 6వ తరగతి కోసం గణితంపై పాఠ్య పుస్తకం, 2001.

తల. ed. M. D. అక్యోనోవా. - M.: Avanta+, 1998.

గ్లేజర్ G. I. "పాఠశాలలో గణిత చరిత్ర", మాస్కో, "ప్రోస్వేష్చెనీ", 1981

పిల్లల ఎన్సైక్లోపీడియా "నాకు ప్రపంచం తెలుసు", మాస్కో, "జ్ఞానోదయం", 1995.

పాఠశాలలో గణిత చరిత్ర, IV-VI తరగతులు. జి.ఐ. గ్లేజర్, మాస్కో, విద్య, 1981.

M.: ఫిలోల్. LLC "వర్డ్": OLMA-PRESS, 2005.

మాలిగిన్ K.A.

గణిత ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు. M., Sov. ఎన్సైక్లోపీడియా, 1988.

నూర్క్ E.R., Telgmaa A.E. "గణితం 6వ తరగతి", మాస్కో, "జ్ఞానోదయం", 1989

5వ తరగతి పాఠ్యపుస్తకం. విలెంకిన్, జోఖోవ్, చెస్నోకోవ్, ష్వార్ట్స్‌బర్డ్.

ఫ్రైడ్‌మాన్ L.M.. "స్టడీయింగ్ మ్యాథమెటిక్స్", ఎడ్యుకేషనల్ పబ్లికేషన్, 1994.

ఇ.జి. గెల్ఫ్‌మాన్ మరియు ఇతరులు., బురాటినో థియేటర్‌లో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు. 6వ తరగతికి గణితం పాఠ్య పుస్తకం. 3వ ఎడిషన్, సవరించబడింది, - టామ్స్క్: టామ్స్క్ యూనివర్సిటీ పబ్లిషింగ్ హౌస్, 1998.

పిల్లల కోసం ఎన్సైక్లోపీడియా. T.11. గణితం

సహజ సంఖ్యలు, వాటి వ్యతిరేకతలు మరియు సంఖ్య 0ని పూర్ణాంకాలు అంటారు. సానుకూల సంఖ్యలు(పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలు), ప్రతికూల సంఖ్యలు(పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలు) మరియు సంఖ్య 0 సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి హేతుబద్ధ సంఖ్యలు.

హేతుబద్ధ సంఖ్యలుపెద్ద అక్షరం ద్వారా సూచించబడతాయి ఆర్. సంఖ్య 0 హేతుబద్ధ పూర్ణాంకాలను సూచిస్తుంది. సహజ మరియు పాక్షిక సానుకూల సంఖ్యల గురించి మనం ముందుగా తెలుసుకున్నాము. హేతుబద్ధ సంఖ్యలలో భాగంగా ప్రతికూల సంఖ్యలను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

ప్రతికూల సంఖ్యపురాతన కాలం నుండి "అప్పు" అనే పదంతో సంబంధం కలిగి ఉంది సానుకూల సంఖ్య"లభ్యత" లేదా "ఆదాయం" అనే పదాలతో అనుబంధించవచ్చు. దీనర్థం గణనలలో సానుకూల పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలు మన వద్ద ఉన్నవి, మరియు ప్రతికూల పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలు రుణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. దీని ప్రకారం, లెక్కింపు ఫలితం అందుబాటులో ఉన్న మొత్తానికి మరియు మన అప్పుల మధ్య వ్యత్యాసం.

ప్రతికూల పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలు సంఖ్య ముందు మైనస్ గుర్తుతో (“-”) వ్రాయబడతాయి. ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క సంఖ్యా విలువ దాని మాడ్యులస్. వరుసగా, సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువప్లస్ గుర్తుతో ఉన్న సంఖ్య (పాజిటివ్ మరియు నెగెటివ్ రెండూ) విలువ. సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువఇలా వ్రాయబడింది: |2|; |-2|.

సంఖ్య రేఖలోని ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్య ఒక బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. సంఖ్య అక్షం (క్రింద ఉన్న బొమ్మ) చూద్దాం, దానిపై ఒక బిందువును గుర్తించండి గురించి.

పాయింట్ గురించిసంఖ్య 0ని సరిపోల్చండి. సంఖ్య 0 మధ్య సరిహద్దుగా పనిచేస్తుంది సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు: 0 యొక్క కుడి వైపున - సానుకూల సంఖ్యలు, దీని విలువ 0 నుండి ప్లస్ ఇన్ఫినిటీకి మారుతుంది మరియు 0కి ఎడమ వైపున ఉంటుంది - ప్రతికూల సంఖ్యలు, దీని విలువ కూడా 0 నుండి మైనస్ అనంతం వరకు మారుతుంది.

నియమం. సంఖ్య రేఖకు కుడివైపున ఉన్న ఏదైనా సంఖ్య ఎడమవైపు ఉన్న సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ఈ నియమం ఆధారంగా, సానుకూల సంఖ్యలు ఎడమ నుండి కుడికి పెరుగుతాయి మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు కుడి నుండి ఎడమకు తగ్గుతాయి (అదే సమయంలో, ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ పెరుగుతుంది).

సంఖ్య రేఖపై సంఖ్యల లక్షణాలు

ప్రతి ధన సంఖ్య మరియు 0 ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి.

ప్రతి ధన సంఖ్య 0 కంటే ఎక్కువ. ప్రతి ప్రతికూల సంఖ్య 0 కంటే తక్కువ.

ప్రతి ప్రతికూల సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. సంఖ్యా రేఖపై ఎడమవైపు ఉన్న ధనాత్మక లేదా ప్రతికూల సంఖ్య కంటే కుడివైపున ఉన్న ధనాత్మక లేదా ప్రతికూల సంఖ్య ఎక్కువగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం. సంకేతంలో మాత్రమే ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండే సంఖ్యలను వ్యతిరేక సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదాహరణకు, 2 మరియు -2, 6 మరియు -6 సంఖ్యలు. -10 మరియు 10. వ్యతిరేక సంఖ్యలు పాయింట్ O నుండి వ్యతిరేక దిశలలో సంఖ్య అక్షం మీద ఉన్నాయి, కానీ దాని నుండి అదే దూరంలో ఉంటాయి.

భిన్నాలు లేదా దశాంశాలుగా సూచించబడే భిన్న సంఖ్యలు, పూర్ణ సంఖ్యల వలె సంఖ్యా రేఖపై అదే నియమాలను అనుసరిస్తాయి. రెండు భిన్నాలలో, సంఖ్య అక్షం మీద కుడి వైపున ఉన్న ఒకటి ఎక్కువ; ప్రతికూల భిన్నాలు సానుకూల భిన్నాల కంటే చిన్నవి; ప్రతి సానుకూల భిన్నం 0 కంటే ఎక్కువ; ప్రతి ప్రతికూల భిన్నం 0 కంటే తక్కువ.

ప్రతికూల సంఖ్యలు సున్నాకి ఎడమ వైపున ఉన్నాయి. వాటి కోసం, సానుకూల సంఖ్యల కోసం, ఆర్డర్ రిలేషన్ నిర్వచించబడింది, ఇది ఒక పూర్ణాంకాన్ని మరొకదానితో పోల్చడానికి అనుమతిస్తుంది.

ప్రతి సహజ సంఖ్యకు nఅక్కడ ఒకటి మరియు ఒకే ఒక ప్రతికూల సంఖ్య, సూచించబడుతుంది -ఎన్, ఇది పూరిస్తుంది nసున్నాకి: n + (− n) = 0 . రెండు నంబర్లు అంటారు ఎదురుగాఒకరికొకరు. పూర్ణాంకాన్ని తీసివేయడం aదాని వ్యతిరేకతతో జోడించడానికి సమానం: -ఎ.

ప్రతికూల సంఖ్యల లక్షణాలు

ప్రతికూల సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యల వలె దాదాపు అదే నియమాలను అనుసరిస్తాయి, కానీ కొన్ని ప్రత్యేక లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి.

చారిత్రక స్కెచ్

సాహిత్యం

• వైగోడ్స్కీ M. యా.హ్యాండ్‌బుక్ ఆఫ్ ఎలిమెంటరీ మ్యాథమెటిక్స్. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• గ్లేజర్ జి.ఐ.పాఠశాలలో గణిత చరిత్ర. - M.: విద్య, 1964. - 376 p.

లింకులు

వికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010.

ఇతర నిఘంటువులలో "ప్రతికూల సంఖ్యలు" ఏమిటో చూడండి:

2 వంటి సున్నా కంటే తక్కువ వాస్తవ సంఖ్యలు; 0.5; π, మొదలైనవి. సంఖ్యను చూడండి... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

- (విలువలు). వరుస చేర్పులు లేదా తీసివేతల ఫలితం ఈ చర్యలు చేసే క్రమంలో ఆధారపడి ఉండదు. ఉదా. 10 5 + 2 = 10 +2 5. ఇక్కడ 2 మరియు 5 సంఖ్యలు మాత్రమే కాకుండా, ఈ సంఖ్యల ముందు సంకేతాలు కూడా ఉన్నాయి. అంగీకరించారు....... ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు F.A. బ్రోక్‌హాస్ మరియు I.A. ఎఫ్రాన్

సంఖ్యలు ప్రతికూలంగా ఉన్నాయి- ఎరుపు పెన్సిల్ లేదా ఎరుపు సిరాతో వ్రాయబడిన అకౌంటింగ్‌లోని సంఖ్యలు. అంశాలు: అకౌంటింగ్... సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్

ప్రతికూల సంఖ్యలు- ఎరుపు పెన్సిల్ లేదా ఎరుపు సిరాతో వ్రాయబడిన అకౌంటింగ్‌లోని సంఖ్యలు... గొప్ప అకౌంటింగ్ నిఘంటువు

పూర్ణాంకాల సమితి అనేది సంకలనం (+) మరియు వ్యవకలనం () యొక్క అంకగణిత కార్యకలాపాలకు సంబంధించి సహజ సంఖ్యల సమితిని మూసివేయడంగా నిర్వచించబడింది. కాబట్టి, రెండు పూర్ణాంకాల మొత్తం, వ్యత్యాసం మరియు ఉత్పత్తి మళ్లీ పూర్ణాంకాలు. ఇందులో... ... వికీపీడియా ఉంటుంది

లెక్కించేటప్పుడు సహజంగా ఉత్పన్నమయ్యే సంఖ్యలు (గణన అర్థంలో మరియు కాలిక్యులస్ అర్థంలో రెండూ). సహజ సంఖ్యలను నిర్ణయించడానికి రెండు విధానాలు ఉన్నాయి; ఇందులో ఉపయోగించే సంఖ్యలు: జాబితా (సంఖ్య) వస్తువులు (మొదటి, రెండవ, ... ... వికీపీడియా

విస్తరణలో E n కోఎఫీషియంట్స్ E. సంఖ్య యొక్క పునరావృత సూత్రం (సంకేత సంజ్ఞామానంలో, (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. ఈ సందర్భంలో, E 2n+1= 0, E4n ధనాత్మకం, అన్ని n=0, 1, ...; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 ... కోసం E4n+2 ప్రతికూల పూర్ణాంకాలు. మ్యాథమెటికల్ ఎన్‌సైక్లోపీడియా

ప్రతికూల సంఖ్య అనేది ప్రతికూల సంఖ్యల సమితి యొక్క మూలకం, ఇది సహజ సంఖ్యల సమితిని విస్తరించేటప్పుడు గణితంలో (సున్నాతో కలిపి) కనిపించింది. పొడిగింపు యొక్క ఉద్దేశ్యం వ్యవకలన చర్యను ఏదైనా సంఖ్యపై నిర్వహించడానికి అనుమతించడం. ఫలితంగా... ... వికీపీడియా

అంకగణితం. Pinturicchio ద్వారా పెయింటింగ్. అపార్ట్మెంట్ బోర్జియా. 1492 1495. రోమ్, వాటికన్ ప్యాలెస్‌లు ... వికీపీడియా

హన్స్ సెబాల్డ్ బెహమ్. అంకగణితం. 16వ శతాబ్దపు అంకగణితం (ప్రాచీన గ్రీకు ἀ ... వికీపీడియా

పుస్తకాలు

• గణితం. 5వ తరగతి. విద్యా పుస్తకం మరియు వర్క్‌షాప్. 2 భాగాలలో. పార్ట్ 2. అనుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు,. గ్రేడ్ 5 కోసం ఎడ్యుకేషనల్ బుక్ మరియు వర్క్‌షాప్ 5-6 గ్రేడ్‌ల కోసం గణితంలో బోధనా సామగ్రిలో భాగం, దీని ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో E. G. గెల్ఫ్‌మాన్ మరియు M. A. ఖోలోడ్నాయ నేతృత్వంలోని రచయితల బృందం అభివృద్ధి చేసింది...

వెల్మ్యాకినా క్రిస్టినా మరియు నికోలెవా ఎవ్జెనియా

ఈ పరిశోధన పని మానవ జీవితంలో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల వినియోగాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ఉద్దేశించబడింది.

డౌన్‌లోడ్:

ప్రివ్యూ:

కోవిల్కిన్స్కీ మునిసిపల్ జిల్లా యొక్క MBOU "జిమ్నాసియం నం. 1"

మానవ జీవితంలో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల అప్లికేషన్

పరిశోధన

పూర్తయింది:

6B తరగతి విద్యార్థులు

వెల్మ్యాకినా క్రిస్టినా మరియు నికోలెవా ఎవ్జెనియా

హెడ్: గణితం మరియు కంప్యూటర్ సైన్స్ ఉపాధ్యాయుడు

సోకోలోవా నటల్య సెర్జీవ్నా

కోవిల్కినో 2015

పరిచయం 2

1. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల ఆవిర్భావం చరిత్ర 4

2.పాజిటివ్ మరియు నెగటివ్ సంఖ్యల ఉపయోగం 6

ముగింపు 13

ఉపయోగించిన సాహిత్యాల జాబితా 14

పరిచయం

సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల పరిచయం నిర్దిష్ట కంటెంట్ మరియు ప్రారంభ సంఖ్యా డేటాతో సంబంధం లేకుండా అంకగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ పద్ధతులను అందించే శాస్త్రంగా గణితాన్ని అభివృద్ధి చేయవలసిన అవసరంతో ముడిపడి ఉంది.

గణిత పాఠాలలో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను అధ్యయనం చేసిన తరువాత, గణితంతో పాటు ఈ సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉపయోగించబడుతున్నాయో కనుగొనాలని మేము నిర్ణయించుకున్నాము. మరియు సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు చాలా విస్తృతమైన అనువర్తనాన్ని కలిగి ఉన్నాయని తేలింది.

ఈ పరిశోధన పని మానవ జీవితంలో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల వినియోగాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ఉద్దేశించబడింది.

ఈ అంశం యొక్క ఔచిత్యం సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల ఉపయోగం యొక్క అధ్యయనంలో ఉంది.

పని యొక్క లక్ష్యం: మానవ జీవితంలో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల వినియోగాన్ని అన్వేషించండి.

అధ్యయనం యొక్క వస్తువు:మానవ జీవితంలో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల అప్లికేషన్ యొక్క ప్రాంతాలు.

అధ్యయనం విషయం:సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు.

పరిశోధన పద్ధతి:ఉపయోగించిన సాహిత్యం మరియు పరిశీలనలను చదవడం మరియు విశ్లేషించడం.

అధ్యయనం యొక్క లక్ష్యాన్ని సాధించడానికి, ఈ క్రింది పనులు సెట్ చేయబడ్డాయి:

1. ఈ అంశంపై సాహిత్యాన్ని అధ్యయనం చేయండి.

2. మానవ జీవితంలో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోండి.

3. వివిధ రంగాలలో అనుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల అనువర్తనాన్ని అన్వేషించండి.

4. ముగింపులు గీయండి.

1. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల చరిత్ర

2100 సంవత్సరాల క్రితం పురాతన చైనాలో సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు మొదట కనిపించాయి.

II శతాబ్దంలో. క్రీ.పూ ఇ. చైనీస్ శాస్త్రవేత్త జాంగ్ కాన్ తొమ్మిది అధ్యాయాలలో అరిథ్మెటిక్ అనే పుస్తకాన్ని రాశారు. పుస్తకంలోని విషయాల నుండి ఇది పూర్తిగా స్వతంత్ర రచన కాదని, జాంగ్ కెన్ కంటే చాలా కాలం ముందు వ్రాసిన ఇతర పుస్తకాల పునర్నిర్మాణం అని స్పష్టమవుతుంది. ఈ పుస్తకంలో, సైన్స్‌లో మొదటిసారిగా ప్రతికూల పరిమాణాలు ఎదురయ్యాయి. అవి మనం అర్థం చేసుకున్న మరియు అన్వయించే విధానానికి భిన్నంగా అర్థం చేసుకోబడతాయి. ప్రతికూల మరియు సానుకూల పరిమాణాల స్వభావం మరియు వాటితో పనిచేసే నియమాల గురించి అతనికి పూర్తి మరియు స్పష్టమైన అవగాహన లేదు. అతను ప్రతి ప్రతికూల సంఖ్యను అప్పుగా మరియు ప్రతి సానుకూల సంఖ్యను ఆస్తిగా అర్థం చేసుకున్నాడు. అతను ప్రతికూల సంఖ్యలతో మేము చేసే విధంగానే కాకుండా, రుణం గురించి తార్కికంతో ఆపరేషన్లు చేశాడు. ఉదాహరణకు, మీరు ఒక రుణానికి మరొక రుణాన్ని జోడిస్తే, ఫలితం అప్పు కాదు, ఆస్తి కాదు (అనగా, మాది (- a) + (- a) = - 2a. మైనస్ గుర్తు అప్పుడు తెలియదు, కాబట్టి, లో సంఖ్యలను వేరు చేయడానికి , రుణాన్ని వ్యక్తపరిచే, ఝాన్ కెన్ వాటిని ఆస్తిని (పాజిటివ్) వ్యక్తీకరించే సంఖ్యల కంటే భిన్నమైన సిరాలో వ్రాసాడు. నలుపు రంగులో చిత్రీకరించబడ్డాయి.ఈ ప్రాతినిధ్య పద్ధతి చైనాలో 12వ శతాబ్దం మధ్యకాలం వరకు ఉపయోగించబడింది, ప్రతికూల సంఖ్యలకు మరింత అనుకూలమైన హోదాను లి యే ప్రతిపాదించే వరకు - ప్రతికూల సంఖ్యలను వర్ణించే సంఖ్యలు కుడి నుండి ఎడమకు వికర్ణంగా దాటబడ్డాయి. శాస్త్రవేత్తలు ప్రతికూల పరిమాణాలను అప్పుగా మరియు సానుకూల పరిమాణాలను ఆస్తిగా వివరించారు, వారు ఇప్పటికీ వాటిని ఉపయోగించడాన్ని విస్తృతంగా ఉపయోగించారు, ఈ సంఖ్యలు అపారమయినట్లుగా అనిపించినందున, వారితో చర్యలు అస్పష్టంగా ఉన్నాయి. సమస్య ప్రతికూల పరిష్కారానికి దారితీసినట్లయితే, వారు పరిస్థితిని భర్తీ చేయడానికి ప్రయత్నించారు. (గ్రీకుల వలె) తద్వారా చివరికి సానుకూల పరిష్కారం లభిస్తుంది. V-VI శతాబ్దాలలో, ప్రతికూల సంఖ్యలు చాలా విస్తృతంగా కనిపిస్తాయి మరియు వ్యాపించాయిభారతీయుడు గణితం. చైనాలా కాకుండా, గుణకారం మరియు భాగహారం యొక్క నియమాలు భారతదేశంలో ఇప్పటికే తెలుసు. భారతదేశంలో, ప్రతికూల సంఖ్యలు క్రమపద్ధతిలో ఉపయోగించబడుతున్నాయి, మనం ఇప్పుడు చేస్తున్నట్లే. ఇప్పటికే అత్యుత్తమ భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్త బ్రహ్మగుప్త (598 - సుమారు 660) యొక్క పనిలో మనం చదువుతాము: “ఆస్తి మరియు ఆస్తి ఆస్తి, రెండు అప్పుల మొత్తం అప్పు; ఆస్తి మరియు సున్నా మొత్తం ఆస్తి; రెండు సున్నాల మొత్తం సున్నా... సున్నా నుండి తీసివేసిన అప్పు ఆస్తిగా మారుతుంది మరియు ఆస్తి అప్పుగా మారుతుంది. అప్పు నుండి ఆస్తిని మరియు ఆస్తి నుండి అప్పును తీసివేయవలసి వస్తే, వారు వారి మొత్తాన్ని తీసుకుంటారు.

"+" మరియు "-" సంకేతాలు వాణిజ్యంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడ్డాయి. వైన్ తయారీదారులు ఖాళీ బారెల్స్‌పై “-” గుర్తును ఉంచారు, ఇది క్షీణతను సూచిస్తుంది. బారెల్ నిండి ఉంటే, సంకేతం దాటబడింది మరియు "+" గుర్తు వచ్చింది, అంటే లాభం. ఈ సంకేతాలను XVలో జాన్ విడ్మాన్ గణితశాస్త్రంగా పరిచయం చేశారు.

యూరోపియన్ సైన్స్‌లో, ప్రతికూల మరియు ధనాత్మక సంఖ్యలు చివరకు ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు R. డెస్కార్టెస్ (1596 - 1650) కాలం నుండి మాత్రమే ఉపయోగంలోకి వచ్చాయి, అతను ధనాత్మక మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను నిర్దేశించిన విభాగాలుగా రేఖాగణిత వివరణ ఇచ్చాడు. 1637 లో అతను "కోఆర్డినేట్ లైన్" ను ప్రవేశపెట్టాడు.

1831లో, గాస్ ప్రతికూల సంఖ్యలు సానుకూలమైన వాటికి సంబంధించిన హక్కులలో పూర్తిగా సమానమని మరియు వాటిని అన్ని సందర్భాల్లోనూ వర్తింపజేయలేము అనే వాస్తవం పట్టింపు లేదు.

19వ శతాబ్దంలో విలియం హామిల్టన్ మరియు హెర్మన్ గ్రాస్‌మాన్ సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల పూర్తి సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించినప్పుడు ప్రతికూల మరియు ధనాత్మక సంఖ్యల ఆవిర్భావం చరిత్ర ముగుస్తుంది. ఈ క్షణం నుండి ఈ గణిత భావన అభివృద్ధి చరిత్ర ప్రారంభమవుతుంది.

1. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను ఉపయోగించడం

1. మందు

మయోపియా మరియు దూరదృష్టి

ప్రతికూల సంఖ్యలు కంటి పాథాలజీని వ్యక్తపరుస్తాయి. మయోపియా (మయోపియా) తగ్గిన దృశ్య తీక్షణత ద్వారా వ్యక్తమవుతుంది. మయోపియా విషయంలో కంటికి సుదూర వస్తువులను స్పష్టంగా చూడడానికి, డైవర్జింగ్ (నెగటివ్) లెన్స్‌లు ఉపయోగించబడతాయి.మయోపియా (-), దూరదృష్టి (+).

దూరదృష్టి (హైపరోపియా) అనేది ఒక రకమైన కంటి వక్రీభవనం, దీనిలో ఒక వస్తువు యొక్క చిత్రం రెటీనా యొక్క నిర్దిష్ట ప్రాంతంపై కాకుండా దాని వెనుక ఉన్న విమానంలో కేంద్రీకరించబడుతుంది. దృశ్య వ్యవస్థ యొక్క ఈ స్థితి రెటీనా ద్వారా గ్రహించిన అస్పష్టమైన చిత్రాలకు దారితీస్తుంది.

దూరదృష్టికి కారణం చిన్న ఐబాల్ లేదా కంటి యొక్క ఆప్టికల్ మీడియా యొక్క బలహీనమైన వక్రీభవన శక్తి కావచ్చు. దీన్ని పెంచడం ద్వారా, సాధారణ దృష్టి సమయంలో కిరణాలు ఎక్కడ దృష్టి పెడతాయో మీరు నిర్ధారించుకోవచ్చు.

వయస్సుతో, దృష్టి, ముఖ్యంగా దగ్గరి దృష్టి, లెన్స్‌లో వయస్సు-సంబంధిత మార్పుల కారణంగా కంటి వసతి సామర్థ్యం తగ్గడం వల్ల ఎక్కువగా క్షీణిస్తుంది - లెన్స్ యొక్క స్థితిస్థాపకత తగ్గుతుంది, దానిని కలిగి ఉన్న కండరాలు బలహీనపడతాయి మరియు ఫలితంగా , దృష్టి తగ్గుతుంది. అందుకేవయస్సు-సంబంధిత దూరదృష్టి (ప్రెస్బియోపియా 40-50 సంవత్సరాల తర్వాత దాదాపు అందరిలోనూ ఉంటుంది.

తక్కువ స్థాయి దూరదృష్టితో, అధిక దృష్టి సాధారణంగా దూరం మరియు సమీపంలో నిర్వహించబడుతుంది, అయితే అలసట, తలనొప్పి మరియు మైకము యొక్క ఫిర్యాదులు ఉండవచ్చు. మితమైన హైపర్‌మెట్రోపియాతో, దూర దృష్టి బాగానే ఉంటుంది, కానీ సమీప దృష్టి కష్టం. అధిక దూరదృష్టితో, రెటీనాపై సుదూర వస్తువుల చిత్రాలను కూడా కేంద్రీకరించడానికి కంటికి ఉన్న అన్ని అవకాశాలు అయిపోయినందున, చాలా దూరం మరియు సమీపంలో బలహీనమైన దృష్టి ఉంది.

వయస్సు-సంబంధితంతో సహా దూరదృష్టి జాగ్రత్తగా ఉండటం ద్వారా మాత్రమే గుర్తించబడుతుందిరోగనిర్ధారణ పరీక్ష (విద్యార్థి యొక్క ఔషధ విస్తరణతో, లెన్స్ సడలిస్తుంది మరియు కంటి యొక్క నిజమైన వక్రీభవనం కనిపిస్తుంది).

మయోపియా ఒక కంటి వ్యాధి, దీనిలో ఒక వ్యక్తికి దూరంగా ఉన్న వస్తువులను చూడటం కష్టం, కానీ దగ్గరగా ఉన్న వస్తువులను బాగా చూస్తాడు. దగ్గరి చూపును మయోపియా అని కూడా అంటారు.

సుమారు ఎనిమిది వందల మిలియన్ల మంది మయోపిక్ అని నమ్ముతారు. ప్రతి ఒక్కరూ మయోపియాతో బాధపడవచ్చు: పెద్దలు మరియు పిల్లలు ఇద్దరూ.

మన కళ్ళలో కార్నియా మరియు లెన్స్ ఉంటాయి. కంటిలోని ఈ భాగాలు వాటిని వక్రీభవనం చేయడం ద్వారా కిరణాలను ప్రసారం చేయగలవు. మరియు రెటీనాపై ఒక చిత్రం కనిపిస్తుంది. ఈ చిత్రం నరాల ప్రేరణగా మారుతుంది మరియు మెదడుకు ఆప్టిక్ నరాల వెంట ప్రసారం చేయబడుతుంది.

కార్నియా మరియు లెన్స్ కిరణాలను వక్రీభవనం చేస్తే, దృష్టి రెటీనాపై ఉంటుంది, అప్పుడు చిత్రం స్పష్టంగా ఉంటుంది. అందువల్ల కంటి జబ్బులు లేనివారు చక్కగా చూస్తారు.

మయోపియాతో, చిత్రం అస్పష్టంగా మరియు అస్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. కింది కారణాల వల్ల ఇది జరగవచ్చు:

- కన్ను బాగా పొడవుగా ఉంటే, రెటీనా స్థిరంగా ఫోకస్ స్థానానికి దూరంగా కదులుతుంది. మయోపియా ఉన్నవారిలో, కంటి ముప్పై మిల్లీమీటర్లకు చేరుకుంటుంది. మరియు సాధారణ ఆరోగ్యకరమైన వ్యక్తిలో, కంటి పరిమాణం ఇరవై మూడు నుండి ఇరవై నాలుగు మిల్లీమీటర్లు; - లెన్స్ మరియు కార్నియా కాంతి కిరణాలను ఎక్కువగా వక్రీభవనం చేస్తే.

గణాంకాల ప్రకారం, భూమిపై ఉన్న ప్రతి మూడవ వ్యక్తి మయోపియాతో బాధపడుతున్నాడు, అంటే మయోపియా. అలాంటి వారికి దూరంగా ఉన్న వస్తువులను చూడటం కష్టం. కానీ అదే సమయంలో, మయోపిక్ ఉన్న వ్యక్తి కళ్ళకు దగ్గరగా పుస్తకం లేదా నోట్బుక్ ఉన్నట్లయితే, అతను ఈ వస్తువులను బాగా చూస్తాడు..

2) థర్మామీటర్లు

సాధారణ బహిరంగ థర్మామీటర్ స్థాయిని చూద్దాం.

ఇది స్కేల్ 1లో చూపబడిన రూపాన్ని కలిగి ఉంది. దానిపై సానుకూల సంఖ్యలు మాత్రమే ముద్రించబడతాయి మరియు అందువల్ల, ఉష్ణోగ్రత యొక్క సంఖ్యా విలువను సూచించేటప్పుడు, అదనంగా 20 డిగ్రీల సెల్సియస్ (సున్నా కంటే ఎక్కువ) వివరించడం అవసరం. ఇది భౌతిక శాస్త్రవేత్తలకు అసౌకర్యంగా ఉంటుంది - అన్నింటికంటే, మీరు పదాలను సూత్రంలో ఉంచలేరు! కాబట్టి, భౌతిక శాస్త్రంలో ప్రతికూల సంఖ్యలతో కూడిన స్కేల్ ఉపయోగించబడుతుంది (స్కేల్ 2).

3) ఫోన్‌లో బ్యాలెన్స్

మీ ఫోన్ లేదా టాబ్లెట్‌లో బ్యాలెన్స్‌ని తనిఖీ చేస్తున్నప్పుడు, మీరు గుర్తు (-) ఉన్న నంబర్‌ను చూడవచ్చు, దీని అర్థం ఈ చందాదారుడికి రుణం ఉంది మరియు అతను తన ఖాతాను టాప్ అప్ చేసే వరకు కాల్ చేయలేడు, సైన్ లేని నంబర్ (-) అతను కాల్ చేయవచ్చు లేదా ఏదైనా లేదా ఇతర ఫంక్షన్ చేయవచ్చు.

1. సముద్ర మట్టం

ప్రపంచం యొక్క భౌతిక పటాన్ని చూద్దాం. దానిపై ఉన్న భూభాగాలు ఆకుపచ్చ మరియు గోధుమ రంగుల వివిధ షేడ్స్‌లో పెయింట్ చేయబడ్డాయి మరియు సముద్రాలు మరియు మహాసముద్రాలు నీలం మరియు నీలం రంగులలో పెయింట్ చేయబడ్డాయి. ప్రతి రంగు దాని స్వంత ఎత్తు (భూమి కోసం) లేదా లోతు (సముద్రాలు మరియు మహాసముద్రాల కోసం) కలిగి ఉంటుంది. మ్యాప్‌లో లోతులు మరియు ఎత్తుల స్కేల్ డ్రా చేయబడింది, ఇది ఒక నిర్దిష్ట రంగు యొక్క ఎత్తు (లోతు) అంటే ఏమిటో చూపిస్తుంది, ఉదాహరణకు, ఇది:

మీటర్లలో లోతు మరియు ఎత్తుల స్కేల్

లోతైన 5000 2000 200 0 200 1000 2000 4000 అధికం

ఈ స్కేల్‌లో మనకు సానుకూల సంఖ్యలు మరియు సున్నా మాత్రమే కనిపిస్తాయి. ప్రపంచ మహాసముద్రంలో నీటి ఉపరితలం ఉన్న ఎత్తు (మరియు లోతు కూడా) సున్నాగా పరిగణించబడుతుంది. ఈ స్కేల్‌లో ప్రతికూల సంఖ్యలను మాత్రమే ఉపయోగించడం గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లేదా భౌతిక శాస్త్రవేత్తకు అసౌకర్యంగా ఉంటుంది. భౌతిక శాస్త్రవేత్త అటువంటి స్కేల్‌తో ముందుకు వస్తాడు.

మీటర్లలో ఎత్తు స్థాయి

తక్కువ -5000 -2000 -200 0 200 1000 2000 4000 ఎక్కువ

అటువంటి స్కేల్ ఉపయోగించి, అదనపు పదాలు లేకుండా సంఖ్యను సూచించడానికి సరిపోతుంది: సానుకూల సంఖ్యలు సముద్రం యొక్క ఉపరితలం పైన ఉన్న భూమిపై వివిధ ప్రదేశాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి; ప్రతికూల సంఖ్యలు సముద్ర ఉపరితలం క్రింద ఉన్న బిందువులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

మేము పరిగణించిన ఎత్తులో, ప్రపంచ మహాసముద్రంలో నీటి ఉపరితలం యొక్క ఎత్తు సున్నాగా తీసుకోబడుతుంది. ఈ స్కేల్ జియోడెసీ మరియు కార్టోగ్రఫీలో ఉపయోగించబడుతుంది.

దీనికి విరుద్ధంగా, రోజువారీ జీవితంలో మనం సాధారణంగా భూమి యొక్క ఉపరితలం యొక్క ఎత్తును (మనం ఉన్న ప్రదేశంలో) సున్నా ఎత్తుగా తీసుకుంటాము.

5) మానవ లక్షణాలు

ప్రతి వ్యక్తి వ్యక్తిగత మరియు ఏకైక! ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఒక వ్యక్తిగా మనల్ని ఏ లక్షణ లక్షణాలు నిర్వచించాలో, ప్రజలను మనవైపు ఆకర్షిస్తున్నది మరియు మనల్ని తిప్పికొట్టడం గురించి మనం ఎల్లప్పుడూ ఆలోచించము. ఒక వ్యక్తి యొక్క సానుకూల మరియు ప్రతికూల లక్షణాలను గుర్తించండి. ఉదాహరణకు, సానుకూల లక్షణాలు కార్యాచరణ, ప్రభువు, చైతన్యం, ధైర్యం, సంస్థ, సంకల్పం, స్వాతంత్ర్యం, ధైర్యం, నిజాయితీ, శక్తి, ప్రతికూల లక్షణాలు, దూకుడు, కోపం, పోటీతత్వం, విమర్శ, మొండితనం, స్వార్థం.

6) ఫిజిక్స్ మరియు దువ్వెన

టేబుల్‌పై అనేక చిన్న టిష్యూ పేపర్‌లను ఉంచండి. ఒక శుభ్రమైన, పొడి ప్లాస్టిక్ దువ్వెన తీసుకొని మీ జుట్టు ద్వారా 2-3 సార్లు నడపండి. మీ జుట్టును దువ్వుతున్నప్పుడు, మీరు కొంచెం పగులగొట్టే శబ్దాన్ని వినాలి. తర్వాత నెమ్మదిగా దువ్వెనను కాగితపు ముక్కల వైపుకు తరలించండి. వారు మొదట దువ్వెనకు ఆకర్షితులవుతున్నారని మరియు దాని నుండి తిప్పికొట్టడం మీరు చూస్తారు.

అదే దువ్వెన నీటిని ఆకర్షించగలదు. కుళాయి నుండి ప్రశాంతంగా ప్రవహించే సన్నని నీటి ప్రవాహానికి మీరు దువ్వెనను తీసుకువస్తే ఈ ఆకర్షణను గమనించడం సులభం. ప్రవాహం గమనించదగ్గ విధంగా వంగి ఉన్నట్లు మీరు చూస్తారు.

ఇప్పుడు సన్నని కాగితం (ప్రాధాన్యంగా టిష్యూ పేపర్) నుండి 2-3 సెంటీమీటర్ల పొడవు గల రెండు గొట్టాలను చుట్టండి. మరియు వ్యాసం 0.5 సెం.మీ. పట్టు దారాలపై వాటిని పక్కపక్కనే వేలాడదీయండి (తద్వారా అవి ఒకదానికొకటి తేలికగా తాకేలా). మీ జుట్టును దువ్విన తర్వాత, దువ్వెనతో కాగితపు గొట్టాలను తాకండి - అవి వెంటనే వేరుగా కదులుతాయి మరియు ఈ స్థితిలో ఉంటాయి (అనగా, థ్రెడ్లు విక్షేపం చెందుతాయి). గొట్టాలు ఒకదానికొకటి తిప్పికొట్టడం మనం చూస్తాము.

మీకు గాజు రాడ్ (లేదా ట్యూబ్, లేదా టెస్ట్ ట్యూబ్) మరియు సిల్క్ ఫాబ్రిక్ ముక్క ఉంటే, అప్పుడు ప్రయోగాలు కొనసాగించవచ్చు.

కర్రను పట్టుపై రుద్దండి మరియు దానిని కాగితపు స్క్రాప్‌లకు తీసుకురండి - అవి దువ్వెనపై ఉన్న విధంగానే కర్రపైకి “జంప్” చేయడం ప్రారంభిస్తాయి, ఆపై దానిని జారండి. నీటి ప్రవాహం కూడా గాజు కడ్డీ ద్వారా విక్షేపం చెందుతుంది మరియు మీరు రాడ్‌తో తాకిన కాగితపు గొట్టాలు ఒకదానికొకటి వికర్షిస్తాయి.

ఇప్పుడు మీరు దువ్వెనతో తాకిన ఒక కర్రను మరియు రెండవ గొట్టాన్ని తీసుకొని ఒకదానికొకటి తీసుకురండి. వారు ఒకరినొకరు ఆకర్షిస్తున్నారని మీరు చూస్తారు. కాబట్టి, ఈ ప్రయోగాలలో, ఆకర్షణీయమైన మరియు వికర్షక శక్తులు వ్యక్తమవుతాయి. ప్రయోగాలలో, చార్జ్ చేయబడిన వస్తువులు (భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు చార్జ్డ్ బాడీలు అంటున్నారు) ఒకదానికొకటి ఆకర్షించబడతాయని మరియు ఒకదానికొకటి తిప్పికొట్టవచ్చని మేము చూశాము. రెండు రకాలు, రెండు రకాల విద్యుత్ ఛార్జీలు మరియు ఒకే రకమైన ఛార్జీలు ఒకదానికొకటి తిప్పికొట్టడం మరియు వివిధ రకాలైన ఛార్జీలు ఆకర్షిస్తాయని ఇది వివరించబడింది.

7) లెక్కింపు సమయం

వివిధ దేశాల్లో ఇది భిన్నంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ప్రాచీన ఈజిప్టులో, కొత్త రాజు పాలించడం ప్రారంభించిన ప్రతిసారీ, సంవత్సరాల గణన కొత్తగా ప్రారంభమైంది. రాజు పాలన యొక్క మొదటి సంవత్సరం మొదటి సంవత్సరంగా పరిగణించబడింది, రెండవది - రెండవది, మొదలైనవి. ఈ రాజు చనిపోయి, కొత్తవాడు అధికారంలోకి వచ్చినప్పుడు, మొదటి సంవత్సరం మళ్లీ ప్రారంభమైంది, తరువాత రెండవది, మూడవది. ప్రపంచంలోని అత్యంత పురాతన నగరాల్లో ఒకటైన రోమ్ నివాసులు ఉపయోగించిన సంవత్సరాల లెక్కింపు భిన్నంగా ఉంటుంది. రోమన్లు ​​నగరం స్థాపించబడిన సంవత్సరాన్ని మొదటిదిగా, మరుసటి సంవత్సరం రెండవదిగా పరిగణించారు.

మేము ఉపయోగించే సంవత్సరాల లెక్కింపు చాలా కాలం క్రితం ఉద్భవించింది మరియు క్రైస్తవ మత స్థాపకుడైన యేసుక్రీస్తు ఆరాధనతో ముడిపడి ఉంది. జీసస్ క్రైస్ట్ పుట్టినప్పటి నుండి సంవత్సరాలను లెక్కించడం క్రమంగా వివిధ దేశాలలో స్వీకరించబడింది.మన దేశంలో, దీనిని మూడు వందల సంవత్సరాల క్రితం జార్ పీటర్ ది గ్రేట్ ప్రవేశపెట్టారు. క్రీస్తు జన్మదినం నుండి లెక్కించబడిన సమయాన్ని మన యుగం అని పిలుస్తాము (మరియు మేము దానిని సంక్షిప్త రూపంలో NE లో వ్రాస్తాము). మన యుగం రెండు వేల సంవత్సరాలుగా కొనసాగుతోంది. చిత్రంలో "టైమ్ లైన్" ను పరిగణించండి.

ఫౌండేషన్ ప్రారంభం A. S. పుష్కిన్ యొక్క మాస్కో జననం గురించి మొదటి ప్రస్తావన

రోమ్ తిరుగుబాటు

స్పార్టక్

ముగింపు

వివిధ వనరులతో పని చేయడం మరియు వివిధ దృగ్విషయాలు మరియు ప్రక్రియలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, ప్రతికూల మరియు సానుకూలమైన వాటిని medicine షధం, భౌతిక శాస్త్రం, భౌగోళికం, చరిత్ర, ఆధునిక కమ్యూనికేషన్ మార్గాలలో, మానవ లక్షణాలు మరియు మానవ కార్యకలాపాల యొక్క ఇతర రంగాల అధ్యయనంలో ఉపయోగించబడుతున్నాయని మేము కనుగొన్నాము. ఈ అంశం సంబంధితమైనది మరియు ప్రజలు విస్తృతంగా ఉపయోగిస్తున్నారు మరియు చురుకుగా ఉపయోగిస్తున్నారు.

సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల గురించి తెలుసుకోవడానికి విద్యార్థులను ప్రేరేపించడానికి గణిత పాఠాలలో ఈ కార్యాచరణను ఉపయోగించవచ్చు.

గ్రంథ పట్టిక

1. విగాసిన్ A.A., గోడర్ G.I., "హిస్టరీ ఆఫ్ ది ఏన్షియంట్ వరల్డ్", 5వ తరగతి పాఠ్య పుస్తకం, 2001.
2. వైగోవ్స్కాయ V.V. "గణితంలో పాఠం-ఆధారిత పరిణామాలు: 6వ తరగతి" - M.: VAKO, 2008.
3. వార్తాపత్రిక "గణితం" నం. 4, 2010.
4. గెల్ఫ్‌మాన్ E.G. “పాజిటివ్ మరియు నెగటివ్ నంబర్స్”, 6వ తరగతికి సంబంధించిన గణితంపై పాఠ్య పుస్తకం, 2001.

మనం రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్యలను జోడిస్తే, ఫలితం సహజ సంఖ్యగా ఉంటుందని మనకు తెలుసు. మీరు సహజ సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణిస్తే, ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సహజ సంఖ్యలు. మీరు ఒక సహజ సంఖ్య నుండి మరొక సహజ సంఖ్యను తీసివేస్తే ఏ సంఖ్యలు ఫలితం పొందుతాయి? మీరు పెద్ద సహజ సంఖ్య నుండి చిన్న సంఖ్యను తీసివేస్తే, ఫలితం కూడా సహజ సంఖ్య అవుతుంది. మీరు చిన్న సంఖ్య నుండి పెద్ద సంఖ్యను తీసివేస్తే ఏ సంఖ్య అవుతుంది? ఉదాహరణకు, మనం 5 నుండి 7ని తీసివేస్తే. అటువంటి చర్య యొక్క ఫలితం ఇకపై సహజ సంఖ్యగా ఉండదు, కానీ సున్నా కంటే తక్కువ సంఖ్యగా ఉంటుంది, దానిని మనం సహజ సంఖ్యగా వ్రాస్తాము, కానీ మైనస్ గుర్తుతో, కాబట్టి ప్రతికూల సహజ సంఖ్య అని పిలుస్తారు. ఈ పాఠంలో మనం ప్రతికూల సంఖ్యల గురించి నేర్చుకుందాం. కాబట్టి, మేము సహజ సంఖ్యల సమితిని "0" మరియు ప్రతికూల పూర్ణాంకాలను జోడించడం ద్వారా విస్తరిస్తాము. కొత్త పొడిగించిన సెట్‌లో సంఖ్యలు ఉంటాయి:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

ఈ సంఖ్యలను పూర్ణాంకాలు అంటారు. కాబట్టి, మా ఉదాహరణ 5 -7 = -2 ఫలితం పూర్ణాంకం అవుతుంది.

నిర్వచనం. పూర్ణాంకాలు సహజ సంఖ్యలు, ప్రతికూల సహజ సంఖ్యలు మరియు సంఖ్య "0".

బాహ్య ఉష్ణోగ్రతను కొలిచే థర్మామీటర్‌లో ఈ సెట్ యొక్క చిత్రాన్ని మేము చూస్తాము.

ఉష్ణోగ్రత "మైనస్" కావచ్చు, అనగా. ప్రతికూలమైనది, బహుశా "ప్లస్"తో ఉండవచ్చు, అనగా. అనుకూల. 0 డిగ్రీల ఉష్ణోగ్రత సానుకూలం లేదా ప్రతికూలం కాదు, సంఖ్య 0 అనేది ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి సానుకూల సంఖ్యలను వేరు చేసే సరిహద్దు.

సంఖ్యా రేఖపై పూర్ణాంకాలను ప్లాట్ చేద్దాం.

యాక్సిస్ డ్రాయింగ్

సంఖ్యా రేఖపై అనంతమైన సంఖ్యలు ఉన్నాయని మనం చూస్తాము. సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు సున్నాతో వేరు చేయబడతాయి. -1 వంటి ప్రతికూల పూర్ణాంకాలు "మైనస్ వన్" లేదా "నెగటివ్ వన్"గా చదవబడతాయి.

ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు, ఉదాహరణకు "+3" అనేది ధనాత్మక 3 లేదా కేవలం "మూడు" అని చదవబడుతుంది, అంటే, ధనాత్మక (సహజ) సంఖ్యల కోసం "+" గుర్తు వ్రాయబడదు మరియు "పాజిటివ్" అనే పదం ఉచ్ఛరించబడదు.

ఉదాహరణలు: సంఖ్య రేఖపై +5, +6, -7, -3, -1, 0, మొదలైనవి గుర్తు పెట్టండి.

మీరు సంఖ్య అక్షం వెంట కుడి వైపుకు వెళ్ళినప్పుడు, సంఖ్యలు పెరుగుతాయి మరియు మీరు ఎడమ వైపుకు వెళ్ళినప్పుడు, అవి తగ్గుతాయి. మేము ఒక సంఖ్యను 2 ద్వారా పెంచాలనుకుంటే, మేము 2 యూనిట్ల ద్వారా కోఆర్డినేట్ అక్షం వెంట కుడి వైపుకు వెళ్తాము. ఉదాహరణ: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6, మొదలైనవి. దీనికి విరుద్ధంగా, మనం సంఖ్యను 3తో తగ్గించాలనుకుంటే, ఎడమవైపుకు 3 యూనిట్లు తరలిస్తాము. ఉదాహరణకు: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; మొదలైనవి

1. 3 దశల్లో (-4) సంఖ్యను పెంచడానికి ప్రయత్నించండి, ప్రతిసారీ 2 యూనిట్లు పెంచండి.

చిత్రంలో చూపిన విధంగా సంఖ్య అక్షం వెంట కదులుతున్నప్పుడు, ఫలితంగా మనకు 2 వస్తుంది.

2. ఆరు దశల్లో సంఖ్య 6ని తగ్గించండి, ప్రతి దశకు 2 యూనిట్లు తగ్గించండి.

3. మూడు దశల్లో సంఖ్య (-1)ని పెంచండి, ప్రతి దశలో 4 యూనిట్లు పెంచండి.

కోఆర్డినేట్ లైన్ ఉపయోగించి, పూర్ణాంకాలను పోల్చడం సులభం: రెండు సంఖ్యలలో, కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో కుడి వైపున ఉన్నది పెద్దది మరియు ఎడమవైపు ఉన్నది చిన్నది.

4. > లేదా ఉపయోగించి సంఖ్యలను సరిపోల్చండి< , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 మరియు 2; 0 మరియు -5; -34 మరియు -67; -72 మరియు 0, మొదలైనవి.

5. మేము కోఆర్డినేట్ రేపై సహజ కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్‌లను ఎలా గుర్తించామో గుర్తుంచుకోండి. చుక్కలను సాధారణంగా పెద్ద లాటిన్ అక్షరాలలో పిలుస్తారు. కోఆర్డినేట్ లైన్‌ను గీయండి మరియు అనుకూలమైన యూనిట్ సెగ్మెంట్‌ను తీసుకొని, కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్లను గీయండి:

A) A(10),B(20),C(30),M(-10),N(-20)
బి) సి (100), బి (200), కె (300), ఎఫ్ (-100)
B) U(1000),E(2000),R(-3000)

6. -8 మరియు 5 మధ్య, -15 మరియు -7 మధ్య, -1 మరియు 1 మధ్య ఉన్న అన్ని పూర్ణాంకాలను వ్రాయండి.

సంఖ్యలను పోల్చినప్పుడు, ఒక సంఖ్య మరొకదాని కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువ ఎన్ని యూనిట్ల ద్వారా మనం సమాధానం చెప్పగలగాలి.

కోఆర్డినేట్ లైన్ గీద్దాం. -5 నుండి 5 వరకు అక్షాంశాలతో దానిపై పాయింట్లను గీయండి. 3 సంఖ్య 5 కంటే రెండు యూనిట్లు, ఒకటి 4 కంటే తక్కువ మరియు సున్నా కంటే 3 యూనిట్లు ఎక్కువ. సంఖ్య -1 సున్నా కంటే ఒకటి తక్కువ, మరియు -3 కంటే 2 యూనిట్లు ఎక్కువ.

7. ఎన్ని యూనిట్లు ఉన్నాయో సమాధానం ఇవ్వండి:

3 4 కంటే తక్కువ; -2 3 కంటే తక్కువ; -5 -4 కంటే తక్కువ; 2 -1 కంటే ఎక్కువ; -5 కంటే 0 ఎక్కువ; 4 ఓవర్ -1

8. కోఆర్డినేట్ లైన్ గీయండి. 7 సంఖ్యలను వ్రాయండి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి మునుపటి కంటే 2 యూనిట్లు తక్కువగా ఉంటుంది, 6తో ప్రారంభమవుతుంది. ఈ శ్రేణిలో చివరి సంఖ్య ఏది? వ్రాసిన సంఖ్యల సంఖ్య పరిమితం కాకపోతే అటువంటి సంఖ్యలు ఎన్ని ఉండవచ్చు?

9. 10 సంఖ్యలను వ్రాయండి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి మునుపటి కంటే 3 యూనిట్లు ఎక్కువ, (-6)తో ప్రారంభించండి. శ్రేణి పదికి పరిమితం కాకపోతే అలాంటి సంఖ్యలు ఎన్ని ఉంటాయి?

వ్యతిరేక సంఖ్యలు.

సంఖ్య రేఖపై, ప్రతి ధనాత్మక సంఖ్యకు (లేదా సహజ సంఖ్య), అదే దూరంలో సున్నాకి ఎడమ వైపున ప్రతికూల సంఖ్య ఉంటుంది. ఉదాహరణకు: 3 మరియు -3; 7 మరియు -7; 11 మరియు -11.

సంఖ్య -3 సంఖ్య 3కి వ్యతిరేకమని, మరియు వైస్ వెర్సా, -3 3కి వ్యతిరేకమని వారు అంటున్నారు.

నిర్వచనం: సంకేతంలో మాత్రమే ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండే రెండు సంఖ్యలను వ్యతిరేకం అంటారు.

మనం ఒక సంఖ్యను +1తో గుణిస్తే, సంఖ్య మారదని మనకు తెలుసు. మరియు సంఖ్యను (-1) గుణిస్తే, ఏమి జరుగుతుంది? ఈ సంఖ్య గుర్తును మారుస్తుంది. ఉదాహరణకు, 7ని (-1) లేదా నెగెటివ్ ఒకటితో గుణిస్తే, ఫలితం (-7), సంఖ్య ప్రతికూలంగా మారుతుంది. (-10)ని (-1) గుణిస్తే, మనకు (+10) వస్తుంది, అంటే మనం ఇప్పటికే సానుకూల సంఖ్యను పొందుతాము. ఈ విధంగా, అసలు సంఖ్యను (-1) ద్వారా గుణించడం ద్వారా వ్యతిరేక సంఖ్యలు లభిస్తాయని మనం చూస్తాము. ప్రతి సంఖ్యకు ఒక వ్యతిరేక సంఖ్య మాత్రమే ఉందని మనం సంఖ్య అక్షం మీద చూస్తాము. ఉదాహరణకు, (4) కోసం వ్యతిరేకం (-4), (-10) సంఖ్యకు వ్యతిరేకం (+10) ఉంటుంది. సున్నా యొక్క వ్యతిరేక సంఖ్యను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. అతను వెళ్లిపోయాడు. ఆ. 0 దానికే వ్యతిరేకం.

ఇప్పుడు సంఖ్య అక్షం చూద్దాం, మీరు 2 వ్యతిరేక సంఖ్యలను జోడిస్తే ఏమి జరుగుతుంది. వ్యతిరేక సంఖ్యల మొత్తం 0 అని మనం పొందుతాము.

1. గేమ్: ప్లేయింగ్ ఫీల్డ్‌ను సగానికి రెండు ఫీల్డ్‌లుగా విభజించనివ్వండి: ఎడమ మరియు కుడి. వాటి మధ్య విభజన రేఖ ఉంది. ఫీల్డ్‌లో సంఖ్యలు ఉన్నాయి. లైన్ గుండా వెళ్లడం అంటే (-1) ద్వారా గుణించడం, లేకపోతే విభజన రేఖ గుండా వెళుతున్నప్పుడు, సంఖ్య వ్యతిరేకం అవుతుంది.

ఎడమ ఫీల్డ్‌లో సంఖ్య (5) ఉండనివ్వండి. ఐదు ఒకసారి విభజన రేఖను దాటితే (5) ఏ సంఖ్యగా మారుతుంది? 2 సార్లు? 3 సార్లు?

2. కింది పట్టికను పూరించండి:

3. విభిన్న జతల నుండి, వ్యతిరేక జతలను ఎంచుకోండి. వీటిలో ఎన్ని జతలను మీరు అందుకున్నారు?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

పూర్ణాంకాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం.

సంకలనం (లేదా "+" గుర్తు) అంటే సంఖ్యా రేఖపై కుడివైపుకు వెళ్లడం.

1. 1+3 = 4

1. -1 + 4 = 3
2. -3 + 2 = -1

వ్యవకలనం (లేదా గుర్తు "-") అంటే సంఖ్యా రేఖపై ఎడమవైపుకు వెళ్లడం

1. 3 – 2 = 1
2. 2 – 4 = -2
3. 3 – 6 = -3
4. -3 + 5 = 2
5. -2 – 5 = -7
6. -1 + 6 = 5
7. 1 – 4 = -3

సంఖ్య రేఖను ఉపయోగించి క్రింది ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి:

1. -3+1=
2. 2)-4-1=
3. -5-1=
4. -2-7=
5. -1+3=
6. -1-4=
7. -6+7=

ప్రాచీన చైనాలో, సమీకరణాలను కంపోజ్ చేసేటప్పుడు, మైన్యూఎండ్స్ మరియు సబ్‌ట్రాహెండ్‌ల గుణకాలు వివిధ రంగుల సంఖ్యలలో వ్రాయబడ్డాయి. లాభాలు ఎరుపు రంగులో మరియు నష్టాలు నీలం రంగులో సూచించబడ్డాయి. ఉదాహరణ, మేము 3 ఎద్దులను విక్రయించాము మరియు 2 గుర్రాలను కొన్నాము. మరొక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం: గృహిణి బంగాళాదుంపలను మార్కెట్‌కు తీసుకువచ్చి 300 రూబిళ్లకు విక్రయించింది, మేము ఈ డబ్బును గృహిణి ఆస్తికి జోడించి +300 (ఎరుపు) అని వ్రాస్తాము, ఆపై ఆమె 100 రూబిళ్లు ఖర్చు చేసింది (మేము ఈ డబ్బును వ్రాస్తాము (-100)( నీలం) గా, గృహిణి మార్కెట్ నుండి 200 రూబిళ్లు (లేదా +200) లాభంతో తిరిగి వచ్చినట్లు తేలింది. లేకపోతే, ఎరుపు పెయింట్‌లో వ్రాసిన సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ జోడించబడతాయి మరియు బ్లూ పెయింట్‌లో వ్రాయబడ్డాయి వ్యవకలనం చేయబడ్డాయి. సారూప్యత ద్వారా, మేము ప్రతికూల సంఖ్యలను సూచించడానికి బ్లూ పెయింట్‌ని ఉపయోగిస్తాము.

అందువల్ల, మేము అన్ని సానుకూల సంఖ్యలను విజయాలుగా మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను నష్టాలు లేదా అప్పులు లేదా నష్టాలుగా పరిగణించవచ్చు.

ఉదాహరణ: -4 + 9 = +5 ఫలితం (+5) ఏదైనా గేమ్‌లో విజయంగా పరిగణించబడుతుంది; మొదట 4 పాయింట్లు కోల్పోయి, ఆపై 9 పాయింట్లు గెలిచిన తర్వాత, ఫలితం 5 పాయింట్ల విజయం అవుతుంది. కింది సమస్యలను పరిష్కరించండి:

11. లోట్టో గేమ్‌లో, పెట్యా మొదట 6 పాయింట్లు గెలిచింది, తర్వాత 3 పాయింట్లు కోల్పోయింది, మళ్లీ 2 పాయింట్లు గెలిచింది, ఆపై 5 పాయింట్లు కోల్పోయింది. పెట్యా ఆట ఫలితం ఏమిటి?

12 (*). అమ్మ ఒక జాడీలో స్వీట్లు పెట్టింది. మాషా 4 క్యాండీలు, మిషా 5 క్యాండీలు, ఒలియా 3 క్యాండీలు తిన్నారు. అమ్మ జాడీలో మరో 10 మిఠాయిలు పెట్టింది, వాసేలో 12 క్యాండీలు ఉన్నాయి. మొదట గిన్నెలో ఎన్ని క్యాండీలు ఉన్నాయి?

13. ఇంట్లో, ఒక మెట్ల నేలమాళిగ నుండి రెండవ అంతస్తు వరకు వెళుతుంది. మెట్లలో ఒక్కొక్కటి 15 మెట్లు ఉండే రెండు విమానాలు ఉంటాయి (ఒకటి నేలమాళిగ నుండి మొదటి అంతస్తు వరకు మరియు రెండవది మొదటి అంతస్తు నుండి రెండవది వరకు). పెట్యా మొదటి అంతస్తులో ఉంది. మొదట అతను 7 మెట్లు పైకి ఎక్కాడు, ఆపై 13 మెట్లు దిగాడు. పెట్యా ఎక్కడ ఉన్నాడు?

14. గొల్లభామ సంఖ్య అక్షం వెంట దూకుతుంది. ఒక గొల్లభామ జంప్ అక్షం మీద 3 విభాగాలు. గొల్లభామ మొదట కుడివైపుకు 3 దూకుతుంది, ఆపై ఎడమవైపుకు 5 దూకుతుంది. 1) “+1”; 2) “-6”; 3) “0”; 4) “+5”; 5) “-2”; 6 లో ఉంటే, ఈ దూకడం తర్వాత గొల్లభామ ఎక్కడ ముగుస్తుంది ) “+ 3";7) "-1".

ఇప్పటి వరకు, ప్రశ్నలోని సంఖ్యలు "ఎంత" అనే ప్రశ్నకు సమాధానమిచ్చాయనే వాస్తవాన్ని మనం అలవాటు చేసుకున్నాము. కానీ "ఎంత" అనే ప్రశ్నకు ప్రతికూల సంఖ్యలు సమాధానం కావు. రోజువారీ కోణంలో, ప్రతికూల సంఖ్యలు రుణం, నష్టం, తక్కువ చేయడం, తక్కువ జంపింగ్, తక్కువ బరువు మొదలైన వాటితో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. ఈ అన్ని సందర్భాలలో మేము కేవలం అప్పు, నష్టం, తక్కువ బరువును తీసివేస్తాము. ఉదాహరణకి,

1. “100 లేకుండా వెయ్యి” అంటే ఏమిటి?” అనే ప్రశ్నకు, మనం తప్పనిసరిగా 1000 నుండి 100 తీసివేసి 900 పొందాలి.
2. “3 గంటల నుండి పావు వంతు” అనే వ్యక్తీకరణ అంటే మనం 3 గంటల నుండి 15 నిమిషాలను తీసివేయాలి. ఆ విధంగా మనకు 2 గంటల 45 నిమిషాలు లభిస్తాయి.

ఇప్పుడు కింది సమస్యలను పరిష్కరించండి:

15. సాషా 200గ్రా కొనుగోలు చేసింది. నూనె, కానీ నిష్కపటమైన విక్రేత 5 గ్రాముల తక్కువ బరువు కలిగి ఉన్నాడు. సాషా ఎంత వెన్న కొనుగోలు చేసింది?

16. 5 కి.మీ నడుస్తున్న దూరం వద్ద. వోలోడియా 200 మీటర్ల ముగింపు రేఖకు చేరుకోవడానికి ముందే రేసు నుండి నిష్క్రమించాడు. వోలోడియా ఎంత దూరం పరుగెత్తాడు?

17. రసంతో మూడు-లీటర్ కూజాను నింపినప్పుడు, అమ్మ 100 ml రసంను జోడించలేదు. కూజాలో ఎంత రసం ఉంది?

18. సినిమా ఇరవై నిమిషాల నుండి ఎనిమిదికి ప్రారంభం కావాలి. సినిమా ఎన్ని నిమిషాలకు, ఏ సమయానికి ప్రారంభం కావాలి?

19. తాన్యకు 200 రూబిళ్లు ఉన్నాయి. మరియు ఆమె పెట్యాకు 50 రూబిళ్లు రుణపడి ఉంది. ఆమె అప్పు చెల్లించిన తర్వాత, తాన్య ఎంత డబ్బు మిగిలి ఉంది?

20. పెట్యా మరియు వన్య దుకాణానికి వెళ్లారు. పెట్యా 5 రూబిళ్లు కోసం ఒక పుస్తకాన్ని కొనుగోలు చేయాలనుకున్నాడు. కానీ అతని వద్ద కేవలం 3 రూబిళ్లు మాత్రమే ఉన్నాయి, కాబట్టి అతను వన్య నుండి 2 రూబిళ్లు అప్పుగా తీసుకున్నాడు మరియు ఒక పుస్తకం కొన్నాడు. పెట్యా నుండి కొనుగోలు చేసిన తర్వాత మీ వద్ద ఎంత డబ్బు ఉంది?

3 - 5 = -2 (కొనుగోలు చేయడానికి ముందు అతను కలిగి ఉన్నదాని నుండి, కొనుగోలు ధరను తీసివేయండి, మనకు -2 రూబిళ్లు, అంటే రెండు రూబిళ్లు అప్పు).

21. పగటిపూట గాలి ఉష్ణోగ్రత 3°C లేదా +3°, మరియు రాత్రి 4°F లేదా -4°. ఉష్ణోగ్రత ఎన్ని డిగ్రీలు తగ్గింది? మరియు పగటి ఉష్ణోగ్రత కంటే రాత్రి ఉష్ణోగ్రత ఎన్ని డిగ్రీలు తక్కువగా ఉంటుంది?

22. తాన్యా వోలోడియాను త్రైమాసికానికి ఏడు గంటలకు కలవడానికి అంగీకరించింది. వారు ఏ సమయంలో మరియు ఏ సమయంలో కలవడానికి అంగీకరించారు?

23. టిమ్ మరియు ఒక స్నేహితుడు 97 రూబిళ్లు ఖరీదు చేసే పుస్తకాన్ని కొనుగోలు చేయడానికి దుకాణానికి వెళ్లారు. కానీ వారు దుకాణానికి వచ్చినప్పుడు, పుస్తకం ధర పెరిగిందని మరియు 105 రూబిళ్లు ఖర్చు చేయడం ప్రారంభించిందని తేలింది. టిమ్ తప్పిపోయిన మొత్తాన్ని స్నేహితుడి నుండి అప్పుగా తీసుకున్నాడు మరియు ఇప్పటికీ పుస్తకాన్ని కొనుగోలు చేశాడు. టిమ్ తన స్నేహితుడికి ఎంత డబ్బు చెల్లించాలి?