41.1. ఖచ్చితమైన సమగ్రతను వర్తింపజేయడానికి పథకాలు
స్వతంత్ర వేరియబుల్ xలో మార్పు యొక్క సెగ్మెంట్‌తో అనుబంధించబడిన కొంత రేఖాగణిత లేదా భౌతిక పరిమాణం A (బొమ్మ యొక్క వైశాల్యం, శరీర పరిమాణం, నిలువు పలకపై ద్రవ ఒత్తిడి మొదలైనవి) విలువను కనుగొనడం అవసరం. ఈ పరిమాణం A సంకలితం అని భావించబడుతుంది, అనగా, విభాగాన్ని విభజించేటప్పుడు [a; బి] భాగంలో є (a; బి) తో పాయింట్ [a; లు] మరియు [లు; బి] మొత్తం విభాగానికి సంబంధించిన A విలువ [a; బి], దాని విలువల మొత్తానికి సమానం [a; లు] మరియు [లు; బి].
ఈ విలువ Aని కనుగొనడానికి, మీరు రెండు పథకాలలో ఒకదాని ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయవచ్చు: I పథకం (లేదా సమగ్ర మొత్తాల పద్ధతి) మరియు II పథకం (లేదా అవకలన పద్ధతి).
మొదటి పథకం ఖచ్చితమైన సమగ్ర నిర్వచనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
1. పాయింట్లను ఉపయోగించి x 0 = a, x 1 ,..., x n = b, సెగ్మెంట్ [a;b]ని n భాగాలుగా విభజించండి. దీనికి అనుగుణంగా, మనకు ఆసక్తిని కలిగించే A పరిమాణం n “ప్రాథమిక నిబంధనలు” ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 +ΔA 2 +...+ ΔA nగా విభజించబడుతుంది.
2. ప్రతి "ప్రాథమిక పదం"ని దాని పొడవు ద్వారా సంబంధిత సెగ్మెంట్ యొక్క ఏకపక్ష పాయింట్ వద్ద లెక్కించిన కొన్ని ఫంక్షన్ (సమస్య పరిస్థితుల నుండి నిర్వచించబడింది) యొక్క ఉత్పత్తిగా ప్రదర్శించండి: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.
ΔA i యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను కనుగొన్నప్పుడు, కొన్ని సరళీకరణలు అనుమతించబడతాయి: ఒక చిన్న ప్రాంతంలోని ఆర్క్ దాని చివరలను కుదించే తీగతో భర్తీ చేయబడుతుంది; ఒక చిన్న ప్రాంతంలో వేరియబుల్ వేగాన్ని సుమారుగా స్థిరంగా పరిగణించవచ్చు, మొదలైనవి.
మేము సమగ్ర మొత్తం రూపంలో పరిమాణం A యొక్క సుమారు విలువను పొందుతాము:
3. అవసరమైన విలువ A అనేది సమగ్ర మొత్తం పరిమితికి సమానం, అనగా.
సూచించబడిన “మొత్తాల పద్ధతి”, మనం చూస్తున్నట్లుగా, అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో అనంతమైన పదాల మొత్తంగా సమగ్ర ప్రాతినిధ్యంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత మరియు భౌతిక అర్థాన్ని స్పష్టం చేయడానికి స్కీమ్ I ఉపయోగించబడింది.
రెండవ పథకం కొద్దిగా సవరించబడిన స్కీమ్ I మరియు దీనిని "అవకలన పద్ధతి" లేదా "అనంతమైన అధిక ఆర్డర్‌లను విస్మరించే పద్ధతి" అని పిలుస్తారు:
1) సెగ్మెంట్లో [a;b] మేము ఏకపక్ష విలువ xని ఎంచుకుంటాము మరియు వేరియబుల్ సెగ్మెంట్ను పరిగణిస్తాము [a; X]. ఈ విభాగంలో, పరిమాణం A x యొక్క విధిగా మారుతుంది: A = A(x), అనగా, కావలసిన పరిమాణంలో A భాగం తెలియని ఫంక్షన్ A(x), ఇక్కడ x є అనేది పారామితులలో ఒకటి. పరిమాణం A;
2) x ఒక చిన్న మొత్తంలో Δx = dx మారినప్పుడు మేము ఇంక్రిమెంట్ ΔA యొక్క ప్రధాన భాగాన్ని కనుగొంటాము, అనగా A = A(x) ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన dAని కనుగొంటాము: dA = ƒ(x) dx, ఇక్కడ ƒ(x ), సమస్య పరిస్థితుల నుండి నిర్ణయించబడుతుంది , వేరియబుల్ x యొక్క ఫంక్షన్ (వివిధ సరళీకరణలు ఇక్కడ కూడా సాధ్యమే);
3) Δx → 0 కోసం dA ≈ ΔA అని ఊహిస్తే, a నుండి b వరకు ఉన్న పరిధిలో dAని సమగ్రపరచడం ద్వారా మేము కావలసిన విలువను కనుగొంటాము:
41.2 విమానం బొమ్మల ప్రాంతాల గణన
దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్లు
ఇప్పటికే స్థాపించబడినట్లుగా ("ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత అర్థం" చూడండి), x-అక్షం (ƒ(x) ≥ 0) "పైన" ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం సంబంధిత ఖచ్చితమైన సమగ్రానికి సమానం:
స్కీమ్ I - సమ్ పద్ధతిని వర్తింపజేయడం ద్వారా ఫార్ములా (41.1) పొందబడింది. స్కీమ్ II ఉపయోగించి ఫార్ములా (41.1)ని జస్టిఫై చేద్దాం. వంపు తిరిగిన ట్రాపెజాయిడ్ y = ƒ(x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (Fig. 174 చూడండి) పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉండనివ్వండి.
ఈ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం Sని కనుగొనడానికి, మేము ఈ క్రింది కార్యకలాపాలను చేస్తాము:
1. ఏకపక్ష x О [a; బి] మరియు మేము S = S(x) అని ఊహిస్తాము.
2. ఆర్గ్యుమెంట్ x ఇంక్రిమెంట్ Δx = dx (x + Δx є [a; b]) ఇద్దాం. ఫంక్షన్ S = S(x) ఇంక్రిమెంట్ ΔS అందుకుంటుంది, ఇది "ఎలిమెంటరీ కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్" (ఇది చిత్రంలో హైలైట్ చేయబడింది) యొక్క ప్రాంతం.
ఏరియా డిఫరెన్షియల్ dS అనేది Δx వద్ద ఇంక్రిమెంట్ ΔS యొక్క ప్రధాన భాగం → 0, మరియు స్పష్టంగా ఇది బేస్ dx మరియు ఎత్తు y ఉన్న దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం: dS = y dx.
3. ఫలిత సమానత్వాన్ని x = a నుండి x = b వరకు సమీకృతం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది
ఒక వంపు తిరిగిన ట్రాపెజాయిడ్ ఆక్స్ అక్షం (ƒ(x) క్రింద" ఉన్నట్లయితే< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
సూత్రాలు (41.1) మరియు (41.2) ఒకటిగా కలపవచ్చు:
వక్రరేఖలు y = fι(x) మరియు y = ƒг(x), సరళ రేఖలు x = a మరియు x = b (అందించబడిన ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (Fig. చూడండి 175), ఫార్ములా ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు
ఒక ఫ్లాట్ ఫిగర్ "కాంప్లెక్స్" ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటే (అంజీర్ 176 చూడండి), అప్పుడు అది ఓయ్ అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖల ద్వారా భాగాలుగా విభజించబడాలి, తద్వారా ఇప్పటికే తెలిసిన సూత్రాలు వర్తించబడతాయి.
కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ y = c మరియు y = d సరళ రేఖల ద్వారా పరిమితం చేయబడితే, Oy అక్షం మరియు నిరంతర వక్రత x = φ(y) ≥ 0 (Fig. 177 చూడండి), అప్పుడు దాని ప్రాంతం సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది. 
మరియు చివరగా, ఒక వక్ర ట్రాపజోయిడ్ పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన వక్రరేఖ ద్వారా పరిమితం చేయబడితే
సరళ రేఖలు x = aix = b మరియు ఆక్స్ అక్షం, అప్పుడు దాని ప్రాంతం సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది
ఇక్కడ a మరియు β లు x(a) = a మరియు x(β) = b సమానత్వం నుండి నిర్ణయించబడతాయి.
ఉదాహరణ 41.1. ఆక్స్ అక్షం మరియు x є కోసం y = x 2 - 2x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: బొమ్మ మూర్తి 178లో చూపిన ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంది. దాని ప్రాంతం Sని కనుగొనండి:
ఉదాహరణ 41.2. దీర్ఘవృత్తాకార x = a cos t, y = b sin tతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.
పరిష్కారం: మొదటగా S ప్రాంతంలో 1/4 భాగాన్ని కనుగొనండి. ఇక్కడ x 0 నుండి aకి మారుతుంది, కాబట్టి t 0 నుండి 0కి మారుతుంది (Fig. 179 చూడండి). మేము కనుగొన్నాము:
ఈ విధంగా . దీని అర్థం S = π Β.
ధ్రువ కోఆర్డినేట్లు
మనం ఒక కర్విలినియర్ సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం Sని కనుగొనండి, అనగా ఒక నిరంతర రేఖ r=r(φ) మరియు రెండు కిరణాలు φ=a మరియు φ=β (a)తో పరిమితమైన ఫ్లాట్ ఫిగర్< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - అవకలన పద్ధతి.
1. మేము కోరుకున్న ప్రాంతం S యొక్క భాగాన్ని కోణం φ యొక్క విధిగా పరిగణిస్తాము, అనగా S = S(φ), ఇక్కడ a ≤
φ ≤
β (φ = a అయితే, S(a) = 0, φ=β అయితే, S(β) = S).
2. ప్రస్తుత ధ్రువ కోణం φ ఇంక్రిమెంట్ Δφ = dφని అందుకుంటే, AS ప్రాంతంలో ఇంక్రిమెంట్ "ఎలిమెంటరీ కర్విలినియర్ సెక్టార్" OAB వైశాల్యానికి సమానం.
అవకలన dS dφ వద్ద ఇంక్రిమెంట్ ΔS యొక్క ప్రధాన భాగాన్ని సూచిస్తుంది →
0 మరియు కేంద్ర కోణం dφతో వ్యాసార్థం r యొక్క వృత్తాకార సెక్టార్ O AC (చిత్రంలో షేడెడ్) వైశాల్యానికి సమానం. అందుకే 
3. ఫలిత సమానత్వాన్ని φ = a నుండి φ = β వరకు ఉన్న పరిధిలో ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా, మేము అవసరమైన ప్రాంతాన్ని పొందుతాము
ఉదాహరణ 41.3. "మూడు-రేకుల గులాబీ" r=acos3φతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి (Fig. 181 చూడండి).
పరిష్కారం: మొదటగా "గులాబీ" యొక్క ఒక రేకలో సగం వైశాల్యాన్ని, అంటే బొమ్మ యొక్క మొత్తం వైశాల్యంలో 1/6 వంతును కనుగొనండి:
అంటే కాబట్టి,
ఒక ఫ్లాట్ ఫిగర్ "కాంప్లెక్స్" ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ధ్రువం నుండి వెలువడే కిరణాలు దానిని కర్విలినియర్ సెక్టార్లుగా విభజించాలి, దీని ఫలితంగా ఏర్పడిన ఫార్ములా ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి వర్తింపజేయాలి. కాబట్టి, మూర్తి 182లో చూపిన బొమ్మ కోసం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
41.3 విమానం వక్రరేఖ యొక్క ఆర్క్ పొడవును గణించడం
దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్లు
ఒక ప్లేన్ కర్వ్ AB దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్లలో ఇవ్వబడనివ్వండి, దీని సమీకరణం y=ƒ(x), ఇక్కడ a≤x≤ b.
విరిగిన రేఖ యొక్క లింక్‌ల సంఖ్య నిరవధికంగా పెరిగినప్పుడు మరియు దాని అతిపెద్ద లింక్ యొక్క పొడవు సున్నాకి మారినప్పుడు ఈ ఆర్క్‌లో చెక్కబడిన విరిగిన రేఖ యొక్క పొడవు పరిమితిగా AB యొక్క పొడవు అర్థం అవుతుంది. ఫంక్షన్ y=ƒ(x) మరియు దాని ఉత్పన్నం y" = ƒ"(x) విరామం [a; b], అప్పుడు AB వక్రరేఖకు సమానమైన పొడవు ఉంటుంది
పథకం I (మొత్తం పద్ధతి) వర్తింపజేద్దాం.
1. పాయింట్లు x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =
2. ఒక తీగ యొక్క పొడవు (లేదా విరిగిన రేఖ యొక్క లింక్) ΔL 1 కాళ్లు Δx i మరియు Δу i త్రిభుజం నుండి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:
ఫంక్షన్ Δу i =ƒ"(с i) Δх i, ఇక్కడ ci є (x i-1;x i) యొక్క పరిమిత పెంపుపై లాగ్రాంజ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం.
మరియు మొత్తం విరిగిన లైన్ పొడవు M 0 M 1 ... M n సమానంగా ఉంటుంది
3.పొడవు ఎల్కర్వ్ AB, నిర్వచనం ప్రకారం, సమానం
.
ΔL i కోసం గమనించండి →
0 కూడా Δx i →
0 ΔLi = 
అందువలన |Δx i |<ΔL i).
ఫంక్షన్ 
విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది [a; b], షరతు ప్రకారం, ఫంక్షన్ ƒ"(x) నిరంతరాయంగా ఉంటుంది. తత్ఫలితంగా, సమగ్ర మొత్తం (41.4), గరిష్టంగా Δx i ఉన్నప్పుడు →
0
:
ఈ విధంగా, 
లేదా సంక్షిప్త రూపంలో ఎల్ =
AB వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణం పారామెట్రిక్ రూపంలో ఇవ్వబడితే
ఇక్కడ x(t) మరియు y(t) అనేది నిరంతర ఉత్పన్నాలతో నిరంతర విధులు మరియు x(a) = a, x(β) = b, ఆపై పొడవు ఎల్ AB వక్రరేఖ సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడింది
ఫార్ములా (41.5) ఫార్ములా (41.3) నుండి x = x(t),dx = x"(t)dt, 
ఉదాహరణ 41.4. వ్యాసార్థం R యొక్క వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి. 
పరిష్కారం: పాయింట్ (0;R) నుండి పాయింట్ (R;0) వరకు దాని పొడవులో 1/4ని కనుగొనండి (Fig. 184 చూడండి). ఎందుకంటే 
ఆ
అంటే, ఎల్= 2π R. వృత్తం యొక్క సమీకరణం పారామెట్రిక్ రూపంలో వ్రాయబడితే x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π ), అప్పుడు
ఆర్క్ పొడవు యొక్క గణన అవకలన పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ ఆధారంగా ఉంటుంది. స్కీమ్ II (డిఫరెన్షియల్ మెథడ్)ని వర్తింపజేయడం ద్వారా ఫార్ములా (41.3) ఎలా పొందవచ్చో చూపిద్దాం.
1. ఏకపక్ష విలువను తీసుకోండి x є [a; b] మరియు వేరియబుల్ సెగ్మెంట్ [a;x]ని పరిగణించండి. దానిపై పరిమాణం ఎల్ x యొక్క విధిగా మారుతుంది, అనగా. ఎల్ = ఎల్(X) ( ఎల్(a) = 0 మరియు ఎల్(బి) = ఎల్).
2. అవకలనను కనుగొనండి dlవిధులు ఎల్ = ఎల్(x) x చిన్న మొత్తంలో మారినప్పుడు Δх = dx: dl = ఎల్"(x)dx. కనుక్కొందాం ఎల్"(x), అనంతమైన ఆర్క్ MNని తీగ Δతో భర్తీ చేస్తుంది ఎల్, ఈ ఆర్క్ కాంట్రాక్ట్ చేయడం (Fig. 185 చూడండి):
3. a నుండి b వరకు ఉన్న పరిధిలో dl ని సమగ్రపరచడం, మనకు లభిస్తుంది 
సమానత్వం 
దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్లలో ఆర్క్ డిఫరెన్షియల్ ఫార్ములా అంటారు.
y" x = -dy/dx నుండి, అప్పుడు
చివరి ఫార్ములా అనంతమైన త్రిభుజం MST కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం (Fig. 186 చూడండి).
ధ్రువ కోఆర్డినేట్లు
ధ్రువ కోఆర్డినేట్లు r = r(φ), a≤φ≤βలోని సమీకరణం ద్వారా AB వక్రరేఖను ఇవ్వనివ్వండి. r(φ) మరియు r"(φ) విరామం [a;β]పై నిరంతరంగా ఉంటాయని అనుకుందాం.
సమానత్వంలో x = rcosφ, y = rsinφ, పోలార్ మరియు కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్‌లను కలుపుతూ ఉంటే, కోణం φ ఒక పరామితిగా పరిగణించబడుతుంది, అప్పుడు AB వక్రరేఖను పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొనవచ్చు.
ఫార్ములా (41.5) వర్తింపజేయడం, మేము పొందుతాము
ఉదాహరణ 41.5. కార్డియోయిడ్ r = = a(1 + cosφ) పొడవును కనుగొనండి.
పరిష్కారం: కార్డియోయిడ్ r = a(1 + cosφ) మూర్తి 187లో చూపిన రూపాన్ని కలిగి ఉంది. ఇది ధ్రువ అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది. కార్డియోయిడ్ యొక్క సగం పొడవును కనుగొనండి:
అందువలన, 1/2l= 4a. దీని అర్థం l= 8a.
41.4. శరీర వాల్యూమ్ యొక్క గణన
సమాంతర విభాగాల యొక్క తెలిసిన ప్రాంతాల నుండి శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ యొక్క గణన
శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ Vని కనుగొనడం అవసరం, మరియు కొన్ని అక్షానికి లంబంగా ఉండే విమానాల ద్వారా ఈ శరీరం యొక్క విభాగాల ప్రాంతం Sని కనుగొనడం అవసరం, ఉదాహరణకు ఆక్స్ అక్షం, అంటారు: S = S(x), a ≤ x ≤ b .
1. ఒక ఏకపక్ష పాయింట్ ద్వారా x є మేము ఆక్స్ అక్షానికి లంబంగా ఒక విమానం ∏ డ్రా చేస్తాము (Fig. 188 చూడండి). ఈ విమానం ద్వారా శరీరం యొక్క క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతాన్ని S(x) ద్వారా సూచిస్తాము; S(x) అనేది తెలిసినట్లుగా పరిగణించబడుతుంది మరియు x మారుతున్నప్పుడు నిరంతరం మారుతూ ఉంటుంది. v(x) అనేది విమానం P యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న శరీర భాగం యొక్క వాల్యూమ్‌ను సూచించనివ్వండి. మేము సెగ్మెంట్లో [a; x] విలువ v అనేది x యొక్క ఫంక్షన్, అనగా v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. ఫంక్షన్ v = v(x) యొక్క అవకలన dVని కనుగొనండి. ఇది x మరియు x+Δx బిందువుల వద్ద ఆక్స్ అక్షాన్ని ఖండిస్తున్న సమాంతర విమానాల మధ్య పరివేష్టితమై ఉన్న శరీరం యొక్క "ప్రాథమిక పొర"ని సూచిస్తుంది, ఇది సుమారుగా బేస్ S(x) మరియు ఎత్తు dxతో సిలిండర్‌గా తీసుకోబడుతుంది. కాబట్టి, వాల్యూమ్ అవకలన dV = S(x) dx.
3. a నుండి B వరకు ఉన్న పరిధిలో dAని సమగ్రపరచడం ద్వారా కావలసిన విలువ Vని కనుగొనండి:
ఫలిత సూత్రాన్ని సమాంతర విభాగాల ప్రాంతం ద్వారా శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ కోసం ఫార్ములా అంటారు.
ఉదాహరణ 41.6. దీర్ఘవృత్తాకార పరిమాణాన్ని కనుగొనండి 
పరిష్కారం: Oyz విమానానికి సమాంతరంగా మరియు దాని నుండి x దూరంలో ఉన్న ఒక విమానంతో దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని కత్తిరించడం (-a ≤х≤ a), మేము దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని పొందుతాము (Fig. 189 చూడండి):
ఈ దీర్ఘవృత్తం యొక్క వైశాల్యం 
కాబట్టి, ఫార్ములా (41.6) ప్రకారం, మనకు ఉంది
భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్
నిరంతర రేఖ y = ƒ(x) 0, ఒక సెగ్మెంట్ a ≤ x ≤ b, మరియు సరళ రేఖలు x = a మరియు x = b (Fig. 190 చూడండి). భ్రమణం నుండి పొందిన బొమ్మను విప్లవం యొక్క శరీరం అంటారు. ఆక్స్ అక్షానికి లంబంగా ఉన్న విమానం ద్వారా ఈ శరీరం యొక్క విభాగం, ఆక్స్ అక్షం (x) యొక్క ఏకపక్ష బిందువు x ద్వారా డ్రా చేయబడింది Î [ఎ; b]), y= ƒ(x) వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తం ఉంది. కాబట్టి S(x)= π y 2.
సమాంతర విభాగాల ప్రాంతం ఆధారంగా శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ కోసం ఫార్ములా (41.6) వర్తింపజేయడం, మేము పొందుతాము
కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ నిరంతర ఫంక్షన్ x = φ(y) ≥ 0 మరియు సరళ రేఖల గ్రాఫ్ ద్వారా పరిమితం చేయబడితే x = 0, y = c,
y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен
ఉదాహరణ 41.7. Oy అక్షం చుట్టూ ఉన్న పంక్తులతో చుట్టబడిన ఫిగర్ యొక్క భ్రమణ ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి (Fig. 191 చూడండి).
పరిష్కారం: ఫార్ములా (41.8) ఉపయోగించి మనం కనుగొంటాము:
41.5 విప్లవం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం
AB వక్రరేఖ y = ƒ(x) ≥ 0 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌గా ఉండనివ్వండి, ఇక్కడ x є [a;b], మరియు ఫంక్షన్ y = ƒ(x) మరియు దాని ఉత్పన్నం y"=ƒ"(x) నిరంతరంగా ఉంటాయి. ఈ విభాగంలో.
ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ AB వక్రరేఖను తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలం యొక్క S వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
పథకం II (అవకలన పద్ధతి) వర్తింపజేద్దాం.
1. ఏకపక్ష పాయింట్ ద్వారా x є [a; b] ఆక్స్ అక్షానికి లంబంగా ఒక విమానం ∏ గీయండి. విమానం ∏ y = ƒ(x) వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తంతో పాటు విప్లవం యొక్క ఉపరితలాన్ని కలుస్తుంది (Fig. 192 చూడండి). విమానం యొక్క ఎడమవైపు ఉన్న విప్లవం యొక్క బొమ్మ యొక్క భాగం యొక్క ఉపరితలం యొక్క విలువ S అనేది x యొక్క ఫంక్షన్, అనగా s=s(x) (s(a)=0 మరియు s(b)=S).
2. ఆర్గ్యుమెంట్ x ఇంక్రిమెంట్ Δх = dx ఇద్దాం. పాయింట్ ద్వారా x + dx є [a; b] మేము ఆక్స్ అక్షానికి లంబంగా ఒక విమానాన్ని కూడా గీస్తాము. s=s(x) అనే ఫంక్షన్ ఫిగర్‌లో “బెల్ట్”గా చూపబడిన ఇంక్రిమెంట్ Azని అందుకుంటుంది.
విభాగాల మధ్య ఏర్పడిన బొమ్మను కత్తిరించిన కోన్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా ప్రాంతం ds యొక్క భేదాన్ని కనుగొనండి, దీని జనరేట్రిక్స్ సమానంగా ఉంటుంది dl, మరియు స్థావరాల వ్యాసార్థాలు y మరియు y + dyకి సమానంగా ఉంటాయి. దాని పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం ds= π (y+y+ డి వై) dl=2π వద్ద dl + π dydl. ఉత్పత్తి dydlని ds కంటే అధిక ఆర్డర్ యొక్క అనంతమైనదిగా తిరస్కరించడం, మేము ds=2ని పొందుతాము π వద్ద dl, లేదా, నుండి
3. ఫలిత సమానత్వాన్ని x = a నుండి x = b వరకు సమీకృతం చేయడం ద్వారా మనం పొందుతాము
AB వక్రరేఖను x = x(t),y=y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2 అనే పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా అందించినట్లయితే, అప్పుడు భ్రమణ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా (41.9) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.
ఉదాహరణ 41.8. R వ్యాసార్థం ఉన్న బంతి ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
ఉదాహరణ 41.9. సైక్లాయిడ్ ఇవ్వబడింది
ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: సైక్లాయిడ్ ఆర్క్‌లో సగం ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ తిరిగినప్పుడు, భ్రమణ ఉపరితల వైశాల్యం సమానంగా ఉంటుంది
41.6. ఖచ్చితమైన సమగ్ర యాంత్రిక అనువర్తనాలు
వేరియబుల్ ఫోర్స్ పని
ఈ అక్షానికి సమాంతరంగా నిర్దేశించబడిన వేరియబుల్ ఫోర్స్ F = F(x) చర్యలో మెటీరియల్ పాయింట్ M ఆక్స్ అక్షం వెంట కదలనివ్వండి. పాయింట్ M ను x = a నుండి x = b స్థానానికి తరలించేటప్పుడు ఒక శక్తి చేసే పని (a< b), находится по формуле (см. п. 36).
ఉదాహరణ 41.10 100 N శక్తి స్ప్రింగ్‌ను 0.01 m వరకు సాగదీస్తే 0.05 m వరకు స్ప్రింగ్‌ని సాగదీయడానికి ఎంత పని చేయాలి?
పరిష్కారం: హుక్ యొక్క చట్టం ప్రకారం, స్ప్రింగ్‌ని సాగదీసే సాగే శక్తి ఈ సాగిన xకి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది, అనగా F = kx, ఇక్కడ k అనేది అనుపాతత యొక్క గుణకం. సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, F = 100 N శక్తి x = 0.01 m ద్వారా వసంతాన్ని విస్తరించింది; కాబట్టి, 100 = k*0.01, అందుకే k = 10000; కాబట్టి, F = 10000x.
ఫార్ములా (41.10) ఆధారంగా అవసరమైన పని సమానంగా ఉంటుంది
ఉదాహరణ 41.11. N m మరియు మూల వ్యాసార్థం R m యొక్క నిలువు స్థూపాకార ట్యాంక్ నుండి అంచుపై ద్రవాన్ని పంప్ చేయడానికి అవసరమైన పనిని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: p బరువు ఉన్న శరీరాన్ని h ఎత్తుకు ఎత్తడానికి అవసరమైన పని p hకి సమానం. కానీ రిజర్వాయర్‌లో ద్రవం యొక్క వివిధ పొరలు వేర్వేరు లోతుల వద్ద ఉంటాయి మరియు వివిధ పొరల పెరుగుదల (రిజర్వాయర్ అంచు వరకు) ఎత్తు ఒకే విధంగా ఉండదు.
సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మేము పథకం II (అవకలన పద్ధతి) వర్తింపజేస్తాము. మూర్తి 193లో చూపిన విధంగా కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం.
1. మందం x (0 !!!) ద్రవ పొరను పంపింగ్ చేయడానికి ఖర్చు చేసిన పని< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).
2. x మొత్తం Δx = dx ద్వారా మారినప్పుడు మేము ఇంక్రిమెంట్ ΔA యొక్క ప్రధాన భాగాన్ని కనుగొంటాము, అనగా మేము ఫంక్షన్ A(x) యొక్క అవకలన dAని కనుగొంటాము.
dx యొక్క చిన్నతనం కారణంగా, ద్రవం యొక్క "ప్రాథమిక" పొర అదే లోతు x (రిజర్వాయర్ అంచు నుండి) వద్ద ఉందని మేము ఊహిస్తాము (Fig. 193 చూడండి). అప్పుడు dA = dp*x, ఇక్కడ dp అనేది ఈ పొర యొక్క బరువు; ఇది g *g dvకి సమానం, ఇక్కడ g అనేది గురుత్వాకర్షణ త్వరణం, g అనేది ద్రవం యొక్క సాంద్రత, dv అనేది ద్రవ "ప్రాథమిక" పొర యొక్క వాల్యూమ్ (ఇది చిత్రంలో హైలైట్ చేయబడింది), అనగా dp = gg dv సూచించిన ద్రవ పొర యొక్క వాల్యూమ్ స్పష్టంగా సమానంగా ఉంటుంది π R 2 dx, ఇక్కడ dx అనేది సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు (పొర), π R 2 అనేది దాని బేస్ యొక్క ప్రాంతం, అనగా dv= π R 2 dx.
కాబట్టి dp=gg π R 2 dx మరియు dA = gg π R 2 dx*x.
3) ఫలిత సమానత్వాన్ని x = 0 నుండి x = H వరకు సమీకృతం చేయడం, మేము కనుగొన్నాము
శరీరం ప్రయాణించిన మార్గం
మెటీరియల్ పాయింట్‌ని వేరియబుల్ స్పీడ్ v=v(t)తో సరళ రేఖలో తరలించనివ్వండి. t 1 నుండి t 2 వరకు సమయ వ్యవధిలో S ప్రయాణించిన మార్గాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్ధం నుండి, ఒక పాయింట్ ఒక దిశలో కదులుతున్నప్పుడు, "రెక్టిలినియర్ మోషన్ యొక్క వేగం మార్గం యొక్క సమయ ఉత్పన్నానికి సమానం" అని తెలుస్తుంది, అనగా ఇది dS = v(t)dt అని అనుసరిస్తుంది. ఫలితంగా సమానత్వాన్ని t 1 నుండి t 2 వరకు సమీకృతం చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము 
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను వర్తింపజేయడానికి స్కీమ్ I లేదా IIని ఉపయోగించి అదే సూత్రాన్ని పొందవచ్చని గమనించండి.
ఉదాహరణ 41.12. శరీరం యొక్క వేగం v(t) = 10t + 2 (m/s) అయితే, కదలిక ప్రారంభం నుండి 4 సెకన్లలో శరీరం ప్రయాణించిన మార్గాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: v(t)=10t+2 (m/s) అయితే, కదలిక ప్రారంభం (t=0) నుండి 4వ సెకను చివరి వరకు శరీరం ప్రయాణించే మార్గం దీనికి సమానం
నిలువు పలకపై ద్రవ ఒత్తిడి
పాస్కల్ చట్టం ప్రకారం, క్షితిజ సమాంతర ప్లేట్‌పై ద్రవం యొక్క పీడనం ఈ ద్రవం యొక్క కాలమ్ యొక్క బరువుకు సమానం, ఇది ప్లేట్‌ను బేస్‌గా కలిగి ఉంటుంది మరియు దాని ఎత్తు అనేది ద్రవం యొక్క ఉచిత ఉపరితలం నుండి దాని ఇమ్మర్షన్ యొక్క లోతు. , అనగా P = g*g* S* h, ఇక్కడ g అనేది గురుత్వాకర్షణ త్వరణం, g అనేది ద్రవం యొక్క సాంద్రత, S అనేది ప్లేట్ యొక్క వైశాల్యం, h అనేది దాని ఇమ్మర్షన్ యొక్క లోతు.
ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, నిలువుగా ముంచిన ప్లేట్‌పై ద్రవ పీడనం కోసం వెతకడం అసాధ్యం, ఎందుకంటే దాని వేర్వేరు పాయింట్లు వేర్వేరు లోతుల్లో ఉంటాయి.
x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) మరియు y 2 = ƒ 2 (x) అనే పంక్తులతో ఒక ప్లేట్ నిలువుగా ఒక ద్రవంలో ముంచబడనివ్వండి; మూర్తి 194లో సూచించిన విధంగా కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థ ఎంపిక చేయబడింది. ఈ ప్లేట్‌పై ద్రవ ఒత్తిడి Pని కనుగొనడానికి, మేము పథకం II (అవకలన పద్ధతి)ని వర్తింపజేస్తాము.
1. కావలసిన విలువ P యొక్క భాగాన్ని x యొక్క విధిగా ఉండనివ్వండి: p=p(x), అనగా p=p(x) అనేది సెగ్మెంట్ [a; x] వేరియబుల్ x విలువలు, ఇక్కడ x є [a; b] (p(a)=0,p(b) = P).
2. ఆర్గ్యుమెంట్ x ఇంక్రిమెంట్ Δх = dx ఇద్దాం. ఫంక్షన్ p(x) ఇంక్రిమెంట్ Δр అందుకుంటుంది (చిత్రంలో మందం dx యొక్క స్ట్రిప్-లేయర్ ఉంది). ఈ ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన dpని కనుగొనండి. dx యొక్క చిన్నతనం కారణంగా, మేము స్ట్రిప్‌ను దీర్ఘచతురస్రాకారంగా పరిగణిస్తాము, వీటిలో అన్ని పాయింట్లు ఒకే లోతులో ఉంటాయి x, అంటే ఈ ప్లేట్ క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంటుంది.
అప్పుడు పాస్కల్ చట్టం ప్రకారం 
3. ఫలిత సమానత్వాన్ని x = a నుండి x = B వరకు సమీకృతం చేయడం, మేము పొందుతాము
ఉదాహరణ 41.13. దాని వ్యాసార్థం R మరియు దాని కేంద్రం O నీటి యొక్క ఉచిత ఉపరితలంపై ఉంటే (అంజీర్ 195 చూడండి) ద్రవంలో నిలువుగా ముంచిన సెమిసర్కిల్‌పై నీటి పీడనం మొత్తాన్ని నిర్ణయించండి.
అక్షానికి సంబంధించి ఈ వ్యవస్థ యొక్క స్టాటిక్ క్షణం S y అదేవిధంగా నిర్ణయించబడుతుంది 
ద్రవ్యరాశిని కొంత వక్రరేఖతో నిరంతరం పంపిణీ చేస్తే, స్థిరమైన క్షణాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి ఏకీకరణ అవసరం అవుతుంది.
y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) మెటీరియల్ కర్వ్ AB యొక్క సమీకరణం. స్థిరమైన సరళ సాంద్రత g (g = const)తో మేము దానిని సజాతీయంగా పరిగణిస్తాము.
ఏకపక్ష x є కోసం [a; b] AB వక్రరేఖపై కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్ ఉంది (x;y). పాయింట్ (x;y) ఉన్న వక్రరేఖపై పొడవు dl యొక్క ప్రాథమిక విభాగాన్ని ఎంచుకుందాం. అప్పుడు ఈ విభాగం యొక్క ద్రవ్యరాశి g dlకి సమానం. మనం ఈ విభాగాన్ని dlని ఆక్స్ అక్షం నుండి y దూరంలో ఉన్న బిందువుగా తీసుకుందాం. అప్పుడు స్టాటిక్ మూమెంట్ dS x ("ఎలిమెంటరీ మూమెంట్") యొక్క అవకలన g dlyకి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా dS x = g dlу (Fig. 196 చూడండి).
ఆక్స్ అక్షానికి సంబంధించి AB వక్రరేఖ యొక్క స్టాటిక్ క్షణం S x సమానం అని ఇది అనుసరిస్తుంది
అదేవిధంగా మేము S yని కనుగొంటాము:
వక్రరేఖ యొక్క స్టాటిక్ క్షణాలు S x మరియు S y దాని గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం (ద్రవ్యరాశి కేంద్రం) స్థానాన్ని గుర్తించడం సులభం చేస్తుంది.
మెటీరియల్ ప్లేన్ కర్వ్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం y = ƒ(x), x Î అనేది కింది లక్షణాన్ని కలిగి ఉన్న విమానంలో ఒక బిందువు: ఇచ్చిన వక్రరేఖ యొక్క మొత్తం ద్రవ్యరాశి m ఈ బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉంటే, అప్పుడు స్థిరమైన క్షణం ఏదైనా కోఆర్డినేట్ అక్షానికి సంబంధించి ఈ పాయింట్ అదే అక్షానికి సంబంధించి మొత్తం వక్రరేఖ y = ƒ (x) యొక్క స్టాటిక్ మూమెంట్‌కి సమానంగా ఉంటుంది. AB వక్రరేఖ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రాన్ని C(x c;y c) ద్వారా సూచిస్తాము.
గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క నిర్వచనం నుండి సమానతలు అనుసరిస్తాయి 
ఇక్కడనుంచి
ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క స్టాటిక్ మూమెంట్స్ మరియు కోఆర్డినేట్‌ల గణన
వక్రరేఖ y = ƒ(x) 0 మరియు సరళ రేఖలు y = 0, x = a, x = b (Fig. 198 చూడండి) ద్వారా ఒక మెటీరియల్ ఫ్లాట్ ఫిగర్ (ప్లేట్) ఇవ్వబడనివ్వండి.
ప్లేట్ యొక్క ఉపరితల సాంద్రత స్థిరంగా ఉంటుందని మేము ఊహిస్తాము (g = const). అప్పుడు మొత్తం ప్లేట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి g * Sకి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. 
అనంతమైన ఇరుకైన నిలువు స్ట్రిప్ రూపంలో ప్లేట్ యొక్క ప్రాథమిక విభాగాన్ని ఎంచుకుందాం మరియు దానిని దీర్ఘచతురస్రంగా పరిగణించండి.
అప్పుడు దాని ద్రవ్యరాశి g ydxకి సమానం. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం C దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణాల ఖండన వద్ద ఉంటుంది. ఈ బిందువు C ఆక్స్ అక్షం నుండి 1/2*y మరియు Oy అక్షం నుండి x (సుమారుగా; మరింత ఖచ్చితంగా, x+ 1/2 ∆x దూరంలో) ఉంది. ఆక్స్ మరియు ఓయ్ గొడ్డలికి సంబంధించి ప్రాథమిక స్టాటిక్ క్షణాల కోసం క్రింది సంబంధాలు సంతృప్తి చెందుతాయి:
కాబట్టి, గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది
1. ఫ్లాట్ ఫిగర్ యొక్క ప్రాంతం.
నాన్-నెగటివ్ ఫంక్షన్‌తో బంధించబడిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం f(x), x-అక్షం మరియు సరళ రేఖలు x = a, x = బి, S = ∫ a b f x d x గా నిర్వచించబడింది.
వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం
ఒక ఫంక్షన్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన బొమ్మ యొక్క ప్రాంతం f(x), abscissa అక్షాన్ని ఖండిస్తూ, S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i- ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఈ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు విభాగాన్ని విభజించాలి ఫంక్షన్ సున్నాలు f(x)భాగాలుగా, ఫంక్షన్‌ను ఏకీకృతం చేయండి fస్థిరమైన సంకేతం యొక్క ఫలిత విరామాలలో ప్రతిదానికీ, ఫంక్షన్ ఉన్న విభాగాలపై సమగ్రాలను విడిగా జోడించండి fవిభిన్న సంకేతాలను తీసుకుంటుంది మరియు మొదటి నుండి రెండవదాన్ని తీసివేయండి.
2. వక్ర రంగం యొక్క ప్రాంతం.
వక్ర రంగం యొక్క ప్రాంతం వక్రతను పరిగణించండి ρ = ρ (φ) ధ్రువ కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థలో, ఎక్కడ ρ (φ) - నిరంతర మరియు ప్రతికూలత లేనిది [α; β] ఫంక్షన్. వక్రరేఖతో చుట్టబడిన చిత్రం ρ (φ) మరియు కిరణాలు φ = α , φ = β , కర్విలినియర్ సెక్టార్ అంటారు. కర్విలినియర్ సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .
3. విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క వాల్యూమ్.
భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్
సెగ్మెంట్‌పై నిరంతర రేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క OX అక్షం చుట్టూ తిరగడం ద్వారా శరీరం ఏర్పడనివ్వండి ఫంక్షన్ f(x). దీని వాల్యూమ్ V = π ∫ a b f 2 x d x సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది.
దాని క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతం నుండి శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనే సమస్యకు శరీరాన్ని విమానాల మధ్య ఉంచనివ్వండి x = aమరియు x = బి, మరియు పాయింట్ గుండా వెళుతున్న విమానం ద్వారా దాని విభాగం యొక్క ప్రాంతం x, – విభాగంలో నిరంతరాయంగా ఫంక్షన్ σ(x). అప్పుడు దాని వాల్యూమ్ V = ∫ a b σ x d xకి సమానం.
4. వంపు యొక్క ఆర్క్ యొక్క పొడవు.
r → t = x t , y t , z t అనే వక్రరేఖను ఇవ్వనివ్వండి, ఆపై దాని విభాగం యొక్క పొడవు విలువలతో పరిమితం చేయబడుతుంది t = αమరియు t = β S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది.
ప్లేన్ కర్వ్ యొక్క ఆర్క్ పొడవు ప్రత్యేకించి, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో నిర్వచించబడిన ప్లేన్ కర్వ్ యొక్క పొడవు OXYసమీకరణం y = f(x), a ≤ x ≤ b, S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది.
5. భ్రమణ ఉపరితల ప్రాంతం.
విప్లవం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క OX అక్షానికి సంబంధించి భ్రమణం ద్వారా ఉపరితలం నిర్వచించబడనివ్వండి y = f(x), a ≤ x ≤ b, మరియు ఫంక్షన్ fఈ విరామంలో నిరంతర ఉత్పన్నం ఉంది. అప్పుడు విప్లవం యొక్క ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
లెక్చర్ 21 ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క అప్లికేషన్లు (2 గంటలు)
రేఖాగణిత అప్లికేషన్లు
ఎ) బొమ్మ యొక్క ప్రాంతం
లెక్చర్ 19లో ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, సంఖ్యాపరంగా వంపుతో సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ వైశాల్యానికి సమానం వద్ద = f(x), నేరుగా X = ఎ, X = బిమరియు విభాగం [ a, బి] OX అక్షం. అంతేకాకుండా, ఉంటే f(x) £ 0 పై [ a, బి], అప్పుడు సమగ్రతను మైనస్ గుర్తుతో తీసుకోవాలి.
ఇచ్చిన విరామంలో ఉంటే ఫంక్షన్ వద్ద = f(x) చిహ్నాన్ని మారుస్తుంది, ఆపై ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు OX అక్షం మధ్య ఉన్న ఫిగర్ వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు సెగ్మెంట్ను భాగాలుగా విభజించాలి, వీటిలో ప్రతి ఫంక్షన్ దాని గుర్తును కలిగి ఉంటుంది మరియు వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. బొమ్మ యొక్క ప్రతి భాగం. ఈ సందర్భంలో అవసరమైన ప్రాంతం ఈ విభాగాలపై సమగ్రాల బీజగణిత మొత్తం, మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ప్రతికూల విలువలకు సంబంధించిన సమగ్రతలు ఈ మొత్తంలో మైనస్ గుర్తుతో తీసుకోబడతాయి.
ఒక ఫిగర్ రెండు వక్రతలతో చుట్టబడి ఉంటే వద్ద = f 1 (x) మరియు వద్ద = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), అప్పుడు, అంజీర్ 9 నుండి క్రింది విధంగా, దాని వైశాల్యం కర్విలినియర్ ట్రాపజోయిడ్స్ ప్రాంతాలలో తేడాతో సమానంగా ఉంటుంది ఎసూర్యుడు బిమరియు ఎక్రీ.శ బి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంఖ్యాపరంగా సమగ్రానికి సమానం. అంటే,
 |
మూర్తి 10aలో చూపిన బొమ్మ యొక్క వైశాల్యం అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడింది: S = 
(నిరూపించు!). మూర్తి 10bలో చూపిన బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా లెక్కించాలో ఆలోచించండి?
మేము OX అక్షానికి ప్రక్కనే ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ల గురించి మాత్రమే మాట్లాడుతున్నాము. కానీ ఇలాంటి సూత్రాలు OU అక్షానికి ప్రక్కనే ఉన్న బొమ్మలకు కూడా చెల్లుతాయి. ఉదాహరణకు, ఫిగర్ 11లో చూపిన ఫిగర్ వైశాల్యం ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడింది
లైన్ లెట్ వై=f(x), ఒక వక్ర ట్రాపెజాయిడ్‌ను బంధించడం, పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వవచ్చు, tО , మరియు j(a)= ఎ, j(b) = బి, అనగా వద్ద= . అప్పుడు ఈ కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం సమానంగా ఉంటుంది
.
బి) కర్వ్ ఆర్క్ పొడవు
కర్వ్ ఇవ్వబడనివ్వండి వద్ద = f(x) మార్పుకు అనుగుణంగా ఈ వక్రరేఖ యొక్క ఆర్క్ని పరిశీలిద్దాం Xవిభాగంలో [ a, బి]. ఈ ఆర్క్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఆర్క్ AB ను విభజిస్తాము పిపాయింట్ల వారీగా భాగాలు A = M 0, M 1, M 2, ..., M పి= B (Fig. 14), పాయింట్లకు అనుగుణంగా X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, బి].
 |
D ని సూచిస్తాము l iఆర్క్ పొడవు, అప్పుడు ఎల్= . ఆర్క్ పొడవులు ఉంటే D l iతగినంత చిన్నవిగా ఉంటాయి, అప్పుడు అవి M పాయింట్లను అనుసంధానించే సంబంధిత విభాగాల పొడవులకు దాదాపు సమానంగా పరిగణించబడతాయి. i-1, ఎం i. ఈ పాయింట్లు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి M i -1 (x i -1, f (x i-1)), ఎం i(x i, f(x i)). అప్పుడు విభాగాల పొడవులు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి
లాగ్రాంజ్ సూత్రం ఇక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది. పెడతాం x i – x i-1 = డి x i, మాకు దొరికింది
అప్పుడు ఎల్ = 
, ఎక్కడ
ఎల్ = 
.
అందువలన, వంపు యొక్క ఆర్క్ పొడవు వద్ద = f(x), మార్పుకు అనుగుణంగా Xవిభాగంలో [ a, బి], ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడింది
ఎల్ = 
, (1)
వక్రరేఖ పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొనబడితే, tఓ, అనగా. వై(t) = f(x(t)), అప్పుడు ఫార్ములా (1) నుండి మనం పొందుతాము:
ఎల్= 
.
దీనర్థం ఒక వక్రరేఖ పారామెట్రిక్‌గా ఇచ్చినట్లయితే, ఈ వక్రరేఖ యొక్క ఆర్క్ యొక్క పొడవు మార్పుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది tఓ, ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడింది
V) విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క వాల్యూమ్.
|
వక్ర ట్రాపెజాయిడ్‌ను పరిగణించండి ఎ AB బి, ఒక పంక్తితో బంధించబడింది వద్ద = f(x), నేరుగా X = ఎ, X = బిమరియు విభాగం [ a,బి] OX అక్షం (Fig. 15). ఈ ట్రాపెజాయిడ్ OX అక్షం చుట్టూ తిరగనివ్వండి, ఫలితంగా విప్లవం యొక్క శరీరం ఉంటుంది. ఈ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ సమానంగా ఉంటుందని నిరూపించవచ్చు 
అదేవిధంగా, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన అక్షం OU చుట్టూ కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ కోసం మేము సూత్రాన్ని పొందవచ్చు. X= j( వద్ద), నేరుగా వై = సి , వై = డిమరియు విభాగం [ సి,డి] op-amp యొక్క అక్షం (Fig. 15):
ఖచ్చితమైన సమగ్రం యొక్క భౌతిక అనువర్తనాలు
లెక్చర్ 19లో, భౌతిక దృక్కోణం నుండి, సమగ్రత అనేది రెక్టిలినియర్ సన్నని అసమాన రాడ్ యొక్క ద్రవ్యరాశికి సంఖ్యాపరంగా సమానమని మేము నిరూపించాము. ఎల్= బి – a, వేరియబుల్ లీనియర్ డెన్సిటీతో r = f(x), f(x) ³ 0, ఎక్కడ X- రాడ్ పాయింట్ నుండి దాని ఎడమ చివర దూరం.
ఖచ్చితమైన సమగ్రం యొక్క ఇతర భౌతిక అనువర్తనాలను పరిశీలిద్దాం.
సమస్య 1. ఎత్తు H మరియు మూల వ్యాసార్థం R ఉన్న నిలువు స్థూపాకార ట్యాంక్ నుండి చమురును పంప్ చేయడానికి అవసరమైన పనిని కనుగొనండి. చమురు సాంద్రత r.
పరిష్కారం.ఈ సమస్య యొక్క గణిత నమూనాను రూపొందిద్దాం. OX అక్షం ఎత్తు H మరియు R వ్యాసార్థం యొక్క సిలిండర్ యొక్క సమరూపత అక్షం వెంట వెళ్లనివ్వండి, మూలం సిలిండర్ ఎగువ బేస్ మధ్యలో ఉంటుంది (Fig. 17). సిలిండర్‌ను విభజించుకుందాం పిచిన్న సమాంతర భాగాలు. అప్పుడు ఎక్కడ A i- పంపింగ్ పని iవ పొర. సిలిండర్ యొక్క ఈ విభజన పొర ఎత్తులో మార్పు యొక్క విభాగం యొక్క విభజనకు అనుగుణంగా ఉంటుంది పిభాగాలు. దూరంలో ఉన్న ఈ పొరలలో ఒకదానిని పరిశీలిద్దాం x iఉపరితలం నుండి, వెడల్పు D X(లేదా వెంటనే dx) ఈ పొరను బయటకు పంపడం పొరను ఎత్తుకు "పెంచడం"గా భావించవచ్చు x i.
అప్పుడు ఈ పొరను పంప్ చేయడానికి పని సమానంగా ఉంటుంది
A i"ఆర్ i x i, 
,
ఎక్కడ పి i=rgV i= rgpR 2 dx, ఆర్ i- బరువు, వి i- పొర యొక్క వాల్యూమ్. అప్పుడు A i"ఆర్ i x i= rgpR 2 dx.x i, ఎక్కడ
, ఇందుమూలంగా 
.
సమస్య 2. జడత్వం యొక్క క్షణం కనుగొనండి
a) దాని సమరూప అక్షం గుండా వెళుతున్న అక్షానికి సంబంధించి బోలు సన్నని గోడల సిలిండర్;
బి) దాని సమరూప అక్షం గుండా వెళుతున్న అక్షానికి సంబంధించి ఒక ఘన సిలిండర్;
సి) పొడవు యొక్క సన్నని రాడ్ ఎల్దాని మధ్య గుండా వెళుతున్న అక్షానికి సంబంధించి;
d) సన్నని రాడ్ పొడవు ఎల్దాని ఎడమ చివర గుండా వెళుతున్న అక్షానికి సంబంధించి.
పరిష్కారం.తెలిసినట్లుగా, అక్షానికి సంబంధించి ఒక బిందువు యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం సమానంగా ఉంటుంది జె=శ్రీ 2, మరియు పాయింట్ల వ్యవస్థలు.
ఎ) సిలిండర్ సన్నని గోడతో ఉంటుంది, అంటే గోడల మందాన్ని నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చు. సిలిండర్ యొక్క ఆధారం యొక్క వ్యాసార్థం R, దాని ఎత్తు H మరియు గోడలపై ద్రవ్యరాశి సాంద్రత rకి సమానంగా ఉండనివ్వండి.
సిలిండర్‌ను విభజించుకుందాం పిభాగాలు మరియు ఎక్కడ కనుగొనండి J i- నిశ్చలస్థితి క్షణం iవిభజన యొక్క మూలకం.
పరిగణలోకి తీసుకుందాం iవిభజన యొక్క వ మూలకం (అనంతమైన సిలిండర్). దాని పాయింట్లన్నీ అక్షం నుండి R దూరంలో ఉన్నాయి ఎల్. ఈ సిలిండర్ ద్రవ్యరాశిని తెలియజేయండి t i, అప్పుడు t i= rV i» ఆర్ఎస్ వైపు= 2prR dx i, ఎక్కడ x iఓ. అప్పుడు J i» R 2 prR dx i, ఎక్కడ
.
r స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు జె= 2prR 3 N, మరియు సిలిండర్ ద్రవ్యరాశి M = 2prRНకి సమానం కాబట్టి, అప్పుడు జె=MR 2.
బి) సిలిండర్ ఘన (నిండిన) ఉంటే, అప్పుడు మేము దానిని విభజించాము పి vloసన్నని సిలిండర్లు ఒకదానికొకటి అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. ఉంటే పిపెద్దది, ఈ సిలిండర్లలో ప్రతి ఒక్కటి సన్నని గోడగా పరిగణించబడుతుంది. ఈ విభజన సెగ్మెంట్ యొక్క విభజనకు అనుగుణంగా ఉంటుంది పిపాయింట్లతో భాగాలు R i. ద్రవ్యరాశిని కనుక్కోండి iసన్నని గోడల సిలిండర్: t i= rV i, ఎక్కడ
వి i= pR i 2 H - pR నేను - 1 2 H = pH(R i 2 -ఆర్ i -1 2) =
PH(R i–ఆర్ i-1)(ఆర్ i+R i -1).
సిలిండర్ గోడలు సన్నగా ఉన్నందున, మనం R అని అనుకోవచ్చు i+R i-1 » 2R i, మరియు ఆర్ i–ఆర్ i-1 = DR i, అప్పుడు వి i» pH2R iడి.ఆర్. i, ఎక్కడ t i» rpН×2R iడి.ఆర్. i,
అప్పుడు చివరకు 
సి) పొడవు యొక్క రాడ్‌ను పరిగణించండి ఎల్, దీని ద్రవ్యరాశి సాంద్రత rకి సమానం. భ్రమణ అక్షం దాని మధ్య గుండా వెళుతుంది.
మేము రాడ్‌ను OX అక్షం యొక్క విభాగంగా మోడల్ చేస్తాము, అప్పుడు రాడ్ యొక్క భ్రమణ అక్షం OU అక్షం. ప్రాథమిక విభాగాన్ని పరిశీలిద్దాం, దాని ద్రవ్యరాశి, అక్షానికి దూరం దాదాపు సమానంగా పరిగణించబడుతుంది ఆర్ ఐ= x i. అప్పుడు ఈ విభాగం యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం సమానంగా ఉంటుంది, ఇక్కడ మొత్తం రాడ్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం సమానంగా ఉంటుంది 
. రాడ్ యొక్క ద్రవ్యరాశి సమానం అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అప్పుడు
d) ఇప్పుడు భ్రమణ అక్షం రాడ్ యొక్క ఎడమ చివర గుండా వెళుతుంది, అనగా. రాడ్ యొక్క నమూనా OX అక్షం యొక్క ఒక విభాగం. అప్పుడు అదేవిధంగా, ఆర్ ఐ= x i, , ఎక్కడ 
, మరియు అప్పటి నుండి .
టాస్క్ 3.కాళ్ళతో ఉన్న లంబ త్రిభుజంపై సాంద్రత r ఉన్న ద్రవం యొక్క ఒత్తిడి శక్తిని కనుగొనండి ఎమరియు బి, లెగ్ తద్వారా ద్రవ నిలువుగా ముంచిన ఎద్రవ ఉపరితలంపై ఉంటుంది.
పరిష్కారం.
సమస్య యొక్క నమూనాను రూపొందిద్దాం. త్రిభుజం యొక్క లంబ కోణం యొక్క శీర్షం మూలం, కాలు వద్ద ఉండనివ్వండి ఎ OU అక్షం యొక్క ఒక విభాగంతో సమానంగా ఉంటుంది (OU అక్షం ద్రవ ఉపరితలాన్ని నిర్ణయిస్తుంది), OX అక్షం క్రిందికి మళ్ళించబడుతుంది, కాలు బిఈ అక్షం యొక్క విభాగంతో సమానంగా ఉంటుంది. ఈ త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది, లేదా .
విస్తీర్ణం యొక్క క్షితిజ సమాంతర ప్రాంతంపై ఉంటే అది తెలుసు ఎస్, సాంద్రత r యొక్క ద్రవంలో మునిగిపోతుంది, ఎత్తు యొక్క ద్రవ కాలమ్ ద్వారా ఒత్తిడి చేయబడుతుంది h, అప్పుడు ఒత్తిడి శక్తి సమానంగా ఉంటుంది (పాస్కల్ చట్టం). ఈ చట్టాన్ని ఉపయోగించుకుందాం.
కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో పైన సరిహద్దులుగా ఉంది y=f(x), ఎడమ మరియు కుడి - నేరుగా x=aమరియు x=bతదనుగుణంగా, క్రింద నుండి - అక్షం ఎద్దు, ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా కుడి వైపున సరిహద్దులుగా ఉంటుంది x=φ(y), పైన మరియు క్రింద - నేరుగా y=dమరియు y=cతదనుగుణంగా, ఎడమవైపున - అక్షం ఓయ్:
కర్విలినియర్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యం ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో పైన సరిహద్దు చేయబడింది y 2 =f 2 (x), క్రింద - ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ y 1 =f 1 (x), ఎడమ మరియు కుడి - నేరుగా x=aమరియు x=b:
ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల ద్వారా ఎడమ మరియు కుడి వైపున సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ఫిగర్ యొక్క ప్రాంతం x 1 =φ 1 (y)మరియు x 2 =φ 2 (y), పైన మరియు క్రింద - నేరుగా y=dమరియు y=cవరుసగా:
పై నుండి కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్‌ను పరిమితం చేసే రేఖ పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడినప్పుడు కేసును పరిశీలిద్దాం x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), ఎక్కడ α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. ఈ సమీకరణాలు కొంత ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తాయి y=f(x)విభాగంలో [ ఎ, బి]. వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది
కొత్త వేరియబుల్‌కి వెళ్దాం x = φ 1 (t), అప్పుడు dx = φ" 1 (t) dt, ఎ y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), కాబట్టి \ప్రారంభం(డిస్ప్లేమాత్)
ధ్రువ కోఆర్డినేట్లలో ఉన్న ప్రాంతం
కర్విలినియర్ సెక్టార్‌ను పరిగణించండి OAB, సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిన పంక్తితో పరిమితం చేయబడింది ρ=ρ(φ) ధ్రువ కోఆర్డినేట్లలో, రెండు కిరణాలు ఓ ఏ.మరియు O.B., దేని కొరకు φ=α , φ=β .
సెక్టార్‌ను ఎలిమెంటరీ సెక్టార్లుగా విభజిస్తాం OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, M n = B) ద్వారా సూచిస్తాము Δφ కెకిరణాల మధ్య కోణం OM k-1మరియు OMk, ధ్రువ అక్షంతో కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది φ k-1మరియు φkవరుసగా. ప్రతి ప్రాథమిక రంగాలు OM k-1 M kవ్యాసార్థంతో వృత్తాకార సెక్టార్‌తో భర్తీ చేయండి ρ k =ρ(φ" k), ఎక్కడ φ"k- కోణం విలువ φ
విరామం నుండి [ φ k-1 , φ k], మరియు కేంద్ర కోణం Δφ కె. చివరి సెక్టార్ యొక్క ప్రాంతం ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది 
.
ఇచ్చిన రంగాన్ని దాదాపుగా భర్తీ చేసే "స్టెప్డ్" సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది OAB.
సెక్టార్ ప్రాంతం OABవద్ద "స్టెప్డ్" సెక్టార్ యొక్క ప్రాంతం యొక్క పరిమితి అని పిలుస్తారు n → ∞మరియు λ=గరిష్టంగా Δφ k → 0:
ఎందుకంటే 
, ఆ
కర్వ్ ఆర్క్ పొడవు
సెగ్మెంట్లో లెట్ [ ఎ, బి] డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది y=f(x), దీని గ్రాఫ్ ఆర్క్. లైన్ సెగ్మెంట్ [ a,b] దానిని విభజించుదాము nచుక్కలతో భాగాలు x 1, x 2, …, xn-1. ఈ పాయింట్లు పాయింట్లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి M 1, M 2, …, Mn-1ఆర్క్‌లు, మేము వాటిని విరిగిన రేఖతో కలుపుతాము, దీనిని ఆర్క్‌లో చెక్కబడిన విరిగిన లైన్ అంటారు. ఈ విరిగిన రేఖ యొక్క చుట్టుకొలత దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది s n, అంటే
నిర్వచనం. రేఖ యొక్క ఆర్క్ యొక్క పొడవు దానిలో లిఖించబడిన విరిగిన రేఖ యొక్క చుట్టుకొలత యొక్క పరిమితి, లింక్‌ల సంఖ్య ఉన్నప్పుడు M k-1 M kఅపరిమితంగా పెరుగుతుంది మరియు వాటిలో అతిపెద్ద పొడవు సున్నాకి ఉంటుంది:
ఇక్కడ λ అనేది అతిపెద్ద లింక్ యొక్క పొడవు.
మేము కొన్ని పాయింట్ నుండి ఆర్క్ యొక్క పొడవును లెక్కిస్తాము, ఉదాహరణకు, ఎ. పాయింట్ వద్ద లెట్ M(x,y)ఆర్క్ పొడవు ఉంది లు, మరియు పాయింట్ వద్ద M"(x+Δ x,y+Δy)ఆర్క్ పొడవు ఉంది s+Δs, ఎక్కడ,i>Δs అనేది ఆర్క్ యొక్క పొడవు. త్రిభుజం నుండి MNM"తీగ యొక్క పొడవును కనుగొనండి: .
రేఖాగణిత పరిశీలనల నుండి అది అనుసరిస్తుంది
అంటే, ఒక పంక్తి యొక్క అనంతమైన ఆర్క్ మరియు దానిని ఉపసంహరించుకునే తీగ సమానం.
తీగ యొక్క పొడవును వ్యక్తీకరించే సూత్రాన్ని మారుద్దాం:
ఈ సమానత్వంలో పరిమితిని దాటితే, మేము ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం ఒక సూత్రాన్ని పొందుతాము s=s(x):
దాని నుండి మనం కనుగొంటాము
ఈ ఫార్ములా ప్లేన్ కర్వ్ యొక్క ఆర్క్ యొక్క భేదాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది మరియు సరళమైనది రేఖాగణిత అర్థం: అనంతమైన త్రిభుజం కోసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది MTN (ds=MT, ).
ప్రాదేశిక వక్రత యొక్క ఆర్క్ యొక్క అవకలన సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచించబడిన ప్రాదేశిక రేఖ యొక్క ఆర్క్‌ను పరిగణించండి
ఎక్కడ α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - వాదన యొక్క భేదాత్మక విధులు t, ఆ
విరామంలో ఈ సమానత్వాన్ని సమగ్రపరచడం [ α, β ], ఈ లైన్ ఆర్క్ యొక్క పొడవును లెక్కించడానికి మేము ఒక సూత్రాన్ని పొందుతాము
లైన్ విమానంలో ఉంటే ఆక్సి, ఆ z=0అందరి ముందు t∈[α, β], అందుకే
సమీకరణం ద్వారా ఫ్లాట్ లైన్ ఇవ్వబడిన సందర్భంలో y=f(x) (a≤x≤b), ఎక్కడ f(x)డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్, చివరి ఫార్ములా రూపాన్ని తీసుకుంటుంది
సమీకరణం ద్వారా సమతల రేఖను ఇవ్వనివ్వండి ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) ధ్రువ కోఆర్డినేట్లలో. ఈ సందర్భంలో మనకు లైన్ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు ఉన్నాయి x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) పాపం φ, ఇక్కడ ధ్రువ కోణం పరామితిగా తీసుకోబడుతుంది φ . ఎందుకంటే
అప్పుడు లైన్ యొక్క ఆర్క్ యొక్క పొడవును వ్యక్తీకరించే సూత్రం ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) ధ్రువ కోఆర్డినేట్లలో, రూపం ఉంటుంది
శరీర పరిమాణం
ఒక నిర్దిష్ట దిశకు లంబంగా ఉన్న ఈ శరీరం యొక్క ఏదైనా క్రాస్ సెక్షన్ యొక్క వైశాల్యం తెలిస్తే, శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.
ఈ శరీరాన్ని అక్షానికి లంబంగా ఉండే విమానాల ద్వారా ప్రాథమిక పొరలుగా విభజిద్దాం ఎద్దుమరియు సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచించబడింది x=const. ఏదైనా స్థిరమైనది x∈తెలిసిన ప్రాంతం S=S(x)ఇచ్చిన శరీరం యొక్క క్రాస్ సెక్షన్.
ఎలిమెంటరీ పొర విమానాల ద్వారా కత్తిరించబడింది x=x k-1, x=xk (k=1, …, n, x 0 =a, x n = బి), ఎత్తుతో ఒక సిలిండర్తో దాన్ని భర్తీ చేయండి Δx k =x k -x k-1మరియు బేస్ ప్రాంతం S(ξ k), ξ k ∈.
సూచించిన ప్రాథమిక సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్ సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది Δv k =E(ξ k)Δx k. అటువంటి ఉత్పత్తులన్నింటినీ సంగ్రహిద్దాం
ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌కు ఇది సమగ్ర మొత్తం S=S(x)విభాగంలో [ ఎ, బి]. ఇది ఎలిమెంటరీ సిలిండర్‌లతో కూడిన స్టెప్డ్ బాడీ వాల్యూమ్‌ను వ్యక్తపరుస్తుంది మరియు ఈ శరీరాన్ని దాదాపుగా భర్తీ చేస్తుంది.
ఇచ్చిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ అనేది పేర్కొన్న స్టెప్డ్ బాడీ వాల్యూమ్ యొక్క పరిమితి λ→0 , ఎక్కడ λ - ప్రాథమిక విభాగాలలో అతిపెద్ద పొడవు Δxk. ద్వారా సూచిస్తాము విఇచ్చిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్, తర్వాత నిర్వచనం ప్రకారం
మరోవైపు,
పర్యవసానంగా, ఇచ్చిన క్రాస్ సెక్షన్‌ల కంటే శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
అక్షం చుట్టూ తిరగడం ద్వారా శరీరం ఏర్పడితే ఎద్దుఒక వంపు తిరిగిన ట్రాపజోయిడ్ పైభాగంలో ఒక నిరంతర రేఖ యొక్క ఆర్క్ ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉంటుంది y=f(x), ఎక్కడ a≤x≤b, ఆ S(x)=πf 2 (x)మరియు చివరి ఫార్ములా రూపం తీసుకుంటుంది:
వ్యాఖ్య. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా కుడి వైపున సరిహద్దుగా ఉన్న వక్ర ట్రాపెజాయిడ్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ x=φ(y) (సి ≤ x ≤ డి), అక్షం చుట్టూ ఓయ్సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
భ్రమణ ఉపరితల వైశాల్యం
లైన్ యొక్క ఆర్క్ని తిప్పడం ద్వారా పొందిన ఉపరితలాన్ని పరిగణించండి y=f(x) (a≤x≤b) అక్షం చుట్టూ ఎద్దు(ఫంక్షన్ అని అనుకుందాం y=f(x)నిరంతర ఉత్పన్నం) విలువను పరిష్కరించడం x∈, మేము ఫంక్షన్ వాదనకు ఇంక్రిమెంట్ ఇస్తాము dx, ఇది ఎలిమెంటరీ ఆర్క్ని తిప్పడం ద్వారా పొందిన "ఎలిమెంటరీ రింగ్"కి అనుగుణంగా ఉంటుంది Δl. ఈ “రింగ్” ను స్థూపాకార రింగ్‌తో భర్తీ చేద్దాం - దీర్ఘచతురస్రం యొక్క భ్రమణ ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం ఆర్క్ యొక్క అవకలనకు సమానమైన బేస్. dl, మరియు ఎత్తు h=f(x). చివరి రింగ్ను కత్తిరించడం మరియు దానిని విప్పడం ద్వారా, మేము వెడల్పుతో ఒక స్ట్రిప్ని పొందుతాము dlమరియు పొడవు 2πy, ఎక్కడ y=f(x).
అందువల్ల, ఉపరితల వైశాల్య భేదం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది
ఈ ఫార్ములా ఒక రేఖ యొక్క ఆర్క్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది y=f(x) (a≤x≤b) అక్షం చుట్టూ ఎద్దు.
అంశం 6.10. ఖచ్చితమైన సమగ్రం యొక్క రేఖాగణిత మరియు భౌతిక అనువర్తనాలు
1. కర్వ్ y =f(x)(f(x)>0), సరళ రేఖలు x = a, x = b మరియు సెగ్మెంట్ [a, b] ఆక్స్ అక్షంతో చుట్టుముట్టబడిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ వైశాల్యం, ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
2. y = f (x) మరియు y = g (x) (f (x) వక్రరేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యం< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле
3. x = x (t), y = y (t) అనే పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా ఒక వక్రరేఖ ఇవ్వబడితే, ఈ వక్రరేఖ మరియు సరళ రేఖల ద్వారా x = a, x = b అనే రేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ వైశాల్యం దీని ద్వారా కనుగొనబడుతుంది సూత్రం
4. S (x) అనేది ఆక్స్ అక్షానికి లంబంగా ఉన్న ఒక విమానం ద్వారా శరీరం యొక్క క్రాస్-సెక్షనల్ ప్రాంతంగా ఉండనివ్వండి, ఆపై x = a మరియు x = b విమానాల మధ్య ఉన్న శరీర భాగం యొక్క వాల్యూమ్ లంబంగా ఉంటుంది. సూత్రం ద్వారా అక్షం కనుగొనబడింది
5. కర్వ్ y = f (x) మరియు సరళ రేఖల y = 0, x = a మరియు x = b అనే వక్రరేఖతో సరిహద్దులుగా ఉండే ఒక కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్, ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది, ఆపై భ్రమణ శరీరం యొక్క పరిమాణం గణించబడుతుంది సూత్రం
6. x = g (y) మరియు వక్రరేఖతో బంధించబడిన వక్ర ట్రాపెజాయిడ్‌ను లెట్
సరళ రేఖలు x = 0, y = c మరియు y = d, O y అక్షం చుట్టూ తిరుగుతాయి, అప్పుడు భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
7. సమతల వక్రరేఖ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కు సంబంధించినది మరియు సమీకరణం y = f (x) (లేదా x = F (y)) ద్వారా ఇవ్వబడినట్లయితే, అప్పుడు ఆర్క్ యొక్క పొడవు సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
