కాలిక్యులేటర్ ఆన్‌లైన్‌లో నంబర్‌ను త్వరగా పవర్‌గా పెంచడంలో మీకు సహాయపడుతుంది. డిగ్రీ యొక్క ఆధారం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు (పూర్ణాంకాలు మరియు వాస్తవాలు రెండూ). ఘాతాంకం పూర్ణాంకం లేదా వాస్తవమైనది కావచ్చు మరియు సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా కూడా ఉండవచ్చు. ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం, పూర్ణాంకం కాని శక్తికి పెంచడం నిర్వచించబడదని గుర్తుంచుకోండి, కాబట్టి మీరు దానిని ప్రయత్నించినట్లయితే కాలిక్యులేటర్ లోపాన్ని నివేదిస్తుంది.
డిగ్రీ కాలిక్యులేటర్
అధికారంలోకి ఎదగండి
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్స్: 20880
సంఖ్య యొక్క సహజ శక్తి అంటే ఏమిటి?
p సంఖ్యను n సార్లు దానితో గుణించిన సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే p సంఖ్యను సంఖ్య యొక్క nవ శక్తి అంటారు: p = a n = a·...·a
n - అని పిలుస్తారు ఘాతాంకం, మరియు సంఖ్య a డిగ్రీ ఆధారంగా.
సంఖ్యను సహజ శక్తికి ఎలా పెంచాలి?
వివిధ సంఖ్యలను సహజ శక్తులకు ఎలా పెంచాలో అర్థం చేసుకోవడానికి, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణించండి:
ఉదాహరణ 1. మూడవ సంఖ్యను నాల్గవ శక్తికి పెంచండి. అంటే, 3 4 ను లెక్కించడం అవసరం
పరిష్కారం: పైన పేర్కొన్న విధంగా, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
సమాధానం: 3 4 = 81 .
ఉదాహరణ 2. ఐదు సంఖ్యను ఐదవ శక్తికి పెంచండి. అంటే, 5 5 ను లెక్కించడం అవసరం
పరిష్కారం: అదేవిధంగా, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
సమాధానం: 5 5 = 3125 .
కాబట్టి, ఒక సంఖ్యను సహజ శక్తికి పెంచడానికి, మీరు దానిని దానికదే n సార్లు గుణించాలి.
సంఖ్య యొక్క ప్రతికూల శక్తి అంటే ఏమిటి?
a యొక్క ప్రతికూల శక్తి -n అనేది n యొక్క శక్తికి a ద్వారా భాగించబడినది: a -n = .ఈ సందర్భంలో, సున్నా కాని సంఖ్యలకు మాత్రమే ప్రతికూల శక్తి ఉంటుంది, లేకపోతే సున్నా ద్వారా భాగహారం జరుగుతుంది.
సంఖ్యను ప్రతికూల పూర్ణాంక శక్తికి ఎలా పెంచాలి?
సున్నా కాని సంఖ్యను ప్రతికూల శక్తికి పెంచడానికి, మీరు ఈ సంఖ్య యొక్క విలువను అదే సానుకూల శక్తికి లెక్కించాలి మరియు ఫలితంతో ఒకదానిని విభజించాలి.
ఉదాహరణ 1. రెండవ సంఖ్యను ప్రతికూల నాల్గవ శక్తికి పెంచండి. అంటే, మీరు 2 -4 లెక్కించాలి
పరిష్కారం: పైన పేర్కొన్న విధంగా, 2 -4 = = = 0.0625.సమాధానం: 2 -4 = 0.0625 .
ఈ వ్యాసంలో అది ఏమిటో మనం కనుగొంటాము యొక్క డిగ్రీ. ఇక్కడ మేము సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క నిర్వచనాలను ఇస్తాము, అయితే మేము సహజ ఘాతాంకంతో ప్రారంభించి మరియు అహేతుకమైన దానితో ముగిసే అన్ని ఘాతాంకాలను వివరంగా పరిశీలిస్తాము. పదార్థంలో మీరు డిగ్రీల యొక్క చాలా ఉదాహరణలను కనుగొంటారు, ఉత్పన్నమయ్యే అన్ని సూక్ష్మబేధాలను కవర్ చేస్తారు.
పేజీ నావిగేషన్.
సహజ ఘాతాంకంతో శక్తి, సంఖ్య యొక్క వర్గము, ఒక సంఖ్య యొక్క క్యూబ్
తో ప్రారంభిద్దాం. ముందుకు చూస్తే, సహజ ఘాతాంకం n తో సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క నిర్వచనం a కోసం ఇవ్వబడింది, దానిని మనం పిలుస్తాము డిగ్రీ ఆధారంగా, మరియు n, మేము కాల్ చేస్తాము ఘాతాంకం. సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ ఉత్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మేము గమనించాము, కాబట్టి దిగువ పదార్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు సంఖ్యలను గుణించడంపై అవగాహన కలిగి ఉండాలి.
నిర్వచనం.
సహజ ఘాతాంకం nతో కూడిన సంఖ్య యొక్క శక్తిరూపం a n యొక్క వ్యక్తీకరణ, దీని విలువ n కారకాల ఉత్పత్తికి సమానం, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి aకి సమానం, అంటే, .
ప్రత్యేకించి, ఘాతాంకం 1తో ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి a సంఖ్య, అనగా a 1 =a.
డిగ్రీలు చదవడానికి నియమాల గురించి వెంటనే ప్రస్తావించడం విలువ. a n సంజ్ఞామానాన్ని చదవడానికి సార్వత్రిక మార్గం: "a టు ది పవర్ ఆఫ్ n". కొన్ని సందర్భాల్లో, కింది ఎంపికలు కూడా ఆమోదయోగ్యమైనవి: “a నుండి nth పవర్” మరియు “nth power of a”. ఉదాహరణకు, పవర్ 8 12ని తీసుకుందాం, ఇది “ఎనిమిది నుండి పన్నెండు పవర్” లేదా “ఎనిమిది నుండి పన్నెండవ శక్తి” లేదా “ఎనిమిది పన్నెండవ శక్తి”.
సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తి, అలాగే సంఖ్య యొక్క మూడవ శక్తి, వాటి స్వంత పేర్లను కలిగి ఉంటాయి. సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిని అంటారు సంఖ్యను వర్గీకరించండి, ఉదాహరణకు, 7 2 "ఏడు స్క్వేర్డ్" లేదా "ఏడు సంఖ్య యొక్క స్క్వేర్" గా చదవబడుతుంది. సంఖ్య యొక్క మూడవ శక్తిని అంటారు క్యూబ్డ్ సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు, 5 3ని "ఫైవ్ క్యూబ్డ్" అని చదవవచ్చు లేదా మీరు "5 క్యూబ్ ఆఫ్ ది నంబర్" అని చెప్పవచ్చు.
తీసుకురావడానికి ఇది సమయం సహజ ఘాతాంకాలతో డిగ్రీల ఉదాహరణలు. డిగ్రీ 5 7తో ప్రారంభిద్దాం, ఇక్కడ 5 అనేది డిగ్రీకి ఆధారం మరియు 7 అనేది ఘాతాంకం. మరొక ఉదాహరణ ఇద్దాం: 4.32 ఆధారం మరియు సహజ సంఖ్య 9 ఘాతాంకం (4.32) 9 .
చివరి ఉదాహరణలో, పవర్ 4.32 యొక్క ఆధారం కుండలీకరణాల్లో వ్రాయబడిందని దయచేసి గమనించండి: వ్యత్యాసాలను నివారించడానికి, సహజ సంఖ్యల నుండి భిన్నంగా ఉండే శక్తి యొక్క అన్ని స్థావరాలు మేము కుండలీకరణాల్లో ఉంచుతాము. ఉదాహరణగా, మేము ఈ క్రింది డిగ్రీలను సహజ ఘాతాంకాలతో ఇస్తాము 
, వాటి స్థావరాలు సహజ సంఖ్యలు కావు, కాబట్టి అవి కుండలీకరణాల్లో వ్రాయబడ్డాయి. బాగా, పూర్తి స్పష్టత కోసం, ఈ సమయంలో మేము ఫారమ్ (−2) 3 మరియు −2 3 యొక్క రికార్డులలో ఉన్న వ్యత్యాసాన్ని చూపుతాము. వ్యక్తీకరణ (−2) 3 అనేది 3 సహజ ఘాతాంకంతో −2 యొక్క శక్తి, మరియు వ్యక్తీకరణ −2 3 (దీనిని −(2 3) అని వ్రాయవచ్చు) సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, శక్తి 2 3 విలువ .
a^n రూపం యొక్క ఘాతాంకంతో a సంఖ్య యొక్క శక్తికి సంజ్ఞామానం ఉందని గమనించండి. అంతేకాకుండా, n అనేది బహుళ-విలువ గల సహజ సంఖ్య అయితే, ఘాతాంకం బ్రాకెట్లలో తీసుకోబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 4^9 అనేది 4 9 యొక్క శక్తికి మరొక సంజ్ఞామానం. మరియు ఇక్కడ “^” చిహ్నాన్ని ఉపయోగించి డిగ్రీలు వ్రాయడానికి మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి: 14^(21) , (−2,1)^(155) . కింది వాటిలో, మేము ప్రాథమికంగా a n ఫారమ్ యొక్క డిగ్రీ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తాము.
సహజ ఘాతాంకంతో శక్తికి పెంచడానికి విలోమ సమస్యలలో ఒకటి, శక్తి యొక్క తెలిసిన విలువ మరియు తెలిసిన ఘాతాంకం నుండి శక్తి యొక్క ఆధారాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య. ఈ పని దారి తీస్తుంది.
హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితి పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు ప్రతి భిన్నాన్ని సానుకూల లేదా ప్రతికూల సాధారణ భిన్నం వలె సూచించవచ్చు. మేము మునుపటి పేరాలో పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని నిర్వచించాము, కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని పూర్తి చేయడానికి, మేము ఒక పాక్షిక ఘాతాంకం m/nతో సంఖ్య యొక్క డిగ్రీకి అర్థం ఇవ్వాలి, ఇక్కడ m అనేది పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సహజ సంఖ్య. మనం చేద్దాం.
ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని పరిశీలిద్దాం . పవర్-టు-పవర్ ఆస్తి చెల్లుబాటులో ఉండాలంటే, సమానత్వం తప్పనిసరిగా ఉండాలి 
. మేము ఫలిత సమానత్వాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే మరియు మనం ఎలా నిర్ణయించుకున్నామో, అప్పుడు ఇచ్చిన m, n మరియు a వ్యక్తీకరణకు అర్థవంతంగా ఉంటే దానిని అంగీకరించడం తార్కికం.
పూర్ణాంక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ యొక్క అన్ని లక్షణాలకు చెల్లుబాటు అయ్యేలా తనిఖీ చేయడం సులభం (ఇది హేతుబద్ధ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క విభాగం లక్షణాలలో జరిగింది).
పై తార్కికం కింది వాటిని చేయడానికి మాకు అనుమతిస్తుంది ముగింపు: m, n మరియు a వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతంగా ఉంటే, పాక్షిక ఘాతాంకం m/n ఉన్న a యొక్క శక్తిని m యొక్క శక్తికి a యొక్క nవ మూలం అంటారు.
ఈ ప్రకటన ఫ్రాక్షనల్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. m, n మరియు a అనే వ్యక్తీకరణ అర్థమయ్యేలా వివరించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. m, n మరియు aపై విధించిన పరిమితులపై ఆధారపడి, రెండు ప్రధాన విధానాలు ఉన్నాయి.
సానుకూల m కోసం a≥0 మరియు ప్రతికూల m కోసం a>0 తీసుకోవడం ద్వారా aపై నిర్బంధాన్ని విధించడం సులభమయిన మార్గం (m≤0 కోసం m యొక్క డిగ్రీ 0 నిర్వచించబడలేదు). అప్పుడు మనం పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీకి క్రింది నిర్వచనాన్ని పొందుతాము.
నిర్వచనం.
పాక్షిక ఘాతాంకం m/nతో సానుకూల సంఖ్య a యొక్క శక్తి, ఇక్కడ m అనేది పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సహజ సంఖ్య, ఇది శక్తి mకి a సంఖ్య యొక్క nవ మూలం అంటారు, అంటే, .
సున్నా యొక్క పాక్షిక శక్తి కూడా సూచిక సానుకూలంగా ఉండాలనే ఏకైక హెచ్చరికతో నిర్ణయించబడుతుంది.
నిర్వచనం.
పాక్షిక సానుకూల ఘాతాంకం m/nతో సున్నా యొక్క శక్తి, ఇక్కడ m ధన పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సహజ సంఖ్య, ఇలా నిర్వచించబడింది 
.
డిగ్రీ నిర్ణయించబడనప్పుడు, అంటే, పాక్షిక ప్రతికూల ఘాతాంకంతో సున్నా సంఖ్య యొక్క డిగ్రీ అర్ధవంతం కాదు.
పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క ఈ నిర్వచనంతో, ఒక మినహాయింపు ఉందని గమనించాలి: కొన్ని ప్రతికూల a మరియు కొన్ని m మరియు n లకు, వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతంగా ఉంటుంది మరియు మేము షరతు a≥0ని పరిచయం చేయడం ద్వారా ఈ కేసులను విస్మరించాము. ఉదాహరణకు, ఎంట్రీలు అర్ధవంతంగా ఉంటాయి 
లేదా , మరియు పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక ఘాతాంకంతో శక్తులు అని చెప్పడానికి మనల్ని బలవంతం చేస్తుంది 
అర్థం లేదు, ఎందుకంటే ఆధారం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు.
ఫ్రాక్షనల్ ఎక్స్‌పోనెంట్ m/nతో డిగ్రీని నిర్ణయించడానికి మరొక విధానం రూట్ యొక్క సరి మరియు బేసి ఘాతాంకాలను విడిగా పరిగణించడం. ఈ విధానానికి అదనపు షరతు అవసరం: a సంఖ్య యొక్క శక్తి, దీని ఘాతాంకం , సంఖ్య యొక్క శక్తిగా పరిగణించబడుతుంది a, దీని ఘాతాంకం సంబంధిత తగ్గించలేని భిన్నం (మేము ఈ స్థితి యొక్క ప్రాముఖ్యతను క్రింద వివరిస్తాము ) అంటే, m/n అనేది తగ్గించలేని భిన్నం అయితే, ఏదైనా సహజ సంఖ్య k కోసం డిగ్రీ మొదటగా భర్తీ చేయబడుతుంది.
n మరియు ధనాత్మక m కోసం కూడా, ఏదైనా నాన్-నెగటివ్ a కోసం వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతంగా ఉంటుంది (ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క సమాన మూలం అర్ధవంతం కాదు); ప్రతికూల m కోసం, a సంఖ్య ఇప్పటికీ సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉండాలి (లేకపోతే విభజన ఉంటుంది సున్నా ద్వారా). మరియు బేసి n మరియు ధనాత్మక m కోసం, a సంఖ్య ఏదైనా కావచ్చు (బేసి డిగ్రీ యొక్క మూలం ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యకు నిర్వచించబడుతుంది), మరియు ప్రతికూల m కోసం, a సంఖ్య తప్పనిసరిగా సున్నాగా ఉండాలి (దీని ద్వారా విభజన ఉండదు సున్నా).
పై తార్కికం పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క ఈ నిర్వచనానికి దారి తీస్తుంది.
నిర్వచనం.
m/n అనేది తగ్గించలేని భిన్నం, m ఒక పూర్ణాంకం మరియు n సహజ సంఖ్య. ఏదైనా తగ్గించదగిన భిన్నం కోసం, డిగ్రీ భర్తీ చేయబడుతుంది. తగ్గించలేని పాక్షిక ఘాతాంకం m/n ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి కోసం
తగ్గించదగిన పాక్షిక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీని మొదటగా తగ్గించలేని ఘాతాంకంతో డిగ్రీతో ఎందుకు భర్తీ చేస్తారో వివరిస్తాము. మేము కేవలం డిగ్రీని ఇలా నిర్వచించినట్లయితే మరియు m/n భిన్నం యొక్క అసంకల్పితత గురించి రిజర్వేషన్ చేయకపోతే, మేము ఈ క్రింది పరిస్థితులను ఎదుర్కొంటాము: 6/10 = 3/5 నుండి, అప్పుడు సమానత్వం ఉండాలి 
, కానీ 
, ఎ.
ఎప్పుడుసంఖ్య స్వయంగా గుణించబడుతుంది నాకే, పనిఅని పిలిచారు డిగ్రీ.
కాబట్టి 2.2 = 4, 2 యొక్క చదరపు లేదా రెండవ శక్తి
2.2.2 = 8, క్యూబ్ లేదా మూడవ శక్తి.
2.2.2.2 = 16, నాల్గవ శక్తి.
అలాగే, 10.10 = 100, 10 యొక్క రెండవ శక్తి.
10.10.10 = 1000, మూడవ శక్తి.
10.10.10.10 = 10000 నాల్గవ శక్తి.
మరియు a.a = aa, a యొక్క రెండవ శక్తి
a.a.a = aaa, a యొక్క మూడవ శక్తి
a.a.a.a = aaa, a యొక్క నాల్గవ శక్తి
అసలు నంబర్ అంటారు రూట్ఈ సంఖ్య యొక్క శక్తులు ఎందుకంటే ఇది శక్తులు సృష్టించబడిన సంఖ్య.
అయితే, ఇది పూర్తిగా అనుకూలమైనది కాదు, ప్రత్యేకించి అధిక అధికారాల విషయంలో, అధికారాలను రూపొందించే అన్ని అంశాలను వ్రాయడం. అందువల్ల, సంక్షిప్తలిపి సంజ్ఞామాన పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని ఒక్కసారి మాత్రమే వ్రాసి, కుడి వైపున మరియు దాని సమీపంలో కొంచెం ఎత్తులో, కానీ కొంచెం చిన్న ఫాంట్‌లో, ఎన్నిసార్లు వ్రాయబడింది మూలం ఒక కారకంగా పనిచేస్తుంది. ఈ సంఖ్య లేదా అక్షరం అంటారు ఘాతాంకంలేదా డిగ్రీసంఖ్యలు. కాబట్టి, a 2 a.a లేదా aaకి సమానం, ఎందుకంటే aa శక్తిని పొందడానికి a అనే మూలాన్ని దానికదే రెండుసార్లు గుణించాలి. అలాగే, a 3 అంటే aaa, అంటే ఇక్కడ a పునరావృతమవుతుంది మూడు రెట్లుగుణకం వలె.
మొదటి డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంకం 1, కానీ ఇది సాధారణంగా వ్రాయబడదు. కాబట్టి, a 1 a అని వ్రాయబడింది.
మీరు డిగ్రీలను కంగారు పెట్టకూడదు గుణకాలు. గుణకం విలువ ఎంత తరచుగా తీసుకోబడుతుందో చూపిస్తుంది భాగంమొత్తం. ఒక పరిమాణం ఎంత తరచుగా తీసుకోబడుతుందో శక్తి చూపుతుంది కారకంపనిలో.
కాబట్టి, 4a = a + a + a + a. కానీ a 4 = a.a.a.a
పవర్ నొటేషన్ స్కీమ్ మాకు వ్యక్తీకరించడానికి అనుమతించే ప్రత్యేక ప్రయోజనాన్ని కలిగి ఉంది తెలియనిడిగ్రీ. ఈ ప్రయోజనం కోసం, సంఖ్యకు బదులుగా ఘాతాంకం వ్రాయబడుతుంది లేఖ. సమస్యను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో, మనకు తెలిసిన పరిమాణాన్ని మనం పొందవచ్చు కొన్నిమరొక పరిమాణం యొక్క డిగ్రీ. అయితే ఇది చతురస్రాలా, క్యూబ్ లేదా మరొకటి, ఎక్కువ డిగ్రీ కాదా అనేది ఇప్పటివరకు మనకు తెలియదు. కాబట్టి, a x అనే వ్యక్తీకరణలో, ఘాతాంకం అంటే ఈ వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉంటుంది కొన్నిడిగ్రీ, నిర్వచించనప్పటికీ ఏ డిగ్రీ. కాబట్టి, b m మరియు d n లు m మరియు n యొక్క శక్తులకు పెంచబడ్డాయి. ఘాతాంకం కనుగొనబడినప్పుడు, సంఖ్యఅక్షరానికి బదులుగా భర్తీ చేయబడింది. కాబట్టి, m=3 అయితే, b m = b 3 ; అయితే m = 5 అయితే, b m =b 5.
శక్తులను ఉపయోగించి విలువలను వ్రాసే పద్ధతి కూడా ఉపయోగించినప్పుడు పెద్ద ప్రయోజనం వ్యక్తీకరణలు. ఈ విధంగా, (a + b + d) 3 అనేది (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), అంటే ట్రినోమియల్ యొక్క ఘనం (a + b + d) . అయితే ఈ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని క్యూబ్‌గా పెంచిన తర్వాత వ్రాస్తే, అది కనిపిస్తుంది
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .
మేము ఘాతాంకాలను 1 పెంచే లేదా తగ్గించే శక్తుల శ్రేణిని తీసుకుంటే, ఉత్పత్తి దీని ద్వారా పెరుగుతుందని మేము కనుగొంటాము సాధారణ గుణకంలేదా తగ్గుతుంది సాధారణ విభజన, మరియు ఈ కారకం లేదా డివైజర్ అనేది శక్తికి పెంచబడిన అసలు సంఖ్య.
కాబట్టి, aaaaa, aaa, aaa, aa, a అనే సిరీస్‌లో;
లేదా a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
సూచికలు, కుడి నుండి ఎడమకు లెక్కించినట్లయితే, 1, 2, 3, 4, 5; మరియు వాటి విలువల మధ్య వ్యత్యాసం 1. మనం ప్రారంభిస్తే కుడివైపు గుణించాలి a ద్వారా, మేము విజయవంతంగా బహుళ విలువలను పొందుతాము.
కాబట్టి a.a = a 2 , రెండవ పదం. మరియు a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , మూడవ పదం. a 4 .a = a 5 .
మేము ప్రారంభిస్తే వదిలేశారు విభజించుఒక కు,
మనకు 5:a = a 4 మరియు a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1
కానీ ఈ విభజన ప్రక్రియను మరింత కొనసాగించవచ్చు మరియు మేము కొత్త విలువలను పొందుతాము.
కాబట్టి, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
పూర్తి వరుస ఇలా ఉంటుంది: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
లేదా a 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.
ఇక్కడ విలువలు ఉన్నాయి కుడివైపుఒకటి నుండి ఉంది రివర్స్విలువలు ఒకదాని ఎడమ వైపున ఉంటాయి. కాబట్టి ఈ డిగ్రీలను పిలవవచ్చు విలోమ శక్తులు a. ఎడమ వైపున ఉన్న శక్తులు కుడి వైపున ఉన్న శక్తుల విలోమాలు అని కూడా మనం చెప్పగలం.
కాబట్టి, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. మరియు 1:(1/a 3) = a 3.
అదే రికార్డింగ్ ప్లాన్‌కు వర్తించవచ్చు బహుపదాలు. కాబట్టి, a + b కోసం, మనకు సెట్ వస్తుంది,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .
సౌలభ్యం కోసం, పరస్పర అధికారాలను వ్రాయడానికి మరొక రూపం ఉపయోగించబడుతుంది.
ఈ ఫారమ్ ప్రకారం, 1/a లేదా 1/a 1 = a -1. మరియు 1/aaa లేదా 1/a 3 = a -3 .
1/aa లేదా 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa లేదా 1/a 4 = a -4 .
మరియు ఘాతాంకాలతో మొత్తం వ్యత్యాసంగా 1తో పూర్తి శ్రేణిని రూపొందించడానికి, a/a లేదా 1 డిగ్రీని కలిగి లేనిదిగా పరిగణించబడుతుంది మరియు 0గా వ్రాయబడుతుంది.
అప్పుడు, ప్రత్యక్ష మరియు విలోమ శక్తులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం
aaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa బదులుగా
మీరు 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4 వ్రాయవచ్చు.
లేదా ఒక +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
మరియు వ్యక్తిగత డిగ్రీల శ్రేణి ఇలా కనిపిస్తుంది:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని ఒకటి కంటే ఎక్కువ అక్షరాలతో వ్యక్తీకరించవచ్చు.
అందువలన, aa.aa లేదా (aa) 2 aa యొక్క రెండవ శక్తి.
మరియు aa.aa.aa లేదా (aa) 3 aa యొక్క మూడవ శక్తి.
సంఖ్య 1 యొక్క అన్ని శక్తులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి: 1.1 లేదా 1.1.1. 1కి సమానంగా ఉంటుంది.
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ అనేది ఏదైనా సంఖ్య యొక్క విలువను ఆ సంఖ్యను స్వయంగా గుణించడం ద్వారా కనుగొనడం. ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ కోసం నియమం:
సంఖ్య యొక్క శక్తిలో సూచించినన్ని సార్లు పరిమాణాన్ని స్వయంగా గుణించండి.
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ ప్రక్రియలో తలెత్తే అన్ని ఉదాహరణలకు ఈ నియమం సాధారణం. కానీ నిర్దిష్ట కేసులకు ఇది ఎలా వర్తిస్తుందో వివరణ ఇవ్వడం సరైనది.
ఒక పదాన్ని మాత్రమే శక్తికి పెంచినట్లయితే, అది ఘాతాంకం ద్వారా సూచించినన్ని సార్లు దాని ద్వారా గుణించబడుతుంది.
a యొక్క నాల్గవ శక్తి 4 లేదా aaaa. (కళ. 195.)
y యొక్క ఆరవ శక్తి y 6 లేదా yyyyyy.
x యొక్క Nవ శక్తి x n లేదా xxx..... n సార్లు పునరావృతమవుతుంది.
ఒక శక్తికి అనేక పదాల వ్యక్తీకరణను పెంచడం అవసరమైతే, ఆ సూత్రం అనేక కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క శక్తి ఈ కారకాల ఉత్పత్తికి సమానం.
కాబట్టి (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
కానీ ay.ay = అయ్యయ్ = aayy = a 2 y 2 .
కాబట్టి, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .
అందువల్ల, ఉత్పత్తి యొక్క శక్తిని కనుగొనడంలో, మేము మొత్తం ఉత్పత్తితో ఒకేసారి పని చేయవచ్చు లేదా ప్రతి అంశంతో విడిగా పని చేయవచ్చు, ఆపై వాటి విలువలను శక్తులతో గుణించవచ్చు.
ఉదాహరణ 1. dhy యొక్క నాల్గవ శక్తి (dhy) 4, లేదా d 4 h 4 y 4.
ఉదాహరణ 2. మూడవ శక్తి 4b, ఉంది (4b) 3, లేదా 4 3 b 3, లేదా 64b 3.
ఉదాహరణ 3. 6ad యొక్క Nth పవర్ (6ad) n లేదా 6 n a n d n.
ఉదాహరణ 4. 3m.2y యొక్క మూడవ శక్తి (3m.2y) 3, లేదా 27m 3 .8y 3.
+ మరియు -తో అనుసంధానించబడిన పదాలను కలిగి ఉన్న ద్విపద యొక్క డిగ్రీ, దాని నిబంధనలను గుణించడం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది. అవును,
(a + b) 1 = a + b, మొదటి డిగ్రీ.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, రెండవ శక్తి (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, మూడవ శక్తి.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, నాల్గవ శక్తి.
a - b యొక్క వర్గము a 2 - 2ab + b 2.
a + b + h యొక్క వర్గము 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2
వ్యాయామం 1. క్యూబ్ a + 2d + 3ని కనుగొనండి
వ్యాయామం 2. b + 2 యొక్క నాల్గవ శక్తిని కనుగొనండి.
వ్యాయామం 3. x + 1 యొక్క ఐదవ శక్తిని కనుగొనండి.
వ్యాయామం 4. ఆరవ శక్తిని కనుగొనండి 1 - బి.
మొత్తం చతురస్రాలు మొత్తాలుమరియు తేడాలుబీజగణితంలో ద్విపదలు చాలా తరచుగా జరుగుతాయి కాబట్టి వాటిని బాగా తెలుసుకోవడం అవసరం.
మనం a + hని గుణిస్తే లేదా a - hని గుణిస్తే,
మనకు లభిస్తుంది: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 కూడా, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .
ఇది ప్రతి సందర్భంలోనూ, మొదటి మరియు చివరి పదాలు a మరియు h యొక్క వర్గాలు మరియు మధ్య పదం a మరియు h ల ఉత్పత్తికి రెండింతలు అని చూపిస్తుంది. ఇక్కడ నుండి, ద్విపదల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క వర్గాన్ని క్రింది నియమాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు.
ద్విపద యొక్క వర్గము, రెండు పదాలు సానుకూలంగా ఉంటాయి, మొదటి పదం యొక్క వర్గానికి సమానం + రెండు పదాల లబ్ధం + చివరి పదం యొక్క వర్గానికి సమానం.
చతురస్రం తేడాలుద్విపదలు మొదటి పదం యొక్క వర్గానికి సమానం మైనస్ రెండు పదాల ఉత్పత్తికి రెండు రెట్లు మరియు రెండవ పదం యొక్క వర్గానికి సమానం.
ఉదాహరణ 1. స్క్వేర్ 2a + b, 4a 2 + 4ab + b 2 ఉంది.
ఉదాహరణ 2. స్క్వేర్ ab + cd, 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 ఉంది.
ఉదాహరణ 3. స్క్వేర్ 3d - h, అక్కడ 9d 2 + 6dh + h 2.
ఉదాహరణ 4. చతురస్రం a - 1 అనేది 2 - 2a + 1.
ద్విపద యొక్క అధిక అధికారాలను కనుగొనే పద్ధతి కోసం, క్రింది విభాగాలను చూడండి.
అనేక సందర్భాల్లో ఇది వ్రాయడానికి ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది డిగ్రీలుగుణకారం లేకుండా.
కాబట్టి, a + b యొక్క వర్గము (a + b) 2.
bc + 8 + x యొక్క Nth పవర్ (bc + 8 + x) n
అటువంటి సందర్భాలలో, కుండలీకరణాలు కవర్ అన్నీడిగ్రీ కింద సభ్యులు.
కానీ డిగ్రీ యొక్క రూట్ అనేక కలిగి ఉంటే గుణకాలు, కుండలీకరణాలు మొత్తం వ్యక్తీకరణను కవర్ చేయవచ్చు లేదా సౌలభ్యాన్ని బట్టి కారకాలకు విడిగా వర్తించవచ్చు.
అందువలన, చతురస్రం (a + b)(c + d) [(a + b) (c + d)] 2 లేదా (a + b) 2 .(c + d) 2.
ఈ వ్యక్తీకరణలలో మొదటిదానికి, ఫలితం రెండు కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క వర్గానికి చెందినది మరియు రెండవదానికి, ఫలితం వాటి చతురస్రాల ఉత్పత్తి. కానీ వారు ఒకరికొకరు సమానం.
క్యూబ్ a.(b + d), 3, లేదా a 3.(b + d) 3.
పాల్గొన్న సభ్యుల ముందు ఉన్న గుర్తును కూడా పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. డిగ్రీ యొక్క మూలం సానుకూలంగా ఉన్నప్పుడు, దాని సానుకూల శక్తులన్నీ కూడా సానుకూలంగా ఉంటాయని గుర్తుంచుకోవడం చాలా ముఖ్యం. కానీ మూలం ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు, దానితో విలువలు ఉంటాయి బేసిశక్తులు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి, అయితే విలువలు కూడాడిగ్రీలు సానుకూలంగా ఉన్నాయి.
రెండవ డిగ్రీ (- a) +a 2
మూడవ డిగ్రీ (-a) -a 3
నాల్గవ శక్తి (-a) +a 4
ఐదవ శక్తి (-a) -a 5
అందుకే ఏదైనా బేసిడిగ్రీ సంఖ్యకు అదే గుర్తు ఉంటుంది. కానీ కూడాసంఖ్య ప్రతికూల లేదా సానుకూల సంకేతంతో సంబంధం లేకుండా డిగ్రీ సానుకూలంగా ఉంటుంది.
కాబట్టి, +a.+a = +a 2
మరియు -a.-a = +a 2
ఘాతాంకాలను గుణించడం ద్వారా ఇప్పటికే శక్తికి పెంచబడిన పరిమాణం మళ్లీ శక్తికి పెంచబడుతుంది.
2 యొక్క మూడవ శక్తి 2.3 = a 6.
ఒక 2 = aa కోసం; cube aa aa.aa.aa = aaaaa = a 6 ; ఇది a యొక్క ఆరవ శక్తి, కానీ 2 యొక్క మూడవ శక్తి.
3 b 2 యొక్క నాల్గవ శక్తి a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8
4a 2 x యొక్క మూడవ శక్తి 64a 6 x 3.
(a + b) 2 యొక్క ఐదవ శక్తి (a + b) 10.
3 యొక్క Nవ శక్తి 3n
(x - y) m యొక్క Nవ శక్తి (x - y) mn
(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6
(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12
నియమం సమానంగా వర్తిస్తుంది ప్రతికూలడిగ్రీలు.
ఉదాహరణ 1. a -2 యొక్క మూడవ శక్తి a -3.3 =a -6.
a -2 = 1/aa, మరియు దీని యొక్క మూడవ శక్తి
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6
2 b -3 యొక్క నాల్గవ శక్తి 8 b -12 లేదా a 8 /b 12.
చతురస్రం b 3 x -1, b 6 x -2 ఉంది.
గొడ్డలి -m యొక్క Nవ శక్తి x -mn లేదా 1/x.
అయితే, సంకేతం అయితే మనం ఇక్కడ గుర్తుంచుకోవాలి మునుపటిడిగ్రీ అనేది "-", ఆపై డిగ్రీ సరి సంఖ్య అయినప్పుడు అది తప్పనిసరిగా "+"కి మార్చబడాలి.
ఉదాహరణ 1. చతురస్రం -a 3 +a 6. -a 3 యొక్క వర్గము -a 3 .-a 3, ఇది గుణకారంలో సంకేతాల నియమాల ప్రకారం, +a 6.
2. కానీ క్యూబ్ -a 3 -a 9. కోసం -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .
3. Nth పవర్ -a 3 అనేది 3n.
ఇక్కడ n సరి లేదా బేసి అనే దానిపై ఆధారపడి ఫలితం సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
ఉంటే భిన్నంఒక శక్తికి పెంచబడుతుంది, ఆపై లవం మరియు హారం శక్తికి పెంచబడతాయి.
a/b యొక్క వర్గము 2/b 2. భిన్నాలను గుణించే నియమం ప్రకారం,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2
1/a యొక్క రెండవ, మూడవ మరియు nవ శక్తులు 1/a 2, 1/a 3 మరియు 1/a n.
ఉదాహరణలు ద్విపదలు, దీనిలో నిబంధనలలో ఒకటి భిన్నం.
1. x + 1/2 మరియు x - 1/2 వర్గాన్ని కనుగొనండి.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4
2. a + 2/3 యొక్క వర్గము 2 + 4a/3 + 4/9.
3. స్క్వేర్ x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.
4 x - b/m యొక్క వర్గము x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .
అని గతంలో చూపించారు పాక్షిక గుణకంన్యూమరేటర్ నుండి హారంకి లేదా హారం నుండి లవానికి తరలించవచ్చు. పరస్పర అధికారాలను వ్రాయడానికి పథకాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా, అది స్పష్టంగా తెలుస్తుంది ఏదైనా గుణకంతరలించవచ్చు కూడా, డిగ్రీ గుర్తు మారితే.
కాబట్టి, భిన్నం గొడ్డలి -2 /y లో, మనం x ను న్యూమరేటర్ నుండి హారంకు తరలించవచ్చు.
అప్పుడు ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .
భిన్నం a/by 3లో, మేము yని హారం నుండి లవంకు తరలించవచ్చు.
అప్పుడు a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.
అదే విధంగా, మనం గుణకారానికి సానుకూల ఘాతాంకం ఉన్న కారకాన్ని లేదా ప్రతికూల ఘాతాంకం ఉన్న కారకాన్ని హారంకు తరలించవచ్చు.
కాబట్టి, గొడ్డలి 3 /b = a/bx -3. x 3కి విలోమం x -3, ఇది x 3 = 1/x -3.
అందువల్ల, ఏదైనా భిన్నం యొక్క హారం పూర్తిగా తీసివేయబడుతుంది లేదా వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని మార్చకుండా లవంను ఒకదానికి తగ్గించవచ్చు.
కాబట్టి, a/b = 1/ba -1 , లేదా ab -1 .
సంఖ్య యొక్క శక్తి వాస్తవానికి ఏమిటో మేము కనుగొన్నాము. ఇప్పుడు మనం సరిగ్గా ఎలా లెక్కించాలో అర్థం చేసుకోవాలి, అనగా. సంఖ్యలను అధికారాలకు పెంచండి. ఈ మెటీరియల్‌లో మేము పూర్ణాంకం, సహజ, పాక్షిక, హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక ఘాతాంకాల విషయంలో డిగ్రీలను లెక్కించడానికి ప్రాథమిక నియమాలను విశ్లేషిస్తాము. అన్ని నిర్వచనాలు ఉదాహరణలతో వివరించబడతాయి.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ భావన
ప్రాథమిక నిర్వచనాలను రూపొందించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం.
నిర్వచనం 1
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్- ఇది నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క విలువ యొక్క గణన.
అంటే, "శక్తి విలువను లెక్కించడం" మరియు "ఒక శక్తికి పెంచడం" అనే పదాలు ఒకే విషయాన్ని సూచిస్తాయి. కాబట్టి, సమస్య "0, 5 సంఖ్యను ఐదవ శక్తికి పెంచండి" అని చెబితే, దీనిని "శక్తి విలువను లెక్కించండి (0, 5) 5 అని అర్థం చేసుకోవాలి.
అటువంటి గణనలను చేసేటప్పుడు అనుసరించాల్సిన ప్రాథమిక నియమాలను ఇప్పుడు మేము అందిస్తున్నాము.
సహజ ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి. బేస్ a మరియు ఘాతాంకం n ఉన్న శక్తి కోసం, ఇది nవ సంఖ్య కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి అవుతుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి aకి సమానం. దీనిని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
డిగ్రీ విలువను లెక్కించడానికి, మీరు గుణకార చర్యను నిర్వహించాలి, అంటే, డిగ్రీ యొక్క స్థావరాలు పేర్కొన్న సంఖ్యల సంఖ్యను గుణించాలి. సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క భావన త్వరగా గుణించే సామర్థ్యంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఉదాహరణలు ఇద్దాం.
ఉదాహరణ 1
పరిస్థితి: పెంచండి - 2 నుండి పవర్ 4.
పరిష్కారం
పై నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఇలా వ్రాస్తాము: (- 2) 4 = (- 2) · (- 2) · (- 2) · (- 2) . తర్వాత, మనం ఈ దశలను అనుసరించి 16ని పొందాలి.
మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను తీసుకుందాం.
ఉదాహరణ 2
3 2 7 2 విలువను లెక్కించండి
పరిష్కారం
ఈ ఎంట్రీని 3 2 7 · 3 2 7 గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. గతంలో, కండిషన్‌లో పేర్కొన్న మిశ్రమ సంఖ్యలను ఎలా సరిగ్గా గుణించాలో మేము చూశాము.
ఈ దశలను అమలు చేయండి మరియు సమాధానాన్ని పొందండి: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
సమస్య అహేతుక సంఖ్యలను సహజ శక్తికి పెంచాల్సిన అవసరాన్ని సూచిస్తే, మేము ముందుగా వాటి స్థావరాలను అంకెలకు చుట్టుముట్టాలి, అది మాకు అవసరమైన ఖచ్చితత్వం యొక్క సమాధానాన్ని పొందేందుకు అనుమతిస్తుంది. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.
ఉదాహరణ 3
π యొక్క వర్గాన్ని అమలు చేయండి.
పరిష్కారం
మొదట, దానిని వందవ వంతుకు చుట్టుదాం. అప్పుడు π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. π ≈ 3 అయితే. 14159, అప్పుడు మేము మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాన్ని పొందుతాము: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
అహేతుక సంఖ్యల శక్తులను లెక్కించాల్సిన అవసరం ఆచరణలో చాలా అరుదుగా ఉత్పన్నమవుతుందని గమనించండి. అప్పుడు మనం సమాధానాన్ని శక్తి (ln 6) 3గా వ్రాయవచ్చు లేదా వీలైతే మార్చవచ్చు: 5 7 = 125 5 .
విడిగా, సంఖ్య యొక్క మొదటి శక్తి ఏమిటో సూచించబడాలి. మొదటి శక్తికి పెంచబడిన ఏ సంఖ్య అయినా అలాగే ఉంటుందని ఇక్కడ మీరు గుర్తుంచుకోవచ్చు:
ఇది రికార్డింగ్ నుండి స్పష్టంగా ఉంది 
.
ఇది డిగ్రీ ఆధారంగా ఆధారపడి ఉండదు.
ఉదాహరణ 4
కాబట్టి, (− 9) 1 = - 9, మరియు 7 3 మొదటి శక్తికి పెంచబడినది 7 3కి సమానంగా ఉంటుంది.
సౌలభ్యం కోసం, మేము మూడు సందర్భాలను విడిగా పరిశీలిస్తాము: ఘాతాంకం ధన పూర్ణాంకం అయితే, అది సున్నా అయితే మరియు అది ప్రతికూల పూర్ణాంకం అయితే.
మొదటి సందర్భంలో, ఇది సహజ శక్తికి పెంచడం వలె ఉంటుంది: అన్నింటికంటే, సానుకూల పూర్ణాంకాలు సహజ సంఖ్యల సమితికి చెందినవి. అటువంటి డిగ్రీలతో ఎలా పని చేయాలో మేము ఇప్పటికే పైన మాట్లాడాము.
ఇప్పుడు సున్నా శక్తికి సరిగ్గా ఎలా పెంచాలో చూద్దాం. సున్నా కాకుండా ఇతర బేస్ కోసం, ఈ గణన ఎల్లప్పుడూ 1ని అవుట్‌పుట్ చేస్తుంది. 0 మరియు 0 = 1కి సమానం కాని ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య కోసం a యొక్క 0వ శక్తిని నిర్వచించవచ్చని మేము గతంలో వివరించాము.
ఉదాహరణ 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - నిర్వచించబడలేదు.
పూర్ణాంక ప్రతికూల ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ కేస్ మాత్రమే మిగిలి ఉంది. అటువంటి డిగ్రీలను భిన్నం 1 a zగా వ్రాయవచ్చని మేము ఇప్పటికే చర్చించాము, ఇక్కడ a ఏదైనా సంఖ్య, మరియు z అనేది ప్రతికూల పూర్ణాంకం. ఈ భిన్నం యొక్క హారం సానుకూల పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో కూడిన సాధారణ శక్తి కంటే మరేమీ కాదని మేము చూస్తాము మరియు దానిని ఎలా లెక్కించాలో మేము ఇప్పటికే నేర్చుకున్నాము. పనుల ఉదాహరణలు ఇద్దాం.
ఉదాహరణ 6
3ని శక్తికి పెంచండి - 2.
పరిష్కారం
పై నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఇలా వ్రాస్తాము: 2 - 3 = 1 2 3
ఈ భిన్నం యొక్క హారంను లెక్కించి, 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 పొందండి.
అప్పుడు సమాధానం: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
ఉదాహరణ 7
-2 శక్తికి 1.43 పెంచండి.
పరిష్కారం
సంస్కరించుకుందాం: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
మేము హారంలో చతురస్రాన్ని లెక్కిస్తాము: 1.43 · 1.43. దశాంశాలను ఈ విధంగా గుణించవచ్చు: 
ఫలితంగా, మేము (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 పొందాము. మనం చేయాల్సిందల్లా ఈ ఫలితాన్ని ఒక సాధారణ భిన్నం రూపంలో వ్రాయడం, దీని కోసం మనం దానిని 10 వేలతో గుణించాలి (భిన్నాలను మార్చే విషయాన్ని చూడండి).
సమాధానం: (1, 43) - 2 = 10000 20449
ఒక ప్రత్యేక సందర్భం సంఖ్యను మైనస్ ఫస్ట్ పవర్‌కి పెంచుతోంది. ఈ డిగ్రీ యొక్క విలువ బేస్ యొక్క అసలు విలువ యొక్క పరస్పరానికి సమానంగా ఉంటుంది: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
ఉదాహరణ 8
ఉదాహరణ: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
సంఖ్యను పాక్షిక శక్తికి ఎలా పెంచాలి
అటువంటి ఆపరేషన్ చేయడానికి, మేము పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క ప్రాథమిక నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి: ఏదైనా సానుకూల a, పూర్ణాంకం m మరియు సహజ n కోసం a m n = a m n.
నిర్వచనం 2
అందువల్ల, పాక్షిక శక్తి యొక్క గణన తప్పనిసరిగా రెండు దశల్లో నిర్వహించబడాలి: పూర్ణాంక శక్తికి పెంచడం మరియు n వ శక్తి యొక్క మూలాన్ని కనుగొనడం.
మనకు సమానత్వం a m n = a m n , ఇది మూలాల లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సాధారణంగా a m n = a n m రూపంలో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. దీనర్థం మనం a సంఖ్యను పాక్షిక శక్తికి m / nకి పెంచినట్లయితే, మొదట మనం a యొక్క nవ మూలాన్ని తీసుకుంటాము, ఆపై ఫలితాన్ని పూర్ణాంక ఘాతాంకం mతో శక్తికి పెంచుతాము.
ఒక ఉదాహరణతో ఉదహరించుకుందాం.
ఉదాహరణ 9
8 - 2 3ని లెక్కించండి.
పరిష్కారం
విధానం 1: ప్రాథమిక నిర్వచనం ప్రకారం, మనం దీన్ని ఇలా సూచించవచ్చు: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
ఇప్పుడు రూట్ కింద డిగ్రీని గణిద్దాం మరియు ఫలితం నుండి మూడవ మూలాన్ని సంగ్రహిద్దాం: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
విధానం 2. ప్రాథమిక సమానత్వాన్ని మార్చండి: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
దీని తరువాత, మేము 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 మూలాన్ని సంగ్రహిస్తాము మరియు ఫలితాన్ని వర్గీకరిస్తాము: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
పరిష్కారాలు ఒకేలా ఉన్నాయని మేము చూస్తాము. మీరు దీన్ని మీకు నచ్చిన విధంగా ఉపయోగించవచ్చు.
డిగ్రీ మిశ్రమ సంఖ్య లేదా దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడిన సూచికను కలిగి ఉన్న సందర్భాలు ఉన్నాయి. గణనలను సరళీకృతం చేయడానికి, దానిని సాధారణ భిన్నంతో భర్తీ చేయడం మరియు పైన సూచించిన విధంగా లెక్కించడం మంచిది.
ఉదాహరణ 10
44, 89ని 2, 5కి పెంచండి.
పరిష్కారం
సూచిక యొక్క విలువను సాధారణ భిన్నంగా మారుద్దాం - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
ఇప్పుడు మేము పైన సూచించిన అన్ని చర్యలను క్రమంలో చేస్తాము: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 20 510 135 501, 25107
సమాధానం: 13 501, 25107.
పాక్షిక ఘాతాంకం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం పెద్ద సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, అటువంటి ఘాతాంకాలను హేతుబద్ధ ఘాతాంకాలతో లెక్కించడం చాలా కష్టమైన పని. దీనికి సాధారణంగా కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ అవసరం.
సున్నా బేస్ మరియు పాక్షిక ఘాతాంకం ఉన్న శక్తులపై విడిగా నివసిద్దాం. 0 m n రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణకు ఈ క్రింది అర్థాన్ని ఇవ్వవచ్చు: m n > 0 అయితే, 0 m n = 0 m n = 0; m n అయితే< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
సంఖ్యను అహేతుక శక్తికి ఎలా పెంచాలి
ఘాతాంకం అకరణీయ సంఖ్య అయిన శక్తి యొక్క విలువను లెక్కించాల్సిన అవసరం చాలా తరచుగా తలెత్తదు. ఆచరణలో, విధి సాధారణంగా సుమారుగా విలువను లెక్కించడానికి పరిమితం చేయబడింది (నిర్దిష్ట సంఖ్యలో దశాంశ స్థానాల వరకు). అటువంటి గణనల సంక్లిష్టత కారణంగా ఇది సాధారణంగా కంప్యూటర్‌లో లెక్కించబడుతుంది, కాబట్టి మేము దీనిపై వివరంగా నివసించము, మేము ప్రధాన నిబంధనలను మాత్రమే సూచిస్తాము.
మనం శక్తి a యొక్క విలువను అహేతుక ఘాతాంకం aతో లెక్కించవలసి వస్తే, అప్పుడు మనం ఘాతాంకం యొక్క దశాంశ ఉజ్జాయింపును తీసుకొని దాని నుండి గణిస్తాము. ఫలితంగా సుమారుగా సమాధానం ఉంటుంది. దశాంశ ఉజ్జాయింపు ఎంత ఖచ్చితమైనదో, సమాధానం అంత ఖచ్చితమైనది. ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం:
ఉదాహరణ 11
21, 174367 యొక్క సుమారు విలువను లెక్కించండి....
పరిష్కారం
మనల్ని మనం దశాంశ ఉజ్జాయింపు a n = 1, 17కి పరిమితం చేద్దాం. ఈ సంఖ్యను ఉపయోగించి గణనలను చేద్దాం: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. ఉదాహరణకు, ఉజ్జాయింపు a n = 1, 1743ని తీసుకుంటే, సమాధానం కొంచెం ఖచ్చితమైనదిగా ఉంటుంది: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ అనేది గుణకారంతో దగ్గరి సంబంధం ఉన్న ఒక ఆపరేషన్; ఈ ఆపరేషన్ ఒక సంఖ్యను స్వయంగా గుణించడం వల్ల వస్తుంది. దీన్ని సూత్రంతో సూచిస్తాము: a1 * a2 * … * an = an.
ఉదాహరణకు, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
సాధారణంగా, గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో వివిధ సూత్రాలలో ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ ఫంక్షన్ నాలుగు ప్రధాన వాటి కంటే ఎక్కువ శాస్త్రీయ ప్రయోజనాన్ని కలిగి ఉంది: సంకలనం, తీసివేత, గుణకారం, విభజన.
సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం
సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం సంక్లిష్టమైన ఆపరేషన్ కాదు. ఇది గుణకారం మరియు కూడిక మధ్య సంబంధానికి సమానమైన విధంగా గుణకారానికి సంబంధించినది. ఒక సంజ్ఞామానం అనేది ఒకదానితో ఒకటి గుణించబడిన “a” సంఖ్యల nవ సంఖ్య యొక్క చిన్న సంజ్ఞామానం.
సంక్లిష్టమైన వాటికి వెళ్లడం ద్వారా సరళమైన ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్‌ను పరిగణించండి.
ఉదాహరణకు, 42. 42 = 4 * 4 = 16. నాలుగు స్క్వేర్డ్ (రెండవ శక్తికి) పదహారుకి సమానం. మీకు గుణకారం 4 * 4 అర్థం కాకపోతే, గుణకారం గురించి మా కథనాన్ని చదవండి.
మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . ఐదు క్యూబ్డ్ (మూడవ శక్తికి) నూట ఇరవై ఐదుకి సమానం.
మరొక ఉదాహరణ: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . తొమ్మిది క్యూబ్‌లు ఏడు వందల ఇరవై తొమ్మిదికి సమానం.
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ సూత్రాలు
సరిగ్గా శక్తిని పెంచడానికి, మీరు క్రింద ఇవ్వబడిన సూత్రాలను గుర్తుంచుకోవాలి మరియు తెలుసుకోవాలి. ఇందులో అదనపు సహజంగా ఏమీ లేదు, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడం మరియు అప్పుడు వారు గుర్తుంచుకోవడమే కాకుండా, సులభంగా అనిపించవచ్చు.
ఒక అధికారానికి మోనోమియల్‌ను పెంచడం
మోనోమియల్ అంటే ఏమిటి? ఇది ఏ పరిమాణంలోనైనా సంఖ్యలు మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి. ఉదాహరణకు, రెండు ఒక మోనోమియల్. మరియు ఈ కథనం ఖచ్చితంగా అటువంటి మోనోమియల్‌లను అధికారాలకు పెంచడం గురించి.
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ కోసం ఫార్ములాలను ఉపయోగించి, మోనోమియల్ యొక్క ఘాతాంకాన్ని లెక్కించడం కష్టం కాదు.
ఉదాహరణకి, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; మీరు మోనోమియల్‌ని పవర్‌గా పెంచితే, మోనోమియల్‌లోని ప్రతి భాగం పవర్‌కి పెంచబడుతుంది.
ఇప్పటికే శక్తికి శక్తిని కలిగి ఉన్న వేరియబుల్‌ను పెంచడం ద్వారా, శక్తులు గుణించబడతాయి. ఉదాహరణకు, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
ప్రతికూల శక్తిని పెంచడం
ప్రతికూల శక్తి అనేది ఒక సంఖ్య యొక్క పరస్పరం. పరస్పర సంఖ్య అంటే ఏమిటి? ఏదైనా సంఖ్య X యొక్క పరస్పరం 1/X. అంటే, X-1=1/X. ఇది ప్రతికూల డిగ్రీ యొక్క సారాంశం.
ఉదాహరణ (3Y)^-3ని పరిగణించండి:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
అది ఎందుకు? డిగ్రీలో మైనస్ ఉన్నందున, మేము ఈ వ్యక్తీకరణను హారంకు బదిలీ చేస్తాము, ఆపై దానిని మూడవ శక్తికి పెంచుతాము. సింపుల్ కాదా?
పాక్షిక శక్తికి పెంచడం
ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణతో సమస్యను చూడటం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. 43/2. డిగ్రీ 3/2 అంటే ఏమిటి? 3 - న్యూమరేటర్, అంటే సంఖ్యను (ఈ సందర్భంలో 4) క్యూబ్‌కి పెంచడం. సంఖ్య 2 అనేది హారం; ఇది సంఖ్య యొక్క రెండవ మూలం యొక్క సంగ్రహణ (ఈ సందర్భంలో, 4).
అప్పుడు మనకు 43 = 2^3 = 8 వర్గమూలం వస్తుంది. సమాధానం: 8.
కాబట్టి, పాక్షిక శక్తి యొక్క హారం 3 లేదా 4 లేదా అనంతం వరకు ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు మరియు ఈ సంఖ్య ఇచ్చిన సంఖ్య నుండి తీసుకున్న వర్గమూలం యొక్క డిగ్రీని నిర్ణయిస్తుంది. వాస్తవానికి, హారం సున్నాగా ఉండకూడదు.
ఒక శక్తికి మూలాన్ని పెంచడం
మూలం యొక్క డిగ్రీకి సమానమైన స్థాయికి మూలాన్ని పెంచినట్లయితే, అప్పుడు సమాధానం రాడికల్ వ్యక్తీకరణ అవుతుంది. ఉదాహరణకు, (√x)2 = x. కాబట్టి ఏదైనా సందర్భంలో, రూట్ యొక్క డిగ్రీ మరియు మూలాన్ని పెంచే స్థాయి సమానంగా ఉంటాయి.
ఒకవేళ (√x)^4. అప్పుడు (√x)^4=x^2. పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయడానికి, మేము వ్యక్తీకరణను పాక్షిక శక్తితో వ్యక్తీకరణగా మారుస్తాము. మూలం చతురస్రం కాబట్టి, హారం 2. మరియు మూలాన్ని నాల్గవ శక్తికి పెంచినట్లయితే, అప్పుడు సంఖ్య 4. మనకు 4/2=2 వస్తుంది. సమాధానం: x = 2.
ఏదైనా సందర్భంలో, వ్యక్తీకరణను పాక్షిక శక్తితో వ్యక్తీకరణగా మార్చడం ఉత్తమ ఎంపిక. భిన్నం రద్దు చేయకపోతే, అందించిన సంఖ్య యొక్క మూలం వేరు చేయబడకపోతే, ఇది సమాధానం.
సంక్లిష్ట సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం
సంక్లిష్ట సంఖ్య అంటే ఏమిటి? సంక్లిష్ట సంఖ్య అనేది a + b * i సూత్రాన్ని కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ; a, b వాస్తవ సంఖ్యలు. i అనేది స్క్వేర్ చేసినప్పుడు, సంఖ్య -1ని ఇచ్చే సంఖ్య.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
త్వరగా మరియు సరిగ్గా జోడించడం, తీసివేయడం, గుణించడం, విభజించడం, వర్గ సంఖ్యలు మరియు మూలాలను ఎలా సేకరించాలో తెలుసుకోవడానికి "మానసిక అంకగణితాన్ని వేగవంతం చేయండి, మానసిక అంకగణితం కాదు" కోర్సు కోసం సైన్ అప్ చేయండి. 30 రోజుల్లో, మీరు అంకగణిత కార్యకలాపాలను సులభతరం చేయడానికి సులభమైన ఉపాయాలను ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుంటారు. ప్రతి పాఠం కొత్త పద్ధతులు, స్పష్టమైన ఉదాహరణలు మరియు ఉపయోగకరమైన పనులను కలిగి ఉంటుంది.
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ ఆన్‌లైన్
మా కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి, మీరు సంఖ్యను శక్తికి పెంచడాన్ని లెక్కించవచ్చు:
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ 7వ తరగతి
పాఠశాల పిల్లలు ఏడవ తరగతి నుండి మాత్రమే శక్తికి ఎదగడం ప్రారంభిస్తారు.
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ అనేది గుణకారంతో దగ్గరి సంబంధం ఉన్న ఒక ఆపరేషన్; ఈ ఆపరేషన్ ఒక సంఖ్యను స్వయంగా గుణించడం వల్ల వస్తుంది. దీనిని ఫార్ములాతో సూచిస్తాము: a1 * a2 * … * an=an.
ఉదాహరణకి, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
పరిష్కారం కోసం ఉదాహరణలు:
ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ ప్రెజెంటేషన్
ఏడవ తరగతి విద్యార్థుల కోసం రూపొందించబడిన అధికారాలను పెంచడంపై ప్రదర్శన. ప్రెజెంటేషన్ కొన్ని అస్పష్టమైన అంశాలను స్పష్టం చేయవచ్చు, కానీ మా కథనానికి ధన్యవాదాలు ఈ పాయింట్లు బహుశా క్లియర్ చేయబడవు.
క్రింది గీత
గణితాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి మేము మంచుకొండ యొక్క కొనను మాత్రమే చూశాము - మా కోర్సు కోసం సైన్ అప్ చేయండి: మానసిక అంకగణితాన్ని వేగవంతం చేయడం - మానసిక అంకగణితం కాదు.
కోర్సు నుండి మీరు సరళీకృత మరియు శీఘ్ర గుణకారం, కూడిక, గుణకారం, భాగహారం మరియు శాతాలను లెక్కించడం కోసం డజన్ల కొద్దీ పద్ధతులను నేర్చుకోలేరు, కానీ మీరు వాటిని ప్రత్యేక పనులు మరియు విద్యా ఆటలలో కూడా సాధన చేస్తారు! మానసిక అంకగణితానికి కూడా చాలా శ్రద్ధ మరియు ఏకాగ్రత అవసరం, ఇది ఆసక్తికరమైన సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు చురుకుగా శిక్షణ పొందుతుంది.