లేదా స్క్వేర్‌ల ఫార్ములా తేడాను ఇలా ఉపయోగించడం:
- (x 2 -4)*(x 2 +4)=0.
రెండు కారకాలు కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం అయితే వాటి లబ్ది సున్నాకి సమానం.
వ్యక్తీకరణ x 2 +4 సున్నాకి సమానం కాదు, కాబట్టి మిగిలి ఉన్నది (x 2 -4)=0.
మేము దానిని పరిష్కరించాము మరియు రెండు సమాధానాలను పొందుతాము.
సమాధానం: x=-2 మరియు x=2.
x 4 =16 సమీకరణం కేవలం 2 వాస్తవ మూలాలను మాత్రమే కలిగి ఉందని మేము కనుగొన్నాము. ఇవి 16 సంఖ్య నుండి నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క మూలాలు. అంతేకాకుండా, ధనాత్మక మూలాన్ని 16 సంఖ్య నుండి 4వ డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలం అంటారు. మరియు అవి 4√16గా సూచించబడతాయి. అంటే, 4√16=2.
నిర్వచనం
- ఒక సహజ శక్తి n>=2 ఋణాత్మక సంఖ్య a యొక్క అంకగణిత మూలం కొంత ప్రతికూల సంఖ్య, శక్తి nకి పెంచినప్పుడు, సంఖ్య a పొందబడుతుంది.
ఏదైనా నాన్-నెగటివ్ a మరియు సహజ n కోసం, x n =a సమీకరణం ఒకే ఒక్క నాన్-నెగటివ్ రూట్‌ను కలిగి ఉంటుందని నిరూపించవచ్చు. ఈ మూలాన్ని a సంఖ్య యొక్క nవ డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలం అంటారు.
సంఖ్య యొక్క nవ డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలం క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: n√a.
ఈ సందర్భంలో a సంఖ్యను రాడికల్ వ్యక్తీకరణ అంటారు.
n=2 అయినప్పుడు, అవి రెండు వ్రాయవు, కానీ కేవలం √a అని వ్రాయండి.
రెండవ మరియు మూడవ డిగ్రీల అంకగణిత మూలాలు ఉన్నాయి వారి ప్రత్యేక పేర్లు.
రెండవ డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలాన్ని వర్గమూలం అని మరియు మూడవ డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలాన్ని క్యూబ్ రూట్ అంటారు.
అంకగణిత మూలం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, n√a bకి సమానం అని నిరూపించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మేము దీన్ని చూపించాలి:
- 1. b అనేది సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది.
- 2. b n = a.
ఉదాహరణకు, 3√(64) = 4, 1. 4>0, 2. 4 3 =64 నుండి.
అంకగణిత మూలం యొక్క నిర్వచనానికి పరిణామం.
- (n√a) n = a.
- n√(a n) = a.
ఉదాహరణకు, (5√2) 5 = 2.
n వ మూలాన్ని సంగ్రహించడం
n వ మూలాన్ని సంగ్రహించడం అనేది n వ మూలాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే చర్య. n వ మూలాన్ని తీసుకోవడం అనేది n వ శక్తికి పెంచడం యొక్క విలోమం.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.
x 3 = -27 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
ఈ సమీకరణాన్ని (-x) 3 =27 రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం.
y=-x, ఆపై y 3 =27 అని పెట్టండి. ఈ సమీకరణం ఒక ధనాత్మక మూలాన్ని కలిగి ఉంది y= 3√27 = 3.
y 3 నుండి ఈ సమీకరణానికి ప్రతికూల మూలాలు లేవు
3 =27 సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉందని మేము కనుగొన్నాము.
అసలు సమీకరణానికి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, అది కూడా ఒకే ఒక రూట్ x=-y=-3ని కలిగి ఉందని మేము కనుగొన్నాము.
ఈ వ్యాసంలో మేము పరిచయం చేస్తాము సంఖ్య యొక్క మూలం యొక్క భావన. మేము క్రమానుగతంగా కొనసాగుతాము: మేము వర్గమూలంతో ప్రారంభిస్తాము, అక్కడ నుండి క్యూబిక్ రూట్ యొక్క వివరణకు వెళ్తాము, దాని తర్వాత మేము రూట్ యొక్క భావనను సాధారణీకరిస్తాము, n వ మూలాన్ని నిర్వచిస్తాము. అదే సమయంలో, మేము నిర్వచనాలు, సంకేతాలను పరిచయం చేస్తాము, మూలాల ఉదాహరణలను ఇస్తాము మరియు అవసరమైన వివరణలు మరియు వ్యాఖ్యలను ఇస్తాము.
వర్గమూలం, అంకగణిత వర్గమూలం
సంఖ్య యొక్క మూలం యొక్క నిర్వచనాన్ని మరియు ప్రత్యేకించి వర్గమూలాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు కలిగి ఉండాలి . ఈ సమయంలో మనం తరచుగా ఒక సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిని ఎదుర్కొంటాము - ఒక సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని.
దీనితో ప్రారంభిద్దాం వర్గమూల నిర్వచనాలు.
నిర్వచనం
a యొక్క వర్గమూలం a కి సమానమైన స్క్వేర్ ఉన్న సంఖ్య.
తీసుకురావడానికి వర్గమూలాల ఉదాహరణలు, అనేక సంఖ్యలను తీసుకోండి, ఉదాహరణకు, 5, −0.3, 0.3, 0, మరియు వాటిని వర్గీకరించండి, మనకు వరుసగా 25, 0.09, 0.09 మరియు 0 సంఖ్యలు లభిస్తాయి (5 2 =5·5=25, (-0.3) 2 =(-0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 మరియు 0 2 =0·0=0 ). అప్పుడు, పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం ప్రకారం, సంఖ్య 5 అనేది సంఖ్య 25 యొక్క వర్గమూలం, సంఖ్యలు −0.3 మరియు 0.3 0.09 యొక్క వర్గమూలాలు మరియు 0 అనేది సున్నా యొక్క వర్గమూలం.
ఏ సంఖ్యకు a కి సమానమైన స్క్వేర్ ఉనికిలో లేదని గమనించాలి. అవి, ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్యకు a కి సమానమైన స్క్వేర్ ఉండే వాస్తవ సంఖ్య b ఉండదు. వాస్తవానికి, ఏ ప్రతికూల a కోసం సమానత్వం a=b 2 అసాధ్యం, ఎందుకంటే b 2 ఏదైనా bకి ప్రతికూల సంఖ్య. ఈ విధంగా, వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం లేదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం నిర్వచించబడలేదు మరియు అర్థం లేదు.
ఇది ఒక తార్కిక ప్రశ్నకు దారి తీస్తుంది: "ఏదైనా ప్రతికూలం కాని a కోసం a యొక్క వర్గమూలం ఉందా"? అవుననే సమాధానం వస్తుంది. కోసం ఉపయోగించిన నిర్మాణాత్మక పద్ధతి ద్వారా ఈ వాస్తవాన్ని సమర్థించవచ్చు వర్గమూల విలువను కనుగొనడం.
అప్పుడు తదుపరి తార్కిక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: “ఇచ్చిన ప్రతికూలత లేని సంఖ్య a - ఒకటి, రెండు, మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అన్ని వర్గమూలాల సంఖ్య ఎంత”? ఇక్కడ సమాధానం ఉంది: a అనేది సున్నా అయితే, సున్నా యొక్క వర్గమూలం సున్నా; a కొంత సానుకూల సంఖ్య అయితే, a సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాల సంఖ్య రెండు, మరియు మూలాలు . దీనిని సమర్థించుకుందాం.
a=0 కేసుతో ప్రారంభిద్దాం. మొదట, సున్నా అనేది సున్నా యొక్క వర్గమూలం అని చూపిద్దాం. ఇది స్పష్టమైన సమానత్వం 0 2 =0·0=0 మరియు వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది.
ఇప్పుడు సున్నా యొక్క వర్గమూలం 0 మాత్రమే అని నిరూపిద్దాం. వ్యతిరేక పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. సున్నా యొక్క వర్గమూలం అయిన కొన్ని నాన్ జీరో సంఖ్య b ఉందనుకుందాం. అప్పుడు షరతు b 2 =0 తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాలి, ఇది అసాధ్యం, ఎందుకంటే సున్నా కాని b 2 వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది. మేము ఒక వైరుధ్యానికి చేరుకున్నాము. సున్నాకి 0 మాత్రమే వర్గమూలం అని ఇది రుజువు చేస్తుంది.
a అనేది సానుకూల సంఖ్య అయిన సందర్భాలకు వెళ్దాం. ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్యకు వర్గమూలం ఎల్లప్పుడూ ఉంటుందని మేము పైన చెప్పాము, a యొక్క వర్గమూలం సంఖ్య bగా ఉండనివ్వండి. సి సంఖ్య ఉందని చెప్పండి, అది కూడా a యొక్క వర్గమూలం. అప్పుడు, వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, సమానత్వాలు b 2 =a మరియు c 2 =a నిజమైనవి, దాని నుండి b 2 -c 2 =a-a=0, కానీ b 2 -c 2 =( b−c)·( b+c) , తర్వాత (b−c)·(b+c)=0 . ఫలితంగా సమానత్వం చెల్లుతుంది వాస్తవ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల లక్షణాలు b−c=0 లేదా b+c=0 ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. అందువలన, బి మరియు సి సంఖ్యలు సమానంగా లేదా వ్యతిరేకం.
మేము సంఖ్య d ఉందని ఊహిస్తే, ఇది a సంఖ్య యొక్క మరొక వర్గమూలం, అప్పుడు ఇప్పటికే ఇచ్చిన వాటికి సమానమైన తార్కికం ద్వారా, d సంఖ్య b లేదా c సంఖ్యకు సమానం అని నిరూపించబడింది. కాబట్టి, ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాల సంఖ్య రెండు, మరియు వర్గమూలాలు వ్యతిరేక సంఖ్యలు.
వర్గమూలాలతో పని చేసే సౌలభ్యం కోసం, ప్రతికూల మూలం సానుకూల నుండి "వేరు చేయబడింది". ఈ ప్రయోజనం కోసం, ఇది పరిచయం చేయబడింది అంకగణిత వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనం.
నిర్వచనం
నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య యొక్క అంకగణిత వర్గమూలం aఒక నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య, దీని వర్గము aకి సమానం.
a యొక్క అంకగణిత వర్గమూలం యొక్క సంజ్ఞామానం . సంకేతాన్ని అంకగణిత వర్గమూల సంకేతం అంటారు. దీనిని రాడికల్ సైన్ అని కూడా అంటారు. అందువల్ల, మీరు కొన్నిసార్లు "రూట్" మరియు "రాడికల్" రెండింటినీ వినవచ్చు, అంటే అదే వస్తువు.
అంకగణిత వర్గమూలం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్యను అంటారు రాడికల్ సంఖ్య, మరియు మూల సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ రాడికల్ వ్యక్తీకరణ, "రాడికల్ నంబర్" అనే పదం తరచుగా "రాడికల్ వ్యక్తీకరణ" ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, సంజ్ఞామానంలో 151 సంఖ్య రాడికల్ సంఖ్య, మరియు సంజ్ఞామానంలో a అనే వ్యక్తీకరణ రాడికల్ వ్యక్తీకరణ.
చదివేటప్పుడు, "అరిథ్మెటిక్" అనే పదం తరచుగా విస్మరించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, ఎంట్రీ "ఏడు పాయింట్ ఇరవై తొమ్మిది యొక్క వర్గమూలం"గా చదవబడుతుంది. సంఖ్య యొక్క సానుకూల వర్గమూలం గురించి మనం ప్రత్యేకంగా మాట్లాడుతున్నామని వారు నొక్కి చెప్పాలనుకున్నప్పుడు మాత్రమే "అంకగణితం" అనే పదాన్ని ఉపయోగిస్తారు.
ప్రవేశపెట్టిన సంజ్ఞామానం వెలుగులో, ఇది అంకగణిత వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది, ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్యకు a .
ధనాత్మక సంఖ్య a యొక్క వర్గమూలాలు మరియు గణిత వర్గమూలం గుర్తును ఉపయోగించి వ్రాయబడతాయి. ఉదాహరణకు, 13 యొక్క వర్గమూలాలు మరియు . సున్నా యొక్క అంకగణిత వర్గమూలం సున్నా, అంటే, . ప్రతికూల సంఖ్యలు a కోసం, మేము అధ్యయనం చేసే వరకు సంజ్ఞామానానికి అర్థాన్ని జోడించము సంక్లిష్ట సంఖ్యలు. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలు మరియు అర్థరహితమైనవి.
వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా, మేము నిరూపిస్తాము వర్గమూలాల లక్షణాలు, ఇది తరచుగా ఆచరణలో ఉపయోగించబడుతుంది.
ఈ పాయింట్ ముగింపులో, a సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాలు వేరియబుల్ xకి సంబంధించి x 2 =a రూపం యొక్క పరిష్కారాలు అని మేము గమనించాము.
సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ రూట్
క్యూబ్ రూట్ యొక్క నిర్వచనంసంఖ్య యొక్క a వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనం వలె ఇవ్వబడింది. ఇది ఒక సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ భావనపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది, చదరపు కాదు.
నిర్వచనం
a యొక్క క్యూబ్ రూట్క్యూబ్ aకి సమానమైన సంఖ్య.
ఇద్దాం క్యూబ్ రూట్స్ ఉదాహరణలు. దీన్ని చేయడానికి, అనేక సంఖ్యలను తీసుకోండి, ఉదాహరణకు, 7, 0, −2/3, మరియు వాటిని క్యూబ్ చేయండి: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. అప్పుడు, క్యూబ్ రూట్ యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా, 7 సంఖ్యను 343 యొక్క క్యూబ్ రూట్ అని, 0 అనేది సున్నా యొక్క క్యూబ్ రూట్ అని మరియు −2/3 అనేది −8/27 యొక్క క్యూబ్ రూట్ అని చెప్పవచ్చు.
ఒక సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ రూట్, వర్గమూలం వలె కాకుండా, ప్రతికూలం కాని a కోసం మాత్రమే కాకుండా, ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య a కోసం కూడా ఎల్లప్పుడూ ఉంటుందని చూపవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, వర్గమూలాలను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు మేము పేర్కొన్న అదే పద్ధతిని మీరు ఉపయోగించవచ్చు.
అంతేకాకుండా, ఇవ్వబడిన సంఖ్య a యొక్క ఒకే క్యూబ్ రూట్ మాత్రమే ఉంటుంది. చివరి ప్రకటనను నిరూపిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మూడు కేసులను విడిగా పరిగణించండి: a అనేది సానుకూల సంఖ్య, a=0 మరియు a అనేది ప్రతికూల సంఖ్య.
a సానుకూలంగా ఉంటే, a యొక్క క్యూబ్ రూట్ ప్రతికూల సంఖ్య లేదా సున్నా కాకపోవచ్చు అని చూపడం సులభం. నిజానికి, b అనేది a యొక్క క్యూబ్ రూట్‌గా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు నిర్వచనం ప్రకారం మనం సమానత్వం b 3 =a అని వ్రాయవచ్చు. ప్రతికూల b మరియు b=0 కోసం ఈ సమానత్వం నిజం కాదని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఎందుకంటే ఈ సందర్భాలలో b 3 =b·b·b వరుసగా ప్రతికూల సంఖ్య లేదా సున్నా అవుతుంది. కాబట్టి a ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ రూట్ సానుకూల సంఖ్య.
ఇప్పుడు b సంఖ్యతో పాటు a సంఖ్యకు మరో క్యూబ్ రూట్ ఉందని అనుకుందాం, దానిని c అని సూచిస్తాం. అప్పుడు c 3 =a. కాబట్టి, b 3 -c 3 =a−a=0, కానీ b 3 -c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(ఇది సంక్షిప్త గుణకార సూత్రం ఘనాల తేడా), ఎక్కడినుండి (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. ఫలితంగా సమానత్వం b−c=0 లేదా b 2 +b·c+c 2 =0 ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. మొదటి సమానత్వం నుండి మనకు b=c ఉంటుంది, మరియు రెండవ సమానత్వం ఎటువంటి పరిష్కారాలను కలిగి ఉండదు, ఎందుకంటే దాని ఎడమ వైపు b మరియు c అనే మూడు ధనాత్మక పదాలు b 2, b·c మరియు c 2 మొత్తంగా ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్యలకు ధనాత్మక సంఖ్య. ఇది సానుకూల సంఖ్య a యొక్క క్యూబ్ రూట్ యొక్క ప్రత్యేకతను రుజువు చేస్తుంది.
a=0 అయినప్పుడు, a సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ రూట్ సంఖ్య సున్నా మాత్రమే. నిజానికి, సున్నాకి సున్నా కాని క్యూబ్ రూట్ అయిన ఒక సంఖ్య b ఉందని మనం ఊహిస్తే, అప్పుడు సమానత్వం b 3 =0 కలిగి ఉండాలి, ఇది b=0 అయినప్పుడు మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది.
ప్రతికూల a కోసం, సానుకూల a కోసం కేసుకు సమానమైన వాదనలు ఇవ్వవచ్చు. ముందుగా, ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ రూట్ ధనాత్మక సంఖ్య లేదా సున్నాకి సమానంగా ఉండదని మేము చూపుతాము. రెండవది, ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క రెండవ క్యూబ్ రూట్ ఉందని మేము ఊహించాము మరియు అది తప్పనిసరిగా మొదటి దానితో సమానంగా ఉంటుందని చూపుతుంది.
కాబట్టి, ఇవ్వబడిన ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య a యొక్క క్యూబ్ రూట్ మరియు ప్రత్యేకమైనది ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది.
ఇద్దాం అంకగణిత క్యూబ్ రూట్ యొక్క నిర్వచనం.
నిర్వచనం
నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య యొక్క అంకగణిత క్యూబ్ రూట్ aఒక నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య, దీని క్యూబ్ aకి సమానం.
నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య a యొక్క అంకగణిత క్యూబ్ రూట్‌గా సూచించబడుతుంది, ఈ సంకేతాన్ని అంకగణిత క్యూబ్ రూట్ యొక్క సంకేతం అంటారు, ఈ సంజ్ఞామానంలోని సంఖ్య 3 అంటారు మూల సూచిక. మూల చిహ్నం క్రింద ఉన్న సంఖ్య రాడికల్ సంఖ్య, మూల సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ రాడికల్ వ్యక్తీకరణ.
అంకగణిత క్యూబ్ రూట్ నాన్-నెగటివ్ సంఖ్యలకు మాత్రమే నిర్వచించబడినప్పటికీ a, అంకగణిత క్యూబ్ రూట్ గుర్తు కింద ప్రతికూల సంఖ్యలు కనిపించే సంజ్ఞామానాలను ఉపయోగించడం కూడా సౌకర్యంగా ఉంటుంది. మేము వాటిని ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకుంటాము: , ఇక్కడ a అనేది సానుకూల సంఖ్య. ఉదాహరణకి, 
.
మేము ఒక సాధారణ వ్యాసంలో క్యూబ్ రూట్స్ యొక్క లక్షణాల గురించి మాట్లాడుతాము. మూలాల లక్షణాలు.
క్యూబ్ రూట్ విలువను గణించడం క్యూబ్ రూట్‌ను సంగ్రహించడం అంటారు, ఈ చర్య వ్యాసంలో చర్చించబడింది మూలాలను సంగ్రహించడం: పద్ధతులు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు.
ఈ అంశాన్ని ముగించడానికి, a సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ రూట్ x 3 =a రూపానికి పరిష్కారం అని చెప్పండి.
nవ మూలం, డిగ్రీ n యొక్క అంకగణిత మూలం
సంఖ్య యొక్క మూలం యొక్క భావనను సాధారణీకరిద్దాం - మేము పరిచయం చేస్తాము nవ మూలం యొక్క నిర్వచనం n కోసం.
నిర్వచనం
a యొక్క nవ మూలం nవ శక్తి aకి సమానమైన సంఖ్య.
ఈ నిర్వచనం నుండి a సంఖ్య యొక్క మొదటి డిగ్రీ మూలం a సంఖ్య అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఎందుకంటే సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీని అధ్యయనం చేసేటప్పుడు మనం 1 =a తీసుకున్నాము.
పైన మేము n=2 మరియు n=3 - వర్గమూలం మరియు క్యూబ్ రూట్ కోసం nవ మూలం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలను చూసాము. అంటే, వర్గమూలం రెండవ డిగ్రీకి మూలం, మరియు క్యూబ్ రూట్ మూడవ డిగ్రీకి మూలం. n=4, 5, 6, ... కోసం nవ డిగ్రీ మూలాలను అధ్యయనం చేయడానికి, వాటిని రెండు గ్రూపులుగా విభజించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది: మొదటి సమూహం - సరి డిగ్రీల మూలాలు (అంటే n = 4, 6, 8 కోసం , ...), రెండవ సమూహం - మూలాలు బేసి డిగ్రీలు (అంటే, n=5, 7, 9, ...తో). సరి శక్తుల మూలాలు వర్గమూలాలను పోలి ఉంటాయి మరియు బేసి శక్తుల మూలాలు క్యూబిక్ మూలాలను పోలి ఉండటమే దీనికి కారణం. వాటిని ఒక్కొక్కటిగా పరిష్కరించుకుందాం.
4, 6, 8, 4, 6, 8 అనే సరి సంఖ్యలు ఉన్న మూలాలతో ప్రారంభిద్దాం ... మనం ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, అవి a సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని పోలి ఉంటాయి. అంటే, a సంఖ్య యొక్క ఏదైనా సరి డిగ్రీ యొక్క మూలం ప్రతికూలం కాని a కోసం మాత్రమే ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, a=0 అయితే, అప్పుడు a యొక్క మూలం ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది మరియు సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు a>0 అయితే, అప్పుడు a సంఖ్య యొక్క సరి డిగ్రీకి రెండు మూలాలు ఉంటాయి మరియు అవి వ్యతిరేక సంఖ్యలు.
చివరి ప్రకటనను రుజువు చేద్దాం. b సంఖ్య a యొక్క సరి మూలం (మేము దానిని 2·mగా సూచిస్తాము, ఇక్కడ m కొంత సహజ సంఖ్య) ఒక సంఖ్య c ఉందని అనుకుందాం - a సంఖ్య నుండి డిగ్రీ 2·m యొక్క మరొక మూలం. అప్పుడు b 2·m−c 2·m =a−a=0 . కానీ మనకు b 2 m -c 2 m = (b−c) (b+c) రూపం తెలుసు (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), ఆపై (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. ఈ సమానత్వం నుండి అది b−c=0, లేదా b+c=0, లేదా b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. మొదటి రెండు సమానత్వం అంటే బి మరియు సి సంఖ్యలు సమానం లేదా బి మరియు సి వ్యతిరేకం. మరియు చివరి సమానత్వం b=c=0కి మాత్రమే చెల్లుతుంది, ఎందుకంటే దాని ఎడమ వైపున ఏదైనా b మరియు c లకు ప్రతికూలం కాని సంఖ్యల మొత్తంగా ఒక వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది.
బేసి n కోసం nth డిగ్రీ యొక్క మూలాల విషయానికొస్తే, అవి క్యూబ్ రూట్‌ను పోలి ఉంటాయి. అంటే, సంఖ్య యొక్క ఏదైనా బేసి డిగ్రీ యొక్క మూలం ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య a కోసం ఉంటుంది మరియు ఇచ్చిన సంఖ్యకు ఇది ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది.
a సంఖ్య యొక్క బేసి డిగ్రీ 2·m+1 యొక్క మూలం యొక్క ప్రత్యేకత a యొక్క క్యూబ్ రూట్ యొక్క ప్రత్యేకత యొక్క రుజువుతో సారూప్యత ద్వారా నిరూపించబడింది. సమానత్వానికి బదులుగా ఇక్కడ మాత్రమే a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 -c 2 m+1 = రూపం యొక్క సమానత్వం ఉపయోగించబడుతుంది (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). చివరి బ్రాకెట్‌లోని వ్యక్తీకరణను ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ఉదాహరణకు, m=2తో మనకు ఉంటుంది b 5 -c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). a మరియు b రెండూ ధనాత్మకమైనవి లేదా రెండూ ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు, వాటి ఉత్పత్తి ధనాత్మక సంఖ్య, అప్పుడు అత్యధిక సమూహ కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణ b 2 +c 2 +b·c సానుకూల సంఖ్యల మొత్తంగా సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఇప్పుడు, గూడు యొక్క మునుపటి డిగ్రీల బ్రాకెట్‌లలోని వ్యక్తీకరణలకు వరుసగా వెళుతున్నప్పుడు, అవి సానుకూల సంఖ్యల మొత్తంగా కూడా సానుకూలంగా ఉన్నాయని మేము నమ్ముతున్నాము. ఫలితంగా, సమానత్వం b 2 m+1 -c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 b−c=0, అంటే b సంఖ్య c సంఖ్యకు సమానంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది.
ఇది nth మూలాల సంజ్ఞామానాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి సమయం. ఈ ప్రయోజనం కోసం ఇది ఇవ్వబడింది nవ డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలం యొక్క నిర్వచనం.
నిర్వచనం
నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య యొక్క nవ డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలం a nవ శక్తి aకి సమానమైన ప్రతికూల సంఖ్య.
రూట్ డిగ్రీ nవాస్తవ సంఖ్య నుండి a, ఎక్కడ n- సహజ సంఖ్య, అటువంటి వాస్తవ సంఖ్య అంటారు x, nవ డిగ్రీకి సమానం a.
రూట్ డిగ్రీ nసంఖ్య నుండి aచిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఈ నిర్వచనం ప్రకారం.
మూలాన్ని కనుగొనడం nమధ్య నుండి -వ డిగ్రీ aరూట్ వెలికితీత అని పిలుస్తారు. సంఖ్య ఎరాడికల్ సంఖ్య (వ్యక్తీకరణ) అని పిలుస్తారు, n- రూట్ సూచిక. బేసి కోసం nఒక రూట్ ఉంది nఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యకు -వ శక్తి a. ఎప్పుడు కూడా nఒక రూట్ ఉంది nప్రతికూల సంఖ్యలకు మాత్రమే -వ శక్తి a. మూలాన్ని అస్పష్టం చేయడానికి nమధ్య నుండి -వ డిగ్రీ a, అంకగణిత మూలం యొక్క భావన పరిచయం చేయబడింది nమధ్య నుండి -వ డిగ్రీ a.
డిగ్రీ N యొక్క అంకగణిత మూలం యొక్క భావన
ఉంటే n- సహజ సంఖ్య, ఎక్కువ 1 , అప్పుడు ఉంది, మరియు ఒకే ఒక్క, నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య X, సమానత్వం సంతృప్తి చెందుతుంది. ఈ సంఖ్య Xఅంకగణిత మూలం అని పిలుస్తారు nనాన్-నెగటివ్ సంఖ్య యొక్క వ పవర్ ఎమరియు నియమించబడినది. సంఖ్య ఎరాడికల్ నంబర్ అంటారు, n- రూట్ సూచిక.
కాబట్టి, నిర్వచనం ప్రకారం, సంజ్ఞామానం , ఎక్కడ , అంటే, మొదట, అది మరియు, రెండవది, అది, అనగా. .
హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ భావన
సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ: వీలు ఎవాస్తవ సంఖ్య, మరియు n- ఒకటి కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య, n- సంఖ్య యొక్క శక్తి ఎపనిని పిలవండి nకారకాలు, ప్రతి ఒక్కటి సమానంగా ఉంటాయి ఎ, అనగా . సంఖ్య ఎ- డిగ్రీ ఆధారంగా, n- ఘాతాంకం. సున్నా ఘాతాంకంతో శక్తి: నిర్వచనం ప్రకారం, అయితే , అప్పుడు . సంఖ్య యొక్క సున్నా శక్తి 0 అర్ధం కావడం లేదు. ప్రతికూల పూర్ణాంకం ఘాతాంకంతో డిగ్రీ: నిర్వచనం ప్రకారం మరియు ఉంటే ఊహించబడింది nసహజ సంఖ్య, అప్పుడు . పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ: ఇది నిర్వచనం ప్రకారం మరియు ఉంటే ఊహించబడుతుంది n- సహజ సంఖ్య, mపూర్ణాంకం, అప్పుడు .
మూలాలతో కార్యకలాపాలు.
దిగువ అన్ని సూత్రాలలో, చిహ్నం అంటే అంకగణిత మూలం (రాడికల్ వ్యక్తీకరణ సానుకూలంగా ఉంటుంది).
1. అనేక కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క మూలం ఈ కారకాల మూలాల ఉత్పత్తికి సమానం:
2. నిష్పత్తి యొక్క మూలం డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క మూలాల నిష్పత్తికి సమానం:
3. ఒక శక్తికి మూలాన్ని పెంచేటప్పుడు, ఈ శక్తికి రాడికల్ సంఖ్యను పెంచడానికి సరిపోతుంది: 
4. మీరు రూట్ యొక్క డిగ్రీని n సార్లు పెంచినట్లయితే మరియు అదే సమయంలో రాడికల్ సంఖ్యను n వ శక్తికి పెంచినట్లయితే, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు: 
5. మీరు మూలం యొక్క డిగ్రీని n రెట్లు తగ్గించి, రాడికల్ సంఖ్య యొక్క nవ మూలాన్ని ఏకకాలంలో సంగ్రహిస్తే, అప్పుడు మూలం యొక్క విలువ మారదు:
డిగ్రీ భావనను విస్తరిస్తోంది. ఇప్పటివరకు మేము సహజ ఘాతాంకాలతో మాత్రమే డిగ్రీలను పరిగణించాము; కానీ అధికారాలు మరియు మూలాలతో కార్యకలాపాలు కూడా ప్రతికూల, సున్నా మరియు పాక్షిక ఘాతాంకాలకు దారితీయవచ్చు. ఈ ఘాతాంకాలన్నింటికీ అదనపు నిర్వచనం అవసరం.
ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ. ప్రతికూల (పూర్ణాంకం) ఘాతాంకం కలిగిన నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తి, ప్రతికూల ఘాతాంకం యొక్క సంపూర్ణ విలువకు సమానమైన ఘాతాంకంతో అదే సంఖ్య యొక్క శక్తితో భాగించబడినదిగా నిర్వచించబడుతుంది: 
ఇప్పుడు ఫార్ములా a m: a n = a m - n n కంటే ఎక్కువ m కోసం మాత్రమే కాకుండా, n కంటే తక్కువ m కోసం కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
ఉదాహరణ a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
ఫార్ములా a m: a n = a m - n m = nకి చెల్లుబాటు కావాలంటే, మనకు డిగ్రీ సున్నాకి నిర్వచనం అవసరం.
సున్నా సూచికతో ఒక డిగ్రీ. ఘాతాంక సున్నాతో ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్య యొక్క శక్తి 1.
ఉదాహరణలు. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ. వాస్తవ సంఖ్య aని శక్తి m / nకి పెంచడానికి, మీరు ఈ సంఖ్య యొక్క mth శక్తి యొక్క nవ మూలాన్ని సంగ్రహించాలి a:
అర్థం లేని వ్యక్తీకరణల గురించి. ఇటువంటి అనేక వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి.
కేసు 1.
≠ 0 లేని చోట.
వాస్తవానికి, మేము x ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య అని అనుకుంటే, అప్పుడు విభజన ఆపరేషన్ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము: a = 0 x, అనగా. a = 0, ఇది షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంది: a ≠ 0
కేసు 2.
ఏదైనా సంఖ్య.
వాస్తవానికి, ఈ వ్యక్తీకరణ నిర్దిష్ట సంఖ్య xకి సమానం అని మేము ఊహిస్తే, విభజన ఆపరేషన్ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మనకు: 0 = 0 · x. కానీ ఈ సమానత్వం ఏదైనా x సంఖ్యకు ఉంటుంది, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
నిజంగా,
పరిష్కారం. మూడు ప్రధాన కేసులను పరిశీలిద్దాం:
1) x = 0 – ఈ విలువ ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు
2) x > 0 కోసం మనకు లభిస్తుంది: x / x = 1, అనగా. 1 = 1, అంటే x ఏదైనా సంఖ్య; కానీ మన విషయంలో x > 0 అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సమాధానం x > 0;
3) x వద్ద< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
ఈ సందర్భంలో పరిష్కారం లేదు. అందువలన x > 0.