ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఉదాహరణలు.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

ఏం జరిగింది ఘాతాంక సమీకరణం? ఇది తెలియనివి (xలు) మరియు వాటితో వ్యక్తీకరణలు ఉండే సమీకరణం సూచికలుకొన్ని డిగ్రీలు. మరియు అక్కడ మాత్రమే! ఇది ముఖ్యమైనది.

నువ్వు అక్కడ ఘాతాంక సమీకరణాల ఉదాహరణలు:

3 x 2 x = 8 x+3

గమనిక! డిగ్రీల బేస్‌లలో (క్రింద) - సంఖ్యలు మాత్రమే. IN సూచికలుడిగ్రీలు (పైన) - Xతో అనేక రకాల వ్యక్తీకరణలు. ఒకవేళ, అకస్మాత్తుగా, ఒక సూచిక కాకుండా వేరే చోట సమీకరణంలో X కనిపించినట్లయితే, ఉదాహరణకు:

ఇది ఇప్పటికే మిశ్రమ రకం సమీకరణం అవుతుంది. అటువంటి సమీకరణాలకు వాటిని పరిష్కరించడానికి స్పష్టమైన నియమాలు లేవు. మేము వాటిని ప్రస్తుతానికి పరిగణించము. ఇక్కడ మేము వ్యవహరిస్తాము ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడందాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో.

వాస్తవానికి, స్వచ్ఛమైన ఘాతాంక సమీకరణాలు కూడా ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా పరిష్కరించబడవు. కానీ కొన్ని రకాల ఘాతాంక సమీకరణాలు ఉన్నాయి, వాటిని పరిష్కరించవచ్చు మరియు పరిష్కరించాలి. ఈ రకాలు మేము పరిశీలిస్తాము.

సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

మొదట, చాలా ప్రాథమికమైనదాన్ని పరిష్కరిద్దాం. ఉదాహరణకి:

ఎలాంటి సిద్ధాంతాలు లేకపోయినా, సాధారణ ఎంపిక ద్వారా x = 2 అని స్పష్టమవుతుంది. ఇంకేమీ లేదు, సరియైనదా!? X పనికి ఇతర విలువ లేదు. ఇప్పుడు ఈ గమ్మత్తైన ఘాతాంక సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని చూద్దాం:

ఏం చేశాం? మేము, వాస్తవానికి, అదే స్థావరాలను (ట్రిపుల్స్) విసిరాము. పూర్తిగా విసిరివేయబడింది. మరియు, శుభవార్త ఏమిటంటే, మేము తలపై గోరు కొట్టాము!

నిజానికి, ఘాతాంక సమీకరణంలో ఎడమ మరియు కుడి ఉన్నాయి అదేఏదైనా శక్తులలో సంఖ్యలు, ఈ సంఖ్యలు తీసివేయబడతాయి మరియు ఘాతాంకాలను సమం చేయవచ్చు. గణితం అనుమతిస్తుంది. ఇది చాలా సరళమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిగిలి ఉంది. గ్రేట్, సరియైనదా?)

అయితే, మనం గట్టిగా గుర్తుంచుకోండి: ఎడమ మరియు కుడి మూల సంఖ్యలు అద్భుతమైన ఐసోలేషన్‌లో ఉన్నప్పుడు మాత్రమే మీరు బేస్‌లను తీసివేయగలరు!ఏ పొరుగు మరియు గుణకాలు లేకుండా. సమీకరణాలలో చెప్పండి:

2 x +2 x+1 = 2 3, లేదా

రెండు తొలగించబడవు!

బాగా, మేము చాలా ముఖ్యమైన విషయంపై పట్టు సాధించాము. చెడు ఘాతాంక వ్యక్తీకరణల నుండి సరళమైన సమీకరణాలకు ఎలా వెళ్లాలి.

"అవి సమయాలు!" - మీరు చెప్పే. "పరీక్షలు మరియు పరీక్షల గురించి ఇంత ప్రాచీన పాఠాన్ని ఎవరు ఇస్తారు!?"

నేను అంగీకరించాలి. ఎవరూ చేయరు. కానీ ఇప్పుడు మీరు గమ్మత్తైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఎక్కడ లక్ష్యంగా పెట్టుకోవాలో మీకు తెలుసు. ఇది ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఒకే మూల సంఖ్య ఉన్న ఫారమ్‌కు తీసుకురావాలి. అప్పుడు ప్రతిదీ సులభం అవుతుంది. అసలైన, ఇది గణితశాస్త్రం యొక్క క్లాసిక్. మేము అసలు ఉదాహరణను తీసుకుంటాము మరియు దానిని కావలసినదానికి మారుస్తాము మాకుమనసు. గణిత నియమాల ప్రకారం, కోర్సు.

వాటిని సరళంగా తగ్గించడానికి కొంత అదనపు ప్రయత్నం అవసరమయ్యే ఉదాహరణలను చూద్దాం. వారిని పిలుద్దాం సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలు.

సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఉదాహరణలు.

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ప్రధాన నియమాలు డిగ్రీలతో చర్యలు.ఈ చర్యల గురించి తెలియకుండా ఏదీ పనిచేయదు.

డిగ్రీలతో చర్యలకు, వ్యక్తిగత పరిశీలన మరియు చాతుర్యాన్ని జోడించాలి. మనకు ఒకే మూల సంఖ్యలు అవసరమా? కాబట్టి మేము వాటిని ఉదాహరణలో స్పష్టమైన లేదా గుప్తీకరించిన రూపంలో చూస్తాము.

ఆచరణలో ఇది ఎలా జరుగుతుందో చూద్దాం?

మనకు ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం:

2 2x - 8 x+1 = 0

మొదటి చురుకైన చూపు ఉంది మైదానాలు.వాళ్ళు... వాళ్ళు వేరు! రెండు మరియు ఎనిమిది. కానీ నిరుత్సాహపడటం చాలా తొందరగా ఉంది. ఇది గుర్తుంచుకోవలసిన సమయం

డిగ్రీలో ఇద్దరు మరియు ఎనిమిది మంది బంధువులు.) వ్రాయడం చాలా సాధ్యమే:

8 x+1 = (2 3) x+1

మేము డిగ్రీలతో కార్యకలాపాల నుండి సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుంటే:

(a n) m = a nm,

ఇది గొప్పగా పనిచేస్తుంది:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

అసలు ఉదాహరణ ఇలా కనిపించడం ప్రారంభించింది:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

మేము బదిలీ చేస్తాము 2 3 (x+1)కుడివైపు (గణితం యొక్క ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను ఎవరూ రద్దు చేయలేదు!), మేము పొందుతాము:

2 2x = 2 3(x+1)

ఆచరణాత్మకంగా అంతే. స్థావరాలు తొలగించడం:

మేము ఈ రాక్షసుడిని పరిష్కరించాము మరియు పొందుతాము

ఇది సరైన సమాధానం.

ఈ ఉదాహరణలో, ఇద్దరి శక్తులను తెలుసుకోవడం మాకు సహాయపడింది. మేము గుర్తించారుఎనిమిదిలో గుప్తీకరించిన రెండు ఉంది. ఈ టెక్నిక్ (వివిధ సంఖ్యల క్రింద సాధారణ బేస్‌లను ఎన్‌కోడింగ్ చేయడం) ఘాతాంక సమీకరణాలలో చాలా ప్రజాదరణ పొందిన సాంకేతికత! అవును, మరియు లాగరిథమ్‌లలో కూడా. మీరు సంఖ్యలలో ఇతర సంఖ్యల శక్తులను తప్పనిసరిగా గుర్తించగలగాలి. ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది చాలా ముఖ్యమైనది.

వాస్తవం ఏమిటంటే, ఏ సంఖ్యను ఏ శక్తికి పెంచడం సమస్య కాదు. కాగితంపై కూడా గుణించండి మరియు అంతే. ఉదాహరణకు, ఎవరైనా 3ని ఐదవ శక్తికి పెంచవచ్చు. గుణకార పట్టిక మీకు తెలిస్తే 243 పని చేస్తుంది.) కానీ ఘాతాంక సమీకరణాలలో, చాలా తరచుగా శక్తికి పెంచాల్సిన అవసరం లేదు, కానీ వైస్ వెర్సా... కనుగొనండి ఏ సంఖ్య ఏ స్థాయికిసంఖ్య 243 వెనుక దాగి ఉంది, లేదా, చెప్పాలంటే, 343... ఇక్కడ మీకు ఏ కాలిక్యులేటర్ సహాయం చేయదు.

కొన్ని సంఖ్యల శక్తులను చూసి తెలుసుకోవాలి కదా... సాధన చేద్దామా?

సంఖ్యలు ఏ శక్తులు మరియు ఏ సంఖ్యలు అని నిర్ణయించండి:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

సమాధానాలు (గజిబిజిలో, అయితే!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

నిశితంగా పరిశీలిస్తే ఓ విచిత్రమైన వాస్తవం కనిపిస్తుంది. టాస్క్‌ల కంటే చాలా ఎక్కువ సమాధానాలు ఉన్నాయి! సరే, అది జరుగుతుంది... ఉదాహరణకు, 2 6, 4 3, 8 2 - అంతే 64.

మీరు సంఖ్యలతో పరిచయం గురించిన సమాచారాన్ని గమనించారని అనుకుందాం.) మేము ఉపయోగించే ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను అన్నిగణిత జ్ఞానం యొక్క స్టాక్. జూనియర్ మరియు మధ్యతరగతి వారితో సహా. మీరు నేరుగా ఉన్నత పాఠశాలకు వెళ్లలేదు, సరియైనదా?)

ఉదాహరణకు, ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, బ్రాకెట్‌ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని ఉంచడం తరచుగా సహాయపడుతుంది (7వ తరగతికి హలో!). ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

3 2x+4 -11 9 x = 210

మరలా, మొదటి చూపు పునాదుల వద్ద ఉంది! డిగ్రీలు వేర్వేరుగా ఉంటాయి... మూడు మరియు తొమ్మిది. కానీ అవి అలాగే ఉండాలని మేము కోరుకుంటున్నాము. బాగా, ఈ సందర్భంలో కోరిక పూర్తిగా నెరవేరుతుంది!) ఎందుకంటే:

9 x = (3 2) x = 3 2x

డిగ్రీలతో వ్యవహరించడానికి అదే నియమాలను ఉపయోగించడం:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

ఇది చాలా బాగుంది, మీరు దీన్ని వ్రాయవచ్చు:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

మేము అదే కారణాల కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇచ్చాము. కాబట్టి, తదుపరి ఏమిటి!? మీరు త్రీస్ విసిరివేయలేరు... డెడ్ ఎండ్?

అస్సలు కుదరదు. అత్యంత సార్వత్రిక మరియు శక్తివంతమైన నిర్ణయ నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి ప్రతి ఒక్కరూగణిత పనులు:

మీకు ఏమి కావాలో మీకు తెలియకపోతే, మీరు చేయగలిగినది చేయండి!

చూడండి, ప్రతిదీ పని చేస్తుంది).

ఈ ఘాతాంక సమీకరణంలో ఏముంది చెయ్యవచ్చుచేస్తావా? అవును, ఎడమ వైపున అది బ్రాకెట్ల నుండి తీసివేయమని వేడుకుంటుంది! 3 2x యొక్క మొత్తం గుణకం దీన్ని స్పష్టంగా సూచిస్తుంది. ప్రయత్నిద్దాం, ఆపై చూద్దాం:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ఉదాహరణ మెరుగవుతూనే ఉంది!

మైదానాలను తొలగించడానికి మనకు ఎటువంటి గుణకాలు లేకుండా స్వచ్ఛమైన డిగ్రీ అవసరమని మేము గుర్తుంచుకోవాలి. 70 సంఖ్య మనల్ని ఇబ్బంది పెడుతుంది. కాబట్టి మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 70 ద్వారా విభజిస్తాము, మనకు లభిస్తుంది:

అయ్యో! అంతా మెరుగైంది!

ఇదే చివరి సమాధానం.

ఇది జరుగుతుంది, అయితే, అదే ప్రాతిపదికన టాక్సీయింగ్ సాధించబడుతుంది, కానీ వారి తొలగింపు సాధ్యం కాదు. ఇది ఇతర రకాల ఘాతాంక సమీకరణాలలో జరుగుతుంది. ఈ రకంలో ప్రావీణ్యం సంపాదించుకుందాం.

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో వేరియబుల్‌ను భర్తీ చేయడం. ఉదాహరణలు.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

4 x - 3 2 x +2 = 0

మొదటిది - ఎప్పటిలాగే. ఒక స్థావరానికి వెళ్దాం. ఒక డ్యూస్ కు.

4 x = (2 2) x = 2 2x

మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

మరియు ఇక్కడే మేము సమావేశమవుతాము. ఎలా చూసినా మునుపటి టెక్నిక్‌లు పనిచేయవు. మేము మా ఆయుధశాల నుండి మరొక శక్తివంతమైన మరియు సార్వత్రిక పద్ధతిని ఉపసంహరించుకోవాలి. దీనిని ఇలా వేరియబుల్ భర్తీ.

పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఆశ్చర్యకరంగా సులభం. ఒక కాంప్లెక్స్ ఐకాన్‌కు బదులుగా (మా విషయంలో - 2 x) మేము మరొకటి వ్రాస్తాము, సరళమైనది (ఉదాహరణకు - t). అటువంటి అకారణంగా అర్ధంలేని భర్తీ అద్భుతమైన ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది!) ప్రతిదీ స్పష్టంగా మరియు అర్థమయ్యేలా అవుతుంది!

కాబట్టి వీలు

అప్పుడు 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

మా సమీకరణంలో మేము అన్ని శక్తులను t ద్వారా xతో భర్తీ చేస్తాము:

సరే, మీకు తెల్లవారుతుందా?) మీరు ఇంకా వర్గ సమీకరణాలను మరచిపోయారా? వివక్షత ద్వారా పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము:

ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఆపడానికి కాదు, జరుగుతుంది వంటి ... ఇది ఇంకా సమాధానం కాదు, మాకు x అవసరం, t కాదు. X లకు తిరిగి వెళ్దాం, అనగా. మేము రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ చేస్తాము. t 1 కోసం మొదటిది:

అంటే,

ఒక రూట్ కనుగొనబడింది. మేము t 2 నుండి రెండవదాని కోసం చూస్తున్నాము:

మ్... ఎడమవైపు 2 x, కుడివైపు 1... సమస్యా? అస్సలు కుదరదు! యూనిట్ అంటే (అధికారాలతో కూడిన కార్యకలాపాల నుండి, అవును...) గుర్తుంచుకోవడానికి సరిపోతుంది ఏదైనాసున్నా శక్తికి సంఖ్య. ఏదైనా. ఏది అవసరమో, మేము దానిని ఇన్స్టాల్ చేస్తాము. మాకు రెండు కావాలి. అర్థం:

ఇప్పుడు అంతే. మాకు 2 మూలాలు ఉన్నాయి:

ఇదే సమాధానం.

వద్ద ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడంచివర్లో కొన్నిసార్లు మీరు ఒక రకమైన ఇబ్బందికరమైన వ్యక్తీకరణతో ముగుస్తుంది. రకం:

సాధారణ శక్తి ద్వారా ఏడుని రెండుగా మార్చలేము. వాళ్ళు బంధువులు కాదు... మనం ఎలా ఉంటాం? ఎవరైనా అయోమయంలో ఉండవచ్చు... కానీ ఈ సైట్‌లో “లాగరిథమ్ అంటే ఏమిటి?” అనే అంశాన్ని చదివిన వ్యక్తి. , పొదుపుగా నవ్వి, దృఢమైన చేతితో ఖచ్చితంగా సరైన సమాధానాన్ని వ్రాస్తాడు:

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో “బి” టాస్క్‌లలో అలాంటి సమాధానం ఉండకూడదు. అక్కడ నిర్దిష్ట సంఖ్య అవసరం. కానీ "సి" పనులలో ఇది సులభం.

ఈ పాఠం అత్యంత సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలను అందిస్తుంది. ప్రధాన అంశాలను హైలైట్ చేద్దాం.

ఆచరణాత్మక చిట్కాలు:

1. అన్నింటిలో మొదటిది, మేము పరిశీలిస్తాము మైదానాలుడిగ్రీలు. వాటిని తయారు చేయడం సాధ్యమేనా అని ఆలోచిస్తున్నాం ఒకేలా.చురుకుగా ఉపయోగించడం ద్వారా దీన్ని చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం డిగ్రీలతో చర్యలు. x లేని సంఖ్యలను కూడా పవర్‌లుగా మార్చవచ్చని మర్చిపోవద్దు!

2. ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్నప్పుడు ఘాతాంక సమీకరణాన్ని ఫారమ్‌కి తీసుకురావడానికి ప్రయత్నిస్తాము అదేఏదైనా శక్తులలో సంఖ్యలు. మేము ఉపయోగిస్తాము డిగ్రీలతో చర్యలుమరియు కారకం.సంఖ్యలలో ఏమి లెక్కించవచ్చు, మేము లెక్కించాము.

3. రెండవ చిట్కా పని చేయకపోతే, వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్‌ని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి. ఫలితం సులభంగా పరిష్కరించగల సమీకరణం కావచ్చు. చాలా తరచుగా - చదరపు. లేదా భిన్నం, ఇది చతురస్రానికి కూడా తగ్గిస్తుంది.

4. ఘాతాంక సమీకరణాలను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి, మీరు దృష్టి ద్వారా కొన్ని సంఖ్యల శక్తులను తెలుసుకోవాలి.

ఎప్పటిలాగే, పాఠం ముగింపులో మీరు కొంచెం నిర్ణయించుకోవడానికి ఆహ్వానించబడ్డారు.) మీ స్వంతంగా. సాధారణ నుండి క్లిష్టమైన వరకు.

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

మరింత కష్టం:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

మూలాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి:

2 3లు + 2 x = 9

జరిగిందా?

బాగా, అప్పుడు చాలా క్లిష్టమైన ఉదాహరణ (ఇది మనస్సులో పరిష్కరించబడినప్పటికీ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

మరింత ఆసక్తికరమైనది ఏమిటి? ఇక్కడ మీకు చెడ్డ ఉదాహరణ ఉంది. పెరిగిన కష్టం కోసం చాలా ఉత్సాహం. ఈ ఉదాహరణలో, మిమ్మల్ని రక్షించేది చాతుర్యం మరియు అన్ని గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అత్యంత సార్వత్రిక నియమం అని నేను సూచిస్తున్నాను.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

సడలింపు కోసం సరళమైన ఉదాహరణ):

9 2 x - 4 3 x = 0

మరియు డెజర్ట్ కోసం. సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

అవును అవును! ఇది మిశ్రమ రకం సమీకరణం! ఈ పాఠంలో మనం పరిగణించనిది. వాటిని ఎందుకు పరిగణించాలి, అవి పరిష్కరించబడాలి!) ఈ పాఠం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సరిపోతుంది. సరే, మీకు చాతుర్యం కావాలి... మరియు ఏడవ తరగతి మీకు సహాయపడవచ్చు (ఇది సూచన!).

సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా, సెమికోలన్‌లతో వేరు చేయబడ్డాయి):

1; 2; 3; 4; పరిష్కారాలు లేవు; 2; -2; -5; 4; 0.

ప్రతిదీ విజయవంతమైందా? గొప్ప.

అక్కడ సమస్య ఉంది? ఏమి ఇబ్బంది లేదు! ప్రత్యేక విభాగం 555 వివరణాత్మక వివరణలతో ఈ ఘాతాంక సమీకరణాలన్నింటినీ పరిష్కరిస్తుంది. ఏమి, ఎందుకు మరియు ఎందుకు. మరియు, వాస్తవానికి, అన్ని రకాల ఘాతాంక సమీకరణాలతో పనిచేయడానికి అదనపు విలువైన సమాచారం ఉంది. ఇవి మాత్రమే కాదు.)

పరిగణించవలసిన చివరి సరదా ప్రశ్న. ఈ పాఠంలో మేము ఘాతాంక సమీకరణాలతో పని చేసాము. నేను ఇక్కడ ODZ గురించి ఒక్క మాట కూడా ఎందుకు చెప్పలేదు?సమీకరణాలలో, ఇది చాలా ముఖ్యమైన విషయం, మార్గం ద్వారా ...

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

అన్ని కొత్త వీడియో పాఠాలతో తాజాగా ఉండటానికి మా వెబ్‌సైట్ యొక్క యూట్యూబ్ ఛానెల్‌కి వెళ్లండి.

మొదట, అధికారాలు మరియు వాటి లక్షణాల యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి.

సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తి a n సార్లు స్వయంగా సంభవిస్తుంది, మనం ఈ వ్యక్తీకరణను a … a=a n అని వ్రాయవచ్చు

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

శక్తి లేదా ఘాతాంక సమీకరణాలు- ఇవి వేరియబుల్స్ పవర్స్ (లేదా ఘాతాంకాలు)లో ఉండే సమీకరణాలు మరియు ఆధారం ఒక సంఖ్య.

ఘాతాంక సమీకరణాల ఉదాహరణలు:

ఈ ఉదాహరణలో, సంఖ్య 6 ఆధారం; ఇది ఎల్లప్పుడూ దిగువన ఉంటుంది మరియు వేరియబుల్ xడిగ్రీ లేదా సూచిక.

ఘాతాంక సమీకరణాలకు మరిన్ని ఉదాహరణలు ఇద్దాం.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

ఇప్పుడు ఘాతాంక సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో చూద్దాం?

ఒక సాధారణ సమీకరణాన్ని తీసుకుందాం:

2 x = 2 3

ఈ ఉదాహరణ మీ తలలో కూడా పరిష్కరించబడుతుంది. x=3 అని చూడవచ్చు. అన్నింటికంటే, ఎడమ మరియు కుడి వైపులా సమానంగా ఉండటానికి, మీరు xకి బదులుగా 3 సంఖ్యను ఉంచాలి.
ఈ నిర్ణయాన్ని ఎలా అధికారికీకరించాలో ఇప్పుడు చూద్దాం:

2 x = 2 3
x = 3

అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము తీసివేసాము ఒకే మైదానాలు(అంటే రెండొందలు) మరియు మిగిలి ఉన్న వాటిని వ్రాసి, ఇవి డిగ్రీలు. మేము వెతుకుతున్న సమాధానం వచ్చింది.

ఇప్పుడు మన నిర్ణయాన్ని సంగ్రహిద్దాం.

ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:
1. తనిఖీ చేయాలి అదేసమీకరణం కుడి మరియు ఎడమ వైపున ఆధారాలను కలిగి ఉందా. కారణాలు ఒకేలా లేకుంటే, ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి మేము ఎంపికల కోసం చూస్తున్నాము.
2. స్థావరాలు ఒకేలా మారిన తర్వాత, సమానండిగ్రీలు మరియు ఫలితంగా కొత్త సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ఇప్పుడు కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:

సరళమైన వాటితో ప్రారంభిద్దాం.

ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న స్థావరాలు సంఖ్య 2కి సమానంగా ఉంటాయి, అంటే మనం ఆధారాన్ని విస్మరించవచ్చు మరియు వాటి శక్తులను సమం చేయవచ్చు.

x+2=4 సరళమైన సమీకరణం పొందబడింది.
x=4 – 2
x=2
సమాధానం: x=2

కింది ఉదాహరణలో మీరు బేస్‌లు భిన్నంగా ఉన్నాయని చూడవచ్చు: 3 మరియు 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

మొదట, తొమ్మిదిని కుడి వైపుకు తరలించండి, మనకు లభిస్తుంది:

ఇప్పుడు మీరు అదే స్థావరాలను తయారు చేయాలి. 9=3 2 అని మనకు తెలుసు. పవర్ ఫార్ములా (a n) m = a nm ఉపయోగిస్తాము.

3 3x = (3 2) x+8

మనకు 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 వస్తుంది

3 3x = 3 2x+16 ఇప్పుడు ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న స్థావరాలు ఒకేలా మరియు మూడింటికి సమానంగా ఉన్నాయని స్పష్టమైంది, అంటే మనం వాటిని విస్మరించి డిగ్రీలను సమం చేయవచ్చు.

3x=2x+16 మనం సరళమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము
3x - 2x=16
x=16
సమాధానం: x=16.

కింది ఉదాహరణను చూద్దాం:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

అన్నింటిలో మొదటిది, మేము స్థావరాలు, రెండు మరియు నాలుగు స్థావరాలు చూస్తాము. మరియు అవి ఒకే విధంగా ఉండాలి. మేము ఫార్ములా (a n) m = a nm ఉపయోగించి నలుగురిని మారుస్తాము.

4 x = (2 2) x = 2 2x

మరియు మేము ఒక ఫార్ములా a n a m = a n + m కూడా ఉపయోగిస్తాము:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

సమీకరణానికి జోడించండి:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

మేము అదే కారణాల కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇచ్చాము. కానీ 10 మరియు 24 ఇతర సంఖ్యలు మనల్ని ఇబ్బంది పెడతాయి.వాటితో ఏమి చేయాలి? మీరు నిశితంగా పరిశీలిస్తే, ఎడమ వైపున 2 2x పునరావృతం చేయబడిందని మీరు చూడవచ్చు, ఇక్కడ సమాధానం ఉంది - మేము బ్రాకెట్లలో 2 2xని ఉంచవచ్చు:

2 2x (2 4 - 10) = 24

వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్లలో గణిద్దాం:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని 6 ద్వారా విభజిస్తాము:

4=2 2 ఊహించుకుందాం:

2 2x = 2 2 స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము వాటిని విస్మరించి డిగ్రీలను సమం చేస్తాము.
2x = 2 అనేది సరళమైన సమీకరణం. దానిని 2 ద్వారా విభజించండి మరియు మేము పొందుతాము
x = 1
సమాధానం: x = 1.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

9 x – 12*3 x +27= 0

మారుద్దాం:
9 x = (3 2) x = 3 2x

మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

మా బేస్‌లు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మూడింటికి సమానం. ఈ ఉదాహరణలో, మీరు మొదటి మూడు రెండవ (కేవలం x) కంటే రెండుసార్లు (2x) డిగ్రీని కలిగి ఉన్నట్లు చూడవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, మీరు పరిష్కరించవచ్చు భర్తీ పద్ధతి. మేము సంఖ్యను చిన్న డిగ్రీతో భర్తీ చేస్తాము:

అప్పుడు 3 2x = (3 x) 2 = t 2

మేము సమీకరణంలోని అన్ని x శక్తులను tతో భర్తీ చేస్తాము:

t 2 - 12t+27 = 0
మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం వస్తుంది. వివక్షత ద్వారా పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

వేరియబుల్‌కి తిరిగి వస్తోంది x.

t 1 తీసుకోండి:
t 1 = 9 = 3 x

అంటే,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ఒక రూట్ కనుగొనబడింది. మేము t 2 నుండి రెండవదాని కోసం చూస్తున్నాము:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
సమాధానం: x 1 = 2; x 2 = 1.

వెబ్‌సైట్‌లో మీరు HELP DECIDE విభాగంలో ఏవైనా ప్రశ్నలు అడగవచ్చు, మేము మీకు ఖచ్చితంగా సమాధానం ఇస్తాము.

సమూహంలో చేరండి

సామగ్రి:

• కంప్యూటర్,
• మల్టీమీడియా ప్రొజెక్టర్,
• తెర,
• అనుబంధం 1(పవర్‌పాయింట్ స్లయిడ్ ప్రెజెంటేషన్) “ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు”
• అనుబంధం 2(వర్డ్‌లో “మూడు వేర్వేరు శక్తులు” వంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం)
• అనుబంధం 3(ప్రాక్టికల్ పని కోసం వర్డ్‌లో కరపత్రాలు).
• అనుబంధం 4(హోమ్‌వర్క్ కోసం వర్డ్‌లో కరపత్రం).

తరగతుల సమయంలో

1. సంస్థాగత దశ

• పాఠ్యాంశం యొక్క సందేశం (బోర్డుపై వ్రాయబడింది),
• 10-11 తరగతులలో సాధారణ పాఠం అవసరం:

క్రియాశీల అభ్యాసానికి విద్యార్థులను సిద్ధం చేసే దశ

పునరావృతం

నిర్వచనం.

ఘాతాంక సమీకరణం అనేది ఘాతాంకంతో వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉన్న సమీకరణం (విద్యార్థి సమాధానాలు).

ఉపాధ్యాయుని గమనిక. ఘాతాంక సమీకరణాలు అతీంద్రియ సమీకరణాల తరగతికి చెందినవి. ఈ అస్పష్టమైన పేరు అటువంటి సమీకరణాలను, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, సూత్రాల రూపంలో పరిష్కరించబడదని సూచిస్తుంది.

కంప్యూటర్లలోని సంఖ్యా పద్ధతుల ద్వారా మాత్రమే వాటిని పరిష్కరించవచ్చు. కానీ పరీక్షా పనుల గురించి ఏమిటి? ఉపాయం ఏమిటంటే, ఎగ్జామినర్ సమస్యను ఒక విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారానికి అనుమతించే విధంగా ఫ్రేమ్ చేస్తాడు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మీరు ఈ ఘాతాంక సమీకరణాన్ని సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణానికి తగ్గించే ఒకే విధమైన పరివర్తనలను చేయవచ్చు (మరియు చేయాలి!). ఈ సరళమైన సమీకరణం అంటారు: సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణం. ఇది పరిష్కరించబడుతోంది సంవర్గమానం ద్వారా.

ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే పరిస్థితి చిక్కైన గుండా ప్రయాణించడాన్ని గుర్తుచేస్తుంది, ఇది సమస్య యొక్క రచయిత ప్రత్యేకంగా కనుగొనబడింది. ఈ చాలా సాధారణ వాదనల నుండి చాలా నిర్దిష్ట సిఫార్సులను అనుసరించండి.

ఘాతాంక సమీకరణాలను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి మీరు తప్పక:

1. అన్ని ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఐడెంటిటీలను చురుకుగా తెలుసుకోవడమే కాకుండా, ఈ గుర్తింపులు నిర్వచించబడిన వేరియబుల్ విలువల సెట్‌లను కూడా కనుగొనండి, తద్వారా ఈ గుర్తింపులను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు మీరు అనవసరమైన మూలాలను పొందలేరు మరియు ఇంకా ఎక్కువగా, పరిష్కారాలను కోల్పోకండి. సమీకరణానికి.

2. అన్ని ఘాతాంక గుర్తింపులను చురుకుగా తెలుసుకోండి.

3. స్పష్టంగా, వివరంగా మరియు లోపాలు లేకుండా, సమీకరణాల గణిత రూపాంతరాలను నిర్వహించండి (సమీకరణం యొక్క ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి నిబంధనలను బదిలీ చేయండి, గుర్తును మార్చడం మర్చిపోకుండా, భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తీసుకురావడం మొదలైనవి). దీనినే గణిత సంస్కృతి అంటారు. అదే సమయంలో, గణనలు తాము స్వయంచాలకంగా చేతితో చేయాలి, మరియు తల పరిష్కారం యొక్క సాధారణ మార్గదర్శక థ్రెడ్ గురించి ఆలోచించాలి. పరివర్తనలు వీలైనంత జాగ్రత్తగా మరియు వివరంగా చేయాలి. ఇది మాత్రమే సరైన, లోపం లేని నిర్ణయానికి హామీ ఇస్తుంది. మరియు గుర్తుంచుకోండి: ఒక చిన్న అంకగణిత లోపం కేవలం ఒక అతీంద్రియ సమీకరణాన్ని సృష్టించగలదు, సూత్రప్రాయంగా, విశ్లేషణాత్మకంగా పరిష్కరించబడదు. మీరు మీ మార్గాన్ని కోల్పోయారని మరియు చిక్కైన గోడను తాకినట్లు తేలింది.

4. సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను తెలుసుకోండి (అంటే, పరిష్కార చిట్టడవి ద్వారా అన్ని మార్గాలను తెలుసుకోండి). ప్రతి దశలో సరిగ్గా నావిగేట్ చేయడానికి, మీరు (స్పృహతో లేదా అకారణంగా!):

• నిర్వచించండి సమీకరణ రకం;
• సంబంధిత రకాన్ని గుర్తుంచుకోండి పరిష్కారం పద్ధతిపనులు.

అధ్యయనం చేసిన పదార్థం యొక్క సాధారణీకరణ మరియు క్రమబద్ధీకరణ దశ.

ఉపాధ్యాయుడు, కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించే విద్యార్థులతో కలిసి, అన్ని రకాల ఘాతాంక సమీకరణాలు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతులను సమీక్షించి, సాధారణ రేఖాచిత్రాన్ని రూపొందిస్తారు. (L.Ya. Borevsky "గణిత శాస్త్ర కోర్సు - 2000" యొక్క విద్యా కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్ ఉపయోగించబడింది, పవర్ పాయింట్ ప్రెజెంటేషన్ రచయిత T.N. కుప్త్సోవా.)

అన్నం. 1.ఫిగర్ అన్ని రకాల ఘాతాంక సమీకరణాల సాధారణ రేఖాచిత్రాన్ని చూపుతుంది.

ఈ రేఖాచిత్రం నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించే వ్యూహం ఏమిటంటే, ఇచ్చిన ఘాతాంక సమీకరణాన్ని సమీకరణానికి తగ్గించడం, ముందుగా, డిగ్రీల యొక్క అదే బేస్‌లతో , ఆపై - మరియు అదే డిగ్రీ సూచికలతో.

అదే స్థావరాలు మరియు ఘాతాంకాలతో సమీకరణాన్ని స్వీకరించిన తర్వాత, మీరు ఈ ఘాతాంకాన్ని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేస్తారు మరియు ఈ కొత్త వేరియబుల్‌కు సంబంధించి ఒక సాధారణ బీజగణిత సమీకరణాన్ని (సాధారణంగా పాక్షిక-రేషనల్ లేదా క్వాడ్రాటిక్) పొందండి.

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించి, రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తర్వాత, మీరు లాగరిథమ్‌లను ఉపయోగించి సాధారణ రూపంలో పరిష్కరించగల సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాల సమితితో ముగుస్తుంది.

(పాక్షిక) శక్తుల ఉత్పత్తులు మాత్రమే కనిపించే సమీకరణాలు ప్రత్యేకంగా నిలుస్తాయి. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఐడెంటిటీలను ఉపయోగించి, ఈ సమీకరణాలను వెంటనే ఒక బేస్‌కి, ప్రత్యేకించి, సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణానికి తగ్గించడం సాధ్యమవుతుంది.

మూడు వేర్వేరు బేస్‌లతో ఘాతాంక సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో చూద్దాం.

(ఉపాధ్యాయుడికి ఎల్‌యా బోరెవ్స్కీ “కోర్సు ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్ - 2000” ద్వారా విద్యా కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్ ఉంటే, సహజంగానే మేము డిస్క్‌తో పని చేస్తాము, కాకపోతే, మీరు ప్రతి డెస్క్‌కి దాని నుండి ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని ప్రింట్‌అవుట్ చేయవచ్చు, క్రింద అందించబడింది.)

అన్నం. 2.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్లాన్ చేయండి.

అన్నం. 3.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ప్రారంభించండి

అన్నం. 4.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ముగించండి.

ప్రాక్టికల్ వర్క్ చేస్తోంది

సమీకరణం యొక్క రకాన్ని నిర్ణయించండి మరియు దాన్ని పరిష్కరించండి.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

పాఠాన్ని సంగ్రహించడం

పాఠం కోసం గ్రేడింగ్.

పాఠం ముగింపు

గురువు కోసం

జవాబు పథకం సాధన.

వ్యాయామం:సమీకరణాల జాబితా నుండి, పేర్కొన్న రకానికి చెందిన సమీకరణాలను ఎంచుకోండి (పట్టికలో సమాధాన సంఖ్యను నమోదు చేయండి):

1. మూడు వేర్వేరు డిగ్రీ స్థావరాలు
2. రెండు వేర్వేరు స్థావరాలు - వేర్వేరు ఘాతాంకాలు
3. అధికారాల స్థావరాలు - ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తులు
4. అదే స్థావరాలు - విభిన్న ఘాతాంకాలు
5. డిగ్రీల యొక్క అదే స్థావరాలు - డిగ్రీల యొక్క అదే సూచికలు
6. అధికారాల ఉత్పత్తి
7. రెండు వేర్వేరు డిగ్రీ స్థావరాలు - అదే సూచికలు
8. సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణాలు

1. (అధికారాల ఉత్పత్తి)

2. (అదే స్థావరాలు - వివిధ ఘాతాంకాలు)

ఈ పాఠం ఘాతాంక సమీకరణాలను నేర్చుకోవడం ప్రారంభించిన వారి కోసం ఉద్దేశించబడింది. ఎప్పటిలాగే, నిర్వచనం మరియు సాధారణ ఉదాహరణలతో ప్రారంభిద్దాం.

మీరు ఈ పాఠాన్ని చదువుతున్నట్లయితే, మీరు ఇప్పటికే సరళమైన సమీకరణాల గురించి కనీసం కనీస అవగాహన కలిగి ఉన్నారని నేను అనుమానిస్తున్నాను - లీనియర్ మరియు క్వాడ్రాటిక్: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, మొదలైనవి. ఇప్పుడు చర్చించబడే అంశంలో "ఇరుక్కుపోకుండా" అటువంటి నిర్మాణాలను పరిష్కరించగలగడం ఖచ్చితంగా అవసరం.

కాబట్టి, ఘాతాంక సమీకరణాలు. నేను మీకు రెండు ఉదాహరణలు ఇస్తాను:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

వాటిలో కొన్ని మీకు మరింత క్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు, మరికొన్ని దీనికి విరుద్ధంగా చాలా సరళంగా ఉంటాయి. కానీ అవన్నీ ఉమ్మడిగా ఒక ముఖ్యమైన లక్షణాన్ని కలిగి ఉన్నాయి: వాటి సంజ్ఞామానం $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ఘాతాంక ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉంది. కాబట్టి, నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం:

ఘాతాంక సమీకరణం అనేది ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉన్న ఏదైనా సమీకరణం, అనగా. రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ $((a)^(x))$. సూచించిన ఫంక్షన్‌తో పాటు, అటువంటి సమీకరణాలు ఏవైనా ఇతర బీజగణిత నిర్మాణాలను కలిగి ఉంటాయి - బహుపదాలు, మూలాలు, త్రికోణమితి, సంవర్గమానం మొదలైనవి.

సరే మరి. మేము నిర్వచనాన్ని క్రమబద్ధీకరించాము. ఇప్పుడు ప్రశ్న: ఈ చెత్తను ఎలా పరిష్కరించాలి? సమాధానం సరళమైనది మరియు సంక్లిష్టమైనది.

శుభవార్తతో ప్రారంభిద్దాం: చాలా మంది విద్యార్థులకు బోధించే నా అనుభవం నుండి, వారిలో ఎక్కువమంది ఒకే లాగరిథమ్‌ల కంటే ఘాతాంక సమీకరణాలను చాలా సులభంగా కనుగొంటారని మరియు త్రికోణమితిని కూడా ఎక్కువగా కనుగొంటారని నేను చెప్పగలను.

కానీ ఒక చెడ్డ వార్త ఉంది: కొన్నిసార్లు అన్ని రకాల పాఠ్యపుస్తకాలు మరియు పరీక్షల సమస్యల రచయితలు "ప్రేరణ" ద్వారా కొట్టబడ్డారు, మరియు వారి మత్తుపదార్థాల మెదడు అటువంటి క్రూరమైన సమీకరణాలను ఉత్పత్తి చేయడం ప్రారంభిస్తుంది, వాటిని పరిష్కరించడం విద్యార్థులకే కాదు - చాలా మంది ఉపాధ్యాయులకు కూడా సమస్యాత్మకం అవుతుంది. అటువంటి సమస్యలలో చిక్కుకుపోతారు.

అయితే, విచారకరమైన విషయాల గురించి మాట్లాడకూడదు. మరియు కథ ప్రారంభంలో ఇచ్చిన మూడు సమీకరణాలకు తిరిగి వద్దాం. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

మొదటి సమీకరణం: $((2)^(x))=4$. సరే, 4వ సంఖ్యను పొందడానికి మీరు సంఖ్య 2ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? బహుశా రెండవది? అన్నింటికంటే, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - మరియు మేము సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని పొందాము, అనగా. నిజానికి $x=2$. బాగా, ధన్యవాదాలు, క్యాప్, కానీ ఈ సమీకరణం చాలా సరళంగా ఉంది, నా పిల్లి కూడా దాన్ని పరిష్కరించగలదు. :)

కింది సమీకరణాన్ని చూద్దాం:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

కానీ ఇక్కడ ఇది కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది. చాలా మంది విద్యార్థులకు $((5)^(2))=25$ అనేది గుణకార పట్టిక అని తెలుసు. కొందరు $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ అనేది తప్పనిసరిగా ప్రతికూల శక్తుల నిర్వచనం ($(a)^(-n))= \ అని అనుమానిస్తున్నారు frac(1)(((a)^(n)))$).

చివరగా, ఎంపిక చేసిన కొద్దిమంది మాత్రమే ఈ వాస్తవాలను మిళితం చేయగలరని గ్రహించి, ఈ క్రింది ఫలితాన్ని ఇస్తారు:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

కాబట్టి, మా అసలు సమీకరణం ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

కానీ ఇది ఇప్పటికే పూర్తిగా పరిష్కరించదగినది! సమీకరణంలో ఎడమ వైపున ఘాతాంక ఫంక్షన్ ఉంది, సమీకరణంలో కుడి వైపున ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ ఉంది, అవి తప్ప మరెక్కడా లేదు. అందువల్ల, మేము స్థావరాలను "విస్మరించి" మూర్ఖంగా సూచికలను సమం చేయవచ్చు:

ఏ విద్యార్థి అయినా రెండు పంక్తులలో పరిష్కరించగల సరళమైన సరళ సమీకరణాన్ని మేము పొందాము. సరే, నాలుగు లైన్లలో:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\ end(align)\]

చివరి నాలుగు పంక్తులలో ఏమి జరిగిందో మీకు అర్థం కాకపోతే, "సరళ సమీకరణాలు" అనే అంశానికి తిరిగి వెళ్లి దాన్ని పునరావృతం చేయండి. ఎందుకంటే ఈ అంశంపై స్పష్టమైన అవగాహన లేకుండా, మీరు ఘాతాంక సమీకరణాలను తీసుకోవడం చాలా తొందరగా ఉంది.

\[((9)^(x))=-3\]

కాబట్టి మనం దీన్ని ఎలా పరిష్కరించగలం? మొదటి ఆలోచన: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, కాబట్టి అసలు సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[((\ఎడమ(((3)^(2))) \కుడి))^(x))=-3\]

శక్తిని శక్తికి పెంచేటప్పుడు, ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయని మనం గుర్తుంచుకుంటాము:

\[((\ఎడమ(((3)^(2))) \కుడి))^(x))=(3)^(2x))\రైట్‌టారో ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\ end(align)\]

మరియు అటువంటి నిర్ణయం కోసం మేము నిజాయితీగా అర్హులైన ఇద్దరిని అందుకుంటాము. ఎందుకంటే, పోకీమాన్ యొక్క సమానత్వంతో, మేము ఈ మూడింటికి ముందు ఉన్న మైనస్ గుర్తును ఈ మూడింటికి పంపాము. కానీ మీరు అలా చేయలేరు. మరియు అందుకే. మూడు వేర్వేరు శక్తులను పరిశీలించండి:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& ((( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\ end(matrix)\]

ఈ టాబ్లెట్‌ను కంపైల్ చేస్తున్నప్పుడు, నేను దేనినీ వక్రీకరించలేదు: నేను సానుకూల శక్తులను, మరియు ప్రతికూల వాటిని మరియు పాక్షిక వాటిని కూడా చూశాను... సరే, ఇక్కడ కనీసం ఒక ప్రతికూల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది? అతను వెళ్లిపోయాడు! మరియు అది ఉండకూడదు, ఎందుకంటే ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ $y=((a)^(x))$, ముందుగా, ఎల్లప్పుడూ సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది (ఒకటి ఎంత గుణించినా లేదా రెండుతో భాగించినా, అది ఇప్పటికీ a సానుకూల సంఖ్య), మరియు రెండవది, అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారం - $a$ సంఖ్య - నిర్వచనం ప్రకారం సానుకూల సంఖ్య!

సరే, $(9)^(x))=-3$ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? కానీ మార్గం లేదు: మూలాలు లేవు. మరియు ఈ కోణంలో, ఘాతాంక సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలకు చాలా పోలి ఉంటాయి - మూలాలు కూడా ఉండకపోవచ్చు. కానీ వర్గ సమీకరణాలలో మూలాల సంఖ్య వివక్షత (పాజిటివ్ వివక్ష - 2 మూలాలు, ప్రతికూల - మూలాలు లేవు) ద్వారా నిర్ణయించబడితే, ఘాతాంక సమీకరణాలలో ప్రతిదీ సమాన గుర్తుకు కుడి వైపున ఉన్నదానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఈ విధంగా, మనం కీలక ముగింపును రూపొందిద్దాం: $((a)^(x))=b$ ఫారమ్ యొక్క సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణం $b>0$ అయితే మాత్రమే రూట్‌ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ సాధారణ వాస్తవాన్ని తెలుసుకోవడం, మీకు ప్రతిపాదించిన సమీకరణానికి మూలాలు ఉన్నాయా లేదా అని మీరు సులభంగా నిర్ణయించవచ్చు. ఆ. దాన్ని పరిష్కరించడం విలువైనదేనా లేదా మూలాలు లేవని వెంటనే వ్రాయండి.

మనం మరింత క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరించవలసి వచ్చినప్పుడు ఈ జ్ఞానం చాలాసార్లు మనకు సహాయం చేస్తుంది. ప్రస్తుతానికి, తగినంత సాహిత్యం - ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక అల్గారిథమ్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి ఇది సమయం.

ఘాతాంక సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి

కాబట్టి, సమస్యను సూత్రీకరించండి. ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అవసరం:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

మేము ఇంతకు ముందు ఉపయోగించిన “అమాయక” అల్గోరిథం ప్రకారం, $b$ సంఖ్యను $a$ సంఖ్య యొక్క శక్తిగా సూచించడం అవసరం:

అదనంగా, $x$ వేరియబుల్‌కు బదులుగా ఏదైనా వ్యక్తీకరణ ఉంటే, మేము ఇప్పటికే పరిష్కరించగల కొత్త సమీకరణాన్ని పొందుతాము. ఉదాహరణకి:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\రైట్‌టారో ((5)^(2x))=(5)^(3))\రైట్‌టారో 2x=3\రైట్‌టారో x=\frac(3)( 2) \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మరియు విచిత్రమేమిటంటే, ఈ పథకం దాదాపు 90% కేసులలో పనిచేస్తుంది. మరి మిగిలిన 10% సంగతేంటి? మిగిలిన 10% రూపం యొక్క కొద్దిగా "స్కిజోఫ్రెనిక్" ఘాతాంక సమీకరణాలు:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

సరే, 3ని పొందడానికి మీరు 2ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? ప్రధమ? కానీ లేదు: $((2)^(1))=2$ సరిపోదు. రెండవ? ఏదీ లేదు: $((2)^(2))=4$ చాలా ఎక్కువ. అప్పుడు ఏది?

పరిజ్ఞానం ఉన్న విద్యార్థులు బహుశా ఇప్పటికే ఊహించారు: అటువంటి సందర్భాలలో, "అందంగా" పరిష్కరించడం సాధ్యం కానప్పుడు, "భారీ ఫిరంగి" - లాగరిథమ్స్ - అమలులోకి వస్తుంది. లాగరిథమ్‌లను ఉపయోగించి, ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్య ఏదైనా ఇతర ధనాత్మక సంఖ్య (ఒకటి మినహా) యొక్క శక్తిగా సూచించబడుతుందని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

ఈ ఫార్ములా గుర్తుందా? నేను సంవర్గమానాల గురించి నా విద్యార్థులకు చెప్పినప్పుడు, నేను ఎల్లప్పుడూ హెచ్చరిస్తాను: ఈ ఫార్ములా (ఇది ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు లేదా, మీరు ఇష్టపడితే, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం) మిమ్మల్ని చాలా కాలం పాటు వెంటాడుతుంది మరియు చాలా వరకు “పాప్ అప్” చేస్తుంది ఊహించని ప్రదేశాలు. బాగా, ఆమె బయటపడింది. మన సమీకరణం మరియు ఈ సూత్రాన్ని చూద్దాం:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\ end(align) \]

కుడివైపున ఉన్న $a=3$ అనేది మన అసలు సంఖ్య అని మరియు $b=2$ అనేది ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కి ఆధారం అని మనం భావించినట్లయితే, మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మాకు కొంచెం విచిత్రమైన సమాధానం వచ్చింది: $x=((\log )_(2))3$. కొన్ని ఇతర పనిలో, చాలా మందికి అలాంటి సమాధానంతో సందేహాలు ఉంటాయి మరియు వాటి పరిష్కారాన్ని ఒకటికి రెండుసార్లు తనిఖీ చేయడం ప్రారంభిస్తారు: ఎక్కడైనా లోపం ఏర్పడినట్లయితే? నేను మిమ్మల్ని సంతోషపెట్టడానికి తొందరపడుతున్నాను: ఇక్కడ ఎటువంటి లోపం లేదు మరియు ఘాతాంక సమీకరణాల మూలాలలో లాగరిథమ్‌లు పూర్తిగా విలక్షణమైన పరిస్థితి. కాబట్టి అలవాటు చేసుకోండి. :)

ఇప్పుడు మిగిలిన రెండు సమీకరణాలను సారూప్యతతో పరిష్కరిద్దాం:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\రైట్‌టారో ((4)^(2x))=((4)^(((\లాగ్ )_(4))11))\రైట్‌టారో 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అంతే! మార్గం ద్వారా, చివరి సమాధానం భిన్నంగా వ్రాయవచ్చు:

మేము సంవర్గమానం యొక్క వాదనకు గుణకాన్ని పరిచయం చేసాము. కానీ ఈ కారకాన్ని బేస్‌కు జోడించకుండా ఎవరూ మమ్మల్ని ఆపడం లేదు:

అంతేకాకుండా, మూడు ఎంపికలు సరైనవి - అవి ఒకే సంఖ్యను వ్రాయడానికి వివిధ రూపాలు. ఈ సొల్యూషన్‌లో ఏది ఎంచుకోవాలి మరియు వ్రాయాలి అనేది మీరే నిర్ణయించుకోవాలి.

ఈ విధంగా, $((a)^(x))=b$ ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకున్నాము, ఇక్కడ $a$ మరియు $b$ సంఖ్యలు ఖచ్చితంగా సానుకూలంగా ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, మన ప్రపంచం యొక్క కఠినమైన వాస్తవికత ఏమిటంటే, అలాంటి సాధారణ పనులు చాలా చాలా అరుదుగా ఎదురవుతాయి. చాలా తరచుగా మీరు ఇలాంటి వాటిని చూస్తారు:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కాబట్టి మనం దీన్ని ఎలా పరిష్కరించగలం? ఇది అస్సలు పరిష్కరించబడుతుందా? మరియు అలా అయితే, ఎలా?

ఆందోళన పడకండి. ఈ సమీకరణాలన్నీ త్వరగా మరియు సులభంగా మనం ఇప్పటికే పరిగణించిన సాధారణ సూత్రాలకు తగ్గిస్తాయి. మీరు బీజగణితం కోర్సు నుండి కొన్ని ఉపాయాలను గుర్తుంచుకోవాలి. మరియు వాస్తవానికి, డిగ్రీలతో పనిచేయడానికి నియమాలు లేవు. వీటన్నింటి గురించి ఇప్పుడు చెబుతాను. :)

ఘాతాంక సమీకరణాలను మార్చడం

గుర్తుంచుకోవలసిన మొదటి విషయం: ఏదైనా ఘాతాంక సమీకరణం, అది ఎంత క్లిష్టంగా ఉన్నప్పటికీ, ఒక మార్గం లేదా మరొకటి సరళమైన సమీకరణాలకు తగ్గించబడాలి - మనం ఇప్పటికే పరిగణించినవి మరియు ఎలా పరిష్కరించాలో మనకు తెలుసు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఏదైనా ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే పథకం ఇలా కనిపిస్తుంది:

1. అసలు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. ఉదాహరణకు: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. కొన్ని విచిత్రమైన పని చేయండి. లేదా "ఒక సమీకరణాన్ని మార్చండి" అని పిలువబడే కొన్ని చెత్త;
3. అవుట్‌పుట్ వద్ద, ఫారమ్ $((4)^(x))=4$ లేదా అలాంటిదేదైనా సరళమైన వ్యక్తీకరణలను పొందండి. అంతేకాకుండా, ఒక ప్రారంభ సమీకరణం ఒకేసారి అనేక వ్యక్తీకరణలను ఇవ్వగలదు.

మొదటి పాయింట్‌తో ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది - నా పిల్లి కూడా కాగితంపై సమీకరణాన్ని వ్రాయగలదు. మూడవ అంశం కూడా ఎక్కువ లేదా తక్కువ స్పష్టంగా ఉన్నట్లు అనిపిస్తుంది - పైన పేర్కొన్న సమీకరణాల సమూహాన్ని మేము ఇప్పటికే పరిష్కరించాము.

కానీ రెండవ పాయింట్ గురించి ఏమిటి? ఎలాంటి పరివర్తనలు? దేనిని దేనిలోకి మార్చండి? మరి ఎలా?

సరే, తెలుసుకుందాం. అన్నింటిలో మొదటిది, నేను ఈ క్రింది వాటిని గమనించాలనుకుంటున్నాను. అన్ని ఘాతాంక సమీకరణాలు రెండు రకాలుగా విభజించబడ్డాయి:

1. సమీకరణం ఒకే ఆధారంతో ఘాతాంక విధులతో కూడి ఉంటుంది. ఉదాహరణ: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. ఫార్ములా వివిధ బేస్‌లతో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణలు: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ మరియు $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09.

మొదటి రకం సమీకరణాలతో ప్రారంభిద్దాం - అవి పరిష్కరించడానికి సులభమైనవి. మరియు వాటిని పరిష్కరించడంలో, స్థిరమైన వ్యక్తీకరణలను హైలైట్ చేయడం వంటి సాంకేతికత ద్వారా మేము సహాయం చేస్తాము.

స్థిరమైన వ్యక్తీకరణను వేరుచేయడం

ఈ సమీకరణాన్ని మళ్ళీ చూద్దాం:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

మనం ఏమి చూస్తాము? నలుగురిని వేర్వేరు స్థాయిలకు పెంచారు. కానీ ఈ శక్తులన్నీ ఇతర సంఖ్యలతో కూడిన $x$ వేరియబుల్ యొక్క సాధారణ మొత్తాలు. అందువల్ల, డిగ్రీలతో పనిచేయడానికి నియమాలను గుర్తుంచుకోవడం అవసరం:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac((((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సరళంగా చెప్పాలంటే, కూడికను శక్తుల ఉత్పత్తిగా మార్చవచ్చు మరియు వ్యవకలనాన్ని సులభంగా విభజనగా మార్చవచ్చు. ఈ సూత్రాలను మన సమీకరణం నుండి డిగ్రీలకు వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఈ వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని అసలు సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాసి, ఆపై ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనలను సేకరిద్దాం:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -పదకొండు; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మొదటి నాలుగు పదాలు మూలకం $((4)^(x))$ని కలిగి ఉంటాయి - దానిని బ్రాకెట్ నుండి తీసుకుందాం:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇది సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా $-\frac(11)(4)$ భిన్నం ద్వారా విభజించడానికి మిగిలి ఉంది, అనగా. తప్పనిసరిగా విలోమ భిన్నంతో గుణించాలి - $-\frac(4)(11)$. మాకు దొరికింది:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అంతే! మేము అసలు సమీకరణాన్ని దాని సరళమైన రూపానికి తగ్గించాము మరియు తుది సమాధానాన్ని పొందాము.

అదే సమయంలో, పరిష్కరించే ప్రక్రియలో మేము కనుగొన్నాము (మరియు దానిని బ్రాకెట్ నుండి కూడా తీసుకున్నాము) $((4)^(x)) $ - ఇది స్థిరమైన వ్యక్తీకరణ. దీనిని కొత్త వేరియబుల్‌గా పేర్కొనవచ్చు లేదా మీరు దానిని జాగ్రత్తగా వ్యక్తీకరించి సమాధానాన్ని పొందవచ్చు. ఏదైనా సందర్భంలో, పరిష్కారం యొక్క ప్రధాన సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

అసలు సమీకరణంలో అన్ని ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ల నుండి సులభంగా వేరు చేయగల వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉన్న స్థిరమైన వ్యక్తీకరణను కనుగొనండి.

శుభవార్త ఏమిటంటే, దాదాపు ప్రతి ఘాతాంక సమీకరణం అటువంటి స్థిరమైన వ్యక్తీకరణను వేరుచేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

కానీ చెడు వార్త ఏమిటంటే, ఈ వ్యక్తీకరణలు చాలా గమ్మత్తైనవి మరియు గుర్తించడం చాలా కష్టం. కాబట్టి మరొక సమస్యను చూద్దాం:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

బహుశా ఇప్పుడు ఎవరికైనా ఒక ప్రశ్న ఉండవచ్చు: “పాషా, మీరు రాళ్లతో కొట్టబడ్డారా? ఇక్కడ వేర్వేరు స్థావరాలు ఉన్నాయి - 5 మరియు 0.2. కానీ శక్తిని బేస్ 0.2కి మార్చడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ స్థితికి తగ్గించడం ద్వారా దాన్ని వదిలించుకుందాం:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(2)(10) ) \కుడి))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, హారంలో ఉన్నప్పటికీ, సంఖ్య 5 ఇప్పటికీ కనిపించింది. అదే సమయంలో, సూచిక ప్రతికూలంగా తిరిగి వ్రాయబడింది. ఇప్పుడు డిగ్రీలతో పనిచేయడానికి అత్యంత ముఖ్యమైన నియమాలలో ఒకటి గుర్తుంచుకోండి:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

ఇక్కడ, వాస్తవానికి, నేను కొద్దిగా అబద్ధం చెప్పాను. ఎందుకంటే పూర్తి అవగాహన కోసం, ప్రతికూల సూచికలను వదిలించుకోవడానికి సూత్రాన్ని ఇలా వ్రాయాలి:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=(\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\రైట్‌టారో ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(5)(1) \ కుడి))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

మరోవైపు, కేవలం భిన్నాలతో పనిచేయకుండా ఏదీ మమ్మల్ని నిరోధించలేదు:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(((5)^(-1)) \ కుడి))^(-\left(x+1 \right))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

కానీ ఈ సందర్భంలో, మీరు మరొక శక్తికి శక్తిని పెంచగలగాలి (నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: ఈ సందర్భంలో, సూచికలు కలిసి జోడించబడతాయి). కానీ నేను భిన్నాలను "రివర్స్" చేయవలసిన అవసరం లేదు - బహుశా ఇది కొంతమందికి సులభంగా ఉంటుంది. :)

ఏదైనా సందర్భంలో, అసలు ఘాతాంక సమీకరణం ఇలా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కాబట్టి అసలు సమీకరణాన్ని గతంలో పరిగణించిన దానికంటే మరింత సరళంగా పరిష్కరించవచ్చని తేలింది: ఇక్కడ మీరు స్థిరమైన వ్యక్తీకరణను కూడా ఎంచుకోవలసిన అవసరం లేదు - ప్రతిదీ స్వయంగా తగ్గించబడింది. ఇది $1=((5)^(0))$ని గుర్తుంచుకోవడానికి మాత్రమే మిగిలి ఉంది, దీని నుండి మనం పొందుతాము:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అదే పరిష్కారం! మాకు చివరి సమాధానం వచ్చింది: $x=-2$. అదే సమయంలో, మా కోసం అన్ని గణనలను చాలా సరళీకృతం చేసిన ఒక సాంకేతికతను నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను:

ఘాతాంక సమీకరణాలలో, దశాంశ భిన్నాలను తొలగించి వాటిని సాధారణ వాటికి మార్చాలని నిర్ధారించుకోండి. ఇది డిగ్రీల యొక్క అదే స్థావరాలను చూడటానికి మరియు పరిష్కారాన్ని చాలా సులభతరం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఇప్పుడు మనం మరింత సంక్లిష్టమైన సమీకరణాలకు వెళ్దాం, దీనిలో శక్తులను ఉపయోగించి ఒకదానికొకటి తగ్గించలేని విభిన్న స్థావరాలు ఉన్నాయి.

డిగ్రీల ఆస్తిని ఉపయోగించడం

మనకు ప్రత్యేకంగా రెండు కఠినమైన సమీకరణాలు ఉన్నాయని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇక్కడ ప్రధాన ఇబ్బంది ఏమిటంటే ఏమి ఇవ్వాలో మరియు ఏ ప్రాతిపదికన ఇవ్వాలో స్పష్టంగా లేదు. స్థిరమైన వ్యక్తీకరణలు ఎక్కడ ఉన్నాయి? అదే మైదానాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి? ఇవేవీ లేవు.

కానీ వేరే మార్గంలో వెళ్ళడానికి ప్రయత్నిద్దాం. రెడీమేడ్ సారూప్య స్థావరాలు లేకుంటే, మీరు ఇప్పటికే ఉన్న బేస్‌లను కారకం చేయడం ద్వారా వాటిని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించవచ్చు.

మొదటి సమీకరణంతో ప్రారంభిద్దాం:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కానీ మీరు దీనికి విరుద్ధంగా చేయవచ్చు - 7 మరియు 3 సంఖ్యల నుండి 21 సంఖ్యను చేయండి. ఇది ఎడమ వైపున చేయడం చాలా సులభం, ఎందుకంటే రెండు డిగ్రీల సూచికలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అంతే! మీరు ఉత్పత్తి వెలుపల ఘాతాంకాన్ని తీసుకున్నారు మరియు వెంటనే రెండు పంక్తులలో పరిష్కరించగల అందమైన సమీకరణాన్ని పొందారు.

ఇప్పుడు రెండవ సమీకరణాన్ని చూద్దాం. ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\ఎడమ(\frac(27)(10) \కుడి))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ఈ సందర్భంలో, భిన్నాలు తగ్గించలేనివిగా మారాయి, కానీ ఏదైనా తగ్గించగలిగితే, దాన్ని తప్పకుండా తగ్గించండి. తరచుగా, మీరు ఇప్పటికే పని చేయగల ఆసక్తికరమైన కారణాలు కనిపిస్తాయి.

దురదృష్టవశాత్తు, మాకు ప్రత్యేకంగా ఏమీ కనిపించలేదు. కానీ ఉత్పత్తిలో ఎడమ వైపున ఉన్న ఘాతాంకాలు విరుద్ధంగా ఉన్నాయని మనం చూస్తాము:

నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: సూచికలోని మైనస్ గుర్తును వదిలించుకోవడానికి, మీరు భిన్నాన్ని "ఫ్లిప్" చేయాలి. సరే, అసలు సమీకరణాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

రెండవ పంక్తిలో, మేము $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) నియమం ప్రకారం బ్రాకెట్ నుండి ఉత్పత్తి నుండి మొత్తం ఘాతాంకాన్ని తీసుకున్నాము \cdot b \right))^ (x))$, మరియు చివరిదానిలో వారు కేవలం 100 సంఖ్యను భిన్నంతో గుణించారు.

ఇప్పుడు ఎడమవైపు (బేస్ వద్ద) మరియు కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్యలు కొంతవరకు సమానంగా ఉన్నాయని గమనించండి. ఎలా? అవును, ఇది స్పష్టంగా ఉంది: అవి ఒకే సంఖ్య యొక్క శక్తులు! మాకు ఉన్నాయి:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=(\left(\frac(\frac( 10)(3) \కుడి))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=(\ఎడమ(\frac(3)(10) \కుడి))^(2)). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కాబట్టి, మా సమీకరణం ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

\[(\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\కుడి))^(2))\]

\[(\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \కుడి))^(3\ఎడమ(x-1 \కుడి)))=(\ఎడమ(\frac(10)(3) \కుడి))^(3x-3))\]

ఈ సందర్భంలో, కుడి వైపున మీరు అదే బేస్‌తో డిగ్రీని కూడా పొందవచ్చు, దీని కోసం భిన్నాన్ని “తిరగడానికి” సరిపోతుంది:

\[(\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

మా సమీకరణం చివరకు రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం)& ((\ఎడమ(\frac(10)(3) \కుడి))^(3x-3))=(\ఎడమ(\frac(10)(3) \కుడి)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అదే పరిష్కారం. అతని ప్రధాన ఆలోచన ఏమిటంటే, వేర్వేరు స్థావరాలతో కూడా మేము ఈ స్థావరాలను ఒకే విషయానికి తగ్గించడానికి హుక్ లేదా క్రూక్ ద్వారా ప్రయత్నిస్తాము. శక్తులతో పనిచేయడానికి సమీకరణాలు మరియు నియమాల యొక్క ప్రాథమిక పరివర్తనలు దీనికి మాకు సహాయపడతాయి.

కానీ ఏ నియమాలు మరియు ఎప్పుడు ఉపయోగించాలి? ఒక సమీకరణంలో మీరు రెండు వైపులా ఏదో ఒకదానితో విభజించాలని మరియు మరొకదానిలో ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారాన్ని కారకం చేయాలని మీరు ఎలా అర్థం చేసుకుంటారు?

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం అనుభవంతో వస్తుంది. మొదట సాధారణ సమీకరణాలను ప్రయత్నించండి, ఆపై క్రమంగా సమస్యలను క్లిష్టతరం చేయండి - మరియు అతి త్వరలో మీ నైపుణ్యాలు అదే ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష లేదా ఏదైనా స్వతంత్ర/పరీక్ష పని నుండి ఏదైనా ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సరిపోతాయి.

మరియు ఈ కష్టమైన పనిలో మీకు సహాయం చేయడానికి, దాన్ని మీరే పరిష్కరించుకోవడానికి నా వెబ్‌సైట్ నుండి సమీకరణాల సమితిని డౌన్‌లోడ్ చేసుకోవాలని నేను సూచిస్తున్నాను. అన్ని సమీకరణాలకు సమాధానాలు ఉన్నాయి, కాబట్టి మీరు ఎల్లప్పుడూ మిమ్మల్ని మీరు పరీక్షించుకోవచ్చు.

మొదటి స్థాయి

ఘాతాంక సమీకరణాలు. ది అల్టిమేట్ గైడ్ (2019)

హలో! ప్రాథమికంగా ఉండే సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో ఈ రోజు మేము మీతో చర్చిస్తాము (మరియు ఈ కథనాన్ని చదివిన తర్వాత, దాదాపు అన్నీ మీ కోసం అలానే ఉంటాయని నేను ఆశిస్తున్నాను), మరియు సాధారణంగా "ఫిల్లింగ్ కోసం" ఇవ్వబడినవి. స్పష్టంగా చివరకు నిద్రపోవడం. కానీ ఈ రకమైన సమీకరణాలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు మీరు ఇప్పుడు ఇబ్బందుల్లో పడకుండా ఉండటానికి నేను సాధ్యమైన ప్రతిదాన్ని చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాను. నేను ఇకపై బుష్ చుట్టూ కొట్టను, కానీ నేను మీకు వెంటనే ఒక చిన్న రహస్యాన్ని చెబుతాను: ఈ రోజు మనం చదువుతాము ఘాతాంక సమీకరణాలు.

వాటిని పరిష్కరించడానికి మార్గాలను విశ్లేషించడానికి ముందు, ఈ అంశంపై దాడి చేయడానికి ముందు మీరు పునరావృతం చేయవలసిన అనేక ప్రశ్నలను (చాలా చిన్నది) నేను వెంటనే మీ కోసం వివరిస్తాను. కాబట్టి, ఉత్తమ ఫలితాల కోసం, దయచేసి పునరావృతం:

1. లక్షణాలు మరియు
2. పరిష్కారం మరియు సమీకరణాలు

పునరావృతమా? అద్భుతం! అప్పుడు సమీకరణం యొక్క మూలం సంఖ్య అని గమనించడం మీకు కష్టం కాదు. నేను ఎలా చేశానో మీకు సరిగ్గా అర్థమైందా? ఇది నిజమా? అప్పుడు కొనసాగిద్దాం. ఇప్పుడు నా ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వండి, మూడవ శక్తికి సమానం ఏమిటి? మీరు చెప్పింది పూర్తిగా నిజం: . ఎనిమిది అంటే ఇద్దరి శక్తి ఏమిటి? అది నిజం - మూడవది! ఎందుకంటే. సరే, ఇప్పుడు కింది సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం: నేను ఒకసారి సంఖ్యను స్వయంగా గుణించి ఫలితాన్ని పొందుతాను. ప్రశ్న ఏమిటంటే, నేను స్వయంగా ఎన్నిసార్లు గుణించాను? మీరు దీన్ని నేరుగా తనిఖీ చేయవచ్చు:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \ end( సమలేఖనం)

అప్పుడు నేనే రెట్లు గుణించాను అని మీరు ముగించవచ్చు. మీరు దీన్ని ఇంకా ఎలా తనిఖీ చేయవచ్చు? ఇక్కడ ఎలా ఉంది: నేరుగా డిగ్రీ నిర్వచనం ప్రకారం: . కానీ, మీరు తప్పక ఒప్పుకోవాలి, పొందడానికి రెండింటిని ఎన్నిసార్లు గుణించాలి అని నేను అడిగితే, చెప్పండి, మీరు నాకు చెబుతారు: నేను ముఖం నీలిరంగులో ఉండే వరకు నన్ను నేను మోసం చేసుకోను మరియు దానికదే గుణించను. మరియు అతను ఖచ్చితంగా సరైనవాడు. ఎందుకంటే మీరు ఎలా చేయగలరు అన్ని దశలను క్లుప్తంగా వ్రాయండి(మరియు సంక్షిప్తత ప్రతిభకు సోదరి)

ఎక్కడ - ఇవి ఒకటే "సమయాలు", మీరు స్వయంగా గుణించినప్పుడు.

నా సమస్య ఈ రూపంలో వ్రాయబడుతుందని మీకు తెలుసు (మరియు మీకు తెలియకపోతే, అత్యవసరంగా, చాలా అత్యవసరంగా డిగ్రీలను పునరావృతం చేయండి!) అని నేను అనుకుంటున్నాను:

మీరు దీన్ని సహేతుకంగా ఎలా ముగించగలరు:

కాబట్టి, గమనించకుండా, నేను సరళమైనదాన్ని వ్రాసాను ఘాతాంక సమీకరణం:

మరియు నేను అతనిని కూడా కనుగొన్నాను రూట్. అవన్నీ పూర్తిగా పనికిమాలినవి అని మీరు అనుకోలేదా? నేను సరిగ్గా అదే అనుకుంటున్నాను. మీ కోసం ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ:

అయితే ఏం చేయాలి? అన్ని తరువాత, ఇది ఒక (సహేతుకమైన) సంఖ్య యొక్క శక్తిగా వ్రాయబడదు. నిరాశ చెందకండి మరియు ఈ రెండు సంఖ్యలు ఒకే సంఖ్య యొక్క శక్తి ద్వారా సంపూర్ణంగా వ్యక్తీకరించబడతాయని గమనించండి. ఏది? కుడి: . అప్పుడు అసలు సమీకరణం రూపంలోకి మార్చబడుతుంది:

ఎక్కడ, మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, . ఇక ఆలస్యం చేయకుండా రాసుకుందాం నిర్వచనం:

మా విషయంలో: .

ఈ సమీకరణాలు వాటిని రూపంలోకి తగ్గించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి:

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా అనుసరించబడింది

వాస్తవానికి, మునుపటి ఉదాహరణలో మేము అలా చేసాము: మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందాము: మరియు మేము సరళమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాము.

ఇది సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు, సరియైనదా? ముందుగా సరళమైన వాటిపై సాధన చేద్దాం ఉదాహరణలు:

సమీకరణం యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపులా ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తులుగా సూచించబడాలని మనం మళ్ళీ చూస్తాము. నిజమే, ఎడమ వైపున ఇది ఇప్పటికే జరిగింది, కానీ కుడి వైపున ఒక సంఖ్య ఉంది. కానీ అది సరే, ఎందుకంటే నా సమీకరణం అద్భుతంగా ఇలా మారుతుంది:

నేను ఇక్కడ ఏమి ఉపయోగించాలి? ఏ నియమం? "డిగ్రీల లోపల డిగ్రీలు" నియమంఇది చదువుతుంది:

ఒకవేళ:

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి ముందు, కింది పట్టికను పూరించండి:

చిన్నది, చిన్నది విలువ అని మనం గమనించడం సులభం, అయితే, ఈ విలువలన్నీ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి. మరియు ఇది ఎల్లప్పుడూ అలానే ఉంటుంది!!! ఏదైనా సూచికతో ఏ ప్రాతిపదికన అయినా అదే ఆస్తి వర్తిస్తుంది!! (ఏదైనా మరియు). అప్పుడు సమీకరణం గురించి మనం ఏమి తేల్చవచ్చు? ఇది ఏమిటో ఇక్కడ ఉంది: ఇది మూలాలు లేవు! ఏ సమీకరణానికి మూలాలు లేనట్లే. ఇప్పుడు సాధన చేద్దాం మరియు సరళమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం:

తనిఖీ చేద్దాం:

1. ఇక్కడ డిగ్రీల లక్షణాల గురించి జ్ఞానం తప్ప మరేమీ అవసరం లేదు (ఇది, నేను మిమ్మల్ని పునరావృతం చేయమని అడిగాను!) నియమం ప్రకారం, ప్రతిదీ అతి చిన్న ఆధారానికి దారి తీస్తుంది: , . అప్పుడు అసలు సమీకరణం క్రింది వాటికి సమానంగా ఉంటుంది: నాకు కావలసింది శక్తుల లక్షణాలను ఉపయోగించడం: ఒకే స్థావరాలతో సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు, శక్తులు జోడించబడతాయి మరియు విభజించేటప్పుడు, అవి తీసివేయబడతాయి.అప్పుడు నేను పొందుతాను: సరే, ఇప్పుడు స్పష్టమైన మనస్సాక్షితో నేను ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఈక్వేషన్ నుండి లీనియర్‌కి వెళతాను: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\ ముగింపు (సమలేఖనం)

2. రెండవ ఉదాహరణలో, మనం మరింత జాగ్రత్తగా ఉండాలి: ఇబ్బంది ఏమిటంటే ఎడమ వైపున మనం అదే సంఖ్యను శక్తిగా సూచించలేము. ఈ సందర్భంలో, ఇది కొన్నిసార్లు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది విభిన్న స్థావరాలు కలిగిన శక్తుల ఉత్పత్తిగా సంఖ్యలను సూచిస్తాయి, కానీ అదే ఘాతాంకాలు:

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ఇలా ఉంటుంది: ఇది మనకు ఏమి ఇచ్చింది? ఇక్కడ ఏమి ఉంది: వేర్వేరు స్థావరాలు ఉన్న సంఖ్యలు కానీ ఒకే ఘాతాంకాలను గుణించవచ్చు.ఈ సందర్భంలో, స్థావరాలు గుణించబడతాయి, కానీ సూచిక మారదు:

నా పరిస్థితిలో ఇది ఇస్తుంది:

\ప్రారంభం(సమలేఖనం)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot ((((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\ ముగింపు (సమలేఖనం)

చెడ్డది కాదు, సరియైనదా?

3. అనవసరంగా, నేను సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు రెండు పదాలను కలిగి ఉన్నాను మరియు మరొక వైపు ఏదీ లేనప్పుడు (కొన్నిసార్లు, వాస్తవానికి, ఇది సమర్థించబడుతోంది, కానీ ఇప్పుడు అలాంటి సందర్భం కాదు) నేను ఇష్టపడను. నేను మైనస్ పదాన్ని కుడివైపుకి తరలిస్తాను:

ఇప్పుడు, మునుపటిలాగా, నేను మూడు అధికారాల పరంగా ప్రతిదీ వ్రాస్తాను:

నేను ఎడమవైపు డిగ్రీలను జోడించి, సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాను

మీరు దాని మూలాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

4. ఉదాహరణ మూడు వలె, మైనస్ పదానికి కుడి వైపున స్థానం ఉంది!

నా ఎడమవైపు, దాదాపు ప్రతిదీ బాగానే ఉంది, దేనికి తప్ప? అవును, ఇద్దరి “రాంగ్ డిగ్రీ” నన్ను ఇబ్బంది పెడుతోంది. కానీ నేను దీన్ని వ్రాయడం ద్వారా సులభంగా పరిష్కరించగలను: . యురేకా - ఎడమవైపు అన్ని స్థావరాలు భిన్నంగా ఉంటాయి, కానీ అన్ని డిగ్రీలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి! వెంటనే గుణిద్దాం!

ఇక్కడ మళ్ళీ, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: (నేను చివరి సమానత్వాన్ని అద్భుతంగా ఎలా పొందానో మీకు అర్థం కాకపోతే, ఒక నిమిషం విరామం తీసుకోండి, శ్వాస తీసుకోండి మరియు డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను మళ్ళీ చాలా జాగ్రత్తగా చదవండి. మీరు దాటవేయవచ్చు అని ఎవరు చెప్పారు నెగటివ్ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ? సరే, ఇక్కడ నేను ఎవరికీ లేనట్లే). ఇప్పుడు నేను పొందుతాను:

\ప్రారంభం(సమలేఖనం)
& ((2)^(4\ఎడమ((x) -9 \కుడి)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\ ముగింపు (సమలేఖనం)

మీరు సాధన చేయడానికి ఇక్కడ కొన్ని సమస్యలు ఉన్నాయి, వాటికి నేను సమాధానాలు మాత్రమే ఇస్తాను (కానీ "మిశ్రమ" రూపంలో). వాటిని పరిష్కరించండి, వాటిని తనిఖీ చేయండి మరియు మీరు మరియు నేను మా పరిశోధనను కొనసాగిస్తాము!

సిద్ధంగా ఉన్నారా? సమాధానాలుఇలాంటివి:

1. ఏదైనా సంఖ్య

సరే, సరే, నేను తమాషా చేశాను! ఇక్కడ కొన్ని పరిష్కారాల స్కెచ్‌లు ఉన్నాయి (కొన్ని చాలా క్లుప్తంగా!)

ఎడమవైపు ఉన్న ఒక భిన్నం మరొకటి "విలోమంగా" ఉండటం యాదృచ్చికం కాదని మీరు అనుకోలేదా? దీన్ని సద్వినియోగం చేసుకోకపోవడం పాపం:

ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ నియమం చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, దీన్ని బాగా గుర్తుంచుకోండి!

అప్పుడు అసలు సమీకరణం ఇలా అవుతుంది:

ఈ వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా, మీరు ఈ క్రింది మూలాలను పొందుతారు:

2. మరొక పరిష్కారం: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఎడమవైపు (లేదా కుడివైపు) వ్యక్తీకరణ ద్వారా విభజించడం. కుడి వైపున ఉన్న వాటితో భాగించండి, అప్పుడు నేను పొందుతాను:

ఎక్కడ (ఎందుకు?!)

3. నేను కూడా పునరావృతం చేయకూడదనుకుంటున్నాను, ప్రతిదీ ఇప్పటికే చాలా "నమలింది".

4. వర్గ సమీకరణానికి సమానం, మూలాలు

5. మీరు మొదటి సమస్యలో ఇచ్చిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి, అప్పుడు మీరు దాన్ని పొందుతారు:

సమీకరణం ఏదైనా ఒక చిన్న గుర్తింపుగా మారింది. అప్పుడు సమాధానం ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య.

సరే, ఇప్పుడు మీరు పరిష్కరించడం ప్రాక్టీస్ చేసారు సాధారణ ఘాతాంక సమీకరణాలు.ఇప్పుడు నేను మీకు కొన్ని జీవిత ఉదాహరణలను ఇవ్వాలనుకుంటున్నాను, అవి సూత్రప్రాయంగా ఎందుకు అవసరమో అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడతాయి. ఇక్కడ నేను రెండు ఉదాహరణలు ఇస్తాను. వాటిలో ఒకటి చాలా రోజువారీ, కానీ మరొకటి ఆచరణాత్మక ఆసక్తి కంటే శాస్త్రీయంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1 (వర్తక)మీకు రూబిళ్లు ఉండనివ్వండి, కానీ మీరు దానిని రూబిళ్లుగా మార్చాలనుకుంటున్నారు. వడ్డీ యొక్క నెలవారీ క్యాపిటలైజేషన్ (నెలవారీ అక్రూవల్)తో వార్షిక రేటుతో ఈ డబ్బును మీ నుండి తీసుకోమని బ్యాంక్ మీకు అందిస్తుంది. ప్రశ్న ఏమిటంటే, అవసరమైన తుది మొత్తాన్ని చేరుకోవడానికి మీరు ఎన్ని నెలలు డిపాజిట్ తెరవాలి? చాలా ప్రాపంచిక పని, కాదా? అయినప్పటికీ, దాని పరిష్కారం సంబంధిత ఘాతాంక సమీకరణం యొక్క నిర్మాణంతో ముడిపడి ఉంది: లెట్ - ప్రారంభ మొత్తం, - చివరి మొత్తం, - కాలానికి వడ్డీ రేటు, - కాలాల సంఖ్య. అప్పుడు:

మా విషయంలో (రేటు వార్షికంగా ఉంటే, అది నెలకు లెక్కించబడుతుంది). ఎందుకు విభజించబడింది? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం మీకు తెలియకపోతే, "" అంశాన్ని గుర్తుంచుకోండి! అప్పుడు మనం ఈ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఈ ఘాతాంక సమీకరణం ఇప్పటికే కాలిక్యులేటర్ సహాయంతో మాత్రమే పరిష్కరించబడుతుంది (దీని రూపాన్ని ఇది సూచిస్తుంది, మరియు దీనికి లాగరిథమ్‌ల పరిజ్ఞానం అవసరం, దీనితో మనం కొంచెం తరువాత పరిచయం చేస్తాము), అదే నేను చేస్తాను: ... అందువలన , మిలియన్ పొందడానికి, మేము ఒక నెల పాటు సహకారం అందించాలి (చాలా వేగంగా కాదు, సరియైనదా?).

ఉదాహరణ 2 (కాకుండా శాస్త్రీయమైనది).అతని నిర్దిష్ట “ఒంటరితనం” ఉన్నప్పటికీ, మీరు అతని పట్ల శ్రద్ధ వహించాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను: అతను క్రమం తప్పకుండా “యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లోకి జారిపోతాడు!! (సమస్య "నిజమైన" సంస్కరణ నుండి తీసుకోబడింది) రేడియోధార్మిక ఐసోటోప్ యొక్క క్షయం సమయంలో, దాని ద్రవ్యరాశి చట్టం ప్రకారం తగ్గుతుంది, ఇక్కడ (mg) ఐసోటోప్ యొక్క ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి, (నిమి.) నుండి గడిచిన సమయం ప్రారంభ క్షణం, (నిమి.) సగం జీవితం. ప్రారంభ క్షణంలో, ఐసోటోప్ యొక్క ద్రవ్యరాశి mg. దీని సగం జీవితం నిమి. ఎన్ని నిమిషాల తర్వాత ఐసోటోప్ ద్రవ్యరాశి mgకి సమానంగా ఉంటుంది? ఇది ఫర్వాలేదు: మేము మాకు ప్రతిపాదించిన ఫార్ములాలో మొత్తం డేటాను తీసుకొని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

ఎడమ వైపున మనం జీర్ణమయ్యే ఏదో పొందుతామని "ఆశతో" రెండు భాగాలను విభజిద్దాం:

సరే, మేము చాలా అదృష్టవంతులం! ఇది ఎడమ వైపున ఉంది, ఆపై సమానమైన సమీకరణానికి వెళ్దాం:

నిమి ఎక్కడ ఉంది.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఘాతాంక సమీకరణాలు ఆచరణలో చాలా నిజమైన అనువర్తనాలను కలిగి ఉంటాయి. ఇప్పుడు నేను ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరొక (సరళమైన) మార్గాన్ని మీకు చూపాలనుకుంటున్నాను, ఇది బ్రాకెట్‌ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసివేసి, ఆపై నిబంధనలను సమూహపరచడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. నా మాటలకు భయపడకండి, మీరు ఇప్పటికే 7వ తరగతిలో బహుపదాలు చదివేటప్పుడు ఈ పద్ధతిని చూశారు. ఉదాహరణకు, మీరు వ్యక్తీకరణను కారకం చేయవలసి వస్తే:

లెట్స్ గ్రూప్: మొదటి మరియు మూడవ నిబంధనలు, అలాగే రెండవ మరియు నాల్గవ. మొదటి మరియు మూడవది చతురస్రాల వ్యత్యాసం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది:

మరియు రెండవ మరియు నాల్గవ మూడు సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉంటాయి:

అప్పుడు అసలు వ్యక్తీకరణ దీనికి సమానం:

సాధారణ కారకాన్ని ఎక్కడ పొందాలి అనేది ఇకపై కష్టం కాదు:

అందుకే,

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు మనం స్థూలంగా చేసేది ఇదే: నిబంధనల మధ్య “సామాన్యత” కోసం వెతకండి మరియు బ్రాకెట్‌ల నుండి తీసివేయండి, ఆపై - ఏది వచ్చినా, మనం అదృష్టవంతులమని నేను నమ్ముతున్నాను =)) ఉదాహరణకు:

కుడి వైపున ఏడు శక్తికి దూరంగా ఉంది (నేను తనిఖీ చేసాను!) మరియు ఎడమ వైపున - ఇది కొంచెం మెరుగ్గా ఉంది, మీరు మొదటి పదం నుండి రెండవ నుండి కారకాన్ని "కోపివేయవచ్చు", ఆపై వ్యవహరించవచ్చు మీకు లభించిన దానితో, కానీ మీతో మరింత వివేకంతో ఉండండి. "ఎంచుకునేటప్పుడు" అనివార్యంగా ఏర్పడే భిన్నాలతో నేను వ్యవహరించకూడదనుకుంటున్నాను, కాబట్టి నేను దానిని బయటకు తీయకూడదా? అప్పుడు నాకు భిన్నాలు లేవు: వారు చెప్పినట్లు, తోడేళ్ళకు ఆహారం ఇవ్వబడుతుంది మరియు గొర్రెలు సురక్షితంగా ఉంటాయి:

బ్రాకెట్లలో వ్యక్తీకరణను లెక్కించండి. అద్భుతంగా, అద్భుతంగా, అది మారుతుంది (ఆశ్చర్యకరంగా, మనం ఇంకా ఏమి ఆశించాలి?).

అప్పుడు మేము ఈ కారకం ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా తగ్గిస్తాము. మేము పొందుతాము: , నుండి.

ఇక్కడ మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణ (కొంచెం, నిజంగా):

ఎంత సమస్య! మాకు ఇక్కడ ఒక ఉమ్మడి మైదానం లేదు! ఇప్పుడు ఏమి చేయాలో పూర్తిగా స్పష్టంగా లేదు. మనం చేయగలిగినది చేద్దాం: మొదట, "ఫోర్స్" ను ఒక వైపుకు మరియు "ఫైవ్స్" మరొక వైపుకు తరలించండి:

ఇప్పుడు ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న "జనరల్" ను తీసుకుందాం:

అయితే ఇప్పుడేంటి? ఇంత తెలివితక్కువ గుంపు వల్ల ఏం లాభం? మొదటి చూపులో ఇది అస్సలు కనిపించదు, కానీ లోతుగా చూద్దాం:

సరే, ఇప్పుడు మనం ఎడమ వైపున c అనే వ్యక్తీకరణను మాత్రమే కలిగి ఉన్నామని మరియు కుడి వైపున - మిగతావన్నీ ఉండేలా చూస్తాము. మేము దీన్ని ఎలా చేస్తాము? ఇక్కడ ఎలా ఉంది: ముందుగా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి (కాబట్టి మనం కుడి వైపున ఉన్న ఘాతాంకాన్ని తొలగిస్తాము), ఆపై రెండు వైపులా విభజించండి (కాబట్టి మనం ఎడమ వైపున ఉన్న సంఖ్యా కారకాన్ని తొలగిస్తాము). చివరగా మనకు లభిస్తుంది:

ఇన్క్రెడిబుల్! ఎడమ వైపున మనకు వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది మరియు కుడి వైపున మనకు సాధారణ వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది. అప్పుడు మేము వెంటనే దానిని ముగించాము

మీరు బలోపేతం చేయడానికి ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ ఉంది:

నేను అతని సంక్షిప్త పరిష్కారాన్ని ఇస్తాను (వివరణలతో నన్ను చాలా ఇబ్బంది పెట్టకుండా), పరిష్కారం యొక్క అన్ని “సూక్ష్మతలను” మీరే అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించండి.

ఇప్పుడు కవర్ చేయబడిన పదార్థం యొక్క తుది ఏకీకరణ కోసం. కింది సమస్యలను మీరే పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి. నేను వాటిని పరిష్కరించడానికి సంక్షిప్త సిఫార్సులు మరియు చిట్కాలను ఇస్తాను:

1. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుందాం: ఎక్కడ:
2. మొదటి వ్యక్తీకరణను ఫారమ్‌లో అందజేద్దాం: , రెండు వైపులా విభజించి దాన్ని పొందండి
3. , అప్పుడు అసలు సమీకరణం రూపానికి రూపాంతరం చెందుతుంది: సరే, ఇప్పుడు సూచన - మీరు మరియు నేను ఇప్పటికే ఈ సమీకరణాన్ని ఎక్కడ పరిష్కరించామో చూడండి!
4. ఎలా, ఎలా, ఆహ్, బాగా, ఆపై రెండు వైపులా విభజించండి, కాబట్టి మీరు సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణాన్ని పొందుతారు.
5. బ్రాకెట్ల నుండి బయటకు తీసుకురండి.
6. బ్రాకెట్ల నుండి బయటకు తీసుకురండి.

ఎక్స్పోనెంటరీ సమీకరణాలు. సగటు స్థాయి

నేను మొదటి వ్యాసం చదివిన తర్వాత, ఇది గురించి మాట్లాడింది ఘాతాంక సమీకరణాలు ఏమిటి మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలి, సరళమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన కనీస పరిజ్ఞానాన్ని మీరు స్వాధీనం చేసుకున్నారు.

ఇప్పుడు నేను ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరొక పద్ధతిని చూస్తాను, ఇది

“కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే పద్ధతి” (లేదా భర్తీ).అతను ఘాతాంక సమీకరణాల (మరియు సమీకరణాలు మాత్రమే కాదు) అంశంపై చాలా "కష్టమైన" సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు. ఈ పద్ధతి ఆచరణలో చాలా తరచుగా ఉపయోగించే వాటిలో ఒకటి. మొదట, మీరు టాపిక్‌తో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

మీరు పేరు నుండి ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశం వేరియబుల్ యొక్క అటువంటి మార్పును పరిచయం చేయడం, మీ ఘాతాంక సమీకరణం మీరు సులభంగా పరిష్కరించగలిగేలా అద్భుతంగా రూపాంతరం చెందుతుంది. ఈ “సరళీకృత సమీకరణాన్ని” పరిష్కరించిన తర్వాత మీ కోసం మిగిలి ఉన్నది “రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్” చేయడం: అంటే, భర్తీ చేసిన దాని నుండి భర్తీ చేసిన దానికి తిరిగి వెళ్లండి. చాలా సులభమైన ఉదాహరణతో మనం ఏమి చెప్పామో వివరించండి:

ఉదాహరణ 1:

ఈ సమీకరణం "సాధారణ ప్రత్యామ్నాయం" ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది, గణిత శాస్త్రవేత్తలు దీనిని అవమానకరంగా పిలుస్తారు. నిజానికి, ఇక్కడ భర్తీ అత్యంత స్పష్టమైనది. అది ఒక్కటే చూడాలి

అప్పుడు అసలు సమీకరణం ఇలా మారుతుంది:

మేము అదనంగా ఎలా ఊహించినట్లయితే, అప్పుడు భర్తీ చేయవలసినది ఖచ్చితంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది: వాస్తవానికి, . అప్పుడు అసలు సమీకరణం ఏమవుతుంది? ఇక్కడ ఏమి ఉంది:

మీరు మీ స్వంతంగా దాని మూలాలను సులభంగా కనుగొనవచ్చు: . ఇప్పుడు మనం ఏమి చేయాలి? అసలు వేరియబుల్‌కి తిరిగి రావడానికి ఇది సమయం. నేను ఏమి చెప్పడం మర్చిపోయాను? అవి: ఒక నిర్దిష్ట డిగ్రీని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేసినప్పుడు (అంటే, ఒక రకాన్ని భర్తీ చేసేటప్పుడు), నేను ఆసక్తిని కలిగి ఉంటాను సానుకూల మూలాలు మాత్రమే!ఎందుకు అని మీరే సులభంగా సమాధానం చెప్పగలరు. అందువల్ల, మీకు మరియు నాకు ఆసక్తి లేదు, కానీ రెండవ రూట్ మాకు చాలా అనుకూలంగా ఉంటుంది:

అప్పుడు ఎక్కడ నుండి.

సమాధానం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మునుపటి ఉదాహరణలో, ప్రత్యామ్నాయం కేవలం మా చేతుల కోసం అడుగుతోంది. దురదృష్టవశాత్తు, ఇది ఎల్లప్పుడూ కేసు కాదు. అయితే, విచారకరమైన విషయాలకు నేరుగా వెళ్లవద్దు, కానీ చాలా సులభమైన ప్రత్యామ్నాయంతో మరో ఉదాహరణతో సాధన చేద్దాం

ఉదాహరణ 2.

చాలా మటుకు మనం భర్తీ చేయవలసి ఉంటుందని స్పష్టంగా ఉంది (ఇది మా సమీకరణంలో చేర్చబడిన శక్తులలో అతి చిన్నది), కానీ భర్తీని పరిచయం చేయడానికి ముందు, మా సమీకరణాన్ని దాని కోసం "సిద్ధం" చేయాలి, అవి: , . అప్పుడు మీరు భర్తీ చేయవచ్చు, ఫలితంగా నేను ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాను:

ఓ హార్రర్: దాన్ని పరిష్కరించడానికి ఖచ్చితంగా భయంకరమైన సూత్రాలతో కూడిన క్యూబిక్ సమీకరణం (అలాగే, సాధారణ పరంగా మాట్లాడటం). కానీ వెంటనే నిరాశ చెందకండి, కానీ మనం ఏమి చేయాలో ఆలోచిద్దాం. నేను మోసం చేయమని సూచిస్తాను: “అందమైన” సమాధానం పొందడానికి, మనం దానిని మూడు శక్తి రూపంలో పొందాలని మాకు తెలుసు (అది ఎందుకు అవుతుంది, ఇహ్?). మన సమీకరణం యొక్క కనీసం ఒక మూలాన్ని ఊహించడానికి ప్రయత్నిద్దాం (నేను మూడు శక్తులతో ఊహించడం ప్రారంభిస్తాను).

మొదటి అంచనా. రూట్ కాదు. అయ్యో అయ్యో...

.
ఎడమ వైపు సమానంగా ఉంటుంది.
కుడి భాగం:!
తినండి! మొదటి మూలాన్ని ఊహించారు. ఇప్పుడు విషయాలు తేలికవుతాయి!

"మూల" విభజన పథకం గురించి మీకు తెలుసా? వాస్తవానికి మీరు చేస్తారు, మీరు ఒక సంఖ్యను మరొకదానితో విభజించినప్పుడు దాన్ని ఉపయోగిస్తారు. కానీ బహుపదాలతో కూడా అదే పని చేయవచ్చని కొద్ది మందికి తెలుసు. ఒక అద్భుతమైన సిద్ధాంతం ఉంది:

నా పరిస్థితికి వర్తింపజేస్తే, ఇది మిగిలిన వాటితో భాగించబడుతుందని ఇది నాకు చెబుతుంది. విభజన ఎలా జరుగుతుంది? ఆ విధంగా:

నేను స్పష్టంగా పొందడానికి ఏ మోనోమియల్‌ని గుణించాలి అని చూస్తున్నాను:

నేను ఫలిత వ్యక్తీకరణను తీసివేస్తాను, నేను పొందుతాను:

ఇప్పుడు, నేను పొందడానికి ఏమి గుణించాలి? ఇది స్పష్టంగా ఉంది, అప్పుడు నేను పొందుతాను:

మరియు మిగిలిన దాని నుండి ఫలిత వ్యక్తీకరణను మళ్లీ తీసివేయండి:

బాగా, చివరి దశ మిగిలిన వ్యక్తీకరణ నుండి గుణించడం మరియు తీసివేయడం:

హుర్రే, విభజన ముగిసింది! మేము ప్రైవేట్‌గా ఏమి సేకరించాము? దానికదే: .

అప్పుడు మేము అసలు బహుపది యొక్క క్రింది విస్తరణను పొందాము:

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

దీనికి మూలాలు ఉన్నాయి:

అప్పుడు అసలు సమీకరణం:

మూడు మూలాలు ఉన్నాయి:

మేము, వాస్తవానికి, చివరి మూలాన్ని విస్మరిస్తాము, ఎందుకంటే ఇది సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. మరియు రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ తర్వాత మొదటి రెండు మాకు రెండు మూలాలను ఇస్తాయి:

సమాధానం: ..

ఈ ఉదాహరణతో, నేను మిమ్మల్ని భయపెట్టాలని అస్సలు కోరుకోలేదు; బదులుగా, నా లక్ష్యం ఏమిటంటే, మాకు చాలా సరళమైన ప్రత్యామ్నాయం ఉన్నప్పటికీ, ఇది చాలా సంక్లిష్టమైన సమీకరణానికి దారితీసింది, దీని పరిష్కారానికి మా నుండి కొన్ని ప్రత్యేక నైపుణ్యాలు అవసరం. బాగా, దీని నుండి ఎవరూ రక్షింపబడరు. కానీ ఈ సందర్భంలో భర్తీ చాలా స్పష్టంగా ఉంది.

కొంచెం తక్కువ స్పష్టమైన భర్తీతో ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ ఉంది:

మనం ఏమి చేయాలో స్పష్టంగా లేదు: సమస్య ఏమిటంటే, మన సమీకరణంలో రెండు వేర్వేరు స్థావరాలు ఉన్నాయి మరియు ఏదైనా (సహేతుకమైన, సహజంగా) శక్తికి పెంచడం ద్వారా మరొక దాని నుండి ఒక ఆధారాన్ని పొందలేము. అయితే, మనం ఏమి చూస్తాము? రెండు స్థావరాలు గుర్తులో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి మరియు వాటి ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానమైన చతురస్రాల వ్యత్యాసం:

నిర్వచనం:

అందువలన, మా ఉదాహరణలో స్థావరాలుగా ఉన్న సంఖ్యలు సంయోగం.

ఈ సందర్భంలో, తెలివైన దశ ఉంటుంది సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంయోగ సంఖ్యతో గుణించండి.

ఉదాహరణకు, ఆన్, అప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు సమానంగా మరియు కుడి వైపుకు మారుతుంది. మనం ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మన అసలు సమీకరణం ఇలా అవుతుంది:

దాని మూలాలు, ఆపై, మరియు గుర్తుంచుకోవడం, మేము దానిని పొందుతాము.

సమాధానం: , .

నియమం ప్రకారం, చాలా "పాఠశాల" ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి భర్తీ పద్ధతి సరిపోతుంది. కింది పనులు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ C1 (కష్టం యొక్క పెరిగిన స్థాయి) నుండి తీసుకోబడ్డాయి. ఈ ఉదాహరణలను మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి మీకు ఇప్పటికే తగినంత అక్షరాస్యత ఉంది. నేను అవసరమైన భర్తీ మాత్రమే ఇస్తాను.

1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
2. సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: . విభాగానికి చెందిన ఈ సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనండి:

మరియు ఇప్పుడు కొన్ని క్లుప్త వివరణలు మరియు సమాధానాలు:

1. ఇక్కడ మనం గమనిస్తే చాలు... అప్పుడు అసలు సమీకరణం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది: ఈ సమీకరణాన్ని భర్తీ చేయడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు తదుపరి గణనలను మీరే చేయండి. చివరికి, మీ పని సాధారణ త్రికోణమితి సమస్యలను (సైన్ లేదా కొసైన్‌పై ఆధారపడి) పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడుతుంది. మేము ఇతర విభాగాలలో ఇలాంటి ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము.
2. ఇక్కడ మీరు ప్రత్యామ్నాయం లేకుండా కూడా చేయవచ్చు: కేవలం సబ్‌ట్రాహెండ్‌ను కుడివైపుకి తరలించి, రెండు శక్తుల ద్వారా రెండు స్థావరాలను సూచించండి: , ఆపై నేరుగా వర్గ సమీకరణానికి వెళ్లండి.
3. మూడవ సమీకరణం కూడా చాలా ప్రామాణికంగా పరిష్కరించబడింది: ఎలా ఊహించుకుందాం. అప్పుడు, స్థానంలో, మేము ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము: అప్పుడు,

   సంవర్గమానం అంటే ఏమిటో మీకు ఇప్పటికే తెలుసు, సరియైనదా? కాదా? అప్పుడు అంశాన్ని అత్యవసరంగా చదవండి!

   మొదటి మూలం స్పష్టంగా విభాగానికి చెందినది కాదు, కానీ రెండవది అస్పష్టంగా ఉంది! కానీ మేము అతి త్వరలో కనుగొంటాము! అప్పటి నుండి (ఇది సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం!) పోల్చి చూద్దాం:

   రెండు వైపుల నుండి తీసివేయండి, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

   ఎడమ వైపు ఇలా సూచించవచ్చు:

   రెండు వైపులా గుణించండి:

   అప్పుడు గుణించవచ్చు

   ఆపై సరిపోల్చండి:

   అప్పటి నుండి:

   అప్పుడు రెండవ మూలం అవసరమైన విరామానికి చెందినది

   సమాధానం:

మీరు చూస్తున్నట్లుగా, ఘాతాంక సమీకరణాల మూలాల ఎంపికకు లాగరిథమ్‌ల లక్షణాల గురించి చాలా లోతైన జ్ఞానం అవసరం, కాబట్టి ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు వీలైనంత జాగ్రత్తగా ఉండాలని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను. మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, గణితంలో ప్రతిదీ పరస్పరం అనుసంధానించబడి ఉంది! నా గణిత ఉపాధ్యాయుడు చెప్పినట్లుగా: "చరిత్ర వంటి గణితాన్ని రాత్రిపూట చదవలేము."

నియమం ప్రకారం, అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఇబ్బంది C1 అనేది సమీకరణం యొక్క మూలాల ఎంపిక.మరొక ఉదాహరణతో సాధన చేద్దాం:

సమీకరణం చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడిందని స్పష్టమవుతుంది. ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మేము మా అసలు సమీకరణాన్ని క్రింది వాటికి తగ్గిస్తాము:

మొదట మొదటి మూలాన్ని చూద్దాం. పోల్చి చూద్దాం మరియు: అప్పటి నుండి. (ఒక లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఆస్తి, వద్ద). అప్పుడు మొదటి రూట్ మన ఇంటర్వెల్‌కి చెందదని తెలుస్తుంది. ఇప్పుడు రెండవ మూలం: . ఇది స్పష్టంగా ఉంది (ఎట్ ఫంక్షన్ పెరుగుతోంది కాబట్టి). ఇది పోల్చడానికి మిగిలి ఉంది మరియు ...

అప్పటి నుండి, అదే సమయంలో. ఈ విధంగా నేను మరియు మధ్య "ఒక పెగ్ నడపగలను". ఈ పెగ్ ఒక సంఖ్య. మొదటి వ్యక్తీకరణ తక్కువ మరియు రెండవది ఎక్కువ. అప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణ మొదటి దాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు మూలం విరామానికి చెందినది.

సమాధానం: .

చివరగా, ప్రత్యామ్నాయం చాలా ప్రామాణికం కాని సమీకరణం యొక్క మరొక ఉదాహరణను చూద్దాం:

ఏమి చేయాలో వెంటనే ప్రారంభిద్దాం, మరియు ఏమి - సూత్రప్రాయంగా, చేయవచ్చు, కానీ దీన్ని చేయకపోవడమే మంచిది. మీరు మూడు, రెండు మరియు ఆరు శక్తుల ద్వారా ప్రతిదీ ఊహించవచ్చు. ఎక్కడికి దారి తీస్తుంది? ఇది దేనికీ దారితీయదు: డిగ్రీల గందరగోళం, వాటిలో కొన్ని వదిలించుకోవటం చాలా కష్టం. అప్పుడు ఏమి కావాలి? మరియు ఇది మనకు ఏమి ఇస్తుంది అని గమనించండి? మరియు మేము ఈ ఉదాహరణ యొక్క పరిష్కారాన్ని చాలా సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణం యొక్క పరిష్కారానికి తగ్గించగలము! ముందుగా, మన సమీకరణాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాద్దాం:

ఇప్పుడు ఫలిత సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి:

యురేకా! ఇప్పుడు మనం భర్తీ చేయవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది:

సరే, ఇప్పుడు ప్రదర్శన సమస్యలను పరిష్కరించడం మీ వంతు, మరియు మీరు తప్పుదారి పట్టకుండా ఉండటానికి నేను వారికి సంక్షిప్త వ్యాఖ్యలు మాత్రమే ఇస్తాను! అదృష్టం!

1. అత్యంత కష్టం! ఇక్కడ ప్రత్యామ్నాయాన్ని చూడటం చాలా కష్టం! అయితే, ఈ ఉదాహరణను ఉపయోగించి పూర్తిగా పరిష్కరించవచ్చు పూర్తి చతురస్రాన్ని హైలైట్ చేస్తుంది. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, దీన్ని గమనించడం సరిపోతుంది:

ఆపై మీ ప్రత్యామ్నాయం ఇక్కడ ఉంది:

(దయచేసి ఇక్కడ మా భర్తీ సమయంలో మేము ప్రతికూల మూలాన్ని విస్మరించలేము!!! మీరు ఎందుకు అనుకుంటున్నారు?)

ఇప్పుడు ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి మీరు రెండు సమీకరణాలను మాత్రమే పరిష్కరించాలి:

ఈ రెండింటినీ "ప్రామాణిక భర్తీ" ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు (కానీ ఒక ఉదాహరణలో రెండవది!)

2. అది గమనించండి మరియు భర్తీ చేయండి.

3. సంఖ్యను కాప్రైమ్ కారకాలుగా విడదీయండి మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

4. భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం (లేదా, మీరు ఇష్టపడితే) ద్వారా విభజించండి మరియు ప్రత్యామ్నాయం చేయండి లేదా.

5. సంఖ్యలు మరియు సంయోగం అని గమనించండి.

ఎక్స్పోనెంటరీ సమీకరణాలు. అధునాతన స్థాయి

అదనంగా, మరొక మార్గాన్ని చూద్దాం - లాగరిథమ్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం చాలా ప్రజాదరణ పొందిందని నేను చెప్పలేను, కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో మాత్రమే ఇది మన సమీకరణం యొక్క సరైన పరిష్కారానికి దారి తీస్తుంది. "" అని పిలవబడే వాటిని పరిష్కరించడానికి ఇది చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. మిశ్రమ సమీకరణాలు": అంటే, వివిధ రకాల విధులు జరిగేవి.

ఉదాహరణకు, రూపం యొక్క సమీకరణం:

సాధారణ సందర్భంలో, ఇది రెండు వైపుల లాగరిథమ్‌లను తీసుకోవడం ద్వారా మాత్రమే పరిష్కరించబడుతుంది (ఉదాహరణకు, ఆధారానికి), దీనిలో అసలు సమీకరణం క్రింది విధంగా మారుతుంది:

కింది ఉదాహరణను చూద్దాం:

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ODZ ప్రకారం, మేము మాత్రమే ఆసక్తి కలిగి ఉన్నామని స్పష్టమవుతుంది. అయితే, ఇది సంవర్గమానం యొక్క ODZ నుండి మాత్రమే కాకుండా, మరొక కారణం కోసం కూడా అనుసరిస్తుంది. ఇది ఏది అని మీరు ఊహించడం కష్టం కాదని నేను భావిస్తున్నాను.

మన సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల సంవర్గమానాన్ని ఆధారానికి తీసుకుందాం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మా అసలు సమీకరణం యొక్క సంవర్గమానాన్ని తీసుకోవడం వల్ల త్వరగా సరైన (మరియు అందమైన!) సమాధానానికి దారితీసింది. మరో ఉదాహరణతో సాధన చేద్దాం:

ఇక్కడ కూడా తప్పు ఏమీ లేదు: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల సంవర్గమానాన్ని బేస్కు తీసుకుందాం, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

భర్తీ చేద్దాం:

అయితే, మేము ఏదో కోల్పోయాము! నేను ఎక్కడ తప్పు చేశానో గమనించారా? అన్ని తరువాత, అప్పుడు:

ఇది అవసరాన్ని తీర్చదు (ఇది ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో ఆలోచించండి!)

సమాధానం:

దిగువ ఘాతాంక సమీకరణాలకు పరిష్కారాన్ని వ్రాయడానికి ప్రయత్నించండి:

ఇప్పుడు మీ నిర్ణయాన్ని దీనితో పోల్చండి:

1. బేస్‌కు రెండు వైపులా లాగరిథమ్ చేద్దాం, దీనిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము:

(భర్తీ కారణంగా రెండవ మూలం మాకు సరిపోదు)

2. ఆధారానికి సంవర్గమానం:

ఫలిత వ్యక్తీకరణను క్రింది రూపానికి మారుద్దాం:

ఎక్స్పోనెంటరీ సమీకరణాలు. సంక్షిప్త వివరణ మరియు ప్రాథమిక సూత్రాలు

ఘాతాంక సమీకరణం

రూపం యొక్క సమీకరణం:

అని పిలిచారు సరళమైన ఘాతాంక సమీకరణం.

డిగ్రీల లక్షణాలు

పరిష్కారానికి విధానాలు

• అదే ప్రాతిపదికన తగ్గింపు
• అదే ఘాతాంకానికి తగ్గింపు
• వేరియబుల్ భర్తీ
• వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం మరియు పైన పేర్కొన్న వాటిలో ఒకదాన్ని వర్తింపజేయడం.