కాబట్టి, మనకు రెండు అధికారాలు ఉన్నాయి. మీరు దిగువ రేఖ నుండి సంఖ్యను తీసుకుంటే, ఈ సంఖ్యను పొందడానికి మీరు రెండు పెంచాల్సిన శక్తిని మీరు సులభంగా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, 16 పొందడానికి, మీరు నాల్గవ శక్తికి రెండు పెంచాలి. మరియు 64 పొందడానికి, మీరు రెండు ఆరవ శక్తికి పెంచాలి. ఇది టేబుల్ నుండి చూడవచ్చు.
మరియు ఇప్పుడు - వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం:
x యొక్క సంవర్గమానం అనేది xని పొందడానికి తప్పనిసరిగా పెంచవలసిన శక్తి.
హోదా: లాగ్ a x = b, ఇక్కడ a ఆధారం, x అనేది వాదన, b అనేది సంవర్గమానం వాస్తవానికి సమానం.
ఉదాహరణకు, 2 3 = 8 ⇒ లాగ్ 2 8 = 3 (8 యొక్క బేస్ 2 సంవర్గమానం మూడు ఎందుకంటే 2 3 = 8). అదే విజయవంతమైన లాగ్‌తో 2 64 = 6, 2 6 = 64 నుండి.
ఇచ్చిన స్థావరానికి సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్‌ను కనుగొనే ఆపరేషన్‌ను లాగరిథమైజేషన్ అంటారు. కాబట్టి, మన పట్టికకు కొత్త పంక్తిని చేర్చుదాము:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| లాగ్ 2 2 = 1 | లాగ్ 2 4 = 2 | లాగ్ 2 8 = 3 | లాగ్ 2 16 = 4 | లాగ్ 2 32 = 5 | లాగ్ 2 64 = 6 |
దురదృష్టవశాత్తు, అన్ని లాగరిథమ్‌లు అంత సులభంగా లెక్కించబడవు. ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 5ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. సంఖ్య 5 పట్టికలో లేదు, కానీ లాగరిథమ్ సెగ్మెంట్‌లో ఎక్కడో ఉంటుందని లాజిక్ నిర్దేశిస్తుంది. ఎందుకంటే 2 2< 5 < 2 3 , а чем మరింత డిగ్రీరెండు, పెద్ద సంఖ్య.
అటువంటి సంఖ్యలను అహేతుకం అంటారు: దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యలను అనంతంగా వ్రాయవచ్చు మరియు అవి ఎప్పుడూ పునరావృతం కావు. సంవర్గమానం అహేతుకంగా మారినట్లయితే, దానిని ఆ విధంగా వదిలివేయడం మంచిది: లాగ్ 2 5, లాగ్ 3 8, లాగ్ 5 100.
సంవర్గమానం అనేది రెండు వేరియబుల్స్ (బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్)తో కూడిన వ్యక్తీకరణ అని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. మొదట్లో, చాలా మంది ఆధారం ఎక్కడ మరియు వాదన ఎక్కడ అని గందరగోళానికి గురవుతారు. తప్పించుకొవడానికి బాధించే అపార్థాలు, చిత్రాన్ని చూడండి:
మన ముందు సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం తప్ప మరేమీ లేదు. గుర్తుంచుకో: సంవర్గమానం ఒక శక్తి, వాదనను పొందేందుకు బేస్ తప్పనిసరిగా నిర్మించబడాలి. ఇది శక్తికి పెంచబడిన బేస్ - ఇది చిత్రంలో ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడింది. ఇది బేస్ ఎల్లప్పుడూ దిగువన ఉంటుంది! నేను నా విద్యార్థులకు ఈ అద్భుతమైన నియమాన్ని మొదటి పాఠంలో చెబుతాను - మరియు గందరగోళం తలెత్తదు.
మేము నిర్వచనాన్ని కనుగొన్నాము - లాగరిథమ్‌లను ఎలా లెక్కించాలో నేర్చుకోవడమే మిగిలి ఉంది, అనగా. "లాగ్" గుర్తును వదిలించుకోండి. ప్రారంభించడానికి, నిర్వచనం నుండి రెండు ముఖ్యమైన వాస్తవాలు అనుసరిస్తాయని మేము గమనించాము:
- ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు బేస్ ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఇది డిగ్రీ నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది హేతుబద్ధమైన సూచిక, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం క్రిందికి వస్తుంది.
- ఆధారం తప్పనిసరిగా ఒకదానికి భిన్నంగా ఉండాలి, ఎందుకంటే ఒకటి ఏ స్థాయికి అయినా ఇప్పటికీ ఒకటిగానే ఉంటుంది. దీని కారణంగా, "రెండు పొందడానికి ఒకరిని ఏ శక్తికి పెంచాలి" అనే ప్రశ్న అర్థరహితం. అలాంటి డిగ్రీ లేదు!
ఇటువంటి పరిమితులు అంటారు ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి(ODZ). లాగరిథమ్ యొక్క ODZ ఇలా కనిపిస్తుంది: లాగ్ a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
సంఖ్య b (సంవర్గమానం యొక్క విలువ)పై ఎటువంటి పరిమితులు లేవని గమనించండి. ఉదాహరణకు, సంవర్గమానం ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు: లాగ్ 2 0.5 = -1, ఎందుకంటే 0.5 = 2 -1.
అయితే, ఇప్పుడు మేము మాత్రమే పరిశీలిస్తున్నాము సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు, సంవర్గమానం యొక్క CVDని తెలుసుకోవలసిన అవసరం లేదు. అన్ని పరిమితులు ఇప్పటికే పనుల రచయితలచే పరిగణనలోకి తీసుకోబడ్డాయి. కానీ వారు వెళ్ళినప్పుడు సంవర్గమాన సమీకరణాలుమరియు అసమానతలు, DHS అవసరాలు తప్పనిసరి అవుతుంది. అన్నింటికంటే, ఆధారం మరియు వాదన చాలా బలమైన నిర్మాణాలను కలిగి ఉండవచ్చు, అవి పైన పేర్కొన్న పరిమితులకు అనుగుణంగా ఉండవు.
ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం సాధారణ పథకంలాగరిథమ్‌లను గణించడం. ఇది మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:
- బేస్ a మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ xని కనిష్ట సాధ్యమైన బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ శక్తిగా వ్యక్తపరచండి. అలాగే, దశాంశాలను వదిలించుకోవడం మంచిది;
- వేరియబుల్ b కోసం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: x = a b ;
- ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్య b సమాధానం అవుతుంది.
అంతే! సంవర్గమానం అహేతుకంగా మారినట్లయితే, ఇది మొదటి దశలో ఇప్పటికే కనిపిస్తుంది. బేస్ ఉండాల్సిన అవసరం ఒకటి కంటే ఎక్కువ, చాలా సందర్భోచితమైనది: ఇది లోపం యొక్క సంభావ్యతను తగ్గిస్తుంది మరియు గణనలను బాగా సులభతరం చేస్తుంది. అదే దశాంశాలు: మీరు వాటిని వెంటనే సాధారణ వాటికి మార్చినట్లయితే, చాలా తక్కువ లోపాలు ఉంటాయి.
నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఈ పథకం ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం:
టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 5 25
- ఆధారం మరియు వాదనను ఐదు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 2.
సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
లాగ్ 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి:
టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 4 64
- బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని రెండు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
లాగ్ 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 3.
టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 16 1
- బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని రెండు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
లాగ్ 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 0.
టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 7 14
- బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని ఏడు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 7 = 7 1 ; 7 1 నుండి 14 ఏడు శక్తిగా సూచించబడదు< 14 < 7 2 ;
- నుండి మునుపటి పేరాసంవర్గమానం లెక్కించబడదని ఇది అనుసరిస్తుంది;
- సమాధానం మార్పు లేదు: లాగ్ 7 14.
ఒక చిన్న గమనిక చివరి ఉదాహరణ. ఒక సంఖ్య మరొక సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన శక్తి కాదని మీరు ఎలా నిర్ధారించగలరు? ఇది చాలా సులభం - దానిని విభజించండి ప్రధాన కారకాలు. విస్తరణకు కనీసం రెండు వేర్వేరు కారకాలు ఉంటే, సంఖ్య ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు.
టాస్క్. సంఖ్యలు ఖచ్చితమైన శక్తులు కాదా అని కనుగొనండి: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ఖచ్చితమైన డిగ్రీ, ఎందుకంటే ఒకే ఒక గుణకం ఉంది;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు, ఎందుకంటే రెండు కారకాలు ఉన్నాయి: 3 మరియు 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ఖచ్చితమైన డిగ్రీ;
35 = 7 · 5 - మళ్ళీ ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు;
14 = 7 · 2 - మళ్ళీ ఖచ్చితమైన డిగ్రీ కాదు;
మనం కూడా గమనించుకుందాం ప్రధాన సంఖ్యలుఎల్లప్పుడూ వాటి యొక్క ఖచ్చితమైన డిగ్రీలు.
దశాంశ సంవర్గమానం
కొన్ని లాగరిథమ్‌లు చాలా సాధారణం కాబట్టి వాటికి ప్రత్యేక పేరు మరియు చిహ్నాలు ఉంటాయి.
x యొక్క దశాంశ సంవర్గమానం అనేది బేస్ 10కి సంవర్గమానం, అనగా. x సంఖ్యను పొందడానికి 10 సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి. హోదా: lg x.
ఉదాహరణకు, లాగ్ 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - మొదలైనవి.
ఇప్పటి నుండి, పాఠ్యపుస్తకంలో “Find lg 0.01” వంటి పదబంధం కనిపించినప్పుడు, ఇది అక్షరదోషం కాదని తెలుసుకోండి. ఈ దశాంశ సంవర్గమానం. అయితే, మీకు ఈ సంజ్ఞామానం తెలియకపోతే, మీరు దీన్ని ఎప్పుడైనా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
లాగ్ x = లాగ్ 10 x
సాధారణ లాగరిథమ్‌లకు సంబంధించిన ప్రతిదీ దశాంశ లాగరిథమ్‌లకు కూడా నిజం.
సహజ సంవర్గమానం
దాని స్వంత హోదాను కలిగి ఉన్న మరొక సంవర్గమానం ఉంది. కొన్ని మార్గాల్లో, ఇది దశాంశం కంటే చాలా ముఖ్యమైనది. దీని గురించిసహజ సంవర్గమానం గురించి.
x యొక్క సహజ సంవర్గమానం ఆధారం eకి సంవర్గమానం, అనగా. x సంఖ్యను పొందడానికి e సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి. హోదా: ln x.
చాలా మంది అడుగుతారు: సంఖ్య ఇ అంటే ఏమిటి? ఈ అకరణీయ సంఖ్య, తన ఖచ్చితమైన విలువకనుగొనడం మరియు రికార్డ్ చేయడం అసాధ్యం. నేను మొదటి గణాంకాలను మాత్రమే ఇస్తాను:
ఇ = 2.718281828459...
ఈ సంఖ్య ఏమిటి మరియు అది ఎందుకు అవసరమో మేము వివరంగా చెప్పము. సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం e అని గుర్తుంచుకోండి:
ln x = లాగ్ ఇ x
అందువలన ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - మొదలైనవి. మరోవైపు, ln 2 ఒక అకరణీయ సంఖ్య. అస్సలు, సహజ సంవర్గమానంఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్యఅహేతుకమైన. తప్ప, ఒకదానికి: ln 1 = 0.
సహజ లాగరిథమ్‌ల కోసం, సాధారణ లాగరిథమ్‌లకు సరైన అన్ని నియమాలు చెల్లుబాటు అవుతాయి.
a సంఖ్యను ఆధారం చేయడానికి b సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం అనేది b సంఖ్యను పొందేందుకు a సంఖ్యను పెంచాల్సిన ఘాతాంకం.
ఒకవేళ, అప్పుడు.
సంవర్గమానం - తీవ్రమైన ముఖ్యమైన గణిత పరిమాణం , లాగరిథమిక్ కాలిక్యులస్ ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడమే కాకుండా, ఘాతాంకాలతో పనిచేయడం, ఘాతాంక భేదం మరియు లాగరిథమిక్ విధులు, వాటిని ఏకీకృతం చేయండి మరియు వాటిని లెక్కించడానికి మరింత ఆమోదయోగ్యమైన ఫారమ్‌కు తీసుకురండి.
తో పరిచయంలో ఉన్నారు
లాగరిథమ్‌ల యొక్క అన్ని లక్షణాలు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ల లక్షణాలకు నేరుగా సంబంధించినవి. ఉదాహరణకు, వాస్తవం 
దాని అర్ధము:
పరిష్కరించేటప్పుడు ఇది గమనించాలి నిర్దిష్ట పనులు, అధికారాలతో పని చేసే నియమాల కంటే లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు చాలా ముఖ్యమైనవి మరియు ఉపయోగకరమైనవి కావచ్చు.
మనం కొన్ని గుర్తింపులను అందజేద్దాం:
ఇక్కడ ప్రాథమిక బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి:
;
.
శ్రద్ధ! x>0, x≠1, y>0కి మాత్రమే ఉనికిలో ఉంటుంది.
సహజ లాగరిథమ్‌లు అంటే ఏమిటి అనే ప్రశ్నను అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం. గణితంపై ప్రత్యేక ఆసక్తి రెండు రకాలను సూచిస్తాయి- మొదటిది "10" సంఖ్యను దాని ఆధారంగా కలిగి ఉంది మరియు దీనిని "దశాంశ సంవర్గమానం" అంటారు. రెండవది సహజమైనది. సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం "e" సంఖ్య. ఈ వ్యాసంలో మనం వివరంగా మాట్లాడతాము.
హోదాలు:
- lg x - దశాంశ;
- ln x - సహజమైనది.
గుర్తింపును ఉపయోగించి, ln e = 1, అలాగే lg 10=1 అనే వాస్తవాన్ని మనం చూడవచ్చు.
సహజ లాగరిథమ్ గ్రాఫ్
స్టాండర్డ్ క్లాసికల్ మెథడ్ పాయింట్ బై పాయింట్‌ని ఉపయోగించి సహజ సంవర్గమానం యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము. మీరు కోరుకుంటే, ఫంక్షన్‌ని పరిశీలించడం ద్వారా మేము ఫంక్షన్‌ను సరిగ్గా నిర్మిస్తున్నామో లేదో తనిఖీ చేయవచ్చు. అయినప్పటికీ, లాగరిథమ్‌ను ఎలా సరిగ్గా లెక్కించాలో తెలుసుకోవడానికి దానిని "మాన్యువల్‌గా" ఎలా నిర్మించాలో నేర్చుకోవడం అర్ధమే.
ఫంక్షన్: y = ln x. గ్రాఫ్ పాస్ అయ్యే పాయింట్ల పట్టికను వ్రాసుకుందాం:
మేము ఆర్గ్యుమెంట్ x యొక్క ఈ ప్రత్యేక విలువలను ఎందుకు ఎంచుకున్నామో వివరిస్తాము. ఇది గుర్తింపుకు సంబంధించినది: . సహజ సంవర్గమానం కోసం ఈ గుర్తింపు ఇలా కనిపిస్తుంది:
సౌలభ్యం కోసం, మేము ఐదు సూచన పాయింట్లను తీసుకోవచ్చు:
;
;
.
;
.
కాబట్టి, సహజ లాగరిథమ్‌లను లెక్కించడం చాలా సులభమైన పని; అంతేకాకుండా, ఇది శక్తులతో కార్యకలాపాల గణనలను సులభతరం చేస్తుంది, వాటిని మారుస్తుంది సాధారణ గుణకారం.
పాయింట్ల వారీగా గ్రాఫ్ పాయింట్‌ను ప్లాట్ చేయడం ద్వారా, మేము సుమారుగా గ్రాఫ్‌ని పొందుతాము:
సహజ సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ (అనగా అన్నీ చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలువాదన X) - అన్ని సంఖ్యలు సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి.
శ్రద్ధ!సహజ సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది సానుకూల సంఖ్యలు! నిర్వచనం యొక్క పరిధి x=0ని కలిగి ఉండదు. సంవర్గమానం యొక్క ఉనికి కోసం పరిస్థితుల ఆధారంగా ఇది అసాధ్యం.
విలువల పరిధి (అంటే y = ln x ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలు) విరామంలోని అన్ని సంఖ్యలు.
సహజ లాగ్ పరిమితి
గ్రాఫ్‌ను అధ్యయనం చేయడం, ప్రశ్న తలెత్తుతుంది - ఫంక్షన్ y వద్ద ఎలా ప్రవర్తిస్తుంది<0.
సహజంగానే, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y-యాక్సిస్‌ను దాటుతుంది, కానీ x యొక్క సహజ సంవర్గమానం కారణంగా దీన్ని చేయలేరు<0 не существует.
సహజ పరిమితి లాగ్ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:
సంవర్గమానం యొక్క ఆధారాన్ని భర్తీ చేయడానికి సూత్రం
సహజ సంవర్గమానంతో వ్యవహరించడం అనేది ఏకపక్ష ఆధారాన్ని కలిగి ఉన్న లాగరిథమ్‌తో వ్యవహరించడం కంటే చాలా సులభం. అందుకే ఏదైనా లాగరిథమ్‌ను సహజంగా ఎలా తగ్గించాలో లేదా సహజ లాగరిథమ్‌ల ద్వారా ఏకపక్ష స్థావరానికి ఎలా వ్యక్తీకరించాలో తెలుసుకోవడానికి మేము ప్రయత్నిస్తాము.
లాగరిథమిక్ గుర్తింపుతో ప్రారంభిద్దాం:
అప్పుడు ఏదైనా సంఖ్య లేదా వేరియబుల్ y ఇలా సూచించవచ్చు:
ఇక్కడ x అనేది ఏదైనా సంఖ్య (సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాల ప్రకారం సానుకూలంగా ఉంటుంది).
ఈ వ్యక్తీకరణను రెండు వైపులా లాగరిథమిక్‌గా తీసుకోవచ్చు. దీన్ని ఏకపక్ష బేస్ z ఉపయోగించి చేద్దాం:
ఆస్తిని ఉపయోగించుకుందాం ("c"కి బదులుగా మాత్రమే మనకు వ్యక్తీకరణ ఉంది):
ఇక్కడ నుండి మేము సార్వత్రిక సూత్రాన్ని పొందుతాము:
.
ప్రత్యేకించి, z=e అయితే, అప్పుడు:
.
మేము రెండు సహజ లాగరిథమ్‌ల నిష్పత్తి ద్వారా సంవర్గమానాన్ని ఏకపక్ష స్థావరానికి సూచించగలిగాము.
మేము సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము
సహజ లాగరిథమ్‌లను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, అనేక సమస్యల ఉదాహరణలను చూద్దాం.
సమస్య 1. ln x = 3 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అవసరం.
పరిష్కారం:సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి: అయితే , అప్పుడు , మనకు లభిస్తుంది:
సమస్య 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
పరిష్కారం: సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించడం: అయితే , అప్పుడు , మనకు లభిస్తుంది:
.
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని మళ్లీ ఉపయోగించుకుందాం:
.
ఈ విధంగా:
.
మీరు సమాధానాన్ని సుమారుగా లెక్కించవచ్చు లేదా మీరు దానిని ఈ రూపంలో వదిలివేయవచ్చు.
టాస్క్ 3.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం:ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: t = ln x. అప్పుడు సమీకరణం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
.
మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం ఉంది. దాని వివక్షను కనుగొనండి:
సమీకరణం యొక్క మొదటి మూలం:
.
సమీకరణం యొక్క రెండవ మూలం:
.
మేము ప్రత్యామ్నాయం t = ln x చేసామని గుర్తుంచుకోండి, మనకు లభిస్తుంది:
గణాంకాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, లాగరిథమిక్ పరిమాణాలు చాలా తరచుగా కనిపిస్తాయి. ఇది ఆశ్చర్యం కలిగించదు, ఎందుకంటే e సంఖ్య తరచుగా ఘాతాంక పరిమాణాల వృద్ధి రేటును ప్రతిబింబిస్తుంది.
కంప్యూటర్ సైన్స్, ప్రోగ్రామింగ్ మరియు కంప్యూటర్ సిద్ధాంతంలో, లాగరిథమ్‌లు చాలా తరచుగా ఎదురవుతాయి, ఉదాహరణకు, మెమరీలో N బిట్‌లను నిల్వ చేయడానికి.
ఫ్రాక్టల్స్ మరియు కొలతల సిద్ధాంతాలలో, లాగరిథమ్‌లు నిరంతరం ఉపయోగించబడతాయి, ఎందుకంటే ఫ్రాక్టల్‌ల కొలతలు వాటి సహాయంతో మాత్రమే నిర్ణయించబడతాయి.
మెకానిక్స్ మరియు భౌతిక శాస్త్రంలోలాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించని విభాగం లేదు. బారోమెట్రిక్ డిస్ట్రిబ్యూషన్, స్టాటిస్టికల్ థర్మోడైనమిక్స్ యొక్క అన్ని సూత్రాలు, సియోల్కోవ్స్కీ ఈక్వేషన్ మొదలైనవి సంవర్గమానాలను ఉపయోగించి మాత్రమే గణితశాస్త్రంలో వివరించగల ప్రక్రియలు.
రసాయన శాస్త్రంలో, లాగరిథమ్‌లు నెర్న్‌స్ట్ సమీకరణాలు మరియు రెడాక్స్ ప్రక్రియల వివరణలలో ఉపయోగించబడతాయి.
ఆశ్చర్యకరంగా, సంగీతంలో కూడా, ఆక్టేవ్ యొక్క భాగాల సంఖ్యను తెలుసుకోవడానికి, లాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి.
సహజ సంవర్గమానం ఫంక్షన్ y=ln x దాని లక్షణాలు
సహజ సంవర్గమానం యొక్క ప్రధాన లక్షణం యొక్క రుజువు
సహజ సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు, గ్రాఫ్, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, విలువల సమితి, ప్రాథమిక సూత్రాలు, ఉత్పన్నం, సమగ్రం, విస్తరణ శక్తి సిరీస్మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి ln x ఫంక్షన్ ప్రాతినిధ్యం.
నిర్వచనం
సహజ సంవర్గమానంఫంక్షన్ y = ln x, ఘాతాంకం యొక్క విలోమం, x = e y, మరియు ఇది e సంఖ్య యొక్క ఆధారానికి సంవర్గమానం: ln x = లాగ్ ఇ x.
సహజ సంవర్గమానం గణితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది ఎందుకంటే దాని ఉత్పన్నం సరళమైన రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: (ln x)′ = 1/ x.
ఆధారిత నిర్వచనాలు, సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం సంఖ్య ఇ:
ఇ ≅ 2.718281828459045...;
.
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = ln x.
సహజ సంవర్గమానం యొక్క గ్రాఫ్ (ఫంక్షన్లు y = ln x y = x సరళ రేఖకు సంబంధించి అద్దం ప్రతిబింబం ద్వారా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ గ్రాఫ్ నుండి పొందబడుతుంది.
సహజ సంవర్గమానం వేరియబుల్ x యొక్క సానుకూల విలువల కోసం నిర్వచించబడింది. ఇది దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది.
x → వద్ద 0 సహజ సంవర్గమానం యొక్క పరిమితి మైనస్ అనంతం (-∞).
x → + ∞ వలె, సహజ సంవర్గమానం యొక్క పరిమితి ప్లస్ అనంతం (+ ∞). పెద్ద x కోసం, లాగరిథమ్ చాలా నెమ్మదిగా పెరుగుతుంది. సానుకూల ఘాతాంకం aతో ఏదైనా పవర్ ఫంక్షన్ x a లాగరిథమ్ కంటే వేగంగా పెరుగుతుంది.
సహజ సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాలు
నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, విలువల సమితి, తీవ్రత, పెరుగుదల, తగ్గుదల
సహజ సంవర్గమానం అనేది ఒక మోనోటోనికల్‌గా పెరుగుతున్న ఫంక్షన్, కాబట్టి దీనికి తీవ్రత లేదు. సహజ సంవర్గమానం యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.
ln x విలువలు
ln 1 = 0
సహజ లాగరిథమ్‌ల కోసం ప్రాథమిక సూత్రాలు
నిర్వచనం నుండి క్రింది సూత్రాలు విలోమ ఫంక్షన్:
లాగరిథమ్‌ల యొక్క ప్రధాన లక్షణం మరియు దాని పరిణామాలు
బేస్ రీప్లేస్‌మెంట్ ఫార్ములా
బేస్ ప్రత్యామ్నాయ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఏదైనా లాగరిథమ్ సహజ సంవర్గమానాల పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:
ఈ సూత్రాల యొక్క రుజువులు "లాగరిథమ్" విభాగంలో ప్రదర్శించబడ్డాయి.
విలోమ ఫంక్షన్
సహజ సంవర్గమానం యొక్క విలోమం ఘాతాంకం.
ఉంటే, అప్పుడు
ఒకవేళ, అప్పుడు.
ఉత్పన్నం ln x
సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం:
.
మాడ్యులస్ x యొక్క సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం:
.
n వ ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నం:
.
సూత్రాలను పొందడం >>>
సమగ్ర
సమగ్రం భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
.
కాబట్టి,
సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలు
కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్ z ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి:
.
కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్‌ని ఎక్స్‌ప్రెస్ చేద్దాం zమాడ్యూల్ ద్వారా ఆర్మరియు వాదన φ
:
.
లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
.
లేదా
.
వాదన φ ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడలేదు. మీరు పెట్టినట్లయితే
, ఇక్కడ n అనేది పూర్ణాంకం,
ఇది వేర్వేరు n కోసం ఒకే సంఖ్యగా ఉంటుంది.
అందువల్ల, సహజ సంవర్గమానం, సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క విధిగా, ఒకే-విలువ గల ఫంక్షన్ కాదు.
పవర్ సిరీస్ విస్తరణ
విస్తరణ ఎప్పుడు జరుగుతుంది:
ప్రస్తావనలు:
ఐ.ఎన్. బ్రోన్‌స్టెయిన్, K.A. సెమెండ్యావ్, ఇంజనీర్లు మరియు కళాశాల విద్యార్థుల కోసం మ్యాథమెటిక్స్ హ్యాండ్‌బుక్, "లాన్", 2009.
సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి?
శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)
సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి? లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి? ఈ ప్రశ్నలు చాలా మంది గ్రాడ్యుయేట్లను కలవరపరుస్తాయి. సాంప్రదాయకంగా, లాగరిథమ్‌ల అంశం సంక్లిష్టమైనది, అపారమయినది మరియు భయానకంగా పరిగణించబడుతుంది. ముఖ్యంగా లాగరిథమ్‌లతో సమీకరణాలు.
ఇది పూర్తిగా నిజం కాదు. ఖచ్చితంగా! నన్ను నమ్మలేదా? ఫైన్. ఇప్పుడు, కేవలం 10 - 20 నిమిషాల్లో మీరు:
1. మీరు అర్థం చేసుకుంటారు సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి.
2. మొత్తం తరగతిని పరిష్కరించడం నేర్చుకోండి ఘాతాంక సమీకరణాలు. మీరు వారి గురించి ఏమీ వినకపోయినా.
3. సాధారణ లాగరిథమ్‌లను లెక్కించడం నేర్చుకోండి.
అంతేకాకుండా, దీని కోసం మీరు గుణకార పట్టికను మాత్రమే తెలుసుకోవాలి మరియు సంఖ్యను శక్తికి ఎలా పెంచాలి...
మీకు సందేహాలున్నట్లు నాకు అనిపిస్తోంది... సరే, సమయాన్ని గుర్తించండి! వెళ్ళండి!
మొదట, మీ తలపై ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...
మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)
మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)
మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.
అంశాలపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "సహజ సంవర్గమానాలు. సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం. సహజ సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం"
అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.
గ్రేడ్ 11 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో టీచింగ్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
9–11 గ్రేడ్‌ల కోసం ఇంటరాక్టివ్ మాన్యువల్ "త్రికోణమితి"
10–11 గ్రేడ్‌ల కోసం ఇంటరాక్టివ్ మాన్యువల్ "లాగరిథమ్స్"
సహజ సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి
గైస్, గత పాఠంలో మేము కొత్తది నేర్చుకున్నాము, ప్రత్యేక సంఖ్య– ఇ. ఈ రోజు మనం ఈ సంఖ్యతో పని చేస్తూనే ఉంటాము.మేము లాగరిథమ్‌లను అధ్యయనం చేసాము మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం 0 కంటే ఎక్కువ ఉన్న అనేక సంఖ్యలు కావచ్చునని మాకు తెలుసు. ఈ రోజు మనం e సంఖ్య అయిన సంవర్గమానాన్ని కూడా పరిశీలిస్తాము. అటువంటి సంవర్గమానాన్ని సాధారణంగా సహజ సంవర్గమానం అంటారు. దీనికి దాని స్వంత సంజ్ఞామానం ఉంది: $\ln(n)$ అనేది సహజ సంవర్గమానం. ఈ ఎంట్రీ ఎంట్రీకి సమానం: $\log_e(n)=\ln(n)$.
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్లు విలోమాలు, అప్పుడు సహజ సంవర్గమానం ఫంక్షన్ యొక్క విలోమం: $y=e^x$.
$y=x$ సరళ రేఖకు సంబంధించి విలోమ విధులు సుష్టంగా ఉంటాయి.
$y=x$ సరళ రేఖకు సంబంధించి ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయడం ద్వారా సహజ సంవర్గమానాన్ని ప్లాట్ చేద్దాం.
పాయింట్ (0;1) వద్ద $y=e^x$ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణం 45° అని గమనించాలి. అప్పుడు పాయింట్ (1;0) వద్ద సహజ సంవర్గమానం యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణం కూడా 45°కి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ రెండు టాంజెంట్‌లు $y=x$ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటాయి. టాంజెంట్లను రేఖాచిత్రం చేద్దాం: 
ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. సరి లేదా బేసి కాదు.
3. నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్ అంతటా పెరుగుతుంది.
4. పై నుండి పరిమితం కాదు, దిగువ నుండి పరిమితం కాదు.
5. గొప్ప విలువకాదు, అత్యల్ప విలువనం.
6. నిరంతర.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. కుంభాకార పైకి.
9. ప్రతిచోటా భిన్నమైనది.
నాకు తెలుసు ఉన్నత గణితంఅని నిరూపించబడింది విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలోమం.
రుజువును లోతుగా పరిశోధించాల్సిన అవసరం లేదు చాలా అర్థవంతంగా ఉంటుంది, కేవలం సూత్రాన్ని వ్రాద్దాం: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
ఉదాహరణ.
ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను లెక్కించండి: $x=4$ పాయింట్ వద్ద $y=\ln(2x-7)$.
పరిష్కారం.
IN సాధారణ వీక్షణమా ఫంక్షన్ $y=f(kx+m)$ ద్వారా సూచించబడుతుంది, అటువంటి ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను మనం లెక్కించవచ్చు.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
అవసరమైన పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువను గణిద్దాం: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
సమాధానం: 2.
ఉదాహరణ.
$х=е$ పాయింట్ వద్ద $y=ln(x)$ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ని గీయండి.
పరిష్కారం.
$x=a$ పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణం మనకు బాగా గుర్తుంది.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
మేము అవసరమైన విలువలను వరుసగా లెక్కిస్తాము.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
పాయింట్ $x=e$ వద్ద టాంజెంట్ సమీకరణం $y=\frac(x)(e)$.
సహజ సంవర్గమానం మరియు టాంజెంట్ లైన్‌ను ప్లాట్ చేద్దాం. 
ఉదాహరణ.
మోనోటోనిసిటీ మరియు ఎక్స్‌ట్రీమా కోసం ఫంక్షన్‌ని పరిశీలించండి: $y=x^6-6*ln(x)$.
పరిష్కారం.
ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ $D(y)=(0;+∞)$.
ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
డెరివేటివ్ డెఫినిషన్ డొమైన్ నుండి అన్ని x కోసం ఉంటుంది క్లిష్టమైన పాయింట్లునం. స్థిరమైన పాయింట్లను కనుగొనండి:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
పాయింట్ $х=-1$ నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది కాదు. అప్పుడు మనకు ఒకటి ఉంది స్థిర బిందువు$x=1$. పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలను కనుగొనండి: 
పాయింట్ $x=1$ కనిష్ట పాయింట్, ఆపై $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
సమాధానం: సెగ్మెంట్‌లో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది (0;1], రే $పై ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది)