లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలు, పరిష్కార ఉదాహరణలు. ఈ వ్యాసంలో మేము లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించడానికి సంబంధించిన సమస్యలను పరిశీలిస్తాము. పనులు వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనే ప్రశ్నను అడుగుతాయి. సంవర్గమానం యొక్క భావన అనేక పనులలో ఉపయోగించబడుతుందని మరియు దాని అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం అని గమనించాలి. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ కొరకు, సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు లాగరిథమ్ ఉపయోగించబడుతుంది దరఖాస్తు సమస్యలు, ఫంక్షన్ల అధ్యయనానికి సంబంధించిన పనులలో కూడా.
సంవర్గమానం యొక్క అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఉదాహరణలను ఇద్దాం:
ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు:
ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోవలసిన లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు:
* ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం మొత్తానికి సమానంకారకాల సంవర్గమానాలు.
* * *
*ఒక గుణకం (భిన్నం) యొక్క సంవర్గమానం కారకాల యొక్క లాగరిథమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం.
* * *
* డిగ్రీ సంవర్గమానం ఉత్పత్తికి సమానందాని బేస్ యొక్క సంవర్గమానం ద్వారా ఘాతాంకం.
* * *
*కొత్త పునాదికి మార్పు
* * *
మరిన్ని లక్షణాలు:
* * *
లాగరిథమ్‌ల గణన అనేది ఘాతాంకాల లక్షణాల వినియోగానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.
వాటిలో కొన్నింటిని జాబితా చేద్దాం:
సారాంశం ఈ ఆస్తి యొక్కన్యూమరేటర్‌ను హారంకు బదిలీ చేసేటప్పుడు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, ఘాతాంకం యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకానికి మారుతుంది. ఉదాహరణకి:
ఈ ఆస్తి నుండి ఒక ఫలితం:
* * *
శక్తిని శక్తికి పెంచేటప్పుడు, ఆధారం అలాగే ఉంటుంది, కానీ ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి.
* * *
మీరు చూసినట్లుగా, సంవర్గమానం యొక్క భావన చాలా సులభం. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే అవసరమైనది మంచి పద్ధతి, ఇది ఒక నిర్దిష్ట నైపుణ్యాన్ని ఇస్తుంది. వాస్తవానికి, సూత్రాల పరిజ్ఞానం అవసరం. ప్రాథమిక లాగరిథమ్‌లను మార్చడంలో నైపుణ్యం అభివృద్ధి చేయకపోతే, సాధారణ పనులను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు సులభంగా పొరపాటు చేయవచ్చు.
ప్రాక్టీస్ చేయండి, మొదట గణిత కోర్సు నుండి సరళమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి, ఆపై మరింత క్లిష్టమైన వాటికి వెళ్లండి. భవిష్యత్తులో, "అగ్లీ" లాగరిథమ్‌లు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో నేను ఖచ్చితంగా చూపుతాను, ఇవి ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో కనిపించవు, కానీ అవి ఆసక్తిని కలిగి ఉంటాయి, వాటిని కోల్పోకండి!
అంతే! శుభస్య శీగ్రం!
భవదీయులు, అలెగ్జాండర్ క్రుటిట్స్కిఖ్
P.S: మీరు సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లలో సైట్ గురించి నాకు చెబితే నేను కృతజ్ఞుడను.
మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం
వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.
మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.
మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:
- మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, చిరునామాతో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు ఇమెయిల్మొదలైనవి
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:
- మా ద్వారా సేకరించబడింది వ్యక్తిగత సమాచారంమిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మరియు మీకు తెలియజేయడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ప్రత్యేక ఆఫర్లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లు.
- ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
- మేము ఆడిటింగ్, డేటా విశ్లేషణ మరియు వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు వివిధ అధ్యయనాలుమేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించిన సిఫార్సులను మీకు అందించడానికి.
- మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.
మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం
మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.
మినహాయింపులు:
- అవసరమైతే, చట్టం ప్రకారం, న్యాయ ప్రక్రియ, వి విచారణ, మరియు/లేదా పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా ప్రభుత్వ సంస్థలురష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలో - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయండి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
- పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.
కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం
మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
దానిని మరింత సరళంగా వివరిస్తాము. ఉదాహరణకు, \(\log_(2)(8)\) శక్తికి సమానం, \(8\) పొందేందుకు \(2\) తప్పక పెంచాలి. దీని నుండి \(\log_(2)(8)=3\) అని స్పష్టమవుతుంది.
|
ఉదాహరణలు: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
ఎందుకంటే \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
ఎందుకంటే \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
ఎందుకంటే \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
సంవర్గమానం యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు బేస్
ఏదైనా సంవర్గమానం క్రింది "అనాటమీ"ని కలిగి ఉంటుంది:
సంవర్గమానం యొక్క వాదన సాధారణంగా దాని స్థాయిలో వ్రాయబడుతుంది మరియు ఆధారం లాగరిథమ్ గుర్తుకు దగ్గరగా సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లో వ్రాయబడుతుంది. మరియు ఈ ఎంట్రీ ఇలా ఉంది: "ఇరవై ఐదు నుండి బేస్ ఐదు వరకు సంవర్గమానం."
సంవర్గమానాన్ని ఎలా లెక్కించాలి?
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి: వాదనను పొందడానికి ఆధారాన్ని ఏ శక్తికి పెంచాలి?
ఉదాహరణకి, సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
ఎ) \(16\) పొందడానికి \(4\) ఏ శక్తిని పెంచాలి? స్పష్టంగా రెండవది. అందుకే:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) \(1\) పొందడానికి \(\sqrt(5)\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? ఏ శక్తి ఏదైనా నంబర్ వన్ చేస్తుంది? జీరో, అయితే!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) పొందేందుకు \(\sqrt(7)\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? ముందుగా, మొదటి శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య దానికదే సమానం.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
ఇ) \(\sqrt(3)\)ని పొందేందుకు \(3\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? దాని నుండి అది ఏమిటో మనకు తెలుసు పాక్షిక శక్తి, మరియు దీని అర్థం వర్గమూలం\(\frac(1)(2)\) యొక్క శక్తి.
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
ఉదాహరణ : సంవర్గమానాన్ని లెక్కించు \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
పరిష్కారం :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
సంవర్గమానం యొక్క విలువను మనం కనుగొనాలి, దానిని x గా సూచిస్తాము. ఇప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించుకుందాం: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
\(4\sqrt(2)\) మరియు \(8\)ని ఏది కలుపుతుంది? రెండు, ఎందుకంటే రెండు సంఖ్యలను రెండుల ద్వారా సూచించవచ్చు: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
ఎడమవైపున మేము డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) మరియు \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
స్థావరాలు సమానంగా ఉంటాయి, మేము సూచికల సమానత్వానికి వెళ్తాము |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \(\frac(2)(5)\)తో గుణించండి |
|
|
ఫలిత మూలం సంవర్గమానం యొక్క విలువ |
సమాధానం : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
సంవర్గమానం ఎందుకు కనుగొనబడింది?
దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం: \(3^(x)=9\). సమానత్వం పని చేయడానికి \(x\)ని సరిపోల్చండి. అయితే, \(x=2\).
ఇప్పుడు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: \(3^(x)=8\).ఎందుకు xకి సమానం? అదీ విషయం.
తెలివైన వారు ఇలా అంటారు: "X రెండు కంటే కొంచెం తక్కువ." ఈ సంఖ్యను సరిగ్గా ఎలా వ్రాయాలి? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, సంవర్గమానం కనుగొనబడింది. అతనికి ధన్యవాదాలు, ఇక్కడ సమాధానం \(x=\log_(3)(8)\) అని వ్రాయవచ్చు.
నేను \(\log_(3)(8)\), ఇష్టం అని నొక్కి చెప్పాలనుకుంటున్నాను ఏదైనా సంవర్గమానం కేవలం ఒక సంఖ్య. అవును, ఇది అసాధారణంగా కనిపిస్తుంది, కానీ ఇది చిన్నది. ఎందుకంటే ఫారంలో రాయాలనుకున్నా దశాంశ, అప్పుడు ఇది ఇలా ఉంటుంది: \(1.892789260714.....\)
ఉదాహరణ : సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(4^(5x-4)=10\)
పరిష్కారం :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) మరియు \(10\) ఒకే స్థావరానికి తీసుకురాలేదు. మీరు లాగరిథమ్ లేకుండా చేయలేరని దీని అర్థం. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
X ఎడమవైపు ఉండేలా సమీకరణాన్ని తిప్పుదాం |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
మా ముందు. \(4\)ని కుడివైపుకి తరలిద్దాం. మరియు లాగరిథమ్ గురించి భయపడవద్దు, దానిని సాధారణ సంఖ్య వలె పరిగణించండి. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
సమీకరణాన్ని 5తో భాగించండి |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
ఇది మన మూలం. అవును, ఇది అసాధారణంగా కనిపిస్తోంది, కానీ వారు సమాధానాన్ని ఎంచుకోలేదు. |
సమాధానం : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
దశాంశ మరియు సహజ సంవర్గమానాలు
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనంలో పేర్కొన్నట్లుగా, దాని ఆధారం ఏదైనా కావచ్చు సానుకూల సంఖ్య, యూనిట్ \((a>0, a\neq1)\) తప్ప. మరియు సాధ్యమయ్యే అన్ని స్థావరాల మధ్య, చాలా తరచుగా సంభవించే రెండు ఉన్నాయి, వాటితో లాగరిథమ్‌ల కోసం ప్రత్యేక సంక్షిప్త సంజ్ఞామానం కనుగొనబడింది:
సహజ సంవర్గమానం: ఆయులర్ సంఖ్య \(e\) (సుమారుగా \(2.7182818...\)కి సమానం), మరియు సంవర్గమానం \(\ln(a)\)గా వ్రాయబడిన సంవర్గమానం.
అంటే, \(\ln(a)\) అంటే \(\log_(e)(a)\)
దశాంశ సంవర్గమానం: 10 బేస్ ఉన్న సంవర్గమానం \(\lg(a)\) అని వ్రాయబడుతుంది.
అంటే, \(\lg(a)\) అంటే \(\log_(10)(a)\), ఇక్కడ \(a\) అనేది కొంత సంఖ్య.
ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
లాగరిథమ్స్ అనేక లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. వాటిలో ఒకటి "బేసిక్ లాగరిథమిక్ ఐడెంటిటీ" అని పిలువబడుతుంది మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
ఈ ఆస్తి నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది. అసలు ఈ ఫార్ములా ఎలా వచ్చిందో చూద్దాం.
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం యొక్క చిన్న సంజ్ఞామానాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:
\(a^(b)=c\), అయితే \(\log_(a)(c)=b\)
అంటే, \(b\) అనేది \(\log_(a)(c)\). అప్పుడు మనం \(\log_(a)(c)\)ని \(b\) సూత్రంలో \(a^(b)=c\) అని వ్రాయవచ్చు. ఇది \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ప్రధాన సంవర్గమాన గుర్తింపు.
మీరు లాగరిథమ్‌ల యొక్క ఇతర లక్షణాలను కనుగొనవచ్చు. వారి సహాయంతో, మీరు నేరుగా గణించడం కష్టంగా ఉండే లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణల విలువలను సరళీకృతం చేయవచ్చు మరియు లెక్కించవచ్చు.
ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి \(36^(\log_(6)(5))\)
పరిష్కారం :
సమాధానం : \(25\)
సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా ఎలా వ్రాయాలి?
పైన చెప్పినట్లుగా, ఏదైనా సంవర్గమానం కేవలం ఒక సంఖ్య మాత్రమే. సంభాషణ కూడా నిజం: ఏదైనా సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, \(\log_(2)(4)\) రెండుకి సమానం అని మనకు తెలుసు. అప్పుడు రెండింటికి బదులుగా మీరు \(\log_(2)(4)\) అని వ్రాయవచ్చు.
కానీ \(\log_(3)(9)\) కూడా \(2\)కి సమానం, అంటే మనం \(2=\log_(3)(9)\) అని కూడా వ్రాయవచ్చు. అదేవిధంగా \(\log_(5)(25)\), మరియు \(\log_(9)(81)\), మొదలైన వాటితో. అంటే, అది మారుతుంది
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ లాగ్_(7)(49)...\)
ఈ విధంగా, మనకు అవసరమైతే, మనం ఎక్కడైనా ఏదైనా బేస్‌తో లాగరిథమ్‌గా రెండింటిని వ్రాయవచ్చు (అది సమీకరణంలో, వ్యక్తీకరణలో లేదా అసమానతలో కావచ్చు) - మేము బేస్ స్క్వేర్డ్‌ను ఆర్గ్యుమెంట్‌గా వ్రాస్తాము.
ఇది ట్రిపుల్‌తో సమానంగా ఉంటుంది – దీనిని \(\log_(2)(8)\), లేదా \(\log_(3)(27)\), లేదా \(\log_(4)( అని వ్రాయవచ్చు 64) \)... ఇక్కడ మనం క్యూబ్‌లో ఆధారాన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌గా వ్రాస్తాము:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ లాగ్_(7)(343)...\)
మరియు నలుగురితో:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
మరియు మైనస్ ఒకటితో:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
మరియు మూడవ వంతుతో:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
\(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) ఏదైనా సంఖ్య \(a\)ని సంవర్గమానంగా సూచించవచ్చు
ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
పరిష్కారం :
సమాధానం : \(1\)
సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం ఎన్ ఆధారంగా ఎ ఘాతాంకం అంటారు X , మీరు నిర్మించాల్సిన అవసరం ఉంది ఎ సంఖ్యను పొందడానికి ఎన్
అందించిన 
,
,
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది 
, అనగా
- ఈ సమానత్వం ప్రాథమికమైనది లాగరిథమిక్ గుర్తింపు.
బేస్ 10కి సంవర్గమానాలను దశాంశ సంవర్గమానాలు అంటారు. బదులుగా 
వ్రాయడానికి 
.
ఆధారానికి లాగరిథమ్స్ ఇ
సహజంగా పిలువబడతాయి మరియు నియమించబడ్డాయి 
.
లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు.
ఒకదాని సంవర్గమానం ఏదైనా ఆధారానికి సున్నాకి సమానం.
ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం కారకాల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.
3) గుణకం యొక్క సంవర్గమానం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం
కారకం 
లాగరిథమ్‌ల నుండి బేస్‌కు పరివర్తన యొక్క మాడ్యులస్ అని పిలుస్తారు a
బేస్ వద్ద లాగరిథమ్‌లకు బి
.
లక్షణాలు 2-5 ఉపయోగించి, సంవర్గమానాలపై సాధారణ అంకగణిత కార్యకలాపాల ఫలితంగా సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణ యొక్క సంవర్గమానాన్ని తగ్గించడం తరచుగా సాధ్యపడుతుంది.
ఉదాహరణకి, 
సంవర్గమానం యొక్క ఇటువంటి పరివర్తనలను లాగరిథమ్స్ అంటారు. లాగరిథమ్‌లకు విలోమ పరివర్తనలను పొటెన్షియేషన్ అంటారు.
అధ్యాయం 2. ఉన్నత గణిత అంశాలు.
1. పరిమితులు
ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి 
ఒక పరిమిత సంఖ్య A అయితే, వలె xx
0
ప్రతి ముందుగా నిర్ణయించిన కోసం 
, అటువంటి సంఖ్య ఉంది 
అని వెంటనే 
, ఆ 
.
పరిమితిని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ దాని నుండి అనంతమైన మొత్తానికి భిన్నంగా ఉంటుంది: 
, ఎక్కడ- b.m.v., i.e. 
.
ఉదాహరణ. ఫంక్షన్ పరిగణించండి 
.
ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు 
, ఫంక్షన్ వై
సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది: 
1.1 పరిమితుల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు.
పరిమితి స్థిరమైన విలువఈ స్థిరమైన విలువకు సమానం
.
మొత్తం (తేడా) పరిమితి పరిమిత సంఖ్యవిధులు ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల మొత్తానికి (తేడా) సమానం.
పరిమిత సంఖ్యలో ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క పరిమితి ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల ఉత్పత్తికి సమానం.
హారం యొక్క పరిమితి సున్నా కానట్లయితే, రెండు ఫంక్షన్ల కోటీన్ యొక్క పరిమితి ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది.
అద్భుతమైన పరిమితులు
,
, ఎక్కడ 
1.2 పరిమితి గణన ఉదాహరణలు
అయితే, అన్ని పరిమితులు అంత సులభంగా లెక్కించబడవు. చాలా తరచుగా, పరిమితిని లెక్కించడం అనేది రకం యొక్క అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి వస్తుంది: 
లేదా .
.
2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
మాకు ఒక ఫంక్షన్ చేద్దాం 
, విభాగంలో నిరంతరంగా 
.
వాదన 
కొంత పెరుగుదల వచ్చింది 
. అప్పుడు ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ అందుకుంటుంది 
.
వాదన విలువ 
ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది 
.
వాదన విలువ 
ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.
అందుకే, .
ఈ నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని ఇక్కడ కనుగొనండి 
. ఈ పరిమితి ఉంటే, అది ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అంటారు.
నిర్వచనం 3 ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం 
వాదన ద్వారా 
ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ ఏకపక్షంగా సున్నాకి మారినప్పుడు, ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి అంటారు.
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం 
ఈ క్రింది విధంగా నియమించబడవచ్చు:
;
;
;
.
నిర్వచనం 4 ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్ అంటారు భేదం.
2.1 ఉత్పన్నం యొక్క యాంత్రిక అర్థం.
కొన్ని దృఢమైన శరీరం లేదా మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క రెక్టిలినియర్ కదలికను పరిశీలిద్దాం.
ఏదో ఒక సమయంలో లెట్ 
కదిలే స్థానం 
దూరంలో ఉంది 
ప్రారంభ స్థానం నుండి 
.
కొంత కాలం తర్వాత 
ఆమె దూరం వెళ్ళింది 
. వైఖరి 
=
- సగటు వేగంపదార్థం పాయింట్ 
. దానిని పరిగణనలోకి తీసుకొని ఈ నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి 
.
అందువలన, నిర్వచనం తక్షణ వేగంపదార్థ బిందువు యొక్క చలనం సమయానికి సంబంధించి మార్గం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడంలో వస్తుంది.
2.2. రేఖాగణిత అర్థంఉత్పన్నం
గ్రాఫికల్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉండనివ్వండి 
.
అన్నం. 1. ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం
ఉంటే 
, అప్పుడు పాయింట్ 
, పాయింట్ సమీపించే వక్రరేఖ వెంట కదులుతుంది 
.
అందుకే 
, అనగా వాదన యొక్క ఇచ్చిన విలువ కోసం ఉత్పన్నం యొక్క విలువ 
అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సంఖ్యాపరంగా సమానం 
.
2.3 ప్రాథమిక భేద సూత్రాల పట్టిక.
పవర్ ఫంక్షన్
|
|
|
|
|
|
|
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్
|
|
|
|
|
లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్
|
|
|
|
|
త్రికోణమితి ఫంక్షన్
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 భేదం యొక్క నియమాలు.
యొక్క ఉత్పన్నం 
ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) యొక్క ఉత్పన్నం
రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం
రెండు ఫంక్షన్ల గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం
2.5 యొక్క ఉత్పన్నం క్లిష్టమైన ఫంక్షన్.
ఫంక్షన్ ఇవ్వనివ్వండి 
రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహించే విధంగా
మరియు 
, ఇక్కడ వేరియబుల్ 
అనేది ఇంటర్మీడియట్ వాదన 
కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్‌కు సంబంధించి ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు xకి సంబంధించి ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానం.
ఉదాహరణ 1. 
ఉదాహరణ 2. 
3. డిఫరెన్షియల్ ఫంక్షన్.
ఉండనివ్వండి 
, కొంత విరామంలో తేడా ఉంటుంది 
దాన్ని పోనివ్వు వద్ద
ఈ ఫంక్షన్ ఒక ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంది
,
అప్పుడు మనం వ్రాయవచ్చు
(1),
ఎక్కడ 
- అనంతమైన పరిమాణం,
ఎప్పట్నుంచి 
సమానత్వం యొక్క అన్ని నిబంధనలను (1) ద్వారా గుణించడం 
మాకు ఉన్నాయి:
ఎక్కడ 
- బి.ఎం.వి. ఉన్నత శ్రేణుల.
పరిమాణం 
ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన అని పిలుస్తారు 
మరియు నియమించబడినది 
.
3.1 భేదం యొక్క రేఖాగణిత విలువ.
ఫంక్షన్ ఇవ్వనివ్వండి 
.
Fig.2. అవకలన యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.
.
సహజంగానే, ఫంక్షన్ యొక్క భేదం 
ఇచ్చిన బిందువు వద్ద టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌కు సమానం.
3.2 వివిధ ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలు మరియు భేదాలు.
ఒకవేళ వుంటె 
, అప్పుడు 
మొదటి ఉత్పన్నం అంటారు.
మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నం అని పిలుస్తారు మరియు వ్రాయబడుతుంది 
.
ఫంక్షన్ యొక్క nవ క్రమం యొక్క ఉత్పన్నం 
(n-1)వ ఆర్డర్ ఉత్పన్నం అని పిలుస్తారు మరియు వ్రాయబడింది:
.
ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క అవకలనాన్ని రెండవ అవకలన లేదా రెండవ ఆర్డర్ అవకలన అంటారు.
.
.
3.3 భేదాన్ని ఉపయోగించి జీవసంబంధ సమస్యలను పరిష్కరించడం.
టాస్క్ 1. సూక్ష్మజీవుల కాలనీ పెరుగుదల చట్టానికి లోబడి ఉంటుందని అధ్యయనాలు చెబుతున్నాయి 
, ఎక్కడ ఎన్
- సూక్ష్మజీవుల సంఖ్య (వేలల్లో), t
- సమయం (రోజులు).
బి) ఈ కాలంలో కాలనీ జనాభా పెరుగుతుందా లేదా తగ్గుతుందా?
సమాధానం. కాలనీ విస్తీర్ణం పెరుగుతుంది.
టాస్క్ 2. వ్యాధికారక బాక్టీరియా యొక్క కంటెంట్‌ను పర్యవేక్షించడానికి సరస్సులోని నీరు క్రమానుగతంగా పరీక్షించబడుతుంది. ద్వారా t పరీక్ష తర్వాత రోజుల తర్వాత, బ్యాక్టీరియా యొక్క ఏకాగ్రత నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
.
సరస్సులో బ్యాక్టీరియా కనీస సాంద్రత ఎప్పుడు ఉంటుంది మరియు దానిలో ఈత కొట్టడం సాధ్యమవుతుందా?
పరిష్కారం: ఒక ఫంక్షన్ దాని ఉత్పన్నం సున్నా అయినప్పుడు గరిష్టం లేదా నిమికి చేరుకుంటుంది.
,
6 రోజులలో గరిష్టం లేదా నిమి అని నిశ్చయించుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుందాం.
సమాధానం: 6 రోజుల తర్వాత బ్యాక్టీరియా కనీస సాంద్రత ఉంటుంది.
(గ్రీకు నుండి λόγος - “పదం”, “సంబంధం” మరియు ἀριθμός - “సంఖ్య”) సంఖ్యలు బిఆధారంగా a(లాగ్ α బి) అటువంటి సంఖ్య అంటారు సి, మరియు బి= ఒక సి, అంటే, రికార్డుల లాగ్ α బి=సిమరియు b=aసిసమానంగా ఉంటాయి. ఒక > 0, a ≠ 1, b > 0 అయితే సంవర్గమానం అర్థవంతంగా ఉంటుంది.
వేరే పదాల్లో సంవర్గమానంసంఖ్యలు బిఆధారంగా ఎఒక ఘాతాంకం వలె రూపొందించబడింది, దీనికి ఒక సంఖ్యను తప్పనిసరిగా పెంచాలి aసంఖ్యను పొందడానికి బి(సంవర్గమానం సానుకూల సంఖ్యలకు మాత్రమే ఉంటుంది).
ఈ సూత్రీకరణ నుండి గణన x= లాగ్ α బి, a x =b సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సమానం.
ఉదాహరణకి:
లాగ్ 2 8 = 3 ఎందుకంటే 8 = 2 3 .
సంవర్గమానం యొక్క సూచించిన సూత్రీకరణ వెంటనే గుర్తించడం సాధ్యం చేస్తుందని నొక్కి చెప్పండి సంవర్గమాన విలువ, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య బేస్ యొక్క నిర్దిష్ట శక్తిగా పనిచేసినప్పుడు. నిజానికి, సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ దానిని సమర్థించడం సాధ్యం చేస్తుంది b=a c, ఆపై సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా aసమానం తో. లాగరిథమ్‌ల అంశం టాపిక్‌తో దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉందని కూడా స్పష్టమైంది సంఖ్య యొక్క అధికారాలు.
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడం అంటారు సంవర్గమానం. సంవర్గమానం ఉంది గణిత ఆపరేషన్సంవర్గమానాన్ని తీసుకోవడం. లాగరిథమ్‌లను తీసుకున్నప్పుడు, కారకాల ఉత్పత్తులు పదాల మొత్తాలుగా రూపాంతరం చెందుతాయి.
పొటెన్షియేషన్సంవర్గమానం యొక్క విలోమ గణిత ఆపరేషన్. పొటెన్షియేషన్ సమయంలో, ఇచ్చిన బేస్ పొటెన్షియేషన్ ప్రదర్శించబడే వ్యక్తీకరణ స్థాయికి పెంచబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, నిబంధనల మొత్తాలు కారకాల ఉత్పత్తిగా రూపాంతరం చెందుతాయి.
స్థావరాలు 2 (బైనరీ)తో కూడిన నిజమైన లాగరిథమ్‌లు చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి, ఇ యూలర్ సంఖ్య ఇ ≈ 2.718 ( సహజ సంవర్గమానం) మరియు 10 (దశాంశం).
పై ఈ పరిస్తితిలోపరిగణలోకి తీసుకోవడం మంచిది లాగరిథమ్ నమూనాలులాగ్ 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
మరియు ఎంట్రీలు lg (-3), లాగ్ -3 3.2, లాగ్ -1 -4.3 అర్ధవంతం కాదు, ఎందుకంటే వాటిలో మొదటిదానిలో ప్రతికూల సంఖ్య లాగరిథమ్ గుర్తు క్రింద ఉంచబడుతుంది, రెండవది - ప్రతికూల సంఖ్యబేస్‌లో, మరియు మూడవది - సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ప్రతికూల సంఖ్య మరియు బేస్‌లో ఒక యూనిట్ రెండూ.
సంవర్గమానాన్ని నిర్ణయించడానికి షరతులు.
a > 0, a ≠ 1, b > 0. మేము పొందే షరతులను విడిగా పరిగణించడం విలువైనది సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం.ఈ ఆంక్షలు ఎందుకు తీసుకున్నారో చూద్దాం. x = log α రూపం యొక్క సమానత్వం దీనికి మాకు సహాయం చేస్తుంది బి, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు అని పిలుస్తారు, ఇది నేరుగా పైన ఇవ్వబడిన లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది.
షరతు తీసుకుందాం a≠1. ఏదైనా శక్తికి ఒకటి ఒకదానికి సమానం కాబట్టి, సమానత్వం x=log α బిఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఉనికిలో ఉంటుంది b=1, కానీ లాగ్ 1 1 ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య అవుతుంది. ఈ అస్పష్టతను తొలగించడానికి, మేము తీసుకుంటాము a≠1.
పరిస్థితి యొక్క ఆవశ్యకతను నిరూపిద్దాం a>0. వద్ద a=0సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ ప్రకారం మాత్రమే ఉనికిలో ఉంటుంది b=0. మరియు తదనుగుణంగా అప్పుడు లాగ్ 0 0ఏదైనా సున్నా కాని వాస్తవ సంఖ్య అయినా కావచ్చు, ఎందుకంటే సున్నాకి సున్నా కాని శక్తికి సున్నా. ఈ అస్పష్టత పరిస్థితి ద్వారా తొలగించబడుతుంది a≠0. మరి ఎప్పుడూ a<0 సంవర్గమానం యొక్క హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక విలువల విశ్లేషణను మేము తిరస్కరించవలసి ఉంటుంది, ఎందుకంటే హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక ఘాతాంకం కలిగిన డిగ్రీ ప్రతికూలత లేని స్థావరాలకు మాత్రమే నిర్వచించబడుతుంది. ఈ కారణంగానే షరతు విధించారు a>0.
మరియు చివరి పరిస్థితి b>0అసమానత నుండి అనుసరిస్తుంది a>0, x=లాగ్ α నుండి బి, మరియు సానుకూల ఆధారంతో డిగ్రీ విలువ aఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.
లాగరిథమ్స్ యొక్క లక్షణాలు.
లాగరిథమ్స్విలక్షణమైన లక్షణం లక్షణాలు, ఇది శ్రమతో కూడిన గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేయడానికి వారి విస్తృత వినియోగానికి దారితీసింది. "లాగరిథమ్‌ల ప్రపంచానికి" వెళ్లినప్పుడు, గుణకారం చాలా ఎక్కువ రూపాంతరం చెందుతుంది సులభంగా మడత, విభజన అనేది వ్యవకలనం, మరియు ఘాతాంకం మరియు మూల సంగ్రహణ వరుసగా, ఘాతాంకం ద్వారా గుణకారం మరియు భాగహారంగా రూపాంతరం చెందుతాయి.
లాగరిథమ్‌ల సూత్రీకరణ మరియు వాటి విలువల పట్టిక (కోసం త్రికోణమితి విధులు) మొదటిసారిగా 1614లో స్కాటిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జాన్ నేపియర్చే ప్రచురించబడింది. ఇతర శాస్త్రవేత్తలచే విస్తరించబడిన మరియు వివరించబడిన లాగరిథమిక్ పట్టికలు శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ గణనలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడ్డాయి మరియు ఎలక్ట్రానిక్ కాలిక్యులేటర్లు మరియు కంప్యూటర్ల ఉపయోగం వరకు సంబంధితంగా ఉన్నాయి.