దశాంశ భిన్నం అంటే ఏమిటి? దశాంశాలు

దశాంశాలు- ఇవి ఒకే సాధారణ భిన్నాలు, కానీ పిలవబడేవి దశాంశ సంజ్ఞామానం. 10, 100, 1000, మొదలైన హారం కలిగిన భిన్నాలకు దశాంశ సంజ్ఞామానం ఉపయోగించబడుతుంది. భిన్నాలకు బదులుగా, 1/10; 1/100; 1/1000; ... 0.1 వ్రాయండి; 0.01; 0.001;... .

ఉదాహరణకు, 0.7 ( సున్నా పాయింట్ ఏడు) ఒక భిన్నం 7/10; 5.43 ( ఐదు పాయింట్ నలభై మూడు) మిశ్రమ భిన్నం 5 43/100 (లేదా, అదే, సరికాని భిన్నం 543/100).

దశాంశ బిందువు తర్వాత వెంటనే ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సున్నాలు ఉండవచ్చు: 1.03 భిన్నం 1 3/100; 17.0087 భిన్నం 17 87/10000. సాధారణ నియమంఇదేనా: సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం దశాంశ భిన్నంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని అంకెలు ఉంటే అంత సున్నాలను కలిగి ఉండాలి.

దశాంశ భిన్నం ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సున్నాలతో ముగియవచ్చు. ఈ సున్నాలు "అదనపు" అని తేలింది - అవి కేవలం తీసివేయబడతాయి: 1.30 = 1.3; 5.4600 = 5.46; 3,000 = 3. ఇది ఎందుకు అని గుర్తించండి?

దశాంశాలు సహజంగా "రౌండ్" సంఖ్యలతో విభజించినప్పుడు ఉత్పన్నమవుతాయి - 10, 100, 1000, ... ఈ క్రింది ఉదాహరణలను అర్థం చేసుకోండి:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

మీరు ఇక్కడ ఒక నమూనాను గమనించారా? దానిని రూపొందించడానికి ప్రయత్నించండి. మీరు దశాంశ భిన్నాన్ని 10, 100, 1000తో గుణిస్తే ఏమి జరుగుతుంది?

అనువదించడానికి సాధారణ భిన్నందశాంశానికి, మీరు దానిని కొన్ని "రౌండ్" హారంకి తీసుకురావాలి:

2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5, మొదలైనవి.

భిన్నాలను జోడించడం కంటే దశాంశాలను జోడించడం చాలా సులభం. సంకలనం సాధారణ సంఖ్యల మాదిరిగానే నిర్వహించబడుతుంది - సంబంధిత అంకెల ప్రకారం. నిలువు వరుసలో జోడించేటప్పుడు, నిబంధనలను తప్పనిసరిగా వ్రాయాలి, తద్వారా వాటి కామాలు ఒకే నిలువుగా ఉంటాయి. మొత్తం యొక్క కామా కూడా అదే నిలువుగా ఉంటుంది. దశాంశ భిన్నాల వ్యవకలనం సరిగ్గా అదే విధంగా నిర్వహించబడుతుంది.

భిన్నాలలో ఒకదానిలో జోడించేటప్పుడు లేదా తీసివేసేటప్పుడు, దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెల సంఖ్య మరొకదాని కంటే తక్కువగా ఉంటే, ఈ భిన్నం చివరలో మీరు జోడించాలి సరైన సంఖ్యసున్నాలు. మీరు ఈ సున్నాలను జోడించలేరు, కానీ వాటిని మీ మనస్సులో ఊహించుకోండి.

దశాంశ భిన్నాలను గుణించేటప్పుడు, వాటిని మళ్లీ ఇలా గుణించాలి సాధారణ సంఖ్యలు(ఈ సందర్భంలో, ఇకపై కామా కింద కామా రాయాల్సిన అవసరం లేదు). ఫలిత ఫలితంలో, మీరు రెండు కారకాలలో మొత్తం దశాంశ స్థానాల సంఖ్యకు సమానమైన అంకెల సంఖ్యను కామాతో వేరు చేయాలి.

దశాంశ భిన్నాలను విభజించేటప్పుడు, మీరు ఏకకాలంలో డివిడెండ్ మరియు డివైజర్‌లోని దశాంశ బిందువును అదే సంఖ్యలో స్థలాల ద్వారా కుడి వైపుకు తరలించవచ్చు: ఇది గుణకాన్ని మార్చదు:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

ఇది ఎందుకు అని వివరించండి?

1. 10x10 చతురస్రాన్ని గీయండి. దానిలో కొంత భాగానికి సమానంగా పెయింట్ చేయండి: a) 0.02; బి) 0.7; సి) 0.57; d) 0.91; ఇ) మొత్తం చతురస్రం యొక్క 0.135 ప్రాంతం.
2. 2.43 చదరపు అంటే ఏమిటి? దానిని చిత్రంలో గీయండి.
3. 37 సంఖ్యను 10తో భాగించండి; 795; 4; 2.3; 65.27; 0.48 మరియు ఫలితాన్ని దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయండి. అదే సంఖ్యలను 100 మరియు 1000తో భాగించండి.
4. 4.6 సంఖ్యలను 10తో గుణించండి; 6.52; 23.095; 0.01999. ఒకే సంఖ్యలను 100 మరియు 1000తో గుణించండి.
5. దశాంశాన్ని భిన్నం వలె సూచించండి మరియు దానిని తగ్గించండి:
   ఎ) 0.5; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
   బి) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
   సి) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
   d) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848.
6. రూపంలో ఊహించుకోండి మిశ్రమ భిన్నం: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. భిన్నాన్ని దశాంశంగా వ్యక్తపరచండి:
   ఎ) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   బి) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   సి) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. మొత్తాన్ని కనుగొనండి: a) 7.3+12.8; బి) 65.14+49.76; సి) 3.762+12.85; డి) 85.4+129.756; ఇ) 1.44+2.56.
9. ఒకటి రెండు దశాంశాల మొత్తంగా భావించండి. ఈ విధంగా ప్రదర్శించడానికి మరో ఇరవై మార్గాలను కనుగొనండి.
10. వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి: a) 13.4–8.7; బి) 74.52–27.04; సి) 49.736–43.45; డి) 127.24–93.883; ఇ) 67–52.07; ఇ) 35.24–34.9975.
11. ఉత్పత్తిని కనుగొనండి: a) 7.6·3.8; బి) 4.8 · 12.5; సి) 2.39 · 7.4; d) 3.74·9.65.

ఈ వ్యాసం గురించి దశాంశాలు. ఇక్కడ మనం దశాంశ సంజ్ఞామానంతో వ్యవహరిస్తాము భిన్న సంఖ్యలు, మేము దశాంశ భిన్నం యొక్క భావనను పరిచయం చేస్తాము మరియు దశాంశ భిన్నాలకు ఉదాహరణలు ఇస్తాము. తరువాత మేము దశాంశ భిన్నాల సంఖ్యల గురించి మాట్లాడుతాము మరియు అంకెల పేర్లను ఇస్తాము. దీని తరువాత, మేము అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలపై దృష్టి పెడతాము, ఆవర్తన మరియు నాన్-ఆవర్తన భిన్నాల గురించి మాట్లాడుదాం. తరువాత మేము దశాంశ భిన్నాలతో ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను జాబితా చేస్తాము. ముగింపులో, కోఆర్డినేట్ బీమ్‌పై దశాంశ భిన్నాల స్థానాన్ని ఏర్పాటు చేద్దాం.

పేజీ నావిగేషన్.

పాక్షిక సంఖ్య యొక్క దశాంశ సంజ్ఞామానం

దశాంశాలను చదవడం

దశాంశ భిన్నాలను చదవడానికి నియమాల గురించి కొన్ని మాటలు చెప్పండి.

సరైన సాధారణ భిన్నాలకు అనుగుణంగా ఉండే దశాంశ భిన్నాలు ఈ సాధారణ భిన్నాల మాదిరిగానే చదవబడతాయి, మొదట “సున్నా పూర్ణాంకం” మాత్రమే జోడించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 0.12 సాధారణ భిన్నం 12/100కి అనుగుణంగా ఉంటుంది (“పన్నెండు వందల” చదవండి), కాబట్టి, 0.12 “సున్నా పాయింట్ పన్నెండు వందల”గా చదవబడుతుంది.

మిశ్రమ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉండే దశాంశ భిన్నాలు ఈ మిశ్రమ సంఖ్యల మాదిరిగానే చదవబడతాయి. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 56.002 అనుగుణంగా ఉంటుంది మిశ్రమ సంఖ్య, కాబట్టి, దశాంశ భిన్నం 56.002 "యాభై-ఆరు పాయింట్ రెండు వేల వంతు"గా చదవబడుతుంది.

దశాంశాలలో స్థానాలు

దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయడంలో, అలాగే వ్రాతపూర్వకంగా సహజ సంఖ్యలు, ప్రతి అంకె యొక్క అర్థం దాని స్థానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. నిజానికి, దశాంశ భిన్నం 0.3లోని సంఖ్య 3 అంటే మూడు పదవ వంతులు, దశాంశ భిన్నంలో 0.0003 - మూడు పదివేలు, మరియు దశాంశ భిన్నంలో 30,000.152 - మూడు పదివేలు. కాబట్టి మనం మాట్లాడుకోవచ్చు దశాంశ స్థానాలు, అలాగే సహజ సంఖ్యలలోని అంకెల గురించి.

వరకు దశాంశ స్థానాల పేర్లు దశాంశ బిందువుసహజ సంఖ్యలలోని అంకెల పేర్లతో పూర్తిగా ఏకీభవిస్తుంది. మరియు దశాంశ బిందువు తర్వాత దశాంశ స్థానాల పేర్లను క్రింది పట్టిక నుండి చూడవచ్చు.

ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 37.051లో, అంకె 3 పదుల స్థానంలో, 7 యూనిట్ల స్థానంలో, 0 పదవ స్థానంలో, 5 వందవ స్థానంలో మరియు 1 వేల స్థానంలో ఉంది.

దశాంశ భిన్నాలలో ఉన్న స్థలాలు ప్రాధాన్యతలో కూడా భిన్నంగా ఉంటాయి. దశాంశ భిన్నాన్ని వ్రాసేటప్పుడు మనం అంకెల నుండి అంకెలకు ఎడమ నుండి కుడికి తరలిస్తే, మనం దీని నుండి కదులుతాము సీనియర్లుకు జూనియర్ ర్యాంకులు. ఉదాహరణకు, వందల స్థానం పదవ స్థానం కంటే పాతది మరియు మిలియన్ల స్థానం వందవ స్థానం కంటే తక్కువ. ఇచ్చిన చివరి దశాంశ భిన్నంలో, మేము పెద్ద మరియు చిన్న అంకెల గురించి మాట్లాడవచ్చు. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 604.9387 సీనియర్ (అత్యధిక)స్థలం వందల స్థలం, మరియు జూనియర్ (అత్యల్ప)- పదివేల వంతు అంకెలు.

దశాంశ భిన్నాలకు, అంకెల్లోకి విస్తరణ జరుగుతుంది. ఇది సహజ సంఖ్యల అంకెల్లోకి విస్తరించడాన్ని పోలి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, 45.6072 దశాంశ స్థానాలకు విస్తరణ క్రింది విధంగా ఉంది: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. మరియు దశాంశ భిన్నం యొక్క కుళ్ళిపోవడం నుండి అంకెలకు జోడించడం యొక్క లక్షణాలు ఈ దశాంశ భిన్నం యొక్క ఇతర ప్రాతినిధ్యాలకు వెళ్లడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి, ఉదాహరణకు, 45.6072=45+0.6072, లేదా 45.6072=40.6+5.007+0.0002, లేదా 4.7202, లేదా 450=45. 0.6

ముగింపు దశాంశాలు

ఈ పాయింట్ వరకు, మేము దశాంశ భిన్నాల గురించి మాత్రమే మాట్లాడాము, వీటిలో దశాంశ బిందువు తర్వాత పరిమిత సంఖ్యలో అంకెలు ఉంటాయి. ఇటువంటి భిన్నాలను పరిమిత దశాంశాలు అంటారు.

నిర్వచనం.

ముగింపు దశాంశాలు- ఇవి దశాంశ భిన్నాలు, వీటి రికార్డుల్లో పరిమిత సంఖ్యలో అక్షరాలు (అంకెలు) ఉంటాయి.

చివరి దశాంశ భిన్నాలకు ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

అయితే, ప్రతి భిన్నం తుది దశాంశంగా సూచించబడదు. ఉదాహరణకు, 5/13 భిన్నం 10, 100, ... అనే హారంలో ఒకదానితో సమానమైన భిన్నంతో భర్తీ చేయబడదు, కాబట్టి, తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడదు. సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మారుస్తూ, సిద్ధాంత విభాగంలో దీని గురించి మరింత మాట్లాడతాము.

అనంతమైన దశాంశాలు: ఆవర్తన భిన్నాలు మరియు నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు

దశాంశ బిందువు తర్వాత దశాంశ భిన్నాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, మనం కలిగి ఉండే అవకాశాన్ని ఊహించవచ్చు అనంతమైన సంఖ్యసంఖ్యలు ఈ సందర్భంలో, మేము అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలు అని పిలవబడే వాటిని పరిగణలోకి తీసుకుంటాము.

నిర్వచనం.

అనంత దశాంశాలు- ఇవి దశాంశ భిన్నాలు, వీటిలో రికార్డింగ్ ఉంటుంది అనంతమైన సెట్సంఖ్యలు

మేము పూర్తి రూపంలో అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయలేము, కాబట్టి వాటి రికార్డింగ్‌లో మనం కొన్నింటికి మాత్రమే పరిమితం అవుతాము. పరిమిత సంఖ్యదశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యలు మరియు అనంతంగా కొనసాగుతున్న సంఖ్యల క్రమాన్ని సూచించే దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని ఉంచండి. ఇక్కడ అనంత దశాంశ భిన్నాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

మీరు చివరి రెండు అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను నిశితంగా పరిశీలిస్తే, 2.111111111 భిన్నంలో... అనంతంగా పునరావృతమయ్యే సంఖ్య 1 స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది మరియు భిన్నం 69.74152152152..., మూడవ దశాంశ స్థానం నుండి ప్రారంభించి, పునరావృతమయ్యే సంఖ్యల సమూహం 1, 5 మరియు 2 స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి. అటువంటి అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను ఆవర్తన అంటారు.

నిర్వచనం.

ఆవర్తన దశాంశాలు(లేదా కేవలం ఆవర్తన భిన్నాలు) అంతులేని దశాంశ భిన్నాలు, వీటి రికార్డింగ్‌లో, ఒక నిర్దిష్ట దశాంశ స్థానం నుండి ప్రారంభించి, కొంత సంఖ్య లేదా సంఖ్యల సమూహం అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది, దీనిని అంటారు భిన్నం యొక్క కాలం.

ఉదాహరణకు, కాలం ఆవర్తన భిన్నం 2.111111111... అనేది అంకె 1, మరియు భిన్నం 69.74152152152... అనేది ఫారమ్ 152 యొక్క అంకెల సమూహం.

అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలకు ఇది అంగీకరించబడుతుంది ప్రత్యేక ఆకారంరికార్డులు. సంక్షిప్తత కోసం, కుండలీకరణాల్లో చేర్చి, వ్యవధిని ఒకసారి వ్రాయడానికి మేము అంగీకరించాము. ఉదాహరణకు, ఆవర్తన భిన్నం 2.111111111... 2,(1) , మరియు ఆవర్తన భిన్నం 69.74152152152... 69.74(152) అని వ్రాయబడింది.

అదే ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం కోసం మీరు పేర్కొనవచ్చు వివిధ కాలాలు. ఉదాహరణకు, ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం 0.73333... 3 వ్యవధితో భిన్నం 0.7(3)గా పరిగణించబడుతుంది మరియు 33 వ్యవధితో భిన్నం 0.7(33) మరియు 0.7(333), 0.7 (3333), ... మీరు ఆవర్తన భిన్నం 0.73333ని కూడా చూడవచ్చు... ఇలా: 0.733(3), లేదా ఇలా 0.73(333), మొదలైనవి. ఇక్కడ, అస్పష్టత మరియు వ్యత్యాసాలను నివారించడానికి, దశాంశ భిన్నం యొక్క వ్యవధిని పునరావృతమయ్యే అంకెల యొక్క అన్ని శ్రేణులలో చిన్నదిగా పరిగణించడానికి మేము అంగీకరిస్తున్నాము మరియు దశాంశ బిందువుకు దగ్గరి స్థానం నుండి ప్రారంభించి. అంటే, దశాంశ భిన్నం యొక్క కాలం 0.73333... ఒక అంకె 3 యొక్క క్రమంగా పరిగణించబడుతుంది మరియు ఆవర్తన దశాంశ బిందువు తర్వాత రెండవ స్థానం నుండి ప్రారంభమవుతుంది, అంటే 0.73333...=0.7(3). మరొక ఉదాహరణ: ఆవర్తన భిన్నం 4.7412121212... 12 వ్యవధిని కలిగి ఉంది, ఆవర్తన దశ దశాంశ బిందువు తర్వాత మూడవ అంకె నుండి ప్రారంభమవుతుంది, అంటే 4.7412121212...=4.74(12).

అనంతమైన దశాంశ ఆవర్తన భిన్నాలు దశాంశ భిన్నాలుగా మార్చడం ద్వారా పొందబడతాయి, దీని హారం కలిగి ఉన్న సాధారణ భిన్నాలు ప్రధాన కారకాలు, 2 మరియు 5 నుండి భిన్నమైనది.

ఇక్కడ 9 వ్యవధితో ఆవర్తన భిన్నాలను పేర్కొనడం విలువ. అటువంటి భిన్నాలకు ఉదాహరణలను ఇద్దాం: 6.43(9) , 27,(9) . ఈ భిన్నాలు పీరియడ్ 0తో ఆవర్తన భిన్నాలకు మరొక సంజ్ఞామానం, మరియు అవి సాధారణంగా పీరియడ్ 0తో ఆవర్తన భిన్నాలతో భర్తీ చేయబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, పీరియడ్ 9ని పీరియడ్ 0తో భర్తీ చేస్తారు మరియు తదుపరి అత్యధిక అంకె విలువ ఒకటి పెరిగింది. ఉదాహరణకు, ఫారమ్ 7.24(9) యొక్క వ్యవధి 9తో ఉన్న భిన్నం 7.25(0) లేదా సమానమైన చివరి దశాంశ భిన్నం 7.25 యొక్క పీరియడ్ 0తో ఆవర్తన భిన్నంతో భర్తీ చేయబడుతుంది. మరొక ఉదాహరణ: 4,(9)=5,(0)=5. ఈ దశాంశ భిన్నాలను సమాన సాధారణ భిన్నాలతో భర్తీ చేసిన తర్వాత 9వ వ్యవధితో భిన్నం యొక్క సమానత్వం మరియు వ్యవధి 0తో దాని సంబంధిత భిన్నం సులభంగా స్థాపించబడుతుంది.

చివరగా, అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం, అవి అనంతంగా పునరావృతమయ్యే అంకెల క్రమాన్ని కలిగి ఉండవు. వాటిని నాన్-పీరియాడిక్ అంటారు.

నిర్వచనం.

పునరావృతం కాని దశాంశాలు(లేదా కేవలం నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు) కాలం లేని అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలు.

కొన్నిసార్లు నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు ఆవర్తన భిన్నాల మాదిరిగానే ఒక రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఉదాహరణకు, 8.02002000200002... అనేది ఆవర్తన రహిత భిన్నం. ఈ సందర్భాలలో, మీరు తేడాను గమనించడానికి ప్రత్యేకించి జాగ్రత్తగా ఉండాలి.

నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలు సాధారణ భిన్నాలుగా మారవని గమనించండి; అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలు అహేతుక సంఖ్యలను సూచిస్తాయి.

దశాంశాలతో కార్యకలాపాలు

దశాంశ భిన్నాలతో కూడిన ఆపరేషన్లలో ఒకటి పోలిక, మరియు నాలుగు ప్రాథమిక అంకగణిత విధులు కూడా నిర్వచించబడ్డాయి దశాంశాలతో కార్యకలాపాలు: కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారం. దశాంశ భిన్నాలతో ప్రతి చర్యను విడిగా పరిశీలిద్దాం.

దశాంశాల పోలికముఖ్యంగా పోల్చబడిన దశాంశ భిన్నాలకు సంబంధించిన సాధారణ భిన్నాల పోలిక ఆధారంగా. అయినప్పటికీ, దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడం అనేది శ్రమతో కూడుకున్న ప్రక్రియ, మరియు అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన భిన్నాలను సాధారణ భిన్నం వలె సూచించలేము, కాబట్టి దశాంశ భిన్నాల యొక్క స్థల వారీ పోలికను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దశాంశ భిన్నాల స్థల వారీగా పోలిక సహజ సంఖ్యల పోలికను పోలి ఉంటుంది. మరింత వివరణాత్మక సమాచారం కోసం, మేము కథనాన్ని అధ్యయనం చేయమని సిఫార్సు చేస్తున్నాము: దశాంశ భిన్నాలు, నియమాలు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాల పోలిక.

తదుపరి దశకు వెళ్దాం - దశాంశాలను గుణించడం. పరిమిత దశాంశ భిన్నాల గుణకారం దశాంశ భిన్నాల వ్యవకలనం, నియమాలు, ఉదాహరణలు, సహజ సంఖ్యల కాలమ్ ద్వారా గుణకారానికి పరిష్కారాల మాదిరిగానే నిర్వహించబడుతుంది. ఆవర్తన భిన్నాల విషయంలో, గుణకారాన్ని సాధారణ భిన్నాల గుణకారంగా తగ్గించవచ్చు. ప్రతిగా, అనంతమైన నాన్-ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాల గుణకారం వాటి చుట్టుముట్టిన తర్వాత పరిమిత దశాంశ భిన్నాల గుణకారానికి తగ్గించబడుతుంది. వ్యాసంలోని పదార్థాన్ని మరింత అధ్యయనం చేయడానికి మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము: దశాంశ భిన్నాల గుణకారం, నియమాలు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు.

కోఆర్డినేట్ రేపై దశాంశాలు

పాయింట్లు మరియు దశాంశాల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఉంది.

ఇచ్చిన దశాంశ భిన్నానికి అనుగుణంగా కోఆర్డినేట్ రేపై పాయింట్లు ఎలా నిర్మించబడతాయో తెలుసుకుందాం.

మేము పరిమిత దశాంశ భిన్నాలు మరియు అనంతమైన ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను సమాన సాధారణ భిన్నాలతో భర్తీ చేయవచ్చు, ఆపై కోఆర్డినేట్ రేపై సంబంధిత సాధారణ భిన్నాలను నిర్మించవచ్చు. ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 1.4 సాధారణ భిన్నం 14/10కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, కాబట్టి కోఆర్డినేట్ 1.4తో ఉన్న పాయింట్ మూలం నుండి సానుకూల దిశలో 14 విభాగాల ద్వారా యూనిట్ విభాగంలో పదవ వంతుకు సమానంగా తొలగించబడుతుంది.

దశాంశ భిన్నాలను కోఆర్డినేట్ రేపై గుర్తించవచ్చు, ఇచ్చిన దశాంశ భిన్నం అంకెలుగా కుళ్ళిపోవడం నుండి ప్రారంభమవుతుంది. ఉదాహరణకు, 16.3007=16+0.3+0.0007 నుండి, కోఆర్డినేట్ 16.3007తో ఒక పాయింట్‌ను నిర్మించాలి. ఈ పాయింట్మూలం నుండి 16 యూనిట్ సెగ్మెంట్లు, 3 సెగ్మెంట్ల పొడవు యూనిట్ సెగ్మెంట్లో పదవ వంతుకు సమానం మరియు 7 సెగ్మెంట్ల పొడవు యూనిట్ సెగ్మెంట్లో పది-వేల వంతుకు సమానం చేయడం ద్వారా మీరు అక్కడికి చేరుకోవచ్చు.

భవనం యొక్క ఈ మార్గం దశాంశ సంఖ్యలుకోఆర్డినేట్ కిరణంలో మీరు అనంతమైన దశాంశ భిన్నానికి సంబంధించిన బిందువుకు మీకు నచ్చినంత దగ్గరగా ఉండటానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

కొన్నిసార్లు అనంతమైన దశాంశ భిన్నానికి సంబంధించిన పాయింట్‌ను ఖచ్చితంగా ప్లాట్ చేయడం సాధ్యపడుతుంది. ఉదాహరణకి, , అప్పుడు ఈ అనంతమైన దశాంశ భిన్నం 1.41421... ఒక బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది సమన్వయ కిరణం, 1 యూనిట్ సెగ్మెంట్ వైపు ఉన్న చతురస్రం యొక్క వికర్ణం పొడవు ద్వారా మూలం నుండి తీసివేయబడుతుంది.

కోఆర్డినేట్ రేపై ఇచ్చిన బిందువుకు సంబంధించిన దశాంశ భిన్నాన్ని పొందే రివర్స్ ప్రక్రియ అని పిలవబడేది సెగ్మెంట్ యొక్క దశాంశ కొలత. ఇది ఎలా జరుగుతుందో తెలుసుకుందాం.

మూలం నుండి కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఇచ్చిన పాయింట్‌కి చేరుకోవడం (లేదా మనం చేరుకోలేకపోతే దానిని అనంతంగా చేరుకోవడం) మా పని. సెగ్మెంట్ యొక్క దశాంశ కొలతతో, మేము మూలం నుండి ఎన్ని యూనిట్ సెగ్మెంట్లనైనా, ఆపై యూనిట్‌లో పదవ వంతుకు సమానమైన సెగ్మెంట్‌లను, ఆపై యూనిట్‌లో వందవ వంతుకు సమానమైన సెగ్మెంట్‌లను వరుసగా తీసివేయవచ్చు. పక్కన పెట్టిన ప్రతి పొడవు యొక్క విభాగాల సంఖ్యను రికార్డ్ చేయడం ద్వారా, మేము కోఆర్డినేట్ రేపై ఇచ్చిన బిందువుకు సంబంధించిన దశాంశ భిన్నాన్ని పొందుతాము.

ఉదాహరణకు, పై చిత్రంలో M పాయింట్‌ని పొందడానికి, మీరు 1 యూనిట్ సెగ్‌మెంట్ మరియు 4 విభాగాలను పక్కన పెట్టాలి, దీని పొడవు యూనిట్‌లో పదో వంతుకు సమానం. అందువలన, పాయింట్ M దశాంశ భిన్నం 1.4కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ప్రక్రియలో చేరుకోలేని కోఆర్డినేట్ రే యొక్క పాయింట్లు స్పష్టంగా ఉన్నాయి దశాంశ కొలత, అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

గ్రంథ పట్టిక.

• గణితం: పాఠ్య పుస్తకం 5వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / N. Ya. Vilenkin, V. I. జోఖోవ్, A. S. చెస్నోకోవ్, S. I. ష్వార్ట్స్బర్డ్. - 21వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: అనారోగ్యం. ISBN 5-346-00699-0.
• గణితం. 6వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు / [ఎన్. యా. విలెంకిన్ మరియు ఇతరులు]. - 22వ ఎడిషన్., రెవ. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-00897-2.
• బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2008. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• గుసేవ్ V. A., మోర్డ్కోవిచ్ A. G.గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లోకి ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్): Proc. భత్యం.- M.; ఉన్నత పాఠశాల, 1984.-351 p., అనారోగ్యం.

అంకగణితంలో కనిపించే అనేక భిన్నాలలో, హారంలో 10, 100, 1000 ఉన్నవి - సాధారణంగా, పది యొక్క ఏదైనా శక్తి - ప్రత్యేక శ్రద్ధ అవసరం. ఈ భిన్నాలకు ప్రత్యేక పేరు మరియు సంజ్ఞామానం ఉన్నాయి.

దశాంశం అంటే ఏదైనా సంఖ్య భిన్నం, దీని హారం పది యొక్క శక్తి.

దశాంశ భిన్నాల ఉదాహరణలు:

అటువంటి భిన్నాలను వేరు చేయడం ఎందుకు అవసరం? వారికి ఎందుకు అవసరం సొంత రూపంరికార్డులు? దీనికి కనీసం మూడు కారణాలు ఉన్నాయి:

1. దశాంశాలను పోల్చడం చాలా సులభం. గుర్తుంచుకోండి: పోలిక కోసం సాధారణ భిన్నాలువాటిని ఒకదానికొకటి తీసివేయాలి మరియు ప్రత్యేకించి, భిన్నాలను తగ్గించాలి సాధారణ హారం. దశాంశాలలో ఇలా ఏమీ అవసరం లేదు;
2. గణనను తగ్గించండి. దశాంశ భిన్నాలు జోడించబడతాయి మరియు గుణించాలి సొంత నియమాలు, మరియు కొద్దిగా శిక్షణ తర్వాత మీరు వారితో సాధారణ వాటి కంటే చాలా వేగంగా పని చేస్తారు;
3. రికార్డింగ్ సౌలభ్యం. సాధారణ భిన్నాలు కాకుండా, దశాంశాలు స్పష్టత కోల్పోకుండా ఒక లైన్‌లో వ్రాయబడతాయి.

చాలా కాలిక్యులేటర్లు దశాంశాలలో సమాధానాలను కూడా ఇస్తాయి. కొన్ని సందర్భాల్లో, వేరే రికార్డింగ్ ఫార్మాట్ సమస్యలను కలిగిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు స్టోర్‌లో రూబుల్‌లో 2/3 మొత్తంలో మార్పు కోసం అడిగితే ఏమి చేయాలి :)

దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయడానికి నియమాలు

దశాంశ భిన్నాల యొక్క ప్రధాన ప్రయోజనం అనుకూలమైన మరియు దృశ్య సంజ్ఞామానం. అవి:

దశాంశ సంజ్ఞామానం అనేది దశాంశ భిన్నాలను వ్రాసే ఒక రూపం, ఇక్కడ పూర్ణాంక భాగం భిన్న భాగం నుండి సాధారణ కాలం లేదా కామాతో వేరు చేయబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, సెపరేటర్‌ను (కాలం లేదా కామా) దశాంశ బిందువు అంటారు.

ఉదాహరణకు, 0.3 (చదవండి: "సున్నా పాయింటర్లు, 3 పదవ వంతు"); 7.25 (7 మొత్తం, 25 వందల); 3.049 (3 మొత్తం, 49 వేలు). అన్ని ఉదాహరణలు మునుపటి నిర్వచనం నుండి తీసుకోబడ్డాయి.

వ్రాతపూర్వకంగా, కామా సాధారణంగా దశాంశ బిందువుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఇక్కడ మరియు సైట్ అంతటా, కామా కూడా ఉపయోగించబడుతుంది.

ఈ రూపంలో ఏకపక్ష దశాంశ భిన్నాన్ని వ్రాయడానికి, మీరు మూడు సాధారణ దశలను అనుసరించాలి:

1. న్యూమరేటర్‌ను విడిగా వ్రాయండి;
2. హారంలో సున్నాలు ఉన్నన్ని చోట్ల దశాంశ బిందువును ఎడమవైపుకి మార్చండి. మొదట్లో దశాంశ బిందువు అన్ని అంకెలకు కుడివైపున ఉందని భావించండి;
3. దశాంశ బిందువు తరలించబడి, దాని తర్వాత ఎంట్రీ చివరిలో సున్నాలు ఉంటే, వాటిని తప్పనిసరిగా దాటాలి.

రెండవ దశలో షిఫ్ట్‌ని పూర్తి చేయడానికి న్యూమరేటర్‌కు తగినంత అంకెలు లేవు. ఈ సందర్భంలో, తప్పిపోయిన స్థానాలు సున్నాలతో నిండి ఉంటాయి. మరియు సాధారణంగా, ఏదైనా సంఖ్య యొక్క ఎడమ వైపున మీరు మీ ఆరోగ్యానికి హాని లేకుండా ఎన్ని సున్నాలను కేటాయించవచ్చు. ఇది అసహ్యకరమైనది, కానీ కొన్నిసార్లు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

మొదటి చూపులో, ఈ అల్గోరిథం చాలా క్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు. నిజానికి, ప్రతిదీ చాలా చాలా సులభం - మీరు కొద్దిగా సాధన చేయాలి. ఉదాహరణలను పరిశీలించండి:

టాస్క్. ప్రతి భిన్నం కోసం, దాని దశాంశ సంజ్ఞామానాన్ని సూచించండి:

మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్: 73. మేము దశాంశ బిందువును ఒక స్థానానికి మారుస్తాము (హారం 10 కాబట్టి) - మనకు 7.3 వస్తుంది.

రెండవ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్: 9. మేము దశాంశ బిందువును రెండు స్థానాల ద్వారా మారుస్తాము (హారం 100 కాబట్టి) - మనకు 0.09 వస్తుంది. నేను దశాంశ బిందువు తర్వాత ఒక సున్నాని మరియు దాని ముందు మరొకదాన్ని జోడించాల్సి వచ్చింది, తద్వారా “.09” వంటి వింత ఎంట్రీని వదిలివేయకూడదు.

మూడవ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్: 10029. మేము దశాంశ బిందువును మూడు స్థానాల ద్వారా మారుస్తాము (హారం 1000 కాబట్టి) - మనకు 10.029 వస్తుంది.

చివరి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్: 10500. మళ్లీ మేము పాయింట్‌ను మూడు అంకెలతో మారుస్తాము - మనకు 10,500 వస్తుంది. సంఖ్య చివరిలో అదనపు సున్నాలు ఉన్నాయి. వాటిని దాటండి మరియు మేము 10.5 పొందుతాము.

చివరి రెండు ఉదాహరణలకు శ్రద్ధ వహించండి: సంఖ్యలు 10.029 మరియు 10.5. నిబంధనల ప్రకారం, కుడి వైపున ఉన్న సున్నాలను తప్పనిసరిగా దాటాలి చివరి ఉదాహరణ. అయితే, మీరు దీన్ని ఎప్పుడూ సంఖ్య లోపల సున్నాలతో చేయకూడదు (ఇవి ఇతర సంఖ్యలతో చుట్టుముట్టబడి ఉంటాయి). అందుకే మనకు 10.029 మరియు 10.5 వచ్చాయి మరియు 1.29 మరియు 1.5 కాదు.

కాబట్టి, దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయడం యొక్క నిర్వచనం మరియు రూపాన్ని మేము కనుగొన్నాము. ఇప్పుడు సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు ఎలా మార్చాలో తెలుసుకుందాం - మరియు దీనికి విరుద్ధంగా.

భిన్నాల నుండి దశాంశాలకు మార్పిడి

రూపం a /b యొక్క సాధారణ సంఖ్యా భిన్నాన్ని పరిగణించండి. మీరు భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగించవచ్చు మరియు దిగువ పది శక్తిగా మారే అటువంటి సంఖ్యతో న్యూమరేటర్ మరియు హారం గుణించవచ్చు. కానీ మీరు చేసే ముందు, ఈ క్రింది వాటిని చదవండి:

పది శక్తులకు తగ్గించలేని హారం ఉన్నాయి. అటువంటి భిన్నాలను గుర్తించడం నేర్చుకోండి, ఎందుకంటే దిగువ వివరించిన అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి అవి పని చేయలేవు.

అంతే. సరే, హారం పదికి తగ్గించబడిందో లేదో మీరు ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి?

సమాధానం సులభం: హారం ప్రధాన కారకాలుగా కారకం. విస్తరణలో 2 మరియు 5 కారకాలు మాత్రమే ఉంటే, ఈ సంఖ్యను పది శక్తికి తగ్గించవచ్చు. ఇతర సంఖ్యలు (3, 7, 11 - ఏమైనా) ఉంటే, మీరు పది శక్తి గురించి మరచిపోవచ్చు.

టాస్క్. మీరు ఊహించగలరో లేదో తనిఖీ చేయండి పేర్కొన్న భిన్నాలుదశాంశాలుగా:

ఈ భిన్నాల యొక్క హారంలను వ్రాసి, కారకం చేద్దాం:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - 2 మరియు 5 సంఖ్యలు మాత్రమే ఉన్నాయి. కాబట్టి, భిన్నాన్ని దశాంశంగా సూచించవచ్చు.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - "నిషిద్ధ" అంశం 3 ఉంది. భిన్నం దశాంశంగా సూచించబడదు.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. ప్రతిదీ క్రమంలో ఉంది: 2 మరియు 5 సంఖ్యలు తప్ప మరేమీ లేదు. ఒక భిన్నాన్ని దశాంశంగా సూచించవచ్చు.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. కారకం 3 మళ్లీ “ఉపరితలం” చేయబడింది. ఇది దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడదు.

కాబట్టి, మేము హారంను క్రమబద్ధీకరించాము - ఇప్పుడు దశాంశ భిన్నాలకు తరలించడానికి మొత్తం అల్గారిథమ్‌ను చూద్దాం:

1. అసలు భిన్నం యొక్క హారంను కారకం చేయండి మరియు అది సాధారణంగా దశాంశంగా సూచించబడుతుందని నిర్ధారించుకోండి. ఆ. విస్తరణలో 2 మరియు 5 కారకాలు మాత్రమే ఉన్నాయని తనిఖీ చేయండి లేకపోతే, అల్గోరిథం పనిచేయదు;
2. విస్తరణలో ఎన్ని రెండు మరియు ఐదులు ఉన్నాయో లెక్కించండి (అక్కడ ఇతర సంఖ్యలు ఉండవు, గుర్తుందా?). రెండు మరియు ఐదుల సంఖ్య సమానంగా ఉండేలా అదనపు కారకాన్ని ఎంచుకోండి.
3. వాస్తవానికి, అసలైన భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను ఈ కారకం ద్వారా గుణించండి - మనకు కావలసిన ప్రాతినిధ్యం లభిస్తుంది, అనగా. హారం పది శక్తిగా ఉంటుంది.

వాస్తవానికి, అదనపు కారకం కూడా రెండు మరియు ఐదుగా మాత్రమే కుళ్ళిపోతుంది. అదే సమయంలో, మీ జీవితాన్ని క్లిష్టతరం చేయకుండా ఉండటానికి, మీరు సాధ్యమైనంత చిన్న గుణకం ఎంచుకోవాలి.

మరియు మరొక విషయం: అసలు భిన్నం పూర్ణాంక భాగాన్ని కలిగి ఉంటే, ఈ భిన్నాన్ని సరికాని భిన్నానికి మార్చాలని నిర్ధారించుకోండి - ఆపై మాత్రమే వివరించిన అల్గోరిథంను వర్తింపజేయండి.

టాస్క్. డేటాను అనువదించండి సంఖ్యా భిన్నాలుదశాంశానికి:

మొదటి భిన్నం యొక్క హారంను కారకం చేద్దాం: 4 = 2 · 2 = 2 2 . కాబట్టి, భిన్నాన్ని దశాంశంగా సూచించవచ్చు. విస్తరణలో రెండు రెండు ఉన్నాయి మరియు ఒకే ఐదు కాదు, కాబట్టి అదనపు కారకం 5 2 = 25. దానితో, రెండు మరియు ఐదుల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది. మాకు ఉన్నాయి:

ఇప్పుడు రెండవ భాగాన్ని చూద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, 24 = 3 8 = 3 2 3 - విస్తరణలో ట్రిపుల్ ఉంది, కాబట్టి భిన్నం దశాంశంగా సూచించబడదు.

చివరి రెండు భిన్నాలు వరుసగా 5 (ప్రధాన సంఖ్య) మరియు 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 హారంలను కలిగి ఉంటాయి - ప్రతిచోటా రెండు మరియు ఐదు మాత్రమే ఉన్నాయి. అంతేకాకుండా, మొదటి సందర్భంలో, "పూర్తి ఆనందం కోసం" 2 యొక్క కారకం సరిపోదు, మరియు రెండవది - 5. మనకు లభిస్తుంది:

దశాంశాల నుండి సాధారణ భిన్నాలకు మార్పిడి

రివర్స్ మార్పిడి- సంజ్ఞామానం యొక్క దశాంశ రూపం నుండి సాధారణమైనది వరకు - ఇది చాలా సులభం. ఇక్కడ ఎటువంటి పరిమితులు లేదా ప్రత్యేక తనిఖీలు లేవు, కాబట్టి మీరు ఎల్లప్పుడూ దశాంశ భిన్నాన్ని క్లాసిక్ "రెండు-అంతస్తుల" భిన్నానికి మార్చవచ్చు.

అనువాద అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంది:

1. దశాంశం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని సున్నాలను, అలాగే దశాంశ బిందువును దాటండి. ఇది కోరుకున్న భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ అవుతుంది. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే అది అతిగా చేయకూడదు మరియు ఇతర సంఖ్యలతో చుట్టుముట్టబడిన అంతర్గత సున్నాలను దాటవద్దు;
2. దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని దశాంశ స్థానాలు ఉన్నాయో లెక్కించండి. సంఖ్య 1ని తీసుకుని, మీరు లెక్కించే అక్షరాలు ఉన్నన్ని సున్నాలను కుడి వైపున జోడించండి. ఇది హారం అవుతుంది;
3. వాస్తవానికి, మేము ఇప్పుడే కనుగొన్న లవం మరియు హారం యొక్క భిన్నాన్ని వ్రాయండి. వీలైతే, తగ్గించండి. అసలు భిన్నం పూర్ణాంక భాగాన్ని కలిగి ఉంటే, ఇప్పుడు మనం పొందుతాము సరికాని భిన్నం, ఇది తదుపరి గణనలకు చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

టాస్క్. దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చండి: 0.008; 3.107; 2.25; 7,2008.

ఎడమవైపు ఉన్న సున్నాలు మరియు కామాలను దాటండి - మనకు లభిస్తుంది క్రింది సంఖ్యలు(ఇవి న్యూమరేటర్లు): 8; 3107; 225; 72008.

మొదటి మరియు రెండవ భిన్నాలలో 3 దశాంశ స్థానాలు ఉన్నాయి, రెండవది - 2, మరియు మూడవది - 4 దశాంశ స్థానాలు. మేము హారంలను పొందుతాము: 1000; 1000; 100; 10000.

చివరగా, న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను సాధారణ భిన్నాలుగా మిళితం చేద్దాం:

ఉదాహరణల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ఫలిత భిన్నం చాలా తరచుగా తగ్గించబడుతుంది. ఏదైనా దశాంశ భిన్నం సాధారణ భిన్నం వలె సూచించబడుతుందని నేను మరోసారి గమనించాను. రివర్స్ మార్పిడి ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాకపోవచ్చు.

ఈ వ్యాసంలో దశాంశ భిన్నం అంటే ఏమిటి, దాని లక్షణాలు మరియు లక్షణాలు ఏమిటో మనం అర్థం చేసుకుంటాము. వెళ్ళండి! 🙂

దశాంశ భిన్నం అనేది సాధారణ భిన్నాల యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం (ఇక్కడ హారం 10 యొక్క గుణకం).

నిర్వచనం

దశాంశాలు భిన్నాలు, దీని హారం ఒకదానితో కూడిన సంఖ్యలు మరియు దానిని అనుసరించే అనేక సున్నాలు. అంటే, ఇవి 10, 100, 1000, మొదలైన హారంతో భిన్నాలు. లేకపోతే, దశాంశ భిన్నాన్ని 10 యొక్క హారం లేదా పది శక్తులలో ఒకదానితో భిన్నం వలె వర్గీకరించవచ్చు.

భిన్నాల ఉదాహరణలు:

, ,

దశాంశ భిన్నాలు సాధారణ భిన్నాల కంటే భిన్నంగా వ్రాయబడతాయి. ఈ భిన్నాలతో కూడిన కార్యకలాపాలు కూడా సాధారణ వాటితో చేసే కార్యకలాపాలకు భిన్నంగా ఉంటాయి. వారితో కార్యకలాపాలకు సంబంధించిన నియమాలు పూర్ణాంకాలతో కార్యకలాపాలకు సంబంధించిన నియమాలను ఎక్కువగా పోలి ఉంటాయి. ఇది, ముఖ్యంగా, ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వారి డిమాండ్ను వివరిస్తుంది.

దశాంశ సంజ్ఞామానంలో భిన్నాల ప్రాతినిధ్యం

దశాంశ భిన్నానికి హారం లేదు; ఇది న్యూమరేటర్ సంఖ్యను ప్రదర్శిస్తుంది. IN సాధారణ వీక్షణదశాంశ భిన్నం క్రింది పథకం ప్రకారం వ్రాయబడింది:

ఇక్కడ X అనేది భిన్నం యొక్క పూర్ణాంకం భాగం, Y అనేది దాని భిన్న భాగం, "," అనేది దశాంశ బిందువు.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని దశాంశంగా సరిగ్గా సూచించడానికి, అది తప్పనిసరిగా రెగ్యులర్‌గా ఉండాలి, అంటే హైలైట్ చేయబడినది మొత్తం భాగం(వీలైతే) మరియు హారం కంటే తక్కువగా ఉండే న్యూమరేటర్. అప్పుడు దశాంశ సంజ్ఞామానంలో పూర్ణాంకం భాగం దశాంశ బిందువు (X) కంటే ముందు వ్రాయబడుతుంది మరియు సాధారణ భిన్నం యొక్క లవం దశాంశ బిందువు (Y) తర్వాత వ్రాయబడుతుంది.

న్యూమరేటర్ హారంలోని సున్నాల సంఖ్య కంటే తక్కువ అంకెలతో ఉన్న సంఖ్యను కలిగి ఉన్నట్లయితే, పాక్షికంగా Y దశాంశ సంజ్ఞామానంలో తప్పిపోయిన అంకెల సంఖ్య న్యూమరేటర్ అంకెల కంటే ముందు సున్నాలతో నింపబడుతుంది.

ఉదాహరణ:

ఒక సాధారణ భిన్నం 1 కంటే తక్కువగా ఉంటే, అనగా. X in కోసం పూర్ణాంకం భాగం లేదు దశాంశ 0 వ్రాయండి.

పాక్షిక భాగం (Y)లో, చివరి ముఖ్యమైన (సున్నా కాని) అంకె తర్వాత, సున్నాల ఏకపక్ష సంఖ్యను నమోదు చేయవచ్చు. ఇది భిన్నం యొక్క విలువను ప్రభావితం చేయదు. దీనికి విరుద్ధంగా, దశాంశం యొక్క పాక్షిక భాగం చివరిలో ఉన్న అన్ని సున్నాలను వదిలివేయవచ్చు.

దశాంశాలను చదవడం

పార్ట్ X లో చదవబడింది సాధారణ కేసుఇలా: "X పూర్ణాంకాలు."

Y భాగం హారంలోని సంఖ్య ప్రకారం చదవబడుతుంది. హారం 10 కోసం మీరు చదవాలి: “Y పదవ వంతు”, హారం 100 కోసం: “Y వందల”, హారం 1000 కోసం: “Y వెయ్యేళ్లు” మరియు మొదలైనవి... 😉

పాక్షిక భాగం యొక్క అంకెల సంఖ్యను లెక్కించడం ఆధారంగా చదవడానికి మరొక విధానం మరింత సరైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, పాక్షిక అంకెలు ఉన్నాయని మీరు అర్థం చేసుకోవాలి ప్రతిబింబంభిన్నం యొక్క మొత్తం భాగం యొక్క అంకెలకు సంబంధించి.

సరైన పఠనం కోసం పేర్లు పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి:

దీని ఆధారంగా, పఠనం పాక్షిక భాగం యొక్క చివరి అంకె యొక్క అంకె పేరుకు అనుగుణంగా ఉండాలి.

• 3.5 "త్రీ పాయింట్ ఫైవ్" అని చదువుతుంది
• 0.016 "సున్నా పాయింట్ పదహారు వేల వంతు" అని చదువుతుంది

ఏకపక్ష భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చడం

ఒక సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం 10 లేదా పదికి కొంత శక్తి అయితే, పైన వివరించిన విధంగా భిన్నం యొక్క మార్పిడి జరుగుతుంది. ఇతర పరిస్థితులలో, అదనపు మార్పులు అవసరం.

2 అనువాద పద్ధతులు ఉన్నాయి.

మొదటి బదిలీ పద్ధతి

న్యూమరేటర్ మరియు హారం తప్పనిసరిగా అటువంటి పూర్ణాంకంతో గుణించాలి, హారం 10 సంఖ్యను లేదా పది శక్తులలో ఒకదాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ఆపై భిన్నం దశాంశ సంజ్ఞామానంలో సూచించబడుతుంది.

ఈ పద్ధతి భిన్నాలకు వర్తిస్తుంది, దీని హారం 2 మరియు 5కి మాత్రమే విస్తరించబడుతుంది. కాబట్టి, మునుపటి ఉదాహరణలో . విస్తరణ ఇతర ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉంటే (ఉదాహరణకు, ), అప్పుడు మీరు 2వ పద్ధతిని ఆశ్రయించవలసి ఉంటుంది.

రెండవ అనువాద పద్ధతి

2వ పద్ధతి కాలమ్‌లో లేదా కాలిక్యులేటర్‌లో లవంను హారం ద్వారా విభజించడం. మొత్తం భాగం, ఏదైనా ఉంటే, పరివర్తనలో పాల్గొనదు.

దశాంశ భిన్నానికి దారితీసే దీర్ఘ విభజన నియమం క్రింద వివరించబడింది (దశాంశాల విభజన చూడండి).

దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడం

దీన్ని చేయడానికి, మీరు దాని పాక్షిక భాగాన్ని (దశాంశ బిందువు యొక్క కుడి వైపున) ఒక న్యూమరేటర్‌గా వ్రాయాలి మరియు పాక్షిక భాగాన్ని ఇలా చదవాలి సంబంధిత సంఖ్యహారంలో. తరువాత, వీలైతే, మీరు ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించాలి.

పరిమిత మరియు అనంతమైన దశాంశ భిన్నం

దశాంశ భిన్నాన్ని తుది భిన్నం అంటారు, ఇందులోని పాక్షిక భాగం పరిమిత సంఖ్యలో అంకెలను కలిగి ఉంటుంది.

పైన ఉన్న అన్ని ఉదాహరణలు చివరి దశాంశ భిన్నాలను కలిగి ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, ప్రతి సాధారణ భిన్నం తుది దశాంశంగా సూచించబడదు. ఇచ్చిన భిన్నానికి 1వ మార్పిడి పద్ధతి వర్తించకపోతే, మరియు 2వ పద్ధతి విభజనను పూర్తి చేయలేమని నిరూపిస్తే, అనంతమైన దశాంశ భిన్నాన్ని మాత్రమే పొందవచ్చు.

పూర్తి రూపంలో అనంతమైన భిన్నంరికార్డ్ చేయడం అసాధ్యం. అసంపూర్ణ రూపంలో, అటువంటి భిన్నాలను సూచించవచ్చు:

1. కావలసిన దశాంశ స్థానాలకు తగ్గింపు ఫలితంగా;
2. ఆవర్తన భిన్నం వలె.

దశాంశ బిందువు తర్వాత అనంతంగా పునరావృతమయ్యే అంకెల క్రమాన్ని వేరు చేయడం సాధ్యమైతే భిన్నాన్ని ఆవర్తన అంటారు.

మిగిలిన భిన్నాలను నాన్-ఆవర్తన అంటారు. నాన్-పీరియాడిక్ భిన్నాల కోసం, 1వ ప్రాతినిధ్య పద్ధతి (రౌండింగ్) మాత్రమే అనుమతించబడుతుంది.

ఆవర్తన భిన్నం యొక్క ఉదాహరణ: 0.8888888... ఇక్కడ పునరావృతమయ్యే సంఖ్య 8 ఉంది, ఇది స్పష్టంగా, అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది, ఎందుకంటే వేరే విధంగా ఊహించడానికి కారణం లేదు. ఈ సంఖ్య అంటారు భిన్నం యొక్క కాలం.

ఆవర్తన భిన్నాలు స్వచ్ఛంగా లేదా మిశ్రమంగా ఉండవచ్చు. స్వచ్ఛమైన దశాంశ భిన్నం అంటే దశాంశ బిందువు తర్వాత వెంటనే ప్రారంభమవుతుంది. మిశ్రమ భిన్నం దశాంశ బిందువుకు ముందు 1 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలను కలిగి ఉంటుంది.

54.33333… – ఆవర్తన స్వచ్ఛమైన దశాంశ భిన్నం

2.5621212121… – ఆవర్తన మిశ్రమ భిన్నం

అనంతమైన దశాంశ భిన్నాలను వ్రాయడానికి ఉదాహరణలు:

2వ ఉదాహరణ ఆవర్తన భిన్నాన్ని వ్రాయడంలో కాలాన్ని ఎలా సరిగ్గా ఫార్మాట్ చేయాలో చూపుతుంది.

ఆవర్తన దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మారుస్తోంది

స్వచ్ఛమైన ఆవర్తన భిన్నాన్ని సాధారణ పీరియడ్‌గా మార్చడానికి, దానిని న్యూమరేటర్‌లో వ్రాసి, ఆ కాలంలోని అంకెల సంఖ్యకు సమానమైన మొత్తంలో తొమ్మిదిలతో కూడిన సంఖ్యను హారంలోకి రాయండి.

మిశ్రమ ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం క్రింది విధంగా అనువదించబడింది:

1. మీరు పీరియడ్ మరియు మొదటి పీరియడ్‌కు ముందు దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను రూపొందించాలి;
2. ఫలిత సంఖ్య నుండి, వ్యవధికి ముందు దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యను తీసివేయండి. ఫలితంగా సాధారణ భిన్నం యొక్క లవం ఉంటుంది;
3. హారంలో మీరు వ్యవధిలోని అంకెల సంఖ్యకు సమానమైన తొమ్మిది సంఖ్యలతో కూడిన సంఖ్యను నమోదు చేయాలి, దాని తర్వాత సున్నాలు ఉంటాయి, వీటి సంఖ్య 1వ తేదీకి ముందు దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్య యొక్క అంకెల సంఖ్యకు సమానం కాలం.

దశాంశాల పోలిక

దశాంశ భిన్నాలు ప్రారంభంలో వాటి మొత్తం భాగాలతో పోల్చబడతాయి. మొత్తం భాగం పెద్దగా ఉన్న భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

పూర్ణాంకాల భాగాలు ఒకేలా ఉంటే, మొదటి నుండి (పదవ వంతుల నుండి) ప్రారంభించి, పాక్షిక భాగం యొక్క సంబంధిత అంకెల అంకెలను సరిపోల్చండి. అదే సూత్రం ఇక్కడ కూడా వర్తిస్తుంది: పెద్ద భిన్నం పదవ వంతులు ఎక్కువ; పదవ అంకెలు సమానంగా ఉంటే, వందవ అంకెలు పోల్చబడతాయి మరియు మొదలైనవి.

ఎందుకంటే

, పాక్షిక భాగంలో సమాన మొత్తం భాగాలు మరియు సమాన పదవ వంతులు ఉన్నందున, 2వ భిన్నం పెద్ద వందల సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది.

దశాంశాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం

దశాంశాలు ఒకదానికొకటి దిగువన సంబంధిత అంకెలను వ్రాయడం ద్వారా పూర్ణ సంఖ్యల మాదిరిగానే జోడించబడతాయి మరియు తీసివేయబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఒకదానికొకటి దిగువన దశాంశ పాయింట్లను కలిగి ఉండాలి. అప్పుడు పూర్ణాంక భాగం యొక్క యూనిట్లు (పదులు, మొదలైనవి), అలాగే భిన్న భాగం యొక్క పదవ వంతులు (వందలు మొదలైనవి) అనుగుణంగా ఉంటాయి. పాక్షిక భాగం యొక్క తప్పిపోయిన అంకెలు సున్నాలతో నిండి ఉంటాయి. నేరుగా కూడిక మరియు తీసివేత ప్రక్రియ పూర్ణాంకాల మాదిరిగానే నిర్వహించబడుతుంది.

దశాంశాలను గుణించడం

దశాంశాలను గుణించడానికి, మీరు వాటిని చివరి అంకెతో సమలేఖనం చేసి, దశాంశ బిందువుల స్థానానికి శ్రద్ధ చూపకుండా వాటిని ఒకదానికొకటి క్రింద వ్రాయాలి. అప్పుడు మీరు పూర్ణ సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు అదే విధంగా సంఖ్యలను గుణించాలి. ఫలితాన్ని స్వీకరించిన తర్వాత, మీరు రెండు భిన్నాలలో దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెల సంఖ్యను తిరిగి లెక్కించాలి మరియు ఫలిత సంఖ్యలోని మొత్తం పాక్షిక అంకెలను కామాతో వేరు చేయాలి. తగినంత అంకెలు లేకుంటే, అవి సున్నాలతో భర్తీ చేయబడతాయి.

దశాంశాలను 10n ద్వారా గుణించడం మరియు భాగించడం

ఈ చర్యలు చాలా సరళమైనవి మరియు దశాంశ బిందువును కదిలించేలా ఉంటాయి. పి గుణించేటప్పుడు, దశాంశ బిందువు అంకెల సంఖ్య ద్వారా కుడి వైపుకు (భిన్నం పెరిగింది) తరలించబడుతుంది, సంఖ్యకు సమానం 10 nలో సున్నాలు, ఇక్కడ n అనేది ఏకపక్ష పూర్ణాంకం శక్తి. అంటే, నిర్దిష్ట సంఖ్యలో అంకెలు పాక్షిక భాగం నుండి మొత్తం భాగానికి బదిలీ చేయబడతాయి. విభజించేటప్పుడు, తదనుగుణంగా, కామా ఎడమ వైపుకు తరలించబడుతుంది (సంఖ్య తగ్గుతుంది), మరియు కొన్ని అంకెలు పూర్ణాంక భాగం నుండి భిన్న భాగానికి బదిలీ చేయబడతాయి. బదిలీ చేయడానికి తగినంత సంఖ్యలు లేకుంటే, తప్పిపోయిన బిట్‌లు సున్నాలతో నిండి ఉంటాయి.

ఒక దశాంశాన్ని మరియు పూర్ణ సంఖ్యను పూర్ణ సంఖ్య మరియు దశాంశంతో విభజించడం

పూర్ణాంకం ద్వారా దశాంశాన్ని భాగించడం అనేది రెండు పూర్ణాంకాలను భాగించినట్లే. అదనంగా, మీరు దశాంశ బిందువు యొక్క స్థానాన్ని మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి: కామాతో ఒక అంకెను తీసివేసేటప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా కామాను ఉంచాలి ప్రస్తుత అంకెఉత్పత్తి చేయబడిన ప్రతిస్పందన. తర్వాత మీరు సున్నా వచ్చే వరకు విభజించడం కొనసాగించాలి. పూర్తి విభజన కోసం డివిడెండ్‌లో తగినంత సంకేతాలు లేకుంటే, సున్నాలను వాటి వలె ఉపయోగించాలి.

అదేవిధంగా, డివిడెండ్ యొక్క అన్ని అంకెలు తీసివేయబడితే మరియు పూర్తి విభజన ఇంకా పూర్తి కానట్లయితే 2 పూర్ణాంకాలు కాలమ్‌గా విభజించబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, డివిడెండ్ యొక్క చివరి అంకెను తీసివేసిన తర్వాత, ఫలిత సమాధానంలో దశాంశ బిందువు ఉంచబడుతుంది మరియు తొలగించబడిన అంకెలుగా సున్నాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఆ. ఇక్కడ డివిడెండ్ తప్పనిసరిగా సున్నా పాక్షిక భాగంతో దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడుతుంది.

దశాంశ భిన్నాన్ని (లేదా పూర్ణాంకం) దశాంశ సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు డివిడెండ్ మరియు డివైజర్‌ను 10 n సంఖ్యతో గుణించాలి, దీనిలో సున్నాల సంఖ్య భాగహారంలో దశాంశ బిందువు తర్వాత అంకెల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది. ఈ విధంగా, మీరు విభజించాలనుకుంటున్న భిన్నంలోని దశాంశ బిందువును మీరు వదిలించుకుంటారు. ఇంకా, విభజన ప్రక్రియ పైన వివరించిన దానితో సమానంగా ఉంటుంది.

దశాంశ భిన్నాల గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం

కోఆర్డినేట్ లైన్ ఉపయోగించి దశాంశ భిన్నాలు గ్రాఫికల్‌గా సూచించబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, యూనిట్ విభాగాలు మరింత 10 ద్వారా విభజించబడ్డాయి సమాన వాటాలుపాలకుడిపై సెంటీమీటర్లు మరియు మిల్లీమీటర్లు ఏకకాలంలో గుర్తించబడినట్లే. ఇది దశాంశాలు ఖచ్చితంగా ప్రదర్శించబడతాయని నిర్ధారిస్తుంది మరియు నిష్పాక్షికంగా సరిపోల్చవచ్చు.

వ్యక్తిగత విభాగాలలోని విభజనలు ఒకేలా ఉండాలంటే, మీరు ఒకే సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును జాగ్రత్తగా పరిగణించాలి. అదనపు విభజన యొక్క సౌలభ్యాన్ని నిర్ధారించే విధంగా ఇది ఉండాలి.