2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) ఈ సంఖ్యలలో మొదటి సంఖ్య యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాసి, రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకం 5ని వాటికి జోడిద్దాం. మనకు లభిస్తుంది: 2*2*3*5*5=300. మేము NOCని కనుగొన్నాము, అనగా. ఈ మొత్తం = 300. కోణాన్ని మరచి సమాధానం రాయవద్దు:
సమాధానం: అమ్మ 300 రూబిళ్లు ఇస్తుంది.
GCD నిర్వచనం:గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (GCD)సహజ సంఖ్యలు ఎమరియు విఅతిపెద్ద సహజ సంఖ్యకు కాల్ చేయండి సి, దానికి a, మరియు బిమిగిలిన లేకుండా విభజించబడింది. ఆ. సిఇది అతి చిన్న సహజ సంఖ్య మరియు ఎమరియు బిగుణిజాలుగా ఉంటాయి.
మెమో:సహజ సంఖ్యలను నిర్వచించడానికి రెండు విధానాలు ఉన్నాయి
- ఇందులో ఉపయోగించిన సంఖ్యలు: జాబితా (నంబరింగ్) వస్తువులు (మొదటి, రెండవ, మూడవ, ...); - పాఠశాలల్లో ఇది సాధారణంగా ఇలా ఉంటుంది.
- అంశాల సంఖ్య యొక్క హోదా (పోకీమాన్ లేదు - సున్నా, ఒక పోకీమాన్, రెండు పోకీమాన్, ...).
ప్రతికూల మరియు పూర్ణాంకం కాని (హేతుబద్ధమైన, వాస్తవమైన, ...) సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు కావు. కొంతమంది రచయితలు సహజ సంఖ్యల సమితిలో సున్నాని చేర్చారు, ఇతరులు అలా చేయరు. అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితి సాధారణంగా చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది ఎన్
మెమో:సహజ సంఖ్య యొక్క భాగహారం aసంఖ్యకు పేరు పెట్టండి b,దానికి aమిగిలిన లేకుండా విభజించబడింది. సహజ సంఖ్య యొక్క గుణకాలు బిసహజ సంఖ్యకు కాల్ చేయండి a, ఇది ద్వారా భాగించబడుతుంది బిఆధారం లేకుండా. సంఖ్య ఉంటే బి- సంఖ్య డివైజర్ a, ఆ aసంఖ్య యొక్క బహుళ బి. ఉదాహరణ: 2 అనేది 4 యొక్క భాజకం, మరియు 4 అనేది రెండు యొక్క గుణకం. 3 అనేది 12 యొక్క భాజకం, మరియు 12 అనేది 3 యొక్క గుణకం.
మెమో:సహజ సంఖ్యలు శేషం లేకుండా భాగించగలిగితే వాటిని ప్రధానం అంటారు మరియు 1. సహ-ప్రధాన సంఖ్యలు 1కి సమానమైన ఒకే ఒక సాధారణ భాగహారాన్ని కలిగి ఉంటాయి.
సాధారణ సందర్భంలో GCDని ఎలా కనుగొనాలో నిర్వచనం: GCDని కనుగొనడానికి (గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్)అనేక సహజ సంఖ్యలు అవసరం:
1) వాటిని ప్రధాన కారకాలుగా విభజించండి. (ప్రధాన సంఖ్యల పట్టిక దీనికి చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.)
2) వాటిలో ఒకదాని విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాయండి.
3) మిగిలిన సంఖ్యల విస్తరణలో చేర్చని వాటిని క్రాస్ చేయండి.
4) దశ 3లో పొందిన కారకాలను గుణించండి).
సమస్య 2 ఆన్ (NOK):న్యూ ఇయర్ కోసం, కోల్య పుజాటోవ్ నగరంలో 48 హామ్స్టర్స్ మరియు 36 కాఫీ పాట్లను కొనుగోలు చేశాడు. ఫెక్లా డోర్మిడోంటోవా, తరగతిలో అత్యంత నిజాయితీగల అమ్మాయిగా, ఈ ఆస్తిని ఉపాధ్యాయుల కోసం అత్యధిక సంఖ్యలో బహుమతి సెట్‌లుగా విభజించే పనిని అప్పగించారు. మీకు ఎన్ని సెట్లు వచ్చాయి? సెట్స్ కంటెంట్ ఏమిటి?
ఉదాహరణ 2.1. GCDని కనుగొనడంలో సమస్యను పరిష్కరించడం. ఎంపిక ద్వారా GCDని కనుగొనడం.
పరిష్కారం:ప్రతి 48 మరియు 36 సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా బహుమతుల సంఖ్యతో భాగించబడాలి.
1) విభజనలను వ్రాయండి 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) 36: 36, 18 యొక్క విభజనలను వ్రాయండి, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 గొప్ప సాధారణ విభజనను ఎంచుకోండి. హూ-లా-లా! సెట్ల సంఖ్య 12 ముక్కలు అని మేము కనుగొన్నాము.
3) 4 పొందడానికి 48ని 12తో భాగించండి, 3 పొందడానికి 36ని 12తో భాగిస్తే 3. డైమెన్షన్‌ను మర్చిపోకండి మరియు సమాధానం రాయండి:
సమాధానం: మీరు ప్రతి సెట్‌లో 4 హామ్స్టర్‌ల 12 సెట్లు మరియు 3 కాఫీ పాట్లను పొందుతారు.
సహజ సంఖ్యల విభజన ప్రమాణాలు.
శేషం లేకుండా 2తో భాగించే సంఖ్యలను అంటారుకూడా .
2 ద్వారా సమానంగా భాగించబడని సంఖ్యలను అంటారుబేసి .
2 ద్వారా భాగహారం కోసం పరీక్షించండి
సహజ సంఖ్య సరి అంకెతో ముగిస్తే, ఈ సంఖ్య శేషం లేకుండా 2తో భాగించబడుతుంది మరియు ఒక సంఖ్య బేసి అంకెతో ముగిస్తే, ఈ సంఖ్య 2తో సమానంగా భాగించబడదు.
ఉదాహరణకు, సంఖ్యలు 60 , 30 8 , 8 4 అవి శేషం లేకుండా 2తో భాగించబడతాయి మరియు సంఖ్యలు 51 , 8 5 , 16 7 శేషం లేకుండా 2తో భాగించబడవు.
3 ద్వారా భాగహారం కోసం పరీక్షించండి
సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 3 ద్వారా భాగించబడినట్లయితే, ఆ సంఖ్య 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది; సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 3చే భాగించబడకపోతే, ఆ సంఖ్య 3చే భాగించబడదు.
ఉదాహరణకు, 2772825 సంఖ్య 3 ద్వారా భాగించబడుతుందో లేదో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, ఈ సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని గణిద్దాం: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది. అంటే 2772825 సంఖ్య 3చే భాగించబడుతుంది.
5 ద్వారా విభజన పరీక్ష
సహజ సంఖ్య యొక్క రికార్డు 0 లేదా 5 అంకెతో ముగిస్తే, ఈ సంఖ్య శేషం లేకుండా 5తో భాగించబడుతుంది. ఒక సంఖ్య యొక్క రికార్డు మరొక అంకెతో ముగిస్తే, ఆ సంఖ్య శేషం లేకుండా 5తో భాగించబడదు.
ఉదాహరణకు, సంఖ్యలు 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 అవి శేషం లేకుండా 5తో భాగించబడతాయి మరియు సంఖ్యలు 17 , 37 8 , 9 1 భాగస్వామ్యం చేయవద్దు.
9 ద్వారా విభజన పరీక్ష
సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 9 ద్వారా భాగించబడినట్లయితే, ఆ సంఖ్య 9 ద్వారా భాగించబడుతుంది; సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 9 ద్వారా భాగించబడకపోతే, ఆ సంఖ్య 9 ద్వారా భాగించబడదు.
ఉదాహరణకు, 5402070 సంఖ్య 9 ద్వారా భాగించబడుతుందో లేదో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, ఈ సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని గణిద్దాం: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9 ద్వారా భాగించబడదు. . అంటే 5402070 సంఖ్య 9చే భాగించబడదు.
10 నాటికి విభజన పరీక్ష
ఒక సహజ సంఖ్య అంకె 0తో ముగిస్తే, ఈ సంఖ్య శేషం లేకుండా 10తో భాగించబడుతుంది. సహజ సంఖ్య మరొక అంకెతో ముగిస్తే, అది 10తో సమానంగా భాగించబడదు.
ఉదాహరణకు, సంఖ్యలు 40 , 17 0 , 1409 0 అవి శేషం లేకుండా 10తో భాగించబడతాయి మరియు సంఖ్యలు 17 , 9 3 , 1430 7 - భాగస్వామ్యం చేయవద్దు.
గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (GCD)ని కనుగొనే నియమం.
అనేక సహజ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:
2) ఈ సంఖ్యలలో ఒకదాని విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాల నుండి, ఇతర సంఖ్యల విస్తరణలో చేర్చని వాటిని దాటవేయండి;
3) మిగిలిన కారకాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.
ఉదాహరణ. GCD (48;36)ని కనుగొనండి. నియమాన్ని ఉపయోగించుకుందాం.
1. 48 మరియు 36 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణిద్దాం.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. సంఖ్య 48 యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాల నుండి, సంఖ్య 36 యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడని వాటిని మేము తొలగిస్తాము.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
మిగిలిన కారకాలు 2, 2 మరియు 3.
3. మిగిలిన కారకాలను గుణించండి మరియు 12 పొందండి. ఈ సంఖ్య 48 మరియు 36 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM)ని కనుగొనే నియమం.
అనేక సహజ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:
1) వాటిని ప్రధాన కారకాలుగా కారకం;
2) సంఖ్యలలో ఒకదాని విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాయండి;
3) మిగిలిన సంఖ్యల విస్తరణల నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను వాటికి జోడించండి;
4) ఫలిత కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.
ఉదాహరణ. LOC (75;60)ని కనుగొనండి. నియమాన్ని ఉపయోగించుకుందాం.
1. 75 మరియు 60 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణిద్దాం.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. సంఖ్య 75: 3, 5, 5 విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాస్దాం.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. సంఖ్య 60 యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను వాటికి జోడించండి, అనగా. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. ఫలిత కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని కనుగొనండి
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
దిగువ అందించబడిన మెటీరియల్ LCM అనే వ్యాసం నుండి సిద్ధాంతం యొక్క తార్కిక కొనసాగింపు - తక్కువ సాధారణ బహుళ, నిర్వచనం, ఉదాహరణలు, LCM మరియు GCD మధ్య కనెక్షన్. ఇక్కడ మనం మాట్లాడతాము అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం (LCM), మరియు మేము ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యేక శ్రద్ధ చూపుతాము. మొదట, ఈ సంఖ్యల GCDని ఉపయోగించి రెండు సంఖ్యల LCM ఎలా లెక్కించబడుతుందో మేము చూపుతాము. తర్వాత, మేము ప్రధాన కారకాలలో సంఖ్యలను కారకం చేయడం ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం చూస్తాము. దీని తర్వాత, మేము మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడంపై దృష్టి పెడతాము మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల LCMని గణించడంపై కూడా శ్రద్ధ చూపుతాము.
పేజీ నావిగేషన్.
GCD ద్వారా తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) గణన
LCM మరియు GCD మధ్య సంబంధం ఆధారంగా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి ఒక మార్గం. LCM మరియు GCDల మధ్య ఉన్న కనెక్షన్ తెలిసిన గొప్ప ఉమ్మడి విభజన ద్వారా రెండు సానుకూల పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించడానికి అనుమతిస్తుంది. సంబంధిత సూత్రం LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . ఇచ్చిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి LCMని కనుగొనే ఉదాహరణలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
126 మరియు 70 అనే రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
ఈ ఉదాహరణలో a=126 , b=70 . ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన LCM మరియు GCD మధ్య కనెక్షన్‌ని ఉపయోగిస్తాము LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). అంటే, ముందుగా మనం 70 మరియు 126 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఆ తర్వాత మనం వ్రాసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ సంఖ్యల LCMని లెక్కించవచ్చు.
యూక్లిడియన్ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి GCD(126, 70)ని కనుగొనండి: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, కాబట్టి, GCD(126, 70)=14.
ఇప్పుడు మనం అవసరమైన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొంటాము: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
సమాధానం:
LCM(126, 70)=630 .
ఉదాహరణ.
LCM(68, 34) దేనికి సమానం?
పరిష్కారం.
ఎందుకంటే 68 అనేది 34తో భాగించబడుతుంది, తర్వాత GCD(68, 34)=34. ఇప్పుడు మనం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కిస్తాము: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
సమాధానం:
LCM(68, 34)=68 .
a మరియు b ధనాత్మక పూర్ణాంకాల కోసం LCMని కనుగొనడానికి మునుపటి ఉదాహరణ క్రింది నియమానికి సరిపోతుందని గమనించండి: a సంఖ్య bతో భాగించబడితే, ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a.
ప్రధాన కారకాలుగా సంఖ్యలను కారకం చేయడం ద్వారా LCMని కనుగొనడం
అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి మరొక మార్గం ప్రధాన కారకాలుగా కారకం సంఖ్యల ఆధారంగా ఉంటుంది. మీరు ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాల నుండి ఒక ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేసి, ఆపై ఈ ఉత్పత్తి నుండి అందించిన సంఖ్యల కుళ్ళిపోయేటటువంటి అన్ని సాధారణ ప్రధాన కారకాలను మినహాయిస్తే, ఫలిత ఉత్పత్తి ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది. .
LCMని కనుగొనడానికి పేర్కొన్న నియమం సమానత్వం నుండి అనుసరిస్తుంది LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). నిజానికి, a మరియు b సంఖ్యల ఉత్పత్తి a మరియు b సంఖ్యల విస్తరణకు సంబంధించిన అన్ని కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. ప్రతిగా, GCD(a, b) అనేది a మరియు b సంఖ్యల విస్తరణలలో ఏకకాలంలో ఉన్న అన్ని ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం (సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విస్తరించడాన్ని ఉపయోగించి GCDని కనుగొనే విభాగంలో వివరించినట్లు).
ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. 75=3·5·5 మరియు 210=2·3·5·7 అని తెలుసుకుందాం. ఈ విస్తరణల యొక్క అన్ని కారకాల నుండి ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేద్దాం: 2·3·3·5·5·5·7 . ఇప్పుడు ఈ ఉత్పత్తి నుండి మేము సంఖ్య 75 యొక్క విస్తరణ మరియు సంఖ్య 210 (ఈ కారకాలు 3 మరియు 5) విస్తరణ రెండింటిలోనూ ఉన్న అన్ని కారకాలను మినహాయించాము, అప్పుడు ఉత్పత్తి 2·3·5·5·7 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. . ఈ ఉత్పత్తి విలువ 75 మరియు 210 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకానికి సమానం, అంటే, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
ఉదాహరణ.
441 మరియు 700 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చండి మరియు ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
441 మరియు 700 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిశీలిద్దాం:
మనకు 441=3·3·7·7 మరియు 700=2·2·5·5·7 లభిస్తాయి.
ఇప్పుడు ఈ సంఖ్యల విస్తరణకు సంబంధించిన అన్ని కారకాల నుండి ఒక ఉత్పత్తిని రూపొందిద్దాం: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. రెండు విస్తరణలలో ఏకకాలంలో ఉన్న అన్ని కారకాలను ఈ ఉత్పత్తి నుండి మినహాయిద్దాం (అటువంటి ఒక అంశం మాత్రమే ఉంది - ఇది సంఖ్య 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . ఈ విధంగా, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
సమాధానం:
NOC(441, 700)= 44 100 .
ప్రధాన కారకాలుగా సంఖ్యల కారకాన్ని ఉపయోగించి LCMని కనుగొనే నియమాన్ని కొద్దిగా భిన్నంగా రూపొందించవచ్చు. సంఖ్య b యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు a సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి కారకాలకు జోడించబడితే, ఫలితంగా ఉత్పత్తి యొక్క విలువ a మరియు b సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది..
ఉదాహరణకు, అదే సంఖ్యలు 75 మరియు 210 తీసుకుందాం, ప్రధాన కారకాలుగా వాటి కుళ్ళిపోవడం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: 75=3·5·5 మరియు 210=2·3·5·7. సంఖ్య 75 యొక్క విస్తరణ నుండి 3, 5 మరియు 5 కారకాలకు మేము 210 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 7 ను జోడిస్తాము, మేము 2·3·5·5·7 ఉత్పత్తిని పొందుతాము, దీని విలువ LCM(75, 210)కి సమానం.
ఉదాహరణ.
84 మరియు 648 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
మేము మొదట 84 మరియు 648 సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా పొందుతాము. అవి 84=2·2·3·7 మరియు 648=2·2·2·3·3·3·3 లాగా కనిపిస్తాయి. సంఖ్య 84 యొక్క విస్తరణ నుండి 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము 648 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2, 3, 3 మరియు 3ని జోడిస్తాము, మేము ఉత్పత్తి 2 2 2 3 3 3 3 7 ను పొందుతాము, ఇది 4 536కి సమానం. ఈ విధంగా, 84 మరియు 648 యొక్క కనీస సాధారణ గుణకం 4,536.
సమాధానం:
LCM(84, 648)=4,536 .
మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడం
రెండు సంఖ్యల LCMని వరుసగా కనుగొనడం ద్వారా మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు. మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనే మార్గాన్ని అందించే సంబంధిత సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం.
సిద్ధాంతం.
ధనాత్మక పూర్ణాంక సంఖ్యలు a 1 , a 2 , ..., a k ఇవ్వబడనివ్వండి, ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ m k m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
నాలుగు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ.
140, 9, 54 మరియు 250 అనే నాలుగు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
ఈ ఉదాహరణలో, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
మొదట మనం కనుగొంటాము m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). దీన్ని చేయడానికి, యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి, మేము GCD(140, 9)ని నిర్ణయిస్తాము, మనకు 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, కాబట్టి, GCD(140, 9)=1 , ఎక్కడ నుండి GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. అంటే, m 2 =1 260.
ఇప్పుడు మనం కనుగొన్నాము m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). దానిని GCD(1 260, 54) ద్వారా గణిద్దాం, దీనిని మనం యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి కూడా నిర్ణయిస్తాము: 1 260=54·23+18, 54=18·3. అప్పుడు gcd(1,260, 54)=18, దీని నుండి gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. అంటే, m 3 =3 780.
కనుగొనడమే మిగిలి ఉంది m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). దీన్ని చేయడానికి, మేము యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి GCD(3,780, 250)ని కనుగొంటాము: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. కాబట్టి, GCM(3,780, 250)=10, ఎక్కడ నుండి GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. అంటే, m 4 =94,500.
కాబట్టి అసలు నాలుగు సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 94,500.
సమాధానం:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
అనేక సందర్భాల్లో, ఇచ్చిన సంఖ్యల ప్రధాన కారకాన్ని ఉపయోగించి మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు క్రింది నియమానికి కట్టుబడి ఉండాలి. అనేక సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం ఉత్పత్తికి సమానం, ఇది క్రింది విధంగా కూర్చబడింది: రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు మొదటి సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి అన్ని కారకాలకు జోడించబడతాయి, విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు మూడవ సంఖ్య ఫలిత కారకాలకు జోడించబడుతుంది మరియు మొదలైనవి.
ప్రైమ్ ఫ్యాక్టరైజేషన్ ఉపయోగించి అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ని కనుగొనే ఉదాహరణను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
ఐదు సంఖ్యల 84, 6, 48, 7, 143లో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
మొదట, మేము ఈ సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా పొందుతాము: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య, ఇది సమానంగా ఉంటుంది ప్రధాన కారకాలుగా దాని కుళ్ళిపోవడంతో) మరియు 143=11·13.
ఈ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, మొదటి సంఖ్య 84 (అవి 2, 2, 3 మరియు 7) యొక్క కారకాలకు, మీరు రెండవ సంఖ్య 6 యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించాలి. మొదటి సంఖ్య 84 యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో 2 మరియు 3 రెండూ ఇప్పటికే ఉన్నందున, సంఖ్య 6 యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో తప్పిపోయిన కారకాలు లేవు. తరువాత, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము మూడవ సంఖ్య 48 యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 2 లను జోడిస్తాము, మేము 2, 2, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాల సమితిని పొందుతాము. తదుపరి దశలో ఈ సెట్‌కు మల్టిప్లైయర్‌లను జోడించాల్సిన అవసరం ఉండదు, ఎందుకంటే 7 ఇప్పటికే ఇందులో ఉంది. చివరగా, 2, 2, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము 143 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన 11 మరియు 13 కారకాలను జోడిస్తాము. మేము 2·2·2·2·3·7·11·13 ఉత్పత్తిని పొందుతాము, ఇది 48,048కి సమానం.
అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి మూడు మార్గాలను చూద్దాం.
కారకం ద్వారా కనుగొనడం
ఇవ్వబడిన సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయడం ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం మొదటి పద్ధతి.
99, 30 మరియు 28 సంఖ్యల యొక్క LCMని మనం కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, ఈ సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేద్దాం:
కోరుకున్న సంఖ్య 99, 30 మరియు 28తో భాగించబడాలంటే, ఈ భాజకాల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఈ సంఖ్యల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాలను సాధ్యమైనంత గొప్ప శక్తికి తీసుకొని వాటిని కలిసి గుణించాలి:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
ఈ విధంగా, LCM (99, 30, 28) = 13,860. 13,860 కంటే తక్కువ ఇతర సంఖ్య 99, 30 లేదా 28 ద్వారా భాగించబడదు.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు వాటిని వాటి ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేసి, ఆపై ప్రతి ప్రధాన కారకాన్ని అది కనిపించే అతిపెద్ద ఘాతాంకంతో తీసుకొని, ఆ కారకాలను కలిపి గుణించండి.
సాపేక్షంగా ప్రధాన సంఖ్యలకు సాధారణ ప్రధాన కారకాలు లేవు కాబట్టి, వాటి కనీస సాధారణ గుణకం ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానం. ఉదాహరణకు, మూడు సంఖ్యలు: 20, 49 మరియు 33 సాపేక్షంగా ప్రధానమైనవి. అందుకే
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
వివిధ ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనేటప్పుడు కూడా అదే చేయాలి. ఉదాహరణకు, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
ఎంపిక ద్వారా కనుగొనడం
రెండవ పద్ధతి ఎంపిక ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం.
ఉదాహరణ 1. ఇచ్చిన సంఖ్యలలో అతిపెద్దది మరొక ఇచ్చిన సంఖ్యతో భాగించబడినప్పుడు, ఈ సంఖ్యల LCM వాటిలో అతిపెద్దదానికి సమానం. ఉదాహరణకు, నాలుగు సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి: 60, 30, 10 మరియు 6. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 60 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కాబట్టి:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
ఇతర సందర్భాల్లో, అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, క్రింది విధానం ఉపయోగించబడుతుంది:
- ఇచ్చిన సంఖ్యల నుండి అతిపెద్ద సంఖ్యను నిర్ణయించండి.
- తరువాత, పెరుగుతున్న క్రమంలో సహజ సంఖ్యలతో గుణించడం ద్వారా మరియు ఫలిత ఉత్పత్తిని మిగిలిన అందించిన సంఖ్యలతో భాగించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయడం ద్వారా అతిపెద్ద సంఖ్య యొక్క గుణకాలుగా ఉన్న సంఖ్యలను మేము కనుగొంటాము.
ఉదాహరణ 2. మూడు సంఖ్యలు 24, 3 మరియు 18 ఇవ్వబడ్డాయి. వాటిలో అతిపెద్దది మేము నిర్ణయిస్తాము - ఇది 24 సంఖ్య. తర్వాత, మేము 24 యొక్క గుణిజాలుగా ఉన్న సంఖ్యలను కనుగొంటాము, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 18 మరియు 3 ద్వారా భాగించబడుతుందో లేదో తనిఖీ చేస్తాము:
24 · 1 = 24 - 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కానీ 18 ద్వారా భాగించబడదు.
24 · 2 = 48 - 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కానీ 18 ద్వారా భాగించబడదు.
24 · 3 = 72 - 3 మరియు 18 ద్వారా భాగించబడుతుంది.
అందువలన, LCM (24, 3, 18) = 72.
LCMని వరుసగా కనుగొనడం ద్వారా కనుగొనడం
LCMని వరుసగా కనుగొనడం ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం మూడవ పద్ధతి.
ఇవ్వబడిన రెండు సంఖ్యల యొక్క LCM ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారంతో భాగించబడిన దాని యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.
ఉదాహరణ 1. ఇవ్వబడిన రెండు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి: 12 మరియు 8. వాటి గొప్ప సాధారణ విభజనను నిర్ణయించండి: GCD (12, 8) = 4. ఈ సంఖ్యలను గుణించండి:
మేము ఉత్పత్తిని వారి gcd ద్వారా విభజిస్తాము:
అందువలన, LCM (12, 8) = 24.
మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, క్రింది విధానాన్ని ఉపయోగించండి:
- ముందుగా, వీటిలో ఏదైనా రెండు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి.
- అప్పుడు, కనుగొనబడిన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం మరియు మూడవ ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క LCM.
- అప్పుడు, ఫలితంగా వచ్చే అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం యొక్క LCM మరియు నాల్గవ సంఖ్య మొదలైనవి.
- అందువలన, సంఖ్యలు ఉన్నంత వరకు LCM కోసం శోధన కొనసాగుతుంది.
ఉదాహరణ 2. ఇవ్వబడిన మూడు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి: 12, 8 మరియు 9. మేము ఇప్పటికే మునుపటి ఉదాహరణలో 12 మరియు 8 సంఖ్యల LCMని కనుగొన్నాము (ఇది సంఖ్య 24). సంఖ్య 24 మరియు మూడవ ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి ఇది మిగిలి ఉంది - 9. వాటి గొప్ప సాధారణ విభజనను నిర్ణయించండి: GCD (24, 9) = 3. LCMని సంఖ్య 9తో గుణించండి:
మేము ఉత్పత్తిని వారి gcd ద్వారా విభజిస్తాము:
అందువలన, LCM (12, 8, 9) = 72.
కింది సమస్యను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం. అబ్బాయి అడుగు 75 సెం.మీ, మరియు అమ్మాయి అడుగు 60 సెం.మీ. వారిద్దరూ పూర్ణాంక సంఖ్యలో దశలను తీసుకునే అతి చిన్న దూరాన్ని కనుగొనడం అవసరం.
పరిష్కారం.అబ్బాయిలు వెళ్ళే మొత్తం మార్గం తప్పనిసరిగా 60 మరియు 70 ద్వారా భాగించబడాలి, ఎందుకంటే వారు ప్రతి ఒక్కరు పూర్ణాంక సంఖ్యలో దశలను తీసుకోవాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమాధానం తప్పనిసరిగా 75 మరియు 60 రెండింటికి గుణకారంగా ఉండాలి.
మొదట, మేము 75 సంఖ్య యొక్క అన్ని గుణిజాలను వ్రాస్తాము.
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
ఇప్పుడు 60కి గుణిజాలుగా ఉండే సంఖ్యలను వ్రాసుకుందాం.
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
ఇప్పుడు మేము రెండు వరుసలలో ఉన్న సంఖ్యలను కనుగొంటాము.
- సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు 300, 600, మొదలైనవి.
వాటిలో చిన్నది సంఖ్య 300. ఈ సందర్భంలో, ఇది 75 మరియు 60 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అని పిలువబడుతుంది.
సమస్య యొక్క స్థితికి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, అబ్బాయిలు పూర్ణాంక సంఖ్యలో దశలను తీసుకునే అతి చిన్న దూరం 300 సెం.మీ ఉంటుంది. అబ్బాయి ఈ మార్గాన్ని 4 దశల్లో కవర్ చేస్తాడు మరియు అమ్మాయి 5 అడుగులు వేయాలి.
తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని నిర్ణయించడం
- a మరియు b అనే రెండు సహజ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a మరియు b రెండింటి యొక్క గుణకం అయిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య.
రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ సంఖ్యల యొక్క అన్ని గుణిజాలను వరుసగా వ్రాయవలసిన అవసరం లేదు.
మీరు క్రింది పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.
అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని ఎలా కనుగొనాలి
ముందుగా మీరు ఈ సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణించాలి.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
ఇప్పుడు మొదటి సంఖ్య (2,2,3,5) యొక్క విస్తరణలో ఉన్న అన్ని కారకాలను వ్రాసి, రెండవ సంఖ్య (5) యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన అన్ని కారకాలను జతచేద్దాం.
ఫలితంగా, మనకు ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి లభిస్తుంది: 2,2,3,5,5. ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఈ సంఖ్యలకు అతి తక్కువ సాధారణ కారకంగా ఉంటుంది. 2*2*3*5*5 = 300.
అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి సాధారణ పథకం
- 1. సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విభజించండి.
- 2. వాటిలో ఒకదానిలో భాగమైన ప్రధాన కారకాలను వ్రాయండి.
- 3. ఈ కారకాలకు ఇతరుల విస్తరణలో ఉన్నవాటిని జోడించండి, కానీ ఎంచుకున్న వాటిలో కాదు.
- 4. అన్ని వ్రాసిన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.
ఈ పద్ధతి సార్వత్రికమైనది. ఏదైనా సహజ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి దీనిని ఉపయోగించవచ్చు.