ఎ)ప్రత్యక్ష ఏకీకరణ.
నిరవధిక సమగ్రాల లక్షణాల యొక్క ప్రత్యక్ష అనువర్తనం మరియు ప్రాథమిక ఏకీకరణ సూత్రాల పట్టిక ఆధారంగా ఫంక్షన్ల సమగ్రాలను కనుగొనడం. డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను కనుగొనే ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ:
∫(X–3) 2 డి X= ∫(X 2 –6X+9) డి X= ∫X 2డి X- 6∫Xడి X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.
చాలా సందర్భాలలో, మేము డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా కనుగొనలేని ఫంక్షన్ల ఇంటిగ్రల్స్‌తో వ్యవహరిస్తున్నాము. ఈ సందర్భంలో, ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం (వేరియబుల్ స్థానంలో).
బి)ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఏకీకరణ (వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్).
ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఏకీకరణ, లేదా దీనిని తరచుగా పిలుస్తారు, వేరియబుల్ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి, ఏకీకరణ యొక్క మరింత ప్రభావవంతమైన మరియు సాధారణ పద్ధతుల్లో ఒకటి. సమీకృత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి మరియు ఇంటిగ్రల్స్ యొక్క పట్టిక రకాల్లో ఒకదానికి తగ్గించడానికి ఇచ్చిన ఇంటిగ్రేషన్ వేరియబుల్ నుండి మరొక వేరియబుల్‌కు తరలించడం ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి. ఈ సందర్భంలో, ప్రత్యామ్నాయం యొక్క ఎంపిక వ్యక్తిగతంగా ప్రదర్శకుడిచే నిర్ణయించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఏ ప్రత్యామ్నాయాన్ని సూచించే సాధారణ నియమాలు లేవు ఈ విషయంలోతీసుకోవడం.
ఉదాహరణ:సమగ్ర ∫ని కనుగొనండి ఇ 2х+3 డి X.
దీనితో అనుబంధించబడిన కొత్త వేరియబుల్ tని పరిచయం చేద్దాం Xకింది ఆధారపడటం 2 X+ 3 = టి.
ఈ సమానత్వం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపుల తేడాలను తీసుకుందాం: 2d X=dt;d X=dt/2.
ఇప్పుడు 2కి బదులుగా X+ 3 ఇడి Xవాటి విలువలను సమగ్రంగా ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: ∫ ఇ 2х+3 డి X=∫ఇ t dt = ఇ t + C. మునుపటి వేరియబుల్‌కి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, మేము చివరకు వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:
∫ఇ 2х+3 డి X=ఇ 2x+3 + సి.
ఇంటిగ్రల్ సరిగ్గా తీసుకోబడిందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మీకు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ అవసరం ఇ 2x+ 3 వేరు చేయండి మరియు ఉంటుందో లేదో తనిఖీ చేయండి దాని ఉత్పన్నం సమగ్ర ఫంక్షన్‌కు సమానం:
(ఇ 2x+ 3)" =ఇ 2x+ 3 (2 X+3)" =ఇ 2x+ 3 .
3. ఖచ్చితమైన సమగ్ర మరియు దాని లక్షణాలు.
నిర్దిష్ట సమగ్రత అనే భావన సైన్స్ మరియు టెక్నాలజీలోని అనేక రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. దాని సహాయంతో, వక్రరేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాలు, ఏకపక్ష ఆకారం యొక్క వాల్యూమ్‌లు, వేరియబుల్ ఫోర్స్ యొక్క శక్తి మరియు పని, కదిలే శరీరం యొక్క మార్గం, జడత్వం యొక్క క్షణాలు మరియు అనేక ఇతర పరిమాణాలు లెక్కించబడతాయి.
IN 
చాలా సందర్భాలలో, కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించడంలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఖచ్చితమైన సమగ్ర భావన ప్రవేశపెట్టబడింది. నిరంతర ఫంక్షన్ y =f( X) విభాగంలో [ a,c]. y=f(వక్రరేఖతో బంధించబడిన బొమ్మ X) ఆర్డినేట్స్ ఎఓ, విఎ పిమరియు విభాగం [ a,c] x-అక్షాన్ని కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ అంటారు (Fig. 1).
మనమే విధిని నిర్దేశించుకుందాం: వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం Sని నిర్ణయించండి ఎఎ ఓ ఎ పి వి. దీన్ని చేయడానికి, మేము విభాగాన్ని విభజించాము [ a,c] పై పిఅవసరం లేదు సమాన భాగాలుమరియు విభజన పాయింట్లను ఈ క్రింది విధంగా నిర్దేశించండి: ఎ=X O < X 1 < X 2 ‹ … ‹ X పి = లోపల.
విభజన పాయింట్ల నుండి మేము y = f (కర్వ్‌తో ఖండనకు లంబాలను పునరుద్ధరిస్తాము. X) ఈ విధంగా, మేము వక్రరేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న మొత్తం ప్రాంతాన్ని విభజించాము పిప్రాథమిక కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్లు. నుండి పునరుద్ధరించుదాం ఏకపక్ష పాయింట్లుప్రతి సెగ్మెంట్ ∆ X iఆర్డినేటేఫ్ (సి i) అది y =f(వక్రరేఖతో కలిసే వరకు X) తరువాత, మేము బేస్ ∆తో దీర్ఘచతురస్రాలతో కూడిన స్టెప్డ్ ఫిగర్‌ను నిర్మిస్తాము X i మరియు ఎత్తు f(సి i) ఎలిమెంటరీ స్క్వేర్ iవదీర్ఘచతురస్రం S ఉంటుంది i =f(సి i)(X i -X i -1 ), మరియు మొత్తం ప్రాంతం S పిఫలితంగా స్టెప్డ్ ఫిగర్ దీర్ఘచతురస్రాల ప్రాంతాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది:
ఎస్ పి=f(C o)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(సి P- 1)(Xపి -X P- 1).
ఈ మొత్తం నమోదును సంక్షిప్తీకరించడానికి, చిహ్నాన్ని నమోదు చేయండి 
(సిగ్మా) - పరిమాణాల సమ్మషన్ అని అర్ధం. అప్పుడు
ఎస్ పి
=
.
ఈ మొత్తాన్ని ఎస్ పి,ఇది సమగ్ర మొత్తంగా పిలువబడుతుంది, ఇచ్చిన ప్రాంతం యొక్క నిజమైన విలువ కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువగా ఉండవచ్చు. ప్రాంతం యొక్క నిజమైన విలువకు దగ్గరగా ఉండే విలువ మొత్తం యొక్క పరిమితిగా ఉంటుంది, అయితే ప్రాథమిక విభాగాలు చూర్ణం చేయబడితే ( p→
), మరియు పొడవు కూడా పెద్ద సెగ్మెంట్ ∆X గరిష్టంగాసున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది, అనగా:
S=
(4)
ఈ సంచిత మొత్తం పరిమితి (అది ఉన్నట్లయితే) అంటారు ఖచ్చితమైన సమగ్రఫంక్షన్ నుండి ( X) విభాగంలో [ ఎ,వి] మరియు సూచించండి: 
=
(5)
("ఖచ్చితమైన సమగ్రం" అని చదువుతుంది ఎముందు వి ef నుండి x de x”).
సంఖ్యలు ఎమరియు విఏకీకరణ యొక్క దిగువ మరియు ఎగువ పరిమితులను వరుసగా పిలుస్తారు, f( X) - సబ్ఇంటెగ్రల్ ఫంక్షన్; X- ఇంటిగ్రేషన్ వేరియబుల్. (4) మరియు (5) సూత్రాలను ఉపయోగించి మనం వ్రాయవచ్చు. కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం సంఖ్యాపరంగా ట్రాపెజాయిడ్‌ను పరిమితం చేసే ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతకు సమానం, ఇది ఏకీకరణ విరామంలో తీసుకోబడుతుంది [ఎ,వి]:
.
ఈ వాస్తవం ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత అర్థాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది.
ఖచ్చితమైన సమగ్రం యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.
1. ఖచ్చితమైన సమగ్రత వేరియబుల్ యొక్క హోదాపై ఆధారపడి ఉండదు, అనగా: 
=
.
2. బీజగణిత మొత్తం యొక్క ఖచ్చితమైన సమగ్రం ప్రతి పదం యొక్క ఖచ్చితమైన సమగ్రాల బీజగణిత మొత్తానికి సమానం:
=
f 1 ( X) డి x +
f 2 ( X) డి X+ ….
ఉత్పన్నానికి అనేక ఉపయోగాలున్నాయని మేము చూశాము: ఉత్పన్నం అనేది కదలిక వేగం (లేదా, సాధారణంగా, ఏదైనా ప్రక్రియ యొక్క వేగం); ఉత్పన్నం వాలుఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్; ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి, మీరు మోనోటోనిసిటీ మరియు ఎక్స్‌ట్రీమా కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించవచ్చు; డెరివేటివ్ ఆప్టిమైజేషన్ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడుతుంది.
కానీ లో నిజ జీవితంనిర్ణయించుకోవాలి మరియు విలోమ సమస్యలు: ఉదాహరణకు, తెలిసిన చలన నియమం ప్రకారం వేగాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యతో పాటు, తెలిసిన వేగం ప్రకారం చలన నియమాన్ని పునరుద్ధరించడంలో సమస్య కూడా ఉంది. ఈ సమస్యలలో ఒకదానిని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ 1.సరళ రేఖలో కదులుతుంది పదార్థం పాయింట్, t సమయంలో దాని కదలిక వేగం u = tg సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. చలన నియమాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం. s = s(t) కావలసిన చలన నియమం. s"(t) = u"(t) అని తెలిసింది. దీని అర్థం సమస్యను పరిష్కరించడానికి మీరు ఎంచుకోవాలి ఫంక్షన్ s = s(t), దీని ఉత్పన్నం tgకి సమానం. అని ఊహించడం కష్టం కాదు
ఉదాహరణ సరిగ్గా పరిష్కరించబడిందని, కానీ అసంపూర్ణంగా ఉందని వెంటనే గమనించండి. వాస్తవానికి, సమస్యకు అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము: ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్ 
ఒక ఏకపక్ష స్థిరాంకం చలన నియమం వలె పనిచేస్తుంది
పనిని మరింత నిర్దిష్టంగా చేయడానికి, మేము ప్రారంభ పరిస్థితిని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది: ఏదో ఒక సమయంలో కదిలే పాయింట్ యొక్క సమన్వయాన్ని సూచించండి, ఉదాహరణకు, t=0 వద్ద. ఒకవేళ, s(0) = s 0 అని చెప్పినట్లయితే, అప్పుడు సమానత్వం నుండి మనం s(0) = 0 + Cని పొందుతాము, అనగా S 0 = C. ఇప్పుడు చలన నియమం ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడింది:
గణితంలో, పరస్పర కార్యకలాపాలు కేటాయించబడతాయి వివిధ పేర్లు, ప్రత్యేక సంకేతాలతో ముందుకు రండి: ఉదాహరణకు, స్క్వేర్ చేయడం (x 2) మరియు సంగ్రహించడం వర్గమూలంసైన్(sinх) మరియు ఆర్క్సిన్(ఆర్క్సిన్ x), మొదలైనవి. ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ప్రక్రియను భేదం అంటారు, మరియు విలోమ ఆపరేషన్, అనగా. ఇచ్చిన డెరివేటివ్ - ఇంటిగ్రేషన్ నుండి ఫంక్షన్‌ను కనుగొనే ప్రక్రియ.
“డెరివేటివ్” అనే పదాన్ని “రోజువారీ పరంగా” సమర్థించవచ్చు: ఫంక్షన్ y - f(x) “ఉనికిని ఉత్పత్తి చేస్తుంది” కొత్త కథనం y"= f"(x) ఫంక్షన్ y = f(x) "తల్లిదండ్రులు"గా పనిచేస్తుంది, కానీ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, సహజంగానే, దీనిని "తల్లిదండ్రులు" లేదా "నిర్మాత" అని పిలవరు, వారు దానికి సంబంధించి, ఫంక్షన్ y"=f"(x), ప్రాథమిక చిత్రం, లేదా సంక్షిప్తంగా, యాంటీడెరివేటివ్.
నిర్వచనం 1. X నుండి అన్ని xకి F"(x)=f(x) సమానత్వం కలిగి ఉన్నట్లయితే, y = F(x) ఫంక్షన్‌ని ఇచ్చిన విరామం Xపై y = f(x) ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు.
ఆచరణలో, విరామం X సాధారణంగా పేర్కొనబడదు, కానీ సూచించబడుతుంది (ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క సహజ డొమైన్ వలె).
ఇవి కొన్ని ఉదాహరణలు:
1) ఫంక్షన్ y = x 2 అనేది y = 2x ఫంక్షన్‌కు యాంటీడెరివేటివ్, ఎందుకంటే అన్ని x సమానత్వం (x 2)" = 2x నిజం.
2) ఫంక్షన్ y - x 3 అనేది y-3x 2 ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్, ఎందుకంటే అన్ని x సమానత్వం (x 3)" = 3x 2 నిజం.
3) y-sinх ఫంక్షన్ y = cosx కోసం యాంటీడెరివేటివ్, ఎందుకంటే అన్ని x సమానత్వం (sinx)" = cosx నిజం.
4) అన్నింటికీ x > 0 సమానత్వం నిజం కనుక విరామంలో ఫంక్షన్ కోసం ఫంక్షన్ యాంటీడెరివేటివ్
సాధారణంగా, ఉత్పన్నాలను కనుగొనడానికి సూత్రాలను తెలుసుకోవడం, యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి సూత్రాల పట్టికను కంపైల్ చేయడం కష్టం కాదు.
ఈ పట్టిక ఎలా సంకలనం చేయబడిందో మీరు అర్థం చేసుకున్నారని మేము ఆశిస్తున్నాము: రెండవ నిలువు వరుసలో వ్రాయబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం, మొదటి నిలువు వరుసలో వ్రాయబడిన ఫంక్షన్‌కి సమానం (దీన్ని తనిఖీ చేయండి, సోమరితనం చేయవద్దు, ఇది చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంది). ఉదాహరణకు, y = x 5 ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్, మీరు స్థాపించినట్లుగా, ఫంక్షన్ (టేబుల్ యొక్క నాల్గవ వరుసను చూడండి).
గమనికలు: 1. y = F(x) ఫంక్షన్ y = f(x)కి యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, y = f(x) ఫంక్షన్ అనంతమైన అనేక యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు అవన్నీ y = రూపాన్ని కలిగి ఉన్నాయని మేము క్రింద ఉన్న సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిస్తాము. F(x ) + C. కాబట్టి, C అనే పదాన్ని పట్టికలోని రెండవ నిలువు వరుసలో ప్రతిచోటా జోడించడం మరింత సరైనది, ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్య.
2. క్లుప్తత కొరకు, కొన్నిసార్లు "ది ఫంక్షన్ y = F(x) అనేది y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్" అనే పదబంధానికి బదులుగా, F(x) అనేది f(x) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అని అంటున్నారు. ."
2. యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనే నియమాలు
యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనేటప్పుడు, అలాగే ఉత్పన్నాలను కనుగొనేటప్పుడు, సూత్రాలు మాత్రమే ఉపయోగించబడతాయి (అవి p. 196లోని పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి), కానీ కొన్ని నియమాలు కూడా. అవి ఉత్పన్నాలను లెక్కించడానికి సంబంధిత నియమాలకు నేరుగా సంబంధించినవి.
మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం దాని ఉత్పన్నాల మొత్తానికి సమానం అని మనకు తెలుసు. ఈ నియమం యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి సంబంధిత నియమాన్ని రూపొందిస్తుంది.
నియమం 1.మొత్తం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అనేది యాంటీడెరివేటివ్‌ల మొత్తానికి సమానం.
మేము ఈ సూత్రీకరణ యొక్క కొంతవరకు "తేలిక"కి మీ దృష్టిని ఆకర్షిస్తాము. వాస్తవానికి, ఒకరు సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించాలి: y = f(x) మరియు y = g(x) ఫంక్షన్‌లు X విరామంపై యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటే, వరుసగా y-F(x) మరియు y-G(x), అప్పుడు ఫంక్షన్ల మొత్తం y = f(x)+g(x) విరామం Xపై యాంటీడెరివేటివ్‌ని కలిగి ఉంటుంది మరియు ఈ యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ y = F(x)+G(x). కానీ సాధారణంగా, నియమాలను రూపొందించేటప్పుడు (మరియు సిద్ధాంతాలు కాదు), అవి మాత్రమే వదిలివేస్తాయి కీలకపదాలు- ఇది ఆచరణలో నియమాన్ని వర్తింపజేయడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది
ఉదాహరణ 2. y = 2x + cos x ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనండి.
పరిష్కారం. 2x కోసం యాంటీడెరివేటివ్ x"; కాక్స్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ sin x. దీని అర్థం y = 2x + cos x ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ y = x 2 + sin x (మరియు సాధారణంగా ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్ Y = x 1 + sinx + C) .
ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం నుండి స్థిరమైన కారకాన్ని తీసుకోవచ్చని మనకు తెలుసు. ఈ నియమం యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి సంబంధిత నియమాన్ని రూపొందిస్తుంది.
నియమం 2. స్థిరమైన గుణకంయాంటీడెరివేటివ్ యొక్క చిహ్నంగా బయటకు తీయవచ్చు.
ఉదాహరణ 3.
పరిష్కారం. a) sin x కోసం యాంటీడెరివేటివ్ -soz x; అంటే y = 5 sin x ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ y = -5 cos x ఫంక్షన్ అవుతుంది.
బి) cos x కోసం యాంటీడెరివేటివ్ sin x; ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ అని దీని అర్థం
c) x 3 కోసం యాంటీడెరివేటివ్ x కోసం యాంటీడెరివేటివ్, y = 1 ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ y = x. యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి మొదటి మరియు రెండవ నియమాలను ఉపయోగించి, y = 12x 3 + 8x-1 ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ అని మేము కనుగొన్నాము
వ్యాఖ్య.తెలిసినట్లుగా, ఒక ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల ఉత్పత్తికి సమానం కాదు (ఉత్పత్తిని భేదించే నియమం చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది) మరియు గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల భాగానికి సమానం కాదు. అందువల్ల, ఉత్పత్తి యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ లేదా రెండు ఫంక్షన్ల కోటీన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడానికి ఎటువంటి నియమాలు లేవు. జాగ్రత్త!
యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి మరొక నియమాన్ని పొందుదాం. y = f(kx+m) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుందని మనకు తెలుసు
ఈ నియమం యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి సంబంధిత నియమాన్ని రూపొందిస్తుంది.
నియమం 3. y = F(x) అనేది y = f(x) ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, y=f(kx+m) ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ అనేది ఫంక్షన్.
నిజానికి,
అంటే y = f(kx+m) ఫంక్షన్‌కి ఇది యాంటీడెరివేటివ్ అని అర్థం.
మూడవ నియమం యొక్క అర్థం క్రింది విధంగా ఉంది. y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ y = F(x) అని మీకు తెలిస్తే మరియు మీరు ఫంక్షన్ y = f(kx+m) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ని కనుగొనవలసి ఉంటే, ఈ విధంగా కొనసాగండి: తీసుకోండి అదే ఫంక్షన్ F, కానీ ఆర్గ్యుమెంట్ xకి బదులుగా, kx+m అనే వ్యక్తీకరణను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి; అదనంగా, ఫంక్షన్ గుర్తుకు ముందు "దిద్దుబాటు కారకం" అని వ్రాయడం మర్చిపోవద్దు
ఉదాహరణ 4.ఇచ్చిన ఫంక్షన్ల కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనండి:
పరిష్కారం, a) sin x కోసం యాంటీడెరివేటివ్ -soz x; దీని అర్థం y = sin2x ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ అవుతుంది
బి) cos x కోసం యాంటీడెరివేటివ్ sin x; ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ అని దీని అర్థం
c) x 7 కోసం యాంటీడెరివేటివ్ అంటే y = (4-5x) 7 ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ అవుతుంది
3. నిరవధిక సమగ్రం
ఇచ్చిన ఫంక్షన్ y = f(x) కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌ని కనుగొనడంలో సమస్య ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలను కలిగి ఉందని మేము ఇప్పటికే పైన గుర్తించాము. ఈ సమస్యను మరింత వివరంగా చర్చిద్దాం.
రుజువు. 1. విరామం Xపై y = F(x) ఫంక్షన్ y = f(x)కి యాంటీడెరివేటివ్‌గా ఉండనివ్వండి. దీని అర్థం X నుండి అన్ని x కోసం సమానత్వం x"(x) = f(x) కలిగి ఉంటుంది. మనం y = F(x)+C రూపం యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
కాబట్టి, (F(x)+C) = f(x). అంటే y = F(x) + C అనేది y = f(x) ఫంక్షన్‌కు యాంటీడెరివేటివ్.
ఈ విధంగా, y = f(x) ఫంక్షన్‌కు యాంటీడెరివేటివ్ y=F(x) ఉంటే, ఆ ఫంక్షన్ (f = f(x) అనంతమైన అనేక యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటుందని మేము నిరూపించాము, ఉదాహరణకు, y = ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్ F(x) +C అనేది యాంటీడెరివేటివ్.
2. ఇప్పుడు దానిని నిరూపిద్దాం పేర్కొన్న రకంవిధులు, యాంటీడెరివేటివ్‌ల మొత్తం సెట్ అయిపోయింది.
X విరామంలో Y = f(x) ఫంక్షన్‌కు y=F 1 (x) మరియు y=F(x) రెండు యాంటీడెరివేటివ్‌లుగా ఉండనివ్వండి. దీని అర్థం X విరామం X నుండి అన్ని x కోసం క్రింది సంబంధాలు కలిగి ఉంటాయి: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
y = F 1 (x) -.F(x) ఫంక్షన్‌ని పరిశీలిద్దాం మరియు దాని ఉత్పన్నం: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
విరామం Xపై ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ విరామం Xపై స్థిరంగా ఉంటుంది (§ 35 నుండి సిద్ధాంతం 3 చూడండి). దీని అర్థం F 1 (x) - F (x) = C, అనగా. Fx) = F(x)+C.
సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
ఉదాహరణ 5.సమయంతో వేగం యొక్క మార్పు యొక్క చట్టం ఇవ్వబడింది: v = -5sin2t. t=0 సమయంలో పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ సంఖ్య 1.5 (అంటే s(t) = 1.5)కి సమానం అని తెలిస్తే, చలన నియమం s = s(t)ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.వేగం అనేది సమయం యొక్క విధిగా కోఆర్డినేట్ యొక్క ఉత్పన్నం కాబట్టి, మనం మొదట వేగం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనాలి, అనగా. ఫంక్షన్ v = -5sin2t కోసం యాంటీడెరివేటివ్. అటువంటి యాంటీడెరివేటివ్‌లలో ఒకటి ఫంక్షన్ , మరియు అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
కనుగొనేందుకు నిర్దిష్ట అర్థంస్థిరమైన సి, ఉపయోగించుకుందాం ప్రారంభ పరిస్థితులు, దీని ప్రకారం, s(0) = 1.5. t=0, S = 1.5 విలువలను ఫార్ములా (1)లోకి మార్చడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది:
C యొక్క కనుగొనబడిన విలువను ఫార్ములా (1)గా మార్చడం ద్వారా, మనకు ఆసక్తి కలిగించే చలన నియమాన్ని పొందుతాము:
నిర్వచనం 2.ఒక ఫంక్షన్ y = f(x) విరామం Xపై యాంటీడెరివేటివ్ y = F(x)ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి, అనగా. y = F(x) + C రూపం యొక్క ఫంక్షన్ల సమితిని y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క నిరవధిక సమగ్రంగా పిలుస్తారు మరియు దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది:
(చదవండి: “x de x నుండి నిరవధిక సమగ్ర ef”).
తదుపరి పేరాలో మనం ఏమిటో తెలుసుకుందాం దాచిన అర్థంసూచించిన హోదా.
ఈ విభాగంలో అందుబాటులో ఉన్న యాంటీడెరివేటివ్‌ల పట్టిక ఆధారంగా, మేము ప్రధాన నిరవధిక సమగ్రాల పట్టికను కంపైల్ చేస్తాము:
యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి పై మూడు నియమాల ఆధారంగా, మేము సంబంధిత ఏకీకరణ నియమాలను రూపొందించవచ్చు.
నియమం 1.ఫంక్షన్ల మొత్తం యొక్క సమగ్రత మొత్తానికి సమానంఈ ఫంక్షన్ల సమగ్రతలు:
నియమం 2.స్థిరమైన కారకాన్ని సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:
నియమం 3.ఉంటే
ఉదాహరణ 6.నిరవధిక సమగ్రాలను కనుగొనండి:
పరిష్కారం, ఎ) మొదటి మరియు రెండవ ఏకీకరణ నియమాలను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:
ఇప్పుడు 3వ మరియు 4వ ఇంటిగ్రేషన్ ఫార్ములాలను ఉపయోగించుకుందాం:
ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:
బి) ఇంటిగ్రేషన్ మరియు ఫార్ములా 8 యొక్క మూడవ నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:
సి) కోసం తక్షణ స్థానంఇచ్చిన సమగ్రం కోసం, మాకు సంబంధిత ఫార్ములా లేదా సంబంధిత నియమం లేదు. అటువంటి సందర్భాలలో, ముందుగా అమలు చేయబడుతుంది గుర్తింపు పరివర్తనలుసమగ్ర చిహ్నం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ.
సద్వినియోగం చేసుకుందాం త్రికోణమితి సూత్రండిగ్రీ తగ్గింపు:
అప్పుడు మేము వరుసగా కనుగొంటాము:
ఎ.జి. మొర్డ్కోవిచ్ ఆల్జీబ్రా 10వ తరగతి
గణితంలో క్యాలెండర్-నేపథ్య ప్రణాళిక, వీడియోఆన్‌లైన్‌లో గణితంలో, పాఠశాలలో గణితం
ఈ పాఠం ఏకీకరణపై వీడియోల శ్రేణిలో మొదటిది. దీనిలో మేము ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అంటే ఏమిటో విశ్లేషిస్తాము మరియు ఈ యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించే ప్రాథమిక పద్ధతులను కూడా అధ్యయనం చేస్తాము.
వాస్తవానికి, ఇక్కడ సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు: ముఖ్యంగా ఇది ఉత్పన్నం అనే భావనకు వస్తుంది, ఇది మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉండాలి :)
ఇది మా మొదటి పాఠం కాబట్టి నేను వెంటనే గమనిస్తాను కొత్త అంశం, ఈరోజు ఏదీ ఉండదు సంక్లిష్ట లెక్కలుమరియు సూత్రాలు, కానీ ఈ రోజు మనం అధ్యయనం చేసేది గణన చేసేటప్పుడు చాలా క్లిష్టమైన గణనలు మరియు నిర్మాణాలకు ఆధారం అవుతుంది సంక్లిష్ట సమగ్రతలుమరియు చతురస్రాలు.
అదనంగా, ప్రత్యేకంగా ఇంటిగ్రేషన్ మరియు ఇంటిగ్రల్స్ అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినప్పుడు, విద్యార్థి ఇప్పటికే డెరివేటివ్‌ల భావనలతో కనీసం సుపరిచితుడని మరియు వాటిని లెక్కించడంలో కనీసం ప్రాథమిక నైపుణ్యాలను కలిగి ఉంటాడని మేము పరోక్షంగా ఊహిస్తాము. దీని గురించి స్పష్టమైన అవగాహన లేకుండా, ఏకీకరణలో చేయవలసిన పని లేదు.
అయితే, ఇక్కడ అత్యంత సాధారణ మరియు కృత్రిమ సమస్యలలో ఒకటి ఉంది. వాస్తవం ఏమిటంటే, వారి మొదటి యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించడం ప్రారంభించినప్పుడు, చాలా మంది విద్యార్థులు వాటిని ఉత్పన్నాలతో గందరగోళానికి గురిచేస్తారు. ఫలితంగా, పరీక్షలలో మరియు స్వతంత్ర పనితెలివితక్కువ మరియు అప్రియమైన తప్పులు చేస్తారు.
అందువల్ల, ఇప్పుడు నేను యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క స్పష్టమైన నిర్వచనాన్ని ఇవ్వను. బదులుగా, ఒక సాధారణ నిర్దిష్ట ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఇది ఎలా లెక్కించబడుతుందో చూడాలని నేను మీకు సూచిస్తున్నాను.
యాంటీడెరివేటివ్ అంటే ఏమిటి మరియు అది ఎలా లెక్కించబడుతుంది?
ఈ ఫార్ములా మాకు తెలుసు:
\[((\left(((x)^(n))) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
ఈ ఉత్పన్నం సరళంగా లెక్కించబడుతుంది:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
ఫలిత వ్యక్తీకరణను జాగ్రత్తగా చూద్దాం మరియు $((x)^(2))$ని వ్యక్తపరచండి:
\[((x)^(2))=\frac(((\ఎడమ((((x))^3)) \కుడి))^(\ప్రైమ్ )))(3)\]
కానీ ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మనం దీన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x))^(3)))(3) \కుడి))^(\ప్రైమ్ ))\]
మరియు ఇప్పుడు శ్రద్ధ: మేము ఇప్పుడే వ్రాసినది యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క నిర్వచనం. కానీ సరిగ్గా వ్రాయడానికి, మీరు ఈ క్రింది వాటిని వ్రాయాలి:
కింది వ్యక్తీకరణను అదే విధంగా వ్రాస్దాం:
మేము ఈ నియమాన్ని సాధారణీకరించినట్లయితే, మేము ఈ క్రింది సూత్రాన్ని పొందవచ్చు:
\[((x)^(n))\to \frac((((x)^(n+1)))(n+1)\]
ఇప్పుడు మనం స్పష్టమైన నిర్వచనాన్ని రూపొందించవచ్చు.
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని ఉత్పన్నం అసలు ఫంక్షన్‌కి సమానంగా ఉంటుంది.
యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ గురించి ప్రశ్నలు
ఇది చాలా సరళమైన మరియు అర్థమయ్యే నిర్వచనం అనిపిస్తుంది. అయితే, అది విన్న తర్వాత, శ్రద్ధగల విద్యార్థికి వెంటనే అనేక ప్రశ్నలు ఉంటాయి:
- సరే, ఈ ఫార్ములా సరైనదేనని చెప్పండి. అయితే, ఈ సందర్భంలో, $n=1$తో, మాకు సమస్యలు ఉన్నాయి: "సున్నా" హారంలో కనిపిస్తుంది మరియు మేము "సున్నా"తో విభజించలేము.
- ఫార్ములా కేవలం డిగ్రీలకు మాత్రమే పరిమితం చేయబడింది. యాంటీడెరివేటివ్‌ను ఎలా లెక్కించాలి, ఉదాహరణకు, సైన్, కొసైన్ మరియు ఏదైనా ఇతర త్రికోణమితి, అలాగే స్థిరాంకాలు.
- అస్తిత్వ ప్రశ్న: యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమేనా? అవును అయితే, మొత్తం, వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి మొదలైన వాటి యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ గురించి ఏమిటి?
పై చివరి ప్రశ్ననేను వెంటనే సమాధానం ఇస్తాను. దురదృష్టవశాత్తు, యాంటీడెరివేటివ్, ఉత్పన్నం వలె కాకుండా, ఎల్లప్పుడూ పరిగణించబడదు. అలాంటిదేమి లేదు సార్వత్రిక సూత్రం, ఏదైనా ప్రారంభ నిర్మాణం నుండి మనం ఇదే విధమైన నిర్మాణానికి సమానమైన ఫంక్షన్‌ను పొందుతాము. శక్తులు మరియు స్థిరాంకాల కొరకు, మేము ఇప్పుడు దాని గురించి మాట్లాడుతాము.
పవర్ ఫంక్షన్లతో సమస్యలను పరిష్కరించడం
\[((x)^(-1))\ to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఈ ఫార్ములాకోసం $((x)^(-1))$ పని చేయదు. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: అప్పుడు ఏమి పని చేస్తుంది? మనం $((x)^(-1))$ని లెక్కించలేమా? అయితే మనం చేయగలం. దీన్ని ముందుగా గుర్తుంచుకుందాం:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
ఇప్పుడు ఆలోచిద్దాం: ఏ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం $\frac(1)(x)$కి సమానం. సహజంగానే, ఈ అంశాన్ని కనీసం కొంచెం అధ్యయనం చేసిన ఏ విద్యార్థి అయినా ఈ వ్యక్తీకరణ సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానమని గుర్తుంచుకుంటారు:
\[(\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది వాటిని నమ్మకంగా వ్రాయవచ్చు:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ to \ln x\]
పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం వలె మీరు ఈ సూత్రాన్ని తెలుసుకోవాలి.
కాబట్టి ఇప్పటివరకు మనకు తెలిసినవి:
- పవర్ ఫంక్షన్ కోసం - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- స్థిరాంకం కోసం - $=const\ to \cdot x$
- పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం $\frac(1)(x)\to \ln x$
మరియు మనం సరళమైన ఫంక్షన్లను గుణించడం మరియు విభజించడం ప్రారంభిస్తే, అప్పుడు మనం ఉత్పత్తి లేదా గుణకం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ను ఎలా లెక్కించవచ్చు. దురదృష్టవశాత్తూ, ఉత్పత్తి లేదా గుణకం యొక్క ఉత్పన్నంతో సారూప్యతలు ఇక్కడ పని చేయవు. ఏదైనా ప్రామాణిక సూత్రంఉనికిలో లేదు. కొన్ని సందర్భాల్లో, గమ్మత్తైన ప్రత్యేక సూత్రాలు ఉన్నాయి - భవిష్యత్తులో వీడియో పాఠాలలో మేము వాటితో పరిచయం చేస్తాము.
అయితే, గుర్తుంచుకోండి: సాధారణ సూత్రం, గుణకం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని గణించడానికి సారూప్య సూత్రం ఉనికిలో లేదు.
నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరించడం
టాస్క్ నంబర్ 1
ఒక్కొక్కటి చేద్దాం శక్తి విధులువిడిగా లెక్కిద్దాం:
\[((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)\]
మా వ్యక్తీకరణకు తిరిగి, మేము సాధారణ నిర్మాణాన్ని వ్రాస్తాము:
సమస్య సంఖ్య 2
నేను ఇప్పటికే చెప్పినట్లు, రచనల నమూనాలుమరియు ప్రైవేట్ "రైట్ త్రూ" పరిగణించబడదు. అయితే, ఇక్కడ మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయవచ్చు:
మేము భిన్నాన్ని రెండు భిన్నాల మొత్తంగా విభజించాము.
గణితాన్ని చేద్దాం:
శుభవార్త ఏమిటంటే, యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించడానికి సూత్రాలను తెలుసుకోవడం, మీరు ఇప్పటికే ఎక్కువ లెక్కించగలుగుతారు సంక్లిష్ట నమూనాలు. అయితే, మనం మరింత ముందుకు వెళ్లి మన జ్ఞానాన్ని మరికొంత విస్తరించుకుందాం. వాస్తవం ఏమిటంటే, మొదటి చూపులో, $((x)^(n))$తో సంబంధం లేని అనేక నిర్మాణాలు మరియు వ్యక్తీకరణలు శక్తిగా సూచించబడతాయి. హేతుబద్ధమైన సూచిక, అవి:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)((((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
ఈ పద్ధతులన్నీ కలపవచ్చు మరియు కలపాలి. శక్తి వ్యక్తీకరణలుచెయ్యవచ్చు
- గుణించడం (డిగ్రీలు జోడించడం);
- విభజించు (డిగ్రీలు తీసివేయబడతాయి);
- స్థిరాంకం ద్వారా గుణించండి;
- మొదలైనవి
హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించడం
ఉదాహరణ #1
ప్రతి మూలాన్ని విడిగా గణిద్దాం:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot ((( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
మొత్తంగా, మా మొత్తం నిర్మాణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
ఉదాహరణ సంఖ్య 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=(\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=(\left(((x)^(\frac(\frac(\sqrt(x)\right)) 1)(2))) \కుడి))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
కాబట్టి మేము పొందుతాము:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\ to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
మొత్తంగా, ప్రతిదీ ఒక వ్యక్తీకరణగా సేకరిస్తూ, మనం వ్రాయవచ్చు:
ఉదాహరణ సంఖ్య 3
ప్రారంభించడానికి, మేము ఇప్పటికే $\sqrt(x)$ని లెక్కించాము:
\[\sqrt(x)\ to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2))) నుండి \frac((((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
మళ్లీ వ్రాద్దాం:
మనం ఇప్పుడే చదువుకున్నది చాలా ఎక్కువ అని చెబితే నేను ఎవరినీ ఆశ్చర్యపరచనని ఆశిస్తున్నాను సాధారణ లెక్కలుఆదిమ, అత్యంత ప్రాథమిక నిర్మాణాలు. ఇప్పుడు కొంచెం ఎక్కువ చూద్దాం సంక్లిష్ట ఉదాహరణలు, దీనిలో, పట్టిక యాంటీడెరివేటివ్‌లతో పాటు, మీరు కూడా గుర్తుంచుకోవాలి పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు, అవి, సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు.
మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం
టాస్క్ నంబర్ 1
స్క్వేర్డ్ తేడా కోసం సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
మన ఫంక్షన్‌ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:
అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క నమూనాను మనం ఇప్పుడు కనుగొనవలసి ఉంది:
\[((x)^(\frac(2)(3))\ to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3))\ to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
అన్నింటినీ కలిపి ఒక సాధారణ నిర్మాణంగా చేద్దాం:
సమస్య సంఖ్య 2
ఈ సందర్భంలో, మేము తేడా క్యూబ్‌ను విస్తరించాలి. గుర్తుంచుకోండి:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((బి)^(3))\]
ఈ వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని, మనం దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
మన పనితీరును కొద్దిగా మారుద్దాం:
మేము ఎప్పటిలాగే లెక్కిస్తాము - ప్రతి పదానికి విడిగా:
\[((x)^(-3))\ to \frac((((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac((((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\ to \ln x\]
ఫలిత నిర్మాణాన్ని వ్రాద్దాం:
పని సంఖ్య 3
ఎగువన మనం మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని కలిగి ఉన్నాము, దానిని విస్తరింపజేద్దాం:
\[\frac((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\ఎడమ(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2(x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2))\ to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
తుది పరిష్కారాన్ని వ్రాద్దాం:
ఇప్పుడు శ్రద్ధ! చాలా ముఖ్యమైన విషయం, దానితో ఇది కనెక్ట్ చేయబడింది సింహభాగంలోపాలు మరియు అపార్థాలు. వాస్తవం ఏమిటంటే, ఇప్పటి వరకు, ఉత్పన్నాల సహాయంతో యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించడం మరియు పరివర్తనలను తీసుకురావడం, స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం దేనికి సమానం అని మనం ఆలోచించలేదు. కానీ స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం "సున్నా"కి సమానం. దీని అర్థం మీరు ఈ క్రింది ఎంపికలను వ్రాయవచ్చు:
- $((x)^(2))\ to \frac((((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
ఇది అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం: ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎల్లప్పుడూ ఒకేలా ఉంటే, అదే ఫంక్షన్ అనంతమైన యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. మన యాంటీడెరివేటివ్‌లకు ఏదైనా స్థిరమైన సంఖ్యలను జోడించి, కొత్త వాటిని పొందవచ్చు.
మేము ఇప్పుడే పరిష్కరించిన సమస్యల వివరణలో “వ్రాయండి సాధారణ రూపంఆదిమలు." ఆ. వాటిలో ఒకటి కాదు, కానీ మొత్తం సమూహం లేదని ముందుగానే ఊహించబడింది. కానీ, వాస్తవానికి, అవి చివరికి స్థిరమైన $C$లో మాత్రమే విభేదిస్తాయి. అందువల్ల, మా పనులలో మేము పూర్తి చేయని వాటిని సరిచేస్తాము.
మరోసారి మేము మా నిర్మాణాలను తిరిగి వ్రాస్తాము:
అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు $C$ స్థిరాంకం - $C=const$ అని జోడించాలి.
మా రెండవ ఫంక్షన్‌లో మేము ఈ క్రింది నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:
మరియు చివరిది:
మరియు ఇప్పుడు సమస్య యొక్క అసలు స్థితిలో మనకు ఏమి అవసరమో మేము నిజంగా పొందాము.
ఇచ్చిన పాయింట్‌తో యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడంలో సమస్యలను పరిష్కరించడం
ఇప్పుడు మనకు స్థిరాంకాలు మరియు యాంటీడెరివేటివ్‌లను వ్రాయడం యొక్క ప్రత్యేకతల గురించి తెలుసు, ఇది చాలా తార్కికం తదుపరి రకంఅన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సెట్ నుండి, గుండా వెళ్ళే ఒకే ఒక్కదాన్ని కనుగొనడం అవసరం అయినప్పుడు సమస్యలు ఇచ్చిన పాయింట్. ఈ పని ఏమిటి?
వాస్తవం ఏమిటంటే, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌లు అవి నిర్దిష్ట సంఖ్యలో నిలువుగా మార్చబడతాయి. మరియు దీని అర్థం ఏ పాయింట్‌లో ఉన్నా సమన్వయ విమానంమేము దానిని తీసుకోలేదు, ఒక యాంటీడెరివేటివ్ ఖచ్చితంగా పాస్ అవుతుంది, అంతేకాకుండా, ఒకటి మాత్రమే.
కాబట్టి, మేము ఇప్పుడు పరిష్కరించే పనులు రూపొందించబడ్డాయి క్రింది విధంగా: అసలైన ఫంక్షన్ యొక్క సూత్రాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడం అంత సులభం కాదు, కానీ వాటిలో ఒకదానిని ఖచ్చితంగా ఎంచుకోవడానికి, ఇచ్చిన పాయింట్ ద్వారా వెళుతుంది, దాని యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సమస్య ప్రకటనలో ఇవ్వబడతాయి.
ఉదాహరణ #1
మొదట, ప్రతి పదాన్ని గణిద్దాం:
\[((x)^(4))\ to \frac((((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\ to \frac(((x)^(4)))(4)\]
ఇప్పుడు మేము ఈ వ్యక్తీకరణలను మా నిర్మాణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
ఈ ఫంక్షన్ తప్పనిసరిగా $M\left(-1;4 \right)$ పాయింట్ గుండా వెళ్లాలి. ఇది ఒక పాయింట్ గుండా వెళుతుంది అంటే ఏమిటి? అంటే మనం ప్రతిచోటా $x$కి బదులుగా $-1$ని ఉంచి, $F\left(x \right)$కి బదులుగా $-4$ని ఉంచితే, మనం సరైనదాన్ని పొందాలి సంఖ్యా సమానత్వం. ఇలా చేద్దాం:
మేము $C$ కోసం సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్నాము, కాబట్టి దాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:
మనం వెతుకుతున్న పరిష్కారాన్ని వ్రాసుకుందాం:
ఉదాహరణ సంఖ్య 2
అన్నింటిలో మొదటిది, సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వ్యత్యాసం యొక్క వర్గాన్ని బహిర్గతం చేయడం అవసరం:
\[((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)\]
అసలు నిర్మాణం ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:
ఇప్పుడు $C$ని కనుగొనండి: పాయింట్ $M$ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
మేము $C$ని వ్యక్తపరుస్తాము:
చివరి వ్యక్తీకరణను ప్రదర్శించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:
త్రికోణమితి సమస్యలను పరిష్కరించడం
వంటి చివరి తీగమేము ఇప్పుడే చర్చించిన వాటితో పాటు, మరో రెండింటిని పరిగణించాలని నేను ప్రతిపాదించాను క్లిష్టమైన పనులు, ఇది త్రికోణమితిని కలిగి ఉంటుంది. వాటిలో, అదే విధంగా, మీరు అన్ని ఫంక్షన్ల కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఆపై ఈ సెట్ నుండి కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని పాయింట్ $M$ గుండా వెళ్ళే ఏకైకదాన్ని ఎంచుకోండి.
ముందుకు చూస్తే, యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి మనం ఇప్పుడు ఉపయోగించే టెక్నిక్ అని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను త్రికోణమితి విధులు, నిజానికి, స్వీయ-పరీక్ష కోసం సార్వత్రిక సాంకేతికత.
టాస్క్ నంబర్ 1
కింది సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\cos )^(2))x)\]
దీని ఆధారంగా, మనం వ్రాయవచ్చు:
పాయింట్ $M$ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను మన వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
ఈ వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాద్దాం:
సమస్య సంఖ్య 2
ఇది కొంచెం కష్టంగా ఉంటుంది. ఇప్పుడు మీరు ఎందుకు చూస్తారు.
ఈ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)((\sin )^(2))x)\]
"మైనస్" ను వదిలించుకోవడానికి, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయాలి:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\sin )^(2))x)\]
ఇక్కడ మా డిజైన్ ఉంది
పాయింట్ $M$ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
మొత్తంగా, మేము తుది నిర్మాణాన్ని వ్రాస్తాము:
ఈ రోజు నేను మీకు చెప్పాలనుకున్నది అంతే. మేము యాంటీడెరివేటివ్స్ అనే పదాన్ని స్వయంగా అధ్యయనం చేసాము, వాటిని ఎలా లెక్కించాలి ప్రాథమిక విధులు, అలాగే కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని నిర్దిష్ట పాయింట్ గుండా యాంటీడెరివేటివ్‌ను ఎలా కనుగొనాలి.
దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ పాఠం మీకు కొంచెం అయినా సహాయపడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను క్లిష్టమైన అంశం. ఏదైనా సందర్భంలో, ఇది నిరవధిక మరియు నిరవధిక సమగ్రాలను నిర్మించే యాంటీడెరివేటివ్‌లపై ఉంటుంది, కాబట్టి వాటిని లెక్కించడం ఖచ్చితంగా అవసరం. నాకూ అంతే. మళ్ళీ కలుద్దాం!