గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం అంటే ఏమిటి. తక్కువ బరువున్న చెట్టు

వ్లాదిమిర్ స్టేట్ పెడగోగికల్ యూనివర్శిటీ

నైరూప్య

"గ్రాఫ్ థియరీ"

ప్రదర్శించారు:

జూడినా T.V.

వ్లాదిమిర్ 2001

1. పరిచయం

2. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ఆవిర్భావం యొక్క చరిత్ర

3. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక నిర్వచనాలు

4. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు

5. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క దరఖాస్తుపై సమస్యలు

6. పాఠశాల గణిత శాస్త్ర కోర్సులో గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క అప్లికేషన్

7. సైన్స్ మరియు టెక్నాలజీ యొక్క వివిధ రంగాలలో గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క అప్లికేషన్

8. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతంలో ఇటీవలి పురోగతులు

§1. గ్రాఫ్ థియరీ కనిపించిన చరిత్ర.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంత స్థాపకుడు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ (1707-1783)గా పరిగణించబడ్డాడు. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క చరిత్రను గొప్ప శాస్త్రవేత్త యొక్క కరస్పాండెన్స్ ద్వారా గుర్తించవచ్చు. ఇక్కడ లాటిన్ టెక్స్ట్ యొక్క అనువాదం ఉంది, ఇది ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఇంజనీర్ మారినోనికి యూలర్ యొక్క లేఖ నుండి తీసుకోబడింది, ఇది మార్చి 13, 1736న సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ నుండి పంపబడింది [చూడండి. పేజీలు 41-42]:

"కోనిగ్స్‌బర్గ్ నగరంలో ఉన్న ఒక ద్వీపం గురించి నన్ను ఒకసారి ఒక సమస్య అడిగారు మరియు ఏడు వంతెనలు విసిరివేయబడిన ఒక నది చుట్టూ ఉంది. ప్రతి వంతెన గుండా ఒక్కసారి మాత్రమే వెళుతూ ఎవరైనా వాటి చుట్టూ నిరంతరం వెళ్లగలరా అనేది ప్రశ్న. ఆపై నేను ఇప్పటికీ ఎవరూ దీన్ని చేయలేకపోయారని, కానీ అది అసాధ్యమని ఎవరూ నిరూపించలేదని తెలియజేసారు.ఈ ప్రశ్న, అల్పమైనప్పటికీ, నాకు జ్యామితి, లేదా బీజగణితం లేదా సమ్మేళన కళలో శ్రద్ధ వహించాల్సిన అవసరం లేదు. దాన్ని పరిష్కరించడానికి సరిపోతుంది... చాలా ఆలోచించిన తర్వాత, నేను ఒక సులభమైన నియమాన్ని కనుగొన్నాను, ఇది పూర్తిగా నమ్మదగిన రుజువు ఆధారంగా, దాని సహాయంతో ఈ రకమైన అన్ని సమస్యలలో అటువంటి ప్రక్కతోవ ఏదైనా చేయవచ్చో లేదో వెంటనే గుర్తించడం సాధ్యమవుతుంది. ఏ విధంగా ఉన్న వంతెనల సంఖ్య[చిత్రం 1] , దేనిమీద ఎ ఒక ద్వీపాన్ని సూచిస్తుంది మరియు బి , సి మరియు D - ఖండంలోని భాగాలు ఒకదానికొకటి నది శాఖల ద్వారా వేరు చేయబడ్డాయి. ఏడు వంతెనలు అక్షరాలతో సూచించబడ్డాయి a , బి , సి , డి , ఇ , f , g ".

(Figure 1.1)

ఈ రకమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అతను కనుగొన్న పద్ధతి గురించి, ఆయిలర్ రాశాడు [చూడండి. పేజీలు 102-104]:

"ఈ పరిష్కారం, దాని స్వభావం ప్రకారం, గణితంతో చాలా తక్కువ సంబంధం కలిగి ఉంది, మరియు ఈ పరిష్కారాన్ని ఏ ఇతర వ్యక్తి నుండి కాకుండా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడి నుండి ఎందుకు ఆశించాలో నాకు అర్థం కాలేదు, ఎందుకంటే ఈ నిర్ణయానికి తార్కికం మాత్రమే మద్దతు ఇస్తుంది మరియు ఏమీ లేదు. ఈ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడంలో పాలుపంచుకోవాల్సిన అవసరం ఉంది, గణితంలో అంతర్లీనంగా ఉన్న ఏవైనా చట్టాలు. కాబట్టి, గణితంతో చాలా తక్కువ సంబంధం ఉన్న ప్రశ్నలను ఇతరులకన్నా గణిత శాస్త్రజ్ఞులు పరిష్కరించే అవకాశం ఎక్కువగా ఉందని నాకు తెలియదు."

కాబట్టి ఈ వంతెనల మీదుగా ఒక్కసారి మాత్రమే వెళ్లడం ద్వారా కోనిగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల చుట్టూ తిరగడం సాధ్యమేనా? సమాధానాన్ని కనుగొనడానికి, మారినోనికి యూలర్ లేఖను కొనసాగిద్దాం:

"ప్రశ్న ఏమిటంటే, ఈ ఏడు వంతెనలన్నింటినీ దాటవేయడం సాధ్యమేనా, ప్రతి ఒక్కటి ఒక్కసారి మాత్రమే దాటడం సాధ్యమవుతుందా లేదా అని నిర్ణయించడం. నా నియమం ఈ ప్రశ్నకు క్రింది పరిష్కారానికి దారి తీస్తుంది. అన్నింటిలో మొదటిది, మీరు ఎన్ని ప్రాంతాలు ఉన్నాయో చూడాలి. ఒక వంతెన ద్వారా తప్ప ఒకదాని నుండి మరొకదానికి ఇతర పరివర్తన లేని నీరు - అటువంటివి, ఈ ఉదాహరణలో, అటువంటి నాలుగు విభాగాలు ఉన్నాయి - ఎ , బి , సి , డి . ఈ వ్యక్తిగత విభాగాలకు దారితీసే వంతెనల సంఖ్య సరి లేదా బేసిగా ఉందా అనేది వేరు చేయవలసిన తదుపరి విషయం. కాబట్టి, మా విషయంలో, ఐదు వంతెనలు సెక్షన్ Aకి దారితీస్తాయి మరియు మూడు వంతెనలు ఒక్కొక్కటి మిగిలిన వాటికి దారితీస్తాయి, అనగా వ్యక్తిగత విభాగాలకు దారితీసే వంతెనల సంఖ్య బేసిగా ఉంటుంది మరియు సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఇది మాత్రమే సరిపోతుంది. ఇది నిర్ణయించబడిన తర్వాత, మేము ఈ క్రింది నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము: ప్రతి ఒక్క విభాగానికి దారితీసే వంతెనల సంఖ్య సమానంగా ఉంటే, సందేహాస్పదమైన డొంక దారి సాధ్యమవుతుంది మరియు అదే సమయంలో ఏదైనా విభాగం నుండి ఈ ప్రక్కతోవను ప్రారంభించడం సాధ్యమవుతుంది. . ఈ సంఖ్యలలో రెండు బేసిగా ఉంటే, ఒకటి మాత్రమే బేసిగా ఉండకూడదు, అప్పుడు కూడా నిర్దేశించిన విధంగా పరివర్తన జరుగుతుంది, అయితే సర్క్యూట్ యొక్క ప్రారంభం మాత్రమే బేసి సంఖ్య దారితీసే ఆ రెండు విభాగాలలో ఒకదాని నుండి ఖచ్చితంగా తీసుకోవాలి. వంతెనలు. చివరగా, బేసి సంఖ్యలో వంతెనలు దారితీసే రెండు కంటే ఎక్కువ విభాగాలు ఉంటే, అటువంటి ఉద్యమం సాధారణంగా అసాధ్యం ... ఇతర, మరింత తీవ్రమైన సమస్యలను ఇక్కడకు తీసుకురాగలిగితే, ఈ పద్ధతి మరింత ప్రయోజనకరంగా ఉంటుంది మరియు ఉండాలి. నిర్లక్ష్యం చేయవద్దు."

పై నియమానికి గల హేతువు అదే సంవత్సరం ఏప్రిల్ 3 నాటి తన స్నేహితుడు ఎహ్లర్‌కు ఎల్. ఆయిలర్ నుండి వచ్చిన లేఖలో కనుగొనవచ్చు. మేము ఈ లేఖ నుండి ఒక సారాంశాన్ని క్రింద తిరిగి తెలియజేస్తాము.

గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు నది యొక్క చీలికలో రెండు కంటే ఎక్కువ ప్రాంతాలు లేనట్లయితే పరివర్తన సాధ్యమవుతుందని వ్రాశాడు, దానికి బేసి సంఖ్యలో వంతెనలు దారితీస్తాయి. దీన్ని సులభంగా ఊహించడానికి, మేము చిత్రంలో ఇప్పటికే ప్రయాణించిన వంతెనలను చెరిపివేస్తాము. మేము ఆయిలర్ నిబంధనలకు అనుగుణంగా కదలడం ప్రారంభించినట్లయితే, ఒక వంతెనను దాటి దానిని చెరిపివేస్తే, బేసి సంఖ్యలో వంతెనలు దారితీసే రెండు కంటే ఎక్కువ ప్రాంతాలు లేని విభాగాన్ని ఫిగర్ చూపిస్తుంది మరియు అక్కడ ఉంటే బేసి సంఖ్య వంతెనలు ఉన్న ప్రాంతాలు మనం వాటిలో ఒకదానిలో ఉంటాము. ఇలాగే కొనసాగుతూనే, ఒక్కసారి వంతెనలన్నీ దాటేస్తాం.

కోనిగ్స్‌బర్గ్ నగరం యొక్క వంతెనల కథకు ఆధునిక కొనసాగింపు ఉంది. ఉదాహరణకు, N.Ya ద్వారా సవరించబడిన గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించిన పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాన్ని తెరవండి. ఆరో తరగతికి విలంకినా. అందులో, 98వ పేజీలో, డెవలపింగ్ అటెన్టివ్‌నెస్ మరియు ఇంటెలిజెన్స్ అనే శీర్షిక క్రింద, ఆయిలర్ ఒకసారి పరిష్కరించిన దానికి నేరుగా సంబంధించిన సమస్యను మేము కనుగొంటాము.

సమస్య సంఖ్య 569. సరస్సుపై ఏడు ద్వీపాలు ఉన్నాయి, అవి మూర్తి 1.2లో చూపిన విధంగా ఒకదానితో ఒకటి అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. ఒక పడవ ప్రయాణికులను ఏ ద్వీపానికి తీసుకెళ్లాలి, తద్వారా వారు ఒక్కో వంతెనను ఒక్కసారి మాత్రమే దాటవచ్చు? ప్రయాణికులను ద్వీపానికి ఎందుకు రవాణా చేయలేరు? ఎ ?

(Figure 1.2)

పరిష్కారం.ఈ సమస్య కోనిగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల సమస్యను పోలి ఉంటుంది కాబట్టి, దీనిని పరిష్కరించేటప్పుడు మేము యూలర్ నియమాన్ని కూడా ఉపయోగిస్తాము. ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది సమాధానం పొందుతాము: పడవ తప్పనిసరిగా ప్రయాణికులను ద్వీపానికి బట్వాడా చేయాలి ఇలేదా ఎఫ్తద్వారా వారు ఒక్కో వంతెనను ఒకసారి దాటవచ్చు. అదే ఆయిలర్ నియమం నుండి అది ద్వీపం నుండి ప్రారంభమైతే అవసరమైన డొంక అసాధ్యమని అనుసరిస్తుంది ఎ .

ముగింపులో, కొనిగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల సమస్య మరియు ఇలాంటి సమస్యలు, వాటి అధ్యయనానికి సంబంధించిన కొన్ని పద్ధతులతో కలిసి, గ్రాఫ్ థియరీ అని పిలువబడే ఆచరణాత్మక పరంగా గణితశాస్త్రంలో చాలా ముఖ్యమైన శాఖను ఏర్పరుస్తుంది. గ్రాఫ్‌లపై మొదటి పని L. యూలర్‌కు చెందినది మరియు 1736లో కనిపించింది. తదనంతరం, కోయినిగ్ (1774-1833), హామిల్టన్ (1805-1865), మరియు ఆధునిక గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సి. బెర్జ్, ఓ. ఒరే, ఎ. జైకోవ్ గ్రాఫ్‌లపై పనిచేశారు.

§2. గ్రాఫ్ థియరీ యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం, పైన పేర్కొన్న విధంగా, గణిత శాస్త్రజ్ఞుల కృషిచే సృష్టించబడిన గణిత క్రమశిక్షణ, కాబట్టి దాని ప్రదర్శన అవసరమైన కఠినమైన నిర్వచనాలను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, ఈ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక భావనల యొక్క వ్యవస్థీకృత పరిచయానికి వెళ్దాం.

నిర్వచనం 2.01. లెక్కించుఅని పిలువబడే పరిమిత సంఖ్యలో పాయింట్ల సమాహారం శిఖరాలుగ్రాఫ్, మరియు ఈ శీర్షాలలో కొన్నింటిని కలుపుతూ జతవైపు పంక్తులు అంటారు పక్కటెముకలులేదా వంపులుగ్రాఫ్.

ఈ నిర్వచనాన్ని విభిన్నంగా రూపొందించవచ్చు: లెక్కించండిఖాళీ కాని పాయింట్ల సెట్ అంటారు ( శిఖరాలు) మరియు విభాగాలు ( పక్కటెముకలు), రెండు చివరలు ఇచ్చిన పాయింట్ల సమితికి చెందినవి (Fig. 2.1 చూడండి).

(Figure 2.1)

కింది వాటిలో, మేము గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలను లాటిన్ అక్షరాలతో సూచిస్తాము ఎ , బి ,సి ,డి. కొన్నిసార్లు గ్రాఫ్ మొత్తం ఒక పెద్ద అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.

నిర్వచనం 2.02.ఏ అంచుకు చెందని గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలు అంటారు ఒంటరిగా .

నిర్వచనం 2.03.వివిక్త శీర్షాలను మాత్రమే కలిగి ఉన్న గ్రాఫ్ అంటారు సున్నా - లెక్కించండి .

హోదా: ఓ " - అంచులు లేని శీర్షాలతో గ్రాఫ్ (Fig. 2.2).

(Figure 2.2)

నిర్వచనం 2.04.ప్రతి జత శీర్షాలు అంచుతో అనుసంధానించబడిన గ్రాఫ్ అంటారు పూర్తి .

హోదా: యు " – గ్రాఫ్ కలిగి ఉంటుంది nశీర్షాలు మరియు అంచులు ఈ శీర్షాల యొక్క అన్ని సాధ్యమైన జతలను కలుపుతాయి. అటువంటి గ్రాఫ్‌ను ఇలా సూచించవచ్చు n- అన్ని వికర్ణాలు డ్రా చేయబడిన ఒక త్రిభుజం (Fig. 2.3).

(Figure 2.3)

నిర్వచనం 2.05. డిగ్రీ శిఖరాలుఒక శీర్షానికి చెందిన అంచుల సంఖ్య.

హోదా: p (ఎ) – శీర్ష డిగ్రీ ఎ . ఉదాహరణకు, మూర్తి 2.1లో: p (ఎ)=2, p (బి)=2, p (సి)=2, p (డి)=1, p (ఇ)=1.

నిర్వచనం 2.06.కౌంట్, అన్ని డిగ్రీలు కెదీని శీర్షాలు ఒకేలా ఉంటాయి అంటారు సజాతీయమైన లెక్కించండి డిగ్రీలు కె .

గణాంకాలు 2.4 మరియు 2.5 రెండవ మరియు మూడవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ గ్రాఫ్‌లను చూపుతాయి.

(Figure 2.4 మరియు 2.5)

నిర్వచనం 2.07. సప్లిమెంట్ ఇచ్చిన గ్రాఫ్పూర్తి గ్రాఫ్‌ను పొందేందుకు ఒరిజినల్ గ్రాఫ్‌కు జోడించాల్సిన అన్ని అంచులు మరియు వాటి చివరలను కలిగి ఉండే గ్రాఫ్.

మూర్తి 2.6 అసలు గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది జి , నాలుగు శీర్షాలు మరియు మూడు విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు మూర్తి 2.7లో - ఈ గ్రాఫ్ యొక్క పూరక - గ్రాఫ్ జి " .

(Figure 2.6 మరియు 2.7)

మూర్తి 2.5లో పక్కటెముకలు ఉన్నాయని మనం చూస్తాము ఎ.సి.మరియు BDగ్రాఫ్ యొక్క శీర్షం కాని బిందువు వద్ద కలుస్తాయి. కానీ ఇచ్చిన గ్రాఫ్‌ను దాని అంచులు శీర్షాల వద్ద మాత్రమే కలిసే విధంగా విమానంలో ప్రాతినిధ్యం వహించాల్సిన సందర్భాలు ఉన్నాయి (ఈ సమస్య పేరా 5 లో మరింత వివరంగా చర్చించబడుతుంది).

నిర్వచనం 2.08.ఒక విమానంలో దాని అంచులు శీర్షాల వద్ద మాత్రమే కలిసే విధంగా సూచించగలిగే గ్రాఫ్‌ని అంటారు. ఫ్లాట్ .

ఉదాహరణకు, మూర్తి 2.8 మూర్తి 2.5లోని గ్రాఫ్‌కు సమరూప గ్రాఫ్‌ని (సమానంగా) చూపుతుంది. ఏదేమైనప్పటికీ, ప్రతి గ్రాఫ్ ప్లానర్ కాదని గమనించండి, అయినప్పటికీ సంభాషణ నిజం, అంటే ఏదైనా ప్లానర్ గ్రాఫ్ సాధారణ రూపంలో సూచించబడుతుంది.

(Figure 2.8)

నిర్వచనం 2.09.గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలు లేదా అంచులు లేని ప్లానార్ గ్రాఫ్ యొక్క బహుభుజిని అంటారు అంచు .

అనధికారికంగా, గ్రాఫ్‌ను బాణాలతో లేదా లేకుండా ఈ పాయింట్‌లను అనుసంధానించే పాయింట్లు మరియు పంక్తుల సమితిగా భావించవచ్చు.

గణిత శాస్త్ర విభాగంగా గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క మొదటి పని యూలర్స్ పేపర్ (1736)గా పరిగణించబడుతుంది, ఇది కోనింగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల సమస్యను పరిగణించింది. ఏడు నగర వంతెనలను దాటవేయడం మరియు ప్రతి వంతెనను సరిగ్గా ఒకసారి దాటడం ద్వారా ప్రారంభ స్థానానికి తిరిగి రావడం అసాధ్యం అని ఆయిలర్ చూపించాడు. దాదాపు 100 సంవత్సరాల తర్వాత ఎలక్ట్రికల్ నెట్‌వర్క్‌లు, క్రిస్టల్లాగ్రఫీ, ఆర్గానిక్ కెమిస్ట్రీ మరియు ఇతర శాస్త్రాలలో పరిశోధన అభివృద్ధితో గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం దాని తదుపరి ప్రేరణను పొందింది.

అది కూడా గమనించకుండా, మేము గ్రాఫ్‌లను ఎప్పటికప్పుడు ఎదుర్కొంటాము. ఉదాహరణకు, గ్రాఫ్ అనేది సబ్వే లైన్ల రేఖాచిత్రం. దానిపై ఉన్న చుక్కలు స్టేషన్లను సూచిస్తాయి మరియు లైన్లు రైలు మార్గాలను సూచిస్తాయి. మన పూర్వీకులను పరిశోధించడం ద్వారా మరియు దానిని సుదూర పూర్వీకుల నుండి గుర్తించడం ద్వారా, మేము కుటుంబ వృక్షాన్ని నిర్మించాము. మరియు ఈ చెట్టు ఒక గ్రాఫ్.

వస్తువుల మధ్య సంబంధాలను వివరించడానికి గ్రాఫ్‌లు అనుకూలమైన సాధనంగా ఉపయోగపడతాయి. పరిమిత బైనరీ సంబంధాలను దృశ్యమానంగా సూచించడానికి మేము ఇంతకు ముందు గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించాము.

కానీ గ్రాఫ్ ఒక ఉదాహరణగా మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, జనావాసాల మధ్య ఉన్న రోడ్ల నెట్‌వర్క్‌ను వర్ణించే గ్రాఫ్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా, మీరు పాయింట్ A నుండి పాయింట్ B వరకు మార్గాన్ని నిర్ణయించవచ్చు. అలాంటి అనేక మార్గాలు ఉంటే, మీరు నిర్దిష్ట కోణంలో సరైనదాన్ని ఎంచుకోవాలనుకుంటున్నారు, ఉదాహరణకు చిన్నది లేదా సురక్షితమైనది. ఎంపిక సమస్యను పరిష్కరించడానికి, గ్రాఫ్‌లపై కొన్ని గణనలను నిర్వహించడం అవసరం. అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది మరియు గ్రాఫ్ యొక్క చాలా భావనను అధికారికీకరించడం అవసరం.

గ్రాఫ్ థియరీ పద్ధతులు వివిక్త గణితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి. వివిధ వివిక్త కన్వర్టర్లను విశ్లేషించేటప్పుడు మరియు సంశ్లేషణ చేసేటప్పుడు అవి లేకుండా చేయడం అసాధ్యం: కంప్యూటర్ల ఫంక్షనల్ బ్లాక్స్, సాఫ్ట్‌వేర్ ప్యాకేజీలు మొదలైనవి.

ప్రస్తుతం, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం చాలా విషయాలను కవర్ చేస్తుంది మరియు చురుకుగా అభివృద్ధి చెందుతోంది. దీన్ని ప్రదర్శించేటప్పుడు, మేము ఫలితాలలో కొంత భాగాన్ని మాత్రమే పరిమితం చేస్తాము మరియు అధికారిక భాషల సిద్ధాంతంలో ఉపయోగించే కొన్ని విస్తృత గ్రాఫ్ విశ్లేషణ అల్గారిథమ్‌ల వివరణ మరియు సమర్థనపై ప్రధాన ప్రాధాన్యతనిస్తాము.

• ప్రాథమిక నిర్వచనాలు

  ఉదాహరణలలో ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, గ్రాఫ్‌లు నిర్దిష్ట వస్తువుల మధ్య కనెక్షన్‌లను “విజువలైజ్” చేసే మార్గం. ఈ కనెక్షన్‌లను “డైరెక్ట్” చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, కుటుంబ వృక్షంలో లేదా “అన్‌డైరెక్ట్” (రెండు-మార్గాల నెట్‌వర్క్) రోడ్లు). దీనికి అనుగుణంగా, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతంలో రెండు ప్రధాన రకాల గ్రాఫ్‌లు ఉన్నాయి: దర్శకత్వం (లేదా దర్శకత్వం) మరియు నిర్దేశించనివి.

• ప్రదర్శన పద్ధతులు

  ఇప్పటివరకు, మేము దర్శకత్వం వహించిన మరియు నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లను డ్రాయింగ్‌లను ఉపయోగించి వాటిని వర్ణించాము. మీరు నిర్వచనాన్ని అనుసరించి, గ్రాఫ్‌ను జత సెట్‌లుగా నిర్వచించవచ్చు, కానీ ఈ పద్ధతి చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది మరియు సైద్ధాంతిక ఆసక్తిని కలిగి ఉంటుంది. గ్రాఫ్‌ల లక్షణాలను విశ్లేషించడానికి అల్గారిథమిక్ విధానాల అభివృద్ధికి కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించడంతో సహా ఆచరణాత్మక గణనలకు మరింత అనుకూలంగా ఉండే గ్రాఫ్‌లను వివరించే ఇతర మార్గాలు అవసరం. గ్రాఫ్‌లను సూచించడానికి మూడు అత్యంత సాధారణ మార్గాలను చూద్దాం.

• చెట్లు

  నిర్వచనం 5.5. నిర్దేశించబడని చెట్టు అనేది అనుసంధానించబడిన మరియు అసైక్లిక్ మళ్ళించబడని గ్రాఫ్. నిర్వచనం 5.6. డైరెక్ట్ ట్రీ అనేది నాన్-కాంటౌర్ డైరెక్ట్ గ్రాఫ్, దీనిలో ఏదైనా శీర్షం యొక్క సగం డిగ్రీ 1 కంటే ఎక్కువ కాదు మరియు నిర్దేశిత చెట్టు యొక్క మూలం అని పిలువబడే ఖచ్చితంగా ఒక శీర్షం ఉంటుంది, దీని సగం డిగ్రీ 0.

• తక్కువ బరువున్న చెట్టు

  కింది సమస్యను గ్రాఫ్ థియరీలో స్టెయినర్ సమస్యగా పిలుస్తారు: n పాయింట్లు ఒక విమానంలో ఇవ్వబడ్డాయి; సెగ్మెంట్ల మొత్తం పొడవు తక్కువగా ఉండే విధంగా మీరు వాటిని స్ట్రెయిట్ సెగ్మెంట్లతో కనెక్ట్ చేయాలి.

• గ్రాఫ్ శీర్షాలను క్రమపద్ధతిలో ప్రయాణించే పద్ధతులు

  గ్రాఫ్ థియరీలో ముఖ్యమైన సమస్యలు నిర్దేశించబడని మరియు నిర్దేశించబడిన గ్రాఫ్‌ల యొక్క ప్రపంచ విశ్లేషణ యొక్క సమస్యలు. ఈ పనులు, ఉదాహరణకు, చక్రాలు లేదా ఆకృతులను కనుగొనడం, శీర్షాల జతల మధ్య మార్గాల పొడవులను లెక్కించడం, నిర్దిష్ట లక్షణాలతో మార్గాలను జాబితా చేయడం మొదలైనవి. గ్లోబల్ గ్రాఫ్ విశ్లేషణ స్థానిక విశ్లేషణ నుండి వేరు చేయబడాలి, దీనికి ఉదాహరణగా నిర్దేశించబడిన గ్రాఫ్ యొక్క స్థిర శీర్షం యొక్క పూర్వీకులు మరియు వారసుల సెట్‌లను నిర్ణయించడంలో సమస్య ఉంది.

• వెయిటెడ్ డైరెక్ట్ గ్రాఫ్‌లలో మార్గ సమస్య

• గ్రాఫ్ ఐసోమోర్ఫిజం

  దర్శకత్వం వహించిన గ్రాఫ్ (V, E), ఆర్క్‌ల సెట్ E శీర్షాల సెట్‌పై నిర్వచించబడిన బైనరీ డైరెక్ట్ రీచబిలిటీ రిలేషన్ యొక్క గ్రాఫ్‌గా పరిగణించబడుతుంది. నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లో (V, E), అంచుల సెట్ E అనేది క్రమం లేని జతల సమితి. క్రమం లేని ప్రతి జత (u, v) ∈ E శీర్షాలు u మరియు v ఒక సిమెట్రిక్ బైనరీ రిలేషన్ p ద్వారా అనుసంధానించబడిందని మనం భావించవచ్చు, అనగా. (u, v) ∈ р మరియు (v, u) ∈ р.

• టోపోలాజికల్ సార్టింగ్

  నిర్వచనం 5.17. నిర్దేశిత నెట్‌వర్క్ (లేదా కేవలం నెట్‌వర్క్) అనేది ఆకృతి లేని నిర్దేశిత గ్రాఫ్*. నెట్‌వర్క్ కాంటౌర్‌లెస్ గ్రాఫ్ కాబట్టి, నెట్‌వర్క్ యొక్క శీర్షాలు (నోడ్‌లు) సున్నా అవుట్-డిగ్రీతో ఉన్నాయని, అలాగే సున్నా ఇన్-డిగ్రీతో శీర్షాలు (నోడ్‌లు) ఉన్నాయని చూపవచ్చు. మునుపటి వాటిని సింక్‌లు లేదా నెట్‌వర్క్ అవుట్‌పుట్‌లు అని పిలుస్తారు మరియు తరువాతి వాటిని నెట్‌వర్క్ యొక్క మూలాలు లేదా ఇన్‌పుట్‌లు అంటారు.

• సైక్లోమాటిక్స్ యొక్క మూలకాలు

  డైరెక్ట్ చేయని గ్రాఫ్‌లో డెప్త్-ఫస్ట్ సెర్చ్ అల్గోరిథం గురించి చర్చిస్తున్నప్పుడు, గ్రాఫ్ యొక్క ఫండమెంటల్ సైకిల్స్ అని పిలవబడే వాటి కోసం శోధించే ప్రశ్న పరిగణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ఒక ప్రాథమిక చక్రం ఖచ్చితంగా ఒక రివర్స్ అంచుని కలిగి ఉన్న చక్రంగా అర్థం చేసుకోబడింది మరియు ప్రాథమిక చక్రాలు మరియు రివర్స్ అంచుల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఏర్పడింది; నిర్దేశించబడని గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని అంచుల యొక్క ఏకపక్ష విభజన జరిగినప్పుడు ప్రాథమిక చక్రాలు తలెత్తుతాయి. చెట్లు (అసలు గ్రాఫ్ యొక్క కొన్ని గరిష్ట అంచు అటవీని ఏర్పరుస్తుంది) మరియు విలోమం, మరియు సాధారణ సందర్భంలో ఈ విభజన లోతు-మొదటి శోధన అల్గోరిథం నుండి పూర్తిగా స్వతంత్రంగా పేర్కొనబడుతుంది. అటువంటి విభజనను అమలు చేయడానికి డెప్త్-ఫస్ట్ శోధన కేవలం ఒక మార్గం.

గ్రాఫ్ థియరీ అనేది వివిక్త గణితశాస్త్రం యొక్క ఒక శాఖ, ఇది వ్యక్తిగత అంశాలు (శీర్షాలు) మరియు వాటి మధ్య కనెక్షన్‌లు (ఆర్క్‌లు, అంచులు)గా సూచించబడే వస్తువులను అధ్యయనం చేస్తుంది.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం 1736లో ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రవేత్తచే కోనిగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల సమస్య పరిష్కారం నుండి ఉద్భవించింది. లియోనార్డ్ ఆయిలర్(1707-1783: స్విట్జర్లాండ్‌లో జన్మించారు, రష్యాలో నివసించారు మరియు పనిచేశారు).

కోనిగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల గురించిన సమస్య.

ప్రీగల్ నదిపై ప్రష్యన్ పట్టణంలోని కోనిగ్స్‌బర్గ్‌లో ఏడు వంతెనలు ఉన్నాయి. ఒక్కో బ్రిడ్జిని సరిగ్గా ఒకసారి దాటి అదే ప్రదేశంలో ప్రారంభమై ముగిసే నడక మార్గాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమేనా?

అదే శీర్షంలో ప్రారంభమయ్యే మరియు ముగిసే మార్గం ఉన్న గ్రాఫ్‌ను మరియు గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని అంచుల వెంట సరిగ్గా ఒకసారి వెళుతుంది.ఆయిలర్ గ్రాఫ్.

శీర్షాల క్రమాన్ని (బహుశా పునరావృతం కావచ్చు) దీని ద్వారా కావలసిన మార్గం వెళుతుంది, అలాగే మార్గాన్ని అంటారుఆయిలర్ చక్రం .

మూడు ఇళ్లు, మూడు బావుల సమస్య.

మూడు ఇళ్ళు మరియు మూడు బావులు ఉన్నాయి, ఏదో ఒక విమానంలో ఉన్నాయి. ప్రతి ఇంటి నుండి ప్రతి బావికి మార్గాన్ని గీయండి, తద్వారా మార్గాలు కలుస్తాయి. ఈ సమస్య 1930లో కురాటోవ్‌స్కీ (1896 - 1979) చేత పరిష్కరించబడింది (దీనికి పరిష్కారం లేదని చూపబడింది).

నాలుగు రంగుల సమస్య. ఒక విమానాన్ని ఖండన లేని ప్రాంతాలుగా విభజించడాన్ని అంటారు కార్డు ద్వారా. మ్యాప్ ప్రాంతాలకు ఉమ్మడి సరిహద్దు ఉంటే వాటిని ప్రక్కనే అంటారు. ఏ రెండు ప్రక్కనే ఉన్న ప్రాంతాలు ఒకే రంగుతో పెయింట్ చేయబడని విధంగా మ్యాప్‌కు రంగు వేయడం పని. 19వ శతాబ్దం చివరి నుండి, దీనికి నాలుగు రంగులు సరిపోతాయని ఒక పరికల్పన తెలిసింది. పరికల్పన ఇంకా నిరూపించబడలేదు.

ప్రచురించబడిన పరిష్కారం యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, నాలుగు-రంగు సిద్ధాంతానికి పెద్ద కానీ పరిమిత సంఖ్యలో (సుమారు 2000) రకాల సంభావ్య ప్రతిరూపాలను ప్రయత్నించడం మరియు ఒక్క కేసు కూడా ప్రతిరూపం కాదని చూపడం. సుమారు వెయ్యి గంటల సూపర్‌కంప్యూటర్ ఆపరేషన్‌లో ప్రోగ్రామ్ ద్వారా ఈ శోధన పూర్తయింది.

ఫలిత పరిష్కారాన్ని “మాన్యువల్‌గా” తనిఖీ చేయడం అసాధ్యం - గణన యొక్క పరిధి మానవ సామర్థ్యాల పరిధికి మించినది. చాలా మంది గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ ప్రశ్నను లేవనెత్తారు: అటువంటి "ప్రోగ్రామ్ ప్రూఫ్" చెల్లుబాటు అయ్యే రుజువుగా పరిగణించబడుతుందా? అన్ని తరువాత, ప్రోగ్రామ్‌లో లోపాలు ఉండవచ్చు ...

అందువల్ల, మేము రచయితల ప్రోగ్రామింగ్ నైపుణ్యాలపై మాత్రమే ఆధారపడగలము మరియు వారు ప్రతిదీ సరిగ్గా చేశారని నమ్ముతాము.

నిర్వచనం 7.1. లెక్కించు జి= జి(వి, ఇ) అనేది రెండు పరిమిత సెట్ల సమాహారం: V – అంటారు అనేక శీర్షాలుమరియు V నుండి మూలకాల జతల E సెట్, అనగా. EÍV´V, అని పిలుస్తారు అనేక అంచులు, జతలు క్రమం చేయకపోతే, లేదా అనేక వంపులు, జతలు ఆదేశించినట్లయితే.

మొదటి సందర్భంలో, గ్రాఫ్ జి(వి, ఇ) అని పిలిచారు దిక్కులేని, రెండవదానిలో - ఓరియెంటెడ్.

ఉదాహరణ. V = (a,b,c) మరియు అంచుల సమితి E =((a, b), (b, c)) శీర్షాల సమితితో గ్రాఫ్

ఉదాహరణ. V = (a,b,c,d,e) మరియు E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , తో గ్రాఫ్ (సి, డి)),

e=(v 1 ,v 2), еОЕ అయితే, అప్పుడు వారు అంచు e అని చెప్పారు కలుపుతుందిశీర్షాలు v 1 మరియు v 2.

రెండు శీర్షాలు v 1,v 2 అంటారు ప్రక్కనే, వాటిని కలుపుతూ ఒక అంచు ఉంటే. ఈ పరిస్థితిలో, ప్రతి శీర్షాలను పిలుస్తారు సంఘటన సంబంధిత అంచు .

రెండు వేర్వేరు పక్కటెముకలు ప్రక్కనే, వారికి ఉమ్మడి శీర్షం ఉంటే. ఈ పరిస్థితిలో, ప్రతి అంచులను పిలుస్తారు సంఘటన సంబంధిత శీర్షం .

గ్రాఫ్ శీర్షాల సంఖ్య జిసూచిస్తాం v, మరియు అంచుల సంఖ్య ఇ:

.

గ్రాఫ్‌ల రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యం క్రింది విధంగా ఉంది:

1) గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షం అంతరిక్షంలో ఒక బిందువు (విమానంలో);

2) మళ్లించబడని గ్రాఫ్ యొక్క అంచు - ఒక విభాగం;

3) దర్శకత్వం వహించిన గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్క్ - దర్శకత్వం వహించిన విభాగం.

నిర్వచనం 7.2.అంచులో e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 వస్తే, అంచు e అంటారు లూప్. గ్రాఫ్ లూప్‌లను అనుమతించినట్లయితే, దానిని అంటారు లూప్‌లతో గ్రాఫ్ లేదా సూడోగ్రాఫ్ .

ఒక గ్రాఫ్ రెండు శీర్షాల మధ్య ఒకటి కంటే ఎక్కువ అంచులను అనుమతించినట్లయితే, దానిని అంటారు మల్టీగ్రాఫ్ .

గ్రాఫ్ మరియు/లేదా అంచు యొక్క ప్రతి శీర్షం లేబుల్ చేయబడితే, అటువంటి గ్రాఫ్ అంటారు గుర్తించబడింది (లేదా లోడ్ చేయబడింది ) అక్షరాలు లేదా పూర్ణాంకాలు సాధారణంగా గుర్తులుగా ఉపయోగించబడతాయి.

నిర్వచనం 7.3.గ్రాఫ్ జి (వి , ఇ ) అని పిలిచారు ఉపగ్రాఫ్ (లేదా భాగం ) గ్రాఫ్ జి(వి,ఇ), ఉంటే వి వి, ఇ ఇ. ఉంటే వి = వి, ఆ జి అని పిలిచారు ఉపగ్రాఫ్ విస్తరించి ఉంది జి.

ఉదాహరణ 7 . 1 . నిర్దేశించని గ్రాఫ్ ఇవ్వబడింది.

నిర్వచనం 7.4.గ్రాఫ్ అంటారు పూర్తి , ఉంటే ఏదైనా దాని రెండు శీర్షాలు అంచుతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. పూర్తి గ్రాఫ్ nశీర్షాల ద్వారా సూచించబడుతుంది కె n .

కౌంట్స్ కె 2 , TO 3, TO 4 మరియు కె 5 .

నిర్వచనం 7.5.గ్రాఫ్ జి=జి(వి, ఇ) అంటారు ద్విపద , ఉంటే విఅసమ్మతి సెట్ల యూనియన్‌గా సూచించవచ్చు, చెప్పండి వి=ఎబి, కాబట్టి ప్రతి అంచుకు రూపం ఉంటుంది ( v i , v జె), ఎక్కడ v i ఎమరియు v జె బి.

ప్రతి అంచు A నుండి B నుండి శీర్షానికి ఒక శీర్షాన్ని కలుపుతుంది, అయితే A నుండి రెండు శీర్షాలు లేదా B నుండి రెండు శీర్షాలు కనెక్ట్ చేయబడవు.

ద్విపార్టీ గ్రాఫ్ అంటారు పూర్తి డైకోటిలిడన్ లెక్కించండి కె m , n, ఉంటే ఎకలిగి ఉంటుంది mశిఖరాలు, బికలిగి ఉంటుంది nశీర్షాలు మరియు ప్రతిదానికి v i ఎ, v జె బిమాకు ఉంది ( v i , v జె)ఇ.

అందువలన, అందరికీ v i ఎ, మరియు v జె బివాటిని కలుపుతూ ఒక అంచు ఉంది.

K 12 K 23 K 22 K 33

ఉదాహరణ 7 . 2 . పూర్తి ద్విపార్టీ గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి కె 2.4 మరియు పూర్తి గ్రాఫ్ కె 4 .

యూనిట్ గ్రాఫ్n-డైమెన్షనల్ క్యూబ్IN n .

గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలు n-డైమెన్షనల్ బైనరీ సెట్‌లు. అంచులు ఒక కోఆర్డినేట్‌లో విభిన్నమైన శీర్షాలను కలుపుతాయి.

ఉదాహరణ:

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం- ఆర్థిక మరియు నిర్వహణ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో, ప్రోగ్రామింగ్, కెమిస్ట్రీ, ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్‌ల రూపకల్పన మరియు అధ్యయనం, కమ్యూనికేషన్‌లు, మనస్తత్వశాస్త్రం, మనస్తత్వశాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం, భాషాశాస్త్రం మరియు ఇతర విజ్ఞాన రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించే వివిక్త గణితంలో అత్యంత విస్తృతమైన విభాగాలలో ఒకటి. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతంగ్రాఫ్‌ల లక్షణాలను క్రమపద్ధతిలో మరియు స్థిరంగా అధ్యయనం చేస్తుంది, ఈ పాయింట్‌ల మధ్య కనెక్షన్‌లను సూచించే పాయింట్ల సెట్‌లు మరియు లైన్‌ల సెట్‌లను కలిగి ఉంటుందని చెప్పవచ్చు. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క స్థాపకుడు లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ (1707-1882)గా పరిగణించబడ్డాడు, అతను 1736లో కోనిగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల యొక్క అప్పటి ప్రసిద్ధ సమస్యను పరిష్కరించాడు.

గ్రాఫ్‌లు నిర్మించబడ్డాయిసెట్లలో సంబంధాలను ప్రదర్శించడానికి. ఉదాహరణకు, సమితిగా ఉండనివ్వండి ఎ = {a1 , a 2 , ... a n)- చాలా మంది వ్యక్తులు మరియు ప్రతి మూలకం డాట్‌గా ప్రదర్శించబడుతుంది. ఒక గుత్తి బి = {బి1 , బి 2 , ... బి m)- అనేక కనెక్షన్లు (సరళ గీతలు, వంపులు, విభాగాలు - ఇది ఇంకా పట్టింపు లేదు). సెట్లో ఎఈ సెట్ నుండి వ్యక్తుల మధ్య పరిచయం యొక్క సంబంధం ఇవ్వబడింది. గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడంపాయింట్లు మరియు కనెక్టివ్‌ల నుండి. లింక్‌లు ఒకరికొకరు తెలిసిన వ్యక్తుల జతలను కనెక్ట్ చేస్తాయి. సహజంగానే, కొంతమంది వ్యక్తుల పరిచయస్తుల సంఖ్య ఇతర వ్యక్తుల పరిచయస్తుల సంఖ్యకు భిన్నంగా ఉండవచ్చు మరియు కొందరికి ఎవరికీ తెలియకపోవచ్చు (అటువంటి అంశాలు ఇతరులతో కనెక్ట్ చేయబడని పాయింట్లు). కాబట్టి మాకు గ్రాఫ్ ఉంది!

మనం మొదట "పాయింట్లు" అని పిలిచే వాటిని గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలు అని పిలవాలి మరియు మనం "కనెక్షన్లు" అని పిలిచే వాటిని గ్రాఫ్ అంచులు అని పిలవాలి.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం సెట్ల నిర్దిష్ట స్వభావాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోదు ఎమరియు బి. చాలా భిన్నమైన నిర్దిష్ట సమస్యలు పెద్ద సంఖ్యలో ఉన్నాయి, వీటిని పరిష్కరించేటప్పుడు సెట్‌లు మరియు వాటి మూలకాల యొక్క నిర్దిష్ట కంటెంట్ గురించి తాత్కాలికంగా మరచిపోవచ్చు. ఈ విశిష్టత దాని కష్టంతో సంబంధం లేకుండా సమస్యను పరిష్కరించే పురోగతిని ఏ విధంగానూ ప్రభావితం చేయదు! ఉదాహరణకు, ఒక పాయింట్ నుండి ఇది సాధ్యమేనా అని నిర్ణయించేటప్పుడు aపాయింట్ పొందండి ఇ, పాయింట్లను అనుసంధానించే రేఖల వెంట మాత్రమే కదలడం, మనం వ్యక్తులు, నగరాలు, సంఖ్యలు మొదలైన వాటితో వ్యవహరిస్తున్నామా అనేది పట్టింపు లేదు. కానీ, సమస్య పరిష్కరించబడినప్పుడు, గ్రాఫ్‌గా రూపొందించబడిన ఏదైనా కంటెంట్‌కి మేము నిజమైన పరిష్కారాన్ని పొందుతాము. అందువల్ల, కృత్రిమ మేధస్సును రూపొందించడంలో గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం అత్యంత ప్రాచుర్యం పొందిన సాధనాల్లో ఒకటిగా ఉండటంలో ఆశ్చర్యం లేదు: అన్నింటికంటే, కృత్రిమ మేధస్సు సంభాషణకర్తతో ప్రేమ, సంగీతం లేదా క్రీడల సమస్యలు మరియు వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించే సమస్యలను చర్చిస్తుంది. , మరియు ఇది ఎటువంటి పరివర్తన (స్విచింగ్) లేకుండా చేస్తుంది , ఇది లేకుండా ఒక వ్యక్తి అటువంటి సందర్భాలలో లేకుండా చేయలేరు.

మరియు ఇప్పుడు గ్రాఫ్ యొక్క కఠినమైన గణిత నిర్వచనాలు.

నిర్వచనం 1.దానిని గ్రాఫ్ అంటారుఈ వస్తువుల యొక్క కొన్ని జతలను అనుసంధానించే ఏకపక్ష స్వభావం (శీర్షాలు) మరియు లింక్‌లు (అంచులు) యొక్క వస్తువుల వ్యవస్థ.

నిర్వచనం 2.వీలు వి– (ఖాళీ కానిది) శీర్షాల సమితి, మూలకాలు v∈వి- శిఖరాలు. గ్రాఫ్ జి = జి(వి) అనేక శీర్షాలతో విరూపం యొక్క జంటల యొక్క నిర్దిష్ట కుటుంబం ఉంది: ఇ = (a, బి) , ఎక్కడ a,బి∈వి , ఏ శీర్షాలు అనుసంధానించబడి ఉన్నాయో సూచిస్తుంది. ప్రతి జత ఇ = (a, బి) - గ్రాఫ్ అంచు. ఒక గుత్తి యు- అనేక అంచులు ఇగ్రాఫ్. శిఖరాలు aమరియు బి- అంచు యొక్క ముగింపు పాయింట్లు ఇ .

డేటా నిర్మాణంగా గ్రాఫ్‌లు.కంప్యూటర్ సైన్స్ మరియు ఇన్ఫర్మేషన్ టెక్నాలజీలో గ్రాఫ్ థియరీ యొక్క విస్తృత ఉపయోగం పైన పేర్కొన్న నిర్వచనాలకు డేటా స్ట్రక్చర్‌గా గ్రాఫ్ భావనను జోడించడం వల్ల ఏర్పడింది. కంప్యూటర్ సైన్స్ మరియు ఇన్ఫర్మేషన్ టెక్నాలజీలో, గ్రాఫ్ నాన్ లీనియర్ డేటా స్ట్రక్చర్‌గా నిర్వచించబడింది. లీనియర్ డేటా స్ట్రక్చర్ అంటే ఏమిటి మరియు గ్రాఫ్‌లు వాటి నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? లీనియర్ డేటా స్ట్రక్చర్‌లు "సాధారణ పొరుగు" రకం సంబంధాల ద్వారా ఎలిమెంట్‌లను కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా వర్గీకరించబడతాయి. లీనియర్ డేటా స్ట్రక్చర్‌లు ఉదాహరణకు, శ్రేణులు, పట్టికలు, జాబితాలు, క్యూలు, స్టాక్‌లు, స్ట్రింగ్‌లు. దీనికి విరుద్ధంగా, నాన్ లీనియర్ డేటా స్ట్రక్చర్‌లు అంటే మూలకాలు సోపానక్రమం యొక్క వివిధ స్థాయిలలో ఉంటాయి మరియు మూడు రకాలుగా విభజించబడ్డాయి: అసలైన, ఉత్పత్తి చేయబడిన మరియు సారూప్యమైనవి. కాబట్టి, గ్రాఫ్ అనేది నాన్ లీనియర్ డేటా స్ట్రక్చర్.

గ్రాఫ్ అనే పదం గ్రీకు మూలానికి చెందినది, "నేను వ్రాస్తాను", "నేను వివరిస్తాను" అనే పదాల నుండి. ఈ ఆర్టికల్ ప్రారంభం నుండి గ్రాఫ్ సరిగ్గా ఏమి వివరిస్తుందో మనకు తెలుసు: ఇది సంబంధాలను వివరిస్తుంది. అంటే, ఏదైనా గ్రాఫ్ సంబంధాలను వివరిస్తుంది. మరియు వైస్ వెర్సా: ఏదైనా సంబంధాన్ని గ్రాఫ్‌గా వర్ణించవచ్చు.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

గ్రాఫ్‌లతో అనేక ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌లను అభివృద్ధి చేసేటప్పుడు సంఘటనల భావన కూడా అవసరం. ఉదాహరణకు, మీరు సాఫ్ట్‌వేర్ అమలుతో మిమ్మల్ని మీరు పరిచయం చేసుకోవచ్చు ఇన్సిడెన్స్ మ్యాట్రిక్స్ ద్వారా సూచించబడిన గ్రాఫ్ యొక్క డెప్త్-ఫస్ట్ ట్రావెర్సల్. ఆలోచన సులభం: మీరు అంచుల ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడిన శీర్షాల ద్వారా మాత్రమే కదలగలరు. మరియు కొన్ని విలువలు అంచులకు కేటాయించబడితే ("స్కేల్స్", చాలా తరచుగా సంఖ్యల రూపంలో, అటువంటి గ్రాఫ్‌లను వెయిటెడ్ లేదా లేబుల్ అని పిలుస్తారు), అప్పుడు సంక్లిష్టమైన అనువర్తిత సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చు, వాటిలో కొన్ని చివరి పేరాలో పేర్కొనబడ్డాయి. ఈ పాఠం యొక్క.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క శాస్త్రీయ సమస్యలు మరియు వాటి పరిష్కారాలు

18వ శతాబ్దపు ప్రముఖ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ రచించిన “కోనిగ్స్‌బర్గ్ బ్రిడ్జెస్ ప్రాబ్లమ్” (1736)పై గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం మరియు గ్రాఫ్‌ల అన్వయం యొక్క మొదటి ప్రచురించబడిన ఉదాహరణలలో ఒకటి. సమస్య నది, ఈ నది ద్వారా కొట్టుకుపోయిన ద్వీపాలు మరియు అనేక వంతెనలను కలిగి ఉంది. సమస్య యొక్క ప్రశ్న: ఒక నిర్దిష్ట బిందువును విడిచిపెట్టిన తర్వాత, ప్రతి వంతెనను ఒక్కసారి మాత్రమే దాటడం మరియు ప్రారంభ స్థానానికి తిరిగి రావడం సాధ్యమేనా? (క్రింద ఉన్న చిత్రం)

సమస్యను ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు: ప్రతి భూభాగానికి ఒక బిందువు జోడించబడి ఉంటుంది మరియు సంబంధిత భూభాగాలు వంతెన ద్వారా అనుసంధానించబడినట్లయితే మరియు రెండు పాయింట్లు ఒక రేఖతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి (క్రింద ఉన్న బొమ్మ, అనుసంధాన రేఖలు చుక్కల రేఖలలో గీస్తారు) . అందువలన, గ్రాఫ్ నిర్మించబడింది.

సమస్య ప్రశ్నకు యూలర్ యొక్క సమాధానం క్రింది విధంగా ఉంది. ఈ సమస్యకు సానుకూల పరిష్కారం ఉంటే, ఫలితంగా గ్రాఫ్‌లో అంచుల వెంట ఒక క్లోజ్డ్ పాత్ ఉంటుంది మరియు ప్రతి అంచుని ఒకసారి మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది. అటువంటి మార్గం ఉన్నట్లయితే, ప్రతి శీర్షానికి సరి సంఖ్య అంచులు మాత్రమే ఉండాలి. కానీ ఫలిత గ్రాఫ్ బేసి సంఖ్యలో అంచులను కలిగి ఉండే శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, సమస్యకు సానుకూల పరిష్కారం లేదు.

స్థాపించబడిన సంప్రదాయం ప్రకారం, యూలేరియన్ గ్రాఫ్ అనేది గ్రాఫ్, దీనిలో అన్ని శీర్షాలను దాటడం సాధ్యమవుతుంది మరియు అదే సమయంలో ఒక అంచుని ఒకసారి మాత్రమే దాటవచ్చు. అందులో, ప్రతి శీర్షానికి సరి సంఖ్య అంచులు మాత్రమే ఉండాలి. "ప్రాథమిక రకాల గ్రాఫ్‌లు" అనే మెటీరియల్‌లో ఆయిలర్ గ్రాఫ్‌లపై మీడియం కష్టం సమస్య ఉంది.

1847లో, కిర్చోఫ్ రేఖీయ బీజగణిత సమీకరణాల యొక్క ఏకకాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి చెట్ల సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేశాడు, ఇది ప్రతి కండక్టర్ (ఆర్క్) మరియు ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్ యొక్క ప్రతి సర్క్యూట్‌లో కరెంట్ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి వీలు కల్పిస్తుంది. రెసిస్టెన్స్, కెపాసిటర్లు, ఇండక్టెన్స్‌లు మొదలైన వాటిని కలిగి ఉన్న ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్‌లు మరియు సర్క్యూట్‌ల నుండి సంగ్రహించడం, అతను శీర్షాలు మరియు కనెక్షన్‌లు (అంచులు లేదా ఆర్క్‌లు) మాత్రమే కలిగి ఉన్న సంబంధిత కాంబినేటోరియల్ నిర్మాణాలను పరిగణించాడు మరియు కనెక్షన్‌ల కోసం ఏ రకమైన ఎలక్ట్రికల్ ఎలిమెంట్‌లను పరిగణనలోకి తీసుకోవలసిన అవసరం లేదు. అవి అనుగుణంగా ఉంటాయి. అందువలన, Kirchhoff ప్రతి ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్‌ను సంబంధిత గ్రాఫ్‌తో భర్తీ చేసింది మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్ గ్రాఫ్ యొక్క ప్రతి చక్రాన్ని విడిగా పరిగణించాల్సిన అవసరం లేదని చూపించింది.

1858లో కేలీ, ఆర్గానిక్ కెమిస్ట్రీలో పూర్తిగా ఆచరణాత్మక సమస్యలపై పని చేస్తున్నప్పుడు, ట్రీస్ అనే ముఖ్యమైన గ్రాఫ్‌లను కనుగొన్నాడు. అతను ఇచ్చిన సంఖ్యలో కార్బన్ అణువులతో సంతృప్త హైడ్రోకార్బన్‌ల ఐసోమర్‌లను జాబితా చేయడానికి ప్రయత్నించాడు. కేలీ మొదట సమస్యను వియుక్తంగా రూపొందించాడు: అన్ని చెట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి pశీర్షాలు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి 1 మరియు 4 డిగ్రీలతో శీర్షాలను కలిగి ఉంటాయి. అతను ఈ సమస్యను వెంటనే పరిష్కరించలేకపోయాడు మరియు అతను కొత్త గణన సమస్యను పరిష్కరించే విధంగా దాని సూత్రీకరణను మార్చడం ప్రారంభించాడు:

• పాతుకుపోయిన చెట్లు (దీనిలో శీర్షాలలో ఒకటి ఎంపిక చేయబడింది);
• అన్ని చెట్లు;
• శీర్ష డిగ్రీలు 4 మించని చెట్లు;
• శీర్ష డిగ్రీలు 1 మరియు 4 (కెమిస్ట్రీ నుండి సమస్య యొక్క ప్రకటన) ఉన్న చెట్లు.

ప్రాథమిక భావనలను బలోపేతం చేయడానికి గ్రాఫ్ సమస్యలు

ఉదాహరణ 1.వీలు ఎ- 1, 2, 3 సంఖ్యల సమితి: ఎ= (1, 2, 3) . సంబంధాన్ని ప్రదర్శించడానికి గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి "

పరిష్కారం. సహజంగానే, 1, 2, 3 సంఖ్యలు గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలుగా సూచించబడాలి. అప్పుడు ప్రతి జత శీర్షాలు తప్పనిసరిగా ఒక అంచుతో కనెక్ట్ చేయబడాలి. ఈ సమస్యను పరిష్కరిస్తూ, మేము గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక భావనలకు వచ్చాము దర్శకత్వం మరియు నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లు. డైరెక్టెడ్ గ్రాఫ్‌లు అంటే అంచులకు దిశ లేనివి. లేదా, వారు మరింత తరచుగా చెప్పినట్లు, అంచు యొక్క రెండు చివరల క్రమం ముఖ్యమైనది కాదు. వాస్తవానికి, ఈ పాఠం ప్రారంభంలోనే నిర్మించబడిన మరియు వ్యక్తుల మధ్య పరిచయాల సంబంధాన్ని ప్రతిబింబించే గ్రాఫ్‌కు అంచు దిశలు అవసరం లేదు, ఎందుకంటే “వ్యక్తి సంఖ్య 1” అదే మేరకు “వ్యక్తి సంఖ్య 2”తో సుపరిచితం అని వాదించవచ్చు. "వ్యక్తి సంఖ్య 1"తో "వ్యక్తి సంఖ్య 2"గా. మా ప్రస్తుత ఉదాహరణలో, ఒక సంఖ్య మరొకదాని కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కానీ దీనికి విరుద్ధంగా కాదు. అందువల్ల, గ్రాఫ్ యొక్క సంబంధిత అంచు తప్పనిసరిగా ఇతర సంఖ్య కంటే ఏ సంఖ్య తక్కువగా ఉందో సూచించే దిశను కలిగి ఉండాలి. అంటే, అంచు చివరల క్రమం ముఖ్యమైనది. అటువంటి గ్రాఫ్ (అంచులు దిశను కలిగి ఉంటుంది) డైరెక్ట్ గ్రాఫ్ లేదా డిగ్రాఫ్ అంటారు.

కాబట్టి, మా సమూహంలో ఎసంఖ్య 1 సంఖ్య 2 మరియు సంఖ్య 3 కంటే తక్కువ, మరియు సంఖ్య 2 సంఖ్య 3 కంటే తక్కువ. మేము ఈ వాస్తవాన్ని బాణాల ద్వారా చూపబడే దిశను కలిగి ఉన్న అంచుల ద్వారా ప్రదర్శిస్తాము. మేము ఈ క్రింది గ్రాఫ్‌ని పొందుతాము:

ఉదాహరణ 2.వీలు ఎ- 2, 4, 6, 14 సంఖ్యల సమితి: ఎ= (2, 4, 6, 14) . ఈ సెట్‌లో “భాగించదగిన” సంబంధాన్ని ప్రదర్శించడానికి గ్రాఫ్‌ను సృష్టించండి.

పరిష్కారం. ఈ ఉదాహరణలో, కొన్ని అంచులు దిశను కలిగి ఉంటాయి మరియు కొన్ని ఉండవు, అంటే, మేము నిర్మిస్తున్నాము మిశ్రమ గ్రాఫ్. సెట్‌లోని సంబంధాలను జాబితా చేద్దాం: 4 2చే భాగించబడుతుంది, 6 2చే భాగించబడుతుంది, 14 2చే భాగించబడుతుంది మరియు ఈ సెట్‌లోని ప్రతి సంఖ్య స్వయంగా భాగించబడుతుంది. ఈ సంబంధం, అంటే, ఒక సంఖ్య స్వయంగా భాగించబడినప్పుడు, శీర్షాన్ని దానితో అనుసంధానించే అంచుల రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. ఇటువంటి అంచులు అంటారు ఉచ్చులు. ఈ సందర్భంలో లూప్‌కు దిశానిర్దేశం చేయవలసిన అవసరం లేదు. కాబట్టి మా ఉదాహరణలో మూడు సాధారణ దర్శకత్వం వహించిన అంచులు మరియు నాలుగు ఉచ్చులు ఉన్నాయి. మేము ఈ క్రింది గ్రాఫ్‌ని పొందుతాము:

ఉదాహరణ 3.సెట్లు ఇవ్వండి ఎ= (α, β, γ) మరియు బి= (a, b, c) . "సెట్ల కార్టీసియన్ ఉత్పత్తి" సంబంధాన్ని ప్రదర్శించడానికి గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

పరిష్కారం. నిర్వచనం నుండి తెలిసినట్లుగా సెట్ల కార్టేసియన్ ఉత్పత్తి, ఒకే సెట్ యొక్క మూలకాల యొక్క ఆర్డర్ సెట్‌లు లేవు. అంటే, మా ఉదాహరణలో, మీరు గ్రీకు అక్షరాలను గ్రీకు మరియు లాటిన్‌తో లాటిన్‌తో కలపలేరు. ఈ వాస్తవం ఇలా ప్రదర్శించబడుతుంది ద్వైపాక్షిక గ్రాఫ్, అంటే, శీర్షాలను రెండు భాగాలుగా విభజించారు, తద్వారా ఒకే భాగానికి చెందిన శీర్షాలు ఒకదానితో ఒకటి అనుసంధానించబడవు. మేము ఈ క్రింది గ్రాఫ్‌ని పొందుతాము:

ఉదాహరణ 4.రియల్ ఎస్టేట్ ఏజెన్సీ నిర్వాహకులు ఇగోర్, సెర్గీ మరియు పీటర్‌లను నియమించింది. O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7, O8 వస్తువులు సర్వీస్ చేయబడతాయి. "ఇగోర్ O4, O7 వస్తువులతో పని చేస్తుంది", "O1, O2, O3, O5, O6 వస్తువులతో సెర్గీ పని చేస్తుంది", "పీటర్ ఆబ్జెక్ట్ O8తో పని చేస్తాడు" అనే సంబంధాలను ప్రదర్శించడానికి గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

పరిష్కారం. ఈ సంబంధాలను ప్రదర్శించే గ్రాఫ్ కూడా ద్వైపాక్షికంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మేనేజర్ మేనేజర్‌తో పని చేయడు మరియు వస్తువు ఆబ్జెక్ట్‌తో పని చేయదు. అయితే, మునుపటి ఉదాహరణ వలె కాకుండా, గ్రాఫ్ దర్శకత్వం వహించబడుతుంది. నిజానికి, ఉదాహరణకు, ఇగోర్ ఆబ్జెక్ట్ O4తో పని చేస్తుంది, అయితే ఆబ్జెక్ట్ O4 ఇగోర్‌తో పని చేయదు. తరచుగా, సంబంధాల యొక్క అటువంటి ఆస్తి స్పష్టంగా ఉన్నప్పుడు, అంచులకు దిశానిర్దేశం చేయవలసిన అవసరం "గణిత మూర్ఖత్వం" లాగా అనిపించవచ్చు. కానీ ఇప్పటికీ, మరియు ఇది గణితం యొక్క కఠినమైన స్వభావం నుండి అనుసరిస్తుంది, సంబంధం ఏకపక్షంగా ఉంటే, అప్పుడు అంచులకు ఆదేశాలు ఇవ్వడం అవసరం. రిలేషనల్ అప్లికేషన్‌లలో, గ్రాఫ్‌లు కూడా ఉపయోగించబడే ప్రణాళిక కోసం రూపొందించిన ప్రోగ్రామ్‌లలో ఈ కఠినత చెల్లిస్తుంది మరియు శీర్షాలు మరియు అంచుల వెంట ఉన్న మార్గం ఖచ్చితంగా ఇచ్చిన దిశలో ఉండాలి. కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది నిర్దేశిత ద్విపార్టీ గ్రాఫ్‌ని పొందుతాము:

మరియు మళ్లీ సంఖ్యలతో ఉదాహరణలకు.

ఉదాహరణ 5.ఒక సెట్ ఇవ్వనివ్వండి సి = {2, 3, 5, 6, 15, 18} . అన్ని జతల సంఖ్యలను నిర్వచించే సంబంధాన్ని అమలు చేసే గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి aమరియు బిఅనేక నుండి సి, దీనిలో, రెండవ మూలకాన్ని మొదటి దానితో భాగించినప్పుడు, మేము 1 కంటే ఎక్కువ పూర్ణాంకం ఉన్న గుణకాన్ని పొందుతాము.

పరిష్కారం. ఈ సంబంధాలను ప్రదర్శించే గ్రాఫ్ ఓరియంటెడ్‌గా ఉంటుంది, ఎందుకంటే కండిషన్‌లో రెండవ మరియు మొదటి మూలకాల ప్రస్తావన ఉంటుంది, అంటే అంచు మొదటి మూలకం నుండి రెండవదానికి మళ్లించబడుతుంది. దీన్ని బట్టి ఏ మూలకం మొదటిది మరియు ఏది రెండవది అనేది స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. కొన్ని పరిభాషలను కూడా జోడిద్దాం: ఓరియెంటెడ్ అంచులను సాధారణంగా ఆర్క్‌లు అంటారు. మా గ్రాఫ్‌లో 7 ఆర్క్‌లు ఉంటాయి: ఇ1 = (3, 15) , ఇ2 = (3, 18) , ఇ3 = (5, 15) , ఇ4 = (3, 6) , ఇ5 = (2, 18) , ఇ6 = (6, 18) , ఇ7 = (2, 6) . ఈ ఉదాహరణలో, గ్రాఫ్ యొక్క అంచులు (ఆర్క్‌లు) సరళంగా లెక్కించబడతాయి, అయితే క్రమ సంఖ్యలు మాత్రమే ఆర్క్‌కి కేటాయించబడవు. ఆర్క్‌కు స్కేల్‌లను కూడా కేటాయించవచ్చు, ఉదాహరణకు, ఒక పాయింట్ నుండి మరొకదానికి సరుకును పంపే ఖర్చు. కానీ మేము ఆర్క్ బరువులతో తరువాత మరియు మరింత వివరంగా పరిచయం చేస్తాము. కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది నిర్దేశిత గ్రాఫ్‌ని పొందుతాము:

సైద్ధాంతిక పరిచయ భాగం నుండి మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం సెట్ల యొక్క నిర్దిష్ట స్వభావాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోదు మరియు అదే గ్రాఫ్ సహాయంతో చాలా భిన్నమైన విషయాలతో సెట్లలో సంబంధాలను నిర్వచించడం సాధ్యమవుతుంది. అంటే, సమస్యను మోడలింగ్ చేసేటప్పుడు ఈ కంటెంట్ నుండి సంగ్రహించవచ్చు. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ఈ అద్భుతమైన లక్షణాన్ని వివరించే ఉదాహరణలకు వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 6. 3 X 3 కొలిచే చదరంగపు పలకపై, క్రింద ఉన్న చిత్రంలో చూపిన విధంగా రెండు తెల్లని నైట్‌లు మరియు ఇద్దరు నల్లని నైట్‌లు ఉంచబడ్డాయి.

ఒకే చతురస్రంలో రెండు ముక్కలు ఉండకూడదని మరచిపోకుండా, ఈ క్రింది చిత్రంలో చూపిన స్థితికి నైట్‌లను తరలించడం సాధ్యమేనా?

పరిష్కారం. నిర్మించిన గ్రాఫ్‌లో, "నైట్ మూవ్" రిలేషన్‌తో జత శీర్షాలు అనుసంధానించబడతాయి. అంటే, ఒక శీర్షం గుర్రం విడిచిపెట్టినది, మరియు మరొకటి అది వచ్చినది, మరియు “r” అక్షరం యొక్క ఇంటర్మీడియట్ సెల్ ఈ సంబంధానికి వెలుపల ఉంటుంది. మేము ఈ క్రింది గ్రాఫ్‌ని పొందుతాము:

మరియు ఇంకా డిజైన్ గజిబిజిగా మారింది. చదరంగపు పలక యొక్క కణాలు అందులో కనిపిస్తాయి మరియు గ్రాఫ్ యొక్క అనేక అంచులు కలుస్తాయి. చదరంగం యొక్క భౌతిక రూపం నుండి సంగ్రహించడం మరియు సంబంధాన్ని మరింత సరళంగా ఊహించడం సాధ్యమేనా? ఇది సాధ్యమేనని తేలింది. కొత్త గ్రాఫ్‌లో, పొరుగు శీర్షాలు "నైట్ మూవ్" సంబంధం ద్వారా అనుసంధానించబడినవిగా ఉంటాయి మరియు చదరంగంలో (క్రింద ఉన్న బొమ్మ) పొరుగున ఉన్నవి కాదు.

ఇప్పుడు ఈ సమస్య యొక్క ప్రశ్నకు సమాధానం ప్రతికూలంగా ఉందని చూడటం సులభం. ప్రారంభ స్థితిలో ఇద్దరు శ్వేతజాతీయుల మధ్య నల్ల గుర్రం ఉండదు, కానీ చివరి స్థితిలో ఈ నల్ల గుర్రం ఉండాలి. ప్రక్కనే ఉన్న ఇద్దరు నైట్స్ ఒకదానికొకటి దూకలేని విధంగా గ్రాఫ్ అంచులు ఉంచబడ్డాయి.

ఉదాహరణ 7.తోడేలు, మేక మరియు క్యాబేజీ గురించిన సమస్య. నది యొక్క ఒక ఒడ్డున ఒక మనిషి (H), ఒక పడవ, ఒక తోడేలు (V), ఒక మేక (Kz) మరియు ఒక క్యాబేజీ (Kp) ఉన్నాయి. ఒక వ్యక్తి మరియు రవాణా చేయబడిన వస్తువులలో ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఒకే సమయంలో పడవలో ఉండకూడదు. ఒక వ్యక్తి అన్ని వస్తువులను ఇతర వైపుకు రవాణా చేయాలి, పరిస్థితిని గమనిస్తూ ఉండాలి: ఒక తోడేలు ఒక మేకతో మరియు క్యాబేజీతో ఒక మేకతో గమనింపబడకుండా ఉండకూడదు.

పరిష్కారం. నిర్మించిన గ్రాఫ్‌లో, శీర్షాలు కాన్ఫిగరేషన్‌లు మరియు అంచులు కాన్ఫిగరేషన్‌ల మధ్య “ఒక పడవ ప్రయాణం ద్వారా కనెక్షన్” సంబంధం. కాన్ఫిగరేషన్ అనేది ఒరిజినల్ ఒడ్డు మరియు ఎదురుగా ఉన్న వస్తువుల అమరికను సూచిస్తుంది. ప్రతి కాన్ఫిగరేషన్ ఇలా ప్రదర్శించబడుతుంది ( ఎ|బి) , ఎక్కడ ఎ- అసలు ఒడ్డున ఉన్న వస్తువులు, మరియు బి- వ్యతిరేక ఒడ్డున ఉన్న వస్తువులు. ప్రారంభ కాన్ఫిగరేషన్ కాబట్టి - (PMCpKz| ) . ఉదాహరణకు, మేకను మరొక వైపుకు రవాణా చేసిన తర్వాత, కాన్ఫిగరేషన్ ఉంటుంది (VKp|ChKz) . చివరి కాన్ఫిగరేషన్ ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది ( |PMCpKz) . ఇప్పుడు మనం గ్రాఫ్‌ను రూపొందించవచ్చు, శీర్షాలు మరియు అంచుల అర్థం ఏమిటో ఇప్పటికే తెలుసు:

గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలను ఉంచుదాం, తద్వారా అంచులు కలుస్తాయి, మరియు పొరుగు శీర్షాలు గ్రాఫ్‌లోని సంబంధం ద్వారా అనుసంధానించబడినవి. అప్పుడు సంబంధాలను చూడటం చాలా సులభం అవుతుంది (చిత్రాన్ని విస్తరించడానికి, దానిపై ఎడమ-క్లిక్ చేయండి):

మనం చూడగలిగినట్లుగా, ప్రారంభ కాన్ఫిగరేషన్ నుండి చివరి వరకు రెండు వేర్వేరు నిరంతర మార్గాలు ఉన్నాయి. అందువల్ల, సమస్యకు రెండు వేర్వేరు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి (మరియు రెండూ సరైనవి).

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం మరియు అత్యంత ముఖ్యమైన ఆధునిక అనువర్తిత సమస్యలు

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా, అనువర్తిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి, ఇందులో చాలా క్లిష్టమైన వ్యవస్థలు గ్రాఫ్‌ల రూపంలో రూపొందించబడ్డాయి. ఈ నమూనాలలో, నోడ్‌లు వ్యక్తిగత భాగాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు అంచులు భాగాల మధ్య కనెక్షన్‌లను సూచిస్తాయి. సాధారణంగా, బరువున్న గ్రాఫ్‌లు రవాణా నెట్‌వర్క్‌లు, క్యూయింగ్ సిస్టమ్‌లు మరియు నెట్‌వర్క్ ప్లానింగ్‌ను మోడల్ చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. మేము వాటి గురించి ఇప్పటికే మాట్లాడాము; ఇవి గ్రాఫ్‌లు, వీటిలో బరువులు ఆర్క్‌లకు కేటాయించబడతాయి.

చెట్టు గ్రాఫ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి, ఉదాహరణకు, నిర్మించడానికి నిర్ణయం చెట్లు(రిస్క్ అనాలిసిస్, అనిశ్చితి పరిస్థితుల్లో సాధ్యమయ్యే లాభాలు మరియు నష్టాల విశ్లేషణ కోసం ఉపయోగపడుతుంది). గ్రాఫ్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, అభివృద్ధి చేయబడింది మరియు ఇతర అనేక గణిత నమూనాలునిర్దిష్ట విషయాలలో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి.

గ్రాఫ్‌లు మరియు ప్రవాహ సమస్య

సమస్య యొక్క సూత్రీకరణ. నీటి పైపుల వ్యవస్థ ఉంది, దిగువ చిత్రంలో గ్రాఫ్ ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది.

గ్రాఫ్ యొక్క ప్రతి ఆర్క్ ఒక పైపును సూచిస్తుంది. ఆర్క్స్ (స్కేల్స్) పైన ఉన్న సంఖ్యలు పైపు సామర్థ్యం. నోడ్స్ పైపులు అనుసంధానించబడిన ప్రదేశాలు. పైపుల ద్వారా నీరు ఒకే దిశలో ప్రవహిస్తుంది. ముడి ఎస్- నీటి వనరు, నోడ్ టి- స్టాక్. మూలం నుండి కాలువకు ప్రవహించే నీటి పరిమాణాన్ని పెంచడం అవసరం.

ప్రవాహ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు ఫోర్డ్-ఫుల్కర్సన్ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. పద్ధతి యొక్క ఆలోచన: గరిష్ట ప్రవాహం కోసం శోధన దశల్లో నిర్వహించబడుతుంది. అల్గోరిథం ప్రారంభంలో, ప్రవాహం సున్నాకి సెట్ చేయబడింది. ప్రతి తదుపరి దశలో, ప్రవాహం యొక్క విలువ పెరుగుతుంది, దీని కోసం అదనపు ప్రవాహం వచ్చే ఒక పరిపూరకరమైన మార్గాన్ని వెతకాలి. అదనపు మార్గాలు ఉన్నంత వరకు ఈ దశలు పునరావృతమవుతాయి. వివిధ పంపిణీ వ్యవస్థలలో సమస్య విజయవంతంగా వర్తించబడింది: విద్యుత్ సరఫరా వ్యవస్థ, కమ్యూనికేషన్ నెట్వర్క్, రైల్వే వ్యవస్థ మరియు ఇతరులు.

గ్రాఫ్‌లు మరియు నెట్‌వర్క్ ప్లానింగ్

అనేక ఉద్యోగాలతో కూడిన సంక్లిష్ట ప్రక్రియల సమస్యలను ప్లాన్ చేయడంలో, వాటిలో కొన్ని సమాంతరంగా మరియు కొన్ని వరుసగా నిర్వహించబడతాయి, PERT నెట్‌వర్క్‌లు అని పిలువబడే వెయిటెడ్ గ్రాఫ్‌లు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడ్డాయి.

PERT - ప్రోగ్రామ్ (ప్రాజెక్ట్) మూల్యాంకనం మరియు సమీక్ష టెక్నిక్ - ప్రాజెక్ట్ నిర్వహణలో ఉపయోగించే ప్రోగ్రామ్‌లను (ప్రాజెక్ట్‌లు) మూల్యాంకనం చేయడానికి మరియు విశ్లేషించడానికి ఒక సాంకేతికత.

PERT నెట్‌వర్క్ అనేది వెయిటెడ్ ఎసిక్లిక్ డైరెక్ట్ గ్రాఫ్, దీనిలో ప్రతి ఆర్క్ ఒక ఉద్యోగాన్ని (చర్య, ఆపరేషన్) సూచిస్తుంది మరియు ఆర్క్ యొక్క బరువు దానిని పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన సమయం.

నెట్‌వర్క్‌లో ఆర్క్‌లు ఉంటే ( a, బి) మరియు ( బి, సి), అప్పుడు ఆర్క్ ద్వారా సూచించబడిన పని ( a, బి) ఆర్క్ ద్వారా సూచించబడిన పనికి ముందు పూర్తి చేయాలి ( బి, సి) . ప్రతి శీర్షం ( vi)అన్ని పని చేసే సమయ బిందువును సూచిస్తుంది, శీర్షం వద్ద ముగిసే ఆర్క్‌ల ద్వారా నిర్వచించబడింది ( vi).

ఇలాంటి కాలమ్‌లో:

• పూర్వీకులు లేని ఒక శీర్షం, పని ప్రారంభ సమయాన్ని నిర్ణయిస్తుంది;
• అనుచరులు లేని ఒక శీర్షం, పనుల సెట్ పూర్తయిన సమయానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

గ్రాఫ్ యొక్క ఈ శీర్షాల మధ్య గరిష్ట పొడవు యొక్క మార్గం (పని ప్రక్రియ ప్రారంభం నుండి చివరి వరకు) క్లిష్టమైన మార్గంగా పిలువబడుతుంది. పని యొక్క మొత్తం సంక్లిష్టతను పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన సమయాన్ని తగ్గించడానికి, క్లిష్టమైన మార్గంలో ఉన్న పనిని కనుగొనడం మరియు దాని వ్యవధిని తగ్గించడం అవసరం, ఉదాహరణకు, అదనపు ప్రదర్శకులు, యంత్రాంగాలు మరియు కొత్త సాంకేతికతలను ఆకర్షించడం.

మొత్తం బ్లాక్ "గ్రాఫ్ థియరీ"

గ్రాఫ్ థియరీ అనేది కంప్యూటర్ సైన్స్ మరియు ప్రోగ్రామింగ్, ఎకనామిక్స్, లాజిస్టిక్స్ మరియు కెమిస్ట్రీలో ఉపయోగించే గణిత శాస్త్ర విభాగం.

గ్రాఫ్ అంటే ఏమిటి

వ్యవస్థల నిర్మాణాన్ని వివరించడానికి గ్రాఫిక్ రేఖాచిత్రాలు తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి. వాటిలోని మూలకాలు సర్కిల్‌లు, చుక్కలు, చతురస్రాలు మొదలైన వాటి ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు మూలకాల మధ్య కనెక్షన్‌లు పంక్తులు లేదా బాణాల ద్వారా సూచించబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, మూలకాలు ఎలా వర్ణించబడ్డాయి లేదా పంక్తుల పొడవు లేదా ఆకారం ముఖ్యమైనవి కావు - ఏ మూలకాలు కనెక్ట్ చేయబడతాయో మాత్రమే ముఖ్యమైనది. కాబట్టి, గ్రాఫ్ అనేది ఫారమ్ (A, M) యొక్క జత, ఇక్కడ A అనేది పరిమిత శీర్షాల సమితి, మరియు M అనేది అంచుల సమితి - కొన్ని శీర్షాలను కలిపే పంక్తులు.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

ఓరియెంటెడ్ గ్రాఫ్ లేదా డిగ్రాఫ్ (క్రింద ఉన్న బొమ్మను చూడండి) ఆర్క్‌లు అని పిలువబడే ఓరియంటెడ్ అంచులను కలిగి ఉంటుంది మరియు బాణాలతో వర్ణించబడుతుంది. ఒక ఆర్క్‌ను అది అనుసంధానించే ఆర్డర్ చేసిన జత శీర్షాల ద్వారా సూచించవచ్చు, ఒక ప్రారంభం మరియు ముగింపు.

మళ్లించబడని గ్రాఫ్ (క్రింద ఉన్న బొమ్మను చూడండి) ఓరియంటేషన్ లేకుండా పంక్తులుగా గీసిన అంచులను కలిగి ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, అంచుతో అనుసంధానించబడిన శీర్షాల జత క్రమం చేయబడదు. ఈ రెండు శీర్షాలు అంచు చివరలు.

a మరియు b శీర్షాలు గ్రాఫ్ యొక్క అంచు (లేదా ఆర్క్ యొక్క ప్రారంభం మరియు ముగింపు) చివరలు అయితే, a మరియు b శీర్షాలు ఈ అంచుకు (ఆర్క్) సంఘటనగా చెప్పబడతాయి మరియు అంచు (ఆర్క్) కూడా సంఘటన a మరియు b శీర్షాలకు. a మరియు b శీర్షాలు ఒక అంచు యొక్క చివరలు అయితే, వాటిని (a మరియు b) ప్రక్కనే అంటారు.

చాలా తరచుగా, మేము గ్రాఫ్‌లను పరిగణిస్తాము, దీని అంచులు ఒక రకానికి చెందినవి - అవి దర్శకత్వం వహించినా లేదా చేయకపోయినా.

అంచులు ఒకే ప్రారంభ మరియు ముగింపు కలిగి ఉంటే, వాటిని బహుళ అంచులు అంటారు మరియు అవి ఉన్న గ్రాఫ్‌ను మల్టీగ్రాఫ్ అంటారు.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం "లూప్" అనే భావనను కూడా ఉపయోగిస్తుంది - ఒక అంచు బయటకు వెళ్లి అదే శీర్షంలోకి వెళుతుంది. లూప్‌లు ఉన్న గ్రాఫ్‌ను సూడోగ్రాఫ్ అంటారు.

అత్యంత సాధారణమైనవి మళ్లింపు లేని గ్రాఫ్‌లు, వీటిలో బహుళ అంచులు మరియు లూప్‌లు లేవు. ఇటువంటి గ్రాఫ్‌లను సాధారణం అంటారు. వాటికి బహుళ అంచులు లేవు, కాబట్టి మనం ఒక అంచుని మరియు సంబంధిత శీర్షాలను గుర్తించగలము.

డిగ్రాఫ్ యొక్క ప్రతి శీర్షం దీని ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది:

• సగం డిగ్రీ ఫలితం. ఇది దాని నుండి వచ్చే ఆర్క్‌ల సంఖ్య.
• విధానం యొక్క సగం డిగ్రీ. ఇచ్చిన శీర్షంలోకి ప్రవేశించే ఆర్క్‌ల సంఖ్య ఇది.

డిగ్రాఫ్ యొక్క ప్రవేశం యొక్క సగం-డిగ్రీల మొత్తం, అలాగే ఫలితం యొక్క సగం-డిగ్రీల మొత్తం, గ్రాఫ్ యొక్క మొత్తం ఆర్క్‌ల సంఖ్యకు సమానం.

నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లో, ప్రతి శీర్షం శీర్షం యొక్క డిగ్రీ ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. ఇది ఒక శీర్షానికి సంభవించే అంచుల సంఖ్య. గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాల డిగ్రీల మొత్తం మొత్తం రెండు అంచుల సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది: ప్రతి అంచు రెండింటికి సమానమైన సహకారాన్ని అందిస్తుంది.

డిగ్రీ 0 ఉన్న శీర్షాన్ని ఐసోలేటెడ్ అంటారు.

ఉరి శీర్షం అనేది డిగ్రీ 1తో కూడిన శీర్షం.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం అంచులు లేని ఖాళీ గ్రాఫ్‌ని పిలుస్తుంది. పూర్తి గ్రాఫ్ అనేది ఏదైనా 2 శీర్షాలు ప్రక్కనే ఉండే సాధారణ గ్రాఫ్.

వెయిటెడ్ గ్రాఫ్‌లు అంటే శీర్షాలు లేదా అంచులు (ఆర్క్‌లు), లేదా రెండు శీర్షాలు మరియు అంచులు (ఆర్క్‌లు) ఒకేసారి నిర్దిష్ట సంఖ్యలను కేటాయించే గ్రాఫ్‌లు. వాటిని స్కేల్స్ అంటారు. రెండవ బొమ్మ అంచులు వెయిటేడ్‌గా ఉండే డైరెక్ట్ చేయని గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది.

గ్రాఫ్‌లు: ఐసోమోర్ఫిజం

ఐసోమోర్ఫిజం భావన గణితంలో ఉపయోగించబడుతుంది. ప్రత్యేకించి, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం దీనిని ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచిస్తుంది: ఈ గ్రాఫ్‌లలో వాటి శీర్షాల సెట్‌ల మధ్య బైజెక్షన్ ఉంటే రెండు గ్రాఫ్‌లు U మరియు V ఐసోమార్ఫిక్‌గా ఉంటాయి: గ్రాఫ్ Uలోని ప్రతి 2 శీర్షాలు ఒక అంచుతో అనుసంధానించబడి ఉంటే మరియు గ్రాఫ్ V అదే వాటిని అంచు శీర్షాల ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉంటాయి (వీటికి వేర్వేరు పేర్లు ఉండవచ్చు). దిగువన ఉన్న బొమ్మ రెండు ఐసోమోర్ఫిక్ గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది, దీనిలో మొదటి మరియు రెండవ గ్రాఫ్‌లలో ఒకే రంగులలో రంగులు వేసిన శీర్షాల మధ్య పైన వివరించిన బైజెక్షన్ ఉంది.

మార్గాలు మరియు చక్రాలు

మళ్లించబడని లేదా నిర్దేశించబడిన గ్రాఫ్‌లోని పాత్ అనేది అంచుల క్రమం, ఇక్కడ ప్రతి తదుపరిది మునుపటిది ముగిసే శీర్షం వద్ద ప్రారంభమవుతుంది. ఒక సాధారణ మార్గం అంటే అన్ని శీర్షాలు, బహుశా ప్రారంభం మరియు ముగింపు మరియు అంచులు భిన్నంగా ఉంటాయి. డిగ్రాఫ్‌లోని చక్రం అనేది ఒక మార్గం, దీని ప్రారంభ మరియు ముగింపు శీర్షాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఇది కనీసం ఒక అంచుని కలిగి ఉంటుంది. నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లోని చక్రం అనేది కనీసం మూడు విభిన్న అంచులను కలిగి ఉండే మార్గం. రెండవ చిత్రంలో, చక్రం, ఉదాహరణకు, మార్గం (3, 1), (6, 3), (1, 6).

ప్రోగ్రామింగ్‌లోని గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం అల్గారిథమ్‌ల గ్రాఫ్ రేఖాచిత్రాలను రూపొందించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.