సరళ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి? ఒక వేరియబుల్‌లో సరళ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? ఒక వేరియబుల్ నిర్వచనంతో సరళ సమీకరణం.

సమీకరణాలు. మరో విధంగా చెప్పాలంటే, అన్ని సమీకరణాల పరిష్కారం ఈ పరివర్తనలతో ప్రారంభమవుతుంది. సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అది (పరిష్కారం) గుర్తింపు పరివర్తనలపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు తుది సమాధానంతో ముగుస్తుంది.

తెలియని వేరియబుల్ కోసం నాన్-జీరో కోఎఫీషియంట్ కేస్.

ax+b=0, a ≠ 0

మేము Xతో నిబంధనలను ఒక వైపుకు మరియు సంఖ్యలను మరొక వైపుకు తరలిస్తాము. నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క వ్యతిరేక వైపుకు తరలించేటప్పుడు, మీరు గుర్తును మార్చాలని గుర్తుంచుకోండి:

గొడ్డలి:(ఎ)=-బి:(ఎ)

కుదించుదాం ఎవద్ద Xమరియు మేము పొందుతాము:

x=-b:(a)

ఇదే సమాధానం. మీరు నంబర్ ఉందో లేదో తనిఖీ చేయాల్సి ఉంటే -బా)మా సమీకరణం యొక్క మూలం, అప్పుడు మనం బదులుగా ప్రారంభ సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి Xఇది సంఖ్య:

a(-b:(a))+b=0 (ఆ. 0=0)

ఎందుకంటే ఈ సమానత్వం సరైనది -బా)మరియు సత్యం సమీకరణానికి మూలం.

సమాధానం: x=-b:(a), a ≠ 0.

మొదటి ఉదాహరణ:

5x+2=7x-6

మేము సభ్యులను ఒక వైపుకు తరలిస్తాము X, మరియు మరొక వైపు సంఖ్యలు:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

తెలియని అంశం కోసం, మేము గుణకాన్ని తగ్గించాము మరియు సమాధానం పొందాము:

ఇదే సమాధానం. మీరు సంఖ్య 4 నిజంగా మా సమీకరణానికి మూలమా అని తనిఖీ చేయవలసి వస్తే, అసలు సమీకరణంలో Xకి బదులుగా మేము ఈ సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

5*4+2=7*4-6 (ఆ. 22=22)

ఎందుకంటే ఈ సమానత్వం నిజం, అప్పుడు 4 సమీకరణం యొక్క మూలం.

రెండవ ఉదాహరణ:

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

5x+14=x-49

తెలియని వాటిని మరియు సంఖ్యలను వేర్వేరు దిశల్లోకి తరలించడం ద్వారా, మేము పొందాము:

వద్ద గుణకం ద్వారా సమీకరణం యొక్క భాగాలను విభజించండి x(4 ద్వారా) మరియు మేము పొందుతాము:

మూడవ ఉదాహరణ:

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

ముందుగా, అన్ని నిబంధనలను గుణించడం ద్వారా తెలియని వాటి కోసం గుణకంలోని అహేతుకతను వదిలించుకుంటాము:

ఈ రూపం సరళీకృతంగా పరిగణించబడుతుంది, ఎందుకంటే సంఖ్య హారంలోని సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. న్యూమరేటర్ మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా మనం సమాధానాన్ని సరళీకృతం చేయాలి, మనకు ఇది ఉంది:

పరిష్కారాలు లేని సందర్భం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

2x+3=2x+7

అందరి ముందు xమా సమీకరణం నిజమైన సమానత్వం కాదు. అంటే మన సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు.

ప్రత్యేక సందర్భం అనేది అనంతమైన పరిష్కారాల సంఖ్య.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

2x+3=2x+3

x మరియు సంఖ్యలను వేర్వేరు దిశల్లోకి తరలించడం మరియు సారూప్య పదాలను జోడించడం, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఇక్కడ కూడా, రెండు భాగాలను 0 ద్వారా విభజించడం సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే అది నిషేధించబడింది. అయితే, స్థానంలో ఉంచడం Xఏదైనా సంఖ్య, మేము సరైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము. అంటే, ప్రతి సంఖ్య అటువంటి సమీకరణానికి పరిష్కారం. అందువలన, అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

సమాధానం: అనంతమైన పరిష్కారాలు.

రెండు పూర్తి రూపాల సమానత్వం కేసు.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

సమాధానం: x=(d-b):(a-c), ఉంటే d≠b మరియు a≠c, లేకపోతే అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి, అయితే a=c, ఎ d≠b, అప్పుడు పరిష్కారాలు లేవు.

సరళ సమీకరణాలు. పరిష్కారం, ఉదాహరణలు.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

సరళ సమీకరణాలు.

పాఠశాల గణితంలో సరళ సమీకరణాలు చాలా కష్టమైన అంశం కాదు. కానీ శిక్షణ పొందిన విద్యార్థిని కూడా పజిల్ చేసే కొన్ని ట్రిక్స్ ఉన్నాయి. దానిని గుర్తించుదామా?)

సాధారణంగా సరళ సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణంగా నిర్వచించబడుతుంది:

గొడ్డలి + బి = 0 ఎక్కడ a మరియు b- ఏదైనా సంఖ్యలు.

2x + 7 = 0. ఇక్కడ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 ఇక్కడ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 ఇక్కడ a=12, b=1/2

సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు, సరియైనదా? ప్రత్యేకించి మీరు పదాలను గమనించకపోతే: "ఎ మరియు బి అనేవి ఏవైనా సంఖ్యలు"... మరియు మీరు గమనించినట్లయితే మరియు దాని గురించి నిర్లక్ష్యంగా ఆలోచిస్తే?) అన్ని తరువాత, ఉంటే a=0, b=0(ఏదైనా సంఖ్యలు సాధ్యమేనా?), అప్పుడు మనకు ఫన్నీ వ్యక్తీకరణ వస్తుంది:

అయితే అంతే కాదు! ఒకవేళ, చెబితే, a=0,ఎ b=5,ఇది పూర్తిగా అసాధారణమైనదిగా మారుతుంది:

ఇది బాధించేది మరియు గణితంపై విశ్వాసాన్ని దెబ్బతీస్తుంది, అవును...) ముఖ్యంగా పరీక్షల సమయంలో. అయితే ఈ వింత వ్యక్తీకరణలలో మీరు Xని కూడా కనుగొనవలసి ఉంటుంది! ఏది ఉనికిలో లేదు. మరియు, ఆశ్చర్యకరంగా, ఈ Xని కనుగొనడం చాలా సులభం. మేము దీన్ని నేర్చుకుంటాము. ఈ పాఠంలో.

దాని రూపాన్ని బట్టి సరళ సమీకరణాన్ని ఎలా గుర్తించాలి? ఇది రూపాన్ని బట్టి ఉంటుంది.) ట్రిక్ ఏమిటంటే సరళ సమీకరణాలు రూపం యొక్క సమీకరణాలు మాత్రమే కాదు. గొడ్డలి + బి = 0 , కానీ పరివర్తనలు మరియు సరళీకరణల ద్వారా ఈ రూపానికి తగ్గించబడే ఏవైనా సమీకరణాలు కూడా. మరియు అది తగ్గుతుందో లేదో ఎవరికి తెలుసు?)

కొన్ని సందర్భాల్లో సరళ సమీకరణాన్ని స్పష్టంగా గుర్తించవచ్చు. మొదటి డిగ్రీ మరియు సంఖ్యలకు తెలియనివి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణం మనకు ఉంటే అనుకుందాం. మరియు సమీకరణంలో సంఖ్య లేదు భిన్నాలు విభజించబడ్డాయి తెలియని , ఇది ముఖ్యమైనది! మరియు విభజన ద్వారా సంఖ్య,లేదా సంఖ్యా భిన్నం - అది స్వాగతం! ఉదాహరణకి:

ఇది సరళ సమీకరణం. ఇక్కడ భిన్నాలు ఉన్నాయి, కానీ స్క్వేర్, క్యూబ్ మొదలైన వాటిలో x లు లేవు మరియు హారంలో x లు లేవు, అనగా. నం x ద్వారా విభజన. మరియు ఇక్కడ సమీకరణం ఉంది

సరళ అని పిలవలేము. ఇక్కడ X లు అన్నీ మొదటి డిగ్రీలో ఉన్నాయి, కానీ ఉన్నాయి x తో వ్యక్తీకరణ ద్వారా విభజన. సరళీకరణలు మరియు రూపాంతరాల తర్వాత, మీరు సరళ సమీకరణం, వర్గ సమీకరణం లేదా మీకు నచ్చిన ఏదైనా పొందవచ్చు.

మీరు దానిని దాదాపుగా పరిష్కరించే వరకు కొన్ని సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలో సరళ సమీకరణాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం అని తేలింది. ఇది కలత చెందుతోంది. కానీ అసైన్‌మెంట్‌లలో, నియమం ప్రకారం, వారు సమీకరణం యొక్క రూపం గురించి అడగరు, సరియైనదా? అసైన్‌మెంట్‌లు సమీకరణాలను అడుగుతాయి నిర్ణయించుకుంటారు.ఇది నాకు సంతోషాన్నిస్తుంది.)

సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఉదాహరణలు.

సరళ సమీకరణాల యొక్క మొత్తం పరిష్కారం సమీకరణాల యొక్క ఒకే విధమైన పరివర్తనలను కలిగి ఉంటుంది. మార్గం ద్వారా, ఈ రూపాంతరాలు (వాటిలో రెండు!) పరిష్కారాల ఆధారం గణితం యొక్క అన్ని సమీకరణాలు.మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పరిష్కారం ఏదైనాఈ పరివర్తనలతో సమీకరణం ప్రారంభమవుతుంది. సరళ సమీకరణాల విషయంలో, ఇది (పరిష్కారం) ఈ రూపాంతరాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు పూర్తి సమాధానంతో ముగుస్తుంది. లింక్‌ను అనుసరించడం అర్ధమే, సరియైనదా?) అంతేకాకుండా, అక్కడ సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు కూడా ఉన్నాయి.

మొదట, సరళమైన ఉదాహరణను చూద్దాం. ఎలాంటి ఆపదలు లేకుండా. మనం ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం.

x - 3 = 2 - 4x

ఇది సరళ సమీకరణం. Xలు అన్నీ మొదటి శక్తిలో ఉన్నాయి, Xల ద్వారా విభజన లేదు. కానీ, వాస్తవానికి, ఇది ఎలాంటి సమీకరణం అనేది మాకు పట్టింపు లేదు. మనం దాన్ని పరిష్కరించాలి. ఇక్కడ పథకం సులభం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున Xతో ఉన్న ప్రతిదానిని, కుడివైపున X (సంఖ్యలు) లేకుండా ప్రతిదీ సేకరించండి.

దీన్ని చేయడానికి, మీరు బదిలీ చేయాలి - 4x ఎడమ వైపుకు, గుర్తు మార్పుతో, కోర్సు యొక్క, మరియు - 3 - కుడివైపు. మార్గం ద్వారా, ఇది సమీకరణాల మొదటి సారూప్య పరివర్తన.ఆశ్చర్యంగా ఉందా? మీరు లింక్‌ని అనుసరించలేదని దీని అర్థం, కానీ ఫలించలేదు...) మేము పొందుతాము:

x + 4x = 2 + 3

ఇక్కడ ఇలాంటివి ఉన్నాయి, మేము పరిశీలిస్తాము:

పూర్తి ఆనందం కోసం మనకు ఏమి కావాలి? అవును, ఎడమవైపున స్వచ్ఛమైన X ఉంటుంది! ఐదు మార్గంలో ఉంది. సహాయంతో ఐదుగురిని వదిలించుకోవడం సమీకరణాల యొక్క రెండవ సారూప్య పరివర్తన.అవి, మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5 ద్వారా విభజిస్తాము. మేము సిద్ధంగా ఉన్న సమాధానం పొందుతాము:

ఒక ప్రాథమిక ఉదాహరణ, వాస్తవానికి. ఇది వేడెక్కడం కోసం.) నేను ఇక్కడ ఒకే విధమైన పరివర్తనలను ఎందుకు గుర్తుంచుకున్నాను అనేది చాలా స్పష్టంగా తెలియడం లేదు? అలాగే. కొమ్ముల ద్వారా ఎద్దును తీసుకెళ్దాం.) మరింత ఘనమైనదిగా నిర్ణయించుకుందాం.

ఉదాహరణకు, ఇక్కడ సమీకరణం ఉంది:

మనం ఎక్కడ ప్రారంభించాలి? X లతో - ఎడమకు, X లేకుండా - కుడికి? అలా కావచ్చు. పొడవైన రహదారి వెంట చిన్న మెట్లు. లేదా మీరు దీన్ని వెంటనే, సార్వత్రిక మరియు శక్తివంతమైన మార్గంలో చేయవచ్చు. ఒకవేళ, మీరు మీ ఆయుధశాలలో సమీకరణాల యొక్క ఒకే విధమైన రూపాంతరాలను కలిగి ఉంటే.

నేను మిమ్మల్ని ఒక కీలక ప్రశ్న అడుగుతున్నాను: ఈ సమీకరణంలో మీకు ఏది ఎక్కువగా నచ్చలేదు?

100 మందిలో 95 మంది సమాధానం ఇస్తారు: భిన్నాలు ! సమాధానం సరైనది. కాబట్టి వాటిని వదిలించుకుందాం. అందువలన, మేము వెంటనే ప్రారంభిస్తాము రెండవ గుర్తింపు పరివర్తన. హారం పూర్తిగా తగ్గిపోయేలా ఎడమవైపు ఉన్న భిన్నాన్ని మీరు దేనితో గుణించాలి? అది సరియైనది, 3 వద్ద. మరియు కుడివైపున? 4 ద్వారా. కానీ గణితం రెండు వైపులా గుణించటానికి అనుమతిస్తుంది అదే సంఖ్య. మనం ఎలా బయటపడగలం? రెండు వైపులా 12తో గుణిద్దాం! ఆ. ఒక సాధారణ హారం. అప్పుడు మూడు మరియు నాలుగు రెండూ తగ్గుతాయి. మీరు ప్రతి భాగాన్ని గుణించాలి అని మర్చిపోవద్దు పూర్తిగా. మొదటి దశ ఎలా ఉంటుందో ఇక్కడ ఉంది:

బ్రాకెట్లను విస్తరించడం:

గమనిక! న్యూమరేటర్ (x+2)నేను దానిని బ్రాకెట్లలో ఉంచాను! ఎందుకంటే భిన్నాలను గుణించినప్పుడు మొత్తం న్యూమరేటర్ గుణించబడుతుంది! ఇప్పుడు మీరు భిన్నాలను తగ్గించవచ్చు:

మిగిలిన బ్రాకెట్లను విస్తరించండి:

ఒక ఉదాహరణ కాదు, కానీ స్వచ్ఛమైన ఆనందం!) ఇప్పుడు ప్రాథమిక పాఠశాల నుండి ఒక స్పెల్ గుర్తుచేసుకుందాం: X తో - ఎడమవైపు, X లేకుండా - కుడివైపు!మరియు ఈ పరివర్తనను వర్తించండి:

ఇలాంటివి ఇక్కడ ఉన్నాయి:

మరియు రెండు భాగాలను 25 ద్వారా విభజించండి, అనగా. రెండవ పరివర్తనను మళ్లీ వర్తించండి:

అంతే. సమాధానం: X=0,16

దయచేసి గమనించండి: అసలు గందరగోళ సమీకరణాన్ని చక్కని రూపంలోకి తీసుకురావడానికి, మేము రెండింటిని ఉపయోగించాము (కేవలం రెండు!) గుర్తింపు పరివర్తనలు– ఒకే సంఖ్య ద్వారా సమీకరణం యొక్క గుర్తు మరియు గుణకారం-భాగాల మార్పుతో ఎడమ-కుడి అనువాదం. ఇది సార్వత్రిక పద్ధతి! మేము ఈ విధంగా పని చేస్తాము ఏదైనా సమీకరణాలు! ఖచ్చితంగా ఎవరైనా. అందుకే నేను ఈ సారూప్య పరివర్తనల గురించి చాలా శ్రమతో పునరావృతం చేస్తూ ఉంటాను.)

మీరు గమనిస్తే, సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించే సూత్రం చాలా సులభం. మేము సమీకరణాన్ని తీసుకుంటాము మరియు సమాధానాన్ని పొందే వరకు ఒకే విధమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించి దానిని సరళీకృతం చేస్తాము. ఇక్కడ ప్రధాన సమస్యలు గణనలలో ఉన్నాయి, పరిష్కారం యొక్క సూత్రంలో కాదు.

కానీ... అత్యంత ప్రాథమిక సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో ఇటువంటి ఆశ్చర్యకరమైనవి ఉన్నాయి, అవి మిమ్మల్ని బలమైన మూర్ఖత్వంలోకి నెట్టగలవు...) అదృష్టవశాత్తూ, అలాంటి ఆశ్చర్యకరమైనవి రెండు మాత్రమే ఉంటాయి. వాటిని ప్రత్యేక కేసులు అంటాం.

సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో ప్రత్యేక సందర్భాలు.

మొదటి ఆశ్చర్యం.

మీరు చాలా ప్రాథమిక సమీకరణాన్ని ఎదుర్కొన్నారని అనుకుందాం, అలాంటిదే:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

కొంచెం విసుగు చెంది, మేము దానిని Xతో ఎడమ వైపుకు, X లేకుండా - కుడి వైపుకు తరలిస్తాము... సంకేతం యొక్క మార్పుతో, ప్రతిదీ ఖచ్చితంగా ఉంది... మేము పొందుతాము:

2x-5x+3x=5-2-3

మేము లెక్కిస్తాము, మరియు... అయ్యో!!! మాకు దొరికింది:

స్వతహాగా ఈ సమానత్వం అభ్యంతరకరం కాదు. సున్నా నిజంగా సున్నా. కానీ X లేదు! మరియు మనం సమాధానంలో వ్రాయాలి, x దేనికి సమానం?లేకపోతే, పరిష్కారం లెక్కించబడదు, సరియైనది...) డెడ్‌లాక్?

ప్రశాంతత! అటువంటి సందేహాస్పద సందర్భాల్లో, అత్యంత సాధారణ నియమాలు మిమ్మల్ని రక్షిస్తాయి. సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి? సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి? దీని అర్ధం, x యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనండి, అది అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు, మనకు సరైన సమానత్వాన్ని ఇస్తుంది.

కానీ మనకు నిజమైన సమానత్వం ఉంది ఇప్పటికేజరిగింది! 0=0, ఎంత ఖచ్చితమైనది?! xలో ఇది ఏమి జరుగుతుందో గుర్తించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. X యొక్క ఏ విలువలను భర్తీ చేయవచ్చు అసలుఈ x లు ఉంటే సమీకరణం అవి ఇంకా సున్నాకి తగ్గుతాయా?రా?)

అవును!!! X లను భర్తీ చేయవచ్చు ఏదైనా!మీకు ఏవి కావాలి? కనీసం 5, కనీసం 0.05, కనీసం -220. అవి ఇంకా తగ్గిపోతాయి. మీరు నన్ను నమ్మకపోతే, మీరు దాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు.) X యొక్క ఏవైనా విలువలను భర్తీ చేయండి అసలుసమీకరణం మరియు గణన. అన్ని సమయాలలో మీరు స్వచ్ఛమైన సత్యాన్ని పొందుతారు: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 మరియు మొదలైనవి.

మీ సమాధానం ఇక్కడ ఉంది: x - ఏదైనా సంఖ్య.

సమాధానాన్ని వివిధ గణిత చిహ్నాలలో వ్రాయవచ్చు, సారాంశం మారదు. ఇది పూర్తిగా సరైన మరియు పూర్తి సమాధానం.

రెండవ ఆశ్చర్యం.

అదే ఎలిమెంటరీ లీనియర్ ఈక్వేషన్‌ని తీసుకుని అందులో కేవలం ఒక సంఖ్యను మారుద్దాం. ఇది మేము నిర్ణయిస్తాము:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

అదే సారూప్య పరివర్తనల తర్వాత, మేము ఆసక్తికరమైన ఏదో పొందుతాము:

ఇలా. మేము ఒక సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాము మరియు ఒక విచిత్రమైన సమానత్వాన్ని పొందాము. గణిత పరంగా, మేము పొందాము తప్పుడు సమానత్వం.కానీ సాధారణ పరంగా, ఇది నిజం కాదు. రేవ్. అయినప్పటికీ, సమీకరణం యొక్క సరైన పరిష్కారానికి ఈ అర్ధంలేనిది చాలా మంచి కారణం.)

మళ్ళీ మేము సాధారణ నియమాల ఆధారంగా ఆలోచిస్తాము. అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా x లు ఏవి మనకు ఇస్తాయి నిజంసమానత్వం? అవును, ఏదీ లేదు! అటువంటి X లు లేవు. మీరు ఏమి పెట్టినా, ప్రతిదీ తగ్గుతుంది, అర్ధంలేనిది మాత్రమే ఉంటుంది.)

మీ సమాధానం ఇక్కడ ఉంది: పరిష్కారాలు లేవు.

ఇది కూడా పూర్తిగా పూర్తి సమాధానం. గణితంలో, ఇటువంటి సమాధానాలు తరచుగా కనుగొనబడతాయి.

ఇలా. ఇప్పుడు, ఏదైనా (సరళ మాత్రమే కాదు) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ప్రక్రియలో X యొక్క అదృశ్యం మిమ్మల్ని అస్సలు గందరగోళానికి గురి చేయదని నేను ఆశిస్తున్నాను. ఇది ఇప్పటికే తెలిసిన విషయం.)

ఇప్పుడు మేము సరళ సమీకరణాలలో అన్ని ఆపదలను పరిష్కరించాము, వాటిని పరిష్కరించడానికి అర్ధమే.

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

మొదట మీరు అది ఏమిటో అర్థం చేసుకోవాలి.

ఒక సాధారణ నిర్వచనం ఉంది సరళ సమీకరణం, ఇది సాధారణ పాఠశాలలో ఇవ్వబడింది: "వేరియబుల్ మొదటి శక్తిలో మాత్రమే సంభవించే సమీకరణం." కానీ ఇది పూర్తిగా సరైనది కాదు: సమీకరణం సరళంగా లేదు, అది కూడా తగ్గించదు, అది చతురస్రాకారానికి తగ్గిస్తుంది.

మరింత ఖచ్చితమైన నిర్వచనం: సరళ సమీకరణంఉపయోగించిన సమీకరణం సమానమైన పరివర్తనలుఫారమ్‌కి తగ్గించవచ్చు, ఇక్కడ శీర్షిక="a,b bbRలో, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

వాస్తవానికి, సమీకరణం సరళంగా ఉందో లేదో అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని మొదట సరళీకృతం చేయాలి, అంటే దాని వర్గీకరణ నిస్సందేహంగా ఉండే రూపానికి తీసుకురావాలి. గుర్తుంచుకోండి, సమీకరణం దాని మూలాలను మార్చనంత కాలం మీరు దానితో మీకు కావలసినది చేయవచ్చు - అది అదే. సమానమైన మార్పిడి. సరళమైన సమానమైన పరివర్తనలు:

1. కుండలీకరణాలను తెరవడం
2. ఇలాంటివి తీసుకురావడం
3. ఒక సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణించడం మరియు/లేదా విభజించడం
4. ఒకే సంఖ్య లేదా వ్యక్తీకరణ యొక్క రెండు వైపుల నుండి జోడించడం మరియు/లేదా తీసివేయడం*

మీరు సమీకరణాన్ని "నాశనం" చేస్తారా లేదా అనే దాని గురించి ఆలోచించకుండా, మీరు ఈ పరివర్తనలను నొప్పిలేకుండా చేయవచ్చు.
*చివరి రూపాంతరం యొక్క ప్రత్యేక వివరణ అనేది గుర్తు మార్పుతో ఒక భాగం నుండి మరొక భాగానికి నిబంధనల యొక్క "బదిలీ".

ఉదాహరణ 1:
(బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం)
(రెండు భాగాలకు జోడించి, సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఎడమవైపుకు మరియు వేరియబుల్స్‌ను కుడివైపుకి మార్చడంతో తీసివేయండి/బదిలీ చేయండి)
(ఇలాంటివి ఇద్దాం)
(సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3 ద్వారా విభజించండి)

కాబట్టి మనకు అసలు మూలాలు ఉన్న సమీకరణం వస్తుంది. అని పాఠకులకు గుర్తు చేద్దాం "సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి"- అంటే దాని అన్ని మూలాలను కనుగొనడం మరియు ఇతరులు లేరని నిరూపించడం, మరియు "సమీకరణం యొక్క మూలం"- ఇది ఒక సంఖ్య, ఇది తెలియని వాటికి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు, సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా మారుస్తుంది. సరే, చివరి సమీకరణంలో, సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా మార్చే సంఖ్యను కనుగొనడం చాలా సులభం - ఇది సంఖ్య. ఈ సమీకరణం నుండి మరే ఇతర సంఖ్యను గుర్తించదు. సమాధానం:

ఉదాహరణ 2:
(సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి , మనం : title="x3/2తో గుణించడం లేదని నిర్ధారించుకున్న తర్వాత"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం)
(నిబంధనలను తరలిద్దాం)
(ఇలాంటివి ఇద్దాం)
(మేము రెండు భాగాలను విభజిస్తాము)

అన్ని సరళ సమీకరణాలు దాదాపుగా ఈ విధంగా పరిష్కరించబడతాయి. చిన్న పాఠకులకు, చాలా మటుకు, ఈ వివరణ సంక్లిష్టంగా అనిపించింది, కాబట్టి మేము ఒక సంస్కరణను అందిస్తున్నాము "గ్రేడ్ 5 కోసం సరళ సమీకరణాలు"

ఒక వేరియబుల్‌తో సరళ సమీకరణం సాధారణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
గొడ్డలి + బి = 0.
ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, a మరియు b గుణకాలు. మరొక విధంగా, aని "తెలియని గుణకం" అని పిలుస్తారు, b అనేది "ఉచిత పదం."

గుణకాలు కొన్ని రకాల సంఖ్యలు, మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే x విలువను కనుగొనడం, దీనిలో గొడ్డలి + b = 0 వ్యక్తీకరణ నిజం. ఉదాహరణకు, మనకు 3x – 6 = 0 అనే సరళ సమీకరణం ఉంది. దానిని పరిష్కరించడం అంటే 3x – 6 0కి సమానం కావాలంటే x దేనికి సమానంగా ఉండాలి అని కనుగొనడం.
3x = 6
x = 2

అందువల్ల 3x – 6 = 0 అనే వ్యక్తీకరణ x = 2 వద్ద నిజం:
3 * 2 – 6 = 0
2 ఉంది ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం. మీరు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించినప్పుడు, మీరు దాని మూలాలను కనుగొంటారు.

a మరియు b గుణకాలు ఏవైనా సంఖ్యలు కావచ్చు, కానీ ఒక వేరియబుల్‌తో సరళ సమీకరణం యొక్క మూలం ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉన్నప్పుడు అటువంటి విలువలు ఉంటాయి.

a = 0 అయితే, గొడ్డలి + b = 0 b = 0గా మారుతుంది. ఇక్కడ x "నాశనం" అవుతుంది. b యొక్క జ్ఞానం 0 అయితే మాత్రమే b = 0 అనే వ్యక్తీకరణ నిజం అవుతుంది. అంటే, 0*x + 3 = 0 అనే సమీకరణం తప్పు, ఎందుకంటే 3 = 0 అనేది తప్పుడు ప్రకటన. అయితే, 0*x + 0 = 0 సరైన వ్యక్తీకరణ. దీని నుండి మేము ఒక వేరియబుల్‌తో ఉన్న a = 0 మరియు b ≠ 0 రేఖీయ సమీకరణానికి మూలాలు లేవని నిర్ధారించాము, అయితే a = 0 మరియు b = 0 అయితే, సమీకరణం అనంతమైన మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.

b = 0, మరియు a ≠ 0 అయితే, అప్పుడు సమీకరణం గొడ్డలి = 0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. ఒక ≠ 0 అయితే, గుణకారం యొక్క ఫలితం 0 అయితే, x = 0. అంటే, దీని మూలం. సమీకరణం 0.

a లేదా b రెండూ సున్నాకి సమానం కానట్లయితే, గొడ్డలి + b = 0 అనే సమీకరణం రూపానికి రూపాంతరం చెందుతుంది
x = –b/a.
ఈ సందర్భంలో x విలువ a మరియు b విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అంతేకాక, ఇది ఒక్కటే అవుతుంది. అంటే, ఒకే గుణకాలతో x యొక్క రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ విభిన్న విలువలను పొందడం అసాధ్యం. ఉదాహరణకి,
–8.5x – 17 = 0
x = 17 / –8.5
x = –2
17ని –8.5తో భాగిస్తే –2 తప్ప మరే ఇతర సంఖ్యను పొందలేము.

మొదటి చూపులో ఒక వేరియబుల్‌తో సరళ సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపాన్ని పోలి ఉండని సమీకరణాలు ఉన్నాయి, కానీ సులభంగా దానికి మార్చబడతాయి. ఉదాహరణకి,
–4.8 + 1.3x = 1.5x + 12

మీరు అన్నింటినీ ఎడమ వైపుకు తరలించినట్లయితే, 0 కుడి వైపున ఉంటుంది:
–4.8 + 1.3x – 1.5x – 12 = 0

ఇప్పుడు సమీకరణం ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించబడింది మరియు పరిష్కరించవచ్చు:
x = 16.8 / 0.2
x = 84

తెలియని ఒకదానితో సమీకరణం, ఇది బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత, రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

గొడ్డలి + బి = 0, ఇక్కడ a మరియు b ఏకపక్ష సంఖ్యలు, అంటారు సరళ సమీకరణం తెలియని ఒకరితో. ఈ సరళ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో ఈ రోజు మనం కనుగొంటాము.

ఉదాహరణకు, అన్ని సమీకరణాలు:

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - సరళ.

సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా మార్చే తెలియని విలువను అంటారు నిర్ణయం లేదా సమీకరణం యొక్క మూలం .

ఉదాహరణకు, 3x + 7 = 13 అనే సమీకరణంలో తెలియని xకి బదులుగా 2 సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, సరైన సమానత్వం 3 2 +7 = 13ని పొందుతాము. దీని అర్థం x = 2 అనేది పరిష్కారం లేదా మూలం. సమీకరణం యొక్క.

మరియు x = 3 విలువ 3x + 7 = 13 సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా మార్చదు, ఎందుకంటే 3 2 +7 ≠ 13. దీని అర్థం x = 3 విలువ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం లేదా మూలం కాదు.

ఏదైనా సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అనేది రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి తగ్గిస్తుంది

గొడ్డలి + బి = 0.

ఉచిత పదాన్ని సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడికి తరలించి, b ముందు ఉన్న గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుద్దాం, మనకు లభిస్తుంది

a ≠ 0 అయితే, x = ‒ b/a .

ఉదాహరణ 1. 3x + 2 =11 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి 2 ను కుడి వైపుకు తరలిద్దాం, 2 ముందు ఉన్న గుర్తును ఎదురుగా మారుద్దాం, మనకు లభిస్తుంది
3x = 11 – 2.

అప్పుడు తీసివేత చేద్దాం
3x = 9.

xని కనుగొనడానికి, మీరు ఉత్పత్తిని తెలిసిన కారకం ద్వారా విభజించాలి, అంటే
x = 9:3.

అంటే x = 3 విలువ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం లేదా మూలం.

సమాధానం: x = 3.

a = 0 మరియు b = 0 అయితే, అప్పుడు మనకు సమీకరణం 0x = 0 వస్తుంది. ఈ సమీకరణం అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే మనం ఏదైనా సంఖ్యను 0తో గుణించినప్పుడు మనకు 0 వస్తుంది, కానీ b కూడా 0కి సమానం. ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం ఏదైనా సంఖ్య.

ఉదాహరణ 2. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

బ్రాకెట్లను విస్తరింపజేద్దాం:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x - 3x - 2x = - 12 - 1 + 15 - 2.

ఇక్కడ కొన్ని సారూప్య నిబంధనలు ఉన్నాయి:
0x = 0.

సమాధానం: x - ఏదైనా సంఖ్య.

a = 0 మరియు b ≠ 0 అయితే, అప్పుడు మనకు 0x = - b సమీకరణం వస్తుంది. ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు, ఎందుకంటే మనం ఏదైనా సంఖ్యను 0తో గుణించినప్పుడు మనకు 0 వస్తుంది, కానీ b ≠ 0.

ఉదాహరణ 3. x + 8 = x + 5 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ఎడమవైపు తెలియని వాటిని మరియు కుడి వైపున ఉచిత నిబంధనలను కలిగి ఉన్న సమూహ నిబంధనలను చేద్దాం:
x – x = 5 – 8.

ఇక్కడ కొన్ని సారూప్య నిబంధనలు ఉన్నాయి:
0х = - 3.

సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు.

పై మూర్తి 1 సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి రేఖాచిత్రాన్ని చూపుతుంది

ఒక వేరియబుల్‌తో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ పథకాన్ని రూపొందించండి. ఉదాహరణ 4కి పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 4. మనం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం

1) సమీకరణంలోని అన్ని నిబంధనలను 12కి సమానమైన హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారంతో గుణించండి.

2) తగ్గింపు తర్వాత మనకు లభిస్తుంది
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) తెలియని మరియు ఉచిత నిబంధనలను కలిగి ఉన్న నిబంధనలను వేరు చేయడానికి, బ్రాకెట్‌లను తెరవండి:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న నిబంధనలను ఒక భాగంలో సమూహం చేద్దాం మరియు మరొకటి - ఉచిత నిబంధనలను:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) మనం ఇలాంటి నిబంధనలను అందజేద్దాం:
- 22x = - 154.

6) విభజించండి - 22, మేము పొందుతాము
x = 7.

మీరు గమనిస్తే, సమీకరణం యొక్క మూలం ఏడు.

సాధారణంగా అలాంటి కింది పథకాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు:

a) సమీకరణాన్ని దాని పూర్ణాంక రూపానికి తీసుకురావడం;

బి) బ్రాకెట్లను తెరవండి;

c) సమీకరణంలోని ఒక భాగంలో తెలియని వాటిని మరియు మరొక భాగంలో ఉచిత నిబంధనలను కలిగి ఉన్న నిబంధనలను సమూహపరచండి;

d) ఇలాంటి సభ్యులను తీసుకురావడం;

ఇ) aх = b రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి, ఇది సారూప్య పదాలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత పొందబడింది.

అయితే, ఈ పథకం ప్రతి సమీకరణానికి అవసరం లేదు. చాలా సరళమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు మొదటి నుండి కాకుండా రెండవదాని నుండి ప్రారంభించాలి ( ఉదాహరణ. 2), మూడవ ( ఉదాహరణ. 13) మరియు ఐదవ దశ నుండి కూడా, ఉదాహరణకు 5.

ఉదాహరణ 5. 2x = 1/4 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

తెలియని x = 1/4: 2ని కనుగొనండి,
x = 1/8 .

ప్రధాన రాష్ట్ర పరీక్షలో కనిపించే కొన్ని సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి చూద్దాం.

ఉదాహరణ 6. 2 (x + 3) = 5 – 6x సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

సమాధానం: - 0.125

ఉదాహరణ 7.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

సమాధానం: 2.3

ఉదాహరణ 8. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

ఉదాహరణ 9. f (x + 2) = 3 7లు ఉంటే f(6)ని కనుగొనండి

పరిష్కారం

మనం f(6)ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది కాబట్టి మరియు మనకు f (x + 2) తెలుసు
అప్పుడు x + 2 = 6.

మేము x + 2 = 6 అనే సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము,
మనకు x = 6 – 2, x = 4 వస్తుంది.

x = 4 అయితే
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

సమాధానం: 27.

మీకు ఇంకా ప్రశ్నలు ఉంటే లేదా పరిష్కార సమీకరణాలను మరింత క్షుణ్ణంగా అర్థం చేసుకోవాలనుకుంటే, SCHEDULEలో నా పాఠాల కోసం సైన్ అప్ చేయండి. నేను మీకు సహాయం చేయడానికి సంతోషిస్తాను!

TutorOnline మా ట్యూటర్ ఓల్గా అలెగ్జాండ్రోవ్నా నుండి కొత్త వీడియో పాఠాన్ని చూడాలని కూడా సిఫార్సు చేస్తోంది, ఇది సరళ సమీకరణాలు మరియు ఇతర రెండింటినీ అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడుతుంది.

వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.