ప్రాధాన్యంగా ఇంజనీరింగ్ ఒకటి - రూట్ గుర్తుతో బటన్‌ను కలిగి ఉంటుంది: “√”. సాధారణంగా, రూట్‌ను సంగ్రహించడానికి, సంఖ్యను టైప్ చేయడానికి సరిపోతుంది, ఆపై బటన్‌ను నొక్కండి: “√”.
చాలా ఆధునిక మొబైల్ ఫోన్‌లు రూట్ ఎక్స్‌ట్రాక్షన్ ఫంక్షన్‌తో కాలిక్యులేటర్ అప్లికేషన్‌ను కలిగి ఉంటాయి. టెలిఫోన్ కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని కనుగొనే విధానం పైన పేర్కొన్న విధంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణ.
2 నుండి కనుగొనండి.
కాలిక్యులేటర్‌ను ఆన్ చేయండి (ఇది ఆపివేయబడితే) మరియు రెండు మరియు రూట్ (“2” “√”) చిత్రంతో బటన్‌లను వరుసగా నొక్కండి. నియమం ప్రకారం, మీరు "=" కీని నొక్కవలసిన అవసరం లేదు. ఫలితంగా, మేము 1.4142 వంటి సంఖ్యను పొందుతాము (అంకెల సంఖ్య మరియు "రౌండ్నెస్" బిట్ డెప్త్ మరియు కాలిక్యులేటర్ సెట్టింగులపై ఆధారపడి ఉంటుంది).
గమనిక: మూలాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు, కాలిక్యులేటర్ సాధారణంగా లోపాన్ని ఇస్తుంది.
మీకు కంప్యూటర్‌కు ప్రాప్యత ఉంటే, సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని కనుగొనడం చాలా సులభం.
1. మీరు దాదాపు ఏ కంప్యూటర్‌లోనైనా అందుబాటులో ఉండే కాలిక్యులేటర్ అప్లికేషన్‌ను ఉపయోగించవచ్చు. Windows XP కోసం, ఈ ప్రోగ్రామ్‌ను ఈ క్రింది విధంగా ప్రారంభించవచ్చు:
“ప్రారంభం” - “అన్ని ప్రోగ్రామ్‌లు” - “యాక్సెసరీలు” - “కాలిక్యులేటర్”.
వీక్షణను "సాధారణ" గా సెట్ చేయడం మంచిది. మార్గం ద్వారా, నిజమైన కాలిక్యులేటర్ వలె కాకుండా, రూట్‌ను సంగ్రహించే బటన్ “sqrt” అని గుర్తించబడింది మరియు “√” కాదు.
మీరు సూచించిన పద్ధతిని ఉపయోగించి కాలిక్యులేటర్‌ని పొందలేకపోతే, మీరు ప్రామాణిక కాలిక్యులేటర్‌ను "మాన్యువల్‌గా" అమలు చేయవచ్చు:
"ప్రారంభించు" - "రన్" - "కాలిక్".
2. సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మీ కంప్యూటర్‌లో ఇన్‌స్టాల్ చేసిన కొన్ని ప్రోగ్రామ్‌లను కూడా ఉపయోగించవచ్చు. అదనంగా, ప్రోగ్రామ్ దాని స్వంత అంతర్నిర్మిత కాలిక్యులేటర్‌ను కలిగి ఉంది.
ఉదాహరణకు, MS Excel అప్లికేషన్ కోసం, మీరు ఈ క్రింది చర్యల క్రమాన్ని చేయవచ్చు:
MS Excelని ప్రారంభించండి.
మనం రూట్‌ని సంగ్రహించాల్సిన సంఖ్యను ఏదైనా సెల్‌లో వ్రాస్తాము.
సెల్ పాయింటర్‌ను వేరే స్థానానికి తరలించండి
ఫంక్షన్ ఎంపిక బటన్ (fx) నొక్కండి
"రూట్" ఫంక్షన్‌ను ఎంచుకోండి
మేము ఫంక్షన్‌కు ఆర్గ్యుమెంట్‌గా నంబర్‌తో సెల్‌ను పేర్కొంటాము
"సరే" లేదా "ఎంటర్" క్లిక్ చేయండి
ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనం ఏమిటంటే, ఇప్పుడు ఫంక్షన్‌లో వలె, సంఖ్యతో సెల్‌లోకి ఏదైనా విలువను నమోదు చేయడానికి సరిపోతుంది.
గమనిక.
సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని కనుగొనడానికి అనేక ఇతర, మరింత అన్యదేశ మార్గాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, "మూలలో", స్లయిడ్ నియమం లేదా బ్రాడిస్ పట్టికలను ఉపయోగించడం. అయినప్పటికీ, ఈ పద్ధతులు వాటి సంక్లిష్టత మరియు ఆచరణాత్మక పనికిరాని కారణంగా ఈ వ్యాసంలో చర్చించబడలేదు.
అంశంపై వీడియో
మూలాలు:
- సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని ఎలా కనుగొనాలి
మీరు కొన్ని రకాల గణిత గణనలను నిర్వహించవలసి వచ్చినప్పుడు, వర్గమూలాలు మరియు సంఖ్య యొక్క ఎక్కువ మూలాలను సంగ్రహించడంతో సహా కొన్నిసార్లు పరిస్థితులు తలెత్తుతాయి. ఒక సంఖ్య యొక్క nవ మూలం ఒక సంఖ్య, దీని nవ శక్తి సంఖ్య a.
సూచనలు
యొక్క "n" మూలాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ క్రింది వాటిని చేయండి.
మీ కంప్యూటర్‌లో, "ప్రారంభించు" - "అన్ని ప్రోగ్రామ్‌లు" - "యాక్సెసరీలు" క్లిక్ చేయండి. అప్పుడు "సేవ" ఉపవిభాగానికి వెళ్లి "కాలిక్యులేటర్" ఎంచుకోండి. మీరు దీన్ని మాన్యువల్‌గా చేయవచ్చు: ప్రారంభం క్లిక్ చేసి, రన్ బాక్స్‌లో "calk" అని టైప్ చేసి, Enter నొక్కండి. తెరవబడుతుంది. సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, దానిని కాలిక్యులేటర్‌లో నమోదు చేసి, "sqrt" అని లేబుల్ చేయబడిన బటన్‌ను నొక్కండి. కాలిక్యులేటర్ నమోదు చేసిన సంఖ్య నుండి వర్గమూలం అని పిలువబడే రెండవ డిగ్రీ మూలాన్ని సంగ్రహిస్తుంది.
రెండవదాని కంటే ఎక్కువ డిగ్రీ ఉన్న రూట్‌ను సంగ్రహించడానికి, మీరు మరొక రకమైన కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించాలి. దీన్ని చేయడానికి, కాలిక్యులేటర్ ఇంటర్‌ఫేస్‌లో, "వ్యూ" బటన్‌ను క్లిక్ చేసి, మెను నుండి "ఇంజనీరింగ్" లేదా "సైంటిఫిక్" లైన్‌ను ఎంచుకోండి. ఈ రకమైన కాలిక్యులేటర్ nవ మూలాన్ని లెక్కించడానికి అవసరమైన ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది.
"ఇంజనీరింగ్" కాలిక్యులేటర్‌లో మూడవ డిగ్రీ () యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, కావలసిన సంఖ్యను నమోదు చేసి, "3√" బటన్‌ను నొక్కండి. డిగ్రీ 3 కంటే ఎక్కువ ఉన్న మూలాన్ని పొందడానికి, కావలసిన సంఖ్యను నమోదు చేయండి, “y√x” చిహ్నంతో బటన్‌ను నొక్కి ఆపై సంఖ్యను నమోదు చేయండి - ఘాతాంకం. దీని తరువాత, సమాన గుర్తు ("=" బటన్) నొక్కండి మరియు మీరు కోరుకున్న రూట్ పొందుతారు.
మీ కాలిక్యులేటర్‌లో "y√x" ఫంక్షన్ లేకపోతే, కిందివి.
క్యూబ్ రూట్‌ను సంగ్రహించడానికి, రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను నమోదు చేసి, ఆపై "Inv" అనే శాసనం పక్కన ఉన్న చెక్ బాక్స్‌లో చెక్ మార్క్ ఉంచండి. ఈ చర్యతో, మీరు కాలిక్యులేటర్ బటన్‌ల ఫంక్షన్‌లను రివర్స్ చేస్తారు, అంటే, క్యూబ్ బటన్‌పై క్లిక్ చేయడం ద్వారా, మీరు క్యూబ్ రూట్‌ను సంగ్రహిస్తారు. బటన్‌పై మీరు
మూలాన్ని ఎలా తీయాలి సంఖ్య నుండి. నాలుగు మరియు ఐదు అంకెల సంఖ్యల వర్గమూలాన్ని ఎలా తీసుకోవాలో ఈ కథనంలో తెలుసుకుందాం.
ఉదాహరణగా 1936 వర్గమూలాన్ని తీసుకుందాం.
అందుకే, 
.
సంఖ్య 1936లో చివరి అంకె సంఖ్య 6. సంఖ్య 4 మరియు సంఖ్య 6 యొక్క వర్గము 6 వద్ద ముగుస్తుంది. కాబట్టి, 1936 సంఖ్య 44 లేదా సంఖ్య 46 యొక్క వర్గంగా ఉండవచ్చు. ఇది గుణకారం ఉపయోగించి తనిఖీ చేయడానికి మిగిలి ఉంది.
అంటే,
15129 సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకుందాం.
అందుకే, 
.
సంఖ్య 15129లో చివరి అంకె సంఖ్య 9. సంఖ్య 3 మరియు సంఖ్య 7 యొక్క వర్గము 9 వద్ద ముగుస్తుంది. కాబట్టి, 15129 సంఖ్య 123 లేదా సంఖ్య 127 యొక్క వర్గంగా ఉండవచ్చు. గుణకారం ఉపయోగించి తనిఖీ చేద్దాం.
అంటే, 
మూలాన్ని ఎలా తీయాలి - వీడియో
ఇప్పుడు నేను అన్నా డెనిసోవా యొక్క వీడియోను చూడమని సూచిస్తున్నాను - "మూలాన్ని ఎలా తీయాలి ", సైట్ రచయిత" సాధారణ భౌతిక శాస్త్రం", దీనిలో ఆమె కాలిక్యులేటర్ లేకుండా స్క్వేర్ మరియు క్యూబ్ రూట్‌లను ఎలా కనుగొనాలో వివరిస్తుంది.
వీడియో మూలాలను తీయడానికి అనేక మార్గాలను చర్చిస్తుంది:
1. వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడానికి సులభమైన మార్గం.
2. మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని ఉపయోగించి ఎంపిక చేయడం ద్వారా.
3. బాబిలోనియన్ పద్ధతి.
4. నిలువు వరుస యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించే విధానం.
5. క్యూబ్ రూట్‌ను తీయడానికి శీఘ్ర మార్గం.
6. నిలువు వరుసలో క్యూబ్ రూట్‌ను సంగ్రహించే విధానం.
వాస్తవం 1.
\(\bullet\) కొంత ప్రతికూల సంఖ్యను తీసుకుందాం \(a\) (అంటే \(a\geqslant 0\) ). అప్పుడు (అంకగణితం) వర్గమూలంసంఖ్య నుండి \(a\) అటువంటి నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య \(b\) , స్క్వేర్ చేసినప్పుడు మనకు \(a\) సంఖ్య వస్తుంది : \[\sqrt a=b\quad \text(అదే )\quad a=b^2\]నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). వర్గమూలం ఉనికికి ఈ పరిమితులు ముఖ్యమైన షరతు మరియు గుర్తుంచుకోవాలి!
స్క్వేర్ చేసినప్పుడు ఏదైనా సంఖ్య ప్రతికూల ఫలితాన్ని ఇస్తుందని గుర్తుంచుకోండి. అంటే, \(100^2=10000\geqslant 0\) మరియు \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\బుల్లెట్\) \(\sqrt(25)\) దేనికి సమానం? మాకు తెలుసు \(5^2=25\) మరియు \((-5)^2=25\) . నిర్వచనం ప్రకారం మనం తప్పనిసరిగా ప్రతికూల సంఖ్యను కనుగొనాలి, అప్పుడు \(-5\) తగినది కాదు, కాబట్టి, \(\sqrt(25)=5\) (\(25=5^2\) నుండి ).
\(\sqrt a\) విలువను కనుగొనడాన్ని \(a\) సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోవడం అంటారు మరియు \(a\) సంఖ్యను రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ అంటారు.
\(\బుల్లెట్\) నిర్వచనం ఆధారంగా, వ్యక్తీకరణ \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), మొదలైనవి. అర్థం లేదు.
వాస్తవం 2.
శీఘ్ర గణనల కోసం, \(1\) నుండి \(20\) వరకు సహజ సంఖ్యల వర్గాల పట్టికను నేర్చుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
వాస్తవం 3.
వర్గమూలాలతో మీరు ఏ ఆపరేషన్లు చేయవచ్చు?
\(\బుల్లెట్\) వర్గమూలాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం కాదు, అంటే \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]కాబట్టి, మీరు లెక్కించవలసి వస్తే, ఉదాహరణకు, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , అప్పుడు మీరు మొదట \(\sqrt(25)\) మరియు \(\ విలువలను కనుగొనాలి. sqrt(49)\ ) ఆపై వాటిని మడవండి. అందుకే, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a+\sqrt b\) జోడించేటప్పుడు విలువలు \(\sqrt a\) లేదా \(\sqrt b\) కనుగొనబడకపోతే, అటువంటి వ్యక్తీకరణ మరింత రూపాంతరం చెందదు మరియు అలాగే ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) మొత్తంలో \(\sqrt(49)\) \(7\) , కానీ \(\sqrt 2\) రూపాంతరం చెందదు ఎలాగైనా, అందుకే \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). దురదృష్టవశాత్తు, ఈ వ్యక్తీకరణ మరింత సరళీకృతం చేయబడదు\(\బుల్లెట్\) వర్గమూలాల ఉత్పత్తి/గుణకం ఉత్పత్తి/భాగమూలం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం, అంటే \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా అర్ధమయ్యేలా అందించబడింది)
ఉదాహరణ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt(-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\బుల్లెట్\) ఈ లక్షణాలను ఉపయోగించి, వాటిని కారకం చేయడం ద్వారా పెద్ద సంఖ్యల వర్గమూలాలను కనుగొనడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. \(\sqrt(44100)\) . \(44100:100=441\) నుండి , ఆపై \(44100=100\cdot 441\) . విభజన ప్రమాణం ప్రకారం, \(441\) సంఖ్య \(9\) ద్వారా భాగించబడుతుంది (దాని అంకెల మొత్తం 9 మరియు 9 ద్వారా భాగించబడుతుంది కాబట్టి), \(441:9=49\), అంటే, \(441=9\ cdot 49\) .
కాబట్టి మేము పొందాము: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\బుల్లెట్\) \(5\sqrt2\) (వ్యక్తీకరణకు సంక్షిప్త సంజ్ఞామానం \(5\cdot \sqrt2\)) యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి వర్గమూలం గుర్తు క్రింద సంఖ్యలను ఎలా నమోదు చేయాలో చూపిద్దాం. \(5=\sqrt(25)\) , అప్పుడు \
ఇది కూడా గమనించండి, ఉదాహరణకు,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
అది ఎందుకు? ఉదాహరణ 1) ఉపయోగించి వివరిస్తాము. మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, మేము \(\sqrt2\) సంఖ్యను మార్చలేము. \(\sqrt2\) అనేది కొంత సంఖ్య \(a\) అని ఊహిద్దాం. దీని ప్రకారం, \(\sqrt2+3\sqrt2\) అనేది \(a+3a\) (ఒక సంఖ్య \(a\) ప్లస్ మూడు అదే సంఖ్యలు \(a\)) కంటే ఎక్కువ కాదు. మరియు ఇది అటువంటి నాలుగు సంఖ్యలకు సమానమని మాకు తెలుసు \(a\) , అంటే \(4\sqrt2\) .
వాస్తవం 4.
\(\బుల్లెట్\) సంఖ్య యొక్క విలువను కనుగొనేటప్పుడు మూలం (రాడికల్) యొక్క \(\sqrt () \ \) గుర్తును మీరు వదిలించుకోలేనప్పుడు వారు తరచుగా “మీరు మూలాన్ని సంగ్రహించలేరు” అని చెబుతారు. . ఉదాహరణకు, మీరు \(16\) సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవచ్చు ఎందుకంటే \(16=4^2\) , కాబట్టి \(\sqrt(16)=4\) . కానీ \(3\) సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడం అసాధ్యం, అంటే \(\sqrt3\)ని కనుగొనడం, ఎందుకంటే స్క్వేర్డ్ \(3\) ఇచ్చే సంఖ్య లేదు.
అటువంటి సంఖ్యలు (లేదా అటువంటి సంఖ్యలతో వ్యక్తీకరణలు) అహేతుకం. ఉదాహరణకు, సంఖ్యలు \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \\sqrt(15)\)మరియు అందువలన న. అహేతుకంగా ఉంటాయి.
అలాగే అహేతుక సంఖ్యలు \(\pi\) (సంఖ్య “pi”, సుమారుగా \(3.14\)), \(e\) (ఈ సంఖ్యను యూలర్ సంఖ్య అంటారు, ఇది దాదాపు \(2.7కి సమానం) \)) మొదలైనవి.
\(\బుల్లెట్\) దయచేసి ఏ సంఖ్య అయినా హేతుబద్ధంగా లేదా అహేతుకంగా ఉంటుందని గమనించండి. మరియు అన్ని హేతుబద్ధమైన మరియు అన్ని అహేతుక సంఖ్యలు కలిసి ఒక సమితిని ఏర్పరుస్తాయి వాస్తవ సంఖ్యల సమితి.ఈ సెట్ \(\mathbb(R)\) అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.
అంటే ప్రస్తుతం మనకు తెలిసిన అన్ని సంఖ్యలను వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు.
వాస్తవం 5.
\(\బుల్లెట్\) వాస్తవ సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ \(a\) అనేది నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య \(|a|\) పాయింట్ \(a\) నుండి \(0\) వరకు ఉన్న దూరానికి సమానం నిజమైన లైన్. ఉదాహరణకు, \(|3|\) మరియు \(|-3|\) 3కి సమానం, ఎందుకంటే \(3\) మరియు \(-3\) నుండి \(0\) వరకు ఉన్న దూరాలు అదే మరియు \(3 \) .
\(\bullet\) \(a\) అనేది ప్రతికూల సంఖ్య అయితే, \(|a|=a\) .
ఉదాహరణ: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\బుల్లెట్\) \(a\) ప్రతికూల సంఖ్య అయితే, \(|a|=-a\) .
ఉదాహరణ: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం మాడ్యులస్ మైనస్‌ను "తింటుంది", అయితే ధనాత్మక సంఖ్యలు, అలాగే సంఖ్య \(0\) మాడ్యులస్ ద్వారా మారకుండా ఉంటాయి.
కానీఈ నియమం సంఖ్యలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. మీ మాడ్యులస్ గుర్తు కింద తెలియని \(x\) (లేదా ఏదైనా ఇతర తెలియని) ఉంటే, ఉదాహరణకు, \(|x|\) , దాని గురించి అది సానుకూలమా, సున్నా లేదా ప్రతికూలమా అని మాకు తెలియదు, అప్పుడు వదిలించుకోండి మాడ్యులస్ మేము చేయలేము. ఈ సందర్భంలో, ఈ వ్యక్తీకరణ అలాగే ఉంటుంది: \(|x|\) . \(\బుల్లెట్\) కింది సూత్రాలు కలిగి ఉంటాయి: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( అందించిన ) a\geqslant 0\]చాలా తరచుగా కింది పొరపాటు జరుగుతుంది: \(\sqrt(a^2)\) మరియు \((\sqrt a)^2\) ఒకటే అని వారు చెబుతారు. \(a\) ధనాత్మక సంఖ్య లేదా సున్నా అయితే మాత్రమే ఇది నిజం. అయితే \(a\) ప్రతికూల సంఖ్య అయితే, ఇది తప్పు. ఈ ఉదాహరణను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే సరిపోతుంది. \(a\) సంఖ్య \(-1\) బదులుగా తీసుకుందాం. అప్పుడు \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , కానీ \((\sqrt (-1))^2\) అనే వ్యక్తీకరణ అస్సలు ఉండదు (అన్ని తరువాత, ప్రతికూల సంఖ్యల పుట్ మూల గుర్తును ఉపయోగించడం అసాధ్యం!).
కాబట్టి, \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) కు సమానం కాదని మేము మీ దృష్టిని ఆకర్షిస్తాము !ఉదాహరణ: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), ఎందుకంటే \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\బుల్లెట్\) నుండి \(\sqrt(a^2)=|a|\) , ఆపై \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) అనే వ్యక్తీకరణ సరి సంఖ్యను సూచిస్తుంది)
అంటే, కొంత వరకు ఉన్న సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకున్నప్పుడు, ఈ డిగ్రీ సగానికి తగ్గించబడుతుంది.
ఉదాహరణ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (మాడ్యూల్ సరఫరా చేయకుంటే, సంఖ్య యొక్క మూలం \(-25\కి సమానంగా ఉంటుందని గమనించండి. ) ; కానీ రూట్ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం ఇది జరగదని మేము గుర్తుంచుకోవాలి: రూట్‌ను సంగ్రహిస్తున్నప్పుడు, మనం ఎల్లప్పుడూ సానుకూల సంఖ్య లేదా సున్నాని పొందాలి)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (సరి శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ప్రతికూలం కాదు కాబట్టి)
వాస్తవం 6.
రెండు వర్గమూలాలను ఎలా పోల్చాలి?
\(\బుల్లెట్\) వర్గమూలాలకు ఇది నిజం: \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) సరిపోల్చండి \(\sqrt(50)\) మరియు \(6\sqrt2\) . మొదట, రెండవ వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ఆ విధంగా, \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) \(\sqrt(50)\) ఏ పూర్ణాంకాల మధ్య ఉంది?
నుండి \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , మరియు \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) \(\sqrt 2-1\) మరియు \(0.5\) లను సరిపోల్చండి. \(\sqrt2-1>0.5\) అని అనుకుందాం: \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((రెండు వైపులా ఒకదానిని జోడించు))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం)\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\]మేము తప్పు అసమానతను పొందినట్లు చూస్తాము. కాబట్టి, మా ఊహ తప్పు మరియు \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
అసమానత యొక్క రెండు వైపులా నిర్దిష్ట సంఖ్యను జోడించడం దాని గుర్తును ప్రభావితం చేయదని గమనించండి. అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూల సంఖ్యతో గుణించడం/భాగించడం కూడా దాని చిహ్నాన్ని ప్రభావితం చేయదు, కానీ ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించడం/భాగించడం అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని తిప్పికొడుతుంది!
మీరు సమీకరణం/అసమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయవచ్చు, రెండు వైపులా ప్రతికూలంగా ఉంటే మాత్రమే. ఉదాహరణకు, మునుపటి ఉదాహరణ నుండి అసమానతలో మీరు అసమానతలో రెండు వైపులా వర్గీకరించవచ్చు \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\బుల్లెట్\) ఇది గుర్తుంచుకోవాలి =\ఈ సంఖ్యల యొక్క ఉజ్జాయింపు అర్థాన్ని తెలుసుకోవడం సంఖ్యలను పోల్చినప్పుడు మీకు సహాయం చేస్తుంది! \(\బుల్లెట్\) చతురస్రాల పట్టికలో లేని కొన్ని పెద్ద సంఖ్య నుండి మూలాన్ని (అది సంగ్రహించగలిగితే) సంగ్రహించడానికి, మీరు మొదట అది ఏ “వందల” మధ్య ఉందో, ఆపై – దేని మధ్య ఉందో నిర్ణయించాలి. పదులు", ఆపై ఈ సంఖ్య యొక్క చివరి అంకెను నిర్ణయించండి. ఇది ఎలా పని చేస్తుందో ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.
\(\sqrt(28224)\) తీసుకుందాం. మాకు తెలుసు \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), మొదలైనవి. \(28224\) \(10\,000\) మరియు \(40\,000\) . కాబట్టి, \(\sqrt(28224)\) \(100\) మరియు \(200\) .
ఇప్పుడు మన సంఖ్య ఏ “పదుల” మధ్య ఉందో (ఉదాహరణకు, \(120\) మరియు \(130\) మధ్య ఉందో తెలుసుకుందాం. అలాగే చతురస్రాల పట్టిక నుండి మనకు \(11^2=121\) , \(12^2=144\) మొదలైనవి, ఆపై \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \) అని తెలుసు. ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . కాబట్టి మేము \(28224\) \(160^2\) మరియు \(170^2\) మధ్య ఉన్నట్లు చూస్తాము. కాబట్టి, \(\sqrt(28224)\) సంఖ్య \(160\) మరియు \(170\) .
చివరి అంకెను గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. స్క్వేర్ చేసినప్పుడు చివరిలో \(4\) ఏ సింగిల్-అంకెల సంఖ్యలు ఇస్తాయో గుర్తుంచుకోండి? అవి \(2^2\) మరియు \(8^2\) . కాబట్టి, \(\sqrt(28224)\) 2 లేదా 8లో ముగుస్తుంది. దీన్ని చూద్దాం. \(162^2\) మరియు \(168^2\)ని కనుగొనండి :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
కాబట్టి, \(\sqrt(28224)=168\) . వోయిలా!
గణితంలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షను తగినంతగా పరిష్కరించడానికి, మీరు మొదట సైద్ధాంతిక విషయాలను అధ్యయనం చేయాలి, ఇది మీకు అనేక సిద్ధాంతాలు, సూత్రాలు, అల్గోరిథంలు మొదలైనవాటిని పరిచయం చేస్తుంది. మొదటి చూపులో, ఇది చాలా సులభం అని అనిపించవచ్చు. ఏదేమైనా, గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సంబంధించిన సిద్ధాంతం ఏ స్థాయి శిక్షణతోనైనా విద్యార్థులకు సులభమైన మరియు అర్థమయ్యే రీతిలో ప్రదర్శించబడే మూలాన్ని కనుగొనడం నిజానికి చాలా కష్టమైన పని. పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలను ఎల్లప్పుడూ చేతిలో ఉంచుకోలేరు. మరియు గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ కోసం ప్రాథమిక సూత్రాలను కనుగొనడం ఇంటర్నెట్‌లో కూడా కష్టం.
యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో పాల్గొనేవారికి మాత్రమే కాకుండా గణితంలో సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయడం ఎందుకు చాలా ముఖ్యం?
- ఎందుకంటే ఇది మీ పరిధులను విస్తృతం చేస్తుంది. గణితంలో సైద్ధాంతిక విషయాలను అధ్యయనం చేయడం అనేది తమ చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచం యొక్క జ్ఞానానికి సంబంధించిన అనేక రకాల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు పొందాలనుకునే ఎవరికైనా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ప్రకృతిలో ప్రతిదీ ఆదేశించబడింది మరియు స్పష్టమైన తర్కం ఉంది. ఇది ఖచ్చితంగా సైన్స్‌లో ప్రతిబింబిస్తుంది, దీని ద్వారా ప్రపంచాన్ని అర్థం చేసుకోవడం సాధ్యమవుతుంది.
- ఎందుకంటే ఇది మేధస్సును అభివృద్ధి చేస్తుంది. గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ కోసం రిఫరెన్స్ మెటీరియల్‌లను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, అలాగే వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా, ఒక వ్యక్తి ఆలోచించడం మరియు తార్కికంగా తర్కించడం, ఆలోచనలను సమర్థవంతంగా మరియు స్పష్టంగా రూపొందించడం నేర్చుకుంటాడు. అతను విశ్లేషించడానికి, సాధారణీకరించడానికి మరియు తీర్మానాలను రూపొందించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేస్తాడు.
విద్యా సామగ్రిని క్రమబద్ధీకరించడానికి మరియు ప్రదర్శించడానికి మా విధానం యొక్క అన్ని ప్రయోజనాలను వ్యక్తిగతంగా అంచనా వేయడానికి మేము మిమ్మల్ని ఆహ్వానిస్తున్నాము.
అతని మొదటి ఎడిషన్, "ఇన్ ది కింగ్‌డమ్ ఆఫ్ ఇంజెన్యూటీ" (1908)కి ముందుమాటలో, E. I. ఇగ్నటీవ్ ఇలా వ్రాశాడు: "... మేధో చొరవ, శీఘ్ర తెలివి మరియు "చాతుర్యం" ఎవరి తలపైకి "డ్రిల్ చేయడం" లేదా "పుట్" చేయడం సాధ్యం కాదు. సాధారణ మరియు రోజువారీ పరిస్థితుల నుండి వస్తువులు మరియు ఉదాహరణలను ఉపయోగించి, తగిన తెలివి మరియు వినోదంతో ఎంపిక చేసుకున్న గణిత శాస్త్ర విజ్ఞాన రంగానికి పరిచయాన్ని సులభమైన మరియు ఆహ్లాదకరమైన రీతిలో రూపొందించినప్పుడు మాత్రమే ఫలితాలు నమ్మదగినవి.
1911 ఎడిషన్ ముందుమాటలో "గణితంలో జ్ఞాపకశక్తి పాత్ర" E.I. ఇగ్నతీవ్ ఇలా వ్రాశాడు "... గణితంలో గుర్తుంచుకోవలసినది సూత్రాలు కాదు, ఆలోచనా ప్రక్రియ."
వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, రెండు-అంకెల సంఖ్యల కోసం చతురస్రాల పట్టికలు ఉన్నాయి; మీరు సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయవచ్చు మరియు ఉత్పత్తి యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించవచ్చు. చతురస్రాల పట్టిక కొన్నిసార్లు సరిపోదు; కారకం ద్వారా మూలాన్ని సంగ్రహించడం చాలా సమయం తీసుకునే పని, ఇది ఎల్లప్పుడూ ఆశించిన ఫలితానికి దారితీయదు. 209764 వర్గమూలాన్ని తీసుకోవడానికి ప్రయత్నించాలా? ప్రధాన కారకాలకు కారకం ఉత్పత్తికి 2*2*52441 ఇస్తుంది. ట్రయల్ మరియు ఎర్రర్ ద్వారా, ఎంపిక - ఇది పూర్ణాంకం అని మీకు ఖచ్చితంగా తెలిస్తే ఇది చేయవచ్చు. నేను ప్రతిపాదించాలనుకుంటున్న పద్ధతి మీరు ఏ సందర్భంలోనైనా వర్గమూలాన్ని తీసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది.
ఒకప్పుడు ఇన్స్టిట్యూట్ (పెర్మ్ స్టేట్ పెడగోగికల్ ఇన్స్టిట్యూట్) లో మేము ఈ పద్ధతిని పరిచయం చేసాము, నేను ఇప్పుడు మాట్లాడాలనుకుంటున్నాను. ఈ పద్ధతికి రుజువు ఉందా లేదా అని నేను ఎప్పుడూ ఆలోచించలేదు, కాబట్టి ఇప్పుడు నేను కొన్ని రుజువులను నేనే తగ్గించవలసి వచ్చింది.
ఈ పద్ధతి యొక్క ఆధారం సంఖ్య = యొక్క కూర్పు.
=&, అనగా. & 2 =596334.
1. సంఖ్యను (5963364) కుడి నుండి ఎడమకు జంటలుగా విభజించండి (5`96`33`64)
2. ఎడమ వైపున ఉన్న మొదటి సమూహం యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించండి (- సంఖ్య 2). ఈ విధంగా మనం & యొక్క మొదటి అంకెను పొందుతాము.
3. మొదటి అంకె యొక్క వర్గాన్ని కనుగొనండి (2 2 =4).
4. మొదటి సమూహం మరియు మొదటి అంకె (5-4=1) వర్గానికి మధ్య వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి.
5. మేము తదుపరి రెండు అంకెలను తీసివేస్తాము (మనకు 196 సంఖ్య వస్తుంది).
6. మనం కనుగొన్న మొదటి అంకెను రెట్టింపు చేసి, దానిని పంక్తి వెనుక ఎడమ వైపున వ్రాయండి (2*2=4).
7. ఇప్పుడు మనం సంఖ్య యొక్క రెండవ అంకె &: మనం కనుగొన్న మొదటి అంకె రెండింతలు సంఖ్య యొక్క పదుల అంకె అవుతుంది, దీనిని యూనిట్ల సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు, మీరు 196 కంటే తక్కువ సంఖ్యను పొందాలి (ఇది సంఖ్య 4, 44*4=176). 4 & యొక్క రెండవ అంకె.
8. వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి (196-176=20).
9. మేము తదుపరి సమూహాన్ని కూల్చివేస్తాము (మనకు 2033 సంఖ్య వస్తుంది).
10. 24 సంఖ్యను రెట్టింపు చేస్తే, మనకు 48 వస్తుంది.
ఒక సంఖ్యలో 11.48 పదులు ఉన్నాయి, వాటిని వాటి సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు, మనకు 2033 (484*4=1936) కంటే తక్కువ సంఖ్య వస్తుంది. మేము కనుగొన్న ఒక అంకె (4) సంఖ్య & యొక్క మూడవ అంకె.
నేను ఈ క్రింది కేసులకు రుజువు ఇచ్చాను:
1. మూడు అంకెల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడం;
2. నాలుగు అంకెల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడం.
వర్గమూలాలను సంగ్రహించడానికి సుమారు పద్ధతులు (కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించకుండా).
1. పురాతన బాబిలోనియన్లు వారి సంఖ్య x యొక్క వర్గమూలం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను కనుగొనడానికి క్రింది పద్ధతిని ఉపయోగించారు. వారు x సంఖ్యను మొత్తం a 2 + bగా సూచిస్తారు, ఇక్కడ a 2 అనేది x సంఖ్యకు దగ్గరగా ఉన్న సహజ సంఖ్య a (a 2 ? x) యొక్క ఖచ్చితమైన వర్గాన్ని సూచిస్తుంది మరియు సూత్రాన్ని ఉపయోగించింది. 
. (1)
ఫార్ములా (1) ఉపయోగించి, మేము వర్గమూలాన్ని సంగ్రహిస్తాము, ఉదాహరణకు, సంఖ్య 28 నుండి:
MKని ఉపయోగించి 28 యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించిన ఫలితం 5.2915026.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, బాబిలోనియన్ పద్ధతి రూట్ యొక్క ఖచ్చితమైన విలువకు మంచి ఉజ్జాయింపును ఇస్తుంది.
2. ఐజాక్ న్యూటన్ అలెగ్జాండ్రియా యొక్క హెరాన్ (సిర్కా 100 AD) నాటి వర్గమూలాలను తీసుకోవడానికి ఒక పద్ధతిని అభివృద్ధి చేశాడు. ఈ పద్ధతి (న్యూటన్ పద్ధతి అని పిలుస్తారు) క్రింది విధంగా ఉంది.
వీలు a 1- సంఖ్య యొక్క మొదటి ఉజ్జాయింపు (ఒక 1గా మీరు సహజ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం యొక్క విలువలను తీసుకోవచ్చు - ఖచ్చితమైన స్క్వేర్ మించకూడదు X) .
తరువాత, మరింత ఖచ్చితమైన ఉజ్జాయింపు ఒక 2సంఖ్యలు
సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడింది 
.
చాలా తరచుగా, సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, మనం సేకరించాల్సిన పెద్ద సంఖ్యలో మనం ఎదుర్కొంటాము వర్గమూలం. చాలా మంది విద్యార్థులు ఇది పొరపాటు అని నిర్ణయించుకుంటారు మరియు మొత్తం ఉదాహరణను తిరిగి పరిష్కరించడం ప్రారంభిస్తారు. ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ మీరు దీన్ని చేయకూడదు! దీనికి రెండు కారణాలు ఉన్నాయి:
- పెద్ద సంఖ్యలో మూలాలు సమస్యలలో కనిపిస్తాయి. ముఖ్యంగా టెక్స్ట్ వాటిలో;
- ఈ మూలాలను దాదాపు మౌఖికంగా లెక్కించే ఒక అల్గోరిథం ఉంది.
మేము ఈ రోజు ఈ అల్గోరిథంను పరిశీలిస్తాము. బహుశా కొన్ని విషయాలు మీకు అపారమయినవిగా అనిపించవచ్చు. కానీ మీరు ఈ పాఠంపై శ్రద్ధ వహిస్తే, మీరు వ్యతిరేకంగా శక్తివంతమైన ఆయుధాన్ని అందుకుంటారు వర్గమూలాలు.
కాబట్టి, అల్గోరిథం:
- పైన మరియు దిగువన అవసరమైన మూలాన్ని 10 యొక్క గుణిజాలుగా ఉండే సంఖ్యలకు పరిమితం చేయండి. అందువలన, మేము శోధన పరిధిని 10 సంఖ్యలకు తగ్గిస్తాము;
- ఈ 10 సంఖ్యల నుండి, ఖచ్చితంగా మూలాలు కాలేని వాటిని తొలగించండి. ఫలితంగా, 1-2 సంఖ్యలు మిగిలి ఉంటాయి;
- ఈ 1-2 సంఖ్యలను వర్గీకరించండి. అసలు సంఖ్యకు సమానమైన వర్గమే మూలం అవుతుంది.
ఈ అల్గారిథమ్‌ను ఆచరణలో పెట్టడానికి ముందు, ఒక్కొక్క దశను చూద్దాం.
రూట్ పరిమితి
అన్నింటిలో మొదటిది, మన రూట్ ఏ సంఖ్యల మధ్య ఉందో మనం కనుగొనాలి. సంఖ్యలు పదికి గుణిజాలుగా ఉండటం చాలా అవసరం:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
మేము సంఖ్యల శ్రేణిని పొందుతాము:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
ఈ సంఖ్యలు మనకు ఏమి చెబుతున్నాయి? ఇది సులభం: మేము సరిహద్దులను పొందుతాము. ఉదాహరణకు, 1296 సంఖ్యను తీసుకోండి. ఇది 900 మరియు 1600 మధ్య ఉంటుంది. కాబట్టి, దాని మూలం 30 కంటే తక్కువ మరియు 40 కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు:
[చిత్రానికి శీర్షిక]
మీరు వర్గమూలాన్ని కనుగొనగలిగే ఇతర సంఖ్యలకు కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకు, 3364:
[చిత్రానికి శీర్షిక]అందువల్ల, అపారమయిన సంఖ్యకు బదులుగా, అసలు మూలం ఉన్న నిర్దిష్ట పరిధిని మనం పొందుతాము. శోధన ప్రాంతాన్ని మరింత తగ్గించడానికి, రెండవ దశకు వెళ్లండి.
స్పష్టంగా అనవసరమైన సంఖ్యలను తొలగించడం
కాబట్టి, మనకు 10 సంఖ్యలు ఉన్నాయి - రూట్ కోసం అభ్యర్థులు. మేము వాటిని చాలా త్వరగా పొందాము, క్లిష్టమైన ఆలోచన మరియు నిలువు వరుసలో గుణకారం లేకుండా. ఇప్పుడు ఇది బయలుదేరే సమయము.
నమ్మండి లేదా నమ్మండి, మేము ఇప్పుడు అభ్యర్థుల సంఖ్యల సంఖ్యను రెండుకి తగ్గిస్తాము - మళ్లీ ఎలాంటి సంక్లిష్టమైన లెక్కలు లేకుండా! స్పెషల్ రూల్ తెలిస్తే చాలు. ఇది ఇక్కడ ఉంది:
స్క్వేర్ యొక్క చివరి అంకె చివరి అంకెపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది అసలు సంఖ్య.
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్క్వేర్ యొక్క చివరి అంకెను చూడండి మరియు అసలు సంఖ్య ఎక్కడ ముగుస్తుందో మనకు వెంటనే అర్థం అవుతుంది.
చివరి స్థానంలో కేవలం 10 అంకెలు మాత్రమే రావచ్చు. స్క్వేర్ చేసినప్పుడు అవి ఎలా మారతాయో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం. పట్టికను పరిశీలించండి:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
ఈ పట్టిక రూట్‌ను లెక్కించడానికి మరొక దశ. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, రెండవ పంక్తిలోని సంఖ్యలు ఐదుకి సంబంధించి సుష్టంగా మారాయి. ఉదాహరణకి:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, రెండు సందర్భాల్లోనూ చివరి అంకె ఒకేలా ఉంటుంది. దీనర్థం, ఉదాహరణకు, 3364 యొక్క మూలం తప్పనిసరిగా 2 లేదా 8తో ముగియాలి. మరోవైపు, మునుపటి పేరా నుండి పరిమితిని మేము గుర్తుంచుకుంటాము. మాకు దొరికింది:
[చిత్రానికి శీర్షిక] ఈ సంఖ్య మనకు ఇంకా తెలియదని ఎరుపు చతురస్రాలు సూచిస్తున్నాయి. కానీ మూలం 50 నుండి 60 వరకు ఉంటుంది, దీనిలో 2 మరియు 8తో ముగిసే రెండు సంఖ్యలు మాత్రమే ఉన్నాయి:
[చిత్రానికి శీర్షిక]అంతే! సాధ్యమయ్యే అన్ని మూలాలలో, మేము రెండు ఎంపికలను మాత్రమే వదిలివేసాము! మరియు ఇది చాలా కష్టమైన సందర్భంలో ఉంది, ఎందుకంటే చివరి అంకె 5 లేదా 0 కావచ్చు. ఆపై మూలాలకు ఒక అభ్యర్థి మాత్రమే ఉంటారు!
చివరి లెక్కలు
కాబట్టి, మాకు 2 అభ్యర్థుల సంఖ్యలు మిగిలి ఉన్నాయి. ఏది రూట్ అని మీకు ఎలా తెలుస్తుంది? సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది: రెండు సంఖ్యలను వర్గీకరించండి. అసలు సంఖ్యను స్క్వేర్ చేసినది రూట్ అవుతుంది.
ఉదాహరణకు, 3364 సంఖ్య కోసం మేము రెండు అభ్యర్థుల సంఖ్యలను కనుగొన్నాము: 52 మరియు 58. వాటిని స్క్వేర్ చేద్దాం:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.
అంతే! రూట్ 58 అని తేలింది! అదే సమయంలో, గణనలను సరళీకృతం చేయడానికి, నేను మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క వర్గాలకు సూత్రాన్ని ఉపయోగించాను. దీనికి ధన్యవాదాలు, నేను సంఖ్యలను నిలువు వరుసలో గుణించాల్సిన అవసరం లేదు! ఇది గణన ఆప్టిమైజేషన్ యొక్క మరొక స్థాయి, అయితే, ఇది పూర్తిగా ఐచ్ఛికం :)
మూలాలను లెక్కించడానికి ఉదాహరణలు
సిద్ధాంతం, వాస్తవానికి, మంచిది. కానీ ఆచరణలో దాన్ని తనిఖీ చేద్దాం.
[చిత్రానికి శీర్షిక]
ముందుగా, 576 సంఖ్య ఏ సంఖ్యల మధ్య ఉందో తెలుసుకుందాం:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
ఇప్పుడు చివరి సంఖ్యను చూద్దాం. ఇది 6కి సమానం. ఇది ఎప్పుడు జరుగుతుంది? రూట్ 4 లేదా 6తో ముగిస్తే మాత్రమే. మనకు రెండు సంఖ్యలు వస్తాయి:
ప్రతి సంఖ్యను వర్గీకరించడం మరియు అసలు దానితో పోల్చడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
గొప్ప! మొదటి చతురస్రం అసలు సంఖ్యకు సమానంగా ఉన్నట్లు తేలింది. కాబట్టి ఇది మూలం.
టాస్క్. వర్గమూలాన్ని లెక్కించండి:
[చిత్రానికి శీర్షిక]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
చివరి అంకెను చూద్దాం:
1369 → 9;
33; 37.
స్క్వేర్ చేయండి:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.
ఇక్కడ సమాధానం ఉంది: 37.
టాస్క్. వర్గమూలాన్ని లెక్కించండి:
[చిత్రానికి శీర్షిక]
మేము సంఖ్యను పరిమితం చేస్తాము:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
చివరి అంకెను చూద్దాం:
2704 → 4;
52; 58.
స్క్వేర్ చేయండి:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 52. రెండవ సంఖ్య ఇకపై స్క్వేర్ చేయవలసిన అవసరం లేదు.
టాస్క్. వర్గమూలాన్ని లెక్కించండి:
[చిత్రానికి శీర్షిక]
మేము సంఖ్యను పరిమితం చేస్తాము:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
చివరి అంకెను చూద్దాం:
4225 → 5;
65.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, రెండవ దశ తర్వాత ఒక ఎంపిక మాత్రమే మిగిలి ఉంది: 65. ఇది కావలసిన రూట్. అయితే దాన్ని ఇంకా స్క్వేర్ చేసి తనిఖీ చేద్దాం:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
అంతా సరైనదే. మేము సమాధానం వ్రాస్తాము.
ముగింపు
అయ్యో, మంచిది కాదు. కారణాలను పరిశీలిద్దాం. వాటిలో రెండు ఉన్నాయి:
- ఏదైనా సాధారణ గణిత పరీక్షలో, అది స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ లేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ అయినా, కాలిక్యులేటర్లను ఉపయోగించడం నిషేధించబడింది. మరియు మీరు కాలిక్యులేటర్‌ని తరగతిలోకి తీసుకువస్తే, మీరు పరీక్ష నుండి సులభంగా తొలగించబడవచ్చు.
- తెలివితక్కువ అమెరికన్లలా ఉండకండి. మూలాలు లాంటివి కావు - అవి రెండు ప్రధాన సంఖ్యలను జోడించలేవు. మరియు వారు భిన్నాలను చూసినప్పుడు, వారు సాధారణంగా హిస్టీరికల్ అవుతారు.