సమీకరణాలు cos x a. ఇతర త్రికోణమితి ఫంక్షన్లకు సంబంధం

క్రీస్తుపూర్వం ఐదవ శతాబ్దంలో, పురాతన గ్రీకు తత్వవేత్త జెనో ఆఫ్ ఎలియా తన ప్రసిద్ధ అపోరియాలను రూపొందించాడు, వీటిలో అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది "అకిలెస్ మరియు టార్టాయిస్" అపోరియా. ఇది ఎలా అనిపిస్తుందో ఇక్కడ ఉంది:

అకిలెస్ తాబేలు కంటే పది రెట్లు వేగంగా పరిగెడుతుంది మరియు దాని వెనుక వెయ్యి అడుగులు ఉన్నాడనుకుందాం. ఈ దూరం పరుగెత్తడానికి అకిలెస్ పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. అకిలెస్ వంద అడుగులు పరిగెత్తినప్పుడు, తాబేలు మరో పది అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఈ ప్రక్రియ అనంతంగా కొనసాగుతుంది, అకిలెస్ తాబేలును ఎప్పటికీ పట్టుకోడు.

ఈ తార్కికం అన్ని తరువాతి తరాలకు తార్కిక షాక్‌గా మారింది. అరిస్టాటిల్, డయోజినెస్, కాంట్, హెగెల్, హిల్బర్ట్... వీళ్లంతా ఏదో ఒక విధంగా జెనో అపోరియాగా భావించారు. షాక్ చాలా బలంగా ఉంది " ... వైరుధ్యాల సారాంశం గురించి ఉమ్మడి అభిప్రాయాన్ని చేరుకోవడానికి చర్చలు నేటికీ కొనసాగుతున్నాయి శాస్త్రీయ సంఘంఇప్పటివరకు అది సాధ్యం కాలేదు... మేము సమస్య అధ్యయనంలో పాల్గొన్నాము గణిత విశ్లేషణ, సెట్ సిద్ధాంతం, కొత్త భౌతిక మరియు తాత్విక విధానాలు; వాటిలో ఏదీ సమస్యకు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన పరిష్కారం కాదు..."[వికీపీడియా, "జెనోస్ అపోరియా". ప్రతి ఒక్కరూ తాము మోసపోతున్నారని అర్థం చేసుకుంటారు, కానీ మోసం ఏమిటో ఎవరికీ అర్థం కాలేదు.

గణిత శాస్త్ర దృక్కోణం నుండి, జెనో తన అపోరియాలో పరిమాణం నుండి కు మారడాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శించాడు. ఈ పరివర్తన శాశ్వత వాటికి బదులుగా అనువర్తనాన్ని సూచిస్తుంది. నాకు అర్థమైనంత వరకు, గణిత ఉపకరణంకొలత యొక్క వేరియబుల్ యూనిట్ల ఉపయోగం ఇంకా అభివృద్ధి చేయబడలేదు లేదా Zeno యొక్క అపోరియాకు వర్తించబడలేదు. మన సాధారణ తర్కాన్ని వర్తింపజేయడం మనల్ని ఒక ఉచ్చులోకి నడిపిస్తుంది. మేము, ఆలోచన యొక్క జడత్వం కారణంగా, పరస్పర విలువకు సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లను వర్తింపజేస్తాము. తో భౌతిక పాయింట్దృక్కోణంలో, అకిలెస్ తాబేలుతో పట్టుకున్న సమయంలో పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు సమయం మందగించినట్లు కనిపిస్తోంది. సమయం ఆగిపోతే, అకిలెస్ ఇకపై తాబేలును అధిగమించలేరు.

మేము మా సాధారణ తర్కాన్ని తిప్పితే, ప్రతిదీ స్థానంలోకి వస్తుంది. అకిలెస్ తో నడుస్తుంది స్థిరమైన వేగం. అతని మార్గంలోని ప్రతి తదుపరి విభాగం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, దానిని అధిగమించడానికి గడిపిన సమయం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువ. ఈ పరిస్థితిలో మనం “అనంతం” అనే భావనను వర్తింపజేస్తే, “అకిలెస్ తాబేలును అనంతంగా త్వరగా పట్టుకుంటాడు” అని చెప్పడం సరైనది.

ఈ తార్కిక ఉచ్చును ఎలా నివారించాలి? ఉండడానికి స్థిరమైన యూనిట్లుసమయం యొక్క కొలతలు మరియు పరస్పర పరిమాణాలకు వెళ్లవద్దు. జెనో భాషలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

అకిలెస్ వేయి అడుగులు పరిగెత్తడానికి పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. తదుపరి సమయం విరామం కోసం, మొదటిదానికి సమానం, అకిలెస్ మరో వెయ్యి మెట్లు పరుగెత్తుతుంది, తాబేలు వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు అకిలెస్ తాబేలు కంటే ఎనిమిది వందల అడుగులు ముందున్నాడు.

ఈ విధానం ఎటువంటి తార్కిక వైరుధ్యాలు లేకుండా వాస్తవికతను తగినంతగా వివరిస్తుంది. కానీ అది కాదు పూర్తి పరిష్కారంసమస్యలు. కాంతి వేగం యొక్క ఇర్రెసిస్టిబిలిటీ గురించి ఐన్స్టీన్ యొక్క ప్రకటన జెనో యొక్క అపోరియా "అకిలెస్ అండ్ ది టార్టాయిస్" కు చాలా పోలి ఉంటుంది. మనం ఇంకా ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేయాలి, పునరాలోచించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. మరియు పరిష్కారం అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో కాదు, కానీ కొలత యూనిట్లలో వెతకాలి.

జెనో యొక్క మరొక ఆసక్తికరమైన అపోరియా ఎగిరే బాణం గురించి చెబుతుంది:

ఎగిరే బాణం కదలకుండా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ప్రతి క్షణం అది విశ్రాంతిగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి క్షణం విశ్రాంతిగా ఉంటుంది కాబట్టి, అది ఎల్లప్పుడూ విశ్రాంతిగా ఉంటుంది.

ఈ అపోరియాలో, తార్కిక పారడాక్స్ చాలా సరళంగా అధిగమించబడుతుంది - ప్రతి క్షణంలో ఎగిరే బాణం అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద విశ్రాంతిగా ఉందని స్పష్టం చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది వాస్తవానికి చలనం. ఇక్కడ మరో విషయం గమనించాలి. రహదారిపై ఉన్న కారు యొక్క ఒక ఛాయాచిత్రం నుండి దాని కదలిక యొక్క వాస్తవాన్ని లేదా దానికి దూరాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం. కారు కదులుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీకు ఒకే పాయింట్ నుండి తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం విభిన్న క్షణాలుసమయం, కానీ వాటి నుండి దూరం నిర్ణయించబడదు. కారుకు దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం వివిధ పాయింట్లుఒక సమయంలో స్థలం, కానీ వాటి నుండి కదలిక వాస్తవాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం (సహజంగా, గణనల కోసం అదనపు డేటా ఇంకా అవసరం, త్రికోణమితి మీకు సహాయం చేస్తుంది). నేను ఏమి ఎత్తి చూపాలనుకుంటున్నాను ప్రత్యేక శ్రద్ధ, సమయం లో రెండు పాయింట్లు మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు గందరగోళానికి గురికాకూడదు, ఎందుకంటే అవి పరిశోధనకు విభిన్న అవకాశాలను అందిస్తాయి.

బుధవారం, జూలై 4, 2018

సెట్ మరియు మల్టీసెట్ మధ్య తేడాలు వికీపీడియాలో బాగా వివరించబడ్డాయి. చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, “సమితిలో రెండు సారూప్య మూలకాలు ఉండకూడదు,” కానీ ఒక సెట్‌లో ఒకేలా మూలకాలు ఉంటే, అటువంటి సమితిని “మల్టీసెట్” అంటారు. సహేతుకమైన జీవులు ఇలాంటి అసంబద్ధ తర్కాన్ని ఎప్పటికీ అర్థం చేసుకోలేరు. ఇది స్థాయి మాట్లాడే చిలుకలుమరియు శిక్షణ పొందిన కోతులు, "పూర్తిగా" అనే పదం నుండి తెలివితేటలు లేవు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు సాధారణ శిక్షకులుగా వ్యవహరిస్తారు, వారి అసంబద్ధమైన ఆలోచనలను మాకు బోధిస్తారు.

ఒకప్పుడు బ్రిడ్జిని టెస్టింగ్ చేస్తున్నప్పుడు బ్రిడ్జిని నిర్మించిన ఇంజనీర్లు బ్రిడ్జి కింద బోటులో ఉన్నారు. వంతెన కూలిపోతే, సాధారణ ఇంజనీర్ తన సృష్టి శిథిలాల కింద మరణించాడు. వంతెన భారాన్ని తట్టుకోగలిగితే, ప్రతిభావంతులైన ఇంజనీర్ ఇతర వంతెనలను నిర్మించారు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు “స్క్రూ మి, ఐ యామ్ ఇన్ హౌస్” లేదా “గణిత అధ్యయనాల వెనుక ఎలా దాచినా నైరూప్య భావనలు", వాటిని వాస్తవికతతో విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించే బొడ్డు తాడు ఒకటి ఉంది. ఈ బొడ్డు తాడు డబ్బు. వర్తించు గణిత సిద్ధాంతంగణిత శాస్త్రజ్ఞులకే సెట్ చేస్తుంది.

గణితం బాగా చదివి ఇప్పుడు జీతాలు ఇస్తూ క్యాష్ రిజిస్టర్ దగ్గర కూర్చున్నాం. కాబట్టి ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు తన డబ్బు కోసం మన దగ్గరకు వస్తాడు. మేము అతనికి మొత్తం మొత్తాన్ని లెక్కించి, మా టేబుల్‌పై వేర్వేరు పైల్స్‌లో వేస్తాము, అందులో మేము అదే విలువ కలిగిన బిల్లులను ఉంచాము. అప్పుడు మేము ఒక్కో స్టాక్ నుండి ఒక బిల్లు తీసుకొని గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి అందజేస్తాము" గణిత సమితిజీతాలు." ఒకేలా మూలకాలు లేని సమితి ఒకే మూలకాలతో కూడిన సెట్‌తో సమానం కాదని అతను నిరూపించినప్పుడు మాత్రమే అతను మిగిలిన బిల్లులను స్వీకరిస్తాడని మేము గణితశాస్త్రానికి వివరిస్తాము. ఇక్కడే సరదా ప్రారంభమవుతుంది.

అన్నింటిలో మొదటిది, సహాయకుల తర్కం పని చేస్తుంది: "ఇది ఇతరులకు వర్తించవచ్చు, కానీ నాకు కాదు!" అప్పుడు వారు ఒకే డినామినేషన్‌కు చెందిన బిల్లులు వేర్వేరు బిల్లు నంబర్‌లను కలిగి ఉన్నాయని, అంటే వాటిని ఒకే మూలకాలుగా పరిగణించలేమని వారు మాకు భరోసా ఇవ్వడం ప్రారంభిస్తారు. సరే, జీతాలను నాణేలలో లెక్కిద్దాం - నాణేలపై సంఖ్యలు లేవు. ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భౌతిక శాస్త్రాన్ని పిచ్చిగా గుర్తుంచుకోవడం ప్రారంభిస్తాడు: వివిధ నాణేలపై ఉంది వివిధ పరిమాణాలుమట్టి, క్రిస్టల్ నిర్మాణంమరియు ప్రతి నాణెంలోని పరమాణువుల అమరిక ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది...

మరియు ఇప్పుడు నాకు చాలా ఉన్నాయి ఆసక్తి అడగండి: మల్టీసెట్ యొక్క మూలకాలు సమితి యొక్క మూలకాలుగా మారే రేఖకు మించిన రేఖ ఎక్కడ ఉంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా? అటువంటి లైన్ ఉనికిలో లేదు - ప్రతిదీ షమన్లచే నిర్ణయించబడుతుంది, సైన్స్ ఇక్కడ అబద్ధం చెప్పడానికి కూడా దగ్గరగా లేదు.

ఇక్కడ చూడండి. మేము అదే మైదాన ప్రాంతంతో ఫుట్‌బాల్ స్టేడియాలను ఎంచుకుంటాము. ఫీల్డ్‌ల ప్రాంతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి - అంటే మనకు మల్టీసెట్ ఉంది. కానీ ఇవే స్టేడియాల పేర్లను పరిశీలిస్తే, పేర్లు వేర్వేరుగా ఉన్నందున, మనకు చాలా లభిస్తాయి. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒకే మూలకాల సమితి ఒక సెట్ మరియు మల్టీసెట్ రెండూ. ఏది సరైనది? మరియు ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు-షమన్-షార్పిస్ట్ తన స్లీవ్ నుండి ట్రంప్‌ల ఏస్‌ను బయటకు తీస్తాడు మరియు ఒక సెట్ లేదా మల్టీసెట్ గురించి మాకు చెప్పడం ప్రారంభిస్తాడు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, అతను సరైనది అని మనల్ని ఒప్పిస్తాడు.

ఆధునిక షమన్లు ​​సెట్ సిద్ధాంతంతో ఎలా పనిచేస్తారో అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని వాస్తవికతతో ముడిపెట్టి, ఒక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తే సరిపోతుంది: ఒక సెట్ యొక్క మూలకాలు మరొక సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? "ఒకే మొత్తంగా ఊహించదగినది కాదు" లేదా "ఒకే మొత్తంగా ఊహించలేనిది" లేకుండా నేను మీకు చూపిస్తాను.

ఆదివారం, మార్చి 18, 2018

సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం టాంబురైన్‌తో షమన్ల నృత్యం, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు. అవును, గణిత పాఠాలలో ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొని దానిని ఉపయోగించడం నేర్పించాము, కానీ అందుకే వారు షమన్లు, వారి వారసులకు వారి నైపుణ్యాలు మరియు జ్ఞానం నేర్పడానికి, లేకుంటే షమన్లు ​​చనిపోతారు.

మీకు రుజువు కావాలా? వికీపీడియాను తెరిచి, "సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం" పేజీని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఆమె ఉనికిలో లేదు. గణితంలో ఏదైనా సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే సూత్రం లేదు. అన్ని తరువాత, సంఖ్యలు గ్రాఫిక్ చిహ్నాలు, మేము సంఖ్యలను వ్రాసే సహాయంతో మరియు గణిత శాస్త్ర భాషలో పని ఇలా ఉంటుంది: "ఏదైనా సంఖ్యను సూచించే గ్రాఫిక్ చిహ్నాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి." గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ సమస్యను పరిష్కరించలేరు, కానీ షామన్లు ​​దీన్ని సులభంగా చేయగలరు.

సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి మనం ఏమి మరియు ఎలా చేయాలో గుర్తించండి ఇచ్చిన సంఖ్య. కాబట్టి, మనము 12345 సంఖ్యను కలిగి ఉన్నాము. ఈ సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఏమి చేయాలి? క్రమంలో అన్ని దశలను పరిశీలిద్దాం.

1. ఒక కాగితంపై సంఖ్యను వ్రాయండి. ఏం చేశాం? మేము సంఖ్యను గ్రాఫికల్ సంఖ్య చిహ్నంగా మార్చాము. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

2. మేము ఒక ఫలిత చిత్రాన్ని వ్యక్తిగత సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న అనేక చిత్రాలలో కట్ చేస్తాము. చిత్రాన్ని కత్తిరించడం గణిత ప్రక్రియ కాదు.

3. వ్యక్తిగత గ్రాఫిక్ చిహ్నాలను సంఖ్యలుగా మార్చండి. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

4. ఫలిత సంఖ్యలను జోడించండి. ఇప్పుడు ఇది గణితం.

12345 సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 15. ఇవి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉపయోగించే షమన్లు ​​బోధించే "కటింగ్ మరియు కుట్టు కోర్సులు". అయితే అదంతా కాదు.

గణిత కోణం నుండి, మనం ఏ సంఖ్య వ్యవస్థలో సంఖ్యను వ్రాస్తామో అది పట్టింపు లేదు. కాబట్టి, లో వివిధ వ్యవస్థలుకాలిక్యులస్‌లో, ఒకే సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. గణితంలో, సంఖ్య వ్యవస్థ సంఖ్యకు కుడివైపున సబ్‌స్క్రిప్ట్‌గా సూచించబడుతుంది. తో పెద్ద సంఖ్యలో 12345 నేను నా తలని మోసం చేయకూడదనుకుంటున్నాను, గురించి కథనం నుండి 26 సంఖ్యను చూద్దాం. ఈ సంఖ్యను బైనరీ, ఆక్టల్, డెసిమల్ మరియు హెక్సాడెసిమల్ నంబర్ సిస్టమ్‌లలో వ్రాద్దాం. మేము మైక్రోస్కోప్ క్రింద ప్రతి అడుగును చూడము; ఫలితాన్ని చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వేర్వేరు సంఖ్య వ్యవస్థలలో ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ ఫలితానికి గణితానికి సంబంధం లేదు. మీరు ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని మీటర్లు మరియు సెంటీమీటర్లలో నిర్ణయించినట్లయితే, మీరు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితాలను పొందుతారు.

సున్నా అన్ని నంబర్ సిస్టమ్‌లలో ఒకేలా కనిపిస్తుంది మరియు అంకెల మొత్తం ఉండదు. ఈ వాస్తవం అనుకూలంగా మరొక వాదన. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రశ్న: గణితంలో సంఖ్య కానిది ఎలా సూచించబడుతుంది? ఏమిటి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు సంఖ్యలు తప్ప మరేమీ లేదు? నేను షామన్ల కోసం దీన్ని అనుమతించగలను, కానీ శాస్త్రవేత్తల కోసం కాదు. వాస్తవికత కేవలం సంఖ్యలకు సంబంధించినది కాదు.

పొందిన ఫలితం సంఖ్య వ్యవస్థలు సంఖ్యల కొలత యూనిట్లు అని రుజువుగా పరిగణించాలి. అన్నింటికంటే, మేము సంఖ్యలను పోల్చలేము వివిధ యూనిట్లుకొలతలు. ఒకే పరిమాణంలోని వివిధ యూనిట్ల కొలతలతో ఒకే చర్యలు వాటిని పోల్చిన తర్వాత వేర్వేరు ఫలితాలకు దారితీస్తే, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు.

అసలు గణితం అంటే ఏమిటి? ఇది ఎప్పుడు ఫలితం గణిత ఆపరేషన్సంఖ్య పరిమాణం, ఉపయోగించిన కొలత యూనిట్ మరియు చర్యను ఎవరు నిర్వహిస్తారనే దానిపై ఆధారపడి ఉండదు.

తలుపు మీద సంతకం చేయండి అతను తలుపు తెరిచి ఇలా అంటాడు:

ఓ! ఇది మహిళల విశ్రాంతి గది కాదా?
- యువతి! ఇది స్వర్గానికి వెళ్లే సమయంలో ఆత్మల యొక్క నిర్వికారమైన పవిత్రతను అధ్యయనం చేయడానికి ఒక ప్రయోగశాల! పైన హాలో మరియు పైకి బాణం. ఏ ఇతర టాయిలెట్?

ఆడది... పైన ఉన్న హాలో మరియు క్రింది బాణం మగ.

అలాంటి డిజైన్ ఆర్ట్ పని రోజుకు చాలాసార్లు మీ కళ్ళ ముందు మెరుస్తూ ఉంటే,

అప్పుడు మీరు మీ కారులో అకస్మాత్తుగా వింత చిహ్నాన్ని కనుగొనడంలో ఆశ్చర్యం లేదు:

వ్యక్తిగతంగా, నేను పూపింగ్ వ్యక్తిలో మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలను చూడడానికి ప్రయత్నిస్తాను (ఒక చిత్రం) (అనేక చిత్రాల కూర్పు: మైనస్ గుర్తు, సంఖ్య నాలుగు, డిగ్రీల హోదా). మరియు ఈ అమ్మాయి తెలివితక్కువదని నేను అనుకోను, లేదు భౌతిక శాస్త్రంలో పరిజ్ఞానం. ఆమె కేవలం అవగాహన యొక్క ఆర్చ్ స్టీరియోటైప్‌ను కలిగి ఉంది గ్రాఫిక్ చిత్రాలు. మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని మనకు ఎప్పటికప్పుడు బోధిస్తారు. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ.

1A అనేది “మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలు” లేదా “ఒకటి a” కాదు. ఇది హెక్సాడెసిమల్ సంజ్ఞామానంలో "పూపింగ్ మ్యాన్" లేదా "ఇరవై ఆరు" సంఖ్య. ఈ నంబర్ సిస్టమ్‌లో నిరంతరం పనిచేసే వ్యక్తులు స్వయంచాలకంగా ఒక సంఖ్య మరియు అక్షరాన్ని ఒక గ్రాఫిక్ చిహ్నంగా గ్రహిస్తారు.

కొసైన్ విలువలు [-1] పరిధిలో ఉన్నాయని మాకు తెలుసు; 1], అనగా. -1 ≤ cos α ≤ 1. కాబట్టి, |a| > 1, అప్పుడు cos x = a సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. ఉదాహరణకు, cos x = -1.5 అనే సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

అనేక సమస్యలను పరిశీలిద్దాం.

cos x = 1/2 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

cos x అనేది 1కి సమానమైన వ్యాసార్థం కలిగిన వృత్తంలోని ఒక బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా అని గుర్తుంచుకోండి, పాయింట్ P (1; 0) ను మూలం చుట్టూ x కోణంతో తిప్పడం ద్వారా పొందబడుతుంది.

అబ్సిస్సా 1/2 సర్కిల్ M 1 మరియు M 2 యొక్క రెండు పాయింట్ల వద్ద ఉంది. 1/2 = cos π/3 నుండి, మేము పాయింట్ P (1; 0) నుండి పాయింట్ M 1ని x 1 = π/3 కోణం ద్వారా తిప్పడం ద్వారా, అలాగే x = π/3 + 2πk కోణాల ద్వారా పొందవచ్చు, ఇక్కడ k = +/-1, +/-2, …

పాయింట్ M 2 పాయింట్ P (1; 0) నుండి x 2 = -π/3 కోణం ద్వారా తిప్పడం ద్వారా, అలాగే -π/3 + 2πk కోణాల ద్వారా పొందబడుతుంది, ఇక్కడ k = +/-1, +/-2 ,...

కాబట్టి అన్ని మూలాలు cos సమీకరణాలు x = 1/2 సూత్రాలను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

సమర్పించబడిన రెండు సూత్రాలను ఒకటిగా కలపవచ్చు:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

cos x = -1/2 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

సర్కిల్ M 1 మరియు M 2 యొక్క రెండు పాయింట్లు - 1/2కి సమానమైన అబ్సిస్సాను కలిగి ఉంటాయి. నుండి -1/2 = cos 2π/3, అప్పుడు కోణం x 1 = 2π/3, అందువలన కోణం x 2 = -2π/3.

తత్ఫలితంగా, cos x = -1/2 సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలను ఫార్ములా ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

అందువలన, ప్రతి సమీకరణాలు cos x = 1/2 మరియు cos x = -1/2 కలిగి ఉంటుంది అనంతమైన సెట్మూలాలు. 0 ≤ x ≤ π విరామంలో, ఈ సమీకరణాలలో ప్రతి ఒక్కటి ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది: x 1 = π/3 అనేది cos x = 1/2 మరియు x 1 = 2π/3 అనేది cos సమీకరణం యొక్క మూలం. x = -1/2.

π/3 సంఖ్యను 1/2 సంఖ్య యొక్క ఆర్కోసిన్ అని పిలుస్తారు మరియు వ్రాయబడింది: ఆర్కోస్ 1/2 = π/3, మరియు 2π/3 సంఖ్యను సంఖ్య (-1/2) యొక్క ఆర్కోసిన్ అని పిలుస్తారు మరియు వ్రాయబడుతుంది : ఆర్కోస్ (-1/2) = 2π/3 .

సాధారణంగా, cos x = a సమీకరణం, ఇక్కడ -1 ≤ a ≤ 1, విరామం 0 ≤ x ≤ πపై ఒకే ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఒక ≥ 0 అయితే, మూలం విరామంలో ఉంటుంది; ఒక ఉంటే< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

అందువలన, సంఖ్య యొక్క ఆర్క్ కొసైన్ a € [-1; 1 ] అనేది €, దీని కొసైన్ ఒకకి సమానం:

arccos а = α, cos α = а మరియు 0 ≤ а ≤ π (1) అయితే.

ఉదాహరణకు, ఆర్కోస్ √3/2 = π/6, కాస్ π/6 = √3/2 మరియు 0 ≤ π/6 ≤ π;
ఆర్కోస్ (-√3/2) = 5π/6, కాస్ 5π/6 = -√3/2 మరియు 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

1 మరియు 2 సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో చేసిన విధంగానే, cos x = a, ఇక్కడ |a| అనే సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలను చూపవచ్చు. ≤ 1, ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది

x = +/-ఆర్కోస్ a + 2 πn, n € Z (2).

cos x = -0.75 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

ఫార్ములా (2)ని ఉపయోగించి మనం x = +/-ఆర్కోస్ (-0.75) + 2 πn, n € Zని కనుగొంటాము.

ప్రొట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించి కోణాన్ని కొలవడం ద్వారా ఆర్కోస్ విలువ (-0.75) సుమారుగా చిత్రంలో కనుగొనవచ్చు. ఆర్క్ కొసైన్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువలను ప్రత్యేక పట్టికలు (బ్రాడిస్ పట్టికలు) లేదా మైక్రోకాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి కూడా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఆర్కోస్ (-0.75) విలువను మైక్రోకాలిక్యులేటర్‌లో లెక్కించవచ్చు. సుమారు విలువ 2.4188583. కాబట్టి, ఆర్కోస్ (-0.75) ≈ 2.42. కాబట్టి, ఆర్కోస్ (-0.75) ≈ 139°.

సమాధానం: ఆర్కోస్ (-0.75) ≈ 139°.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

పరిష్కారం.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.

సమాధానం. x = +/-ఆర్కోస్ 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

ఇది ఏదైనా ఒక € [-1; 1] ఆర్కోస్ (-а) = π – ఆర్కోస్ а (3) సూత్రం చెల్లుతుంది.

ఈ ఫార్ములా ఆర్క్ కొసైన్‌ల విలువలను వ్యక్తీకరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ప్రతికూల సంఖ్యలుఆర్క్ కొసైన్ విలువల ద్వారా సానుకూల సంఖ్యలు. ఉదాహరణకి:

ఆర్కోస్ (-1/2) = π – ఆర్కోస్ 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

ఆర్కోస్ (-√2/2) = π – ఆర్కోస్ √2/2 = π – π/4 = 3π/4

ఫార్ములా (2) నుండి, సమీకరణం యొక్క మూలాలు, cos x = a = 0, a = 1 మరియు a = -1 సరళమైన సూత్రాలను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.

ఉదాహరణలు:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416...\)

వాదన మరియు అర్థం

తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్

తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్కుడి త్రిభుజాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయించవచ్చు - ఇది ప్రక్కనే ఉన్న లెగ్ యొక్క హైపోటెన్యూస్ నిష్పత్తికి సమానం.

ఉదాహరణ :

1) ఒక కోణాన్ని ఇవ్వనివ్వండి మరియు మేము ఈ కోణం యొక్క కొసైన్‌ను గుర్తించాలి.

2) ఈ కోణంలో ఏదైనా లంబ త్రిభుజాన్ని పూర్తి చేద్దాం.

3) అవసరమైన భుజాలను కొలిచిన తరువాత, మేము కొసైన్‌ను లెక్కించవచ్చు.

సంఖ్య యొక్క కొసైన్

సంఖ్యా వృత్తం ఏదైనా సంఖ్య యొక్క కొసైన్‌ని నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, కానీ సాధారణంగా మీరు సంఖ్యల కొసైన్‌ని ఏదో ఒకవిధంగా దీనికి సంబంధించినదిగా కనుగొంటారు: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

ఉదాహరణకు, \(\frac(π)(6)\) సంఖ్య కోసం - కొసైన్ \(\frac(\sqrt(3))(2)\)కి సమానంగా ఉంటుంది. మరియు \(-\)\(\frac(3π)(4)\)కి అది \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (సుమారు \)కి సమానంగా ఉంటుంది (-0 ,71\)).

ఆచరణలో తరచుగా ఎదురయ్యే ఇతర సంఖ్యల కోసం కొసైన్ కోసం, చూడండి.

కొసైన్ విలువ ఎల్లప్పుడూ \(-1\) నుండి \(1\) పరిధిలో ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, కొసైన్ ఖచ్చితంగా ఏదైనా కోణం మరియు సంఖ్య కోసం లెక్కించబడుతుంది.

ఏదైనా కోణం యొక్క కొసైన్

ధన్యవాదాలు సంఖ్య సర్కిల్మీరు కొసైన్‌ని మాత్రమే నిర్వచించగలరు తీవ్రమైన కోణం, కానీ మొద్దుబారిన, ప్రతికూల మరియు \(360°\) కంటే కూడా ఎక్కువ ( పూర్తి మలుపు) దీన్ని ఎలా చేయాలో \(100\) సార్లు వినడం కంటే ఒకసారి చూడటం సులభం, కాబట్టి చిత్రాన్ని చూడండి.

ఇప్పుడు ఒక వివరణ: మనం కోణం యొక్క కొసైన్‌ను గుర్తించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం KOAతో డిగ్రీ కొలత\(150°\)లో పాయింట్ కలపడం గురించివృత్తం మధ్యలో, మరియు వైపు అలాగే– \(x\) అక్షంతో. దీని తర్వాత, \(150°\) అపసవ్య దిశలో పక్కన పెట్టండి. అప్పుడు పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్ ఎఈ కోణం యొక్క కొసైన్‌ని మాకు చూపుతుంది.

డిగ్రీ కొలతతో కూడిన కోణంపై మనకు ఆసక్తి ఉంటే, ఉదాహరణకు, \(-60°\)లో (కోణం KOV), మేము అదే చేస్తాము, కానీ మేము \(60°\) సవ్యదిశలో సెట్ చేస్తాము.

చివరగా, కోణం \(360°\) (కోణం) కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది CBS) - ప్రతిదీ స్టుపిడ్ మాదిరిగానే ఉంటుంది, సవ్యదిశలో పూర్తి మలుపు తిరిగిన తర్వాత మాత్రమే, మేము రెండవ సర్కిల్‌కి వెళ్లి “డిగ్రీల కొరతను పొందండి”. ప్రత్యేకించి, మా విషయంలో, కోణం \(405°\) \(360° + 45°\)గా రూపొందించబడింది.

కోణాన్ని ప్లాట్ చేయడానికి, ఉదాహరణకు, \(960°\)లో, మీరు రెండు మలుపులు (\(360°+360°+240°\)), మరియు \(2640లో కోణం కోసం) అని ఊహించడం సులభం. °\) - మొత్తం ఏడు.

మీరు భర్తీ చేయగలిగినట్లుగా, సంఖ్య యొక్క కొసైన్ మరియు ఏకపక్ష కోణం యొక్క కొసైన్ రెండూ దాదాపు ఒకేలా నిర్వచించబడతాయి. సర్కిల్‌పై పాయింట్ కనుగొనబడిన విధానం మాత్రమే మారుతుంది.

వంతుల వారీగా కొసైన్ సంకేతాలు

కొసైన్ అక్షం (అనగా, అబ్సిస్సా అక్షం, చిత్రంలో ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడింది) ఉపయోగించి, సంఖ్యా (త్రికోణమితి) వృత్తం వెంట కొసైన్‌ల సంకేతాలను గుర్తించడం సులభం:

అక్షంలోని విలువలు \(0\) నుండి \(1\) వరకు ఉన్న చోట, కొసైన్ ప్లస్ గుర్తును కలిగి ఉంటుంది (I మరియు IV వంతులు - ఆకుపచ్చ ప్రాంతం),
- అక్షం మీద విలువలు \(0\) నుండి \(-1\) వరకు ఉంటే, కొసైన్ మైనస్ గుర్తును కలిగి ఉంటుంది (II మరియు III వంతులు - ఊదా ప్రాంతం).

ఇతర త్రికోణమితి ఫంక్షన్లకు సంబంధించి:

- అదే కోణం (లేదా సంఖ్య): ప్రధాన త్రికోణమితి గుర్తింపు\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- అదే కోణం (లేదా సంఖ్య): సూత్రం ద్వారా \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- మరియు అదే కోణం (లేదా సంఖ్య) యొక్క సైన్: \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
సాధారణంగా ఉపయోగించే ఇతర సూత్రాల కోసం, చూడండి.

సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం \(\cos⁡x=a\)

\(\cos⁡x=a\) సమీకరణానికి పరిష్కారం, ఇక్కడ \(a\) అనేది \(1\) కంటే పెద్దది కాదు మరియు \(-1\) కంటే తక్కువ కాదు, అనగా. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

ఒకవేళ \(a>1\) లేదా \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

ఉదాహరణ . త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
పరిష్కారం:

సంఖ్య వృత్తాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం. దీని కొరకు:
1) గొడ్డలిని నిర్మించుకుందాం.
2) ఒక వృత్తాన్ని నిర్మిస్తాము.
3) కొసైన్ అక్షంపై (అక్షం \(y\)) పాయింట్ \(\frac(1)(2)\) .
4) ఈ పాయింట్ ద్వారా కొసైన్ అక్షానికి లంబంగా గీయండి.
5) లంబంగా మరియు వృత్తం యొక్క ఖండన పాయింట్లను గుర్తించండి.
6) ఈ పాయింట్ల విలువలపై సంతకం చేద్దాం: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) ఫార్ములా ఉపయోగించి ఈ పాయింట్‌లకు సంబంధించిన అన్ని విలువలను వ్రాస్దాం:
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

సమాధానం: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

ఫంక్షన్ \(y=\cos(x)\)

మేము \(x\) అక్షం వెంట రేడియన్‌లలో కోణాలను మరియు \(y\) అక్షం వెంట ఈ కోణాలకు సంబంధించిన కొసైన్ విలువలను ప్లాట్ చేస్తే, మనకు ఈ క్రింది గ్రాఫ్ లభిస్తుంది:

ఈ గ్రాఫ్ అంటారు మరియు ఈ క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ x యొక్క ఏదైనా విలువ: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- విలువల పరిధి - \(-1\) నుండి \(1\) వరకు: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- కూడా: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- పీరియడ్ \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఖండన పాయింట్లు:
abscissa axis: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ఇక్కడ \(n ϵ Z\)
Y అక్షం: \((0;1)\)
- సంకేతం యొక్క స్థిరత్వం యొక్క విరామాలు:
విరామాలలో ఫంక్షన్ సానుకూలంగా ఉంటుంది: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), ఇక్కడ \(n ϵ Z\)
విరామాలలో ఫంక్షన్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), ఇక్కడ \(n ϵ Z\)
- పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలు:
విరామాలలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది: \((π+2πn;2π+2πn)\), ఇక్కడ \(n ϵ Z\)
విరామాలలో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది: \((2πn;π+2πn)\), ఇక్కడ \(n ϵ Z\)
- ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్టాలు మరియు కనిష్టాలు:
\(x=2πn\) పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ గరిష్ట విలువ \(y=1\), ఇక్కడ \(n ϵ Z\)
\(x=π+2πn\) పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ కనిష్ట విలువ \(y=-1\), ఇక్కడ \(n ϵ Z\).

ఉదాహరణలు:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి:

ఏదైనా త్రికోణమితి సమీకరణం క్రింది రకాల్లో ఒకదానికి తగ్గించబడాలి:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

ఇక్కడ \(t\) అనేది xతో కూడిన వ్యక్తీకరణ, \(a\) అనేది ఒక సంఖ్య. ఇటువంటి త్రికోణమితి సమీకరణాలను అంటారు సరళమైనది. () లేదా ప్రత్యేక సూత్రాలను ఉపయోగించి వాటిని సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు:

ఉదాహరణ . త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(\ఎడమ[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

త్రికోణమితి సమీకరణాల మూలాల సూత్రంలో ప్రతి చిహ్నం అంటే ఏమిటి, చూడండి.

శ్రద్ధ!\(\sin⁡x=a\) మరియు \(\cos⁡x=a\) సమీకరణాలకు \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) పరిష్కారాలు లేవు. ఎందుకంటే ఏదైనా x కోసం సైన్ మరియు కొసైన్ \(-1\) కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటాయి మరియు \(1\) కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటాయి:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

ఉదాహరణ . \(\cos⁡x=-1,1\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
సమాధానం : పరిష్కారాలు లేవు.

ఉదాహరణ . త్రికోణమితి సమీకరణం tg\(⁡x=1\)ను పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం:

సంఖ్య వృత్తాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం. దీని కొరకు: 1) సర్కిల్‌ను నిర్మించండి) 2) అక్షాలు \(x\) మరియు \(y\) మరియు టాంజెంట్ అక్షం (ఇది \(0;1)\) అక్షానికి సమాంతరంగా బిందువు గుండా వెళుతుంది). 3) టాంజెంట్ అక్షం మీద, పాయింట్ \(1\)ని గుర్తించండి. 4) ఈ పాయింట్ మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలాన్ని కనెక్ట్ చేయండి - సరళ రేఖ. 5) ఈ రేఖ మరియు సంఖ్య సర్కిల్ యొక్క ఖండన పాయింట్లను గుర్తించండి. 6) ఈ పాయింట్ల విలువలపై సంతకం చేద్దాం: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) ఈ పాయింట్ల యొక్క అన్ని విలువలను వ్రాయండి. అవి ఒకదానికొకటి సరిగ్గా \(π\) దూరంలో ఉన్నందున, అన్ని విలువలను ఒక సూత్రంలో వ్రాయవచ్చు:

సమాధానం: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

ఉదాహరణ . త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
పరిష్కారం:

నంబర్ సర్కిల్‌ని మళ్లీ ఉపయోగిస్తాము. 1) సర్కిల్, అక్షాలు \(x\) మరియు \(y\) నిర్మించండి. 2) కొసైన్ అక్షం (\(x\) అక్షం)పై, \(0\) గుర్తు పెట్టండి. 3) ఈ పాయింట్ ద్వారా కొసైన్ అక్షానికి లంబంగా గీయండి. 4) లంబంగా మరియు వృత్తం యొక్క ఖండన పాయింట్లను గుర్తించండి. 5) ఈ పాయింట్ల విలువలపై సంతకం చేద్దాం: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) మేము ఈ పాయింట్ల మొత్తం విలువను వ్రాసి వాటిని కొసైన్ (కొసైన్ లోపల ఉన్న వాటికి) సమం చేస్తాము. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) ఎప్పటిలాగే, మేము \(x\) సమీకరణాలలో వ్యక్తపరుస్తాము. \(π\), అలాగే \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) మొదలైన వాటితో సంఖ్యలను ట్రీట్ చేయడం మర్చిపోవద్దు. ఇవి అన్ని ఇతర సంఖ్యల మాదిరిగానే ఉంటాయి. సంఖ్యా వివక్ష లేదు! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

సమాధానం: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

త్రికోణమితి సమీకరణాలను సరళంగా తగ్గించడం అనేది ఒక సృజనాత్మక పని, ఇక్కడ మీరు సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యేక పద్ధతులను ఉపయోగించాలి:
- పద్ధతి (యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో అత్యంత ప్రజాదరణ పొందినది).
- పద్ధతి.
- సహాయక వాదనల పద్ధతి.

క్వాడ్రాటిక్ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం

ఉదాహరణ . త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
పరిష్కారం:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	భర్తీ చేద్దాం \(t=\cos⁡x\).
	మా సమీకరణం విలక్షణంగా మారింది. మీరు దాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	మేము రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ చేస్తాము.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	మేము నంబర్ సర్కిల్ ఉపయోగించి మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము. రెండవ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు ఎందుకంటే \(\cos⁡x∈[-1;1]\) మరియు ఏ xకి అయినా రెండింటికి సమానంగా ఉండకూడదు.
	ఈ పాయింట్ల వద్ద ఉన్న అన్ని సంఖ్యలను వ్రాసుకుందాం.

సమాధానం: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ అధ్యయనంతో త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ఉదాహరణ:

ఉదాహరణ (USE) . త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ఒక భిన్నం ఉంది మరియు ఒక కోటాంజెంట్ ఉంది - అంటే మనం దానిని వ్రాయాలి. కోటాంజెంట్ నిజానికి భిన్నం అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) కాబట్టి, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) కోసం ODZ.
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	సంఖ్య సర్కిల్‌పై "నాన్-సొల్యూషన్స్"ని గుర్తు పెట్టుకుందాం.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	సమీకరణంలోని హారంను ctg\(x\)తో గుణించడం ద్వారా వదిలించుకుందాం. మేము ctg\(x ≠0\) పైన వ్రాసినందున మేము దీన్ని చేయగలము.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	సైన్ కోసం డబుల్ యాంగిల్ ఫార్ములాను వర్తింపజేద్దాం: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	మీ చేతులు కొసైన్ ద్వారా విభజించడానికి చేరుకుంటే, వాటిని వెనక్కి లాగండి! మీరు ఖచ్చితంగా సున్నాకి సమానంగా లేకుంటే వేరియబుల్‌తో వ్యక్తీకరణ ద్వారా విభజించవచ్చు (ఉదాహరణకు, ఇవి: \(x^2+1.5^x\)). బదులుగా, బ్రాకెట్ల నుండి \(\cos⁡x\) తీసుకుందాం.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	సమీకరణాన్ని రెండుగా "విభజిద్దాం".
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	సంఖ్యా వృత్తాన్ని ఉపయోగించి మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం. రెండవ సమీకరణాన్ని \(2\)తో విభజించి, \(\sin⁡x\)ని కుడి వైపుకు తరలించండి.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	ఫలితంగా మూలాలు ODZ లో చేర్చబడలేదు. అందువల్ల, మేము వాటిని ప్రతిస్పందనగా వ్రాయము. రెండవ సమీకరణం విలక్షణమైనది. దానిని \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\)తో భాగిద్దాం ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో \(\cos⁡x=1\) లేదా \(\cos⁡) సమీకరణానికి పరిష్కారం కాదు x=-1\)).
	మేము మళ్ళీ ఒక వృత్తాన్ని ఉపయోగిస్తాము.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ఈ మూలాలు ODZ ద్వారా మినహాయించబడలేదు, కాబట్టి మీరు వాటిని సమాధానంలో వ్రాయవచ్చు.

సమాధానం: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

త్రికోణమితి సమీకరణాలు అంత తేలికైన అంశం కాదు. అవి చాలా వైవిధ్యమైనవి.) ఉదాహరణకు, ఇవి:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = మంచం(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

మొదలైనవి...

కానీ ఈ (మరియు అన్ని ఇతర) త్రికోణమితి రాక్షసులు రెండు సాధారణ మరియు తప్పనిసరి లక్షణాలను కలిగి ఉన్నారు. మొదటిది - మీరు నమ్మరు - సమీకరణాలలో త్రికోణమితి విధులు ఉన్నాయి.) రెండవది: xతో ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలు కనుగొనబడ్డాయి ఇదే ఫంక్షన్లలో.మరియు అక్కడ మాత్రమే! X ఎక్కడో కనిపిస్తే బయట,ఉదాహరణకి, sin2x + 3x = 3,ఇది ఇప్పటికే మిశ్రమ రకం సమీకరణం అవుతుంది. ఇటువంటి సమీకరణాలకు వ్యక్తిగత విధానం అవసరం. మేము వాటిని ఇక్కడ పరిగణించము.

మేము ఈ పాఠంలో కూడా చెడు సమీకరణాలను పరిష్కరించము.) ఇక్కడ మనం వ్యవహరిస్తాము సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలు.ఎందుకు? అవును ఎందుకంటే పరిష్కారం ఏదైనాత్రికోణమితి సమీకరణాలు రెండు దశలను కలిగి ఉంటాయి. మొదటి దశలో, వివిధ రకాల పరివర్తనల ద్వారా చెడు సమీకరణం సాధారణ స్థితికి తగ్గించబడుతుంది. రెండవది, ఈ సరళమైన సమీకరణం పరిష్కరించబడుతుంది. వేరే మార్గం లేదు.

కాబట్టి, మీకు రెండవ దశలో సమస్యలు ఉంటే, మొదటి దశ చాలా అర్ధవంతం కాదు.)

ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాలు ఎలా ఉంటాయి?

sinx = a

cosx = a

tgx = ఎ

ctgx = ఎ

ఇక్కడ ఎ ఏదైనా సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఏదైనా.

మార్గం ద్వారా, ఫంక్షన్ లోపల స్వచ్ఛమైన X ఉండకపోవచ్చు, కానీ కొన్ని రకాల వ్యక్తీకరణలు ఇలా ఉంటాయి:

cos(3x+π /3) = 1/2

మొదలైనవి ఇది జీవితాన్ని క్లిష్టతరం చేస్తుంది, కానీ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే పద్ధతిని ప్రభావితం చేయదు.

త్రికోణమితి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి?

త్రికోణమితి సమీకరణాలను రెండు విధాలుగా పరిష్కరించవచ్చు. మొదటి మార్గం: లాజిక్ మరియు త్రికోణమితి వృత్తాన్ని ఉపయోగించడం. మేము ఇక్కడ ఈ మార్గాన్ని పరిశీలిస్తాము. రెండవ మార్గం - మెమరీ మరియు సూత్రాలను ఉపయోగించడం - తదుపరి పాఠంలో చర్చించబడుతుంది.

మొదటి మార్గం స్పష్టంగా, నమ్మదగినది మరియు మరచిపోవడం కష్టం.) త్రికోణమితి సమీకరణాలు, అసమానతలు మరియు అన్ని రకాల గమ్మత్తైన ప్రామాణికం కాని ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి ఇది మంచిది. జ్ఞాపకశక్తి కంటే తర్కం బలమైనది!)

త్రికోణమితి వృత్తాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

మేము ప్రాథమిక తర్కం మరియు త్రికోణమితి వృత్తాన్ని ఉపయోగించగల సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉన్నాము. ఎలాగో నీకు తెలియదా? అయితే... మీరు త్రికోణమితిలో చాలా కష్టపడతారు...) అయితే ఇది పట్టింపు లేదు. "త్రికోణమితి వృత్తం...... ఇది ఏమిటి?" అనే పాఠాలను చూడండి. మరియు "త్రికోణమితి వృత్తంలో కోణాలను కొలవడం." అక్కడ ప్రతిదీ సులభం. పాఠ్యపుస్తకాలు కాకుండా...)

ఓ, నీకు తెలుసా!? మరియు "త్రికోణమితి సర్కిల్‌తో ప్రాక్టికల్ వర్క్"లో కూడా ప్రావీణ్యం పొందారా!? అభినందనలు. ఈ అంశం మీకు దగ్గరగా మరియు అర్థమయ్యేలా ఉంటుంది.) ముఖ్యంగా సంతోషకరమైన విషయం ఏమిటంటే, మీరు ఏ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తారో త్రికోణమితి వృత్తం పట్టించుకోదు. సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్ - అన్నీ అతనికి ఒకటే. ఒకే ఒక పరిష్కార సూత్రం ఉంది.

కాబట్టి మనం ఏదైనా ప్రాథమిక త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని తీసుకుంటాము. కనీసం ఇది:

cosx = 0.5

మేము Xని కనుగొనాలి. మానవ భాషలో మాట్లాడటం అవసరం కోసైన్ 0.5 ఉన్న కోణాన్ని (x) కనుగొనండి.

మేము ఇంతకు ముందు సర్కిల్‌ని ఎలా ఉపయోగించాము? మేము దానిపై ఒక కోణాన్ని గీసాము. డిగ్రీలు లేదా రేడియన్లలో. మరియు వెంటనే చూసింది ఈ కోణం యొక్క త్రికోణమితి విధులు. ఇప్పుడు దీనికి విరుద్ధంగా చేద్దాం. 0.5కి సమానమైన మరియు వెంటనే సర్కిల్‌పై కొసైన్‌ని గీయండి చూద్దాము మూలలో. సమాధానం రాయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది.) అవును, అవును!

ఒక వృత్తాన్ని గీయండి మరియు కొసైన్‌ను 0.5కి సమానంగా గుర్తించండి. కొసైన్ అక్షం మీద, వాస్తవానికి. ఇలా:

ఇప్పుడు ఈ కొసైన్ మనకు ఇచ్చే కోణాన్ని గీయండి. చిత్రంపై మీ మౌస్‌ని ఉంచండి (లేదా మీ టాబ్లెట్‌లోని చిత్రాన్ని తాకండి), మరియు మీరు చూస్తారుఈ మూలలో X.

ఏ కోణం యొక్క కొసైన్ 0.5?

x = π /3

కాస్ 60°= కాస్( π /3) = 0,5

కొంతమంది సందేహాస్పదంగా నవ్వుతారు, అవును ... ఇలా, ప్రతిదీ ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉన్నప్పుడు ఒక సర్కిల్ చేయడం విలువైనదేనా ... మీరు ఖచ్చితంగా నవ్వవచ్చు ...) కానీ వాస్తవం ఏమిటంటే ఇది తప్పు సమాధానం. లేదా బదులుగా, సరిపోదు. 0.5 కొసైన్‌ను అందించే ఇతర కోణాల మొత్తం ఇక్కడ ఉన్నాయని సర్కిల్ వ్యసనపరులు అర్థం చేసుకున్నారు.

మీరు కదిలే వైపు OAని తిప్పినట్లయితే పూర్తి మలుపు, పాయింట్ A దాని అసలు స్థానానికి తిరిగి వస్తుంది. అదే కొసైన్‌తో 0.5కి సమానం. ఆ. కోణం మారుతుంది 360° లేదా 2π రేడియన్ల ద్వారా, మరియు కొసైన్ - నం.కొత్త కోణం 60° + 360° = 420° కూడా మన సమీకరణానికి పరిష్కారంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే

అటువంటి పూర్తి విప్లవాలు అనంత సంఖ్యలో చేయవచ్చు... మరియు ఈ కొత్త కోణాలన్నీ మన త్రికోణమితి సమీకరణానికి పరిష్కారాలుగా ఉంటాయి. మరియు అవన్నీ ప్రతిస్పందనగా ఏదో ఒకవిధంగా వ్రాయబడాలి. అన్నీ.లేకపోతే, నిర్ణయం లెక్కించబడదు, అవును...)

గణితం దీన్ని సరళంగా మరియు సొగసైనదిగా చేయగలదు. ఒక చిన్న సమాధానంలో వ్రాయండి అనంతమైన సెట్నిర్ణయాలు. మా సమీకరణం కోసం ఇది ఎలా ఉంటుందో ఇక్కడ ఉంది:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

నేను దానిని అర్థంచేసుకుంటాను. ఇంకా రాయండి అర్థవంతంగాతెలివితక్కువగా కొన్ని రహస్యమైన అక్షరాలను గీయడం కంటే ఇది చాలా ఆహ్లాదకరంగా ఉంటుంది, సరియైనదా?)

π /3 - ఇది మేము ఉన్న అదే మూల చూసిందిసర్కిల్ మీద మరియు నిర్ణయించారుకొసైన్ పట్టిక ప్రకారం.

2π రేడియన్లలో ఒక పూర్తి విప్లవం.

n - ఇది పూర్తి వాటి సంఖ్య, అనగా. మొత్తం rpm అన్నది స్పష్టం n 0, ±1, ±2, ±3.... మరియు మొదలైన వాటికి సమానంగా ఉంటుంది. చిన్న ఎంట్రీ ద్వారా సూచించబడిన విధంగా:

n ∈ Z

n చెందినది ( ∈ పూర్ణాంకాల సమితి ( Z ) మార్గం ద్వారా, లేఖకు బదులుగా n అక్షరాలను బాగా ఉపయోగించవచ్చు k, m, t మొదలైనవి

ఈ సంజ్ఞామానం అంటే మీరు ఏదైనా పూర్ణాంకం తీసుకోవచ్చు n . కనీసం -3, కనీసం 0, కనీసం +55. ఏది కావాలంటే అది. మీరు సమాధానంలో ఈ సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు ఒక నిర్దిష్ట కోణం పొందుతారు, ఇది ఖచ్చితంగా మా కఠినమైన సమీకరణానికి పరిష్కారం అవుతుంది.)

లేదా, ఇతర మాటలలో, x = π /3 అనంతమైన సమితి యొక్క ఏకైక మూలం. అన్ని ఇతర మూలాలను పొందడానికి, π /3 ( n ) రేడియన్లలో. ఆ. 2πn రేడియన్.

అన్నీ? నం. నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా ఆనందాన్ని పొడిగిస్తాను. బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి.) మేము మా సమీకరణానికి సమాధానాలలో కొంత భాగాన్ని మాత్రమే అందుకున్నాము. నేను ఈ పరిష్కారం యొక్క మొదటి భాగాన్ని ఇలా వ్రాస్తాను:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - కేవలం ఒక రూట్ కాదు, కానీ మొత్తం మూలాల శ్రేణి, చిన్న రూపంలో వ్రాయబడింది.

కానీ 0.5 కొసైన్ ఇచ్చే కోణాలు కూడా ఉన్నాయి!

మేము సమాధానం వ్రాసిన మా చిత్రానికి తిరిగి వెళ్దాం. ఇక్కడ ఆమె ఉంది:

చిత్రంపై మీ మౌస్ హోవర్ చేయండి మరియు మేము చూసాముఅని మరో కోణం 0.5 కొసైన్‌ను కూడా ఇస్తుంది.ఇది దేనికి సమానం అని మీరు అనుకుంటున్నారు? త్రిభుజాలు ఒకటే... అవును! ఇది కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది X , ప్రతికూల దిశలో మాత్రమే ఆలస్యం. ఇది మూల -X. కానీ మేము ఇప్పటికే xని లెక్కించాము. π / 3 లేదా 60°. కాబట్టి, మేము సురక్షితంగా వ్రాయవచ్చు:

x 2 = - π /3

బాగా, వాస్తవానికి, మేము పూర్తి విప్లవాల ద్వారా పొందిన అన్ని కోణాలను జోడిస్తాము:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ఇప్పుడు అంతే.) త్రికోణమితి వృత్తంలో మనం చూసింది(ఎవరు అర్థం చేసుకుంటారు, అయితే)) అన్నీ 0.5 కొసైన్ ఇచ్చే కోణాలు. మరియు మేము ఈ కోణాలను చిన్న గణిత రూపంలో వ్రాసాము. సమాధానం రెండు అనంతమైన మూలాల శ్రేణికి దారితీసింది:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ఇది సరైన సమాధానం.

ఆశిస్తున్నాము, త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ సూత్రంవృత్తాన్ని ఉపయోగించడం స్పష్టంగా ఉంది. మేము ఒక వృత్తంలో ఇచ్చిన సమీకరణం నుండి కొసైన్ (సైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్)ని గుర్తించి, దానికి సంబంధించిన కోణాలను గీయండి మరియు సమాధానాన్ని వ్రాస్తాము.వాస్తవానికి, మనం ఏ మూలలను గుర్తించాలో గుర్తించాలి చూసిందిసర్కిల్ మీద. కొన్నిసార్లు ఇది అంత స్పష్టంగా ఉండదు. సరే, ఇక్కడ లాజిక్ అవసరమని నేను చెప్పాను.)

ఉదాహరణకు, మరొక త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని చూద్దాం:

దయచేసి సమీకరణాలలో 0.5 సంఖ్య మాత్రమే సాధ్యమయ్యే సంఖ్య కాదని గుర్తుంచుకోండి!) మూలాలు మరియు భిన్నాల కంటే దీన్ని వ్రాయడం నాకు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

మేము సాధారణ సూత్రం ప్రకారం పని చేస్తాము. మేము ఒక వృత్తాన్ని గీస్తాము, గుర్తు (సైన్ అక్షం మీద, వాస్తవానికి!) 0.5. మేము ఈ సైన్కి సంబంధించిన అన్ని కోణాలను ఒకేసారి గీస్తాము. మేము ఈ చిత్రాన్ని పొందుతాము:

మొదట కోణంతో వ్యవహరిస్తాము X మొదటి త్రైమాసికంలో. మేము సైన్స్ పట్టికను గుర్తుకు తెచ్చుకుంటాము మరియు ఈ కోణం యొక్క విలువను నిర్ణయిస్తాము. ఇది ఒక సాధారణ విషయం:

x = π /6

మేము పూర్తి మలుపుల గురించి గుర్తుంచుకుంటాము మరియు స్పష్టమైన మనస్సాక్షితో, మొదటి వరుస సమాధానాలను వ్రాయండి:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

సగం పని పూర్తయింది. కానీ ఇప్పుడు మనం నిర్ణయించుకోవాలి రెండవ మూల...కొసైన్‌లను ఉపయోగించడం కంటే ఇది గమ్మత్తైనది, అవును... అయితే తర్కం మనల్ని కాపాడుతుంది! రెండవ కోణాన్ని ఎలా నిర్ణయించాలి x ద్వారా? అవును ఈజీ! చిత్రంలో త్రిభుజాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు ఎరుపు మూలలో ఉంటాయి X కోణానికి సమానం X . ఇది ప్రతికూల దిశలో π కోణం నుండి మాత్రమే లెక్కించబడుతుంది. అందుకే ఇది ఎరుపు రంగులో ఉంటుంది.) మరియు సమాధానం కోసం మనకు ఒక కోణం అవసరం, సరిగ్గా కొలుస్తారు, సానుకూల సెమీ-యాక్సిస్ OX నుండి, అనగా. 0 డిగ్రీల కోణం నుండి.

మేము డ్రాయింగ్‌పై కర్సర్‌ను ఉంచాము మరియు ప్రతిదీ చూస్తాము. చిత్రాన్ని క్లిష్టతరం చేయకుండా నేను మొదటి మూలను తొలగించాను. మనకు ఆసక్తి ఉన్న కోణం (ఆకుపచ్చ రంగులో గీసినది) దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:

π - x

X ఇది మాకు తెలుసు π /6 . కాబట్టి, రెండవ కోణం ఇలా ఉంటుంది:

π - π /6 = 5π /6

మేము పూర్తి విప్లవాలను జోడించడం గురించి మళ్లీ గుర్తుంచుకుంటాము మరియు రెండవ వరుస సమాధానాలను వ్రాస్తాము:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

అంతే. పూర్తి సమాధానం రెండు మూలాల శ్రేణిని కలిగి ఉంటుంది:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అదే సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ సమీకరణాలను సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. ఒకవేళ, త్రికోణమితి సర్కిల్‌పై టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను ఎలా గీయాలి అని మీకు తెలిస్తే.

పై ఉదాహరణలలో, నేను సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క పట్టిక విలువను ఉపయోగించాను: 0.5. ఆ. విద్యార్థికి తెలిసిన అర్థాలలో ఒకటి తప్పక.ఇప్పుడు మన సామర్థ్యాలను విస్తరింపజేద్దాం అన్ని ఇతర విలువలు.నిర్ణయించుకోండి, కాబట్టి నిర్ణయించుకోండి!)

కాబట్టి, మనం ఈ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలని అనుకుందాం:

చిన్న పట్టికలలో అటువంటి కొసైన్ విలువ లేదు. మేము ఈ భయంకరమైన వాస్తవాన్ని విస్మరించాము. ఒక వృత్తాన్ని గీయండి, కొసైన్ అక్షంపై 2/3ని గుర్తించండి మరియు సంబంధిత కోణాలను గీయండి. మేము ఈ చిత్రాన్ని పొందుతాము.

మొదట, మొదటి త్రైమాసికంలో కోణంలో చూద్దాం. x అంటే ఏమిటో తెలిస్తే వెంటనే సమాధానం రాసుకుంటాం! మనకు తెలియదు... వైఫల్యం!? ప్రశాంతత! గణితం దాని స్వంత ప్రజలను ఇబ్బందుల్లోకి నెట్టదు! ఆమె ఈ కేసు కోసం ఆర్క్ కొసైన్‌లతో ముందుకు వచ్చింది. తెలియదు? ఫలించలేదు. కనుగొనండి, మీరు అనుకున్నదానికంటే ఇది చాలా సులభం. ఈ లింక్‌లో "విలోమ త్రికోణమితి విధులు" గురించి ఒక్క గమ్మత్తైన స్పెల్ కూడా లేదు... ఈ అంశంలో ఇది నిరుపయోగంగా ఉంది.

మీకు తెలిసినట్లయితే, మీకు మీరే ఇలా చెప్పుకోండి: "X అనేది ఒక కోణం, దీని కొసైన్ 2/3కి సమానం." మరియు వెంటనే, పూర్తిగా ఆర్క్ కొసైన్ నిర్వచనం ప్రకారం, మనం వ్రాయవచ్చు:

మేము అదనపు విప్లవాల గురించి గుర్తుంచుకుంటాము మరియు మా త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క మొదటి మూలాల శ్రేణిని ప్రశాంతంగా వ్రాస్తాము:

x 1 = ఆర్కోస్ 2/3 + 2π n, n ∈ Z

రెండవ కోణం కోసం మూలాల యొక్క రెండవ శ్రేణి దాదాపు స్వయంచాలకంగా వ్రాయబడుతుంది. అంతా ఒకేలా ఉంది, కేవలం X (ఆర్కోస్ 2/3) మాత్రమే మైనస్‌తో ఉంటుంది:

x 2 = - ఆర్కోస్ 2/3 + 2π n, n ∈ Z

అంతే! ఇది సరైన సమాధానం. పట్టిక విలువలతో కంటే కూడా సులభం. ఏదైనా గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు.) మార్గం ద్వారా, ఈ చిత్రం ఆర్క్ కొసైన్ ద్వారా పరిష్కారాన్ని చూపుతుందని చాలా శ్రద్ధగలవారు గమనించవచ్చు. సారాంశంలో, cosx = 0.5 సమీకరణం కోసం చిత్రం నుండి భిన్నంగా లేదు.

సరిగ్గా! సాధారణ సూత్రం అంతే! నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా దాదాపు ఒకేలాంటి రెండు చిత్రాలను గీసాను. సర్కిల్ మనకు కోణాన్ని చూపుతుంది X దాని కొసైన్ ద్వారా. ఇది టేబులర్ కొసైన్ కాదా అనేది అందరికీ తెలియదు. ఇది ఎలాంటి కోణం, π /3 లేదా ఆర్క్ కొసైన్ అంటే ఏమిటి - అది మనమే నిర్ణయించుకోవాలి.

సైన్ తో అదే పాట. ఉదాహరణకి:

మళ్లీ ఒక వృత్తాన్ని గీయండి, 1/3కి సమానమైన సైన్ను గుర్తించండి, కోణాలను గీయండి. ఇది మనకు లభించే చిత్రం:

మరియు మళ్ళీ చిత్రం దాదాపు సమీకరణం వలె ఉంటుంది sinx = 0.5.మళ్ళీ మేము మొదటి త్రైమాసికంలో మూలలో నుండి ప్రారంభిస్తాము. దాని సైన్ 1/3 అయితే X దేనికి సమానం? ఏమి ఇబ్బంది లేదు!

ఇప్పుడు మూలాల మొదటి ప్యాక్ సిద్ధంగా ఉంది:

x 1 = ఆర్క్సిన్ 1/3 + 2π n, n ∈ Z

రెండవ కోణంతో వ్యవహరిస్తాము. 0.5 పట్టిక విలువతో ఉదాహరణలో, ఇది సమానంగా ఉంటుంది:

π - x

ఇక్కడ కూడా సరిగ్గా అలాగే ఉంటుంది! x మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటుంది, ఆర్క్‌సిన్ 1/3. అయితే ఏంటి!? మీరు రెండవ ప్యాక్ మూలాలను సురక్షితంగా వ్రాయవచ్చు:

x 2 = π - ఆర్క్సిన్ 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ఇది పూర్తిగా సరైన సమాధానం. అంతగా పరిచయం లేనప్పటికీ. కానీ ఇది స్పష్టంగా ఉంది, నేను ఆశిస్తున్నాను.)

ఈ విధంగా త్రికోణమితి సమీకరణాలు వృత్తాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి. ఈ మార్గం స్పష్టంగా మరియు అర్థమయ్యేలా ఉంది. ఇచ్చిన విరామంలో మూలాల ఎంపికతో త్రికోణమితి సమీకరణాలలో, త్రికోణమితి అసమానతలలో అతను సేవ్ చేస్తాడు - అవి సాధారణంగా దాదాపు ఎల్లప్పుడూ సర్కిల్‌లో పరిష్కరించబడతాయి. సంక్షిప్తంగా, ప్రామాణికమైన వాటి కంటే కొంచెం కష్టమైన ఏదైనా పనిలో.

జ్ఞానాన్ని ఆచరణలో వర్తింపజేద్దామా?)

త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

మొదటిది, సరళమైనది, ఈ పాఠం నుండి నేరుగా.

ఇప్పుడు అది మరింత క్లిష్టంగా మారింది.

సూచన: ఇక్కడ మీరు సర్కిల్ గురించి ఆలోచించాలి. వ్యక్తిగతంగా.)

మరియు ఇప్పుడు వారు బాహ్యంగా సరళంగా ఉన్నారు ... వాటిని ప్రత్యేక కేసులు అని కూడా పిలుస్తారు.

సింక్స్ = 0

సింక్స్ = 1

cosx = 0

cosx = -1

సూచన: ఇక్కడ మీరు సర్కిల్‌లో రెండు వరుస సమాధానాలు మరియు ఒకటి ఎక్కడ ఉందో గుర్తించాలి... మరియు రెండు వరుస సమాధానాలకు బదులుగా ఒకటి ఎలా వ్రాయాలి. అవును, అనంతమైన సంఖ్య నుండి ఒక్క రూట్ కూడా కోల్పోకుండా!)

బాగా, చాలా సులభం):

సింక్స్ = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

సూచన: ఇక్కడ మీరు ఆర్క్సిన్ మరియు ఆర్కోసిన్ ఏమిటో తెలుసుకోవాలి? ఆర్క్టాంజెంట్, ఆర్కోటాంజెంట్ అంటే ఏమిటి? సరళమైన నిర్వచనాలు. కానీ మీరు ఏ పట్టిక విలువలను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు!)

సమాధానాలు, వాస్తవానికి, గందరగోళంగా ఉన్నాయి):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - ఆర్క్సిన్0.3 + 2

ప్రతిదీ పని చేయలేదా? జరుగుతుంది. పాఠాన్ని మళ్లీ చదవండి. మాత్రమే ఆలోచనాత్మకంగా(ఇంత కాలం చెల్లిన పదం ఉంది...) మరియు లింక్‌లను అనుసరించండి. ప్రధాన లింక్‌లు సర్కిల్ గురించి. అది లేకుంటే త్రికోణమితి కళ్లకు గంతలు కట్టుకుని రోడ్డు దాటడం లాంటిది. కొన్నిసార్లు ఇది పనిచేస్తుంది.)

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.