పేరా 2 త్రిభుజం మరియు ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతాలు. "సమాంతర చతుర్భుజం, త్రిభుజం, ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం

1) నమస్కారం

2) పాఠం ప్రేరణ ఉపాధ్యాయుడు పాఠం కోసం తరగతి సంసిద్ధతను తనిఖీ చేస్తాడు; ఒక అంశాన్ని రూపొందించడానికి విద్యార్థులను ప్రేరేపిస్తుంది.

బోర్డు (టాపిక్ షీట్)పై నిర్వచనాన్ని చదవండి మరియు ప్రశ్నలోని భావనను చొప్పించండి:

బహుభుజి ఆక్రమించిన విమానం యొక్క ఆ భాగం పరిమాణం ... (ప్రాంతం)

ఒక చతుర్భుజం, దీని వ్యతిరేక భుజాలు జతలలో సమాంతరంగా ఉంటాయి - .... (సమాంతర చతుర్భుజం)

ఒకే రేఖపై పడని మూడు పాయింట్లు మరియు వాటిని కలిపే మూడు విభాగాలతో రూపొందించబడిన బొమ్మను .... (త్రిభుజం) అంటారు.

రెండు వైపులా సమాంతరంగా మరియు మిగిలిన రెండు సమాంతరంగా లేని బొమ్మను అంటారు ... (ట్రాపజోయిడ్)

ఫలిత పదాల నుండి, మా నేటి పాఠం యొక్క అంశాన్ని రూపొందించడానికి ప్రయత్నించండి.

కాబట్టి, పాఠం యొక్క అంశం…. సమాంతర చతుర్భుజం, త్రిభుజం, ట్రాపజోయిడ్ ప్రాంతాలు.

ప్రాంతాలు, మనం ఏ బొమ్మలను కనుగొనవచ్చు మరియు ఎలా?

అంజీర్‌లోని బొమ్మల ప్రాంతాలను లెక్కించండి.

ఇతర పరిష్కారాలు ఉన్నాయా?

ఏం జరిగింది?

ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి ఎలాంటి ప్రయత్నాలు జరిగాయి?

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి ఎవరు ప్రయత్నించారు? చెప్పండి.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం.

టాస్క్.

అదే ప్రాంతంతో దీర్ఘచతురస్రాన్ని పొందడానికి సమాంతర చతుర్భుజాన్ని "తిరిగి గీయడం" ఎలా?

సమాంతర చతుర్భుజం ఒక దీర్ఘ చతురస్రంలోకి తిరిగి గీయబడింది. దీని వైశాల్యం దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం అని అర్థం.

సమాంతర చతుర్భుజం కోసం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పు ఏమిటి?

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం దాని బేస్ మరియు దాని ఎత్తు యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

సమాంతర చతుర్భుజంలో, ఆధారం ఏ వైపు అయినా ఉంటుంది. మరియు ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడానికి, ఎత్తు తప్పనిసరిగా బేస్కు డ్రా చేయాలి.

ఈ సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని గణిద్దాం.

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం.

మీరు త్రిభుజాన్ని ఎలా తిరిగి గీయవచ్చు లేదా పూర్తి చేయవచ్చు?

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని బేస్ మరియు ఎత్తు యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం.

త్రిభుజం లంబకోణంలో ఉంటే ఏమి చేయాలి?

అంజీర్ చూడండి.

ఇది దీర్ఘచతురస్రాకారంలో "తిరిగి" చేయవచ్చు.

మరియు మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాని ప్రాంతాన్ని కనుగొంటాము

S =a *b . దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు కాలులో సగం, మరియు వెడల్పు మరొక కాలు.

లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని కాళ్ళ యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం.

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం.

ట్రెపేసియా త్రిభుజంలోకి "తిరిగి డ్రా" చేయబడిందో చూడండి. మరియు మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొంటాము:

త్రిభుజం యొక్క ఆధారం ఎగువ మరియు దిగువ బేస్ యొక్క పొడవుల మొత్తం, మరియు త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ఎత్తు.

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం దాని స్థావరాలు మరియు దాని ఎత్తులో సగం మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

1) S ను కనుగొనండి ఆవిరి. , ఉంటే ఎ=5, h =4.

2) S త్రిభుజాన్ని కనుగొనండి. , ఉంటే ఎ=3,5; h =2.

3) S నిచ్చెనను కనుగొనండి. , ఉంటే ఎ=4,5; బి = 2,5; h =3.

పరీక్ష పనులను పూర్తి చేయండి (అనుబంధం చూడండి)

స్వతంత్ర పని యొక్క పీర్ సమీక్ష.

కొత్త అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడం:

నం. 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

బలహీనమైన మరియు తక్కువ సాధించే విద్యార్థుల కోసం, కార్డులపై వ్యక్తిగత పని సిద్ధం చేయబడింది, ఇందులో పరిష్కారాన్ని రికార్డ్ చేయడానికి ఉదాహరణ ఉన్న పనులు ఉన్నాయి.

ఉపాధ్యాయుడు కొత్త అంశంపై ప్రశ్నలకు సమాధానమిచ్చాడు.

అబ్బాయిలు, దాన్ని సంగ్రహిద్దాం!

ఈ రోజు మీరు తరగతిలో ఏమి నేర్చుకున్నారు?

మీరు ఏమి చేయడం నేర్చుకున్నారు?

ఏది నిర్ణయించడం కష్టం?

ఉపాధ్యాయుడు హోంవర్క్‌పై వ్యాఖ్యానించాడు.

పేరా 23 నం. 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

అందరూ బాగా చేసారు!

పాఠం ముగిసింది. వీడ్కోలు!

రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క ప్రాంతం- ఈ బొమ్మ యొక్క పరిమాణాన్ని చూపించే రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క సంఖ్యా లక్షణం (ఈ బొమ్మ యొక్క క్లోజ్డ్ కాంటౌర్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ఉపరితలం యొక్క భాగం). ప్రాంతం యొక్క పరిమాణం దానిలో ఉన్న చదరపు యూనిట్ల సంఖ్య ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

ట్రయాంగిల్ ఏరియా సూత్రాలు

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని పక్కపక్కనే మరియు ఎత్తుకు సూత్రం
త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతంఒక త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపు పొడవు మరియు ఈ వైపుకు గీసిన ఎత్తు యొక్క పొడవు యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం
మూడు వైపులా మరియు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ఆధారంగా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రం
మూడు వైపులా మరియు లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ఆధారంగా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రం
త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతంత్రిభుజం యొక్క సెమీ చుట్టుకొలత మరియు లిఖిత వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.

స్క్వేర్ ఏరియా సూత్రాలు

ఒక చతురస్రాకారపు వైశాల్యానికి ఫార్ములా
చతురస్రాకార ప్రాంతందాని వైపు పొడవు యొక్క చతురస్రానికి సమానం.
వికర్ణ పొడవుతో పాటు చదరపు వైశాల్యానికి ఫార్ములా
చతురస్రాకార ప్రాంతందాని వికర్ణ పొడవు యొక్క సగం చతురస్రానికి సమానం.
S= 1 2
2

దీర్ఘచతురస్ర ప్రాంత సూత్రం

ఒక దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క ప్రాంతం

సమాంతర చతుర్భుజం ప్రాంత సూత్రాలు

పక్క పొడవు మరియు ఎత్తు ఆధారంగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా
సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతం
రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణం ఆధారంగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా
సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతంవాటి మధ్య కోణం యొక్క సైన్ ద్వారా గుణించబడిన దాని భుజాల పొడవుల ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.
a b పాపం α

రాంబస్ ప్రాంతం కోసం సూత్రాలు

పక్క పొడవు మరియు ఎత్తు ఆధారంగా రాంబస్ యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా
రాంబస్ యొక్క ప్రాంతందాని వైపు పొడవు మరియు ఈ వైపుకు తగ్గించబడిన ఎత్తు యొక్క పొడవు యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.
సైడ్ పొడవు మరియు కోణం ఆధారంగా రాంబస్ యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రం
రాంబస్ యొక్క ప్రాంతందాని వైపు పొడవు మరియు రాంబస్ యొక్క భుజాల మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క స్క్వేర్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.
దాని వికర్ణాల పొడవు ఆధారంగా రాంబస్ యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా
రాంబస్ యొక్క ప్రాంతందాని వికర్ణాల పొడవు యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం.

ట్రాపెజాయిడ్ ఏరియా సూత్రాలు

ట్రాపెజాయిడ్ కోసం హెరాన్ సూత్రం
ఇక్కడ S అనేది ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం,
- ట్రాపజాయిడ్ యొక్క స్థావరాల పొడవు,
- ట్రాపజోయిడ్ యొక్క భుజాల పొడవు,

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతం

సిద్ధాంతం 1

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం దాని వైపు పొడవు మరియు దానికి గీసిన ఎత్తు యొక్క ఉత్పత్తిగా నిర్వచించబడింది.

ఇక్కడ $a$ అనేది సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఒక వైపు, $h$ అనేది ఈ వైపుకు గీసిన ఎత్తు.

రుజువు.

మాకు $AD=BC=a$తో సమాంతర చతుర్భుజం $ABCD$ని అందించండి. $DF$ మరియు $AE$ (Fig. 1) ఎత్తులను గీయండి.

చిత్రం 1.

సహజంగానే, $FDAE$ ఫిగర్ ఒక దీర్ఘ చతురస్రం.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

తత్ఫలితంగా, $\triangle BAE=\triangle CDF$ త్రిభుజాల సమానత్వానికి $I$ ప్రమాణం ప్రకారం $CD=AB,\ DF=AE=h$. అప్పుడు

కాబట్టి, దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యంపై సిద్ధాంతం ప్రకారం:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం 2

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం దాని ప్రక్కనే ఉన్న భుజాల పొడవు మరియు ఈ భుజాల మధ్య కోణం యొక్క సైన్ యొక్క ఉత్పత్తిగా నిర్వచించబడింది.

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

ఇక్కడ $a,\b$ సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భుజాలు, $\alpha$ అనేది వాటి మధ్య కోణం.

రుజువు.

మాకు $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $తో సమాంతర చతుర్భుజం $ABCD$ ఇవ్వబడుతుంది. $DF=h$ (Fig. 2) ఎత్తును గీయండి.

మూర్తి 2.

సైన్ నిర్వచనం ప్రకారం, మేము పొందుతాము

అందుకే

కాబట్టి, సిద్ధాంతం ద్వారా $1$:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

సిద్ధాంతం 3

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని వైపు పొడవు మరియు దాని ఎత్తులో సగం ఉత్పత్తిగా నిర్వచించబడింది.

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

ఇక్కడ $a$ అనేది త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపు, $h$ అనేది ఈ వైపుకు గీసిన ఎత్తు.

రుజువు.

మూర్తి 3.

కాబట్టి, సిద్ధాంతం ద్వారా $1$:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం 4

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని ప్రక్కనే ఉన్న భుజాల పొడవు మరియు ఈ భుజాల మధ్య కోణం యొక్క సగం ఉత్పత్తిగా నిర్వచించబడింది.

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

ఇక్కడ $a,\b$ త్రిభుజం యొక్క భుజాలు, $\alpha$ అనేది వాటి మధ్య కోణం.

రుజువు.

మాకు $AB=a$తో $ABC$ని త్రిభుజం ఇవ్వండి. $CH=h$ ఎత్తును కనుగొనండి. దానిని ఒక సమాంతర చతుర్భుజం $ABCD$ (Fig. 3) వరకు నిర్మిస్తాము.

సహజంగానే, త్రిభుజాల సమానత్వానికి $I$ ప్రమాణం ప్రకారం, $\triangle ACB=\triangle CDB$. అప్పుడు

కాబట్టి, సిద్ధాంతం ద్వారా $1$:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం

సిద్ధాంతం 5

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం దాని స్థావరాల పొడవు మరియు దాని ఎత్తు మొత్తం యొక్క సగం ఉత్పత్తిగా నిర్వచించబడింది.

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

రుజువు.

$AK=a,\ BC=b$ అనే ట్రాపెజాయిడ్ $ABCK$ని ఇవ్వండి. దానిలో ఎత్తులు $BM=h$ మరియు $KP=h$, అలాగే వికర్ణ $BK$ (Fig. 4)ని గీయండి.

చిత్రం 4.

సిద్ధాంతం ద్వారా $3$, మేము పొందుతాము

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నమూనా పని

ఉదాహరణ 1

సమబాహు త్రిభుజం వైపు పొడవు $a.$ అయితే దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం.

త్రిభుజం సమబాహుగా ఉన్నందున, దాని అన్ని కోణాలు $(60)^0$కి సమానంగా ఉంటాయి.

అప్పుడు, సిద్ధాంతం ద్వారా $4$, మనకు ఉంది

సమాధానం:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

ఈ సమస్య యొక్క ఫలితం ఇచ్చిన వైపుతో ఏదైనా సమబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించబడుతుందని గమనించండి.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భుజాలలో ఒకదానిని పిలవడానికి అంగీకరిస్తాము ఆధారంగా, మరియు బేస్ కలిగి ఉన్న రేఖకు ఎదురుగా ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ నుండి లంబంగా గీస్తారు సమాంతర చతుర్భుజం ఎత్తు.

సిద్ధాంతం

రుజువు

ప్రాంతం Sతో సమాంతర చతుర్భుజం ABCDని పరిశీలిద్దాం. ADని బేస్‌గా తీసుకుని, ВН మరియు СК (Fig. 182) ఎత్తులను గీయండి. S = AD VN అని నిరూపిద్దాం.

అన్నం. 182

ABCD దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం Sకి కూడా సమానమని మనం మొదట నిరూపిద్దాం. ట్రాపజోయిడ్ ABCD సమాంతర చతుర్భుజం ABCD మరియు త్రిభుజం DCKతో కూడి ఉంటుంది. మరోవైపు, ఇది దీర్ఘచతురస్రం НВСК మరియు ఒక త్రిభుజం АВНతో కూడి ఉంటుంది. కానీ లంబకోణ త్రిభుజాలు DCK మరియు ABHలు హైపోటెన్యూస్ మరియు అక్యూట్ యాంగిల్‌లో సమానంగా ఉంటాయి (వాటి హైపోటెన్యూస్ AB మరియు CD సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక భుజాలకు సమానంగా ఉంటాయి మరియు 1 మరియు 2 కోణాలు సమాంతర రేఖలు AB మరియు CD లు సెకంట్ ADతో కలుస్తున్నప్పుడు సంబంధిత కోణాలకు సమానంగా ఉంటాయి) , కాబట్టి వారి ప్రాంతాలు సమానంగా ఉంటాయి.

పర్యవసానంగా, సమాంతర చతుర్భుజం ABCD మరియు దీర్ఘచతురస్రం NVSK యొక్క ప్రాంతాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, అనగా దీర్ఘచతురస్రం NVSK యొక్క వైశాల్యం Sకి సమానం. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యంపై సిద్ధాంతం ప్రకారం, S = BC BN, మరియు నుండి BC = AD, ఆపై S = AD BN. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

త్రిభుజం యొక్క భుజాలలో ఒకదానిని తరచుగా పిలుస్తారు ఆధారంగా. బేస్ ఎంపిక చేయబడితే, అప్పుడు "ఎత్తు" అనే పదం బేస్కు గీసిన త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు అని అర్థం. సిద్ధాంతం

రుజువు

S త్రిభుజం ABC యొక్క వైశాల్యంగా ఉండనివ్వండి (Fig. 183). త్రిభుజం యొక్క ఆధారం వైపు ABని తీసుకొని, ఎత్తు CH గీయండి. అని నిరూపిద్దాం .

అన్నం. 183

మూర్తి 183లో చూపిన విధంగా ABCకి సమాంతర చతుర్భుజానికి ABCని పూర్తి చేద్దాం. ABC మరియు DCB త్రిభుజాలు మూడు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి (BC అనేది వాటి ఉమ్మడి వైపు, AB = CD మరియు AC = BD సమాంతర చతుర్భుజం ABDCకి వ్యతిరేక భుజాలు), కాబట్టి వాటి ప్రాంతాలు సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, ABC త్రిభుజం S ప్రాంతం సమాంతర చతుర్భుజం ABDC యొక్క సగం వైశాల్యానికి సమానం, అనగా. . సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

పరిణామం 1

పరిణామం 2

సమాన కోణాలను కలిగి ఉన్న త్రిభుజాల ప్రాంతాల నిష్పత్తిపై సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి కరోలరీ 2ని ఉపయోగిస్తాము.

సిద్ధాంతం

రుజువు

S మరియు S 1 త్రిభుజాలు ABC మరియు A 1 B 1 C 1 ప్రాంతాలుగా ఉండనివ్వండి, దీని కోసం ∠A = ∠A 1 (Fig. 184, a). అని నిరూపిద్దాం .

అన్నం. 184

ABC త్రిభుజంపై A 1 B 1 C 1 అనే త్రిభుజాన్ని సూపర్‌ఇంపోజ్ చేద్దాం, తద్వారా A 1 శీర్షం A శీర్షంతో సమలేఖనం అవుతుంది మరియు A 1 B 1 మరియు A 1 C 1 కిరణాలు వరుసగా AB మరియు AC లను అతివ్యాప్తి చేస్తాయి (Fig. 184, b). ABC మరియు AB 1 C త్రిభుజాలు ఒక సాధారణ ఎత్తును కలిగి ఉంటాయి - CH, కాబట్టి .

త్రిభుజాలు AB 1 C మరియు AB 1 C 1 కూడా సాధారణ ఎత్తును కలిగి ఉంటాయి - B 1 H 1, కాబట్టి . ఫలిత సమానతలను గుణించడం, మేము కనుగొంటాము:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం

ఏకపక్ష బహుభుజి వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు సాధారణంగా దీన్ని చేస్తారు: బహుభుజిని త్రిభుజాలుగా విభజించి, ప్రతి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. ఈ త్రిభుజాల వైశాల్యం మొత్తం ఇచ్చిన బహుభుజి వైశాల్యానికి సమానం (Fig. 185, a). ఈ సాంకేతికతను ఉపయోగించి, మేము ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందుతాము. ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ఎత్తును ఒక బేస్ యొక్క ఏదైనా పాయింట్ నుండి మరొక బేస్ కలిగి ఉన్న రేఖకు లంబంగా గీసేందుకు అంగీకరిస్తాము. మూర్తి 185, b, సెగ్మెంట్ BH (అలాగే సెగ్మెంట్ DH 1) అనేది ట్రాపెజాయిడ్ ABCD యొక్క ఎత్తు.

అన్నం. 185

సిద్ధాంతం

రుజువు

AD మరియు BC, ఎత్తు BH మరియు ప్రాంతం Sతో ట్రాపజోయిడ్ ABCDని పరిగణించండి (Fig. 185, b చూడండి).

అని నిరూపిద్దాం

వికర్ణ BD ట్రాపెజాయిడ్‌ను ABD మరియు BCD అనే రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది, కాబట్టి S = S ABD + S BCD.

ABD త్రిభుజం యొక్క ఆధారం మరియు ఎత్తుగా AD మరియు ВН విభాగాలను మరియు త్రిభుజం BCD యొక్క బేస్ మరియు ఎత్తుగా ВС మరియు DH 1 విభాగాలను తీసుకుందాం. అప్పుడు

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

పనులు

459. a ఆధారం, h ఎత్తు మరియు S సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యం. కనుగొనండి: a) S, a = 15 cm అయితే, h = 12 cm; బి) a, S = 34 cm 2 అయితే, h = 8.5 cm; సి) a, S = 162 cm 2 అయితే, h = 1/2a; d) h, h = 3a అయితే, S = 27.

460. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణం, 13 సెం.మీ.కు సమానం, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని 12 సెం.మీ.కి సమానం.

461. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న భుజాలు 12 సెం.మీ మరియు 14 సెం.మీ, మరియు దాని తీవ్రమైన కోణం 30°. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.

462. రాంబస్ వైపు 6 సెం.మీ ఉంటుంది, మరియు కోణాలలో ఒకటి 150°. రాంబస్ యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.

463. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైపు 8.1 సెం.మీ ఉంటుంది, మరియు వికర్ణం, 14 సెం.మీ.కి సమానం, దానితో 30° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.

464. a మరియు b సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న వైపులా ఉండనివ్వండి, S ప్రాంతం, a h 1 మరియు h 2 దాని ఎత్తులు. కనుగొనండి: a) h 2 అయితే a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 మరియు h 2, S = 54 cm 2 అయితే, a = 4.5 cm, b = 6 సెం.మీ.

465. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం 30°, మరియు మందమైన కోణం యొక్క శీర్షం నుండి గీసిన ఎత్తులు 2 సెం.మీ మరియు 3 సెం.మీ.

466. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణం దాని వైపుకు సమానంగా ఉంటుంది. సమాంతర చతుర్భుజం దాని పొడవైన వైపు 15.2 సెం.మీ మరియు దాని కోణాలలో ఒకటి 45 ° అయితే దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

467. చతురస్రం మరియు చతురస్రం కాని రాంబస్ ఒకే పరిధులను కలిగి ఉంటాయి. ఈ బొమ్మల ప్రాంతాలను సరిపోల్చండి.

468. a అనేది ఆధారం, h ఎత్తు మరియు S త్రిభుజం వైశాల్యం. కనుగొనండి: a) S, a = 7 cm అయితే, h = 11 cm; బి) S, a = 2√3 cm అయితే, h = 5 cm; సి) h, S = 37.8 cm 2 అయితే, a - 14 cm; d) a, S = 12 cm 2 అయితే, h = 3√2 cm.

469. ABC త్రిభుజం యొక్క AB మరియు BC భుజాలు వరుసగా 16 cm మరియు 22 cm, మరియు AB వైపు గీసిన ఎత్తు 11 cmకి సమానం BC వైపు గీసిన ఎత్తును కనుగొనండి.

470. త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలు 7.5 సెం.మీ.కు సమానంగా ఉంటాయి మరియు పెద్ద వైపుకు గీసిన ఎత్తు 2.4 సెం.మీ.

471. D లంబ త్రిభుజం యొక్క కాళ్లు సమానంగా ఉంటే దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి: a) 4 cm మరియు 11 cm; బి) 1.2 డిఎమ్ మరియు 3 డిఎమ్.

472. లంబ త్రిభుజం వైశాల్యం 168 సెం.మీ. వాటి పొడవుల నిష్పత్తి 7/12 అయితే దాని కాళ్లను కనుగొనండి.

473. ABC త్రిభుజం C శీర్షం ద్వారా, AB వైపు సమాంతరంగా m సరళ రేఖ గీస్తారు. లైన్ m మరియు బేస్ AB పై శీర్షాలు ఉన్న అన్ని త్రిభుజాలు సమాన ప్రాంతాలను కలిగి ఉన్నాయని నిరూపించండి.

474. ఇచ్చిన త్రిభుజం దాని మధ్యస్థంతో విభజించబడిన రెండు త్రిభుజాల ప్రాంతాలను సరిపోల్చండి.

475. ABC త్రిభుజం గీయండి. శీర్షం A ద్వారా రెండు సరళ రేఖలను గీయండి, తద్వారా అవి ఈ త్రిభుజాన్ని సమాన ప్రాంతాలను కలిగి ఉన్న మూడు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయి.

476. రాంబస్ వైశాల్యం దాని వికర్ణాల సగం ఉత్పత్తికి సమానమని నిరూపించండి. రాంబస్ వికర్ణాలు సమానంగా ఉంటే దాని వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి: a) 3.2 dm మరియు 14 cm; బి) 4.6 డిఎమ్ మరియు 2 డిఎమ్.

477. రాంబస్ వికర్ణాలలో ఒకటి మరొకదాని కంటే 1.5 రెట్లు పెద్దది మరియు రాంబస్ వైశాల్యం 27 సెం.మీ 2 అయితే వాటిని కనుగొనండి.

478. కుంభాకార చతుర్భుజంలో, వికర్ణాలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి. చతుర్భుజ వైశాల్యం దాని వికర్ణాల సగం ఉత్పత్తికి సమానమని నిరూపించండి.

479. ABC త్రిభుజం యొక్క AB మరియు AC వైపులా D మరియు E పాయింట్లు ఉంటాయి. కనుగొనండి: a) S ADE, AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2 ; బి) AD, AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2 అయితే.

480. AB మరియు CD బేస్‌లతో ట్రాపెజాయిడ్ ABCD వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి:

a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, ఎత్తు BH 7 cm;
బి) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. దీర్ఘచతురస్రాకార ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి, దీని రెండు చిన్న భుజాలు 6 సెం.మీ మరియు పెద్ద కోణం 135°.

482. సమద్విబాహు ట్రాపజోయిడ్ యొక్క మొద్దుబారిన కోణం 135°, మరియు ఈ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి తీయబడిన ఎత్తు పెద్ద స్థావరాన్ని 1.4 సెం.మీ మరియు 3.4 సెం.మీ విభాగాలుగా విభజిస్తుంది.

సమస్యలకు సమాధానాలు

459. ఎ) 180 సెం.మీ 2; బి) 4 సెం.మీ; సి) 18 సెం.మీ; డి) 9.

460. 156 సెం.మీ 2.

461.84 సెం.మీ 2.

462. 18 సెం.మీ 2.

463.56.7 cm2.

464. ఎ) 10 సెం.మీ; బి) 4 సెం.మీ; సి) 12 సెం.మీ మరియు 9 సెం.మీ.

465. 12 సెం.మీ 2.

466. 115.52 సెం.మీ 2.

467. చదరపు వైశాల్యం ఎక్కువ.

468. ఎ) 38.5 సెం.మీ 2; బి) 5√3 cm 2; సి) డి) 4√2 సెం.మీ.

470.5.625 సెం.మీ.

471. ఎ) 22 సెం.మీ 2; బి) 1.8 డిఎమ్ 2.

472. 14 సెం.మీ మరియు 24 సెం.మీ.

473. సూచన. సిద్ధాంతం 38 ఉపయోగించండి.

474. త్రిభుజాల ప్రాంతాలు సమానంగా ఉంటాయి.

475. సూచన. మొదట, BC వైపు మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించండి.

476. a) 224 cm 2; బి) 4.6 డిఎమ్ 2. గమనిక. రాంబస్ యొక్క వికర్ణాలు పరస్పరం లంబంగా ఉన్నాయని గమనించండి.

477. 6 సెం.మీ మరియు 9 సెం.మీ.

479. ఎ) 2 సెం 2; బి) 2.4 సెం.మీ. పేరా 53 యొక్క రెండవ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి.

480. ఎ) 133 సెం.మీ 2; బి) 24 సెం.మీ 2; సి) 72 సెం.మీ 2.

481.54 సెం.మీ 2.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ప్రాంతం

సిద్ధాంతం 1

ఇక్కడ $a$ అనేది సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఒక వైపు, $h$ అనేది ఈ వైపుకు గీసిన ఎత్తు.

రుజువు.

మాకు $AD=BC=a$తో సమాంతర చతుర్భుజం $ABCD$ని అందించండి. $DF$ మరియు $AE$ (Fig. 1) ఎత్తులను గీయండి.

చిత్రం 1.

సహజంగానే, $FDAE$ ఫిగర్ ఒక దీర్ఘ చతురస్రం.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

కాబట్టి, దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యంపై సిద్ధాంతం ప్రకారం:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం 2

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

ఇక్కడ $a,\b$ సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భుజాలు, $\alpha$ అనేది వాటి మధ్య కోణం.

రుజువు.

మూర్తి 2.

సైన్ నిర్వచనం ప్రకారం, మేము పొందుతాము

అందుకే

కాబట్టి, సిద్ధాంతం ద్వారా $1$:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

సిద్ధాంతం 3

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

ఇక్కడ $a$ అనేది త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపు, $h$ అనేది ఈ వైపుకు గీసిన ఎత్తు.

రుజువు.

మూర్తి 3.

కాబట్టి, సిద్ధాంతం ద్వారా $1$:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం 4

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

ఇక్కడ $a,\b$ త్రిభుజం యొక్క భుజాలు, $\alpha$ అనేది వాటి మధ్య కోణం.

రుజువు.

సహజంగానే, త్రిభుజాల సమానత్వానికి $I$ ప్రమాణం ప్రకారం, $\triangle ACB=\triangle CDB$. అప్పుడు

కాబట్టి, సిద్ధాంతం ద్వారా $1$:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం

సిద్ధాంతం 5

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

రుజువు.

చిత్రం 4.

సిద్ధాంతం ద్వారా $3$, మేము పొందుతాము

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నమూనా పని

ఉదాహరణ 1

సమబాహు త్రిభుజం వైపు పొడవు $a.$ అయితే దాని వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం.

త్రిభుజం సమబాహుగా ఉన్నందున, దాని అన్ని కోణాలు $(60)^0$కి సమానంగా ఉంటాయి.

అప్పుడు, సిద్ధాంతం ద్వారా $4$, మనకు ఉంది

సమాధానం:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.