మూలాలను సంగ్రహించడం: పద్ధతులు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు. మూలాల నుండి శక్తులకు మరియు వెనుకకు పరివర్తన, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు అధికారాలు మరియు మూలాలతో ఉదాహరణలను ఎలా పరిష్కరించాలి

ఇది క్రమబద్ధీకరించడానికి సమయం రూట్ వెలికితీత పద్ధతులు. అవి మూలాల లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి, ప్రత్యేకించి, సమానత్వంపై ఆధారపడి ఉంటాయి, ఇది ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య b కోసం వర్తిస్తుంది.

క్రింద మేము మూలాలను ఒక్కొక్కటిగా వెలికితీసే ప్రధాన పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము.

సరళమైన కేసుతో ప్రారంభిద్దాం - చతురస్రాల పట్టిక, ఘనాల పట్టిక మొదలైనవాటిని ఉపయోగించి సహజ సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడం.

చతురస్రాలు, క్యూబ్‌లు మొదలైన వాటి పట్టికలు ఉంటే. మీ వద్ద అది లేనట్లయితే, మూలాన్ని వెలికితీసే పద్ధతిని ఉపయోగించడం తార్కికం, ఇది రాడికల్ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోయేలా చేస్తుంది.

బేసి ఘాతాంకాలతో మూలాలకు ఏది సాధ్యమో ప్రత్యేకంగా ప్రస్తావించడం విలువ.

చివరగా, మూల విలువ యొక్క అంకెలను వరుసగా కనుగొనడానికి అనుమతించే పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం.

ప్రారంభిద్దాం.

చతురస్రాల పట్టిక, ఘనాల పట్టిక మొదలైనవాటిని ఉపయోగించడం.

సరళమైన సందర్భాల్లో, చతురస్రాలు, ఘనాల, మొదలైన వాటి పట్టికలు మీరు మూలాలను సేకరించేందుకు అనుమతిస్తాయి. ఈ పట్టికలు ఏమిటి?

0 నుండి 99 వరకు ఉన్న పూర్ణాంకాల చతురస్రాల పట్టిక (క్రింద చూపబడింది) రెండు జోన్‌లను కలిగి ఉంటుంది. పట్టిక యొక్క మొదటి జోన్ ఒక నిర్దిష్ట అడ్డు వరుస మరియు నిర్దిష్ట నిలువు వరుసను ఎంచుకోవడం ద్వారా 0 నుండి 99 వరకు ఒక సంఖ్యను కంపోజ్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, 8 పదుల వరుసను మరియు 3 యూనిట్ల నిలువు వరుసను ఎంచుకుందాం, దీనితో మేము 83 సంఖ్యను పరిష్కరించాము. రెండవ జోన్ మిగిలిన పట్టికను ఆక్రమించింది. ప్రతి సెల్ నిర్దిష్ట అడ్డు వరుస మరియు నిర్దిష్ట నిలువు వరుస యొక్క ఖండన వద్ద ఉంది మరియు 0 నుండి 99 వరకు సంబంధిత సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మేము ఎంచుకున్న 8 పదుల వరుస మరియు నిలువు వరుస 3 ఖండన వద్ద 6,889 సంఖ్యతో సెల్ ఉంది, ఇది 83 సంఖ్య యొక్క స్క్వేర్.

క్యూబ్‌ల పట్టికలు, 0 నుండి 99 వరకు ఉన్న సంఖ్యల నాల్గవ శక్తుల పట్టికలు మరియు మొదలైనవి చతురస్రాల పట్టికను పోలి ఉంటాయి, అవి రెండవ జోన్‌లో ఘనాలు, నాల్గవ శక్తులు మొదలైనవి మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి. సంబంధిత సంఖ్యలు.

చతురస్రాలు, ఘనాల పట్టికలు, నాల్గవ శక్తులు మొదలైనవి. వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు, నాల్గవ మూలాలు మొదలైనవాటిని సంగ్రహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. తదనుగుణంగా ఈ పట్టికలలోని సంఖ్యల నుండి. మూలాలను వెలికితీసేటప్పుడు వాటి ఉపయోగం యొక్క సూత్రాన్ని వివరించండి.

a సంఖ్య యొక్క nవ మూలాన్ని సంగ్రహించవలసి ఉందని అనుకుందాం, అయితే a సంఖ్య nth శక్తుల పట్టికలో ఉంటుంది. ఈ పట్టికను ఉపయోగించి మనం a=b n అనే సంఖ్యను కనుగొంటాము. అప్పుడు , కాబట్టి, b సంఖ్య nవ డిగ్రీకి కావలసిన మూలం అవుతుంది.

ఉదాహరణగా, 19,683 యొక్క క్యూబ్ రూట్‌ను సంగ్రహించడానికి క్యూబ్ టేబుల్‌ను ఎలా ఉపయోగించాలో చూపిద్దాం. మేము ఘనాల పట్టికలో 19,683 సంఖ్యను కనుగొంటాము, దాని నుండి ఈ సంఖ్య 27 సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ అని మేము కనుగొన్నాము, కాబట్టి, .

మూలాలను సంగ్రహించడానికి n వ శక్తుల పట్టికలు చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. అయినప్పటికీ, అవి తరచుగా చేతిలో ఉండవు మరియు వాటిని కంపైల్ చేయడానికి కొంత సమయం అవసరం. అంతేకాకుండా, సంబంధిత పట్టికలలో లేని సంఖ్యల నుండి మూలాలను సేకరించడం తరచుగా అవసరం. ఈ సందర్భాలలో, మీరు రూట్ వెలికితీత ఇతర పద్ధతులను ఆశ్రయించవలసి ఉంటుంది.

రాడికల్ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం

సహజ సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి చాలా అనుకూలమైన మార్గం (ఒకవేళ రూట్ సంగ్రహించబడినట్లయితే) రాడికల్ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం. తన పాయింట్ ఇది: ఆ తర్వాత దానిని కావలసిన ఘాతాంకంతో శక్తిగా సూచించడం చాలా సులభం, ఇది రూట్ విలువను పొందేందుకు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఈ విషయాన్ని స్పష్టం చేద్దాం.

సహజ సంఖ్య a యొక్క nవ మూలాన్ని తీసుకోనివ్వండి మరియు దాని విలువ bకి సమానం. ఈ సందర్భంలో, సమానత్వం a=b n నిజం. సంఖ్య b, ఏదైనా సహజ సంఖ్య వలె, దాని అన్ని ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది p 1 , p 2 , ..., p m రూపంలో p 1 ·p 2 ·…·p m , మరియు ఈ సందర్భంలో రాడికల్ సంఖ్య a (p 1 ·p 2 ·…·p m) n గా సూచించబడుతుంది. ఒక సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం విశిష్టమైనది కాబట్టి, రాడికల్ సంఖ్య a ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం అనేది రూట్ యొక్క విలువను గణించడం సాధ్యపడుతుంది (p 1 ·p 2 ·…·p m) n. వంటి.

ఒక రాడికల్ సంఖ్య a యొక్క ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడాన్ని (p 1 ·p 2 ·...·p m) n రూపంలో సూచించలేకపోతే, అటువంటి సంఖ్య a యొక్క nవ మూలం పూర్తిగా సంగ్రహించబడదని గమనించండి.

ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు దీనిని గుర్తించండి.

ఉదాహరణ.

144 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

పరిష్కారం.

మీరు మునుపటి పేరాలో ఇచ్చిన స్క్వేర్‌ల పట్టికను చూస్తే, మీరు 144 = 12 2 అని స్పష్టంగా చూడవచ్చు, దాని నుండి 144 యొక్క వర్గమూలం 12కి సమానం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

కానీ ఈ పాయింట్ వెలుగులో, రాడికల్ సంఖ్య 144ను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం ద్వారా రూట్ ఎలా సంగ్రహించబడుతుందనే దానిపై మాకు ఆసక్తి ఉంది. ఈ పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.

కుళ్ళిపోదాం 144 నుండి ప్రధాన కారకాలు:

అంటే, 144=2·2·2·2·3·3. ఫలితంగా కుళ్ళిపోవడం ఆధారంగా, కింది పరివర్తనాలు నిర్వహించబడతాయి: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. అందుకే, .

డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలు మరియు మూలాల లక్షణాలను ఉపయోగించి, పరిష్కారాన్ని కొద్దిగా భిన్నంగా రూపొందించవచ్చు: .

సమాధానం:

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మరో రెండు ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ.

రూట్ విలువను లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

రాడికల్ సంఖ్య 243 యొక్క ప్రధాన కారకం 243=3 5 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ విధంగా, .

సమాధానం:

ఉదాహరణ.

మూల విలువ పూర్ణాంకమా?

పరిష్కారం.

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, రాడికల్ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణిద్దాం మరియు దానిని పూర్ణాంకం యొక్క క్యూబ్‌గా సూచించవచ్చో లేదో చూద్దాం.

మాకు 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 ఉంది. ప్రధాన కారకం 7 యొక్క శక్తి మూడు యొక్క గుణకం కానందున, ఫలితంగా వచ్చే విస్తరణ పూర్ణాంకం యొక్క ఘనం వలె సూచించబడదు. కాబట్టి, 285,768 యొక్క క్యూబ్ రూట్ పూర్తిగా సంగ్రహించబడదు.

సమాధానం:

నం.

భిన్న సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడం

పాక్షిక సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని ఎలా సంగ్రహించాలో గుర్తించడానికి ఇది సమయం. భిన్న రాడికల్ సంఖ్యను p/q అని వ్రాయనివ్వండి. గుణకం యొక్క మూలం యొక్క లక్షణం ప్రకారం, కింది సమానత్వం నిజం. ఈ సమానత్వం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది భిన్నం యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించే నియమం: భిన్నం యొక్క మూలం హారం యొక్క మూలంతో భాగించబడిన న్యూమరేటర్ యొక్క మూలం యొక్క భాగానికి సమానం.

భిన్నం నుండి మూలాన్ని సంగ్రహించే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

సాధారణ భిన్నం 25/169 వర్గమూలం ఏమిటి?

పరిష్కారం.

చతురస్రాల పట్టికను ఉపయోగించి, అసలు భిన్నం యొక్క లవం యొక్క వర్గమూలం 5కి సమానం మరియు హారం యొక్క వర్గమూలం 13కి సమానం. అప్పుడు . ఇది సాధారణ భిన్నం 25/169 యొక్క మూలం యొక్క సంగ్రహణను పూర్తి చేస్తుంది.

సమాధానం:

రాడికల్ సంఖ్యలను సాధారణ భిన్నాలతో భర్తీ చేసిన తర్వాత దశాంశ భిన్నం లేదా మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క మూలం సంగ్రహించబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 474.552 యొక్క ఘనమూలాన్ని తీసుకోండి.

పరిష్కారం.

అసలు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంలా ఊహించుకుందాం: 474.552=474552/1000. అప్పుడు . ఫలిత భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో ఉన్న క్యూబ్ మూలాలను సంగ్రహించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ఎందుకంటే 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 మరియు 1 000 = 10 3, ఆపై మరియు . లెక్కలు పూర్తి చేయడమే మిగిలి ఉంది .

సమాధానం:

.

ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడం

ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడంపై నివసించడం విలువైనదే. మూలాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మూల ఘాతాంకం బేసి సంఖ్య అయినప్పుడు, మూల చిహ్నం క్రింద ప్రతికూల సంఖ్య ఉండవచ్చని మేము చెప్పాము. మేము ఈ ఎంట్రీలకు ఈ క్రింది అర్థాన్ని ఇచ్చాము: ప్రతికూల సంఖ్య -a మరియు రూట్ 2 n−1 యొక్క బేసి ఘాతాంకానికి, . ఈ సమానత్వం ఇస్తుంది ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి బేసి మూలాలను సంగ్రహించే నియమం: ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, మీరు వ్యతిరేక సానుకూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవాలి మరియు ఫలితం ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచాలి.

ఉదాహరణ పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

రూట్ విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

మూల సంకేతం క్రింద సానుకూల సంఖ్య ఉండేలా అసలు వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం: . ఇప్పుడు మిశ్రమ సంఖ్యను సాధారణ భిన్నంతో భర్తీ చేయండి: . మేము సాధారణ భిన్నం యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము: . ఫలిత భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని మూలాలను లెక్కించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది: .

పరిష్కారం యొక్క సంక్షిప్త సారాంశం ఇక్కడ ఉంది: .

సమాధానం:

.

మూల విలువ యొక్క బిట్‌వైస్ నిర్ణయం

సాధారణ సందర్భంలో, రూట్ కింద ఒక సంఖ్య ఉంది, పైన చర్చించిన సాంకేతికతలను ఉపయోగించి, ఏదైనా సంఖ్య యొక్క nవ శక్తిగా సూచించబడదు. కానీ ఈ సందర్భంలో కనీసం ఒక నిర్దిష్ట సంకేతం వరకు ఇచ్చిన రూట్ యొక్క అర్ధాన్ని తెలుసుకోవలసిన అవసరం ఉంది. ఈ సందర్భంలో, మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, మీరు కావలసిన సంఖ్య యొక్క తగినంత సంఖ్యలో అంకెల విలువలను వరుసగా పొందేందుకు మిమ్మల్ని అనుమతించే అల్గోరిథంను ఉపయోగించవచ్చు.

ఈ అల్గోరిథం యొక్క మొదటి దశ రూట్ విలువ యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన బిట్ ఏమిటో కనుగొనడం. దీన్ని చేయడానికి, 0, 10, 100, ... సంఖ్యలు రాడికల్ సంఖ్యను అధిగమించిన క్షణం వరకు n శక్తికి వరుసగా పెంచబడతాయి. అప్పుడు మేము మునుపటి దశలో పవర్ nకి పెంచిన సంఖ్య సంబంధిత అత్యంత ముఖ్యమైన అంకెను సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, ఐదు వర్గమూలాన్ని సంగ్రహిస్తున్నప్పుడు అల్గోరిథం యొక్క ఈ దశను పరిగణించండి. 0, 10, 100, ... సంఖ్యలను తీసుకుని, మనం 5 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను పొందే వరకు వాటిని వర్గీకరించండి. మనకు 0 2 =0 ఉంది<5 , 10 2 =100>5, అంటే అత్యంత ముఖ్యమైన అంకె ఒక అంకెగా ఉంటుంది. ఈ బిట్ యొక్క విలువ, అలాగే దిగువ వాటిని, రూట్ వెలికితీత అల్గోరిథం యొక్క తదుపరి దశలలో కనుగొనబడుతుంది.

అల్గోరిథం యొక్క అన్ని తదుపరి దశలు రూట్ యొక్క కావలసిన విలువ యొక్క తదుపరి బిట్‌ల విలువలను కనుగొనడం ద్వారా, అత్యధికంగా ప్రారంభించి, అత్యల్ప వాటికి వెళ్లడం ద్వారా రూట్ విలువను వరుసగా స్పష్టం చేయడం లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి దశలో రూట్ విలువ 2, రెండవది - 2.2, మూడవది - 2.23, మరియు 2.236067977…. బిట్‌ల విలువలు ఎలా కనుగొనబడతాయో వివరిస్తాము.

అంకెలు వాటి సాధ్యం విలువలు 0, 1, 2, ..., 9 ద్వారా శోధించడం ద్వారా కనుగొనబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, సంబంధిత సంఖ్యల యొక్క n వ శక్తులు సమాంతరంగా లెక్కించబడతాయి మరియు అవి రాడికల్ సంఖ్యతో పోల్చబడతాయి. కొన్ని దశలో డిగ్రీ విలువ రాడికల్ సంఖ్యను మించి ఉంటే, మునుపటి విలువకు సంబంధించిన అంకె యొక్క విలువ కనుగొనబడినట్లు పరిగణించబడుతుంది మరియు ఇది జరగకపోతే రూట్ వెలికితీత అల్గోరిథం యొక్క తదుపరి దశకు పరివర్తనం చేయబడుతుంది, అప్పుడు ఈ అంకె విలువ 9.

ఐదు వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించే అదే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పాయింట్లను వివరిస్తాము.

మొదట మనం యూనిట్ల అంకెల విలువను కనుగొంటాము. మేము రాడికల్ సంఖ్య 5 కంటే ఎక్కువ విలువను పొందే వరకు మేము వరుసగా 0, 1, 2, ..., 9, 0 2, 1 2, ..., 9 2, గణన ద్వారా వెళ్తాము. ఈ లెక్కలన్నింటినీ పట్టిక రూపంలో ప్రదర్శించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:

కాబట్టి యూనిట్ల అంకెల విలువ 2 (2 2 నుండి<5 , а 2 3 >5 ). పదవ స్థానం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి వెళ్దాం. ఈ సందర్భంలో, మేము 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 సంఖ్యలను వర్గీకరిస్తాము, ఫలిత విలువలను రాడికల్ సంఖ్య 5 తో పోల్చండి:

2.2 2 నుండి<5 , а 2,3 2 >5, అప్పుడు పదవ స్థానం విలువ 2. మీరు వందవ స్థానం విలువను కనుగొనడానికి కొనసాగవచ్చు:

ఈ విధంగా ఐదు యొక్క మూలం యొక్క తదుపరి విలువ కనుగొనబడింది, ఇది 2.23కి సమానం. కాబట్టి మీరు విలువలను కనుగొనడం కొనసాగించవచ్చు: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము పరిగణించబడిన అల్గోరిథంను ఉపయోగించి రూట్ యొక్క వెలికితీతను వందవ వంతు ఖచ్చితత్వంతో విశ్లేషిస్తాము.

మొదట మేము అత్యంత ముఖ్యమైన అంకెను నిర్ణయిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము 0, 10, 100 మొదలైన సంఖ్యలను క్యూబ్ చేస్తాము. మేము 2,151,186 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను పొందే వరకు. మనకు 0 3 =0 ఉంది<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , కాబట్టి అత్యంత ముఖ్యమైన అంకె పదుల అంకె.

దాని విలువను నిర్ధారిద్దాం.

10 3 నుండి<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, అప్పుడు పదుల స్థలం విలువ 1. యూనిట్లకు వెళ్దాం.

అందువలన, ఒక అంకె విలువ 2. పదవ వంతుకు వెళ్దాం.

12.9 3 కూడా రాడికల్ సంఖ్య 2 151.186 కంటే తక్కువ కాబట్టి, పదవ స్థానం విలువ 9. ఇది అల్గోరిథం యొక్క చివరి దశను నిర్వహించడానికి మిగిలి ఉంది, ఇది మాకు అవసరమైన ఖచ్చితత్వంతో రూట్ యొక్క విలువను ఇస్తుంది.

ఈ దశలో, రూట్ విలువ వందవ వంతు వరకు ఖచ్చితమైనదిగా కనుగొనబడింది: .

ఈ వ్యాసం ముగింపులో, మూలాలను తీయడానికి అనేక ఇతర మార్గాలు ఉన్నాయని నేను చెప్పాలనుకుంటున్నాను. కానీ చాలా పనులకు మనం పైన అధ్యయనం చేసినవే సరిపోతాయి.

గ్రంథ పట్టిక.

• మకరిచెవ్ యు.ఎన్., మిండియుక్ ఎన్.జి., నెష్కోవ్ కె.ఐ., సువోరోవా ఎస్.బి. బీజగణితం: 8వ తరగతికి పాఠ్య పుస్తకం. విద్యా సంస్థలు.
• కోల్మోగోరోవ్ A.N., అబ్రమోవ్ A.M., డడ్నిట్సిన్ యు.పి. మరియు ఇతరులు బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం: సాధారణ విద్యా సంస్థల 10 - 11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం.
• గుసేవ్ V.A., మోర్డ్కోవిచ్ A.G. గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లో ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్).

మూలాలు మరియు శక్తులతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి తరచుగా మూలాలు మరియు శక్తుల మధ్య ముందుకు వెనుకకు వెళ్లడం అవసరం. ఈ వ్యాసంలో అటువంటి పరివర్తనాలు ఎలా జరుగుతాయి, వాటికి ఏది ఆధారం మరియు ఏ పాయింట్ల వద్ద లోపాలు ఎక్కువగా జరుగుతాయో చూద్దాం. మేము పరిష్కారాల యొక్క వివరణాత్మక విశ్లేషణతో సాధారణ ఉదాహరణలతో ఇవన్నీ అందిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

పాక్షిక ఘాతాంకాలతో కూడిన శక్తుల నుండి మూలాలకు మార్పు

పాక్షిక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ నుండి మూలానికి వెళ్లే అవకాశం డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం ద్వారా నిర్దేశించబడుతుంది. అది ఎలా నిర్ణయించబడిందో మనం గుర్తుచేసుకుందాం: పాక్షిక ఘాతాంకం m/nతో ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క శక్తి, ఇక్కడ m ఒక పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సహజ సంఖ్య, దీనిని m యొక్క nవ మూలం అంటారు, అంటే a>0 , m∈Z, n∈ N. సున్నా యొక్క పాక్షిక శక్తి అదేవిధంగా నిర్వచించబడింది , ఒకే తేడాతో ఈ సందర్భంలో m ఇకపై పూర్ణాంకంగా పరిగణించబడదు, కానీ సహజమైనది, కాబట్టి సున్నా ద్వారా విభజన జరగదు.

అందువలన, డిగ్రీని ఎల్లప్పుడూ రూట్ ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు నుండి వరకు వెళ్లవచ్చు మరియు డిగ్రీని రూట్ ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు. కానీ మీరు వ్యక్తీకరణ నుండి రూట్‌కి వెళ్లకూడదు, ఎందుకంటే డిగ్రీ మొదట్లో అర్ధవంతం కాదు (ప్రతికూల సంఖ్యల డిగ్రీ నిర్వచించబడలేదు), మూలానికి అర్థం ఉన్నప్పటికీ.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సంఖ్యల శక్తుల నుండి మూలాలకు మారడంలో గమ్మత్తైనది ఏమీ లేదు. పాక్షిక ఘాతాంకాలతో ఉన్న శక్తుల మూలాలకు పరివర్తన, దీని బేస్ వద్ద ఏకపక్ష వ్యక్తీకరణలు, ఇదే విధంగా నిర్వహించబడతాయి. ఒరిజినల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ కోసం వేరియబుల్స్ యొక్క ODZలో పేర్కొన్న పరివర్తన నిర్వహించబడుతుందని గమనించండి. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఈ వ్యక్తీకరణ కోసం వేరియబుల్ x యొక్క మొత్తం ODZలో రూట్‌తో భర్తీ చేయవచ్చు . మరియు డిగ్రీ నుండి మూలానికి వెళ్ళండి , అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ నుండి ఏదైనా వేరియబుల్స్ x, y మరియు z కోసం అటువంటి భర్తీ జరుగుతుంది.

మూలాలను శక్తులతో భర్తీ చేయడం

రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ కూడా సాధ్యమే, అంటే, మూలాలను పాక్షిక ఘాతాంకాలతో శక్తులతో భర్తీ చేయడం. ఇది సమానత్వంపై కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో కుడి నుండి ఎడమకు, అంటే రూపంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

సానుకూల కోసం సూచించిన పరివర్తన స్పష్టంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మీరు డిగ్రీని తో భర్తీ చేయవచ్చు మరియు ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక ఘాతాంకంతో రూట్ నుండి డిగ్రీకి వెళ్లవచ్చు.

మరియు ప్రతికూలత కోసం సమానత్వం అర్ధవంతం కాదు, కానీ మూలం ఇప్పటికీ అర్ధవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మూలాలు అర్థవంతంగా ఉంటాయి, కానీ వాటిని శక్తులతో భర్తీ చేయలేము. కాబట్టి వాటిని అధికారాలతో వ్యక్తీకరణలుగా మార్చడం కూడా సాధ్యమేనా? మీరు ప్రాథమిక పరివర్తనలను నిర్వహిస్తే ఇది సాధ్యమవుతుంది, అవి వాటి క్రింద ప్రతికూల సంఖ్యలతో మూలాలకు వెళ్లడం ఉంటాయి, అవి పాక్షిక ఘాతాకాలతో శక్తులతో భర్తీ చేయబడతాయి. ఈ ప్రాథమిక పరివర్తనలు ఏమిటి మరియు వాటిని ఎలా నిర్వహించాలో మేము చూపుతాము.

రూట్ విషయంలో, మీరు ఈ క్రింది పరివర్తనలను చేయవచ్చు: . మరియు 4 అనేది ధనాత్మక సంఖ్య కాబట్టి, చివరి మూలాన్ని శక్తితో భర్తీ చేయవచ్చు. మరియు రెండవ సందర్భంలో ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క బేసి మూలాన్ని నిర్ణయించడం−a (ఎక్కడ సానుకూలంగా ఉంటుంది), సమానత్వం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది , రూట్‌ని ఎక్స్‌ప్రెషన్‌తో భర్తీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, దీనిలో రెండు యొక్క క్యూబ్ రూట్ ఇప్పటికే డిగ్రీతో భర్తీ చేయబడుతుంది మరియు అది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.

వ్యక్తీకరణలు ఉన్న మూలాలు బేస్‌లో ఈ వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉన్న శక్తుల ద్వారా ఎలా భర్తీ చేయబడతాయో గుర్తించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. దానితో భర్తీ చేయడానికి తొందరపడవలసిన అవసరం లేదు, మేము ఒక నిర్దిష్ట వ్యక్తీకరణను సూచించడానికి A అక్షరాన్ని ఉపయోగించాము. దీని అర్థం ఏమిటో వివరించడానికి ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. నేను సమానత్వం ఆధారంగా రూట్‌ని డిగ్రీతో భర్తీ చేయాలనుకుంటున్నాను. కానీ అటువంటి భర్తీ షరతు x−3≥0 కింద మాత్రమే సరిపోతుంది మరియు ODZ నుండి వేరియబుల్ x యొక్క ఇతర విలువలకు (పరిస్థితి x−3ని సంతృప్తిపరుస్తుంది<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

ఫార్ములా యొక్క ఈ సరికాని అనువర్తనం కారణంగా, మూలాల నుండి శక్తులకు మారినప్పుడు తరచుగా లోపాలు సంభవిస్తాయి. ఉదాహరణకు, పాఠ్యపుస్తకంలో హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి రూపంలో వ్యక్తీకరణను సూచించడానికి టాస్క్ ఇవ్వబడుతుంది మరియు సమాధానం ఇవ్వబడుతుంది, ఇది ప్రశ్నలను లేవనెత్తుతుంది, ఎందుకంటే షరతు b>0 పరిమితిని పేర్కొనలేదు. మరియు పాఠ్యపుస్తకంలో వ్యక్తీకరణ నుండి పరివర్తన ఉంది , చాలా మటుకు అహేతుక వ్యక్తీకరణ యొక్క క్రింది రూపాంతరాల ద్వారా

వ్యక్తీకరణకు. తాజా మార్పు కూడా ప్రశ్నలను లేవనెత్తుతుంది, ఎందుకంటే ఇది DZని తగ్గిస్తుంది.

ఒక తార్కిక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: "ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువల కోసం రూట్ నుండి పవర్‌కి సరిగ్గా ఎలా మారవచ్చు?" ఈ భర్తీ కింది ప్రకటనల ఆధారంగా నిర్వహించబడుతుంది:

రికార్డ్ చేసిన ఫలితాలను సమర్థించే ముందు, మూలాల నుండి శక్తులకు మారడం కోసం మేము వాటి ఉపయోగం యొక్క అనేక ఉదాహరణలను ఇస్తాము. మొదట, వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వెళ్దాం. ఇది భర్తీ చేయవలసింది , కానీ ద్వారా (ఈ సందర్భంలో m=2 అనేది సరి పూర్ణాంకం, n=3 సహజ పూర్ణాంకం). మరొక ఉదాహరణ: .

ఇప్పుడు ఫలితాల వాగ్దానం సమర్థన.

m అనేది బేసి పూర్ణాంకం, మరియు n అనేది సరి సహజ పూర్ణాంకం అయినప్పుడు, వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ నుండి ఏదైనా వేరియబుల్స్ సెట్ కోసం, వ్యక్తీకరణ A యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది (m అయితే<0 ) или неотрицательно (если m>0) అందుకే, .

రెండవ ఫలితానికి వెళ్దాం. m అనేది ధనాత్మక బేసి పూర్ణాంకం మరియు n బేసి సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు, వ్యక్తీకరణ A యొక్క విలువ ప్రతికూలంగా ఉండదు, , మరియు ఇది ప్రతికూలమైనది,

కింది ఫలితం ప్రతికూల మరియు బేసి పూర్ణాంకాల m మరియు బేసి సహజ పూర్ణాంకాల n కోసం అదే విధంగా నిరూపించబడింది. ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు, వ్యక్తీకరణ A యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది, , మరియు ఇది ప్రతికూలమైనది,

చివరగా, చివరి ఫలితం. m ఒక సరి పూర్ణాంకం, n ఏదైనా సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు, వ్యక్తీకరణ A యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది (m అయితే<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . మరియు ఇది ప్రతికూలమైనది, . కాబట్టి, m అనేది సరి పూర్ణాంకం అయితే, n అనేది ఏదైనా సహజ సంఖ్య, అప్పుడు వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువల సెట్ కోసం దాన్ని భర్తీ చేయవచ్చు.

గ్రంథ పట్టిక.

1. బీజగణితంమరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం: Proc. 10-11 తరగతులకు. సాధారణ విద్య సంస్థలు / A. N. కోల్మోగోరోవ్, A. M. అబ్రమోవ్, యు. పి. డడ్నిట్సిన్ మరియు ఇతరులు; Ed. A. N. కోల్మోగోరోవ్ - 14వ ఎడిషన్ - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.
2. బీజగణితంమరియు గణిత విశ్లేషణ ప్రారంభం. 11వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు: ప్రాథమిక మరియు ప్రొఫైల్. స్థాయిలు / [యు. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. ఫెడోరోవా, M. I. షాబునిన్]; ద్వారా సవరించబడింది A. B. జిజ్చెంకో. – M.: ఎడ్యుకేషన్, 2009.- 336 pp.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.

Excel అంతర్నిర్మిత విధులు మరియు గణిత ఆపరేటర్లను రూట్‌ను సంగ్రహించడానికి మరియు ఒక సంఖ్యను శక్తికి పెంచడానికి ఉపయోగిస్తుంది. ఉదాహరణలు చూద్దాం.

Excelలో SQRT ఫంక్షన్‌కి ఉదాహరణలు

అంతర్నిర్మిత SQRT ఫంక్షన్ సానుకూల వర్గమూల విలువను అందిస్తుంది. ఫంక్షన్ల మెనులో, ఇది గణిత వర్గంలో ఉంది.

ఫంక్షన్ సింటాక్స్: =ROOT(సంఖ్య).

ఫంక్షన్ వర్గమూలాన్ని గణించే సానుకూల సంఖ్య మాత్రమే మరియు అవసరమైన వాదన. వాదన ప్రతికూలంగా ఉంటే, Excel #NUM లోపాన్ని అందిస్తుంది.

మీరు ఒక నిర్దిష్ట విలువను లేదా సంఖ్యా విలువ కలిగిన సెల్‌కు సూచనను ఆర్గ్యుమెంట్‌గా పేర్కొనవచ్చు.

ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఫంక్షన్ 36 సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని అందించింది. ఆర్గ్యుమెంట్ అనేది ఒక నిర్దిష్ట విలువ.

ABS ఫంక్షన్ -36 యొక్క సంపూర్ణ విలువను అందిస్తుంది. ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహిస్తున్నప్పుడు లోపాలను నివారించడానికి దీని ఉపయోగం మాకు అనుమతి ఇచ్చింది.

ఫంక్షన్ 13 మొత్తం యొక్క వర్గమూలాన్ని మరియు సెల్ C1 విలువను తీసుకుంది.



Excel లో ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ ఫంక్షన్

ఫంక్షన్ సింటాక్స్: =POWER(విలువ, సంఖ్య). రెండు వాదనలు అవసరం.

విలువ ఏదైనా నిజమైన సంఖ్యా విలువ. ఒక సంఖ్య అనేది ఇచ్చిన విలువను పెంచాల్సిన శక్తికి సూచిక.

ఉదాహరణలు చూద్దాం.

సెల్ C2 లో - సంఖ్య 10 స్క్వేర్ చేయడం యొక్క ఫలితం.

ఫంక్షన్ 100 సంఖ్యను ¾కి పెంచింది.

ఆపరేటర్‌ని ఉపయోగించి ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్

ఎక్సెల్‌లో సంఖ్యను శక్తికి పెంచడానికి, మీరు గణిత ఆపరేటర్ “^”ని ఉపయోగించవచ్చు. దీన్ని నమోదు చేయడానికి, Shift + 6 (ఇంగ్లీష్ కీబోర్డ్ లేఅవుట్‌తో) నొక్కండి.

ఎక్సెల్ నమోదు చేసిన సమాచారాన్ని ఫార్ములాగా పరిగణించడానికి, మొదట “=” గుర్తు ఉంచబడుతుంది. తదుపరిది శక్తికి పెంచాల్సిన సంఖ్య. మరియు "^" గుర్తు తర్వాత డిగ్రీ విలువ.

ఈ గణిత సూత్రం యొక్క ఏదైనా విలువకు బదులుగా, మీరు సంఖ్యలతో కణాలకు సూచనలను ఉపయోగించవచ్చు.

మీరు బహుళ విలువలను నిర్మించాల్సిన అవసరం ఉన్నట్లయితే ఇది సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ఫార్ములాను మొత్తం కాలమ్‌కి కాపీ చేయడం ద్వారా, కాలమ్ Aలోని సంఖ్యలను మూడవ శక్తికి పెంచడం ద్వారా మేము త్వరగా ఫలితాలను పొందాము.

n వ మూలాలను సంగ్రహించడం

రూట్ అనేది Excelలో వర్గమూలం. 3వ, 4వ మరియు ఇతర డిగ్రీల మూలాన్ని ఎలా సంగ్రహించాలి?

గణిత చట్టాలలో ఒకదానిని గుర్తుంచుకోండి: n వ మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, మీరు సంఖ్యను 1/n శక్తికి పెంచాలి.

ఉదాహరణకు, క్యూబ్ రూట్‌ను సంగ్రహించడానికి, మేము సంఖ్యను 1/3 శక్తికి పెంచుతాము.

ఎక్సెల్‌లో వివిధ డిగ్రీల మూలాలను సంగ్రహించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

ఫార్ములా సంఖ్య 21 యొక్క క్యూబ్ రూట్ విలువను అందించింది. పాక్షిక శక్తికి పెంచడానికి, “^” ఆపరేటర్ ఉపయోగించబడింది.

అభినందనలు: ఈ రోజు మనం మూలాలను పరిశీలిస్తాము - 8వ తరగతిలో అత్యంత ఆకర్షణీయమైన అంశాలలో ఒకటి :)

చాలా మంది మూలాల గురించి అయోమయం చెందుతారు, అవి సంక్లిష్టంగా ఉన్నందున కాదు (దాని గురించి చాలా క్లిష్టంగా ఉంది - కొన్ని నిర్వచనాలు మరియు మరికొన్ని లక్షణాలు), కానీ చాలా పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలలో మూలాలు పాఠ్యపుస్తకాల రచయితలు మాత్రమే అడవి ద్వారా నిర్వచించబడతాయి. వారు ఈ రచనను అర్థం చేసుకోగలరు. మరియు అప్పుడు కూడా మంచి విస్కీ బాటిల్‌తో మాత్రమే.

అందువల్ల, ఇప్పుడు నేను రూట్ యొక్క అత్యంత సరైన మరియు అత్యంత సమర్థమైన నిర్వచనాన్ని ఇస్తాను - మీరు నిజంగా గుర్తుంచుకోవలసినది మాత్రమే. ఆపై నేను వివరిస్తాను: ఇవన్నీ ఎందుకు అవసరం మరియు ఆచరణలో ఎలా ఉపయోగించాలో.

అయితే ముందుగా, అనేక పాఠ్యపుస్తక కంపైలర్లు కొన్ని కారణాల వల్ల "మర్చిపోతారు" అనే ఒక ముఖ్యమైన విషయాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

మూలాలు సరి స్థాయి (మాకు ఇష్టమైన $\sqrt(a)$, అలాగే అన్ని రకాల $\sqrt(a)$ మరియు $\sqrt(a)$) మరియు బేసి డిగ్రీ (అన్ని రకాల $\sqrt) ఉండవచ్చు (a)$, $\ sqrt(a)$, మొదలైనవి). మరియు బేసి డిగ్రీ యొక్క మూలం యొక్క నిర్వచనం సరి ఒకటి నుండి కొంత భిన్నంగా ఉంటుంది.

మూలాలతో అనుబంధించబడిన అన్ని లోపాలు మరియు అపార్థాలలో బహుశా 95% ఈ ఫకింగ్ "కొంత భిన్నంగా" దాగి ఉండవచ్చు. కాబట్టి పరిభాషను ఒకసారి మరియు అందరికీ క్లియర్ చేద్దాం:

నిర్వచనం. రూట్ కూడా n$a$ సంఖ్య నుండి ఏదైనా ప్రతికూలత లేని$b$ అంటే $((b)^(n))=a$. మరియు అదే సంఖ్య $a$ యొక్క బేసి మూలం సాధారణంగా ఏదైనా $b$ అయితే అదే సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది: $((b)^(n))=a$.

ఏదైనా సందర్భంలో, రూట్ ఇలా సూచించబడుతుంది:

\(a)\]

అటువంటి సంజ్ఞామానంలో $n$ సంఖ్యను మూల ఘాతాంకం అంటారు మరియు $a$ సంఖ్యను రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ అంటారు. ప్రత్యేకించి, $n=2$కి మనం మన “ఇష్టమైన” వర్గమూలాన్ని పొందుతాము (మార్గం ద్వారా, ఇది సరి డిగ్రీ యొక్క మూలం), మరియు $n=3$కి మనం క్యూబిక్ రూట్ (బేసి డిగ్రీ) పొందుతాము, ఇది తరచుగా సమస్యలు మరియు సమీకరణాలలో కూడా కనుగొనబడుతుంది.

ఉదాహరణలు. వర్గమూలాల క్లాసిక్ ఉదాహరణలు:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మార్గం ద్వారా, $\sqrt(0)=0$, మరియు $\sqrt(1)=1$. $(0)^(2))=0$ మరియు $((1)^(2))=1$ కనుక ఇది చాలా తార్కికం.

క్యూబ్ మూలాలు కూడా సాధారణం - వాటికి భయపడాల్సిన అవసరం లేదు:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సరే, కొన్ని "అన్యదేశ ఉదాహరణలు":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సరి మరియు బేసి డిగ్రీ మధ్య తేడా ఏమిటో మీకు అర్థం కాకపోతే, నిర్వచనాన్ని మళ్లీ చదవండి. ఇది చాలా ముఖ్యం!

ఈ సమయంలో, మేము మూలాల యొక్క ఒక అసహ్యకరమైన లక్షణాన్ని పరిశీలిస్తాము, దీని కారణంగా మేము సరి మరియు బేసి ఘాతాంకాలకు ప్రత్యేక నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయవలసి ఉంటుంది.

అసలు మూలాలు ఎందుకు అవసరం?

నిర్వచనాన్ని చదివిన తర్వాత, చాలా మంది విద్యార్థులు ఇలా అడుగుతారు: "గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని కనుగొన్నప్పుడు ఏమి పొగ త్రాగుతున్నారు?" మరియు నిజంగా: ఈ మూలాలన్నీ ఎందుకు అవసరం?

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, ఒక క్షణం ప్రాథమిక పాఠశాలకు తిరిగి వెళ్దాం. గుర్తుంచుకోండి: ఆ సుదూర కాలంలో, చెట్లు పచ్చగా మరియు కుడుములు రుచిగా ఉన్నప్పుడు, మా ప్రధాన ఆందోళన సంఖ్యలను సరిగ్గా గుణించడం. బాగా, "ఐదు నుండి ఐదు - ఇరవై ఐదు" వంటిది, అంతే. కానీ మీరు సంఖ్యలను జంటలుగా కాకుండా ట్రిపుల్స్, క్వాడ్రపుల్స్ మరియు సాధారణంగా మొత్తం సెట్లలో గుణించవచ్చు:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

అయితే, ఇది పాయింట్ కాదు. ఉపాయం భిన్నంగా ఉంటుంది: గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సోమరిపోతులు, కాబట్టి వారు పది ఐదుల గుణకారాన్ని ఇలా వ్రాయడానికి చాలా కష్టపడ్డారు:

అందుకే డిగ్రీలు ఎక్కారు. లాంగ్ స్ట్రింగ్‌కు బదులుగా కారకాల సంఖ్యను సూపర్‌స్క్రిప్ట్‌గా ఎందుకు వ్రాయకూడదు? ఇలాంటిది ఏదైనా:

ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది! అన్ని లెక్కలు గణనీయంగా తగ్గాయి మరియు మీరు 5,183ని వ్రాయడానికి పార్చ్‌మెంట్ షీట్లు మరియు నోట్‌బుక్‌ల సమూహాన్ని వృథా చేయనవసరం లేదు. ఈ రికార్డును సంఖ్య యొక్క శక్తి అని పిలుస్తారు, దానిలో కొన్ని లక్షణాలు కనుగొనబడ్డాయి, కానీ ఆనందం స్వల్పకాలికంగా మారింది.

కేవలం డిగ్రీల "ఆవిష్కరణ" కోసం ఏర్పాటు చేయబడిన గొప్ప మద్యపాన పార్టీ తరువాత, కొంతమంది మొండి పట్టుదలగల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అకస్మాత్తుగా ఇలా అడిగారు: "మనకు ఒక సంఖ్య యొక్క డిగ్రీ తెలిస్తే, కానీ సంఖ్య కూడా తెలియకపోతే?" ఇప్పుడు, నిజానికి, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య $b$, చెప్పాలంటే, 5వ శక్తికి 243 ఇస్తుందని మనకు తెలిస్తే, $b$ సంఖ్య దేనికి సమానం అని మనం ఎలా ఊహించగలం?

ఈ సమస్య మొదటి చూపులో కనిపించే దానికంటే చాలా గ్లోబల్‌గా మారింది. ఎందుకంటే చాలా "రెడీమేడ్" శక్తులకు అలాంటి "ప్రారంభ" సంఖ్యలు లేవని తేలింది. మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

$((b)^(3))=$50 అయితే? మనం ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, దానితో మూడుసార్లు గుణించినప్పుడు, మనకు 50 వస్తుంది. అయితే ఈ సంఖ్య ఏమిటి? 3 3 = 27 కనుక ఇది స్పష్టంగా 3 కంటే ఎక్కువ< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. అంటే ఈ సంఖ్య మూడు మరియు నాలుగు మధ్య ఎక్కడో ఉంటుంది, కానీ అది దేనికి సమానమో మీకు అర్థం కాదు.

అందుకే గణిత శాస్త్రవేత్తలు $n$వ మూలాలను కనుగొన్నారు. అందుకే రాడికల్ గుర్తు $\sqrt(*)$ ప్రవేశపెట్టబడింది. చాలా సంఖ్యను సూచించడానికి $b$, ఇది సూచించిన డిగ్రీకి మనకు గతంలో తెలిసిన విలువను ఇస్తుంది

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

నేను వాదించను: తరచుగా ఈ మూలాలు సులభంగా లెక్కించబడతాయి - మేము పైన అలాంటి అనేక ఉదాహరణలను చూశాము. అయినప్పటికీ, చాలా సందర్భాలలో, మీరు ఏకపక్ష సంఖ్య గురించి ఆలోచించి, దాని నుండి ఏకపక్ష డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సేకరించేందుకు ప్రయత్నిస్తే, మీరు భయంకరమైన బమ్మర్‌కు గురవుతారు.

అక్కడ ఏమి వుంది! సరళమైన మరియు అత్యంత సుపరిచితమైన $\sqrt(2)$ని కూడా మా సాధారణ రూపంలో - పూర్ణాంకం లేదా భిన్నం వలె సూచించలేము. మరియు మీరు ఈ సంఖ్యను కాలిక్యులేటర్‌లో నమోదు చేస్తే, మీరు దీన్ని చూస్తారు:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎటువంటి తర్కాన్ని పాటించని సంఖ్యల అంతులేని క్రమం ఉంది. ఇతర సంఖ్యలతో త్వరగా సరిపోల్చడానికి మీరు ఈ సంఖ్యను పూర్తి చేయవచ్చు. ఉదాహరణకి:

\[\sqrt(2)=1.4142...\సుమారు 1.4 \lt 1.5\]

లేదా ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ:

\[\sqrt(3)=1.73205...\సుమారు 1.7 \gt 1.5\]

కానీ ఈ రౌండింగ్‌లన్నీ, ముందుగా, చాలా కఠినమైనవి; మరియు రెండవది, మీరు కూడా సుమారుగా విలువలతో పని చేయగలగాలి, లేకుంటే మీరు స్పష్టమైన లోపాల సమూహాన్ని పట్టుకోవచ్చు (మార్గం ద్వారా, పోలిక మరియు చుట్టుముట్టే నైపుణ్యం ప్రొఫైల్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో పరీక్షించాల్సిన అవసరం ఉంది).

అందువల్ల, తీవ్రమైన గణితంలో మీరు మూలాలు లేకుండా చేయలేరు - అవి చాలా కాలంగా మనకు తెలిసిన భిన్నాలు మరియు పూర్ణాంకాల వలె అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల $\mathbb(R)$ యొక్క సమితికి సమానమైన ప్రతినిధులు.

రూట్‌ని $\frac(p)(q)$ ఫారమ్ యొక్క భిన్నం వలె సూచించలేకపోవడం అంటే ఈ రూట్ హేతుబద్ధ సంఖ్య కాదని అర్థం. అటువంటి సంఖ్యలను అహేతుకం అని పిలుస్తారు మరియు దీని కోసం ప్రత్యేకంగా రూపొందించిన రాడికల్ లేదా ఇతర నిర్మాణాల సహాయంతో తప్ప వాటిని ఖచ్చితంగా సూచించలేము (లాగరిథమ్‌లు, అధికారాలు, పరిమితులు మొదలైనవి). కానీ దాని గురించి మరొకసారి.

అన్ని గణనల తర్వాత, అహేతుక సంఖ్యలు ఇప్పటికీ సమాధానంలో ఉండే అనేక ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\సుమారు 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\సుమారు -1.2599... \\ \end(align)\]

సహజంగానే, రూట్ యొక్క రూపాన్ని బట్టి దశాంశ బిందువు తర్వాత ఏ సంఖ్యలు వస్తాయో ఊహించడం దాదాపు అసాధ్యం. అయితే, మీరు కాలిక్యులేటర్‌ను లెక్కించవచ్చు, కానీ అత్యంత అధునాతన తేదీ కాలిక్యులేటర్ కూడా మాకు అహేతుక సంఖ్య యొక్క మొదటి కొన్ని అంకెలను మాత్రమే అందిస్తుంది. కాబట్టి, సమాధానాలను $\sqrt(5)$ మరియు $\sqrt(-2)$ రూపంలో రాయడం చాలా సరైనది.

సరిగ్గా అందుకే వీటిని కనిపెట్టారు. సమాధానాలను సౌకర్యవంతంగా రికార్డ్ చేయడానికి.

రెండు నిర్వచనాలు ఎందుకు అవసరం?

ఉదాహరణలలో ఇవ్వబడిన అన్ని వర్గమూలాలు సానుకూల సంఖ్యల నుండి తీసుకోబడినట్లు శ్రద్ధగల రీడర్ బహుశా ఇప్పటికే గమనించి ఉండవచ్చు. బాగా, కనీసం మొదటి నుండి. కానీ క్యూబ్ మూలాలను ఖచ్చితంగా ఏ సంఖ్య నుండి అయినా ప్రశాంతంగా సంగ్రహించవచ్చు - అది సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

ఇలా ఎందుకు జరుగుతోంది? $y=((x)^(2))$: ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూడండి

క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ రెండు మూలాలను ఇస్తుంది: సానుకూల మరియు ప్రతికూల

ఈ గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగించి $\sqrt(4)$ని లెక్కించేందుకు ప్రయత్నిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, $(x)_(1))=2$ మరియు $(x )_(2)) =-2$. ఇది చాలా తార్కికమైనది, ఎందుకంటే

మొదటి సంఖ్యతో ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది - ఇది సానుకూలంగా ఉంది, కాబట్టి ఇది మూలం:

అయితే రెండవ పాయింట్‌తో ఏమి చేయాలి? నలుగురికి ఒకేసారి రెండు మూలాలు ఉన్నట్లే? అన్నింటికంటే, మనం −2 సంఖ్యను వర్గీకరిస్తే, మనకు 4 కూడా వస్తుంది. అప్పుడు $\sqrt(4)=-2$ ఎందుకు వ్రాయకూడదు? మరి అలాంటి పోస్టులను టీచర్లు మిమ్మల్ని తినాలని ఎందుకు చూస్తున్నారు?

ఇబ్బంది ఏమిటంటే, మీరు అదనపు షరతులు విధించకపోతే, క్వాడ్ రెండు వర్గమూలాలను కలిగి ఉంటుంది - సానుకూల మరియు ప్రతికూల. మరియు ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కూడా వాటిలో రెండు కలిగి ఉంటుంది. కానీ ప్రతికూల సంఖ్యలకు ఎటువంటి మూలాలు ఉండవు - ఇది అదే గ్రాఫ్ నుండి చూడవచ్చు, ఎందుకంటే పారాబొలా ఎప్పుడూ అక్షం క్రిందకు రాదు. వై, అనగా ప్రతికూల విలువలను అంగీకరించదు.

సమాన ఘాతాంకం ఉన్న అన్ని మూలాలకు ఇదే సమస్య ఏర్పడుతుంది:

1. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ప్రతి ధనాత్మక సంఖ్య $n$ ఘాతాంకంతో రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది;
2. ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి, $n$తో కూడిన రూట్ అస్సలు సంగ్రహించబడలేదు.

అందుకే $n$ సరి డిగ్రీ యొక్క రూట్ యొక్క నిర్వచనంలో సమాధానం తప్పనిసరిగా నాన్-నెగటివ్ నంబర్ అయి ఉండాలి అని ప్రత్యేకంగా నిర్దేశించబడింది. ఈ విధంగా మనం అస్పష్టతను తొలగిస్తాము.

కానీ బేసి $n$ కోసం అలాంటి సమస్య లేదు. దీన్ని చూడటానికి, $y=((x)^(3))$ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూద్దాం:

క్యూబిక్ పారాబొలా ఏదైనా విలువను తీసుకోవచ్చు, కాబట్టి క్యూబ్ రూట్ ఏ సంఖ్య నుండి అయినా తీసుకోవచ్చు

ఈ గ్రాఫ్ నుండి రెండు ముగింపులు తీసుకోవచ్చు:

1. క్యూబిక్ పారాబొలా యొక్క శాఖలు, సాధారణమైన వాటిలా కాకుండా, రెండు దిశలలో - పైకి మరియు క్రిందికి అనంతానికి వెళ్తాయి. అందువల్ల, మనం ఏ ఎత్తులో క్షితిజ సమాంతర రేఖను గీసినప్పటికీ, ఈ రేఖ ఖచ్చితంగా మన గ్రాఫ్‌తో కలుస్తుంది. పర్యవసానంగా, క్యూబ్ రూట్ ఎల్లప్పుడూ ఏ సంఖ్య నుండి అయినా సంగ్రహించబడుతుంది;
2. అదనంగా, అటువంటి ఖండన ఎల్లప్పుడూ ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మీరు ఏ సంఖ్యను "సరైన" మూలంగా పరిగణించాలి మరియు ఏది విస్మరించాలో ఆలోచించాల్సిన అవసరం లేదు. అందుకే బేసి డిగ్రీకి మూలాలను నిర్ణయించడం సరి డిగ్రీ కంటే సరళమైనది (ప్రతికూలత లేని అవసరం లేదు).

ఈ సాధారణ విషయాలు చాలా పాఠ్యపుస్తకాలలో వివరించబడకపోవడం విచారకరం. బదులుగా, మన మెదడు అన్ని రకాల అంకగణిత మూలాలు మరియు వాటి లక్షణాలతో ఎగరడం ప్రారంభమవుతుంది.

అవును, నేను వాదించను: మీరు అంకగణిత మూలం ఏమిటో కూడా తెలుసుకోవాలి. మరియు నేను దీని గురించి ప్రత్యేక పాఠంలో వివరంగా మాట్లాడుతాను. ఈ రోజు మనం దాని గురించి కూడా మాట్లాడుతాము, ఎందుకంటే అది లేకుండా $n$-వ గుణకారం యొక్క మూలాల గురించి అన్ని ఆలోచనలు అసంపూర్ణంగా ఉంటాయి.

అయితే ముందుగా నేను పైన ఇచ్చిన నిర్వచనాన్ని మీరు స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి. లేకపోతే, నిబంధనల సమృద్ధి కారణంగా, అటువంటి గజిబిజి మీ తలలో ప్రారంభమవుతుంది, చివరికి మీరు ఏమీ అర్థం చేసుకోలేరు.

మీరు చేయాల్సిందల్లా సరి మరియు బేసి సూచికల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అర్థం చేసుకోవడం. అందువల్ల, మూలాల గురించి మీరు నిజంగా తెలుసుకోవలసిన ప్రతిదాన్ని మరోసారి సేకరిద్దాం:

1. సరి డిగ్రీ యొక్క మూలం ప్రతికూల సంఖ్య నుండి మాత్రమే ఉంటుంది మరియు అది ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూల సంఖ్యగా ఉంటుంది. ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం అటువంటి మూలం నిర్వచించబడలేదు.
2. కానీ బేసి డిగ్రీ యొక్క మూలం ఏదైనా సంఖ్య నుండి ఉంటుంది మరియు అది ఏ సంఖ్య అయినా కావచ్చు: ధనాత్మక సంఖ్యలకు ఇది సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలకు, క్యాప్ సూచనల ప్రకారం, ఇది ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

కష్టమా? లేదు, ఇది కష్టం కాదు. అది స్పష్టమైనది? అవును, ఇది పూర్తిగా స్పష్టంగా ఉంది! కాబట్టి ఇప్పుడు మనం లెక్కలతో కొంచెం ప్రాక్టీస్ చేస్తాము.

ప్రాథమిక లక్షణాలు మరియు పరిమితులు

మూలాలకు చాలా వింత లక్షణాలు మరియు పరిమితులు ఉన్నాయి - ఇది ప్రత్యేక పాఠంలో చర్చించబడుతుంది. అందువల్ల, ఇప్పుడు మనం చాలా ముఖ్యమైన “ట్రిక్” ను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము, ఇది సమాన సూచికతో మూలాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. ఈ ఆస్తిని ఫార్ములాగా వ్రాద్దాం:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ఎడమ| x\కుడి|\]

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనం ఒక సంఖ్యను సరి శక్తికి పెంచి, ఆపై అదే శక్తి యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహిస్తే, మనకు అసలు సంఖ్య లభించదు, కానీ దాని మాడ్యులస్. ఇది తేలికగా నిరూపించబడే ఒక సాధారణ సిద్ధాంతం (ప్రతికూలంగా లేని $x$ని విడిగా పరిగణించి, ఆపై ప్రతికూల వాటిని విడిగా పరిగణలోకి తీసుకుంటే సరిపోతుంది). ఉపాధ్యాయులు నిరంతరం దాని గురించి మాట్లాడతారు, ఇది ప్రతి పాఠశాల పాఠ్య పుస్తకంలో ఇవ్వబడుతుంది. కానీ అహేతుక సమీకరణాలను (అంటే, రాడికల్ సంకేతాన్ని కలిగి ఉన్న సమీకరణాలు) పరిష్కరించడానికి వచ్చిన వెంటనే, విద్యార్థులు ఈ సూత్రాన్ని ఏకగ్రీవంగా మరచిపోతారు.

సమస్యను వివరంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, ఒక నిమిషం పాటు అన్ని సూత్రాలను మరచిపోయి, రెండు సంఖ్యలను నేరుగా లెక్కించేందుకు ప్రయత్నిద్దాం:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

ఇవి చాలా సాధారణ ఉదాహరణలు. చాలా మంది మొదటి ఉదాహరణను పరిష్కరిస్తారు, కానీ చాలా మంది రెండవ ఉదాహరణలో చిక్కుకుంటారు. సమస్యలు లేకుండా అటువంటి చెత్తను పరిష్కరించడానికి, ఎల్లప్పుడూ విధానాన్ని పరిగణించండి:

1. మొదట, సంఖ్య నాల్గవ శక్తికి పెంచబడుతుంది. బాగా, ఇది చాలా సులభం. మీరు గుణకార పట్టికలో కూడా కనుగొనగలిగే కొత్త సంఖ్యను పొందుతారు;
2. మరియు ఇప్పుడు ఈ కొత్త సంఖ్య నుండి నాల్గవ మూలాన్ని సంగ్రహించడం అవసరం. ఆ. మూలాలు మరియు శక్తుల "తగ్గింపు" జరగదు - ఇవి వరుస చర్యలు.

మొదటి వ్యక్తీకరణను చూద్దాం: $\sqrt(((3)^(4)))$. సహజంగానే, మీరు మొదట రూట్ కింద వ్యక్తీకరణను లెక్కించాలి:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

అప్పుడు మేము 81 సంఖ్య యొక్క నాల్గవ మూలాన్ని సంగ్రహిస్తాము:

ఇప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణతో కూడా అదే చేద్దాం. మొదట, మేము −3 సంఖ్యను నాల్గవ శక్తికి పెంచుతాము, దీనికి 4 సార్లు గుణించడం అవసరం:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ఎడమ(-3 \కుడి)=81\]

ఉత్పత్తిలో మొత్తం మైనస్‌ల సంఖ్య 4 అయినందున, మాకు సానుకూల సంఖ్య వచ్చింది మరియు అవన్నీ ఒకదానికొకటి రద్దు చేయబడతాయి (అన్నింటికంటే, మైనస్‌కు మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది). అప్పుడు మేము మళ్ళీ మూలాన్ని సంగ్రహిస్తాము:

సూత్రప్రాయంగా, ఈ పంక్తిని వ్రాయడం సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే సమాధానం అదే విధంగా ఉంటుంది. ఆ. అదే సరి శక్తి యొక్క సరి మూలం మైనస్‌లను "కాల్చివేస్తుంది" మరియు ఈ కోణంలో ఫలితం సాధారణ మాడ్యూల్ నుండి వేరు చేయబడదు:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \ right|=3; \\ & \sqrt(((\ఎడమ(-3 \కుడి))^(4)))=\ఎడమ| -3 \right|=3. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఈ లెక్కలు సరి డిగ్రీ యొక్క రూట్ యొక్క నిర్వచనంతో మంచి ఒప్పందంలో ఉన్నాయి: ఫలితం ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు రాడికల్ గుర్తు కూడా ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూల సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. లేకపోతే, మూలం నిర్వచించబడలేదు.

విధానంపై గమనిక

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ అనే సంజ్ఞామానం అంటే మనం ముందుగా $a$ సంఖ్యను వర్గీకరించి, ఆపై ఫలిత విలువ యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకుంటాము. అందువల్ల, రూట్ సైన్ కింద ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూల సంఖ్యే లేదని మేము నిశ్చయించుకోవచ్చు, ఎందుకంటే ఏ సందర్భంలోనైనా $((a)^(2))\ge 0$;
2. కానీ $(\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ అనే సంజ్ఞామానం, దీనికి విరుద్ధంగా, మనం ముందుగా ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య $a$ యొక్క మూలాన్ని తీసుకుంటాము మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే ఫలితాన్ని వర్గీకరిస్తాము. అందువల్ల, $a$ సంఖ్య ఏ సందర్భంలోనూ ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు - ఇది నిర్వచనంలో చేర్చబడిన తప్పనిసరి అవసరం.

అందువల్ల, ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ ఆలోచన లేకుండా మూలాలు మరియు డిగ్రీలను తగ్గించకూడదు, తద్వారా అసలు వ్యక్తీకరణను "సరళీకరించడం" అని ఆరోపించారు. మూలం ప్రతికూల సంఖ్యను కలిగి ఉంటే మరియు దాని ఘాతాంకం సమానంగా ఉంటే, మనకు అనేక సమస్యలు వస్తాయి.

అయినప్పటికీ, ఈ సమస్యలన్నీ కూడా సూచికలకు మాత్రమే సంబంధించినవి.

రూట్ గుర్తు క్రింద నుండి మైనస్ గుర్తును తీసివేయడం

సహజంగానే, బేసి ఘాతాంకాలతో ఉన్న మూలాలు కూడా వాటి స్వంత లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఇది సూత్రప్రాయంగా సమానమైన వాటితో ఉండదు. అవి:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

సంక్షిప్తంగా, మీరు బేసి డిగ్రీల మూలాల సంకేతం క్రింద నుండి మైనస్‌ను తీసివేయవచ్చు. ఇది చాలా ఉపయోగకరమైన ఆస్తి, ఇది అన్ని ప్రతికూలతలను "పారవేయడానికి" మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

ఈ సాధారణ ఆస్తి అనేక గణనలను చాలా సులభతరం చేస్తుంది. ఇప్పుడు మీరు చింతించాల్సిన అవసరం లేదు: రూట్ కింద ప్రతికూల వ్యక్తీకరణ దాగి ఉంటే, కానీ రూట్ వద్ద డిగ్రీ సమానంగా ఉంటే? మూలాల వెలుపల ఉన్న అన్ని మైనస్‌లను “పారవేయడం” సరిపోతుంది, ఆ తర్వాత వాటిని ఒకదానికొకటి గుణించవచ్చు, విభజించవచ్చు మరియు సాధారణంగా చాలా అనుమానాస్పద పనులను చేయవచ్చు, ఇది “క్లాసికల్” మూలాల విషయంలో మనల్ని నడిపిస్తుందని హామీ ఇవ్వబడుతుంది. ఒక లోపం.

మరియు ఇక్కడ మరొక నిర్వచనం తెరపైకి వస్తుంది - చాలా పాఠశాలల్లో వారు అహేతుక వ్యక్తీకరణల అధ్యయనాన్ని ప్రారంభిస్తారు. మరియు అది లేకుండా మా తార్కికం అసంపూర్ణంగా ఉంటుంది. మమ్మల్ని కలువు!

అంకగణిత మూలం

మూల సంకేతం కింద సానుకూల సంఖ్యలు మాత్రమే ఉండవచ్చని లేదా విపరీతమైన సందర్భాల్లో సున్నా మాత్రమే ఉంటుందని ఒక సారి అనుకుందాం. సరి/బేసి సూచికల గురించి మరచిపోదాం, పైన ఇచ్చిన అన్ని నిర్వచనాల గురించి మరచిపోండి - మేము ప్రతికూల సంఖ్యలతో మాత్రమే పని చేస్తాము. తరువాత ఏమిటి?

ఆపై మేము అంకగణిత మూలాన్ని పొందుతాము - ఇది మా “ప్రామాణిక” నిర్వచనాలతో పాక్షికంగా అతివ్యాప్తి చెందుతుంది, కానీ ఇప్పటికీ వాటికి భిన్నంగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం. ప్రతికూల సంఖ్య $a$ యొక్క $n$వ డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలం ప్రతికూల సంఖ్య $b$ అంటే $((b)^(n))=a$.

మేము చూడగలిగినట్లుగా, మేము ఇకపై సమానత్వంపై ఆసక్తి చూపడం లేదు. బదులుగా, ఒక కొత్త పరిమితి కనిపించింది: రాడికల్ వ్యక్తీకరణ ఇప్పుడు ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు మూలం కూడా ప్రతికూలమైనది కాదు.

అంకగణిత మూలం సాధారణమైన దాని నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉందో బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, మనకు ఇప్పటికే తెలిసిన స్క్వేర్ మరియు క్యూబిక్ పారాబొలా యొక్క గ్రాఫ్‌లను పరిశీలించండి:

అంకగణిత మూల శోధన ప్రాంతం - ప్రతికూల సంఖ్యలు

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఇప్పటి నుండి మేము మొదటి కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్‌లో ఉన్న గ్రాఫ్‌ల ముక్కలపై మాత్రమే ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము - ఇక్కడ కోఆర్డినేట్‌లు $x$ మరియు $y$ సానుకూలంగా ఉంటాయి (లేదా కనీసం సున్నా). రూట్ కింద ప్రతికూల సంఖ్యను ఉంచే హక్కు మాకు ఉందో లేదో అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు ఇకపై సూచికను చూడవలసిన అవసరం లేదు. ఎందుకంటే ప్రతికూల సంఖ్యలు ఇకపై సూత్రప్రాయంగా పరిగణించబడవు.

మీరు ఇలా అడగవచ్చు: "సరే, మనకు అలాంటి తటస్థ నిర్వచనం ఎందుకు అవసరం?" లేదా: "పైన ఇచ్చిన ప్రామాణిక నిర్వచనంతో మనం ఎందుకు పొందలేము?"

సరే, నేను కేవలం ఒక ఆస్తిని మాత్రమే ఇస్తాను ఎందుకంటే కొత్త నిర్వచనం సముచితంగా మారుతుంది. ఉదాహరణకు, ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ నియమం:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

దయచేసి గమనించండి: మేము రాడికల్ వ్యక్తీకరణను ఏదైనా శక్తికి పెంచవచ్చు మరియు అదే సమయంలో మూల ఘాతాంకాన్ని అదే శక్తితో గుణించవచ్చు - మరియు ఫలితం అదే సంఖ్య అవుతుంది! ఇక్కడ ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \ end(align)\]

ఇంతకీ పెద్ద విషయం ఏమిటి? ఇంతకు ముందు ఎందుకు చేయలేకపోయాం? ఎందుకో ఇక్కడ ఉంది. సరళమైన వ్యక్తీకరణను పరిశీలిద్దాం: $\sqrt(-2)$ - ఈ సంఖ్య మన శాస్త్రీయ అవగాహనలో చాలా సాధారణమైనది, కానీ అంకగణిత మూలం యొక్క కోణం నుండి పూర్తిగా ఆమోదయోగ్యం కాదు. దీన్ని మార్చడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మొదటి సందర్భంలో మేము రాడికల్ కింద నుండి మైనస్‌ను తీసివేసాము (మాకు ప్రతి హక్కు ఉంది, ఎందుకంటే ఘాతాంకం బేసిగా ఉంటుంది), మరియు రెండవ సందర్భంలో మేము పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించాము. ఆ. గణిత కోణం నుండి, ప్రతిదీ నిబంధనల ప్రకారం జరుగుతుంది.

WTF?! ఒకే సంఖ్య సానుకూలంగా మరియు ప్రతికూలంగా ఎలా ఉంటుంది? అవకాశమే లేదు. సానుకూల సంఖ్యలు మరియు సున్నాకి గొప్పగా పనిచేసే ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ సూత్రం ప్రతికూల సంఖ్యల విషయంలో పూర్తి మతవిశ్వాశాలను ఉత్పత్తి చేయడం ప్రారంభిస్తుంది.

అటువంటి సందిగ్ధత నుండి బయటపడటానికి అంకగణిత మూలాలు కనుగొనబడ్డాయి. ఒక ప్రత్యేక పెద్ద పాఠం వారికి అంకితం చేయబడింది, ఇక్కడ మేము వారి అన్ని లక్షణాలను వివరంగా పరిశీలిస్తాము. కాబట్టి మేము ఇప్పుడు వాటిపై నివసించము - పాఠం ఇప్పటికే చాలా పొడవుగా మారింది.

బీజగణిత మూలం: మరింత తెలుసుకోవాలనుకునే వారికి

ఈ అంశాన్ని వేరే పేరాలో పెట్టాలా వద్దా అని చాలా సేపు ఆలోచించాను. చివరికి నేను ఇక్కడ వదిలివేయాలని నిర్ణయించుకున్నాను. ఈ మెటీరియల్ మూలాలను మరింత మెరుగ్గా అర్థం చేసుకోవాలనుకునే వారి కోసం ఉద్దేశించబడింది - ఇకపై సగటు “పాఠశాల” స్థాయిలో కాదు, కానీ ఒలింపియాడ్ స్థాయికి దగ్గరగా ఉంటుంది.

కాబట్టి: ఒక సంఖ్య యొక్క $n$వ మూలం యొక్క “క్లాసికల్” నిర్వచనం మరియు సరి మరియు బేసి ఘాతాంకాలుగా అనుబంధించబడిన విభజనతో పాటు, సమానత్వం మరియు ఇతర సూక్ష్మాంశాలపై ఆధారపడని మరింత “వయోజన” నిర్వచనం కూడా ఉంది. దీనిని బీజగణిత మూలం అంటారు.

నిర్వచనం. ఏదైనా $a$ యొక్క బీజగణిత $n$వ మూలం $((b)^(n))=a$ అన్ని సంఖ్యల $b$ యొక్క సమితి. అటువంటి మూలాలకు స్థిరమైన హోదా లేదు, కాబట్టి మేము పైన డాష్‌ను ఉంచుతాము:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

పాఠం ప్రారంభంలో ఇచ్చిన ప్రామాణిక నిర్వచనం నుండి ప్రాథమిక వ్యత్యాసం ఏమిటంటే బీజగణిత మూలం నిర్దిష్ట సంఖ్య కాదు, కానీ సమితి. మరియు మేము వాస్తవ సంఖ్యలతో పని చేస్తున్నందున, ఈ సెట్ మూడు రకాలుగా మాత్రమే వస్తుంది:

1. ఖాళీ సెట్. మీరు ప్రతికూల సంఖ్య నుండి సరి డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత మూలాన్ని కనుగొనవలసి వచ్చినప్పుడు సంభవిస్తుంది;
2. ఒకే మూలకంతో కూడిన సమితి. బేసి శక్తుల యొక్క అన్ని మూలాలు, అలాగే సున్నా యొక్క సరి శక్తుల మూలాలు ఈ వర్గంలోకి వస్తాయి;
3. చివరగా, సెట్‌లో రెండు సంఖ్యలు ఉంటాయి - అదే $((x)_(1))$ మరియు $(x)_(2))=-((x)_(1))$ గ్రాఫ్ క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్. దీని ప్రకారం, సానుకూల సంఖ్య నుండి సరి డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించినప్పుడు మాత్రమే అటువంటి అమరిక సాధ్యమవుతుంది.

చివరి కేసు మరింత వివరణాత్మక పరిశీలనకు అర్హమైనది. తేడాను అర్థం చేసుకోవడానికి కొన్ని ఉదాహరణలను గణిద్దాం.

ఉదాహరణ. వ్యక్తీకరణలను అంచనా వేయండి:

\[\ఓవర్‌లైన్(\sqrt(4));\క్వాడ్ \ఓవర్‌లైన్(\sqrt(-27));\క్వాడ్ \ఓవర్‌లైన్(\sqrt(-16)).\]

పరిష్కారం. మొదటి వ్యక్తీకరణ సులభం:

\[\ ఓవర్‌లైన్(\sqrt(4))=\ఎడమ\( 2;-2 \కుడి\)\]

ఇది సెట్‌లో భాగమైన రెండు సంఖ్యలు. ఎందుకంటే వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి స్క్వేర్డ్ నాలుగు ఇస్తుంది.

\[\ ఓవర్‌లైన్(\sqrt(-27))=\ఎడమ\( -3 \కుడి\)\]

ఇక్కడ మనం ఒకే సంఖ్యతో కూడిన సమితిని చూస్తాము. మూల ఘాతాంకం బేసి అయినందున ఇది చాలా తార్కికం.

చివరగా, చివరి వ్యక్తీకరణ:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

మేము ఖాళీ సెట్‌ని అందుకున్నాము. ఎందుకంటే, నాల్గవ (అంటే, కూడా!) శక్తికి పెంచబడినప్పుడు, మనకు ప్రతికూల సంఖ్య −16ని అందించే వాస్తవ సంఖ్య ఒక్కటి కూడా లేదు.

చివరి గమనిక. దయచేసి గమనించండి: మేము వాస్తవ సంఖ్యలతో పని చేస్తున్నామని నేను ప్రతిచోటా గుర్తించడం యాదృచ్ఛికంగా కాదు. సంక్లిష్ట సంఖ్యలు కూడా ఉన్నందున - అక్కడ $\sqrt(-16)$ మరియు అనేక ఇతర వింతలను లెక్కించడం చాలా సాధ్యమే.

అయినప్పటికీ, ఆధునిక పాఠశాల గణిత కోర్సులలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలు దాదాపు ఎప్పుడూ కనిపించవు. మా అధికారులు ఈ అంశాన్ని "అర్థం చేసుకోవడం చాలా కష్టం"గా భావించినందున అవి చాలా పాఠ్యపుస్తకాల నుండి తీసివేయబడ్డాయి.

అంతే. తదుపరి పాఠంలో మేము మూలాల యొక్క అన్ని ముఖ్య లక్షణాలను పరిశీలిస్తాము మరియు చివరకు అహేతుక వ్యక్తీకరణలను ఎలా సరళీకృతం చేయాలో నేర్చుకుంటాము :)

అధికారాలు మరియు మూలాలతో కార్యకలాపాలు. ప్రతికూలతతో డిగ్రీ ,

సున్నా మరియు భిన్నం సూచిక. అర్థం లేని వ్యక్తీకరణల గురించి.

డిగ్రీలతో కార్యకలాపాలు.

1. శక్తులను ఒకే ఆధారంతో గుణించినప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి:

ఒక m · a n = a m + n.

2. అదే ఆధారంతో డిగ్రీలను విభజించేటప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు తీసివేస్తారు .

3. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క డిగ్రీ ఈ కారకాల డిగ్రీల ఉత్పత్తికి సమానం.

(abc… ) n = ఒక n· b n · సి ఎన్…

4. నిష్పత్తి (భిన్నం) యొక్క డిగ్రీ డివిడెండ్ (ల్యూమరేటర్) మరియు డివైజర్ (డినామినేటర్) డిగ్రీల నిష్పత్తికి సమానం:

(a/b ) n = a n / b n .

5. శక్తికి శక్తిని పెంచేటప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి:

(ఒక m ) n = a m n.

పైన పేర్కొన్న అన్ని సూత్రాలు ఎడమ నుండి కుడికి మరియు వైస్ వెర్సాకు రెండు దిశలలో చదవబడతాయి మరియు అమలు చేయబడతాయి.

ఉదాహరణ (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

మూలాలతో కార్యకలాపాలు. దిగువ అన్ని సూత్రాలలో, చిహ్నం అర్థం అంకగణిత మూలం(రాడికల్ వ్యక్తీకరణ సానుకూలంగా ఉంటుంది).

1. అనేక కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క మూలం ఉత్పత్తికి సమానం ఈ కారకాల మూలాలు:

2. నిష్పత్తి యొక్క మూలం డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క మూలాల నిష్పత్తికి సమానం:

3. ఒక శక్తికి మూలాన్ని పెంచేటప్పుడు, ఈ శక్తిని పెంచడానికి సరిపోతుంది రాడికల్ సంఖ్య:

4. మేము ఇన్ రూట్ యొక్క డిగ్రీని పెంచినట్లయితే m వరకు పెంచండి m వ శక్తి రాడికల్ సంఖ్య, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

5. మేము ఇన్ రూట్ డిగ్రీని తగ్గిస్తే m ఒకసారి మరియు అదే సమయంలో మూలాన్ని సంగ్రహించండి m రాడికల్ సంఖ్య యొక్క వ పవర్, అప్పుడు రూట్ విలువ కాదుమారుతుంది:

డిగ్రీ భావనను విస్తరిస్తోంది. ఇప్పటివరకు మేము సహజ ఘాతాంకాలతో మాత్రమే డిగ్రీలను పరిగణించాము;కానీ చర్యలు డిగ్రీలు మరియు మూలాలు కూడా దారి తీయవచ్చు ప్రతికూల, సున్నామరియు భిన్నమైనసూచికలు. ఈ ఘాతాంకాలన్నింటికీ అదనపు నిర్వచనం అవసరం.

ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ. కొంత సంఖ్య యొక్క శక్తి c ప్రతికూల (పూర్ణాంకం) ఘాతాంకం ఒకటి విభజించబడినట్లుగా నిర్వచించబడింది సంపూర్ణ విలువకు సమానమైన ఘాతాంకంతో అదే సంఖ్య యొక్క శక్తితోప్రతికూల సూచిక:

టిఇప్పుడు ఫార్ములా ఒక m: ఒక ఎన్= ఒక m - n కోసం మాత్రమే ఉపయోగించవచ్చుm, మించి n, కానీ తో కూడా m, కంటే తక్కువ n .

ఉదాహరణ a 4 :a 7 = ఎ 4 - 7 = ఎ - 3 .

ఫార్ములా కావాలంటేఒక m : ఒక ఎన్= ఒక m - nఎప్పుడు న్యాయంగా ఉండేదిm = n, డిగ్రీ సున్నాకి నిర్వచనం కావాలి.

సున్నా సూచికతో ఒక డిగ్రీ. ఘాతాంక సున్నాతో ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్య యొక్క శక్తి 1.

ఉదాహరణలు. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ. వాస్తవ సంఖ్యను పెంచడానికిమరియు శక్తి m/n కు , మీరు రూట్ సేకరించేందుకు అవసరం m యొక్క nవ శక్తి -ఈ సంఖ్య యొక్క శక్తి A:

అర్థం లేని వ్యక్తీకరణల గురించి. ఇటువంటి అనేక వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి.ఏదైనా సంఖ్య.

వాస్తవానికి, ఈ వ్యక్తీకరణ కొంత సంఖ్యకు సమానం అని మనం ఊహిస్తే x, అప్పుడు విభజన ఆపరేషన్ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మనకు: 0 = 0 · x. కానీ ఈ సమానత్వం ఎప్పుడు ఏర్పడుతుంది ఏదైనా సంఖ్య x, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

కేసు 3.

0 0 - ఏదైనా సంఖ్య.

నిజంగా,

పరిష్కారం మూడు ప్రధాన కేసులను పరిశీలిద్దాం:

1) x = 0 – ఈ విలువ ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు

(ఎందుకు?).

2) ఎప్పుడు x> 0 మనకు లభిస్తుంది: x/x = 1, అనగా. 1 = 1, అంటే

ఏమిటి x- ఏదైనా సంఖ్య; కానీ దానిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం

మా విషయంలో x> 0 , సమాధానంx > 0 ;

3) ఎప్పుడు x < 0 получаем: – x/x= 1, అంటే ఇ . –1 = 1, కాబట్టి,

ఈ సందర్భంలో పరిష్కారం లేదు.

ఈ విధంగా, x > 0.