సిద్ధాంతం

ఫంక్షన్ నిర్వచించబడనివ్వండి, నిర్దిష్ట విరామంలో ఖచ్చితంగా మార్పులేని మరియు నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి మరియు దాని విలువల సమితిగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు సెట్లో విలోమ ఫంక్షన్ నిస్సందేహంగా, ఖచ్చితంగా మార్పులేని మరియు నిరంతర.

రుజువు

నిశ్చయత కోసం, ఫంక్షన్‌ని అనుమతించండి ద్వారా పెరుగుతుంది, అనగా. దేనికైనా , పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచడం , అసమానత కలిగి ఉంది:

(), ().

1. విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రత్యేకతను నిరూపిద్దాం.

విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రత్యేకత ఫంక్షన్ పెరుగుదల కారణంగా వాస్తవం నుండి అనుసరిస్తుంది అసమానత చెల్లుతుంది:

వద్ద ,

మరియు, అందువలన, అందరికీ ఒకే విలువతో సరిపోలుతుంది .

2. ఇప్పుడు విలోమ ఫంక్షన్ అని నిరూపిద్దాం ద్వారా పెరుగుతుంది.

నిజానికి, ఉంటే , అప్పుడు (మరియు ), ఎందుకంటే అది ఉంటే , అప్పుడు పెరుగుతున్న నుండి అది అలా ఉండాలి , ఇది ఊహకు విరుద్ధంగా ఉంటుంది . అందువలన, విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క కఠినమైన మోనోటోనిసిటీ యొక్క వాస్తవం ఇన్స్టాల్ చేయబడింది.

3. చివరకు, మేము విలోమ ఫంక్షన్ అని నిరూపిస్తాము న నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎందుకంటే సెట్‌లో మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది, ఆపై అది పరిమితం చేయబడింది మరియు సెట్‌లో అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను తీసుకుంటుంది. సెట్ అనేది చివరలు మరియు , ఎక్కడ ఉన్న విరామం , .

వీలు , . మొదట కేసును ఎప్పుడు పరిశీలిద్దాం . ఈ సందర్భంలో, పాయింట్ స్పష్టంగా విరామం యొక్క అంతర్గత పాయింట్.

విలువను ఎంచుకుందాం అలాంటి మరియు , మరియు చాలు మరియు . అప్పుడు, పెరుగుతున్న కారణంగా మాకు దొరికింది:

.

ఇప్పుడు తీసుకుందాం కింది అసమానతలు సంతృప్తి చెందుతాయి:

మరియు .

అప్పుడు, అసమానతలను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే

,

ఆ ,

మరియు, అందువలన, పెరుగుదల కారణంగా మాకు ఉన్నాయి:

దానిని పరిగణనలోకి తీసుకొని మరియు

మేము పొందుతాము: అందించబడింది
.

అందువలన, ఇది ఏ తగినంత చిన్న కోసం నిరూపించబడింది ఉంది అందరికీ అసమానతను సంతృప్తిపరిచేలా , అసమానత కలిగి ఉంది , అనగా విలోమ ఫంక్షన్ పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది. కానీ - విరామం యొక్క ఏకపక్ష పాయింట్ . కాబట్టి విలోమ ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా .

ఉంటే లేదా , అప్పుడు ఇదే రీజనింగ్ ఉపయోగించి మనం కొనసాగింపును నిరూపించవచ్చు పాయింట్ వద్ద కుడివైపున మరియు పాయింట్ వద్ద ఎడమవైపున. కాబట్టి, విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు వాస్తవం నిరూపించబడలేదు.

ఫంక్షన్ తగ్గుతున్న సందర్భంలో సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు అదేవిధంగా నిర్వహించబడుతుంది.

మాడ్యూల్

అంశం సంఖ్య 5

ప్రధాన యొక్క కొనసాగింపు

ప్రాథమిక విధులు. సెట్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క ఏకరీతి కొనసాగింపు

ఉపన్యాసం నం. 17

1. ఫంక్షన్ల కొనసాగింపు: ; ; ; ;
;
;
; ; ; .

2. హేతుబద్ధ సంఖ్యల సెట్‌లో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్.

3. వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్.

ﻫ ప్రాథమిక విధుల కొనసాగింపు

1. ఫంక్షన్ అని నిరూపించండి ,

రుజువు

1) ఏకపక్ష పాయింట్‌ని ఎంచుకోండి ఆర్,ఎందుకంటే నిర్ణయించబడింది ఆర్.

2) ఈ పాయింట్ కోసం ఆర్పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి మరియు విలువను నిర్ధారిద్దాం:

ఎ)
,

బి) .

3) కాబట్టి, , అనగా ఫంక్షన్ ఏ సమయంలోనైనా నిరంతరంగా .

,

సంఖ్య రేఖపై ప్రతి పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

5) ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు యొక్క నిర్వచనం సంఖ్య 1 ఆధారంగా రుజువు నిర్వహించబడుతుంది. మొదలైనవి

2. ఫంక్షన్ అని నిరూపించండి సున్నా తప్ప సంఖ్యా రేఖపై ఏ పాయింట్ వద్ద అయినా నిరంతరంగా ఉంటుంది, అనగా. ఆర్\0.

రుజువు

ఆర్\0, ఫంక్షన్ నిర్వచించబడినందున ఆర్\0, మరియు దానిలో ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ నిర్వచించండి:

.

3) పరిమితిని లెక్కించండి

,

ఎందుకంటే . కాబట్టి ఫంక్షన్

4) పాయింట్ ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడినందున, అప్పుడు ఫంక్షన్ ఏ సమయంలోనైనా నిరంతరంగా ఆర్\0. మొదలైనవి

3. ఫంక్షన్ అని నిరూపించండి వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఏ సమయంలోనైనా నిరంతరంగా ఉంటుంది.

రుజువు

1) ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ వాస్తవ సంఖ్యల సమితి.

2) ఏకపక్ష పాయింట్‌ని ఎంచుకోండి ఆర్మరియు దానిలోని ఫంక్షన్ యొక్క పెంపును నిర్వచించండి:

3) పరిమితిని లెక్కించండి
. కాబట్టి ఫంక్షన్ ఏ సమయంలోనైనా నిరంతరంగా .

4) పాయింట్ ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడినందున, అప్పుడు ఫంక్షన్ వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఏ సమయంలోనైనా నిరంతరంగా ఉంటుంది .

5) ఇంక్రిమెంట్ల భాషలో ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు యొక్క నిర్వచనం సంఖ్య 5 ఆధారంగా రుజువు నిర్వహించబడింది. మొదలైనవి

4. సెట్‌లోని ఏ సమయంలోనైనా ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుందని నిరూపించండి ఆర్.

రుజువు

బీజగణిత మొత్తం యొక్క కొనసాగింపు, నిరంతర ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి మరియు గుణకం మరియు ఒక ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపుపై సిద్ధాంతం నుండి రుజువు అనుసరించబడుతుంది. సంఖ్య అక్షం మీద ఏ సమయంలోనైనా. మొదలైనవి

5. ఫంక్షన్ అని నిరూపించండి
భిన్నం యొక్క హారం అదృశ్యమయ్యే పాయింట్లు మినహా, వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఏ సమయంలోనైనా నిరంతరంగా ఉంటుంది.

రుజువు

బీజగణిత మొత్తం యొక్క కొనసాగింపు, ఉత్పత్తి మరియు నిరంతర ఫంక్షన్ల యొక్క గుణకం మరియు ఫంక్షన్ల కొనసాగింపుపై సిద్ధాంతం నుండి రుజువు అనుసరిస్తుంది

మరియు .

దీనర్థం, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ సెట్‌లోని ఏ సమయంలోనైనా నిరంతరంగా ఉంటుంది ఆర్, హారం సున్నా ఉన్న పాయింట్లను మినహాయించి. మొదలైనవి

6. ఫంక్షన్ అని నిరూపించండి సంఖ్య రేఖపై ఏ పాయింట్ వద్దనైనా నిరంతరంగా ఉంటుంది.

రుజువు

1) ఇంక్రిమెంట్ల భాషలో ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు యొక్క నిర్వచనం సంఖ్య 5 ఆధారంగా మేము రుజువును నిర్వహిస్తాము.

2) ఫంక్షన్ సంఖ్య రేఖపై ఏ పాయింట్ వద్ద నిర్వచించబడింది.

3) ఏకపక్ష పాయింట్‌ని ఎంచుకోండి ఆర్మరియు ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదలను నిర్ణయించండి:

4) ఫంక్షన్ పెంపుపై పరిమితిని గణిద్దాం:

కాబట్టి ఫంక్షన్ ఏకపక్ష పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

5) పాయింట్ ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడినందున, అప్పుడు ఫంక్షన్ సంఖ్య రేఖపై ఏ పాయింట్ వద్దనైనా నిరంతరంగా ఉంటుంది. మొదలైనవి

7. ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు ఇదే విధంగా నిరూపించబడింది సంఖ్య అక్షం మీద ఏ సమయంలోనైనా. రుజువును మీరే నిర్వహించండి.

8. విధుల కొనసాగింపు నుండి మరియు సంఖ్యా రేఖపై ఏ బిందువులోనైనా, ఒక బిందువు వద్ద నిరంతర ఫంక్షన్‌ల గుణకం యొక్క కొనసాగింపుపై సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు అనుసరిస్తుంది

ఎ) ; పాయింట్లు మినహా, సంఖ్య రేఖలోని అన్ని పాయింట్ల వద్ద

, - ఏదైనా పూర్ణాంకం;

బి) అలాగే ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు మరియు పాయింట్లు మినహా అన్ని పాయింట్ల వద్ద , ఏదైనా పూర్ణాంకం ఎక్కడ ఉంది.

9. ఫంక్షన్ అని నిరూపించండి మొత్తం సంఖ్య రేఖపై నిరంతరంగా.

రుజువు

1) విరామంలో ఫంక్షన్ కనిపిస్తోంది , ఎందుకంటే . మరియు ఈ ఫంక్షన్ సంఖ్య రేఖపై ప్రతి పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

2) విరామంలో ఫంక్షన్ కనిపిస్తోంది , ఎందుకంటే . మరియు ఈ ఫంక్షన్ రెండు నిరంతర ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తిగా నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు .

3) ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపును స్థాపించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది పాయింట్ వద్ద .

4) దీన్ని చేయడానికి, మేము పాయింట్ వద్ద ఒక-వైపు పరిమితులను లెక్కిస్తాము :

ఎ) ; బి) .

5) నుండి
మరియు , తర్వాత ఫంక్షన్ ఒక బిందువు వద్ద నిరంతరంగా . అందువలన, ఇది మొత్తం సంఖ్య రేఖ వెంట నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ముగింపు:

1. పరిగణించబడే అన్ని విధులు వాటి ఉనికి యొక్క డొమైన్‌లలో నిరంతరంగా ఉంటాయి.

2. నిరంతర ఫంక్షన్ల మొత్తం, వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి మరియు గుణకం యొక్క కొనసాగింపు సిద్ధాంతాల ఆధారంగా, నిరంతర ఫంక్షన్లపై పరిమిత సంఖ్యలో అంకగణిత కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి పొందిన విధులు కూడా వాటి ఉనికి యొక్క డొమైన్‌లో నిరంతర విధులు అని వాదించవచ్చు.

బహుకరణ సంఖ్యలలో ఘాతాంక విధి

నిర్వచనం 1. లెట్ , అప్పుడు ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్యకు విలువ నిర్ణయించబడుతుంది. ఇది ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తుంది. ఈ ఫంక్షన్‌ను హేతుబద్ధ సంఖ్యల సెట్‌లో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ అంటారు.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు

నేను.... అంటే. , ఎక్కడ , .1.లెట్ . అప్పుడు:a) అయితే , అప్పుడు ;b) అయితే , అప్పుడు .2.a) ;b) ;c) .3. .4. .5. , ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్య కోసం: .

పత్రం: 5వ ఆస్తి 1. అయితే మరియు , అప్పుడు మొదటి ఆస్తి కారణంగా: .

2. నుండి , a , ఆపై .3. రెండవ ఆస్తి ఆధారంగా: , మరియు , అందువలన, .4. కోసం అసమానత ఇదే విధంగా నిరూపించబడింది.

II. లెమ్మా 1. లెట్ . అసమానతను సంతృప్తిపరిచే అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలకు కింది అసమానత కలిగి ఉంటుంది: . సహాయం: వద్ద.

పత్రం: I.1. వీలు .

2. నుండి , అప్పుడు: మరియు .3. కాబట్టి, మొదటి ఆస్తి ఆధారంగా, రెండు డబుల్ అసమానతలను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

4. ఒక హేతుబద్ధ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి, అంటే, .5. ఆ తర్వాత, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి లక్షణం ఆధారంగా, మనం వ్రాయవచ్చు: లేదా లేదా .II. లెమ్మా స్పష్టంగా ఉంది.III. లెమ్మా ఇదే విధంగా నిరూపించబడినప్పుడు, మొదటి ఆస్తి యొక్క అసమానతకి అనుగుణంగా మాత్రమే గుర్తును వ్యతిరేక దానితో భర్తీ చేయాలి (కేసు 1b).

2 వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్

నిర్వచనం 2. ఒక ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి, అంటే, . కు కలుస్తున్న హేతుబద్ధ సంఖ్యల శ్రేణిగా ఉండనివ్వండి. సహజంగానే, అటువంటి క్రమం ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది. అప్పుడు , , ఎల్లప్పుడూ ఉనికిలో ఉంటుంది మరియు క్రమం ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు.

కేసు అధ్యయనం కోసం ఆసక్తి లేదు, నుండి .

సిద్ధాంతం 1. వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఘాతాంక ఫంక్షన్ , , క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది: 1) సంఖ్య రేఖపై ప్రతి పాయింట్ వద్ద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది; 2) మొత్తం సంఖ్య రేఖపై ఖచ్చితంగా పెరుగుతుంది మరియు ఖచ్చితంగా తగ్గుతుంది; 3) , ; 4) , ; 5) ఎ) వద్ద; బి) వద్ద; 6) ఎ) వద్ద ; బి) వద్ద.

పత్రం: 1వ ఆస్తి 1. ఇది తెలిసినది: .2. ఈ ప్రకటన వాస్తవ సంఖ్యలకు కూడా వర్తిస్తుంది.3. ఒక ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి, మరియు , వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఘాతాంక విధిగా ఉండనివ్వండి.4. ఆర్గ్యుమెంట్: .

5. హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితిలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ కోసం లెమ్మా ప్రకారం: , అసమానతను సంతృప్తిపరచడం ), కింది అసమానత సంతృప్తి చెందుతుంది: , మరియు కోసం .6. పాయింట్ 5లోని అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూల సంఖ్యతో గుణిద్దాం: .7. ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు చివరి అసమానతలను పోల్చి చూద్దాం, ఇది స్పష్టంగా ఉంటుంది, అనగా. , అంటే, ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు యొక్క నిర్వచనం సంఖ్య. 5 ఆధారంగా, ఫంక్షన్ పాయింట్ .8 వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది. పాయింట్ ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడినందున, సంఖ్య రేఖపై ఏ పాయింట్ వద్ద అయినా ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుంది.

పత్రం: 2వ ఆస్తి 1. నిశ్చయత కోసం లెట్ మరియు .2. వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో హేతుబద్ధ సంఖ్యల సాంద్రత కారణంగా, హేతుబద్ధ సంఖ్యలు ఉన్నాయి మరియు అలాంటివి

3. హేతుబద్ధ సంఖ్యల యొక్క కొన్ని రెండు శ్రేణులను ఎంచుకుందాం మరియు తద్వారా మరియు .4 కోసం. హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితిలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఆస్తి ఆధారంగా, మనం వ్రాయవచ్చు:

5. చివరి అసమానతలో (ఘాతాంకాలలో) పరిమితికి వెళ్దాం: ; ; ; , కాబట్టి, వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా: ; ; .6. పాయింట్ 4లోని అసమానత రూపం తీసుకుంటుంది: లేదా .7 వద్ద. మరియు వద్ద పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా, కాబట్టి, వద్ద ఖచ్చితంగా పెరుగుతుంది.

గమనిక 1. కేసు అదేవిధంగా పరిగణించబడుతుంది.

గమనిక 2. ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లు ఇలా కనిపిస్తాయి:

పత్రం: 3వ లక్షణాలు 1. హేతుబద్ధ సంఖ్యల శ్రేణులు ఉండనివ్వండి , అందువలన, రెండు కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్‌ల మొత్తం పరిమితిపై సిద్ధాంతం ఆధారంగా.2. అప్పుడు, వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, .3. హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితిలో ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క ఆస్తి సంఖ్య. 2 ద్వారా, కాబట్టి, a>0.

పరిణామం 1. ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యలకు కింది సమానత్వం ఉంటుంది: , కాబట్టి, . 2. అందువలన.

పత్రం: 4వ ఆస్తి

I.1. ధన పూర్ణాంకంగా ఉండనివ్వండి, అనగా. .2. హేతుబద్ధ సంఖ్యల సెట్‌లో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఆస్తి సంఖ్య 2ని మరోసారి వర్తింపజేద్దాం: కాబట్టి, .

II.1. లెట్ , , ధన పూర్ణాంకం ఎక్కడ ఉంది, .2. దానిని నిరూపిద్దాం: , అనగా. సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క మూలం: .3. సమానత్వం ఆధారంగా మరియు రూట్ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం: అయితే , అప్పుడు . లేదా . అందుకే, .

III.1. లెట్ , , ఎక్కడ .2. గతంలో నిరూపించబడిన దాని ఆధారంగా, మేము వ్రాయవచ్చు: . అందుకే, .

IV. ఇప్పుడు, అప్పుడు లెట్. అందుకే, .

V. ఇది స్పష్టంగా ఉంది .తీర్మానం: అందువలన, ఇది నిరూపించబడింది , : .

VI.1. లెట్ .2. దీనికి కలుస్తున్న హేతుబద్ధ సంఖ్యల ఏకపక్ష క్రమాన్ని పరిగణించండి: .3. అప్పుడు, సమానత్వం కారణంగా, ఈ క్రిందివి జరుగుతాయి:

4. కాబట్టి, వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనానికి అనుగుణంగా, మనం వ్రాయవచ్చు: a) ; b) , నుండి .5. వద్ద పాయింట్ 3 సమానత్వంలో పరిమితికి వెళ్దాం:

6. పేరా 4 ప్రకారం, మేము వ్రాసిన సమానత్వాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము: , .

పత్రం: 5వ ఆస్తిI.1. .2 కోసం దానిని నిరూపిద్దాం. లెట్ .3. అప్పుడు , .4.నుండి , తర్వాత (బెర్నౌలీ అసమానతకు అనుగుణంగా).5. కోసం , ఆ .6. అయితే , a , అప్పుడు వద్ద , కాబట్టి, వద్ద అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం (అనంతం వద్ద ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అనంతమైన పరిమితి) కు సమానం.

II.1. అయితే, .2 సంతృప్తి చెందుతుంది. అప్పటి నుండి, అనగా. .3. అందుచేత .4. అయితే మరియు , అప్పుడు , అందువలన, ముఖ్యంగా కంప్రెస్డ్ వేరియబుల్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా.

పత్రం: 6వ ఆస్తి 1. .2 వద్ద. ఎప్పుడు .ఆస్తి నెం. 5 రుజువు మాదిరిగానే రుజువు నిర్వహించబడుతుంది.

మాడ్యూల్

విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు

నిర్వచనం 1.వీలు f- సెట్ల మధ్య అనురూప్యం Xమరియు వై. అన్ని జతల సమితి (( y,x)| (x,y)Î f) అంటారు కోసం విలోమ అనురూప్యం సమ్మతి fమరియు నియమించబడినది f –1 .

నిర్వచనం 2.సరిపోలితే fమరియు f–1 ఫంక్షన్లు, తర్వాత ఫంక్షన్ fఅని పిలిచారు తిప్పికొట్టే, ఎ f –1 –రివర్స్ ఫంక్షన్ కోసం f .

విధులు fమరియు f–1 పరస్పరం విలోమం, ఎందుకంటే ( f –1) –1 = f, మరియు ప్రదర్శన

f: X వైఒకరితో ఒకరు.

పరస్పర విలోమ ఫంక్షన్ల లక్షణాలు:

1. డి(f -1) = ఇ(f), ఇ(f -1) = డి(f).

2. f –1 (f(x)) = x "xఓడి( f); f(f –1 (వై)) = వై "వైÎ ఇ(f).

3. ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లు fమరియు f–1 – సరళ రేఖ గురించి సుష్ట వై = x.

రుజువు లేకుండా కింది సిద్ధాంతాన్ని అంగీకరిస్తాం

సిద్ధాంతం 1.ఫంక్షన్ అయితే fడెఫినిషన్ డొమైన్ యొక్క ఒకదానికొకటి మ్యాపింగ్ డి(f) విలువల పరిధికి ఇ(f), తర్వాత దాని విలోమ అనురూప్యం f–1 – ఫంక్షన్.

సిద్ధాంతం 2 ( విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికి మరియు కొనసాగింపుపై). విరామమైన డెఫినిషన్ D(f) డొమైన్‌లో f ఫంక్షన్ ఖచ్చితంగా పెరుగుతూ (తగ్గుతూ) మరియు నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు విలోమ కరస్పాండెన్స్ f –1 అనేది డెఫినిషన్ D(f) డొమైన్‌లో పెరుగుదల (తగ్గడం) మరియు నిరంతరాయంగా ఉంటుంది. –1 ) = E(f), ఇది కూడా విరామం.

గమనిక, బోల్జానో-కౌచీ సిద్ధాంతం II యొక్క పరిణామం ప్రకారం, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధి విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది E(f) = D(f-1) - విరామం.

రుజువుమేము 3 దశల్లో పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ కోసం దీన్ని నిర్వహిస్తాము.

దశ 1.వీలు f- పెరుగుతున్న, f అని నిరూపిద్దాం –1 - ఫంక్షన్, అనగా మేము దానిని అందరికీ చూపిస్తాము

వైÎ డి(f –1) = ఇ(f) ఒకే విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది XÎ ఇ(f–1) = D( f).

కొందరికి వ్యతిరేకం అనుకుందాం y oÎ ఇ(f) రెండింటికి అనుగుణంగా ఉంటుంది x 1, x 2Î డి(f) అలాంటి f(x 1) = y o і f(x 2)= y o, కానీ x 1 ≠ x 2. నిశ్చయత కోసం లెట్ x 1< x 2. పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ పరిస్థితి నుండి fదానిని అనుసరిస్తుంది f(x 1) < f(x 2)Û y o< y o , కానీ ఇది అసాధ్యం.

దశ 2.ఎఫ్ అని నిరూపిద్దాం –1 - పెరుగుతున్నడొమైన్‌లో ఫంక్షన్ డి(f –1) = ఇ(f) సమృద్ధిగా ఇ(f) ఏదైనా తీసుకుందాం 1 వద్దమరియు 2 వద్దఅలాంటి 1 వద్ద < 2 వద్దమరియు దానిని చూపించు f –1 (1 వద్ద)< f –1 (2 వద్ద).

వ్యతిరేకం అనుకుందాం: f –1 (1 వద్ద) ³ f –1 (2 వద్ద).పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ కారణంగా fమేము గుర్తు చేస్తాము

f(f –1 (y 1)) ³ f(f –1 (2 వద్ద)) Þ y 1 ³ y 2, ఇది షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంది 1 వద్ద < 2 వద్ద. ఇది పనితీరులో పెరుగుదలను రుజువు చేస్తుంది f –1 .

దశ 3.ఫంక్షన్ f అని చెప్పండి –1 E పై నిరంతరాయంగా(f).

అని నిరూపించుకున్నాం f-1 - విరామంలో పెరుగుతుంది ఇ(f) ఫంక్షన్, దాని విలువల సమితి ఇ(f -1) = డి(f) సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం - ఒక విరామం. తర్వాత T.2 §4 ద్వారా f–1 – నిరంతర ఫంక్షన్ ఆన్ E(f). ◄

ఉదాహరణ 1.ఫంక్షన్ ఫంక్షన్ యొక్క విలోమ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి f (X) = 2x - 4.

పరిష్కారం.ఫంక్షన్ f (X) = 2x- 4 – నిరంతరంగా మరియు పెరుగుతోంది డి(f) = ఆర్. T. 2 ప్రకారం, ఒక విలోమ ఫంక్షన్ ఉంది, ఇది కూడా నిరంతరంగా మరియు పెరుగుతూ ఉంటుంది ఇ(f) = ఆర్.ఫంక్షన్ కోసం సూత్రాన్ని కనుగొనండి f –1 (వద్ద), దీని కోసం మేము వ్యక్తపరుస్తాము X = వద్ద/2 + 2, లేదా

వై = x/2 + 2 (Xమరియు వద్దమారిన స్థలాలు).

ఉదాహరణ 2.ఫంక్షన్ యొక్క విలోమ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి

మరియు దాని గ్రాఫ్‌ను నిర్మించండి.

పరిష్కారం. డి(f) = R –అంతరం. ఫంక్షన్ (1)ని Þ Þ రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం ఇ వై-ఇ-వై= 2xÞ ఇ వై - 1/ఇ వై= 2x Þ ఇ 2సం - 2xe y- 1 = 0 ½ సూచిస్తుంది ఇ y = టి> 0½Þ

సిద్ధాంతం(విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికి మరియు కొనసాగింపుపై). నిరంతరంగా పెరుగుతున్న (తగ్గుతున్న) ఫంక్షన్ y=f(x) విరామం (a,b)పై నిర్వచించబడనివ్వండి. సూచిస్తాం

అప్పుడు విరామంలో (A, B) ఒక విలోమ ఫంక్షన్ నిర్వచించబడుతుంది, ఇది ఈ విరామంలో పెరుగుతుంది (తగ్గుతుంది) మరియు ఈ విరామం యొక్క ప్రతి పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న నం. 22: భిన్నమైన విధులు. వైవిధ్యత ప్రమాణం

నిర్వచనం . ఫంక్షన్ f,ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగున నిర్వచించబడింది x,అని పిలిచారు భిన్నమైనదిఈ సమయంలో, ఫార్ములా నిజమైతే

f (x స్ట్రోక్+ ▲ x స్ట్రోక్)- f (x ప్రధాన)= ఎస్ ఐ▲ xi+సాయి (▲ x స్ట్రోక్)▲ xi (3)

ఎక్కడ నేను ఎసంఖ్యలు మరియు విధులు ai (▲ x స్ట్రోక్)పరిస్థితిని సంతృప్తి పరచండి

ai (▲ x స్ట్రోక్)→ 0 (i=1,2 ,…, n) ▲ వద్ద x→0 . (4)

సిద్ధాంతం . ఫంక్షన్ లెట్ fపాయింట్ వద్ద భేదం x . ఈ సమయంలో అది పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు సమానతలు సంతృప్తి చెందుతాయి

(df(x ప్రైమ్))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n).

రుజువు . ఫార్ములా (3) నుండి అది అనుసరిస్తుంది

(f (x1 ,...,xi-1 ,xi+▲ xi ,xi+1,...,xn)- f (x1 ,...,xi-1 ,xi ,xi+1 ,..., x n))/(▲Xi)= Ai+αi(▲Xi).

▲x వద్ద పరిమితిని దాటుతోంది నేను → 0, మేము సమానత్వాన్ని పొందుతాము (5).

సిద్ధాంతం (ఫంక్షన్ యొక్క భేదానికి తగిన పరిస్థితులు). ఫంక్షన్ అయితే fపాయింట్ యొక్క కొన్ని పరిసరాల్లోని అన్ని వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంది x స్ట్రోక్ , మరియు ఈ పాక్షిక ఉత్పన్నాలన్నీ నిరంతరంగా ఉంటాయి

పాయింట్ x స్ట్రోక్ , అప్పుడు పేర్కొన్న ఫంక్షన్ ఈ సమయంలో విభిన్నంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం ( ఫంక్షన్ యొక్క భేదానికి ప్రమాణం). ఫంక్షన్ f(x), పాయింట్ యొక్క పొరుగున నిర్వచించబడింది x, ఈ సమయంలో వ్యుత్పన్నం ఉన్నట్లయితే మరియు మాత్రమే తేడా ఉంటుంది f׳( x) ఇందులో ఎఫ్= f׳( x).

రుజువు . ఒక ఉత్పన్నం ఉండనివ్వండి f׳( x) సూచిస్తాం

a(t) =(((f(t)-f(x)) /(t-x)) - f(x)

f(t) =f (x)+ (t-x) f׳(x)+ (t-x)α (t),(α(t)→0). (2)

ఇప్పుడు సమానత్వం (1) సంతృప్తి చెందనివ్వండి. అప్పుడు

((f(t)-f(x)) /(t-x) = F+ α(t) ,limα(t) = 0.

అందువలన, ఒక ఉత్పన్నం ఉంది f׳( x)= ఎఫ్.

ప్రశ్న నం. 23: రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం, వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి మరియు గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం.

మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పన్నం

మనకు తెలిసిన ఉత్పన్నాలు f(x) మరియు g(x) ఫంక్షన్‌లను ఇవ్వనివ్వండి. ఉదాహరణకు, మీరు పైన చర్చించిన ప్రాథమిక విధులను తీసుకోవచ్చు. అప్పుడు మీరు ఈ ఫంక్షన్ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనవచ్చు:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’

2. (f - g)’ = f ’ - g ’

కాబట్టి, రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల మొత్తానికి (తేడా) సమానం. మరిన్ని నిబంధనలు ఉండవచ్చు. ఉదాహరణకు, (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, బీజగణితంలో "వ్యవకలనం" అనే భావన లేదు. "ప్రతికూల మూలకం" అనే భావన ఉంది. కాబట్టి, f - g వ్యత్యాసాన్ని మొత్తం f + (−1) gగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు, ఆపై ఒక సూత్రం మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది - మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం.

· టాస్క్ . ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి: f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 - 3.

పరిష్కారం. ఫంక్షన్ f(x) అనేది రెండు ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల మొత్తం, కాబట్టి:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

మేము ఫంక్షన్ g(x) కోసం అదే విధంగా కారణం. ఇప్పటికే మూడు పదాలు మాత్రమే ఉన్నాయి (బీజగణితం యొక్క కోణం నుండి):

g '(x) = (x 4 + 2x 2 - 3)' = (x 4 + 2x 2 + (−3))' = (x 4)' + (2x 2)' + (−3)' = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

సమాధానం:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x 2 + 1).

ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం

ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం పూర్తిగా భిన్నమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది. అవి:

(f g) ’ = f ’ g + f g ’

ఫార్ములా చాలా సులభం, కానీ ఇది తరచుగా మరచిపోతుంది. మరియు పాఠశాల పిల్లలు మాత్రమే కాదు, విద్యార్థులు కూడా. ఫలితంగా సమస్యలు తప్పుగా పరిష్కరించబడతాయి.

· టాస్క్ . ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) ఇ x .

పరిష్కారం

సమాధానం:
g ’(x) = x(x + 9) e x .

దయచేసి చివరి దశలో ఉత్పన్నం కారకం చేయబడిందని గమనించండి. అధికారికంగా, ఇది చేయవలసిన అవసరం లేదు, కానీ చాలా ఉత్పన్నాలు వాటి స్వంతంగా లెక్కించబడవు, కానీ ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించడానికి. దీని అర్థం మరింత ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం అవుతుంది, దాని సంకేతాలు నిర్ణయించబడతాయి మరియు మొదలైనవి. అటువంటి సందర్భంలో, వ్యక్తీకరణను కారకంగా ఉంచడం మంచిది.

గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం

మనకు ఆసక్తి ఉన్న సెట్‌లో f(x) మరియు g(x), మరియు g(x) ≠ 0 అనే రెండు ఫంక్షన్‌లు ఉంటే, మేము కొత్త ఫంక్షన్ h(x) = f(x)/g(x)ని నిర్వచించవచ్చు . అటువంటి ఫంక్షన్ కోసం మీరు ఉత్పన్నాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు:

బలహీనంగా లేదు, అవునా? మైనస్ ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? ఎందుకు g 2? మరియు ఇలా! ఇది చాలా క్లిష్టమైన సూత్రాలలో ఒకటి - మీరు బాటిల్ లేకుండా దాన్ని గుర్తించలేరు. అందువల్ల, నిర్దిష్ట ఉదాహరణలతో దీనిని అధ్యయనం చేయడం మంచిది.

టాస్క్. ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) ఇ x .

పరిష్కారం. ఫంక్షన్ f(x) అనేది రెండు ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి, కాబట్టి ప్రతిదీ చాలా సులభం:

f '(x) = (x 3 cos x)' = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)' = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 · (3cos x - x · పాపం x)

ఫంక్షన్ g(x) కొంచెం సంక్లిష్టమైన మొదటి కారకాన్ని కలిగి ఉంది, కానీ ఇది సాధారణ పథకాన్ని మార్చదు. సహజంగానే, ఫంక్షన్ g(x) యొక్క మొదటి కారకం బహుపది, మరియు దాని ఉత్పన్నం మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం. మాకు ఉన్నాయి:

g '(x) = ((x 2 + 7x - 7) e x)' = (x 2 + 7x - 7)' e x + (x 2 + 7x - 7) (e x)' = (2x + 7 ) · e x + (x 2 + 7x - 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x -7) = (x 2 + 9x) · e x = x (x + 9) · e x .

సమాధానం:
f ’(x) = x 2 · (3cos x - x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) e x