త్రికోణమితి సమీకరణాలు - సూత్రాలు, పరిష్కారాలు, ఉదాహరణలు. త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు ఫ్యాక్టరింగ్

త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతులు: సమీకరణాలను సరళమైన వాటికి తగ్గించడం (త్రికోణమితి సూత్రాలను ఉపయోగించడం), కొత్త వేరియబుల్స్‌ను పరిచయం చేయడం మరియు కారకం. ఉదాహరణలతో వాటి ఉపయోగాన్ని చూద్దాం. త్రికోణమితి సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను వ్రాసే ఆకృతికి శ్రద్ధ వహించండి.

త్రికోణమితి సమీకరణాలను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి అవసరమైన షరతు త్రికోణమితి సూత్రాల పరిజ్ఞానం (పని 6 యొక్క అంశం 13).

ఉదాహరణలు.

1. సమీకరణాలు సరళమైన వాటికి తగ్గించబడ్డాయి.

1) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం:

సమాధానం:

2) సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, విభాగానికి చెందినది.

పరిష్కారం:

సమాధానం:

2. చతురస్రాకారానికి తగ్గించే సమీకరణాలు.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం:ఫార్ములా sin 2 x = 1 - cos 2 x ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

సమాధానం:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం:ఫార్ములా cos 2x = 2 cos 2 x – 1 ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

సమాధానం:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం:

సమాధానం:

3. సజాతీయ సమీకరణాలు

1) 2sinx – 3cosx = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం: cosx = 0, ఆపై 2sinx = 0 మరియు sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 అనే వాస్తవంతో వైరుధ్యం. దీని అర్థం cosx ≠ 0 మరియు మేము సమీకరణాన్ని cosx ద్వారా విభజించవచ్చు. మాకు దొరికింది

సమాధానం:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం:

మేము 1 = sin 2 x + cos 2 x మరియు sin 2x = 2 sinxcosx సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము, మనకు లభిస్తుంది

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

cosx = 0, ఆపై sin 2 x = 0 మరియు sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 అనే వాస్తవంతో వైరుధ్యం.
దీని అర్థం cosx ≠ 0 మరియు మేము సమీకరణాన్ని cos 2 x ద్వారా విభజించవచ్చు . మాకు దొరికింది

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
మనం tgx = y ని సూచిస్తాము
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 కె, కె
బి) tgx = 2, x= ఆర్క్టాన్2 + 2 కె, కె .

సమాధానం: arctg4 + 2 కె, ఆర్క్టాన్2 + 2 కె, కె

4. రూపం యొక్క సమీకరణాలు a sinx + బి cosx = s, s≠ 0.

1) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం:

సమాధానం:

5. కారకం ద్వారా పరిష్కరించబడిన సమీకరణాలు.

1) sin2x – sinx = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

సమీకరణం యొక్క మూలం f (X) = φ ( X) సంఖ్య 0గా మాత్రమే పని చేస్తుంది. దీన్ని తనిఖీ చేద్దాం:

cos 0 = 0 + 1 - సమానత్వం నిజం.

ఈ సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలం సంఖ్య 0.

సమాధానం: 0.

త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు.

త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది: సమీకరణ పరివర్తనసరళంగా పొందడానికిరకం (పైన చూడండి) మరియు పరిష్కారంఫలితంగా సరళమైనది త్రికోణమితి సమీకరణం.ఏడు ఉన్నాయి త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక పద్ధతులు.

1. బీజగణిత పద్ధతి.

(వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మరియు ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి).

2. కారకం.

ఉదాహరణ 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:పాపం x+కాస్ x = 1 .

పరిష్కారం. సమీకరణంలోని అన్ని నిబంధనలను ఎడమవైపుకు తరలిద్దాం:

పాపం x+కాస్ x – 1 = 0 ,

లో వ్యక్తీకరణను రూపాంతరం చేసి, కారకాలుగా మారుద్దాం

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు:

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:కాస్ 2 x+ పాపం xకాస్ x = 1.

పరిష్కారం: ఖర్చు 2 x+ పాపం xకాస్ x– పాపం 2 x- ఖర్చు 2 x = 0 ,

పాపం xకాస్ x– పాపం 2 x = 0 ,

పాపం x· (కస్ x– పాపం x ) = 0 ,

ఉదాహరణ 3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:ఖర్చు 2 x-కాస్ 8 x+ ఖర్చు 6 x = 1.

పరిష్కారం: ఖర్చు 2 x+ ఖర్చు 6 x= 1 + కాస్ 8 x,

2 కాస్ 4 xఖర్చు 2 x= 2కోలు² 4 x ,

కాస్ 4 x · (ఖర్చు 2 x- ఖర్చు 4 x) = 0 ,

కాస్ 4 x · 2 పాపం 3 xపాపం x = 0 ,

1) ఖర్చు 4 x= 0, 2). పాపం 3 x= 0, 3). పాపం x = 0 ,

3. తగ్గింపు సజాతీయ సమీకరణం. సమీకరణం అని పిలిచారు నుండి సజాతీయ సంబంధించి పాపంమరియు కాస్ , ఉంటే అది అన్ని సంబంధిత అదే డిగ్రీ నిబంధనలు పాపంమరియు కాస్అదే కోణం. సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీకు ఇది అవసరం: ఎ) దాని సభ్యులందరినీ ఎడమ వైపుకు తరలించండి; బి) బ్రాకెట్ల నుండి అన్ని సాధారణ కారకాలను ఉంచండి; వి) అన్ని కారకాలు మరియు బ్రాకెట్లను సున్నాకి సమం చేయండి; జి) కుండలీకరణాలు సున్నాకి సమానం తక్కువ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం, దీనిని విభజించాలి కాస్(లేదా పాపం) సీనియర్ డిగ్రీలో; డి) ఫలితంగా బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండితాన్ . పాపం 2 x+ 4 పాపం xకాస్ x+ 5కోలు 2 x = 2. పరిష్కారం: 3పాపం 2 x+ 4 పాపం xకాస్ x+ 5 కాస్ 2 x= 2పాపం 2 x+ 2 కాస్ 2 x , పాపం 2 x+ 4 పాపం xకాస్ x+ 3 కాస్ 2 x = 0 , తాన్ 2 x+ 4 టాన్ x + 3 = 0 , ఇక్కడనుంచి వై 2 + 4వై +3 = 0 , ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు:వై 1 = - 1, వై 2 = - 3, అందుకే 1) తాన్ x= –1, 2) తాన్ x = –3,

4. సగం కోణానికి పరివర్తన.

ఈ పద్ధతిని ఉదాహరణగా చూద్దాం:

ఉదాహరణ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: 3పాపం x- 5 కాసులు x = 7.

పరిష్కారం: 6 పాపం ( x/ 2) ఖర్చు ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 పాపం ( x/ 2) ఖర్చు ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

టాన్² ( x/ 2) – 3 టాన్ ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. సహాయక కోణం పరిచయం.

ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

aపాపం x + బికాస్ x = సి ,

ఎక్కడ a, బి, సి- గుణకాలు;x- తెలియదు.

ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క గుణకాలు సైన్ మరియు కొసైన్ లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయి, అవి: ప్రతి యొక్క మాడ్యులస్ (సంపూర్ణ విలువ). వీటిలో 1 కంటే ఎక్కువ కాదు, మరియు వాటి చతురస్రాల మొత్తం 1. అప్పుడు మనం సూచించవచ్చు వాటిని తదనుగుణంగా ఎలా cos మరియు sin (ఇక్కడ - అని పిలవబడే సహాయక కోణం), మరియుమా సమీకరణాన్ని తీసుకోండి

విషయం:"త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు."

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

విద్యా:

త్రికోణమితి సమీకరణాల రకాల మధ్య తేడాను గుర్తించడానికి నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయండి;

త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులపై లోతైన అవగాహన;

విద్యా:

విద్యా ప్రక్రియలో అభిజ్ఞా ఆసక్తిని పెంపొందించడం;

ఇచ్చిన పనిని విశ్లేషించే సామర్థ్యం ఏర్పడటం;

అభివృద్ధి చెందుతున్న:

పరిస్థితిని విశ్లేషించే నైపుణ్యాన్ని పెంపొందించడం మరియు దాని నుండి అత్యంత హేతుబద్ధమైన మార్గాన్ని ఎంచుకోవడం.

సామగ్రి:ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలతో పోస్టర్, కంప్యూటర్, ప్రొజెక్టర్, స్క్రీన్.

ఏదైనా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక సాంకేతికతను పునరావృతం చేయడం ద్వారా పాఠాన్ని ప్రారంభిద్దాం: దానిని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించడం. రూపాంతరాల ద్వారా, సరళ సమీకరణాలు ax = b రూపానికి తగ్గించబడతాయి, వర్గ సమీకరణాలు రూపానికి తగ్గించబడతాయి గొడ్డలి 2 +bx +c =0.త్రికోణమితి సమీకరణాల విషయంలో, వాటిని సరళమైన రూపంలోకి తగ్గించడం అవసరం: sinx = a, cosx = a, tgx = a, ఇది సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది.

అన్నింటిలో మొదటిది, వాస్తవానికి, దీని కోసం మీరు పోస్టర్‌లో ప్రదర్శించబడిన ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలను ఉపయోగించాలి: అదనపు సూత్రాలు, డబుల్ యాంగిల్ సూత్రాలు, సమీకరణం యొక్క గుణకారాన్ని తగ్గించడం. అటువంటి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. వాటిలో కొన్నింటిని పునరావృతం చేద్దాం:

అదే సమయంలో, సమీకరణాలు ఉన్నాయి, దీని పరిష్కారానికి కొన్ని ప్రత్యేక పద్ధతుల పరిజ్ఞానం అవసరం.

మా పాఠం యొక్క అంశం ఏమిటంటే, ఈ పద్ధతులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మరియు త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను క్రమబద్ధీకరించడం.

త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు.

1. కొన్ని త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌కు సంబంధించి క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్‌గా మార్చడం, ఆ తర్వాత వేరియబుల్ మార్పు.

జాబితా చేయబడిన ప్రతి పద్ధతులను ఉదాహరణలతో చూద్దాం, అయితే సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు మేము ఇప్పటికే మొదటి రెండింటిని ఉపయోగించాము కాబట్టి, చివరి రెండింటిపై మరింత వివరంగా నివసిద్దాం.

1. కొన్ని త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌కు సంబంధించి వర్గ సమీకరణానికి మార్పిడి.

2. కారకం పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

3. సజాతీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీల సజాతీయ సమీకరణాలు రూపం యొక్క సమీకరణాలు:

వరుసగా (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

సజాతీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, సమీకరణ పదం యొక్క రెండు వైపులా (1) సమీకరణానికి cosx మరియు (2) కోసం cos 2 x ద్వారా విభజించండి. ఈ విభజన సాధ్యమవుతుంది ఎందుకంటే sinx మరియు cosx ఒకే సమయంలో సున్నాకి సమానంగా ఉండవు - అవి వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద సున్నాగా మారతాయి. మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీల సజాతీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

ఈ సమీకరణాన్ని గుర్తుంచుకోండి: తదుపరి పద్ధతిని పరిశీలిస్తున్నప్పుడు - సహాయక వాదనను పరిచయం చేస్తూ, మేము దానిని వేరొక విధంగా పరిష్కరిస్తాము.

4. సహాయక వాదన పరిచయం.

మునుపటి పద్ధతి ద్వారా ఇప్పటికే పరిష్కరించబడిన సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం:

మీరు గమనిస్తే, అదే ఫలితం పొందబడుతుంది.

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం:

పరిగణించబడిన ఉదాహరణలలో, సహాయక ఆర్గ్యుమెంట్‌ను పరిచయం చేయడానికి అసలు సమీకరణంలో ఏది విభజించబడాలి అనేది సాధారణంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది. కానీ ఏ డివైజర్‌ను ఎంచుకోవాలో స్పష్టంగా తెలియకపోవడం జరగవచ్చు. దీని కోసం ఒక ప్రత్యేక సాంకేతికత ఉంది, ఇది ఇప్పుడు మనం సాధారణ పరంగా పరిశీలిస్తాము. ఒక సమీకరణం ఇవ్వనివ్వండి.