ఏ పాయింట్ల వద్ద ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం? ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఒకటి కష్టమైన విషయాలువి పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు. ఉత్పన్నం అంటే ఏమిటి అనే ప్రశ్నకు ప్రతి గ్రాడ్యుయేట్ సమాధానం ఇవ్వరు.

ఉత్పన్నం అంటే ఏమిటి మరియు అది ఎందుకు అవసరమో ఈ వ్యాసం సరళమైన మరియు స్పష్టమైన మార్గంలో వివరిస్తుంది.. మేము ఇప్పుడు ప్రదర్శనలో గణిత కఠినత కోసం ప్రయత్నించము. అతి ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం.

నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

ఉత్పన్నం అనేది ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటు.

బొమ్మ మూడు ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది. ఏది వేగంగా పెరుగుతోందని మీరు అనుకుంటున్నారు?

సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది - మూడవది. ఇది అత్యధిక మార్పు రేటును కలిగి ఉంది, అంటే అతిపెద్ద ఉత్పన్నం.

ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ.

కోస్త్య, గ్రిషా మరియు మాట్వీకి ఒకే సమయంలో ఉద్యోగాలు వచ్చాయి. సంవత్సరంలో వారి ఆదాయం ఎలా మారిందో చూద్దాం:

గ్రాఫ్ అన్నింటినీ ఒకేసారి చూపిస్తుంది, కాదా? ఆరు నెలల్లో కోస్త్యా ఆదాయం రెట్టింపు అయింది. మరియు గ్రిషా ఆదాయం కూడా పెరిగింది, కానీ కొంచెం. మరియు మాట్వే ఆదాయం సున్నాకి తగ్గింది. ప్రారంభ పరిస్థితులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కానీ ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటు, అంటే ఉత్పన్నం, - భిన్నమైనది. మాట్వే విషయానికొస్తే, అతని ఆదాయ ఉత్పన్నం సాధారణంగా ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

అకారణంగా, మేము ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును సులభంగా అంచనా వేస్తాము. కానీ మనం దీన్ని ఎలా చేయాలి?

మనం నిజంగా చూస్తున్నది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎంత నిటారుగా పెరుగుతుంది (లేదా క్రిందికి). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, x మారినప్పుడు y ఎంత త్వరగా మారుతుంది? స్పష్టంగా, అదే ఫంక్షన్ వివిధ పాయింట్లుఉండవచ్చునేమొ వేరే అర్థంఉత్పన్నం - అంటే, ఇది వేగంగా లేదా నెమ్మదిగా మారవచ్చు.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సూచించబడుతుంది.

గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగించి దాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మేము మీకు చూపుతాము.

కొంత ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ డ్రా చేయబడింది. దానిపై అబ్సిస్సా ఉన్న పాయింట్ తీసుకుందాం. ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ని గీయండి. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎంత నిటారుగా పెరుగుతుందో మేము అంచనా వేయాలనుకుంటున్నాము. దీనికి అనుకూలమైన విలువ టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్.

ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఈ పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కి డ్రా అయిన టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కి సమానం.

టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణంగా మనం టాంజెంట్ మరియు అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ మధ్య కోణాన్ని తీసుకుంటామని దయచేసి గమనించండి.

కొన్నిసార్లు విద్యార్థులు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ అంటే ఏమిటి అని అడుగుతారు. ఇది ఒకే ఒక సరళ రేఖ సాధారణ పాయింట్గ్రాఫ్‌తో, మరియు మా చిత్రంలో చూపిన విధంగా. ఇది వృత్తానికి టాంజెంట్ లాగా కనిపిస్తుంది.

దానిని కనుక్కోండి. ఒక అక్యూట్ యాంగిల్ టాంజెంట్ ఇన్ అని మనకు గుర్తుంది కుడి త్రిభుజం నిష్పత్తికి సమానం ఎదురుగాప్రక్కనే. త్రిభుజం నుండి:

ఫంక్షన్ యొక్క ఫార్ములా కూడా తెలియకుండా గ్రాఫ్ ఉపయోగించి ఉత్పన్నాన్ని మేము కనుగొన్నాము. ఇటువంటి సమస్యలు తరచుగా సంఖ్య కింద గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో కనిపిస్తాయి.

మరొక ముఖ్యమైన సంబంధం ఉంది. సరళ రేఖ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిందని గుర్తుంచుకోండి

ఈ సమీకరణంలోని పరిమాణాన్ని అంటారు సరళ రేఖ యొక్క వాలు. ఇది అక్షానికి సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానం.

.

మేము దానిని పొందుతాము

ఈ ఫార్ములాను గుర్తుంచుకుందాం. ఇది ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది.

ఒక బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఆ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు డ్రా అయిన టాంజెంట్ యొక్క వాలుకు సమానం.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఉత్పన్నం టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కి సమానం.

ఒకే ఫంక్షన్ వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద వేర్వేరు ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటుందని మేము ఇప్పటికే చెప్పాము. ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనకు ఉత్పన్నం ఎలా సంబంధం కలిగి ఉందో చూద్దాం.

కొంత ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి. ఈ ఫంక్షన్ కొన్ని ప్రాంతాలలో పెరగనివ్వండి మరియు మరికొన్నింటిలో తగ్గుతుంది వివిధ వేగంతో. మరియు ఈ ఫంక్షన్ గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను కలిగి ఉండనివ్వండి.

ఒక సమయంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది. పాయింట్ వద్ద గీసిన గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఏర్పడుతుంది పదునైన మూలలో; సానుకూల అక్షం దిశతో. పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉందని దీని అర్థం.

ఆ సమయంలో మన పనితీరు తగ్గిపోతుంది. ఈ బిందువు వద్ద టాంజెంట్ ఒక మందమైన కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది; సానుకూల అక్షం దిశతో. టాంజెంట్ నుండి గురు కోణంప్రతికూలంగా ఉంటుంది, పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

ఏమి జరుగుతుందో ఇక్కడ ఉంది:

ఒక ఫంక్షన్ పెరుగుతున్నట్లయితే, దాని ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

అది తగ్గితే, దాని ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్ల వద్ద ఏమి జరుగుతుంది? పాయింట్ల వద్ద (గరిష్ట బిందువు) మరియు (కనిష్ట బిందువు) టాంజెంట్ క్షితిజ సమాంతరంగా ఉన్నట్లు మనం చూస్తాము. కాబట్టి, ఈ బిందువుల వద్ద టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్ సున్నాకి సమానం, మరియు ఉత్పన్నం కూడా సున్నా.

పాయింట్ - గరిష్ట పాయింట్. ఈ సమయంలో, ఫంక్షన్ పెరుగుదల తగ్గుదల ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది. తత్ఫలితంగా, "ప్లస్" నుండి "మైనస్"కి పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం మారుతుంది.

పాయింట్ వద్ద - కనిష్ట పాయింట్ - ఉత్పన్నం కూడా సున్నా, కానీ దాని గుర్తు “మైనస్” నుండి “ప్లస్”కి మారుతుంది.

ముగింపు: ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి, ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తన గురించి మనకు ఆసక్తి కలిగించే ప్రతిదాన్ని మనం కనుగొనవచ్చు.

ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.

గరిష్ట పాయింట్ వద్ద, ఉత్పన్నం సున్నా మరియు చిహ్నాన్ని “ప్లస్” నుండి “మైనస్”కి మారుస్తుంది.

కనీస పాయింట్ వద్ద, ఉత్పన్నం కూడా సున్నా మరియు చిహ్నాన్ని "మైనస్" నుండి "ప్లస్"కి మారుస్తుంది.

ఈ తీర్మానాలను పట్టిక రూపంలో వ్రాస్దాం:

	పెరుగుతుంది	గరిష్ట పాయింట్	తగ్గుతుంది	కనీస పాయింట్	పెరుగుతుంది
+	0	-	0	+

రెండు చిన్న స్పష్టీకరణలు చేద్దాం. సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు మీకు వాటిలో ఒకటి అవసరం. మరొకటి - మొదటి సంవత్సరంలో, విధులు మరియు ఉత్పన్నాల యొక్క మరింత తీవ్రమైన అధ్యయనంతో.

ఏదో ఒక సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉండే అవకాశం ఉంది, అయితే ఈ సమయంలో ఫంక్షన్‌కు గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా ఉండదు. ఇది పిలవబడేది :

ఒక పాయింట్ వద్ద, గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు ఉత్పన్నం సున్నాగా ఉంటుంది. అయితే, పాయింట్‌కు ముందు ఫంక్షన్ పెరిగింది - మరియు పాయింట్ తర్వాత అది పెరుగుతూనే ఉంటుంది. ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం మారదు - ఇది సానుకూలంగానే ఉంటుంది.

గరిష్ట లేదా కనిష్ట పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం ఉనికిలో లేదని కూడా ఇది జరుగుతుంది. గ్రాఫ్‌లో, ఇచ్చిన బిందువు వద్ద టాంజెంట్‌ను గీయడం అసాధ్యం అయినప్పుడు ఇది పదునైన విరామానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ ద్వారా కాకుండా ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడితే ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఈ సందర్భంలో, ఇది వర్తిస్తుంది

టాస్క్.

ఫంక్షన్ y=f(x) విరామం (-5; 6)పై నిర్వచించబడింది. ఫిగర్ y=f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. x 1, x 2, ..., x 7 పాయింట్‌లలో f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానమైన పాయింట్‌లను కనుగొనండి. ప్రతిస్పందనగా, కనుగొన్న పాయింట్ల సంఖ్యను వ్రాయండి.

పరిష్కారం:

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడంలో సూత్రం ఇది: మూడు ఉన్నాయి సాధ్యం ప్రవర్తనఈ విరామంలో విధులు:

1) ఫంక్షన్ పెరిగినప్పుడు (ఉన్న ఉత్పన్నం సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది)

2) ఫంక్షన్ తగ్గుతున్నప్పుడు (ఉత్పన్నం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే)

3) ఫంక్షన్ పెరగనప్పుడు లేదా తగ్గనప్పుడు (ఉత్పన్నం సున్నా లేదా ఉనికిలో లేనప్పుడు)

మేము మూడవ ఎంపికపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము.

ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం, ఇక్కడ ఫంక్షన్ మృదువైనది మరియు బ్రేక్ పాయింట్‌ల వద్ద ఉండదు. ఈ పాయింట్లన్నింటినీ చూద్దాం.

x 1 - ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది, అంటే డెరివేటివ్ f′(x) >0

x 2 - ఫంక్షన్ కనిష్టంగా ఉంటుంది మరియు మృదువైనది, దీని అర్థం f ′(x) = 0

x 3 - ఫంక్షన్ గరిష్టంగా పడుతుంది, కానీ ఈ సమయంలో విరామం ఉంది, అంటేఉత్పన్నం f ′(x) ఉనికిలో లేదు

x 4 - ఫంక్షన్ గరిష్టంగా పడుతుంది, కానీ ఈ సమయంలో విరామం ఉంది, అంటేఉత్పన్నం f ′(x) ఉనికిలో లేదు

x 5 - ఉత్పన్నం f′(x) = 0

x 6 - ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది, అంటే డెరివేటివ్ f′(x) >0

x 7 - ఫంక్షన్ కనీసం పడుతుంది మరియు మృదువైనది, అంటేఉత్పన్నం f′(x) = 0

ఎఫ్ అని మనం చూస్తాము x 2, x 5 మరియు x 7 పాయింట్ల వద్ద ′(x) = 0, మొత్తం 3 పాయింట్లు.

ఫంక్షన్‌ని దాని ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయడం. ఈ వ్యాసంలో మేము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క అధ్యయనానికి సంబంధించిన కొన్ని పనులను విశ్లేషిస్తాము. అటువంటి సమస్యలలో, ఫంక్షన్ y = f (x) యొక్క గ్రాఫ్ ఇవ్వబడుతుంది మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సానుకూలంగా (లేదా ప్రతికూలంగా) అలాగే ఇతర పాయింట్ల సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి సంబంధించిన ప్రశ్నలు తలెత్తుతాయి. అవి ఫంక్షన్ల అధ్యయనానికి ఉత్పన్నాలను వర్తింపజేయడానికి సంబంధించిన పనులుగా వర్గీకరించబడ్డాయి.

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడం మరియు పరిశోధనకు సంబంధించిన సాధారణ సమస్యలలో, ఫంక్షన్లు మరియు ఉత్పన్నాల గ్రాఫ్‌లను అధ్యయనం చేయడానికి ఉత్పన్నం యొక్క లక్షణాల పూర్తి అవగాహనతో మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. అందువల్ల, మీరు సంబంధిత సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయాలని నేను గట్టిగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను. మీరు అధ్యయనం చేయవచ్చు మరియు చూడవచ్చు (కానీ ఇది సంక్షిప్త సారాంశాన్ని కలిగి ఉంటుంది).

భవిష్యత్ కథనాలలో ఉత్పన్న గ్రాఫ్ ఇవ్వబడిన సమస్యలను కూడా మేము పరిశీలిస్తాము, దాన్ని కోల్పోకండి! కాబట్టి, పనులు:

ఫిగర్ y = f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది, విరామంపై నిర్వచించబడింది (−6; 8). నిర్వచించండి:

1. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉండే పూర్ణాంక బిందువుల సంఖ్య;

2. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ సరళ రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే పాయింట్ల సంఖ్య y = 2;

1. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఫంక్షన్ తగ్గే విరామాలపై ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, అంటే విరామాలపై (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). అవి పూర్ణాంక బిందువులను కలిగి ఉంటాయి -5, −4, 1, 2, 3, 4 మరియు 7. మనకు 7 పాయింట్లు లభిస్తాయి.

2. డైరెక్ట్ వై= 2 అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుందిఓహ్వై= 2 విపరీత బిందువుల వద్ద మాత్రమే (గ్రాఫ్ తన ప్రవర్తనను పెంచడం నుండి తగ్గడం లేదా వైస్ వెర్సా వరకు మార్చే పాయింట్ల వద్ద). అలాంటి నాలుగు పాయింట్లు ఉన్నాయి: –3; 0; 4.2; 6.9

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉండే పూర్ణాంక బిందువుల సంఖ్యను నిర్ణయించండి.

ఫిగర్ y = f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది, విరామంపై నిర్వచించబడింది (−5; 5). నిర్వచించండి:

2. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ సరళ రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే పూర్ణాంక బిందువుల సంఖ్య y = 3;

3. ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్ల సంఖ్య;

1. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క లక్షణాల నుండి, ఇది ఫంక్షన్ పెరిగే విరామాలపై, అంటే విరామాలపై (1.4; 2.5) మరియు (4.4; 5) సానుకూలంగా ఉంటుందని తెలుస్తుంది. వాటిలో ఒకటి మాత్రమే ఉంటుంది మొత్తం పాయింట్ x = 2.

2. డైరెక్ట్ వై= 3 అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుందిఓహ్. టాంజెంట్ లైన్‌కు సమాంతరంగా ఉంటుందివై= 3 విపరీత బిందువుల వద్ద మాత్రమే (గ్రాఫ్ తన ప్రవర్తనను పెంచడం నుండి తగ్గడం లేదా వైస్ వెర్సా వరకు మార్చే పాయింట్ల వద్ద).

అటువంటి నాలుగు పాయింట్లు ఉన్నాయి: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. ఉత్పన్నం వద్ద సున్నా నాలుగు పాయింట్లు(అత్యంత పాయింట్ల వద్ద), మేము వాటిని ఇప్పటికే సూచించాము.

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

ఫంక్షన్ f(x) యొక్క ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉండే పూర్ణాంక బిందువుల సంఖ్యను నిర్ణయించండి.

ఫిగర్ y = f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది, విరామంపై నిర్వచించబడింది (−2; 12). కనుగొనండి:

1. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉండే పూర్ణాంక బిందువుల సంఖ్య;

2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉండే పూర్ణాంక బిందువుల సంఖ్య;

3. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ సరళ రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే పూర్ణాంక బిందువుల సంఖ్య y = 2;

4. ఉత్పన్నం సున్నాగా ఉండే పాయింట్ల సంఖ్య.

1. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క లక్షణాల నుండి, ఇది ఫంక్షన్ పెరిగే వ్యవధిలో సానుకూలంగా ఉంటుందని తెలుస్తుంది, అనగా (–2; 1), (2; 4), (7; 9) మరియు ( 10; 11). అవి పూర్ణాంక బిందువులను కలిగి ఉంటాయి: –1, 0, 3, 8. వాటిలో మొత్తం నాలుగు ఉన్నాయి.

2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఫంక్షన్ తగ్గే విరామాలపై ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, అంటే విరామాలపై (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). అవి పూర్ణాంక పాయింట్లు 5 మరియు 6ని కలిగి ఉంటాయి. మనకు 2 పాయింట్లు లభిస్తాయి.

3. డైరెక్ట్ వై= 2 అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుందిఓహ్. టాంజెంట్ లైన్‌కు సమాంతరంగా ఉంటుందివై= 2 విపరీత బిందువుల వద్ద మాత్రమే (గ్రాఫ్ తన ప్రవర్తనను పెంచడం నుండి తగ్గడం లేదా వైస్ వెర్సా వరకు మార్చే పాయింట్ల వద్ద). అలాంటి ఏడు పాయింట్లు ఉన్నాయి: 1; 2; 4; 7; 9; 10; పదకొండు.

4. డెరివేటివ్ ఏడు పాయింట్ల వద్ద సున్నాకి సమానం (అత్యంత పాయింట్ల వద్ద), మేము వాటిని ఇప్పటికే సూచించాము.

నిర్ణయించేటప్పుడు వివిధ పనులుజ్యామితి, మెకానిక్స్, ఫిజిక్స్ మరియు ఇతర విజ్ఞాన శాఖలు ఈ ఫంక్షన్ నుండి అదే విశ్లేషణాత్మక ప్రక్రియను ఉపయోగించడం అవసరం y=f(x)అందుకుంటారు కొత్త కథనంఅంటారు ఉత్పన్న ఫంక్షన్(లేదా కేవలం ఇచ్చిన ఫంక్షన్ f(x) యొక్క ఉత్పన్నంమరియు చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ నుండి చేసే ప్రక్రియ f(x)కొత్త ఫీచర్ పొందండి f" (x), అని పిలిచారు భేదంమరియు ఇది క్రింది మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది: 1) వాదనను ఇవ్వండి xపెంపు  xమరియు ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత పెంపును నిర్ణయించండి  y = f(x+ x) -f(x); 2) సంబంధాన్ని ఏర్పరచుకోండి

3) లెక్కింపు xస్థిరమైన మరియు  x0, మేము కనుగొన్నాము
, మేము దీని ద్వారా సూచిస్తాము f" (x), ఫలిత ఫంక్షన్ విలువపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుందని నొక్కిచెప్పినట్లు x, మేము పరిమితికి వెళ్తాము. నిర్వచనం: డెరివేటివ్ y " =f " (x) ఇచ్చిన ఫంక్షన్ y=f(x) ఇచ్చిన x కోసంఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిగా పిలవబడుతుంది, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ సున్నాకి ఉంటుంది, అయితే, ఈ పరిమితి ఉంటే, అనగా. పరిమిత. ఈ విధంగా,
, లేదా

కొంత విలువ కోసం అయితే గమనించండి x, ఉదాహరణకు ఎప్పుడు x=a, వైఖరి
వద్ద  x0 మొగ్గు చూపదు పరిమిత పరిమితి, అప్పుడు ఈ సందర్భంలో వారు ఫంక్షన్ అని చెప్పారు f(x)వద్ద x=a(లేదా పాయింట్ వద్ద x=a) ఉత్పన్నం లేదు లేదా పాయింట్ వద్ద భేదం లేదు x=a.

2. ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.

y = f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిగణించండి, పాయింట్ x 0 సమీపంలో తేడా ఉంటుంది

f(x)

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లోని ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న ఏకపక్ష సరళ రేఖను పరిశీలిద్దాం - పాయింట్ A(x 0, f (x 0)) మరియు గ్రాఫ్‌ను ఏదో ఒక పాయింట్ వద్ద B(x;f(x)) ఖండిస్తుంది. అటువంటి పంక్తిని (AB) సెకెంట్ అంటారు. ∆ABC నుండి: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

AC నుండి || ఎద్దు, ఆపై ALO = BAC = β (సమాంతరంగా అనుగుణంగా). కానీ ALO అనేది ఆక్స్ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశకు సెకాంట్ AB యొక్క వంపు కోణం. దీని అర్థం tanβ = k - వాలునేరుగా AB.

ఇప్పుడు మనం ∆х ని తగ్గిస్తాము, అనగా. ∆х→ 0. ఈ సందర్భంలో, పాయింట్ B గ్రాఫ్ ప్రకారం పాయింట్ Aకి చేరుకుంటుంది మరియు సెకంట్ AB తిరుగుతుంది. ∆x→ 0 వద్ద సెకాంట్ AB యొక్క పరిమితి స్థానం సరళ రేఖ (a), పాయింట్ A వద్ద y = f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌గా పిలువబడుతుంది.

సమానత్వం tgβ =∆y/∆xలో ∆x → 0గా మనం పరిమితికి వెళితే, మనకు లభిస్తుంది
ortg =f "(x 0), నుండి
-ఎద్దు అక్షం యొక్క సానుకూల దిశకు టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణం
, ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం. కానీ tg = k అనేది టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం, దీని అర్థం k = tg = f "(x 0).

కాబట్టి, ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

పాయింట్ x వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం 0 అబ్సిస్సా xతో పాయింట్ వద్ద గీసిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క వాలుకు సమానం 0 .

3. ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్థం.

సరళ రేఖ వెంట ఒక బిందువు యొక్క కదలికను పరిగణించండి. ఏ సమయంలోనైనా ఒక పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ x(t) ఇవ్వబడనివ్వండి. ఇది తెలిసిన (భౌతిక శాస్త్ర కోర్సు నుండి) ఒక కాల వ్యవధిలో సగటు వేగం ఈ సమయ వ్యవధిలో ప్రయాణించిన దూరం యొక్క నిష్పత్తికి సమానం, అనగా.

వావ్ = ∆x/∆t. చివరి సమానత్వంలో ∆t → 0గా పరిమితికి వెళ్దాం.

లిమ్ వావ్ (t) = (t 0) - తక్షణ వేగంసమయంలో t 0, ∆t → 0.

మరియు lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (డెరివేటివ్ నిర్వచనం ప్రకారం).

కాబట్టి, (t) =x"(t).

ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్ధం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నంవై = f(x) పాయింట్ వద్దx 0 ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటుf(x) పాయింట్ వద్దx 0

వ్యుత్పన్నం భౌతికశాస్త్రంలో అక్షాంశాల యొక్క తెలిసిన ఫంక్షన్ వర్సెస్ సమయం నుండి వేగాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించబడుతుంది, వేగం మరియు సమయం యొక్క తెలిసిన ఫంక్షన్ నుండి త్వరణం.

(t) = x"(t) - వేగం,

a(f) = "(t) - త్వరణం, లేదా

వృత్తంలోని పదార్థ బిందువు యొక్క చలన నియమం తెలిసినట్లయితే, కోణీయ వేగాన్ని కనుగొనవచ్చు మరియు కోణీయ త్వరణంభ్రమణ కదలిక సమయంలో:

φ = φ(t) - కాలక్రమేణా కోణంలో మార్పు,

ω = φ"(t) - కోణీయ వేగం,

ε = φ"(t) - కోణీయ త్వరణం, లేదా ε = φ"(t).

అసమాన రాడ్ యొక్క ద్రవ్యరాశి పంపిణీ నియమం తెలిసినట్లయితే, అసమాన రాడ్ యొక్క సరళ సాంద్రత కనుగొనవచ్చు:

m = m(x) - ద్రవ్యరాశి,

x  , l - రాడ్ యొక్క పొడవు,

p = m"(x) - సరళ సాంద్రత.

ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి, స్థితిస్థాపకత మరియు హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్ల సిద్ధాంతం నుండి సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి. కాబట్టి, హుక్ చట్టం ప్రకారం

F = -kx, x – వేరియబుల్ కోఆర్డినేట్, k – వసంత స్థితిస్థాపకత గుణకం. ω 2 =k/m ఉంచడం ద్వారా, మేము స్ప్రింగ్ లోలకం x"(t) + ω 2 x(t) = 0 యొక్క అవకలన సమీకరణాన్ని పొందుతాము,

ఇక్కడ ω = √k/√m డోలనం ఫ్రీక్వెన్సీ (l/c), k - వసంత దృఢత్వం (H/m).

y" + ω 2 y = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని హార్మోనిక్ డోలనాల సమీకరణం అంటారు (యాంత్రిక, విద్యుత్, విద్యుదయస్కాంత) అటువంటి సమీకరణాలకు పరిష్కారం ఫంక్షన్.

y = అసిన్(ωt + φ 0) లేదా y = Acos(ωt + φ 0), ఇక్కడ

A - డోలనాల వ్యాప్తి, ω - చక్రీయ ఫ్రీక్వెన్సీ,

φ 0 - ప్రారంభ దశ.

ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం మరియు ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ యొక్క స్వభావం మధ్య సంబంధాన్ని చూపుతోంది.

దయచేసి కింది వాటి గురించి చాలా జాగ్రత్తగా ఉండండి. చూడండి, మీకు ఏమి ఇవ్వబడింది! ఫంక్షన్ లేదా దాని ఉత్పన్నం

ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్ ఇచ్చినట్లయితే, అప్పుడు మేము ఫంక్షన్ సంకేతాలు మరియు సున్నాలపై మాత్రమే ఆసక్తి చూపుతాము. మేము సూత్రప్రాయంగా "కొండలు" లేదా "హాలోస్" పట్ల ఆసక్తి చూపడం లేదు!

టాస్క్ 1.

ఫిగర్ విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉండే పూర్ణాంక బిందువుల సంఖ్యను నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం:

చిత్రంలో, పనితీరు తగ్గుతున్న ప్రాంతాలు రంగులో హైలైట్ చేయబడ్డాయి:

ఫంక్షన్ యొక్క ఈ తగ్గుతున్న ప్రాంతాలు 4 పూర్ణాంక విలువలను కలిగి ఉంటాయి.

టాస్క్ 2.

ఫిగర్ విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ సమాంతరంగా లేదా రేఖతో సమానంగా ఉండే పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఒక సరళ రేఖతో (లేదా, అదే విషయం) సమాంతరంగా (లేదా సమానంగా ఉంటుంది) ఒకసారి వాలు , సున్నాకి సమానం, అప్పుడు టాంజెంట్ కూడా కోణీయ గుణకం కలిగి ఉంటుంది.

దీని అర్థం టాంజెంట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే వాలు అనేది అక్షానికి టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్.

అందువల్ల, మేము గ్రాఫ్‌లో ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లను (గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లు) కనుగొంటాము - ఈ పాయింట్ల వద్దే గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఫంక్షన్లు అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

అలాంటి 4 పాయింట్లు ఉన్నాయి.

టాస్క్ 3.

చిత్రం విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ సమాంతరంగా లేదా రేఖతో సమానంగా ఉండే పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఒక వాలు ఉన్న పంక్తితో సమాంతరంగా ఉంటుంది (లేదా సమానంగా ఉంటుంది), అప్పుడు టాంజెంట్ కూడా వాలును కలిగి ఉంటుంది.

దీని అర్థం టచ్ పాయింట్ల వద్ద.

కాబట్టి, గ్రాఫ్‌లోని ఎన్ని పాయింట్‌లకు సమానమైన ఆర్డినేట్ ఉందో మేము పరిశీలిస్తాము.

మీరు గమనిస్తే, అలాంటి నాలుగు పాయింట్లు ఉన్నాయి.

టాస్క్ 4.

ఫిగర్ విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం 0 అయిన పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

ఉత్పన్నం తీవ్ర బిందువుల వద్ద సున్నాకి సమానం. మాకు వాటిలో 4 ఉన్నాయి:

టాస్క్ 5.

ఫిగర్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు x-అక్షం మీద పదకొండు పాయింట్లను చూపుతుంది:. ఈ పాయింట్లలో ఎన్ని పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది?

పరిష్కారం:

తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క వ్యవధిలో, దాని ఉత్పన్నం పడుతుంది ప్రతికూల విలువలు. మరియు ఫంక్షన్ పాయింట్ల వద్ద తగ్గుతుంది. అలాంటి 4 పాయింట్లు ఉన్నాయి.

టాస్క్ 6.

ఫిగర్ విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్ల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

విపరీతమైన పాయింట్లు– ఇవి గరిష్ట పాయింట్లు (-3, -1, 1) మరియు కనిష్ట పాయింట్లు (-2, 0, 3).

తీవ్ర పాయింట్ల మొత్తం: -3-1+1-2+0+3=-2.

టాస్క్ 7.

చిత్రం విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ పెరుగుదల యొక్క విరామాలను కనుగొనండి. మీ సమాధానంలో, ఈ విరామాలలో చేర్చబడిన పూర్ణాంక పాయింట్ల మొత్తాన్ని సూచించండి.

పరిష్కారం:

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ప్రతికూలం కాని విరామాలను ఫిగర్ హైలైట్ చేస్తుంది.

పెరుగుతున్న విరామంలో పూర్ణాంక బిందువులు లేవు: , , మరియు .

వాటి మొత్తం:

టాస్క్ 8.

చిత్రం విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ పెరుగుదల యొక్క విరామాలను కనుగొనండి. మీ సమాధానంలో, వాటిలో అతిపెద్ద వాటి పొడవును సూచించండి.

పరిష్కారం:

చిత్రంలో, ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉన్న అన్ని విరామాలు రంగులో హైలైట్ చేయబడతాయి, అంటే ఈ విరామాలలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

వాటిలో అతిపెద్ద పొడవు 6.

టాస్క్ 9.

చిత్రం విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. సెగ్మెంట్‌లో ఏ సమయంలో అది అత్యధిక విలువను పొందుతుంది?

పరిష్కారం:

మనకు ఆసక్తి ఉన్న విభాగంలో గ్రాఫ్ ఎలా ప్రవర్తిస్తుందో చూద్దాం ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం మాత్రమే .

ఈ విభాగంలోని గ్రాఫ్ అక్షానికి దిగువన ఉన్నందున ఆన్ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నం మైనస్.