ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు అతి చిన్న విలువ

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గొప్ప విలువ గొప్పది, తక్కువ విలువ దాని అన్ని విలువలలో చిన్నది.

ఒక ఫంక్షన్‌లో ఒక అతి పెద్ద మరియు ఒకే ఒక చిన్న విలువ మాత్రమే ఉంటుంది లేదా దానికి ఏదీ ఉండకపోవచ్చు. నిరంతర ఫంక్షన్ల యొక్క అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కనుగొనడం ఈ ఫంక్షన్ల యొక్క క్రింది లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది:

1) ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో (పరిమితం లేదా అనంతం) ఫంక్షన్ y=f(x) నిరంతరంగా ఉండి, ఒకే ఒక అంత్యాంశాన్ని కలిగి ఉంటే మరియు ఇది గరిష్టంగా (కనిష్టంగా) ఉంటే, అది ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద (చిన్న) విలువ అవుతుంది. ఈ విరామంలో.

2) ఫంక్షన్ f(x) ఒక నిర్దిష్ట విభాగంలో నిరంతరంగా ఉంటే, అది తప్పనిసరిగా ఈ విభాగంలో అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ విలువలు సెగ్మెంట్ లోపల ఉన్న తీవ్ర పాయింట్ల వద్ద లేదా ఈ సెగ్మెంట్ సరిహద్దుల వద్ద చేరతాయి.

విభాగంలో అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలను కనుగొనడానికి, కింది పథకాన్ని ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేయబడింది:

1. ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

2. =0 లేదా ఉనికిలో లేని ఫంక్షన్ యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి.

3. క్రిటికల్ పాయింట్ల వద్ద మరియు సెగ్మెంట్ చివర్లలో ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను కనుగొనండి మరియు వాటి నుండి అతిపెద్ద f max మరియు చిన్న f maxని ఎంచుకోండి.

నిర్ణయించేటప్పుడు దరఖాస్తు సమస్యలు, ప్రత్యేకించి ఆప్టిమైజేషన్, ముఖ్యమైనవిరామం Xలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలను (గ్లోబల్ గరిష్ట మరియు గ్లోబల్ కనిష్ట) కనుగొనే పనులు ఉన్నాయి. అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, షరతు ఆధారంగా స్వతంత్ర వేరియబుల్‌ని ఎంచుకుని, అధ్యయనంలో ఉన్న విలువను వ్యక్తీకరించాలి ఈ వేరియబుల్. అప్పుడు ఫలిత ఫంక్షన్ యొక్క కావలసిన అతిపెద్ద లేదా చిన్న విలువను కనుగొనండి. ఈ సందర్భంలో, స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క మార్పు యొక్క విరామం, ఇది పరిమిత లేదా అనంతం కావచ్చు, సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి కూడా నిర్ణయించబడుతుంది.

ఉదాహరణ.రిజర్వాయర్ ఓపెన్ టాప్ ఆకారంలో ఉంటుంది దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర గొట్టాలుఒక చదరపు అడుగుతో, మీరు లోపల టిన్ చేయాలి. ట్యాంక్ సామర్థ్యం 108 లీటర్లు అయితే దాని కొలతలు ఎలా ఉండాలి? నీరు తద్వారా టిన్నింగ్ ఖర్చు తక్కువగా ఉంటుందా?

పరిష్కారం.ఇచ్చిన సామర్థ్యానికి, దాని ఉపరితల వైశాల్యం తక్కువగా ఉంటే, టిన్‌తో ట్యాంక్‌ను పూయడానికి అయ్యే ఖర్చు తక్కువగా ఉంటుంది. బేస్ వైపు ఒక dm, ట్యాంక్ ఎత్తును b dm ద్వారా సూచిస్తాము. అప్పుడు దాని ఉపరితలం యొక్క ప్రాంతం S సమానంగా ఉంటుంది

మరియు

ఫలిత సంబంధం రిజర్వాయర్ S (ఫంక్షన్) యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం మరియు బేస్ a (వాదం) వైపు మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం ఫంక్షన్ Sని పరిశీలిద్దాం. మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, దానిని సున్నాకి సమం చేసి, ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

అందువల్ల a = 6. (a) > 0 for a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

ఉదాహరణ. ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కనుగొనండి విరామంలో.

పరిష్కారం: పేర్కొన్న ఫంక్షన్మొత్తం సంఖ్య రేఖపై నిరంతరంగా. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

కోసం మరియు కోసం ఉత్పన్నం. ఈ పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువలను గణిద్దాం:

.

ఇచ్చిన విరామం యొక్క చివర్లలో ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువ వద్దకు సమానం, ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న విలువ వద్దకు సమానం.

స్వీయ-పరీక్ష ప్రశ్నలు

1. ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితులను బహిర్గతం చేయడానికి L'Hopital నియమాన్ని రూపొందించండి. జాబితా వివిధ రకాలు L'Hopital నియమాన్ని ఉపయోగించగల అనిశ్చితులు.

2. పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ సంకేతాలను రూపొందించండి.

3. ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని నిర్వచించండి.

4. సూత్రీకరించండి అవసరమైన పరిస్థితిఒక విపరీతమైన ఉనికి.

5. వాదన యొక్క ఏ విలువలు (ఏ పాయింట్లు) క్లిష్టమైనవిగా పిలువబడతాయి? ఈ పాయింట్లను ఎలా కనుగొనాలి?

6. ఫంక్షన్ యొక్క అంతిమ ఉనికికి తగిన సంకేతాలు ఏమిటి? మొదటి ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి ఒక ఎక్స్‌ట్రంమ్‌లో ఫంక్షన్‌ని అధ్యయనం చేయడానికి ఒక స్కీమ్‌ను వివరించండి.

7. సెకండ్ డెరివేటివ్‌ని ఉపయోగించి ఎక్స్‌ట్రంమ్‌లో ఒక ఫంక్షన్‌ని అధ్యయనం చేయడానికి ఒక స్కీమ్‌ను వివరించండి.

8. వక్రత యొక్క కుంభాకారం మరియు పుటాకారాన్ని నిర్వచించండి.

9. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ అని దేన్ని పిలుస్తారు? ఈ పాయింట్లను కనుగొనడానికి ఒక పద్ధతిని సూచించండి.

10. ఒక వంపు యొక్క కుంభాకారం మరియు పుటాకారానికి అవసరమైన మరియు తగినంత సంకేతాలను రూపొందించండి వెనుక ఈ విభాగం.

11. వక్రరేఖ యొక్క లక్షణాన్ని నిర్వచించండి. నిలువు, క్షితిజ సమాంతర మరియు ఎలా కనుగొనాలి ఏటవాలు లక్షణములుఫంక్షన్ గ్రాఫిక్స్?

12. రూపురేఖలు సాధారణ పథకంఒక ఫంక్షన్‌ను పరిశోధించడం మరియు దాని గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం.

13. ఇచ్చిన విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కనుగొనడానికి ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి.

మరియు దాన్ని పరిష్కరించడానికి మీకు టాపిక్ గురించి కనీస జ్ఞానం అవసరం. తదుపరిది ముగుస్తుంది విద్యా సంవత్సరం, అందరూ విహారయాత్రకు వెళ్లాలని కోరుకుంటారు మరియు ఈ క్షణాన్ని మరింత దగ్గరగా తీసుకురావడానికి, నేను నేరుగా పాయింట్‌కి వస్తాను:

ప్రాంతంతో ప్రారంభిద్దాం. పరిస్థితిలో సూచించబడిన ప్రాంతం పరిమితం మూసివేయబడింది ఒక విమానంలో పాయింట్ల సెట్. ఉదాహరణకు, మొత్తం త్రిభుజంతో సహా ఒక త్రిభుజంతో పరిమితమైన పాయింట్ల సమితి (నుండి ఉంటే సరిహద్దులుకనీసం ఒక పాయింట్‌ని “ప్రిక్ అవుట్” చేయండి, అప్పుడు ప్రాంతం ఇకపై మూసివేయబడదు). ఆచరణలో, దీర్ఘచతురస్రాకారంగా, వృత్తాకారంగా మరియు కొంచెం పెద్దగా ఉండే ప్రాంతాలు కూడా ఉన్నాయి. సంక్లిష్ట ఆకారాలు. ఇది సిద్ధాంతపరంగా గమనించాలి గణిత విశ్లేషణకఠినమైన నిర్వచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి పరిమితులు, ఒంటరితనం, సరిహద్దులు మొదలైనవి., కానీ ప్రతి ఒక్కరూ ఈ భావనలను సహజమైన స్థాయిలో తెలుసుకుంటున్నారని నేను భావిస్తున్నాను మరియు ఇప్పుడు ఇంకేమీ అవసరం లేదు.

ఒక ఫ్లాట్ ఏరియా ప్రామాణికంగా అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది మరియు ఒక నియమం వలె, అనేక సమీకరణాల ద్వారా విశ్లేషణాత్మకంగా పేర్కొనబడింది. (లీనియర్ కాదు); తక్కువ తరచుగా అసమానతలు. సాధారణ పదజాలం: “మూసివేయబడిన ప్రాంతం, పంక్తులచే బంధించబడింది ».

ఒక అంతర్భాగంప్రశ్నలోని పని డ్రాయింగ్‌లో ఒక ప్రాంతాన్ని నిర్మించడం. ఇది ఎలా చెయ్యాలి? మీరు జాబితా చేయబడిన అన్ని పంక్తులను గీయాలి (ఇన్ ఈ విషయంలో 3 నేరుగా) మరియు ఏమి జరిగిందో విశ్లేషించండి. శోధించిన ప్రాంతం సాధారణంగా తేలికగా నీడతో ఉంటుంది మరియు దాని సరిహద్దు మందపాటి గీతతో గుర్తించబడుతుంది:


అదే ప్రాంతాన్ని కూడా సెట్ చేయవచ్చు సరళ అసమానతలు: , ఇది కొన్ని కారణాల వల్ల తరచుగా కాకుండా గణిత జాబితాగా వ్రాయబడుతుంది వ్యవస్థ.
సరిహద్దు ప్రాంతానికి చెందినది కాబట్టి, అన్ని అసమానతలు, వాస్తవానికి, సడలింపు.

మరియు ఇప్పుడు పని యొక్క సారాంశం. మూలం నుండి అక్షం నేరుగా మీ వైపుకు వస్తుందని ఊహించండి. ఒక విధిని పరిగణించండి నిరంతర ప్రతిదాంట్లోప్రాంతం పాయింట్. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కొన్నింటిని సూచిస్తుంది ఉపరితల, మరియు చిన్న సంతోషం ఏమిటంటే నేటి సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఈ ఉపరితలం ఎలా ఉంటుందో మనం తెలుసుకోవలసిన అవసరం లేదు. ఇది ఎత్తులో, దిగువన, విమానాన్ని కలుస్తుంది - ఇవన్నీ పట్టింపు లేదు. మరియు క్రింది ముఖ్యమైనది: ప్రకారం వీర్‌స్ట్రాస్ సిద్ధాంతాలు, నిరంతరవి పరిమిత మూసివేయబడిందిఫంక్షన్ దాని గొప్ప విలువను చేరుకునే ప్రాంతం (అత్యున్నత")మరియు అతి తక్కువ ("అత్యల్ప")కనుగొనవలసిన విలువలు. అటువంటి విలువలు సాధించబడతాయి లేదావి స్థిర బిందువులు, ప్రాంతానికి చెందినదిడి , లేదాఈ ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులో ఉన్న పాయింట్ల వద్ద. ఇది సరళమైన మరియు పారదర్శక పరిష్కార అల్గోరిథంకు దారి తీస్తుంది:

ఉదాహరణ 1

పరిమిత లో మూసివేసిన ప్రాంతం

పరిష్కారం: అన్నింటిలో మొదటిది, మీరు డ్రాయింగ్‌లోని ప్రాంతాన్ని చిత్రీకరించాలి. దురదృష్టవశాత్తూ, సమస్య యొక్క ఇంటరాక్టివ్ మోడల్‌ను రూపొందించడం నాకు సాంకేతికంగా కష్టం, అందువల్ల నేను వెంటనే తుది దృష్టాంతాన్ని ప్రదర్శిస్తాను, ఇది పరిశోధన సమయంలో కనుగొనబడిన అన్ని “అనుమానాస్పద” పాయింట్‌లను చూపుతుంది. అవి కనుగొనబడినందున అవి సాధారణంగా ఒకదాని తర్వాత ఒకటి జాబితా చేయబడతాయి:

ఉపోద్ఘాతం ఆధారంగా, నిర్ణయాన్ని సౌకర్యవంతంగా రెండు పాయింట్లుగా విభజించవచ్చు:

I) స్థిరమైన పాయింట్లను కనుగొనండి. ఇది మేము తరగతిలో పదేపదే ప్రదర్శించే ప్రామాణిక చర్య. అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క తీవ్రత గురించి:

స్థిర బిందువు కనుగొనబడింది చెందినదిప్రాంతాలు: (డ్రాయింగ్‌పై గుర్తించండి), అంటే మనం ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించాలి:

- వ్యాసంలో వలె సెగ్మెంట్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు చిన్న విలువలు, ముఖ్యమైన ఫలితాలునేను హైలైట్ చేస్తాను బోల్డ్ లో. పెన్సిల్‌తో నోట్‌బుక్‌లో వాటిని కనుగొనడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

మా రెండవ ఆనందానికి శ్రద్ధ వహించండి - తనిఖీ చేయడంలో అర్థం లేదు ఒక తీవ్రమైన కోసం తగినంత పరిస్థితి. ఎందుకు? ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ చేరుకున్నప్పటికీ, ఉదాహరణకు, స్థానిక కనీస, అప్పుడు ఫలిత విలువ ఉంటుందని దీని అర్థం కాదు కనిష్టప్రాంతం అంతటా (పాఠం ప్రారంభం చూడండి షరతులు లేని తీవ్రతల గురించి) .

స్థిర బిందువు ప్రాంతానికి చెందినది కాకపోతే ఏమి చేయాలి? దాదాపు ఏమీ లేదు! ఇది గమనించాలి మరియు తదుపరి పాయింట్‌కి వెళ్లండి.

II) మేము ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దును అన్వేషిస్తాము.

సరిహద్దు త్రిభుజం యొక్క భుజాలను కలిగి ఉన్నందున, అధ్యయనాన్ని 3 ఉపవిభాగాలుగా విభజించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. కానీ ఏ విధంగానూ చేయకపోవడమే మంచిది. నా దృక్కోణం నుండి, మొదట విభాగాలను సమాంతరంగా పరిగణించడం మరింత ప్రయోజనకరంగా ఉంటుంది కోఆర్డినేట్ అక్షాలు, మరియు అన్నింటిలో మొదటిది, గొడ్డలిపై పడి ఉన్నవారు. చర్యల యొక్క మొత్తం క్రమం మరియు తర్కాన్ని గ్రహించడానికి, "ఒక శ్వాసలో" ముగింపును అధ్యయనం చేయడానికి ప్రయత్నించండి:

1) త్రిభుజం యొక్క దిగువ వైపుతో వ్యవహరిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, నేరుగా ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

ప్రత్యామ్నాయంగా, మీరు దీన్ని ఇలా చేయవచ్చు:

జ్యామితీయంగా దీని అర్థం సమన్వయ విమానం (ఇది సమీకరణం ద్వారా కూడా ఇవ్వబడుతుంది)నుండి "చెక్కలు" ఉపరితలాలుఒక "ప్రాదేశిక" పారాబొలా, దాని పైభాగం వెంటనే అనుమానంతో వస్తుంది. తెలుసుకుందాం ఆమె ఎక్కడ ఉంది:

- ఫలిత విలువ ప్రాంతంలోకి "పడిపోయింది" మరియు అది పాయింట్ వద్ద బాగా మారవచ్చు (డ్రాయింగ్‌పై గుర్తించబడింది)ఫంక్షన్ గరిష్ట స్థాయికి చేరుకుంటుంది లేదా అత్యల్ప విలువమొత్తం ప్రాంతంలో. ఒక మార్గం లేదా మరొకటి, గణనలను చేద్దాం:

ఇతర "అభ్యర్థులు", వాస్తవానికి, సెగ్మెంట్ చివరలు. పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను గణిద్దాం (డ్రాయింగ్‌పై గుర్తించబడింది):

ఇక్కడ, మార్గం ద్వారా, మీరు "స్ట్రిప్డ్-డౌన్" సంస్కరణను ఉపయోగించి నోటి చిన్న-చెక్ చేయవచ్చు:

2) పరిశోధన కోసం కుడి వైపుమేము త్రిభుజాన్ని ఫంక్షన్‌లో భర్తీ చేస్తాము మరియు “విషయాలను క్రమంలో ఉంచుతాము”:

ఇక్కడ మేము తక్షణమే కఠినమైన తనిఖీని చేస్తాము, ఇప్పటికే ప్రాసెస్ చేయబడిన సెగ్మెంట్ ముగింపును "రింగ్" చేస్తాము:
, గ్రేట్.

రేఖాగణిత పరిస్థితి సంబంధించినది మునుపటి పాయింట్:

- ఫలిత విలువ కూడా “మన ఆసక్తుల గోళంలోకి వచ్చింది” అంటే కనిపించే పాయింట్‌లో ఫంక్షన్ దేనికి సమానమో మనం లెక్కించాలి:

సెగ్మెంట్ యొక్క రెండవ ముగింపుని పరిశీలిద్దాం:

ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించడం , నియంత్రణ తనిఖీని చేద్దాం:

3) మిగిలిన వైపు ఎలా అన్వేషించాలో బహుశా అందరూ ఊహించగలరు. మేము దానిని ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు సరళీకరణలను నిర్వహిస్తాము:

సెగ్మెంట్ చివరలు ఇప్పటికే పరిశోధించబడ్డాయి, కానీ డ్రాఫ్ట్‌లో మేము ఫంక్షన్‌ను సరిగ్గా కనుగొన్నామో లేదో తనిఖీ చేస్తాము :
- 1వ ఉపపారాగ్రాఫ్ ఫలితంతో సమానంగా ఉంటుంది;
- 2వ ఉపపారాగ్రాఫ్ ఫలితంతో సమానంగా ఉంటుంది.

సెగ్మెంట్ లోపల ఆసక్తికరమైన ఏదైనా ఉందా అని తెలుసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:

- ఉంది! సరళ రేఖను సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా, మేము ఈ “ఆసక్తికరమైన” ఆర్డినేట్‌ను పొందుతాము:

మేము డ్రాయింగ్‌పై ఒక పాయింట్‌ను గుర్తించాము మరియు ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత విలువను కనుగొంటాము:

"బడ్జెట్" సంస్కరణను ఉపయోగించి గణనలను తనిఖీ చేద్దాం :
, ఆర్డర్.

మరియు చివరి దశ: మేము అన్ని "బోల్డ్" సంఖ్యలను జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తాము, ప్రారంభకులు కూడా ఒకే జాబితాను తయారు చేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను:

దాని నుండి మేము అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను ఎంచుకుంటాము. సమాధానంకనుగొనడంలో సమస్య యొక్క శైలిలో వ్రాస్దాం సెగ్మెంట్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు చిన్న విలువలు:

ఒకవేళ, నేను మళ్ళీ వ్యాఖ్యానిస్తాను రేఖాగణిత అర్థంఫలితం:
- ఇక్కడ చాలా ఉంది ఉన్నత శిఖరంప్రాంతంలో ఉపరితలాలు;
- ఇక్కడ చాలా ఉంది తక్కువ పాయింట్ప్రాంతంలో ఉపరితలాలు.

విశ్లేషించబడిన పనిలో, మేము 7 "అనుమానాస్పద" పాయింట్లను గుర్తించాము, కానీ వాటి సంఖ్య ప్రతి పనికి మారుతుంది. త్రిభుజాకార ప్రాంతం కోసం, కనీస "పరిశోధన సమితి" వీటిని కలిగి ఉంటుంది మూడు పాయింట్లు. ఫంక్షన్, ఉదాహరణకు, పేర్కొన్నప్పుడు ఇది జరుగుతుంది విమానం- స్థిర బిందువులు లేవని పూర్తిగా స్పష్టంగా ఉంది మరియు ఫంక్షన్ త్రిభుజం యొక్క శీర్షాల వద్ద మాత్రమే దాని గరిష్ట / చిన్న విలువలను చేరుకోగలదు. కానీ ఇలాంటి ఉదాహరణలు ఒకటి లేదా రెండు మాత్రమే ఉన్నాయి - సాధారణంగా మీరు కొన్నింటిని ఎదుర్కోవలసి ఉంటుంది 2వ ఆర్డర్ యొక్క ఉపరితలం.

మీరు అలాంటి పనులను కొద్దిగా పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిస్తే, త్రిభుజాలు మీ తల తిప్పేలా చేస్తాయి, అందుకే నేను మీ కోసం సిద్ధం చేసాను అసాధారణ ఉదాహరణలుకనుక ఇది చతురస్రంగా మారుతుంది :))

ఉదాహరణ 2

ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కనుగొనండి పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న ఒక సంవృత ప్రదేశంలో

ఉదాహరణ 3

పరిమిత క్లోజ్డ్ రీజియన్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కనుగొనండి.

ప్రత్యేక శ్రద్ధప్రాంతం యొక్క సరిహద్దును అధ్యయనం చేసే హేతుబద్ధమైన క్రమం మరియు సాంకేతికతకు, అలాగే ఇంటర్మీడియట్ తనిఖీల గొలుసుకు శ్రద్ధ వహించండి, ఇది గణన లోపాలను పూర్తిగా నివారిస్తుంది. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, మీరు దీన్ని మీకు నచ్చిన విధంగా పరిష్కరించవచ్చు, కానీ కొన్ని సమస్యలలో, ఉదాహరణకు, ఉదాహరణ 2లో, మీ జీవితాన్ని మరింత కష్టతరం చేసే ప్రతి అవకాశం ఉంది. సుమారు నమూనాపాఠం చివరిలో అసైన్‌మెంట్‌లను పూర్తి చేయడం.

పరిష్కార అల్గారిథమ్‌ను క్రమబద్ధీకరించుదాం, లేకుంటే స్పైడర్‌గా నా శ్రద్ధతో, 1వ ఉదాహరణలోని వ్యాఖ్యల సుదీర్ఘ థ్రెడ్‌లో అది ఏదో ఒకవిధంగా కోల్పోయింది:

– మొదటి దశలో, మేము ఒక ప్రాంతాన్ని నిర్మిస్తాము, దానిని షేడ్ చేయడం మరియు బోల్డ్ లైన్‌తో సరిహద్దును హైలైట్ చేయడం మంచిది. పరిష్కారం సమయంలో, డ్రాయింగ్‌లో గుర్తించాల్సిన పాయింట్లు కనిపిస్తాయి.

- స్థిర పాయింట్లను కనుగొని, ఫంక్షన్ విలువలను లెక్కించండి వాటిలో మాత్రమేప్రాంతానికి చెందినది. మేము టెక్స్ట్‌లో ఫలిత విలువలను హైలైట్ చేస్తాము (ఉదాహరణకు, వాటిని పెన్సిల్‌తో సర్కిల్ చేయండి). స్థిరమైన పాయింట్ ఈ ప్రాంతానికి చెందకపోతే, మేము ఈ వాస్తవాన్ని చిహ్నంతో లేదా మౌఖికంగా గుర్తు చేస్తాము. ఉంటే స్థిర బిందువులుఅస్సలు కాదు, అప్పుడు మేము అవి లేవని వ్రాతపూర్వక ముగింపును తీసుకుంటాము. ఏ సందర్భంలో, ఈ పాయింట్ దాటవేయబడదు!

– మేము ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దును అన్వేషిస్తున్నాము. మొదట, కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖలను అర్థం చేసుకోవడం ప్రయోజనకరం (ఏదైనా ఉంటే). మేము "అనుమానాస్పద" పాయింట్ల వద్ద లెక్కించిన ఫంక్షన్ విలువలను కూడా హైలైట్ చేస్తాము. సొల్యూషన్ టెక్నిక్ గురించి పైన చాలా చెప్పబడింది మరియు ఇంకేదో క్రింద చెప్పబడుతుంది - చదవండి, తిరిగి చదవండి, దానిలో లోతుగా పరిశోధించండి!

- ఎంచుకున్న సంఖ్యల నుండి, అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను ఎంచుకోండి మరియు సమాధానం ఇవ్వండి. కొన్నిసార్లు ఒక ఫంక్షన్ ఒకేసారి అనేక పాయింట్ల వద్ద అటువంటి విలువలను చేరుకుంటుంది - ఈ సందర్భంలో, ఈ పాయింట్లన్నీ సమాధానంలో ప్రతిబింబించాలి. ఉదాహరణకు, లెట్, మరియు ఇది అతి చిన్న విలువ అని తేలింది. అప్పుడు మేము దానిని వ్రాస్తాము

చివరి ఉదాహరణలు ఇతరులకు అంకితం చేయబడ్డాయి ఉపయోగకరమైన ఆలోచనలుఇది ఆచరణలో ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

ఉదాహరణ 4

క్లోజ్డ్ రీజియన్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క అతి పెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కనుగొనండి .

నేను రచయిత యొక్క సూత్రీకరణను కలిగి ఉన్నాను, దీనిలో ప్రాంతం డబుల్ అసమానత రూపంలో ఇవ్వబడింది. ఈ పరిస్థితిని సమానమైన సిస్టమ్ లేదా ఈ సమస్యకు మరింత సాంప్రదాయ రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

దానితో నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను నాన్ లీనియర్మేము న అసమానతలను ఎదుర్కొన్నాము మరియు మీరు సంజ్ఞామానం యొక్క రేఖాగణిత అర్ధం అర్థం చేసుకోకపోతే, దయచేసి ఆలస్యం చేయకండి మరియు ఇప్పుడే పరిస్థితిని స్పష్టం చేయండి;-)

పరిష్కారం, ఎప్పటిలాగే, ఒక రకమైన "సోల్"ని సూచించే ప్రాంతాన్ని నిర్మించడం ప్రారంభమవుతుంది:

అయ్యో, కొన్నిసార్లు మీరు సైన్స్ గ్రానైట్ మాత్రమే కాదు...

I) స్థిరమైన పాయింట్లను కనుగొనండి:

వ్యవస్థ ఒక మూర్ఖుల కల :)

ఒక స్థిర బిందువు ప్రాంతానికి చెందినది, అవి దాని సరిహద్దులో ఉన్నాయి.

కాబట్టి, ఫర్వాలేదు... పాఠం బాగా జరిగింది - సరైన టీ తాగడం అంటే ఇదే =)

II) మేము ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దును అన్వేషిస్తాము. మరింత ఆలస్యం లేకుండా, x-అక్షంతో ప్రారంభిద్దాం:

1) అయితే, అప్పుడు

పారాబొలా యొక్క శీర్షం ఎక్కడ ఉందో తెలుసుకుందాం:
- అటువంటి క్షణాలను అభినందిస్తున్నాము - ప్రతిదీ ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉన్న బిందువుకు మీరు "హిట్" చేసారు. కానీ తనిఖీ చేయడం గురించి మేము ఇంకా మర్చిపోము:

సెగ్మెంట్ చివర్లలో ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను గణిద్దాం:

2) సి దిగువన“ఒక్క సిట్టింగ్‌లో” “బాటమ్‌లను” గుర్తించండి - మేము వాటిని ఎటువంటి కాంప్లెక్స్‌లు లేకుండా ఫంక్షన్‌లో భర్తీ చేస్తాము మరియు మేము సెగ్మెంట్‌పై మాత్రమే ఆసక్తి చూపుతాము:

నియంత్రణ:

ఇది ఇప్పటికే మెలికలు తిరిగిన ట్రాక్‌లో మార్పులేని డ్రైవింగ్‌కు కొంత ఉత్సాహాన్ని తెస్తుంది. క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి:

తేల్చుకుందాం వర్గ సమీకరణం, దీని గురించి మీకు ఇంకేమైనా గుర్తుందా? ...అయితే, గుర్తుంచుకోండి, లేకపోతే మీరు ఈ పంక్తులను చదవలేరు =) మునుపటి రెండు ఉదాహరణలలో లెక్కలు ఉంటే దశాంశాలు(ఇది అరుదైనది), అప్పుడు సాధారణమైనవి ఇక్కడ మన కోసం వేచి ఉన్నాయి సాధారణ భిన్నాలు. మేము "X" మూలాలను కనుగొంటాము మరియు "అభ్యర్థి" పాయింట్ల యొక్క సంబంధిత "గేమ్" కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడానికి సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము:


కనుగొనబడిన పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను గణిద్దాం:

ఫంక్షన్‌ను మీరే తనిఖీ చేయండి.

ఇప్పుడు మేము గెలిచిన ట్రోఫీలను జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేస్తాము మరియు వ్రాస్తాము సమాధానం:

వీరు “అభ్యర్థులు”, వీరు “అభ్యర్థులు”!

దీన్ని మీరే పరిష్కరించడానికి:

ఉదాహరణ 5

చిన్నదాన్ని కనుగొనండి మరియు అత్యధిక విలువవిధులు ఒక సంవృత ప్రాంతంలో

కర్లీ బ్రేస్‌లతో కూడిన ఎంట్రీ ఇలా ఉంటుంది: "అటువంటి పాయింట్ల సెట్."

కొన్నిసార్లు లోపలికి ఇలాంటి ఉదాహరణలువా డు లాగ్రాంజ్ గుణకం పద్ధతి, కానీ దానిని ఉపయోగించడానికి నిజమైన అవసరం ఉండదు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, అదే ప్రాంతం "de"తో ఒక ఫంక్షన్ ఇవ్వబడితే, దానిలో ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత - ఇబ్బందులు లేని ఉత్పన్నంతో; అంతేకాకుండా, ఎగువ మరియు దిగువ సెమిసర్కిలను విడిగా పరిగణించాల్సిన అవసరం లేకుండా ప్రతిదీ "ఒక లైన్" (సంకేతాలతో) లో డ్రా చేయబడింది. కానీ, వాస్తవానికి, మరిన్ని ఉన్నాయి సంక్లిష్ట కేసులు, ఎక్కడ Lagrange ఫంక్షన్ లేకుండా (ఉదాహరణకు, వృత్తం యొక్క అదే సమీకరణం)ఇది పొందడం కష్టం - మంచి విశ్రాంతి లేకుండా పొందడం ఎంత కష్టమో!

అందరికీ మంచి సమయం కావాలి మరియు తదుపరి సీజన్‌లో త్వరలో కలుద్దాం!

పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:

ఉదాహరణ 2: పరిష్కారం: డ్రాయింగ్‌లోని ప్రాంతాన్ని వర్ణిద్దాం:

సెగ్మెంట్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువల కోసం శోధించే ప్రక్రియ హెలికాప్టర్‌లోని ఒక వస్తువు (ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్) చుట్టూ ఒక ఆకర్షణీయమైన విమానాన్ని గుర్తుకు తెస్తుంది, సుదూర శ్రేణి ఫిరంగి నుండి కొన్ని పాయింట్లపై కాల్పులు జరుపుతుంది మరియు చాలా ఎంపిక చేస్తుంది. నియంత్రణ షాట్‌ల కోసం ఈ పాయింట్ల నుండి ప్రత్యేక పాయింట్లు. పాయింట్లు ఒక నిర్దిష్ట మార్గంలో మరియు దాని ప్రకారం ఎంపిక చేయబడతాయి కొన్ని నియమాలు. ఏ నిబంధనల ప్రకారం? మేము దీని గురించి మరింత మాట్లాడుతాము.

ఫంక్షన్ అయితే వై = f(x) విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది [ a, బి] , అప్పుడు అది ఈ విభాగంలో చేరుతుంది కనీసం మరియు అత్యధిక విలువలు . ఇది ఏ లోనైనా జరగవచ్చు తీవ్రమైన పాయింట్లు, లేదా సెగ్మెంట్ చివర్లలో. అందువలన, కనుగొనేందుకు కనీసం మరియు ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువలు , విరామంలో నిరంతర [ a, బి] , మీరు మొత్తం దాని విలువలను లెక్కించాలి క్లిష్టమైన పాయింట్లుమరియు సెగ్మెంట్ చివర్లలో, ఆపై వాటి నుండి చిన్న మరియు పెద్దదాన్ని ఎంచుకోండి.

ఉదాహరణకు, మీరు ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువను గుర్తించాలనుకుంటున్నారు f(x) విభాగంలో [ a, బి] . దీన్ని చేయడానికి, మీరు దాని అన్ని క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనాలి [ a, బి] .

క్రిటికల్ పాయింట్ పాయింట్ అని ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది, మరియు ఆమె ఉత్పన్నంసున్నాకి సమానం లేదా ఉనికిలో లేదు. అప్పుడు మీరు క్లిష్టమైన పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను లెక్కించాలి. చివరగా, ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను క్లిష్టమైన పాయింట్ల వద్ద మరియు సెగ్మెంట్ చివర్లలో పోల్చాలి ( f(a) మరియు f(బి)). ఈ సంఖ్యలలో అతిపెద్దది విభాగంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువ [a, బి] .

కనుగొనడంలో సమస్యలు అతి చిన్న ఫంక్షన్ విలువలు .

మేము కలిసి ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువల కోసం చూస్తాము

ఉదాహరణ 1. ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనండి విభాగంలో [-1, 2] .

పరిష్కారం. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. ఉత్పన్నాన్ని సున్నా ()కి సమం చేద్దాం మరియు రెండు క్లిష్టమైన పాయింట్లను పొందండి: మరియు . ఇచ్చిన విభాగంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనడానికి, పాయింట్ సెగ్మెంట్ [-1, 2]. ఈ ఫంక్షన్ విలువలు: , , . ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది అతి చిన్న ఫంక్షన్ విలువ(దిగువ గ్రాఫ్‌లో ఎరుపు రంగులో సూచించబడింది), -7కి సమానం, సెగ్మెంట్ యొక్క కుడి చివరలో సాధించబడుతుంది - పాయింట్ వద్ద , మరియు గొప్ప(గ్రాఫ్‌లో కూడా ఎరుపు), 9కి సమానం, - క్లిష్టమైన పాయింట్ వద్ద.

ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటే మరియు ఈ విరామం ఒక విభాగం కాకపోతే (ఉదాహరణకు, ఇది ఒక విరామం; విరామం మరియు సెగ్మెంట్ మధ్య వ్యత్యాసం: విరామం యొక్క సరిహద్దు పాయింట్లు విరామంలో చేర్చబడవు, కానీ సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దు పాయింట్లు విభాగంలో చేర్చబడ్డాయి), అప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క విలువలలో చిన్నవి మరియు గొప్పవి ఉండకపోవచ్చు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, దిగువ చిత్రంలో చూపిన ఫంక్షన్ ]-∞, +∞[పై నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు అత్యధిక విలువను కలిగి ఉండదు.

ఏదేమైనప్పటికీ, ఏదైనా విరామానికి (క్లోజ్డ్, ఓపెన్ లేదా అనంతం), నిరంతర ఫంక్షన్‌ల యొక్క క్రింది లక్షణం నిజం.

ఉదాహరణ 4. ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనండి విభాగంలో [-1, 3] .

పరిష్కారం. మేము ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని గుణకం యొక్క ఉత్పన్నంగా కనుగొంటాము:

.

మేము ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేస్తాము, ఇది మాకు ఒక క్లిష్టమైన పాయింట్‌ని ఇస్తుంది: . ఇది విభాగానికి చెందినది [-1, 3] . ఇచ్చిన విభాగంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనడానికి, మేము దాని విలువలను సెగ్మెంట్ చివరలలో మరియు కనుగొనబడిన క్లిష్టమైన పాయింట్‌లో కనుగొంటాము:

ఈ విలువలను పోల్చి చూద్దాం. ముగింపు: పాయింట్ వద్ద మరియు -5/13కి సమానం అత్యధిక విలువపాయింట్ వద్ద 1కి సమానం.

మేము కలిసి ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువల కోసం వెతకడం కొనసాగిస్తాము

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనే అంశంపై, విద్యార్థులకు ఇప్పుడు చర్చించిన వాటి కంటే సంక్లిష్టమైన వాటిని పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలను ఇవ్వని ఉపాధ్యాయులు ఉన్నారు, అంటే ఫంక్షన్ బహుపది లేదా ఒక భిన్నం, దీని యొక్క లవం మరియు హారం బహుపదాలు. కానీ మేము అలాంటి ఉదాహరణలకు మమ్మల్ని పరిమితం చేయము, ఎందుకంటే ఉపాధ్యాయులలో విద్యార్థులను పూర్తిగా ఆలోచించమని బలవంతం చేయడానికి ఇష్టపడేవారు ఉన్నారు (ఉత్పన్నాల పట్టిక). అందువల్ల, సంవర్గమానం మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 6. ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనండి విభాగంలో .

పరిష్కారం. మేము ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని ఇలా కనుగొంటాము ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం :

మేము ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేస్తాము, ఇది ఒక క్లిష్టమైన పాయింట్‌ని ఇస్తుంది: . ఇది విభాగానికి చెందినది. ఇచ్చిన విభాగంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనడానికి, మేము దాని విలువలను సెగ్మెంట్ చివరలలో మరియు కనుగొనబడిన క్లిష్టమైన పాయింట్‌లో కనుగొంటాము:

అన్ని చర్యల ఫలితాలు: ఫంక్షన్ దాని కనీస విలువను చేరుకుంటుంది, పాయింట్ వద్ద మరియు పాయింట్ వద్ద మరియు 0కి సమానం అత్యధిక విలువ, సమానం ఇ², పాయింట్ వద్ద.

ఉదాహరణ 7. ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనండి విభాగంలో .

పరిష్కారం. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

మేము ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేస్తాము:

సెగ్మెంట్‌కు చెందినది మాత్రమే క్లిష్టమైన పాయింట్. ఇచ్చిన విభాగంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువలను కనుగొనడానికి, మేము దాని విలువలను సెగ్మెంట్ చివరలలో మరియు కనుగొనబడిన క్లిష్టమైన పాయింట్‌లో కనుగొంటాము:

ముగింపు: ఫంక్షన్ దాని కనీస విలువను చేరుకుంటుంది, సమానం , పాయింట్ వద్ద మరియు అత్యధిక విలువ, సమానం , పాయింట్ వద్ద .

అనువర్తిత విపరీతమైన సమస్యలలో, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న (గరిష్ట) విలువలను కనుగొనడం, ఒక నియమం వలె, కనిష్ట (గరిష్ట)ని కనుగొనడానికి వస్తుంది. కానీ కనిష్టాలు లేదా గరిష్టాలు ఎక్కువ ఆచరణాత్మక ఆసక్తిని కలిగి ఉండవు, కానీ అవి సాధించబడిన వాదన యొక్క విలువలు. అనువర్తిత సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అది పుడుతుంది అదనపు కష్టం- పరిశీలనలో ఉన్న దృగ్విషయం లేదా ప్రక్రియను వివరించే ఫంక్షన్ల సంకలనం.

ఉదాహరణ 8. 4 సామర్థ్యం కలిగిన రిజర్వాయర్, సమాంతర పైప్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది చదరపు బేస్మరియు ఎగువన తెరవండి, మీరు దానిని టిన్ చేయాలి. ట్యాంక్ యొక్క కొలతలు ఎలా ఉండాలి, తద్వారా అది పడుతుంది కనీసం మొత్తంపదార్థం?

పరిష్కారం. వీలు x- బేస్ సైడ్, h- ట్యాంక్ ఎత్తు, ఎస్- కవర్ లేకుండా దాని ఉపరితల వైశాల్యం, వి- దాని వాల్యూమ్. ట్యాంక్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, అనగా. రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్. వ్యక్తీకరించడానికి ఎస్ఒక వేరియబుల్ యొక్క విధిగా, మేము ఎక్కడ నుండి అనే వాస్తవాన్ని ఉపయోగిస్తాము. కనుగొన్న వ్యక్తీకరణను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం hకోసం ఫార్ములా లోకి ఎస్:

ఈ ఫంక్షన్‌ను దాని తీవ్రతను పరిశీలిద్దాం. ఇది ]0, +∞[ , మరియు ప్రతిచోటా నిర్వచించబడింది మరియు విభిన్నంగా ఉంటుంది

.

మేము ఉత్పన్నాన్ని సున్నా ()కి సమం చేస్తాము మరియు క్లిష్టమైన పాయింట్‌ను కనుగొంటాము. అదనంగా, ఉత్పన్నం లేనప్పుడు, కానీ ఈ విలువ డెఫినిషన్ డొమైన్‌లో చేర్చబడదు మరియు అందువల్ల ఒక విపరీత బిందువు కాదు. కాబట్టి, ఇది మాత్రమే క్లిష్టమైన అంశం. రెండవ తగినంత సంకేతాన్ని ఉపయోగించి ఒక విపరీతమైన ఉనికిని తనిఖీ చేద్దాం. రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. రెండవ ఉత్పన్నం సున్నా () కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు. ఫంక్షన్ కనిష్ట స్థాయికి చేరుకున్నప్పుడు దీని అర్థం . దీని నుండి కనిష్టం అనేది ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఏకైక అంత్యాంశం, ఇది దాని అతి చిన్న విలువ. కాబట్టి, ట్యాంక్ యొక్క బేస్ వైపు 2 మీటర్లు ఉండాలి మరియు దాని ఎత్తు ఉండాలి.

ఉదాహరణ 9.పాయింట్ నుండి ఎరైల్వే లైన్‌లో ఉంది, పాయింట్ వరకు తో, దాని నుండి దూరంలో ఉన్న ఎల్, సరుకు రవాణా చేయాలి. రైలు ద్వారా యూనిట్ దూరానికి బరువు యూనిట్‌ను రవాణా చేయడానికి అయ్యే ఖర్చు సమానంగా ఉంటుంది మరియు హైవే ద్వారా ఇది సమానంగా ఉంటుంది. ఏ పాయింట్ వరకు ఎంపంక్తులు రైల్వేనుండి సరుకు రవాణా చేసేందుకు హైవే నిర్మించాలి ఎవి తోఅత్యంత పొదుపుగా ఉండేది (విభాగం ABరైల్వే నేరుగా ఉంటుందని భావించబడుతుందా)?

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రామాణిక అల్గోరిథం, ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలను కనుగొన్న తర్వాత, విరామాలలో ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను నిర్ణయించడం. అప్పుడు కనుగొనబడిన గరిష్ట (లేదా కనిష్ట) పాయింట్ల వద్ద మరియు విరామం యొక్క సరిహద్దు వద్ద విలువల గణన, పరిస్థితి ఏ ప్రశ్నపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కొంచెం భిన్నంగా పనులు చేయాలని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను. ఎందుకు? నేను దీని గురించి వ్రాసాను.

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించమని నేను సూచిస్తున్నాను క్రింది విధంగా:

1. ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
2. ఉత్పన్నం యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి.
3. వాటిలో ఏది చెందినదో నిర్ణయించండి ఈ విరామం.
4. మేము స్టెప్ 3 యొక్క విరామం మరియు పాయింట్ల సరిహద్దుల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను గణిస్తాము.
5. మేము ఒక ముగింపును తీసుకుంటాము (అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వండి).

సమర్పించిన ఉదాహరణలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, పరిష్కారం వివరంగా పరిగణించబడలేదు వర్గ సమీకరణాలు, మీరు దీన్ని తప్పక చేయగలగాలి. వారు కూడా తెలుసుకోవాలి.

ఉదాహరణలను చూద్దాం:

77422. ఫంక్షన్ y=x యొక్క అతిపెద్ద విలువను కనుగొనండిసెగ్మెంట్ [–2;0]లో 3 –3x+4.

ఉత్పన్నం యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి:

పాయింట్ x = –1 పరిస్థితిలో పేర్కొన్న విరామానికి చెందినది.

మేము ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను పాయింట్లు –2, –1 మరియు 0 వద్ద లెక్కిస్తాము:

ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువ 6.

సమాధానం: 6

77425. సెగ్మెంట్లో y = x 3 – 3x 2 + 2 ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువను కనుగొనండి.

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

ఉత్పన్నం యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి:

పాయింట్ x = 2 పరిస్థితిలో పేర్కొన్న విరామానికి చెందినది.

మేము ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను పాయింట్లు 1, 2 మరియు 4 వద్ద లెక్కిస్తాము:

ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువ –2.

సమాధానం: -2

77426. సెగ్మెంట్ [–3;3]పై y = x 3 – 6x 2 ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువను కనుగొనండి.

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

ఉత్పన్నం యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి:

కండిషన్‌లో పేర్కొన్న విరామం x = 0 పాయింట్‌ని కలిగి ఉంటుంది.

మేము ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను పాయింట్లు –3, 0 మరియు 3 వద్ద లెక్కిస్తాము:

ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువ 0.

సమాధానం: 0

77429. సెగ్మెంట్‌లో y = x 3 – 2x 2 + x +3 ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువను కనుగొనండి.

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

3x 2 – 4x + 1 = 0

మేము మూలాలను పొందుతాము: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

షరతులో పేర్కొన్న విరామం x = 1 మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

పాయింట్ 1 మరియు 4 వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను కనుగొనండి:

ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న విలువ 3 అని మేము కనుగొన్నాము.

సమాధానం: 3

77430. సెగ్మెంట్లో y = x 3 + 2x 2 + x + 3 ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువను కనుగొనండి [– 4; -1].

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

ఉత్పన్నం యొక్క సున్నాలను కనుగొని, వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

3x 2 + 4x + 1 = 0

మూలాలను తీసుకుందాం:

షరతులో పేర్కొన్న విరామం రూట్ x = –1ని కలిగి ఉంటుంది.

మేము ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను పాయింట్లు –4, –1, –1/3 మరియు 1 వద్ద కనుగొంటాము:

ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువ 3 అని మేము కనుగొన్నాము.

సమాధానం: 3

77433. సెగ్మెంట్‌లో y = x 3 – x 2 – 40x +3 ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువను కనుగొనండి.

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

ఉత్పన్నం యొక్క సున్నాలను కనుగొని, వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

3x 2 – 2x – 40 = 0

మూలాలను తీసుకుందాం:

షరతులో పేర్కొన్న విరామం రూట్ x = 4ని కలిగి ఉంటుంది.

పాయింట్లు 0 మరియు 4 వద్ద ఫంక్షన్ విలువలను కనుగొనండి:

ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువ –109 అని మేము కనుగొన్నాము.

జవాబు: –109

ఉత్పన్నం లేకుండా ఫంక్షన్ల యొక్క అతి పెద్ద మరియు చిన్న విలువలను నిర్ణయించే పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం. మీకు ఉంటే ఈ విధానాన్ని ఉపయోగించవచ్చు పెద్ద సమస్యలు. సూత్రం చాలా సులభం - మేము అన్ని పూర్ణాంకాల విలువలను విరామం నుండి ఫంక్షన్‌లోకి భర్తీ చేస్తాము (వాస్తవం ఏమిటంటే అటువంటి అన్ని నమూనాలలో సమాధానం పూర్ణాంకం).

77437. సెగ్మెంట్ [–2;2]లో y=7+12x–x 3 ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువను కనుగొనండి.

ప్రత్యామ్నాయ పాయింట్లు –2 నుండి 2 వరకు: పరిష్కారం చూడండి

77434. సెగ్మెంట్ [–2;0]లో y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువను కనుగొనండి.

అంతే. శుభస్య శీగ్రం!

భవదీయులు, అలెగ్జాండర్ క్రుటిట్స్కిఖ్.

P.S: మీరు సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లలో సైట్ గురించి నాకు చెబితే నేను కృతజ్ఞుడను.

తరచుగా భౌతిక శాస్త్రం మరియు గణితంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న విలువను కనుగొనడం అవసరం. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇప్పుడు మేము మీకు చెప్తాము.

ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువను ఎలా కనుగొనాలి: సూచనలు

1. చిన్న విలువను లెక్కించడానికి నిరంతర ఫంక్షన్ఇచ్చిన విభాగంలో, మీరు క్రింది అల్గోరిథంను అనుసరించాలి:
2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
3. ఇచ్చిన సెగ్మెంట్‌లో ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానమైన పాయింట్‌లను, అలాగే అన్ని క్లిష్టమైన పాయింట్‌లను కనుగొనండి. అప్పుడు ఈ పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను కనుగొనండి, అంటే, x సున్నాకి సమానమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. ఏ విలువ చిన్నదో కనుగొనండి.
4. ఫంక్షన్ ఏ విలువను కలిగి ఉందో నిర్ణయించండి ముగింపు పాయింట్లు. ఈ పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న విలువను నిర్ణయించండి.
5. పొందిన డేటాను అత్యల్ప విలువతో సరిపోల్చండి. ఫలిత సంఖ్యలలో చిన్నది ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువ అవుతుంది.

సెగ్మెంట్‌లో ఫంక్షన్ లేకపోతే గమనించండి అతి చిన్న పాయింట్లు, ఇచ్చిన విభాగంలో అది పెరుగుతుంది లేదా తగ్గుతుంది అని దీని అర్థం. అందువల్ల, ఫంక్షన్ యొక్క పరిమిత విభాగాలపై చిన్న విలువను లెక్కించాలి.

అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, ఫంక్షన్ యొక్క విలువ పేర్కొన్న అల్గోరిథం ప్రకారం లెక్కించబడుతుంది. అల్గోరిథం యొక్క ప్రతి పాయింట్ వద్ద మీరు ఒక సాధారణ పరిష్కరించడానికి అవసరం సరళ సమీకరణంఒక మూలంతో. తప్పులను నివారించడానికి చిత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

హాఫ్-ఓపెన్ సెగ్మెంట్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న విలువను ఎలా కనుగొనాలి? ఫంక్షన్ యొక్క సగం-ఓపెన్ లేదా ఓపెన్ పీరియడ్‌లో, అతి చిన్న విలువ క్రింది విధంగా కనుగొనబడాలి. ఫంక్షన్ విలువ యొక్క ముగింపు పాయింట్ల వద్ద, ఫంక్షన్ యొక్క ఒక-వైపు పరిమితిని లెక్కించండి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, a+0 మరియు b+0 విలువల ద్వారా టెండింగ్ పాయింట్లు ఇవ్వబడే సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి, ఇక్కడ a మరియు b పేర్లు క్లిష్టమైన పాయింట్లు.

ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువను ఎలా కనుగొనాలో ఇప్పుడు మీకు తెలుసు. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే అన్ని గణనలను సరిగ్గా, ఖచ్చితంగా మరియు లోపాలు లేకుండా చేయడం.