ఈ రోజు, స్నేహితులారా, ఎటువంటి చిచ్చు లేదా సెంటిమెంట్ ఉండదు. బదులుగా, నేను మిమ్మల్ని 8వ-9వ తరగతి బీజగణితం కోర్సులో అత్యంత బలీయమైన ప్రత్యర్థులలో ఒకరితో ఎలాంటి ప్రశ్నలు అడగకుండా యుద్ధానికి పంపుతాను.
అవును, మీరు ప్రతిదీ సరిగ్గా అర్థం చేసుకున్నారు: మేము మాడ్యులస్‌తో అసమానతల గురించి మాట్లాడుతున్నాము. మేము నాలుగు ప్రాథమిక పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము, దానితో మీరు 90% అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటారు. మిగిలిన 10% సంగతేంటి? బాగా, మేము వాటి గురించి ప్రత్యేక పాఠంలో మాట్లాడుతాము. :)
అయితే, ఏదైనా టెక్నిక్‌లను విశ్లేషించే ముందు, మీరు ఇప్పటికే తెలుసుకోవలసిన రెండు వాస్తవాలను నేను మీకు గుర్తు చేయాలనుకుంటున్నాను. లేకపోతే, మీరు నేటి పాఠం యొక్క విషయాన్ని అర్థం చేసుకోలేరు.
మీరు ఇప్పటికే తెలుసుకోవలసినది
మాడ్యులస్‌తో అసమానతలను పరిష్కరించడానికి మీరు రెండు విషయాలను తెలుసుకోవాలని కెప్టెన్ స్పష్టత సూచించినట్లు కనిపిస్తోంది:
- అసమానతలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయి;
- మాడ్యూల్ అంటే ఏమిటి?
రెండవ పాయింట్‌తో ప్రారంభిద్దాం.
మాడ్యూల్ నిర్వచనం
ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. రెండు నిర్వచనాలు ఉన్నాయి: బీజగణితం మరియు గ్రాఫికల్. ప్రారంభించడానికి - బీజగణితం:
నిర్వచనం. $x$ సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్, అది ప్రతికూలం కానట్లయితే, లేదా అసలైన $x$ ఇప్పటికీ ప్రతికూలంగా ఉన్నట్లయితే, దానికి వ్యతిరేక సంఖ్య అయినట్లయితే, అది ఆ సంఖ్యయే అవుతుంది.
ఇది ఇలా వ్రాయబడింది:
\[\ఎడమ| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\ end(align) \right.\]
సరళంగా చెప్పాలంటే, మాడ్యులస్ అనేది "మైనస్ లేని సంఖ్య." మరియు ఇది ఈ ద్వంద్వత్వంలో ఉంది (కొన్ని చోట్ల మీరు అసలు సంఖ్యతో ఏమీ చేయనవసరం లేదు, కానీ మరికొన్నింటిలో మీరు ఒక రకమైన మైనస్‌ను తీసివేయాలి) ఇక్కడే ప్రారంభ విద్యార్థులకు మొత్తం కష్టం.
రేఖాగణిత నిర్వచనం కూడా ఉంది. ఇది తెలుసుకోవడం కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, అయితే మేము సంక్లిష్టమైన మరియు కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలలో మాత్రమే దాన్ని ఆశ్రయిస్తాము, ఇక్కడ బీజగణితం కంటే రేఖాగణిత విధానం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది (స్పాయిలర్: ఈ రోజు కాదు).
నిర్వచనం. సంఖ్య రేఖపై పాయింట్ $a$ని గుర్తించనివ్వండి. అప్పుడు మాడ్యూల్ $\ఎడమ| x-a \right|$ అనేది ఈ లైన్‌లోని పాయింట్ $x$ నుండి పాయింట్ $a$కి దూరం.
మీరు చిత్రాన్ని గీసినట్లయితే, మీరు ఇలాంటివి పొందుతారు:
గ్రాఫికల్ మాడ్యూల్ నిర్వచనం ఒక మార్గం లేదా మరొకటి, మాడ్యూల్ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని ముఖ్య లక్షణం వెంటనే క్రింది విధంగా ఉంటుంది: సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ఎల్లప్పుడూ నాన్-నెగటివ్ పరిమాణం. ఈ వాస్తవం ఈ రోజు మన మొత్తం కథనంలో ఎర్రటి దారంలా ఉంటుంది.
అసమానతలను పరిష్కరించడం. విరామం పద్ధతి
ఇప్పుడు అసమానతలను చూద్దాం. వాటిలో చాలా ఉన్నాయి, కానీ ఇప్పుడు మా పని వాటిలో కనీసం సరళమైన వాటిని పరిష్కరించగలగాలి. లీనియర్ అసమానతలకు, అలాగే విరామ పద్ధతికి తగ్గించేవి.
ఈ అంశంపై నాకు రెండు పెద్ద పాఠాలు ఉన్నాయి (మార్గం ద్వారా, చాలా, చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంది - నేను వాటిని అధ్యయనం చేయాలని సిఫార్సు చేస్తున్నాను):
- అసమానతలకు విరామ పద్ధతి (ముఖ్యంగా వీడియో చూడండి);
- పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలు చాలా విస్తృతమైన పాఠం, కానీ దాని తర్వాత మీకు ఎలాంటి ప్రశ్నలు ఉండవు.
మీకు ఇవన్నీ తెలిస్తే, “అసమానత్వం నుండి సమీకరణానికి వెళ్దాం” అనే పదబంధం మిమ్మల్ని గోడకు కొట్టుకోవాలనే అస్పష్టమైన కోరికను కలిగి ఉండకపోతే, మీరు సిద్ధంగా ఉన్నారు: పాఠం యొక్క ప్రధాన అంశానికి నరకానికి స్వాగతం. :)
1. రూపం యొక్క అసమానతలు "మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ కంటే తక్కువ"
మాడ్యూల్స్‌తో ఇది చాలా సాధారణ సమస్యలలో ఒకటి. ఫారమ్ యొక్క అసమానతను పరిష్కరించడానికి ఇది అవసరం:
\[\ఎడమ| f\కుడి| \ltg\]
విధులు $f$ మరియు $g$ ఏదైనా కావచ్చు, కానీ సాధారణంగా అవి బహుపదాలు. అటువంటి అసమానతలకు ఉదాహరణలు:
\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం) & \ఎడమ| 2x+3 \కుడి| \lt x+7; \\ & \ ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి|+3\ఎడమ(x+1 \కుడి) \lt 0; \\ & \ ఎడమ| ((x)^(2))-2\ఎడమ| x \కుడి|-3 \కుడి| \lt 2. \\\ end(align)\]
కింది పథకం ప్రకారం అవన్నీ అక్షరాలా ఒక లైన్‌లో పరిష్కరించబడతాయి:
\[\ఎడమ| f\కుడి| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ end(align) \కుడి.\కుడి)\]
మేము మాడ్యూల్ను వదిలించుకోవడాన్ని చూడటం చాలా సులభం, కానీ ప్రతిఫలంగా మనకు డబుల్ అసమానత లభిస్తుంది (లేదా, అదే విషయం, రెండు అసమానతల వ్యవస్థ). కానీ ఈ పరివర్తన ఖచ్చితంగా సాధ్యమయ్యే అన్ని సమస్యలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది: మాడ్యులస్ క్రింద ఉన్న సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటే, పద్ధతి పనిచేస్తుంది; ప్రతికూలంగా ఉంటే, అది ఇప్పటికీ పనిచేస్తుంది; మరియు $f$ లేదా $g$ స్థానంలో చాలా సరిపోని ఫంక్షన్‌తో కూడా, పద్ధతి ఇప్పటికీ పని చేస్తుంది.
సహజంగానే, ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఇది సరళమైనది కాదా? దురదృష్టవశాత్తు, అది సాధ్యం కాదు. ఇది మాడ్యూల్ యొక్క మొత్తం పాయింట్.
అయితే, తాత్వికతతో సరిపోతుంది. కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరిద్దాం:
టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:
\[\ఎడమ| 2x+3 \కుడి| \lt x+7\]
పరిష్కారం. కాబట్టి, మన ముందు “మాడ్యులస్ తక్కువ” రూపం యొక్క క్లాసిక్ అసమానత ఉంది - మార్చడానికి కూడా ఏమీ లేదు. మేము అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేస్తాము:
\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం) & \ఎడమ| f\కుడి| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \ ఎడమ| 2x+3 \కుడి| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\ end(align)\]
"మైనస్" ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను తెరవడానికి తొందరపడకండి: మీ తొందరపాటు కారణంగా మీరు అప్రియమైన పొరపాటు చేసే అవకాశం ఉంది.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \ end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \ end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \ end(align) \right.\]
సమస్య రెండు ప్రాథమిక అసమానతలకు తగ్గించబడింది. సమాంతర సంఖ్యా రేఖలపై వాటి పరిష్కారాలను గమనించండి:
అనేక ఖండన
ఈ సెట్ల ఖండన సమాధానం అవుతుంది.
సమాధానం: $x\in \ఎడమ(-\frac(10)(3);4 \కుడి)$
టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:
\[\ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి|+3\ఎడమ(x+1 \కుడి) \lt 0\]
పరిష్కారం. ఈ పని కొంచెం కష్టం. ముందుగా, రెండవ పదాన్ని కుడివైపుకి తరలించడం ద్వారా మాడ్యూల్ను వేరు చేద్దాం:
\[\ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి| \lt -3\ఎడమ(x+1 \కుడి)\]
సహజంగానే, మనకు మళ్ళీ "మాడ్యూల్ చిన్నది" అనే రూపం యొక్క అసమానత ఉంది, కాబట్టి మేము ఇప్పటికే తెలిసిన అల్గోరిథం ఉపయోగించి మాడ్యూల్ను వదిలించుకుంటాము:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
ఇప్పుడు అవధానం: ఈ కుండలీకరణాలతో నేను కొంచెం వక్రబుద్ధిని కలిగి ఉన్నానని ఎవరైనా చెబుతారు. అయితే మన ప్రధాన లక్ష్యం ఒక్కటేనని మరోసారి గుర్తు చేస్తున్నాను అసమానతను సరిగ్గా పరిష్కరించండి మరియు సమాధానం పొందండి. తరువాత, మీరు ఈ పాఠంలో వివరించిన ప్రతిదానిని సంపూర్ణంగా ప్రావీణ్యం పొందినప్పుడు, మీరు కోరుకున్న విధంగా మీరు దానిని వక్రీకరించవచ్చు: కుండలీకరణాలను తెరవండి, మైనస్‌లను జోడించండి మొదలైనవి.
ప్రారంభించడానికి, మేము ఎడమ వైపున ఉన్న డబుల్ మైనస్‌ను వదిలించుకుంటాము:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ఎడమ(x+1 \కుడి)\]
ఇప్పుడు డబుల్ అసమానతలోని అన్ని బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం:
డబుల్ అసమానత వైపు వెళ్దాం. ఈసారి లెక్కలు మరింత తీవ్రంగా ఉంటాయి:
\[\ఎడమ\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \ ముగింపు(సమలేఖనం) \కుడి.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( సమలేఖనం)\కుడి.\]
రెండు అసమానతలు చతురస్రాకారంలో ఉంటాయి మరియు విరామం పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి (అందుకే నేను చెప్తున్నాను: ఇది ఏమిటో మీకు తెలియకపోతే, ఇంకా మాడ్యూల్స్ తీసుకోకపోవడమే మంచిది). మొదటి అసమానతలో సమీకరణానికి వెళ్దాం:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ఎడమ(x+5 \కుడి)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అవుట్‌పుట్ అనేది అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం, దీనిని ప్రాథమిక మార్గంలో పరిష్కరించవచ్చు. ఇప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క రెండవ అసమానతను చూద్దాం. అక్కడ మీరు వియెటా సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయాలి:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& (((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
మేము ఫలిత సంఖ్యలను రెండు సమాంతర రేఖలపై గుర్తు చేస్తాము (మొదటి అసమానతకు వేరు మరియు రెండవదానికి వేరు):
మళ్ళీ, మేము అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తున్నందున, మేము షేడెడ్ సెట్ల ఖండనపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము: $x\in \left(-5;-2 \right)$. ఇదే సమాధానం.
సమాధానం: $x\in \ఎడమ(-5;-2 \కుడి)$
ఈ ఉదాహరణల తర్వాత పరిష్కార పథకం చాలా స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను:
- అన్ని ఇతర నిబంధనలను అసమానత యొక్క వ్యతిరేక వైపుకు తరలించడం ద్వారా మాడ్యూల్ను వేరు చేయండి. ఆ విధంగా మనం $\left| రూపంలో అసమానతను పొందుతాము f\కుడి| \ltg$.
- పైన వివరించిన పథకం ప్రకారం మాడ్యూల్ను వదిలించుకోవడం ద్వారా ఈ అసమానతను పరిష్కరించండి. ఏదో ఒక సమయంలో, డబుల్ అసమానత నుండి రెండు స్వతంత్ర వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థకు వెళ్లడం అవసరం, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఇప్పటికే విడిగా పరిష్కరించబడతాయి.
- చివరగా, ఈ రెండు స్వతంత్ర వ్యక్తీకరణల పరిష్కారాలను కలుస్తాయి - మరియు అంతే, మేము తుది సమాధానం పొందుతాము.
మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు కింది రకానికి చెందిన అసమానతలకు ఇదే విధమైన అల్గోరిథం ఉంటుంది. అయితే, కొన్ని తీవ్రమైన "కానీ" ఉన్నాయి. మేము ఇప్పుడు ఈ "కానీ" గురించి మాట్లాడుతాము.
2. ఫారమ్ యొక్క అసమానతలు "మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ కంటే ఎక్కువ"
అవి ఇలా కనిపిస్తాయి:
\[\ఎడమ| f\కుడి| \gtg\]
మునుపటి మాదిరిగానే ఉందా? అనిపిస్తోంది. మరియు ఇంకా అలాంటి సమస్యలు పూర్తిగా భిన్నమైన రీతిలో పరిష్కరించబడతాయి. అధికారికంగా, పథకం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:
\[\ఎడమ| f\కుడి| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ end(align) \right.\]
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము రెండు కేసులను పరిశీలిస్తాము:
- మొదట, మేము మాడ్యూల్ను విస్మరించి సాధారణ అసమానతను పరిష్కరిస్తాము;
- అప్పుడు, సారాంశంలో, మేము మాడ్యూల్ను మైనస్ గుర్తుతో విస్తరిస్తాము, ఆపై అసమానత యొక్క రెండు వైపులా −1 ద్వారా గుణిస్తాము, అయితే నాకు గుర్తు ఉంది.
ఈ సందర్భంలో, ఎంపికలు చదరపు బ్రాకెట్తో కలుపుతారు, అనగా. మన ముందు రెండు అవసరాల కలయిక ఉంది.
దయచేసి మళ్లీ గమనించండి: ఇది ఒక వ్యవస్థ కాదు, కానీ మొత్తం, కాబట్టి సమాధానంలో సెట్‌లు కలుస్తాయి కాకుండా కలుస్తాయి. ఇది మునుపటి పాయింట్ నుండి ప్రాథమిక వ్యత్యాసం!
సాధారణంగా, చాలా మంది విద్యార్థులు యూనియన్‌లు మరియు ఖండనలతో పూర్తిగా గందరగోళానికి గురవుతారు, కాబట్టి ఈ సమస్యను ఒకసారి మరియు అందరికీ క్రమబద్ధీకరిద్దాం:
- "∪" అనేది యూనియన్ గుర్తు. వాస్తవానికి, ఇది "U" అనే శైలీకృత అక్షరం, ఇది ఆంగ్ల భాష నుండి మాకు వచ్చింది మరియు ఇది "యూనియన్" యొక్క సంక్షిప్తీకరణ, అనగా. "అసోసియేషన్స్".
- "∩" అనేది ఖండన గుర్తు. ఈ చెత్త ఎక్కడి నుండి రాలేదు, కానీ కేవలం "∪"కి కౌంటర్ పాయింట్‌గా కనిపించింది.
గుర్తుంచుకోవడాన్ని మరింత సులభతరం చేయడానికి, అద్దాలు తయారు చేయడానికి ఈ సంకేతాలకు కాళ్లు గీయండి (మాదకద్రవ్య వ్యసనం మరియు మద్య వ్యసనాన్ని ప్రోత్సహిస్తున్నట్లు ఇప్పుడే నన్ను నిందించవద్దు: మీరు ఈ పాఠాన్ని తీవ్రంగా అధ్యయనం చేస్తుంటే, మీరు ఇప్పటికే మాదకద్రవ్యాల బానిసలు):
ఖండన మరియు సెట్ల యూనియన్ మధ్య వ్యత్యాసం రష్యన్‌లోకి అనువదించబడినది, దీని అర్థం క్రింది విధంగా ఉంది: యూనియన్ (మొత్తం) రెండు సెట్ల నుండి అంశాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది వాటిలో ప్రతిదాని కంటే తక్కువ కాదు; కానీ ఖండన (వ్యవస్థ) మొదటి సెట్ మరియు రెండవ రెండింటిలోనూ ఏకకాలంలో ఉన్న అంశాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, సెట్ల ఖండన మూలం సెట్ల కంటే ఎప్పుడూ పెద్దది కాదు.
కాబట్టి ఇది స్పష్టమైంది? అది గొప్పది. అభ్యాసానికి వెళ్దాం.
టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:
\[\ఎడమ| 3x+1 \కుడి| \gt 5-4x\]
పరిష్కారం. మేము పథకం ప్రకారం కొనసాగుతాము:
\[\ఎడమ| 3x+1 \కుడి| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\ end(align) \ కుడి.\]
జనాభాలోని ప్రతి అసమానతను మేము పరిష్కరిస్తాము:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \ end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \ end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \ end(align) \right.\]
మేము ప్రతి ఫలిత సెట్‌ను నంబర్ లైన్‌లో గుర్తించాము, ఆపై వాటిని కలపండి:
సెట్ల యూనియన్
సమాధానం $x\in \ఎడమ(\frac(4)(7);+\infty \right)$ అని చాలా స్పష్టంగా ఉంది.
సమాధానం: $x\in \ఎడమ(\frac(4)(7);+\infty \right)$
టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:
\[\ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి| \gt x\]
పరిష్కారం. బాగా? ఏమీ లేదు - అంతా ఒకటే. మేము మాడ్యులస్‌తో అసమానత నుండి రెండు అసమానతల సమితికి వెళ్తాము:
\[\ఎడమ| ((x)^(2))+2x-3 \కుడి| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\ ముగింపు(సమలేఖనం) \కుడివైపు.\]
మేము ప్రతి అసమానతను పరిష్కరిస్తాము. దురదృష్టవశాత్తు, అక్కడ మూలాలు చాలా మంచివి కావు:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
రెండవ అసమానత కూడా కొంచెం క్రూరంగా ఉంది:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
ఇప్పుడు మీరు ఈ సంఖ్యలను రెండు అక్షాలపై గుర్తించాలి - ప్రతి అసమానతకు ఒక అక్షం. అయితే, మీరు పాయింట్లను సరైన క్రమంలో గుర్తించాలి: పెద్ద సంఖ్య, మరింత పాయింట్ కుడి వైపుకు కదులుతుంది.
మరియు ఇక్కడ ఒక సెటప్ మాకు వేచి ఉంది. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (మొదటి లవంలోని నిబంధనలు)తో ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంటే భిన్నం రెండవ లవంలోని నిబంధనల కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి మొత్తం కూడా తక్కువగా ఉంటుంది), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ కూడా ఎటువంటి ఇబ్బందులు ఉండవు (సానుకూల సంఖ్య స్పష్టంగా మరింత ప్రతికూలంగా ఉంటుంది), అప్పుడు చివరి జంటతో ప్రతిదీ అంత స్పష్టంగా లేదు. ఏది ఎక్కువ: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ లేదా $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? సంఖ్య రేఖలపై పాయింట్ల స్థానం మరియు వాస్తవానికి, సమాధానం ఈ ప్రశ్నకు సమాధానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
కాబట్టి పోల్చి చూద్దాం:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\ end(matrix)\]
మేము మూలాన్ని వేరు చేసాము, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా నాన్-నెగటివ్ సంఖ్యలను పొందాము, కాబట్టి మాకు రెండు వైపులా వర్గీకరించే హక్కు ఉంది:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\ end(matrix)\]
$4\sqrt(13) \gt 3$, కాబట్టి $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, అక్షాలపై చివరి పాయింట్లు ఇలా ఉంచబడతాయి:
అగ్లీ మూలాల కేసు
మేము సెట్‌ను పరిష్కరిస్తున్నామని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, కాబట్టి సమాధానం యూనియన్‌గా ఉంటుంది, షేడెడ్ సెట్ల ఖండన కాదు.
సమాధానం: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మా పథకం సాధారణ మరియు చాలా కఠినమైన సమస్యలకు గొప్పగా పనిచేస్తుంది. ఈ విధానంలో ఉన్న ఏకైక "బలహీనమైన అంశం" మీరు అహేతుక సంఖ్యలను సరిగ్గా సరిపోల్చాలి (మరియు నన్ను నమ్మండి: ఇవి మూలాలు మాత్రమే కాదు). కానీ ఒక ప్రత్యేక (మరియు చాలా తీవ్రమైన) పాఠం పోలిక సమస్యలకు అంకితం చేయబడుతుంది. మరియు మేము కొనసాగండి.
3. ప్రతికూలత లేని "తోకలు"తో అసమానతలు
ఇప్పుడు మనం అత్యంత ఆసక్తికరమైన భాగానికి వస్తాము. ఇవి రూపం యొక్క అసమానతలు:
\[\ఎడమ| f\కుడి| \gt\left| g\కుడి|\]
సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఇప్పుడు మనం మాట్లాడే అల్గోరిథం మాడ్యూల్‌కు మాత్రమే సరైనది. ఇది ఎడమ మరియు కుడి వైపున హామీ లేని ప్రతికూల వ్యక్తీకరణలు ఉన్న అన్ని అసమానతలలో పని చేస్తుంది:
ఈ పనులతో ఏమి చేయాలి? కేవలం గుర్తుంచుకో:
ప్రతికూలత లేని "తోకలు" ఉన్న అసమానతలలో, రెండు వైపులా ఏదైనా సహజ శక్తికి పెంచవచ్చు. అదనపు పరిమితులు ఉండవు.
అన్నింటిలో మొదటిది, మేము స్క్వేర్ చేయడంలో ఆసక్తి కలిగి ఉంటాము - ఇది మాడ్యూల్స్ మరియు మూలాలను కాల్చేస్తుంది:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
చతురస్రం యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడంతో దీన్ని కంగారు పెట్టవద్దు:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\ఎడమ| f \right|\ne f\]
ఒక విద్యార్థి మాడ్యూల్ను ఇన్‌స్టాల్ చేయడం మరచిపోయినప్పుడు లెక్కలేనన్ని తప్పులు జరిగాయి! కానీ ఇది పూర్తిగా భిన్నమైన కథ (ఇవి, అహేతుక సమీకరణాలు), కాబట్టి మేము ఇప్పుడు దీనిలోకి వెళ్లము. రెండు సమస్యలను బాగా పరిష్కరిద్దాం:
టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:
\[\ఎడమ| x+2 \కుడి|\ge \ఎడమ| 1-2x \కుడి|\]
పరిష్కారం. వెంటనే రెండు విషయాలను గమనిద్దాం:
- ఇది కఠినమైన అసమానత కాదు. సంఖ్య రేఖపై పాయింట్లు పంక్చర్ చేయబడతాయి.
- అసమానత యొక్క రెండు వైపులా స్పష్టంగా ప్రతికూలం కాదు (ఇది మాడ్యూల్ యొక్క లక్షణం: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
అందువల్ల, మాడ్యులస్‌ను వదిలించుకోవడానికి మరియు సాధారణ విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించడానికి మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపులా వర్గీకరించవచ్చు:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\ఎడమ(x+2 \కుడి))^(2))\ge ((\ఎడమ(2x-1 \కుడి))^(2)). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
చివరి దశలో, నేను కొంచెం మోసం చేసాను: నేను మాడ్యూల్ యొక్క సమానత్వాన్ని సద్వినియోగం చేసుకుంటూ నిబంధనల క్రమాన్ని మార్చాను (వాస్తవానికి, నేను $1-2x$ వ్యక్తీకరణను −1తో గుణించాను).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ కుడి)\కుడి)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\ end(align)\]
మేము విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము. అసమానత నుండి సమీకరణానికి వెళ్దాం:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
మేము కనుగొన్న మూలాలను సంఖ్య రేఖపై గుర్తు చేస్తాము. మరోసారి: అసలు అసమానత కఠినంగా లేనందున అన్ని పాయింట్లు షేడ్ చేయబడ్డాయి!
మాడ్యులస్ గుర్తును వదిలించుకోవడం
ముఖ్యంగా మొండి పట్టుదలగల వారికి నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: మేము చివరి అసమానత నుండి సంకేతాలను తీసుకుంటాము, ఇది సమీకరణానికి వెళ్లడానికి ముందు వ్రాయబడింది. మరియు మేము అదే అసమానతలో అవసరమైన ప్రాంతాలపై పెయింట్ చేస్తాము. మా విషయంలో ఇది $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
సరే ఇప్పుడు అంతా అయిపోయింది. సమస్య పరిష్కారమైంది.
సమాధానం: $x\in \ఎడమ[ -\frac(1)(3);3 \కుడి]$.
టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:
\[\ఎడమ| ((x)^(2))+x+1 \కుడి|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \కుడి|\]
పరిష్కారం. మేము ప్రతిదీ ఒకేలా చేస్తాము. నేను వ్యాఖ్యానించను - చర్యల క్రమాన్ని చూడండి.
స్క్వేర్ చేయండి:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \కుడి| \కుడి))^(2)); \\ & ((\ఎడమ(((x)^(2))+x+1 \కుడి))^(2))\le (\left(((x)^(2))+3x+4 \కుడి))^(2)); \\ & ((\ఎడమ((((x))^2))+x+1 \కుడి))^(2))-(\ఎడమ(((x)^(2))+3x+4 \ కుడి))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \కుడి)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\ end(align)\]
విరామం పద్ధతి:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ రైట్‌టారో x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
నంబర్ లైన్‌లో ఒకే ఒక మూలం ఉంది:
సమాధానం మొత్తం విరామం
సమాధానం: $x\in \ఎడమ[ -1.5;+\infty \right)$.
చివరి పని గురించి చిన్న గమనిక. నా విద్యార్థులలో ఒకరు ఖచ్చితంగా గుర్తించినట్లుగా, ఈ అసమానతలో రెండు సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలు స్పష్టంగా సానుకూలంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మాడ్యులస్ గుర్తును ఆరోగ్యానికి హాని లేకుండా వదిలివేయవచ్చు.
కానీ ఇది పూర్తిగా భిన్నమైన ఆలోచనా స్థాయి మరియు భిన్నమైన విధానం - దీనిని షరతులతో కూడిన పరిణామాల పద్ధతి అని పిలుస్తారు. దాని గురించి - ప్రత్యేక పాఠంలో. ఇప్పుడు నేటి పాఠం యొక్క చివరి భాగానికి వెళ్దాం మరియు ఎల్లప్పుడూ పనిచేసే సార్వత్రిక అల్గారిథమ్‌ను చూద్దాం. మునుపటి విధానాలన్నీ శక్తిలేనివి అయినప్పటికీ. :)
4. ఎంపికల గణన పద్ధతి
ఈ పద్ధతులన్నీ సహాయం చేయకపోతే ఏమి చేయాలి? అసమానత ప్రతికూలమైన తోకలకు తగ్గించబడకపోతే, మాడ్యూల్ను వేరుచేయడం అసాధ్యం అయితే, సాధారణంగా నొప్పి, విచారం, విచారం ఉంటే?
అప్పుడు అన్ని గణితాల యొక్క "భారీ ఫిరంగి" సన్నివేశంలోకి వస్తుంది-బ్రూట్ ఫోర్స్ పద్ధతి. మాడ్యులస్‌తో అసమానతలకు సంబంధించి ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
- అన్ని సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలను వ్రాసి వాటిని సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయండి;
- ఫలిత సమీకరణాలను పరిష్కరించండి మరియు ఒక నంబర్ లైన్‌లో కనిపించే మూలాలను గుర్తించండి;
- సరళ రేఖ అనేక విభాగాలుగా విభజించబడుతుంది, దానిలో ప్రతి మాడ్యూల్ స్థిరమైన గుర్తును కలిగి ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ప్రత్యేకంగా బహిర్గతం చేయబడుతుంది;
- అటువంటి ప్రతి విభాగంలో అసమానతను పరిష్కరించండి (మీరు దశ 2లో పొందిన మూలాలు-సరిహద్దులను విడిగా పరిగణించవచ్చు - విశ్వసనీయత కోసం). ఫలితాలను కలపండి - ఇది సమాధానం అవుతుంది. :)
కాబట్టి ఎలా? బలహీనమైన? సులభంగా! చాలా కాలం మాత్రమే. ఆచరణలో చూద్దాం:
టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:
\[\ఎడమ| x+2 \కుడి| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
పరిష్కారం. ఈ చెత్త $\left| వంటి అసమానతలను తగ్గించదు f\కుడి| \lt g$, $\ఎడమ| f\కుడి| \gt g$ లేదా $\ఎడమ| f\కుడి| \lt \left| g \right|$, కాబట్టి మేము ముందుగా పని చేస్తాము.
మేము సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలను వ్రాస్తాము, వాటిని సున్నాకి సమం చేస్తాము మరియు మూలాలను కనుగొంటాము:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
మొత్తంగా, మనకు రెండు మూలాలు ఉన్నాయి, అవి సంఖ్య రేఖను మూడు విభాగాలుగా విభజించాయి, వీటిలో ప్రతి మాడ్యూల్ ప్రత్యేకంగా బహిర్గతం చేయబడుతుంది:
సబ్‌మోడ్యులర్ ఫంక్షన్‌ల సున్నాల ద్వారా సంఖ్య రేఖను విభజించడం
ప్రతి విభాగాన్ని విడిగా చూద్దాం.
1. $x \lt -2$. అప్పుడు సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలు రెండూ ప్రతికూలంగా ఉంటాయి మరియు అసలు అసమానత క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:
\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం) & -\ఎడమ(x+2 \కుడి) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align)\]
మేము చాలా సరళమైన పరిమితిని పొందాము. $x \lt -2$ అనే ప్రారంభ ఊహతో దానిని ఖండిద్దాం:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnoth \]
సహజంగానే, వేరియబుల్ $x$ ఏకకాలంలో −2 కంటే తక్కువ మరియు 1.5 కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు. ఈ ప్రాంతంలో పరిష్కారాలు లేవు.
1.1 సరిహద్దు రేఖ కేసును విడిగా పరిశీలిద్దాం: $x=-2$. ఈ సంఖ్యను అసలు అసమానతతో భర్తీ చేసి తనిఖీ చేద్దాం: ఇది నిజమేనా?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\కుడి|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
లెక్కల గొలుసు మనల్ని సరికాని అసమానతకు దారితీసిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అందువల్ల, అసలు అసమానత కూడా తప్పు, మరియు సమాధానంలో $x=-2$ చేర్చబడలేదు.
2. ఇప్పుడు $-2 \lt x \lt 1$ని తెలియజేయండి. ఎడమ మాడ్యూల్ ఇప్పటికే "ప్లస్"తో తెరవబడుతుంది, కానీ కుడివైపు ఇప్పటికీ "మైనస్"తో తెరవబడుతుంది. మాకు ఉన్నాయి:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ end(align)\]
మళ్ళీ మేము అసలు అవసరంతో కలుస్తాము:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnoth \]
మరలా, పరిష్కారాల సమితి ఖాళీగా ఉంది, ఎందుకంటే −2.5 కంటే తక్కువ మరియు −2 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యలు లేవు.
2.1 మరియు మళ్ళీ ఒక ప్రత్యేక సందర్భం: $x=1$. మేము అసలు అసమానతలను భర్తీ చేస్తాము:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \ఎడమ| 3\కుడి| \lt \left| 0\కుడి|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]
మునుపటి “ప్రత్యేక సందర్భం” లాగానే, సమాధానంలో $x=1$ సంఖ్య స్పష్టంగా చేర్చబడలేదు.
3. లైన్ యొక్క చివరి భాగం: $x \gt 1$. ఇక్కడ అన్ని మాడ్యూల్స్ ప్లస్ గుర్తుతో తెరవబడతాయి:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ end(align)\ ]
మరియు మళ్లీ మేము కనుగొన్న సెట్‌ను అసలు పరిమితితో కలుస్తాము:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ end(align) \ right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
చివరగా! మేము ఒక విరామాన్ని కనుగొన్నాము, అది సమాధానంగా ఉంటుంది.
సమాధానం: $x\in \ఎడమ(4,5;+\infty \right)$
చివరగా, నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు తెలివితక్కువ తప్పుల నుండి మిమ్మల్ని రక్షించే ఒక వ్యాఖ్య:
మాడ్యులితో అసమానతలకు పరిష్కారాలు సాధారణంగా సంఖ్య రేఖపై నిరంతర సెట్లను సూచిస్తాయి - విరామాలు మరియు విభాగాలు. వివిక్త పాయింట్లు చాలా తక్కువ సాధారణం. మరియు ఇంకా తక్కువ తరచుగా, పరిష్కారం యొక్క సరిహద్దు (సెగ్మెంట్ ముగింపు) పరిశీలనలో ఉన్న పరిధి యొక్క సరిహద్దుతో సమానంగా ఉంటుంది.
పర్యవసానంగా, సమాధానంలో సరిహద్దులు (అదే "ప్రత్యేక సందర్భాలు") చేర్చబడకపోతే, ఈ సరిహద్దులకు ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న ప్రాంతాలు దాదాపు ఖచ్చితంగా సమాధానంలో చేర్చబడవు. మరియు దీనికి విరుద్ధంగా: సరిహద్దు సమాధానంలోకి ప్రవేశించింది, అంటే దాని చుట్టూ ఉన్న కొన్ని ప్రాంతాలు కూడా సమాధానాలుగా ఉంటాయి.
మీ పరిష్కారాలను సమీక్షించేటప్పుడు దీన్ని గుర్తుంచుకోండి.
పాఠం లక్ష్యాలు
సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ వంటి గణిత భావనకు పాఠశాల పిల్లలకు పరిచయం చేయడం;
సంఖ్యల మాడ్యూళ్లను కనుగొనే నైపుణ్యాలను పాఠశాల పిల్లలకు నేర్పించడం;
వివిధ పనులను పూర్తి చేయడం ద్వారా నేర్చుకున్న విషయాలను బలోపేతం చేయండి;
పనులు
సంఖ్యల మాడ్యులస్ గురించి పిల్లల జ్ఞానాన్ని బలోపేతం చేయండి;
పరీక్ష పనులను పరిష్కరించడం ద్వారా, విద్యార్థులు అధ్యయనం చేసిన విషయాన్ని ఎలా ప్రావీణ్యం పొందారో తనిఖీ చేయండి;
గణిత పాఠాలపై ఆసక్తిని పెంచడం కొనసాగించండి;
పాఠశాల పిల్లలలో తార్కిక ఆలోచన, ఉత్సుకత మరియు పట్టుదల పెంపొందించడం.
లెసన్ ప్లాన్
1. సాధారణ భావనలు మరియు సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ యొక్క నిర్వచనం.
2. మాడ్యూల్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.
3. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ మరియు దాని లక్షణాలు.
4. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్‌ను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం.
5. "సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్" అనే పదం గురించి చారిత్రక సమాచారం.
6. కవర్ చేయబడిన అంశం యొక్క పరిజ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి అసైన్‌మెంట్.
7. హోంవర్క్.
సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ గురించి సాధారణ భావనలు
సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ సాధారణంగా ప్రతికూల విలువను కలిగి ఉండకపోతే, లేదా అదే సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే, కానీ వ్యతిరేక గుర్తుతో ఉన్న సంఖ్యనే అంటారు.
అంటే, ప్రతికూల వాస్తవ సంఖ్య a యొక్క మాడ్యులస్ ఆ సంఖ్యయే:
మరియు, ప్రతికూల వాస్తవ సంఖ్య x యొక్క మాడ్యులస్ వ్యతిరేక సంఖ్య:
రికార్డింగ్‌లో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
మరింత అందుబాటులో ఉండే అవగాహన కోసం, ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సంఖ్య 3 యొక్క మాడ్యులస్ 3, మరియు సంఖ్య -3 యొక్క మాడ్యులస్ 3.
దీని నుండి ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ అంటే సంపూర్ణ విలువ, అంటే దాని సంపూర్ణ విలువ, కానీ దాని గుర్తును పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా. దీన్ని మరింత సరళంగా చెప్పాలంటే, సంఖ్య నుండి గుర్తును తీసివేయడం అవసరం.
సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ నిర్దేశించబడుతుంది మరియు ఇలా ఉంటుంది: |3|, |x|, |a| మొదలైనవి
కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సంఖ్య 3 యొక్క మాడ్యులస్ |3|.
అలాగే, సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ఎప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదని గుర్తుంచుకోవాలి: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45, మొదలైనవి.
మాడ్యూల్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం
సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ అనేది మూలం నుండి బిందువు వరకు యూనిట్ విభాగాలలో కొలవబడే దూరం. ఈ నిర్వచనం రేఖాగణిత కోణం నుండి మాడ్యూల్ను వెల్లడిస్తుంది.
కోఆర్డినేట్ లైన్ తీసుకొని దానిపై రెండు పాయింట్లను నిర్దేశిద్దాం. ఈ పాయింట్లు −4 మరియు 2 వంటి సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉండనివ్వండి.
ఇప్పుడు ఈ సంఖ్యకు శ్రద్ధ చూపుదాం. కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో సూచించిన పాయింట్ A, సంఖ్య -4 కి అనుగుణంగా ఉందని మేము చూస్తాము మరియు మీరు జాగ్రత్తగా చూస్తే, ఈ పాయింట్ రిఫరెన్స్ పాయింట్ 0 నుండి 4 యూనిట్ సెగ్మెంట్ల దూరంలో ఉన్నట్లు మీరు చూస్తారు. సెగ్మెంట్ OA యొక్క పొడవు నాలుగు యూనిట్లకు సమానం అని ఇది అనుసరిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, సెగ్మెంట్ OA యొక్క పొడవు, అంటే, సంఖ్య 4, సంఖ్య -4 యొక్క మాడ్యులస్ అవుతుంది.
ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ ఈ విధంగా సూచించబడుతుంది మరియు వ్రాయబడుతుంది: |−4| = 4.
ఇప్పుడు కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో పాయింట్ B ని తీసుకుందాం.
ఈ పాయింట్ B సంఖ్య +2కి అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఇది మూలం నుండి రెండు యూనిట్ విభాగాల దూరంలో ఉంది. దీని నుండి సెగ్మెంట్ OB యొక్క పొడవు రెండు యూనిట్లకు సమానం. ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య 2 సంఖ్య +2 యొక్క మాడ్యులస్ అవుతుంది.
రికార్డింగ్‌లో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: |+2| = 2 లేదా |2| = 2.
ఇప్పుడు సంగ్రహించండి. మనం కొంత తెలియని సంఖ్య a ని తీసుకొని దానిని కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో పాయింట్ A గా నిర్దేశిస్తే, ఈ సందర్భంలో పాయింట్ A నుండి మూలానికి దూరం, అంటే OA సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు, ఖచ్చితంగా “a” సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్. ”.
వ్రాసేటప్పుడు ఇది ఇలా ఉంటుంది: |a| = OA.
సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ మరియు దాని లక్షణాలు
ఇప్పుడు మాడ్యూల్ యొక్క లక్షణాలను హైలైట్ చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం, సాధ్యమయ్యే అన్ని కేసులను పరిగణించండి మరియు వాటిని సాహిత్య వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించి వ్రాయండి:
ముందుగా, ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య, అంటే ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది: |a| = a, అయితే a > 0;
రెండవది, వ్యతిరేక సంఖ్యలను కలిగి ఉండే మాడ్యూల్స్ సమానంగా ఉంటాయి: |a| = |–a|. అంటే, వ్యతిరేక సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ సమాన మాడ్యూల్‌లను కలిగి ఉంటాయని ఈ లక్షణం చెబుతుంది, అవి ఒక కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో వలె, అవి వ్యతిరేక సంఖ్యలను కలిగి ఉన్నప్పటికీ, అవి రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి ఒకే దూరంలో ఉంటాయి. దీని నుండి ఈ వ్యతిరేక సంఖ్యల మాడ్యూల్స్ సమానంగా ఉంటాయి.
మూడవదిగా, ఈ సంఖ్య సున్నా అయితే సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ సున్నాకి సమానం: |0| = 0 అయితే a = 0. సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ నిర్వచనం ప్రకారం సున్నా అని ఇక్కడ మనం నమ్మకంగా చెప్పగలం, ఎందుకంటే ఇది కోఆర్డినేట్ లైన్ యొక్క మూలానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
మాడ్యులస్ యొక్క నాల్గవ లక్షణం ఏమిటంటే, రెండు సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్ ఈ సంఖ్యల మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. ఇప్పుడు దీని అర్థం ఏమిటో నిశితంగా పరిశీలిద్దాం. మేము నిర్వచనాన్ని అనుసరిస్తే, a మరియు b సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్ a bకి సమానంగా ఉంటుందని మీకు మరియు నాకు తెలుసు, లేదా −(a b), a b ≥ 0 అయితే, లేదా – (a b), a b కంటే ఎక్కువగా ఉంటే 0. B రికార్డింగ్ ఇలా కనిపిస్తుంది: |a b| = |ఎ| |బి|.
ఐదవ లక్షణం ఏమిటంటే, సంఖ్యల గుణకం యొక్క మాడ్యులస్ ఈ సంఖ్యల మాడ్యులి నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది: |a: b| = |ఎ| : |బి|.
మరియు సంఖ్య మాడ్యూల్ యొక్క క్రింది లక్షణాలు:
సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్‌ను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం
సంఖ్య మాడ్యులస్ ఉన్న సమస్యలను పరిష్కరించడం ప్రారంభించినప్పుడు, అటువంటి పనిని పరిష్కరించడానికి, ఈ సమస్యకు అనుగుణంగా ఉన్న లక్షణాల జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి మాడ్యులస్ యొక్క చిహ్నాన్ని బహిర్గతం చేయడం అవసరం అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి.
వ్యాయామం 1
కాబట్టి, ఉదాహరణకు, మాడ్యూల్ గుర్తు క్రింద వేరియబుల్‌పై ఆధారపడిన వ్యక్తీకరణ ఉంటే, అప్పుడు మాడ్యూల్ నిర్వచనానికి అనుగుణంగా విస్తరించబడాలి:
వాస్తవానికి, సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మాడ్యూల్ ప్రత్యేకంగా వెల్లడి చేయబడిన సందర్భాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మేము తీసుకుంటే
, మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద అటువంటి వ్యక్తీకరణ x మరియు y యొక్క ఏదైనా విలువలకు ప్రతికూలం కాదని ఇక్కడ మనం చూస్తాము.
లేదా, ఉదాహరణకు, తీసుకుందాం
, ఈ మాడ్యులస్ వ్యక్తీకరణ z యొక్క ఏదైనా విలువలకు సానుకూలంగా లేదని మేము చూస్తాము.
టాస్క్ 2
మీ ముందు కోఆర్డినేట్ లైన్ చూపబడింది. ఈ లైన్‌లో మాడ్యులస్ 2కి సమానంగా ఉండే సంఖ్యలను గుర్తించడం అవసరం.
పరిష్కారం
అన్నింటిలో మొదటిది, మేము ఒక కోఆర్డినేట్ లైన్ను గీయాలి. దీన్ని చేయడానికి, మొదట సరళ రేఖలో మీరు మూలం, దిశ మరియు యూనిట్ విభాగాన్ని ఎంచుకోవాలని మీకు ఇప్పటికే తెలుసు. తరువాత, మేము మూలం నుండి రెండు యూనిట్ విభాగాల దూరానికి సమానమైన పాయింట్లను ఉంచాలి.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో అటువంటి రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి, వాటిలో ఒకటి సంఖ్య -2కి మరియు మరొకటి సంఖ్య 2కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
సంఖ్యల మాడ్యులస్ గురించి చారిత్రక సమాచారం
"మాడ్యూల్" అనే పదం లాటిన్ పేరు మాడ్యులస్ నుండి వచ్చింది, అంటే "కొలత". ఈ పదాన్ని ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్త రోజర్ కోట్స్ ఉపయోగించారు. కానీ జర్మన్ గణిత శాస్త్రవేత్త కార్ల్ వీర్‌స్ట్రాస్‌కు మాడ్యులస్ గుర్తు పరిచయం చేయబడింది. వ్రాసినప్పుడు, మాడ్యూల్ క్రింది చిహ్నాన్ని ఉపయోగించి సూచించబడుతుంది: | |.
పదార్థం యొక్క జ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి ప్రశ్నలు
నేటి పాఠంలో, మేము ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ వంటి భావనతో పరిచయం పొందాము మరియు ఇప్పుడు మీరు అడిగిన ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వడం ద్వారా ఈ అంశంపై ఎలా ప్రావీణ్యం పొందారో తనిఖీ చేద్దాం:
1. ధన సంఖ్యకు వ్యతిరేకమైన సంఖ్య పేరు ఏమిటి?
2. ప్రతికూల సంఖ్యకు వ్యతిరేకమైన సంఖ్య పేరు ఏమిటి?
3. సున్నాకి వ్యతిరేకమైన సంఖ్యకు పేరు పెట్టండి. అటువంటి సంఖ్య ఉందా?
4. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ కాలేని సంఖ్యకు పేరు పెట్టండి.
5. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్‌ను నిర్వచించండి.
ఇంటి పని
1. మాడ్యూల్స్ యొక్క అవరోహణ క్రమంలో మీరు ఏర్పాటు చేయవలసిన సంఖ్యలు మీ ముందు ఉన్నాయి. మీరు పనిని సరిగ్గా పూర్తి చేస్తే, గణితంలో "మాడ్యూల్" అనే పదాన్ని మొదట పరిచయం చేసిన వ్యక్తి పేరును మీరు కనుగొంటారు.
2. కోఆర్డినేట్ లైన్‌ని గీయండి మరియు M (-5) మరియు K (8) నుండి మూలానికి దూరాన్ని కనుగొనండి.
సంఖ్యల మాడ్యులస్ఈ సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే, లేదా అదే సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే వ్యతిరేక గుర్తుతో పిలువబడుతుంది.
ఉదాహరణకు, సంఖ్య 5 యొక్క మాడ్యులస్ 5, మరియు సంఖ్య –5 యొక్క మాడ్యులస్ కూడా 5.
అంటే, సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ సంపూర్ణ విలువగా అర్థం అవుతుంది, ఈ సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ దాని గుర్తును పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా.
ఈ క్రింది విధంగా సూచించబడింది: |5|, | X|, |ఎ| మొదలైనవి
నియమం:
వివరణ:
|5| = 5
ఇది ఇలా ఉంటుంది: సంఖ్య 5 యొక్క మాడ్యులస్ 5.
|–5| = –(–5) = 5
ఇది ఇలా ఉంటుంది: సంఖ్య –5 యొక్క మాడ్యులస్ 5.
|0| = 0
ఇది ఇలా ఉంటుంది: సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ సున్నా.
మాడ్యూల్ లక్షణాలు:
1) సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య: |ఎ| ≥ 0 2) వ్యతిరేక సంఖ్యల మాడ్యూల్స్ సమానంగా ఉంటాయి: |ఎ| = |–ఎ| 3) ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ యొక్క వర్గము ఈ సంఖ్య యొక్క వర్గానికి సమానం: |ఎ| 2 = ఎ 2 4) సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్ ఈ సంఖ్యల మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం: |ఎ · బి| = |ఎ| · | బి| 6) గుణాత్మక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ఈ సంఖ్యల మాడ్యులీ నిష్పత్తికి సమానం: |ఎ : బి| = |ఎ| : |బి| 7) సంఖ్యల మొత్తం యొక్క మాడ్యులస్ వాటి మాడ్యులి మొత్తం కంటే తక్కువగా లేదా సమానంగా ఉంటుంది: |ఎ + బి| ≤ |ఎ| + |బి| 8) సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క మాడ్యులస్ వాటి మాడ్యులి మొత్తం కంటే తక్కువగా లేదా సమానంగా ఉంటుంది: |ఎ – బి| ≤ |ఎ| + |బి| 9) సంఖ్యల మొత్తం/వ్యత్యాసం యొక్క మాడ్యులస్ వాటి మాడ్యులి యొక్క వ్యత్యాసం యొక్క మాడ్యులస్ కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది: |ఎ ± బి| ≥ ||ఎ| – |బి|| 10) మాడ్యులస్ గుర్తు నుండి స్థిరమైన సానుకూల గుణకం తీసుకోవచ్చు: |m · a| = m · | ఎ|, m >0 11) సంఖ్య యొక్క శక్తిని మాడ్యులస్ గుర్తు నుండి తీసుకోవచ్చు: |ఎ k | = | ఎ| k ఉంటే k 12) అయితే | ఎ| = |బి|, అప్పుడు a = ± బి |
మాడ్యూల్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.
సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ అనేది సున్నా నుండి ఆ సంఖ్యకు దూరం.
ఉదాహరణకు, 5 సంఖ్యను మళ్లీ తీసుకుందాం. 0 నుండి 5 వరకు ఉన్న దూరం 0 నుండి –5 వరకు ఉంటుంది (Fig. 1). మరియు సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును మాత్రమే తెలుసుకోవడం మనకు ముఖ్యమైనది అయినప్పుడు, గుర్తుకు అర్థం మాత్రమే కాదు, అర్థం కూడా ఉంటుంది. అయితే, ఇది పూర్తిగా నిజం కాదు: మేము దూరాన్ని సానుకూల సంఖ్యలతో మాత్రమే కొలుస్తాము - లేదా ప్రతికూల సంఖ్యలతో. మన స్కేల్ యొక్క విభజన ధర 1 సెం.మీ ఉండనివ్వండి. అప్పుడు సున్నా నుండి 5 వరకు ఉన్న సెగ్మెంట్ పొడవు 5 సెం.మీ, సున్నా నుండి –5 వరకు కూడా 5 సెం.మీ.
ఆచరణలో, దూరం తరచుగా సున్నా నుండి మాత్రమే కొలుస్తారు - రిఫరెన్స్ పాయింట్ ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు (Fig. 2). కానీ ఇది సారాంశాన్ని మార్చదు. రూపం యొక్క సంజ్ఞామానం |a – b| పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది ఎమరియు బిసంఖ్య రేఖపై.
ఉదాహరణ 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి | X – 1| = 3.
పరిష్కారం .
సమీకరణం యొక్క అర్థం పాయింట్ల మధ్య దూరం Xమరియు 1 3కి సమానం (Fig. 2). కాబట్టి, పాయింట్ 1 నుండి మేము మూడు విభాగాలను ఎడమకు మరియు మూడు విభాగాలను కుడికి గణిస్తాము - మరియు మేము రెండు విలువలను స్పష్టంగా చూస్తాము X:
X 1 = –2, X 2 = 4.
మేము దానిని లెక్కించవచ్చు.
│X – 1 = 3
│X – 1 = –3
│X = 3 + 1
│X = –3 + 1
│X = 4
│ X = –2.
సమాధానం : X 1 = –2; X 2 = 4.
ఉదాహరణ 2. వ్యక్తీకరణ మాడ్యూల్ను కనుగొనండి:
పరిష్కారం .
ముందుగా, వ్యక్తీకరణ సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా అని తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము వ్యక్తీకరణను మారుస్తాము, తద్వారా అది సజాతీయ సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది. 5 యొక్క రూట్ కోసం వెతకవద్దు - ఇది చాలా కష్టం. దీన్ని మరింత సరళంగా చేద్దాం: 3 మరియు 10ని రూట్‌కి పెంచుదాం. ఆపై తేడాను కలిగించే సంఖ్యల పరిమాణాన్ని సరిపోల్చండి:
3 = √9. కాబట్టి, 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉందని మనం చూస్తాము. వ్యక్తీకరణ ప్రతికూలంగా ఉందని దీని అర్థం, అంటే, దాని సమాధానం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది:
3√5 – 10 < 0.
కానీ నియమం ప్రకారం, ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ వ్యతిరేక గుర్తుతో అదే సంఖ్య. మనకు ప్రతికూల వ్యక్తీకరణ ఉంది. అందువల్ల, దాని చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మార్చడం అవసరం. 3√5 – 10కి వ్యతిరేక వ్యక్తీకరణ –(3√5 – 10). దానిలోని బ్రాకెట్లను తెరిచి సమాధానాన్ని పొందండి:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
సమాధానం .
ShMO అధిపతి
గణిత ఉపాధ్యాయులు _______కలాష్నికోవా Zh.Yu మునిసిపల్ బడ్జెట్ విద్యా సంస్థ
"సెకండరీ స్కూల్ నం. 89"
6వ తరగతులకు గణితంలో నేపథ్య పరీక్షలు
I.I ద్వారా పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం జుబరేవా మరియు A.G. మోర్డ్కోవిచ్
సంకలనం: గణిత ఉపాధ్యాయులు:
కలాష్నికోవా ఝన్నా యూరివ్నా
స్టోల్బోవా లియుడ్మిలా ఆంటోనోవ్నా
ZATO సెవర్స్క్
2016
విషయము
పరీక్ష నం. 1 ………………………………………………………………………………………… 3-6
పరీక్ష నం. 2 ……………………………………………………………………………………… .7-10
పరీక్ష నం. 3 …………………………………………………………………………………………………………………….11-14
సమాధానాలు ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ..15
పరీక్ష నం. 1 “పాజిటివ్ మరియు నెగటివ్ సంఖ్యలు”
ఎంపిక 1
ప్రతికూల పాక్షిక సంఖ్యను నమోదు చేయండి:
-165
38
-7.92
67 “కోఆర్డినేట్ కిరణంపై సంఖ్య -5.5 గుర్తించబడింది” ఈవెంట్‌ను వివరించండి
విశ్వసనీయమైనది
అసాధ్యం
యాదృచ్ఛికంగా
నాలుగు సంఖ్యలలో ఏది పెద్దది?
8,035
80,35
0,8035
803,5
పాయింట్ O (0)కి కుడి వైపున ఉన్న కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఏ పాయింట్ ఉంది?
M (-4)
ఇ (-15)
కె (15)
D(-1.2)
రాత్రి గాలి ఉష్ణోగ్రత -5 ° C. పగటిపూట థర్మామీటర్ ఇప్పటికే +3 °C. గాలి ఉష్ణోగ్రత ఎలా మారింది?
8o పెరిగింది
2o తగ్గింది
2o పెరిగింది
8o తగ్గింది
పాయింట్ x(-2) కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో గుర్తించబడింది - సమరూపత కేంద్రం. పాయింట్ xకి సుష్టంగా ఈ రేఖపై ఉన్న పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను సూచించండి.
(-1) మరియు (1)
(-1) మరియు (1)
(3) మరియు (-3)
(0) మరియు (-4)
కోఆర్డినేట్ లైన్‌లోని ఏ పాయింట్లు మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా లేవు - పాయింట్ O (0).
B(-5) మరియు C(5)
D(0.5) మరియు E(-0.5)
M(-3) మరియు K(13)
A(18) మరియు X(-18)
0.316+0.4 సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
0,356
0,716
4,316
0,32
సంఖ్య 0.4లో 25% లెక్కించండి.
0,1
0,001
10
100
9100 మరియు 0.03 తేడాను లెక్కించండి
0,05
0,6
9,03
350 ఎంపిక 2
ప్రతికూల పాక్షిక సంఖ్యను నమోదు చేయండి.
8,63
-1045
913-0,2
"కోఆర్డినేట్ కిరణంపై సంఖ్య 7 గుర్తించబడింది" అనే ఈవెంట్‌ను వివరించండి.
యాదృచ్ఛికంగా
అసాధ్యం
విశ్వసనీయమైనది
ఏ సంఖ్య చిన్నది?
15,49
154,9
1,549
1549
పాయింట్ O(0)కి ఎడమ వైపున ఉన్న కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఏ పాయింట్లు ఉన్నాయి.
A(-0.5)
6)
M(0.5)
K(38)
పగటిపూట థర్మామీటర్ +5 ° C, మరియు సాయంత్రం -2 ° C. గాలి ఉష్ణోగ్రత ఎలా మారింది?
3o పెరిగింది
7o తగ్గింది
3o తగ్గింది
7o పెరిగింది
సమరూపత యొక్క కేంద్రం కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో గుర్తించబడింది - పాయింట్ A(-3). ఈ రేఖపై ఉన్న పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను పాయింట్ Aకి సుష్టంగా సూచించండి.
(-2) మరియు (2)
(0) మరియు (-5)
(-6) మరియు (1)
(-1) మరియు (-5)
కోఆర్డినేట్ లైన్ యొక్క ఏ పాయింట్లు మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా లేవు - పాయింట్ O(0).
A(6) మరియు B(-6)
C(12) మరియు D(-2)
M(-1) మరియు K(1)
X (-9) మరియు Y (9)
0.237 మరియు 0.3 సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
0,24
3,237
0,537
0,267
0.5లో 20% లెక్కించండి
10
0,1
0,2
0,01
0.07 మరియు 31001250.5 తేడాను లెక్కించండి
1
425పరీక్ష నం. 2. సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ. వ్యతిరేక సంఖ్యలు.
ఎంపిక 1
ఇవ్వబడిన సంఖ్యలలో ఏది చిన్న మాడ్యులస్‌ని కలిగి ఉంటుంది
-11
1013-4,196
-4,2
తప్పు సమీకరణాన్ని పేర్కొనండి
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య. ఈ ప్రకటన నిజమేనా?
అవును
నం
ఈ సంఖ్యలలో ఏది -34 సంఖ్యకు వ్యతిరేకం?43-43-3434m = -15 అయితే -(-m) వ్యక్తీకరణ విలువ ఎంత?
+15
-15
వ్యక్తీకరణ విలువను లెక్కించండి: -2.5∙4--919
-10
1
-1
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: x=40-40
40
40 లేదా -40
2.75 మరియు 3.9 సంఖ్యల మధ్య కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఏ పూర్ణాంకాలు ఉన్నాయి?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
అసమానత -30>-50 నిజమేనా?అవును
నం
x≤30, 1, 2 అయితే అన్ని పూర్ణాంకాల xని జాబితా చేయండి
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
ఎంపిక 2
ఏ సంఖ్య అతిపెద్ద మాడ్యులస్‌ని కలిగి ఉంది?
-0,6
-50,603
493550,530
తప్పు సమీకరణాన్ని పేర్కొనండి
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ప్రతికూల సంఖ్య కావచ్చు
అవును
నం
ఈ సంఖ్యలలో 124కి వ్యతిరేకం ఏది?
-24
24
-124124ఎక్స్‌ప్రెషన్ విలువ ఎంత –(-k), అయితే k = -9
-9
+9
వ్యక్తీకరణ విలువను లెక్కించండి: 2.5:-0.5+1.250
15
-2,5
2,5
x=100100 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
-100
100 లేదా -100
1 మరియు - 4.5 సంఖ్యల మధ్య కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఏ పూర్ణాంకాలు ఉన్నాయి
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
అసమానత -25 నిజమా?<-10?
అవును
నం
x≤44, 3, 2 అయితే అన్ని పూర్ణాంకాల xని జాబితా చేయండి
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
పరీక్ష సంఖ్య 3. సంఖ్యల పోలిక
ఎంపిక 1
అసమానతల్లో ఏది తప్పు?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3
-320 -920>
<
=
ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య కంటే 0 సంఖ్య ఎక్కువగా ఉందనేది నిజమేనా?
అవును
నం
సంఖ్య a ప్రతికూలం కాదు. మేము ఈ ప్రకటనను అసమానతగా ఎలా వ్రాయగలము?
a<0a≤0a≥0a>0ఇచ్చిన సంఖ్యలలో అతిపెద్ద సంఖ్యను సూచించండి.
0,16
-3018-0,4
0,01
x యొక్క ఏ సహజ విలువలకు అసమానత x≤44, 3, 2 నిజం?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
y యొక్క ఏ పూర్ణాంక విలువలకు అసమానత y నిజం?<-2?0
-1
0, -1, 1
అలాంటి విలువలు లేవు
సంఖ్యలు -6; -3.8; -115; 0.8 ఉన్నది:
తగ్గుతున్న క్రమంలో
పెరుగుతున్న క్రమంలో
గందరగోళంలో ఉంది
వాతావరణ సూచన రేడియోలో ప్రసారం చేయబడింది: ఉష్ణోగ్రత -20 °Cకి తగ్గుతుందని అంచనా. ఈ సంఘటనను వివరించండి:
అసాధ్యం
విశ్వసనీయమైనది
యాదృచ్ఛికంగా
ఎంపిక 2
అసమానతల్లో ఏది నిజం?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
అసమానత నిజం కావాలంటే ఈ భిన్నాల మధ్య ఏ సంకేతం రాయాలి?
-1315 -715<
>
=
ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య కంటే సంఖ్య 0 తక్కువగా ఉందనేది నిజమేనా?
అవును
నం
x సంఖ్య సున్నా కంటే ఎక్కువ కాదు. మేము ఈ ప్రకటనను అసమానతగా ఎలా వ్రాయగలము?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35 a యొక్క ఏ సహజ విలువలకు అసమానత a≤3 నిజం?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
m యొక్క ఏ పూర్ణాంక విలువలకు అసమానత m నిజమైనది?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
అలాంటి విలువలు లేవు
సంఖ్యలు 1,2; -1.2; -427; -100 ఉన్నది:
గందరగోళంలో ఉంది
పెరుగుతున్న క్రమంలో
తగ్గుతున్న క్రమంలో
పాయింట్ A(5) కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో గుర్తించబడింది. ఈ లైన్‌లో మరో పాయింట్ B యాదృచ్ఛికంగా గుర్తించబడింది. దీని కోఆర్డినేట్ 5కి వ్యతిరేక సంఖ్యగా మారింది. ఈ ఈవెంట్‌ను వివరించండి.
యాదృచ్ఛికంగా
విశ్వసనీయమైనది
అసాధ్యం
సమాధానాలు
పరీక్ష నం. 1 పరీక్ష నం. 2
సంఖ్య. ఎంపిక 1 ఎంపిక 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
సంఖ్య. ఎంపిక 1 ఎంపిక 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4
పరీక్ష సంఖ్య 3
సంఖ్య. ఎంపిక 1 ఎంపిక 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3