రేషనల్ ఇండికేటర్‌తో డిగ్రీ,

పవర్ ఫంక్షన్ IV

§ 71. సున్నా మరియు ప్రతికూల ఘాతాంకాలతో అధికారాలు

§ 69లో మేము దానిని నిరూపించాము (సిద్ధాంతము 2 చూడండి). t > p

(a =/= 0)

ఈ ఫార్ములాను ఎప్పుడనే సందర్భానికి పొడిగించాలనుకోవడం చాలా సహజం టి < పి . కానీ అప్పుడు సంఖ్య t - p ప్రతికూలంగా లేదా సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. ఎ. మేము ఇప్పటివరకు సహజ ఘాతాంకాలతో డిగ్రీల గురించి మాత్రమే మాట్లాడాము. అందువల్ల, సున్నా మరియు ప్రతికూల ఘాతాంకాలతో వాస్తవ సంఖ్యల శక్తులను పరిగణనలోకి తీసుకోవలసిన అవసరాన్ని మనం ఎదుర్కొంటున్నాము.

నిర్వచనం 1. ఏదైనా సంఖ్య ఎ , కాదు సున్నాకి సమానం, సున్నా శక్తికి ఒకదానికి సమానం, అంటే, ఎప్పుడు ఎ =/= 0

ఎ 0 = 1. (1)

ఉదాహరణకు, (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. సంఖ్య 0కి సున్నా డిగ్రీ లేదు, అంటే 0 0 అనే వ్యక్తీకరణ నిర్వచించబడలేదు.

నిర్వచనం 2. ఉంటే ఎ=/= 0 మరియు పి - సహజ సంఖ్య, ఆ

ఎ - n = 1 /a n (2)

అంటే పూర్ణాంకంతో సున్నాకి సమానం కాని ఏదైనా సంఖ్య యొక్క శక్తి ప్రతికూల సూచికభిన్నానికి సమానం, దాని యొక్క లవం ఒకటి, మరియు హారం అదే సంఖ్య a యొక్క శక్తి, కానీ ఇచ్చిన శక్తికి వ్యతిరేక ఘాతాంకం కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణకి,

ఈ నిర్వచనాలను అంగీకరించిన తరువాత, ఎప్పుడు అని నిరూపించవచ్చు a =/= 0, ఫార్ములా

ఏదైనా సహజ సంఖ్యలకు నిజం టి మరియు n , మరియు కేవలం కోసం కాదు t > p . దీన్ని నిరూపించడానికి, రెండు కేసులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మాత్రమే సరిపోతుంది: t = n మరియు టి< .п , కేసు నుండి m > n ఇప్పటికే § 69లో చర్చించబడింది.

వీలు t = n ; అప్పుడు . అంటే, ఎడమ వైపుసమానత్వం (3) 1కి సమానం. వద్ద కుడివైపు t = n అవుతుంది

ఎ m - n = ఎ n - n = ఎ 0 .

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం ఎ 0 = 1. అందువలన, సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు (3) కూడా 1కి సమానం. కాబట్టి, ఎప్పుడు t = n ఫార్ములా (3) సరైనది.

ఇప్పుడు అదే అనుకుందాం టి< п . భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం ద్వారా విభజించండి ఎ m , మాకు దొరికింది:

ఎందుకంటే n > t , ఆ . అందుకే . ప్రతికూల ఘాతాంకంతో శక్తి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, మనం వ్రాయవచ్చు .

అయితే ఎప్పుడు , ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది. ఫార్ములా (3) ఇప్పుడు ఏదైనా సహజ సంఖ్యలకు నిరూపించబడింది టి మరియు పి .

వ్యాఖ్య. ప్రతికూల ఘాతాంకాలు హారం లేకుండా భిన్నాలను వ్రాయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. ఉదాహరణకి,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; అస్సలు, a / బి = ఒక బి - 1

అయితే, ఈ సంజ్ఞామానంతో భిన్నాలు పూర్ణ సంఖ్యలుగా మారుతాయని మీరు అనుకోకూడదు. ఉదాహరణకు, 3 - 1 అనేది 1/3, 2 5కి సమానమైన భిన్నం - 1 అనేది 2/5 మొదలైన వాటికి సమానమైన భిన్నం.

వ్యాయామాలు

529. లెక్కించు:

530. హారం లేకుండా భిన్నాన్ని వ్రాయండి:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. ప్రతికూల ఘాతాంకాలను ఉపయోగించి ఈ దశాంశ భిన్నాలను పూర్తి వ్యక్తీకరణల రూపంలో వ్రాయండి:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

మొదటి స్థాయి

డిగ్రీ మరియు దాని లక్షణాలు. సమగ్ర గైడ్ (2019)

డిగ్రీలు ఎందుకు అవసరం? మీకు అవి ఎక్కడ అవసరం? వాటిని అధ్యయనం చేయడానికి మీరు ఎందుకు సమయాన్ని వెచ్చించాలి?

డిగ్రీలు, అవి దేని కోసం, మీ జ్ఞానాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలి అనే విషయాల గురించి ప్రతిదీ తెలుసుకోవడానికి రోజువారీ జీవితంలోఈ కథనాన్ని చదవండి.

మరియు, వాస్తవానికి, డిగ్రీల జ్ఞానం మిమ్మల్ని విజయానికి దగ్గరగా తీసుకువస్తుంది OGE ఉత్తీర్ణతలేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మరియు మీ కలల విశ్వవిద్యాలయంలో ప్రవేశం.

వెళ్దాం... (వెళ్దాం!)

ముఖ్య గమనిక! మీరు ఫార్ములాలకు బదులుగా గోబ్లెడీగూక్‌ని చూసినట్లయితే, మీ కాష్‌ని క్లియర్ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, CTRL+F5 (Windowsలో) లేదా Cmd+R (Macలో) నొక్కండి.

మొదటి స్థాయి

ఒక శక్తికి ఎదగడం ఒకటే గణిత ఆపరేషన్కూడిక, తీసివేత, గుణకారం లేదా భాగహారం వంటివి.

ఇప్పుడు నేను ప్రతిదీ వివరిస్తాను మానవ భాషచాలా సాధారణ ఉదాహరణలు. జాగ్రత్త. ఉదాహరణలు ప్రాథమికమైనవి, కానీ ముఖ్యమైన విషయాలను వివరించండి.

అదనంగా ప్రారంభిద్దాం.

ఇక్కడ వివరించడానికి ఏమీ లేదు. మీకు ఇప్పటికే ప్రతిదీ తెలుసు: మాలో ఎనిమిది మంది ఉన్నారు. అందరి దగ్గర రెండు కోలా సీసాలు ఉంటాయి. ఎంత కోలా ఉంది? అది నిజం - 16 సీసాలు.

ఇప్పుడు గుణకారం.

కోలాతో అదే ఉదాహరణను విభిన్నంగా వ్రాయవచ్చు: . గణిత శాస్త్రవేత్తలు జిత్తులమారి మరియు సోమరి వ్యక్తులు. వారు మొదట కొన్ని నమూనాలను గమనిస్తారు, ఆపై వాటిని వేగంగా "లెక్కించడానికి" ఒక మార్గాన్ని కనుగొంటారు. మా విషయంలో, ఎనిమిది మందిలో ప్రతి ఒక్కరికి ఒకే సంఖ్యలో కోలా సీసాలు ఉన్నాయని వారు గమనించారు మరియు గుణకారం అనే సాంకేతికతను కనుగొన్నారు. అంగీకరిస్తున్నారు, ఇది కంటే సులభంగా మరియు వేగంగా పరిగణించబడుతుంది.

కాబట్టి, వేగంగా, సులభంగా మరియు లోపాలు లేకుండా లెక్కించడానికి, మీరు కేవలం గుర్తుంచుకోవాలి గుణకార పట్టిక. వాస్తవానికి, మీరు ప్రతిదీ నెమ్మదిగా, మరింత కష్టంగా మరియు తప్పులతో చేయవచ్చు! కానీ…

ఇక్కడ గుణకారం పట్టిక ఉంది. పునరావృతం చేయండి.

మరియు మరొకటి, మరింత అందమైనది:

సోమరితనం గల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఏ ఇతర తెలివైన లెక్కింపు ఉపాయాలను కనుగొన్నారు? కుడి- సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం.

సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం

మీరు ఒక సంఖ్యను ఐదుసార్లు గుణించవలసి వస్తే, మీరు ఆ సంఖ్యను ఐదవ శక్తికి పెంచాలని గణిత శాస్త్రవేత్తలు అంటున్నారు. ఉదాహరణకి, . గణిత శాస్త్రజ్ఞులు రెండు నుండి ఐదవ శక్తికి గుర్తు... మరియు వారు వారి తలలలో ఇటువంటి సమస్యలను పరిష్కరిస్తారు - వేగంగా, సులభంగా మరియు తప్పులు లేకుండా.

మీరు చేయాల్సిందల్లా సంఖ్యల శక్తుల పట్టికలో రంగులో హైలైట్ చేయబడిన వాటిని గుర్తుంచుకోండి. నన్ను నమ్మండి, ఇది మీ జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది.

మార్గం ద్వారా, దీనిని రెండవ డిగ్రీ అని ఎందుకు పిలుస్తారు? చతురస్రంసంఖ్యలు మరియు మూడవది - క్యూబ్? దాని అర్థం ఏమిటి? చాలా మంచి ప్రశ్న. ఇప్పుడు మీకు చతురస్రాలు మరియు ఘనాల రెండూ ఉంటాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #1

సంఖ్య యొక్క స్క్వేర్ లేదా రెండవ శక్తితో ప్రారంభిద్దాం.

ఒక చతురస్రాకారపు కొలను ఒక మీటరుకు ఒక మీటరుతో కొలిచినట్లు ఊహించండి. కొలను మీ డాచా వద్ద ఉంది. ఇది వేడిగా ఉంది మరియు నేను నిజంగా ఈత కొట్టాలనుకుంటున్నాను. కానీ... కొలనుకి అడుగు లేదు! మీరు పూల్ దిగువన పలకలతో కప్పాలి. మీకు ఎన్ని పలకలు అవసరం? దీన్ని గుర్తించడానికి, మీరు పూల్ దిగువ ప్రాంతాన్ని తెలుసుకోవాలి.

పూల్ దిగువన మీటర్ మీటర్ క్యూబ్‌లు ఉన్నాయని మీ వేలిని చూపడం ద్వారా మీరు లెక్కించవచ్చు. మీరు ఒక మీటర్ నుండి ఒక మీటర్ టైల్స్ కలిగి ఉంటే, మీకు ముక్కలు అవసరం. ఇది సులభం ... కానీ మీరు అలాంటి పలకలను ఎక్కడ చూశారు? టైల్ ఎక్కువగా సెం.మీ ఉంటుంది మరియు మీరు "మీ వేలితో లెక్కించడం" ద్వారా హింసించబడతారు. అప్పుడు మీరు గుణించాలి. కాబట్టి, పూల్ దిగువన ఒక వైపున మేము టైల్స్ (ముక్కలు) మరియు మరొకదానిపై కూడా టైల్స్ సరిపోతాము. ద్వారా గుణించండి మరియు మీరు పలకలను పొందుతారు ().

పూల్ బాటమ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి మేము అదే సంఖ్యను స్వయంగా గుణించామని మీరు గమనించారా? దాని అర్థం ఏమిటి? మనం ఒకే సంఖ్యను గుణించడం వలన, మనం "ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్" టెక్నిక్‌ని ఉపయోగించవచ్చు. (వాస్తవానికి, మీకు రెండు సంఖ్యలు మాత్రమే ఉన్నప్పుడు, మీరు వాటిని గుణించాలి లేదా వాటిని శక్తికి పెంచాలి. కానీ మీరు వాటిని చాలా కలిగి ఉంటే, వాటిని శక్తికి పెంచడం చాలా సులభం మరియు గణనలలో తక్కువ లోపాలు కూడా ఉన్నాయి. . ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం, ఇది చాలా ముఖ్యమైనది).
కాబట్టి, ముప్పై నుండి రెండవ శక్తి () అవుతుంది. లేదా ముప్పై స్క్వేర్డ్ అవుతుందని చెప్పవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిని ఎల్లప్పుడూ చతురస్రం వలె సూచించవచ్చు. మరియు వైస్ వెర్సా, మీరు ఒక చతురస్రాన్ని చూసినట్లయితే, అది ఎల్లప్పుడూ కొంత సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిగా ఉంటుంది. చతురస్రం అనేది సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తి యొక్క చిత్రం.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #2

మీ కోసం ఇక్కడ ఒక పని ఉంది: సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఉపయోగించి చదరంగం బోర్డులో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయో లెక్కించండి... సెల్‌ల యొక్క ఒక వైపు మరియు మరొక వైపు కూడా. వారి సంఖ్యను లెక్కించడానికి, మీరు ఎనిమిదిని ఎనిమిదితో గుణించాలి లేదా... చదరంగం బోర్డ్ ఒక వైపు ఉన్న చతురస్రం అని మీరు గమనించినట్లయితే, మీరు ఎనిమిదికి వర్గీకరించవచ్చు. మీరు కణాలు పొందుతారు. () కాబట్టి?

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #3

ఇప్పుడు సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ లేదా మూడవ శక్తి. అదే కొలను. కానీ ఇప్పుడు మీరు ఈ కొలనులో ఎంత నీరు పోయవలసి ఉంటుందో తెలుసుకోవాలి. మీరు వాల్యూమ్ను లెక్కించాలి. (వాల్యూమ్‌లు మరియు ద్రవాలు, మార్గం ద్వారా, కొలుస్తారు క్యూబిక్ మీటర్లు. ఊహించనిది, సరియైనదా?) ఒక కొలను గీయండి: ఒక మీటర్ మరియు మీటరు లోతును కొలిచే దిగువన మరియు మీ పూల్‌కి మీటరుకు మీటర్ కొలిచే క్యూబ్‌లు ఎన్ని సరిపోతాయో లెక్కించడానికి ప్రయత్నించండి.

మీ వేలు చూపించి లెక్కించండి! ఒకటి, రెండు, మూడు, నాలుగు... ఇరవై రెండు, ఇరవై మూడు... మీకు ఎన్ని వచ్చాయి? ఓడిపోలేదా? వేలితో లెక్కించడం కష్టమా? అందువలన! గణిత శాస్త్రజ్ఞుల నుండి ఒక ఉదాహరణ తీసుకోండి. వారు సోమరితనం, కాబట్టి పూల్ యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించేందుకు, మీరు దాని పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తును ఒకదానికొకటి గుణించాలి అని వారు గమనించారు. మా విషయంలో, పూల్ యొక్క వాల్యూమ్ ఘనాలకి సమానంగా ఉంటుంది... సులభం, సరియైనదా?

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీన్ని కూడా సరళీకృతం చేస్తే ఎంత సోమరితనం మరియు మోసపూరితంగా ఉంటారో ఇప్పుడు ఊహించండి. మేము అన్నింటినీ ఒక చర్యకు తగ్గించాము. పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు సమానంగా ఉండటం మరియు అదే సంఖ్యను స్వయంగా గుణించడం గమనించారు... దీని అర్థం ఏమిటి? దీని అర్థం మీరు డిగ్రీని సద్వినియోగం చేసుకోవచ్చు. కాబట్టి, మీరు ఒకసారి మీ వేలితో ఏమి లెక్కించారో, వారు ఒక చర్యలో చేస్తారు: మూడు క్యూబ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి. ఇది ఇలా వ్రాయబడింది: .

ఇక మిగిలింది ఒక్కటే డిగ్రీల పట్టికను గుర్తుంచుకోండి. తప్ప, మీరు గణిత శాస్త్రవేత్తల వలె సోమరితనం మరియు మోసపూరితంగా ఉంటారు. మీరు కష్టపడి తప్పులు చేయడానికి ఇష్టపడితే, మీరు మీ వేలితో లెక్కించడం కొనసాగించవచ్చు.

సరే, డిగ్రీలు విడిచిపెట్టేవారు మరియు మోసపూరిత వ్యక్తులు తమ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి డిగ్రీలు కనుగొన్నారని చివరకు మిమ్మల్ని ఒప్పించేందుకు జీవిత సమస్యలు, మరియు మీ కోసం సమస్యలను సృష్టించడానికి కాదు, ఇక్కడ జీవితం నుండి మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #4

మీకు మిలియన్ రూబిళ్లు ఉన్నాయి. ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో, మీరు సంపాదించే ప్రతి మిలియన్ కోసం, మీరు మరొక మిలియన్ సంపాదిస్తారు. అంటే, ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో మీ వద్ద ఉన్న ప్రతి మిలియన్ రెండింతలు. సంవత్సరాలలో మీ వద్ద ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? మీరు ఇప్పుడు కూర్చుని "మీ వేలితో లెక్కపెడుతుంటే" మీరు చాలా ఉన్నారని అర్థం కష్టపడి పనిచేసే మనిషిమరియు.. స్టుపిడ్. కానీ చాలా మటుకు మీరు కొన్ని సెకన్లలో సమాధానం ఇస్తారు, ఎందుకంటే మీరు తెలివైనవారు! కాబట్టి, మొదటి సంవత్సరంలో - రెండు రెండిటితో గుణించబడింది ... రెండవ సంవత్సరంలో - ఏమి జరిగింది, మరో రెండు, మూడవ సంవత్సరంలో ... ఆపు! ఆ సంఖ్య దానికదే రెట్లు గుణించబడుతుందని మీరు గమనించారు. కాబట్టి రెండు నుండి ఐదవ శక్తి ఒక మిలియన్! ఇప్పుడు మీకు పోటీ ఉందని ఊహించుకోండి మరియు వేగంగా లెక్కించగల వ్యక్తి ఈ మిలియన్లను పొందుతాడు ... ఇది సంఖ్యల శక్తులను గుర్తుంచుకోవడం విలువైనది, మీరు అనుకోలేదా?

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #5

మీ దగ్గర మిలియన్ ఉంది. ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో, మీరు సంపాదించే ప్రతి మిలియన్‌కు, మీరు మరో రెండు సంపాదిస్తారు. గొప్పది కాదా? ప్రతి మిలియన్ మూడు రెట్లు. ఒక సంవత్సరంలో మీ దగ్గర ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? లెక్క తీసుకుందాం. మొదటి సంవత్సరం - గుణించండి, ఆపై ఫలితం మరొక దానితో... ఇది ఇప్పటికే బోరింగ్, ఎందుకంటే మీరు ఇప్పటికే ప్రతిదీ అర్థం చేసుకున్నారు: మూడు దానికదే రెట్లు గుణించబడుతుంది. కాబట్టి నాల్గవ శక్తికి అది మిలియన్‌కు సమానం. మీరు కేవలం మూడు నుండి నాల్గవ శక్తి లేదా అని గుర్తుంచుకోవాలి.

సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం ద్వారా మీరు మీ జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తారని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు. మీరు డిగ్రీలతో ఏమి చేయవచ్చు మరియు వాటి గురించి మీరు తెలుసుకోవలసిన వాటిని మరింత పరిశీలిద్దాం.

నిబంధనలు మరియు భావనలు... గందరగోళానికి గురికాకుండా ఉండేందుకు

కాబట్టి, మొదట, భావనలను నిర్వచించండి. మీరు ఏమనుకుంటున్నారు, ఘాతాంకం అంటే ఏమిటి? ఇది చాలా సులభం - ఇది సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క "ఎగువ భాగంలో" ఉన్న సంఖ్య. శాస్త్రీయమైనది కాదు, కానీ స్పష్టంగా మరియు సులభంగా గుర్తుంచుకోవడానికి...

బాగా, అదే సమయంలో, ఏమి అటువంటి డిగ్రీ ఆధారంగా? మరింత సరళమైనది - ఇది దిగువన, బేస్ వద్ద ఉన్న సంఖ్య.

మంచి కొలత కోసం ఇక్కడ డ్రాయింగ్ ఉంది.

బాగా లోపలికి సాధారణ వీక్షణ, సాధారణీకరించడానికి మరియు మెరుగ్గా గుర్తుంచుకోవడానికి... బేస్ “ ” మరియు ఘాతాంకం “ ” ఉన్న డిగ్రీని “డిగ్రీకి” అని చదవండి మరియు ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:

సంఖ్య యొక్క శక్తి c సహజ సూచిక

మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఊహించి ఉండవచ్చు: ఎందుకంటే ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య. అవును, కానీ అది ఏమిటి సహజ సంఖ్య? ప్రాథమిక! సహజ సంఖ్యలు వస్తువులను జాబితా చేసేటప్పుడు లెక్కించడంలో ఉపయోగించే ఆ సంఖ్యలు: ఒకటి, రెండు, మూడు... మనం వస్తువులను లెక్కించినప్పుడు, మనం చెప్పము: “మైనస్ ఐదు,” “మైనస్ ఆరు,” “మైనస్ ఏడు.” మేము కూడా చెప్పము: "మూడవ వంతు", లేదా "సున్నా పాయింట్ ఐదు". ఇవి సహజ సంఖ్యలు కావు. ఇవి ఏ సంఖ్యలు అని మీరు అనుకుంటున్నారు?

"మైనస్ ఐదు", "మైనస్ ఆరు", "మైనస్ ఏడు" వంటి సంఖ్యలు సూచిస్తాయి మొత్తం సంఖ్యలు.సాధారణంగా, పూర్ణాంకాలలో అన్ని సహజ సంఖ్యలు, సహజ సంఖ్యలకు వ్యతిరేక సంఖ్యలు (అంటే మైనస్ గుర్తుతో తీసుకోబడినవి) మరియు సంఖ్య ఉంటాయి. సున్నా అర్థం చేసుకోవడం సులభం - అది ఏమీ లేనప్పుడు. ప్రతికూల ("మైనస్") సంఖ్యల అర్థం ఏమిటి? కానీ అవి ప్రధానంగా అప్పులను సూచించడానికి కనుగొనబడ్డాయి: మీరు మీ ఫోన్‌లో రూబిళ్లు బ్యాలెన్స్ కలిగి ఉంటే, మీరు ఆపరేటర్ రూబిళ్లు రుణపడి ఉంటారని దీని అర్థం.

అన్ని భిన్నాలు ఉన్నాయి హేతుబద్ధ సంఖ్యలు. అవి ఎలా పుట్టుకొచ్చాయి, మీరు అనుకుంటున్నారా? చాలా సింపుల్. అనేక వేల సంవత్సరాల క్రితం, మన పూర్వీకులు పొడవు, బరువు, ప్రాంతం మొదలైనవాటిని కొలవడానికి సహజ సంఖ్యలు లేవని కనుగొన్నారు. మరియు వారు ముందుకు వచ్చారు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు... ఆసక్తికరంగా ఉంది, కాదా?

మరి కొన్ని ఉన్నాయా అకరణీయ సంఖ్యలు. ఈ సంఖ్యలు ఏమిటి? సంక్షిప్తంగా, అంతులేనిది దశాంశ. ఉదాహరణకు, మీరు ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను దాని వ్యాసంతో భాగిస్తే, మీరు అహేతుక సంఖ్యను పొందుతారు.

సారాంశం:

ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య (అంటే పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మకం) అయిన డిగ్రీ భావనను నిర్వచిద్దాం.

1. మొదటి శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య దానికి సమానం:
2. సంఖ్యను వర్గీకరించడం అంటే దానిని దానితో గుణించడం:
3. సంఖ్యను క్యూబ్ చేయడం అంటే దానిని మూడుసార్లు గుణించడం:

నిర్వచనం.సంఖ్యను సహజ శక్తికి పెంచడం అంటే సంఖ్యను దానికదే రెట్లు గుణించడం:
.

డిగ్రీల లక్షణాలు

ఈ ఆస్తులు ఎక్కడి నుంచి వచ్చాయి? నేను ఇప్పుడు మీకు చూపిస్తాను.

చూద్దాం: అది ఏమిటి మరియు ?

A-ప్రియరీ:

మొత్తం ఎన్ని గుణకాలు ఉన్నాయి?

ఇది చాలా సులభం: మేము కారకాలకు మల్టిప్లైయర్‌లను జోడించాము మరియు ఫలితం గుణకాలు.

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి, అంటే: , ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఉదాహరణ: వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం:

ఉదాహరణ:వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం:మన పాలనలో గమనించాల్సిన విషయం తప్పనిసరిగాఅవే కారణాలు ఉండాలి!
అందువల్ల, మేము శక్తులను బేస్తో కలుపుతాము, కానీ ఇది ఒక ప్రత్యేక కారకంగా మిగిలిపోయింది:

అధికారాల ఉత్పత్తికి మాత్రమే!

ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అలా రాయకూడదు.

2. అంతే సంఖ్య యొక్క శక్తి

మునుపటి ఆస్తి వలె, డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం:

వ్యక్తీకరణ తనంతట తానుగా రెట్లు గుణించబడిందని తేలింది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సంఖ్య యొక్క వ శక్తి:

సారాంశంలో, దీనిని "బ్రాకెట్ల నుండి సూచికను తీసుకోవడం" అని పిలుస్తారు. కానీ మీరు దీన్ని పూర్తిగా ఎప్పటికీ చేయలేరు:

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి: మనం ఎన్నిసార్లు వ్రాయాలనుకుంటున్నాము?

కానీ ఇది నిజం కాదు, అన్ని తరువాత.

ప్రతికూల ఆధారంతో శక్తి

ఈ పాయింట్ వరకు, మేము ఘాతాంకం ఏమిటో మాత్రమే చర్చించాము.

అయితే ఏది ఆధారం కావాలి?

అధికారాలలో సహజ సూచికఆధారం కావచ్చు ఏదైనా సంఖ్య. వాస్తవానికి, మనం ఏదైనా సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు, అవి సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సమానంగా ఉంటాయి.

ఏ సంకేతాలు ("" లేదా "") సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయో ఆలోచిద్దాం?

ఉదాహరణకు, సంఖ్య సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా? ఎ? ? మొదటిదానితో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మనం ఎన్ని సానుకూల సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినా, ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

కానీ ప్రతికూలమైనవి కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. మేము 6వ తరగతి నుండి సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము: "మైనస్ కోసం మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది." అంటే, లేదా. కానీ మనం గుణిస్తే, అది పని చేస్తుంది.

కింది వ్యక్తీకరణలు ఏ సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయో మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

మీరు నిర్వహించారా?

ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి: మొదటి నాలుగు ఉదాహరణలలో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? మేము కేవలం బేస్ మరియు ఘాతాంకాన్ని చూసి తగిన నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ఉదాహరణ 5) ప్రతిదీ కూడా కనిపించేంత భయానకంగా లేదు: అన్నింటికంటే, బేస్ దేనికి సమానం అనేది పట్టింపు లేదు - డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది, అంటే ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

బాగా, బేస్ సున్నా ఉన్నప్పుడు తప్ప. ఆధారం సమానంగా లేదు, అవునా? స్పష్టంగా లేదు, నుండి (ఎందుకంటే).

ఉదాహరణ 6) ఇకపై అంత సులభం కాదు!

సాధన చేయడానికి 6 ఉదాహరణలు

పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ 6 ఉదాహరణలు

మనం ఎనిమిదవ శక్తిని విస్మరిస్తే, మనం ఇక్కడ ఏమి చూస్తాము? 7వ తరగతి కార్యక్రమం గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం. కాబట్టి, మీకు గుర్తుందా? ఇది సంక్షిప్త గుణకారానికి సూత్రం, అవి వర్గాల వ్యత్యాసం! మాకు దొరికింది:

హారం జాగ్రత్తగా చూద్దాం. ఇది చాలా న్యూమరేటర్ కారకాలలో ఒకటిగా కనిపిస్తోంది, కానీ తప్పు ఏమిటి? నిబంధనల క్రమం తప్పు. అవి రివర్స్ అయితే, నియమం వర్తించవచ్చు.

కానీ అది ఎలా చేయాలి? ఇది చాలా సులభం అని తేలింది: హారం యొక్క సరి స్థాయి ఇక్కడ మాకు సహాయపడుతుంది.

అద్భుతంగా నిబంధనలు స్థలాలను మార్చాయి. ఈ "దృగ్విషయం" ఏదైనా వ్యక్తీకరణకు సమాన స్థాయికి వర్తిస్తుంది: మనం కుండలీకరణాల్లోని సంకేతాలను సులభంగా మార్చవచ్చు.

కానీ గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం: అన్ని సంకేతాలు ఒకే సమయంలో మారుతాయి!

ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం:

మరియు మళ్ళీ సూత్రం:

మొత్తంమేము సహజ సంఖ్యలను, వాటి వ్యతిరేకతలను (అంటే, "" గుర్తుతో తీసుకున్న) మరియు సంఖ్య అని పిలుస్తాము.

మొత్తం సానుకూల సంఖ్య , మరియు ఇది సహజంగా భిన్నంగా లేదు, అప్పుడు ప్రతిదీ మునుపటి విభాగంలో సరిగ్గా కనిపిస్తుంది.

ఇప్పుడు కొత్త కేసులను చూద్దాం. సమానమైన సూచికతో ప్రారంభిద్దాం.

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం:

ఎప్పటిలాగే, మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుందాం: ఇది ఎందుకు?

బేస్ తో కొంత డిగ్రీని పరిశీలిద్దాం. ఉదాహరణకు తీసుకోండి మరియు దీని ద్వారా గుణించండి:

కాబట్టి, మేము సంఖ్యను గుణించాము మరియు మనకు అదే విషయం వచ్చింది - . ఏమీ మారకుండా మీరు ఏ సంఖ్యతో గుణించాలి? అది నిజం, న. అర్థం.

మేము ఏకపక్ష సంఖ్యతో అదే విధంగా చేయవచ్చు:

నియమాన్ని పునరావృతం చేద్దాం:

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం.

కానీ చాలా నియమాలకు మినహాయింపులు ఉన్నాయి. మరియు ఇక్కడ అది కూడా ఉంది - ఇది ఒక సంఖ్య (ఆధారంగా).

ఒక వైపు, అది ఏ డిగ్రీకి సమానంగా ఉండాలి - మీరు సున్నాని దానితో ఎంత గుణించినా, మీరు ఇప్పటికీ సున్నాని పొందుతారు, ఇది స్పష్టంగా ఉంది. కానీ మరోవైపు, సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య వలె, అది తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి. అయితే ఇందులో నిజం ఎంత? గణిత శాస్త్రవేత్తలు జోక్యం చేసుకోకూడదని నిర్ణయించుకున్నారు మరియు సున్నాని పెంచడానికి నిరాకరించారు సున్నా డిగ్రీ. అంటే, ఇప్పుడు మనం సున్నాతో విభజించడమే కాదు, దానిని సున్నా శక్తికి కూడా పెంచలేము.

ముందుకు వెళ్దాం. సహజ సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలతో పాటు, పూర్ణాంకాలు ప్రతికూల సంఖ్యలను కూడా కలిగి ఉంటాయి. నెగటివ్ డిగ్రీ అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి, ఇలా చేద్దాం చివరిసారి: కొన్నింటిని గుణించండి సాధారణ సంఖ్యఅదే ప్రతికూల స్థాయికి:

ఇక్కడ నుండి మీరు వెతుకుతున్న దాన్ని వ్యక్తీకరించడం సులభం:

ఇప్పుడు ఫలిత నియమాన్ని ఏకపక్ష స్థాయికి పొడిగిద్దాం:

కాబట్టి, ఒక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం:

ప్రతికూల శక్తి ఉన్న సంఖ్య సానుకూల శక్తితో అదే సంఖ్యకు పరస్పరం. కానీ అదే సమయంలో ఆధారం శూన్యంగా ఉండకూడదు:(ఎందుకంటే మీరు విభజించలేరు).

సారాంశం చేద్దాం:

I. సందర్భంలో వ్యక్తీకరణ నిర్వచించబడలేదు. ఒకవేళ, అప్పుడు.

II. సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం: .

III. ప్రతికూల శక్తికి సున్నాకి సమానం కాని సంఖ్య సానుకూల శక్తికి అదే సంఖ్య యొక్క విలోమం: .

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం విధులు:

బాగా, ఎప్పటిలాగే, స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు:

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం సమస్యల విశ్లేషణ:

నాకు తెలుసు, నాకు తెలుసు, సంఖ్యలు భయానకంగా ఉన్నాయి, కానీ ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో మీరు దేనికైనా సిద్ధంగా ఉండాలి! మీరు వాటిని పరిష్కరించలేకపోతే ఈ ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి లేదా వాటి పరిష్కారాలను విశ్లేషించండి మరియు మీరు పరీక్షలో వాటిని సులభంగా ఎదుర్కోవడం నేర్చుకుంటారు!

"సరిపోయే" సంఖ్యల పరిధిని ఘాతాంకం వలె విస్తరించడాన్ని కొనసాగిద్దాం.

ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం హేతుబద్ధ సంఖ్యలు.ఏ సంఖ్యలను హేతుబద్ధం అంటారు?

సమాధానం: ఒక భిన్నం వలె సూచించబడే ప్రతిదీ, ఎక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు, మరియు.

అది ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి "పాక్షిక డిగ్రీ", భిన్నాన్ని పరిగణించండి:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా శక్తికి పెంచుదాం:

ఇప్పుడు నియమాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం "డిగ్రీ నుండి డిగ్రీ":

పొందడానికి ఏ సంఖ్యను శక్తికి పెంచాలి?

ఈ సూత్రీకరణ వ డిగ్రీ యొక్క మూలం యొక్క నిర్వచనం.

నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: సంఖ్య () యొక్క వ శక్తి యొక్క మూలం, ఒక శక్తికి పెంచబడినప్పుడు, దానికి సమానంగా ఉండే సంఖ్య.

అంటే, వ శక్తి యొక్క మూలం శక్తికి పెంచే విలోమ చర్య: .

అని తేలుతుంది. స్పష్టంగా ఇది ప్రత్యేక సంధర్భంవిస్తరించవచ్చు: .

ఇప్పుడు మేము న్యూమరేటర్‌ను జోడిస్తాము: ఇది ఏమిటి? పవర్-టు-పవర్ నియమాన్ని ఉపయోగించి సమాధానం పొందడం సులభం:

కానీ ఆధారం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు? అన్ని తరువాత, అన్ని సంఖ్యల నుండి రూట్ సంగ్రహించబడదు.

ఏదీ లేదు!

మనం నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: సమాన శక్తికి పెంచబడిన ఏదైనా సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య. అంటే, ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి మూలాలను కూడా సంగ్రహించడం అసాధ్యం!

దీనర్థం అటువంటి సంఖ్యలను సమాన హారంతో పాక్షిక శక్తికి పెంచడం సాధ్యం కాదు, అంటే వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదు.

వ్యక్తీకరణ గురించి ఏమిటి?

అయితే ఇక్కడ ఒక సమస్య తలెత్తుతుంది.

సంఖ్యను ఇతర, తగ్గించదగిన భిన్నాల రూపంలో సూచించవచ్చు, ఉదాహరణకు, లేదా.

మరియు అది ఉనికిలో ఉంది, కానీ ఉనికిలో లేదు, కానీ ఇవి కేవలం రెండు మాత్రమే వివిధ ఎంట్రీలుఅదే సంఖ్య.

లేదా మరొక ఉదాహరణ: ఒకసారి, మీరు దానిని వ్రాయవచ్చు. కానీ మేము సూచికను భిన్నంగా వ్రాస్తే, మేము మళ్ళీ ఇబ్బందుల్లో పడతాము: (అంటే, మాకు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితం వచ్చింది!).

అటువంటి వైరుధ్యాలను నివారించడానికి, మేము పరిశీలిస్తాము పాక్షిక ఘాతాంకంతో ధనాత్మక మూల ఘాతాంకం మాత్రమే.

కనుక:

• - సహజ సంఖ్య;
• - పూర్ణ సంఖ్య;

ఉదాహరణలు:

తో డిగ్రీలు హేతుబద్ధమైన సూచికమూలాలతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు:

సాధన చేయడానికి 5 ఉదాహరణలు

శిక్షణ కోసం 5 ఉదాహరణల విశ్లేషణ

బాగా, ఇప్పుడు కష్టతరమైన భాగం వస్తుంది. ఇప్పుడు మేము దానిని గుర్తించాము అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.

ఇక్కడ ఉన్న డిగ్రీల యొక్క అన్ని నియమాలు మరియు లక్షణాలు మినహాయించి, హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీకి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి

అన్నింటికంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, అకరణీయ సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించబడని సంఖ్యలు, ఇక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు (అనగా, అహేతుక సంఖ్యలు హేతుబద్ధమైన వాటిని మినహాయించి అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు).

సహజ, పూర్ణాంకం మరియు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో డిగ్రీలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ప్రతిసారీ మేము ఒక నిర్దిష్ట "చిత్రం", "సారూప్యత" లేదా వివరణను మరింత సుపరిచితమైన పదాలలో సృష్టించాము.

ఉదాహరణకు, సహజ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ అనేది అనేక సార్లు దానితో గుణించబడిన సంఖ్య;

...సున్నా శక్తికి సంఖ్య- ఇది, ఒక సారి స్వయంగా గుణించిన సంఖ్య, అనగా, వారు ఇంకా దానిని గుణించడం ప్రారంభించలేదు, అంటే ఆ సంఖ్య ఇంకా కనిపించలేదు - కాబట్టి ఫలితం ఒక నిర్దిష్ట “ఖాళీ సంఖ్య” మాత్రమే. , అవి ఒక సంఖ్య;

...ప్రతికూల పూర్ణాంకం డిగ్రీ- ఏదో జరిగినట్లు ఉంది" రివర్స్ ప్రక్రియ", అంటే, సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడలేదు, కానీ విభజించబడింది.

మార్గం ద్వారా, సైన్స్‌లో డిగ్రీ సంక్లిష్ట సూచిక, అంటే, సూచిక కూడా కాదు వాస్తవ సంఖ్య.

కానీ పాఠశాలలో మేము అలాంటి ఇబ్బందుల గురించి ఆలోచించము;

మీరు ఎక్కడికి వెళ్తారని మేము ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాము! (మీరు అలాంటి ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటే :))

ఉదాహరణకి:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

పరిష్కారాల విశ్లేషణ:

1. శక్తికి శక్తిని పెంచడానికి సాధారణ నియమంతో ప్రారంభిద్దాం:

ఇప్పుడు సూచిక చూడండి. అతను మీకు ఏమీ గుర్తు చేయలేదా? చతురస్రాల వ్యత్యాసం యొక్క సంక్షిప్త గుణకారం కోసం సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:

ఈ విషయంలో,

ఇది ఇలా మారుతుంది:

సమాధానం: .

2. మేము ఘాతాంకాలలో భిన్నాలను ఒకే రూపంలోకి తగ్గిస్తాము: రెండు దశాంశాలు లేదా రెండూ సాధారణమైనవి. మేము పొందుతాము, ఉదాహరణకు:

సమాధానం: 16

3. ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, మేము డిగ్రీల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:

అధునాతన స్థాయి

డిగ్రీ నిర్ధారణ

డిగ్రీ అనేది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ: , ఎక్కడ:

• — డిగ్రీ బేస్;
• - ఘాతాంకం.

సహజ సూచికతో డిగ్రీ (n = 1, 2, 3,...)

సంఖ్యను సహజ శక్తి nకి పెంచడం అంటే సంఖ్యను దానికదే రెట్లు గుణించడం:

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ (0, ±1, ±2,...)

ఘాతాంకం ఉంటే ధన పూర్ణాంకంసంఖ్య:

నిర్మాణం సున్నా డిగ్రీకి:

వ్యక్తీకరణ నిరవధికంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే, ఒక వైపు, ఏ స్థాయికి ఇది, మరియు మరోవైపు, వ డిగ్రీకి ఏదైనా సంఖ్య ఇది.

ఘాతాంకం ఉంటే ప్రతికూల పూర్ణాంకంసంఖ్య:

(ఎందుకంటే మీరు విభజించలేరు).

సున్నాల గురించి మరోసారి: వ్యక్తీకరణ సందర్భంలో నిర్వచించబడలేదు. ఒకవేళ, అప్పుడు.

ఉదాహరణలు:

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి

• - సహజ సంఖ్య;
• - పూర్ణ సంఖ్య;

ఉదాహరణలు:

డిగ్రీల లక్షణాలు

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభతరం చేయడానికి, అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం: ఈ లక్షణాలు ఎక్కడ నుండి వచ్చాయి? వాటిని నిరూపిద్దాం.

చూద్దాం: ఏమిటి మరియు?

A-ప్రియరీ:

కాబట్టి, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క కుడి వైపున మేము ఈ క్రింది ఉత్పత్తిని పొందుతాము:

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం ఇది ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి, అంటే:

Q.E.D.

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం : .

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం : మన పాలనలో ఇది గమనించాలి తప్పనిసరిగాఅవే కారణాలు ఉండాలి. అందువల్ల, మేము శక్తులను బేస్తో కలుపుతాము, కానీ ఇది ఒక ప్రత్యేక కారకంగా మిగిలిపోయింది:

మరొక ముఖ్యమైన గమనిక: ఈ నియమం - అధికారాల ఉత్పత్తికి మాత్రమే!

ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అలా రాయకూడదు.

మునుపటి ఆస్తి వలె, డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం:

ఈ పనిని ఇలా మళ్లీ సమూహిద్దాం:

వ్యక్తీకరణ తనంతట తానుగా రెట్లు గుణించబడిందని తేలింది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సంఖ్య యొక్క వ శక్తి:

సారాంశంలో, దీనిని "బ్రాకెట్ల నుండి సూచికను తీసుకోవడం" అని పిలుస్తారు. కానీ మీరు దీన్ని మొత్తంగా ఎప్పటికీ చేయలేరు: !

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి: మనం ఎన్నిసార్లు వ్రాయాలనుకుంటున్నాము? కానీ ఇది నిజం కాదు, అన్ని తరువాత.

ప్రతికూల ఆధారంతో శక్తి.

ఇది వరకు మేము అది ఎలా ఉండాలో మాత్రమే చర్చించాము సూచికడిగ్రీలు. అయితే ఏది ఆధారం కావాలి? అధికారాలలో సహజ సూచిక ఆధారం కావచ్చు ఏదైనా సంఖ్య .

వాస్తవానికి, మనం ఏదైనా సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు, అవి సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సమానంగా ఉంటాయి. ఏ సంకేతాలు ("" లేదా "") సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయో ఆలోచిద్దాం?

ఉదాహరణకు, సంఖ్య సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా? ఎ? ?

మొదటిదానితో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మనం ఎన్ని సానుకూల సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినా, ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

కానీ ప్రతికూలమైనవి కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. మేము 6వ తరగతి నుండి సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము: "మైనస్ కోసం మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది." అంటే, లేదా. కానీ మనం () ద్వారా గుణిస్తే మనకు లభిస్తుంది - .

మరియు ప్రకటన అనంతం: ప్రతి తదుపరి గుణకారంతో గుర్తు మారుతుంది. మేము ఈ క్రింది వాటిని రూపొందించవచ్చు సాధారణ నియమాలు:

1. కూడాడిగ్రీ, - సంఖ్య అనుకూల.
2. ప్రతికూల సంఖ్య, నిర్మించబడింది బేసిడిగ్రీ, - సంఖ్య ప్రతికూల.
3. ఏదైనా డిగ్రీకి సానుకూల సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య.
4. ఏదైనా శక్తికి సున్నా సున్నాకి సమానం.

కింది వ్యక్తీకరణలు ఏ సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయో మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

మీరు నిర్వహించారా? ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

మొదటి నాలుగు ఉదాహరణలలో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? మేము కేవలం బేస్ మరియు ఘాతాంకాన్ని చూసి తగిన నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

ఉదాహరణ 5) ప్రతిదీ కూడా కనిపించేంత భయానకంగా లేదు: అన్నింటికంటే, బేస్ దేనికి సమానం అనేది పట్టింపు లేదు - డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది, అంటే ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది. బాగా, బేస్ సున్నా ఉన్నప్పుడు తప్ప. ఆధారం సమానంగా లేదు, అవునా? స్పష్టంగా లేదు, నుండి (ఎందుకంటే).

ఉదాహరణ 6) ఇకపై అంత సులభం కాదు. ఇక్కడ మీరు ఏది తక్కువ అని తెలుసుకోవాలి: లేదా? మనం దానిని గుర్తుంచుకుంటే, ఆధారం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉందని స్పష్టమవుతుంది. అంటే, మేము నియమం 2ని వర్తింపజేస్తాము: ఫలితం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

మరియు మళ్ళీ మేము డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

ప్రతిదీ ఎప్పటిలాగే ఉంది - మేము డిగ్రీల నిర్వచనాన్ని వ్రాసి వాటిని ఒకదానికొకటి విభజించి, వాటిని జంటలుగా విభజించి పొందండి:

మీరు దానిని విడదీసే ముందు చివరి నియమం, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం.

వ్యక్తీకరణలను లెక్కించండి:

పరిష్కారాలు :

మనం ఎనిమిదవ శక్తిని విస్మరిస్తే, మనం ఇక్కడ ఏమి చూస్తాము? 7వ తరగతి కార్యక్రమం గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం. కాబట్టి, మీకు గుర్తుందా? ఇది సంక్షిప్త గుణకారానికి సూత్రం, అవి వర్గాల వ్యత్యాసం!

మాకు దొరికింది:

హారం జాగ్రత్తగా చూద్దాం. ఇది చాలా న్యూమరేటర్ కారకాలలో ఒకటిగా కనిపిస్తోంది, కానీ తప్పు ఏమిటి? నిబంధనల క్రమం తప్పు. అవి రివర్స్ అయితే, రూల్ 3 ఎలా వర్తిస్తుంది? ఇది చాలా సులభం అని తేలింది: హారం యొక్క సరి స్థాయి ఇక్కడ మాకు సహాయపడుతుంది.

మీరు దానిని గుణిస్తే, ఏమీ మారదు, సరియైనదా? కానీ ఇప్పుడు ఇది ఇలా మారుతుంది:

అద్భుతంగా నిబంధనలు స్థలాలను మార్చాయి. ఈ "దృగ్విషయం" ఏదైనా వ్యక్తీకరణకు సమాన స్థాయికి వర్తిస్తుంది: మనం కుండలీకరణాల్లోని సంకేతాలను సులభంగా మార్చవచ్చు. కానీ గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం: అన్ని సంకేతాలు ఒకే సమయంలో మారతాయి!మేము ఇష్టపడని ఒక ప్రతికూలతను మాత్రమే మార్చడం ద్వారా మీరు దాన్ని భర్తీ చేయలేరు!

ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం:

మరియు మళ్ళీ సూత్రం:

కాబట్టి ఇప్పుడు చివరి నియమం:

మేము దానిని ఎలా నిరూపిస్తాము? వాస్తవానికి, ఎప్పటిలాగే: డిగ్రీ భావనను విస్తరింపజేద్దాం మరియు దానిని సరళీకృతం చేద్దాం:

సరే, ఇప్పుడు బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం. మొత్తం ఎన్ని అక్షరాలు ఉన్నాయి? గుణకాల ద్వారా సార్లు - ఇది మీకు ఏమి గుర్తు చేస్తుంది? ఇది ఆపరేషన్ యొక్క నిర్వచనం తప్ప మరేమీ కాదు గుణకారం: అక్కడ గుణకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. అంటే, ఇది నిర్వచనం ప్రకారం, ఘాతాంకంతో కూడిన సంఖ్య యొక్క శక్తి:

ఉదాహరణ:

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

సగటు స్థాయికి సంబంధించిన డిగ్రీల గురించిన సమాచారంతో పాటు, మేము డిగ్రీని అహేతుక ఘాతాంకంతో విశ్లేషిస్తాము. ఇక్కడ ఉన్న డిగ్రీల యొక్క అన్ని నియమాలు మరియు లక్షణాలు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఉన్న డిగ్రీకి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి, మినహాయింపు - అన్ని తరువాత, నిర్వచనం ప్రకారం, అకరణీయ సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించబడని సంఖ్యలు, ఎక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు (అంటే , అకరణీయ సంఖ్యలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు తప్ప అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు).

సహజ, పూర్ణాంకం మరియు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో డిగ్రీలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ప్రతిసారీ మేము ఒక నిర్దిష్ట "చిత్రం", "సారూప్యత" లేదా వివరణను మరింత సుపరిచితమైన పదాలలో సృష్టించాము. ఉదాహరణకు, సహజ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ అనేది అనేక సార్లు దానితో గుణించబడిన సంఖ్య; సున్నా శక్తికి ఒక సంఖ్య, అది ఉన్నట్లుగా, ఒకసారి దానితో గుణించిన సంఖ్య, అంటే, వారు ఇంకా దానిని గుణించడం ప్రారంభించలేదు, అంటే ఆ సంఖ్య ఇంకా కనిపించలేదు - కాబట్టి ఫలితం ఖచ్చితంగా ఉంటుంది "ఖాళీ సంఖ్య", అవి ఒక సంఖ్య; పూర్ణాంకం ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ - ఇది ఏదో "రివర్స్ ప్రాసెస్" సంభవించినట్లుగా ఉంటుంది, అనగా, సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడలేదు, కానీ విభజించబడింది.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని ఊహించడం చాలా కష్టం (4-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌ను ఊహించడం కష్టంగా ఉంటుంది). ఇది చాలా శుభ్రంగా ఉంది గణిత వస్తువు, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు డిగ్రీ భావనను సంఖ్యల మొత్తం స్థలానికి విస్తరించడానికి సృష్టించారు.

మార్గం ద్వారా, సైన్స్‌లో కాంప్లెక్స్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, అంటే ఘాతాంకం వాస్తవ సంఖ్య కూడా కాదు. కానీ పాఠశాలలో మేము అలాంటి ఇబ్బందుల గురించి ఆలోచించము;

అలా చూస్తే ఏం చేస్తాం అహేతుక సూచికడిగ్రీలు? మేము దానిని వదిలించుకోవడానికి మా వంతు ప్రయత్నం చేస్తున్నాము :)

ఉదాహరణకి:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1)

2)

3)

సమాధానాలు:

1. స్క్వేర్స్ ఫార్ములా తేడాను గుర్తుంచుకోండి. సమాధానం: .
2. మేము భిన్నాలను ఒకే రూపానికి తగ్గిస్తాము: రెండు దశాంశాలు లేదా రెండూ సాధారణమైనవి. మేము పొందుతాము, ఉదాహరణకు: .
3. ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, మేము డిగ్రీల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:

విభాగం మరియు ప్రాథమిక సూత్రాల సారాంశం

డిగ్రీరూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ అని పిలుస్తారు: , ఎక్కడ:

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య (అంటే పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మకం) అయిన డిగ్రీ.

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి

డిగ్రీ, దీని ఘాతాంకం ప్రతికూల మరియు భిన్న సంఖ్యలు.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

ఒక డిగ్రీ, దీని ఘాతాంకం అనంతమైన దశాంశ భిన్నం లేదా మూలం.

డిగ్రీల లక్షణాలు

డిగ్రీల లక్షణాలు.

• ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది కూడాడిగ్రీ, - సంఖ్య అనుకూల.
• ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది బేసిడిగ్రీ, - సంఖ్య ప్రతికూల.
• ఏదైనా డిగ్రీకి సానుకూల సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య.
• సున్నా ఏ శక్తికైనా సమానం.
• సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య సమానం.

ఇప్పుడు మీకు పదం ఉంది...

మీకు కథనం ఎలా నచ్చింది? మీకు నచ్చిందా లేదా అని క్రింద కామెంట్స్ లో వ్రాయండి.

డిగ్రీ లక్షణాలను ఉపయోగించి మీ అనుభవం గురించి మాకు చెప్పండి.

బహుశా మీకు ప్రశ్నలు ఉండవచ్చు. లేదా సూచనలు.

వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి.

మరియు మీ పరీక్షలలో అదృష్టం!

సున్నా శక్తికి పెంచబడిన సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం అనే నియమం ఉంది:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

అయితే, ఇది ఎందుకు?

ఒక సంఖ్యను సహజ ఘాతాంకంతో శక్తికి పెంచినప్పుడు, అది ఘాతాంకం కంటే ఎక్కువ రెట్లు గుణించబడుతుందని అర్థం:
43 = 4...

0 0

బీజగణితంలో, సున్నా శక్తికి పెంచడం సాధారణం. డిగ్రీ 0 అంటే ఏమిటి? ఏ సంఖ్యలను సున్నా శక్తికి పెంచవచ్చు మరియు ఏది చేయలేము?

నిర్వచనం.

సున్నా శక్తికి ఏ సంఖ్య అయినా, సున్నా తప్ప, ఒకటికి సమానం:

అందువల్ల, ఏ సంఖ్యను 0 యొక్క శక్తికి పెంచినా, ఫలితం ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది - ఒకటి.

మరియు 1 నుండి 0 యొక్క శక్తికి, మరియు 2 నుండి 0 యొక్క శక్తికి, మరియు ఏదైనా ఇతర సంఖ్య - పూర్ణాంకం, భిన్నం, ధనాత్మకం, ప్రతికూలం, హేతుబద్ధం, అహేతుకం - సున్నాకి పెంచినప్పుడు ఒక శక్తి వస్తుంది.

సున్నా మాత్రమే మినహాయింపు.

జీరో టు ది జీరోత్ పవర్ నిర్వచించబడలేదు, అటువంటి వ్యక్తీకరణకు అర్థం లేదు.

అంటే, సున్నా తప్ప ఏ సంఖ్యనైనా సున్నా శక్తికి పెంచవచ్చు.

శక్తులతో వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేస్తున్నప్పుడు, ఫలితం సున్నా శక్తికి ఒక సంఖ్య అయితే, దానిని ఒకదానితో భర్తీ చేయవచ్చు:

ఒకవేళ...

0 0

లోపల పాఠశాల పాఠ్యాంశాలువ్యక్తీకరణ $%0^0$% నిర్వచించబడనిదిగా పరిగణించబడుతుంది.

దృక్కోణం నుండి ఆధునిక గణితం, $%0^0=1$% అని భావించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ ఆలోచన క్రిందిది. $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$% ఫారమ్ యొక్క $%n$% సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఉండనివ్వండి. మొత్తం $%n\ge2$% సమానత్వం $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% కలిగి ఉంటుంది. $%p_0=1$% ఊహిస్తూ, $%n=1$%కి కూడా ఈ సమానత్వాన్ని అర్థవంతంగా పరిగణించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ లాజిక్ ఇది: ఉత్పత్తులను లెక్కించేటప్పుడు, మేము మొదట 1ని తీసుకుంటాము, ఆపై వరుసగా $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$% ద్వారా గుణించాలి. ప్రోగ్రామ్‌లు వ్రాయబడినప్పుడు ఉత్పత్తులను కనుగొనడానికి ఉపయోగించే అల్గోరిథం ఇది. కొన్ని కారణాల వల్ల గుణకారాలు జరగకపోతే, ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, "0 కారకాల ఉత్పత్తి" వంటి భావనను అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో, మేము "ఖాళీ ఉత్పత్తి" గురించి కూడా మాట్లాడవచ్చు. దీనితో ఒక సంఖ్యను గుణిస్తే...

0 0

సున్నా - ఇది సున్నా. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, ఒక సంఖ్య యొక్క ఏదైనా శక్తి ఒకదాని యొక్క ఉత్పత్తి మరియు ఈ సంఖ్య యొక్క ఘాతాంకాలు. మూడవదానిలో రెండు, 1*2*2*2 అనుకుందాం, మొదటిదాని మైనస్‌లో రెండు 1/2. ఆపై నుండి పరివర్తన సమయంలో రంధ్రం లేదని అవసరం సానుకూల డిగ్రీలుప్రతికూల మరియు వైస్ వెర్సా.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

అది మొత్తం పాయింట్.

సరళంగా మరియు స్పష్టంగా, ధన్యవాదాలు

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

ఉదాహరణకు, మీరు చెల్లుబాటు అయ్యే నిర్దిష్ట సూత్రాలను కలిగి ఉండాలి సానుకూల సూచికలు- ఉదాహరణకు x^n*x^m=x^(m+n) - ఇప్పటికీ చెల్లుబాటులో ఉన్నాయి.
అదే విధంగా, ఇది ప్రతికూల డిగ్రీ మరియు హేతుబద్ధమైన నిర్వచనానికి వర్తిస్తుంది (అనగా, 3/4 యొక్క శక్తికి 5)

> మరియు ఇది ఎందుకు అవసరం?
ఉదాహరణకు, గణాంకాలు మరియు సిద్ధాంతంలో వారు తరచుగా సున్నా డిగ్రీలతో ఆడతారు.

ఎ ప్రతికూల శక్తులువారు మిమ్మల్ని ఇబ్బంది పెడుతున్నారా?
...

0 0

మేము డిగ్రీల లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము, ఉదాహరణకు 16:8 = 2 తీసుకోండి. 16=24 మరియు 8=23 కాబట్టి, విభజనను ఘాతాంక రూపంలో 24:23=2గా వ్రాయవచ్చు, కానీ మనం ఘాతాంకాలను తీసివేస్తే, 24:23=21. కాబట్టి, 2 మరియు 21 ఒకే విషయం అని మనం అంగీకరించాలి, కాబట్టి 21 = 2.

ఇదే నియమం మరేదైనా వర్తిస్తుంది ఘాతాంక సంఖ్య, కాబట్టి, నియమాన్ని సాధారణ రూపంలో రూపొందించవచ్చు:

మొదటి శక్తికి పెంచబడిన ఏదైనా సంఖ్య మారదు

ఈ ముగింపు మిమ్మల్ని ఆశ్చర్యపరిచి ఉండవచ్చు. 21 = 2 అనే వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని మీరు ఇప్పటికీ ఏదో ఒకవిధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు, అయినప్పటికీ “ఒక సంఖ్య రెండు దానితో గుణించబడింది” అనే వ్యక్తీకరణ చాలా వింతగా అనిపిస్తుంది. కానీ 20 అనే వ్యక్తీకరణకు అర్థం “ఒకే సంఖ్య రెండు కాదు,...

0 0

డిగ్రీ నిర్వచనాలు:

1. సున్నా డిగ్రీ

సున్నా శక్తికి పెంచబడిన సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం. జీరో నుండి జీరోత్ పవర్ నిర్వచించబడలేదు

2. సున్నా కాకుండా సహజ డిగ్రీ

సున్నా కాకుండా సహజ శక్తి nకి పెంచబడిన ఏదైనా సంఖ్య n సంఖ్యలను xని కలిపి గుణించడంతో సమానం

3.1 సరి రూట్ సహజ డిగ్రీ, సున్నాకి భిన్నంగా

ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్య x యొక్క సున్నా కాకుండా సరి సహజ శక్తి n యొక్క మూలం ధనాత్మక సంఖ్య y, అది n శక్తికి పెరిగినప్పుడు, అసలు సంఖ్య xని ఇస్తుంది

బేసి సహజ డిగ్రీ యొక్క 3.2 రూట్

ఏదైనా సంఖ్య x యొక్క బేసి సహజ శక్తి n యొక్క మూలం y సంఖ్య, ఇది శక్తి nకి పెంచబడినప్పుడు, అసలు సంఖ్య xని ఇస్తుంది

పాక్షిక శక్తిగా ఏదైనా సహజ శక్తి యొక్క 3.3 మూలం

ఏదైనా x సంఖ్య నుండి సున్నా కాకుండా ఏదైనా సహజ శక్తి n యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడం ఈ సంఖ్య xని పాక్షిక శక్తి 1/nకి పెంచినట్లే.

0 0

హలో, ప్రియమైన రస్సెల్!

డిగ్రీ భావనను పరిచయం చేస్తున్నప్పుడు, కింది ఎంట్రీ ఉంది: “ఎ^0 =1 వ్యక్తీకరణ విలువ” ! ఇది అమల్లోకి వస్తుంది తార్కిక భావనడిగ్రీలు మరియు మరేమీ లేదు!
ఒక యువకుడు విషయాల్లోకి రావడానికి ప్రయత్నించడం అభినందనీయం! కానీ కొన్ని విషయాలు కేవలం మంజూరు కోసం తీసుకోవాలి!
మీరు ఇప్పటికే చదివిన తర్వాత మాత్రమే మీరు కొత్త గణితాన్ని నిర్మించగలరు శతాబ్దాలుగా తెరిచి ఉంటుందితిరిగి!
వాస్తవానికి, మీరు "ఈ లోకానికి చెందినవారు కాదు" అని మేము మినహాయించినట్లయితే మరియు మిగిలిన పాపుల కంటే మీకు చాలా ఎక్కువ ఇవ్వబడింది!

గమనిక: అన్నా మిషెవా నిరూపించలేనిది నిరూపించే ప్రయత్నం చేశాడు! అభినందనీయం కూడా!
కానీ ఒక పెద్ద “కానీ” ఉంది - అది ఆమె రుజువులో లేదు ముఖ్యమైన అంశం: ZERO ద్వారా విభజన కేసు!

ఏమి జరుగుతుందో మీరే చూడండి: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

కానీ మీరు జీరోతో విభజించలేరు!

దయచేసి మరింత జాగ్రత్తగా ఉండండి!

ద్రవ్యరాశితో శుభాకాంక్షలుమరియు మీ వ్యక్తిగత జీవితంలో సంతోషం...

0 0

సమాధానాలు:

పేరు లేదు

మేము a^x=e^x*ln(a)ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అది 0^0=1 (పరిమితి, x->0 కోసం)
అయినప్పటికీ "అనిశ్చితి" అనే సమాధానం కూడా ఆమోదయోగ్యమైనది

గణితంలో సున్నా అనేది శూన్యం కాదు, ఇది రివర్స్‌లో అనంతం వలె "ఏమీ లేదు"కి చాలా దగ్గరగా ఉండే సంఖ్య.

వ్రాయండి:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
ఈ సందర్భంలో మనం సున్నాతో విభజిస్తున్నాము మరియు వాస్తవ సంఖ్యల రంగంలో ఈ ఆపరేషన్ నిర్వచించబడలేదు.

6 సంవత్సరాల క్రితం

RPI.su అనేది ప్రశ్నలు మరియు సమాధానాల యొక్క అతిపెద్ద రష్యన్ భాషా డేటాబేస్. మా ప్రాజెక్ట్ ప్రముఖ సేవ otvety.google.ru యొక్క కొనసాగింపుగా అమలు చేయబడింది, ఇది ఏప్రిల్ 30, 2015న మూసివేయబడింది మరియు తొలగించబడింది. మేము ఉపయోగకరమైన Google సమాధానాల సేవను పునరుద్ధరించాలని నిర్ణయించుకున్నాము, తద్వారా ఎవరైనా ఇంటర్నెట్ సంఘం నుండి వారి ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని పబ్లిక్‌గా కనుగొనవచ్చు.

Google సమాధానాల సైట్‌కు జోడించబడిన అన్ని ప్రశ్నలు ఇక్కడ కాపీ చేయబడ్డాయి మరియు నిల్వ చేయబడ్డాయి. పాత వినియోగదారు పేర్లు కూడా గతంలో ఉన్నట్లే ప్రదర్శించబడతాయి. మీరు ప్రశ్నలు అడగడానికి లేదా ఇతరులకు సమాధానం ఇవ్వడానికి మళ్లీ నమోదు చేసుకోవాలి.

సైట్ గురించి ఏవైనా సందేహాలుంటే మమ్మల్ని సంప్రదించడానికి (ప్రకటనలు, సహకారం, సేవ గురించి అభిప్రాయం), దీనికి వ్రాయండి [ఇమెయిల్ రక్షించబడింది]. అన్నీ మాత్రమే సాధారణ సమస్యలువెబ్‌సైట్‌లో పోస్ట్ చేస్తే, వారు మెయిల్ ద్వారా ప్రతిస్పందనను స్వీకరించరు.

జీరో పవర్‌కి పెంచితే సున్నా దేనికి సమానం అవుతుంది?

0 యొక్క శక్తికి ఒక సంఖ్య 1కి ఎందుకు సమానం? సున్నా శక్తికి పెంచబడిన సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం: 20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1 అయితే, ఇది ఎందుకు? ఒక సంఖ్యను సహజ ఘాతాంకంతో శక్తికి పెంచినప్పుడు, అది ఘాతాంకం వలె అనేక రెట్లు గుణించబడుతుందని అర్థం: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ఘాతాంకం 1 కి సమానం అయినప్పుడు, నిర్మాణ సమయంలో ఒకే ఒక కారకం ఉంటుంది (మనం కారకాల గురించి మాట్లాడగలిగితే), అందువలన నిర్మాణం యొక్క ఫలితం బేస్కు సమానండిగ్రీలు: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 అయితే ఈ సందర్భంలో సున్నా సూచిక గురించి ఏమిటి? ఏది దేనితో గుణించబడుతుంది? వేరే మార్గంలో వెళ్ళడానికి ప్రయత్నిద్దాం. రెండు డిగ్రీలు ఒకే స్థావరాలను కలిగి ఉంటే, కానీ వివిధ సూచికలు, అప్పుడు ఆధారాన్ని అలాగే ఉంచవచ్చు మరియు ఘాతాంకాలను ఒకదానికొకటి జోడించవచ్చు (అధికారాలు గుణిస్తే), లేదా డివిడెండ్ యొక్క ఘాతాంకం నుండి భాజకం యొక్క ఘాతాంకం తీసివేయవచ్చు (అధికారాలు విభజించబడితే) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 మరియు ఇప్పుడు ఈ ఉదాహరణను పరిగణించండి: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? మనం అధికారాల ఆస్తిని ఉపయోగించకపోతే ఎలా అదే ఆధారంమరియు అవి కనిపించే క్రమంలో గణనలను చేద్దాం: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 కాబట్టి మనకు ఐశ్వర్యవంతమైన యూనిట్ వచ్చింది. కాబట్టి, సున్నా ఘాతాంకం సంఖ్యను స్వయంగా గుణించలేదని, దానిచే భాగించబడుతుందని సూచిస్తుంది. మరియు 00 అనే వ్యక్తీకరణ ఎందుకు అర్ధవంతం కాదో ఇక్కడ నుండి స్పష్టమవుతుంది. అన్నింటికంటే, మీరు 0 ద్వారా విభజించలేరు. మీరు భిన్నంగా వాదించవచ్చు. ఉదాహరణకు, 52 × 50 = 52+0 = 52 శక్తుల గుణకారం ఉన్నట్లయితే, అది 52ని 1తో గుణించడం జరుగుతుంది. కాబట్టి, 50 = 1.

అధికారాల లక్షణాల నుండి: a^n / a^m = a^(n-m) n=m అయితే, సహజంగా a=0 తప్ప ఫలితం ఒకటిగా ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో (సున్నాకి ఏదైనా శక్తికి సున్నా అవుతుంది కాబట్టి) దీని ద్వారా భాగించబడుతుంది సున్నా జరుగుతుంది, కాబట్టి 0^0 ఉనికిలో లేదు

వివిధ భాషలలో అకౌంటింగ్

0 నుండి 9 వరకు ఉన్న సంఖ్యల పేర్లు ప్రముఖ భాషలుశాంతి.

భాష	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ఆంగ్ల	సున్నా	ఒకటి	రెండు	మూడు	నాలుగు	ఐదు	ఆరు	ఏడు	ఎనిమిది	తొమ్మిది
బల్గేరియన్	సున్నా	ఒక మాట	రెండు	మూడు	నాలుగు	పెంపుడు జంతువు	పోల్	మేము సిద్ధమవుతున్నాము	అక్షతలు	devet
హంగేరియన్	శూన్య	egy	kettõ	హారం	నీచమైన	ot	టోపీ	వేడి	nyolc	kilenc
డచ్	nul	ఈన్	ట్వీ	పొడిగా	వీర్	vijf	zes	zeven	acht	నెగెన్
డానిష్	nul	en	కు	tre	అగ్ని	స్త్రీ	సెక్స్	syv	ఒట్టే	ని
స్పానిష్	సెరో	uno	dos	tres	cuatro	సింకో	సీస్	సైట్	ocho	నూవ్
ఇటాలియన్	సున్నా	uno	రావాల్సి ఉంది	tre	క్వాట్రో	సిన్క్యూ	sei	సెట్	ఒట్టో	నవంబరు
లిథువేనియన్	nullis	వియనాస్	డు	ప్రయత్నిస్తుంది	కేతురి	పెంకి	ðeði	సెప్టిని	aðtuoni	దేవిని
జర్మన్	శూన్య	ఈన్	zwei	డ్రేయి	వీర్	fünf	సెక్స్	సీబెన్	acht	న్యూన్
రష్యన్	సున్నా	ఒకటి	రెండు	మూడు	నాలుగు	ఐదు	ఆరు	ఏడు	ఎనిమిది	తొమ్మిది
పోలిష్	సున్నా	జెడెన్	ద్వా	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	సీడెమ్	ఒసియం	dziewiêæ
పోర్చుగీస్	అమ్మో	dois	três	క్వాట్రో	సింకో	సీస్	సెట్	ఓయిటో	నవంబరు
ఫ్రెంచ్	సున్నా	ఒక	డ్యూక్స్	ట్రోయిస్	చతుర్భుజం	cinq	ఆరు	సెప్టెంబర్	hut	neuf
చెక్	నుల	జెడ్నా	ద్వా	toi	ètyøi	గొయ్యి	¹est	sedm	osm	devìt
స్వీడిష్	noll	మొదలైనవి	త్వ	tre	ఫైరా	స్త్రీ	సెక్స్	sju	అట్టా	నియో
ఎస్టోనియన్	శూన్య	üks	కాక్స్	కోల్మ్	నెలి	viis	kuus	సీట్సే	కహెక్ష	üheksa

సంఖ్య యొక్క ప్రతికూల మరియు సున్నా శక్తులు

సున్నా, ప్రతికూల మరియు పాక్షిక శక్తులు

సున్నా సూచిక

నిటారుగా ఇచ్చిన సంఖ్యకొంత స్థాయికి అంటే ఘాతాంకంలో ఎన్నిసార్లు యూనిట్లు ఉన్నాయో అంత కారకం ద్వారా పునరావృతం చేయడం.

ఈ నిర్వచనం ప్రకారం, వ్యక్తీకరణ: a 0 అర్ధవంతం కాదు. కానీ భాగహారం యొక్క ఘాతాంకం ఉన్నప్పుడు కూడా అదే సంఖ్య యొక్క విభజన శక్తుల నియమం చెల్లుబాటు అవుతుంది. సూచికకు సమానండివిడెండ్ యొక్క నిర్వచనం ప్రవేశపెట్టబడింది:

ఏదైనా సంఖ్య యొక్క సున్నా శక్తి ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ప్రతికూల సూచిక

వ్యక్తీకరణ a -m, దానికే అర్థం లేదు. డివిడెండ్ యొక్క ఘాతాంకం కంటే డివైజర్ యొక్క ఘాతాంకం ఎక్కువగా ఉన్న సందర్భంలో కూడా అదే సంఖ్య యొక్క భాగస్వామ్య శక్తుల నియమం చెల్లుబాటు అయ్యేలా, ఒక నిర్వచనం ప్రవేశపెట్టబడింది:

ఉదాహరణ 1. ఇచ్చిన సంఖ్యలో 5 వందలు, 7 పదులు, 2 యూనిట్లు మరియు 9 వందల వంతులు ఉంటే, దానిని ఈ క్రింది విధంగా చిత్రీకరించవచ్చు:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

ఉదాహరణ 2. ఇచ్చిన సంఖ్యలో పదులు, బి యూనిట్లు, సి పదవ వంతులు మరియు d వేలవ వంతులు ఉంటే, దానిని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:

a× 10 1 + బి× 10 0 + సి× 10 -1 + డి× 10 -3

ప్రతికూల ఘాతాంకాలతో అధికారాలపై చర్యలు

ఒకే సంఖ్య యొక్క శక్తులను గుణించినప్పుడు, ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి.

అదే సంఖ్య యొక్క శక్తులను విభజించేటప్పుడు, డివిడెండ్ యొక్క ఘాతాంకం నుండి డివైజర్ యొక్క ఘాతాంకం తీసివేయబడుతుంది.

ఉత్పత్తిని శక్తికి పెంచడానికి, ప్రతి కారకాన్ని ఈ శక్తికి విడిగా పెంచడం సరిపోతుంది:

భిన్నాన్ని శక్తికి పెంచడానికి, భిన్నం యొక్క రెండు పదాలను విడిగా ఈ శక్తికి పెంచడం సరిపోతుంది:

ఒక శక్తిని మరొక శక్తికి పెంచినప్పుడు, ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి.

పాక్షిక సూచిక

ఉంటే కెయొక్క గుణకం కాదు n, అప్పుడు వ్యక్తీకరణ: అర్ధమే లేదు. కానీ ఘాతాంకం యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించే నియమం కోసం, ఒక నిర్వచనం ప్రవేశపెట్టబడింది:

కొత్త చిహ్నాన్ని ప్రవేశపెట్టినందుకు ధన్యవాదాలు, రూట్ వెలికితీత ఎల్లప్పుడూ ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది.

పాక్షిక ఘాతాంకాలతో అధికారాలపై చర్యలు

పూర్ణాంక ఘాతాంకాల కోసం ఏర్పాటు చేయబడిన అదే నియమాల ప్రకారం పాక్షిక ఘాతాంకాలతో శక్తులపై చర్యలు నిర్వహించబడతాయి.

ఈ ప్రతిపాదనను రుజువు చేస్తున్నప్పుడు, భిన్నాల నిబంధనలు: మరియు ఘాతాంకాలుగా పనిచేస్తాయి, సానుకూలంగా ఉన్నాయని మేము ముందుగా ఊహిస్తాము.

ఒక ప్రత్యేక సందర్భంలో nలేదా qఒకరికి సమానంగా ఉండవచ్చు.

ఒకే సంఖ్య యొక్క శక్తులను గుణించినప్పుడు, పాక్షిక ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి:

పాక్షిక ఘాతాంకాలతో ఒకే సంఖ్య యొక్క శక్తులను విభజించినప్పుడు, డివైజర్ యొక్క ఘాతాంకం డివిడెండ్ యొక్క ఘాతాంకం నుండి తీసివేయబడుతుంది:

పాక్షిక ఘాతాకాల విషయంలో శక్తిని మరొక శక్తికి పెంచడానికి, ఘాతాంకాలను గుణించడం సరిపోతుంది:

పాక్షిక శక్తి యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, ఘాతాంకాన్ని రూట్ యొక్క ఘాతాంకంతో భాగిస్తే సరిపోతుంది:

చర్య యొక్క నియమాలు మాత్రమే వర్తిస్తాయి అనుకూల పాక్షిక సూచికలు, కానీ కూడా ప్రతికూల.

సున్నా శక్తికి పెంచబడిన సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం అనే నియమం ఉంది:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
అయితే, ఇది ఎందుకు?
ఒక సంఖ్యను సహజ ఘాతాంకంతో శక్తికి పెంచినప్పుడు, అది ఘాతాంకం కంటే ఎక్కువ రెట్లు గుణించబడుతుందని అర్థం:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
ఘాతాంకం 1కి సమానంగా ఉన్నప్పుడు, నిర్మాణ సమయంలో ఒకే ఒక కారకం ఉంటుంది (మనం ఇక్కడ కారకాల గురించి మాట్లాడగలిగితే), కాబట్టి నిర్మాణం యొక్క ఫలితం డిగ్రీ యొక్క ఆధారానికి సమానం:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
కానీ ఈ సందర్భంలో సున్నా సూచిక గురించి ఏమిటి? ఏది దేనితో గుణించబడుతుంది?
వేరే మార్గంలో వెళ్ళడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

0 యొక్క శక్తికి ఒక సంఖ్య 1కి ఎందుకు సమానం?

రెండు శక్తులు ఒకే స్థావరాలను కలిగి ఉంటే, కానీ వేర్వేరు ఘాతాంకాలను కలిగి ఉంటే, ఆధారాన్ని ఒకేలా వదిలివేయవచ్చు మరియు ఘాతాంకాలను ఒకదానికొకటి జోడించవచ్చు (అధికారాలను గుణిస్తే), లేదా భాగహారం యొక్క ఘాతాంకం చేయవచ్చు. డివిడెండ్ యొక్క ఘాతాంకం నుండి తీసివేయబడుతుంది (అధికారాలు విభజించబడినట్లయితే):
3 2 × 3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
ఇప్పుడు ఈ ఉదాహరణను చూద్దాం:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
మేము అదే ఆధారంతో అధికారాల ఆస్తిని ఉపయోగించకపోతే మరియు అవి కనిపించే క్రమంలో గణనలను నిర్వహించకపోతే ఏమి చేయాలి:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
కాబట్టి మేము గౌరవనీయమైన యూనిట్‌ను అందుకున్నాము. కాబట్టి, సున్నా ఘాతాంకం సంఖ్యను స్వయంగా గుణించలేదని, దానిచే భాగించబడుతుందని సూచిస్తుంది.
మరియు 0 0 అనే వ్యక్తీకరణ ఎందుకు అర్ధవంతం కాదో ఇక్కడ నుండి స్పష్టమవుతుంది. మీరు 0తో భాగించలేరు.