పవర్ ఫంక్షన్‌ని y=x n (n యొక్క శక్తికి y సమానం అని చదవండి), ఇక్కడ n అనేది కొంత ఇచ్చిన సంఖ్య. పవర్ ఫంక్షన్ల ప్రత్యేక సందర్భాలు y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x మరియు అనేక ఇతర రూపాల ఫంక్షన్‌లు. వాటిలో ప్రతి దాని గురించి మరింత వివరంగా చెప్పండి.
లీనియర్ ఫంక్షన్ y=x 1 (y=x)
గ్రాఫ్ అనేది ఆక్స్ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశకు 45 డిగ్రీల కోణంలో పాయింట్ (0;0) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ.
గ్రాఫ్ క్రింద ప్రదర్శించబడింది.
లీనియర్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు:
- ఫంక్షన్ పెరుగుతోంది మరియు మొత్తం సంఖ్య రేఖపై నిర్వచించబడింది.
- దీనికి గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువలు లేవు.
క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ y=x 2
క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా.
క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు:
- 1. x =0, y=0, మరియు y>0 వద్ద x0
- 2. క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ దాని శీర్షంలో దాని కనీస విలువను చేరుకుంటుంది. x=0 వద్ద Ymin; ఫంక్షన్ గరిష్ట విలువను కలిగి లేదని కూడా గమనించాలి.
- 3. ఫంక్షన్ విరామంపై తగ్గుతుంది (-∞;0] మరియు విరామంలో \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
గ్రాఫ్ (Fig. 2).
మూర్తి 2. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ $f\left(x\right)=x^(2n)$
సహజ బేసి ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు
నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- ఫంక్షన్ బేసి.
$f(x)$ నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో నిరంతరంగా ఉంటుంది.
పరిధి మొత్తం వాస్తవ సంఖ్యలు.
$f"\left(x\ right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$కి.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \ఎడమ(2n-1\కుడి)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
ఫంక్షన్ $x\in (-\infty ,0)$కి పుటాకారంగా మరియు $x\in (0,+\infty)$కి కుంభాకారంగా ఉంటుంది.
గ్రాఫ్ (Fig. 3).
మూర్తి 3. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్
ముందుగా, పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ భావనను పరిచయం చేద్దాం.
నిర్వచనం 3
పూర్ణాంక ఘాతాంకం $n$తో వాస్తవ సంఖ్య $a$ యొక్క శక్తి సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
చిత్రం 4.
ఇప్పుడు మనం పూర్ణాంకం ఘాతాంకం, దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌తో పవర్ ఫంక్షన్‌ని పరిశీలిద్దాం.
నిర్వచనం 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ని పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ అంటారు.
డిగ్రీ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, మేము సహజ ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ విషయంలోకి వస్తాము. మేము ఇప్పటికే పైన చర్చించాము. $n=0$ కోసం మేము $y=1$ సరళ ఫంక్షన్‌ని పొందుతాము. మేము దాని పరిశీలనను పాఠకులకు వదిలివేస్తాము. ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మిగిలి ఉంది
ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు
నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
ఘాతాంకం సరి అయితే, ఫంక్షన్ సరి; అది బేసి అయితే, ఫంక్షన్ బేసి.
$f(x)$ నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో నిరంతరంగా ఉంటుంది.
పరిధి:
ఘాతాంకం సరి అయితే, $(0,+\infty)$; బేసి అయితే, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
బేసి ఘాతాంకం కోసం, ఫంక్షన్ $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$గా తగ్గుతుంది. ఘాతాంకం సమానంగా ఉంటే, ఫంక్షన్ $x\in (0,+\infty)$గా తగ్గుతుంది. మరియు $x\in \left(-\infty ,0\right)$ గా పెరుగుతుంది.
నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో $f(x)\ge 0$
ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ల లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లను గుర్తుచేసుకుందాం.
n కోసం,:
ఉదాహరణ ఫంక్షన్:
అటువంటి ఫంక్షన్ల యొక్క అన్ని గ్రాఫ్‌లు రెండు స్థిర బిందువుల గుండా వెళతాయి: (1;1), (-1;1). ఈ రకమైన ఫంక్షన్ల యొక్క విశిష్టత వాటి సమానత్వం; గ్రాఫ్‌లు op-amp అక్షానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటాయి.
అన్నం. 1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్
బేసి n కోసం,:
ఉదాహరణ ఫంక్షన్:
అటువంటి ఫంక్షన్ల యొక్క అన్ని గ్రాఫ్‌లు రెండు స్థిర బిందువుల గుండా వెళతాయి: (1;1), (-1;-1). ఈ రకమైన ఫంక్షన్ల యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటంటే అవి బేసిగా ఉంటాయి; గ్రాఫ్‌లు మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటాయి.
అన్నం. 2. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్
ప్రాథమిక నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం.
హేతుబద్ధమైన ధనాత్మక ఘాతాంకం కలిగిన నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య a యొక్క శక్తిని సంఖ్య అంటారు.
హేతుబద్ధమైన ప్రతికూల ఘాతాంకం ఉన్న సానుకూల సంఖ్య a యొక్క శక్తిని సంఖ్య అంటారు.
సమానత్వం కోసం:
ఉదాహరణకి:
; - ప్రతికూల హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం వ్యక్తీకరణ ఉనికిలో లేదు; ఘాతాంకం పూర్ణాంకం అయినందున ఉనికిలో ఉంది, 
హేతుబద్ధమైన ప్రతికూల ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్‌లను పరిగణలోకి తీసుకుందాం.
ఉదాహరణకి:
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి, మీరు పట్టికను సృష్టించవచ్చు. మేము దీన్ని భిన్నంగా చేస్తాము: మొదట మేము హారం యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము మరియు అధ్యయనం చేస్తాము - ఇది మనకు తెలుసు (మూర్తి 3).
అన్నం. 3. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్
హారం ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ స్థిర బిందువు (1;1) గుండా వెళుతుంది. అసలు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేస్తున్నప్పుడు, ఈ పాయింట్ అలాగే ఉంటుంది, రూట్ కూడా సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది, ఫంక్షన్ అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది. మరియు, దీనికి విరుద్ధంగా, x అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది, ఫంక్షన్ సున్నాకి ఉంటుంది (మూర్తి 4).
అన్నం. 4. ఫంక్షన్ గ్రాఫ్
అధ్యయనం చేయబడుతున్న ఫంక్షన్ల కుటుంబం నుండి మరొక విధిని పరిశీలిద్దాం.
నిర్వచనం ప్రకారం ఇది ముఖ్యం
హారంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిశీలిద్దాం: , ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మనకు తెలుసు, ఇది దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో పెరుగుతుంది మరియు పాయింట్ (1;1) గుండా వెళుతుంది (మూర్తి 5).
అన్నం. 5. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్
అసలు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేస్తున్నప్పుడు, పాయింట్ (1;1) మిగిలి ఉంటుంది, అయితే రూట్ కూడా సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది, ఫంక్షన్ అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది. మరియు, దీనికి విరుద్ధంగా, x అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది, ఫంక్షన్ సున్నాకి ఉంటుంది (మూర్తి 6).
అన్నం. 6. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్
పరిగణించబడిన ఉదాహరణలు గ్రాఫ్ ఎలా ప్రవహిస్తుందో మరియు అధ్యయనం చేయబడుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడతాయి - ప్రతికూల హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఒక ఫంక్షన్.
ఈ కుటుంబం యొక్క ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు పాయింట్ (1;1) గుండా వెళతాయి, నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.
ఫంక్షన్ పరిధి:
ఫంక్షన్ పై నుండి పరిమితం కాదు, కానీ దిగువ నుండి పరిమితం చేయబడింది. ఫంక్షన్‌కు గొప్పది లేదా తక్కువ విలువ లేదు.
ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు అన్ని సానుకూల విలువలను సున్నా నుండి ప్లస్ అనంతం వరకు తీసుకుంటుంది.
ఫంక్షన్ క్రిందికి కుంభాకారంగా ఉంటుంది (మూర్తి 15.7)
పాయింట్లు A మరియు B వక్రరేఖపై తీసుకోబడతాయి, వాటి ద్వారా ఒక సెగ్మెంట్ డ్రా చేయబడుతుంది, మొత్తం వక్రరేఖ సెగ్మెంట్ క్రింద ఉంటుంది, ఈ పరిస్థితి వక్రరేఖపై ఏకపక్ష రెండు పాయింట్ల కోసం సంతృప్తి చెందుతుంది, కాబట్టి ఫంక్షన్ క్రిందికి కుంభాకారంగా ఉంటుంది. అన్నం. 7.
అన్నం. 7. ఫంక్షన్ యొక్క కుంభాకారం
ఈ కుటుంబం యొక్క విధులు దిగువ నుండి సున్నాకి పరిమితం చేయబడతాయని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం, కానీ చిన్న విలువను కలిగి ఉండవు.
ఉదాహరణ 1 - విరామంలో ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని కనుగొనండి)