సంవర్గమానం నుండి సంఖ్యను ఎలా వ్యక్తీకరించాలి. సంవర్గమానం

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

log a r b r = log a bలేదా లాగ్ a b= లాగ్ a r b r

సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం మరియు సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్యను ఒకే శక్తికి పెంచినట్లయితే సంవర్గమానం విలువ మారదు.

సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద సానుకూల సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటాయి మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం ఒకదానికి సమానంగా ఉండదు.

ఉదాహరణలు.

1) లాగ్ 3 9 మరియు లాగ్ 9 81 పోల్చండి.

లాగ్ 3 9=2, నుండి 3 2 =9;

లాగ్ 9 81=2, 9 2 =81 నుండి.

కాబట్టి లాగ్ 3 9=లాగ్ 9 81.

రెండవ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం మొదటి సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క వర్గానికి సమానం అని గమనించండి: 9=3 2, మరియు రెండవ సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య మొదటి సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య యొక్క వర్గానికి సమానం సంవర్గమానం: 81=9 2. మొదటి సంవర్గమానం లాగ్ 3 9 యొక్క సంఖ్య మరియు ఆధారం రెండూ రెండవ శక్తికి పెంచబడ్డాయి మరియు లాగరిథమ్ విలువ దీని నుండి మారలేదు:

తరువాత, రూట్ సంగ్రహించడం నుండి nమధ్య నుండి వ డిగ్రీ ఎసంఖ్యను పెంచడం ఎడిగ్రీ వరకు ( 1/n), ఆపై లాగ్ 9 81 నుండి మీరు సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని మరియు లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా లాగ్ 3 9ని పొందవచ్చు:

2) సమానత్వాన్ని తనిఖీ చేయండి: లాగ్ 4 25=లాగ్ 0.5 0.2.

మొదటి సంవర్గమానాన్ని చూద్దాం. బేస్ యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోవడం 4 మరియు మధ్య నుండి 25 ; మనకు లభిస్తుంది: లాగ్ 4 25=లాగ్ 2 5.

రెండవ సంవర్గమానం చూద్దాం. లాగరిథమ్ బేస్: 0.5= 1/2. ఈ సంవర్గమానం యొక్క చిహ్నం క్రింద ఉన్న సంఖ్య: 0.2= 1/5. ఈ సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి మైనస్ మొదటి శక్తికి పెంచుదాం:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

కాబట్టి లాగ్ 0.5 0.2=లాగ్ 2 5. ముగింపు: ఈ సమానత్వం నిజం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

లాగ్ 4 x 4 +లాగ్ 16 81=లాగ్ 2 (5x+2).లాగరిథమ్‌లను ఎడమ నుండి బేస్‌కి తగ్గిద్దాం 2 .

లాగ్ 2 x 2 +లాగ్ 2 3=లాగ్ 2 (5x+2). సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని మరియు మొదటి సంవర్గమానం యొక్క ఆధారాన్ని తీసుకోండి. సంఖ్య యొక్క నాల్గవ మూలాన్ని మరియు రెండవ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారాన్ని సంగ్రహించండి.

లాగ్ 2 (3x 2)=లాగ్ 2 (5x+2). సంవర్గమానాల మొత్తాన్ని ఉత్పత్తి యొక్క లాగరిథమ్‌గా మార్చండి.

3x 2 =5x+2. పొటెన్షియేషన్ తర్వాత స్వీకరించబడింది.

3x 2 -5x-2=0. మేము పూర్తి వర్గ సమీకరణం కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 నిజమైన మూలాలు.

పరీక్ష.

x=2.

లాగ్ 4 2 4 +లాగ్ 16 81=లాగ్ 2 (5∙2+2);

లాగ్ 2 2 2 +లాగ్ 2 3=లాగ్ 2 12;

లాగ్ 2 (4∙3)=లాగ్ 2 12;

లాగ్ 2 12=లాగ్ 2 12;

లాగ్ ఎ ఎన్ బి=(1/ n)∙ లాగ్ a b

సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా ఒక ఎన్భిన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం 1/ nసంఖ్య యొక్క సంవర్గమానానికి బిఆధారంగా a.

కనుగొనండి:1) 21లాగ్ 8 3+40లాగ్ 25 2; 2) 30లాగ్ 32 3 ∙లాగ్ 125 2 , అని తెలిస్తే లాగ్ 2 3=b,లాగ్ 5 2=c.

పరిష్కారం.

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

1) లాగ్ 2 x+లాగ్ 4 x+లాగ్ 16 x=5.25.

పరిష్కారం.

ఈ లాగరిథమ్‌లను బేస్ 2కి తగ్గిద్దాం. సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి: లాగ్ ఎ ఎన్ బి=(1/ n)∙ లాగ్ a b

లాగ్ 2 x+(½) లాగ్ 2 x+(¼) లాగ్ 2 x=5.25;

లాగ్ 2 x+0.5లాగ్ 2 x+0.25లాగ్ 2 x=5.25. ఇక్కడ సారూప్య నిబంధనలు ఉన్నాయి:

(1+0.5+0.25) లాగ్ 2 x=5.25;

1.75 లాగ్ 2 x=5.25 |:1.75

లాగ్ 2 x=3. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం:

2) 0.5లాగ్ 4 (x-2)+లాగ్ 16 (x-3)=0.25.

పరిష్కారం. సంవర్గమానాన్ని బేస్ 16 నుండి బేస్ 4కి మారుద్దాం.

0.5లాగ్ 4 (x-2)+0.5లాగ్ 4 (x-3)=0.25 |:0.5

లాగ్ 4 (x-2)+లాగ్ 4 (x-3)=0.5. సంవర్గమానాల మొత్తాన్ని ఉత్పత్తి యొక్క లాగరిథమ్‌గా మారుద్దాం.

లాగ్ 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

లాగ్ 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

లాగ్ 4 (x 2 -5x+6)=0.5. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం:

x 2 -5x+4=0. వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం:

x 1 =1; x 2 =4. x యొక్క మొదటి విలువ పని చేయదు, ఎందుకంటే x = 1 వద్ద ఈ సమానత్వం యొక్క లాగరిథమ్‌లు లేవు, ఎందుకంటే సంవర్గమాన చిహ్నం క్రింద సానుకూల సంఖ్యలు మాత్రమే ఉంటాయి.

ఈ సమీకరణాన్ని x=4 వద్ద తనిఖీ చేద్దాం.

పరీక్ష.

0.5లాగ్ 4 (4-2)+లాగ్ 16 (4-3)=0.25

0.5లాగ్ 4 2+లాగ్ 16 1=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా ఎసంఖ్య యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం బికొత్త ప్రాతిపదికన తో, పాత బేస్ యొక్క లాగరిథమ్ ద్వారా విభజించబడింది ఎకొత్త ప్రాతిపదికన తో.

ఉదాహరణలు:

1) లాగ్ 2 3=lg3/lg2;

2) లాగ్ 8 7=ln7/ln8.

లెక్కించు:

1) లాగ్ 5 7, అని తెలిస్తే lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

సిబి / లాగ్ సి a.

లాగ్ 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

సమాధానం: లాగ్ 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) లాగ్ 5 7 , అని తెలిస్తే ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

పరిష్కారం. సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి: లాగ్ a b =log సిబి / లాగ్ సి a.

లాగ్ 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

సమాధానం: లాగ్ 5 7≈1,209 1≈1,209 .

xని కనుగొనండి:

1) లాగ్ 3 x=లాగ్ 3 4+లాగ్ 5 6/లాగ్ 5 3+లాగ్ 7 8/లాగ్ 7 3.

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: లాగ్ సిబి / లాగ్ సి a = లాగ్ a b . మాకు దొరికింది:

లాగ్ 3 x=లాగ్ 3 4+లాగ్ 3 6+లాగ్ 3 8;

లాగ్ 3 x=లాగ్ 3 (4∙6∙8);

లాగ్ 3 x=లాగ్ 3 192;

x=192.

2) లాగ్ 7 x=lg143-లాగ్ 6 11/లాగ్ 6 10-లాగ్ 5 13/లాగ్ 5 10.

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: లాగ్ సిబి / లాగ్ సి a = లాగ్ a b. మాకు దొరికింది:

లాగ్ 7 x=lg143-lg11-lg13;

లాగ్ 7 x=lg143- (lg11+lg13);

లాగ్ 7 x=lg143-lg (11∙13);

లాగ్ 7 x=lg143-lg143;

x=1.

పేజీ 1 ఆఫ్ 1 1

సమాజం అభివృద్ధి చెందడం మరియు ఉత్పత్తి మరింత సంక్లిష్టంగా మారడంతో, గణితశాస్త్రం కూడా అభివృద్ధి చెందింది. సాధారణ నుండి సంక్లిష్టమైన కదలిక. కూడిక మరియు తీసివేత పద్ధతిని ఉపయోగించి సాధారణ అకౌంటింగ్ నుండి, వారి పునరావృత పునరావృతంతో, మేము గుణకారం మరియు భాగహారం అనే భావనకు వచ్చాము. గుణకారం యొక్క పునరావృత ఆపరేషన్‌ను తగ్గించడం అనేది ఘాతాంక భావనగా మారింది. 8వ శతాబ్దంలో భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు వరసేన ద్వారా సంఖ్యల ఆధారం మరియు ఘాతాంక సంఖ్య యొక్క మొదటి పట్టికలు సంకలనం చేయబడ్డాయి. వాటి నుండి మీరు లాగరిథమ్స్ సంభవించిన సమయాన్ని లెక్కించవచ్చు.

చారిత్రక స్కెచ్

16వ శతాబ్దంలో ఐరోపా పునరుజ్జీవనం మెకానిక్స్ అభివృద్ధిని కూడా ప్రేరేపించింది. టి పెద్ద మొత్తంలో గణన అవసరంబహుళ-అంకెల సంఖ్యల గుణకారం మరియు విభజనకు సంబంధించినది. పురాతన పట్టికలు గొప్ప సేవను కలిగి ఉన్నాయి. సంక్లిష్ట కార్యకలాపాలను సరళమైన వాటితో భర్తీ చేయడాన్ని వారు సాధ్యం చేశారు - కూడిక మరియు తీసివేత. 1544 లో ప్రచురించబడిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మైఖేల్ స్టీఫెల్ యొక్క పని ఒక పెద్ద ముందడుగు, దీనిలో అతను చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ఆలోచనను గ్రహించాడు. ఇది ప్రధాన సంఖ్యల రూపంలోని శక్తులకు మాత్రమే కాకుండా, ఏకపక్ష హేతుబద్ధమైన వాటికి కూడా పట్టికలను ఉపయోగించడం సాధ్యపడింది.

1614లో, స్కాట్స్‌మన్ జాన్ నేపియర్, ఈ ఆలోచనలను అభివృద్ధి చేస్తూ, "సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం" అనే కొత్త పదాన్ని మొదట పరిచయం చేశాడు. సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల లాగరిథమ్‌లు, అలాగే టాంజెంట్‌లను లెక్కించడానికి కొత్త కాంప్లెక్స్ పట్టికలు సంకలనం చేయబడ్డాయి. ఇది ఖగోళ శాస్త్రవేత్తల పనిని బాగా తగ్గించింది.

కొత్త పట్టికలు కనిపించడం ప్రారంభించాయి, వీటిని శాస్త్రవేత్తలు మూడు శతాబ్దాలుగా విజయవంతంగా ఉపయోగించారు. బీజగణితంలో కొత్త ఆపరేషన్ దాని పూర్తి రూపాన్ని పొందే ముందు చాలా సమయం గడిచిపోయింది. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడింది మరియు దాని లక్షణాలు అధ్యయనం చేయబడ్డాయి.

20వ శతాబ్దంలో మాత్రమే, కాలిక్యులేటర్ మరియు కంప్యూటర్ రావడంతో, 13వ శతాబ్దాలలో విజయవంతంగా పనిచేసిన పురాతన పట్టికలను మానవత్వం వదిలివేసింది.

ఈ రోజు మనం b యొక్క సంవర్గమానాన్ని a సంఖ్య xని ఆధారం చేయడానికి పిలుస్తాము, అది b చేయడానికి a యొక్క శక్తి. ఇది ఫార్ములాగా వ్రాయబడింది: x = log a(b).

ఉదాహరణకు, లాగ్ 3(9) 2కి సమానంగా ఉంటుంది. మీరు నిర్వచనాన్ని అనుసరిస్తే ఇది స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. మనం 3ని 2కి పెంచితే, మనకు 9 వస్తుంది.

అందువలన, సూత్రీకరించబడిన నిర్వచనం కేవలం ఒక పరిమితిని మాత్రమే సెట్ చేస్తుంది: a మరియు b సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా నిజమైనవిగా ఉండాలి.

లాగరిథమ్‌ల రకాలు

క్లాసిక్ డెఫినిషన్‌ను రియల్ లాగరిథమ్ అని పిలుస్తారు మరియు వాస్తవానికి ఇది a x = b సమీకరణానికి పరిష్కారం. ఎంపిక a = 1 సరిహద్దురేఖ మరియు ఆసక్తి లేదు. శ్రద్ధ: ఏదైనా శక్తికి 1 అనేది 1కి సమానం.

సంవర్గమానం యొక్క వాస్తవ విలువబేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే నిర్వచించబడతాయి మరియు బేస్ 1కి సమానంగా ఉండకూడదు.

గణిత శాస్త్రంలో ప్రత్యేక స్థానంలాగరిథమ్‌లను ప్లే చేయండి, వాటి బేస్ పరిమాణాన్ని బట్టి పేరు పెట్టబడుతుంది:

నియమాలు మరియు పరిమితులు

సంవర్గమానాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం నియమం: ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమాన మొత్తానికి సమానం. లాగ్ abp = లాగ్ a(b) + log a(p).

ఈ స్టేట్‌మెంట్ యొక్క రూపాంతరంగా ఇలా ఉంటుంది: లాగ్ c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient ఫంక్షన్ ఫంక్షన్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం.

మునుపటి రెండు నియమాల నుండి ఇది చూడటం సులభం: log a(b p) = p * log a(b).

ఇతర లక్షణాలు ఉన్నాయి:

వ్యాఖ్య. సాధారణ తప్పు చేయవలసిన అవసరం లేదు - మొత్తం యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం కాదు.

అనేక శతాబ్దాలుగా, సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్ చాలా సమయం తీసుకునే పని. గణిత శాస్త్రవేత్తలు బహుపది విస్తరణ యొక్క సంవర్గమాన సిద్ధాంతం యొక్క ప్రసిద్ధ సూత్రాన్ని ఉపయోగించారు:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ఇక్కడ n అనేది 1 కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య, ఇది గణన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.

ఇతర బేస్‌లతో కూడిన లాగరిథమ్‌లు ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి మారడం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం గురించి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడ్డాయి.

ఈ పద్ధతి చాలా శ్రమతో కూడుకున్నది కాబట్టి ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడుఅమలు చేయడం కష్టం, మేము ముందుగా సంకలనం చేసిన లాగరిథమ్‌ల పట్టికలను ఉపయోగించాము, ఇది అన్ని పనిని గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది.

కొన్ని సందర్భాల్లో, ప్రత్యేకంగా రూపొందించిన లాగరిథమ్‌ల గ్రాఫ్‌లు ఉపయోగించబడ్డాయి, ఇది తక్కువ ఖచ్చితత్వాన్ని ఇచ్చింది, కానీ కావలసిన విలువ కోసం శోధనను గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది. y = log a(x) ఫంక్షన్ యొక్క వక్రత, అనేక పాయింట్లపై నిర్మించబడింది, మీరు ఏదైనా ఇతర పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి సాధారణ రూలర్‌ని ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. చాలా కాలంగా, ఇంజనీర్లు ఈ ప్రయోజనాల కోసం గ్రాఫ్ పేపర్ అని పిలవబడే వాటిని ఉపయోగించారు.

17వ శతాబ్దంలో, మొదటి సహాయక అనలాగ్ కంప్యూటింగ్ పరిస్థితులు కనిపించాయి, ఇది 19వ శతాబ్దం నాటికి పూర్తి రూపాన్ని పొందింది. అత్యంత విజయవంతమైన పరికరం స్లయిడ్ నియమం అని పిలువబడింది. పరికరం యొక్క సరళత ఉన్నప్పటికీ, దాని ప్రదర్శన అన్ని ఇంజనీరింగ్ గణనల ప్రక్రియను గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది మరియు ఇది అతిగా అంచనా వేయడం కష్టం. ప్రస్తుతం, ఈ పరికరం గురించి చాలా తక్కువ మందికి తెలుసు.

కాలిక్యులేటర్లు మరియు కంప్యూటర్ల ఆగమనం ఏ ఇతర పరికరాలను ఉపయోగించకుండా చేసింది.

సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు

లాగరిథమ్‌లను ఉపయోగించి వివిధ సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి, క్రింది సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి:

• ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి వెళ్లడం: లాగ్ a(b) = లాగ్ c(b) / log c(a);
• మునుపటి ఎంపిక యొక్క పర్యవసానంగా: లాగ్ a(b) = 1 / log b(a).

అసమానతలను పరిష్కరించడానికి, తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

• బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ రెండూ ఒకటి కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువ ఉంటేనే సంవర్గమానం యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది; కనీసం ఒక షరతు ఉల్లంఘించినట్లయితే, లాగరిథమ్ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
• అసమానత యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపులా లాగరిథమ్ ఫంక్షన్ వర్తించబడితే మరియు లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అసమానత యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది; లేకుంటే అది మారుతుంది.

నమూనా సమస్యలు

లాగరిథమ్‌లు మరియు వాటి లక్షణాలను ఉపయోగించడం కోసం అనేక ఎంపికలను పరిశీలిద్దాం. సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు:

లాగరిథమ్‌ను పవర్‌లో ఉంచే ఎంపికను పరిగణించండి:

• సమస్య 3. 25^లాగ్ 5(3)ని లెక్కించండి. పరిష్కారం: సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో, నమోదు క్రింది (5^2)^log5(3) లేదా 5^(2 * లాగ్ 5(3)) వలె ఉంటుంది. దీనిని విభిన్నంగా వ్రాద్దాం: 5^లాగ్ 5(3*2), లేదా ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్‌గా ఉన్న సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఫంక్షన్ యొక్క వర్గంగా వ్రాయవచ్చు (5^లాగ్ 5(3))^2. లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించి, ఈ వ్యక్తీకరణ 3^2కి సమానం. సమాధానం: గణన ఫలితంగా మనకు 9 వస్తుంది.

ఆచరణాత్మక ఉపయోగం

పూర్తిగా గణిత సాధనం కావడంతో, వాస్తవ ప్రపంచంలోని వస్తువులను వివరించడానికి సంవర్గమానం అకస్మాత్తుగా గొప్ప ప్రాముఖ్యతను పొందిందని నిజ జీవితానికి దూరంగా ఉన్నట్లు అనిపిస్తుంది. ఉపయోగించని శాస్త్రాన్ని కనుగొనడం కష్టం. ఇది పూర్తిగా సహజంగానే కాదు, మానవతా జ్ఞాన రంగాలకు కూడా వర్తిస్తుంది.

లాగరిథమిక్ డిపెండెన్సీలు

సంఖ్యా పరాధీనతలకు ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్

చారిత్రాత్మకంగా, మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్ ఎల్లప్పుడూ గణిత పరిశోధన పద్ధతులను ఉపయోగించి అభివృద్ధి చెందాయి మరియు అదే సమయంలో లాగరిథమ్‌లతో సహా గణితశాస్త్ర అభివృద్ధికి ప్రోత్సాహకంగా పనిచేశాయి. భౌతిక శాస్త్ర నియమాల సిద్ధాంతం గణిత శాస్త్ర భాషలో వ్రాయబడింది. సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగించి భౌతిక చట్టాలను వివరించడానికి కేవలం రెండు ఉదాహరణలను ఇద్దాం.

రాకెట్ వేగం వంటి సంక్లిష్ట పరిమాణాన్ని లెక్కించే సమస్యను సియోల్కోవ్స్కీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు, ఇది అంతరిక్ష పరిశోధన సిద్ధాంతానికి పునాది వేసింది:

V = I * ln (M1/M2), ఎక్కడ

• V అనేది విమానం యొక్క చివరి వేగం.
• I - ఇంజిన్ యొక్క నిర్దిష్ట ప్రేరణ.
• M 1 - రాకెట్ యొక్క ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి.
• M 2 - చివరి ద్రవ్యరాశి.

మరొక ముఖ్యమైన ఉదాహరణ- ఇది మరొక గొప్ప శాస్త్రవేత్త మాక్స్ ప్లాంక్ సూత్రంలో ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది థర్మోడైనమిక్స్‌లో సమతౌల్య స్థితిని అంచనా వేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

S = k * ln (Ω), ఎక్కడ

• S - థర్మోడైనమిక్ ప్రాపర్టీ.
• k - బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం.
• Ω అనేది వివిధ రాష్ట్రాల గణాంక బరువు.

రసాయన శాస్త్రం

సంవర్గమానాల నిష్పత్తిని కలిగి ఉన్న రసాయన శాస్త్రంలో ఫార్ములాలను ఉపయోగించడం తక్కువ స్పష్టమైనది. కేవలం రెండు ఉదాహరణలు ఇద్దాం:

• నెర్న్స్ట్ సమీకరణం, పదార్ధాల కార్యాచరణ మరియు సమతౌల్య స్థిరాంకానికి సంబంధించి మాధ్యమం యొక్క రెడాక్స్ సంభావ్యత యొక్క స్థితి.
• ఆటోలిసిస్ ఇండెక్స్ మరియు ద్రావణం యొక్క ఆమ్లత్వం వంటి స్థిరాంకాల గణన కూడా మా ఫంక్షన్ లేకుండా చేయలేము.

మనస్తత్వశాస్త్రం మరియు జీవశాస్త్రం

మరియు మనస్తత్వ శాస్త్రానికి దానితో సంబంధం ఏమిటో స్పష్టంగా లేదు. ఉద్దీపన తీవ్రత విలువ యొక్క తక్కువ తీవ్రత విలువకు విలోమ నిష్పత్తిగా ఈ ఫంక్షన్ ద్వారా సంచలనం యొక్క బలం బాగా వివరించబడింది.

పై ఉదాహరణల తరువాత, జీవశాస్త్రంలో లాగరిథమ్స్ అంశం విస్తృతంగా ఉపయోగించబడటంలో ఆశ్చర్యం లేదు. సంవర్గమాన స్పైరల్స్‌కు సంబంధించిన జీవ రూపాల గురించి మొత్తం వాల్యూమ్‌లను వ్రాయవచ్చు.

ఇతర ప్రాంతాలు

ఈ ఫంక్షన్‌తో సంబంధం లేకుండా ప్రపంచం ఉనికి అసాధ్యమని అనిపిస్తుంది మరియు ఇది అన్ని చట్టాలను శాసిస్తుంది. ముఖ్యంగా ప్రకృతి నియమాలు రేఖాగణిత పురోగతితో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. MatProfi వెబ్‌సైట్‌కి వెళ్లడం విలువైనదే, మరియు ఈ క్రింది కార్యకలాపాలలో ఇటువంటి ఉదాహరణలు చాలా ఉన్నాయి:

జాబితా అంతులేనిది కావచ్చు. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను ప్రావీణ్యం పొందిన తరువాత, మీరు అనంతమైన జ్ఞానం యొక్క ప్రపంచంలోకి ప్రవేశించవచ్చు.

1.1 పూర్ణాంక ఘాతాంకం కోసం ఘాతాంకాన్ని నిర్ణయించడం

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N సార్లు

1.2 జీరో డిగ్రీ.

నిర్వచనం ప్రకారం, ఏదైనా సంఖ్య యొక్క సున్నా శక్తి 1 అని సాధారణంగా అంగీకరించబడింది:

1.3 ప్రతికూల డిగ్రీ.

X -N = 1/X N

1.4 పాక్షిక శక్తి, మూలం.

X యొక్క X 1/N = N రూట్.

ఉదాహరణకు: X 1/2 = √X.

1.5 అధికారాలను జోడించడానికి సూత్రం.

X (N+M) = X N *X M

1.6. అధికారాలను తీసివేయడానికి ఫార్ములా.

X (N-M) = X N /X M

1.7 శక్తులను గుణించడం కోసం సూత్రం.

X N*M = (X N) M

1.8 భిన్నాన్ని శక్తికి పెంచడానికి సూత్రం.

(X/Y) N = X N /Y N

2. సంఖ్య ఇ.

సంఖ్య e విలువ క్రింది పరిమితికి సమానం:

E = లిమ్(1+1/N), N → ∞ వలె.

17 అంకెల ఖచ్చితత్వంతో, సంఖ్య e 2.71828182845904512.

3. ఆయిలర్ సమానత్వం.

ఈ సమానత్వం గణితంలో ప్రత్యేక పాత్ర పోషిస్తున్న ఐదు సంఖ్యలను కలుపుతుంది: 0, 1, ఇ, పై, ఊహాత్మక యూనిట్.

E (i*pi) + 1 = 0

4. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ exp(x)

exp(x) = e x

5. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఘాతాంక ఫంక్షన్ విశేషమైన లక్షణాన్ని కలిగి ఉంది: ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కు సమానంగా ఉంటుంది:

(exp(x))" = exp(x)

6. సంవర్గమానం.

6.1 లాగరిథమ్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం

x = b y అయితే, సంవర్గమానం ఫంక్షన్

Y = లాగ్ బి(x).

సంవర్గమానం సంఖ్యను ఏ శక్తికి పెంచాలి అని చూపుతుంది - ఇచ్చిన సంఖ్యను (X) పొందేందుకు సంవర్గమానం (బి) యొక్క ఆధారం. సంవర్గమానం ఫంక్షన్ సున్నా కంటే ఎక్కువ X కోసం నిర్వచించబడింది.

ఉదాహరణకు: లాగ్ 10 (100) = 2.

6.2 దశాంశ సంవర్గమానం

ఇది బేస్ 10కి సంవర్గమానం:

Y = లాగ్ 10 (x) .

లాగ్(x) ద్వారా సూచించబడుతుంది: లాగ్(x) = లాగ్ 10 (x).

డెసిమల్ లాగరిథమ్ యొక్క ఉపయోగానికి ఉదాహరణ డెసిబెల్.

6.3 డెసిబెల్

అంశం ప్రత్యేక పేజీ డెసిబెల్‌లో హైలైట్ చేయబడింది

6.4 బైనరీ సంవర్గమానం

ఇది బేస్ 2 సంవర్గమానం:

Y = లాగ్ 2 (x).

Lg(x)తో సూచించబడింది: Lg(x) = లాగ్ 2 (X)

6.5 సహజ సంవర్గమానం

ఇది బేస్ ఇకి సంవర్గమానం:

Y = లాగ్ ఇ (x) .

Ln(x) ద్వారా సూచించబడుతుంది: Ln(x) = లాగ్ ఇ (X)
సహజ సంవర్గమానం అనేది ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ ఎక్స్‌ప్(X) యొక్క విలోమ ఫంక్షన్.

6.6 లక్షణ పాయింట్లు

లోగా(1) = 0
లాగ్ ఎ (ఎ) = 1

6.7 ఉత్పత్తి లాగరిథమ్ ఫార్ములా

లాగ్ a (x*y) = లాగ్ ఎ (x)+లాగ్ ఎ (y)

6.8 గుణగణం యొక్క సంవర్గమానం కోసం ఫార్ములా

లాగ్ a (x/y) = లాగ్ ఎ (x)-లాగ్ ఎ (y)

6.9 శక్తి సూత్రం యొక్క సంవర్గమానం

లాగ్ a (x y) = y*Log a (x)

6.10 వేరే బేస్‌తో లాగరిథమ్‌కి మార్చడానికి ఫార్ములా

లాగ్ బి (x) = (లాగ్ ఎ (x))/లాగ్ ఎ (బి)

ఉదాహరణ:

లాగ్ 2 (8) = లాగ్ 10 (8)/లాగ్ 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. జీవితంలో ఉపయోగకరమైన సూత్రాలు

తరచుగా వాల్యూమ్‌ను ప్రాంతం లేదా పొడవుగా మార్చడంలో సమస్యలు ఉన్నాయి మరియు విలోమ సమస్య - ప్రాంతాన్ని వాల్యూమ్‌గా మార్చడం. ఉదాహరణకు, బోర్డులు ఘనాలలో (క్యూబిక్ మీటర్లు) విక్రయించబడతాయి మరియు ఒక నిర్దిష్ట వాల్యూమ్‌లో ఉన్న బోర్డులతో ఎంత గోడ ప్రాంతాన్ని కవర్ చేయవచ్చో మనం లెక్కించాలి, బోర్డుల లెక్కింపు చూడండి, ఒక క్యూబ్‌లో ఎన్ని బోర్డులు ఉన్నాయి. లేదా, గోడ యొక్క కొలతలు తెలిసినట్లయితే, మీరు ఇటుకల సంఖ్యను లెక్కించాలి, ఇటుక లెక్కింపు చూడండి.

మూలానికి సక్రియ లింక్ ఇన్‌స్టాల్ చేయబడితే సైట్ మెటీరియల్‌లను ఉపయోగించడానికి ఇది అనుమతించబడుతుంది.

లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలు, పరిష్కార ఉదాహరణలు. ఈ వ్యాసంలో మేము లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించడానికి సంబంధించిన సమస్యలను పరిశీలిస్తాము. పనులు వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనే ప్రశ్నను అడుగుతాయి. సంవర్గమానం యొక్క భావన అనేక పనులలో ఉపయోగించబడుతుందని మరియు దాని అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం అని గమనించాలి. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ విషయానికొస్తే, సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అనువర్తిత సమస్యలలో మరియు ఫంక్షన్ల అధ్యయనానికి సంబంధించిన పనులలో కూడా లాగరిథమ్ ఉపయోగించబడుతుంది.

సంవర్గమానం యొక్క అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఉదాహరణలను ఇద్దాం:

ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు:

ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోవలసిన లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు:

*ఉత్పత్తి సంవర్గమానం కారకాల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.

* * *

*ఒక గుణకం (భిన్నం) యొక్క సంవర్గమానం కారకాల యొక్క లాగరిథమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం.

* * *

*ఘాతాంకం యొక్క సంవర్గమానం ఘాతాంకం యొక్క సంవర్గమానం మరియు దాని బేస్ యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం.

* * *

*కొత్త పునాదికి మార్పు

* * *

మరిన్ని లక్షణాలు:

* * *

లాగరిథమ్‌ల గణన అనేది ఘాతాంకాల లక్షణాల వినియోగానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.

వాటిలో కొన్నింటిని జాబితా చేద్దాం:

ఈ ఆస్తి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, న్యూమరేటర్ హారంకు మరియు వైస్ వెర్సాకు బదిలీ చేయబడినప్పుడు, ఘాతాంకం యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకానికి మారుతుంది. ఉదాహరణకి:

ఈ ఆస్తి నుండి ఒక ఫలితం:

* * *

శక్తిని శక్తికి పెంచేటప్పుడు, ఆధారం అలాగే ఉంటుంది, కానీ ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి.

* * *

మీరు చూసినట్లుగా, సంవర్గమానం యొక్క భావన చాలా సులభం. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే మీకు మంచి అభ్యాసం అవసరం, ఇది మీకు ఒక నిర్దిష్ట నైపుణ్యాన్ని ఇస్తుంది. వాస్తవానికి, సూత్రాల పరిజ్ఞానం అవసరం. ప్రాథమిక లాగరిథమ్‌లను మార్చడంలో నైపుణ్యం అభివృద్ధి చేయకపోతే, సాధారణ పనులను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు సులభంగా పొరపాటు చేయవచ్చు.

ప్రాక్టీస్ చేయండి, మొదట గణిత కోర్సు నుండి సరళమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి, ఆపై మరింత క్లిష్టమైన వాటికి వెళ్లండి. భవిష్యత్తులో, "భయానక" లాగరిథమ్‌లు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో నేను ఖచ్చితంగా చూపిస్తాను; అవి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో కనిపించవు, కానీ అవి ఆసక్తిని కలిగి ఉన్నాయి, వాటిని మిస్ చేయవద్దు!

అంతే! శుభస్య శీగ్రం!

భవదీయులు, అలెగ్జాండర్ క్రుటిట్స్కిఖ్

P.S: మీరు సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లలో సైట్ గురించి నాకు చెబితే నేను కృతజ్ఞుడను.