మొదటి స్థాయి

డిగ్రీ మరియు దాని లక్షణాలు. సమగ్ర గైడ్ (2019)

డిగ్రీలు ఎందుకు అవసరం? మీకు అవి ఎక్కడ అవసరం? వాటిని అధ్యయనం చేయడానికి మీరు ఎందుకు సమయాన్ని వెచ్చించాలి?

డిగ్రీలు, అవి దేని కోసం, మీ జ్ఞానాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలి అనే విషయాల గురించి ప్రతిదీ తెలుసుకోవడానికి రోజువారీ జీవితంలోఈ కథనాన్ని చదవండి.

మరియు, వాస్తవానికి, డిగ్రీల జ్ఞానం మిమ్మల్ని విజయానికి దగ్గరగా తీసుకువస్తుంది OGE ఉత్తీర్ణతలేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మరియు మీ కలల విశ్వవిద్యాలయంలో ప్రవేశం.

వెళ్దాం... (వెళ్దాం!)

ముఖ్య గమనిక! మీరు ఫార్ములాలకు బదులుగా గోబ్లెడీగూక్‌ని చూసినట్లయితే, మీ కాష్‌ని క్లియర్ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, CTRL+F5 (Windowsలో) లేదా Cmd+R (Macలో) నొక్కండి.

మొదటి స్థాయి

ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ అనేది కూడిక, తీసివేత, గుణకారం లేదా భాగహారం వంటి గణిత ఆపరేషన్.

ఇప్పుడు నేను ప్రతిదీ వివరిస్తాను మానవ భాషచాలా సాధారణ ఉదాహరణలు. జాగ్రత్త. ఉదాహరణలు ప్రాథమికమైనవి, కానీ ముఖ్యమైన విషయాలను వివరించండి.

అదనంగా ప్రారంభిద్దాం.

ఇక్కడ వివరించడానికి ఏమీ లేదు. మీకు ఇప్పటికే ప్రతిదీ తెలుసు: మాలో ఎనిమిది మంది ఉన్నారు. అందరి దగ్గర రెండు కోలా సీసాలు ఉంటాయి. ఎంత కోలా ఉంది? అది నిజం - 16 సీసాలు.

ఇప్పుడు గుణకారం.

కోలాతో అదే ఉదాహరణను విభిన్నంగా వ్రాయవచ్చు: . గణిత శాస్త్రవేత్తలు జిత్తులమారి మరియు సోమరి వ్యక్తులు. వారు మొదట కొన్ని నమూనాలను గమనిస్తారు, ఆపై వాటిని వేగంగా "లెక్కించడానికి" ఒక మార్గాన్ని కనుగొంటారు. మా విషయంలో, ఎనిమిది మందిలో ప్రతి ఒక్కరికి ఒకే సంఖ్యలో కోలా సీసాలు ఉన్నాయని వారు గమనించారు మరియు గుణకారం అనే సాంకేతికతను కనుగొన్నారు. అంగీకరిస్తున్నారు, ఇది కంటే సులభంగా మరియు వేగంగా పరిగణించబడుతుంది.

కాబట్టి, వేగంగా, సులభంగా మరియు లోపాలు లేకుండా లెక్కించడానికి, మీరు కేవలం గుర్తుంచుకోవాలి గుణకార పట్టిక. వాస్తవానికి, మీరు ప్రతిదీ నెమ్మదిగా, మరింత కష్టంగా మరియు తప్పులతో చేయవచ్చు! కానీ…

ఇక్కడ గుణకారం పట్టిక ఉంది. పునరావృతం చేయండి.

మరియు మరొకటి, మరింత అందమైనది:

సోమరితనం గల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఏ ఇతర తెలివైన లెక్కింపు ఉపాయాలను కనుగొన్నారు? కుడి- సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం.

సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం

మీరు ఒక సంఖ్యను ఐదుసార్లు గుణించవలసి వస్తే, మీరు ఆ సంఖ్యను ఐదవ శక్తికి పెంచాలని గణిత శాస్త్రవేత్తలు అంటున్నారు. ఉదాహరణకి, . గణిత శాస్త్రజ్ఞులు రెండు నుండి ఐదవ శక్తికి గుర్తు... మరియు వారు వారి తలలలో ఇటువంటి సమస్యలను పరిష్కరిస్తారు - వేగంగా, సులభంగా మరియు తప్పులు లేకుండా.

మీరు చేయాల్సిందల్లా సంఖ్యల శక్తుల పట్టికలో రంగులో హైలైట్ చేయబడిన వాటిని గుర్తుంచుకోండి. నన్ను నమ్మండి, ఇది మీ జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది.

మార్గం ద్వారా, దీనిని రెండవ డిగ్రీ అని ఎందుకు పిలుస్తారు? చతురస్రంసంఖ్యలు మరియు మూడవది - క్యూబ్? దాని అర్థం ఏమిటి? చాలా మంచి ప్రశ్న. ఇప్పుడు మీకు చతురస్రాలు మరియు ఘనాల రెండూ ఉంటాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #1

సంఖ్య యొక్క స్క్వేర్ లేదా రెండవ శక్తితో ప్రారంభిద్దాం.

ఒక చతురస్రాకారపు కొలను ఒక మీటరుకు ఒక మీటరుతో కొలిచినట్లు ఊహించండి. కొలను మీ డాచా వద్ద ఉంది. ఇది వేడిగా ఉంది మరియు నేను నిజంగా ఈత కొట్టాలనుకుంటున్నాను. కానీ... కొలనుకు అడుగు లేదు! మీరు పూల్ దిగువన పలకలతో కప్పాలి. మీకు ఎన్ని పలకలు అవసరం? దీన్ని గుర్తించడానికి, మీరు పూల్ దిగువ ప్రాంతాన్ని తెలుసుకోవాలి.

పూల్ దిగువన మీటర్ మీటర్ క్యూబ్‌లు ఉన్నాయని మీ వేలిని చూపడం ద్వారా మీరు లెక్కించవచ్చు. మీరు ఒక మీటర్ నుండి ఒక మీటర్ టైల్స్ కలిగి ఉంటే, మీకు ముక్కలు అవసరం. ఇది సులభం ... కానీ మీరు అలాంటి పలకలను ఎక్కడ చూశారు? టైల్ ఎక్కువగా సెం.మీ ఉంటుంది. ఆపై మీరు "మీ వేలితో లెక్కించడం" ద్వారా హింసించబడతారు. అప్పుడు మీరు గుణించాలి. కాబట్టి, పూల్ దిగువన ఒక వైపున మేము టైల్స్ (ముక్కలు) మరియు మరొకదానిపై కూడా టైల్స్ సరిపోతాము. ద్వారా గుణించండి మరియు మీరు పలకలను పొందుతారు ().

పూల్ బాటమ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి మేము అదే సంఖ్యను స్వయంగా గుణించామని మీరు గమనించారా? దాని అర్థం ఏమిటి? మనం ఒకే సంఖ్యను గుణించడం వలన, మనం "ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్" టెక్నిక్‌ని ఉపయోగించవచ్చు. (వాస్తవానికి, మీకు రెండు సంఖ్యలు మాత్రమే ఉన్నప్పుడు, మీరు వాటిని గుణించాలి లేదా వాటిని శక్తికి పెంచాలి. కానీ మీరు వాటిని చాలా కలిగి ఉంటే, వాటిని శక్తికి పెంచడం చాలా సులభం మరియు గణనలలో తక్కువ లోపాలు కూడా ఉన్నాయి. . ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం, ఇది చాలా ముఖ్యమైనది).
కాబట్టి, ముప్పై నుండి రెండవ శక్తి () అవుతుంది. లేదా ముప్పై స్క్వేర్డ్ అవుతుందని చెప్పవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిని ఎల్లప్పుడూ చతురస్రం వలె సూచించవచ్చు. మరియు వైస్ వెర్సా, మీరు ఒక చతురస్రాన్ని చూసినట్లయితే, అది ఎల్లప్పుడూ కొంత సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిగా ఉంటుంది. చతురస్రం అనేది సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తి యొక్క చిత్రం.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #2

మీ కోసం ఇక్కడ ఒక పని ఉంది: సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఉపయోగించి చదరంగం బోర్డులో ఎన్ని చతురస్రాలు ఉన్నాయో లెక్కించండి... సెల్‌ల యొక్క ఒక వైపు మరియు మరొక వైపు కూడా. వారి సంఖ్యను లెక్కించడానికి, మీరు ఎనిమిదిని ఎనిమిదితో గుణించాలి లేదా... చదరంగం బోర్డ్ ఒక వైపు ఉన్న చతురస్రం అని మీరు గమనించినట్లయితే, మీరు ఎనిమిదికి వర్గీకరించవచ్చు. మీరు కణాలు పొందుతారు. () కాబట్టి?

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #3

ఇప్పుడు సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ లేదా మూడవ శక్తి. అదే కొలను. కానీ ఇప్పుడు మీరు ఈ కొలనులో ఎంత నీరు పోయవలసి ఉంటుందో తెలుసుకోవాలి. మీరు వాల్యూమ్ను లెక్కించాలి. (వాల్యూమ్‌లు మరియు ద్రవాలు, మార్గం ద్వారా, కొలుస్తారు క్యూబిక్ మీటర్లు. ఊహించనిది, సరియైనదా?) ఒక కొలను గీయండి: ఒక మీటర్ మరియు మీటరు లోతును కొలిచే దిగువన మరియు మీ పూల్‌కి మీటరుకు మీటర్ కొలిచే క్యూబ్‌లు ఎన్ని సరిపోతాయో లెక్కించడానికి ప్రయత్నించండి.

మీ వేలు చూపించి లెక్కించండి! ఒకటి, రెండు, మూడు, నాలుగు... ఇరవై రెండు, ఇరవై మూడు... మీకు ఎన్ని వచ్చాయి? ఓడిపోలేదా? వేలితో లెక్కించడం కష్టమా? అందువలన! గణిత శాస్త్రజ్ఞుల నుండి ఒక ఉదాహరణ తీసుకోండి. వారు సోమరితనం, కాబట్టి పూల్ యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు దాని పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తును ఒకదానికొకటి గుణించాలి అని వారు గమనించారు. మా విషయంలో, పూల్ యొక్క వాల్యూమ్ ఘనాలకి సమానంగా ఉంటుంది... సులభం, సరియైనదా?

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీన్ని కూడా సరళీకృతం చేస్తే ఎంత సోమరితనం మరియు మోసపూరితంగా ఉంటారో ఇప్పుడు ఊహించండి. మేము అన్నింటినీ ఒక చర్యకు తగ్గించాము. పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు సమానంగా ఉండటం మరియు అదే సంఖ్యను స్వయంగా గుణించడం గమనించారు... దీని అర్థం ఏమిటి? దీని అర్థం మీరు డిగ్రీని సద్వినియోగం చేసుకోవచ్చు. కాబట్టి, మీరు ఒకసారి మీ వేలితో ఏమి లెక్కించారో, వారు ఒక చర్యలో చేస్తారు: మూడు క్యూబ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి. ఇది ఇలా వ్రాయబడింది: .

ఇక మిగిలింది ఒక్కటే డిగ్రీల పట్టికను గుర్తుంచుకోండి. తప్ప, మీరు గణిత శాస్త్రవేత్తల వలె సోమరితనం మరియు మోసపూరితంగా ఉంటారు. మీరు కష్టపడి తప్పులు చేయడానికి ఇష్టపడితే, మీరు మీ వేలితో లెక్కించడం కొనసాగించవచ్చు.

సరే, డిగ్రీలు విడిచిపెట్టేవారు మరియు మోసపూరిత వ్యక్తులు తమ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి డిగ్రీలు కనుగొన్నారని చివరకు మిమ్మల్ని ఒప్పించేందుకు జీవిత సమస్యలు, మరియు మీ కోసం సమస్యలను సృష్టించడానికి కాదు, ఇక్కడ జీవితం నుండి మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #4

మీకు మిలియన్ రూబిళ్లు ఉన్నాయి. ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో, మీరు సంపాదించే ప్రతి మిలియన్ కోసం, మీరు మరొక మిలియన్ సంపాదిస్తారు. అంటే, ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో మీ వద్ద ఉన్న ప్రతి మిలియన్ రెండింతలు. సంవత్సరాలలో మీ వద్ద ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? మీరు ఇప్పుడు కూర్చుని "మీ వేలితో లెక్కపెడుతుంటే" మీరు చాలా ఉన్నారని అర్థం కష్టపడి పనిచేసే మనిషిమరియు.. స్టుపిడ్. కానీ చాలా మటుకు మీరు కొన్ని సెకన్లలో సమాధానం ఇస్తారు, ఎందుకంటే మీరు తెలివైనవారు! కాబట్టి, మొదటి సంవత్సరంలో - రెండు రెండిటితో గుణించబడింది ... రెండవ సంవత్సరంలో - ఏమి జరిగింది, మరో రెండు, మూడవ సంవత్సరంలో ... ఆపు! ఆ సంఖ్య దానికదే రెట్లు గుణించబడుతుందని మీరు గమనించారు. కాబట్టి రెండు నుండి ఐదవ శక్తి ఒక మిలియన్! ఇప్పుడు మీకు పోటీ ఉందని ఊహించుకోండి మరియు వేగంగా లెక్కించగల వ్యక్తి ఈ మిలియన్లను పొందుతాడు ... ఇది సంఖ్యల శక్తులను గుర్తుంచుకోవడం విలువైనది, మీరు అనుకోలేదా?

నిజ జీవిత ఉదాహరణ #5

మీ దగ్గర మిలియన్ ఉంది. ప్రతి సంవత్సరం ప్రారంభంలో, మీరు సంపాదించే ప్రతి మిలియన్‌కు, మీరు మరో రెండు సంపాదిస్తారు. గొప్పది కాదా? ప్రతి మిలియన్ మూడు రెట్లు. ఒక సంవత్సరంలో మీ దగ్గర ఎంత డబ్బు ఉంటుంది? లెక్క తీసుకుందాం. మొదటి సంవత్సరం - గుణించండి, ఆపై ఫలితం మరొక దానితో... ఇది ఇప్పటికే బోరింగ్, ఎందుకంటే మీరు ఇప్పటికే ప్రతిదీ అర్థం చేసుకున్నారు: మూడు దానికదే రెట్లు గుణించబడుతుంది. కాబట్టి నాల్గవ శక్తికి అది మిలియన్‌కు సమానం. మీరు కేవలం మూడు నుండి నాల్గవ శక్తి లేదా అని గుర్తుంచుకోవాలి.

సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం ద్వారా మీరు మీ జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తారని ఇప్పుడు మీకు తెలుసు. మీరు డిగ్రీలతో ఏమి చేయవచ్చు మరియు వాటి గురించి మీరు తెలుసుకోవలసిన వాటిని మరింత పరిశీలిద్దాం.

నిబంధనలు మరియు భావనలు... గందరగోళానికి గురికాకుండా ఉండేందుకు

కాబట్టి, మొదట, భావనలను నిర్వచించండి. మీరు ఏమనుకుంటున్నారు, ఘాతాంకం అంటే ఏమిటి? ఇది చాలా సులభం - ఇది సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క "ఎగువ భాగంలో" ఉన్న సంఖ్య. శాస్త్రీయమైనది కాదు, కానీ స్పష్టంగా మరియు సులభంగా గుర్తుంచుకోవడానికి...

బాగా, అదే సమయంలో, ఏమి అటువంటి డిగ్రీ ఆధారంగా? మరింత సరళమైనది - ఇది దిగువన, బేస్ వద్ద ఉన్న సంఖ్య.

మంచి కొలత కోసం ఇక్కడ డ్రాయింగ్ ఉంది.

బాగా, సాధారణ పరంగా, సాధారణీకరించడానికి మరియు బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి... బేస్ "" మరియు ఘాతాంకంతో "" డిగ్రీని "డిగ్రీకి" చదవండి మరియు ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:

సంఖ్య యొక్క శక్తి c సహజ సూచిక

మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఊహించి ఉండవచ్చు: ఎందుకంటే ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య. అవును, కానీ అది ఏమిటి సహజ సంఖ్య? ప్రాథమిక! సహజ సంఖ్యలు వస్తువులను జాబితా చేసేటప్పుడు లెక్కించడంలో ఉపయోగించే ఆ సంఖ్యలు: ఒకటి, రెండు, మూడు... మనం వస్తువులను లెక్కించినప్పుడు, మనం చెప్పము: “మైనస్ ఐదు,” “మైనస్ ఆరు,” “మైనస్ ఏడు.” మేము కూడా చెప్పము: "మూడవ వంతు", లేదా "సున్నా పాయింట్ ఐదు". ఇవి సహజ సంఖ్యలు కావు. ఇవి ఏ సంఖ్యలు అని మీరు అనుకుంటున్నారు?

"మైనస్ ఐదు", "మైనస్ ఆరు", "మైనస్ ఏడు" వంటి సంఖ్యలు సూచిస్తాయి మొత్తం సంఖ్యలు.సాధారణంగా, పూర్ణాంకాలలో అన్ని సహజ సంఖ్యలు, సహజ సంఖ్యలకు వ్యతిరేక సంఖ్యలు (అంటే మైనస్ గుర్తుతో తీసుకోబడినవి) మరియు సంఖ్య ఉంటాయి. సున్నా అర్థం చేసుకోవడం సులభం - అది ఏమీ లేనప్పుడు. ప్రతికూల ("మైనస్") సంఖ్యల అర్థం ఏమిటి? కానీ అవి ప్రధానంగా అప్పులను సూచించడానికి కనుగొనబడ్డాయి: మీరు మీ ఫోన్‌లో రూబిళ్లు బ్యాలెన్స్ కలిగి ఉంటే, మీరు ఆపరేటర్ రూబిళ్లు రుణపడి ఉంటారని దీని అర్థం.

అన్ని భిన్నాలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు. అవి ఎలా పుట్టుకొచ్చాయి, మీరు అనుకుంటున్నారా? చాలా సింపుల్. కొన్ని వేల సంవత్సరాల క్రితం, మన పూర్వీకులు తమలో తాము లేరని కనుగొన్నారు సహజ సంఖ్యలుపొడవు, బరువు, ప్రాంతం మొదలైనవాటిని కొలవడానికి. మరియు వారు ముందుకు వచ్చారు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు... ఆసక్తికరంగా ఉంది, కాదా?

అకరణీయ సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఈ సంఖ్యలు ఏమిటి? సంక్షిప్తంగా, ఇది అనంతమైన దశాంశ భిన్నం. ఉదాహరణకు, ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత దాని వ్యాసంతో విభజించబడితే, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది అకరణీయ సంఖ్య.

సారాంశం:

ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య (అంటే పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మకం) అయిన డిగ్రీ భావనను నిర్వచిద్దాం.

1. మొదటి శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య దానికి సమానం:
2. సంఖ్యను వర్గీకరించడం అంటే దానిని దానితో గుణించడం:
3. సంఖ్యను క్యూబ్ చేయడం అంటే దానిని మూడుసార్లు గుణించడం:

నిర్వచనం.సంఖ్యను పెంచండి సహజ డిగ్రీ- అంటే సంఖ్యను దానికదే సార్లు గుణించడం:
.

డిగ్రీల లక్షణాలు

ఈ ఆస్తులు ఎక్కడి నుంచి వచ్చాయి? నేను ఇప్పుడు మీకు చూపిస్తాను.

చూద్దాం: అది ఏమిటి మరియు ?

A-ప్రియరీ:

మొత్తం ఎన్ని గుణకాలు ఉన్నాయి?

ఇది చాలా సులభం: మేము కారకాలకు మల్టిప్లైయర్‌లను జోడించాము మరియు ఫలితం గుణకాలు.

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి, అంటే: , ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఉదాహరణ: వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం:

ఉదాహరణ:వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం:మన పాలనలో గమనించాల్సిన విషయం తప్పనిసరిగాఅవే కారణాలు ఉండాలి!
అందువల్ల, మేము శక్తులను బేస్తో కలుపుతాము, కానీ ఇది ఒక ప్రత్యేక కారకంగా మిగిలిపోయింది:

అధికారాల ఉత్పత్తికి మాత్రమే!

ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అలా రాయకూడదు.

2. అంతే సంఖ్య యొక్క శక్తి

మునుపటి ఆస్తి వలె, డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం:

వ్యక్తీకరణ స్వయంగా రెట్లు గుణించబడిందని తేలింది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సంఖ్య యొక్క వ శక్తి:

సారాంశంలో, దీనిని "బ్రాకెట్ల నుండి సూచికను తీసుకోవడం" అని పిలుస్తారు. కానీ మీరు దీన్ని పూర్తిగా ఎప్పటికీ చేయలేరు:

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి: మనం ఎన్నిసార్లు వ్రాయాలనుకుంటున్నాము?

కానీ ఇది నిజం కాదు, అన్ని తరువాత.

ప్రతికూల ఆధారంతో శక్తి

ఈ పాయింట్ వరకు, మేము ఘాతాంకం ఏమిటో మాత్రమే చర్చించాము.

అయితే ఏది ఆధారం కావాలి?

అధికారాలలో సహజ సూచికఆధారం కావచ్చు ఏదైనా సంఖ్య. నిజమే, మనం ఏదైనా సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు, అవి సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సమానంగా ఉండవచ్చు.

ఏ సంకేతాలు ("" లేదా "") సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయో ఆలోచిద్దాం?

ఉదాహరణకు, సంఖ్య సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా? ఎ? ? మొదటిదానితో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మనం ఎన్ని సానుకూల సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినా, ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

కానీ ప్రతికూలమైనవి కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. మేము 6వ తరగతి నుండి సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము: "మైనస్ కోసం మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది." అంటే, లేదా. కానీ మనం గుణిస్తే, అది పని చేస్తుంది.

కింది వ్యక్తీకరణలు ఏ సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయో మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

మీరు నిర్వహించారా?

ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి: మొదటి నాలుగు ఉదాహరణలలో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? మేము కేవలం బేస్ మరియు ఘాతాంకాన్ని చూసి తగిన నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ఉదాహరణలో 5) ప్రతిదీ కూడా కనిపించేంత భయానకంగా లేదు: అన్నింటికంటే, బేస్ దేనికి సమానం అనేది పట్టింపు లేదు - డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది, అంటే ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

సరే, బేస్ సున్నా అయినప్పుడు తప్ప. ఆధారం సమానంగా లేదు, అవునా? స్పష్టంగా లేదు, నుండి (ఎందుకంటే).

ఉదాహరణ 6) ఇకపై అంత సులభం కాదు!

సాధన చేయడానికి 6 ఉదాహరణలు

పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ 6 ఉదాహరణలు

మనం ఎనిమిదవ శక్తిని విస్మరిస్తే, మనం ఇక్కడ ఏమి చూస్తాము? 7వ తరగతి కార్యక్రమం గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం. కాబట్టి, మీకు గుర్తుందా? ఇది సంక్షిప్త గుణకారానికి సూత్రం, అవి వర్గాల వ్యత్యాసం! మాకు దొరికింది:

హారం జాగ్రత్తగా చూద్దాం. ఇది చాలా న్యూమరేటర్ కారకాలలో ఒకటిగా కనిపిస్తోంది, కానీ తప్పు ఏమిటి? నిబంధనల క్రమం తప్పు. అవి రివర్స్ అయితే, నియమం వర్తించవచ్చు.

కానీ అది ఎలా చేయాలి? ఇది చాలా సులభం అని తేలింది: హారం యొక్క సరి స్థాయి ఇక్కడ మాకు సహాయపడుతుంది.

అద్భుతంగా నిబంధనలు స్థలాలను మార్చాయి. ఈ "దృగ్విషయం" ఏదైనా వ్యక్తీకరణకు సమాన స్థాయికి వర్తిస్తుంది: మనం కుండలీకరణాల్లోని సంకేతాలను సులభంగా మార్చవచ్చు.

కానీ గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం: అన్ని సంకేతాలు ఒకే సమయంలో మారుతాయి!

ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం:

మరియు మళ్ళీ సూత్రం:

మొత్తంమేము సహజ సంఖ్యలను, వాటి వ్యతిరేకతలను (అంటే, "" గుర్తుతో తీసుకున్న) మరియు సంఖ్య అని పిలుస్తాము.

ధన పూర్ణాంకం, మరియు ఇది సహజంగా భిన్నంగా లేదు, అప్పుడు ప్రతిదీ మునుపటి విభాగంలో సరిగ్గా కనిపిస్తుంది.

ఇప్పుడు కొత్త కేసులను చూద్దాం. సమానమైన సూచికతో ప్రారంభిద్దాం.

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం:

ఎప్పటిలాగే, మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుందాం: ఇది ఎందుకు?

బేస్ తో కొంత డిగ్రీని పరిశీలిద్దాం. ఉదాహరణకు తీసుకోండి మరియు దీని ద్వారా గుణించండి:

కాబట్టి, మేము సంఖ్యను గుణించాము మరియు మనకు అదే విషయం వచ్చింది - . ఏమీ మారకుండా మీరు ఏ సంఖ్యతో గుణించాలి? అది నిజం, న. అర్థం.

మేము ఏకపక్ష సంఖ్యతో అదే విధంగా చేయవచ్చు:

నియమాన్ని పునరావృతం చేద్దాం:

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం.

కానీ చాలా నియమాలకు మినహాయింపులు ఉన్నాయి. మరియు ఇక్కడ అది కూడా ఉంది - ఇది ఒక సంఖ్య (ఆధారంగా).

ఒక వైపు, అది ఏ డిగ్రీకి సమానంగా ఉండాలి - మీరు సున్నాని దానితో ఎంత గుణించినా, మీరు ఇప్పటికీ సున్నాని పొందుతారు, ఇది స్పష్టంగా ఉంది. కానీ మరోవైపు, సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య వలె, అది తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి. అయితే ఇందులో నిజం ఎంత? గణిత శాస్త్రవేత్తలు జోక్యం చేసుకోకూడదని నిర్ణయించుకున్నారు మరియు సున్నాని పెంచడానికి నిరాకరించారు సున్నా డిగ్రీ. అంటే, ఇప్పుడు మనం సున్నాతో విభజించడమే కాదు, దానిని సున్నా శక్తికి కూడా పెంచలేము.

ముందుకు వెళ్దాం. సహజ సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలతో పాటు, పూర్ణాంకాలు ప్రతికూల సంఖ్యలను కూడా కలిగి ఉంటాయి. నెగటివ్ డిగ్రీ అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి, ఇలా చేద్దాం చివరిసారి: కొన్నింటిని గుణించండి సాధారణ సంఖ్యఅదే ప్రతికూల స్థాయికి:

ఇక్కడ నుండి మీరు వెతుకుతున్న దాన్ని వ్యక్తీకరించడం సులభం:

ఇప్పుడు ఫలిత నియమాన్ని ఏకపక్ష స్థాయికి పొడిగిద్దాం:

కాబట్టి, ఒక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం:

ప్రతికూల శక్తి ఉన్న సంఖ్య సానుకూల శక్తితో అదే సంఖ్యకు పరస్పరం. కానీ అదే సమయంలో ఆధారం శూన్యంగా ఉండకూడదు:(ఎందుకంటే మీరు విభజించలేరు).

సారాంశం చేద్దాం:

I. సందర్భంలో వ్యక్తీకరణ నిర్వచించబడలేదు. ఒకవేళ, అప్పుడు.

II. సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య ఒకదానికి సమానం: .

III. ప్రతికూల శక్తికి సున్నాకి సమానం కాని సంఖ్య సానుకూల శక్తికి అదే సంఖ్య యొక్క విలోమం: .

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం విధులు:

బాగా, ఎప్పటిలాగే, స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు:

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం సమస్యల విశ్లేషణ:

నాకు తెలుసు, నాకు తెలుసు, సంఖ్యలు భయానకంగా ఉన్నాయి, కానీ ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో మీరు దేనికైనా సిద్ధంగా ఉండాలి! మీరు వాటిని పరిష్కరించలేకపోతే ఈ ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి లేదా వాటి పరిష్కారాలను విశ్లేషించండి మరియు మీరు పరీక్షలో వాటిని సులభంగా ఎదుర్కోవడం నేర్చుకుంటారు!

"సరిపోయే" సంఖ్యల పరిధిని ఘాతాంకం వలె విస్తరించడాన్ని కొనసాగిద్దాం.

ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం హేతుబద్ధ సంఖ్యలు.ఏ సంఖ్యలను హేతుబద్ధం అంటారు?

సమాధానం: ఒక భిన్నం వలె సూచించబడే ప్రతిదీ, ఎక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు, మరియు.

అది ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి "పాక్షిక డిగ్రీ", భిన్నాన్ని పరిగణించండి:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా శక్తికి పెంచుదాం:

ఇప్పుడు గురించి నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి "డిగ్రీ నుండి డిగ్రీ":

పొందడానికి ఏ సంఖ్యను శక్తికి పెంచాలి?

ఈ సూత్రీకరణ వ డిగ్రీ యొక్క మూలం యొక్క నిర్వచనం.

నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: సంఖ్య () యొక్క వ శక్తి యొక్క మూలం, ఒక శక్తికి పెంచబడినప్పుడు, దానికి సమానంగా ఉండే సంఖ్య.

అంటే, వ శక్తి యొక్క మూలం శక్తికి పెంచే విలోమ చర్య: .

అని తేలుతుంది. స్పష్టంగా ఇది ప్రత్యేక సంధర్భంవిస్తరించవచ్చు: .

ఇప్పుడు మనం న్యూమరేటర్‌ని జోడిస్తాము: అది ఏమిటి? పవర్-టు-పవర్ నియమాన్ని ఉపయోగించి సమాధానం పొందడం సులభం:

కానీ ఆధారం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు? అన్ని తరువాత, అన్ని సంఖ్యల నుండి రూట్ సంగ్రహించబడదు.

ఏదీ లేదు!

మనం నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: సమాన శక్తికి పెంచబడిన ఏదైనా సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య. అంటే, ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి మూలాలను కూడా సంగ్రహించడం అసాధ్యం!

దీనర్థం అటువంటి సంఖ్యలను సమాన హారంతో పాక్షిక శక్తికి పెంచడం సాధ్యం కాదు, అంటే వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదు.

వ్యక్తీకరణ గురించి ఏమిటి?

కానీ ఇక్కడ ఒక సమస్య తలెత్తుతుంది.

సంఖ్యను ఇతర, తగ్గించదగిన భిన్నాల రూపంలో సూచించవచ్చు, ఉదాహరణకు, లేదా.

మరియు అది ఉనికిలో ఉంది, కానీ ఉనికిలో లేదు, కానీ ఇవి కేవలం రెండు మాత్రమే వివిధ ఎంట్రీలుఅదే సంఖ్య.

లేదా మరొక ఉదాహరణ: ఒకసారి, మీరు దానిని వ్రాయవచ్చు. కానీ మేము సూచికను భిన్నంగా వ్రాస్తే, మేము మళ్ళీ ఇబ్బందుల్లో పడతాము: (అంటే, మాకు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితం వచ్చింది!).

అటువంటి వైరుధ్యాలను నివారించడానికి, మేము పరిశీలిస్తాము డిగ్రీ సి యొక్క సానుకూల ఆధారం మాత్రమే పాక్షిక సూచిక .

కనుక:

• - సహజ సంఖ్య;
• - పూర్ణ సంఖ్య;

ఉదాహరణలు:

తో డిగ్రీలు హేతుబద్ధమైన సూచికమూలాలతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు:

సాధన చేయడానికి 5 ఉదాహరణలు

శిక్షణ కోసం 5 ఉదాహరణల విశ్లేషణ

బాగా, ఇప్పుడు కష్టతరమైన భాగం వస్తుంది. ఇప్పుడు మేము దానిని గుర్తించాము అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.

ఇక్కడ ఉన్న డిగ్రీల యొక్క అన్ని నియమాలు మరియు లక్షణాలు మినహాయించి, హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీకి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి

అన్నింటికంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, అహేతుక సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించబడని సంఖ్యలు, ఇక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు (అనగా, అహేతుక సంఖ్యలు హేతుబద్ధమైన వాటిని మినహాయించి అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు).

సహజ, పూర్ణాంకం మరియు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో డిగ్రీలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ప్రతిసారీ మేము నిర్దిష్ట "చిత్రం", "సారూప్యత" లేదా వివరణను మరింత సుపరిచితమైన పరంగా సృష్టించాము.

ఉదాహరణకు, సహజ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ అనేది అనేక సార్లు దానితో గుణించబడిన సంఖ్య;

...సున్నా శక్తికి సంఖ్య- ఇది, ఒక సారి స్వయంగా గుణించబడిన సంఖ్య, అనగా, వారు దానిని ఇంకా గుణించడం ప్రారంభించలేదు, అంటే ఆ సంఖ్య ఇంకా కనిపించలేదు - కాబట్టి ఫలితం ఒక నిర్దిష్ట “ఖాళీ సంఖ్య” మాత్రమే. , అవి ఒక సంఖ్య;

...పూర్ణాంకంతో డిగ్రీ ప్రతికూల సూచిక - ఏదో జరిగినట్లు ఉంది" రివర్స్ ప్రక్రియ", అంటే, సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడలేదు, కానీ విభజించబడింది.

మార్గం ద్వారా, సైన్స్‌లో డిగ్రీ సంక్లిష్ట సూచిక, అంటే, సూచిక కూడా కాదు వాస్తవ సంఖ్య.

కానీ పాఠశాలలో మేము అలాంటి ఇబ్బందుల గురించి ఆలోచించము; ఇన్స్టిట్యూట్‌లో ఈ కొత్త భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు అవకాశం ఉంటుంది.

మీరు ఎక్కడికి వెళ్తారని మేము ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాము! (మీరు అలాంటి ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటే :))

ఉదాహరణకి:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

పరిష్కారాల విశ్లేషణ:

1. శక్తికి శక్తిని పెంచడానికి సాధారణ నియమంతో ప్రారంభిద్దాం:

ఇప్పుడు సూచిక చూడండి. అతను మీకు ఏమీ గుర్తు చేయలేదా? చతురస్రాల వ్యత్యాసం యొక్క సంక్షిప్త గుణకారం కోసం సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:

ఈ విషయంలో,

ఇది ఇలా మారుతుంది:

సమాధానం: .

2. మేము ఘాతాంకాలలో భిన్నాలను ఒకే రూపంలోకి తగ్గిస్తాము: రెండు దశాంశాలు లేదా రెండూ సాధారణమైనవి. మేము పొందుతాము, ఉదాహరణకు:

సమాధానం: 16

3. ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, మేము డిగ్రీల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:

అధునాతన స్థాయి

డిగ్రీ నిర్ధారణ

డిగ్రీ అనేది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ: , ఎక్కడ:

• — డిగ్రీ బేస్;
• - ఘాతాంకం.

సహజ సూచికతో డిగ్రీ (n = 1, 2, 3,...)

సంఖ్యను సహజ శక్తి nకి పెంచడం అంటే సంఖ్యను దానికదే రెట్లు గుణించడం:

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ (0, ±1, ±2,...)

ఘాతాంకం ఉంటే ధన పూర్ణాంకంసంఖ్య:

నిర్మాణం సున్నా డిగ్రీకి:

వ్యక్తీకరణ నిరవధికంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే, ఒక వైపు, ఏ స్థాయికి ఇది, మరియు మరోవైపు, వ డిగ్రీకి ఏదైనా సంఖ్య ఇది.

ఘాతాంకం ఉంటే ప్రతికూల పూర్ణాంకంసంఖ్య:

(ఎందుకంటే మీరు విభజించలేరు).

సున్నాల గురించి మరోసారి: వ్యక్తీకరణ సందర్భంలో నిర్వచించబడలేదు. ఒకవేళ, అప్పుడు.

ఉదాహరణలు:

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి

• - సహజ సంఖ్య;
• - పూర్ణ సంఖ్య;

ఉదాహరణలు:

డిగ్రీల లక్షణాలు

సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభతరం చేయడానికి, అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం: ఈ లక్షణాలు ఎక్కడ నుండి వచ్చాయి? వాటిని నిరూపిద్దాం.

చూద్దాం: ఏమిటి మరియు?

A-ప్రియరీ:

కాబట్టి, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క కుడి వైపున మేము ఈ క్రింది ఉత్పత్తిని పొందుతాము:

కానీ నిర్వచనం ప్రకారం ఇది ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి, అంటే:

Q.E.D.

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం : .

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం : మన పాలనలో ఇది గమనించాలి తప్పనిసరిగాఅవే కారణాలు ఉండాలి. అందువల్ల, మేము శక్తులను బేస్తో కలుపుతాము, కానీ ఇది ఒక ప్రత్యేక కారకంగా మిగిలిపోయింది:

మరొక ముఖ్యమైన గమనిక: ఈ నియమం - అధికారాల ఉత్పత్తికి మాత్రమే!

ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అలా రాయకూడదు.

మునుపటి ఆస్తి వలె, డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి వెళ్దాం:

ఈ పనిని ఇలా మళ్లీ సమూహిద్దాం:

వ్యక్తీకరణ స్వయంగా రెట్లు గుణించబడిందని తేలింది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఇది సంఖ్య యొక్క వ శక్తి:

సారాంశంలో, దీనిని "బ్రాకెట్ల నుండి సూచికను తీసుకోవడం" అని పిలుస్తారు. కానీ మీరు దీన్ని మొత్తంగా ఎప్పటికీ చేయలేరు: !

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి: మనం ఎన్నిసార్లు వ్రాయాలనుకుంటున్నాము? కానీ ఇది నిజం కాదు, అన్ని తరువాత.

ప్రతికూల ఆధారంతో శక్తి.

ఇది వరకు మేము అది ఎలా ఉండాలో మాత్రమే చర్చించాము సూచికడిగ్రీలు. అయితే ఏది ఆధారం కావాలి? అధికారాలలో సహజ సూచిక ఆధారం కావచ్చు ఏదైనా సంఖ్య .

నిజమే, మనం ఏదైనా సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు, అవి సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సమానంగా ఉండవచ్చు. ఏ సంకేతాలు ("" లేదా "") సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయో ఆలోచిద్దాం?

ఉదాహరణకు, సంఖ్య సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా? ఎ? ?

మొదటిదానితో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మనం ఎన్ని సానుకూల సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించినా, ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

కానీ ప్రతికూలమైనవి కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. మేము 6వ తరగతి నుండి సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము: "మైనస్ కోసం మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది." అంటే, లేదా. కానీ మనం () ద్వారా గుణిస్తే మనకు లభిస్తుంది - .

మరియు ప్రకటన అనంతం: ప్రతి తదుపరి గుణకారంతో గుర్తు మారుతుంది. మేము ఈ క్రింది వాటిని రూపొందించవచ్చు సాధారణ నియమాలు:

1. కూడాడిగ్రీ, - సంఖ్య అనుకూల.
2. ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది బేసిడిగ్రీ, - సంఖ్య ప్రతికూల.
3. ఏదైనా డిగ్రీకి సానుకూల సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య.
4. ఏదైనా శక్తికి సున్నా సున్నాకి సమానం.

కింది వ్యక్తీకరణలు ఏ సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటాయో మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

మీరు నిర్వహించారా? ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

మొదటి నాలుగు ఉదాహరణలలో, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? మేము కేవలం బేస్ మరియు ఘాతాంకాన్ని చూసి తగిన నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

ఉదాహరణలో 5) ప్రతిదీ కూడా కనిపించేంత భయానకంగా లేదు: అన్నింటికంటే, బేస్ దేనికి సమానం అనేది పట్టింపు లేదు - డిగ్రీ సమానంగా ఉంటుంది, అంటే ఫలితం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది. బాగా, బేస్ సున్నా ఉన్నప్పుడు తప్ప. ఆధారం సమానంగా లేదు, అవునా? స్పష్టంగా లేదు, నుండి (ఎందుకంటే).

ఉదాహరణ 6) ఇకపై అంత సులభం కాదు. ఇక్కడ మీరు ఏది తక్కువ అని తెలుసుకోవాలి: లేదా? మనం దానిని గుర్తుంచుకుంటే, ఆధారం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉందని స్పష్టమవుతుంది. అంటే, మేము నియమం 2ని వర్తింపజేస్తాము: ఫలితం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

మరియు మళ్ళీ మేము డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

ప్రతిదీ ఎప్పటిలాగే ఉంది - మేము డిగ్రీల నిర్వచనాన్ని వ్రాసి వాటిని ఒకదానికొకటి విభజించి, వాటిని జంటలుగా విభజించి పొందండి:

మీరు దానిని విడదీసే ముందు చివరి నియమం, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం.

వ్యక్తీకరణలను లెక్కించండి:

పరిష్కారాలు :

మనం ఎనిమిదవ శక్తిని విస్మరిస్తే, మనం ఇక్కడ ఏమి చూస్తాము? 7వ తరగతి కార్యక్రమం గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం. కాబట్టి, మీకు గుర్తుందా? ఇది సంక్షిప్త గుణకారానికి సూత్రం, అవి వర్గాల వ్యత్యాసం!

మాకు దొరికింది:

హారం జాగ్రత్తగా చూద్దాం. ఇది చాలా న్యూమరేటర్ కారకాలలో ఒకటిగా కనిపిస్తోంది, కానీ తప్పు ఏమిటి? నిబంధనల క్రమం తప్పు. అవి రివర్స్ అయితే, రూల్ 3 వర్తించవచ్చు. అయితే ఎలా? ఇది చాలా సులభం అని తేలింది: హారం యొక్క సరి స్థాయి ఇక్కడ మాకు సహాయపడుతుంది.

మీరు దానిని గుణిస్తే, ఏమీ మారదు, సరియైనదా? కానీ ఇప్పుడు ఇది ఇలా మారుతుంది:

అద్భుతంగా నిబంధనలు స్థలాలను మార్చాయి. ఈ "దృగ్విషయం" ఏదైనా వ్యక్తీకరణకు సమాన స్థాయికి వర్తిస్తుంది: మనం కుండలీకరణాల్లోని సంకేతాలను సులభంగా మార్చవచ్చు. కానీ గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం: అన్ని సంకేతాలు ఒకే సమయంలో మారతాయి!మేము ఇష్టపడని ఒక ప్రతికూలతను మాత్రమే మార్చడం ద్వారా మీరు దాన్ని భర్తీ చేయలేరు!

ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం:

మరియు మళ్ళీ సూత్రం:

కాబట్టి ఇప్పుడు చివరి నియమం:

మేము దానిని ఎలా నిరూపిస్తాము? వాస్తవానికి, ఎప్పటిలాగే: డిగ్రీ భావనను విస్తరింపజేద్దాం మరియు దానిని సరళీకృతం చేద్దాం:

సరే, ఇప్పుడు బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం. మొత్తం ఎన్ని అక్షరాలు ఉన్నాయి? గుణకాల ద్వారా సార్లు - ఇది మీకు ఏమి గుర్తు చేస్తుంది? ఇది ఆపరేషన్ యొక్క నిర్వచనం తప్ప మరేమీ కాదు గుణకారం: అక్కడ గుణకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. అంటే, ఇది నిర్వచనం ప్రకారం, ఘాతాంకంతో కూడిన సంఖ్య యొక్క శక్తి:

ఉదాహరణ:

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

సగటు స్థాయికి సంబంధించిన డిగ్రీల గురించిన సమాచారంతో పాటు, మేము డిగ్రీని అహేతుక ఘాతాంకంతో విశ్లేషిస్తాము. ఇక్కడ ఉన్న డిగ్రీల యొక్క అన్ని నియమాలు మరియు లక్షణాలు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఉన్న డిగ్రీకి ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉంటాయి, మినహాయింపుతో - అన్ని తరువాత, నిర్వచనం ప్రకారం, అహేతుక సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించలేని సంఖ్యలు, ఎక్కడ మరియు పూర్ణాంకాలు (అంటే , అకరణీయ సంఖ్యలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలు తప్ప అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు).

సహజ, పూర్ణాంకం మరియు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలతో డిగ్రీలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ప్రతిసారీ మేము నిర్దిష్ట "చిత్రం", "సారూప్యత" లేదా వివరణను మరింత సుపరిచితమైన పరంగా సృష్టించాము. ఉదాహరణకు, సహజ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ అనేది అనేక సార్లు దానితో గుణించబడిన సంఖ్య; సున్నా శక్తికి ఒక సంఖ్య, అది ఉన్నట్లుగా, ఒకసారి దానితో గుణించిన సంఖ్య, అంటే, వారు ఇంకా దానిని గుణించడం ప్రారంభించలేదు, అంటే ఆ సంఖ్య ఇంకా కనిపించలేదు - కాబట్టి ఫలితం ఖచ్చితంగా ఉంటుంది "ఖాళీ సంఖ్య", అవి ఒక సంఖ్య; పూర్ణాంకం ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ - ఇది ఏదో "రివర్స్ ప్రాసెస్" సంభవించినట్లుగా ఉంటుంది, అనగా, సంఖ్య స్వయంగా గుణించబడలేదు, కానీ విభజించబడింది.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని ఊహించడం చాలా కష్టం (4-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌ను ఊహించడం కష్టంగా ఉంటుంది). ఇది చాలా శుభ్రంగా ఉంది గణిత వస్తువు, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు డిగ్రీ భావనను సంఖ్యల మొత్తం స్థలానికి విస్తరించడానికి సృష్టించారు.

మార్గం ద్వారా, సైన్స్‌లో కాంప్లెక్స్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, అంటే ఘాతాంకం వాస్తవ సంఖ్య కూడా కాదు. కానీ పాఠశాలలో మేము అలాంటి ఇబ్బందుల గురించి ఆలోచించము; ఇన్స్టిట్యూట్‌లో ఈ కొత్త భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు అవకాశం ఉంటుంది.

అలా చూస్తే ఏం చేస్తాం అహేతుక సూచికడిగ్రీలు? మేము దానిని వదిలించుకోవడానికి మా వంతు ప్రయత్నం చేస్తున్నాము! :)

ఉదాహరణకి:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1)

2)

3)

సమాధానాలు:

1. స్క్వేర్స్ ఫార్ములా తేడాను గుర్తుంచుకోండి. సమాధానం: .
2. మేము భిన్నాలను ఒకే రూపానికి తగ్గిస్తాము: రెండు దశాంశాలు లేదా రెండూ సాధారణమైనవి. మేము పొందుతాము, ఉదాహరణకు: .
3. ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, మేము డిగ్రీల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:

విభాగం మరియు ప్రాథమిక సూత్రాల సారాంశం

డిగ్రీరూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ అని పిలుస్తారు: , ఎక్కడ:

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

ఘాతాంకం సహజ సంఖ్య (అంటే పూర్ణాంకం మరియు ధనాత్మకం) అయిన డిగ్రీ.

హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి

డిగ్రీ, దీని ఘాతాంకం ప్రతికూల మరియు భిన్న సంఖ్యలు.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

ఒక డిగ్రీ, దీని ఘాతాంకం అనంతమైన దశాంశ భిన్నం లేదా మూలం.

డిగ్రీల లక్షణాలు

డిగ్రీల లక్షణాలు.

• ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది కూడాడిగ్రీ, - సంఖ్య అనుకూల.
• ప్రతికూల సంఖ్యకు పెంచబడింది బేసిడిగ్రీ, - సంఖ్య ప్రతికూల.
• ఏదైనా డిగ్రీకి సానుకూల సంఖ్య సానుకూల సంఖ్య.
• సున్నా ఏ శక్తికైనా సమానం.
• సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య సమానం.

ఇప్పుడు మీకు పదం ఉంది...

మీకు కథనం ఎలా నచ్చింది? మీకు నచ్చిందా లేదా అని క్రింద కామెంట్స్ లో వ్రాయండి.

డిగ్రీ లక్షణాలను ఉపయోగించి మీ అనుభవం గురించి మాకు చెప్పండి.

బహుశా మీకు ప్రశ్నలు ఉండవచ్చు. లేదా సూచనలు.

వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి.

మరియు మీ పరీక్షలలో అదృష్టం!

ఈ వ్యాసంలో అది ఏమిటో మనం కనుగొంటాము యొక్క డిగ్రీ. ఇక్కడ మేము సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క నిర్వచనాలను ఇస్తాము, అయితే మేము సహజ ఘాతాంకంతో ప్రారంభించి మరియు అహేతుకమైన దానితో ముగిసే అన్ని ఘాతాంకాలను వివరంగా పరిశీలిస్తాము. పదార్థంలో మీరు డిగ్రీల యొక్క చాలా ఉదాహరణలను కనుగొంటారు, ఉత్పన్నమయ్యే అన్ని సూక్ష్మబేధాలను కవర్ చేస్తారు.

పేజీ నావిగేషన్.

సహజ ఘాతాంకంతో శక్తి, సంఖ్య యొక్క వర్గము, ఒక సంఖ్య యొక్క క్యూబ్

తో ప్రారంభిద్దాం. ముందుకు చూస్తే, సహజ ఘాతాంకం n తో సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క నిర్వచనం a కోసం ఇవ్వబడింది, దానిని మనం పిలుస్తాము డిగ్రీ ఆధారంగా, మరియు n, మేము కాల్ చేస్తాము ఘాతాంకం. సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ ఉత్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మేము గమనించాము, కాబట్టి దిగువ పదార్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు సంఖ్యలను గుణించడంపై అవగాహన కలిగి ఉండాలి.

నిర్వచనం.

సహజ ఘాతాంకం nతో కూడిన సంఖ్య యొక్క శక్తిరూపం a n యొక్క వ్యక్తీకరణ, దీని విలువ n కారకాల ఉత్పత్తికి సమానం, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి aకి సమానం, అంటే, .
ప్రత్యేకించి, ఘాతాంకం 1తో ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి a సంఖ్య, అనగా a 1 =a.

డిగ్రీలు చదవడానికి నియమాల గురించి వెంటనే ప్రస్తావించడం విలువ. యూనివర్సల్ పద్ధతి a n ఎంట్రీని చదవడం: “a టు ది పవర్ ఆఫ్ n”. కొన్ని సందర్భాల్లో, కింది ఎంపికలు కూడా ఆమోదయోగ్యమైనవి: “a నుండి nth పవర్” మరియు “nth power of a”. ఉదాహరణకు, పవర్ 8 12ని తీసుకుందాం, ఇది “ఎనిమిది నుండి పన్నెండు పవర్” లేదా “ఎనిమిది నుండి పన్నెండవ శక్తి” లేదా “ఎనిమిది పన్నెండవ శక్తి”.

సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తి, అలాగే సంఖ్య యొక్క మూడవ శక్తి, వాటి స్వంత పేర్లను కలిగి ఉంటాయి. సంఖ్య యొక్క రెండవ శక్తిని అంటారు సంఖ్యను వర్గీకరించండి, ఉదాహరణకు, 7 2 "ఏడు స్క్వేర్డ్" లేదా "ఏడు సంఖ్య యొక్క స్క్వేర్" గా చదవబడుతుంది. సంఖ్య యొక్క మూడవ శక్తిని అంటారు క్యూబ్డ్ సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు, 5 3ని "ఫైవ్ క్యూబ్డ్" అని చదవవచ్చు లేదా మీరు "5 క్యూబ్ ఆఫ్ ది నంబర్" అని చెప్పవచ్చు.

తీసుకురావడానికి ఇది సమయం సహజ ఘాతాంకాలతో డిగ్రీల ఉదాహరణలు. డిగ్రీ 5 7తో ప్రారంభిద్దాం, ఇక్కడ 5 అనేది డిగ్రీకి ఆధారం మరియు 7 అనేది ఘాతాంకం. మరొక ఉదాహరణ ఇద్దాం: 4.32 ఆధారం మరియు సహజ సంఖ్య 9 ఘాతాంకం (4.32) 9 .

దయచేసి గమనించండి చివరి ఉదాహరణడిగ్రీ 4.32 యొక్క ఆధారం కుండలీకరణాల్లో వ్రాయబడింది: వ్యత్యాసాలను నివారించడానికి, మేము సహజ సంఖ్యల నుండి భిన్నమైన డిగ్రీ యొక్క అన్ని ఆధారాలను బ్రాకెట్లలో ఉంచుతాము. ఉదాహరణగా, మేము ఈ క్రింది డిగ్రీలను సహజ ఘాతాంకాలతో ఇస్తాము , వాటి స్థావరాలు సహజ సంఖ్యలు కావు, కాబట్టి అవి కుండలీకరణాల్లో వ్రాయబడ్డాయి. బాగా, పూర్తి స్పష్టత కోసం, ఈ సమయంలో మేము ఫారమ్ (−2) 3 మరియు −2 3 యొక్క రికార్డులలో ఉన్న వ్యత్యాసాన్ని చూపుతాము. వ్యక్తీకరణ (-2) 3 అనేది 3 సహజ ఘాతాంకంతో −2 యొక్క శక్తి, మరియు వ్యక్తీకరణ −2 3 (దీనిని −(2 3) అని వ్రాయవచ్చు) సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, శక్తి 2 3 విలువ .

a^n రూపం యొక్క ఘాతాంకంతో a సంఖ్య యొక్క శక్తికి సంజ్ఞామానం ఉందని గమనించండి. అంతేకాకుండా, n అనేది బహుళ-విలువ గల సహజ సంఖ్య అయితే, ఘాతాంకం బ్రాకెట్లలో తీసుకోబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 4^9 అనేది 4 9 యొక్క శక్తికి మరొక సంజ్ఞామానం. మరియు ఇక్కడ “^” చిహ్నాన్ని ఉపయోగించి డిగ్రీలు వ్రాయడానికి మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి: 14^(21) , (−2,1)^(155) . కింది వాటిలో, మేము ప్రాథమికంగా a n ఫారమ్ యొక్క డిగ్రీ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

సహజ ఘాతాంకంతో శక్తిని పెంచడానికి విలోమ సమస్యలలో ఒకటి శక్తి యొక్క ఆధారాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య తెలిసిన విలువడిగ్రీలు మరియు తెలిసిన సూచిక. ఈ పని దారి తీస్తుంది.

చాలా మంది ఉన్నారని తెలిసింది హేతుబద్ధ సంఖ్యలుపూర్తి మరియు భిన్న సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది మరియు ప్రతి భిన్న సంఖ్యను ధనాత్మక లేదా ప్రతికూలంగా సూచించవచ్చు సాధారణ భిన్నం. మేము పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని ఇలా నిర్వచించాము మునుపటి పేరా, కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని పూర్తి చేయడానికి, మీరు ఒక పాక్షిక ఘాతాంకం m/nతో సంఖ్య యొక్క డిగ్రీకి అర్థాన్ని ఇవ్వాలి, ఇక్కడ m అనేది పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సహజ సంఖ్య. మనం చేద్దాం.

ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీని పరిశీలిద్దాం . పవర్-టు-పవర్ ఆస్తి చెల్లుబాటులో ఉండాలంటే, సమానత్వం తప్పనిసరిగా ఉండాలి . మేము ఫలిత సమానత్వాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే మరియు మనం ఎలా నిర్ణయించుకున్నామో, అప్పుడు ఇచ్చిన m, n మరియు a వ్యక్తీకరణకు అర్థవంతంగా ఉంటే దానిని అంగీకరించడం తార్కికం.

పూర్ణాంక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ యొక్క అన్ని లక్షణాలకు చెల్లుబాటు అయ్యేలా తనిఖీ చేయడం సులభం (ఇది హేతుబద్ధ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క విభాగం లక్షణాలలో జరిగింది).

పై తార్కికం కింది వాటిని చేయడానికి మాకు అనుమతిస్తుంది ముగింపు: m, n మరియు a వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతంగా ఉంటే, పాక్షిక ఘాతాంకం m/n ఉన్న a యొక్క శక్తిని m యొక్క శక్తికి a యొక్క nవ మూలం అంటారు.

ఈ ప్రకటన ఫ్రాక్షనల్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. m, n మరియు a అనే వ్యక్తీకరణ అర్థమయ్యేలా వివరించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. m, n మరియు aపై విధించిన పరిమితులపై ఆధారపడి, రెండు ప్రధాన విధానాలు ఉన్నాయి.

సానుకూల m కోసం a≥0 మరియు ప్రతికూల m కోసం a>0 తీసుకోవడం ద్వారా aపై నిర్బంధాన్ని విధించడం సులభమయిన మార్గం (m≤0 కోసం m యొక్క డిగ్రీ 0 నిర్వచించబడలేదు). అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది కింది నిర్వచనంపాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీలు.

నిర్వచనం.

డిగ్రీ సానుకూల సంఖ్య a పాక్షిక ఘాతాంకం m/n తో, m అనేది పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సహజ సంఖ్య, m యొక్క శక్తికి a సంఖ్య యొక్క nవ మూలం అంటారు, అంటే, .

సున్నా యొక్క పాక్షిక శక్తి కూడా సూచిక సానుకూలంగా ఉండాలనే ఏకైక హెచ్చరికతో నిర్ణయించబడుతుంది.

నిర్వచనం.

భిన్నంతో సున్నా యొక్క శక్తి సానుకూల సూచిక m/n, ఇక్కడ m ధన పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సహజ సంఖ్య, ఇలా నిర్వచించబడింది .
డిగ్రీ నిర్ణయించబడనప్పుడు, అంటే, పాక్షిక ప్రతికూల ఘాతాంకంతో సున్నా సంఖ్య యొక్క డిగ్రీ అర్ధవంతం కాదు.

పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క ఈ నిర్వచనంతో, ఒక మినహాయింపు ఉందని గమనించాలి: కొన్ని ప్రతికూల a మరియు కొన్ని m మరియు n లకు, వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతంగా ఉంటుంది మరియు మేము షరతు a≥0ని పరిచయం చేయడం ద్వారా ఈ కేసులను విస్మరించాము. ఉదాహరణకు, ఎంట్రీలు అర్ధవంతంగా ఉంటాయి లేదా , మరియు పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక ఘాతాంకంతో శక్తులు అని చెప్పడానికి మనల్ని బలవంతం చేస్తుంది అర్థం లేదు, ఎందుకంటే ఆధారం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు.

ఫ్రాక్షనల్ ఎక్స్‌పోనెంట్ m/nతో డిగ్రీని నిర్ణయించడానికి మరొక విధానం రూట్ యొక్క సరి మరియు బేసి ఘాతాంకాలను విడిగా పరిగణించడం. ఈ విధానం అవసరం అదనపు పరిస్థితి: ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి, సంబంధిత ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తిగా పరిగణించబడుతుంది తగ్గించలేని భిన్నం(ఈ పరిస్థితి యొక్క ప్రాముఖ్యత క్రింద వివరించబడుతుంది). అంటే, m/n అనేది తగ్గించలేని భిన్నం అయితే, ఏదైనా సహజ సంఖ్య k కోసం డిగ్రీ మొదటగా భర్తీ చేయబడుతుంది.

n మరియు పాజిటివ్ m కోసం కూడా, వ్యక్తీకరణ ఏదైనా నాన్-నెగటివ్ a (కూడా రూట్ ప్రతికూల సంఖ్యఅర్ధవంతం కాదు), ప్రతికూల m కోసం సంఖ్య a ఇప్పటికీ సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉండాలి (లేకపోతే సున్నా ద్వారా విభజన ఉంటుంది). మరియు బేసి n మరియు ధనాత్మక m కోసం, a సంఖ్య ఏదైనా కావచ్చు (బేసి డిగ్రీ యొక్క మూలం ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యకు నిర్వచించబడుతుంది), మరియు ప్రతికూల m కోసం, a సంఖ్య తప్పనిసరిగా సున్నాగా ఉండాలి (దీని ద్వారా విభజన ఉండదు సున్నా).

పై తార్కికం పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క ఈ నిర్వచనానికి దారి తీస్తుంది.

నిర్వచనం.

m/n అనేది తగ్గించలేని భిన్నం, m ఒక పూర్ణాంకం మరియు n సహజ సంఖ్య. ఏదైనా తగ్గించదగిన భిన్నం కోసం, డిగ్రీ భర్తీ చేయబడుతుంది. తగ్గించలేని పాక్షిక ఘాతాంకం m/n ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి కోసం



తగ్గించదగిన పాక్షిక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీని మొదటగా తగ్గించలేని ఘాతాంకంతో డిగ్రీతో ఎందుకు భర్తీ చేస్తారో వివరిస్తాము. మేము కేవలం డిగ్రీని ఇలా నిర్వచించినట్లయితే మరియు m/n భిన్నం యొక్క అసంకల్పితత గురించి రిజర్వేషన్ చేయకపోతే, మేము ఈ క్రింది పరిస్థితులను ఎదుర్కొంటాము: 6/10 = 3/5 నుండి, అప్పుడు సమానత్వం ఉండాలి , కానీ , ఎ.

డిగ్రీ సూత్రాలుతగ్గింపు మరియు సరళీకరణ ప్రక్రియలో ఉపయోగించబడుతుంది సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలు, సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో.

సంఖ్య సిఉంది n-ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తి aఎప్పుడు:

డిగ్రీలతో కార్యకలాపాలు.

1. c యొక్క గుణకార శక్తులు అదే ఆధారంవారి సూచికలు జోడించబడతాయి:

ఒక m·a n = a m + n .

2. డిగ్రీలను ఒకే ఆధారంతో విభజించేటప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు తీసివేయబడతాయి:

3. 2 యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క శక్తి లేదా మరింతకారకాలు ఈ కారకాల శక్తుల ఉత్పత్తికి సమానం:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. భిన్నం యొక్క డిగ్రీ డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ డిగ్రీల నిష్పత్తికి సమానం:

(a/b) n = a n /b n .

5. శక్తికి శక్తిని పెంచడం, ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి:

(a m) n = a m n .

ఎగువన ఉన్న ప్రతి ఫార్ములా ఎడమ నుండి కుడికి మరియు వైస్ వెర్సా దిశలలో నిజం.

ఉదాహరణకి. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

మూలాలతో కార్యకలాపాలు.

1. అనేక కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క మూలం ఈ కారకాల మూలాల ఉత్పత్తికి సమానం:

2. వైఖరి యొక్క మూలం నిష్పత్తికి సమానండివిడెండ్ మరియు మూలాల విభజన:

3. ఒక శక్తికి మూలాన్ని పెంచేటప్పుడు, ఈ శక్తికి రాడికల్ సంఖ్యను పెంచడానికి సరిపోతుంది:

4. మీరు ఇన్ రూట్ యొక్క డిగ్రీని పెంచినట్లయితే nఒకసారి మరియు అదే సమయంలో నిర్మించడానికి nవ శక్తి రాడికల్ సంఖ్య, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

5. మీరు ఇన్ రూట్ డిగ్రీని తగ్గిస్తే nఅదే సమయంలో మూలాన్ని సంగ్రహించండి nరాడికల్ సంఖ్య యొక్క -వ శక్తి, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.నాన్-పాజిటివ్ (పూర్ణాంకం) ఘాతాంకం ఉన్న నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తి అదే సంఖ్య యొక్క శక్తితో భాగమైన ఘాతాంకానికి సమానమైనదిగా నిర్వచించబడుతుంది. సంపూర్ణ విలువనాన్-పాజిటివ్ సూచిక:

ఫార్ములా ఒక m:a n =a m - nకోసం మాత్రమే ఉపయోగించవచ్చు m> n, కానీ తో కూడా m< n.

ఉదాహరణకి. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

సూత్రానికి ఒక m:a n =a m - nఎప్పుడు న్యాయంగా మారింది m=n, సున్నా డిగ్రీ ఉనికి అవసరం.

సున్నా సూచికతో ఒక డిగ్రీ.ఏదైనా సంఖ్య యొక్క శక్తి, కాదు సున్నాకి సమానం, సున్నా ఘాతాంకం ఒకదానికి సమానం.

ఉదాహరణకి. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.వాస్తవ సంఖ్యను పెంచడానికి ఎడిగ్రీ వరకు m/n, మీరు రూట్ సేకరించేందుకు అవసరం nయొక్క డిగ్రీ m-ఈ సంఖ్య యొక్క శక్తి ఎ.

బీజగణితంలో మరియు అన్ని గణితంలో ప్రధాన లక్షణాలలో ఒకటి డిగ్రీ. వాస్తవానికి, 21వ శతాబ్దంలో, అన్ని గణనలను ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌లో చేయవచ్చు, అయితే మెదడు అభివృద్ధికి మీరే ఎలా చేయాలో నేర్చుకోవడం మంచిది.

ఈ వ్యాసంలో మనం ఎక్కువగా పరిశీలిస్తాము ముఖ్యమైన ప్రశ్నలుఈ నిర్వచనానికి సంబంధించినది. నామంగా, ఇది సాధారణంగా ఏమిటో మరియు దాని ప్రధాన విధులు ఏమిటో అర్థం చేసుకుందాం, గణితంలో ఏ లక్షణాలు ఉన్నాయి.

గణన ఎలా ఉంటుందో మరియు ప్రాథమిక సూత్రాలు ఏమిటో ఉదాహరణలను చూద్దాం. పరిమాణాల యొక్క ప్రధాన రకాలు మరియు అవి ఇతర ఫంక్షన్ల నుండి ఎలా విభిన్నంగా ఉన్నాయో చూద్దాం.

ఈ పరిమాణాన్ని ఉపయోగించి ఎలా పరిష్కరించాలో అర్థం చేసుకుందాం వివిధ పనులు. సున్నా శక్తి, అహేతుకం, ప్రతికూలత మొదలైన వాటిని ఎలా పెంచాలో ఉదాహరణలతో చూపుతాము.

ఆన్‌లైన్ ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ కాలిక్యులేటర్

సంఖ్య యొక్క శక్తి అంటే ఏమిటి

“ఒక సంఖ్యను శక్తికి పెంచండి” అనే వ్యక్తీకరణకు అర్థం ఏమిటి?

ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తి n అనేది వరుసగా n రెట్లు మాగ్నిట్యూడ్ కారకాల యొక్క గుణకం.

గణితశాస్త్రపరంగా ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

a n = a * a * a * …a n.

ఉదాహరణకి:

• మూడవ డిగ్రీలో 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 దశకు. రెండు = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 దశకు. నాలుగు = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 దశల్లో 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 దశల్లో 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

క్రింద 1 నుండి 10 వరకు చతురస్రాలు మరియు ఘనాల పట్టిక ఉంది.

1 నుండి 10 వరకు డిగ్రీల పట్టిక

సహజ సంఖ్యలను సానుకూల శక్తులకు పెంచడం యొక్క ఫలితాలు క్రింద ఉన్నాయి - "1 నుండి 100 వరకు".

Ch-lo	2వ స్టంప్.	3వ దశ
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

డిగ్రీల లక్షణాలు

అలాంటి వారి లక్షణం ఏమిటి గణిత విధి? ప్రాథమిక లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.

శాస్త్రవేత్తలు ఈ క్రింది వాటిని స్థాపించారు అన్ని డిగ్రీల లక్షణం సంకేతాలు:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

ఉదాహరణలతో తనిఖీ చేద్దాం:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. మరోవైపు, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

అదేవిధంగా: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. లేకపోతే 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. అది భిన్నంగా ఉంటే? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

మీరు గమనిస్తే, నియమాలు పని చేస్తాయి.

కానీ ఏమి గురించి కూడిక మరియు తీసివేతతో? ఇది సులభం. ముందుగా ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ నిర్వహిస్తారు, ఆపై అదనంగా మరియు తీసివేత.

ఉదాహరణలను చూద్దాం:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. దయచేసి గమనించండి: మీరు ముందుగా తీసివేస్తే నియమం ఉండదు: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

కానీ ఈ సందర్భంలో, కుండలీకరణాల్లో చర్యలు ఉన్నందున మీరు మొదట అదనంగా లెక్కించాలి: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

ఎలా ఉత్పత్తి చేయాలి మరిన్ని లెక్కలు కష్టమైన కేసులు ? ఆర్డర్ ఒకటే:

• బ్రాకెట్లు ఉంటే, మీరు వాటితో ప్రారంభించాలి;
• అప్పుడు ఘాతాంకం;
• అప్పుడు గుణకారం మరియు విభజన యొక్క కార్యకలాపాలను నిర్వహించండి;
• తర్వాత కూడిక, తీసివేత.

తినండి నిర్దిష్ట లక్షణాలు, అన్ని డిగ్రీలకు విలక్షణమైనది కాదు:

1. సంఖ్య a నుండి m డిగ్రీ వరకు nవ మూలం ఇలా వ్రాయబడుతుంది: a m / n.
2. భిన్నాన్ని శక్తికి పెంచేటప్పుడు: న్యూమరేటర్ మరియు దాని హారం రెండూ ఈ విధానానికి లోబడి ఉంటాయి.
3. ఒక పనిని నిర్మిస్తున్నప్పుడు వివిధ సంఖ్యలుఒక శక్తికి, వ్యక్తీకరణ ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తికి ఇచ్చిన శక్తికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. అంటే: (a * b) n = a n * b n .
4. ఒక సంఖ్యను ప్రతికూల శక్తికి పెంచేటప్పుడు, మీరు అదే శతాబ్దంలో 1ని ఒక సంఖ్యతో విభజించాలి, కానీ "+" గుర్తుతో.
5. భిన్నం యొక్క హారం ప్రతికూల శక్తికి ఉంటే, ఈ వ్యక్తీకరణ న్యూమరేటర్ యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు హారం సానుకూల శక్తికి సమానంగా ఉంటుంది.
6. శక్తి 0 = 1 మరియు శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య. 1 = మీకు.

కొన్ని సందర్భాల్లో ఈ నియమాలు ముఖ్యమైనవి; మేము వాటిని మరింత వివరంగా క్రింద పరిశీలిస్తాము.

ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

ఎప్పుడు ఏం చేయాలి మైనస్ డిగ్రీ, అంటే సూచిక ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు?

లక్షణాలు 4 మరియు 5 ఆధారంగా(పై పాయింట్ చూడండి) అది మారుతుంది:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

మరియు వైస్ వెర్సా:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

అది భిన్నం అయితే?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

సహజ సూచికతో డిగ్రీ

ఇది పూర్ణాంకాలకి సమానమైన ఘాతాంకాలతో కూడిన డిగ్రీగా అర్థం అవుతుంది.

గుర్తుంచుకోవలసిన విషయాలు:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...మొదలైనవి.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...మొదలైనవి.

అదనంగా, (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... అయితే ఫలితం “+” గుర్తుతో ఉంటుంది. ప్రతికూల సంఖ్యను బేసి శక్తికి పెంచినట్లయితే, దానికి విరుద్ధంగా.

సాధారణ లక్షణాలు మరియు అంతే నిర్దిష్ట సంకేతాలు, పైన వివరించినవి కూడా వాటి లక్షణం.

పాక్షిక డిగ్రీ

ఈ రకాన్ని స్కీమ్‌గా వ్రాయవచ్చు: A m / n. ఇలా చదవండి: శక్తి mకి A సంఖ్య యొక్క nవ మూలం.

మీరు పాక్షిక సూచికతో మీకు కావలసినది చేయవచ్చు: దానిని తగ్గించండి, భాగాలుగా విభజించండి, మరొక శక్తికి పెంచండి, మొదలైనవి.

అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ

α ఒక అకరణీయ సంఖ్య మరియు A ˃ 0 గా ఉండనివ్వండి.

అటువంటి సూచికతో డిగ్రీ యొక్క సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, సాధ్యమయ్యే వివిధ కేసులను చూద్దాం:

• A = 1. ఫలితం 1కి సమానంగా ఉంటుంది. ఒక సిద్ధాంతం ఉన్నందున - 1 అన్ని శక్తులలో ఒకదానికి సమానం;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - హేతుబద్ధ సంఖ్యలు;

• 0˂A˂1.

ఈ సందర్భంలో, ఇది మరొక విధంగా ఉంటుంది: రెండవ పేరాలో ఉన్న అదే పరిస్థితుల్లో A r 2 ˂ A α ˂ A r 1.

ఉదాహరణకు, ఘాతాంకం π సంఖ్య.ఇది హేతుబద్ధమైనది.

r 1 - ఈ సందర్భంలో 3 కి సమానం;

r 2 - 4కి సమానంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు, A = 1 కోసం, 1 π = 1.

A = 2, ఆపై 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, ఆపై (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

ఇటువంటి డిగ్రీలు అందరికి ప్రత్యేకించబడ్డాయి గణిత కార్యకలాపాలుమరియు పైన వివరించిన నిర్దిష్ట లక్షణాలు.

ముగింపు

సంగ్రహించండి - ఈ పరిమాణాలు దేనికి అవసరమవుతాయి, అటువంటి ఫంక్షన్ల ప్రయోజనాలు ఏమిటి? వాస్తవానికి, మొదట, ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు వారు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు ప్రోగ్రామర్ల జీవితాన్ని సులభతరం చేస్తారు, ఎందుకంటే వారు గణనలను తగ్గించడానికి, అల్గోరిథంలను తగ్గించడానికి, డేటాను క్రమబద్ధీకరించడానికి మరియు మరెన్నో అనుమతిస్తుంది.

ఈ జ్ఞానం ఇంకా ఎక్కడ ఉపయోగపడుతుంది? ఏదైనా వర్కింగ్ స్పెషాలిటీలో: మెడిసిన్, ఫార్మకాలజీ, డెంటిస్ట్రీ, నిర్మాణం, సాంకేతికత, ఇంజనీరింగ్, డిజైన్ మొదలైనవి.

లో నిర్మాణం ప్రతికూల డిగ్రీ- గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలలో ఒకటి, ఇది బీజగణిత సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు తరచుగా ఎదుర్కొంటుంది. క్రింద వివరణాత్మక సూచనలు ఉన్నాయి.

ప్రతికూల శక్తిని ఎలా పెంచాలి - సిద్ధాంతం

మేము ఒక సంఖ్యను సాధారణ శక్తికి పెంచినప్పుడు, మేము దాని విలువను అనేక సార్లు గుణిస్తాము. ఉదాహరణకు, 3 3 = 3×3×3 = 27. సి ప్రతికూల భిన్నంఅది మరో విధంగా ఉంది. సాధారణ రూపంసూత్రం ప్రకారం ఉంటుంది తదుపరి వీక్షణ: a -n = 1/a n . అందువలన, ఒక సంఖ్యను ప్రతికూల శక్తికి పెంచడానికి, మీరు ఒకదానిని విభజించాలి ఇచ్చిన సంఖ్య, కానీ సానుకూల స్థాయికి.

ప్రతికూల శక్తిని ఎలా పెంచాలి - సాధారణ సంఖ్యలపై ఉదాహరణలు

పై నియమాన్ని దృష్టిలో ఉంచుకుని, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
సమాధానం: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
సమాధానం -4 -2 = 1/16.

అయితే మొదటి మరియు రెండవ ఉదాహరణలలో సమాధానాలు ఎందుకు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి? వాస్తవం ఏమిటంటే, ప్రతికూల సంఖ్యను సరి శక్తికి (2, 4, 6, మొదలైనవి) పెంచినప్పుడు, సంకేతం సానుకూలంగా మారుతుంది. డిగ్రీ సమానంగా ఉంటే, మైనస్ అలాగే ఉంటుంది:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

సంఖ్యలను 0 నుండి 1కి ప్రతికూల శక్తికి ఎలా పెంచాలి

0 నుండి 1 అంగుళాల పరిధిలో సంఖ్యను పెంచుతున్నప్పుడు గుర్తుంచుకోండి సానుకూల డిగ్రీ, డిగ్రీ పెరిగిన కొద్దీ విలువ తగ్గుతుంది. కాబట్టి ఉదాహరణకు, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

ఉదాహరణ 3: 0.5 -2ని లెక్కించండి
పరిష్కారం: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
సమాధానం: 0.5 -2 = 4

విశ్లేషణ (చర్యల క్రమం):

• మేము అనువదిస్తాము దశాంశ 0.5 నుండి భిన్నం 1/2. ఇది ఆ విధంగా సులభం.
  ప్రతికూల శక్తికి 1/2 పెంచండి. 1/(2) -2 . 1ని 1/(2) 2తో భాగిస్తే, మనకు 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 వస్తుంది

ఉదాహరణ 4: 0.5 -3ని లెక్కించండి
పరిష్కారం: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

ఉదాహరణ 5: లెక్కించు -0.5 -3
పరిష్కారం: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
సమాధానం: -0.5 -3 = -8

4 వ మరియు 5 వ ఉదాహరణల ఆధారంగా, మేము అనేక తీర్మానాలను తీసుకోవచ్చు:

• 0 నుండి 1 (ఉదాహరణ 4) పరిధిలోని ధనాత్మక సంఖ్య కోసం, ప్రతికూల శక్తికి పెంచబడింది, శక్తి సరి లేదా బేసి అనేది ముఖ్యం కాదు, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది. అదే సమయంలో, కంటే మరింత డిగ్రీ, ఎక్కువ విలువ.
• 0 నుండి 1 వరకు (ఉదాహరణ 5) పరిధిలో ఉన్న ప్రతికూల సంఖ్యకు, ప్రతికూల శక్తికి పెంచబడింది, శక్తి సరి లేదా బేసి అనేది ముఖ్యం కాదు, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ఎక్కువ డిగ్రీ, తక్కువ విలువ.

ప్రతికూల శక్తికి ఎలా పెంచాలి - పాక్షిక సంఖ్య రూపంలో శక్తి

వ్యక్తీకరణలు ఈ రకంకింది ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంటుంది: a -m/n, ఇక్కడ a – సాధారణ సంఖ్య, m అనేది డిగ్రీ యొక్క లవం, n అనేది డిగ్రీ యొక్క హారం.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
లెక్కించు: 8 -1/3

పరిష్కారం (చర్యల క్రమం):

• సంఖ్యను ప్రతికూల శక్తికి పెంచే నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి. మనకు లభిస్తుంది: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• పాక్షిక శక్తిలో హారం సంఖ్య 8ని కలిగి ఉందని గమనించండి. పాక్షిక శక్తిని లెక్కించే సాధారణ రూపం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: a m/n = n √8 m.
• అందువలన, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). మాకు దొరికింది క్యూబ్ రూట్ఎనిమిదిలో, ఇది 2కి సమానం. ఇక్కడ నుండి, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• సమాధానం: 8 -1/3 = 2