3. బంతి వ్యాసం 4m . ఒక విమానం దానికి 30 ° కోణంలో వ్యాసం ముగింపు ద్వారా డ్రా చేయబడింది. ఈ విమానం ద్వారా గోళం యొక్క క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.
పరీక్ష సంఖ్య 4
ఎంపిక 1
1. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్ 4 సెం.మీ, మరియు బేస్ వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం 60°. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.
2. సిలిండర్‌లో ప్రిజం చెక్కబడి ఉంటుంది. ప్రిజం యొక్క ఆధారం ఒక లంబ త్రిభుజం, దీని కాలు 2a , మరియు చేర్చబడిన కోణం 30°. ప్రిజం యొక్క పెద్ద వైపు ముఖం యొక్క వికర్ణం దాని బేస్ యొక్క విమానంతో 45° కోణాన్ని చేస్తుంది. సిలిండర్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.
ఎంపిక 2
1. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ అంచు 6 సెం.మీ మరియు బేస్ యొక్క విమానంతో 60 ° కోణం చేస్తుంది. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.
2. ఒక పిరమిడ్ ఒక కోన్‌లో చెక్కబడి ఉంటుంది. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం ఒక లంబ త్రిభుజం, దాని వైపు 2a , మరియు చేర్చబడిన కోణం 30°. ఈ కాలు గుండా వెళుతున్న పిరమిడ్ వైపు ముఖం బేస్ యొక్క విమానంతో 45° కోణాన్ని చేస్తుంది. కోన్ వాల్యూమ్ కనుగొనండి.
పరీక్ష సంఖ్య 5
ఎంపిక 1
1. బంతి యొక్క వ్యాసం కోన్ యొక్క ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది, దీని యొక్క జెనరాట్రిక్స్ బేస్ యొక్క విమానంతో 60 ° కోణాన్ని చేస్తుంది. కోన్ మరియు గోళం యొక్క వాల్యూమ్‌ల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
2. సిలిండర్ వాల్యూమ్ 96π సెం.మీ 3 , దాని అక్షసంబంధ క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతం 48 సెం.మీ 2 . సిలిండర్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
ఎంపిక 2
1. ఒక గోళం ఒక కోన్‌లో చెక్కబడి ఉంటుంది, దీని అక్షసంబంధ విభాగం సాధారణ త్రిభుజం. కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యానికి గోళం యొక్క వైశాల్యం యొక్క నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
2. బంతి యొక్క వ్యాసం సిలిండర్ యొక్క ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది, దీని యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం ఒక చదరపు. సిలిండర్ మరియు గోళం యొక్క వాల్యూమ్‌ల నిష్పత్తిని కనుగొనండి
మీ అభ్యర్థన మేరకు!
2. ఎండినప్పుడు, తాజా పుట్టగొడుగులు వాటి బరువులో 96% కోల్పోతాయి. 5 కిలోల ఎండిన పుట్టగొడుగులను తయారు చేయడానికి ఎన్ని తాజా పుట్టగొడుగులను ఎండబెట్టాలి? ఇది 5 కిలోల అసలు బరువులో 100% -96% = 4% అనే షరతును అనుసరిస్తుంది. 100% ప్రారంభ బరువు 4% కంటే 25 రెట్లు ఎక్కువ, కాబట్టి, మీరు 5 కిలోలను 25 ద్వారా గుణించాలి మరియు మీరు ఎండబెట్టాల్సిన 125 కిలోల తాజా పుట్టగొడుగులను పొందుతారు. రాయడం ద్వారా దామాషా ప్రకారం పరిష్కరించడం సాధ్యమైంది:
x kg - 100% ⇒ x=(5·100):4=125 (kg).
12. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: 1+cosx=sinx+sinx·cosx. నిబంధనలను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలించి, నిబంధనలను సమూహపరచండి:
(1+cosx)-(sinx+sinx cosx)=0;
(1+cosx)-sinx(1+cosx)=0;
(1+cosx)(1-sinx)=0 ⇒ 1+cosx=0 లేదా 1-sinx=0. మేము ప్రతి సమీకరణాన్ని విడిగా పరిష్కరిస్తాము.
1) 1+cosx=0 ⇒ cosx=-1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z.
2) 1-sinx=0 ⇒ sinx=1 ⇒ x=π/2+2πk, k∈Z.
14. ఉత్పన్నం f'(x) వద్ద విలువను కనుగొనండి
16. సమగ్రతను లెక్కించండి:
17. సమాంతర చతుర్భుజం ABCDలో, తీవ్రమైన కోణం C యొక్క శీర్షం నుండి ఒక సెగ్మెంట్ CK తీయబడుతుంది, అది పెద్ద వైపు BA నుండి చిన్న వైపు BCకి సమానమైన విభాగాన్ని కత్తిరించి, 20°కి సమానమైన KCDని ఏర్పరుస్తుంది. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క కోణాలను కనుగొనండి.
ΔВСК అనేది నిర్మాణం ద్వారా సమద్విబాహులు - షరతు ప్రకారం ВК = ВС, కాబట్టి, ఈ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, అనగా. ∠SKV=∠VSK=20°. ఇంకా, ∠КСD=∠СКВ=20°, సమాంతర సరళ రేఖలు AB మరియు CD మరియు సెకెంట్ SCతో అంతర్గత అడ్డంగా ఉంటాయి. ఇది ∠КСD=∠ВСК, అనగా. SC అనేది కోణం C, ∠С=40°, ∠В=180°-40°=140° యొక్క బైసెక్టర్. ఒక వైపు ప్రక్కనే ఉన్న సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క కోణాలు 180° వరకు జోడించబడతాయి.
18. 5 సెంటీమీటర్ల 4 రూట్‌ల సంపర్క బిందువుల మధ్య దూరంతో ఒకదానికొకటి తాకుతున్న రెండు వృత్తాలకు టాంజెంట్ డ్రా చేయబడుతుంది.చిన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 4 సెం.మీ ఉంటే పెద్ద వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి. టాంజెంట్ పాయింట్‌కి గీసిన వ్యాసార్థం టాంజెంట్‌కు లంబంగా ఉంటుంది.
19. వెక్టర్స్ ఇవ్వబడ్డాయి:
20. భిన్నం యొక్క హారంలో అహేతుకతను తొలగించండి:
భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించి, ఫలిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం.
21. ఈ దశలను అనుసరించండి:
22. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
24. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్ m కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు బేస్ యొక్క విమానంతో ఒక కోణాన్ని α ఏర్పరుస్తుంది. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.
25. ఒక పెట్టెలో 10 ఎరుపు బంతులు మరియు 10 తెల్లని బంతులు ఉన్నాయి. బాక్స్ నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఎన్ని బంతులు డ్రా చేయాలి, తద్వారా వాటిలో ఒకే రంగులో రెండు బంతులు ఉంటాయి?
బాక్స్‌లోని ఈ బంతుల సంఖ్యలు సమానంగా ఉన్నందున, ఎరుపు బంతి మరియు తెల్లని బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుందని గమనించండి. రెండు బంతులను తీసుకుందాం. అవి ఏవి కావచ్చు? 1) ఎరుపు మరియు ఎరుపు; 2) ఎరుపు మరియు తెలుపు; 3) తెలుపు మరియు తెలుపు. మేము మూడవ బంతిని తీసివేస్తాము మరియు ఏ సందర్భంలోనైనా ఒకే రంగులో ఉన్న మూడింటిలో రెండు బంతులను పొందుతాము (లేదా బహుశా మూడు). సమాధానం: 3 బంతులను తప్పనిసరిగా బయటకు తీయాలి, తద్వారా వాటిలో ఒకే రంగులో రెండు బంతులు ఉంటాయి.
అదృష్టం, విజయం!
నిర్వచనం 1. పిరమిడ్ సాధారణ బహుభుజి అయినట్లయితే దానిని రెగ్యులర్ అని పిలుస్తారు మరియు అటువంటి పిరమిడ్ యొక్క శీర్షం దాని బేస్ మధ్యలో అంచనా వేయబడుతుంది.
నిర్వచనం 2. పిరమిడ్ ఒక సాధారణ బహుభుజి మరియు దాని ఎత్తు బేస్ మధ్యలో ఉంటే దానిని రెగ్యులర్ అంటారు.
సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్
మీరు పిరమిడ్ యొక్క స్థావరానికి సమాంతరంగా ఒక విభాగాన్ని గీసినట్లయితే, ఈ విమానాలు మరియు ప్రక్క ఉపరితలం మధ్య ఉన్న శరీరాన్ని కత్తిరించిన పిరమిడ్ అంటారు. కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌ను క్రమబద్ధం అంటారు, అది ఉద్భవించిన పిరమిడ్ రెగ్యులర్‌గా ఉంటే.
సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క లక్షణాలు
- పక్క పక్కటెముకలు సమానంగా ఉంటాయి
- అపోథమ్స్ సమానంగా ఉంటాయి
- పక్క ముఖాలు సమానంగా ఉంటాయి
- అన్ని పార్శ్వ ముఖాలు సమాన సమద్విబాహు త్రిభుజాలు
- ఏదైనా సాధారణ పిరమిడ్‌లో మీరు దాని చుట్టూ ఉన్న గోళాన్ని అమర్చవచ్చు మరియు వివరించవచ్చు
- లిఖించబడిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన గోళాల కేంద్రాలు ఒకేలా ఉంటే, అప్పుడు పిరమిడ్ పైభాగంలో ఉన్న సమతల కోణాల మొత్తం πకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి వరుసగా, ఇక్కడ n అనేది మూల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య.
- సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం బేస్ మరియు అపోథెమ్ యొక్క చుట్టుకొలత యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం
సరైన పిరమిడ్
గమనిక. ఇది జ్యామితి సమస్యలతో కూడిన పాఠంలో భాగం (విభాగం స్టీరియోమెట్రీ, పిరమిడ్ గురించిన సమస్యలు). మీరు ఇక్కడ లేని జ్యామితి సమస్యను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంటే, దాని గురించి ఫోరమ్‌లో వ్రాయండి. టాస్క్‌లలో, "స్క్వేర్ రూట్" గుర్తుకు బదులుగా, sqrt() ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది, దీనిలో sqrt వర్గమూల చిహ్నం మరియు రాడికల్ వ్యక్తీకరణ బ్రాకెట్‌లలో సూచించబడుతుంది..సాధారణ రాడికల్ వ్యక్తీకరణల కోసం, "√" గుర్తును ఉపయోగించవచ్చు.
టాస్క్
సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్ 4 సెం.మీ. మరియు బేస్ వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం 60 డిగ్రీలు. పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
పిరమిడ్ సక్రమంగా ఉన్నందున, ఈ క్రింది వాటిని పరిగణించండి:
- పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు బేస్ మధ్యలో అంచనా వేయబడింది
- సమస్య ప్రకారం, సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం యొక్క కేంద్రం ఒక సమబాహు త్రిభుజం
- సమబాహు త్రిభుజం యొక్క కేంద్రం చెక్కబడిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం.
- పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు బేస్ యొక్క విమానంతో లంబ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది
పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:
V = 1/3 S
సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్ పిరమిడ్ ఎత్తుతో కలిసి లంబ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తుంది కాబట్టి, మేము ఎత్తును కనుగొనడానికి సైన్స్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అదనంగా, పరిగణనలోకి తీసుకుందాం:
- పరిశీలనలో ఉన్న లంబ త్రిభుజం యొక్క మొదటి పాదం ఎత్తు, రెండవ పాదం లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం (సాధారణ త్రిభుజంలో, కేంద్రం ఏకకాలంలో లిఖించబడిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన వృత్తానికి కేంద్రంగా ఉంటుంది), కర్ణం అనేది అపోథం. పిరమిడ్
- లంబ త్రిభుజం యొక్క మూడవ కోణం 30 డిగ్రీలకు సమానం (త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు, 60 డిగ్రీల కోణం షరతు ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, రెండవ కోణం పిరమిడ్ యొక్క లక్షణాల ప్రకారం సరళ రేఖ, మూడవది 180-90-60 = 30)
- 30 డిగ్రీల సైన్ 1/2కి సమానం
- 60 డిగ్రీల సైన్ సగంలో మూడు యొక్క మూలానికి సమానం
- 90 డిగ్రీల సైన్ 1
సైన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
ఎక్కడ
r = 2
h = 2√3
పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక సాధారణ త్రిభుజం ఉంది, దీని ప్రాంతం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:
S సాధారణ త్రిభుజం = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.
ఇప్పుడు పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి:
V = 1/3 S
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 సెం.మీ 3.
సమాధానం: 24 సెం.మీ 3 .
టాస్క్
సాధారణ చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం యొక్క ఎత్తు మరియు వైపు వరుసగా 24 మరియు 14. పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్‌ను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
పిరమిడ్ సక్రమంగా ఉన్నందున, దాని బేస్ వద్ద ఒక సాధారణ చతుర్భుజం ఉంటుంది - ఒక చతురస్రం. అదనంగా, పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు చదరపు మధ్యలో అంచనా వేయబడుతుంది. అందువల్ల, పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్, ఎత్తు మరియు వాటిని కలుపుతున్న విభాగం ద్వారా ఏర్పడిన లంబ త్రిభుజం యొక్క కాలు సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ యొక్క బేస్ యొక్క సగం పొడవుకు సమానం.
ఎక్కడ, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, అపోథెమ్ యొక్క పొడవు సమీకరణం నుండి కనుగొనబడుతుంది:
7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25
సమాధానం: 25 సెం.మీ
సంబంధించిన సమాచారం:
- శిక్షణ ప్రక్రియ యొక్క II దశ. నాలెడ్జ్ డెఫిసిట్‌కు సంబంధించిన పేషెంట్ సమస్యల వివరణ. శిక్షణ కంటెంట్ యొక్క నిర్వచనం