సమాజం అభివృద్ధి చెందడం మరియు ఉత్పత్తి మరింత సంక్లిష్టంగా మారడంతో, గణితశాస్త్రం కూడా అభివృద్ధి చెందింది. సాధారణ నుండి సంక్లిష్టమైన కదలిక. వారితో కూడిక మరియు తీసివేత పద్ధతి ద్వారా సాంప్రదాయిక అకౌంటింగ్ నుండి అనేక సార్లు పునరావృతం, గుణకారం మరియు భాగహారం అనే భావనకు వచ్చింది. గుణకారం యొక్క పునరావృత ఆపరేషన్‌ను తగ్గించడం అనేది ఘాతాంక భావనగా మారింది. 8వ శతాబ్దంలో భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు వరసేన ద్వారా సంఖ్యల ఆధారం మరియు ఘాతాంక సంఖ్య యొక్క మొదటి పట్టికలు సంకలనం చేయబడ్డాయి. వాటి నుండి మీరు లాగరిథమ్స్ సంభవించిన సమయాన్ని లెక్కించవచ్చు.
చారిత్రక స్కెచ్
16వ శతాబ్దంలో ఐరోపా పునరుజ్జీవనం మెకానిక్స్ అభివృద్ధిని కూడా ప్రేరేపించింది. టి పెద్ద మొత్తంలో గణన అవసరంగుణకారం మరియు భాగహారానికి సంబంధించినది బహుళ-అంకెల సంఖ్యలు. పురాతన పట్టికలు గొప్ప సేవను కలిగి ఉన్నాయి. సంక్లిష్ట కార్యకలాపాలను సరళమైన వాటితో భర్తీ చేయడాన్ని వారు సాధ్యం చేశారు - కూడిక మరియు తీసివేత. పెద్ద అడుగు 1544 లో ప్రచురించబడిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మైఖేల్ స్టీఫెల్ యొక్క పని ముందంజ వేసింది, దీనిలో అతను చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ఆలోచనను గ్రహించాడు. ఇది రూపంలో డిగ్రీలకు మాత్రమే కాకుండా పట్టికలను ఉపయోగించడం సాధ్యమైంది ప్రధాన సంఖ్యలు, కానీ ఏకపక్ష హేతుబద్ధమైన వాటికి కూడా.
1614లో, స్కాట్స్‌మన్ జాన్ నేపియర్, ఈ ఆలోచనలను అభివృద్ధి చేసి, మొదట పరిచయం చేశాడు కొత్త పదం"సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం." కొత్తది క్లిష్టమైన పట్టికలుసైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల లాగరిథమ్‌లు, అలాగే టాంజెంట్‌లను లెక్కించడం కోసం. ఇది ఖగోళ శాస్త్రవేత్తల పనిని బాగా తగ్గించింది.
కొత్త పట్టికలు కనిపించడం ప్రారంభించాయి, వీటిని శాస్త్రవేత్తలు విజయవంతంగా ఉపయోగించారు మూడు శతాబ్దాలు. బీజగణితంలో కొత్త ఆపరేషన్ దాని పూర్తి రూపాన్ని పొందే ముందు చాలా సమయం గడిచిపోయింది. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడింది మరియు దాని లక్షణాలు అధ్యయనం చేయబడ్డాయి.
కేవలం 20వ శతాబ్దంలో, కాలిక్యులేటర్ మరియు కంప్యూటర్ రావడంతో, 13వ శతాబ్దాలలో విజయవంతంగా పనిచేసిన పురాతన పట్టికలను మానవత్వం వదిలివేసింది.
ఈ రోజు మనం b యొక్క సంవర్గమానాన్ని a సంఖ్య xని ఆధారం చేయడానికి పిలుస్తాము, అది b చేయడానికి a యొక్క శక్తి. ఇది ఫార్ములాగా వ్రాయబడింది: x = log a(b).
ఉదాహరణకు, లాగ్ 3(9) 2కి సమానంగా ఉంటుంది. మీరు నిర్వచనాన్ని అనుసరిస్తే ఇది స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. మనం 3ని 2కి పెంచితే, మనకు 9 వస్తుంది.
అందువలన, సూత్రీకరించబడిన నిర్వచనం కేవలం ఒక పరిమితిని మాత్రమే సెట్ చేస్తుంది: a మరియు b సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా నిజమైనవిగా ఉండాలి.
లాగరిథమ్‌ల రకాలు
క్లాసిక్ డెఫినిషన్‌ను రియల్ లాగరిథమ్ అని పిలుస్తారు మరియు వాస్తవానికి ఇది a x = b సమీకరణానికి పరిష్కారం. ఎంపిక a = 1 సరిహద్దురేఖ మరియు ఆసక్తి లేదు. శ్రద్ధ: ఏదైనా శక్తికి 1 అనేది 1కి సమానం.
సంవర్గమానం యొక్క వాస్తవ విలువబేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే నిర్వచించబడతాయి మరియు బేస్ 1కి సమానంగా ఉండకూడదు.
గణిత శాస్త్రంలో ప్రత్యేక స్థానంలాగరిథమ్‌లను ప్లే చేయండి, వాటి బేస్ పరిమాణాన్ని బట్టి పేరు పెట్టబడుతుంది:
నియమాలు మరియు పరిమితులు
సంవర్గమానాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం నియమం: ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమాన మొత్తానికి సమానం. లాగ్ abp = లాగ్ a(b) + log a(p).
ఈ స్టేట్‌మెంట్ యొక్క రూపాంతరంగా ఇలా ఉంటుంది: లాగ్ c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient ఫంక్షన్ ఫంక్షన్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం.
మునుపటి రెండు నియమాల నుండి ఇది చూడటం సులభం: log a(b p) = p * log a(b).
ఇతర లక్షణాలు ఉన్నాయి:
వ్యాఖ్య. సాధారణ తప్పు చేయవద్దు - మొత్తం యొక్క సంవర్గమానం కాదు మొత్తానికి సమానంలాగరిథమ్స్.
అనేక శతాబ్దాలుగా, సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్ చాలా సమయం తీసుకునే పని. గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఉపయోగించారు బాగా తెలిసిన ఫార్ములాబహుపది విస్తరణ యొక్క లాగరిథమిక్ సిద్ధాంతం:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ఇక్కడ n - సహజ సంఖ్య 1 కంటే ఎక్కువ, ఇది గణన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.
ఇతర బేస్‌లతో కూడిన లాగరిథమ్‌లు ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి మారడం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం గురించి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడ్డాయి.
ఈ పద్ధతి చాలా శ్రమతో కూడుకున్నది కాబట్టి నిర్ణయించేటప్పుడు ఆచరణాత్మక సమస్యలు అమలు చేయడం కష్టం, మేము ముందుగా సంకలనం చేసిన లాగరిథమ్‌ల పట్టికలను ఉపయోగించాము, ఇది అన్ని పనిని గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది.
కొన్ని సందర్భాల్లో, ప్రత్యేకంగా రూపొందించిన లాగరిథమ్ గ్రాఫ్‌లు ఉపయోగించబడ్డాయి, ఇది తక్కువ ఖచ్చితత్వాన్ని ఇచ్చింది, కానీ శోధనను గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది కావలసిన విలువ. y = log a(x) ఫంక్షన్ యొక్క వక్రత, అనేక పాయింట్లపై నిర్మించబడింది, మీరు ఏదైనా ఇతర పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి సాధారణ రూలర్‌ని ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఇంజనీర్లు చాలా కాలంఈ ప్రయోజనాల కోసం, గ్రాఫ్ పేపర్ అని పిలవబడేది ఉపయోగించబడింది.
17వ శతాబ్దంలో, మొదటి సహాయక అనలాగ్ కంప్యూటింగ్ పరిస్థితులు కనిపించాయి, ఇది 19 వ శతాబ్దంపూర్తి రూపాన్ని పొందింది. అత్యంత విజయవంతమైన పరికరం స్లయిడ్ నియమం అని పిలువబడింది. పరికరం యొక్క సరళత ఉన్నప్పటికీ, దాని ప్రదర్శన అన్ని ఇంజనీరింగ్ గణనల ప్రక్రియను గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది మరియు ఇది అతిగా అంచనా వేయడం కష్టం. ప్రస్తుతం, ఈ పరికరం గురించి చాలా తక్కువ మందికి తెలుసు.
కాలిక్యులేటర్లు మరియు కంప్యూటర్ల ఆగమనం ఏ ఇతర పరికరాలను ఉపయోగించకుండా చేసింది.
సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు
పరిష్కారాల కోసం వివిధ సమీకరణాలుమరియు లాగరిథమ్‌లను ఉపయోగించి అసమానతలు, క్రింది సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి:
- ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి వెళ్లడం: లాగ్ a(b) = లాగ్ c(b) / log c(a);
- మునుపటి ఎంపిక యొక్క పర్యవసానంగా: లాగ్ a(b) = 1 / log b(a).
అసమానతలను పరిష్కరించడానికి, తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:
- బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ రెండూ ఒకటి కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువ ఉంటేనే సంవర్గమానం యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది; కనీసం ఒక షరతు ఉల్లంఘించినట్లయితే, లాగరిథమ్ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
- అసమానత యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపులా లాగరిథమ్ ఫంక్షన్ వర్తించబడితే మరియు లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అసమానత యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది; వి లేకుంటేఅతను మారుతున్నాడు.
నమూనా సమస్యలు
లాగరిథమ్‌లు మరియు వాటి లక్షణాలను ఉపయోగించడం కోసం అనేక ఎంపికలను పరిశీలిద్దాం. సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు:
లాగరిథమ్‌ను పవర్‌లో ఉంచే ఎంపికను పరిగణించండి:
- సమస్య 3. 25^లాగ్ 5(3)ని లెక్కించండి. పరిష్కారం: సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో, నమోదు క్రింది (5^2)^log5(3) లేదా 5^(2 * లాగ్ 5(3)) వలె ఉంటుంది. దీనిని విభిన్నంగా వ్రాద్దాం: 5^లాగ్ 5(3*2), లేదా ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్‌గా ఉన్న సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఫంక్షన్ యొక్క వర్గంగా వ్రాయవచ్చు (5^లాగ్ 5(3))^2. లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించి, ఈ వ్యక్తీకరణ 3^2కి సమానం. సమాధానం: గణన ఫలితంగా మనకు 9 వస్తుంది.
ఆచరణాత్మక ఉపయోగం
పూర్తిగా గణిత సాధనం కావడంతో, ఇది చాలా దూరంగా ఉంది నిజ జీవితంసంవర్గమానం అకస్మాత్తుగా సంపాదించినది గొప్ప ప్రాముఖ్యతవస్తువులను వివరించడానికి వాస్తవ ప్రపంచంలో. ఉపయోగించని శాస్త్రాన్ని కనుగొనడం కష్టం. ఇది పూర్తిగా సహజంగానే కాదు, మానవతా జ్ఞాన రంగాలకు కూడా వర్తిస్తుంది.
లాగరిథమిక్ డిపెండెన్సీలు
సంఖ్యా పరాధీనతలకు ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:
మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్
చారిత్రాత్మకంగా, మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్ ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగించి అభివృద్ధి చెందాయి గణిత పద్ధతులుపరిశోధన మరియు అదే సమయంలో లాగరిథమ్‌లతో సహా గణితశాస్త్ర అభివృద్ధికి ప్రోత్సాహకంగా ఉపయోగపడింది. భౌతిక శాస్త్ర నియమాల సిద్ధాంతం గణిత శాస్త్ర భాషలో వ్రాయబడింది. వివరణలకు కేవలం రెండు ఉదాహరణలు ఇద్దాం భౌతిక చట్టాలులాగరిథమ్ ఉపయోగించి.
ఇలాంటి గణన సమస్యను పరిష్కరించండి సంక్లిష్ట పరిమాణంఅంతరిక్ష పరిశోధన సిద్ధాంతానికి పునాది వేసిన సియోల్కోవ్స్కీ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా రాకెట్ వేగాన్ని ఎలా నిర్ణయించవచ్చు:
V = I * ln (M1/M2), ఎక్కడ
- V – చివరి వేగంవిమానాల.
- I - ఇంజిన్ యొక్క నిర్దిష్ట ప్రేరణ.
- M 1 - రాకెట్ యొక్క ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి.
- M 2 - చివరి ద్రవ్యరాశి.
మరొకటి ముఖ్యమైన ఉదాహరణ - ఇది మరొక గొప్ప శాస్త్రవేత్త మాక్స్ ప్లాంక్ సూత్రంలో ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది థర్మోడైనమిక్స్‌లో సమతౌల్య స్థితిని అంచనా వేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.
S = k * ln (Ω), ఎక్కడ
- S - థర్మోడైనమిక్ ప్రాపర్టీ.
- k - బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం.
- Ω అనేది వివిధ రాష్ట్రాల గణాంక బరువు.
రసాయన శాస్త్రం
సంవర్గమానాల నిష్పత్తిని కలిగి ఉన్న రసాయన శాస్త్రంలో ఫార్ములాలను ఉపయోగించడం తక్కువ స్పష్టమైనది. కేవలం రెండు ఉదాహరణలు ఇద్దాం:
- నెర్న్స్ట్ సమీకరణం, పదార్ధాల కార్యాచరణ మరియు సమతౌల్య స్థిరాంకానికి సంబంధించి మాధ్యమం యొక్క రెడాక్స్ సంభావ్యత యొక్క స్థితి.
- ఆటోలిసిస్ ఇండెక్స్ మరియు ద్రావణం యొక్క ఆమ్లత్వం వంటి స్థిరాంకాల గణన కూడా మా ఫంక్షన్ లేకుండా చేయలేము.
మనస్తత్వశాస్త్రం మరియు జీవశాస్త్రం
మరియు మనస్తత్వ శాస్త్రానికి దానితో సంబంధం ఏమిటో స్పష్టంగా లేదు. ఈ ఫంక్షన్ ద్వారా సంచలనం యొక్క బలం బాగా వివరించబడిందని తేలింది విలోమ సంబంధంఉద్దీపన తీవ్రత విలువలు తక్కువ తీవ్రత విలువకు.
పై ఉదాహరణల తరువాత, జీవశాస్త్రంలో లాగరిథమ్స్ అంశం విస్తృతంగా ఉపయోగించబడటంలో ఆశ్చర్యం లేదు. సంవర్గమాన స్పైరల్స్‌కు సంబంధించిన జీవ రూపాల గురించి మొత్తం వాల్యూమ్‌లను వ్రాయవచ్చు.
ఇతర ప్రాంతాలు
ఈ ఫంక్షన్‌తో సంబంధం లేకుండా ప్రపంచం ఉనికి అసాధ్యమని అనిపిస్తుంది మరియు ఇది అన్ని చట్టాలను శాసిస్తుంది. ముఖ్యంగా ప్రకృతి చట్టాలు సంబంధించినవి రేఖాగణిత పురోగతి. MatProfi వెబ్‌సైట్‌కి వెళ్లడం విలువైనదే, మరియు ఈ క్రింది కార్యకలాపాలలో ఇటువంటి ఉదాహరణలు చాలా ఉన్నాయి:
జాబితా అంతులేనిది కావచ్చు. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను ప్రావీణ్యం పొందిన తరువాత, మీరు అనంతమైన జ్ఞానం యొక్క ప్రపంచంలోకి ప్రవేశించవచ్చు.
మేము లాగరిథమ్‌లను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ వ్యాసంలో మనం మాట్లాడతాము లాగరిథమ్‌లను గణించడం, ఈ ప్రక్రియ అంటారు సంవర్గమానం. మొదట మేము నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌ల గణనను అర్థం చేసుకుంటాము. తరువాత, లాగరిథమ్‌ల విలువలు వాటి లక్షణాలను ఉపయోగించి ఎలా కనుగొనబడతాయో చూద్దాం. దీని తరువాత, మేము మొదటగా లాగరిథమ్‌లను లెక్కించడంపై దృష్టి పెడతాము సెట్ విలువలుఇతర సంవర్గమానాలు. చివరగా, లాగరిథమ్ పట్టికలను ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుందాం. మొత్తం సిద్ధాంతం వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలతో అందించబడింది.
పేజీ నావిగేషన్.
నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌లను గణించడం
సరళమైన సందర్భాల్లో, చాలా త్వరగా మరియు సులభంగా నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది నిర్వచనం ద్వారా సంవర్గమానాన్ని కనుగొనడం. ఈ ప్రక్రియ ఎలా జరుగుతుందో నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.
దాని సారాంశం a c రూపంలో సంఖ్యను సూచించడం, దీని నుండి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, సంఖ్య c అనేది లాగరిథమ్ యొక్క విలువ. అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, క్రింది సమానత్వ గొలుసు సంవర్గమానాన్ని కనుగొనడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది: లాగ్ a b=log a a c =c.
కాబట్టి, నిర్వచనం ద్వారా సంవర్గమానాన్ని గణించడం అనేది c = b అనే సంఖ్యను కనుగొనడానికి వస్తుంది మరియు c సంఖ్య కూడా లాగరిథమ్ యొక్క కావలసిన విలువ.
మునుపటి పేరాగ్రాఫ్‌లలోని సమాచారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య లాగరిథమ్ బేస్ యొక్క నిర్దిష్ట శక్తి ద్వారా ఇవ్వబడినప్పుడు, మీరు వెంటనే లాగరిథమ్ దేనికి సమానమో సూచించవచ్చు - ఇది సూచికకు సమానండిగ్రీలు. ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూపుదాం.
ఉదాహరణ.
లాగ్ 2 2 −3ని కనుగొనండి మరియు సంఖ్య ఇ 5,3 యొక్క సహజ సంవర్గమానాన్ని కూడా లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం లాగ్ 2 2 −3 =-3 అని వెంటనే చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది. నిజానికి, సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య బేస్ 2కి −3 పవర్‌కి సమానం.
అదేవిధంగా, మేము రెండవ సంవర్గమానాన్ని కనుగొంటాము: lne 5.3 =5.3.
సమాధానం:
లాగ్ 2 2 −3 =-3 మరియు lne 5,3 =5,3.
సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య b సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క శక్తిగా పేర్కొనబడకపోతే, మీరు a c రూపంలో సంఖ్య b యొక్క ప్రాతినిధ్యంతో రావడం సాధ్యమేనా అని జాగ్రత్తగా చూడాలి. తరచుగా ఈ ప్రాతినిధ్యం చాలా స్పష్టంగా ఉంటుంది, ప్రత్యేకించి సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య 1, లేదా 2, లేదా 3 యొక్క శక్తికి బేస్కు సమానంగా ఉన్నప్పుడు, ...
ఉదాహరణ.
సంవర్గమానాల లాగ్ 5 25 మరియు గణించండి.
పరిష్కారం.
25=5 2 అని చూడటం సులభం, ఇది మొదటి సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది: లాగ్ 5 25=లాగ్ 5 5 2 =2.
రెండవ సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి వెళ్దాం. సంఖ్యను 7 శక్తిగా సూచించవచ్చు: 
(అవసరమైతే చూడండి). అందుకే, 
.
మూడవ సంవర్గమానాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం క్రింది రూపం. ఇప్పుడు మీరు దానిని చూడవచ్చు 
, దాని నుండి మేము దానిని ముగించాము 
. కాబట్టి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం 
.
క్లుప్తంగా, పరిష్కారం క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: .
సమాధానం:
లాగ్ 5 25=2 , 
మరియు .
సంవర్గమానం గుర్తు కింద తగినంత పెద్ద సహజ సంఖ్య ఉన్నప్పుడు, దానిని విస్తరించడం బాధించదు ప్రధాన కారకాలు. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క కొంత శక్తి వలె అటువంటి సంఖ్యను సూచించడానికి ఇది తరచుగా సహాయపడుతుంది మరియు అందువల్ల ఈ సంవర్గమానాన్ని నిర్వచనం ద్వారా లెక్కించండి.
ఉదాహరణ.
సంవర్గమానం యొక్క విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
లాగరిథమ్‌ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలు సంవర్గమానాల విలువను వెంటనే పేర్కొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. ఈ లక్షణాలలో ఒక యూనిట్ యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం మరియు సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం, బేస్కు సమానం: లాగ్ 1 1=లాగ్ a a 0 =0 మరియు లాగ్ a = log a a 1 =1 . అంటే, సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద సంఖ్య 1 లేదా సంవర్గమానం యొక్క ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య ఉన్నప్పుడు, ఈ సందర్భాలలో లాగరిథమ్‌లు వరుసగా 0 మరియు 1కి సమానంగా ఉంటాయి.
ఉదాహరణ.
లాగరిథమ్‌లు మరియు లాగ్10 దేనికి సమానం?
పరిష్కారం.
నుండి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది 
.
రెండవ ఉదాహరణలో, సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య 10 దాని ఆధారంతో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి పది యొక్క దశాంశ సంవర్గమానం ఒకరికి సమానం, అంటే, log10=lg10 1 =1.
సమాధానం:
మరియు lg10=1 .
నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌ల గణన (దీనిలో మేము చర్చించాము మునుపటి పేరా) సమానత్వ లాగ్ a a p =p ఉపయోగాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలలో ఒకటి.
ఆచరణలో, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తిగా సులభంగా సూచించబడినప్పుడు, సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. 
, ఇది లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలలో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ ఫార్ములా వినియోగాన్ని వివరించే సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
సమాధానం:
.
పైన పేర్కొనబడని లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు గణనలలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి, అయితే మేము దీని గురించి క్రింది పేరాల్లో మాట్లాడుతాము.
ఇతర తెలిసిన లాగరిథమ్‌ల ద్వారా లాగరిథమ్‌లను కనుగొనడం
ఈ పేరాలోని సమాచారం వాటిని లెక్కించేటప్పుడు లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించడం అనే అంశాన్ని కొనసాగిస్తుంది. కానీ ఇక్కడ ప్రధాన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, సంవర్గమానాల యొక్క లక్షణాలు అసలు సంవర్గమానాన్ని మరొక లాగరిథమ్ పరంగా వ్యక్తీకరించడానికి ఉపయోగించబడతాయి, దాని విలువ తెలిసినది. స్పష్టత కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. లాగ్ 2 3≈1.584963 అని మనకు తెలుసు అని అనుకుందాం, ఉదాహరణకు, లాగరిథమ్ లక్షణాలను ఉపయోగించి కొద్దిగా పరివర్తన చేయడం ద్వారా లాగ్ 2 6ని కనుగొనవచ్చు: లాగ్ 2 6=లాగ్ 2 (2 3)=లాగ్ 2 2+లాగ్ 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
పై ఉదాహరణలో, ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగించడం మాకు సరిపోతుంది. అయినప్పటికీ, ఇచ్చిన వాటి ద్వారా అసలైన లాగరిథమ్‌ను లెక్కించడానికి లాగరిథమ్‌ల లక్షణాల యొక్క విస్తృత ఆర్సెనల్‌ను ఉపయోగించడం చాలా తరచుగా అవసరం.
ఉదాహరణ.
లాగ్ 60 2=a మరియు లాగ్ 60 5=b అని మీకు తెలిస్తే, 27 నుండి బేస్ 60 నుండి సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
కాబట్టి మనం లాగ్ 60 27ని కనుగొనాలి. 27 = 3 3 , మరియు శక్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం కారణంగా అసలు సంవర్గమానం 3·లాగ్ 60 3గా తిరిగి వ్రాయబడుతుందని చూడటం సులభం.
తెలిసిన లాగరిథమ్‌ల పరంగా లాగ్ 60 3ని ఎలా వ్యక్తీకరించాలో ఇప్పుడు చూద్దాం. ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం 60 60=1 సమానత్వ లాగ్‌ను వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది. మరోవైపు, లాగ్ 60 60=log60(2 2 3 5)= లాగ్ 60 2 2 +లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5= 2·లాగ్ 60 2+లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5 . ఈ విధంగా, 2 లాగ్ 60 2+లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5=1. అందుకే, లాగ్ 60 3=1−2·లాగ్ 60 2−లాగ్ 60 5=1−2·a−b.
చివరగా, మేము అసలు సంవర్గమానాన్ని గణిస్తాము: లాగ్ 60 27=3 లాగ్ 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
సమాధానం:
లాగ్ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
విడిగా, ఫారమ్ యొక్క లాగరిథమ్ యొక్క కొత్త స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రం యొక్క అర్ధాన్ని పేర్కొనడం విలువ. 
. ఇది ఏదైనా బేస్‌తో లాగరిథమ్‌ల నుండి నిర్దిష్ట బేస్‌తో లాగరిథమ్‌లకు తరలించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, వాటి విలువలు తెలిసినవి లేదా వాటిని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది. సాధారణంగా, ఒరిజినల్ లాగరిథమ్ నుండి, పరివర్తన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, అవి 2, ఇ లేదా 10 బేస్‌లలో ఒకదానిలో లాగరిథమ్‌లకు మారతాయి, ఎందుకంటే ఈ బేస్‌ల కోసం లాగరిథమ్‌ల పట్టికలు ఉన్నాయి, ఇవి వాటి విలువలను నిర్దిష్ట స్థాయితో లెక్కించడానికి అనుమతిస్తాయి. ఖచ్చితత్వం. IN తదుపరి పాయింట్ఇది ఎలా జరిగిందో మేము మీకు చూపుతాము.
లాగరిథమ్ పట్టికలు మరియు వాటి ఉపయోగాలు
సంవర్గమాన విలువల యొక్క ఉజ్జాయింపు గణన కోసం ఉపయోగించవచ్చు లాగరిథమ్ పట్టికలు. సాధారణంగా ఉపయోగించే బేస్ 2 సంవర్గమాన పట్టిక పట్టిక సహజ సంవర్గమానాలుమరియు దశాంశ సంవర్గమానాల పట్టిక. లో పని చేస్తున్నప్పుడు దశాంశ వ్యవస్థకాలిక్యులస్ కోసం, బేస్ టెన్ ఆధారంగా లాగరిథమ్‌ల పట్టికను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దాని సహాయంతో మేము లాగరిథమ్‌ల విలువలను కనుగొనడం నేర్చుకుంటాము.
సమర్పించబడిన పట్టిక 1,000 నుండి 9,999 వరకు (మూడు దశాంశ స్థానాలతో) సంఖ్యల దశాంశ లాగరిథమ్‌ల విలువలను పదివేల వంతు ఖచ్చితత్వంతో కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మేము దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టికను ఉపయోగించి సంవర్గమాన విలువను కనుగొనే సూత్రాన్ని విశ్లేషిస్తాము నిర్దిష్ట ఉదాహరణ- ఇది ఆ విధంగా స్పష్టంగా ఉంది. లాగ్1.256ని కనుగొనండి.
దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టిక యొక్క ఎడమ కాలమ్‌లో 1.256 సంఖ్య యొక్క మొదటి రెండు అంకెలను మనం కనుగొంటాము, అనగా, మేము 1.2 (స్పష్టత కోసం ఈ సంఖ్య నీలం రంగులో సర్కిల్ చేయబడింది). మేము 1.256 (అంకె 5) యొక్క మూడవ అంకెను మొదటి లేదా చివరి పంక్తిడబుల్ లైన్ యొక్క ఎడమ వైపున (ఈ సంఖ్య ఎరుపు రంగులో సర్కిల్ చేయబడింది). అసలైన సంఖ్య 1.256 (అంకె 6) యొక్క నాల్గవ అంకె డబుల్ లైన్ యొక్క కుడి వైపున ఉన్న మొదటి లేదా చివరి పంక్తిలో కనుగొనబడింది (ఈ సంఖ్య ఆకుపచ్చ గీతతో సర్కిల్ చేయబడింది). ఇప్పుడు మనం గుర్తించబడిన అడ్డు వరుస మరియు గుర్తించబడిన నిలువు వరుసల ఖండన వద్ద లాగరిథమ్‌ల పట్టికలోని కణాలలో సంఖ్యలను కనుగొంటాము (ఈ సంఖ్యలు హైలైట్ చేయబడ్డాయి నారింజ) గుర్తించబడిన సంఖ్యల మొత్తం కావలసిన విలువను ఇస్తుంది దశాంశ సంవర్గమానంనాల్గవ దశాంశ స్థానానికి ఖచ్చితమైనది, అంటే, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
పై పట్టికను ఉపయోగించి, దశాంశ బిందువు తర్వాత మూడు కంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉన్న సంఖ్యల దశాంశ లాగరిథమ్‌ల విలువలను, అలాగే 1 నుండి 9.999 పరిధికి మించిన వాటిని కనుగొనడం సాధ్యమేనా? మీరు చెయ్యవచ్చు అవును. ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.
lg102.76332ని లెక్కిద్దాం. మొదట మీరు వ్రాయాలి సంఖ్య ప్రామాణిక రూపం : 102.76332=1.0276332·10 2. దీని తరువాత, మాంటిస్సా మూడవ దశాంశ స్థానానికి గుండ్రంగా ఉండాలి, మనకు ఉంది 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, అసలు దశాంశ సంవర్గమానం సుమారుగా ఉంటుంది సంవర్గమానానికి సమానంఫలిత సంఖ్య, అంటే, మేము log102.76332≈lg1.028·10 2ని తీసుకుంటాము. ఇప్పుడు మేము లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను వర్తింపజేస్తాము: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. చివరగా, మేము దశాంశ సంవర్గమానాల lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 పట్టిక నుండి లాగరిథమ్ lg1.028 విలువను కనుగొంటాము. ఫలితంగా, లాగరిథమ్‌ను లెక్కించే మొత్తం ప్రక్రియ ఇలా కనిపిస్తుంది: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
ముగింపులో, దశాంశ సంవర్గమానాల పట్టికను ఉపయోగించి మీరు ఏదైనా లాగరిథమ్ యొక్క సుమారు విలువను లెక్కించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, దశాంశ లాగరిథమ్‌లకు వెళ్లడానికి, వాటి విలువలను పట్టికలో కనుగొని, మిగిలిన గణనలను నిర్వహించడానికి పరివర్తన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సరిపోతుంది.
ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 3ని లెక్కిద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క కొత్త స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రం ప్రకారం, మనకు . దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టిక నుండి మనం లాగ్3≈0.4771 మరియు లాగ్2≈0.3010లను కనుగొంటాము. ఈ విధంగా, 
.
గ్రంథ పట్టిక.
- కోల్మోగోరోవ్ A.N., అబ్రమోవ్ A.M., డడ్నిట్సిన్ యు.పి. మరియు ఇతరులు. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం: సాధారణ విద్యా సంస్థల 10 - 11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం.
- గుసేవ్ V.A., మోర్డ్కోవిచ్ A.G. గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లోకి ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్).
సంబంధించి
ఇచ్చిన ఇతర రెండు వాటి నుండి మూడు సంఖ్యలలో దేనినైనా కనుగొనే పనిని సెట్ చేయవచ్చు. a మరియు N ఇచ్చినట్లయితే, అవి ఘాతాంకం ద్వారా కనుగొనబడతాయి. డిగ్రీ x (లేదా శక్తికి పెంచడం) యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా N మరియు ఆపై a ఇవ్వబడినట్లయితే. ఇప్పుడు a మరియు N ఇచ్చిన సందర్భాన్ని పరిగణించండి, మనం xని కనుగొనాలి.
సంఖ్య N సానుకూలంగా ఉండనివ్వండి: a సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఒకదానికి సమానం కాదు: .
నిర్వచనం. సంఖ్య N యొక్క సంవర్గమానం ఆధారం aకి సంఖ్య N ను పొందేందుకు తప్పనిసరిగా పెంచాల్సిన ఘాతాంకం; సంవర్గమానం ద్వారా సూచించబడుతుంది
అందువలన, సమానత్వంలో (26.1) ఘాతాంకం a బేస్ కు N యొక్క సంవర్గమానంగా కనుగొనబడింది. పోస్ట్‌లు
కలిగి ఉంటాయి అదే అర్థం. సమానత్వం (26.1) కొన్నిసార్లు లాగరిథమ్స్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన గుర్తింపుగా పిలువబడుతుంది; వాస్తవానికి ఇది లాగరిథమ్ భావన యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది. ద్వారా ఈ నిర్వచనంసంవర్గమానం a యొక్క ఆధారం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఐక్యతకు భిన్నంగా ఉంటుంది; సంవర్గమాన సంఖ్య N సానుకూలంగా ఉంటుంది. ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు సున్నాకి లాగరిథమ్‌లు లేవు. ఇచ్చిన ఆధారంతో ఏదైనా సంఖ్య బాగా నిర్వచించబడిన సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని నిరూపించవచ్చు. కాబట్టి సమానత్వం ఉంటుంది. ఇక్కడ షరతు తప్పనిసరి అని గమనించండి; లేకుంటే, ముగింపు సమర్థించబడదు, ఎందుకంటే x మరియు y యొక్క ఏదైనా విలువలకు సమానత్వం వర్తిస్తుంది.
ఉదాహరణ 1. కనుగొనండి
పరిష్కారం. సంఖ్యను పొందడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా బేస్ 2ని పవర్‌కి పెంచాలి.
అటువంటి ఉదాహరణలను క్రింది రూపంలో పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు గమనికలు చేయవచ్చు:
ఉదాహరణ 2. కనుగొనండి.
పరిష్కారం. మన దగ్గర ఉంది
ఉదాహరణ 1 మరియు 2లో, సంవర్గమాన సంఖ్యను బేస్ యొక్క శక్తిగా సూచించడం ద్వారా మేము కావలసిన లాగరిథమ్‌ను సులభంగా కనుగొన్నాము హేతుబద్ధమైన సూచిక. IN సాధారణ కేసు, ఉదాహరణకు, మొదలైన వాటి కోసం, లాగరిథమ్ కలిగి ఉన్నందున ఇది చేయలేము అహేతుక అర్థం. ఈ ప్రకటనకు సంబంధించిన ఒక సమస్యపై దృష్టి పెడతాము. పేరా 12 లో మేము ఏదైనా నిర్ణయించే అవకాశం యొక్క భావనను ఇచ్చాము నిజమైన డిగ్రీఇచ్చిన సానుకూల సంఖ్య. సంవర్గమానాల పరిచయం కోసం ఇది అవసరం, ఇది సాధారణంగా చెప్పాలంటే, అహేతుక సంఖ్యలు కావచ్చు.
లాగరిథమ్‌ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను చూద్దాం.
లక్షణం 1. సంఖ్య మరియు ఆధారం సమానంగా ఉంటే, సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం, మరియు దానికి విరుద్ధంగా, సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం అయితే, సంఖ్య మరియు ఆధారం సమానంగా ఉంటాయి.
రుజువు. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ద్వారా మనకు మరియు ఎక్కడి నుండి ఉందా
దీనికి విరుద్ధంగా, నిర్వచనం ప్రకారం తెన్
ప్రాపర్టీ 2. ఏదైనా బేస్‌కి ఒకటి యొక్క సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం.
రుజువు. సంవర్గమానం నిర్వచనం ప్రకారం ( సున్నా డిగ్రీఏదైనా సానుకూల ఆధారం ఒకదానికి సమానం, చూడండి (10.1)). ఇక్కడనుంచి
Q.E.D.
సంభాషణ ప్రకటన కూడా నిజం: ఒకవేళ , అప్పుడు N = 1. నిజానికి, మనకు .
సంవర్గమానాల యొక్క తదుపరి లక్షణాన్ని రూపొందించే ముందు, a మరియు b అనే రెండు సంఖ్యలు c కంటే ఎక్కువ లేదా c కంటే తక్కువగా ఉంటే మూడవ సంఖ్య cకి ఒకే వైపున ఉన్నాయని చెప్పడానికి అంగీకరిస్తాము. ఈ సంఖ్యలలో ఒకటి c కంటే ఎక్కువగా ఉంటే మరియు మరొకటి c కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు మేము అవి వెంట పడతాయని చెబుతాము వివిధ వైపులాగ్రామం నుండి
ఆస్తి 3. సంఖ్య మరియు ఆధారం ఒకదానిపై ఒకే వైపు ఉంటే, సంవర్గమానం సానుకూలంగా ఉంటుంది; సంఖ్య మరియు ఆధారం ఒకదానికి వ్యతిరేక వైపులా ఉంటే, సంవర్గమానం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువ మరియు ఘాతాంకం సానుకూలంగా లేదా ఆధారం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటే a యొక్క శక్తి ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది అనే వాస్తవం ఆధారంగా ఆస్తి 3 యొక్క రుజువు ఆధారపడి ఉంటుంది. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ మరియు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటే లేదా బేస్ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం సానుకూలంగా ఉంటే శక్తి ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
పరిగణించవలసిన నాలుగు కేసులు ఉన్నాయి:
వాటిలో మొదటిదాన్ని విశ్లేషించడానికి మనం పరిమితం చేస్తాము; పాఠకుడు మిగిలిన వాటిని స్వయంగా పరిశీలిస్తాడు.
అప్పుడు సమానత్వంలో ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, ఇది సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
ఉదాహరణ 3. దిగువన ఉన్న లాగరిథమ్‌లలో ఏది ధనాత్మకమో మరియు ఏది ప్రతికూలమో కనుగొనండి:
పరిష్కారం, ఎ) సంఖ్య 15 మరియు బేస్ 12 ఒకదానిలో ఒకే వైపున ఉన్నందున;
బి) 1000 మరియు 2 యూనిట్ యొక్క ఒక వైపున ఉన్నందున; ఈ సందర్భంలో, సంవర్గమాన సంఖ్య కంటే బేస్ ఎక్కువగా ఉండటం ముఖ్యం కాదు;
సి) 3.1 మరియు 0.8 ఐక్యత యొక్క వ్యతిరేక వైపులా ఉంటాయి;
జి) ; ఎందుకు?
d) ; ఎందుకు?
కింది లక్షణాలు 4-6 తరచుగా సంవర్గమాన నియమాలు అని పిలుస్తారు: అవి కొన్ని సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లను తెలుసుకోవడం, వాటి ఉత్పత్తి, గుణకం మరియు వాటిలో ప్రతి డిగ్రీ యొక్క లాగరిథమ్‌లను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తాయి.
ఆస్తి 4 (ఉత్పత్తి లాగరిథమ్ నియమం). ద్వారా అనేక ధనాత్మక సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం ఈ ఆధారంగాఈ సంఖ్యల లాగరిథమ్‌ల మొత్తానికి ఒకే బేస్కు సమానం.
రుజువు. ఇచ్చిన సంఖ్యలు సానుకూలంగా ఉండనివ్వండి.
వారి ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం కోసం, మేము లాగరిథమ్‌ను నిర్వచించే సమానత్వం (26.1) వ్రాస్తాము:
ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము
మొదటి మరియు ఘాతాంకాలను పోల్చడం చివరి వ్యక్తీకరణలు, మేము అవసరమైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము:
పరిస్థితి తప్పనిసరి అని గమనించండి; రెండు ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం ప్రతికూల సంఖ్యలుఅర్ధమే, కానీ ఈ సందర్భంలో మనం పొందుతాము
సాధారణంగా, అనేక కారకాల ఉత్పత్తి సానుకూలంగా ఉంటే, దాని సంవర్గమానం ఈ కారకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.
ప్రాపర్టీ 5 (కోటియంట్స్ యొక్క లాగరిథమ్‌లను తీసుకోవడానికి నియమం). ధనాత్మక సంఖ్యల గుణకం యొక్క సంవర్గమానం డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క లాగరిథమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం, అదే స్థావరానికి తీసుకోబడుతుంది. రుజువు. మేము స్థిరంగా కనుగొంటాము
Q.E.D.
ప్రాపర్టీ 6 (పవర్ లాగరిథమ్ రూల్). ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క సంవర్గమానం ఘాతాంకంతో గుణించబడిన ఆ సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం.
రుజువు. సంఖ్యకు ప్రధాన గుర్తింపు (26.1)ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:
Q.E.D.
పర్యవసానం. ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం మూలం యొక్క ఘాతాంకంతో విభజించబడిన రాడికల్ యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం:
ఆస్తి 6ని ఎలా ఉపయోగించాలో మరియు ఎలా ఉపయోగించాలో ఊహించడం ద్వారా ఈ పరిణామం యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపించవచ్చు.
ఉదాహరణ 4. a బేస్ చేయడానికి లాగరిథమ్ తీసుకోండి:
a) (అన్ని విలువలు b, c, d, e సానుకూలంగా ఉన్నాయని భావించబడుతుంది);
బి) (అని భావించబడుతుంది).
పరిష్కారం, a) ఇది వెళ్ళడానికి సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది ఈ వ్యక్తీకరణపాక్షిక శక్తులకు:
సమానత్వం (26.5)-(26.7) ఆధారంగా మనం ఇప్పుడు వ్రాయవచ్చు:
సంఖ్యల కంటే సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లపై సరళమైన కార్యకలాపాలు జరుగుతాయని మేము గమనించాము: సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు, వాటి లాగరిథమ్‌లు జోడించబడతాయి, విభజించేటప్పుడు, అవి తీసివేయబడతాయి మొదలైనవి.
అందుకే కంప్యూటింగ్ ప్రాక్టీస్‌లో లాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి (పేరా 29 చూడండి).
సంవర్గమానం యొక్క విలోమ చర్యను పొటెన్షియేషన్ అంటారు, అవి: పొటెన్షియేషన్ అనేది ఒక సంఖ్య యొక్క ఇచ్చిన లాగరిథమ్ నుండి సంఖ్యను కనుగొనే చర్య. ముఖ్యంగా, పొటెన్షియేషన్ అనేది ఏ ప్రత్యేక చర్య కాదు: ఇది ఒక స్థావరాన్ని శక్తికి (సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్‌కి సమానం) పెంచడానికి వస్తుంది. "పొటెన్షియేషన్" అనే పదాన్ని "ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్" అనే పదానికి పర్యాయపదంగా పరిగణించవచ్చు.
పొటెన్షియేటింగ్ చేసినప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా సంవర్గమాన నియమాలకు విలోమ నియమాలను ఉపయోగించాలి: సంవర్గమానాల మొత్తాన్ని ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానంతో భర్తీ చేయండి, సంవర్గమానాల వ్యత్యాసాన్ని గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌తో భర్తీ చేయండి. ముఖ్యంగా, ముందు కారకం ఉంటే సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం, అప్పుడు పొటెన్షియేషన్ సమయంలో అది సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద ఘాతాంక డిగ్రీలకు బదిలీ చేయబడాలి.
ఉదాహరణ 5. N అని తెలిసినట్లయితే కనుగొనండి
పరిష్కారం. పొటెన్షియేషన్ యొక్క ఇప్పుడే పేర్కొన్న నియమానికి సంబంధించి, మేము ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న లాగరిథమ్‌ల గుర్తుల ముందు నిలబడి ఉన్న 2/3 మరియు 1/3 కారకాలను ఈ లాగరిథమ్‌ల సంకేతాల క్రింద ఘాతాంకాల్లోకి బదిలీ చేస్తాము; మాకు దొరికింది
ఇప్పుడు మనం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసాన్ని గుణకం యొక్క లాగరిథంతో భర్తీ చేస్తాము:
ఈ సమానత్వాల గొలుసులోని చివరి భిన్నాన్ని పొందడానికి, మేము హారంలోని అహేతుకత నుండి మునుపటి భాగాన్ని విడిపించాము (నిబంధన 25).
ఆస్తి 7. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, అప్పుడు పెద్ద సంఖ్యపెద్ద సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉంటుంది (మరియు చిన్న సంఖ్యకు చిన్నది ఉంటుంది), ఆధారం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే, పెద్ద సంఖ్యకు చిన్న సంవర్గమానం ఉంటుంది (మరియు చిన్న సంఖ్యకు పెద్దది ఉంటుంది).
ఈ ఆస్తి అసమానతల సంవర్గమానాలను తీసుకోవడానికి నియమం వలె రూపొందించబడింది, వీటిలో రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉంటాయి:
అసమానతల లాగరిథమ్‌లను బేస్‌కి తీసుకున్నప్పుడు, ఒకటి కంటే ఎక్కువ, అసమానత యొక్క సంకేతం సంరక్షించబడుతుంది మరియు ఒక సంవర్గమానాన్ని ఒకటి కంటే తక్కువ బేస్‌కి తీసుకున్నప్పుడు, అసమానత యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది (పేరా 80 కూడా చూడండి).
రుజువు లక్షణాలు 5 మరియు 3పై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒకవేళ , ఆపై మరియు, లాగరిథమ్‌లను తీసుకుంటే, మేము పొందినప్పుడు కేసును పరిగణించండి
(a మరియు N/M ఏకత్వం యొక్క ఒకే వైపు ఉంటాయి). ఇక్కడనుంచి
కింది సందర్భం, పాఠకుడు దానిని స్వయంగా గుర్తించగలడు.
ఈ రోజు మనం మాట్లాడతాము సంవర్గమాన సూత్రాలుమరియు మేము సూచనను అందిస్తాము పరిష్కార ఉదాహరణలు.
లాగరిథమ్‌ల ప్రాథమిక లక్షణాల ప్రకారం అవి స్వయంగా పరిష్కార నమూనాలను సూచిస్తాయి. పరిష్కరించడానికి సంవర్గమాన సూత్రాలను వర్తించే ముందు, మేము మీకు అన్ని లక్షణాలను గుర్తు చేద్దాం:
ఇప్పుడు, ఈ సూత్రాలు (గుణాలు) ఆధారంగా, మేము చూపుతాము లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు.
సూత్రాల ఆధారంగా లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు.
సంవర్గమానం a (లాగ్ a bతో సూచించబడుతుంది) ధనాత్మక సంఖ్య b అనేది b > 0, a > 0 మరియు 1 లతో b పొందడానికి తప్పనిసరిగా పెంచాల్సిన ఘాతాంకం.
ప్రకారం లాగ్ యొక్క నిర్వచనాలు a b = x, ఇది a x = bకి సమానం, కాబట్టి a a x = xని లాగ్ చేయండి.
లాగరిథమ్స్, ఉదాహరణలు:
లాగ్ 2 8 = 3, ఎందుకంటే 2 3 = 8
లాగ్ 7 49 = 2, ఎందుకంటే 7 2 = 49
లాగ్ 5 1/5 = -1, ఎందుకంటే 5 -1 = 1/5
దశాంశ సంవర్గమానం- ఇది సాధారణ సంవర్గమానం, దీని ఆధారం 10. ఇది lgగా సూచించబడుతుంది.
లాగ్ 10 100 = 2, ఎందుకంటే 10 2 = 100
సహజ సంవర్గమానం- సాధారణ సంవర్గమాన సంవర్గమానం కూడా, కానీ బేస్ ఇతో (e = 2.71828... - అకరణీయ సంఖ్య) ln గా సూచించబడింది.
లాగరిథమ్‌ల సూత్రాలు లేదా లక్షణాలను గుర్తుంచుకోవడం మంచిది, ఎందుకంటే లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించేటప్పుడు మనకు అవి తరువాత అవసరం, సంవర్గమాన సమీకరణాలుమరియు అసమానతలు. ఉదాహరణలతో ప్రతి ఫార్ములా ద్వారా మళ్లీ పని చేద్దాం.
- బేసిక్స్ లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
ఒక లాగ్ a b = b8 2లాగ్ 8 3 = (8 2లాగ్ 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం లాగరిథమ్‌ల మొత్తానికి సమానం
లాగ్ ఎ (బిసి) = లాగ్ ఎ బి + లాగ్ ఎ సిలాగ్ 3 8.1 + లాగ్ 3 10 = లాగ్ 3 (8.1*10) = లాగ్ 3 81 = 4
- సంవర్గమానం యొక్క సంవర్గమానం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం
log a (b/c) = log a b - log a c9 లాగ్ 5 50/9 లాగ్ 5 2 = 9 లాగ్ 5 50- లాగ్ 5 2 = 9 లాగ్ 5 25 = 9 2 = 81
- సంవర్గమాన సంఖ్య యొక్క శక్తి మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క లక్షణాలు
లాగరిథమిక్ సంఖ్య యొక్క ఘాతాంకం లాగ్ a b m = mlog a b
సంవర్గమానం లాగ్ యొక్క బేస్ యొక్క ఘాతాంకం a n b =1/n*log a b
లాగ్ a n b m = m/n*log a b,
m = n అయితే, మనకు లాగ్ a n b n = log a b వస్తుంది
లాగ్ 4 9 = లాగ్ 2 2 3 2 = లాగ్ 2 3
- కొత్త పునాదికి మార్పు
log a b = log c b/log c a,c = b అయితే, మనకు లాగ్ b b = 1 వస్తుంది
అప్పుడు లాగ్ a b = 1/log b a
లాగ్ 0.8 3*లాగ్ 3 1.25 = లాగ్ 0.8 3*లాగ్ 0.8 1.25/లాగ్ 0.8 3 = లాగ్ 0.8 1.25 = లాగ్ 4/5 5/4 = -1
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, లాగరిథమ్‌ల సూత్రాలు కనిపించేంత క్లిష్టంగా లేవు. ఇప్పుడు, లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలించిన తరువాత, మనం లాగరిథమిక్ సమీకరణాలకు వెళ్లవచ్చు. సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను మేము వ్యాసంలో మరింత వివరంగా పరిశీలిస్తాము: "". వదులుకోకు!
పరిష్కారం గురించి మీకు ఇంకా ప్రశ్నలు ఉంటే, వాటిని వ్యాసానికి వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి.
గమనిక: మేము వేరే తరగతి విద్యను పొందాలని మరియు విదేశాలలో చదువుకోవాలని నిర్ణయించుకున్నాము.
లాగరిథమ్‌లు, ఏదైనా సంఖ్యల వలె, ప్రతి విధంగా జోడించబడతాయి, తీసివేయబడతాయి మరియు రూపాంతరం చెందుతాయి. కానీ లాగరిథమ్‌లు సరిగ్గా లేనందున సాధారణ సంఖ్యలు, ఇక్కడ నియమాలు ఉన్నాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.
మీరు ఖచ్చితంగా ఈ నియమాలను తెలుసుకోవాలి - అవి లేకుండా ఒక్క తీవ్రమైన సమస్య కూడా పరిష్కరించబడదు. లాగరిథమిక్ సమస్య. అదనంగా, వాటిలో చాలా తక్కువ ఉన్నాయి - మీరు ఒక రోజులో ప్రతిదీ నేర్చుకోవచ్చు. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం.
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం
ఒకే బేస్‌లతో రెండు లాగరిథమ్‌లను పరిగణించండి: లాగ్ a xమరియు లాగ్ a వై. అప్పుడు వాటిని జోడించవచ్చు మరియు తీసివేయవచ్చు మరియు:
- లాగ్ a x+ లాగ్ a వై= చిట్టా a (x · వై);
- లాగ్ a x- లాగ్ a వై= చిట్టా a (x : వై).
కాబట్టి, సంవర్గమానాల మొత్తం ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం మరియు వ్యత్యాసం గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం. గమనిక: కీలక క్షణంఇక్కడ - ఒకే మైదానాలు. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే, ఈ నియమాలు పని చేయవు!
ఈ సూత్రాలు మీరు లెక్కించేందుకు సహాయం చేస్తాయి సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణదాని వ్యక్తిగత భాగాలు లెక్కించబడనప్పటికీ ("లాగరిథమ్ అంటే ఏమిటి" అనే పాఠాన్ని చూడండి). ఉదాహరణలను పరిశీలించి చూడండి:
లాగ్ 6 4 + లాగ్ 6 9.
లాగరిథమ్‌లు ఒకే బేస్‌లను కలిగి ఉన్నందున, మేము మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
లాగ్ 6 4 + లాగ్ 6 9 = లాగ్ 6 (4 9) = లాగ్ 6 36 = 2.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 2 48 - లాగ్ 2 3.
స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము వ్యత్యాస సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
లాగ్ 2 48 - లాగ్ 2 3 = లాగ్ 2 (48: 3) = లాగ్ 2 16 = 4.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 3 135 - లాగ్ 3 5.
మళ్ళీ స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
లాగ్ 3 135 - లాగ్ 3 5 = లాగ్ 3 (135: 5) = లాగ్ 3 27 = 3.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అసలు వ్యక్తీకరణలు "చెడు" లాగరిథమ్‌లతో రూపొందించబడ్డాయి, అవి విడిగా లెక్కించబడవు. కానీ పరివర్తనల తరువాత అవి చాలా తేలికగా మారుతాయి సాధారణ సంఖ్యలు. చాలా ఈ వాస్తవం మీద నిర్మించబడ్డాయి పరీక్ష పేపర్లు. నియంత్రణల గురించి ఏమిటి? సారూప్య వ్యక్తీకరణలుయూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో అన్ని గంభీరంగా (కొన్నిసార్లు వాస్తవంగా ఎటువంటి మార్పులు లేకుండా) అందించబడతాయి.
సంవర్గమానం నుండి ఘాతాంకాన్ని సంగ్రహించడం
ఇప్పుడు పనిని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం లేదా వాదన శక్తి అయితే? అప్పుడు ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంక క్రింది నియమాల ప్రకారం సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:
అది గమనించడం సులభం చివరి నియమంమొదటి రెండింటిని అనుసరిస్తుంది. కానీ ఏమైనప్పటికీ గుర్తుంచుకోవడం మంచిది - కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది గణనల మొత్తాన్ని గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది.
వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క ODZ గమనించినట్లయితే ఈ నియమాలన్నీ అర్ధవంతంగా ఉంటాయి: a > 0, a ≠ 1, x> 0. మరియు మరొక విషయం: అన్ని సూత్రాలను ఎడమ నుండి కుడికి మాత్రమే కాకుండా, వైస్ వెర్సా కూడా వర్తింపజేయడం నేర్చుకోండి, అనగా. మీరు సంవర్గమాన సంకేతానికి ముందు సంఖ్యలను లాగరిథమ్‌లోనే నమోదు చేయవచ్చు. ఇది చాలా తరచుగా అవసరం.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 7 49 6 .
మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాదనలోని డిగ్రీని వదిలించుకుందాం:
లాగ్ 7 49 6 = 6 లాగ్ 7 49 = 6 2 = 12
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
[చిత్రానికి శీర్షిక]
హారం ఒక సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని గమనించండి, దాని యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. మాకు ఉన్నాయి:
[చిత్రానికి శీర్షిక] నేను అనుకుంటున్నాను చివరి ఉదాహరణవివరణ అవసరం. లాగరిథమ్‌లు ఎక్కడికి పోయాయి? చివరి క్షణం వరకు మేము హారంతో మాత్రమే పని చేస్తాము. మేము అక్కడ నిలబడి ఉన్న లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ను శక్తుల రూపంలో అందించాము మరియు ఘాతాంకాలను తీసివేసాము - మాకు “మూడు-అంతస్తుల” భిన్నం వచ్చింది.
ఇప్పుడు ప్రధాన భాగాన్ని చూద్దాం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి: లాగ్ 2 7. లాగ్ 2 7 ≠ 0 కాబట్టి, మేము భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు - 2/4 హారంలోనే ఉంటుంది. అంకగణిత నియమాల ప్రకారం, నలుగురిని న్యూమరేటర్‌కు బదిలీ చేయవచ్చు, ఇది జరిగింది. ఫలితం సమాధానం: 2.
కొత్త పునాదికి మార్పు
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాల గురించి మాట్లాడుతూ, అవి ఒకే బేస్‌లతో మాత్రమే పనిచేస్తాయని నేను ప్రత్యేకంగా నొక్కిచెప్పాను. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? అవి ఒకే సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన అధికారాలు కాకపోతే ఏమి చేయాలి?
కొత్త పునాదికి పరివర్తన కోసం సూత్రాలు రక్షించటానికి వస్తాయి. వాటిని సిద్ధాంతం రూపంలో రూపొందిద్దాం:
సంవర్గమానం లాగ్ ఇవ్వబడనివ్వండి a x. అప్పుడు ఏదైనా సంఖ్య కోసం సిఅలాంటి సి> 0 మరియు సి≠ 1, సమానత్వం నిజం:
[చిత్రానికి శీర్షిక]
ముఖ్యంగా, మేము ఉంచినట్లయితే సి = x, మాకు దొరికింది:
[చిత్రానికి శీర్షిక]
రెండవ ఫార్ములా నుండి సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ మార్చుకోవచ్చని ఇది అనుసరిస్తుంది, అయితే ఈ సందర్భంలో మొత్తం వ్యక్తీకరణ "తిరిగిపోయింది", అనగా. సంవర్గమానం హారంలో కనిపిస్తుంది.
ఈ సూత్రాలు చాలా అరుదుగా సంప్రదాయంలో కనిపిస్తాయి సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు. సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు మాత్రమే అవి ఎంత సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయో అంచనా వేయడం సాధ్యమవుతుంది.
అయితే, కొత్త పునాదికి వెళ్లడం మినహా అన్నింటిలోనూ పరిష్కరించలేని సమస్యలు ఉన్నాయి. వీటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం:
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 5 16 లాగ్ 2 25.
రెండు లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్‌లు ఖచ్చితమైన అధికారాలను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. సూచికలను తీసుకుందాం: లాగ్ 5 16 = లాగ్ 5 2 4 = 4లాగ్ 5 2; లాగ్ 2 25 = లాగ్ 2 5 2 = 2లాగ్ 2 5;
ఇప్పుడు రెండవ సంవర్గమానాన్ని "రివర్స్" చేద్దాం:
[చిత్రానికి శీర్షిక]కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు ఉత్పత్తి మారదు కాబట్టి, మేము ప్రశాంతంగా నాలుగు మరియు రెండు గుణించి, ఆపై లాగరిథమ్‌లతో వ్యవహరించాము.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 9 100 lg 3.
మొదటి సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు. దీన్ని వ్రాసి, సూచికలను వదిలించుకుందాం:
[చిత్రానికి శీర్షిక]ఇప్పుడు కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడం ద్వారా దశాంశ సంవర్గమానాన్ని వదిలించుకుందాం:
[చిత్రానికి శీర్షిక]ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
తరచుగా పరిష్కార ప్రక్రియలో, ఇచ్చిన స్థావరానికి సంవర్గమానంగా సంఖ్యను సూచించడం అవసరం. ఈ సందర్భంలో, కింది సూత్రాలు మాకు సహాయపడతాయి:
మొదటి సందర్భంలో, సంఖ్య nవాదనలో ఉన్న స్థాయికి సూచిక అవుతుంది. సంఖ్య nఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం లాగరిథమ్ విలువ మాత్రమే.
రెండవ సూత్రం వాస్తవానికి పారాఫ్రేస్డ్ నిర్వచనం. దానినే అంటారు: ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు.
నిజానికి, సంఖ్య ఉంటే ఏమి జరుగుతుంది బిసంఖ్యను అటువంటి శక్తికి పెంచండి బిఈ శక్తికి సంఖ్యను ఇస్తుంది a? అది నిజం: మీరు ఇదే నంబర్‌ను పొందుతారు a. ఈ పేరాగ్రాఫ్‌ని మళ్లీ జాగ్రత్తగా చదవండి - చాలా మంది దానిలో చిక్కుకుపోతారు.
కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాల వలె, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు కొన్నిసార్లు సాధ్యమయ్యే ఏకైక పరిష్కారం.
టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
[చిత్రానికి శీర్షిక]
లాగ్ 25 64 = లాగ్ 5 8 - కేవలం లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి చతురస్రాన్ని తీసుకున్నట్లు గమనించండి. శక్తులను గుణించడం కోసం నియమాలను పరిశీలిస్తోంది అదే ఆధారం, మాకు దొరికింది:
[చిత్రానికి శీర్షిక]ఎవరికైనా తెలియకపోతే, ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి నిజమైన పని :)
లాగరిథమిక్ యూనిట్ మరియు లాగరిథమిక్ సున్నా
ముగింపులో, నేను రెండు గుర్తింపులను ఇస్తాను, అవి అరుదుగా లక్షణాలు అని పిలవబడతాయి - బదులుగా, అవి లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క పరిణామాలు. వారు నిరంతరం సమస్యలలో కనిపిస్తారు మరియు ఆశ్చర్యకరంగా, "అధునాతన" విద్యార్థులకు కూడా సమస్యలను సృష్టిస్తారు.
- లాగ్ a a= 1 ఉంది లాగరిథమిక్ యూనిట్. ఒకసారి మరియు అన్నింటికీ గుర్తుంచుకోండి: ఏదైనా స్థావరానికి లాగరిథమ్ aదీని నుండి చాలా ఆధారం ఒకదానికి సమానం.
- లాగ్ a 1 = 0 సంవర్గమాన సున్నా. బేస్ aఏదైనా కావచ్చు, కానీ ఆర్గ్యుమెంట్‌లో ఒకటి ఉంటే, లాగరిథమ్ సున్నాకి సమానం! ఎందుకంటే a 0 = 1 అనేది నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం.
ఆస్తులు అంతే. వాటిని ఆచరణలో పెట్టడం తప్పకుండా సాధన చేయండి! పాఠం ప్రారంభంలో చీట్ షీట్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి, దాన్ని ప్రింట్ చేయండి మరియు సమస్యలను పరిష్కరించండి.