ఉదాహరణలు లాగ్. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు

ఆదిమ స్థాయి బీజగణితం యొక్క మూలకాలలో ఒకటి సంవర్గమానం. ఈ పేరు గ్రీకు భాష నుండి "సంఖ్య" లేదా "శక్తి" అనే పదం నుండి వచ్చింది మరియు తుది సంఖ్యను కనుగొనడానికి బేస్‌లోని సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి అని అర్థం.

లాగరిథమ్‌ల రకాలు

• లాగ్ a b – a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) ఆధారంగా b సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం;
• లాగ్ బి - దశాంశ సంవర్గమానం (సంవర్గమానం నుండి బేస్ 10, a = 10);
• ln b – సహజ సంవర్గమానం (సంవర్గమానం నుండి బేస్ ఇ, a = ఇ).

లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి?

b నుండి a ఆధారిత సంవర్గమానం ఒక ఘాతాంకం, దీనికి bని బేస్ aకి పెంచాలి. పొందిన ఫలితం ఇలా ఉచ్ఛరిస్తారు: "b యొక్క సంవర్గమానం a బేస్ a." సంవర్గమాన సమస్యలకు పరిష్కారం మీరు పేర్కొన్న సంఖ్యల నుండి సంఖ్యలలో ఇచ్చిన శక్తిని గుర్తించాలి. సంవర్గమానాన్ని గుర్తించడానికి లేదా పరిష్కరించడానికి, అలాగే సంజ్ఞామానాన్ని మార్చడానికి కొన్ని ప్రాథమిక నియమాలు ఉన్నాయి. వాటిని ఉపయోగించి, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు పరిష్కరించబడతాయి, ఉత్పన్నాలు కనుగొనబడతాయి, సమగ్రతలు పరిష్కరించబడతాయి మరియు అనేక ఇతర కార్యకలాపాలు నిర్వహించబడతాయి. ప్రాథమికంగా, లాగరిథమ్‌కు పరిష్కారం దాని సరళీకృత సంజ్ఞామానం. క్రింద ప్రాథమిక సూత్రాలు మరియు లక్షణాలు ఉన్నాయి:

ఏదైనా ఒక కోసం; a > 0; a ≠ 1 మరియు ఏదైనా x ; y > 0.

• a log a b = b – ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు
• లాగ్ a 1 = 0
• లోగా a = 1
• log a (x y) = లాగ్ a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• లాగ్ a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• లాగ్ a k x = 1/k లాగ్ a x , k ≠ 0 కోసం
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రం
• లాగ్ a x = 1/లాగ్ x a

లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి - పరిష్కరించడానికి దశల వారీ సూచనలు

• మొదట, అవసరమైన సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

దయచేసి గమనించండి: బేస్ సంవర్గమానం 10 అయితే, ప్రవేశం కుదించబడుతుంది, ఫలితంగా దశాంశ సంవర్గమానం వస్తుంది. సహజ సంఖ్య e ఉంటే, మేము దానిని వ్రాసి, దానిని సహజ సంవర్గమానానికి తగ్గిస్తాము. దీనర్థం అన్ని లాగరిథమ్‌ల ఫలితం b సంఖ్యను పొందేందుకు మూల సంఖ్యను పెంచిన శక్తి.

నేరుగా, ఈ డిగ్రీని లెక్కించడంలో పరిష్కారం ఉంది. సంవర్గమానంతో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించే ముందు, దానిని నియమం ప్రకారం సరళీకృతం చేయాలి, అంటే సూత్రాలను ఉపయోగించడం. మీరు వ్యాసంలో కొంచెం వెనక్కి వెళ్లడం ద్వారా ప్రధాన గుర్తింపులను కనుగొనవచ్చు.

రెండు వేర్వేరు సంఖ్యలతో కానీ ఒకే బేస్‌లతో లాగరిథమ్‌లను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేస్తున్నప్పుడు, ఒక లాగరిథమ్‌తో వరుసగా b మరియు c సంఖ్యల ఉత్పత్తి లేదా విభజనతో భర్తీ చేయండి. ఈ సందర్భంలో, మీరు మరొక స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు (పైన చూడండి).

మీరు లాగరిథమ్‌ను సరళీకృతం చేయడానికి వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగిస్తే, పరిగణించవలసిన కొన్ని పరిమితులు ఉన్నాయి. మరియు అది: సంవర్గమానం a యొక్క ఆధారం ఒక సానుకూల సంఖ్య మాత్రమే, కానీ ఒకదానికి సమానం కాదు. సంఖ్య b, a లాగా, తప్పనిసరిగా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం ద్వారా, మీరు సంవర్గమానాన్ని సంఖ్యాపరంగా లెక్కించలేని సందర్భాలు ఉన్నాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదని ఇది జరుగుతుంది, ఎందుకంటే అనేక శక్తులు అహేతుక సంఖ్యలు. ఈ పరిస్థితిలో, సంఖ్య యొక్క శక్తిని లాగరిథమ్‌గా వదిలివేయండి.

a (a > 0, a ≠ 1)ని ఆధారం చేయడానికి b (b > 0) సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం- బి పొందేందుకు a సంఖ్యను పెంచాల్సిన ఘాతాంకం.

b యొక్క బేస్ 10 సంవర్గమానం ఇలా వ్రాయవచ్చు లాగ్ (బి), మరియు సంవర్గమానం బేస్ ఇ (సహజ సంవర్గమానం) ln(b).

లాగరిథమ్‌లతో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది:

లాగరిథమ్స్ యొక్క లక్షణాలు

ప్రధానంగా నాలుగు ఉన్నాయి లాగరిథమ్స్ యొక్క లక్షణాలు.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 మరియు y > 0.

ఆస్తి 1. ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం

ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానంలాగరిథమ్‌ల మొత్తానికి సమానం:

log a (x ⋅ y) = లాగ్ a x + log a y

ఆస్తి 2. గుణకం యొక్క సంవర్గమానం

గుణకం యొక్క సంవర్గమానంలాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం:

log a (x / y) = log a x – log a y

ఆస్తి 3. శక్తి యొక్క సంవర్గమానం

డిగ్రీ యొక్క సంవర్గమానంశక్తి మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం:

సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం డిగ్రీలో ఉంటే, మరొక సూత్రం వర్తిస్తుంది:

ప్రాపర్టీ 4. రూట్ యొక్క సంవర్గమానం

ఈ లక్షణాన్ని శక్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం నుండి పొందవచ్చు, ఎందుకంటే శక్తి యొక్క nవ మూలం 1/n యొక్క శక్తికి సమానం:

ఒక బేస్‌లోని సంవర్గమానం నుండి మరొక బేస్‌లోని లాగరిథమ్‌కి మార్చడానికి ఫార్ములా

లాగరిథమ్‌లపై వివిధ పనులను పరిష్కరించేటప్పుడు కూడా ఈ సూత్రం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది:

ప్రత్యేక సంధర్భం:

లాగరిథమ్‌లను పోల్చడం (అసమానతలు)

ఒకే బేస్‌లతో లాగరిథమ్‌ల క్రింద f(x) మరియు g(x) 2 ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉండనివ్వండి మరియు వాటి మధ్య అసమానత గుర్తు ఉంటుంది:

వాటిని పోల్చడానికి, మీరు మొదట లాగరిథమ్‌ల ఆధారాన్ని చూడాలి:

• a > 0 అయితే, f(x) > g(x) > 0
• 0 అయితే< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

లాగరిథమ్‌లతో సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలి: ఉదాహరణలు

లాగరిథమ్‌లతో సమస్యలుటాస్క్ 5 మరియు టాస్క్ 7లో గ్రేడ్ 11 కోసం గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో చేర్చబడింది, మీరు మా వెబ్‌సైట్‌లో తగిన విభాగాలలో పరిష్కారాలతో పనులను కనుగొనవచ్చు. అలాగే, లాగరిథమ్‌లతో కూడిన పనులు గణిత టాస్క్ బ్యాంక్‌లో కనిపిస్తాయి. మీరు సైట్‌లో శోధించడం ద్వారా అన్ని ఉదాహరణలను కనుగొనవచ్చు.

సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి

పాఠశాల గణిత కోర్సులలో లాగరిథమ్‌లు ఎల్లప్పుడూ కష్టమైన అంశంగా పరిగణించబడతాయి. సంవర్గమానం యొక్క అనేక విభిన్న నిర్వచనాలు ఉన్నాయి, కానీ కొన్ని కారణాల వలన చాలా పాఠ్యపుస్తకాలు వాటిలో అత్యంత సంక్లిష్టమైన మరియు విజయవంతం కాని వాటిని ఉపయోగిస్తాయి.

మేము లాగరిథమ్‌ను సరళంగా మరియు స్పష్టంగా నిర్వచిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, పట్టికను సృష్టించండి:

కాబట్టి, మనకు రెండు అధికారాలు ఉన్నాయి.

లాగరిథమ్స్ - లక్షణాలు, సూత్రాలు, ఎలా పరిష్కరించాలి

మీరు దిగువ రేఖ నుండి సంఖ్యను తీసుకుంటే, ఈ సంఖ్యను పొందడానికి మీరు రెండు పెంచాల్సిన శక్తిని మీరు సులభంగా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, 16 పొందడానికి, మీరు నాల్గవ శక్తికి రెండు పెంచాలి. మరియు 64 పొందడానికి, మీరు రెండు ఆరవ శక్తికి పెంచాలి. ఇది టేబుల్ నుండి చూడవచ్చు.

మరియు ఇప్పుడు - వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం:

ఆర్గ్యుమెంట్ x యొక్క ఆధారం x సంఖ్యను పొందేందుకు a సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి.

హోదా: ​​లాగ్ a x = b, ఇక్కడ a ఆధారం, x అనేది వాదన, b అనేది సంవర్గమానం వాస్తవానికి సమానం.

ఉదాహరణకు, 2 3 = 8 ⇒లాగ్ 2 8 = 3 (8 యొక్క బేస్ 2 సంవర్గమానం మూడు ఎందుకంటే 2 3 = 8). అదే విజయంతో, 2 6 = 64 నుండి 2 64 = 6ని లాగ్ చేయండి.

ఇచ్చిన స్థావరానికి సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్‌ను కనుగొనే ఆపరేషన్ అంటారు. కాబట్టి, మన పట్టికకు కొత్త పంక్తిని చేర్చుదాము:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
లాగ్ 2 2 = 1	లాగ్ 2 4 = 2	లాగ్ 2 8 = 3	లాగ్ 2 16 = 4	లాగ్ 2 32 = 5	లాగ్ 2 64 = 6

దురదృష్టవశాత్తు, అన్ని లాగరిథమ్‌లు అంత సులభంగా లెక్కించబడవు. ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 5ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. సంఖ్య 5 పట్టికలో లేదు, కానీ లాజిక్ విరామంలో ఎక్కడో లాగరిథమ్ ఉంటుందని నిర్దేశిస్తుంది. ఎందుకంటే 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

అటువంటి సంఖ్యలను అహేతుకం అంటారు: దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యలను అనంతంగా వ్రాయవచ్చు మరియు అవి ఎప్పుడూ పునరావృతం కావు. సంవర్గమానం అహేతుకంగా మారినట్లయితే, దానిని ఆ విధంగా వదిలివేయడం మంచిది: లాగ్ 2 5, లాగ్ 3 8, లాగ్ 5 100.

సంవర్గమానం అనేది రెండు వేరియబుల్స్ (బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్)తో కూడిన వ్యక్తీకరణ అని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. మొదట్లో, చాలా మంది ఆధారం ఎక్కడ మరియు వాదన ఎక్కడ అని గందరగోళానికి గురవుతారు. బాధించే అపార్థాలను నివారించడానికి, చిత్రాన్ని చూడండి:

మన ముందు సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం తప్ప మరేమీ లేదు. గుర్తుంచుకో: సంవర్గమానం ఒక శక్తి, వాదనను పొందేందుకు బేస్ తప్పనిసరిగా నిర్మించబడాలి. ఇది శక్తికి పెంచబడిన బేస్ - ఇది చిత్రంలో ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడింది. ఇది బేస్ ఎల్లప్పుడూ దిగువన ఉంటుంది! నేను నా విద్యార్థులకు ఈ అద్భుతమైన నియమాన్ని మొదటి పాఠంలో చెబుతాను - మరియు గందరగోళం తలెత్తదు.

లాగరిథమ్‌లను ఎలా లెక్కించాలి

మేము నిర్వచనాన్ని కనుగొన్నాము - లాగరిథమ్‌లను ఎలా లెక్కించాలో నేర్చుకోవడమే మిగిలి ఉంది, అనగా. "లాగ్" గుర్తును వదిలించుకోండి. ప్రారంభించడానికి, నిర్వచనం నుండి రెండు ముఖ్యమైన వాస్తవాలు అనుసరిస్తాయని మేము గమనించాము:

1. ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు బేస్ ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఇది హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకం ద్వారా డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది, దీనికి సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం తగ్గించబడుతుంది.
2. ఆధారం తప్పనిసరిగా ఒకదానికి భిన్నంగా ఉండాలి, ఎందుకంటే ఒకటి ఏ స్థాయికి అయినా ఇప్పటికీ ఒకటిగానే ఉంటుంది. దీని కారణంగా, "రెండు పొందడానికి ఒకరిని ఏ శక్తికి పెంచాలి" అనే ప్రశ్న అర్థరహితం. అలాంటి డిగ్రీ లేదు!

ఇటువంటి పరిమితులు అంటారు ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి(ODZ). లాగరిథమ్ యొక్క ODZ ఇలా కనిపిస్తుంది: లాగ్ a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

సంఖ్య b (సంవర్గమానం యొక్క విలువ)పై ఎటువంటి పరిమితులు లేవని గమనించండి. ఉదాహరణకు, సంవర్గమానం ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు: లాగ్ 2 0.5 = -1, ఎందుకంటే 0.5 = 2 -1.

అయితే, ఇప్పుడు మేము సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను మాత్రమే పరిశీలిస్తున్నాము, ఇక్కడ లాగరిథమ్ యొక్క VA తెలుసుకోవలసిన అవసరం లేదు. అన్ని పరిమితులు ఇప్పటికే పనుల రచయితలచే పరిగణనలోకి తీసుకోబడ్డాయి. కానీ లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు అమలులోకి వచ్చినప్పుడు, DL అవసరాలు తప్పనిసరి అవుతుంది. అన్నింటికంటే, ఆధారం మరియు వాదన చాలా బలమైన నిర్మాణాలను కలిగి ఉండవచ్చు, అవి పైన పేర్కొన్న పరిమితులకు అనుగుణంగా ఉండవు.

ఇప్పుడు లాగరిథమ్‌లను లెక్కించడానికి సాధారణ పథకాన్ని చూద్దాం. ఇది మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1. బేస్ a మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ xని కనిష్ట సాధ్యమైన బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ శక్తిగా వ్యక్తపరచండి. అలాగే, దశాంశాలను వదిలించుకోవడం మంచిది;
2. వేరియబుల్ b కోసం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: x = a b ;
3. ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్య b సమాధానం అవుతుంది.

అంతే! సంవర్గమానం అహేతుకంగా మారినట్లయితే, ఇది మొదటి దశలో ఇప్పటికే కనిపిస్తుంది. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉండాలనే అవసరం చాలా ముఖ్యమైనది: ఇది లోపం యొక్క సంభావ్యతను తగ్గిస్తుంది మరియు గణనలను చాలా సులభతరం చేస్తుంది. ఇది దశాంశ భిన్నాలతో సమానంగా ఉంటుంది: మీరు వెంటనే వాటిని సాధారణమైనవిగా మార్చినట్లయితే, చాలా తక్కువ లోపాలు ఉంటాయి.

నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఈ పథకం ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం:

టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 5 25

1. ఆధారం మరియు వాదనను ఐదు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
లాగ్ 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 2.

టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి:

టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 4 64

1. బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని రెండు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
   లాగ్ 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 3.

టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 16 1

1. బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని రెండు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు పరిష్కరిద్దాం:
   లాగ్ 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. మేము సమాధానం అందుకున్నాము: 0.

టాస్క్. సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: లాగ్ 7 14

1. బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ని ఏడు శక్తిగా ఊహించుకుందాం: 7 = 7 1 ; 7 1 నుండి 14 ఏడు శక్తిగా సూచించబడదు< 14 < 7 2 ;
2. మునుపటి పేరా నుండి లాగరిథమ్ లెక్కించబడదని అనుసరిస్తుంది;
3. సమాధానం మార్పు లేదు: లాగ్ 7 14.

చివరి ఉదాహరణపై చిన్న గమనిక. ఒక సంఖ్య మరొక సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన శక్తి కాదని మీరు ఎలా నిర్ధారించగలరు? ఇది చాలా సులభం - దానిని ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణించండి. విస్తరణకు కనీసం రెండు వేర్వేరు కారకాలు ఉంటే, సంఖ్య ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు.

టాస్క్. సంఖ్యలు ఖచ్చితమైన శక్తులు కాదా అని కనుగొనండి: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ఖచ్చితమైన డిగ్రీ, ఎందుకంటే ఒకే ఒక గుణకం ఉంది;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు, ఎందుకంటే రెండు కారకాలు ఉన్నాయి: 3 మరియు 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ఖచ్చితమైన డిగ్రీ;
35 = 7 · 5 - మళ్ళీ ఖచ్చితమైన శక్తి కాదు;
14 = 7 · 2 - మళ్ళీ ఖచ్చితమైన డిగ్రీ కాదు;

ప్రధాన సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ వాటి యొక్క ఖచ్చితమైన శక్తులు అని కూడా గమనించండి.

దశాంశ సంవర్గమానం

కొన్ని లాగరిథమ్‌లు చాలా సాధారణం కాబట్టి వాటికి ప్రత్యేక పేరు మరియు చిహ్నాలు ఉంటాయి.

వాదన యొక్క x అనేది బేస్ 10కి సంవర్గమానం, అనగా. x సంఖ్యను పొందడానికి 10 సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి. హోదా: ​​lg x.

ఉదాహరణకు, లాగ్ 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - మొదలైనవి.

ఇప్పటి నుండి, పాఠ్యపుస్తకంలో “Find lg 0.01” వంటి పదబంధం కనిపించినప్పుడు, ఇది అక్షర దోషం కాదని తెలుసుకోండి. ఇది దశాంశ సంవర్గమానం. అయితే, మీకు ఈ సంజ్ఞామానం తెలియకపోతే, మీరు దీన్ని ఎప్పుడైనా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
లాగ్ x = లాగ్ 10 x

సాధారణ లాగరిథమ్‌లకు సంబంధించిన ప్రతిదీ దశాంశ లాగరిథమ్‌లకు కూడా నిజం.

సహజ సంవర్గమానం

దాని స్వంత హోదాను కలిగి ఉన్న మరొక సంవర్గమానం ఉంది. కొన్ని మార్గాల్లో, ఇది దశాంశం కంటే చాలా ముఖ్యమైనది. మేము సహజ సంవర్గమానం గురించి మాట్లాడుతున్నాము.

ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క x అనేది బేస్ ఇకి సంవర్గమానం, అనగా. x సంఖ్యను పొందడానికి e సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి. హోదా: ​​ln x.

చాలా మంది అడుగుతారు: సంఖ్య ఇ అంటే ఏమిటి? ఇది అకరణీయ సంఖ్య; దీని ఖచ్చితమైన విలువ కనుగొనబడదు మరియు వ్రాయబడదు. నేను మొదటి గణాంకాలను మాత్రమే ఇస్తాను:
ఇ = 2.718281828459…

ఈ సంఖ్య ఏమిటి మరియు అది ఎందుకు అవసరం అనే దాని గురించి మేము వివరంగా చెప్పము. సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం e అని గుర్తుంచుకోండి:
ln x = లాగ్ ఇ x

అందువలన ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - మొదలైనవి. మరోవైపు, ln 2 అనేది అకరణీయ సంఖ్య. సాధారణంగా, ఏదైనా హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క సహజ సంవర్గమానం అహేతుకం. తప్ప, ఒకదానికి: ln 1 = 0.

సహజ లాగరిథమ్‌ల కోసం, సాధారణ లాగరిథమ్‌లకు సంబంధించిన అన్ని నియమాలు చెల్లుబాటు అవుతాయి.

ఇది కూడ చూడు:

సంవర్గమానం. సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాలు (సంవర్గమానం యొక్క శక్తి).

సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా ఎలా సూచించాలి?

మేము లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

సంవర్గమానం అనేది సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్యను పొందడానికి ఆధారాన్ని పెంచాల్సిన ఘాతాంకం.

ఆ విధంగా, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య cని ఆధారం చేయడానికి సంవర్గమానంగా సూచించడానికి, మీరు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం వలె అదే ఆధారంతో శక్తిని లాగరిథమ్ గుర్తు క్రింద ఉంచాలి మరియు ఈ సంఖ్య cని ఘాతాంకం వలె వ్రాయాలి:

ఖచ్చితంగా ఏదైనా సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా సూచించవచ్చు - ధనాత్మక, ప్రతికూల, పూర్ణాంకం, భిన్నం, హేతుబద్ధం, అహేతుకం:

పరీక్ష లేదా పరీక్ష యొక్క ఒత్తిడితో కూడిన పరిస్థితులలో a మరియు c గందరగోళానికి గురికాకుండా ఉండటానికి, మీరు ఈ క్రింది జ్ఞాపకం నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

క్రింద ఉన్నది తగ్గుతుంది, పైన ఉన్నది పైకి వెళ్తుంది.

ఉదాహరణకు, మీరు బేస్ 3కి సంవర్గమానంగా 2 సంఖ్యను సూచించాలి.

మనకు రెండు సంఖ్యలు ఉన్నాయి - 2 మరియు 3. ఈ సంఖ్యలు ఆధారం మరియు ఘాతాంకం, వీటిని మనం సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద వ్రాస్తాము. ఈ సంఖ్యలలో ఏది డిగ్రీ యొక్క బేస్‌కు మరియు ఏది పైకి, ఘాతాంకానికి వ్రాయబడాలి అని నిర్ణయించడం మిగిలి ఉంది.

సంవర్గమానం యొక్క సంజ్ఞామానంలో బేస్ 3 దిగువన ఉంది, అంటే మనం బేస్ 3కి సంవర్గమానంగా రెండింటిని సూచించినప్పుడు, మనం 3ని కూడా బేస్‌కి వ్రాస్తాము.

2 మూడు కంటే ఎక్కువ. మరియు డిగ్రీ రెండు యొక్క సంజ్ఞామానంలో మనం మూడింటి పైన, అంటే ఘాతాంకం వలె వ్రాస్తాము:

లాగరిథమ్స్. మొదటి స్థాయి.

లాగరిథమ్స్

సంవర్గమానంసానుకూల సంఖ్య బిఆధారంగా a, ఎక్కడ a > 0, a ≠ 1, సంఖ్యను పెంచాల్సిన ఘాతాంకం అంటారు a, పొందటానికి బి.

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనంక్లుప్తంగా ఇలా వ్రాయవచ్చు:

ఈ సమానత్వం చెల్లుతుంది b > 0, a > 0, a ≠ 1.దీనిని సాధారణంగా అంటారు లాగరిథమిక్ గుర్తింపు.
సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే చర్య అంటారు సంవర్గమానం ద్వారా.

లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు:

ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం:

గుణకం యొక్క సంవర్గమానం:

లాగరిథమ్ బేస్ను భర్తీ చేస్తోంది:

డిగ్రీ సంవర్గమానం:

రూట్ యొక్క సంవర్గమానం:

పవర్ బేస్ తో లాగరిథమ్:

దశాంశ మరియు సహజ సంవర్గమానాలు.

దశాంశ సంవర్గమానంసంఖ్యలు ఈ సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానాన్ని ఆధారం 10కి కాల్ చేసి   lg అని వ్రాయండి బి
సహజ సంవర్గమానంసంఖ్యలను ఆ సంఖ్య యొక్క ఆధారానికి సంవర్గమానం అంటారు ఇ, ఎక్కడ ఇ- దాదాపు 2.7కి సమానమైన అహేతుక సంఖ్య. అదే సమయంలో వారు ln అని వ్రాస్తారు బి.

బీజగణితం మరియు జ్యామితిపై ఇతర గమనికలు

లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

లాగరిథమ్‌లు, ఏదైనా సంఖ్యల వలె, ప్రతి విధంగా జోడించబడతాయి, తీసివేయబడతాయి మరియు రూపాంతరం చెందుతాయి. కానీ లాగరిథమ్‌లు ఖచ్చితంగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, ఇక్కడ నియమాలు ఉన్నాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.

మీరు ఖచ్చితంగా ఈ నియమాలను తెలుసుకోవాలి - అవి లేకుండా, ఒక్క తీవ్రమైన లాగరిథమిక్ సమస్య కూడా పరిష్కరించబడదు. అదనంగా, వాటిలో చాలా తక్కువ ఉన్నాయి - మీరు ఒక రోజులో ప్రతిదీ నేర్చుకోవచ్చు. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం.

లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం

ఒకే బేస్‌లతో రెండు లాగరిథమ్‌లను పరిగణించండి: లాగ్ a x మరియు లాగ్ a y. అప్పుడు వాటిని జోడించవచ్చు మరియు తీసివేయవచ్చు మరియు:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

కాబట్టి, సంవర్గమానాల మొత్తం ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం మరియు వ్యత్యాసం గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం. దయచేసి గమనించండి: ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఒకే మైదానాలు. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే, ఈ నియమాలు పని చేయవు!

ఈ సూత్రాలు సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణను దాని వ్యక్తిగత భాగాలు పరిగణించబడనప్పుడు కూడా లెక్కించడంలో మీకు సహాయపడతాయి ("సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి" అనే పాఠాన్ని చూడండి). ఉదాహరణలను పరిశీలించి చూడండి:

లాగ్ 6 4 + లాగ్ 6 9.

లాగరిథమ్‌లు ఒకే బేస్‌లను కలిగి ఉన్నందున, మేము మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
లాగ్ 6 4 + లాగ్ 6 9 = లాగ్ 6 (4 9) = లాగ్ 6 36 = 2.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 2 48 - లాగ్ 2 3.

స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము వ్యత్యాస సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
లాగ్ 2 48 - లాగ్ 2 3 = లాగ్ 2 (48: 3) = లాగ్ 2 16 = 4.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 3 135 - లాగ్ 3 5.

మళ్ళీ స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
లాగ్ 3 135 - లాగ్ 3 5 = లాగ్ 3 (135: 5) = లాగ్ 3 27 = 3.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అసలు వ్యక్తీకరణలు "చెడు" లాగరిథమ్‌లతో రూపొందించబడ్డాయి, అవి విడిగా లెక్కించబడవు. కానీ రూపాంతరాల తర్వాత, పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు పొందబడతాయి. అనేక పరీక్షలు ఈ వాస్తవం ఆధారంగా ఉంటాయి. అవును, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో అన్ని గంభీరంగా (కొన్నిసార్లు వాస్తవంగా ఎటువంటి మార్పులు లేకుండా) పరీక్ష లాంటి వ్యక్తీకరణలు అందించబడతాయి.

సంవర్గమానం నుండి ఘాతాంకాన్ని సంగ్రహించడం

ఇప్పుడు పనిని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం లేదా వాదన శక్తి అయితే? అప్పుడు ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంక క్రింది నియమాల ప్రకారం సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:

చివరి నియమం మొదటి రెండింటిని అనుసరిస్తుందని చూడటం సులభం. కానీ ఏమైనప్పటికీ గుర్తుంచుకోవడం మంచిది - కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది గణనల మొత్తాన్ని గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది.

వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క ODZ గమనించినట్లయితే ఈ నియమాలన్నీ అర్ధవంతంగా ఉంటాయి: a > 0, a ≠ 1, x > 0. మరియు మరొక విషయం: అన్ని సూత్రాలను ఎడమ నుండి కుడికి మాత్రమే కాకుండా, వైస్ వెర్సా కూడా వర్తింపజేయడం నేర్చుకోండి. , అనగా మీరు సంవర్గమాన సంకేతానికి ముందు సంఖ్యలను లాగరిథమ్‌లోనే నమోదు చేయవచ్చు.

లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి

ఇది చాలా తరచుగా అవసరం.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 7 49 6 .

మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాదనలోని డిగ్రీని వదిలించుకుందాం:
లాగ్ 7 49 6 = 6 లాగ్ 7 49 = 6 2 = 12

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

హారం ఒక సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని గమనించండి, దాని యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. మాకు ఉన్నాయి:

చివరి ఉదాహరణకి కొంత స్పష్టత అవసరమని నేను భావిస్తున్నాను. లాగరిథమ్‌లు ఎక్కడికి పోయాయి? చివరి క్షణం వరకు మేము హారంతో మాత్రమే పని చేస్తాము. మేము అక్కడ నిలబడి ఉన్న లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ను శక్తుల రూపంలో అందించాము మరియు ఘాతాంకాలను తీసివేసాము - మాకు “మూడు-అంతస్తుల” భిన్నం వచ్చింది.

ఇప్పుడు ప్రధాన భాగాన్ని చూద్దాం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి: లాగ్ 2 7. లాగ్ 2 7 ≠ 0 కాబట్టి, మేము భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు - 2/4 హారంలోనే ఉంటుంది. అంకగణిత నియమాల ప్రకారం, నలుగురిని న్యూమరేటర్‌కు బదిలీ చేయవచ్చు, ఇది జరిగింది. ఫలితం సమాధానం: 2.

కొత్త పునాదికి మార్పు

లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాల గురించి మాట్లాడుతూ, అవి ఒకే బేస్‌లతో మాత్రమే పనిచేస్తాయని నేను ప్రత్యేకంగా నొక్కిచెప్పాను. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? అవి ఒకే సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన అధికారాలు కాకపోతే ఏమి చేయాలి?

కొత్త పునాదికి పరివర్తన కోసం సూత్రాలు రక్షించటానికి వస్తాయి. వాటిని సిద్ధాంతం రూపంలో రూపొందిద్దాం:

సంవర్గమానం లాగ్ a x ఇవ్వబడనివ్వండి. అప్పుడు c > 0 మరియు c ≠ 1 వంటి ఏదైనా సంఖ్య cకి, సమానత్వం నిజం:

ప్రత్యేకించి, మనం c = xని సెట్ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

రెండవ ఫార్ములా నుండి సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ మార్చుకోవచ్చని ఇది అనుసరిస్తుంది, అయితే ఈ సందర్భంలో మొత్తం వ్యక్తీకరణ "తిరిగిపోయింది", అనగా. సంవర్గమానం హారంలో కనిపిస్తుంది.

ఈ సూత్రాలు సాధారణ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలలో చాలా అరుదుగా కనిపిస్తాయి. సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు మాత్రమే అవి ఎంత సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయో అంచనా వేయడం సాధ్యమవుతుంది.

అయితే, కొత్త పునాదికి వెళ్లడం మినహా అన్నింటిలోనూ పరిష్కరించలేని సమస్యలు ఉన్నాయి. వీటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 5 16 లాగ్ 2 25.

రెండు లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్‌లు ఖచ్చితమైన అధికారాలను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. సూచికలను తీసుకుందాం: లాగ్ 5 16 = లాగ్ 5 2 4 = 4లాగ్ 5 2; లాగ్ 2 25 = లాగ్ 2 5 2 = 2లాగ్ 2 5;

ఇప్పుడు రెండవ సంవర్గమానాన్ని "రివర్స్" చేద్దాం:

కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు ఉత్పత్తి మారదు కాబట్టి, మేము ప్రశాంతంగా నాలుగు మరియు రెండు గుణించి, ఆపై లాగరిథమ్‌లతో వ్యవహరించాము.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: లాగ్ 9 100 lg 3.

మొదటి సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు. దీన్ని వ్రాసి, సూచికలను వదిలించుకుందాం:

ఇప్పుడు కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడం ద్వారా దశాంశ సంవర్గమానాన్ని వదిలించుకుందాం:

ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు

తరచుగా పరిష్కార ప్రక్రియలో, ఇచ్చిన స్థావరానికి సంవర్గమానంగా సంఖ్యను సూచించడం అవసరం.

ఈ సందర్భంలో, కింది సూత్రాలు మాకు సహాయపడతాయి:

మొదటి సందర్భంలో, సంఖ్య n వాదనలో ఘాతాంకం అవుతుంది. n సంఖ్య ఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం లాగరిథమ్ విలువ.

రెండవ సూత్రం వాస్తవానికి పారాఫ్రేస్డ్ నిర్వచనం. దానినే అంటారు: .

నిజానికి, b సంఖ్యను అటువంటి శక్తికి పెంచినట్లయితే, ఈ శక్తికి b సంఖ్య a సంఖ్యను ఇస్తుంది? అది నిజం: ఫలితం అదే సంఖ్య a. ఈ పేరాగ్రాఫ్‌ని మళ్లీ జాగ్రత్తగా చదవండి - చాలా మంది దానిలో చిక్కుకుపోతారు.

కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాల వలె, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు కొన్నిసార్లు సాధ్యమయ్యే ఏకైక పరిష్కారం.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

లాగ్ 25 64 = లాగ్ 5 8 - కేవలం లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి చతురస్రాన్ని తీసుకున్నట్లు గమనించండి. ఒకే ఆధారంతో శక్తులను గుణించడం కోసం నియమాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము:

ఎవరికైనా తెలియకపోతే, ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి నిజమైన పని :)

లాగరిథమిక్ యూనిట్ మరియు లాగరిథమిక్ సున్నా

ముగింపులో, నేను రెండు గుర్తింపులను ఇస్తాను, అవి అరుదుగా లక్షణాలు అని పిలవబడతాయి - బదులుగా, అవి లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క పరిణామాలు. వారు నిరంతరం సమస్యలలో కనిపిస్తారు మరియు ఆశ్చర్యకరంగా, "అధునాతన" విద్యార్థులకు కూడా సమస్యలను సృష్టిస్తారు.

1. లాగ్ a a = 1. ఒక్కసారి గుర్తుంచుకోండి: ఆ బేస్ యొక్క ఏదైనా బేస్ aకి సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం.
2. లాగ్ a 1 = 0. ఆధారం ఏదైనా కావచ్చు, కానీ ఆర్గ్యుమెంట్‌లో ఒకటి ఉంటే, సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం! ఎందుకంటే 0 = 1 అనేది నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం.

ఆస్తులు అంతే. వాటిని ఆచరణలో పెట్టడం తప్పకుండా సాధన చేయండి! పాఠం ప్రారంభంలో చీట్ షీట్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి, దాన్ని ప్రింట్ చేయండి మరియు సమస్యలను పరిష్కరించండి.

సమాజం అభివృద్ధి చెందడం మరియు ఉత్పత్తి మరింత సంక్లిష్టంగా మారడంతో, గణితశాస్త్రం కూడా అభివృద్ధి చెందింది. సాధారణ నుండి సంక్లిష్టమైన కదలిక. కూడిక మరియు తీసివేత పద్ధతిని ఉపయోగించి సాధారణ అకౌంటింగ్ నుండి, వారి పునరావృత పునరావృతంతో, మేము గుణకారం మరియు భాగహారం అనే భావనకు వచ్చాము. గుణకారం యొక్క పునరావృత ఆపరేషన్‌ను తగ్గించడం అనేది ఘాతాంక భావనగా మారింది. 8వ శతాబ్దంలో భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు వరసేన ద్వారా సంఖ్యల ఆధారం మరియు ఘాతాంక సంఖ్య యొక్క మొదటి పట్టికలు సంకలనం చేయబడ్డాయి. వాటి నుండి మీరు లాగరిథమ్స్ సంభవించిన సమయాన్ని లెక్కించవచ్చు.

చారిత్రక స్కెచ్

16వ శతాబ్దంలో ఐరోపా పునరుజ్జీవనం మెకానిక్స్ అభివృద్ధిని కూడా ప్రేరేపించింది. టి పెద్ద మొత్తంలో గణన అవసరంబహుళ-అంకెల సంఖ్యల గుణకారం మరియు విభజనకు సంబంధించినది. పురాతన పట్టికలు గొప్ప సేవను కలిగి ఉన్నాయి. సంక్లిష్ట కార్యకలాపాలను సరళమైన వాటితో భర్తీ చేయడాన్ని వారు సాధ్యం చేశారు - కూడిక మరియు తీసివేత. 1544 లో ప్రచురించబడిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మైఖేల్ స్టీఫెల్ యొక్క పని ఒక పెద్ద ముందడుగు, దీనిలో అతను చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ఆలోచనను గ్రహించాడు. ఇది ప్రధాన సంఖ్యల రూపంలోని శక్తులకు మాత్రమే కాకుండా, ఏకపక్ష హేతుబద్ధమైన వాటికి కూడా పట్టికలను ఉపయోగించడం సాధ్యపడింది.

1614లో, స్కాట్స్‌మన్ జాన్ నేపియర్, ఈ ఆలోచనలను అభివృద్ధి చేస్తూ, "సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం" అనే కొత్త పదాన్ని మొదట పరిచయం చేశాడు. సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల లాగరిథమ్‌లు, అలాగే టాంజెంట్‌లను లెక్కించడానికి కొత్త కాంప్లెక్స్ పట్టికలు సంకలనం చేయబడ్డాయి. ఇది ఖగోళ శాస్త్రవేత్తల పనిని బాగా తగ్గించింది.

కొత్త పట్టికలు కనిపించడం ప్రారంభించాయి, వీటిని శాస్త్రవేత్తలు మూడు శతాబ్దాలుగా విజయవంతంగా ఉపయోగించారు. బీజగణితంలో కొత్త ఆపరేషన్ దాని పూర్తి రూపాన్ని పొందే ముందు చాలా సమయం గడిచిపోయింది. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడింది మరియు దాని లక్షణాలు అధ్యయనం చేయబడ్డాయి.

కేవలం 20వ శతాబ్దంలో, కాలిక్యులేటర్ మరియు కంప్యూటర్ రావడంతో, 13వ శతాబ్దాలలో విజయవంతంగా పనిచేసిన పురాతన పట్టికలను మానవత్వం వదిలివేసింది.

ఈ రోజు మనం b యొక్క సంవర్గమానాన్ని a సంఖ్య xని ఆధారం చేయడానికి పిలుస్తాము, అది b చేయడానికి a యొక్క శక్తి. ఇది ఫార్ములాగా వ్రాయబడింది: x = log a(b).

ఉదాహరణకు, లాగ్ 3(9) 2కి సమానంగా ఉంటుంది. మీరు నిర్వచనాన్ని అనుసరిస్తే ఇది స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. మనం 3ని 2కి పెంచితే, మనకు 9 వస్తుంది.

అందువలన, సూత్రీకరించబడిన నిర్వచనం కేవలం ఒక పరిమితిని మాత్రమే సెట్ చేస్తుంది: a మరియు b సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా నిజమైనవిగా ఉండాలి.

లాగరిథమ్‌ల రకాలు

క్లాసిక్ డెఫినిషన్‌ను రియల్ లాగరిథమ్ అని పిలుస్తారు మరియు వాస్తవానికి ఇది a x = b సమీకరణానికి పరిష్కారం. ఎంపిక a = 1 సరిహద్దురేఖ మరియు ఆసక్తి లేదు. శ్రద్ధ: ఏదైనా శక్తికి 1 అనేది 1కి సమానం.

సంవర్గమానం యొక్క వాస్తవ విలువబేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే నిర్వచించబడతాయి మరియు బేస్ 1కి సమానంగా ఉండకూడదు.

గణిత శాస్త్రంలో ప్రత్యేక స్థానంలాగరిథమ్‌లను ప్లే చేయండి, వాటి బేస్ పరిమాణాన్ని బట్టి పేరు పెట్టబడుతుంది:

నియమాలు మరియు పరిమితులు

సంవర్గమానాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం నియమం: ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమాన మొత్తానికి సమానం. లాగ్ abp = లాగ్ a(b) + log a(p).

ఈ ప్రకటన యొక్క రూపాంతరంగా ఉంటుంది: లాగ్ c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient ఫంక్షన్ ఫంక్షన్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం.

మునుపటి రెండు నియమాల నుండి ఇది చూడటం సులభం: log a(b p) = p * log a(b).

ఇతర లక్షణాలు ఉన్నాయి:

వ్యాఖ్య. సాధారణ తప్పు చేయవలసిన అవసరం లేదు - మొత్తం యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం కాదు.

అనేక శతాబ్దాలుగా, సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్ చాలా సమయం తీసుకునే పని. గణిత శాస్త్రవేత్తలు బహుపది విస్తరణ యొక్క సంవర్గమాన సిద్ధాంతం యొక్క ప్రసిద్ధ సూత్రాన్ని ఉపయోగించారు:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ఇక్కడ n అనేది 1 కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య, ఇది గణన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.

ఇతర బేస్‌లతో కూడిన లాగరిథమ్‌లు ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి మారడం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం గురించి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడ్డాయి.

ఈ పద్ధతి చాలా శ్రమతో కూడుకున్నది కాబట్టి ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడుఅమలు చేయడం కష్టం, మేము ముందుగా సంకలనం చేసిన లాగరిథమ్‌ల పట్టికలను ఉపయోగించాము, ఇది అన్ని పనిని గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది.

కొన్ని సందర్భాల్లో, లాగరిథమ్‌ల యొక్క ప్రత్యేకంగా సంకలనం చేయబడిన గ్రాఫ్‌లు ఉపయోగించబడ్డాయి, ఇది తక్కువ ఖచ్చితత్వాన్ని ఇచ్చింది, కానీ కావలసిన విలువ కోసం శోధనను గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది. y = log a(x) ఫంక్షన్ యొక్క వక్రత, అనేక పాయింట్లపై నిర్మించబడింది, మీరు ఏదైనా ఇతర పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి సాధారణ రూలర్‌ని ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. చాలా కాలంగా, ఇంజనీర్లు ఈ ప్రయోజనాల కోసం గ్రాఫ్ పేపర్ అని పిలవబడే వాటిని ఉపయోగించారు.

17వ శతాబ్దంలో, మొదటి సహాయక అనలాగ్ కంప్యూటింగ్ పరిస్థితులు కనిపించాయి, ఇది 19వ శతాబ్దం నాటికి పూర్తి రూపాన్ని పొందింది. అత్యంత విజయవంతమైన పరికరం స్లయిడ్ నియమం అని పిలువబడింది. పరికరం యొక్క సరళత ఉన్నప్పటికీ, దాని ప్రదర్శన అన్ని ఇంజనీరింగ్ గణనల ప్రక్రియను గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది మరియు ఇది అతిగా అంచనా వేయడం కష్టం. ప్రస్తుతం, ఈ పరికరం గురించి చాలా తక్కువ మందికి తెలుసు.

కాలిక్యులేటర్లు మరియు కంప్యూటర్ల ఆగమనం ఏ ఇతర పరికరాలను ఉపయోగించకుండా చేసింది.

సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు

లాగరిథమ్‌లను ఉపయోగించి వివిధ సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి, క్రింది సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి:

• ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి వెళ్లడం: లాగ్ a(b) = లాగ్ c(b) / log c(a);
• మునుపటి ఎంపిక యొక్క పర్యవసానంగా: లాగ్ a(b) = 1 / log b(a).

అసమానతలను పరిష్కరించడానికి, తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

• బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ రెండూ ఒకటి కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువ ఉంటేనే సంవర్గమానం యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది; కనీసం ఒక షరతు ఉల్లంఘించినట్లయితే, లాగరిథమ్ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
• సంవర్గమానం ఫంక్షన్ అసమానత యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపులకు వర్తించబడితే మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అసమానత యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది; లేకుంటే అది మారుతుంది.

నమూనా సమస్యలు

లాగరిథమ్‌లు మరియు వాటి లక్షణాలను ఉపయోగించడం కోసం అనేక ఎంపికలను పరిశీలిద్దాం. సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు:

లాగరిథమ్‌ను పవర్‌లో ఉంచే ఎంపికను పరిగణించండి:

• సమస్య 3. 25^లాగ్ 5(3)ని లెక్కించండి. పరిష్కారం: సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో, నమోదు క్రింది (5^2)^log5(3) లేదా 5^(2 * లాగ్ 5(3)) వలె ఉంటుంది. దానిని విభిన్నంగా వ్రాద్దాం: 5^లాగ్ 5(3*2), లేదా ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్‌గా ఉన్న సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఫంక్షన్ యొక్క వర్గంగా వ్రాయవచ్చు (5^లాగ్ 5(3))^2. లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించి, ఈ వ్యక్తీకరణ 3^2కి సమానం. సమాధానం: గణన ఫలితంగా మనకు 9 వస్తుంది.

ఆచరణాత్మక ఉపయోగం

పూర్తిగా గణిత సాధనం కావడంతో, వాస్తవ ప్రపంచంలోని వస్తువులను వివరించడానికి సంవర్గమానం అకస్మాత్తుగా గొప్ప ప్రాముఖ్యతను పొందిందని నిజ జీవితానికి దూరంగా ఉంది. ఉపయోగించని శాస్త్రాన్ని కనుగొనడం కష్టం. ఇది పూర్తిగా సహజంగానే కాదు, మానవతా జ్ఞాన రంగాలకు కూడా వర్తిస్తుంది.

లాగరిథమిక్ డిపెండెన్సీలు

సంఖ్యా పరాధీనతలకు ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్

చారిత్రాత్మకంగా, మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్ ఎల్లప్పుడూ గణిత పరిశోధన పద్ధతులను ఉపయోగించి అభివృద్ధి చెందాయి మరియు అదే సమయంలో లాగరిథమ్‌లతో సహా గణితశాస్త్ర అభివృద్ధికి ప్రోత్సాహకంగా పనిచేశాయి. భౌతిక శాస్త్ర నియమాల సిద్ధాంతం గణిత శాస్త్ర భాషలో వ్రాయబడింది. సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగించి భౌతిక చట్టాలను వివరించడానికి కేవలం రెండు ఉదాహరణలను ఇద్దాం.

రాకెట్ వేగం వంటి సంక్లిష్ట పరిమాణాన్ని లెక్కించే సమస్యను సియోల్కోవ్స్కీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు, ఇది అంతరిక్ష పరిశోధన సిద్ధాంతానికి పునాది వేసింది:

V = I * ln (M1/M2), ఎక్కడ

• V అనేది విమానం యొక్క చివరి వేగం.
• I - ఇంజిన్ యొక్క నిర్దిష్ట ప్రేరణ.
• M 1 - రాకెట్ యొక్క ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి.
• M 2 - చివరి ద్రవ్యరాశి.

మరొక ముఖ్యమైన ఉదాహరణ- ఇది మరొక గొప్ప శాస్త్రవేత్త మాక్స్ ప్లాంక్ సూత్రంలో ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది థర్మోడైనమిక్స్‌లో సమతౌల్య స్థితిని అంచనా వేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

S = k * ln (Ω), ఎక్కడ

• S - థర్మోడైనమిక్ ప్రాపర్టీ.
• k - బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం.
• Ω అనేది వివిధ రాష్ట్రాల గణాంక బరువు.

రసాయన శాస్త్రం

సంవర్గమానాల నిష్పత్తిని కలిగి ఉన్న రసాయన శాస్త్రంలో ఫార్ములాలను ఉపయోగించడం తక్కువ స్పష్టమైనది. కేవలం రెండు ఉదాహరణలు ఇద్దాం:

• నెర్న్స్ట్ సమీకరణం, పదార్ధాల కార్యాచరణ మరియు సమతౌల్య స్థిరాంకానికి సంబంధించి మాధ్యమం యొక్క రెడాక్స్ సంభావ్యత యొక్క స్థితి.
• ఆటోలిసిస్ ఇండెక్స్ మరియు ద్రావణం యొక్క ఆమ్లత్వం వంటి స్థిరాంకాల గణన కూడా మా ఫంక్షన్ లేకుండా చేయలేము.

మనస్తత్వశాస్త్రం మరియు జీవశాస్త్రం

మరియు మనస్తత్వ శాస్త్రానికి దానితో సంబంధం ఏమిటో స్పష్టంగా లేదు. ఉద్దీపన తీవ్రత విలువ యొక్క తక్కువ తీవ్రత విలువకు విలోమ నిష్పత్తిగా ఈ ఫంక్షన్ ద్వారా సంచలనం యొక్క బలం బాగా వివరించబడింది.

పై ఉదాహరణల తర్వాత, జీవశాస్త్రంలో లాగరిథమ్స్ అంశం విస్తృతంగా ఉపయోగించబడటంలో ఆశ్చర్యం లేదు. సంవర్గమాన స్పైరల్స్‌కు సంబంధించిన జీవ రూపాల గురించి మొత్తం వాల్యూమ్‌లను వ్రాయవచ్చు.

ఇతర ప్రాంతాలు

ఈ ఫంక్షన్‌తో సంబంధం లేకుండా ప్రపంచం ఉనికి అసాధ్యమని అనిపిస్తుంది మరియు ఇది అన్ని చట్టాలను శాసిస్తుంది. ముఖ్యంగా ప్రకృతి నియమాలు రేఖాగణిత పురోగతితో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. MatProfi వెబ్‌సైట్‌కి వెళ్లడం విలువైనదే, మరియు ఈ క్రింది కార్యకలాపాలలో ఇటువంటి ఉదాహరణలు చాలా ఉన్నాయి:

జాబితా అంతులేనిది కావచ్చు. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను ప్రావీణ్యం పొందిన తరువాత, మీరు అనంతమైన జ్ఞానం యొక్క ప్రపంచంలోకి ప్రవేశించవచ్చు.

సూచనలు

ఇచ్చిన లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి. వ్యక్తీకరణ 10 యొక్క సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగిస్తే, దాని సంజ్ఞామానం కుదించబడుతుంది మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది: lg b అనేది దశాంశ సంవర్గమానం. సంవర్గమానం e సంఖ్యను బేస్‌గా కలిగి ఉంటే, వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి: ln b - సహజ సంవర్గమానం. బి సంఖ్యను పొందాలంటే ఆధార సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి ఏదైనా ఫలితం అని అర్థం అవుతుంది.

రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మీరు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా వేరు చేసి ఫలితాలను జోడించాలి: (u+v)" = u"+v";

రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనేటప్పుడు, మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ దానితో గుణించడం అవసరం మరియు రెండవ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని మొదటి ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించడం అవసరం: (u*v)" = u"*v +v"*u;

రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తి నుండి డివిడెండ్ ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించబడిన డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తిని డివిడెండ్ యొక్క ఫంక్షన్ ద్వారా గుణిస్తే, మరియు విభజించడం అవసరం. డివైజర్ ఫంక్షన్ స్క్వేర్డ్ ద్వారా ఇవన్నీ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ ఇవ్వబడితే, అంతర్గత ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మరియు బాహ్యమైన దాని ఉత్పన్నాన్ని గుణించడం అవసరం. y=u(v(x)), ఆపై y"(x)=y"(u)*v"(x) అని చెప్పండి.

పైన పొందిన ఫలితాలను ఉపయోగించి, మీరు దాదాపు ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయవచ్చు. కాబట్టి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఫంక్షన్ y=e^(x^2+6x+5) ఇవ్వబడనివ్వండి, మీరు x=1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనాలి.
1) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) ఇచ్చిన పాయింట్ y"(1)=8*e^0=8 వద్ద ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి

అంశంపై వీడియో

ఉపయోగకరమైన సలహా

ప్రాథమిక ఉత్పన్నాల పట్టికను తెలుసుకోండి. ఇది గణనీయంగా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.

మూలాలు:

• స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం

కాబట్టి, అహేతుక సమీకరణం మరియు హేతుబద్ధమైన సమీకరణం మధ్య తేడా ఏమిటి? తెలియని వేరియబుల్ వర్గమూలం గుర్తు క్రింద ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం అహేతుకంగా పరిగణించబడుతుంది.

సూచనలు

అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతి రెండు వైపులా నిర్మించే పద్ధతి సమీకరణాలుఒక చతురస్రాకారంలోకి. అయితే. ఇది సహజమైనది, మీరు చేయవలసిన మొదటి విషయం గుర్తును వదిలించుకోవడమే. ఈ పద్ధతి సాంకేతికంగా కష్టం కాదు, కానీ కొన్నిసార్లు ఇది ఇబ్బందికి దారి తీస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమీకరణం v(2x-5)=v(4x-7). రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా మీరు 2x-5=4x-7 పొందుతారు. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కష్టం కాదు; x=1. కానీ నంబర్ 1 ఇవ్వబడదు సమీకరణాలు. ఎందుకు? x విలువకు బదులుగా సమీకరణంలో ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు కుడి మరియు ఎడమ వైపులా అర్థం లేని వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి, అనగా. వర్గమూలానికి ఈ విలువ చెల్లదు. కాబట్టి, 1 అనేది అదనపు మూలం, కాబట్టి ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

కాబట్టి, ఒక అహేతుక సమీకరణం దాని రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, అదనపు మూలాలను కత్తిరించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కనుగొన్న మూలాలను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చండి.

మరొకటి పరిగణించండి.
2х+vx-3=0
వాస్తవానికి, ఈ సమీకరణాన్ని మునుపటి మాదిరిగానే అదే సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. సమ్మేళనాలను తరలించండి సమీకరణాలు, వర్గమూలం లేని, కుడి వైపుకు ఆపై స్క్వేర్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ఫలిత హేతుబద్ధ సమీకరణం మరియు మూలాలను పరిష్కరించండి. కానీ మరొకటి, మరింత సొగసైనది. కొత్త వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి; vх=y. దీని ప్రకారం, మీరు 2y2+y-3=0 ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని అందుకుంటారు. అంటే, ఒక సాధారణ వర్గ సమీకరణం. దాని మూలాలను కనుగొనండి; y1=1 మరియు y2=-3/2. తరువాత, రెండు పరిష్కరించండి సమీకరణాలు vх=1; vх=-3/2. రెండవ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు; మొదటి నుండి మనం x=1 అని కనుగొంటాము. మూలాలను తనిఖీ చేయడం మర్చిపోవద్దు.

గుర్తింపులను పరిష్కరించడం చాలా సులభం. ఇది చేయుటకు, నిర్ణీత లక్ష్యాన్ని సాధించే వరకు ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహించడం అవసరం. అందువలన, సాధారణ అంకగణిత ఆపరేషన్ల సహాయంతో, ఎదురయ్యే సమస్య పరిష్కరించబడుతుంది.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• - కాగితం;
• - పెన్.

సూచనలు

అటువంటి పరివర్తనలలో సరళమైనది బీజగణిత సంక్షిప్త గుణకారాలు (మొత్తం యొక్క వర్గము (తేడా), చతురస్రాల వ్యత్యాసం, మొత్తం (తేడా), మొత్తం యొక్క ఘనం (తేడా) వంటివి. అదనంగా, అనేక త్రికోణమితి సూత్రాలు ఉన్నాయి, ఇవి తప్పనిసరిగా ఒకే గుర్తింపులు.

నిజానికి, రెండు పదాల మొత్తం యొక్క స్క్వేర్ మొదటి స్క్వేర్‌కి సమానం ప్లస్ మొదటి దాని నుండి రెండవ దాని నుండి రెండింతలు మరియు రెండవ దాని స్క్వేర్‌తో కలిపి ఉంటుంది, అంటే (a+b)^2= (a+ బి)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

రెండింటినీ సరళీకరించండి

పరిష్కారం యొక్క సాధారణ సూత్రాలు

గణిత శాస్త్ర విశ్లేషణ లేదా ఉన్నత గణితంలో ఒక పాఠ్యపుస్తకం నుండి ఖచ్చితమైన సమగ్రత ఏమిటో పునరావృతం చేయండి. తెలిసినట్లుగా, ఖచ్చితమైన సమగ్రానికి పరిష్కారం అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని ఉత్పన్నం సమగ్రతను ఇస్తుంది. ఈ ఫంక్షన్‌ను యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు. ఈ సూత్రం ఆధారంగా, ప్రధాన సమగ్రతలు నిర్మించబడ్డాయి.
ఈ సందర్భంలో ఏ టేబుల్ ఇంటిగ్రల్స్ అనుకూలంగా ఉందో ఇంటిగ్రండ్ రకం ద్వారా నిర్ణయించండి. దీన్ని వెంటనే గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమగ్రతను సరళీకృతం చేయడానికి అనేక రూపాంతరాల తర్వాత మాత్రమే పట్టిక రూపం గుర్తించదగినదిగా మారుతుంది.

వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మెథడ్

సమగ్రత అనేది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ అయితే, దీని వాదన బహుపది అయినట్లయితే, వేరియబుల్స్ యొక్క మార్పు పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి. దీన్ని చేయడానికి, సమగ్రత యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లోని బహుపదిని కొన్ని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేయండి. కొత్త మరియు పాత వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం ఆధారంగా, ఏకీకరణ యొక్క కొత్త పరిమితులను నిర్ణయించండి. ఈ వ్యక్తీకరణను వేరు చేయడం ద్వారా, లో కొత్త అవకలనాన్ని కనుగొనండి. అందువలన, మీరు మునుపటి సమగ్ర, దగ్గరగా లేదా కొన్ని పట్టికకు సంబంధించిన కొత్త రూపాన్ని పొందుతారు.

రెండవ రకమైన సమగ్రాలను పరిష్కరించడం

సమగ్రత అనేది రెండవ రకానికి చెందిన సమగ్రం అయితే, సమగ్రత యొక్క వెక్టార్ రూపం, అప్పుడు మీరు ఈ ఇంటిగ్రల్స్ నుండి స్కేలార్ వాటికి మారడానికి నియమాలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. అటువంటి నియమాలలో ఒకటి ఆస్ట్రోగ్రాడ్‌స్కీ-గాస్ సంబంధం. ఒక నిర్దిష్ట వెక్టర్ ఫంక్షన్ యొక్క రోటర్ ఫ్లక్స్ నుండి ఇచ్చిన వెక్టార్ ఫీల్డ్ యొక్క డైవర్జెన్స్‌పై ట్రిపుల్ ఇంటిగ్రల్‌కు తరలించడానికి ఈ చట్టం అనుమతిస్తుంది.

ఏకీకరణ పరిమితుల ప్రత్యామ్నాయం

యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొన్న తర్వాత, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. ముందుగా, ఎగువ పరిమితి విలువను యాంటీడెరివేటివ్ కోసం వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మీకు కొంత సంఖ్య వస్తుంది. తరువాత, ఫలిత సంఖ్య నుండి తక్కువ పరిమితి నుండి పొందిన మరొక సంఖ్యను యాంటీడెరివేటివ్‌లోకి తీసివేయండి. ఏకీకరణ యొక్క పరిమితుల్లో ఒకటి అనంతం అయితే, దానిని యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేసేటప్పుడు, పరిమితికి వెళ్లి వ్యక్తీకరణ ఏమి చేస్తుందో కనుగొనడం అవసరం.
సమగ్రం రెండు డైమెన్షనల్ లేదా త్రిమితీయ అయితే, సమగ్రతను ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలో అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు జ్యామితీయంగా ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను సూచించాలి. నిజానికి, చెప్పాలంటే, త్రిమితీయ సమగ్రత విషయంలో, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు మొత్తం సమతలంగా ఉంటాయి, ఇవి ఏకీకృతమయ్యే వాల్యూమ్‌ను పరిమితం చేస్తాయి.

సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం ఎన్ ఆధారంగా ఎ ఘాతాంకం అంటారు X , మీరు నిర్మించాల్సిన అవసరం ఉంది ఎ సంఖ్యను పొందడానికి ఎన్

అందించిన
,
,

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది
, అనగా
- ఈ సమానత్వం ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు.

బేస్ 10కి సంవర్గమానాలను దశాంశ సంవర్గమానాలు అంటారు. బదులుగా
వ్రాయడానికి
.

ఆధారానికి లాగరిథమ్స్ ఇ సహజంగా పిలువబడతాయి మరియు నియమించబడ్డాయి
.

లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు.

ఒకదాని సంవర్గమానం ఏదైనా ఆధారానికి సున్నాకి సమానం.

ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం కారకాల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.

3) గుణకం యొక్క సంవర్గమానం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం

కారకం
లాగరిథమ్‌ల నుండి బేస్‌కు పరివర్తన యొక్క మాడ్యులస్ అని పిలుస్తారు a బేస్ వద్ద లాగరిథమ్‌లకు బి .

లక్షణాలు 2-5 ఉపయోగించి, సంవర్గమానాలపై సాధారణ అంకగణిత కార్యకలాపాల ఫలితంగా సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణ యొక్క సంవర్గమానాన్ని తగ్గించడం తరచుగా సాధ్యపడుతుంది.

ఉదాహరణకి,

సంవర్గమానం యొక్క ఇటువంటి పరివర్తనలను లాగరిథమ్స్ అంటారు. లాగరిథమ్‌లకు విలోమ పరివర్తనలను పొటెన్షియేషన్ అంటారు.

అధ్యాయం 2. ఉన్నత గణిత అంశాలు.

1. పరిమితులు

ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి
ఒక పరిమిత సంఖ్య A అయితే, వలె xx 0 ప్రతి ముందుగా నిర్ణయించిన కోసం
, అటువంటి సంఖ్య ఉంది
అని వెంటనే
, ఆ
.

పరిమితిని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ దాని నుండి అనంతమైన మొత్తానికి భిన్నంగా ఉంటుంది:
, ఎక్కడ- b.m.v., i.e.
.

ఉదాహరణ. ఫంక్షన్ పరిగణించండి
.

ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు
, ఫంక్షన్ వై సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది:

1.1 పరిమితుల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు.

స్థిరమైన విలువ యొక్క పరిమితి ఈ స్థిరమైన విలువకు సమానం

.

పరిమిత సంఖ్యలో ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) పరిమితి ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల మొత్తానికి (తేడా) సమానంగా ఉంటుంది.

పరిమిత సంఖ్యలో ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క పరిమితి ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల ఉత్పత్తికి సమానం.

హారం యొక్క పరిమితి సున్నా కానట్లయితే, రెండు ఫంక్షన్‌ల కోటీన్ యొక్క పరిమితి ఈ ఫంక్షన్‌ల పరిమితుల భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది.

అద్భుతమైన పరిమితులు

,
, ఎక్కడ

1.2 పరిమితి గణన ఉదాహరణలు

అయితే, అన్ని పరిమితులు అంత సులభంగా లెక్కించబడవు. చాలా తరచుగా, పరిమితిని లెక్కించడం అనేది రకం యొక్క అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి వస్తుంది: లేదా .

.

2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

మాకు ఒక ఫంక్షన్ చేద్దాం
, విభాగంలో నిరంతరంగా
.

వాదన కొంత పెరుగుదల వచ్చింది
. అప్పుడు ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ అందుకుంటుంది
.

వాదన విలువ ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది
.

వాదన విలువ
ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

అందుకే, .

ఈ నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని ఇక్కడ కనుగొనండి
. ఈ పరిమితి ఉంటే, అది ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అంటారు.

నిర్వచనం 3 ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
వాదన ద్వారా ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ ఏకపక్షంగా సున్నాకి మారినప్పుడు, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి అంటారు.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
ఈ క్రింది విధంగా నియమించబడవచ్చు:

; ; ; .

నిర్వచనం 4 ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్ అంటారు భేదం.

2.1 ఉత్పన్నం యొక్క యాంత్రిక అర్థం.

కొన్ని దృఢమైన శరీరం లేదా మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క రెక్టిలినియర్ కదలికను పరిశీలిద్దాం.

ఏదో ఒక సమయంలో లెట్ కదిలే స్థానం
దూరంలో ఉంది ప్రారంభ స్థానం నుండి
.

కొంత కాలం తర్వాత
ఆమె దూరం వెళ్ళింది
. వైఖరి =- మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క సగటు వేగం
. దానిని పరిగణనలోకి తీసుకొని ఈ నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి
.

పర్యవసానంగా, మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క కదలిక యొక్క తక్షణ వేగాన్ని నిర్ణయించడం అనేది సమయానికి సంబంధించి మార్గం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి తగ్గించబడుతుంది.

2.2 ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత విలువ

గ్రాఫికల్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉండనివ్వండి
.

అన్నం. 1. ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

ఉంటే
, అప్పుడు పాయింట్
, పాయింట్ సమీపించే వక్రరేఖ వెంట కదులుతుంది
.

అందుకే
, అనగా వాదన యొక్క ఇచ్చిన విలువ కోసం ఉత్పన్నం యొక్క విలువ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సంఖ్యాపరంగా సమానం
.

2.3 ప్రాథమిక భేద సూత్రాల పట్టిక.

పవర్ ఫంక్షన్

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్

త్రికోణమితి ఫంక్షన్

విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్

2.4 భేదం యొక్క నియమాలు.

యొక్క ఉత్పన్నం

ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) యొక్క ఉత్పన్నం

రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం

రెండు ఫంక్షన్ల గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం

2.5 సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

ఫంక్షన్ ఇవ్వనివ్వండి
రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహించే విధంగా

మరియు
, ఇక్కడ వేరియబుల్ అనేది ఇంటర్మీడియట్ వాదన

కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్‌కు సంబంధించి ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు xకి సంబంధించి ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానం.

ఉదాహరణ 1.

ఉదాహరణ 2.

3. డిఫరెన్షియల్ ఫంక్షన్.

ఉండనివ్వండి
, కొంత విరామంలో తేడా ఉంటుంది
దాన్ని పోనివ్వు వద్ద ఈ ఫంక్షన్ ఒక ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంది

,

అప్పుడు మనం వ్రాయవచ్చు

(1),

ఎక్కడ - అనంతమైన పరిమాణం,

ఎప్పట్నుంచి

సమానత్వం యొక్క అన్ని నిబంధనలను (1) ద్వారా గుణించడం
మాకు ఉన్నాయి:

ఎక్కడ
- బి.ఎం.వి. ఉన్నత శ్రేణుల.

పరిమాణం
ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన అని పిలుస్తారు
మరియు నియమించబడినది

.

3.1 భేదం యొక్క రేఖాగణిత విలువ.

ఫంక్షన్ ఇవ్వనివ్వండి
.

Fig.2. అవకలన యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.

.

సహజంగానే, ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన
ఇచ్చిన బిందువు వద్ద టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌కు సమానం.

3.2 వివిధ ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలు మరియు భేదాలు.

ఒకవేళ వుంటె
, అప్పుడు
మొదటి ఉత్పన్నం అంటారు.

మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నం అని పిలుస్తారు మరియు వ్రాయబడుతుంది
.

ఫంక్షన్ యొక్క nవ క్రమం యొక్క ఉత్పన్నం
(n-1)వ ఆర్డర్ ఉత్పన్నం అని పిలుస్తారు మరియు వ్రాయబడింది:

.

ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క అవకలనాన్ని రెండవ అవకలన లేదా రెండవ ఆర్డర్ అవకలన అంటారు.

.

.

3.3 భేదాన్ని ఉపయోగించి జీవసంబంధ సమస్యలను పరిష్కరించడం.

టాస్క్ 1. సూక్ష్మజీవుల కాలనీ పెరుగుదల చట్టానికి లోబడి ఉంటుందని అధ్యయనాలు చెబుతున్నాయి
, ఎక్కడ ఎన్ - సూక్ష్మజీవుల సంఖ్య (వేలల్లో), t - సమయం (రోజులు).

బి) ఈ కాలంలో కాలనీ జనాభా పెరుగుతుందా లేదా తగ్గుతుందా?

సమాధానం. కాలనీ విస్తీర్ణం పెరుగుతుంది.

టాస్క్ 2. వ్యాధికారక బాక్టీరియా యొక్క కంటెంట్‌ను పర్యవేక్షించడానికి సరస్సులోని నీరు క్రమానుగతంగా పరీక్షించబడుతుంది. ద్వారా t పరీక్ష తర్వాత రోజుల తర్వాత, బ్యాక్టీరియా యొక్క ఏకాగ్రత నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

.

సరస్సులో బ్యాక్టీరియా కనీస సాంద్రత ఎప్పుడు ఉంటుంది మరియు దానిలో ఈత కొట్టడం సాధ్యమవుతుందా?

పరిష్కారం: ఒక ఫంక్షన్ దాని ఉత్పన్నం సున్నా అయినప్పుడు గరిష్టం లేదా నిమికి చేరుకుంటుంది.

,

6 రోజులలో గరిష్టం లేదా నిమి అని నిశ్చయించుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుందాం.

సమాధానం: 6 రోజుల తర్వాత బ్యాక్టీరియా కనీస సాంద్రత ఉంటుంది.