సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. సంవర్గమాన సమీకరణాలు

ఈ రోజు మనం సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకుంటాము, ఇక్కడ ప్రాథమిక రూపాంతరాలు లేదా మూలాల ఎంపిక అవసరం లేదు. కానీ మీరు అలాంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటే, అది చాలా సులభం అవుతుంది.

సరళమైన సంవర్గమాన సమీకరణం లాగ్ a f (x) = b రూపం యొక్క సమీకరణం, ఇక్కడ a, b సంఖ్యలు (a > 0, a ≠ 1), f (x) అనేది ఒక నిర్దిష్ట విధి.

అన్ని సంవర్గమాన సమీకరణాల యొక్క విలక్షణమైన లక్షణం సంవర్గమాన చిహ్నం క్రింద x వేరియబుల్ ఉనికి. సమస్యలో మొదట ఇచ్చిన సమీకరణం ఇదే అయితే, దానిని సరళమైనది అంటారు. ఏదైనా ఇతర సంవర్గమాన సమీకరణాలు ప్రత్యేక పరివర్తనల ద్వారా సరళమైన వాటికి తగ్గించబడతాయి ("లాగరిథమ్‌ల ప్రాథమిక లక్షణాలు" చూడండి). అయినప్పటికీ, అనేక సూక్ష్మబేధాలు పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి: అదనపు మూలాలు తలెత్తవచ్చు, కాబట్టి సంక్లిష్ట సంవర్గమాన సమీకరణాలు విడిగా పరిగణించబడతాయి.

అటువంటి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి? సమాన సంకేతం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్యను ఎడమవైపు ఉన్న అదే బేస్‌లో లాగరిథమ్‌తో భర్తీ చేస్తే సరిపోతుంది. అప్పుడు మీరు లాగరిథమ్ యొక్క చిహ్నాన్ని వదిలించుకోవచ్చు. మాకు దొరికింది:

లాగ్ a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

మేము సాధారణ సమీకరణాన్ని పొందాము. దాని మూలాలు అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు.

డిగ్రీలు తీసుకుంటున్నారు

తరచుగా సంవర్గమాన సమీకరణాలు, బాహ్యంగా సంక్లిష్టంగా మరియు బెదిరింపుగా కనిపిస్తాయి, అవి ప్రమేయం లేకుండా అక్షరాలా రెండు పంక్తులలో పరిష్కరించబడతాయి. సంక్లిష్ట సూత్రాలు. ఈ రోజు మనం అటువంటి సమస్యలను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము, ఇక్కడ మీకు కావలసిందల్లా సూత్రాన్ని కానానికల్ రూపానికి జాగ్రత్తగా తగ్గించడం మరియు లాగరిథమ్‌ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు గందరగోళం చెందకుండా ఉండటం.

ఈ రోజు, మీరు బహుశా శీర్షిక నుండి ఊహించినట్లుగా, మేము నియమానుగుణ రూపానికి మారడానికి సూత్రాలను ఉపయోగించి లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము. ఈ వీడియో పాఠం యొక్క ప్రధాన "ట్రిక్" అనేది డిగ్రీలతో పని చేయడం లేదా ఆధారం మరియు వాదన నుండి డిగ్రీని తగ్గించడం. నియమాన్ని చూద్దాం:

అదేవిధంగా, మీరు బేస్ నుండి డిగ్రీని పొందవచ్చు:

మనం చూడగలిగినట్లుగా, సంవర్గమానం యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి డిగ్రీని తీసివేసినప్పుడు మన ముందు ఒక అదనపు కారకం ఉంటే, అప్పుడు మనం బేస్ నుండి డిగ్రీని తీసివేసినప్పుడు మనకు కేవలం ఒక కారకం మాత్రమే కాదు, విలోమ కారకం వస్తుంది. ఇది గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం ఉంది.

చివరగా, అత్యంత ఆసక్తికరమైన విషయం. ఈ సూత్రాలను కలపవచ్చు, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

వాస్తవానికి, ఈ పరివర్తనాలు చేస్తున్నప్పుడు, నిర్వచనం యొక్క పరిధిని విస్తరించడం లేదా దానికి విరుద్ధంగా, నిర్వచనం యొక్క పరిధిని తగ్గించడం వంటి కొన్ని ఆపదలు ఉన్నాయి. మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి:

లాగ్ 3 x 2 = 2 ∙ లాగ్ 3 x

మొదటి సందర్భంలో x 0 కాకుండా ఏదైనా సంఖ్య అయి ఉండవచ్చు, అంటే x ≠ 0 అవసరం, రెండవ సందర్భంలో మనం xతో మాత్రమే సంతృప్తి చెందాము, అవి సమానంగా ఉండవు, కానీ 0 కంటే ఖచ్చితంగా ఎక్కువ, ఎందుకంటే డొమైన్ సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ఏమిటంటే, వాదన ఖచ్చితంగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి, నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను అద్భుతమైన ఫార్ములా 8వ-9వ తరగతి ఆల్జీబ్రా కోర్సు నుండి:

అంటే, మన ఫార్ములాను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయాలి:

లాగ్ 3 x 2 = 2 ∙ లాగ్ 3 |x |

అప్పుడు నిర్వచనం యొక్క పరిధిని తగ్గించడం జరగదు.

అయితే, నేటి వీడియో ట్యుటోరియల్‌లో చతురస్రాలు ఉండవు. మీరు మా పనులను చూస్తే, మీకు మూలాలు మాత్రమే కనిపిస్తాయి. అందువల్ల, మేము ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేయము, కానీ దానిని గుర్తుంచుకోవడం ఇప్పటికీ అవసరం సరైన క్షణంమీరు చూసినప్పుడు క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ఆర్గ్యుమెంట్ లేదా లాగరిథమ్ బేస్‌లో, మీరు ఈ నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటారు మరియు అన్ని పరివర్తనలను సరిగ్గా అమలు చేస్తారు.

కాబట్టి మొదటి సమీకరణం:

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, ఫార్ములాలో ఉన్న ప్రతి పదాలను జాగ్రత్తగా చూడాలని నేను ప్రతిపాదిస్తున్నాను.

మొదటి పదాన్ని శక్తిగా తిరిగి వ్రాస్దాం హేతుబద్ధమైన సూచిక:

మేము రెండవ పదాన్ని పరిశీలిస్తాము: లాగ్ 3 (1 - x). ఇక్కడ ఏమీ చేయవలసిన అవసరం లేదు, ప్రతిదీ ఇప్పటికే ఇక్కడ రూపాంతరం చెందింది.

చివరగా, 0, 5. నేను మునుపటి పాఠాలలో చెప్పినట్లుగా, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు మరియు సూత్రాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, దశాంశ భిన్నాల నుండి సాధారణ వాటికి వెళ్లాలని నేను బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను. ఇలా చేద్దాం:

0,5 = 5/10 = 1/2

ఫలిత నిబంధనలను పరిగణనలోకి తీసుకొని మా అసలు సూత్రాన్ని తిరిగి వ్రాస్దాం:

లాగ్ 3 (1 - x ) = 1

ఇప్పుడు కానానికల్ ఫారమ్‌కి వెళ్దాం:

లాగ్ 3 (1 - x ) = లాగ్ 3 3

మేము వాదనలను సమం చేయడం ద్వారా లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము:

1 - x = 3

−x = 2

x = -2

అంతే, మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాము. అయినప్పటికీ, దానిని సురక్షితంగా ప్లే చేద్దాం మరియు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, అసలు ఫార్ములాకు తిరిగి వెళ్లి చూద్దాం:

1 - x > 0

−x > -1

x< 1

మా రూట్ x = −2 ఈ అవసరాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది, కాబట్టి x = -2 అనేది అసలు సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం. ఇప్పుడు మేము కఠినమైన, స్పష్టమైన సమర్థనను పొందాము. అంతే, సమస్య పరిష్కరించబడింది.

రెండవ పనికి వెళ్దాం:

ప్రతి పదాన్ని విడిగా చూద్దాం.

మొదటిదాన్ని వ్రాద్దాం:

మేము మొదటి పదాన్ని మార్చాము. మేము రెండవ పదంతో పని చేస్తాము:

చివరగా, చివరి పదం, ఇది సమాన గుర్తుకు కుడి వైపున ఉంటుంది:

మేము ఫలిత ఫార్ములాలోని నిబంధనలకు బదులుగా ఫలిత వ్యక్తీకరణలను భర్తీ చేస్తాము:

లాగ్ 3 x = 1

కానానికల్ రూపానికి వెళ్దాం:

లాగ్ 3 x = లాగ్ 3 3

మేము లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము, వాదనలను సమం చేస్తాము మరియు మనం పొందుతాము:

x = 3

మళ్ళీ, సురక్షితంగా ఉండటానికి, అసలు సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్లి పరిశీలించండి. అసలు ఫార్ములాలో, వేరియబుల్ x వాదనలో మాత్రమే ఉంటుంది, కాబట్టి,

x > 0

రెండవ సంవర్గమానంలో, x రూట్ క్రింద ఉంది, కానీ మళ్ళీ వాదనలో, కాబట్టి, మూలం తప్పనిసరిగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి, అనగా, రాడికల్ వ్యక్తీకరణ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. మేము మా రూట్ x = 3ని చూస్తాము. సహజంగానే, ఇది ఈ అవసరాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. కాబట్టి, x = 3 అనేది అసలైన సంవర్గమాన సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం. అంతే, సమస్య పరిష్కరించబడింది.

నేటి వీడియో ట్యుటోరియల్‌లో రెండు కీలక అంశాలు ఉన్నాయి:

1) లాగరిథమ్‌లను మార్చడానికి బయపడకండి మరియు ప్రత్యేకించి, మా ప్రాథమిక సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుంటూ లాగరిథమ్ సైన్ నుండి అధికారాలను తీసుకోవడానికి బయపడకండి: ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి శక్తిని తీసివేసేటప్పుడు, అది మార్పులు లేకుండా తీసివేయబడుతుంది. గుణకం వలె, మరియు ఆధారం నుండి శక్తిని తీసివేసేటప్పుడు, ఈ శక్తి విలోమం అవుతుంది.

2) రెండవ పాయింట్ కానానికల్ రూపానికి సంబంధించినది. సంవర్గమాన సమీకరణ సూత్రం యొక్క పరివర్తన చివరిలో మేము కానానికల్ రూపానికి పరివర్తన చేసాము. నేను ఈ క్రింది సూత్రాన్ని మీకు గుర్తు చేస్తాను:

a = లాగ్ బి బి ఎ

వాస్తవానికి, "ఏదైనా సంఖ్య b" అనే వ్యక్తీకరణ ద్వారా, సంవర్గమానం యొక్క ఆధారంపై విధించిన అవసరాలను సంతృప్తిపరిచే సంఖ్యలను నేను అర్థం చేసుకున్నాను, అనగా.

1 ≠ b > 0

అటువంటి b కోసం, మరియు ఆధారం మాకు ఇప్పటికే తెలుసు కాబట్టి, ఈ అవసరం స్వయంచాలకంగా నెరవేరుతుంది. కానీ అటువంటి b కోసం - ఈ అవసరాన్ని సంతృప్తిపరిచే ఏదైనా - ఈ పరివర్తనను నిర్వహించవచ్చు మరియు మేము సంవర్గమానం యొక్క చిహ్నాన్ని వదిలించుకోగల నియమానుగుణ రూపాన్ని పొందుతాము.

నిర్వచనం మరియు అదనపు మూలాల డొమైన్‌ను విస్తరిస్తోంది

సంవర్గమాన సమీకరణాలను మార్చే ప్రక్రియలో, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క అవ్యక్త విస్తరణ సంభవించవచ్చు. తరచుగా విద్యార్థులు దీనిని గమనించరు, ఇది తప్పులు మరియు తప్పు సమాధానాలకు దారితీస్తుంది.

సరళమైన డిజైన్లతో ప్రారంభిద్దాం. సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణం క్రింది విధంగా ఉంది:

లాగ్ a f (x) = b

ఒక సంవర్గమానం యొక్క ఒక ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే x ఉందని గమనించండి. అటువంటి సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి? మేము కానానికల్ రూపాన్ని ఉపయోగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, b = log a a b సంఖ్యను ఊహించండి మరియు మా సమీకరణం క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

log a f (x) = log a a b

ఈ ప్రవేశాన్ని కానానికల్ రూపం అంటారు. ఈ రోజు పాఠంలో మాత్రమే కాకుండా, ఏదైనా స్వతంత్ర మరియు పరీక్షా పనిలో కూడా మీరు ఎదుర్కొనే ఏదైనా లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని మీరు తగ్గించాలి.

కానానికల్ రూపాన్ని ఎలా చేరుకోవాలి మరియు ఏ సాంకేతికతలను ఉపయోగించాలి అనేది అభ్యాసానికి సంబంధించిన విషయం. అర్థం చేసుకోవలసిన ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, మీరు అలాంటి రికార్డును స్వీకరించిన వెంటనే, మీరు సమస్యను పరిష్కరించినట్లు పరిగణించవచ్చు. ఎందుకంటే తరువాత ప్రక్రియఒక ప్రవేశం ఉంటుంది:

f (x) = a b

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు వాదనలను సమం చేస్తాము.

ఈ మాటలన్నీ ఎందుకు? వాస్తవం ఏమిటంటే, కానానికల్ రూపం సరళమైన సమస్యలకు మాత్రమే కాకుండా, ఇతరులకు కూడా వర్తిస్తుంది. ముఖ్యంగా, ఈ రోజు మనం నిర్ణయించుకునేవి. చూద్దాం.

మొదటి పని:

ఈ సమీకరణంలో సమస్య ఏమిటి? వాస్తవం ఏమిటంటే ఫంక్షన్ ఒకేసారి రెండు లాగరిథమ్‌లలో ఉంటుంది. ఒక సంవర్గమానం నుండి మరొక సంవర్గమానాన్ని తీసివేయడం ద్వారా సమస్యను చాలా సరళంగా తగ్గించవచ్చు. కానీ నిర్వచనం ప్రాంతంతో సమస్యలు తలెత్తుతాయి: అదనపు మూలాలు కనిపించవచ్చు. కాబట్టి మనం లాగరిథమ్‌లలో ఒకదానిని కుడివైపుకి తరలించండి:

ఈ ఎంట్రీ కానానికల్ రూపానికి చాలా పోలి ఉంటుంది. కానీ మరొక స్వల్పభేదం ఉంది: కానానికల్ రూపంలో, వాదనలు ఒకే విధంగా ఉండాలి. మరియు ఎడమవైపున మనకు బేస్ 3లో లాగరిథమ్ మరియు కుడివైపు బేస్ 1/3లో ఉంటుంది. ఈ స్థావరాలను ఒకే సంఖ్యకు తీసుకురావాల్సిన అవసరం ఉందని అతనికి తెలుసు. ఉదాహరణకు, ప్రతికూల శక్తులు ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి:

ఆపై మేము లాగ్ వెలుపల "−1" ఘాతాంకాన్ని గుణకం వలె ఉపయోగిస్తాము:

దయచేసి గమనించండి: బేస్ వద్ద ఉన్న డిగ్రీ తిరగబడి, భిన్నంగా మారుతుంది. మేము వేర్వేరు స్థావరాలను వదిలించుకోవడం ద్వారా దాదాపు కానానికల్ సంజ్ఞామానాన్ని పొందాము, కానీ బదులుగా మేము కుడి వైపున "−1" కారకాన్ని పొందాము. ఈ కారకాన్ని శక్తిగా మార్చడం ద్వారా వాదనలోకి కారకం చేద్దాం:

వాస్తవానికి, కానానికల్ రూపాన్ని స్వీకరించిన తరువాత, మేము సంవర్గమానం యొక్క చిహ్నాన్ని ధైర్యంగా దాటి, వాదనలను సమం చేస్తాము. అదే సమయంలో, “−1” శక్తికి పెరిగినప్పుడు, భిన్నం కేవలం తిరగబడిందని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను - ఒక నిష్పత్తి పొందబడుతుంది.

నిష్పత్తి యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగిస్తాము మరియు దానిని అడ్డంగా గుణిద్దాం:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 = 0

మన ముందు ఉన్నది వర్గ సమీకరణం, కాబట్టి మేము దానిని Vieta సూత్రాలను ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము:

(x - 8)(x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

అంతే. సమీకరణం పరిష్కరించబడిందని మీరు అనుకుంటున్నారా? లేదు! అటువంటి పరిష్కారం కోసం మేము 0 పాయింట్లను అందుకుంటాము, ఎందుకంటే అసలు సమీకరణం వేరియబుల్ xతో రెండు లాగరిథమ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం.

మరియు ఇక్కడే సరదా ప్రారంభమవుతుంది. చాలా మంది విద్యార్థులు గందరగోళంలో ఉన్నారు: సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఏమిటి? వాస్తవానికి, అన్ని వాదనలు (మాకు రెండు ఉన్నాయి) తప్పనిసరిగా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి:

(x - 4)/(3x - 4) > 0

(x - 5)/(2x - 1) > 0

ఈ అసమానతలు ప్రతి ఒక్కటి పరిష్కరించబడాలి, సరళ రేఖపై గుర్తించబడతాయి, ఖండన చేయాలి మరియు ఖండన వద్ద ఏ మూలాలు ఉన్నాయో చూడాలి.

నేను నిజాయితీగా ఉంటాను: ఈ సాంకేతికతకు ఉనికిలో హక్కు ఉంది, ఇది నమ్మదగినది మరియు మీరు సరైన సమాధానం పొందుతారు, కానీ దానిలో చాలా ఎక్కువ ఉంది. అనవసరమైన చర్యలు. కాబట్టి మన పరిష్కారాన్ని మళ్లీ చూద్దాం మరియు చూద్దాం: మనం స్కోప్‌ను సరిగ్గా ఎక్కడ వర్తింపజేయాలి? మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సరిగ్గా అదనపు మూలాలు కనిపించినప్పుడు మీరు స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి.

1. మొదట్లో మాకు రెండు లాగరిథమ్‌లు ఉండేవి. అప్పుడు మేము వాటిలో ఒకదాన్ని కుడి వైపుకు తరలించాము, కానీ ఇది నిర్వచన ప్రాంతాన్ని ప్రభావితం చేయలేదు.
2. అప్పుడు మేము బేస్ నుండి శక్తిని తీసివేస్తాము, కానీ ఇప్పటికీ రెండు సంవర్గమానాలు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి వేరియబుల్ x ఉంది.
3. చివరగా, మేము లాగ్ సంకేతాలను దాటి క్లాసిక్‌ని పొందుతాము భిన్నమైన హేతుబద్ధమైన సమీకరణం.

ఇది చివరి దశలో నిర్వచనం యొక్క పరిధిని విస్తరించింది! మేము పాక్షిక-హేతుబద్ధ సమీకరణానికి మారిన వెంటనే, లాగ్ సంకేతాలను వదిలించుకోవడం, వేరియబుల్ x కోసం అవసరాలు నాటకీయంగా మారాయి!

తత్ఫలితంగా, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ పరిష్కారం యొక్క చాలా ప్రారంభంలో పరిగణించబడదు, కానీ పేర్కొన్న దశలో మాత్రమే - వాదనలను నేరుగా సమం చేయడానికి ముందు.

ఇక్కడే ఆప్టిమైజేషన్‌కు అవకాశం ఉంది. ఒకవైపు, రెండు ఆర్గ్యుమెంట్‌లు సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని మేము కోరుతున్నాము. మరోవైపు, మేము ఈ వాదనలను మరింత సమం చేస్తాము. అందుకే, అందులో కనీసం ఒక్కటి సానుకూలంగా ఉంటే, రెండవది కూడా సానుకూలంగా ఉంటుంది!

కాబట్టి ఒకేసారి రెండు అసమానతలను నెరవేర్చాలని కోరడం ఓవర్ కిల్ అని తేలింది. ఈ భిన్నాలలో ఒకదానిని మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకుంటే సరిపోతుంది. ఏది? సరళమైనది. ఉదాహరణకు, కుడి చేతి భిన్నాన్ని చూద్దాం:

(x - 5)/(2x - 1) > 0

ఇది విలక్షణమైనది పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానత, మేము దానిని విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము:

సంకేతాలను ఎలా ఉంచాలి? మన అన్ని మూలాల కంటే స్పష్టంగా ఎక్కువ సంఖ్యను తీసుకుందాం. ఉదాహరణకు, 1 బిలియన్. మరియు మేము దాని భిన్నాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. మాకు దొరికింది సానుకూల సంఖ్య, అనగా రూట్ x = 5కి కుడివైపున ప్లస్ గుర్తు ఉంటుంది.

అప్పుడు సంకేతాలు ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే ఎక్కడా కూడా గుణకారం యొక్క మూలాలు లేవు. ఫంక్షన్ సానుకూలంగా ఉన్న విరామాలపై మాకు ఆసక్తి ఉంది. కాబట్టి, x ∈ (-−; -1/2)∪(5; +∞).

ఇప్పుడు సమాధానాలను గుర్తుంచుకోండి: x = 8 మరియు x = 2. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇవి ఇంకా సమాధానాలు కాదు, కానీ సమాధానం కోసం అభ్యర్థులు మాత్రమే. పేర్కొన్న సెట్‌కు చెందినది ఏది? వాస్తవానికి, x = 8. కానీ x = 2 దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ పరంగా మాకు సరిపోదు.

మొత్తంగా, మొదటి సంవర్గమాన సమీకరణానికి సమాధానం x = 8 అవుతుంది. ఇప్పుడు మనకు సరైనది వచ్చింది, సమాచారంతో కూడిన నిర్ణయంనిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం.

రెండవ సమీకరణానికి వెళ్దాం:

లాగ్ 5 (x - 9) = లాగ్ 0.5 4 - లాగ్ 5 (x - 5) + 3

సమీకరణంలో దశాంశ భిన్నం ఉంటే, మీరు దాన్ని వదిలించుకోవాలని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, 0.5 రూపంలో తిరిగి వ్రాస్దాం సాధారణ భిన్నం. ఈ ఆధారాన్ని కలిగి ఉన్న సంవర్గమానం సులభంగా లెక్కించబడుతుందని మేము వెంటనే గమనించాము:

ఇది చాలా ముఖ్యమైన క్షణం! మనకు బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ రెండింటిలోనూ డిగ్రీలు ఉన్నప్పుడు, ఫార్ములా ఉపయోగించి ఈ డిగ్రీల సూచికలను మనం పొందవచ్చు:

మన అసలు సంవర్గమాన సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్లి దానిని తిరిగి వ్రాస్దాం:

లాగ్ 5 (x - 9) = 1 - లాగ్ 5 (x - 5)

మేము కానానికల్ రూపానికి చాలా దగ్గరగా డిజైన్‌ను పొందాము. అయినప్పటికీ, సమాన గుర్తుకు కుడి వైపున ఉన్న నిబంధనలు మరియు మైనస్ గుర్తుతో మేము గందరగోళంలో ఉన్నాము. బేస్ 5కి సంవర్గమానంగా ఒకదానిని సూచిస్తాం:

లాగ్ 5 (x - 9) = లాగ్ 5 5 1 - లాగ్ 5 (x - 5)

కుడి వైపున ఉన్న లాగరిథమ్‌లను తీసివేయండి (ఈ సందర్భంలో వారి వాదనలు విభజించబడ్డాయి):

లాగ్ 5 (x - 9) = లాగ్ 5 5/(x - 5)

అద్భుతమైన. కాబట్టి మనకు కానానికల్ రూపం వచ్చింది! మేము లాగ్ సంకేతాలను దాటి, వాదనలను సమం చేస్తాము:

(x - 9)/1 = 5/(x - 5)

ఇది క్రాస్‌వైస్‌గా గుణించడం ద్వారా సులభంగా పరిష్కరించగల నిష్పత్తి:

(x - 9)(x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 - 14x + 40 = 0

సహజంగానే, మనకు తగ్గిన వర్గ సమీకరణం ఉంది. ఇది Vieta సూత్రాలను ఉపయోగించి సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది:

(x - 10)(x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

మాకు రెండు మూలాలు వచ్చాయి. కానీ ఇవి తుది సమాధానాలు కావు, అభ్యర్థులు మాత్రమే, ఎందుకంటే లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయడం కూడా అవసరం.

నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను: ఎప్పుడు శోధించాల్సిన అవసరం లేదు ప్రతివాదనలు సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి. ఒక ఆర్గ్యుమెంట్-x - 9 లేదా 5/(x - 5)-సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని కోరడం సరిపోతుంది. మొదటి వాదనను పరిగణించండి:

x - 9 > 0

x > 9

సహజంగానే, x = 10 మాత్రమే ఈ అవసరాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. ఇది చివరి సమాధానం. మొత్తం సమస్య పరిష్కారమైంది.

మరోసారి, నేటి పాఠం యొక్క ముఖ్య ఆలోచనలు:

1. వేరియబుల్ x అనేక లాగరిథమ్‌లలో కనిపించిన వెంటనే, సమీకరణం ప్రాథమికంగా ఉండదు మరియు దాని కోసం నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను లెక్కించవలసి ఉంటుంది. లేకపోతే, మీరు సమాధానంలో అదనపు మూలాలను సులభంగా వ్రాయవచ్చు.
2. మేము అసమానతలను వెంటనే వ్రాస్తే డొమైన్‌తో పని చేయడం గణనీయంగా సరళీకృతం చేయబడుతుంది, కానీ మనం లాగ్ సంకేతాలను వదిలించుకున్నప్పుడు ఖచ్చితంగా. అన్నింటికంటే, వాదనలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నప్పుడు, వాటిలో ఒకటి మాత్రమే సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని కోరడం సరిపోతుంది.

వాస్తవానికి, అసమానతను ఏర్పరచడానికి ఏ వాదనను ఉపయోగించాలో మనమే ఎంచుకుంటాము, కాబట్టి సరళమైనదాన్ని ఎంచుకోవడం తార్కికం. ఉదాహరణకు, రెండవ సమీకరణంలో మేము ఆర్గ్యుమెంట్ (x - 9) ఎంచుకున్నాము - సరళ ఫంక్షన్, పాక్షిక హేతుబద్ధమైన రెండవ వాదనకు విరుద్ధంగా. అంగీకరిస్తున్నారు, అసమానత x − 9 > 0ని పరిష్కరించడం 5/(x - 5) > 0 కంటే చాలా సులభం. ఫలితం ఒకే విధంగా ఉన్నప్పటికీ.

ఈ వ్యాఖ్య ODZ కోసం శోధనను చాలా సులభతరం చేస్తుంది, కానీ జాగ్రత్తగా ఉండండి: వాదనలు ఖచ్చితంగా ఉంటేనే మీరు రెండింటికి బదులుగా ఒక అసమానతను ఉపయోగించవచ్చు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి!

అయితే, ఇప్పుడు ఎవరైనా అడుగుతారు: భిన్నంగా ఏమి జరుగుతుంది? అవును కొన్నిసార్లు. ఉదాహరణకు, స్టెప్‌లోనే, మనం వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉన్న రెండు ఆర్గ్యుమెంట్‌లను గుణించినప్పుడు, ప్రమాదం ఉంది అదనపు మూలాలు.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: మొదట ప్రతి వాదనలు సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి, కానీ గుణకారం తర్వాత వాటి ఉత్పత్తి సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే సరిపోతుంది. ఫలితంగా, ఈ భిన్నాలలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రతికూలంగా ఉన్న సందర్భం తప్పిపోతుంది.

అందువల్ల, మీరు సంక్లిష్ట సంవర్గమాన సమీకరణాలను అర్థం చేసుకోవడం ప్రారంభించినట్లయితే, ఎటువంటి పరిస్థితుల్లోనూ వేరియబుల్ xని కలిగి ఉన్న లాగరిథమ్‌లను గుణించవద్దు - ఇది చాలా తరచుగా అనవసరమైన మూలాల రూపానికి దారి తీస్తుంది. ఒక అదనపు అడుగు వేయడం, ఒక పదాన్ని మరొక వైపుకు తరలించడం మరియు నియమానుగుణ రూపాన్ని సృష్టించడం మంచిది.

సరే, అటువంటి లాగరిథమ్‌లను గుణించకుండా మీరు చేయలేకపోతే ఏమి చేయాలి, మేము తదుపరి వీడియో పాఠంలో చర్చిస్తాము. :)

సమీకరణంలోని శక్తుల గురించి మరోసారి

ఈ రోజు మనం లాగరిథమిక్ సమీకరణాలకు సంబంధించిన జారే అంశాన్ని పరిశీలిస్తాము లేదా మరింత ఖచ్చితంగా, లాగరిథమ్‌ల వాదనలు మరియు స్థావరాల నుండి అధికారాలను తీసివేయడం.

నేను కూడా చెబుతాను మేము మాట్లాడతాముసమాన అధికారాల తొలగింపు గురించి, ఎందుకంటే నిజమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు చాలా ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి.

కానానికల్ రూపంతో ప్రారంభిద్దాం. లాగ్ a f (x) = b ఫారమ్ యొక్క సమీకరణం ఉందని చెప్పండి. ఈ సందర్భంలో, మేము b = log a a b సూత్రాన్ని ఉపయోగించి b సంఖ్యను తిరిగి వ్రాస్తాము. ఇది క్రింది విధంగా మారుతుంది:

log a f (x) = log a a b

అప్పుడు మేము వాదనలను సమం చేస్తాము:

f (x) = a b

చివరి సూత్రాన్ని కానానికల్ రూపం అంటారు. మొదటి చూపులో ఎంత క్లిష్టంగా మరియు భయానకంగా అనిపించినా, ఏదైనా లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని తగ్గించడానికి వారు ప్రయత్నిస్తారు.

కాబట్టి దీనిని ప్రయత్నిద్దాం. మొదటి పనితో ప్రారంభిద్దాం:

ప్రాథమిక గమనిక: నేను చెప్పినట్లుగా, ప్రతిదీ దశాంశాలుసంవర్గమాన సమీకరణంలో దానిని సాధారణమైనవిగా మార్చడం మంచిది:

0,5 = 5/10 = 1/2

ఈ వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని మన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాస్దాం. 1/1000 మరియు 100 రెండూ పది శక్తులు అని గమనించండి, ఆపై అవి ఎక్కడ ఉన్నా అధికారాలను తీసుకుందాం: వాదనల నుండి మరియు లాగరిథమ్‌ల ఆధారంగా కూడా:

మరియు ఇక్కడ చాలా మంది విద్యార్థులకు ఒక ప్రశ్న ఉంది: "కుడి వైపున ఉన్న మాడ్యూల్ ఎక్కడ నుండి వచ్చింది?" నిజానికి, ఎందుకు వ్రాయకూడదు (x - 1)? వాస్తవానికి, ఇప్పుడు మనం (x - 1) వ్రాస్తాము, కానీ డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే అటువంటి సంజ్ఞామానానికి మాకు హక్కు లభిస్తుంది. అన్నింటికంటే, మరొక సంవర్గమానం ఇప్పటికే (x - 1) కలిగి ఉంది మరియు ఈ వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

కానీ మేము లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ నుండి చతురస్రాన్ని తీసివేసినప్పుడు, మేము ఖచ్చితంగా మాడ్యూల్‌ను బేస్ వద్ద వదిలివేయాలి. ఎందుకో వివరిస్తాను.

వాస్తవం ఏమిటంటే, గణిత దృక్కోణంలో, డిగ్రీ తీసుకోవడం మూలాన్ని తీసుకోవడంతో సమానం. ప్రత్యేకించి, మనం వ్యక్తీకరణ (x - 1) 2ని వర్గీకరించినప్పుడు, మనం తప్పనిసరిగా రెండవ మూలాన్ని తీసుకుంటాము. కానీ వర్గమూలం మాడ్యులస్ కంటే ఎక్కువ కాదు. సరిగ్గా మాడ్యూల్, ఎందుకంటే x − 1 అనే వ్యక్తీకరణ ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పటికీ, స్క్వేర్ చేసినప్పుడు, “మైనస్” ఇప్పటికీ కాలిపోతుంది. రూట్ యొక్క మరింత వెలికితీత మాకు సానుకూల సంఖ్యను ఇస్తుంది - ఎటువంటి మైనస్‌లు లేకుండా.

సాధారణంగా, అప్రియమైన తప్పులు చేయకుండా ఉండటానికి, ఒకసారి మరియు అందరికీ గుర్తుంచుకోండి:

అదే శక్తికి పెంచబడిన ఏదైనా ఫంక్షన్ యొక్క సమాన శక్తి యొక్క మూలం ఫంక్షన్‌కు కాదు, దాని మాడ్యులస్‌కు సమానం:

మన లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్దాం. మాడ్యూల్ గురించి మాట్లాడుతూ, మేము దానిని నొప్పిలేకుండా తొలగించగలమని నేను వాదించాను. ఇది నిజం. ఇప్పుడు నేను ఎందుకు వివరిస్తాను. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, మేము రెండు ఎంపికలను పరిగణించాలి:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x - 1| = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

ఈ ఎంపికలలో ప్రతి ఒక్కటి పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది. కానీ ఒక క్యాచ్ ఉంది: అసలు ఫార్ములా ఇప్పటికే ఎటువంటి మాడ్యులస్ లేకుండా ఫంక్షన్ (x - 1)ని కలిగి ఉంది. మరియు లాగరిథమ్‌ల నిర్వచనం డొమైన్‌ను అనుసరించి, x − 1 > 0 అని వెంటనే వ్రాయడానికి మాకు హక్కు ఉంది.

పరిష్కార ప్రక్రియలో మేము చేసే ఏవైనా మాడ్యూల్స్ మరియు ఇతర పరివర్తనలతో సంబంధం లేకుండా ఈ అవసరం తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాలి. అందువల్ల, రెండవ ఎంపికను పరిగణనలోకి తీసుకోవడంలో అర్థం లేదు - ఇది ఎప్పటికీ తలెత్తదు. అసమానత యొక్క ఈ శాఖను పరిష్కరించేటప్పుడు మనకు కొన్ని సంఖ్యలు వచ్చినప్పటికీ, అవి ఇప్పటికీ తుది సమాధానంలో చేర్చబడవు.

ఇప్పుడు మనం సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క కానానికల్ రూపం నుండి అక్షరాలా ఒక అడుగు దూరంలో ఉన్నాము. యూనిట్‌ను ఈ క్రింది విధంగా సూచిస్తాము:

1 = లాగ్ x - 1 (x - 1) 1

అదనంగా, మేము ఆర్గ్యుమెంట్‌లో కుడి వైపున ఉన్న కారకం −4ని పరిచయం చేస్తాము:

లాగ్ x - 1 10 −4 = లాగ్ x - 1 (x - 1)

మా ముందు సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క నియమానుగుణ రూపం. మేము లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము:

10 -4 = x - 1

కానీ ఆధారం ఒక ఫంక్షన్ (మరియు ప్రధాన సంఖ్య కాదు) కాబట్టి, ఈ ఫంక్షన్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు ఒకదానికి సమానంగా ఉండకూడదు. ఫలిత వ్యవస్థ ఇలా ఉంటుంది:

అవసరం x − 1 > 0 స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది (అన్ని తరువాత, x - 1 = 10 -4), అసమానతలలో ఒకదానిని మా సిస్టమ్ నుండి తొలగించవచ్చు. రెండవ షరతును కూడా దాటవచ్చు, ఎందుకంటే x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క అన్ని అవసరాలను స్వయంచాలకంగా సంతృప్తిపరిచే ఏకైక మూలం ఇది (అయితే, మా సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో స్పష్టంగా నెరవేరినట్లు అన్ని అవసరాలు తొలగించబడ్డాయి).

కాబట్టి రెండవ సమీకరణం:

3 లాగ్ 3 x x = 2 లాగ్ 9 x x 2

ఈ సమీకరణం మునుపటి నుండి ప్రాథమికంగా ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది? లాగరిథమ్‌ల స్థావరాలు - 3x మరియు 9x - కానట్లయితే సహజ డిగ్రీలుఒకరికొకరు. అందువల్ల, మునుపటి పరిష్కారంలో మేము ఉపయోగించిన పరివర్తన సాధ్యం కాదు.

కనీసం డిగ్రీలు అయినా వదిలించుకుందాం. మా విషయంలో, రెండవ వాదనలో మాత్రమే డిగ్రీ ఉంది:

3 లాగ్ 3 x x = 2 ∙ 2 లాగ్ 9 x |x |

అయినప్పటికీ, మాడ్యులస్ గుర్తును తీసివేయవచ్చు, ఎందుకంటే వేరియబుల్ x కూడా బేస్ వద్ద ఉంది, అనగా. x > 0 ⇒ |x| = x. మన సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం:

3 లాగ్ 3 x x = 4 లాగ్ 9 x x

మేము లాగరిథమ్‌లను పొందాము, దీనిలో వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కానీ వివిధ కారణాలు. తర్వాత ఏం చేయాలి? ఇక్కడ చాలా ఎంపికలు ఉన్నాయి, కానీ వాటిలో రెండింటిని మాత్రమే మేము పరిశీలిస్తాము, ఇవి చాలా తార్కికంగా ఉంటాయి మరియు ముఖ్యంగా, ఇవి చాలా మంది విద్యార్థులకు త్వరగా మరియు అర్థమయ్యే పద్ధతులు.

మేము ఇప్పటికే మొదటి ఎంపికను పరిగణించాము: ఏదైనా అస్పష్టమైన పరిస్థితిలో, వేరియబుల్ బేస్‌తో లాగరిథమ్‌లను కొంత స్థిరమైన స్థావరానికి మార్చండి. ఉదాహరణకు, ఒక డ్యూస్కు. పరివర్తన సూత్రం సులభం:

వాస్తవానికి, వేరియబుల్ సి పాత్ర ఉండాలి సాధారణ సంఖ్య: 1 ≠ c > 0. మన విషయంలో c = 2. ఇప్పుడు మన ముందు సాధారణ పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం ఉంది. మేము ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని అంశాలను సేకరిస్తాము:

సహజంగానే, లాగ్ 2 x ఫ్యాక్టర్‌ని తీసివేయడం మంచిది, ఎందుకంటే ఇది మొదటి మరియు రెండవ భిన్నాలలో ఉంటుంది.

లాగ్ 2 x = 0;

3 లాగ్ 2 9x = 4 లాగ్ 2 3x

మేము ప్రతి లాగ్‌ను రెండు పదాలుగా విభజిస్తాము:

లాగ్ 2 9x = లాగ్ 2 9 + లాగ్ 2 x = 2 లాగ్ 2 3 + లాగ్ 2 x;

లాగ్ 2 3x = లాగ్ 2 3 + లాగ్ 2 x

ఈ వాస్తవాలను పరిగణనలోకి తీసుకొని సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా తిరిగి వ్రాస్దాం:

3 (2 లాగ్ 2 3 + లాగ్ 2 x ) = 4 (లాగ్ 2 3 + లాగ్ 2 x )

6 లాగ్ 2 3 + 3 లాగ్ 2 x = 4 లాగ్ 2 3 + 4 లాగ్ 2 x

2 లాగ్ 2 3 = లాగ్ 2 x

ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద రెండింటిని నమోదు చేయడం (ఇది శక్తిగా మారుతుంది: 3 2 = 9):

లాగ్ 2 9 = లాగ్ 2 x

మాకు ముందు క్లాసిక్ కానానికల్ రూపం, మేము లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు పొందుతాము:

ఊహించిన విధంగా, ఈ రూట్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంది. ఇది నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయడానికి మిగిలి ఉంది. కారణాలను పరిశీలిద్దాం:

కానీ రూట్ x = 9 ఈ అవసరాలను తీరుస్తుంది. అందువల్ల, ఇది తుది నిర్ణయం.

నుండి తీర్మానం ఈ నిర్ణయంసరళమైనది: పొడవైన లేఅవుట్‌లను చూసి భయపడవద్దు! ఇది ప్రారంభంలోనే మేము యాదృచ్ఛికంగా కొత్త స్థావరాన్ని ఎంచుకున్నాము - మరియు ఇది ప్రక్రియను గణనీయంగా క్లిష్టతరం చేసింది.

కానీ అప్పుడు ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఆధారం ఏమిటి సరైనది? నేను దీని గురించి రెండవ పద్ధతిలో మాట్లాడుతాను.

మన అసలు సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్దాం:

3 లాగ్ 3x x = 2 లాగ్ 9x x 2

3 లాగ్ 3x x = 2 ∙ 2 లాగ్ 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 లాగ్ 3 x x = 4 లాగ్ 9 x x

ఇప్పుడు కొంచెం ఆలోచిద్దాం: ఏ సంఖ్య లేదా ఫంక్షన్ సరైన ఆధారం? అది స్పష్టంగా ఉంది ఉత్తమ ఎంపికఅక్కడ c = x ఉంటుంది - వాదనలలో ఇప్పటికే ఉన్నది. ఈ సందర్భంలో, లాగ్ a b = log c b /log c a అనే ఫార్ములా ఫారమ్‌ను తీసుకుంటుంది:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వ్యక్తీకరణ కేవలం రివర్స్ చేయబడింది. ఈ సందర్భంలో, వాదన మరియు ఆధారం స్థలాలను మారుస్తాయి.

ఈ ఫార్ములా చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది మరియు సంక్లిష్ట సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. అయితే, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు చాలా తీవ్రమైన ఆపద ఉంది. మేము బేస్‌కు బదులుగా వేరియబుల్ xని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, గతంలో పాటించని పరిమితులు దానిపై విధించబడతాయి:

అసలు సమీకరణంలో అలాంటి పరిమితి లేదు. కాబట్టి, x = 1 అయినప్పుడు మనం విడిగా కేసును తనిఖీ చేయాలి. ఈ విలువను మా సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

3 లాగ్ 3 1 = 4 లాగ్ 9 1

సరిగ్గా పొందడం సంఖ్యా సమానత్వం. కాబట్టి x = 1 ఒక మూలం. పరిష్కారం యొక్క ప్రారంభంలో మునుపటి పద్ధతిలో మేము సరిగ్గా అదే మూలాన్ని కనుగొన్నాము.

కానీ ఇప్పుడు మనం దీనిని విడిగా చూసాము ప్రత్యేక సంధర్భం, మేము సురక్షితంగా x ≠ 1 అని ఊహిస్తాము. అప్పుడు మన సంవర్గమాన సమీకరణం క్రింది రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

3 లాగ్ x 9x = 4 లాగ్ x 3x

మేము మునుపటి మాదిరిగానే అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రెండు లాగరిథమ్‌లను విస్తరిస్తాము. లాగ్ x x = 1 అని గమనించండి:

3 (లాగ్ x 9 + లాగ్ x x ) = 4 (లాగ్ x 3 + లాగ్ x x )

3 లాగ్ x 9 + 3 = 4 లాగ్ x 3 + 4

3 లాగ్ x 3 2 - 4 లాగ్ x 3 = 4 - 3

2 లాగ్ x 3 = 1

కాబట్టి మేము కానానికల్ రూపానికి వచ్చాము:

లాగ్ x 9 = లాగ్ x x 1

x=9

మేము రెండవ మూలాన్ని పొందాము. ఇది x ≠ 1 అవసరాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. కాబట్టి, x = 1తో పాటు x = 9 అనేది చివరి సమాధానం.

మీరు గమనిస్తే, లెక్కల పరిమాణం కొద్దిగా తగ్గింది. కానీ నిజమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, దశల సంఖ్య చాలా తక్కువగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మీరు ప్రతి దశను అంత వివరంగా వివరించాల్సిన అవసరం లేదు.

నేటి పాఠం యొక్క ముఖ్య నియమం క్రింది విధంగా ఉంది: సమస్య సరి డిగ్రీని కలిగి ఉంటే, అదే డిగ్రీ యొక్క మూలం నుండి సంగ్రహించబడినట్లయితే, అప్పుడు అవుట్‌పుట్ మాడ్యులస్ అవుతుంది. అయితే, మీరు లాగరిథమ్‌ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై శ్రద్ధ వహిస్తే ఈ మాడ్యూల్ తీసివేయబడుతుంది.

కానీ జాగ్రత్తగా ఉండండి: ఈ పాఠం తర్వాత, చాలామంది విద్యార్థులు తాము ప్రతిదీ అర్థం చేసుకున్నారని అనుకుంటారు. కానీ నిర్ణయించేటప్పుడు నిజమైన సమస్యలువారు మొత్తం తార్కిక గొలుసును పునరుత్పత్తి చేయలేరు. ఫలితంగా, సమీకరణం అనవసరమైన మూలాలను పొందుతుంది మరియు సమాధానం తప్పుగా మారుతుంది.

ఈ వీడియోతో నేను లాగరిథమిక్ సమీకరణాల గురించి సుదీర్ఘమైన పాఠాలను ప్రారంభించాను. ఇప్పుడు మీ ముందు మూడు ఉదాహరణలు ఉన్నాయి, దాని ఆధారంగా మేము చాలా పరిష్కరించడానికి నేర్చుకుంటాము సాధారణ పనులు, వీటిని అలా పిలుస్తారు - ప్రోటోజోవా.

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = -3

లాగ్ (x + 3) = 3 + 2 లాగ్ 5

సరళమైన సంవర్గమాన సమీకరణం క్రిందిదని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

లాగ్ a f (x) = b

ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్ x ఆర్గ్యుమెంట్ లోపల మాత్రమే ఉండటం ముఖ్యం, అంటే f (x) ఫంక్షన్‌లో మాత్రమే. మరియు a మరియు b సంఖ్యలు కేవలం సంఖ్యలు, మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xని కలిగి ఉండే ఫంక్షన్‌లు కావు.

ప్రాథమిక పరిష్కార పద్ధతులు

అటువంటి నిర్మాణాలను పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, పాఠశాలలో చాలా మంది ఉపాధ్యాయులు ఈ పద్ధతిని అందిస్తారు: ఫార్ములా ఉపయోగించి f (x) ఫంక్షన్‌ని వెంటనే వ్యక్తపరచండి f ( x ) = ఒక బి . అంటే, మీరు సరళమైన నిర్మాణాన్ని చూసినప్పుడు, మీరు అదనపు చర్యలు మరియు నిర్మాణాలు లేకుండా వెంటనే పరిష్కారానికి వెళ్లవచ్చు.

అవును, ఖచ్చితంగా, నిర్ణయం సరైనది. అయితే, ఈ ఫార్ములా సమస్య చాలా మంది విద్యార్థులు అర్థం కాలేదు, ఇది ఎక్కడ నుండి వస్తుంది మరియు మనం a అక్షరాన్ని b అక్షరానికి ఎందుకు పెంచుతాము.

ఫలితంగా, నేను తరచుగా చాలా బాధించే తప్పులను చూస్తాను, ఉదాహరణకు, ఈ అక్షరాలు మార్చుకున్నప్పుడు. ఈ ఫార్ములామీరు అర్థం చేసుకోవాలి లేదా క్రామ్ చేయాలి మరియు రెండవ పద్ధతి చాలా అసమంజసమైన మరియు అత్యంత కీలకమైన సందర్భాలలో తప్పులకు దారితీస్తుంది: పరీక్షలు, పరీక్షలు మొదలైనవి.

అందుకే నేను నా విద్యార్థులందరికీ ప్రామాణిక పాఠశాల సూత్రాన్ని విడిచిపెట్టి, సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి రెండవ విధానాన్ని ఉపయోగించమని సూచిస్తున్నాను, మీరు బహుశా పేరు నుండి ఊహించినట్లుగా దీనిని పిలుస్తారు. కానానికల్ రూపం.

కానానికల్ రూపం యొక్క ఆలోచన చాలా సులభం. మన సమస్యను మళ్ళీ చూద్దాం: ఎడమ వైపున మనకు లాగ్ a ఉంటుంది మరియు a అక్షరం ద్వారా మనం ఒక సంఖ్యను సూచిస్తాము మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్. పర్యవసానంగా, ఈ లేఖ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారంపై విధించిన అన్ని పరిమితులకు లోబడి ఉంటుంది. అవి:

1 ≠ a > 0

మరోవైపు, అదే సమీకరణం నుండి సంవర్గమానం తప్పనిసరిగా ఉండాలని మనం చూస్తాము సంఖ్యకు సమానం b , మరియు ఈ లేఖపై ఎటువంటి పరిమితులు విధించబడలేదు, ఎందుకంటే ఇది ఏదైనా విలువలను తీసుకోవచ్చు - సానుకూల మరియు ప్రతికూల రెండూ. ఇది f(x) ఫంక్షన్ ఏ విలువలను తీసుకుంటుందనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మరియు ఇక్కడ మేము మా అద్భుతమైన నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము, ఏ సంఖ్య b అయినా a యొక్క బేస్ a నుండి b యొక్క శక్తికి సంవర్గమానంగా సూచించబడుతుంది:

b = లాగ్ a a b

ఈ సూత్రాన్ని ఎలా గుర్తుంచుకోవాలి? అవును, చాలా సింపుల్. కింది నిర్మాణాన్ని వ్రాద్దాం:

b = b 1 = b log a a

వాస్తవానికి, ఈ సందర్భంలో మేము ప్రారంభంలో వ్రాసిన అన్ని పరిమితులు తలెత్తుతాయి. ఇప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు గుణకం bని a యొక్క శక్తిగా పరిచయం చేద్దాం. మాకు దొరికింది:

b = b 1 = b log a a = log a a b

ఫలితంగా, అసలు సమీకరణం ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

అంతే. కొత్త కథనంఇకపై సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉండదు మరియు ప్రామాణిక బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు.

వాస్తవానికి, ఎవరైనా ఇప్పుడు అభ్యంతరం వ్యక్తం చేస్తారు: ఒకరకమైన కానానికల్ ఫార్ములాను ఎందుకు తీసుకురావాలి, అసలు డిజైన్ నుండి తుది సూత్రానికి వెంటనే వెళ్లడం సాధ్యమైతే రెండు అదనపు అనవసరమైన దశలను ఎందుకు చేయాలి? అవును, ఈ ఫార్ములా ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో చాలా మంది విద్యార్థులకు అర్థం కానందున మరియు దాని ఫలితంగా, దానిని వర్తించేటప్పుడు క్రమం తప్పకుండా తప్పులు చేస్తుంటారు.

కానీ ఈ చర్యల క్రమం, మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది, చివరి ఫార్ములా ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో మీకు అర్థం కాకపోయినా, అసలు సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మార్గం ద్వారా, కానానికల్ ఫార్ములాఈ ఎంట్రీని అంటారు:

log a f (x) = log a a b

కానానికల్ రూపం యొక్క సౌలభ్యం ఏమిటంటే, ఇది చాలా విస్తృతమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించవచ్చు మరియు ఈ రోజు మనం పరిశీలిస్తున్న సరళమైన వాటిని మాత్రమే కాకుండా.

పరిష్కారాల ఉదాహరణలు

ఇప్పుడు చూద్దాం నిజమైన ఉదాహరణలు. కాబట్టి, నిర్ణయించుకుందాం:

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = -3

దీన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాస్దాం:

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = లాగ్ 0.5 0.5 -3

చాలా మంది విద్యార్థులు ఆతురుతలో ఉన్నారు మరియు అసలు సమస్య నుండి మాకు వచ్చిన శక్తికి 0.5 సంఖ్యను వెంటనే పెంచడానికి ప్రయత్నిస్తారు. నిజానికి, మీరు ఇప్పటికే ఇటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడంలో బాగా శిక్షణ పొందినప్పుడు, మీరు వెంటనే ఈ దశను చేయవచ్చు.

అయితే, మీరు ఇప్పుడు ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినట్లయితే, అప్రియమైన తప్పులు చేయకుండా ఉండటానికి ఎక్కడా తొందరపడకపోవడమే మంచిది. కాబట్టి, మనకు కానానికల్ రూపం ఉంది. మాకు ఉన్నాయి:

3x - 1 = 0.5 -3

ఇది ఇకపై సంవర్గమాన సమీకరణం కాదు, x వేరియబుల్‌కు సంబంధించి సరళంగా ఉంటుంది. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, ముందుగా −3 యొక్క శక్తికి 0.5 సంఖ్యను చూద్దాం. 0.5 1/2 అని గమనించండి.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు అన్ని దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చండి.

మేము తిరిగి వ్రాసి పొందుతాము:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

అంతే, మాకు సమాధానం వచ్చింది. మొదటి సమస్య పరిష్కరించబడింది.

రెండవ పని

రెండవ పనికి వెళ్దాం:

మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఈ సమీకరణం ఇకపై సరళమైనది కాదు. ఎడమవైపు తేడా ఉన్నందున, మరియు ఒక బేస్‌కు ఒక్క సంవర్గమానం కూడా ఉండకపోతే.

అందువల్ల, మనం ఏదో ఒకవిధంగా ఈ వ్యత్యాసాన్ని వదిలించుకోవాలి. IN ఈ విషయంలోప్రతిదీ చాలా సులభం. బేస్‌లను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం: ఎడమవైపు రూట్ కింద ఉన్న సంఖ్య:

సాధారణ సిఫార్సు: అన్ని లాగరిథమిక్ సమీకరణాలలో, రాడికల్‌లను వదిలించుకోవడానికి ప్రయత్నించండి, అనగా, మూలాలతో ఉన్న ఎంట్రీల నుండి మరియు కొనసాగండి శక్తి విధులు, ఈ శక్తుల యొక్క ఘాతాంకాలను లాగరిథమ్ యొక్క సంకేతం నుండి సులభంగా తీసివేయడం వలన మరియు అంతిమంగా, అటువంటి సంజ్ఞామానం గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేస్తుంది మరియు వేగవంతం చేస్తుంది. దానిని ఇలా వ్రాస్దాము:

ఇప్పుడు మనకు గుర్తుంది అద్భుతమైన ఆస్తిసంవర్గమానం: శక్తులు వాదన నుండి, అలాగే ఆధారం నుండి పొందవచ్చు. ఆధారం విషయంలో, ఈ క్రిందివి జరుగుతాయి:

లాగ్ a k b = 1/k లోగా బి

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బేస్ పవర్‌లో ఉన్న సంఖ్య ముందుకు తీసుకురాబడుతుంది మరియు అదే సమయంలో విలోమం అవుతుంది, అంటే అది అవుతుంది. పరస్పర సంఖ్య. మా విషయంలో, బేస్ డిగ్రీ 1/2. కాబట్టి, మనం దానిని 2/1గా తీసుకోవచ్చు. మాకు దొరికింది:

5 2 లాగ్ 5 x - లాగ్ 5 x = 18
10 లాగ్ 5 x - లాగ్ 5 x = 18

దయచేసి గమనించండి: ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ మీరు ఈ దశలో లాగరిథమ్‌లను వదిలించుకోకూడదు. 4వ-5వ తరగతి గణితం మరియు కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: గుణకారం మొదట నిర్వహించబడుతుంది, ఆపై మాత్రమే అదనంగా మరియు తీసివేత. ఈ సందర్భంలో, మేము 10 మూలకాల నుండి ఒకే మూలకాలలో ఒకదాన్ని తీసివేస్తాము:

9 లాగ్ 5 x = 18
లాగ్ 5 x = 2

ఇప్పుడు మన సమీకరణం అలాగే ఉంది. ఇది సరళమైన నిర్మాణం, మరియు మేము దీనిని కానానికల్ రూపాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము:

లాగ్ 5 x = లాగ్ 5 5 2
x = 5 2
x = 25

అంతే. రెండవ సమస్య పరిష్కరించబడింది.

మూడవ ఉదాహరణ

మూడవ పనికి వెళ్దాం:

లాగ్ (x + 3) = 3 + 2 లాగ్ 5

నేను ఈ క్రింది సూత్రాన్ని మీకు గుర్తు చేస్తాను:

లాగ్ బి = లాగ్ 10 బి

కొన్ని కారణాల వల్ల మీరు సంజ్ఞామానం లాగ్ బితో గందరగోళానికి గురైతే, అన్ని గణనలను నిర్వహించేటప్పుడు మీరు లాగ్ 10 బిని వ్రాయవచ్చు. మీరు ఇతరులతో అదే విధంగా దశాంశ లాగరిథమ్‌లతో పని చేయవచ్చు: అధికారాలను తీసుకోండి, lg 10 రూపంలో ఏవైనా సంఖ్యలను జోడించండి మరియు సూచించండి.

ఈ లక్షణాలను మేము ఇప్పుడు సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగిస్తాము, ఎందుకంటే ఇది మా పాఠం ప్రారంభంలోనే మేము వ్రాసిన సరళమైనది కాదు.

ముందుగా, lg 5కి ముందు ఉన్న కారకం 2 జోడించబడి, బేస్ 5 యొక్క శక్తిగా మారుతుందని గమనించండి. అదనంగా, ఉచిత పదం 3 కూడా సంవర్గమానంగా సూచించబడుతుంది - ఇది మా సంజ్ఞామానం నుండి గమనించడం చాలా సులభం.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: బేస్ 10కి ఏదైనా సంఖ్యను లాగ్‌గా సూచించవచ్చు:

3 = లాగ్ 10 10 3 = లాగ్ 10 3

పొందిన మార్పులను పరిగణనలోకి తీసుకొని అసలు సమస్యను తిరిగి వ్రాద్దాం:

లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 1000 + లాగ్ 25
లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 1000 25
లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 25,000

మన ముందు మళ్లీ కానానికల్ రూపం ఉంది మరియు పరివర్తన దశను దాటకుండానే దాన్ని పొందాము, అనగా సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణం ఎక్కడా కనిపించలేదు.

పాఠం ప్రారంభంలోనే నేను మాట్లాడినది ఇదే. ప్రామాణిక రూపం కంటే విస్తృత తరగతి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కానానికల్ రూపం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది పాఠశాల సూత్రం, ఇది చాలా పాఠశాల ఉపాధ్యాయులచే ఇవ్వబడుతుంది.

సరే, అంతే, మేము దశాంశ సంవర్గమానం యొక్క చిహ్నాన్ని వదిలించుకుంటాము మరియు మేము సరళమైన సరళ నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

అన్నీ! సమస్య పరిష్కారమైంది.

పరిధిపై ఒక గమనిక

ఇక్కడ నేను నిర్వచనం యొక్క పరిధికి సంబంధించి ఒక ముఖ్యమైన వ్యాఖ్య చేయాలనుకుంటున్నాను. ఖచ్చితంగా ఇప్పుడు చెప్పే విద్యార్థులు మరియు ఉపాధ్యాయులు ఉంటారు: "మేము సంవర్గమానాలతో వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించినప్పుడు, f (x) వాదన సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని గుర్తుంచుకోవాలి!" ఈ విషయంలో, ఒక తార్కిక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: పరిగణించబడిన ఏవైనా సమస్యలలో ఈ అసమానత సంతృప్తి చెందాలని మేము ఎందుకు కోరుకోలేదు?

చింతించకండి. ఈ సందర్భాలలో, అదనపు మూలాలు కనిపించవు. మరియు ఇది పరిష్కారాన్ని వేగవంతం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే మరొక గొప్ప ట్రిక్. సమస్యలో వేరియబుల్ x ఒకే చోట మాత్రమే సంభవిస్తే (లేదా బదులుగా, ఒకే లాగరిథమ్ యొక్క ఒకే ఆర్గ్యుమెంట్‌లో), మరియు మన విషయంలో మరెక్కడా వేరియబుల్ x కనిపించకపోతే, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను వ్రాయండి. అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది స్వయంచాలకంగా అమలు చేయబడుతుంది.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: మొదటి సమీకరణంలో మనకు 3x - 1 అని వచ్చింది, అంటే వాదన 8కి సమానంగా ఉండాలి. దీని అర్థం స్వయంచాలకంగా 3x - 1 సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

అదే విజయంతో మనం రెండవ సందర్భంలో x 5 2కి సమానంగా ఉండాలి, అంటే అది ఖచ్చితంగా సున్నా కంటే ఎక్కువ అని వ్రాయవచ్చు. మరియు మూడవ సందర్భంలో, ఇక్కడ x + 3 = 25,000, అంటే, మళ్ళీ, స్పష్టంగా సున్నా కంటే ఎక్కువ. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్కోప్ స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది, కానీ ఒక సంవర్గమానం యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే x సంభవించినట్లయితే మాత్రమే.

సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మీరు తెలుసుకోవలసినది అంతే. ఈ నియమం మాత్రమే, పరివర్తన నియమాలతో కలిసి, మీరు చాలా విస్తృతమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది.

కానీ నిజాయితీగా ఉండండి: చివరకు ఈ సాంకేతికతను అర్థం చేసుకోవడానికి, లాగరిథమిక్ సమీకరణం యొక్క కానానికల్ రూపాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోవడానికి, కేవలం ఒక వీడియో పాఠాన్ని చూడటం సరిపోదు. కాబట్టి ఇప్పుడే ఎంపికలను డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి స్వతంత్ర నిర్ణయం, ఇవి ఈ వీడియో పాఠానికి జోడించబడ్డాయి మరియు ఈ రెండు స్వతంత్ర రచనలలో కనీసం ఒకదానినైనా పరిష్కరించడం ప్రారంభించండి.

ఇది మీకు అక్షరాలా కొన్ని నిమిషాలు పడుతుంది. కానీ మీరు ఈ వీడియో పాఠాన్ని చూసిన దానికంటే అలాంటి శిక్షణ ప్రభావం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సంవర్గమాన సమీకరణాలను అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ పాఠం మీకు సహాయపడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను. కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించండి, లాగరిథమ్‌లతో పని చేయడానికి నియమాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయండి - మరియు మీరు ఎటువంటి సమస్యలకు భయపడరు. ఈరోజు నా దగ్గర ఉన్నది అంతే.

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం

ఇప్పుడు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ గురించి మాట్లాడుకుందాం లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్, అలాగే ఇది లాగరిథమిక్ సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది. ఫారమ్ యొక్క నిర్మాణాన్ని పరిగణించండి

లాగ్ a f (x) = b

అటువంటి వ్యక్తీకరణను సరళమైనది అని పిలుస్తారు - ఇది ఒకే ఒక ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది మరియు a మరియు b సంఖ్యలు కేవలం సంఖ్యలు, మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xపై ఆధారపడి ఉండే ఫంక్షన్ కాదు. ఇది చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది. మీరు కేవలం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:

b = లాగ్ a a b

ఈ ఫార్ములా సంవర్గమానం యొక్క ముఖ్య లక్షణాలలో ఒకటి, మరియు మా అసలు వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

ఇది తెలిసిన ఫార్ములా పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలు. చాలా మంది విద్యార్థులకు బహుశా ఒక ప్రశ్న ఉండవచ్చు: అసలు వ్యక్తీకరణలో f (x) ఫంక్షన్ లాగ్ గుర్తు క్రింద ఉన్నందున, దానిపై క్రింది పరిమితులు విధించబడ్డాయి:

f(x) > 0

యొక్క లాగరిథమ్ కారణంగా ఈ పరిమితి వర్తిస్తుంది ప్రతికూల సంఖ్యలుఉనికిలో లేదు. కాబట్టి, బహుశా, ఈ పరిమితి ఫలితంగా, సమాధానాలపై తనిఖీని ప్రవేశపెట్టాలా? బహుశా వాటిని మూలంలోకి చొప్పించాలా?

లేదు, సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలలో అదనపు తనిఖీ అనవసరం. మరియు అందుకే. మా చివరి సూత్రాన్ని పరిశీలించండి:

f (x) = a b

వాస్తవం ఏమిటంటే a సంఖ్య ఏదైనా సందర్భంలో 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది - ఈ అవసరం కూడా లాగరిథమ్ ద్వారా విధించబడుతుంది. సంఖ్య a ఆధారం. ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య బిపై ఎటువంటి పరిమితులు విధించబడవు. కానీ ఇది పట్టింపు లేదు, ఎందుకంటే మనం ఏ శక్తికి ధనాత్మక సంఖ్యను పెంచినా, అవుట్‌పుట్ వద్ద మనం ఇంకా సానుకూల సంఖ్యను పొందుతాము. అందువలన, అవసరం f (x) > 0 స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది.

లాగ్ సైన్ కింద ఉన్న ఫంక్షన్ డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయడం నిజంగా విలువైనది. చాలా క్లిష్టమైన నిర్మాణాలు ఉండవచ్చు మరియు పరిష్కార ప్రక్రియలో మీరు ఖచ్చితంగా వాటిపై నిఘా ఉంచాలి. చూద్దాం.

మొదటి పని:

మొదటి దశ: కుడి వైపున ఉన్న భిన్నాన్ని మార్చండి. మాకు దొరికింది:

మేము లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు సాధారణమైనదాన్ని పొందుతాము అహేతుక సమీకరణం:

పొందిన మూలాలలో, రెండవ మూలం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నందున మొదటిది మాత్రమే మనకు సరిపోతుంది. 9వ సంఖ్య మాత్రమే సమాధానం అవుతుంది. అంతే, సమస్య పరిష్కారమైంది. సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద వ్యక్తీకరణ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉందని నిర్ధారించడానికి అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం 0 కంటే ఎక్కువ కాదు, కానీ సమీకరణం యొక్క పరిస్థితి ప్రకారం ఇది 2కి సమానం. కాబట్టి, అవసరం “సున్నా కంటే ఎక్కువ ” స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది.

రెండవ పనికి వెళ్దాం:

ఇక్కడ అంతా అలాగే ఉంది. మేము ట్రిపుల్ స్థానంలో నిర్మాణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:

మేము లాగరిథమ్ సంకేతాలను వదిలించుకుంటాము మరియు అహేతుక సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

మేము పరిమితులను పరిగణనలోకి తీసుకొని రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేస్తాము మరియు పొందుతాము:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

మేము వివక్షత ద్వారా ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = −6

కానీ x = −6 మనకు సరిపోదు, ఎందుకంటే మనం ఈ సంఖ్యను మన అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

−6 + 4 = −2 < 0

మా విషయంలో, ఇది 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి లేదా తీవ్రమైన సందర్భాల్లో సమానంగా ఉండాలి. కానీ x = −1 మాకు సరిపోతుంది:

−1 + 4 = 3 > 0

మా విషయంలో ఉన్న ఏకైక సమాధానం x = -1. అదే పరిష్కారం. మన లెక్కల ప్రారంభానికి తిరిగి వెళ్దాం.

ఈ పాఠం నుండి ప్రధాన టేకవే ఏమిటంటే, మీరు సాధారణ లాగరిథమిక్ సమీకరణాలలో ఫంక్షన్‌పై పరిమితులను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదు. ఎందుకంటే పరిష్కార ప్రక్రియ సమయంలో అన్ని పరిమితులు స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతాయి.

అయితే, ఇది ఏ విధంగానూ మీరు తనిఖీ చేయడం గురించి మరచిపోవచ్చని అర్థం. లాగరిథమిక్ సమీకరణంపై పని చేసే ప్రక్రియలో, ఇది అహేతుకంగా మారవచ్చు, ఇది కుడి వైపున దాని స్వంత పరిమితులు మరియు అవసరాలను కలిగి ఉంటుంది, ఈ రోజు మనం రెండు వేర్వేరు ఉదాహరణలలో చూశాము.

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సంకోచించకండి మరియు వాదనలో మూలం ఉంటే ప్రత్యేకించి జాగ్రత్తగా ఉండండి.

విభిన్న స్థావరాలు కలిగిన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు

మేము లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము మరియు మరిన్ని పరిష్కరించడానికి ఫ్యాషన్‌గా ఉండే మరో రెండు ఆసక్తికరమైన పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము. సంక్లిష్ట నమూనాలు. అయితే మొదట, సరళమైన సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో గుర్తుంచుకోండి:

లాగ్ a f (x) = b

ఈ ఎంట్రీలో, a మరియు b సంఖ్యలు, మరియు f (x) ఫంక్షన్‌లో x వేరియబుల్ ఉండాలి మరియు అక్కడ మాత్రమే, అంటే x అనేది ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే ఉండాలి. మేము కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించి అటువంటి సంవర్గమాన సమీకరణాలను మారుస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, గమనించండి

b = లాగ్ a a b

అంతేకాకుండా, a b అనేది ఖచ్చితంగా ఒక వాదన. ఈ వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాస్దాం:

log a f (x) = log a a b

మేము సరిగ్గా సాధించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నది ఇదే, తద్వారా ఎడమ మరియు కుడి రెండింటిపై ఆధారం చేయడానికి సంవర్గమానం ఉంది. ఈ సందర్భంలో, మేము అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, లాగ్ సంకేతాలను దాటవచ్చు మరియు గణిత కోణం నుండి మనం వాదనలను సమం చేస్తున్నామని చెప్పవచ్చు:

f (x) = a b

ఫలితంగా, మేము కొత్త వ్యక్తీకరణను పొందుతాము, అది పరిష్కరించడం చాలా సులభం అవుతుంది. ఈ రోజు మన సమస్యలకు ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం.

కాబట్టి, మొదటి డిజైన్:

అన్నింటిలో మొదటిది, నేను కుడి వైపున ఒక భిన్నం, దీని హారం లాగ్ అని గమనించండి. మీరు ఇలాంటి వ్యక్తీకరణను చూసినప్పుడు, లాగరిథమ్‌ల యొక్క అద్భుతమైన లక్షణాన్ని గుర్తుంచుకోవడం మంచిది:

రష్యన్ భాషలోకి అనువదించబడింది, దీని అర్థం ఏదైనా సంవర్గమానం ఏదైనా బేస్ సితో రెండు లాగరిథమ్‌ల గుణకం వలె సూచించబడుతుంది. వాస్తవానికి 0< с ≠ 1.

కాబట్టి: ఈ ఫార్ములా ఒక అద్భుతమైన ప్రత్యేక సందర్భాన్ని కలిగి ఉంటుంది, వేరియబుల్ c వేరియబుల్‌కు సమానంగా ఉన్నప్పుడు బి. ఈ సందర్భంలో, మేము నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:

మన సమీకరణంలో కుడి వైపున ఉన్న గుర్తు నుండి మనం చూసే నిర్మాణం ఇది. ఈ నిర్మాణాన్ని లాగ్ a bతో భర్తీ చేద్దాం, మనకు లభిస్తుంది:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అసలు టాస్క్‌తో పోల్చితే, మేము ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారాన్ని మార్చుకున్నాము. బదులుగా, మేము భిన్నాన్ని రివర్స్ చేయాల్సి వచ్చింది.

కింది నియమం ప్రకారం ఏదైనా డిగ్రీని బేస్ నుండి పొందవచ్చని మేము గుర్తు చేస్తున్నాము:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బేస్ యొక్క శక్తి అయిన గుణకం k, విలోమ భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. దానిని విలోమ భిన్నం వలె రెండర్ చేద్దాం:

పాక్షిక కారకాన్ని ముందు ఉంచలేము, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో మనం ప్రాతినిధ్యం వహించలేము ఈ ఎంట్రీకానానికల్ రూపంగా (అన్ని తరువాత, కానానికల్ రూపంలో రెండవ సంవర్గమానానికి ముందు అదనపు కారకం లేదు). కాబట్టి, ఆర్గ్యుమెంట్‌కు 1/4 భిన్నాన్ని శక్తిగా జోడిద్దాం:

ఇప్పుడు మేము ఆర్గ్యుమెంట్‌లను సమానం చేస్తాము (మరియు మా బేస్‌లు నిజంగా ఒకే విధంగా ఉంటాయి), మరియు వ్రాస్తాము:

x + 5 = 1

x = -4

అంతే. మేము మొదటి సంవర్గమాన సమీకరణానికి సమాధానం పొందాము. దయచేసి గమనించండి: అసలు సమస్యలో, వేరియబుల్ x ఒక లాగ్‌లో మాత్రమే కనిపిస్తుంది మరియు ఇది దాని వాదనలో కనిపిస్తుంది. అందువల్ల, డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదు మరియు మా సంఖ్య x = −4 నిజానికి సమాధానం.

ఇప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:

లాగ్ 56 = లాగ్ 2 లాగ్ 2 7 - 3లాగ్ (x + 4)

ఇక్కడ, సాధారణ లాగరిథమ్‌లతో పాటు, మేము లాగ్ f (x) తో పని చేయాలి. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? సిద్ధపడని విద్యార్థికి ఇది ఒక రకమైన కఠినమైన పనిలా అనిపించవచ్చు, కానీ వాస్తవానికి ప్రతిదీ ప్రాథమిక మార్గంలో పరిష్కరించబడుతుంది.

lg 2 లాగ్ అనే పదాన్ని నిశితంగా పరిశీలించండి 2 7. దాని గురించి మనం ఏమి చెప్పగలం? log మరియు lg యొక్క ఆధారాలు మరియు వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు ఇది కొన్ని ఆలోచనలను ఇవ్వాలి. సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద నుండి అధికారాలు ఎలా తీసివేయబడతాయో మరోసారి గుర్తుచేసుకుందాం:

log a b n = nlog a b

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆర్గ్యుమెంట్‌లో b యొక్క పవర్ ఏది అనేది లాగ్ ముందు కారకంగా మారుతుంది. lg 2 log 2 7 అనే వ్యక్తీకరణకు ఈ సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం. lg 2 ద్వారా భయపడవద్దు - ఇది అత్యంత సాధారణ వ్యక్తీకరణ. మీరు దానిని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ఏదైనా ఇతర లాగరిథమ్‌కు వర్తించే అన్ని నియమాలు దీనికి చెల్లుబాటు అవుతాయి. ముఖ్యంగా, ముందు ఉన్న కారకాన్ని వాదన స్థాయికి జోడించవచ్చు. దానిని వ్రాసుకుందాం:

చాలా తరచుగా, విద్యార్థులు ఈ చర్యను నేరుగా చూడలేరు, ఎందుకంటే మరొక సంకేతం క్రింద ఒక లాగ్‌ను నమోదు చేయడం మంచిది కాదు. నిజానికి ఇందులో నేరం ఏమీ లేదు. అంతేకాకుండా, మీరు ఒక ముఖ్యమైన నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటే లెక్కించడానికి సులభమైన సూత్రాన్ని మేము పొందుతాము:

ఈ సూత్రాన్ని నిర్వచనంగా మరియు దాని లక్షణాలలో ఒకటిగా పరిగణించవచ్చు. ఏదైనా సందర్భంలో, మీరు సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని మారుస్తుంటే, ఏ సంఖ్య యొక్క లాగ్ ప్రాతినిధ్యం మీకు తెలిసినదో అదే విధంగా మీరు ఈ సూత్రాన్ని తెలుసుకోవాలి.

మన పనికి తిరిగి వెళ్దాం. సమాన సంకేతం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న మొదటి పదం కేవలం lg 7కి సమానంగా ఉంటుంది అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని మేము దానిని తిరిగి వ్రాస్తాము.

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

lg 7ని ఎడమవైపుకు తరలిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది:

lg 56 - లాగ్ 7 = -3lg (x + 4)

ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణలను మేము తీసివేస్తాము ఎందుకంటే వాటికి ఒకే ఆధారం ఉంది:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

ఇప్పుడు మనకు లభించిన సమీకరణాన్ని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం. ఇది ఆచరణాత్మకంగా కానానికల్ రూపం, కానీ కుడి వైపున కారకం -3 ఉంది. దీన్ని సరైన lg ఆర్గ్యుమెంట్‌కి జోడిద్దాం:

లాగ్ 8 = లాగ్ (x + 4) -3

మాకు ముందు సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క కానానికల్ రూపం, కాబట్టి మేము lg సంకేతాలను దాటి ఆర్గ్యుమెంట్‌లను సమం చేస్తాము:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

అంతే! మేము రెండవ సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాము. ఈ సందర్భంలో, అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు, ఎందుకంటే అసలు సమస్యలో x ఒక వాదనలో మాత్రమే ఉంది.

నేను దానిని మళ్లీ జాబితా చేస్తాను ప్రధానాంశాలుఈ పాఠం.

సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అంకితమైన ఈ పేజీలోని అన్ని పాఠాలలో బోధించబడే ప్రధాన సూత్రం కానానికల్ రూపం. మరియు చాలా పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలలో మీరు పరిష్కరించడానికి బోధించబడతారని భయపడకండి ఇలాంటి పనులుభిన్నంగా. ఈ సాధనం చాలా ప్రభావవంతంగా పనిచేస్తుంది మరియు మా పాఠం ప్రారంభంలో మేము అధ్యయనం చేసిన సరళమైన వాటి కంటే చాలా విస్తృతమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

అదనంగా, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది ప్రాథమిక లక్షణాలను తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అవి:

1. ఒక స్థావరానికి తరలించడానికి సూత్రం మరియు మేము రివర్స్ లాగ్ చేసినప్పుడు ప్రత్యేక సందర్భం (ఇది మొదటి సమస్యలో మాకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంది);
2. సంవర్గమాన సంకేతం నుండి అధికారాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం ఫార్ములా. ఇక్కడ, చాలా మంది విద్యార్థులు చిక్కుకుపోతారు మరియు తీసిన మరియు ప్రవేశపెట్టిన డిగ్రీలో లాగ్ f (x) ఉండవచ్చని చూడలేదు. అందులో తప్పేమీ లేదు. మేము మరొక సంకేతం ప్రకారం ఒక లాగ్‌ను పరిచయం చేయవచ్చు మరియు అదే సమయంలో సమస్య యొక్క పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా సులభతరం చేయవచ్చు, ఇది రెండవ సందర్భంలో మనం గమనించవచ్చు.

ముగింపులో, ఈ సందర్భాలలో ప్రతిదానిలో డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదని నేను జోడించాలనుకుంటున్నాను, ఎందుకంటే ప్రతిచోటా వేరియబుల్ x లాగ్ యొక్క ఒక సంకేతంలో మాత్రమే ఉంటుంది మరియు అదే సమయంలో దాని వాదనలో ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, స్కోప్ యొక్క అన్ని అవసరాలు స్వయంచాలకంగా నెరవేరుతాయి.

వేరియబుల్ బేస్‌తో సమస్యలు

ఈ రోజు మనం లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిశీలిస్తాము, ఇది చాలా మంది విద్యార్థులకు ప్రామాణికం కానిది, పూర్తిగా పరిష్కరించలేనిది. దీని గురించిసంఖ్యల ఆధారంగా కాకుండా వేరియబుల్స్ మరియు ఫంక్షన్ల ఆధారంగా వ్యక్తీకరణల గురించి. మేము మా ప్రామాణిక సాంకేతికతను ఉపయోగించి అటువంటి నిర్మాణాలను పరిష్కరిస్తాము, అవి కానానికల్ రూపం ద్వారా.

ప్రారంభించడానికి, సరళమైన సమస్యలు ఎలా పరిష్కరించబడుతున్నాయో గుర్తుంచుకోండి సాధారణ సంఖ్యలు. కాబట్టి, సరళమైన నిర్మాణం అంటారు

లాగ్ a f (x) = b

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మేము ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

b = లాగ్ a a b

మేము మా అసలు వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాసి, పొందుతాము:

log a f (x) = log a a b

అప్పుడు మేము వాదనలను సమం చేస్తాము, అనగా మేము వ్రాస్తాము:

f (x) = a b

అందువలన, మేము లాగ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు సాధారణ సమస్యను పరిష్కరిస్తాము. ఈ సందర్భంలో, పరిష్కారం నుండి పొందిన మూలాలు అసలు లాగరిథమిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలుగా ఉంటాయి. అదనంగా, ఎడమ మరియు కుడి రెండూ ఒకే బేస్‌తో ఒకే లాగరిథమ్‌లో ఉన్నప్పుడు రికార్డ్‌ను ఖచ్చితంగా కానానికల్ ఫారమ్ అంటారు. అటువంటి రికార్డుకు మేము నేటి డిజైన్లను తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తాము. కనుక మనము వెళ్దాము.

మొదటి పని:

లాగ్ x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1ని లాగ్ x - 2 (x - 2) 1తో భర్తీ చేయండి. ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మనం గమనించే డిగ్రీ నిజానికి సమాన గుర్తుకు కుడివైపున ఉన్న సంఖ్య b. కాబట్టి, మన వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాస్దాం. మాకు దొరికింది:

లాగ్ x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = లాగ్ x - 2 (x - 2)

మనం ఏమి చూస్తాము? మాకు ముందు సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క నియమానుగుణ రూపం, కాబట్టి మనం వాదనలను సురక్షితంగా సమం చేయవచ్చు. మాకు దొరికింది:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

కానీ పరిష్కారం అక్కడ ముగియదు, ఎందుకంటే ఇచ్చిన సమీకరణంఅసలు దానికి సమానం కాదు. అన్నింటికంటే, ఫలిత నిర్మాణం మొత్తం సంఖ్య లైన్‌లో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు మా అసలు లాగరిథమ్‌లు ప్రతిచోటా నిర్వచించబడవు మరియు ఎల్లప్పుడూ కాదు.

కాబట్టి, మనం డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను విడిగా వ్రాయాలి. వెంట్రుకలను విడదీయవద్దు మరియు మొదట అన్ని అవసరాలను వ్రాయండి:

ముందుగా, ప్రతి లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్ తప్పనిసరిగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

రెండవది, బేస్ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండటమే కాకుండా 1 నుండి భిన్నంగా ఉండాలి:

x − 2 ≠ 1

ఫలితంగా, మేము వ్యవస్థను పొందుతాము:

కానీ భయపడవద్దు: లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను ప్రాసెస్ చేస్తున్నప్పుడు, అటువంటి వ్యవస్థను గణనీయంగా సరళీకృతం చేయవచ్చు.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: ఒకవైపు, క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని మేము కోరుతున్నాము మరియు మరోవైపు, ఈ క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ నిర్దిష్టంగా ఉంటుంది సరళ వ్యక్తీకరణ, ఇది కూడా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

ఈ సందర్భంలో, మనకు x − 2 > 0 అవసరమైతే, 2x 2 - 13x + 18 > 0 అవసరం స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది. కాబట్టి, మేము క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉన్న అసమానతను సురక్షితంగా దాటవచ్చు. అందువలన, మా సిస్టమ్‌లో ఉన్న వ్యక్తీకరణల సంఖ్య మూడుకి తగ్గించబడుతుంది.

వాస్తవానికి, మనం కూడా దాటవచ్చు సరళ అసమానత, అంటే, x − 2 > 0ని దాటి, 2x 2 - 13x + 18 > 0 అని డిమాండ్ చేయండి. అయితే, సరళమైన సరళ అసమానతను పరిష్కరించడం అనేది చతుర్భుజం కంటే చాలా వేగంగా మరియు సులభంగా ఉంటుందని మీరు అంగీకరించాలి. ఈ వ్యవస్థ మేము అదే మూలాలను పొందుతాము.

సాధారణంగా, సాధ్యమైనప్పుడల్లా గణనలను ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి ప్రయత్నించండి. మరియు లాగరిథమిక్ సమీకరణాల విషయంలో, చాలా కష్టమైన అసమానతలను దాటండి.

మన సిస్టమ్‌ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

ఇక్కడ మూడు వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థ ఉంది, వాటిలో రెండు, వాస్తవానికి, మేము ఇప్పటికే వ్యవహరించాము. వర్గ సమీకరణాన్ని విడిగా వ్రాసి దాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

మా ముందు ఇచ్చారు చతుర్భుజ త్రికోణముమరియు, అందువలన, మేము Vieta యొక్క సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. మాకు దొరికింది:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

ఇప్పుడు మేము మా సిస్టమ్‌కి తిరిగి వస్తాము మరియు x = 2 మనకు సరిపోదని కనుగొన్నాము, ఎందుకంటే x ఖచ్చితంగా 2 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

కానీ x = 5 మనకు బాగా సరిపోతుంది: సంఖ్య 5 2 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు అదే సమయంలో 5 3కి సమానం కాదు. కాబట్టి, ఏకైక పరిష్కారంఈ వ్యవస్థ x = 5 అవుతుంది.

అంతే, ODZ ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడంతో సహా సమస్య పరిష్కరించబడుతుంది. రెండవ సమీకరణానికి వెళ్దాం. మరిన్ని ఆసక్తికరమైన మరియు సమాచార గణనలు ఇక్కడ మాకు వేచి ఉన్నాయి:

మొదటి దశ: లో వలె చివరిసారి, మేము ఈ మొత్తం విషయాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకువస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము 9 సంఖ్యను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

మీరు రూట్‌తో బేస్‌ను తాకవలసిన అవసరం లేదు, కానీ వాదనను మార్చడం మంచిది. హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో మూలం నుండి శక్తికి వెళ్దాం. రాసుకుందాం:

మా మొత్తం పెద్ద సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయనివ్వండి, కానీ వెంటనే వాదనలను సమం చేయండి:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

మన ముందు కొత్తగా తగ్గించబడిన క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్, వియటా సూత్రాలను ఉపయోగించుకుని వ్రాద్దాం:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = −1

కాబట్టి, మేము మూలాలను పొందాము, కానీ అవి అసలు లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి సరిపోతాయని ఎవరూ మాకు హామీ ఇవ్వలేదు. అన్ని తరువాత, లాగ్ సంకేతాలు విధిస్తాయి అదనపు పరిమితులు(ఇక్కడ మనం సిస్టమ్‌ను వ్రాసి ఉండాలి, కానీ మొత్తం నిర్మాణం యొక్క గజిబిజి స్వభావం కారణంగా, నేను నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విడిగా లెక్కించాలని నిర్ణయించుకున్నాను).

అన్నింటిలో మొదటిది, ఆర్గ్యుమెంట్‌లు తప్పనిసరిగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని గుర్తుంచుకోండి, అవి:

ఇవి నిర్వచనం యొక్క పరిధిచే విధించబడిన అవసరాలు.

మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు వ్యక్తీకరణలను ఒకదానికొకటి సమానం చేసినందున, వాటిలో దేనినైనా మనం దాటగలమని వెంటనే గమనించండి. మొదటిదానిని దాటవేద్దాం ఎందుకంటే ఇది రెండవదాని కంటే మరింత ప్రమాదకరంగా కనిపిస్తోంది.

అదనంగా, రెండవ మరియు మూడవ అసమానతలకు పరిష్కారం ఒకే సెట్‌లుగా ఉంటుందని గమనించండి (కొంత సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, ఈ సంఖ్య సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే; అదేవిధంగా, మూడవ డిగ్రీ యొక్క మూలంతో - ఈ అసమానతలు పూర్తిగా సారూప్యమైనవి, కాబట్టి మనం దానిని దాటవచ్చు).

కానీ మూడవ అసమానతతో ఇది పనిచేయదు. రెండు భాగాలను క్యూబ్‌గా పెంచడం ద్వారా ఎడమ వైపున ఉన్న రాడికల్ గుర్తును వదిలించుకుందాం. మాకు దొరికింది:

కాబట్టి మేము ఈ క్రింది అవసరాలను పొందుతాము:

− 2 ≠ x > −3

మా మూలాలలో ఏది: x 1 = -3 లేదా x 2 = -1 ఈ అవసరాలను తీరుస్తుంది? సహజంగానే, x = −1 మాత్రమే, ఎందుకంటే x = -3 మొదటి అసమానతను సంతృప్తిపరచదు (మన అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది కాబట్టి). కాబట్టి, మా సమస్యకు తిరిగి వస్తే, మనకు ఒక మూలం వస్తుంది: x = -1. అంతే, సమస్య పరిష్కరించబడింది.

మరోసారి, ఈ పని యొక్క ముఖ్య అంశాలు:

1. కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించి లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను వర్తింపజేయడానికి మరియు పరిష్కరించడానికి సంకోచించకండి. ఈ విధంగా వ్రాసే విద్యార్థులు, అసలు సమస్య నుండి నేరుగా లాగ్ a f (x) = b వంటి నిర్మాణానికి వెళ్లకుండా, చాలా వరకు అనుమతిస్తారు తక్కువ తప్పులుగణనల ఇంటర్మీడియట్ దశలను దాటవేయడం, ఎక్కడా ఆతురుతలో ఉన్నవారి కంటే;
2. సంవర్గమానం కనిపించిన వెంటనే వేరియబుల్ బేస్, పని సరళమైనదిగా నిలిచిపోతుంది. అందువల్ల, దానిని పరిష్కరించేటప్పుడు, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం: ఆర్గ్యుమెంట్‌లు సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు స్థావరాలు 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండకూడదు, కానీ అవి 1కి సమానంగా ఉండకూడదు.

తుది అవసరాలు వివిధ మార్గాల్లో తుది సమాధానాలకు వర్తించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు డెఫినిషన్ డొమైన్ కోసం అన్ని అవసరాలను కలిగి ఉన్న మొత్తం సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించవచ్చు. మరోవైపు, మీరు మొదట సమస్యను స్వయంగా పరిష్కరించవచ్చు, ఆపై నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను గుర్తుంచుకోండి, దానిని సిస్టమ్ రూపంలో విడిగా పని చేయండి మరియు పొందిన మూలాలకు వర్తించండి.

నిర్దిష్ట లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఏ పద్ధతిని ఎంచుకోవాలి అనేది మీ ఇష్టం. ఏ సందర్భంలో, సమాధానం అదే ఉంటుంది.

సూచనలు

ఇచ్చిన లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి. వ్యక్తీకరణ 10 యొక్క సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగిస్తే, దాని సంజ్ఞామానం కుదించబడుతుంది మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది: lg b అనేది దశాంశ సంవర్గమానం. సంవర్గమానం e సంఖ్యను బేస్‌గా కలిగి ఉంటే, వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి: ln b - సహజ సంవర్గమానం. బి సంఖ్యను పొందాలంటే ఆధార సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి ఏదైనా ఫలితం అని అర్థం అవుతుంది.

రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మీరు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా వేరు చేసి ఫలితాలను జోడించాలి: (u+v)" = u"+v";

రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనేటప్పుడు, మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ దానితో గుణించడం అవసరం మరియు రెండవ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని మొదటి ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించడం అవసరం: (u*v)" = u"*v +v"*u;

రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తి నుండి డివిడెండ్ ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించబడిన డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తిని డివిడెండ్ యొక్క ఫంక్షన్ ద్వారా గుణిస్తే, మరియు విభజించడం అవసరం. డివైజర్ ఫంక్షన్ స్క్వేర్డ్ ద్వారా ఇవన్నీ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ఇస్తే క్లిష్టమైన ఫంక్షన్, అప్పుడు ఉత్పన్నాన్ని గుణించడం అవసరం అంతర్గత పనితీరుమరియు బాహ్య ఒకటి యొక్క ఉత్పన్నం. y=u(v(x)), ఆపై y"(x)=y"(u)*v"(x) అని చెప్పండి.

పైన పొందిన ఫలితాలను ఉపయోగించి, మీరు దాదాపు ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయవచ్చు. కాబట్టి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఫంక్షన్ y=e^(x^2+6x+5) ఇవ్వబడనివ్వండి, మీరు x=1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనాలి.
1) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి పాయింట్ ఇచ్చారు y"(1)=8*e^0=8

అంశంపై వీడియో

ఉపయోగకరమైన సలహా

ప్రాథమిక ఉత్పన్నాల పట్టికను తెలుసుకోండి. ఇది గణనీయంగా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.

మూలాలు:

• స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం

కాబట్టి, అహేతుక సమీకరణం మరియు హేతుబద్ధమైన సమీకరణం మధ్య తేడా ఏమిటి? గుర్తు కింద తెలియని వేరియబుల్ ఉంటే వర్గమూలం, అప్పుడు సమీకరణం అహేతుకంగా పరిగణించబడుతుంది.

సూచనలు

అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతి రెండు వైపులా నిర్మించే పద్ధతి సమీకరణాలుఒక చతురస్రాకారంలోకి. అయితే. ఇది సహజమైనది, మీరు చేయవలసిన మొదటి విషయం గుర్తును వదిలించుకోవడమే. ఈ పద్ధతి సాంకేతికంగా కష్టం కాదు, కానీ కొన్నిసార్లు ఇది ఇబ్బందికి దారి తీస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమీకరణం v(2x-5)=v(4x-7). రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా మీరు 2x-5=4x-7 పొందుతారు. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కష్టం కాదు; x=1. కానీ నంబర్ 1 ఇవ్వబడదు సమీకరణాలు. ఎందుకు? x విలువకు బదులుగా సమీకరణంలో ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మరియు కుడి మరియు ఎడమ వైపులా అర్థం లేని వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి, అనగా. వర్గమూలానికి ఈ విలువ చెల్లదు. కాబట్టి, 1 అనేది అదనపు మూలం, కాబట్టి ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

కాబట్టి, ఒక అహేతుక సమీకరణం దాని రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, అదనపు మూలాలను కత్తిరించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కనుగొన్న మూలాలను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చండి.

మరొకటి పరిగణించండి.
2х+vx-3=0
వాస్తవానికి, ఈ సమీకరణాన్ని మునుపటి మాదిరిగానే అదే సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. సమ్మేళనాలను తరలించండి సమీకరణాలు, వర్గమూలం లేని, కుడి వైపుకు ఆపై స్క్వేర్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ఫలిత హేతుబద్ధ సమీకరణం మరియు మూలాలను పరిష్కరించండి. కానీ మరొకటి, మరింత సొగసైనది. కొత్త వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి; vх=y. దీని ప్రకారం, మీరు 2y2+y-3=0 ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని అందుకుంటారు. అంటే, ఒక సాధారణ వర్గ సమీకరణం. దాని మూలాలను కనుగొనండి; y1=1 మరియు y2=-3/2. తరువాత, రెండు పరిష్కరించండి సమీకరణాలు vх=1; vх=-3/2. రెండవ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు; మొదటి నుండి మనం x=1 అని కనుగొంటాము. మూలాలను తనిఖీ చేయడం మర్చిపోవద్దు.

గుర్తింపులను పరిష్కరించడం చాలా సులభం. దీన్ని చేయడానికి మీరు చేయాలి గుర్తింపు పరివర్తనలులక్ష్యం సాధించే వరకు. అందువలన, సరళమైన సహాయంతో అంకగణిత కార్యకలాపాలుచేతిలో ఉన్న పని పరిష్కరించబడుతుంది.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• - కాగితం;
• - పెన్.

సూచనలు

అటువంటి పరివర్తనలలో సరళమైనది బీజగణిత సంక్షిప్త గుణకారాలు (మొత్తం యొక్క వర్గము (తేడా), చతురస్రాల వ్యత్యాసం, మొత్తం (తేడా), మొత్తం యొక్క ఘనం (తేడా) వంటివి. అదనంగా, అనేక మరియు ఉన్నాయి త్రికోణమితి సూత్రాలు, ఇవి తప్పనిసరిగా ఒకే గుర్తింపులు.

నిజానికి, రెండు పదాల మొత్తం యొక్క వర్గము చతురస్రానికి సమానంమొదటి ప్లస్ మొదటి దాని యొక్క ఉత్పత్తిని రెండవ దానితో రెట్టింపు చేయండి మరియు రెండవ దాని యొక్క వర్గాన్ని కలిపి, అంటే (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

రెండింటినీ సరళీకరించండి

పరిష్కారం యొక్క సాధారణ సూత్రాలు

పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం పునరావృతం చేయండి గణిత విశ్లేషణలేదా ఉన్నత గణితం, ఇది ఖచ్చితమైన సమగ్రమైనది. తెలిసినట్లుగా, పరిష్కారం ఖచ్చితమైన సమగ్రఒక ఫంక్షన్ ఉంది, దీని ఉత్పన్నం సమగ్రతను ఇస్తుంది. ఈ ఫంక్షన్యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు. ద్వారా ఈ సూత్రంమరియు ప్రధాన సమగ్రాలను నిర్మిస్తుంది.
ఈ సందర్భంలో ఏ టేబుల్ ఇంటిగ్రల్స్ అనుకూలంగా ఉందో ఇంటిగ్రండ్ రకం ద్వారా నిర్ణయించండి. దీన్ని వెంటనే గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమగ్రతను సరళీకృతం చేయడానికి అనేక రూపాంతరాల తర్వాత మాత్రమే పట్టిక రూపం గుర్తించదగినదిగా మారుతుంది.

వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మెథడ్

ఇంటిగ్రండ్ ఫంక్షన్ అయితే త్రికోణమితి ఫంక్షన్, దీని వాదనలో కొంత బహుపది ఉంది, ఆపై వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి. దీన్ని చేయడానికి, సమగ్రత యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లోని బహుపదిని కొన్ని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేయండి. కొత్త మరియు పాత వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం ఆధారంగా, ఏకీకరణ యొక్క కొత్త పరిమితులను నిర్ణయించండి. ఈ వ్యక్తీకరణను వేరు చేయడం ద్వారా, లో కొత్త అవకలనాన్ని కనుగొనండి. కాబట్టి మీరు పొందుతారు కొత్త రకంమునుపటి సమగ్రం, ఏదైనా పట్టికకు దగ్గరగా లేదా దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

రెండవ రకమైన సమగ్రాలను పరిష్కరించడం

సమగ్రత అనేది రెండవ రకానికి చెందిన సమగ్రం అయితే, సమగ్రత యొక్క వెక్టార్ రూపం, అప్పుడు మీరు ఈ ఇంటిగ్రల్స్ నుండి స్కేలార్ వాటికి మారడానికి నియమాలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. అటువంటి నియమాలలో ఒకటి ఆస్ట్రోగ్రాడ్‌స్కీ-గాస్ సంబంధం. ఈ చట్టంఇచ్చిన వెక్టర్ ఫీల్డ్ యొక్క డైవర్జెన్స్‌పై కొన్ని వెక్టర్ ఫంక్షన్ యొక్క రోటర్ ఫ్లక్స్ నుండి ట్రిపుల్ ఇంటిగ్రల్‌కు వెళ్లడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఏకీకరణ పరిమితుల ప్రత్యామ్నాయం

యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొన్న తర్వాత, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. మొదట విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి గరిష్ట పరిమితియాంటీడెరివేటివ్ కోసం వ్యక్తీకరణగా. మీకు కొంత సంఖ్య వస్తుంది. తరువాత, ఫలిత సంఖ్య నుండి తక్కువ పరిమితి నుండి పొందిన మరొక సంఖ్యను యాంటీడెరివేటివ్‌లోకి తీసివేయండి. ఏకీకరణ యొక్క పరిమితుల్లో ఒకటి అనంతం అయితే, దానిని ప్రత్యామ్నాయం చేసేటప్పుడు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్పరిమితికి వెళ్లి, వ్యక్తీకరణ దేని కోసం ప్రయత్నిస్తుందో కనుగొనడం అవసరం.
సమగ్రం రెండు డైమెన్షనల్ లేదా త్రిమితీయ అయితే, సమగ్రతను ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలో అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు జ్యామితీయంగా ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను సూచించాలి. నిజానికి, చెప్పాలంటే, త్రిమితీయ సమగ్రత విషయంలో, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు మొత్తం సమతలంగా ఉంటాయి, ఇవి ఏకీకృతమయ్యే వాల్యూమ్‌ను పరిమితం చేస్తాయి.

మీకు తెలిసినట్లుగా, వ్యక్తీకరణలను శక్తులతో గుణించేటప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు ఎల్లప్పుడూ జోడించబడతాయి (a b *a c = a b+c). ఈ గణిత చట్టంఆర్కిమెడిస్ చేత ఉద్భవించబడింది మరియు తరువాత, 8వ శతాబ్దంలో, గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు విరాసేన్ పూర్ణాంక ఘాతాకాల పట్టికను సృష్టించాడు. వారు సేవ చేసిన వారు మరింత తెరవడంలాగరిథమ్స్. ఈ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించే ఉదాహరణలు దాదాపు ప్రతిచోటా చూడవచ్చు, అక్కడ మీరు సాధారణ సంకలనం ద్వారా గజిబిజిగా గుణకారం సులభతరం చేయాలి. మీరు ఈ కథనాన్ని చదవడానికి 10 నిమిషాలు గడిపినట్లయితే, లాగరిథమ్‌లు అంటే ఏమిటి మరియు వాటితో ఎలా పని చేయాలో మేము మీకు వివరిస్తాము. సరళమైన మరియు అందుబాటులో ఉన్న భాషలో.

గణితంలో నిర్వచనం

సంవర్గమానం అనేది కింది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ: లాగ్ a b=c, అంటే ఏదైనా యొక్క లాగరిథమ్ ప్రతికూల సంఖ్య(అనగా, ఏదైనా పాజిటివ్) "b" దాని బేస్ "a" ద్వారా "c" యొక్క శక్తిగా పరిగణించబడుతుంది, చివరికి "b" విలువను పొందేందుకు "a" మూలాన్ని పెంచాలి. ఉదాహరణలను ఉపయోగించి సంవర్గమానాన్ని విశ్లేషిద్దాం, ఎక్స్‌ప్రెషన్ లాగ్ 2 ఉందని అనుకుందాం 8. సమాధానాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఇది చాలా సులభం, మీరు 2 నుండి అవసరమైన శక్తి వరకు 8 పొందే శక్తిని కనుగొనాలి. మీ తలపై కొన్ని గణనలను చేసిన తర్వాత, మేము సంఖ్య 3ని పొందుతాము! మరియు ఇది నిజం, ఎందుకంటే 2 నుండి 3 శక్తికి 8 సమాధానం ఇస్తుంది.

లాగరిథమ్‌ల రకాలు

చాలా మంది విద్యార్థులు మరియు విద్యార్థులకు, ఈ అంశం సంక్లిష్టంగా మరియు అపారమయినదిగా అనిపిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి లాగరిథమ్‌లు అంత భయానకంగా లేవు, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వాటి సాధారణ అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం మరియు వారి లక్షణాలు మరియు కొన్ని నియమాలను గుర్తుంచుకోవడం. మూడు ఉన్నాయి వ్యక్తిగత జాతులులాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలు:

1. సహజ సంవర్గమానం ln a, ఇక్కడ ఆధారం ఆయిలర్ సంఖ్య (e = 2.7).
2. దశాంశం a, ఇక్కడ ఆధారం 10.
3. ఏ సంఖ్య b యొక్క సంవర్గమానం a>1 ఆధారం.

వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్ణయించబడుతుంది ఒక ప్రామాణిక మార్గంలో, ఇది సరళీకరణ, తగ్గింపు మరియు సంవర్గమాన సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి ఒక లాగరిథమ్‌కు తదుపరి తగ్గింపును కలిగి ఉంటుంది. లాగరిథమ్‌ల యొక్క సరైన విలువలను పొందడానికి, వాటిని పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు వాటి లక్షణాలను మరియు చర్యల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి.

నియమాలు మరియు కొన్ని పరిమితులు

గణితంలో, అనేక నియమాలు-పరిమితులు ఉన్నాయి, అవి ఒక సిద్ధాంతంగా అంగీకరించబడతాయి, అనగా అవి చర్చకు లోబడి ఉండవు మరియు నిజం. ఉదాహరణకు, సంఖ్యలను సున్నాతో విభజించడం అసాధ్యం మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల యొక్క సరి మూలాన్ని సంగ్రహించడం కూడా అసాధ్యం. లాగరిథమ్‌లు కూడా వాటి స్వంత నియమాలను కలిగి ఉన్నాయి, వీటిని అనుసరించి మీరు పొడవైన మరియు కెపాసియస్ లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలతో కూడా సులభంగా పని చేయడం నేర్చుకోవచ్చు:

• ఆధారం "a" ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు 1కి సమానంగా ఉండకూడదు, లేకుంటే వ్యక్తీకరణ దాని అర్ధాన్ని కోల్పోతుంది, ఎందుకంటే "1" మరియు "0" ఏ స్థాయికి అయినా ఎల్లప్పుడూ వాటి విలువలకు సమానంగా ఉంటాయి;
• a > 0 అయితే, a b >0 అయితే, “c” కూడా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి?

ఉదాహరణకు, 10 x = 100 సమీకరణానికి సమాధానాన్ని కనుగొనడానికి పని ఇవ్వబడుతుంది. ఇది చాలా సులభం, మీరు మనకు 100 వచ్చే పది సంఖ్యను పెంచడం ద్వారా శక్తిని ఎంచుకోవాలి. ఇది 10 2 = 100

ఇప్పుడు ఊహించుకుందాం ఈ వ్యక్తీకరణలాగరిథమిక్ రూపంలో. మేము లాగ్ 10 100 = 2 ను పొందుతాము. సంవర్గమానాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఇచ్చిన సంఖ్యను పొందేందుకు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారాన్ని నమోదు చేయడానికి అవసరమైన శక్తిని కనుగొనడానికి అన్ని చర్యలు ఆచరణాత్మకంగా కలుస్తాయి.

విలువను ఖచ్చితంగా నిర్ణయించడానికి తెలియని డిగ్రీమీరు డిగ్రీల పట్టికతో ఎలా పని చేయాలో నేర్చుకోవాలి. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మీకు గుణకారం పట్టిక యొక్క సాంకేతిక పరిజ్ఞానం మరియు జ్ఞానం ఉంటే కొన్ని ఘాతాంకాలను అకారణంగా ఊహించవచ్చు. అయితే కోసం పెద్ద విలువలుమీకు డిగ్రీల పట్టిక అవసరం. కాంప్లెక్స్ గురించి అస్సలు తెలియని వారు కూడా దీనిని ఉపయోగించవచ్చు గణిత విషయాలు. ఎడమ నిలువు వరుస సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది (బేస్ a), సంఖ్యల ఎగువ వరుస అనేది a సంఖ్యను పెంచే శక్తి c యొక్క విలువ. ఖండన వద్ద, కణాలు సమాధానం (a c =b) అనే సంఖ్య విలువలను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, 10 వ సంఖ్యతో ఉన్న మొదటి సెల్‌ను తీసుకుందాం మరియు దానిని స్క్వేర్ చేస్తే, మనకు 100 విలువ వస్తుంది, ఇది మన రెండు కణాల ఖండన వద్ద సూచించబడుతుంది. ప్రతిదీ చాలా సులభం మరియు చాలా సులభం, నిజమైన మానవతావాది కూడా అర్థం చేసుకుంటారు!

సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు

కొన్ని పరిస్థితులలో ఘాతాంకం లాగరిథమ్ అని తేలింది. అందువలన, ఏదైనా గణిత సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలుసంవర్గమాన సమీకరణంగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, 3 4 =81 అనేది నాలుగుకి సమానమైన 81 యొక్క బేస్ 3 సంవర్గమానంగా వ్రాయవచ్చు (లాగ్ 3 81 = 4). కోసం ప్రతికూల శక్తులునియమాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి: 2 -5 = 1/32 మేము దానిని సంవర్గమానంగా వ్రాస్తాము, మనకు లాగ్ 2 (1/32) = -5 లభిస్తుంది. గణితశాస్త్రంలోని అత్యంత ఆకర్షణీయమైన విభాగాలలో ఒకటి "లాగరిథమ్స్" అంశం. మేము వాటి లక్షణాలను అధ్యయనం చేసిన వెంటనే, దిగువ సమీకరణాల ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము. ఇప్పుడు అసమానతలు ఎలా ఉంటాయో మరియు వాటిని సమీకరణాల నుండి ఎలా వేరు చేయాలో చూద్దాం.

కింది ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడింది: లాగ్ 2 (x-1) > 3 - ఇది లాగరిథమిక్ అసమానత, తెలియని విలువ "x" సంవర్గమానం యొక్క గుర్తు క్రింద ఉన్నందున. మరియు వ్యక్తీకరణలో రెండు పరిమాణాలు పోల్చబడ్డాయి: ఆధారం రెండుకి కావలసిన సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్ సంఖ్య మూడు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతల మధ్య అత్యంత ముఖ్యమైన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, లాగరిథమ్‌లతో సమీకరణాలు (ఉదాహరణకు, లాగరిథమ్ 2 x = √9) ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ నిర్దిష్ట సమాధానాలను సూచిస్తాయి. సంఖ్యా విలువలు, అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు ప్రాంతంగా నిర్వచించబడింది ఆమోదయోగ్యమైన విలువలు, మరియు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క బ్రేక్ పాయింట్లు. పర్యవసానంగా, సమాధానం అనేది ఒక సమీకరణానికి సమాధానం వలె వ్యక్తిగత సంఖ్యల సాధారణ సెట్ కాదు, బదులుగా నిరంతర సిరీస్లేదా సంఖ్యల సమితి.

సంవర్గమానాల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు

సంవర్గమానం యొక్క విలువలను కనుగొనే ఆదిమ పనులను పరిష్కరించేటప్పుడు, దాని లక్షణాలు తెలియకపోవచ్చు. అయితే, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు లేదా అసమానతల విషయానికి వస్తే, మొదటగా, లాగరిథమ్‌ల యొక్క అన్ని ప్రాథమిక లక్షణాలను స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవడం మరియు ఆచరణలో ఉపయోగించడం అవసరం. మేము తరువాత సమీకరణాల ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము; మొదట ప్రతి ఆస్తిని మరింత వివరంగా చూద్దాం.

1. ప్రధాన గుర్తింపు ఇలా కనిపిస్తుంది: a logaB =B. a 0 కంటే ఎక్కువ, ఒకదానికి సమానం కానప్పుడు మరియు B సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఇది వర్తిస్తుంది.
2. ఉత్పత్తి యొక్క లాగరిథమ్‌ని సూచించవచ్చు క్రింది సూత్రం: లాగ్ d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. ఈ సందర్భంలో ముందస్తు అవసరంఉంది: d, s 1 మరియు s 2 > 0; a≠1. మీరు ఈ సంవర్గమాన సూత్రానికి ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారంతో రుజువు ఇవ్వవచ్చు. a s 1 = f 1ని లాగ్ చేసి, a s 2 = f 2ని లాగ్ చేద్దాం, ఆపై a f1 = s 1, a f2 = s 2. మేము s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (గుణాలు డిగ్రీలు ), ఆపై నిర్వచనం ప్రకారం: లాగ్ a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
3. గుణకం యొక్క సంవర్గమానం ఇలా కనిపిస్తుంది: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. సూత్రం రూపంలో సిద్ధాంతం తీసుకుంటుంది తదుపరి వీక్షణ: log a q b n = n/q log a b.

ఈ సూత్రాన్ని "లాగరిథం డిగ్రీ యొక్క ఆస్తి" అని పిలుస్తారు. ఇది సాధారణ డిగ్రీల లక్షణాలను పోలి ఉంటుంది మరియు ఇది ఆశ్చర్యం కలిగించదు, ఎందుకంటే అన్ని గణితాలు సహజమైన పోస్టులేట్‌లపై ఆధారపడి ఉంటాయి. రుజువు చూద్దాం.

a b = tని లాగ్ చేయనివ్వండి, అది t =b గా మారుతుంది. మేము రెండు భాగాలను శక్తికి పెంచినట్లయితే m: a tn = b n ;

అయితే a tn = (a q) nt/q = b n, కాబట్టి a q b n = (n*t)/tని లాగ్ చేయండి, ఆపై a q b n = n/q లాగ్ a bని లాగ్ చేయండి. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సమస్యలు మరియు అసమానతల ఉదాహరణలు

లాగరిథమ్‌లపై అత్యంత సాధారణ రకాల సమస్యలు సమీకరణాలు మరియు అసమానతలకు ఉదాహరణలు. అవి దాదాపు అన్ని సమస్య పుస్తకాలలో కనిపిస్తాయి మరియు వాటిలో కూడా చేర్చబడ్డాయి తప్పనిసరి భాగంగణితం పరీక్షలు. విశ్వవిద్యాలయంలో ప్రవేశం లేదా ఉత్తీర్ణత కోసం ప్రవేశ పరీక్షలుగణితంలో అటువంటి సమస్యలను సరిగ్గా ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు తెలుసుకోవాలి.

దురదృష్టవశాత్తు, పరిష్కరించడానికి మరియు నిర్ణయించడానికి ఒకే ప్రణాళిక లేదా పథకం లేదు తెలియని విలువసంవర్గమానం వంటిది ఏదీ లేదు, కానీ మీరు దానిని ప్రతి గణిత అసమానత లేదా లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి వర్తింపజేయవచ్చు. కొన్ని నియమాలు. అన్నింటిలో మొదటిది, మీరు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయవచ్చో లేదా దారి తీయవచ్చో తెలుసుకోవాలి సాధారణ వేషము. పొడవైన వాటిని సరళీకృతం చేయండి లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలుమీరు వారి లక్షణాలను సరిగ్గా ఉపయోగిస్తే సాధ్యమవుతుంది. వాటిని త్వరగా తెలుసుకుందాం.

సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, మనకు ఏ రకమైన సంవర్గమానం ఉందో మనం తప్పనిసరిగా గుర్తించాలి: ఉదాహరణ వ్యక్తీకరణలో సహజ సంవర్గమానం లేదా దశాంశం ఉండవచ్చు.

ఇక్కడ ఉదాహరణలు ln100, ln1026. బేస్ 10 వరుసగా 100 మరియు 1026కి సమానంగా ఉండే శక్తిని వారు నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ఉందని వారి పరిష్కారం దిమ్మదిరిగింది. పరిష్కారాల కోసం సహజ లాగరిథమ్స్దరఖాస్తు చేయాలి లాగరిథమిక్ గుర్తింపులులేదా వారి లక్షణాలు. ఉదాహరణలతో పరిష్కారాన్ని చూద్దాం లాగరిథమిక్ సమస్యలువివిధ రకములు.

లాగరిథమ్ ఫార్ములాలను ఎలా ఉపయోగించాలి: ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలతో

కాబట్టి, లాగరిథమ్‌ల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

1. ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క ఆస్తిని విస్తరించడానికి అవసరమైన పనులలో ఉపయోగించవచ్చు గొప్ప ప్రాముఖ్యతసంఖ్యలు బి సాధారణ కారకాలుగా. ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 4 + లాగ్ 2 128 = లాగ్ 2 (4*128) = లాగ్ 2 512. సమాధానం 9.
2. లాగ్ 4 8 = లాగ్ 2 2 2 3 = 3/2 లాగ్ 2 2 = 1.5 - మీరు చూడగలిగినట్లుగా, లాగరిథమ్ పవర్ యొక్క నాల్గవ ఆస్తిని ఉపయోగించి, మేము సంక్లిష్టమైన మరియు పరిష్కరించలేని వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించగలిగాము. మీరు బేస్‌ను కారకం చేసి, ఆపై లాగరిథమ్ గుర్తు నుండి ఘాతాంక విలువలను తీసుకోవాలి.

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి అసైన్‌మెంట్‌లు

లాగరిథమ్‌లు తరచుగా కనిపిస్తాయి ప్రవేశ పరీక్షలు, ప్రత్యేకించి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో చాలా లాగరిథమిక్ సమస్యలు ( రాష్ట్ర పరీక్షపాఠశాల వదిలిపెట్టిన వారందరికీ). సాధారణంగా, ఈ పనులు పార్ట్ A (పరీక్షలో సులభమైన పరీక్ష భాగం)లో మాత్రమే కాకుండా, పార్ట్ C (అత్యంత సంక్లిష్టమైన మరియు భారీ పనులు) కూడా ఉంటాయి. పరీక్షకు "సహజ సంవర్గమానాలు" అనే అంశంపై ఖచ్చితమైన మరియు ఖచ్చితమైన జ్ఞానం అవసరం.

సమస్యలకు ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలు అధికారిక నుండి తీసుకోబడ్డాయి ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష ఎంపికలు. అటువంటి పనులను ఎలా పరిష్కరించాలో చూద్దాం.

ఇచ్చిన లాగ్ 2 (2x-1) = 4. పరిష్కారం:
వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాద్దాం, దానిని కొద్దిగా లాగ్ 2 (2x-1) = 2 2 సులభతరం చేద్దాం, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మనకు 2x-1 = 2 4, కాబట్టి 2x = 17; x = 8.5.

• అన్ని లాగరిథమ్‌లను ఒకే స్థావరానికి తగ్గించడం ఉత్తమం, తద్వారా పరిష్కారం గజిబిజిగా మరియు గందరగోళంగా ఉండదు.
• సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలు సానుకూలంగా సూచించబడతాయి, కాబట్టి, సంవర్గమాన చిహ్నం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క ఘాతాంకం మరియు దాని ఆధారాన్ని గుణకం వలె తీసుకున్నప్పుడు, సంవర్గమానం క్రింద మిగిలి ఉన్న వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా సానుకూలంగా ఉండాలి.

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, చిరునామాతో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు ఇమెయిల్మొదలైనవి

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మా ద్వారా సేకరించబడింది వ్యక్తిగత సమాచారంమిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మరియు మీకు తెలియజేయడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ప్రత్యేక ఆఫర్లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లు.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము ఆడిటింగ్, డేటా విశ్లేషణ మరియు వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు వివిధ అధ్యయనాలుమేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించిన సిఫార్సులను మీకు అందించడానికి.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే, చట్టం ప్రకారం, న్యాయ ప్రక్రియ, వి విచారణ, మరియు/లేదా పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా ప్రభుత్వ సంస్థలురష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలో - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయండి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.