సూచనలు
ఇచ్చిన వాటిని వ్రాయండి సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణ. వ్యక్తీకరణ 10 యొక్క సంవర్గమానాన్ని ఉపయోగిస్తే, దాని సంజ్ఞామానం కుదించబడుతుంది మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది: lg b దశాంశ సంవర్గమానం. సంవర్గమానం e సంఖ్యను బేస్‌గా కలిగి ఉంటే, వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి: ln b - సహజ సంవర్గమానం. బి సంఖ్యను పొందాలంటే ఆధార సంఖ్యను పెంచాల్సిన శక్తి ఏదైనా ఫలితం అని అర్థం అవుతుంది.
రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మీరు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా వేరు చేసి ఫలితాలను జోడించాలి: (u+v)" = u"+v";
రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ దానితో గుణించడం అవసరం మరియు రెండవ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని మొదటి ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించడం అవసరం: (u*v)" = u"*v +v"*u;
రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తి నుండి డివిడెండ్ ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించబడిన డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తిని డివిడెండ్ యొక్క ఫంక్షన్ ద్వారా గుణిస్తే, మరియు విభజించడం అవసరం. డివైజర్ ఫంక్షన్ స్క్వేర్డ్ ద్వారా ఇవన్నీ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
ఇస్తే క్లిష్టమైన ఫంక్షన్, అప్పుడు ఉత్పన్నాన్ని గుణించడం అవసరం అంతర్గత పనితీరుమరియు బాహ్య ఒకటి యొక్క ఉత్పన్నం. y=u(v(x)), ఆపై y"(x)=y"(u)*v"(x) అని చెప్పండి.
పైన పొందిన ఫలితాలను ఉపయోగించి, మీరు దాదాపు ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయవచ్చు. కాబట్టి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఫంక్షన్ y=e^(x^2+6x+5) ఇవ్వబడనివ్వండి, మీరు x=1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనాలి.
1) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి ఇచ్చిన పాయింట్ y"(1)=8*e^0=8
అంశంపై వీడియో
ప్రాథమిక ఉత్పన్నాల పట్టికను తెలుసుకోండి. ఇది గణనీయంగా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.
మూలాలు:
- స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం
కాబట్టి, మధ్య తేడా ఏమిటి హేతుబద్ధమైన సమీకరణంహేతుబద్ధమైన నుండి? తెలియని వేరియబుల్ వర్గమూలం గుర్తు క్రింద ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం అహేతుకంగా పరిగణించబడుతుంది.
సూచనలు
అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతి రెండు వైపులా నిర్మించే పద్ధతి సమీకరణాలుఒక చతురస్రాకారంలోకి. అయితే. ఇది సహజమైనది, మీరు చేయవలసిన మొదటి విషయం గుర్తును వదిలించుకోవడమే. ఈ పద్ధతి సాంకేతికంగా కష్టం కాదు, కానీ కొన్నిసార్లు ఇది ఇబ్బందికి దారి తీస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమీకరణం v(2x-5)=v(4x-7). రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా మీరు 2x-5=4x-7 పొందుతారు. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కష్టం కాదు; x=1. కానీ నంబర్ 1 ఇవ్వబడదు సమీకరణాలు. ఎందుకు? x విలువకు బదులుగా సమీకరణంలో ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు కుడి మరియు ఎడమ వైపులా అర్థం లేని వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి, అనగా. వర్గమూలానికి ఈ విలువ చెల్లదు. కాబట్టి 1 ఒక అదనపు మూలం, అందువలన ఇచ్చిన సమీకరణంమూలాలు లేవు.
కాబట్టి, అహేతుక సమీకరణందాని రెండు భాగాలను స్క్వేర్ చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, అదనపు మూలాలను కత్తిరించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కనుగొన్న మూలాలను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చండి.
మరొకటి పరిగణించండి.
2х+vx-3=0
వాస్తవానికి, ఈ సమీకరణాన్ని మునుపటి మాదిరిగానే అదే సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. సమ్మేళనాలను తరలించండి సమీకరణాలు, వర్గమూలం లేని, కుడి వైపుకు ఆపై స్క్వేర్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి. ఫలిత హేతుబద్ధ సమీకరణం మరియు మూలాలను పరిష్కరించండి. కానీ మరొకటి, మరింత సొగసైనది. కొత్త వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి; vх=y. దీని ప్రకారం, మీరు 2y2+y-3=0 ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని అందుకుంటారు. అంటే మామూలు వర్గ సమీకరణం. దాని మూలాలను కనుగొనండి; y1=1 మరియు y2=-3/2. తరువాత, రెండు పరిష్కరించండి సమీకరణాలు vх=1; vх=-3/2. రెండవ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు; మొదటిది x=1. మూలాలను తనిఖీ చేయడం మర్చిపోవద్దు.
గుర్తింపులను పరిష్కరించడం చాలా సులభం. దీన్ని చేయడానికి మీరు చేయాలి గుర్తింపు పరివర్తనలులక్ష్యం సాధించే వరకు. అందువలన, సరళమైన సహాయంతో అంకగణిత కార్యకలాపాలుచేతిలో ఉన్న పని పరిష్కరించబడుతుంది.
నీకు అవసరం అవుతుంది
- - కాగితం;
- - పెన్.
సూచనలు
అటువంటి పరివర్తనలలో సరళమైనది బీజగణిత సంక్షిప్త గుణకారాలు (మొత్తం యొక్క వర్గము (తేడా), చతురస్రాల వ్యత్యాసం, మొత్తం (తేడా), మొత్తం యొక్క ఘనం (తేడా) వంటివి. అదనంగా, అనేక మరియు ఉన్నాయి త్రికోణమితి సూత్రాలు, ఇవి తప్పనిసరిగా ఒకే గుర్తింపులు.
నిజానికి, రెండు పదాల మొత్తం యొక్క వర్గము చతురస్రానికి సమానంమొదటి ప్లస్ మొదటి దాని యొక్క ఉత్పత్తిని రెండవ దానితో రెట్టింపు చేయండి మరియు రెండవ దాని యొక్క వర్గాన్ని కలిపి, అంటే (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
రెండింటినీ సరళీకరించండి
పరిష్కారం యొక్క సాధారణ సూత్రాలు
పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం పునరావృతం చేయండి గణిత విశ్లేషణలేదా ఉన్నత గణితం, ఇది ఖచ్చితమైన సమగ్రమైనది. తెలిసినట్లుగా, పరిష్కారం ఖచ్చితమైన సమగ్రఒక ఫంక్షన్ ఉంది, దీని ఉత్పన్నం సమగ్రతను ఇస్తుంది. ఈ ఫంక్షన్యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు. ద్వారా ఈ సూత్రంమరియు ప్రధాన సమగ్రాలను నిర్మిస్తుంది.పట్టిక సమగ్రాలలో ఏది సరిపోతుందో సమగ్ర రూపం ద్వారా నిర్ణయించండి ఈ విషయంలో. దీన్ని వెంటనే గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమగ్రతను సరళీకృతం చేయడానికి అనేక రూపాంతరాల తర్వాత మాత్రమే పట్టిక రూపం గుర్తించదగినదిగా మారుతుంది.
వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ మెథడ్
సమగ్రత అనేది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ అయితే, దీని వాదన బహుపది అయినట్లయితే, వేరియబుల్స్ యొక్క మార్పు పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి. దీన్ని చేయడానికి, సమగ్రత యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లోని బహుపదిని కొన్ని కొత్త వేరియబుల్‌తో భర్తీ చేయండి. కొత్త మరియు పాత వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం ఆధారంగా, ఏకీకరణ యొక్క కొత్త పరిమితులను నిర్ణయించండి. ఈ వ్యక్తీకరణను వేరు చేయడం ద్వారా, లో కొత్త అవకలనాన్ని కనుగొనండి. కాబట్టి మీరు పొందుతారు కొత్త రకంమునుపటి సమగ్రమైనది, ఏదైనా పట్టికకు దగ్గరగా లేదా దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.రెండవ రకమైన సమగ్రాలను పరిష్కరించడం
సమగ్రత అనేది రెండవ రకానికి చెందిన సమగ్రం అయితే, సమగ్రత యొక్క వెక్టార్ రూపం, అప్పుడు మీరు ఈ ఇంటిగ్రల్స్ నుండి స్కేలార్ వాటికి మారడానికి నియమాలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. అటువంటి నియమాలలో ఒకటి ఆస్ట్రోగ్రాడ్‌స్కీ-గాస్ సంబంధం. ఈ చట్టంఇచ్చిన వెక్టర్ ఫీల్డ్ యొక్క డైవర్జెన్స్‌పై కొన్ని వెక్టర్ ఫంక్షన్ యొక్క రోటర్ ఫ్లక్స్ నుండి ట్రిపుల్ ఇంటిగ్రల్‌కు వెళ్లడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.ఏకీకరణ పరిమితుల ప్రత్యామ్నాయం
యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొన్న తర్వాత, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. మొదట విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి గరిష్ట పరిమితియాంటీడెరివేటివ్ కోసం వ్యక్తీకరణగా. మీకు కొంత సంఖ్య వస్తుంది. తరువాత, ఫలిత సంఖ్య నుండి తక్కువ పరిమితి నుండి పొందిన మరొక సంఖ్యను యాంటీడెరివేటివ్‌లోకి తీసివేయండి. ఏకీకరణ యొక్క పరిమితుల్లో ఒకటి అనంతం అయితే, దానిని ప్రత్యామ్నాయం చేసేటప్పుడు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్పరిమితికి వెళ్లి, వ్యక్తీకరణ దేని కోసం ప్రయత్నిస్తుందో కనుగొనడం అవసరం.సమగ్రం రెండు డైమెన్షనల్ లేదా త్రిమితీయ అయితే, సమగ్రతను ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలో అర్థం చేసుకోవడానికి మీరు జ్యామితీయంగా ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను సూచించాలి. నిజానికి, చెప్పాలంటే, త్రిమితీయ సమగ్రత విషయంలో, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు మొత్తం సమతలంగా ఉంటాయి, ఇవి ఏకీకృతమయ్యే వాల్యూమ్‌ను పరిమితం చేస్తాయి.
(గ్రీకు నుండి λόγος - “పదం”, “సంబంధం” మరియు ἀριθμός - “సంఖ్య”) సంఖ్యలు బిఆధారంగా a(లాగ్ α బి) అటువంటి సంఖ్య అంటారు సి, మరియు బి= ఒక సి, అంటే, రికార్డుల లాగ్ α బి=సిమరియు b=aసిసమానంగా ఉంటాయి. ఒక > 0, a ≠ 1, b > 0 అయితే సంవర్గమానం అర్థవంతంగా ఉంటుంది.
వేరే పదాల్లో సంవర్గమానంసంఖ్యలు బిఆధారంగా ఎఒక ఘాతాంకం వలె రూపొందించబడింది, దీనికి ఒక సంఖ్యను తప్పనిసరిగా పెంచాలి aసంఖ్యను పొందడానికి బి(సంవర్గమానం సానుకూల సంఖ్యలకు మాత్రమే ఉంటుంది).
ఈ సూత్రీకరణ నుండి గణన x= లాగ్ α బి, a x =b సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సమానం.
ఉదాహరణకి:
లాగ్ 2 8 = 3 ఎందుకంటే 8 = 2 3 .
సంవర్గమానం యొక్క సూచించిన సూత్రీకరణ వెంటనే గుర్తించడం సాధ్యం చేస్తుందని నొక్కి చెప్పండి సంవర్గమాన విలువ, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య బేస్ యొక్క నిర్దిష్ట శక్తిగా పనిచేసినప్పుడు. నిజానికి, సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ దానిని సమర్థించడం సాధ్యం చేస్తుంది b=a c, ఆపై సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా aసమానం తో. లాగరిథమ్‌ల అంశం టాపిక్‌తో దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉందని కూడా స్పష్టమైంది సంఖ్య యొక్క అధికారాలు.
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడం అంటారు సంవర్గమానం. సంవర్గమానం ఉంది గణిత ఆపరేషన్సంవర్గమానాన్ని తీసుకోవడం. లాగరిథమ్‌లను తీసుకున్నప్పుడు, కారకాల ఉత్పత్తులు పదాల మొత్తాలుగా రూపాంతరం చెందుతాయి.
పొటెన్షియేషన్సంవర్గమానం యొక్క విలోమ గణిత ఆపరేషన్. పొటెన్షియేషన్ సమయంలో, ఇచ్చిన బేస్ పొటెన్షియేషన్ ప్రదర్శించబడే వ్యక్తీకరణ స్థాయికి పెంచబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, నిబంధనల మొత్తాలు కారకాల ఉత్పత్తిగా రూపాంతరం చెందుతాయి.
చాలా తరచుగా, నిజమైన లాగరిథమ్‌లు బేస్‌లు 2 (బైనరీ), యూలర్ సంఖ్య ఇ ≈ 2.718 (సహజ సంవర్గమానం) మరియు 10 (దశాంశం)తో ఉపయోగించబడతాయి.
పై ఈ పరిస్తితిలోపరిగణలోకి తీసుకోవడం మంచిది లాగరిథమ్ నమూనాలులాగ్ 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
మరియు ఎంట్రీలు lg (-3), లాగ్ -3 3.2, లాగ్ -1 -4.3 అర్ధవంతం కాదు, ఎందుకంటే వాటిలో మొదటిదానిలో ప్రతికూల సంఖ్య లాగరిథమ్ చిహ్నం క్రింద ఉంచబడుతుంది, రెండవది ప్రతికూల సంఖ్య. బేస్‌లో, మరియు మూడవదానిలో సంవర్గమాన సంకేతం మరియు బేస్ వద్ద యూనిట్ కింద ప్రతికూల సంఖ్య ఉంటుంది.
సంవర్గమానాన్ని నిర్ణయించడానికి షరతులు.
a > 0, a ≠ 1, b > 0. మేము పొందే షరతులను విడిగా పరిగణించడం విలువైనది సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం.ఈ ఆంక్షలు ఎందుకు తీసుకున్నారో చూద్దాం. x = log α రూపం యొక్క సమానత్వం దీనికి మాకు సహాయం చేస్తుంది బి, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు అని పిలుస్తారు, ఇది నేరుగా పైన ఇవ్వబడిన లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది.
షరతు తీసుకుందాం a≠1. ఏదైనా శక్తికి ఒకటి ఒకదానికి సమానం కాబట్టి, సమానత్వం x=log α బిఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఉనికిలో ఉంటుంది b=1, కానీ లాగ్ 1 1 ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య అవుతుంది. ఈ అస్పష్టతను తొలగించడానికి, మేము తీసుకుంటాము a≠1.
పరిస్థితి యొక్క ఆవశ్యకతను నిరూపిద్దాం a>0. వద్ద a=0సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ ప్రకారం మాత్రమే ఉనికిలో ఉంటుంది b=0. మరియు తదనుగుణంగా అప్పుడు లాగ్ 0 0ఏదైనా సున్నా కాని వాస్తవ సంఖ్య అయినా కావచ్చు, ఎందుకంటే సున్నాకి సున్నా కాని శక్తికి సున్నా. ఈ అస్పష్టత పరిస్థితి ద్వారా తొలగించబడుతుంది a≠0. మరి ఎప్పుడూ a<0 హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుకమైన డిగ్రీ నుండి సంవర్గమానం యొక్క హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక విలువల విశ్లేషణను మేము తిరస్కరించవలసి ఉంటుంది. హేతుబద్ధమైన సూచికనాన్-నెగటివ్ బేస్‌ల కోసం మాత్రమే నిర్వచించబడింది. ఈ కారణంగానే షరతు విధించారు a>0.
మరియు చివరి పరిస్థితి b>0అసమానత నుండి అనుసరిస్తుంది a>0, x=లాగ్ α నుండి బి, మరియు సానుకూల ఆధారంతో డిగ్రీ విలువ aఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.
లాగరిథమ్స్ యొక్క లక్షణాలు.
లాగరిథమ్స్విలక్షణమైన లక్షణం లక్షణాలు, ఇది శ్రమతో కూడిన గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేయడానికి వారి విస్తృత వినియోగానికి దారితీసింది. "లాగరిథమ్‌ల ప్రపంచానికి" వెళ్లినప్పుడు, గుణకారం చాలా ఎక్కువ రూపాంతరం చెందుతుంది సులభంగా మడత, విభజన అనేది వ్యవకలనం, మరియు ఘాతాంకం మరియు మూల సంగ్రహణ వరుసగా, ఘాతాంకం ద్వారా గుణకారం మరియు భాగహారంగా రూపాంతరం చెందుతాయి.
లాగరిథమ్‌ల సూత్రీకరణ మరియు వాటి విలువల పట్టిక (కోసం త్రికోణమితి విధులు) మొదటిసారిగా 1614లో స్కాటిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జాన్ నేపియర్చే ప్రచురించబడింది. ఇతర శాస్త్రవేత్తలచే విస్తరించబడిన మరియు వివరించబడిన లాగరిథమిక్ పట్టికలు శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ గణనలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడ్డాయి మరియు ఎలక్ట్రానిక్ కాలిక్యులేటర్లు మరియు కంప్యూటర్ల ఉపయోగం వరకు సంబంధితంగా ఉన్నాయి.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
దానిని మరింత సరళంగా వివరిస్తాము. ఉదాహరణకు, \(\log_(2)(8)\) శక్తికి సమానం, \(8\) పొందేందుకు \(2\) తప్పక పెంచాలి. దీని నుండి \(\log_(2)(8)=3\) అని స్పష్టమవుతుంది.
|
ఉదాహరణలు: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
ఎందుకంటే \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
ఎందుకంటే \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
ఎందుకంటే \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
సంవర్గమానం యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు బేస్
ఏదైనా సంవర్గమానం క్రింది "అనాటమీ"ని కలిగి ఉంటుంది:
సంవర్గమానం యొక్క వాదన సాధారణంగా దాని స్థాయిలో వ్రాయబడుతుంది మరియు ఆధారం లాగరిథమ్ గుర్తుకు దగ్గరగా సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లో వ్రాయబడుతుంది. మరియు ఈ ఎంట్రీ ఇలా ఉంది: "ఇరవై ఐదు నుండి బేస్ ఐదు వరకు సంవర్గమానం."
సంవర్గమానాన్ని ఎలా లెక్కించాలి?
సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి: వాదనను పొందడానికి ఆధారాన్ని ఏ శక్తికి పెంచాలి?
ఉదాహరణకి, సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
ఎ) \(16\) పొందడానికి \(4\) ఏ శక్తిని పెంచాలి? స్పష్టంగా రెండవది. అందుకే:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) \(1\) పొందడానికి \(\sqrt(5)\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? ఏ శక్తి ఏదైనా నంబర్ వన్ చేస్తుంది? జీరో, అయితే!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) పొందేందుకు \(\sqrt(7)\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? ముందుగా, మొదటి శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య దానికదే సమానం.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
ఇ) \(\sqrt(3)\)ని పొందేందుకు \(3\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? దాని నుండి అది ఏమిటో మనకు తెలుసు పాక్షిక శక్తి, మరియు దీని అర్థం వర్గమూలం\(\frac(1)(2)\) యొక్క శక్తి.
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
ఉదాహరణ : సంవర్గమానాన్ని లెక్కించు \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
పరిష్కారం :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
సంవర్గమానం యొక్క విలువను మనం కనుగొనాలి, దానిని x గా సూచిస్తాము. ఇప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించుకుందాం: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
\(4\sqrt(2)\) మరియు \(8\)ని ఏది కలుపుతుంది? రెండు, ఎందుకంటే రెండు సంఖ్యలను రెండుల ద్వారా సూచించవచ్చు: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
ఎడమవైపున మేము డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) మరియు \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
స్థావరాలు సమానంగా ఉంటాయి, మేము సూచికల సమానత్వానికి వెళ్తాము |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \(\frac(2)(5)\)తో గుణించండి |
|
|
ఫలిత మూలం సంవర్గమానం యొక్క విలువ |
సమాధానం : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
సంవర్గమానం ఎందుకు కనుగొనబడింది?
దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం: \(3^(x)=9\). సమానత్వం పని చేయడానికి \(x\)ని సరిపోల్చండి. అయితే, \(x=2\).
ఇప్పుడు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: \(3^(x)=8\).ఎందుకు xకి సమానం? అదీ విషయం.
తెలివైన వారు ఇలా అంటారు: "X రెండు కంటే కొంచెం తక్కువ." ఈ సంఖ్యను సరిగ్గా ఎలా వ్రాయాలి? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, సంవర్గమానం కనుగొనబడింది. అతనికి ధన్యవాదాలు, ఇక్కడ సమాధానం \(x=\log_(3)(8)\) అని వ్రాయవచ్చు.
నేను \(\log_(3)(8)\), ఇష్టం అని నొక్కి చెప్పాలనుకుంటున్నాను ఏదైనా సంవర్గమానం కేవలం ఒక సంఖ్య. అవును, ఇది అసాధారణంగా కనిపిస్తుంది, కానీ ఇది చిన్నది. ఎందుకంటే ఫారంలో రాయాలనుకున్నా దశాంశ, అప్పుడు ఇది ఇలా ఉంటుంది: \(1.892789260714.....\)
ఉదాహరణ : సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(4^(5x-4)=10\)
పరిష్కారం :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) మరియు \(10\) ఒకే స్థావరానికి తీసుకురాలేదు. మీరు లాగరిథమ్ లేకుండా చేయలేరని దీని అర్థం. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
X ఎడమవైపు ఉండేలా సమీకరణాన్ని తిప్పుదాం |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
మా ముందు. \(4\)ని కుడివైపుకి తరలిద్దాం. మరియు లాగరిథమ్ గురించి భయపడవద్దు, దానిని సాధారణ సంఖ్య వలె పరిగణించండి. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
సమీకరణాన్ని 5తో భాగించండి |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
ఇది మన మూలం. అవును, ఇది అసాధారణంగా కనిపిస్తోంది, కానీ వారు సమాధానాన్ని ఎంచుకోలేదు. |
సమాధానం : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
దశాంశ మరియు సహజ సంవర్గమానాలు
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనంలో పేర్కొన్నట్లుగా, దాని ఆధారం ఒకటి \((a>0, a\neq1)\) తప్ప ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్య కావచ్చు. మరియు సాధ్యమయ్యే అన్ని స్థావరాల మధ్య, చాలా తరచుగా సంభవించే రెండు ఉన్నాయి, వాటితో లాగరిథమ్‌ల కోసం ప్రత్యేక సంక్షిప్త సంజ్ఞామానం కనుగొనబడింది:
సహజ సంవర్గమానం: ఆయులర్ సంఖ్య \(e\) (సుమారుగా \(2.7182818...\)కి సమానం), మరియు సంవర్గమానం \(\ln(a)\)గా వ్రాయబడిన సంవర్గమానం.
అంటే, \(\ln(a)\) అంటే \(\log_(e)(a)\)
దశాంశ సంవర్గమానం: 10 బేస్ ఉన్న సంవర్గమానం \(\lg(a)\) అని వ్రాయబడుతుంది.
అంటే, \(\lg(a)\) అంటే \(\log_(10)(a)\), ఇక్కడ \(a\) అనేది కొంత సంఖ్య.
ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
లాగరిథమ్స్ అనేక లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. వాటిలో ఒకటి “బేసిక్ లాగరిథమిక్ గుర్తింపు" మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
ఈ ఆస్తి నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది. అసలు ఈ ఫార్ములా ఎలా వచ్చిందో చూద్దాం.
సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం యొక్క చిన్న సంజ్ఞామానాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:
\(a^(b)=c\), అయితే \(\log_(a)(c)=b\)
అంటే, \(b\) అనేది \(\log_(a)(c)\). అప్పుడు మనం \(\log_(a)(c)\)ని \(b\) సూత్రంలో \(a^(b)=c\) అని వ్రాయవచ్చు. ఇది \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ప్రధాన సంవర్గమాన గుర్తింపు.
మీరు లాగరిథమ్‌ల యొక్క ఇతర లక్షణాలను కనుగొనవచ్చు. వారి సహాయంతో, మీరు నేరుగా గణించడం కష్టంగా ఉండే లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణల విలువలను సరళీకృతం చేయవచ్చు మరియు లెక్కించవచ్చు.
ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి \(36^(\log_(6)(5))\)
పరిష్కారం :
సమాధానం : \(25\)
సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా ఎలా వ్రాయాలి?
పైన చెప్పినట్లుగా, ఏదైనా సంవర్గమానం కేవలం ఒక సంఖ్య మాత్రమే. సంభాషణ కూడా నిజం: ఏదైనా సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, \(\log_(2)(4)\) రెండుకి సమానం అని మనకు తెలుసు. అప్పుడు రెండింటికి బదులుగా మీరు \(\log_(2)(4)\) అని వ్రాయవచ్చు.
కానీ \(\log_(3)(9)\) కూడా \(2\)కి సమానం, అంటే మనం \(2=\log_(3)(9)\) అని కూడా వ్రాయవచ్చు. అదేవిధంగా \(\log_(5)(25)\), మరియు \(\log_(9)(81)\), మొదలైన వాటితో. అంటే, అది మారుతుంది
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ లాగ్_(7)(49)...\)
ఈ విధంగా, మనకు అవసరమైతే, మనం ఎక్కడైనా ఏదైనా బేస్‌తో లాగరిథమ్‌గా రెండింటిని వ్రాయవచ్చు (అది సమీకరణంలో, వ్యక్తీకరణలో లేదా అసమానతలో కావచ్చు) - మేము బేస్ స్క్వేర్డ్‌ను ఆర్గ్యుమెంట్‌గా వ్రాస్తాము.
ఇది ట్రిపుల్‌తో సమానంగా ఉంటుంది – దీనిని \(\log_(2)(8)\), లేదా \(\log_(3)(27)\), లేదా \(\log_(4)( అని వ్రాయవచ్చు 64) \)... ఇక్కడ మనం క్యూబ్‌లో ఆధారాన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌గా వ్రాస్తాము:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ లాగ్_(7)(343)...\)
మరియు నలుగురితో:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
మరియు మైనస్ ఒకటితో:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
మరియు మూడవ వంతుతో:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
\(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) ఏదైనా సంఖ్య \(a\)ని సంవర్గమానంగా సూచించవచ్చు
ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
పరిష్కారం :
సమాధానం : \(1\)
సంబంధించి
ఇచ్చిన ఇతర రెండు వాటి నుండి మూడు సంఖ్యలలో దేనినైనా కనుగొనే పనిని సెట్ చేయవచ్చు. a మరియు N ఇచ్చినట్లయితే, అవి ఘాతాంకం ద్వారా కనుగొనబడతాయి. డిగ్రీ x (లేదా శక్తికి పెంచడం) యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా N మరియు ఆపై a ఇవ్వబడినట్లయితే. ఇప్పుడు a మరియు N ఇచ్చిన సందర్భాన్ని పరిగణించండి, మనం xని కనుగొనాలి.
సంఖ్య N సానుకూలంగా ఉండనివ్వండి: a సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఒకదానికి సమానం కాదు: .
నిర్వచనం. సంఖ్య N యొక్క సంవర్గమానం ఆధారం aకి సంఖ్య N ను పొందేందుకు తప్పనిసరిగా పెంచాల్సిన ఘాతాంకం; సంవర్గమానం ద్వారా సూచించబడుతుంది
అందువలన, సమానత్వంలో (26.1) ఘాతాంకం a బేస్ కు N యొక్క సంవర్గమానంగా కనుగొనబడింది. పోస్ట్‌లు
కలిగి ఉంటాయి అదే అర్థం. సమానత్వం (26.1) కొన్నిసార్లు లాగరిథమ్స్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన గుర్తింపుగా పిలువబడుతుంది; వాస్తవానికి ఇది లాగరిథమ్ భావన యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది. ద్వారా ఈ నిర్వచనంసంవర్గమానం a యొక్క ఆధారం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఐక్యతకు భిన్నంగా ఉంటుంది; సంవర్గమాన సంఖ్య N సానుకూలంగా ఉంటుంది. ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు సున్నాకి లాగరిథమ్‌లు లేవు. ఇచ్చిన ఆధారంతో ఏదైనా సంఖ్య బాగా నిర్వచించబడిన సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని నిరూపించవచ్చు. కాబట్టి సమానత్వం ఉంటుంది. ఇక్కడ ముఖ్యమైన పరిస్థితి అని గమనించండి లేకుంటే x మరియు y యొక్క ఏదైనా విలువలకు సమానత్వం సరైనది కనుక ముగింపు సమర్థించబడదు.
ఉదాహరణ 1. కనుగొనండి
పరిష్కారం. సంఖ్యను పొందేందుకు, మీరు తప్పనిసరిగా బేస్ 2ని పవర్‌కి పెంచాలి.
అటువంటి ఉదాహరణలను క్రింది రూపంలో పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు గమనికలు చేయవచ్చు:
ఉదాహరణ 2. కనుగొనండి.
పరిష్కారం. మన దగ్గర ఉంది
ఉదాహరణ 1 మరియు 2లో, సంవర్గమాన సంఖ్యను హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో బేస్ యొక్క శక్తిగా సూచించడం ద్వారా మేము కావలసిన లాగరిథమ్‌ను సులభంగా కనుగొన్నాము. IN సాధారణ కేసు, ఉదాహరణకు, మొదలైన వాటి కోసం, లాగరిథమ్ ఉన్నందున ఇది చేయలేము అహేతుక అర్థం. ఈ ప్రకటనకు సంబంధించిన ఒక సమస్యపై దృష్టి పెడతాము. పేరా 12 లో మేము ఏదైనా నిర్ణయించే అవకాశం యొక్క భావనను ఇచ్చాము నిజమైన డిగ్రీఇచ్చిన సానుకూల సంఖ్య. లాగరిథమ్‌ల పరిచయం కోసం ఇది అవసరం, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, అహేతుక సంఖ్యలు కావచ్చు.
లాగరిథమ్‌ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను చూద్దాం.
లక్షణం 1. సంఖ్య మరియు ఆధారం సమానంగా ఉంటే, సంవర్గమానం ఒకరికి సమానం, మరియు, దానికి విరుద్ధంగా, సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం అయితే, సంఖ్య మరియు ఆధారం సమానంగా ఉంటాయి.
రుజువు. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ద్వారా మనకు మరియు ఎక్కడి నుండి ఉందా
దీనికి విరుద్ధంగా, నిర్వచనం ప్రకారం తెన్
ప్రాపర్టీ 2. ఒకదాని నుండి ఏదైనా బేస్ యొక్క సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం.
రుజువు. సంవర్గమానం నిర్వచనం ప్రకారం ( సున్నా డిగ్రీఏదైనా సానుకూల ఆధారం ఒకదానికి సమానం, చూడండి (10.1)). ఇక్కడనుంచి
Q.E.D.
సంభాషణ ప్రకటన కూడా నిజం: ఒకవేళ , అప్పుడు N = 1. నిజానికి, మనకు .
సంవర్గమానాల యొక్క తదుపరి లక్షణాన్ని రూపొందించే ముందు, a మరియు b అనే రెండు సంఖ్యలు c కంటే ఎక్కువ లేదా c కంటే తక్కువగా ఉంటే మూడవ సంఖ్య cకి ఒకే వైపున ఉన్నాయని చెప్పడానికి అంగీకరిస్తాము. ఈ సంఖ్యలలో ఒకటి c కంటే ఎక్కువగా ఉంటే మరియు మరొకటి c కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు మేము అవి వెంట పడతాయని చెబుతాము వివిధ వైపులాగ్రామం నుండి
ఆస్తి 3. సంఖ్య మరియు ఆధారం ఒకదానిపై ఒకే వైపు ఉంటే, సంవర్గమానం సానుకూలంగా ఉంటుంది; సంఖ్య మరియు ఆధారం ఒకదానికి వ్యతిరేక వైపులా ఉంటే, సంవర్గమానం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
ప్రాపర్టీ 3 యొక్క రుజువు ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువ మరియు ఘాతాంకం సానుకూలంగా ఉంటే లేదా ఆధారం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటే a యొక్క శక్తి ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ మరియు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటే లేదా బేస్ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం సానుకూలంగా ఉంటే శక్తి ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
పరిగణించవలసిన నాలుగు కేసులు ఉన్నాయి:
వాటిలో మొదటిదాన్ని విశ్లేషించడానికి మనల్ని మనం పరిమితం చేసుకుంటాము;
అప్పుడు సమానత్వంలో ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, ఇది సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
ఉదాహరణ 3. దిగువన ఉన్న లాగరిథమ్‌లలో ఏది ధనాత్మకమో మరియు ఏది ప్రతికూలమో కనుగొనండి:
పరిష్కారం, ఎ) సంఖ్య 15 మరియు బేస్ 12 ఒకదానిలో ఒకే వైపున ఉన్నందున;
బి) 1000 మరియు 2 యూనిట్ యొక్క ఒక వైపున ఉన్నందున; ఈ సందర్భంలో, సంవర్గమాన సంఖ్య కంటే బేస్ ఎక్కువగా ఉండటం ముఖ్యం కాదు;
సి) 3.1 మరియు 0.8 ఐక్యత యొక్క వ్యతిరేక వైపులా ఉంటాయి;
జి) ; ఎందుకు?
d) ; ఎందుకు?
కింది లక్షణాలు 4-6 తరచుగా సంవర్గమాన నియమాలు అని పిలుస్తారు: అవి కొన్ని సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లను తెలుసుకోవడం, వాటి ఉత్పత్తి, గుణకం మరియు వాటిలో ప్రతి డిగ్రీ యొక్క లాగరిథమ్‌లను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తాయి.
ఆస్తి 4 (ఉత్పత్తి లాగరిథమ్ నియమం). ద్వారా అనేక ధనాత్మక సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం ఈ ఆధారంగా మొత్తానికి సమానంఈ సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లు ఒకే స్థావరానికి ఉంటాయి.
రుజువు. ఇచ్చిన సంఖ్యలు సానుకూలంగా ఉండనివ్వండి.
వారి ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం కోసం, మేము లాగరిథమ్‌ను నిర్వచించే సమానత్వం (26.1) వ్రాస్తాము:
ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము
మొదటి మరియు ఘాతాంకాలను పోల్చడం చివరి వ్యక్తీకరణలు, మేము అవసరమైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము:
పరిస్థితి తప్పనిసరి అని గమనించండి; రెండు ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం ప్రతికూల సంఖ్యలుఅర్ధమే, కానీ ఈ సందర్భంలో మనం పొందుతాము
సాధారణంగా, అనేక కారకాల ఉత్పత్తి సానుకూలంగా ఉంటే, దాని సంవర్గమానం ఈ కారకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.
ప్రాపర్టీ 5 (కోటియంట్స్ యొక్క లాగరిథమ్‌లను తీసుకోవడానికి నియమం). ధనాత్మక సంఖ్యల సంవర్గమానం డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క లాగరిథమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం, అదే స్థావరానికి తీసుకోబడుతుంది. రుజువు. మేము స్థిరంగా కనుగొంటాము
Q.E.D.
ప్రాపర్టీ 6 (పవర్ లాగరిథమ్ రూల్). కొంత సానుకూల సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమానానికి సమానంఈ సంఖ్య ఘాతాంకంతో గుణించబడుతుంది.
రుజువు. సంఖ్యకు ప్రధాన గుర్తింపు (26.1)ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:
Q.E.D.
పర్యవసానం. ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం మూలం యొక్క ఘాతాంకంతో విభజించబడిన రాడికల్ యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం:
ఆస్తి 6ని ఎలా ఉపయోగించాలో మరియు ఎలా ఉపయోగించాలో ఊహించడం ద్వారా ఈ పరిణామం యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపించవచ్చు.
ఉదాహరణ 4. a బేస్ చేయడానికి లాగరిథమ్ తీసుకోండి:
a) (అన్ని విలువలు b, c, d, e సానుకూలంగా ఉన్నాయని భావించబడుతుంది);
బి) (అని భావించబడుతుంది).
పరిష్కారం, a) ఇది వెళ్ళడానికి సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది ఈ వ్యక్తీకరణపాక్షిక శక్తులకు:
సమానత్వం (26.5)-(26.7) ఆధారంగా మనం ఇప్పుడు వ్రాయవచ్చు:
సంఖ్యల కంటే సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లపై సరళమైన కార్యకలాపాలు జరుగుతాయని మేము గమనించాము: సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు, వాటి లాగరిథమ్‌లు జోడించబడతాయి, విభజించేటప్పుడు, అవి తీసివేయబడతాయి మొదలైనవి.
అందుకే కంప్యూటింగ్ ప్రాక్టీస్‌లో లాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి (పేరా 29 చూడండి).
సంవర్గమానం యొక్క విలోమ చర్యను పొటెన్షియేషన్ అంటారు, అవి: పొటెన్షియేషన్ అనేది ఒక సంఖ్య యొక్క ఇచ్చిన లాగరిథమ్ నుండి సంఖ్యను కనుగొనే చర్య. ముఖ్యంగా, పొటెన్షియేషన్ అనేది ఏ ప్రత్యేక చర్య కాదు: ఇది ఒక స్థావరాన్ని శక్తికి పెంచడానికి వస్తుంది ( సంవర్గమానానికి సమానంసంఖ్యలు). "పొటెన్షియేషన్" అనే పదాన్ని "ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్" అనే పదానికి పర్యాయపదంగా పరిగణించవచ్చు.
పొటెన్షియేటింగ్ చేసినప్పుడు, ఒకరు తప్పనిసరిగా సంవర్గమాన నియమాలకు విరుద్ధంగా నియమాలను ఉపయోగించాలి: సంవర్గమానాల మొత్తాన్ని ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానంతో భర్తీ చేయండి, సంవర్గమానాల వ్యత్యాసాన్ని గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌తో భర్తీ చేయండి. ముఖ్యంగా, ముందు కారకం ఉంటే సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం, అప్పుడు పొటెన్షియేషన్ సమయంలో అది సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద ఘాతాంక డిగ్రీలకు బదిలీ చేయబడాలి.
ఉదాహరణ 5. N అని తెలిసినట్లయితే కనుగొనండి
పరిష్కారం. పొటెన్షియేషన్ యొక్క ఇప్పుడే పేర్కొన్న నియమానికి సంబంధించి, మేము ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న లాగరిథమ్‌ల చిహ్నాల ముందు నిలబడి ఉన్న 2/3 మరియు 1/3 కారకాలను ఈ లాగరిథమ్‌ల సంకేతాల క్రింద ఘాతాంకాల్లోకి బదిలీ చేస్తాము; మాకు దొరికింది
ఇప్పుడు మనం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసాన్ని గుణకం యొక్క లాగరిథంతో భర్తీ చేస్తాము:
ఈ సమానత్వాల గొలుసులోని చివరి భిన్నాన్ని పొందడానికి, మేము హారంలోని అహేతుకత నుండి మునుపటి భాగాన్ని విడిపించాము (నిబంధన 25).
ఆస్తి 7. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, అప్పుడు పెద్ద సంఖ్యపెద్ద సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉంటుంది (మరియు చిన్న సంఖ్యకు చిన్నది ఉంటుంది), ఆధారం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే, పెద్ద సంఖ్యకు చిన్న సంవర్గమానం ఉంటుంది (మరియు చిన్న సంఖ్యకు పెద్దది ఉంటుంది).
ఈ ఆస్తి అసమానతల సంవర్గమానాలను తీసుకోవడానికి నియమం వలె రూపొందించబడింది, వీటిలో రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉంటాయి:
అసమానతల లాగరిథమ్‌లను బేస్‌కి తీసుకున్నప్పుడు, ఒకటి కంటే ఎక్కువ, అసమానత యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది మరియు ఒక సంవర్గమానాన్ని ఒకటి కంటే తక్కువ బేస్‌కి తీసుకున్నప్పుడు, అసమానత యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది (పేరా 80 కూడా చూడండి).
రుజువు లక్షణాలు 5 మరియు 3పై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒకవేళ , ఆపై మరియు, లాగరిథమ్‌లను తీసుకుంటే, మేము పొందినప్పుడు కేసును పరిగణించండి
(a మరియు N/M ఏకత్వం యొక్క ఒకే వైపున ఉంటాయి). ఇక్కడనుంచి
కింది సందర్భం, పాఠకుడు దానిని స్వయంగా గుర్తించగలడు.
దాని నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది. కాబట్టి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా ఎసంఖ్యను పెంచాల్సిన ఘాతాంకం వలె నిర్వచించబడింది aసంఖ్యను పొందడానికి బి(సంవర్గమానం సానుకూల సంఖ్యలకు మాత్రమే ఉంటుంది).
ఈ సూత్రీకరణ నుండి అది గణనను అనుసరిస్తుంది x=లాగ్ ఎ బి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సమానం a x =b.ఉదాహరణకి, లాగ్ 2 8 = 3ఎందుకంటే 8 = 2 3 . సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ దానిని సమర్థించడం సాధ్యం చేస్తుంది b=a c, ఆపై సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా aసమానం తో. సంవర్గమానాల అంశం సంఖ్య యొక్క శక్తుల అంశానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉందని కూడా స్పష్టమవుతుంది.
లాగరిథమ్‌లతో, ఏదైనా సంఖ్యల మాదిరిగానే, మీరు చేయవచ్చు కూడిక, తీసివేత కార్యకలాపాలుమరియు సాధ్యమైన ప్రతి విధంగా మార్చండి. కానీ లాగరిథమ్‌లు పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, వాటి స్వంత ప్రత్యేక నియమాలు ఇక్కడ వర్తిస్తాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.
లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం.
తో రెండు సంవర్గమానాలను తీసుకుందాం అదే ప్రాతిపదికన: లాగ్ a xమరియు లాగ్ a y. అప్పుడు అదనంగా మరియు తీసివేత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది:
లాగ్ a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
లాగ్ a(x 1 . x 2 . x 3 ... x కె) = లాగ్ a x 1 + లాగ్ a x 2 + లాగ్ a x 3 + ... + లాగ్ a x k.
నుండి సంవర్గమాన గణిత సిద్ధాంతంసంవర్గమానం యొక్క మరొక ఆస్తిని పొందవచ్చు. లాగ్ అని సాధారణ జ్ఞానం a 1= 0, కాబట్టి
లాగ్ a 1 /బి= చిట్టా a 1 - లాగ్ ఒక బి= - లాగ్ ఒక బి.
అంటే సమానత్వం ఉంది:
లాగ్ ఎ 1 / బి = - లాగ్ ఎ బి.
రెండు పరస్పర సంఖ్యల సంవర్గమానాలుఅదే కారణంతో ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటుంది. కాబట్టి:
లాగ్ 3 9= - లాగ్ 3 1 / 9 ; లాగ్ 5 1 / 125 = -లాగ్ 5 125.