సమగ్రంగా ఒక వ్యక్తి యొక్క ప్రాంతం. ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్. ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించండి (వక్ర ట్రాపజోయిడ్ ప్రాంతం)

ఖచ్చితమైన సమగ్ర. ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా లెక్కించాలి

సమగ్ర కాలిక్యులస్ యొక్క అనువర్తనాలను పరిశీలిద్దాం. ఈ పాఠంలో మేము సాధారణ మరియు అత్యంత సాధారణ పనిని విశ్లేషిస్తాము - ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఎలా ఉపయోగించాలి. చివరగా, ఉన్నత గణితంలో అర్థం కోసం చూస్తున్న వారు - వారు దానిని కనుగొనవచ్చు. నీకు ఎన్నటికి తెలియదు. నిజ జీవితంలో, మీరు ప్రాథమిక విధులను ఉపయోగించి డాచా ప్లాట్‌ను అంచనా వేయాలి మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి దాని ప్రాంతాన్ని కనుగొనాలి.

మెటీరియల్‌ను విజయవంతంగా నేర్చుకోవడానికి, మీరు తప్పక:

1) నిరవధిక సమగ్రతను కనీసం ఇంటర్మీడియట్ స్థాయిలో అర్థం చేసుకోండి. అందువల్ల, డమ్మీలు మొదట పాఠాన్ని చదవాలి కాదు.

వాస్తవానికి, ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీకు నిరవధిక మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రత గురించి ఎక్కువ జ్ఞానం అవసరం లేదు. "నిర్దిష్ట సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని లెక్కించడం" అనే పని ఎల్లప్పుడూ డ్రాయింగ్‌ను నిర్మించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి మీ జ్ఞానం మరియు డ్రాయింగ్ నైపుణ్యాలు మరింత ముఖ్యమైన సమస్యగా ఉంటాయి. ఈ విషయంలో, ప్రాథమిక ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల యొక్క మీ మెమరీని రిఫ్రెష్ చేయడానికి మరియు కనిష్టంగా, సరళ రేఖ, పారాబొలా మరియు హైపర్బోలాను నిర్మించడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది. ఇది మెథడాలాజికల్ మెటీరియల్ మరియు గ్రాఫ్‌ల రేఖాగణిత పరివర్తనలపై ఒక కథనం సహాయంతో (చాలా మందికి, ఇది అవసరం) చేయవచ్చు.

వాస్తవానికి, ప్రతి ఒక్కరూ పాఠశాల నుండి ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని కనుగొనే పనిని కలిగి ఉన్నారు మరియు మేము పాఠశాల పాఠ్యాంశాల కంటే ఎక్కువ ముందుకు వెళ్లము. ఈ ఆర్టికల్ ఉనికిలో ఉండకపోవచ్చు, కానీ వాస్తవం ఏమిటంటే, ఒక విద్యార్థి అసహ్యించుకునే పాఠశాలతో బాధపడుతూ, ఉత్సాహంగా ఉన్నత గణితంలో పట్టు సాధించినప్పుడు 100 కేసులలో 99 కేసులలో సమస్య ఏర్పడుతుంది.

ఈ వర్క్‌షాప్ యొక్క పదార్థాలు సరళంగా, వివరంగా మరియు కనీస సిద్ధాంతంతో ప్రదర్శించబడతాయి.

వక్ర ట్రాపెజాయిడ్‌తో ప్రారంభిద్దాం.

కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ఒక అక్షం, సరళ రేఖలు మరియు ఈ విరామంలో గుర్తును మార్చని విరామంలో నిరంతరాయంగా ఉండే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో సరిహద్దులుగా ఉండే ఫ్లాట్ ఫిగర్. ఈ బొమ్మను గుర్తించనివ్వండి తక్కువ కాదు x-అక్షం:

అప్పుడు కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం సంఖ్యాపరంగా ఖచ్చితమైన సమగ్రానికి సమానం. ఏదైనా ఖచ్చితమైన సమగ్ర (ఉన్నది) చాలా మంచి రేఖాగణిత అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. పాఠం వద్ద ఖచ్చితమైన సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలుఖచ్చితమైన సమగ్రత ఒక సంఖ్య అని నేను చెప్పాను. మరియు ఇప్పుడు మరొక ఉపయోగకరమైన వాస్తవాన్ని చెప్పడానికి సమయం ఆసన్నమైంది. జ్యామితి దృక్కోణం నుండి, ఖచ్చితమైన సమగ్రత AREA.

అంటే, ఖచ్చితమైన సమగ్ర (అది ఉన్నట్లయితే) జ్యామితీయంగా ఒక నిర్దిష్ట వ్యక్తి యొక్క వైశాల్యానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఖచ్చితమైన సమగ్రతను పరిగణించండి. సమగ్రత అక్షం పైన ఉన్న విమానంలో ఒక వక్రరేఖను నిర్వచిస్తుంది (అనుకునే వారు డ్రాయింగ్ చేయవచ్చు), మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రత సంబంధిత కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యానికి సంఖ్యాపరంగా సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1

ఇది ఒక సాధారణ అసైన్‌మెంట్ స్టేట్‌మెంట్. నిర్ణయంలో మొదటి మరియు అతి ముఖ్యమైన అంశం డ్రాయింగ్ నిర్మాణం. అంతేకాక, డ్రాయింగ్ తప్పనిసరిగా నిర్మించబడాలి కుడి.

డ్రాయింగ్‌ను నిర్మిస్తున్నప్పుడు, నేను ఈ క్రింది క్రమాన్ని సిఫార్సు చేస్తున్నాను: మొదటఅన్ని సరళ రేఖలను (అవి ఉన్నట్లయితే) మరియు మాత్రమే నిర్మించడం మంచిది అప్పుడు- పారాబొలాస్, హైపర్బోలాస్, ఇతర ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు. ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడం మరింత లాభదాయకం పాయింట్ బై పాయింట్, పాయింట్-బై-పాయింట్ నిర్మాణ సాంకేతికతను రిఫరెన్స్ మెటీరియల్‌లో కనుగొనవచ్చు ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు. అక్కడ మీరు మా పాఠం కోసం చాలా ఉపయోగకరమైన పదార్థాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు - పారాబొలాను త్వరగా ఎలా నిర్మించాలో.

ఈ సమస్యలో, పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు.
డ్రాయింగ్‌ని గీయండి (సమీకరణం అక్షాన్ని నిర్వచించిందని గమనించండి):

నేను వంగిన ట్రాపెజాయిడ్‌ను షేడ్ చేయను; మనం ఏ ప్రాంతం గురించి మాట్లాడుతున్నామో ఇక్కడ స్పష్టంగా ఉంది. పరిష్కారం ఇలా కొనసాగుతుంది:

విభాగంలో, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఉంది అక్షం పైన, అందుకే:

సమాధానం:

ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించడంలో మరియు న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడంలో ఎవరికి ఇబ్బందులు ఉన్నాయి , ఉపన్యాసాన్ని చూడండి ఖచ్చితమైన సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు.

పని పూర్తయిన తర్వాత, డ్రాయింగ్‌ను చూడటం మరియు సమాధానం నిజమో కాదో గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, “కంటి ద్వారా” డ్రాయింగ్‌లోని కణాల సంఖ్యను మేము లెక్కిస్తాము - సరే, సుమారు 9 ఉంటుంది, ఇది నిజం అనిపిస్తుంది. మనకు సమాధానం దొరికితే, చెప్పాలంటే: 20 చదరపు యూనిట్లు, ఎక్కడో పొరపాటు జరిగిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది - 20 కణాలు స్పష్టంగా డజనులో ప్రశ్నకు సరిపోవు. సమాధానం ప్రతికూలంగా ఉంటే, పని కూడా తప్పుగా పరిష్కరించబడింది.

ఉదాహరణ 2

పంక్తులు, , మరియు అక్షంతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ ఉన్నట్లయితే ఏమి చేయాలి ఇరుసు కింద?

ఉదాహరణ 3

పంక్తులు మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం: డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

ఒక వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ ఉన్నట్లయితే ఇరుసు కింద(లేదా కనీసం ఎక్కువ కాదుఇచ్చిన అక్షం), అప్పుడు దాని వైశాల్యాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:
ఈ విషయంలో:

శ్రద్ధ! రెండు రకాల పనులు గందరగోళంగా ఉండకూడదు:

1) మీరు ఏ రేఖాగణిత అర్థం లేకుండా కేవలం ఖచ్చితమైన సమగ్రతను పరిష్కరించమని అడిగితే, అది ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు.

2) ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనమని మిమ్మల్ని అడిగితే, ఆ ప్రాంతం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది! అందుకే ఇప్పుడు చర్చించిన ఫార్ములాలో మైనస్ కనిపిస్తుంది.

ఆచరణలో, చాలా తరచుగా ఫిగర్ ఎగువ మరియు దిగువ సగం-విమానం రెండింటిలోనూ ఉంది మరియు అందువల్ల, సరళమైన పాఠశాల సమస్యల నుండి మేము మరింత అర్ధవంతమైన ఉదాహరణలకు వెళ్తాము.

ఉదాహరణ 4

పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న ఒక విమానం బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం: మొదటి మీరు డ్రాయింగ్ పూర్తి చేయాలి. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఏరియా సమస్యలలో డ్రాయింగ్‌ను నిర్మిస్తున్నప్పుడు, పంక్తుల ఖండన పాయింట్లపై మాకు చాలా ఆసక్తి ఉంటుంది. పారాబొలా మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి. ఇది రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు. మొదటి పద్ధతి విశ్లేషణాత్మకమైనది. మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

దీని అర్థం ఏకీకరణ యొక్క దిగువ పరిమితి , ఏకీకరణ యొక్క ఎగువ పరిమితి .
వీలైతే, ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించకపోవడమే మంచిది..

పాయింట్లవారీగా పంక్తులను నిర్మించడం మరింత లాభదాయకం మరియు వేగవంతమైనది, మరియు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు "తాము స్వయంగా" స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి. వివిధ గ్రాఫ్‌ల కోసం పాయింట్-బై-పాయింట్ నిర్మాణ సాంకేతికత సహాయంలో వివరంగా చర్చించబడింది ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు. అయినప్పటికీ, గ్రాఫ్ తగినంత పెద్దదిగా ఉంటే లేదా వివరణాత్మక నిర్మాణం ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను బహిర్గతం చేయకపోతే (అవి భిన్నమైనవి లేదా అహేతుకం కావచ్చు) పరిమితులను కనుగొనే విశ్లేషణాత్మక పద్ధతిని కొన్నిసార్లు ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. మరియు మేము అలాంటి ఉదాహరణను కూడా పరిశీలిస్తాము.

మన పనికి తిరిగి వెళ్దాం: మొదట సరళ రేఖను నిర్మించడం మరింత హేతుబద్ధమైనది మరియు తర్వాత మాత్రమే పారాబొలా. డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

పాయింట్‌వైజ్‌గా నిర్మించేటప్పుడు, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు చాలా తరచుగా "ఆటోమేటిక్‌గా" కనుగొనబడతాయని నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను.

మరియు ఇప్పుడు పని సూత్రం: సెగ్మెంట్‌లో కొంత నిరంతర ఫంక్షన్ ఉంటే కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంకొన్ని నిరంతర ఫంక్షన్ , అప్పుడు ఈ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు మరియు పంక్తుల ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ఫిగర్ వైశాల్యం , సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

ఇక్కడ మీరు బొమ్మ ఎక్కడ ఉందో ఆలోచించాల్సిన అవసరం లేదు - అక్షం పైన లేదా అక్షం క్రింద, మరియు, సుమారుగా చెప్పాలంటే, ఏ గ్రాఫ్ ఎక్కువగా ఉందో ముఖ్యం(మరొక గ్రాఫ్‌కు సంబంధించి), మరియు క్రింద ఉన్నది ఏది.

పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో, సెగ్మెంట్లో పారాబొలా సరళ రేఖకు పైన ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది మరియు అందువల్ల దాని నుండి తీసివేయడం అవసరం.

పూర్తయిన పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు:

కావలసిన బొమ్మ పైన పారాబొలా మరియు దిగువ సరళ రేఖ ద్వారా పరిమితం చేయబడింది.
విభాగంలో, సంబంధిత సూత్రం ప్రకారం:

సమాధానం:

వాస్తవానికి, దిగువ సగం-ప్లేన్‌లోని కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ వైశాల్యం కోసం పాఠశాల సూత్రం (సాధారణ ఉదాహరణ సంఖ్య 3 చూడండి) సూత్రం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. . అక్షం సమీకరణం ద్వారా పేర్కొనబడినందున, మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఉంది ఎక్కువ కాదుగొడ్డలి, అప్పుడు

మరియు ఇప్పుడు మీ స్వంత పరిష్కారం కోసం కొన్ని ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 5

ఉదాహరణ 6

పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కొన్నిసార్లు ఒక తమాషా సంఘటన జరుగుతుంది. డ్రాయింగ్ సరిగ్గా జరిగింది, లెక్కలు సరిగ్గా ఉన్నాయి, కానీ అజాగ్రత్త కారణంగా ... తప్పు బొమ్మ యొక్క ప్రాంతం కనుగొనబడింది, మీ వినయపూర్వకమైన సేవకుడు చాలాసార్లు ఇలాగే చిత్తు చేశాడు. ఇక్కడ ఒక నిజ జీవిత కేసు ఉంది:

ఉదాహరణ 7

పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి, , , .

పరిష్కారం: ముందుగా, డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

...ఓహ్, డ్రాయింగ్ చెత్తగా వచ్చింది, కానీ ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉన్నట్లు అనిపిస్తుంది.

మనం కనుగొనవలసిన ప్రాంతం నీలం రంగులో ఉంటుంది(పరిస్థితిని జాగ్రత్తగా చూడండి - ఫిగర్ ఎలా పరిమితం చేయబడింది!). కానీ ఆచరణలో, అజాగ్రత్త కారణంగా, ఆకుపచ్చ రంగులో ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని మీరు కనుగొనవలసిన “గ్లిచ్” తరచుగా సంభవిస్తుంది!

ఈ ఉదాహరణ రెండు ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను ఉపయోగించి ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడంలో కూడా ఉపయోగపడుతుంది. నిజంగా:

1) అక్షం పైన ఉన్న విభాగంలో సరళ రేఖ యొక్క గ్రాఫ్ ఉంది;

2) అక్షం పైన ఉన్న విభాగంలో హైపర్బోలా యొక్క గ్రాఫ్ ఉంది.

ప్రాంతాలను జోడించవచ్చని (మరియు తప్పక) చాలా స్పష్టంగా ఉంది, కాబట్టి:

సమాధానం:

మరో అర్ధవంతమైన పనికి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 8

పంక్తులచే పరిమితం చేయబడిన బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి,
సమీకరణాలను "పాఠశాల" రూపంలో ప్రదర్శిస్తాము మరియు పాయింట్-బై-పాయింట్ డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

డ్రాయింగ్ నుండి మా ఎగువ పరిమితి "మంచిది" అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది: .
కానీ తక్కువ పరిమితి ఏమిటి?! ఇది పూర్ణాంకం కాదని స్పష్టంగా ఉంది, కానీ అది ఏమిటి? బహుశా ? కానీ డ్రాయింగ్ ఖచ్చితమైన ఖచ్చితత్వంతో తయారు చేయబడిందని హామీ ఎక్కడ ఉంది, అది బాగా మారవచ్చు ... లేదా రూట్. మనం గ్రాఫ్‌ను తప్పుగా నిర్మించినట్లయితే?

అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు అదనపు సమయాన్ని వెచ్చించాలి మరియు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను విశ్లేషణాత్మకంగా స్పష్టం చేయాలి.

సరళ రేఖ మరియు పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులను కనుగొనండి.
దీన్ని చేయడానికి, మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

,

నిజంగా, .

తదుపరి పరిష్కారం అల్పమైనది, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే ప్రత్యామ్నాయాలు మరియు సంకేతాలలో గందరగోళం చెందకూడదు; ఇక్కడ లెక్కలు సరళమైనవి కావు.

విభాగంలో , సంబంధిత సూత్రం ప్రకారం:

సమాధానం:

బాగా, పాఠాన్ని ముగించడానికి, మరో రెండు కష్టమైన పనులను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 9

పంక్తులచే సరిహద్దు చేయబడిన బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి, ,

పరిష్కారం: డ్రాయింగ్‌లో ఈ బొమ్మను వర్ణిద్దాం.

పాపం, నేను షెడ్యూల్‌పై సంతకం చేయడం మర్చిపోయాను మరియు క్షమించండి, నేను చిత్రాన్ని మళ్లీ చేయాలనుకోలేదు. డ్రాయింగ్ డే కాదు, సంక్షిప్తంగా, ఈ రోజు =)

పాయింట్-బై-పాయింట్ నిర్మాణం కోసం, సైనూసోయిడ్ రూపాన్ని తెలుసుకోవడం అవసరం (మరియు సాధారణంగా తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అన్ని ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు), అలాగే కొన్ని సైన్ విలువలు, వాటిని కనుగొనవచ్చు త్రికోణమితి పట్టిక. కొన్ని సందర్భాల్లో (ఈ సందర్భంలో వలె), స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్‌ను నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది, దానిపై గ్రాఫ్‌లు మరియు ఏకీకరణ పరిమితులు ప్రాథమికంగా సరిగ్గా ప్రదర్శించబడాలి.

ఇక్కడ ఏకీకరణ పరిమితులతో సమస్యలు లేవు; అవి షరతు నుండి నేరుగా అనుసరిస్తాయి: "x" సున్నా నుండి "pi"కి మారుతుంది. తదుపరి నిర్ణయం తీసుకుందాం:

సెగ్మెంట్లో, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అక్షం పైన ఉంది, కాబట్టి:

మేము డబుల్ ఇంటిగ్రల్‌ను లెక్కించే వాస్తవ ప్రక్రియను పరిగణించడం ప్రారంభిస్తాము మరియు దాని రేఖాగణిత అర్థంతో పరిచయం పొందుతాము.

డబుల్ ఇంటిగ్రల్ సంఖ్యాపరంగా ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యానికి సమానం (ఏకీకరణ ప్రాంతం). రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ ఒకదానికి సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఇది డబుల్ ఇంటిగ్రల్ యొక్క సరళమైన రూపం: .

మొదట, సమస్యను సాధారణ రూపంలో చూద్దాం. ప్రతిదీ నిజంగా ఎంత సులభం అని ఇప్పుడు మీరు చాలా ఆశ్చర్యపోతారు! పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫ్లాట్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని గణిద్దాం. ఖచ్చితత్వం కోసం, మేము సెగ్మెంట్‌లో ఊహించుకుంటాము. ఈ సంఖ్య యొక్క వైశాల్యం సంఖ్యాపరంగా దీనికి సమానం:

డ్రాయింగ్‌లోని ప్రాంతాన్ని వర్ణిద్దాం:

ప్రాంతాన్ని దాటడానికి మొదటి మార్గాన్ని ఎంచుకుందాం:

ఈ విధంగా:

మరియు వెంటనే ఒక ముఖ్యమైన సాంకేతిక సాంకేతికత: పునరావృత సమగ్రాలను విడిగా లెక్కించవచ్చు. మొదట అంతర్గత సమగ్రం, తరువాత బాహ్య సమగ్రం. సబ్జెక్టులో ప్రారంభకులకు నేను ఈ పద్ధతిని బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

1) అంతర్గత సమగ్రతను గణిద్దాం మరియు ఏకీకరణ వేరియబుల్ “y”పై నిర్వహించబడుతుంది:

ఇక్కడ నిరవధిక సమగ్రత సరళమైనది, ఆపై సామాన్యమైన న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా ఉపయోగించబడుతుంది, ఒకే తేడాతో ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు సంఖ్యలు కాదు, విధులు. మొదట, మేము ఎగువ పరిమితిని "y" (యాంటిడెరివేటివ్ ఫంక్షన్)కి ప్రత్యామ్నాయం చేసాము, ఆపై దిగువ పరిమితి

2) మొదటి పేరాలో పొందిన ఫలితాన్ని తప్పనిసరిగా బాహ్య సమగ్రంగా భర్తీ చేయాలి:

మొత్తం పరిష్కారం యొక్క మరింత కాంపాక్ట్ ప్రాతినిధ్యం ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఫలిత సూత్రం "సాధారణ" ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి విమానం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సరిగ్గా పని సూత్రం! పాఠాన్ని చూడండి ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని గణించడం, అడుగడుగునా ఆమె ఉంది!

అంటే, డబుల్ ఇంటిగ్రల్ ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని లెక్కించడంలో సమస్య చాలా భిన్నంగా లేదుఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య నుండి!నిజానికి, ఇది అదే విషయం!

దీని ప్రకారం, ఎటువంటి ఇబ్బందులు తలెత్తకూడదు! నేను చాలా ఉదాహరణలను చూడను, ఎందుకంటే మీరు ఈ పనిని పదేపదే ఎదుర్కొన్నారు.

ఉదాహరణ 9

పరిష్కారం:డ్రాయింగ్‌లోని ప్రాంతాన్ని వర్ణిద్దాం:

మేము ప్రాంతం యొక్క ఈ క్రింది క్రమాన్ని ఎంచుకుందాం:

మొదటి పేరాలో చాలా వివరణాత్మక వివరణలు ఇవ్వబడినందున, ఈ ప్రాంతాన్ని ఎలా ప్రయాణించాలో ఇక్కడ మరియు తదుపరి నేను నివసించను.

ఈ విధంగా:

నేను ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, ప్రారంభకులకు పునరుత్పాదక సమగ్రాలను విడిగా లెక్కించడం మంచిది మరియు నేను అదే పద్ధతికి కట్టుబడి ఉంటాను:

1) ముందుగా, న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము అంతర్గత సమగ్రతతో వ్యవహరిస్తాము:

2) మొదటి దశలో పొందిన ఫలితం బాహ్య సమగ్రంగా భర్తీ చేయబడింది:

పాయింట్ 2 వాస్తవానికి ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ఒక విమానం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం.

సమాధానం:

ఇది చాలా తెలివితక్కువ మరియు అమాయకమైన పని.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఒక ఆసక్తికరమైన ఉదాహరణ:

ఉదాహరణ 10

డబుల్ ఇంటిగ్రల్ ఉపయోగించి, పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి, ,

పాఠం చివరిలో తుది పరిష్కారం యొక్క ఉజ్జాయింపు ఉదాహరణ.

ఉదాహరణలు 9-10లో, ప్రాంతాన్ని దాటడానికి మొదటి పద్ధతిని ఉపయోగించడం చాలా లాభదాయకంగా ఉంటుంది; ఆసక్తిగల పాఠకులు, మార్గం ద్వారా, ట్రావెర్సల్ క్రమాన్ని మార్చవచ్చు మరియు రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రాంతాలను లెక్కించవచ్చు. మీరు తప్పు చేయకపోతే, సహజంగా, మీరు అదే ప్రాంత విలువలను పొందుతారు.

కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో, ఈ ప్రాంతాన్ని దాటడానికి రెండవ పద్ధతి మరింత ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది మరియు యువ మేధావి కోర్సు ముగింపులో, ఈ అంశంపై మరికొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:

ఉదాహరణ 11

డబుల్ ఇంటిగ్రల్ ఉపయోగించి, పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి,

పరిష్కారం:మేము రెండు పారాబొలాస్ వాటి వైపులా ఉండే చమత్కారాల కోసం ఎదురు చూస్తున్నాము. చిరునవ్వు అవసరం లేదు; బహుళ సమగ్రాలలో ఇలాంటి విషయాలు చాలా తరచుగా జరుగుతాయి.

డ్రాయింగ్ చేయడానికి సులభమైన మార్గం ఏమిటి?

పారాబొలాను రెండు ఫంక్షన్ల రూపంలో ఊహించుకుందాం:
- ఎగువ శాఖ మరియు - దిగువ శాఖ.

అదేవిధంగా, ఎగువ మరియు దిగువ రూపంలో ఒక పారాబొలాను ఊహించుకోండి శాఖలు.

తర్వాత, గ్రాఫ్‌ల నియమాల పాయింట్ల వారీగా ప్లాట్ చేయడం, ఫలితంగా అటువంటి విచిత్రమైన బొమ్మ ఏర్పడుతుంది:

మేము ఫార్ములా ప్రకారం డబుల్ ఇంటిగ్రల్ ఉపయోగించి ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కిస్తాము:

మేము ఆ ప్రాంతాన్ని దాటడానికి మొదటి పద్ధతిని ఎంచుకుంటే ఏమి జరుగుతుంది? మొదట, ఈ ప్రాంతాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజించాలి. మరియు రెండవది, మేము ఈ విచారకరమైన చిత్రాన్ని గమనిస్తాము: . ఇంటిగ్రల్స్, వాస్తవానికి, సూపర్-కాంప్లికేటెడ్ స్థాయి కాదు, కానీ... పాత గణిత సామెత ఉంది: వారి మూలాలకు దగ్గరగా ఉన్నవారికి పరీక్ష అవసరం లేదు.

కాబట్టి, పరిస్థితిలో ఇచ్చిన అపార్థం నుండి, మేము విలోమ విధులను వ్యక్తపరుస్తాము:

ఈ ఉదాహరణలోని విలోమ విధులు ఎటువంటి ఆకులు, పళ్లు, కొమ్మలు మరియు మూలాలు లేకుండా మొత్తం పారాబొలాను ఒకేసారి పేర్కొనే ప్రయోజనాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి ప్రకారం, ఏరియా ట్రావర్సల్ క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

ఈ విధంగా:

వారు చెప్పినట్లు, వ్యత్యాసాన్ని అనుభవించండి.

1) మేము అంతర్గత సమగ్రతతో వ్యవహరిస్తాము:

మేము ఫలితాన్ని బాహ్య సమగ్రంగా భర్తీ చేస్తాము:

వేరియబుల్ “y”పై ఏకీకరణ గందరగోళంగా ఉండకూడదు; ఒకవేళ “zy” అక్షరం ఉంటే, దానిపై ఏకీకరణ చేయడం చాలా బాగుంది. పాఠం యొక్క రెండవ పేరా ఎవరు చదివినప్పటికీ భ్రమణ శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని ఎలా లెక్కించాలి, అతను ఇకపై "Y" పద్ధతి ప్రకారం ఏకీకరణతో స్వల్పంగా ఇబ్బందిని అనుభవించడు.

మొదటి దశకు కూడా శ్రద్ధ వహించండి: సమగ్రత సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఏకీకరణ యొక్క విరామం సున్నాకి సుష్టంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, విభాగాన్ని సగానికి తగ్గించవచ్చు మరియు ఫలితాన్ని రెట్టింపు చేయవచ్చు. ఈ సాంకేతికత పాఠంలో వివరంగా వ్యాఖ్యానించబడింది. ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించడానికి సమర్థవంతమైన పద్ధతులు.

ఏమి జోడించాలి…. అన్నీ!

సమాధానం:

మీ ఇంటిగ్రేషన్ టెక్నిక్‌ని పరీక్షించడానికి, మీరు లెక్కించేందుకు ప్రయత్నించవచ్చు . సమాధానం సరిగ్గా అదే విధంగా ఉండాలి.

ఉదాహరణ 12

డబుల్ ఇంటిగ్రల్ ఉపయోగించి, పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. మీరు ప్రాంతాన్ని దాటడానికి మొదటి పద్ధతిని ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నించినట్లయితే, ఆ బొమ్మను ఇకపై రెండుగా విభజించాల్సిన అవసరం లేదు, కానీ మూడు భాగాలుగా విభజించబడుతుందని గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది! మరియు, తదనుగుణంగా, మేము మూడు జతల పునరావృత సమగ్రాలను పొందుతాము. కొన్నిసార్లు ఇది జరుగుతుంది.

మాస్టర్ క్లాస్ ముగిసింది మరియు గ్రాండ్‌మాస్టర్ స్థాయికి వెళ్లే సమయం వచ్చింది - డబుల్ ఇంటిగ్రల్‌ను ఎలా లెక్కించాలి? పరిష్కారాల ఉదాహరణలు. నేను రెండవ వ్యాసంలో చాలా ఉన్మాదంగా ఉండకూడదని ప్రయత్నిస్తాను =)

మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను!

పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:

ఉదాహరణ 2:పరిష్కారం: ప్రాంతాన్ని వర్ణిద్దాం డ్రాయింగ్ మీద:

మేము ప్రాంతం యొక్క ఈ క్రింది క్రమాన్ని ఎంచుకుందాం:

ఈ విధంగా:
విలోమ ఫంక్షన్లకు వెళ్దాం:

ఈ విధంగా:
సమాధానం:

ఉదాహరణ 4:పరిష్కారం: డైరెక్ట్ ఫంక్షన్లకు వెళ్దాం:

డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

ప్రాంతాన్ని దాటే క్రమాన్ని మారుద్దాం:

సమాధానం:

సమగ్ర కాలిక్యులస్ యొక్క అనువర్తనాలను పరిశీలిద్దాం. ఈ పాఠంలో మేము సాధారణ మరియు అత్యంత సాధారణ పనిని విశ్లేషిస్తాము ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి సమతల బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం. చివరగా, ఉన్నత గణితంలో అర్థాన్ని కోరుకునే వారందరూ దానిని కనుగొననివ్వండి. నీకు ఎన్నటికి తెలియదు. నిజ జీవితంలో, మీరు ప్రాథమిక విధులను ఉపయోగించి డాచా ప్లాట్‌ను అంచనా వేయాలి మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి దాని ప్రాంతాన్ని కనుగొనాలి.

మెటీరియల్‌ను విజయవంతంగా నేర్చుకోవడానికి, మీరు తప్పక:

2) న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయగలరు మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించగలరు. మీరు పేజీలోని కొన్ని సమగ్రాలతో స్నేహపూర్వక సంబంధాలను ఏర్పరచుకోవచ్చు ఖచ్చితమైన సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు. "నిర్దిష్ట సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని లెక్కించడం" అనే పని ఎల్లప్పుడూ డ్రాయింగ్‌ను నిర్మించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి మీ జ్ఞానం మరియు డ్రాయింగ్ నైపుణ్యాలు కూడా సంబంధిత సమస్యగా ఉంటాయి. కనిష్టంగా, మీరు సరళ రేఖ, పారాబొలా మరియు హైపర్బోలాను నిర్మించగలగాలి.

వక్ర ట్రాపెజాయిడ్‌తో ప్రారంభిద్దాం. వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ అనేది కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫ్లాట్ ఫిగర్ వై = f(x), అక్షం OXమరియు పంక్తులు x = a; x = బి.

కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం సంఖ్యాపరంగా ఖచ్చితమైన సమగ్రానికి సమానం

ఏదైనా ఖచ్చితమైన సమగ్ర (ఉన్నది) చాలా మంచి రేఖాగణిత అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. పాఠం వద్ద ఖచ్చితమైన సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలుమేము ఒక ఖచ్చితమైన సమగ్ర సంఖ్య అని చెప్పాము. మరియు ఇప్పుడు మరొక ఉపయోగకరమైన వాస్తవాన్ని చెప్పడానికి సమయం ఆసన్నమైంది. జ్యామితి దృక్కోణం నుండి, ఖచ్చితమైన సమగ్రత AREA. అంటే, ఖచ్చితమైన సమగ్ర (అది ఉన్నట్లయితే) జ్యామితీయంగా ఒక నిర్దిష్ట వ్యక్తి యొక్క వైశాల్యానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఖచ్చితమైన సమగ్రతను పరిగణించండి

సమగ్ర

విమానంలో ఒక వక్రరేఖను నిర్వచిస్తుంది (కావాలనుకుంటే దానిని గీయవచ్చు), మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రత సంబంధిత కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యానికి సంఖ్యాపరంగా సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1

, , , .

ఇది ఒక సాధారణ అసైన్‌మెంట్ స్టేట్‌మెంట్. నిర్ణయంలో అత్యంత ముఖ్యమైన అంశం డ్రాయింగ్ నిర్మాణం. అంతేకాక, డ్రాయింగ్ తప్పనిసరిగా నిర్మించబడాలి కుడి.

డ్రాయింగ్‌ను నిర్మిస్తున్నప్పుడు, నేను ఈ క్రింది క్రమాన్ని సిఫార్సు చేస్తున్నాను: మొదటఅన్ని సరళ రేఖలను (అవి ఉన్నట్లయితే) మరియు మాత్రమే నిర్మించడం మంచిది అప్పుడు- పారాబొలాస్, హైపర్బోలాస్, ఇతర ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు. పాయింట్-బై-పాయింట్ నిర్మాణ సాంకేతికతను రిఫరెన్స్ మెటీరియల్‌లో కనుగొనవచ్చు ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు. అక్కడ మీరు మా పాఠం కోసం చాలా ఉపయోగకరమైన పదార్థాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు - పారాబొలాను త్వరగా ఎలా నిర్మించాలో.

ఈ సమస్యలో, పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు.

డ్రాయింగ్ చేద్దాం (సమీకరణం అని గమనించండి వై= 0 అక్షాన్ని నిర్దేశిస్తుంది OX):

మేము వంగిన ట్రాపెజాయిడ్‌కు నీడను ఇవ్వము; ఇక్కడ మనం ఏ ప్రాంతం గురించి మాట్లాడుతున్నామో స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. పరిష్కారం ఇలా కొనసాగుతుంది:

విభాగంలో [-2; 1] ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ వై = x 2 + 2 ఉంది అక్షం పైనOX, అందుకే:

సమాధానం: .

ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించడంలో మరియు న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడంలో ఎవరికి ఇబ్బందులు ఉన్నాయి

ఉపన్యాసం చూడండి ఖచ్చితమైన సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు. పని పూర్తయిన తర్వాత, డ్రాయింగ్‌ను చూడటం మరియు సమాధానం నిజమో కాదో గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, “కంటి ద్వారా” డ్రాయింగ్‌లోని కణాల సంఖ్యను మేము లెక్కిస్తాము - సరే, సుమారు 9 ఉంటుంది, ఇది నిజం అనిపిస్తుంది. మనకు సమాధానం దొరికితే, చెప్పాలంటే, 20 చదరపు యూనిట్లు, ఎక్కడో పొరపాటు జరిగిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది - 20 కణాలు స్పష్టంగా డజనుకి సరిపోవు. సమాధానం ప్రతికూలంగా ఉంటే, పని కూడా తప్పుగా పరిష్కరించబడింది.

ఉదాహరణ 2

పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి xy = 4, x = 2, x= 4 మరియు అక్షం OX.

వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ ఉన్నట్లయితే ఏమి చేయాలి ఇరుసు కిందOX?

ఉదాహరణ 3

పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి వై = e-x, x= 1 మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలు.

పరిష్కారం: డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

ఒక వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ ఉంటే పూర్తిగా అక్షం కింద ఉంది OX , అప్పుడు దాని ప్రాంతాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

ఈ విషయంలో:

శ్రద్ధ! రెండు రకాల పనులు గందరగోళంగా ఉండకూడదు:

ఉదాహరణ 4

పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న విమానం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి వై = 2x – x 2 , వై = -x.

పరిష్కారం: మొదట మీరు డ్రాయింగ్ చేయాలి. ఏరియా సమస్యలలో డ్రాయింగ్ను నిర్మిస్తున్నప్పుడు, మేము పంక్తుల ఖండన పాయింట్లపై చాలా ఆసక్తి కలిగి ఉంటాము. పారాబొలా యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి వై = 2x – x 2 మరియు నేరుగా వై = -x. ఇది రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు. మొదటి పద్ధతి విశ్లేషణాత్మకమైనది. మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

దీని అర్థం ఏకీకరణ యొక్క తక్కువ పరిమితి a= 0, ఏకీకరణ యొక్క ఎగువ పరిమితి బి= 3. పాయింట్ల వారీగా లైన్‌లను నిర్మించడం తరచుగా మరింత లాభదాయకంగా మరియు వేగంగా ఉంటుంది మరియు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు "తాము స్వయంగా" స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి. అయినప్పటికీ, గ్రాఫ్ తగినంత పెద్దదిగా ఉంటే లేదా వివరణాత్మక నిర్మాణం ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను బహిర్గతం చేయకపోతే (అవి భిన్నమైనవి లేదా అహేతుకం కావచ్చు) పరిమితులను కనుగొనే విశ్లేషణాత్మక పద్ధతిని కొన్నిసార్లు ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. మన పనికి తిరిగి వెళ్దాం: మొదట సరళ రేఖను నిర్మించడం మరింత హేతుబద్ధమైనది మరియు తర్వాత మాత్రమే పారాబొలా. డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

పాయింట్‌వైస్‌గా నిర్మిస్తున్నప్పుడు, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు చాలా తరచుగా "స్వయంచాలకంగా" నిర్ణయించబడతాయి.

మరియు ఇప్పుడు పని సూత్రం:

సెగ్మెంట్లో ఉంటే [ a; బి] కొన్ని నిరంతర ఫంక్షన్ f(x) కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంకొన్ని నిరంతర ఫంక్షన్ g(x), అప్పుడు సంబంధిత ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

ఇక్కడ మీరు ఇకపై ఫిగర్ ఎక్కడ ఉందో ఆలోచించాల్సిన అవసరం లేదు - అక్షం పైన లేదా అక్షం క్రింద, కానీ ఏ గ్రాఫ్ ఎక్కువగా ఉందో ముఖ్యం(మరొక గ్రాఫ్‌కు సంబంధించి), మరియు క్రింద ఉన్నది ఏది.

పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో, సెగ్మెంట్‌లో పారాబొలా సరళ రేఖకు పైన ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది మరియు అందువల్ల 2 నుండి x – x 2 తప్పక తీసివేయాలి - x.

పూర్తయిన పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు:

కావలసిన సంఖ్య పారాబొలా ద్వారా పరిమితం చేయబడింది వై = 2x – x 2 పైన మరియు నేరుగా వై = -xక్రింద.

సెగ్మెంట్ 2లో x – x 2 ≥ -x. సంబంధిత సూత్రం ప్రకారం:

సమాధానం: .

వాస్తవానికి, దిగువ సగం-విమానంలో కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం కోసం పాఠశాల సూత్రం (ఉదాహరణ సంఖ్య 3 చూడండి) ఫార్ములా యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.

ఎందుకంటే అక్షం OXసమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడింది వై= 0, మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ g(x) అక్షం క్రింద ఉంది OX, ఆ

మరియు ఇప్పుడు మీ స్వంత పరిష్కారం కోసం కొన్ని ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 5

ఉదాహరణ 6

పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

ఉదాహరణ 7

మొదట డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

మనం కనుగొనవలసిన ప్రాంతం నీలం రంగులో ఉంటుంది(పరిస్థితిని జాగ్రత్తగా చూడండి - ఫిగర్ ఎలా పరిమితం చేయబడింది!). కానీ ఆచరణలో, అజాగ్రత్త కారణంగా, ప్రజలు తరచుగా ఆకుపచ్చ రంగులో ఉన్న బొమ్మ యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనాలని నిర్ణయించుకుంటారు!

ఈ ఉదాహరణ కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే ఇది రెండు ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను ఉపయోగించి ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని గణిస్తుంది. నిజంగా:

1) విభాగంలో [-1; 1] అక్షం పైన OXగ్రాఫ్ నేరుగా ఉంది వై = x+1;

2) అక్షం పైన ఉన్న విభాగంలో OXహైపర్బోలా యొక్క గ్రాఫ్ ఉంది వై = (2/x).

ప్రాంతాలను జోడించవచ్చని (మరియు తప్పక) చాలా స్పష్టంగా ఉంది, కాబట్టి:

సమాధానం:

ఉదాహరణ 8

పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి

సమీకరణాలను "పాఠశాల" రూపంలో ప్రదర్శిస్తాము

మరియు పాయింట్-బై-పాయింట్ డ్రాయింగ్ చేయండి:

డ్రాయింగ్ నుండి మా ఎగువ పరిమితి "మంచిది" అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది: బి = 1.

కానీ తక్కువ పరిమితి ఏమిటి?! ఇది పూర్ణాంకం కాదని స్పష్టంగా ఉంది, కానీ అది ఏమిటి?

బహుశా, a=(-1/3)? కానీ డ్రాయింగ్ ఖచ్చితమైన ఖచ్చితత్వంతో తయారు చేయబడిందని హామీ ఎక్కడ ఉంది, అది బాగా మారవచ్చు a=(-1/4). మనం గ్రాఫ్‌ను తప్పుగా నిర్మించినట్లయితే?

గ్రాఫ్‌ల ఖండన పాయింట్‌లను కనుగొనండి

దీన్ని చేయడానికి, మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

అందుకే, a=(-1/3).

తదుపరి పరిష్కారం అల్పమైనది. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే ప్రత్యామ్నాయాలు మరియు సంకేతాలలో గందరగోళం చెందకూడదు. ఇక్కడ లెక్కలు సరళమైనవి కావు. విభాగంలో

, ,

తగిన సూత్రం ప్రకారం:

సమాధానం:

పాఠాన్ని ముగించడానికి, మరో రెండు కష్టమైన పనులను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 9

పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి

పరిష్కారం: డ్రాయింగ్‌లో ఈ బొమ్మను వర్ణిద్దాం.

పాయింట్-బై-పాయింట్ డ్రాయింగ్‌ను నిర్మించడానికి, మీరు సైనూసోయిడ్ రూపాన్ని తెలుసుకోవాలి. సాధారణంగా, అన్ని ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లను, అలాగే కొన్ని సైన్ విలువలను తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. వాటిని విలువల పట్టికలో చూడవచ్చు త్రికోణమితి విధులు. కొన్ని సందర్భాల్లో (ఉదాహరణకు, ఈ సందర్భంలో), స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్‌ను నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది, దానిపై గ్రాఫ్‌లు మరియు ఏకీకరణ పరిమితులు ప్రాథమికంగా సరిగ్గా ప్రదర్శించబడాలి.

ఇక్కడ ఏకీకరణ పరిమితులతో ఎటువంటి సమస్యలు లేవు; అవి నేరుగా పరిస్థితి నుండి అనుసరిస్తాయి:

– “x” సున్నా నుండి “pi”కి మారుతుంది. తదుపరి నిర్ణయం తీసుకుందాం:

సెగ్మెంట్‌లో, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ వై= పాపం 3 xఅక్షం పైన ఉన్న OX, అందుకే:

(1) మీరు పాఠంలో బేసి శక్తులలో సైన్‌లు మరియు కొసైన్‌లు ఎలా కలిసిపోయారో చూడవచ్చు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సమగ్రతలు. మేము ఒక సైనస్‌ను చిటికెడు చేస్తాము.

(2) మేము రూపంలో ప్రధాన త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగిస్తాము

(3) వేరియబుల్‌ని మారుద్దాం t=కాస్ x, అప్పుడు: అక్షం పైన ఉంది, కాబట్టి:

గమనిక:టాంజెంట్ క్యూబ్ యొక్క సమగ్రత ఎలా తీసుకోబడుతుందో గమనించండి; ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు యొక్క పరిణామం ఇక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది

సమస్య 1(వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం గురించి).

కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ xOyలో, x అక్షం, సరళ రేఖలు x = a, x = b (ఒక కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ ద్వారా ఒక ఫిగర్ ఇవ్వబడుతుంది (ఫిగర్ చూడండి). కర్విలినియర్ వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం అవసరం. ట్రాపజోయిడ్.
పరిష్కారం.జ్యామితి మాకు బహుభుజాల ప్రాంతాలను మరియు వృత్తంలోని కొన్ని భాగాలను (సెక్టార్, సెగ్మెంట్) లెక్కించడానికి వంటకాలను అందిస్తుంది. రేఖాగణిత పరిగణనలను ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది విధంగా తార్కికంగా అవసరమైన ప్రాంతం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను మాత్రమే కనుగొనగలము.

సెగ్మెంట్ [a; b] (వక్ర ట్రాపజోయిడ్ యొక్క ఆధారం) n సమాన భాగాలుగా; ఈ విభజన x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 పాయింట్లను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది. y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఈ బిందువుల ద్వారా సరళ రేఖలను గీయండి. అప్పుడు ఇచ్చిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ n భాగాలుగా, n ఇరుకైన నిలువు వరుసలుగా విభజించబడుతుంది. మొత్తం ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం నిలువు వరుసల మొత్తానికి సమానం.

మనం k-th నిలువు వరుసను విడిగా పరిశీలిద్దాం, అనగా. వంపు తిరిగిన ట్రాపెజాయిడ్, దీని ఆధారం ఒక విభాగం. దానిని f(x k)కి సమానమైన అదే బేస్ మరియు ఎత్తుతో దీర్ఘచతురస్రంతో భర్తీ చేద్దాం (చిత్రాన్ని చూడండి). దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం $f(x_k) \cdot \Delta x_k $కి సమానం, ఇక్కడ $\Delta x_k $ అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు; ఫలిత ఉత్పత్తిని kth కాలమ్ యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువగా పరిగణించడం సహజం.

మేము ఇప్పుడు అన్ని ఇతర నిలువు వరుసలతో అదే విధంగా చేస్తే, మేము ఈ క్రింది ఫలితాన్ని చేరుకుంటాము: ఇచ్చిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం n దీర్ఘచతురస్రాలతో రూపొందించబడిన స్టెప్డ్ ఫిగర్ యొక్క S n వైశాల్యానికి దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది (చిత్రాన్ని చూడండి):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
ఇక్కడ, సంజ్ఞామానం యొక్క ఏకరూపత కొరకు, మేము a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు, $\Delta x_1 $ - సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు, మొదలైనవి; ఈ సందర్భంలో, మేము పైన అంగీకరించినట్లుగా, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

కాబట్టి, $S \ approx S_n $, మరియు ఈ సుమారు సమానత్వం మరింత ఖచ్చితమైనది, పెద్దది n.
నిర్వచనం ప్రకారం, కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క అవసరమైన ప్రాంతం సీక్వెన్స్ (S n) పరిమితికి సమానం అని నమ్ముతారు:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

సమస్య 2(ఒక పాయింట్‌ని తరలించడం గురించి)
మెటీరియల్ పాయింట్ సరళ రేఖలో కదులుతుంది. సమయంపై వేగం యొక్క ఆధారపడటం v = v(t) సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో ఒక బిందువు యొక్క కదలికను కనుగొనండి [a; బి].
పరిష్కారం.ఉద్యమం ఏకరీతిగా ఉంటే, సమస్య చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది: s = vt, అనగా. s = v(b-a). అసమాన కదలిక కోసం, మీరు మునుపటి సమస్యకు పరిష్కారం ఆధారంగా ఉన్న అదే ఆలోచనలను ఉపయోగించాలి.
1) సమయ వ్యవధిని విభజించండి [a; b] n సమాన భాగాలుగా.
2) కాల వ్యవధిని పరిగణించండి మరియు ఈ కాలంలో వేగం స్థిరంగా ఉందని భావించండి, అదే సమయంలో t k. కాబట్టి మనం v = v(t k) అని అనుకుంటాము.
3) ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో పాయింట్ యొక్క కదలిక యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను కనుగొనండి; మేము ఈ ఉజ్జాయింపు విలువను s kగా సూచిస్తాము
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) స్థానభ్రంశం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను కనుగొనండి:
$లు \ approx S_n $ ఎక్కడ
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) అవసరమైన స్థానభ్రంశం క్రమం (S n) యొక్క పరిమితికి సమానం:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

సారాంశం చేద్దాం. వివిధ సమస్యలకు పరిష్కారాలు ఒకే గణిత నమూనాకు తగ్గించబడ్డాయి. శాస్త్ర సాంకేతిక రంగాలలోని అనేక సమస్యలు పరిష్కార ప్రక్రియలో ఒకే నమూనాకు దారితీస్తాయి. అంటే ఈ గణిత నమూనాను ప్రత్యేకంగా అధ్యయనం చేయాలి.

ఖచ్చితమైన సమగ్ర భావన

y = f(x) ఫంక్షన్ కోసం పరిగణించబడిన మూడు సమస్యలలో నిర్మించబడిన నమూనా యొక్క గణిత వివరణను ఇద్దాం, నిరంతర (కానీ తప్పనిసరిగా ప్రతికూలమైనది కాదు, పరిగణించబడిన సమస్యలలో ఊహించినట్లుగా) విరామం [a; బి]:
1) విభాగాన్ని విభజించండి [a; b] n సమాన భాగాలుగా;
2) మొత్తం $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ని లెక్కించండి

గణిత శాస్త్ర విశ్లేషణలో, ఈ పరిమితి నిరంతర (లేదా పీస్‌వైస్ నిరంతర) ఫంక్షన్‌లో ఉందని నిరూపించబడింది. అతను పిలవబడ్డాడు ఫంక్షన్ y = f(x) సెగ్మెంట్ మీద ఒక నిర్దిష్ట సమగ్రం [a; బి]మరియు ఈ క్రింది విధంగా సూచించబడింది:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
a మరియు b సంఖ్యలను ఏకీకరణ పరిమితులు అంటారు (వరుసగా దిగువ మరియు ఎగువ).

పైన చర్చించిన పనులకు తిరిగి వెళ్దాం. సమస్య 1లో ఇవ్వబడిన ప్రాంతం యొక్క నిర్వచనం ఇప్పుడు క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ఇక్కడ S అనేది పై చిత్రంలో చూపిన వక్ర ట్రాపజోయిడ్ యొక్క వైశాల్యం. ఇది ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.

సమస్య 2లో ఇవ్వబడిన t = a నుండి t = b వరకు ఉన్న సమయ వ్యవధిలో v = v(t) వేగంతో సరళ రేఖలో కదులుతున్న పాయింట్ యొక్క స్థానభ్రంశం s యొక్క నిర్వచనం క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా

మొదట, ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వండి: ఖచ్చితమైన సమగ్ర మరియు యాంటీడెరివేటివ్ మధ్య సంబంధం ఏమిటి?

సమస్య 2లో సమాధానాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఒకవైపు, t = a నుండి t = b వరకు ఉన్న సమయ వ్యవధిలో v = v(t) వేగంతో సరళ రేఖలో కదులుతున్న బిందువు యొక్క స్థానభ్రంశం s దీని ద్వారా లెక్కించబడుతుంది సూత్రం
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

మరోవైపు, కదిలే పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ వేగం కోసం యాంటీడెరివేటివ్ - దానిని s(t) సూచిస్తాము; దీని అర్థం స్థానభ్రంశం s సూత్రం s = s(b) - s(a) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
ఇక్కడ s(t) అనేది v(t) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్.

గణిత విశ్లేషణలో ఈ క్రింది సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
సిద్ధాంతం. ఫంక్షన్ y = f(x) విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటే [a; b], అప్పుడు ఫార్ములా చెల్లుబాటు అవుతుంది
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
ఇక్కడ F(x) అనేది f(x) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్.

ఇచ్చిన సూత్రాన్ని సాధారణంగా అంటారు న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములాఆంగ్ల భౌతిక శాస్త్రవేత్త ఐజాక్ న్యూటన్ (1643-1727) మరియు జర్మన్ తత్వవేత్త గాట్‌ఫ్రైడ్ లీబ్నిజ్ (1646-1716) గౌరవార్థం, వారు ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా మరియు దాదాపు ఏకకాలంలో అందుకున్నారు.

ఆచరణలో, F(b) - F(a) అని వ్రాయడానికి బదులుగా, వారు $\left. F(x)\right|_a^b $ (దీనిని కొన్నిసార్లు అంటారు. డబుల్ ప్రత్యామ్నాయం) మరియు, తదనుగుణంగా, ఈ రూపంలో న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని తిరిగి వ్రాయండి:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \ఎడమ. F(x)\కుడి|_a^b $

ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించేటప్పుడు, మొదట యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొని, ఆపై డబుల్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని నిర్వహించండి.

న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రం ఆధారంగా, మేము ఖచ్చితమైన సమగ్రం యొక్క రెండు లక్షణాలను పొందవచ్చు.

ఆస్తి 1.ఫంక్షన్ల మొత్తం యొక్క సమగ్రం సమగ్రాల మొత్తానికి సమానం:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

ఆస్తి 2.స్థిరమైన కారకాన్ని సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి విమానం బొమ్మల ప్రాంతాలను గణించడం

సమగ్రతను ఉపయోగించి, మీరు వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ల ప్రాంతాలను మాత్రమే కాకుండా, మరింత సంక్లిష్టమైన రకం యొక్క విమాన బొమ్మలను కూడా లెక్కించవచ్చు, ఉదాహరణకు, చిత్రంలో చూపినది. ఫిగర్ P అనేది x = a, x = b మరియు నిరంతర ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు y = f(x), y = g(x) మరియు సెగ్మెంట్‌లో [a; b] అసమానత $g(x) \leq f(x) $ కలిగి ఉంది. అటువంటి వ్యక్తి యొక్క ప్రాంతం Sని లెక్కించడానికి, మేము ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగుతాము:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

కాబట్టి, x = a, x = b మరియు ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లు y = f(x), y = g(x), సెగ్మెంట్‌పై నిరంతరాయంగా మరియు సెగ్మెంట్ నుండి ఏదైనా x కోసం సరళ రేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న వ్యక్తి యొక్క ప్రాంతం S [a; b] అసమానత $g(x) \leq f(x) $ సంతృప్తి చెందింది, సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

కొన్ని ఫంక్షన్ల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాల (యాంటీడెరివేటివ్స్) పట్టిక

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

ఎ)

పరిష్కారం.

నిర్ణయం యొక్క మొదటి మరియు అతి ముఖ్యమైన అంశం డ్రాయింగ్ నిర్మాణం.

డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

సమీకరణం y=0 "x" అక్షాన్ని సెట్ చేస్తుంది;

- x=-2 మరియు x=1 - నేరుగా, అక్షానికి సమాంతరంగా OU;

- y=x 2 +2 - ఒక పారాబొలా, దీని శాఖలు పాయింట్ వద్ద శీర్షంతో (0;2) పైకి దర్శకత్వం వహించబడతాయి.

వ్యాఖ్య.పారాబొలాను నిర్మించడానికి, కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో దాని ఖండన యొక్క పాయింట్లను కనుగొనడం సరిపోతుంది, అనగా. పెట్టడం x=0 అక్షంతో ఖండనను కనుగొనండి ఓయూ మరియు సంబంధిత వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తూ, అక్షంతో ఖండనను కనుగొనండి ఓహ్ .

పారాబొలా యొక్క శీర్షాన్ని సూత్రాలను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

మీరు పాయింట్ల వారీగా లైన్లను కూడా నిర్మించవచ్చు.

విరామంలో [-2;1] ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y=x 2 +2 ఉన్న అక్షం పైన ఎద్దు , అందుకే:

సమాధానం: ఎస్ =9 చదరపు యూనిట్లు

పని పూర్తయిన తర్వాత, డ్రాయింగ్‌ను చూడటం మరియు సమాధానం నిజమో కాదో గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, “కంటి ద్వారా” మేము డ్రాయింగ్‌లోని కణాల సంఖ్యను లెక్కిస్తాము - సరే, సుమారు 9 ఉంటుంది, ఇది నిజం అనిపిస్తుంది. మనకు సమాధానం దొరికితే, చెప్పాలంటే: 20 చదరపు యూనిట్లు, ఎక్కడో పొరపాటు జరిగిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది - 20 కణాలు స్పష్టంగా డజనులో ప్రశ్నకు సరిపోవు. సమాధానం ప్రతికూలంగా ఉంటే, పని కూడా తప్పుగా పరిష్కరించబడింది.

వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ ఉన్నట్లయితే ఏమి చేయాలి ఇరుసు కింద ఓహ్?

బి)పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి y=-e x , x=1 మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలు.

పరిష్కారం.

డ్రాయింగ్ చేద్దాం.

ఒక వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ ఉంటే పూర్తిగా అక్షం కింద ఉంది ఓహ్ , అప్పుడు దాని ప్రాంతాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

సమాధానం: S=(e-1) చదరపు యూనిట్లు" 1.72 చ. యూనిట్లు

శ్రద్ధ! రెండు రకాల పనులు గందరగోళంగా ఉండకూడదు:

ఆచరణలో, చాలా తరచుగా ఫిగర్ ఎగువ మరియు దిగువ సగం-విమానం రెండింటిలోనూ ఉంది.

తో)పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న విమానం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి y=2x-x 2, y=-x.

పరిష్కారం.

మొదట మీరు డ్రాయింగ్ పూర్తి చేయాలి. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఏరియా సమస్యలలో డ్రాయింగ్‌ను నిర్మిస్తున్నప్పుడు, పంక్తుల ఖండన పాయింట్లపై మాకు చాలా ఆసక్తి ఉంటుంది. పారాబొలా యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి మరియు నేరుగా ఇది రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు. మొదటి పద్ధతి విశ్లేషణాత్మకమైనది.

మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

దీని అర్థం ఏకీకరణ యొక్క తక్కువ పరిమితి a=0 , ఏకీకరణ యొక్క ఎగువ పరిమితి b=3 .

మేము ఇచ్చిన పంక్తులను నిర్మిస్తాము: 1. పారాబొలా - పాయింట్ వద్ద శీర్షం (1;1); అక్షం ఖండన ఓ -పాయింట్లు (0;0) మరియు (0;2). 2. స్ట్రెయిట్ లైన్ - 2వ మరియు 4వ కోఆర్డినేట్ కోణాల ద్విభాగ. మరియు ఇప్పుడు శ్రద్ధ! సెగ్మెంట్లో ఉంటే [ a;b] కొన్ని నిరంతర ఫంక్షన్ f(x)కొంత నిరంతర ఫంక్షన్ కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం g(x), అప్పుడు సంబంధిత ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు: .

మరియు ఫిగర్ ఎక్కడ ఉందో పట్టింపు లేదు - అక్షం పైన లేదా అక్షం క్రింద, కానీ ముఖ్యమైనది ఏ గ్రాఫ్ ఎక్కువగా ఉంది (మరొక గ్రాఫ్‌కి సంబంధించి), మరియు ఏది క్రింద ఉంది. పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో, సెగ్మెంట్లో పారాబొలా సరళ రేఖకు పైన ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది మరియు అందువల్ల దాని నుండి తీసివేయడం అవసరం.

మీరు పాయింట్ల వారీగా పంక్తులను నిర్మించవచ్చు మరియు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు "వాటంతటవే" స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి. అయినప్పటికీ, గ్రాఫ్ తగినంత పెద్దదిగా ఉంటే లేదా వివరణాత్మక నిర్మాణం ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను బహిర్గతం చేయకపోతే (అవి భిన్నమైనవి లేదా అహేతుకం కావచ్చు) పరిమితులను కనుగొనే విశ్లేషణాత్మక పద్ధతిని కొన్నిసార్లు ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది.

కావలసిన బొమ్మ పైన పారాబొలా మరియు దిగువ సరళ రేఖ ద్వారా పరిమితం చేయబడింది.

విభాగంలో , సంబంధిత సూత్రం ప్రకారం:

సమాధానం: ఎస్ =4.5 చదరపు యూనిట్లు