ఒకేలా సమానమైన వ్యక్తీకరణను ఎలా నిర్ణయించాలి. వ్యక్తీకరణల యొక్క సారూప్య రూపాంతరాలు

మేము గుర్తింపుల భావనతో వ్యవహరించిన తర్వాత, మేము ఒకే విధమైన సమాన వ్యక్తీకరణలను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించవచ్చు. ఈ వ్యాసం యొక్క ఉద్దేశ్యం అది ఏమిటో వివరించడం మరియు ఏ వ్యక్తీకరణలు ఇతరులతో సమానంగా ఉంటాయో ఉదాహరణలతో చూపించడం.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ఒకేలా సమాన వ్యక్తీకరణలు: నిర్వచనం

ఒకేలా సమానమైన వ్యక్తీకరణల భావన సాధారణంగా పాఠశాల బీజగణిత కోర్సులో భాగంగా గుర్తింపు భావనతో కలిసి అధ్యయనం చేయబడుతుంది. ఒక పాఠ్యపుస్తకం నుండి తీసుకోబడిన ప్రాథమిక నిర్వచనం ఇక్కడ ఉంది:

నిర్వచనం 1

ఒకేలా సమానంఒకదానికొకటి అటువంటి వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి, వాటి కూర్పులో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఏవైనా సాధ్యమైన విలువలకు వాటి విలువలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

అలాగే, అదే విలువలు అనుగుణంగా ఉండే సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు ఒకే విధంగా సమానంగా పరిగణించబడతాయి.

ఇది చాలా విస్తృతమైన నిర్వచనం, ఇది వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలు మారినప్పుడు అర్థం మారని అన్ని పూర్ణాంక వ్యక్తీకరణలకు నిజమైనది. అయినప్పటికీ, పూర్ణాంకాలతో పాటు, నిర్దిష్ట వేరియబుల్స్‌తో అర్థం కాని ఇతర రకాల వ్యక్తీకరణలు కూడా ఉన్నందున, ఈ నిర్వచనాన్ని స్పష్టం చేయడం అవసరం. ఇది నిర్దిష్ట వేరియబుల్ విలువల యొక్క ఆమోదయోగ్యత మరియు అనుమతించబడని భావనకు దారితీస్తుంది, అలాగే అనుమతించదగిన విలువల పరిధిని నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ఉంది. శుద్ధి చేసిన నిర్వచనాన్ని రూపొందిద్దాం.

నిర్వచనం 2

ఒకేలా సమాన వ్యక్తీకరణలు- ఇవి వాటి కూర్పులో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా అనుమతించదగిన విలువలకు వాటి విలువలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండే వ్యక్తీకరణలు. విలువలు ఒకేలా ఉంటే సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

"వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా చెల్లుబాటు అయ్యే విలువల కోసం" అనే పదబంధం రెండు వ్యక్తీకరణలకు అర్ధమయ్యే వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలను సూచిస్తుంది. మేము ఒకే విధమైన సమాన వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలను ఇచ్చినప్పుడు ఈ విషయాన్ని తరువాత వివరిస్తాము.

మీరు ఈ క్రింది నిర్వచనాన్ని కూడా అందించవచ్చు:

నిర్వచనం 3

ఒకే విధమైన సమాన వ్యక్తీకరణలు ఎడమ మరియు కుడి వైపులా ఒకే గుర్తింపులో ఉన్న వ్యక్తీకరణలు.

ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండే వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలు

పైన ఇచ్చిన నిర్వచనాలను ఉపయోగించి, అటువంటి వ్యక్తీకరణల యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం.

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలతో ప్రారంభిద్దాం.

ఉదాహరణ 1

అందువలన, 2 + 4 మరియు 4 + 2 ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే వాటి ఫలితాలు సమానంగా ఉంటాయి (6 మరియు 6).

ఉదాహరణ 2

అదే విధంగా, 3 మరియు 30 వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా సమానంగా ఉంటాయి: 10, (2 2) 3 మరియు 2 6 (చివరి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించడానికి మీరు డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి).

ఉదాహరణ 3

కానీ 4 - 2 మరియు 9 - 1 వ్యక్తీకరణలు సమానంగా ఉండవు, ఎందుకంటే వాటి విలువలు భిన్నంగా ఉంటాయి.

సాహిత్య వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలకు వెళ్దాం. a + b మరియు b + a సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఇది వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలపై ఆధారపడి ఉండదు (ఈ సందర్భంలో వ్యక్తీకరణల సమానత్వం సంకలనం యొక్క కమ్యుటేటివ్ ప్రాపర్టీ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది).

ఉదాహరణ 4

ఉదాహరణకు, a అనేది 4కి మరియు b అయితే 5కి సమానం అయితే, ఫలితాలు ఇప్పటికీ అలాగే ఉంటాయి.

అక్షరాలతో సమానంగా సమానమైన వ్యక్తీకరణలకు మరొక ఉదాహరణ 0 · x · y · z మరియు 0 . ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలు ఏమైనప్పటికీ, 0 ద్వారా గుణించినప్పుడు, అవి 0ని ఇస్తాయి. అసమాన వ్యక్తీకరణలు 6 · x మరియు 8 · x, ఎందుకంటే అవి ఏ xకి సమానంగా ఉండవు.

వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువలు ఏకీభవించిన సందర్భంలో, ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలలో a + 6 మరియు 6 + a లేదా a · b · 0 మరియు 0, లేదా x 4 మరియు x మరియు విలువలు వ్యక్తీకరణలు ఏవైనా వేరియబుల్స్‌కు సమానంగా ఉంటాయి, అప్పుడు అలాంటి వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా సమానంగా పరిగణించబడతాయి. కాబట్టి, a యొక్క ఏదైనా విలువకు a + 8 = 8 + a, మరియు a · b · 0 = 0 కూడా, ఏదైనా సంఖ్యను 0తో గుణిస్తే 0 వస్తుంది. x 4 మరియు x వ్యక్తీకరణలు విరామం [0 , + ∞) నుండి ఏదైనా xకి సమానంగా ఉంటాయి.

కానీ ఒక వ్యక్తీకరణలో చెల్లుబాటు అయ్యే విలువల పరిధి మరొక దాని పరిధికి భిన్నంగా ఉండవచ్చు.

ఉదాహరణ 5

ఉదాహరణకు, రెండు వ్యక్తీకరణలను తీసుకుందాం: x - 1 మరియు x - 1 · x x. వాటిలో మొదటిదానికి, x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్ అవుతుంది మరియు రెండవది - సున్నా మినహా అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి, ఎందుకంటే అప్పుడు మనకు 0 వస్తుంది హారం, మరియు అటువంటి విభజన నిర్వచించబడలేదు. ఈ రెండు వ్యక్తీకరణలు రెండు వేర్వేరు పరిధుల ఖండన ద్వారా ఏర్పడిన విలువల యొక్క సాధారణ పరిధిని కలిగి ఉంటాయి. x - 1 · x x మరియు x - 1 అనే రెండు వ్యక్తీకరణలు 0 మినహా వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా వాస్తవ విలువలకు అర్ధవంతం అవుతాయని మేము నిర్ధారించగలము.

భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం కూడా x - 1 · x x మరియు x − 1 0 కాని ఏదైనా xకి సమానంగా ఉంటుందని నిర్ధారించడానికి అనుమతిస్తుంది. దీని అర్థం, అనుమతించదగిన విలువల యొక్క సాధారణ శ్రేణిలో ఈ వ్యక్తీకరణలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి, కానీ ఏదైనా నిజమైన x కోసం మనం ఒకే సమానత్వం గురించి మాట్లాడలేము.

మనం ఒక వ్యక్తీకరణను మరొక దానితో సమానంగా భర్తీ చేస్తే, ఈ ప్రక్రియను గుర్తింపు పరివర్తన అంటారు. ఈ భావన చాలా ముఖ్యమైనది, మరియు మేము దాని గురించి ప్రత్యేక పదార్థంలో వివరంగా మాట్లాడుతాము.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

§ 2. ఒకేలా వ్యక్తీకరణలు, గుర్తింపు. వ్యక్తీకరణ యొక్క సారూప్య రూపాంతరం. గుర్తింపు రుజువులు

x వేరియబుల్ ఇచ్చిన విలువల కోసం 2(x - 1) 2x - 2 వ్యక్తీకరణల విలువలను కనుగొనండి. ఫలితాలను పట్టికలో వ్రాస్దాం:

వేరియబుల్ x యొక్క ప్రతి ఇచ్చిన విలువకు 2(x - 1) 2x - 2 వ్యక్తీకరణల విలువలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నాయని మేము నిర్ధారణకు రావచ్చు. వ్యవకలనానికి సంబంధించి గుణకారం యొక్క పంపిణీ లక్షణం ప్రకారం, 2(x - 1) = 2x - 2. కాబట్టి, వేరియబుల్ x యొక్క ఏదైనా ఇతర విలువ కోసం, వ్యక్తీకరణ 2(x - 1) 2x - 2 విలువ కూడా ఉంటుంది ఒకరికొకరు సమానం. ఇటువంటి వ్యక్తీకరణలను ఒకేలా సమానం అంటారు.

ఉదాహరణకు, 2x + 3x మరియు 5x వ్యక్తీకరణలు పర్యాయపదాలు, ఎందుకంటే వేరియబుల్ x యొక్క ప్రతి విలువకు ఈ వ్యక్తీకరణలు ఒకే విలువలను పొందుతాయి (ఇది 2x + 3x = 5x నుండి అదనంగా గుణకారం యొక్క పంపిణీ లక్షణం నుండి అనుసరిస్తుంది).

ఇప్పుడు 3x + 2y మరియు 5xy వ్యక్తీకరణలను పరిశీలిద్దాం. x = 1 మరియు b = 1 అయితే, ఈ వ్యక్తీకరణల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

అయితే, మీరు x మరియు y విలువలను పేర్కొనవచ్చు, దీని కోసం ఈ వ్యక్తీకరణల విలువలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండవు. ఉదాహరణకు, x = 2 అయితే; y = 0, అప్పుడు

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

పర్యవసానంగా, 3x + 2y మరియు 5xy వ్యక్తీకరణల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండని వేరియబుల్స్ విలువలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, 3x + 2y మరియు 5xy వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా సమానంగా ఉండవు.

పైన పేర్కొన్న వాటి ఆధారంగా, గుర్తింపులు, ప్రత్యేకించి, సమానత్వాలు: 2(x - 1) = 2x - 2 మరియు 2x + 3x = 5x.

గుర్తింపు అనేది సంఖ్యలపై కార్యకలాపాల యొక్క తెలిసిన లక్షణాలను వివరించే ప్రతి సమానత్వం. ఉదాహరణకి,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

అబ్ = బా; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

గుర్తింపులు క్రింది సమానత్వాన్ని కలిగి ఉంటాయి:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

-5x + 2x - 9 అనే వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను కలిపితే, మనకు 5x + 2x - 9 = 7x - 9 వస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, 5x + 2x - 9 అనే వ్యక్తీకరణ 7x - అనే వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయబడిందని వారు అంటున్నారు. 9.

సంఖ్యలపై కార్యకలాపాల లక్షణాలను ఉపయోగించి వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణల యొక్క సారూప్య రూపాంతరాలు నిర్వహించబడతాయి. ప్రత్యేకించి, బ్రాకెట్‌లను తెరవడం, సారూప్య పదాలను నిర్మించడం మరియు వంటి వాటితో ఒకే విధమైన పరివర్తనలు.

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసేటప్పుడు ఒకే విధమైన పరివర్తనలు చేయాలి, అనగా, నిర్దిష్ట వ్యక్తీకరణను ఒకే విధమైన సమాన వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయాలి, ఇది సంజ్ఞామానాన్ని చిన్నదిగా చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 1. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1) -0.3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0.3 m ∙ 5n = -0.3 ∙ 5mn = -1.5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - ఎ + 2 బి + 3 బి - ఎ= 3a + 5b + 2.

సమానత్వం అనేది ఒక గుర్తింపు అని నిరూపించడానికి (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, గుర్తింపును నిరూపించడానికి, వ్యక్తీకరణల యొక్క ఒకే విధమైన రూపాంతరాలు ఉపయోగించబడతాయి.

మీరు ఈ క్రింది మార్గాలలో ఒకదానిలో గుర్తింపును నిరూపించవచ్చు:

• దాని ఎడమ వైపున ఒకే విధమైన పరివర్తనలను జరుపుము, తద్వారా దానిని కుడి వైపు రూపానికి తగ్గించడం;
• దాని కుడి వైపున ఒకే విధమైన పరివర్తనలను జరుపుము, తద్వారా దానిని ఎడమ వైపు రూపానికి తగ్గించడం;
• దాని రెండు భాగాలపై ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహిస్తుంది, తద్వారా రెండు భాగాలను ఒకే వ్యక్తీకరణలకు పెంచుతుంది.

ఉదాహరణ 2. గుర్తింపును నిరూపించండి:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a n i .

1) ఈ సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపును మార్చండి:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

గుర్తింపు పరివర్తనల ద్వారా, సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ కుడి వైపు రూపానికి తగ్గించబడింది మరియు తద్వారా ఈ సమానత్వం ఒక గుర్తింపు అని నిరూపించబడింది.

2) ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున మార్చండి:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 బి - 14a + 35 బి= 20b - 4a.

గుర్తింపు పరివర్తనల ద్వారా, సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు ఎడమ వైపు రూపానికి తగ్గించబడింది మరియు తద్వారా ఈ సమానత్వం ఒక గుర్తింపు అని నిరూపించబడింది.

3) ఈ సందర్భంలో, సమానత్వం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపుల రెండింటినీ సరళీకృతం చేయడం మరియు ఫలితాలను సరిపోల్చడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

ఒకే విధమైన పరివర్తనల ద్వారా, సమానత్వం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు ఒకే రూపానికి తగ్గించబడ్డాయి: 26x - 44. కాబట్టి, ఈ సమానత్వం ఒక గుర్తింపు.

ఏ వ్యక్తీకరణలను ఒకేలా అంటారు? ఒకే విధమైన వ్యక్తీకరణలకు ఉదాహరణ ఇవ్వండి. ఏ విధమైన సమానత్వాన్ని గుర్తింపు అంటారు? గుర్తింపుకు ఉదాహరణ ఇవ్వండి. వ్యక్తీకరణ యొక్క గుర్తింపు రూపాంతరం అని దేన్ని పిలుస్తారు? గుర్తింపును ఎలా నిరూపించాలి?

1. (మౌఖికంగా) లేదా ఒకేలా సమానంగా ఉండే వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి:

1) 2a + a మరియు 3a;

2) 7x + 6 మరియు 6 + 7x;

3) x + x + x మరియు x 3 ;

4) 2(x - 2) మరియు 2x - 4;

5) m - n మరియు n - m;

6) 2a ∙ p మరియు 2p ∙ a?

1. వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా సమానంగా ఉన్నాయా:

1) 7x - 2x మరియు 5x;

2) 5a - 4 మరియు 4 - 5a;

3) 4m + n మరియు n + 4m;

4) a + a మరియు a 2;

5) 3(a - 4) మరియు 3a - 12;

6) 5m ∙ n మరియు 5m + n?

1. (మౌఖికంగా) అనేది లీ గుర్తింపు సమానత్వం:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. ఓపెన్ కుండలీకరణాలు:

1. ఓపెన్ కుండలీకరణాలు:

1. సారూప్య పదాలను కలపండి:

1. 2a + 3a వ్యక్తీకరణకు సమానమైన అనేక వ్యక్తీకరణలకు పేరు పెట్టండి.
2. గుణకారం యొక్క ప్రస్తారణ మరియు కనెక్టివ్ లక్షణాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1) -2.5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1.5);

3) 0.2 x ∙ (0.3 గ్రా);

4)- x ∙<-7у).

1. వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి:

1) -2р ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0.2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (మౌఖిక) వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. సారూప్య పదాలను కలపండి:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1.8 a + 1.9 b + 2.8 a - 2.9 b;

4) 5 - 7s + 1.9 గ్రా + 6.9 సె - 1.7 గ్రా.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3మీ - 5) + 2(3మీ - 7).

1. బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను కలపండి:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5మీ - 7) - (15మీ - 2).

1) 0.6 x + 0.4(x - 20), x = 2.4 అయితే;

2) 1.3(2a - 1) - 16.4, a = 10 అయితే;

3) 1.2(m - 5) - 1.8(10 - m), m = -3.7 అయితే;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, x = -1 అయితే, y = 1.

1. వ్యక్తీకరణను సరళీకరించండి మరియు దాని అర్థాన్ని కనుగొనండి:

1) 0.7 x + 0.3(x - 4), x = -0.7 అయితే;

2) 1.7(y - 11) - 16.3, b = 20 అయితే;

3) 0.6(2a - 14) - 0.4(5a - 1), a = -1 అయితే;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, m = 1.8 అయితే; n = -0.9.

1. గుర్తింపును నిరూపించండి:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

1. గుర్తింపును నిరూపించండి:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. త్రిభుజం యొక్క ఒక భుజం పొడవు ఒక సెం.మీ. మరియు మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవు దాని కంటే 2 సెం.మీ ఎక్కువ. త్రిభుజం చుట్టుకొలతను వ్యక్తీకరణగా వ్రాసి, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.
2. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వెడల్పు x సెం.మీ, మరియు పొడవు వెడల్పు కంటే 3 సెం.మీ ఎక్కువ. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలతను వ్యక్తీకరణగా వ్రాసి, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a – 33b);

6) - (2.7 m - 1.5 n) + (2n - 0.48 m).

1. కుండలీకరణాలను తెరిచి, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

1. గుర్తింపును నిరూపించండి:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. గుర్తింపును నిరూపించండి:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం నిరూపించండి

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) వేరియబుల్ విలువపై ఆధారపడదు.

1. వేరియబుల్ యొక్క ఏదైనా విలువకు వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ అని నిరూపించండి

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

అదే సంఖ్య.

1. మూడు వరుస సరి సంఖ్యల మొత్తాన్ని 6తో భాగించవచ్చని నిరూపించండి.
2. n అనేది సహజ సంఖ్య అయితే, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) సరి సంఖ్య అని నిరూపించండి.

పునరావృతం చేయడానికి వ్యాయామాలు

1. 1.6 కిలోల బరువున్న మిశ్రమంలో 15% రాగి ఉంటుంది. ఈ మిశ్రమంలో ఎన్ని కిలోల రాగి ఉంది?
2. దాని సంఖ్య 20 ఎంత శాతం:

1) చదరపు;

1. పర్యాటకుడు 2 గంటలు నడిచాడు మరియు 3 గంటలు సైకిల్ తొక్కాడు. మొత్తంగా, పర్యాటకులు 56 కి.మీ. పర్యాటకుడు సైకిల్ నడుపుతున్న వేగాన్ని కనుగొనండి, అది అతను నడిచే వేగం కంటే గంటకు 12 కి.మీ ఎక్కువ ఉంటే.

సోమరి విద్యార్థులకు ఆసక్తికరమైన పనులు

1. సిటీ ఫుట్‌బాల్ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 11 జట్లు పాల్గొంటాయి. ఒక్కో జట్టు ఒక్కో మ్యాచ్ ఆడుతుంది. పోటీలో ఏ క్షణంలోనైనా ఆ సమయంలో సరి సంఖ్యలో మ్యాచ్‌లు ఆడిన లేదా ఇంకా ఆడని జట్టు ఉందని నిరూపించండి.

విషయం "గుర్తింపు రుజువులు» 7వ తరగతి (KRO)

పాఠ్యపుస్తకం మకరిచెవ్ యు.ఎన్., మిండియుక్ ఎన్.జి.

పాఠం లక్ష్యాలు

విద్యాపరమైన:

"ఒకేలా సమాన వ్యక్తీకరణలు", "గుర్తింపు", "ఒకేలా రూపాంతరాలు" అనే భావనలను పరిచయం చేయడం మరియు ప్రారంభంలో ఏకీకృతం చేయడం;

గుర్తింపులను నిరూపించడానికి మార్గాలను పరిగణించండి, గుర్తింపులను నిరూపించడానికి నైపుణ్యాల అభివృద్ధిని ప్రోత్సహించండి;

కవర్ చేయబడిన పదార్థం యొక్క విద్యార్థుల సమీకరణను తనిఖీ చేయడానికి, కొత్త విషయాలను గ్రహించడానికి వారు నేర్చుకున్న వాటిని ఉపయోగించగల సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి.

అభివృద్ధి:

విద్యార్థుల సమర్థ గణిత ప్రసంగాన్ని అభివృద్ధి చేయండి (ప్రత్యేక గణిత పదాలను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు పదజాలాన్ని మెరుగుపరచడం మరియు క్లిష్టతరం చేయడం),

ఆలోచన అభివృద్ధి,

విద్యాసంబంధం: హార్డ్ వర్క్, ఖచ్చితత్వం మరియు వ్యాయామ పరిష్కారాల సరైన రికార్డింగ్‌ను పెంపొందించడం.

పాఠం రకం: కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం

తరగతుల సమయంలో

1 . ఆర్గనైజింగ్ సమయం.

హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది.

హోంవర్క్ ప్రశ్నలు.

బోర్డు వద్ద పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ.

గణితం కావాలి
ఆమె లేకుండా అది అసాధ్యం
మేము బోధిస్తాము, బోధిస్తాము, స్నేహితులు,
ఉదయం మనం ఏమి గుర్తుంచుకుంటాము?

2 . వార్మప్ చేద్దాం.

చేరిక ఫలితం. (మొత్తం)

మీకు ఎన్ని సంఖ్యలు తెలుసు? (పది)

సంఖ్య యొక్క వందవ భాగం. (శాతం)

విభజన ఫలితం? (ప్రైవేట్)

అతి చిన్న సహజ సంఖ్య? (1)

సహజ సంఖ్యలను విభజించేటప్పుడు సున్నా పొందడం సాధ్యమేనా? (లేదు)

అతిపెద్ద ప్రతికూల పూర్ణాంకానికి పేరు పెట్టండి. (-1)

ఏ సంఖ్యతో భాగించబడదు? (0)

గుణకారం యొక్క ఫలితం? (పని)

తీసివేత ఫలితం. (తేడా)

అదనం యొక్క పరివర్తన ఆస్తి. (నిబంధనల స్థలాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం ద్వారా మొత్తం మారదు)

గుణకారం యొక్క కమ్యుటేటివ్ ఆస్తి. (కారకాల స్థలాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం నుండి ఉత్పత్తి మారదు)

కొత్త అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం (నోట్‌బుక్‌లో రాయడంతో నిర్వచనం)

x=5 మరియు y=4 కోసం వ్యక్తీకరణల విలువను కనుగొనండి

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

మాకు అదే ఫలితం వచ్చింది. డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీ నుండి సాధారణంగా, వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు, 3(x+y) మరియు 3x+3y వ్యక్తీకరణల విలువలు సమానంగా ఉంటాయి.

ఇప్పుడు 2x+y మరియు 2xy వ్యక్తీకరణలను పరిశీలిద్దాం. x=1 మరియు y=2 ఉన్నప్పుడు అవి సమాన విలువలను తీసుకుంటాయి:

అయితే, మీరు x మరియు y విలువలను పేర్కొనవచ్చు, ఈ వ్యక్తీకరణల విలువలు సమానంగా ఉండవు. ఉదాహరణకు, x=3, y=4 అయితే

నిర్వచనం: వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు సమానమైన రెండు వ్యక్తీకరణలను ఒకేలా సమానం అంటారు.

3(x+y) మరియు 3x+3y వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా సమానంగా ఉంటాయి, కానీ 2x+y మరియు 2xy వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా సమానంగా ఉండవు.

x మరియు y యొక్క ఏదైనా విలువలకు సమానత్వం 3(x+y) మరియు 3x+3y నిజమైనవి. ఇటువంటి సమానత్వాలను గుర్తింపులు అంటారు.

నిర్వచనం:వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు నిజమైన సమానత్వాన్ని గుర్తింపు అంటారు.

నిజమైన సంఖ్యా సమానతలు కూడా గుర్తింపులుగా పరిగణించబడతాయి. మేము ఇప్పటికే గుర్తింపులను ఎదుర్కొన్నాము. గుర్తింపులు అంటే సంఖ్యలపై కార్యకలాపాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను వ్యక్తీకరించే సమానత్వం (విద్యార్థులు ప్రతి ఆస్తిపై వ్యాఖ్యానిస్తారు, దానిని ఉచ్ఛరిస్తారు).

a + b = b + a
ab = బా
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

గుర్తింపులకు ఇతర ఉదాహరణలు ఇవ్వండి

నిర్వచనం: ఒక వ్యక్తీకరణను మరొక సారూప్య సమాన వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయడాన్ని ఒకేలా పరివర్తన లేదా వ్యక్తీకరణ యొక్క రూపాంతరం అంటారు.

సంఖ్యలపై కార్యకలాపాల లక్షణాల ఆధారంగా వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణల యొక్క సారూప్య రూపాంతరాలు నిర్వహించబడతాయి.

వ్యక్తీకరణల యొక్క సారూప్య రూపాంతరాలు వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించడంలో మరియు ఇతర సమస్యలను పరిష్కరించడంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి. మీరు ఇప్పటికే కొన్ని సారూప్య పరివర్తనలను చేయవలసి ఉంది, ఉదాహరణకు, ఒకే విధమైన నిబంధనలను తీసుకురావడం, కుండలీకరణాలను తెరవడం.

5 . నం. 691, నం. 692 (కుండలీకరణాలను తెరవడం, ప్రతికూల మరియు సానుకూల సంఖ్యలను గుణించడం కోసం నియమాలను ఉచ్ఛరించడంతో)

హేతుబద్ధమైన పరిష్కారాన్ని ఎంచుకోవడానికి గుర్తింపులు:(ముందు పని)

6 . పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.

ఉపాధ్యాయుడు ప్రశ్నలు అడుగుతాడు మరియు విద్యార్థులు ఇష్టానుసారం సమాధానం ఇస్తారు.

ఏ రెండు వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా సమానంగా ఉంటాయి? ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.

ఏ విధమైన సమానత్వాన్ని గుర్తింపు అంటారు? ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.

మీకు ఏ గుర్తింపు పరివర్తనలు తెలుసు?

7. ఇంటి పని. నిర్వచనాలను నేర్చుకోండి, ఒకే విధమైన వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలను ఇవ్వండి (కనీసం 5), వాటిని మీ నోట్‌బుక్‌లో వ్రాయండి

ఈ వ్యాసం ఒక ప్రారంభ స్థానం ఇస్తుంది గుర్తింపుల ఆలోచన. ఇక్కడ మేము గుర్తింపును నిర్వచిస్తాము, ఉపయోగించిన సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేస్తాము మరియు, ఐడెంటిటీల యొక్క వివిధ ఉదాహరణలను ఇస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

గుర్తింపు అంటే ఏమిటి?

మెటీరియల్‌ని ప్రదర్శించడం ప్రారంభించడం తార్కికం గుర్తింపు నిర్వచనాలు. మకారిచెవ్ ఎన్. యొక్క పాఠ్యపుస్తకంలో, 7వ తరగతికి సంబంధించిన బీజగణితం, గుర్తింపు యొక్క నిర్వచనం క్రింది విధంగా ఇవ్వబడింది:

నిర్వచనం.

గుర్తింపు- ఇది వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు నిజమైన సమానత్వం; ఏదైనా నిజమైన సంఖ్యా సమానత్వం కూడా ఒక గుర్తింపు.

అదే సమయంలో, భవిష్యత్తులో ఈ నిర్వచనం స్పష్టం చేయబడుతుందని రచయిత వెంటనే నిర్దేశించారు. వేరియబుల్స్ మరియు DL యొక్క అనుమతించదగిన విలువల నిర్వచనంతో సుపరిచితమైన తర్వాత, ఈ స్పష్టీకరణ 8వ తరగతిలో జరుగుతుంది. నిర్వచనం అవుతుంది:

నిర్వచనం.

గుర్తింపులు- ఇవి నిజమైన సంఖ్యా సమానతలు, అలాగే వాటిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని అనుమతించదగిన విలువలకు నిజమైన సమానతలు.

కాబట్టి, గుర్తింపును నిర్వచించేటప్పుడు, 7వ తరగతిలో మనం వేరియబుల్స్ యొక్క ఏవైనా విలువల గురించి మాట్లాడతాము మరియు 8వ తరగతిలో వాటి ODZ నుండి వేరియబుల్స్ విలువల గురించి మాట్లాడటం ఎందుకు ప్రారంభిస్తాము? గ్రేడ్ 8 వరకు, పని మొత్తం వ్యక్తీకరణలతో (ముఖ్యంగా, మోనోమియల్స్ మరియు బహుపదిలతో) ప్రత్యేకంగా నిర్వహించబడుతుంది మరియు వాటిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు అవి అర్ధవంతంగా ఉంటాయి. అందుకే 7వ తరగతిలో గుర్తింపు అనేది వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు నిజమైన సమానత్వం అని చెప్పాము. మరియు 8 వ తరగతిలో, వ్యక్తీకరణలు ఇకపై వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు అర్థం కావు, కానీ వాటి ODZ నుండి విలువలకు మాత్రమే కనిపిస్తాయి. అందువల్ల, మేము వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని ఆమోదయోగ్యమైన విలువలకు నిజమైన సమానత్వాన్ని పిలవడం ప్రారంభిస్తాము.

కాబట్టి, గుర్తింపు అనేది సమానత్వం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. అంటే, ఏదైనా గుర్తింపు సమానత్వం. కానీ ప్రతి సమానత్వం ఒక గుర్తింపు కాదు, కానీ వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు వాటి అనుమతించదగిన విలువల పరిధి నుండి నిజమైన సమానత్వం మాత్రమే.

గుర్తింపు చిహ్నం

సమానత్వాన్ని వ్రాయడంలో, “=” రూపం యొక్క సమాన సంకేతం ఉపయోగించబడుతుంది, ఎడమ మరియు కుడి వైపున కొన్ని సంఖ్యలు లేదా వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి. మేము ఈ గుర్తుకు మరొక క్షితిజ సమాంతర రేఖను జోడిస్తే, మనకు లభిస్తుంది గుర్తింపు చిహ్నం"≡", లేదా దీనిని కూడా పిలుస్తారు సమాన గుర్తు.

గుర్తింపు యొక్క సంకేతం సాధారణంగా మనం కేవలం సమానత్వాన్ని మాత్రమే కాకుండా గుర్తింపును ఎదుర్కొంటున్నామని ప్రత్యేకంగా నొక్కి చెప్పాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది. ఇతర సందర్భాల్లో, గుర్తింపుల రికార్డులు సమానత్వం నుండి భిన్నంగా ఉండవు.

గుర్తింపుల ఉదాహరణలు

తీసుకురావడానికి ఇది సమయం గుర్తింపుల ఉదాహరణలు. మొదటి పేరాలో ఇవ్వబడిన గుర్తింపు యొక్క నిర్వచనం దీనికి మాకు సహాయం చేస్తుంది.

సంఖ్యా సమానతలు 2=2 గుర్తింపులకు ఉదాహరణలు, ఎందుకంటే ఈ సమానతలు నిజమైనవి మరియు ఏదైనా నిజమైన సంఖ్యా సమానత్వం నిర్వచనం ప్రకారం ఒక గుర్తింపు. వాటిని 2≡2 మరియు .

2+3=5 మరియు 7−1=2·3 రూపాల సంఖ్యాపరమైన సమానతలు కూడా గుర్తింపులే, ఎందుకంటే ఈ సమానతలు నిజమైనవి. అంటే, 2+3≡5 మరియు 7−1≡2·3.

సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా, వేరియబుల్స్‌ను కూడా కలిగి ఉన్న గుర్తింపుల ఉదాహరణలకు వెళ్దాం.

సమానత్వం 3·(x+1)=3·x+3ని పరిగణించండి. వేరియబుల్ x యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం, సంకలనానికి సంబంధించి గుణకారం యొక్క పంపిణీ లక్షణం కారణంగా వ్రాతపూర్వక సమానత్వం నిజం, కాబట్టి, అసలు సమానత్వం గుర్తింపుకు ఉదాహరణ. గుర్తింపు యొక్క మరొక ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, ఇక్కడ x మరియు y వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి అన్ని జతలను (x, y) కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ x మరియు y సున్నా తప్ప ఏవైనా సంఖ్యలు.

అయితే x+1=x−1 మరియు a+2·b=b+2·a అనే సమానతలు గుర్తింపులు కావు, ఎందుకంటే ఈ సమానతలు నిజం కానటువంటి వేరియబుల్స్ విలువలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, x=2 ఉన్నప్పుడు, సమానత్వం x+1=x−1 సరికాని సమానత్వం 2+1=2−1గా మారుతుంది. అంతేకాకుండా, వేరియబుల్ x యొక్క ఏ విలువలకు సమానత్వం x+1=x−1 సాధించబడదు. మరియు a+2·b=b+2·a సమానత్వం a మరియు b వేరియబుల్స్ యొక్క ఏవైనా విభిన్న విలువలను తీసుకుంటే సరికాని సమానత్వంగా మారుతుంది. ఉదాహరణకు, a=0 మరియు b=1తో మనం 0+2·1=1+2·0 సరికాని సమానత్వానికి చేరుకుంటాము. సమానత్వం |x|=x, ఎక్కడ |x| - వేరియబుల్ x కూడా ఒక గుర్తింపు కాదు, ఎందుకంటే ఇది x యొక్క ప్రతికూల విలువలకు నిజం కాదు.

అత్యంత ప్రసిద్ధ గుర్తింపులకు ఉదాహరణలు sin 2 α+cos 2 α=1 మరియు ఒక లాగ్ a b =b.

ఈ వ్యాసం ముగింపులో, గణితాన్ని అధ్యయనం చేసేటప్పుడు మనం నిరంతరం గుర్తింపులను ఎదుర్కొంటామని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను. సంఖ్యలతో చర్యల లక్షణాల రికార్డులు గుర్తింపులు, ఉదాహరణకు, a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 మరియు a+(-a)=0. గుర్తింపులు కూడా ఉన్నాయి