దిగువ సమీకరణానికి పరిష్కారం: సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని తగ్గించే పద్ధతులు

2వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం రూపం కలిగి ఉంది:

సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం అనేది రెండు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు మరియు: (లేదా - 2వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రం) ఆధారంగా ఫంక్షన్ల కుటుంబం. 2వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం (1.1) కోసం కౌచీ సమస్య ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం కలిగి ఉంటుంది: కోసం: , . 1వ ఆర్డర్ సమీకరణానికి పరిష్కారాల గ్రాఫ్‌ల మాదిరిగా కాకుండా, 2వ ఆర్డర్ సమీకరణానికి పరిష్కారాల గ్రాఫ్‌లు కలుస్తాయని గమనించాలి. ఏది ఏమైనప్పటికీ, సమీకరణంలో చేర్చబడిన ఫంక్షన్‌ల కోసం చాలా విస్తృత అంచనాల క్రింద రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణాల (1.1) కోసం కౌచీ సమస్యకు పరిష్కారం ప్రత్యేకమైనది, అనగా. సాధారణ ప్రారంభ స్థితితో ఏవైనా రెండు పరిష్కారాలు నిర్వచన విరామాల ఖండన వద్ద సమానంగా ఉంటాయి.

సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందడం లేదా 2వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం కోసం కౌచీ సమస్యను విశ్లేషణాత్మకంగా పరిష్కరించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. అయితే, కొన్ని సందర్భాల్లో వివిధ ప్రత్యామ్నాయాలను ప్రవేశపెట్టడం ద్వారా సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని తగ్గించడం సాధ్యమవుతుంది. ఈ కేసులను చూద్దాం.

1. స్వతంత్ర చరరాశిని స్పష్టంగా కలిగి లేని సమీకరణాలు.

2వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి: , అనగా. సమీకరణంలో (1.1) స్వతంత్ర చరరాశి స్పష్టంగా లేదు. ఇది కొత్త ఆర్గ్యుమెంట్‌గా తీసుకోవడానికి మరియు 1వ ఆర్డర్ డెరివేటివ్‌ని కొత్త ఫంక్షన్‌గా తీసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది. అప్పుడు.

అందువల్ల, స్పష్టంగా లేని ఫంక్షన్ కోసం 2వ ఆర్డర్ సమీకరణం ఫంక్షన్ కోసం 1వ ఆర్డర్ సమీకరణానికి తగ్గించబడింది. ఈ సమీకరణాన్ని సమీకృతం చేయడం ద్వారా, మేము సాధారణ సమగ్రతను పొందుతాము లేదా, మరియు ఇది ఫంక్షన్ కోసం 1వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం. దాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా, మేము రెండు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలపై ఆధారపడి, అసలు అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రతను పొందుతాము: .

ఉదాహరణ 1. ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితుల కోసం అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: , .

అసలు సమీకరణంలో స్పష్టమైన వాదన లేనందున, మేము ఒక కొత్త స్వతంత్ర వేరియబుల్‌గా తీసుకుంటాము మరియు - వలె. అప్పుడు సమీకరణం ఫంక్షన్ కోసం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: .

ఇది వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో కూడిన అవకలన సమీకరణం: . ఇది ఎక్కడ అనుసరిస్తుంది, అనగా. .

మరియు, ఆపై ప్రారంభ పరిస్థితులను చివరి సమానత్వంగా మార్చడం వలన, మేము దానిని పొందుతాము మరియు ఇది సమానమైనది. ఫలితంగా, ఫంక్షన్ కోసం మనం వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్నాము, దానిని పరిష్కరించడం ద్వారా మనం పొందుతాము. ప్రారంభ పరిస్థితులను ఉపయోగించి, మేము దానిని పొందుతాము. పర్యవసానంగా, ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే సమీకరణం యొక్క పాక్షిక సమగ్ర రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: .

2. కావలసిన ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా కలిగి లేని సమీకరణాలు.

2వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి: , అనగా. సమీకరణం స్పష్టంగా కావలసిన ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉండదు. ఈ సందర్భంలో, ఒక ప్రకటన పరిచయం చేయబడింది. అప్పుడు ఫంక్షన్ కోసం 2వ ఆర్డర్ సమీకరణం ఫంక్షన్ కోసం 1వ ఆర్డర్ సమీకరణంగా మారుతుంది. దీన్ని ఏకీకృతం చేసిన తర్వాత, మేము ఫంక్షన్ కోసం 1వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాన్ని పొందుతాము: . చివరి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా, మేము రెండు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలపై ఆధారపడి, ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రతను పొందుతాము: .

అందువల్ల, మొదటిదాని కంటే ఎక్కువ ఆర్డర్ యొక్క సమీకరణాన్ని తక్కువ ఆర్డర్ యొక్క సమీకరణానికి తగ్గించాలనే సహజ కోరిక ఉంది. కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది చేయవచ్చు. వాటిని చూద్దాం.

1. y (n) =f(x) రూపం యొక్క సమీకరణాలు n సార్లు క్రమానుగత ఏకీకరణ ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి
, ,… .
ఉదాహరణ. xy""=1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. కాబట్టి మనం y"=ln|x| + C 1 అని వ్రాయవచ్చు మరియు, మళ్లీ ఏకీకృతం చేస్తే, చివరికి మనకు y=∫ln|x| + C 1 x + C 2 వస్తుంది

2. ఫారమ్ F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (అంటే, స్పష్టంగా తెలియని ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాలలో కొన్నింటిని కలిగి ఉండదు) y (k) = z(x) వేరియబుల్‌ని మార్చడం ద్వారా ఆర్డర్ తగ్గించబడుతుంది. అప్పుడు y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) మరియు మనం F(x,z,z",..,z అనే సమీకరణాన్ని పొందుతాము (n - k)) ఆర్డర్ n-k. దీని పరిష్కారం ఫంక్షన్ z = φ(x,C 1 ,C 2 ,...,C n) లేదా, z అంటే ఏమిటో గుర్తుంచుకుంటే, మనం సమీకరణం y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 , …, C n - k) టైప్ 1 విషయంలో పరిగణించబడుతుంది.
ఉదాహరణ 1. x 2 y"" = (y") సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 2. ప్రత్యామ్నాయాన్ని y"=z(x) చేయండి. అప్పుడు y""=z"(x). అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, మనకు x 2 z"=z 2 వస్తుంది. వేరియబుల్స్ వేరు, మేము పొందండి . ఇంటిగ్రేటింగ్, మేము కలిగి , లేదా, అదే, . చివరి సంబంధం ఎక్కడ నుండి రూపంలో వ్రాయబడింది. సమగ్రపరచడం, మేము చివరకు పొందుతాము
ఉదాహరణ 2. x 3 y"" +x 2 y"=1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. మేము వేరియబుల్స్‌లో మార్పు చేస్తాము: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. మేము వేరియబుల్స్‌లో మార్పు చేస్తాము: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 లేదా u"x 2 -xu+xu=1 లేదా u"x^2=1. నుండి: u"=1/x 2 లేదా du/ dx=1/x 2 లేదా u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
z=u/x కనుక, z = -1/x 2 +c 1 /x. y"=z నుండి, ఆపై dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. సమాధానం: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. క్రమంలో తగ్గించబడే తదుపరి సమీకరణం F(y,y",y"",...,y (n))=0 రూపం యొక్క సమీకరణం, ఇది స్పష్టంగా ఒక స్వతంత్ర చరరాశిని కలిగి ఉండదు. y" =p(y) చరరాశిని భర్తీ చేయడం ద్వారా సమీకరణం తగ్గించబడుతుంది, ఇక్కడ p అనేది yపై ఆధారపడి కొత్త కావలసిన ఫంక్షన్. అప్పుడు
= మరియు మొదలైనవి. ఇండక్షన్ ద్వారా మనకు y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)) ఉంటుంది. అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము దాని క్రమాన్ని ఒకటి తగ్గిస్తాము.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (y") 2 +2yy""=0. మేము ప్రామాణిక ప్రత్యామ్నాయాన్ని y"=p(y), ఆపై y″=p′·p చేస్తాము. సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం, మేము పొందుతాము వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయడం, p≠0 కోసం, మేము కలిగి ఉన్నాము ఇంటిగ్రేటింగ్, మేము పొందుతాము లేదా, అదే విషయం, . అప్పుడు లేదా. చివరి సమానత్వాన్ని సమగ్రపరచడం, మేము చివరకు పొందుతాము వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేసినప్పుడు, మనం p=0 కోసం పొందిన y=C పరిష్కారాన్ని కోల్పోతాము, లేదా, y"=0 కోసం అదే విధంగా ఉంటుంది, కానీ అది పైన పొందిన దానిలో ఉంటుంది.

4. కొన్నిసార్లు పైన చర్చించిన వాటి కంటే భిన్నమైన మార్గాల్లో సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే లక్షణాన్ని గమనించడం సాధ్యమవుతుంది. దీన్ని ఉదాహరణలతో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణలు.
1. yy"""=y′y″ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yy″తో భాగించబడినట్లయితే, మనం (lny″)′=(lny)′గా తిరిగి వ్రాయగల సమీకరణాన్ని పొందుతాము. చివరి సంబంధం నుండి అది అనుసరిస్తుంది lny″=lny +lnC, లేదా, అదే ఏమిటి, y″=Cy... ఫలితం సమీకరణం తక్కువ పరిమాణం మరియు ముందుగా చర్చించిన రకం.
2. అదేవిధంగా, yy″=y′(y′+1) సమీకరణం కోసం మనకు లేదా (ln(y"+1))" = (lny)". చివరి సంబంధం నుండి అది ln(y"+ 1) = lny + lnC 1, లేదా y"=C 1 y-1. వేరియబుల్స్‌ని వేరు చేసి, ఇంటిగ్రేట్ చేస్తే, మనకు ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2 వస్తుంది.
నిర్ణయించుకోండి క్రమంలో తగ్గించగల సమీకరణాలుప్రత్యేక సేవను ఉపయోగించడం సాధ్యమవుతుంది

అధిక ఆర్డర్ DEలను ఏకీకృతం చేసే పద్ధతుల్లో ఒకటి ఆర్డర్ తగ్గింపు పద్ధతి. పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, వేరియబుల్ (ప్రత్యామ్నాయం) భర్తీ చేయడం ద్వారా, ఈ DE లోయర్ ఆర్డర్ యొక్క సమీకరణానికి తగ్గించబడుతుంది.

క్రమంలో తగ్గింపును అనుమతించే మూడు రకాల సమీకరణాలను పరిశీలిద్దాం.

I. సమీకరణాన్ని ఇవ్వనివ్వండి

కొత్త ఫంక్షన్ p(x), y " =p(x)ని సెట్ చేయడం ద్వారా ఆర్డర్‌ను తగ్గించవచ్చు. ఆపై y "" =p " (x) మరియు మేము మొదటి ఆర్డర్ DE: p " =ƒ(x)ని పొందుతాము. దాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, అనగా, p = p (x) ఫంక్షన్‌ను కనుగొన్న తర్వాత, మేము y " = p (x) సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము. ఇచ్చిన సమీకరణానికి (3.6) సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందుదాం.

ఆచరణలో, అవి భిన్నంగా పనిచేస్తాయి: సమీకరణం యొక్క వరుస ఏకీకరణ ద్వారా క్రమం నేరుగా తగ్గించబడుతుంది.

ఎందుకంటే సమీకరణం (3.6)ని dy " =ƒ(x) dx రూపంలో వ్రాయవచ్చు. అప్పుడు, y "" =ƒ(x) సమీకరణాన్ని సమగ్రపరచడం ద్వారా మనం పొందుతాము: y " = లేదా y " =j1 (x) + с 1 ఇంకా, ఫలిత సమీకరణాన్ని xలో ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా, మనం కనుగొంటాము: - ఈ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం. సమీకరణం ఇచ్చినట్లయితే తరువాత, దానిని వరుసగా n సార్లు ఏకీకృతం చేసిన తర్వాత, మేము సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము:

ఉదాహరణ 3.1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం: ఈ సమీకరణాన్ని నాలుగుసార్లు ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా మనం పొందుతాము

సమీకరణం ఇవ్వనివ్వండి

y " =р, ఇక్కడ р=р(х) అనేది ఒక కొత్త తెలియని ఫంక్షన్ అని సూచిస్తాము. అప్పుడు y "" =p " మరియు సమీకరణం (3.7) p " =ƒ(х;р) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. р=j (х;с 1) అనేది ఫలితంగా వచ్చే మొదటి-ఆర్డర్ DE యొక్క సాధారణ పరిష్కారం. p ఫంక్షన్‌ను y "తో భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము DE: y " = j(x;c 1)ని పొందుతాము. దీనికి రూపం (3.6) ఉంటుంది. yని కనుగొనడానికి, చివరి సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేస్తే సరిపోతుంది. సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం ( 3.7) రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం (3.7) సమీకరణం

ఇది కూడా స్పష్టంగా కావలసిన ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉండదు, అప్పుడు y (k) = p (x)ని సెట్ చేయడం ద్వారా k యూనిట్ల ద్వారా దాని క్రమాన్ని తగ్గించవచ్చు. అప్పుడు y (k+1) =p "; ...; y (n) = p (n-k) మరియు సమీకరణం (3.9) F(x;p;p" ;... ;p (n-κ) రూపాన్ని తీసుకుంటాయి. ))=0. సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం (3.9) సమీకరణం

ప్రత్యామ్నాయం y (n-1) =p(x), y (n) =p "ని ఉపయోగించి ఈ సమీకరణం మొదటి ఆర్డర్ DEకి తగ్గించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 3.2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం: మేము y"=p అని ఊహిస్తాము, ఎక్కడ అప్పుడు ఇది వేరు చేయగల సమీకరణం: ఇంటిగ్రేటింగ్, మేము అసలు వేరియబుల్‌కి తిరిగి వస్తాము, మనకు y"=c 1 x,

- సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం.

III. సమీకరణాన్ని పరిగణించండి

ఇది స్వతంత్ర వేరియబుల్ xని స్పష్టంగా కలిగి ఉండదు.

సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని తగ్గించడానికి, మేము కొత్త ఫంక్షన్ p=p(y)ని పరిచయం చేస్తాము, వేరియబుల్ y మీద ఆధారపడి, y"=pని సెట్ చేస్తాము. మేము p =p(yని పరిగణనలోకి తీసుకుని, xకి సంబంధించి ఈ సమానత్వాన్ని వేరు చేస్తాము. (x)):

అనగా ఇప్పుడు సమీకరణం (3.10) రూపంలో వ్రాయబడుతుంది

p=j(y;c 1) ఈ మొదటి ఆర్డర్ DE యొక్క సాధారణ పరిష్కారంగా ఉండనివ్వండి. ఫంక్షన్ p(y)ని y"తో భర్తీ చేస్తే, మేము y"=j(y;c 1) - DEని వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో పొందుతాము. దానిని సమగ్రపరచడం, మేము సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రతను కనుగొంటాము (3.10):

సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం (3.10) అవకలన సమీకరణం

ఇదే విధమైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు: y " =p(y),

F(y; y "; y";...; y (n)) = 0 అనే సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు మనం అదే చేస్తాము. y"=pని సెట్ చేయడం ద్వారా దాని క్రమాన్ని ఒకటి తగ్గించవచ్చు, ఇక్కడ p=p(y ) కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము కనుగొంటాము అప్పుడు మనం కనుగొంటాము

p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y, లేదా p=c 1 ey+y. pని y "తో భర్తీ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: y"=c 1 -e y +y. ఈ సమానత్వంలో y"=2 మరియు y=2ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము 1తో కనుగొంటాము:

2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.

మనకు y"=y ఉంది. అందువల్ల y=c 2 e x. మేము ప్రారంభ పరిస్థితుల నుండి c 2ని కనుగొంటాము: 2=c 2 e°, c 2 =2. అందువలన, y=2e x దీని యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం