క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలను ఎలా కనుగొనాలి. చతుర్భుజ సమీకరణాలు

మేము అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము " సమీకరణాలను పరిష్కరించడం" మేము ఇప్పటికే సరళ సమీకరణాలతో పరిచయం కలిగి ఉన్నాము మరియు వాటితో పరిచయం పొందడానికి ముందుకు వెళ్తున్నాము వర్గ సమీకరణాలు.

ముందుగా మనం చతుర్భుజ సమీకరణం అంటే ఏమిటి మరియు అది ఎలా వ్రాయబడిందో చూద్దాం సాధారణ వీక్షణ, మరియు మేము ఇస్తాము సంబంధిత నిర్వచనాలు. దీని తరువాత, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో వివరంగా పరిశీలించడానికి మేము ఉదాహరణలను ఉపయోగిస్తాము. పరిష్కారం వైపు వెళ్దాం పూర్తి సమీకరణాలు, మేము మూల సూత్రాన్ని పొందుతాము, చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క వివక్షతతో పరిచయం పొందుతాము మరియు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము సాధారణ ఉదాహరణలు. చివరగా, మూలాలు మరియు కోఎఫీషియంట్స్ మధ్య కనెక్షన్‌లను కనుగొనండి.

పేజీ నావిగేషన్.

చతుర్భుజ సమీకరణం అంటే ఏమిటి? వారి రకాలు

మొదట మీరు క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్ అంటే ఏమిటో స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి. అందువల్ల, వర్గ సమీకరణాల నిర్వచనంతో పాటు సంబంధిత నిర్వచనాలతో వర్గ సమీకరణాల గురించి సంభాషణను ప్రారంభించడం తార్కికం. దీని తరువాత, మీరు వర్గ సమీకరణాల యొక్క ప్రధాన రకాలను పరిగణించవచ్చు: తగ్గిన మరియు తగ్గించని, అలాగే పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ సమీకరణాలు.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణలు

నిర్వచనం.

చతుర్భుజ సమీకరణంరూపం యొక్క సమీకరణం a x 2 +b x+c=0, ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, a, b మరియు c కొన్ని సంఖ్యలు మరియు a అనేది సున్నా కాదు.

చతురస్రాకార సమీకరణాలను తరచుగా రెండవ డిగ్రీ సమీకరణాలు అని పిలుస్తారని వెంటనే చెప్పండి. చతుర్భుజ సమీకరణం కావడం దీనికి కారణం బీజగణిత సమీకరణం రెండవ డిగ్రీ.

పేర్కొన్న నిర్వచనం వర్గ సమీకరణాల ఉదాహరణలను ఇవ్వడానికి అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, మొదలైనవి. ఇవి చతుర్భుజ సమీకరణాలు.

నిర్వచనం.

సంఖ్యలు a, b మరియు c అంటారు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు a·x 2 +b·x+c=0, మరియు గుణకం aని మొదటి, లేదా అత్యధికం లేదా x 2 యొక్క గుణకం అంటారు, b అనేది రెండవ గుణకం లేదా x యొక్క గుణకం, మరియు c అనేది ఉచిత పదం .

ఉదాహరణకు, 5 x 2 -2 x -3=0 రూపం యొక్క వర్గ సమీకరణాన్ని తీసుకుందాం, ఇక్కడ ప్రముఖ గుణకం 5, రెండవ గుణకం −2కి సమానం మరియు ఉచిత పదం −3కి సమానం. గుణకాలు b మరియు/లేదా c ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు, ఇప్పుడే ఇచ్చిన ఉదాహరణలో ఉన్నట్లు గమనించండి చిన్న రూపం 5 x 2 -2 x−3=0 రూపం యొక్క వర్గ సమీకరణాన్ని వ్రాయడం, మరియు 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0 కాదు.

a మరియు/లేదా b గుణకాలు 1 లేదా −1కి సమానం అయినప్పుడు, అవి సాధారణంగా వర్గ సమీకరణంలో స్పష్టంగా ఉండవు, అటువంటి వాటిని వ్రాయడం యొక్క ప్రత్యేకతల కారణంగా ఇది గమనించదగినది. ఉదాహరణకు, y 2 -y+3=0 వర్గ సమీకరణంలో ప్రముఖ గుణకం ఒకటి మరియు y యొక్క గుణకం −1కి సమానం.

తగ్గించబడిన మరియు తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణాలు

ప్రముఖ గుణకం యొక్క విలువపై ఆధారపడి, తగ్గిన మరియు తగ్గించని వర్గ సమీకరణాలు వేరు చేయబడతాయి. సంబంధిత నిర్వచనాలను ఇద్దాం.

నిర్వచనం.

లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ 1 ఉన్న చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని అంటారు చతుర్భుజ సమీకరణం ఇవ్వబడింది. IN లేకుంటేవర్గ సమీకరణం తాకబడలేదు.

ప్రకారం ఈ నిర్వచనం, వర్గ సమీకరణాలు x 2 −3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, మొదలైనవి. - ఇవ్వబడింది, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి మొదటి గుణకం ఒకరికి సమానం. A 5 x 2 -x−1=0, మొదలైనవి. - తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణాలు, వాటి ప్రముఖ గుణకాలు 1 నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి.

ఏదైనా తగ్గని వర్గ సమీకరణం నుండి, రెండు వైపులా ప్రముఖ గుణకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మీరు తగ్గించిన దానికి వెళ్లవచ్చు. ఈ చర్య సమానమైన పరివర్తన, అంటే, ఈ విధంగా పొందిన తగ్గిన వర్గ సమీకరణం అసలైన తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణం వలె అదే మూలాలను కలిగి ఉంటుంది లేదా, దాని వలె, మూలాలు లేవు.

తగ్గించబడని వర్గ సమీకరణం నుండి తగ్గించబడిన ఒకదానికి పరివర్తన ఎలా జరుగుతుందో ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

3 x 2 +12 x−7=0 సమీకరణం నుండి, సంబంధిత తగ్గిన వర్గ సమీకరణానికి వెళ్లండి.

పరిష్కారం.

మేము కేవలం లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ 3 ద్వారా అసలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించాలి, ఇది సున్నా కాదు, కాబట్టి మేము ఈ చర్యను చేయవచ్చు. మనకు (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, అదే, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, ఆపై (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, ఎక్కడ నుండి . ఈ విధంగా మేము తగ్గించబడిన వర్గ సమీకరణాన్ని పొందాము, ఇది అసలైన దానికి సమానం.

సమాధానం:

పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు

వర్గ సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం a≠0 షరతును కలిగి ఉంటుంది. ఈ పరిస్థితి అవసరం కాబట్టి a x 2 + b x + c = 0 సమీకరణం చతుర్భుజంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే a = 0 అయినప్పుడు అది నిజానికి b x + c = 0 రూపానికి సరళ సమీకరణం అవుతుంది.

బి మరియు సి గుణకాల కొరకు, అవి వ్యక్తిగతంగా మరియు కలిసి సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భాలలో, వర్గ సమీకరణాన్ని అసంపూర్ణంగా పిలుస్తారు.

నిర్వచనం.

చతుర్భుజ సమీకరణం a x 2 +b x+c=0 అంటారు అసంపూర్ణమైన, గుణకాలలో కనీసం ఒకటి b, c సున్నాకి సమానం.

దాని మలుపులో

నిర్వచనం.

పూర్తి చతుర్భుజ సమీకరణంఅన్ని గుణకాలు సున్నాకి భిన్నంగా ఉండే సమీకరణం.

అలాంటి పేర్లు యాదృచ్ఛికంగా ఇవ్వబడలేదు. ఈ క్రింది చర్చల నుండి ఇది స్పష్టమవుతుంది.

గుణకం b సున్నా అయితే, వర్గ సమీకరణం a·x 2 +0·x+c=0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది మరియు ఇది a·x 2 +c=0 సమీకరణానికి సమానం. c=0, అంటే, వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x+0=0 రూపాన్ని కలిగి ఉంటే, దానిని a·x 2 +b·x=0గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. మరియు b=0 మరియు c=0 లతో మేము a·x 2 =0 వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము. ఫలిత సమీకరణాలు పూర్తి చతుర్భుజ సమీకరణం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి, వాటి ఎడమ-భుజాలు వేరియబుల్ x లేదా ఉచిత పదం లేదా రెండింటినీ కలిగి ఉండవు. అందుకే వాటి పేరు - అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.

కాబట్టి సమీకరణాలు x 2 +x+1=0 మరియు −2 x 2 -5 x+0.2=0 పూర్తి వర్గ సమీకరణాలకు ఉదాహరణలు, మరియు x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

మునుపటి పేరాలోని సమాచారం నుండి అది ఉంది అని అనుసరిస్తుంది మూడు రకాల అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు:

• a·x 2 =0, గుణకాలు b=0 మరియు c=0 దానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి;
• a x 2 +c=0 ఉన్నప్పుడు b=0 ;
• మరియు a·x 2 +b·x=0 ఉన్నప్పుడు c=0.

ఈ రకమైన ప్రతి యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో క్రమంలో పరిశీలిద్దాం.

a x 2 =0

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం, దీనిలో గుణకాలు b మరియు c సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి, అంటే a x 2 =0 రూపం యొక్క సమీకరణాలతో. a·x 2 =0 సమీకరణం x 2 =0 సమీకరణానికి సమానం, ఇది రెండు భాగాలను సున్నా కాని సంఖ్యతో విభజించడం ద్వారా అసలు నుండి పొందబడుతుంది. సహజంగానే, x 2 =0 సమీకరణం యొక్క మూలం సున్నా, ఎందుకంటే 0 2 =0. ఈ సమీకరణానికి ఇతర మూలాలు లేవు, ఇది ఏదైనా సున్నా కాని సంఖ్య pకి అసమానత p 2 >0 కలిగి ఉంటుంది, అంటే p≠0కి p 2 =0 సమానత్వం ఎప్పుడూ సాధించబడదు.

కాబట్టి, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a·x 2 =0 ఒకే మూలం x=0ని కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణగా, మేము అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం −4 x 2 =0కి పరిష్కారాన్ని అందిస్తాము. ఇది x 2 =0 సమీకరణానికి సమానం, దాని ఏకైక మూలం x=0, కాబట్టి, అసలు సమీకరణం ఒకే మూల సున్నాని కలిగి ఉంటుంది.

ఈ సందర్భంలో ఒక చిన్న పరిష్కారం వ్రాయవచ్చు క్రింది విధంగా:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

గుణకం b సున్నా మరియు c≠0 అయిన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో ఇప్పుడు చూద్దాం, అంటే a x 2 +c=0 రూపం యొక్క సమీకరణాలు. ఒక పదాన్ని సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు నుండి మరొక వైపుకు తరలించడం మనకు తెలుసు వ్యతిరేక చిహ్నం, అలాగే సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా నాన్ జీరో సంఖ్యతో విభజించడం సమానమైన సమీకరణాన్ని ఇస్తుంది. కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది వాటిని నిర్వహించవచ్చు సమానమైన పరివర్తనలుఅసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a x 2 +c=0 :

• c ను కుడి వైపుకు తరలించండి, ఇది సమీకరణాన్ని x 2 =-c ఇస్తుంది,
• మరియు రెండు వైపులా a ద్వారా విభజించండి, మనకు లభిస్తుంది .

ఫలిత సమీకరణం దాని మూలాల గురించి తీర్మానాలు చేయడానికి అనుమతిస్తుంది. a మరియు c విలువలపై ఆధారపడి, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, a=1 మరియు c=2 అయితే ) లేదా సానుకూలంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, a=−2 మరియు c=6 అయితే, అప్పుడు ), ఇది సున్నా కాదు , ఎందుకంటే షరతు c≠0. కేసులను విడిగా చూద్దాం.

అయితే, సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. ఈ ప్రకటన ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ప్రతికూల సంఖ్య అని వాస్తవం నుండి అనుసరిస్తుంది. దీని నుండి ఎప్పుడు , అప్పుడు ఏ సంఖ్య p అయినా సమానత్వం నిజం కాదు.

అయితే, సమీకరణం యొక్క మూలాలతో పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము గురించి గుర్తుంచుకుంటే, సమీకరణం యొక్క మూలం వెంటనే స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, ఎందుకంటే . సంఖ్య సమీకరణం యొక్క మూలం అని ఊహించడం సులభం, నిజానికి, . ఈ సమీకరణానికి ఇతర మూలాలు లేవు, ఉదాహరణకు, వైరుధ్యం ద్వారా చూపవచ్చు. మనం చేద్దాం.

ఇప్పుడు x 1 మరియు −x 1గా ప్రకటించిన సమీకరణం యొక్క మూలాలను సూచిస్తాము. ఈక్వేషన్‌లో మరో రూట్ x 2 ఉందని అనుకుందాం, ఇది సూచించిన x 1 మరియు −x 1 మూలాలకు భిన్నంగా ఉంటుంది. దాని మూలాలను xకి బదులుగా సమీకరణంలోకి మార్చడం వలన సమీకరణం సరైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుతుంది. x 1 మరియు −x 1 కొరకు మనము కలిగి ఉన్నాము మరియు x 2 కొరకు మనము కలిగి ఉన్నాము . సంఖ్యా సమానత్వం యొక్క లక్షణాలు నిజమైన పదం వారీ వ్యవకలనాన్ని నిర్వహించడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి సంఖ్యా సమానతలు, కాబట్టి సమానత్వాల సంబంధిత భాగాలను తీసివేస్తే x 1 2 −x 2 2 =0 వస్తుంది. సంఖ్యలతో కూడిన కార్యకలాపాల లక్షణాలు ఫలిత సమానత్వాన్ని (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0గా తిరిగి వ్రాయడానికి అనుమతిస్తాయి. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం సున్నాకి సమానం మరియు వాటిలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే అని మనకు తెలుసు. అందువల్ల, ఫలిత సమానత్వం నుండి x 1 -x 2 =0 మరియు/లేదా x 1 +x 2 =0, అదే, x 2 =x 1 మరియు/లేదా x 2 =-x 1. కాబట్టి మేము ఒక వైరుధ్యానికి వచ్చాము, ఎందుకంటే x 2 సమీకరణం యొక్క మూలం x 1 మరియు −x 1 నుండి భిన్నంగా ఉంటుందని మేము ప్రారంభంలో చెప్పాము. సమీకరణానికి మరియు తప్ప వేరే మూలాలు లేవని ఇది రుజువు చేస్తుంది.

ఈ పేరాలోని సమాచారాన్ని సంగ్రహిద్దాం. అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a x 2 +c=0 సమీకరణానికి సమానం

• ఒకవేళ మూలాలు లేవు,
• రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు , అయితే .

a·x 2 +c=0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

9 x 2 +7=0 వర్గ సమీకరణంతో ప్రారంభిద్దాం. ఉచిత పదాన్ని సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలించిన తర్వాత, అది 9 x 2 =-7 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. ఫలిత సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9 ద్వారా విభజించి, మేము చేరుకుంటాము. కుడి వైపు ప్రతికూల సంఖ్యను కలిగి ఉన్నందున, ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు, కాబట్టి, అసలు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం 9 x 2 +7 = 0కి మూలాలు లేవు.

మరొక అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని −x 2 +9=0 పరిష్కరిద్దాం. మేము తొమ్మిదిని కుడి వైపుకు తరలిస్తాము: −x 2 =-9. ఇప్పుడు మనం రెండు వైపులా −1తో విభజిస్తాము, మనకు x 2 =9 వస్తుంది. కుడి వైపున ఉంది సానుకూల సంఖ్య, దాని నుండి మేము దానిని ముగించాము లేదా . అప్పుడు మేము తుది సమాధానాన్ని వ్రాస్తాము: అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం −x 2 +9=0 రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది x=3 లేదా x=−3.

a x 2 +b x=0

c=0 కోసం అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాల యొక్క చివరి రకం పరిష్కారంతో వ్యవహరించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. a x 2 + b x = 0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు మిమ్మల్ని పరిష్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది కారకం పద్ధతి. సహజంగానే, మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్నాము, దీని కోసం బ్రాకెట్ల నుండి బయటకు తీయడం సరిపోతుంది సాధారణ గుణకం x. ఇది అసలైన అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం నుండి x·(a·x+b)=0 రూపానికి సమానమైన సమీకరణానికి తరలించడానికి అనుమతిస్తుంది. మరియు ఈ సమీకరణం x=0 మరియు a·x+b=0 అనే రెండు సమీకరణాల సమితికి సమానం, వీటిలో రెండోది సరళంగా ఉంటుంది మరియు x=−b/a మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

కాబట్టి, అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x=0కి x=0 మరియు x=−b/a అనే రెండు మూలాలు ఉన్నాయి.

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

బ్రాకెట్ల నుండి xని తీసుకుంటే సమీకరణం వస్తుంది. ఇది x=0 మరియు రెండు సమీకరణాలకు సమానం. మనకు లభించిన వాటిని పరిష్కరించడం సరళ సమీకరణం: , మరియు విభజన చేయడం మిశ్రమ సంఖ్యపై సాధారణ భిన్నం, మేము కనుగొంటాము. కాబట్టి, అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు x=0 మరియు .

అవసరమైన అభ్యాసాన్ని పొందిన తరువాత, అటువంటి సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:

సమాధానం:

x=0 , .

వివక్షత, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలకు సూత్రం

వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, ఒక మూల సూత్రం ఉంది. రాసుకుందాం వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం: , ఎక్కడ D=b 2 −4 a c- అని పిలవబడే చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క వివక్ష. ప్రవేశం తప్పనిసరిగా అర్థం.

మూల సూత్రం ఎలా ఉద్భవించింది మరియు వర్గ సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనడంలో ఇది ఎలా ఉపయోగించబడుతుందో తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. దీన్ని గుర్తించండి.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం

మనం a·x 2 +b·x+c=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. కొన్ని సమానమైన పరివర్తనలను చేద్దాం:

• మేము ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్య aతో విభజించవచ్చు, ఫలితంగా క్రింది వర్గ సమీకరణం వస్తుంది.
• ఇప్పుడు హైలైట్ చేద్దాం ఖచ్చితమైన చతురస్రం దాని ఎడమ వైపున: . దీని తరువాత, సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది.
• ఈ దశలో, చివరి రెండు పదాలను వ్యతిరేక గుర్తుతో కుడి వైపుకు బదిలీ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, మనకు ఉంది .
• మరియు కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను కూడా మారుద్దాం: .

ఫలితంగా, మేము అసలైన వర్గ సమీకరణం a·x 2 +b·x+c=0కి సమానమైన సమీకరణానికి చేరుకుంటాము.

మేము ఇప్పటికే రూపంలో సమానమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించాము మునుపటి పేరాలువారు దానిని వేరు చేసినప్పుడు. దీన్ని చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది క్రింది ముగింపులుసమీకరణం యొక్క మూలాల గురించి:

• ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణం లేదు చెల్లుబాటు అయ్యే పరిష్కారాలు;
• అయితే , అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది , కాబట్టి , దాని నుండి దాని ఏకైక మూలం కనిపిస్తుంది;
• అయితే , అప్పుడు లేదా , అదే లేదా , అంటే సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి.

అందువలన, సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం, అందువలన అసలు వర్గ సమీకరణం, కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ప్రతిగా, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క సంకేతం న్యూమరేటర్ యొక్క సంకేతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఎందుకంటే హారం 4·a 2 ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే b 2 −4·a·c వ్యక్తీకరణ యొక్క సంకేతం ద్వారా. ఈ వ్యక్తీకరణ b 2 −4 a c అని పిలువబడింది చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క వివక్షమరియు లేఖ ద్వారా నియమించబడినది డి. ఇక్కడ నుండి వివక్షత యొక్క సారాంశం స్పష్టంగా ఉంది - దాని విలువ మరియు సంకేతం ఆధారంగా, వారు వర్గ సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్నారో లేదో నిర్ధారించారు నిజమైన మూలాలు, మరియు అలా అయితే, వారి సంఖ్య ఏమిటి - ఒకటి లేదా రెండు.

సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్దాం మరియు వివక్షతతో కూడిన సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం: . మరియు మేము తీర్మానాలు చేస్తాము:

• ఒకవేళ డి<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 అయితే, ఈ సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది;
• చివరగా, D>0 అయితే, సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది లేదా, దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు లేదా, మరియు భిన్నాలను విస్తరించి మరియు తగ్గించిన తర్వాత సాధారణ హారంమేము అందుకుంటాము.

కాబట్టి మేము చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాలను పొందాము, అవి , విచక్షణ D ని D=b 2 −4·a·c సూత్రం ద్వారా గణిస్తారు.

వారి సహాయంతో, సానుకూల వివక్షతతో, మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వాస్తవ మూలాలను లెక్కించవచ్చు. వివక్షత సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు, రెండు సూత్రాలు రూట్ యొక్క ఒకే విలువను అందిస్తాయి, ఇది వర్గ సమీకరణానికి ప్రత్యేకమైన పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. మరి ఎప్పుడూ ప్రతికూల వివక్షచతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు, మేము వెలికితీతను ఎదుర్కొంటాము వర్గమూలంప్రతికూల సంఖ్య నుండి, ఇది మనలను దాటి మరియు పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు. ప్రతికూల వివక్షతో, వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవు, కానీ ఒక జత ఉంటుంది సంక్లిష్ట సంయోగంమూలాలు, మేము పొందిన అదే మూల సూత్రాలను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు.

మూల సూత్రాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

ఆచరణలో, వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు వెంటనే వాటి విలువలను లెక్కించడానికి మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. కానీ ఇది సంక్లిష్ట మూలాలను కనుగొనడానికి మరింత సంబంధించినది.

అయితే, లో పాఠశాల కోర్సుబీజగణితం సాధారణంగా మేము మాట్లాడుతున్నాముసంక్లిష్టత గురించి కాదు, కానీ వర్గ సమీకరణం యొక్క నిజమైన మూలాల గురించి. ఈ సందర్భంలో, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించే ముందు, మొదట వివక్షతను కనుగొనడం మంచిది, అది ప్రతికూలమైనది కాదని నిర్ధారించుకోండి (లేకపోతే, సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవని మేము నిర్ధారించవచ్చు), మరియు అప్పుడు మాత్రమే మూలాల విలువలను లెక్కించండి.

పై తార్కికం మనకు వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం. చతురస్రాకార సమీకరణం a x 2 +b x+c=0 పరిష్కరించడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:

• విచక్షణా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి D=b 2 −4·a·c, దాని విలువను లెక్కించండి;
• వివక్ష ప్రతికూలంగా ఉంటే వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉండవని నిర్ధారించండి;
• D=0 అయితే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని లెక్కించండి;
• వివక్ష సానుకూలంగా ఉంటే, మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వాస్తవ మూలాలను కనుగొనండి.

వివక్షత సున్నాకి సమానం అయితే, మీరు ఫార్ములాను కూడా ఉపయోగించవచ్చని ఇక్కడ మేము గమనించాము.

మీరు చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను ఉపయోగించే ఉదాహరణలకు వెళ్లవచ్చు.

వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలు

సానుకూల, ప్రతికూల మరియు మూడు వర్గ సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిద్దాం సున్నాకి సమానంవివక్షత. వారి పరిష్కారంతో వ్యవహరించిన తరువాత, సారూప్యత ద్వారా ఏదైనా ఇతర వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది. ప్రారంభిద్దాం.

ఉదాహరణ.

x 2 +2·x−6=0 సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఈ సందర్భంలో, మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క క్రింది కోఎఫీషియంట్‌లను కలిగి ఉన్నాము: a=1, b=2 మరియు c=−6. అల్గోరిథం ప్రకారం, మీరు దీన్ని చేయడానికి మొదట వివక్షతను లెక్కించాలి, మేము సూచించిన a, b మరియు c లను వివక్షత సూత్రంలోకి మారుస్తాము D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 నుండి, అంటే, వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువ, వర్గ సమీకరణం రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. రూట్ ఫార్ములా ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనండి, మేము పొందుతాము , ఇక్కడ మీరు చేయడం ద్వారా ఫలిత వ్యక్తీకరణలను సులభతరం చేయవచ్చు మూల సంకేతం దాటి గుణకాన్ని తరలించడంభిన్నం తగ్గింపు తర్వాత:

సమాధానం:

తదుపరి సాధారణ ఉదాహరణకి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ.

−4 x 2 +28 x−49=0 వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

మేము వివక్షను కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. కాబట్టి, ఈ చతురస్రాకార సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంది, దానిని మనం , అంటే,

సమాధానం:

x=3.5.

ప్రతికూల వివక్షతతో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడాన్ని పరిగణించడం మిగిలి ఉంది.

ఉదాహరణ.

5·y 2 +6·y+2=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

ఇక్కడ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు ఉన్నాయి: a=5, b=6 మరియు c=2. మేము ఈ విలువలను వివక్షత సూత్రంలోకి మారుస్తాము D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, ఈ వర్గ సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు.

మీరు సూచించాల్సిన అవసరం ఉంటే సంక్లిష్ట మూలాలు, అప్పుడు మేము దరఖాస్తు చేస్తాము బాగా తెలిసిన ఫార్ములాచతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు పనితీరు తో చర్యలు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు :

సమాధానం:

అసలు మూలాలు లేవు, సంక్లిష్ట మూలాలు: .

చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క వివక్ష ప్రతికూలంగా ఉంటే, పాఠశాలలో వారు సాధారణంగా వెంటనే సమాధానాన్ని వ్రాస్తారు, అందులో నిజమైన మూలాలు లేవని మరియు సంక్లిష్ట మూలాలు కనుగొనబడలేదని మరోసారి గమనించండి.

రెండవ కోఎఫీషియంట్స్ కోసం రూట్ ఫార్ములా

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం, ఇక్కడ D=b 2 −4·a·c మిమ్మల్ని మరింత కాంపాక్ట్ ఫారమ్‌ని పొందేందుకు అనుమతిస్తుంది, ఇది x కోసం సరి గుణకంతో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది (లేదా కేవలం a తో గుణకం రూపం 2·n, ఉదాహరణకు, లేదా 14· ln5=2·7·ln5 ). ఆమెను బయటకు తీద్దాం.

మనం a x 2 +2 n x+c=0 రూపం యొక్క వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలని అనుకుందాం. మనకు తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాని మూలాలను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), ఆపై మేము మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

n 2 −a c అనే వ్యక్తీకరణను D 1గా సూచిస్తాము (కొన్నిసార్లు దీనిని D "అని సూచిస్తారు). అప్పుడు రెండవ గుణకం 2 nతో పరిగణనలోకి తీసుకున్న వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల సూత్రం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. , ఇక్కడ D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1, లేదా D 1 =D/4 అని చూడటం సులభం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, D 1 అనేది వివక్షత యొక్క నాల్గవ భాగం. D 1 యొక్క సంకేతం మరియు D యొక్క సంకేతం ఒకటే అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అంటే, సంకేతం D 1 అనేది వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉనికి లేదా లేకపోవడం యొక్క సూచిక.

కాబట్టి, రెండవ గుణకం 2·nతో చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీకు అవసరం

• D 1 =n 2 −a·cని లెక్కించండి;
• D 1 అయితే<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 అయితే, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని లెక్కించండి;
• D 1 >0 అయితే, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రెండు నిజమైన మూలాలను కనుగొనండి.

ఈ పేరాలో పొందిన మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఉదాహరణను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

5 x 2 −6 x -32=0 వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం.

ఈ సమీకరణం యొక్క రెండవ గుణకం 2·(−3) గా సూచించబడుతుంది. అంటే, మీరు అసలు వర్గ సమీకరణాన్ని 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ a=5, n=−3 మరియు c=−32, మరియు నాల్గవ భాగాన్ని లెక్కించవచ్చు వివక్షత: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(−32)=9+160=169. దాని విలువ సానుకూలంగా ఉన్నందున, సమీకరణానికి రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి. తగిన మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనండి:

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సాధ్యమవుతుందని గమనించండి, అయితే ఈ సందర్భంలో మరింత గణన పనిని నిర్వహించాల్సి ఉంటుంది.

సమాధానం:

వర్గ సమీకరణాల రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం

కొన్నిసార్లు, సూత్రాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను లెక్కించడం ప్రారంభించే ముందు, "ఈ సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం సాధ్యమేనా?" అనే ప్రశ్న అడగడం బాధ కలిగించదు. గణనల పరంగా 1100 x 2 -400 x−600=0 కంటే 11 x 2 -4 x−6=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సులభమని అంగీకరించండి.

సాధారణంగా, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం అనేది నిర్దిష్ట సంఖ్యతో రెండు వైపులా గుణించడం లేదా విభజించడం ద్వారా సాధించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, మునుపటి పేరాలో 1100 x 2 -400 x -600=0 సమీకరణాన్ని రెండు వైపులా 100తో విభజించడం ద్వారా సులభతరం చేయడం సాధ్యమైంది.

ఇదే విధమైన పరివర్తన క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలతో నిర్వహించబడుతుంది, వీటిలో గుణకాలు కాదు. ఈ సందర్భంలో, మేము సాధారణంగా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజిస్తాము సంపూర్ణ విలువలుదాని గుణకాలు. ఉదాహరణకు, 12 x 2 −42 x+48=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని తీసుకుందాం. దాని గుణకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువలు: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. అసలు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6 ద్వారా భాగిస్తే, మనం సమానమైన వర్గ సమీకరణం 2 x 2 -7 x+8=0 వద్దకు వస్తాము.

మరియు వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించడం సాధారణంగా పాక్షిక గుణకాలను వదిలించుకోవడానికి జరుగుతుంది. ఈ సందర్భంలో, గుణకారం దాని గుణకాల యొక్క హారం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా LCM(6, 3, 1)=6తో గుణిస్తే, అది x 2 +4·x−18=0 అనే సరళమైన రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.

ఈ పాయింట్ ముగింపులో, అన్ని పదాల సంకేతాలను మార్చడం ద్వారా క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క అత్యధిక గుణకం వద్ద వారు దాదాపు ఎల్లప్పుడూ మైనస్‌ను తొలగిస్తారని మేము గమనించాము, ఇది రెండు వైపులా −1తో గుణించడం (లేదా విభజించడం)కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సాధారణంగా ఒక వర్గ సమీకరణం −2 x 2 -3 x+7=0 నుండి 2 x 2 +3 x−7=0 పరిష్కారానికి వెళుతుంది.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధం

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల సూత్రం దాని గుణకాల ద్వారా సమీకరణం యొక్క మూలాలను వ్యక్తపరుస్తుంది. మూల సూత్రం ఆధారంగా, మీరు మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య ఇతర సంబంధాలను పొందవచ్చు.

Vieta సిద్ధాంతం నుండి అత్యంత ప్రసిద్ధ మరియు వర్తించే సూత్రాలు రూపం మరియు . ప్రత్యేకించి, ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం కోసం, మూలాల మొత్తం వ్యతిరేక సంకేతంతో రెండవ గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు మూలాల యొక్క ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం. ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణం 3 x 2 -7 x + 22 = 0 రూపాన్ని చూడటం ద్వారా, దాని మూలాల మొత్తం 7/3కి సమానం మరియు మూలాల ఉత్పత్తి 22కి సమానం అని మనం వెంటనే చెప్పగలం. /3.

ఇప్పటికే వ్రాసిన సూత్రాలను ఉపయోగించి, మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య అనేక ఇతర కనెక్షన్‌లను పొందవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాల చతురస్రాల మొత్తాన్ని దాని గుణకాల ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు: .

గ్రంథ పట్టిక.

• బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2008. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• మోర్డ్కోవిచ్ A. G.బీజగణితం. 8వ తరగతి. మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు పార్ట్ 1. విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం విద్యా సంస్థలు/ A. G. మోర్డ్కోవిచ్. - 11వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kopyevskaya గ్రామీణ మాధ్యమిక పాఠశాల

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి 10 మార్గాలు

హెడ్: పత్రికీవా గలీనా అనటోలివ్నా,

గణిత ఉపాధ్యాయుడు

గ్రామం కోపెవో, 2007

1. వర్గ సమీకరణాల అభివృద్ధి చరిత్ర

1.1 చతుర్భుజ సమీకరణాలుప్రాచీన బాబిలోన్‌లో

1.2 డయోఫాంటస్ చతుర్భుజ సమీకరణాలను ఎలా కూర్చాడు మరియు పరిష్కరించాడు

1.3 భారతదేశంలో క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు

1.4 అల్-ఖోరెజ్మీ ద్వారా చతుర్భుజ సమీకరణాలు

1.5 ఐరోపాలో చతుర్భుజ సమీకరణాలు XIII - XVII శతాబ్దాలు

1.6 వియెటా సిద్ధాంతం గురించి

2. వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు

ముగింపు

సాహిత్యం

1. చతురస్రాకార సమీకరణాల అభివృద్ధి చరిత్ర

1.1 ప్రాచీన బాబిలోన్‌లో చతుర్భుజ సమీకరణాలు

పురాతన కాలంలో మొదటిది మాత్రమే కాకుండా, రెండవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ప్రాంతాలను కనుగొనడానికి సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఏర్పడింది. భూమి ప్లాట్లుమరియు ఒక సైనిక స్వభావం యొక్క భూపనులతో, అలాగే ఖగోళ శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రం యొక్క అభివృద్ధితో. 2000 BCలో చతుర్భుజ సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. ఇ. బాబిలోనియన్లు.

ఆధునిక బీజగణిత సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి, వారి క్యూనిఫారమ్ గ్రంథాలలో అసంపూర్ణమైన వాటితో పాటు, ఉదాహరణకు, పూర్తి వర్గ సమీకరణాలు ఉన్నాయని మనం చెప్పగలం:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించే నియమం, బాబిలోనియన్ గ్రంథాలలో నిర్దేశించబడింది, ముఖ్యంగా ఆధునిక దానితో సమానంగా ఉంటుంది, అయితే బాబిలోనియన్లు ఈ నియమానికి ఎలా వచ్చారో తెలియదు. ఇప్పటివరకు కనుగొనబడిన దాదాపు అన్ని క్యూనిఫారమ్ గ్రంథాలు వంటకాల రూపంలో పరిష్కారాలతో సమస్యలను మాత్రమే అందిస్తాయి, అవి ఎలా కనుగొనబడ్డాయి అనేదానికి ఎటువంటి సూచన లేదు.

ఉన్నప్పటికీ ఉన్నతమైన స్థానంబాబిలోన్‌లో బీజగణితం అభివృద్ధి, క్యూనిఫారమ్ గ్రంథాలలో ప్రతికూల సంఖ్య అనే భావన లేదు మరియు సాధారణ పద్ధతులువర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

1.2 డయోఫాంటస్ చతుర్భుజ సమీకరణాలను ఎలా కూర్చాడు మరియు పరిష్కరించాడు.

డయోఫాంటస్ యొక్క అంకగణితంలో బీజగణితం యొక్క క్రమబద్ధమైన ప్రదర్శన లేదు, కానీ ఇది క్రమబద్ధమైన సమస్యల శ్రేణిని కలిగి ఉంటుంది, వివరణలతో పాటు వివిధ స్థాయిల సమీకరణాలను రూపొందించడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది.

సమీకరణాలను కంపోజ్ చేస్తున్నప్పుడు, డయోఫాంటస్ పరిష్కారాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి తెలియని వాటిని నైపుణ్యంగా ఎంచుకుంటాడు.

ఇక్కడ, ఉదాహరణకు, అతని పనులలో ఒకటి.

సమస్య 11."రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి, వాటి మొత్తం 20 మరియు వాటి ఉత్పత్తి 96 అని తెలుసుకోవడం"

డయోఫాంటస్ ఈ క్రింది విధంగా కారణాలు: సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి అవసరమైన సంఖ్యలు సమానంగా ఉండవు, ఎందుకంటే అవి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు వారి ఉత్పత్తి 96కి సమానం కాదు, కానీ 100. అందువలన, వాటిలో ఒకటి సగం కంటే ఎక్కువవారి మొత్తాలు, అనగా. 10 + x, ఇతర తక్కువ, అనగా. 10లు. వాటి మధ్య తేడా 2x .

అందుకే సమీకరణం:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

ఇక్కడనుంచి x = 2. అవసరమైన సంఖ్యలలో ఒకటి సమానంగా ఉంటుంది 12 , ఇతర 8 . పరిష్కారం x = -2గ్రీకు గణితానికి సానుకూల సంఖ్యలు మాత్రమే తెలుసు కాబట్టి డయోఫాంటస్ ఉనికిలో లేదు.

అవసరమైన సంఖ్యలలో ఒకదాన్ని తెలియనిదిగా ఎంచుకోవడం ద్వారా మేము ఈ సమస్యను పరిష్కరిస్తే, అప్పుడు మేము సమీకరణానికి పరిష్కారానికి వస్తాము.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

అవసరమైన సంఖ్యల సగం-వ్యత్యాసాన్ని తెలియనిదిగా ఎంచుకోవడం ద్వారా, డయోఫాంటస్ పరిష్కారాన్ని సులభతరం చేస్తుంది; అతను అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని (1) పరిష్కరించడానికి సమస్యను తగ్గించగలడు.

1.3 భారతదేశంలో చతుర్భుజ సమీకరణాలు

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్త ఆర్యభట్ట 499లో సంకలనం చేసిన ఖగోళ శాస్త్ర గ్రంథం "ఆర్యభట్టియం"లో వర్గ సమీకరణాలపై సమస్యలు ఇప్పటికే ఉన్నాయి. మరో భారతీయ శాస్త్రవేత్త బ్రహ్మగుప్తుడు (7వ శతాబ్దం) వివరించాడు సాధారణ నియమంచతురస్రాకార సమీకరణాల పరిష్కారాలు ఒకే కానానికల్ రూపానికి తగ్గించబడ్డాయి:

ఆహ్ 2 + బి x = c, a > 0. (1)

సమీకరణంలో (1), గుణకాలు, మినహా ఎ, ప్రతికూలంగా కూడా ఉండవచ్చు. బ్రహ్మగుప్తుని పాలన తప్పనిసరిగా మనదే.

IN ప్రాచీన భారతదేశంపరిష్కారంలో బహిరంగ పోటీలు సర్వసాధారణం కష్టమైన పనులు. అటువంటి పోటీల గురించి పాత భారతీయ పుస్తకాలలో ఒకటి ఇలా చెబుతోంది: “సూర్యుడు తన తేజస్సుతో నక్షత్రాలను గ్రహణం చేసినట్లే, నేర్చుకున్న మనిషిమరొకరి కీర్తికి గ్రహణం పడుతుంది ప్రజల సభలు, బీజగణిత సమస్యలను ప్రతిపాదించడం మరియు పరిష్కరించడం. సమస్యలు తరచుగా కవితా రూపంలో అందించబడ్డాయి.

12వ శతాబ్దానికి చెందిన ప్రముఖ భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుని సమస్యల్లో ఇది ఒకటి. భాస్కర్లు.

సమస్య 13.

"చురుకైన కోతుల మంద, మరియు తీగల వెంట పన్నెండు ...

అధికారులు, భోజనం చేసి సరదాగా గడిపారు. వారు దూకడం, వేలాడదీయడం ప్రారంభించారు ...

చౌరస్తాలో అవి ఉన్నాయి, ఎనిమిదవ భాగం ఎన్ని కోతులు ఉన్నాయి?

నేను క్లియరింగ్‌లో సరదాగా గడిపాను. ఈ ప్యాక్‌లో చెప్పు?

భాస్కర యొక్క పరిష్కారం వర్గ సమీకరణాల మూలాలు రెండు-విలువైనవని అతనికి తెలుసునని సూచిస్తుంది (Fig. 3).

సమస్య 13కి సంబంధించిన సమీకరణం:

( x /8) 2 + 12 = x

భాస్కర అనే పేరుతో వ్రాశాడు:

x 2 - 64x = -768

మరియు పూర్తి చేయడానికి ఎడమ వైపుఈ సమీకరణం చతురస్రానికి, రెండు వైపులా జతచేస్తుంది 32 2 , అప్పుడు పొందడం:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 అల్ - ఖోరెజ్మీలో చతుర్భుజ సమీకరణాలు

అల్-ఖోరెజ్మీ యొక్క బీజగణిత గ్రంథంలో, సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాల వర్గీకరణ ఇవ్వబడింది. రచయిత 6 రకాల సమీకరణాలను లెక్కించారు, వాటిని ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరిస్తారు:

1) "చతురస్రాలు మూలాలకు సమానం," అనగా. గొడ్డలి 2 + c = బి X.

2) "చతురస్రాలు సంఖ్యలకు సమానం", అనగా. గొడ్డలి 2 = సి.

3) "మూలాలు సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటాయి," అనగా. అహ్ = లు.

4) "చతురస్రాలు మరియు సంఖ్యలు మూలాలకు సమానం," అనగా. గొడ్డలి 2 + c = బి X.

5) "చతురస్రాలు మరియు మూలాలు సంఖ్యలకు సమానం", అనగా. ఆహ్ 2 + bx = లు.

6) "మూలాలు మరియు సంఖ్యలు చతురస్రాలకు సమానం," అనగా. bx + c = గొడ్డలి 2 .

అల్-ఖోరెజ్మీ కోసం, ఎవరు వినియోగాన్ని నివారించారు ప్రతికూల సంఖ్యలు, ఈ ప్రతి సమీకరణం యొక్క నిబంధనలు జోడింపులు, తీసివేతలు కాదు. ఈ సందర్భంలో, లేని సమీకరణాలు సానుకూల నిర్ణయాలు. రచయిత అల్-జబర్ మరియు అల్-ముకాబాలా పద్ధతులను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను నిర్దేశించారు. అతని నిర్ణయాలు, వాస్తవానికి, మనతో పూర్తిగా ఏకీభవించవు. ఇది పూర్తిగా అలంకారికమైనది అని చెప్పనవసరం లేదు, ఉదాహరణకు, మొదటి రకం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు

అల్-ఖోరెజ్మీ, 17వ శతాబ్దం వరకు అన్ని గణిత శాస్త్రజ్ఞుల వలె, పరిగణనలోకి తీసుకోలేదు సున్నా పరిష్కారం, బహుశా ఎందుకంటే నిర్దిష్టంగా ఆచరణాత్మక సమస్యలుఅది పట్టింపు లేదు. పాక్షికంగా అల్-ఖోరెజ్మీ పూర్తి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు సంఖ్యా ఉదాహరణలుపరిష్కారం కోసం నియమాలను మరియు ఆపై రేఖాగణిత రుజువులను నిర్దేశిస్తుంది.

సమస్య 14.“చదరం మరియు సంఖ్య 21 10 మూలాలకు సమానం. మూలాన్ని కనుగొనండి" (x 2 + 21 = 10x సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని సూచిస్తుంది).

రచయిత యొక్క పరిష్కారం ఇలా ఉంటుంది: మూలాల సంఖ్యను సగానికి విభజించండి, మీకు 5 వస్తుంది, 5ని గుణించండి, ఉత్పత్తి నుండి 21 తీసివేయండి, మిగిలి ఉన్నది 4. 4 నుండి మూలాన్ని తీసుకోండి, మీకు 2 వస్తుంది. 5 నుండి 2 తీసివేయండి. , మీకు 3 వస్తుంది, ఇది కావలసిన రూట్ అవుతుంది. లేదా 2 నుండి 5కి జోడించండి, ఇది 7 ఇస్తుంది, ఇది కూడా ఒక మూలం.

అల్-ఖోరెజ్మీ యొక్క గ్రంథం మనకు వచ్చిన మొదటి పుస్తకం, ఇది క్రమపద్ధతిలో వర్గ సమీకరణాల వర్గీకరణను నిర్దేశిస్తుంది మరియు వాటి పరిష్కారానికి సూత్రాలను ఇస్తుంది.

1.5 ఐరోపాలో చతుర్భుజ సమీకరణాలు XIII - XVII bb

ఐరోపాలోని అల్-ఖ్వారిజ్మీ తరహాలో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సూత్రాలు మొట్టమొదట 1202లో ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లియోనార్డో ఫిబొనాక్కి రాసిన బుక్ ఆఫ్ అబాకస్‌లో పేర్కొనబడ్డాయి. ఇస్లామిక్ దేశాలు మరియు గణిత శాస్త్ర ప్రభావాన్ని ప్రతిబింబించే ఈ భారీ పని పురాతన గ్రీసు, ప్రదర్శన యొక్క సంపూర్ణత మరియు స్పష్టత రెండింటి ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది. రచయిత స్వతంత్రంగా కొన్ని కొత్త అభివృద్ధి బీజగణిత ఉదాహరణలుసమస్యలను పరిష్కరించడం మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను ప్రవేశపెట్టిన ఐరోపాలో మొదటిది. అతని పుస్తకం ఇటలీలో మాత్రమే కాకుండా, జర్మనీ, ఫ్రాన్స్ మరియు ఇతర యూరోపియన్ దేశాలలో కూడా బీజగణిత పరిజ్ఞానం వ్యాప్తికి దోహదపడింది. బుక్ ఆఫ్ అబాకస్ నుండి చాలా సమస్యలు దాదాపు అందరికీ బదిలీ చేయబడ్డాయి యూరోపియన్ పాఠ్యపుస్తకాలు XVI - XVII శతాబ్దాలు మరియు పాక్షికంగా XVIII.

వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ నియమం ఒకే కానానికల్ రూపానికి తగ్గించబడింది:

x 2 + bx = సి,

గుణకం సంకేతాల యొక్క అన్ని సాధ్యం కలయికల కోసం బి , తోఐరోపాలో 1544లో M. స్టీఫెల్ ద్వారా మాత్రమే రూపొందించబడింది.

సాధారణ రూపంలో వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం Viète నుండి అందుబాటులో ఉంది, అయితే Viète సానుకూల మూలాలను మాత్రమే గుర్తించింది. ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రవేత్తలు టార్టాగ్లియా, కార్డానో, బొంబెల్లి 16వ శతాబ్దంలో మొదటివారు. వారు సానుకూలంగా పాటు, ఖాతాలోకి తీసుకుంటారు మరియు ప్రతికూల మూలాలు. 17వ శతాబ్దంలో మాత్రమే. గిరార్డ్, డెస్కార్టెస్, న్యూటన్ మరియు ఇతర శాస్త్రవేత్తల కృషికి ధన్యవాదాలు, వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతి ఆధునిక రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.

1.6 వియెటా సిద్ధాంతం గురించి

చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు మరియు దాని మూలాల మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తీకరించే సిద్ధాంతం, వియెటా పేరు పెట్టబడింది, అతను 1591లో మొదటిసారిగా ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించాడు: “ఒకవేళ బి + డి, గుణించాలి ఎ - ఎ 2 , సమానం BD, ఆ ఎసమానం INమరియు సమానం డి ».

వియటాను అర్థం చేసుకోవడానికి, మనం గుర్తుంచుకోవాలి ఎ, ఏదైనా అచ్చు అక్షరం వలె, తెలియనిది అని అర్థం (మా X), అచ్చులు IN, డి- తెలియని వారికి గుణకాలు. ఆధునిక బీజగణితం యొక్క భాషలో, పై వియెటా సూత్రీకరణ అంటే: ఉంటే

(a + బి )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + బి )x + ఎ బి = 0,

x 1 = a, x 2 = బి .

సమీకరణాల మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తపరచడం సాధారణ సూత్రాలుచిహ్నాలను ఉపయోగించి వ్రాయబడింది, వియత్ సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతుల్లో ఏకరూపతను స్థాపించింది. అయినప్పటికీ, వియట్ యొక్క ప్రతీకవాదం ఇప్పటికీ దూరంగా ఉంది ఆధునిక రూపం. అతను ప్రతికూల సంఖ్యలను గుర్తించలేదు మరియు అందువల్ల, సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అతను అన్ని మూలాలు సానుకూలంగా ఉన్న సందర్భాలను మాత్రమే పరిగణించాడు.

2. వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు

చతుర్భుజ సమీకరణాలు పునాదిగా ఉంటాయి గంభీరమైన భవనంబీజగణితం. త్రికోణమితి, ఘాతాంక, సంవర్గమాన, అహేతుక మరియు అతీంద్రియ సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి. పాఠశాల (8వ తరగతి) నుండి గ్రాడ్యుయేషన్ వరకు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మనందరికీ తెలుసు.

వీడియో ట్యుటోరియల్ 2: చతుర్భుజ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

ఉపన్యాసం: చతుర్భుజ సమీకరణాలు

సమీకరణం

సమీకరణం- ఇది వేరియబుల్ ఉన్న వ్యక్తీకరణలలో ఒక రకమైన సమానత్వం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి- అంటే వేరియబుల్‌కు బదులుగా ఒక సంఖ్యను కనుగొనడం, అది సరైన సమానత్వంలోకి వస్తుంది.

సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం ఉండవచ్చు, అనేకం ఉండవచ్చు లేదా ఏదీ ఉండకపోవచ్చు.

ఏదైనా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, దానిని ఫారమ్‌కు వీలైనంత సరళీకృతం చేయాలి:

సరళ: a*x = b;

చతురస్రం: a*x 2 + b*x + c = 0.

అంటే, ఏదైనా సమీకరణాలను పరిష్కరించే ముందు ప్రామాణిక రూపంలోకి మార్చాలి.

ఏదైనా సమీకరణాన్ని రెండు విధాలుగా పరిష్కరించవచ్చు: విశ్లేషణాత్మక మరియు గ్రాఫికల్.

గ్రాఫ్‌లో, సమీకరణానికి పరిష్కారం గ్రాఫ్ OX అక్షాన్ని కలుస్తున్న పాయింట్‌లుగా పరిగణించబడుతుంది.

చతుర్భుజ సమీకరణాలు

సరళీకరించబడినప్పుడు, అది రూపాన్ని తీసుకుంటే, సమీకరణాన్ని చతుర్భుజం అని పిలుస్తారు:

a*x 2 + b*x + c = 0.

ఇందులో ఎ, బి, సిసున్నా నుండి భిన్నమైన సమీకరణం యొక్క గుణకాలు. ఎ "X"- సమీకరణం యొక్క మూలం. ఒక చతురస్రాకార సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయని లేదా దీనికి పరిష్కారం ఉండకపోవచ్చని నమ్ముతారు. ఫలిత మూలాలు ఒకే విధంగా ఉండవచ్చు.

"ఎ"- వర్గమూలం ముందు ఉండే గుణకం.

"బి"- మొదటి డిగ్రీలో తెలియని వారి ముందు నిలుస్తుంది.

"తో"సమీకరణం యొక్క ఉచిత పదం.

ఉదాహరణకు, మనకు ఫారమ్ యొక్క సమీకరణం ఉంటే:

2x 2 -5x+3=0

అందులో, "2" అనేది సమీకరణం యొక్క ప్రముఖ పదం యొక్క గుణకం, "-5" రెండవ గుణకం మరియు "3" అనేది ఉచిత పదం.

చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

ఉనికిలో ఉంది భారీ వివిధచతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మార్గాలు. అయినప్పటికీ, పాఠశాల గణిత శాస్త్ర కోర్సులో, వియటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, అలాగే వివక్షను ఉపయోగించి పరిష్కారం అధ్యయనం చేయబడుతుంది.

వివక్ష పరిష్కారం:

తో పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ పద్ధతిసూత్రాన్ని ఉపయోగించి వివక్షను లెక్కించడం అవసరం:

మీ లెక్కల సమయంలో వివక్షత సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నట్లు మీరు కనుగొంటే, ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవని అర్థం.

వివక్షత సున్నా అయితే, సమీకరణంలో రెండు ఉంటాయి ఒకే విధమైన పరిష్కారాలు. ఈ సందర్భంలో, సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొత్తం లేదా భేదం యొక్క వర్గానికి బహుపదిని కుదించవచ్చు. అప్పుడు దానిని సరళ సమీకరణంగా పరిష్కరించండి. లేదా సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, మీరు క్రింది పద్ధతిని ఉపయోగించాలి:

వియెటా సిద్ధాంతం

సమీకరణం ఇవ్వబడితే, అంటే, ప్రముఖ పదం యొక్క గుణకం ఒకదానికి సమానం, అప్పుడు మీరు ఉపయోగించవచ్చు వియెటా సిద్ధాంతం.

కాబట్టి సమీకరణం ఇలా ఉందనుకుందాం:

సమీకరణం యొక్క మూలాలు క్రింది విధంగా కనుగొనబడ్డాయి:

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని పొందేందుకు అనేక ఎంపికలు ఉన్నాయి, దీని రూపం గుణకాల ఉనికిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

1. రెండవ మరియు మూడవ గుణకాలు సున్నా అయితే (బి = 0, సి = 0), అప్పుడు వర్గ సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఈ సమీకరణం ఉంటుంది మాత్రమే నిర్ణయం. సమీకరణానికి పరిష్కారం సున్నా అయితేనే సమానత్వం నిజం అవుతుంది.

రూపం యొక్క సమీకరణం

వ్యక్తీకరణ డి= బి 2 - 4 ఎసిఅని పిలిచారు వివక్షతవర్గ సమీకరణం. ఉంటేడి = 0, అప్పుడు సమీకరణం ఒక నిజమైన మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది; ఒకవేళ డి> 0, అప్పుడు సమీకరణం రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
ఒక వేళ డి = 0 , ఒక చతుర్భుజ సమీకరణం రెండు ఒకే మూలాలను కలిగి ఉంటుందని కొన్నిసార్లు చెప్పబడింది.
సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించడం డి= బి 2 - 4 ఎసి, మేము ఫారమ్‌లో ఫార్ములా (2)ని తిరిగి వ్రాయవచ్చు

ఉంటే బి= 2k, అప్పుడు ఫార్ములా (2) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

ఎక్కడ కె= బి / 2 .
తరువాతి సూత్రం సందర్భాలలో ముఖ్యంగా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది బి / 2 - ఒక పూర్ణాంకం, అనగా. గుణకం బి - సరి సంఖ్య.
ఉదాహరణ 1:సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . ఇక్కడ a = 2, b = -5, c = 2. మన దగ్గర ఉంది డి= బి 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . ఎందుకంటే డి > 0 , అప్పుడు సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. ఫార్ములా (2)ని ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనండి

కాబట్టి x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
అంటే x 1 = 2 మరియు x 2 = 1 / 2 - కోసం మూలాలు ఇచ్చిన సమీకరణం.
ఉదాహరణ 2:సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . ఇక్కడ a = 2, b = -3, c = 5. వివక్షను కనుగొనడం డి= బి 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . ఎందుకంటే డి 0 , అప్పుడు సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు. చతుర్భుజ సమీకరణంలో ఉంటే గొడ్డలి 2 +bx+ సి =0 రెండవ గుణకం బిలేదా ఉచిత సభ్యుడు సిసున్నాకి సమానం, అప్పుడు వర్గ సమీకరణం అంటారు అసంపూర్ణమైన. అసంపూర్ణ సమీకరణాలువేరుచేయబడినవి ఎందుకంటే వాటి మూలాలను కనుగొనడానికి మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాల్సిన అవసరం లేదు - సమీకరణాన్ని దాని ఎడమ వైపు కారకం చేయడం ద్వారా పరిష్కరించడం సులభం.
ఉదాహరణ 1:సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 2 x 2 - 5 x = 0 .
మన దగ్గర ఉంది x(2 x - 5) = 0 . కాబట్టి గాని x = 0 , లేదా 2 x - 5 = 0 , అంటే x = 2.5 . కాబట్టి సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: 0 మరియు 2.5
ఉదాహరణ 2:సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 3 x 2 - 27 = 0 .
మన దగ్గర ఉంది 3 x 2 = 27 . కాబట్టి, ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు 3 మరియు -3 .

వియెటా సిద్ధాంతం. తగ్గిన వర్గ సమీకరణం ఉంటే x 2 +px+q =0 నిజమైన మూలాలను కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు వాటి మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది - p, మరియు ఉత్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది q, అంటే

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం వ్యతిరేక సంకేతంతో తీసుకున్న రెండవ గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు మూలాల ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం).

కేవలం. సూత్రాలు మరియు స్పష్టమైన, సాధారణ నియమాల ప్రకారం. మొదటి దశలో

అవసరమైన ఇచ్చిన సమీకరణందారి ప్రామాణిక వీక్షణ, అనగా రూపానికి:

ఈ రూపంలో సమీకరణం ఇప్పటికే మీకు అందించబడితే, మీరు మొదటి దశను చేయవలసిన అవసరం లేదు. అతి ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే దీన్ని సరిగ్గా చేయడం

అన్ని గుణకాలను నిర్ణయించండి, ఎ, బిమరియు సి.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనే సూత్రం.

మూల సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ అంటారు వివక్షత . మీరు చూడగలరు గా, X కనుగొనేందుకు, మేము

మేము ఉపయోగిస్తాము a, b మరియు c మాత్రమే. ఆ. నుండి గుణకాలు వర్గ సమీకరణం. కేవలం జాగ్రత్తగా ఉంచాలి

విలువలు a, b మరియు cమేము ఈ సూత్రంలో లెక్కిస్తాము. మేము తో భర్తీ చేస్తాము వారిసంకేతాలు!

ఉదాహరణకి, సమీకరణంలో:

ఎ =1; బి = 3; సి = -4.

మేము విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు వ్రాస్తాము:

ఉదాహరణ దాదాపుగా పరిష్కరించబడింది:

ఇదే సమాధానం.

అత్యంత సాధారణ తప్పులు సంకేత విలువలతో గందరగోళం ఎ, బిమరియు తో. లేదా బదులుగా, ప్రత్యామ్నాయంతో

ప్రతికూల విలువలుమూలాలను లెక్కించడానికి సూత్రంలోకి. ఫార్ములా యొక్క వివరణాత్మక రికార్డింగ్ ఇక్కడ రెస్క్యూకి వస్తుంది

తో నిర్దిష్ట సంఖ్యలు. మీకు గణనలతో సమస్యలు ఉంటే, దీన్ని చేయండి!

మేము ఈ క్రింది ఉదాహరణను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం:

ఇక్కడ a = -6; బి = -5; సి = -1

మేము అన్ని సంకేతాలు మరియు బ్రాకెట్‌లతో దేనినీ కోల్పోకుండా జాగ్రత్తగా, వివరంగా వివరిస్తాము:

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు తరచుగా కొద్దిగా భిన్నంగా కనిపిస్తాయి. ఉదాహరణకు, ఇలా:

ఇప్పుడు లోపాల సంఖ్యను నాటకీయంగా తగ్గించే ఆచరణాత్మక పద్ధతులను గమనించండి.

మొదటి నియామకం. ముందు సోమరిగా ఉండకు ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడందానిని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకురండి.

దీని అర్థం ఏమిటి?

అన్ని పరివర్తనల తర్వాత మీరు ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని పొందుతారని చెప్పండి:

మూల సూత్రాన్ని వ్రాయడానికి తొందరపడకండి! మీరు దాదాపు ఖచ్చితంగా అసమానతలను మిళితం చేస్తారు a, b మరియు c.

ఉదాహరణను సరిగ్గా రూపొందించండి. మొదట, X స్క్వేర్డ్, తర్వాత స్క్వేర్ లేకుండా, తర్వాత ఫ్రీ టర్మ్. ఇలా:

మైనస్ నుండి బయటపడండి. ఎలా? మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని -1 ద్వారా గుణించాలి. మాకు దొరికింది:

కానీ ఇప్పుడు మీరు మూలాల కోసం సూత్రాన్ని సురక్షితంగా వ్రాసి, వివక్షను లెక్కించవచ్చు మరియు ఉదాహరణను పరిష్కరించడం ముగించవచ్చు.

మీరే నిర్ణయించుకోండి. మీరు ఇప్పుడు 2 మరియు -1 మూలాలను కలిగి ఉండాలి.

రిసెప్షన్ రెండవది.మూలాలను తనిఖీ చేయండి! ద్వారా వియెటా సిద్ధాంతం.

ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, అనగా. గుణకం ఉంటే

x 2 +bx+c=0,

అప్పుడుx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =-బి

దీనిలో పూర్తి వర్గ సమీకరణం కోసం a≠1:

x 2 +బిx+సి=0,

మొత్తం సమీకరణాన్ని భాగించండి జ:

→ →

ఎక్కడ x 1మరియు x 2 - సమీకరణం యొక్క మూలాలు.

రిసెప్షన్ మూడవది. మీ సమీకరణం ఉంటే పాక్షిక అసమానత, - భిన్నాలను వదిలించుకోండి! గుణించండి

సాధారణ హారంతో సమీకరణం.

ముగింపు. ఆచరణాత్మక సలహా:

1. పరిష్కరించడానికి ముందు, మేము చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకువస్తాము మరియు దానిని నిర్మిస్తాము కుడి.

2. X స్క్వేర్డ్ ముందు ప్రతికూల గుణకం ఉన్నట్లయితే, మేము ప్రతిదీ గుణించడం ద్వారా దాన్ని తొలగిస్తాము

-1 ద్వారా సమీకరణాలు.

3. గుణకాలు పాక్షికంగా ఉంటే, మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని సంబంధిత ద్వారా గుణించడం ద్వారా భిన్నాలను తొలగిస్తాము

కారకం.

4. x స్క్వేర్డ్ స్వచ్ఛమైనది అయితే, దాని గుణకం ఒకదానికి సమానం, పరిష్కారాన్ని సులభంగా తనిఖీ చేయవచ్చు