ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం. రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం

ఇచ్చిన నిష్పత్తిలో విభాగాన్ని విభజించడం.

అంతరిక్షంలో M 1 మరియు M 2 అనే రెండు వేర్వేరు పాయింట్లు మరియు ఈ పాయింట్లచే నిర్వచించబడిన రేఖను పరిశీలిద్దాం. ఈ సరళ రేఖపై ఒక నిర్దిష్ట దిశను ఎంచుకుందాం. ఫలిత అక్షం మీద, పాయింట్లు M 1 మరియు M 2 దర్శకత్వం వహించిన విభాగాన్ని M 1 M 2 నిర్వచించాయి. సూచించిన అక్షంలోని ఏదైనా బిందువు M2కి భిన్నంగా ఉండనివ్వండి. సంఖ్య

l=M 1 M/MM 2 (*)

అని పిలిచారు సంబంధం M 1 M 2 నిర్దేశిత విభాగాన్ని విభజిస్తుంది. ఈ విధంగా, M 2 నుండి భిన్నమైన ఏదైనా పాయింట్ M 1 M 2 విభాగాన్ని కొంత నిష్పత్తిలో l విభజిస్తుంది, ఇక్కడ l సమానత్వం (*) ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

కోణీయ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

రెండు పంక్తులు మరియు , () ఇవ్వబడనివ్వండి. అప్పుడు, అయితే, ఈ పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని ఫార్ములా నుండి కనుగొనవచ్చు

అయితే, పంక్తులు లంబంగా ఉంటాయి.

రుజువు. పాఠశాల గణిత కోర్సు నుండి మీకు తెలిసినట్లుగా, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంలోని వాలు అక్షానికి సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానం. అంజీర్ నుండి. 11.10 స్పష్టంగా ఉంది.

నుండి , అప్పుడు సమానత్వం కలిగి ఉన్నప్పుడు

ఇది సూత్రాన్ని ఇస్తుంది

అలా అయితే , ఎక్కడ

అందువలన, మరియు .

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం.

Π విమానంలో ఏకపక్ష సరళ రేఖ L మరియు స్థిరమైన ఏకపక్ష కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థ Oxy ఇచ్చినట్లయితే, ఈ వ్యవస్థలో మొదటి డిగ్రీ సమీకరణం ద్వారా సరళ రేఖ L నిర్వచించబడిందని మొదట నిరూపిద్దాం.

P విమానంలో కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థ యొక్క ఏదైనా ఒక ప్రత్యేక ఎంపిక కోసం సరళ రేఖ L మొదటి డిగ్రీ యొక్క సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది అని నిరూపించడానికి సరిపోతుంది, ఎందుకంటే అది ఏదైనా ఎంపిక కోసం మొదటి డిగ్రీ యొక్క సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. విమానం P. పై ఉన్న కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థ. L. సరళ రేఖ వెంట ఆక్స్ అక్షాన్ని నిర్దేశిద్దాం మరియు Oy అక్షం దానికి లంబంగా ఉంటుంది. అప్పుడు సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం మొదటి డిగ్రీ y=0 యొక్క సమీకరణం అవుతుంది. వాస్తవానికి, ఈ సమీకరణం L లైన్‌పై ఉన్న ఏ బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది మరియు L లైన్‌పై పడని ఏ బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందదు.

Π విమానంలో ఏకపక్ష కార్టేసియన్ సిస్టమ్ ఆక్సీ స్థిరంగా ఉంటే, x మరియు y అనే రెండు వేరియబుల్స్‌తో మొదటి డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా సమీకరణం ఈ వ్యవస్థకు సంబంధించి సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది అని ఇప్పుడు నిరూపిద్దాం.

వాస్తవానికి, ఒక ఏకపక్ష కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థ Oxy స్థిరంగా ఉండనివ్వండి మరియు మొదటి డిగ్రీ Ax+By+c=0 యొక్క సమీకరణం ఇవ్వబడుతుంది, దీనిలో A B C ఏదైనా స్థిరాంకాలు, మరియు A మరియు B స్థిరాంకాలలో కనీసం ఒకటి 0 నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది. x0 మరియు y0 ఒక పరిష్కారం ఉన్నప్పటికీ సమీకరణం స్పష్టంగా ఉంది, అనగా. కనీసం ఒక పాయింట్ M(x 0, y 0) ఉంది, దీని కోఆర్డినేట్‌లు Ax 0 +By 0 +C=0 సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి. పాయింట్ M(x 0, y 0) స్థానంలో ఉన్న సమీకరణాన్ని మొదటి డిగ్రీ సమీకరణం నుండి తీసివేస్తే, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము: A(x-x 0) + B(y-y 0) = 0 (1), మొదటి డిగ్రీ యొక్క సమీకరణానికి సమానం. సమీకరణం వ్యవస్థకు సంబంధించి ఒక నిర్దిష్ట సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది అని నిరూపించడానికి సరిపోతుంది. సమీకరణం (1) అనేది M(x 0, y 0) బిందువు గుండా వెళుతున్న L సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది మరియు వెక్టార్ n=(A,B)కి లంబంగా ఉంటుందని మేము నిరూపిస్తాము. వాస్తవానికి, పాయింట్ M(x,y) పేర్కొన్న లైన్ Lపై ఉంటే, దాని కోఆర్డినేట్‌లు సమీకరణం (1)ను సంతృప్తిపరుస్తాయి, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో వెక్టర్స్ n=(A,B) మరియు M 0 M=(x-x 0, y- y 0) ఆర్తోగోనల్ మరియు వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి A(x- x 0) + B(y-y 0) సున్నాకి సమానం. పాయింట్ M(x,y) పేర్కొన్న లైన్‌పై ఉండకపోతే, దాని కోఆర్డినేట్‌లు సమీకరణం (1)ను సంతృప్తిపరచవు, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో వెక్టర్స్ n=(A,B) మరియు M 0 M=(x-x 0, y-y 0 ) ఆర్తోగోనల్ కాదు మరియు అందువల్ల వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం కాదు. ప్రకటన నిరూపించబడింది

Ax+By+C=0 అనే ఏకపక్ష కోఎఫీషియంట్స్‌తో A B మరియు C అంటే A మరియు B ఒకే సమయంలో సున్నాకి సమానంగా ఉండకుండా ఉండేటటువంటి సమీకరణాన్ని సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం అంటారు. Ax+By+C=0 అనే సాధారణ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన రేఖ వెక్టార్ n=(A,B)కి ఆర్తోగోనల్ అని మేము నిరూపించాము. మేము ఈ చివరి వెక్టర్‌ని సాధారణ లైన్ వెక్టర్ అని పిలుస్తాము.

సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణం. ఇచ్చిన రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న ఏదైనా నాన్-జీరో వెక్టర్ ఈ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ అంటారు. మనమే విధిని నిర్దేశించుకుందాం: ఇచ్చిన పాయింట్ M 1 (x 1,y 1) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడం మరియు ఇచ్చిన దిశ వెక్టార్ q = (l, m). సహజంగానే, M 1 M=(x-x 1, y-y 1) మరియు q=(m,l) వెక్టార్‌లు కొలినియర్‌గా ఉన్నట్లయితే మరియు మాత్రమే కోఆర్డినేట్‌లు ఉంటే మరియు మాత్రమే పాయింట్ M(x,y) పేర్కొన్న లైన్‌పై ఉంటుంది. ఈ వెక్టర్స్ అనుపాతంలో ఉంటాయి, అనగా.

ఇప్పుడు మనం విమానం యొక్క పూర్తి సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు దానిని క్రింది రూపానికి తగ్గించవచ్చని చూపిద్దాం. , విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని "విభాగాలలో" అని పిలుస్తారు. A B C గుణకాలు నాన్‌జీరో అయినందున, మనం సమీకరణాన్ని పరంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు ఆపై A=-C/A b=-C/B పెట్టండి. విభాగాలలోని విమానం యొక్క సమీకరణంలో, a, b సంఖ్యలు సరళమైన రేఖాగణిత అర్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి: అవి వరుసగా Ox, Oy అక్షాలపై విమానం కత్తిరించే విభాగాల విలువలకు సమానంగా ఉంటాయి (విభాగాలు దీని నుండి కొలుస్తారు అక్షాంశాల మూలం). దీన్ని ధృవీకరించడానికి, కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో విభాగాలలో రేఖ యొక్క సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన రేఖ యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనడం సరిపోతుంది. ఉదాహరణకు, ఆక్స్ అక్షంతో ఖండన స్థానం అనేది ఆక్స్ అక్షం యొక్క y = 0 సమీకరణంతో విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం యొక్క ఉమ్మడి పరిశీలన నుండి నిర్ణయించబడుతుంది. మేము ఖండన పాయింట్ x=a y=0 కోఆర్డినేట్‌లను పొందుతాము. అదేవిధంగా, Oy అక్షంతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు x=0 మరియు y=b రూపాన్ని కలిగి ఉన్నాయని నిర్ధారించబడింది.

ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం

M 1 (x 1, y 1) మరియు M 2 (x 2, y 2)

ఇవ్వబడిన రెండు నాన్-యాదృచ్ఛిక పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం మరియు

లేదా సాధారణంగా

68. పంక్తుల సమాంతరత మరియు లంబంగా ఉండే పరిస్థితులు. పాయింట్ నుండి లైన్ వరకు దూరం

సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన రెండు పంక్తులు

ఈ పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే ఎ 1 బి 2 − ఎ 2 బి 1 = 0 లేదా కె 1 = కె 2, మరియు

లంబంగా ఉంటే ఎ 1 ఎ 2 + బి 1 బి 2 = 0 లేదా

పాయింట్ దూరం ఎ(x 1 , వై 1) సరళ రేఖకు గొడ్డలి + ద్వారా + సి= 0 అనేది ఈ పాయింట్ నుండి సరళ రేఖపైకి పడిపోయిన లంబ పొడవు. ఇది సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

69. కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్. ఉపరితలాలను నిర్వచించే పద్ధతులు. అంతరిక్షంలో ఉపరితలం యొక్క సాధారణ సమీకరణం.

కార్టెసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్, ఒక విమానం లేదా అంతరిక్షంలో రెక్టిలినియర్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ (సాధారణంగా పరస్పరం లంబంగా ఉండే అక్షాలు మరియు అక్షాల వెంట సమాన ప్రమాణాలతో). ఆర్. డెస్కార్టెస్ పేరు పెట్టబడింది ( సెం.మీ.డెస్కార్ట్స్ రెనే).
డెస్కార్టెస్ ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ప్రవేశపెట్టిన మొదటి వ్యక్తి, ఇది నేడు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన దాని నుండి గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంది. కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థను నిర్వచించడానికి, అక్షాలు అని పిలువబడే పరస్పరం లంబంగా ఉండే సరళ రేఖలు ఎంపిక చేయబడతాయి. అక్షసంబంధ ఖండన స్థానం ఓమూలం అని. ప్రతి అక్షంపై, సానుకూల దిశ పేర్కొనబడింది మరియు స్కేల్ యూనిట్ ఎంచుకోబడుతుంది. పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు పిపాయింట్ యొక్క ప్రొజెక్షన్ ఏ సెమీ-యాక్సిస్‌పై పడుతుందనే దానిపై ఆధారపడి సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా పరిగణించబడతాయి పి.

లైన్ ఫ్రేమ్‌తో ఉపరితలాన్ని నిర్వచించే పద్ధతిని వైర్‌ఫ్రేమ్ అంటారు.

ఉపరితలాన్ని నిర్వచించే విశ్లేషణాత్మక పద్ధతి ఆచరణలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది, ప్రత్యేకించి ఉపరితలం యొక్క అంతర్గత లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడం అవసరం. సాంకేతిక రూపాల ఉపరితలాలను రూపకల్పన చేసేటప్పుడు మరియు కంప్యూటర్-నియంత్రిత యంత్రాలపై వాటి పునరుత్పత్తి, ఉపరితలాలను నిర్వచించడానికి గ్రాఫికల్ మరియు విశ్లేషణాత్మక పద్ధతులు కలిసి ఉపయోగించబడతాయి.

ఉపరితలాలు పాయింట్లు మరియు పంక్తుల సమితిగా పరిగణించబడతాయి. ఈ సెట్ యొక్క పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు ఫారమ్ F(x, y, z) = 0 యొక్క కొంత సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి.

ఆర్డర్ n యొక్క బీజగణిత ఉపరితలం, దీని సమీకరణం డిగ్రీ n యొక్క బీజగణిత సమీకరణం.

ఉపరితలాలను నిర్వచించే గ్రాఫికల్ పద్ధతి.

విశ్లేషణాత్మక పని యొక్క పద్ధతులు

1. - వెక్టర్-పారామెట్రిక్ సమీకరణం.

2. - పారామితి సమీకరణాలు.

3. - స్పష్టమైన సమీకరణం.

4. - అవ్యక్త సమీకరణం.

ఉపరితలంపై ఏదైనా బిందువు యొక్క x, y, z కోఆర్డినేట్‌లకు సంబంధించిన ఏదైనా సమీకరణం ఆ ఉపరితలం యొక్క సమీకరణం. అంతరిక్షంలో ఏదైనా మూడు బిందువుల ద్వారా ఒకే విమానం గీయబడాలంటే, ఈ పాయింట్లు ఒకే సరళ రేఖపై ఉండకుండా ఉండటం అవసరం.

సాధారణ కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) పాయింట్‌లను పరిగణించండి. M 1, M 2, M 3 పాయింట్లతో ఏకపక్ష పాయింట్ M(x, y, z) ఒకే సమతలంలో ఉండాలంటే, వెక్టర్స్ అవసరం కొప్లానర్ ఉన్నారు. ( ) = 0 అందువలన, మూడు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణం:

70. అంతరిక్షంలో ఒక విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణం. విభాగాలలో విమానం యొక్క సమీకరణం

ఫ్లాట్పాయింట్ బరువులు సాధారణ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే ఉపరితలం:

Ax + By + Cz + D = 0,

ఇక్కడ A, B, C వెక్టార్ కోఆర్డినేట్లు -వెక్టర్ సాధారణులువిమానానికి.

కింది ప్రత్యేక సందర్భాలు సాధ్యమే:

A = 0 - విమానం ఆక్స్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది

B = 0 – Oy అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే విమానం

C = 0 – Oz అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే విమానం

D = 0 - విమానం మూలం గుండా వెళుతుంది

A = B = 0 - విమానం xOy విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది

A = C = 0 – విమానం xOz విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది

B = C = 0 - విమానం yOz విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది

A = D = 0 - విమానం ఆక్స్ అక్షం గుండా వెళుతుంది

B = D = 0 - విమానం Oy అక్షం గుండా వెళుతుంది

ఈ వ్యాసం విమానంలో ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని వెల్లడిస్తుంది. దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని మనం పొందుదాం. కవర్ చేయబడిన మెటీరియల్‌కు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలను మేము స్పష్టంగా చూపుతాము మరియు పరిష్కరిస్తాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందే ముందు, కొన్ని వాస్తవాలకు శ్రద్ధ చూపడం అవసరం. ఒక విమానంలో రెండు విభిన్న బిందువుల ద్వారా సరళ రేఖను గీయడం సాధ్యమవుతుందని మరియు ఒకటి మాత్రమే అని చెప్పే సిద్ధాంతం ఉంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక విమానంలో ఇచ్చిన రెండు పాయింట్లు ఈ పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ ద్వారా నిర్వచించబడతాయి.

విమానం దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఆక్సీ ద్వారా నిర్వచించబడితే, దానిలో చిత్రీకరించబడిన ఏదైనా సరళ రేఖ విమానంలోని సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టార్‌తో కూడా కనెక్షన్ ఉంది, ఈ డేటా రెండు ఇచ్చిన పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపైల్ చేయడానికి సరిపోతుంది.

ఇలాంటి సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఉన్న M 1 (x 1, y 1) మరియు M 2 (x 2, y 2) అనే రెండు విభిన్న బిందువుల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని సృష్టించడం అవసరం.

x - x 1 a x = y - y 1 a y రూపాన్ని కలిగి ఉన్న ఒక విమానంలోని రేఖ యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణంలో, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x y అనేది M 1 (x) కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక బిందువుతో కలుస్తున్న రేఖతో పేర్కొనబడింది. 1, y 1) గైడ్ వెక్టార్‌తో a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) మరియు M 2 (x 2, y 2) కోఆర్డినేట్‌లతో రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ a యొక్క కానానికల్ సమీకరణాన్ని సృష్టించడం అవసరం.

స్ట్రెయిట్ a అనేది M 1 మరియు M 2 బిందువులను కలుస్తుంది కాబట్టి, కోఆర్డినేట్‌లతో (x 2 - x 1, y 2 - y 1) దిశ వెక్టార్ M 1 M 2 → ఉంటుంది. దిశ వెక్టర్ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) మరియు వాటిపై ఉన్న M 1 పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల కోఆర్డినేట్‌లతో కానానికల్ సమీకరణాన్ని మార్చడానికి మేము అవసరమైన డేటాను పొందాము. (x 1, y 1) మరియు M 2 (x 2, y 2) . మేము x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 లేదా x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము.

దిగువ బొమ్మను పరిగణించండి.

గణనలను అనుసరించి, M 1 (x 1, y 1) మరియు M 2 (x 2, y 2) కోఆర్డినేట్‌లతో రెండు పాయింట్ల గుండా వెళ్ళే విమానంలో ఒక రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను మేము వ్రాస్తాము. మేము x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ లేదా x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

అనేక ఉదాహరణలను పరిష్కరించడంలో నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1

M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 అక్షాంశాలతో 2 ఇచ్చిన పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం

x 1, y 1 మరియు x 2, y 2 కోఆర్డినేట్‌లతో రెండు పాయింట్ల వద్ద ఖండన రేఖకు సంబంధించిన నియమానుగుణ సమీకరణం x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, మనకు x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 ఉన్నాయి. సంఖ్యా విలువలను x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 సమీకరణంలోకి మార్చడం అవసరం. కానానికల్ సమీకరణం x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 రూపాన్ని తీసుకుంటుందని ఇక్కడ నుండి మనం పొందుతాము.

సమాధానం: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

మీరు వేరొక రకమైన సమీకరణంతో సమస్యను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంటే, మొదట మీరు కానానికల్‌కు వెళ్లవచ్చు, ఎందుకంటే దాని నుండి మరేదైనా సులభంగా రావడం సులభం.

ఉదాహరణ 2

O x y కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో M 1 (1, 1) మరియు M 2 (4, 2) కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయండి.

పరిష్కారం

మొదట, మీరు ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళ్ళే ఇచ్చిన పంక్తి యొక్క కానానికల్ సమీకరణాన్ని వ్రాయాలి. మేము x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము.

కానానికల్ సమీకరణాన్ని కావలసిన రూపానికి తీసుకువద్దాం, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

సమాధానం: x - 3 y + 2 = 0 .

బీజగణిత పాఠాల సమయంలో పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలలో ఇటువంటి పనుల ఉదాహరణలు చర్చించబడ్డాయి. y = k x + b రూపాన్ని కలిగి ఉండే కోణం కోఎఫీషియంట్‌తో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం తెలిసినందున పాఠశాల సమస్యలు భిన్నంగా ఉంటాయి. మీరు y = k x + b అనే సమీకరణం O x y సిస్టమ్‌లో M 1 (x 1, y 1) మరియు M 2 (ఎం 2 (x x 2, y 2) , ఇక్కడ x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 అయినప్పుడు , అప్పుడు కోణీయ గుణకం అనంతం యొక్క విలువను తీసుకుంటుంది మరియు M 1 M 2 సరళ రేఖ x - x 1 = 0 రూపం యొక్క సాధారణ అసంపూర్ణ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది. .

ఎందుకంటే పాయింట్లు M 1మరియు M 2సరళ రేఖలో ఉంటాయి, అప్పుడు వాటి కోఆర్డినేట్‌లు y 1 = k x 1 + b మరియు y 2 = k x 2 + b అనే సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి. k మరియు b కోసం y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అవసరం.

దీన్ని చేయడానికి, మేము k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 లేదా k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

ఈ k మరియు b విలువలతో, ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న పంక్తి సమీకరణం y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x అవుతుంది 1 లేదా y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

ఇంత భారీ సంఖ్యలో సూత్రాలను ఒకేసారి గుర్తుంచుకోవడం అసాధ్యం. దీన్ని చేయడానికి, సమస్యలను పరిష్కరించడంలో పునరావృతాల సంఖ్యను పెంచడం అవసరం.

ఉదాహరణ 3

M 2 (2, 1) మరియు y = k x + b కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న కోణీయ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం

సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మేము y = k x + b రూపం యొక్క కోణీయ గుణకంతో సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. గుణకాలు k మరియు b తప్పనిసరిగా అటువంటి విలువను తీసుకోవాలి, ఈ సమీకరణం M 1 (- 7, - 5) మరియు M 2 (2, 1) అక్షాంశాలతో రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

పాయింట్లు M 1మరియు M 2సరళ రేఖలో ఉంటాయి, అప్పుడు వాటి కోఆర్డినేట్‌లు తప్పనిసరిగా y = k x + b సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా చేయాలి. దీని నుండి మనం పొందుతాము - 5 = k · (- 7) + b మరియు 1 = k · 2 + b. సమీకరణాన్ని సిస్టమ్‌లో కలపండి - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b మరియు పరిష్కరించండి.

ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత మేము దానిని పొందుతాము

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

ఇప్పుడు k = 2 3 మరియు b = - 1 3 విలువలు y = k x + b సమీకరణంలోకి భర్తీ చేయబడ్డాయి. ఇచ్చిన పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న అవసరమైన సమీకరణం y = 2 3 x - 1 3 రూపం యొక్క సమీకరణం అని మేము కనుగొన్నాము.

పరిష్కారం యొక్క ఈ పద్ధతి చాలా సమయం వృధాను ముందే నిర్ణయిస్తుంది. పనిని అక్షరాలా రెండు దశల్లో పరిష్కరించే మార్గం ఉంది.

x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) రూపాన్ని కలిగి ఉన్న M 2 (2, 1) మరియు M 1 (- 7, - 5) గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ఇప్పుడు వాలు సమీకరణానికి వెళ్దాం. మనకు ఇది లభిస్తుంది: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

సమాధానం: y = 2 3 x - 1 3 .

త్రిమితీయ స్థలంలో M 1 (x 1, y 1, z 1) మరియు M 2 (x 2, y 2, z 2) కోఆర్డినేట్‌లతో రెండు నాన్-కాంసిడింగ్ పాయింట్‌లతో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x y z ఉంటే, ది సరళ రేఖ M వాటిని 1 M 2 గుండా వెళుతుంది, ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందడం అవసరం.

మనకు x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z రూపం యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణాలు మరియు x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z రూపం యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు ఉన్నాయి. 1 + a z · λ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x y z లో ఒక లైన్‌ను నిర్వచించగలుగుతాయి, దిశ వెక్టర్ a → = (a x, a y, a z)తో కోఆర్డినేట్‌లను (x 1, y 1, z 1) కలిగి ఉన్న పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది.

స్ట్రెయిట్ M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) రూపం యొక్క దిశ వెక్టార్‌ను కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ సరళ రేఖ పాయింట్ M 1 (x 1, y 1,) గుండా వెళుతుంది z 1) మరియు M 2 (x 2 , y 2 , z 2), కాబట్టి కానానికల్ సమీకరణం x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 రూపంలో ఉంటుంది z 2 - z 1 లేదా x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, క్రమంగా పారామెట్రిక్ x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ లేదా x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

స్పేస్‌లో ఇచ్చిన 2 పాయింట్లు మరియు సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని చూపించే డ్రాయింగ్‌ను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 4

M 1 (2, - 3, 0) మరియు M 2 (1, - 3, - 5) కోఆర్డినేట్‌లతో ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల ద్వారా త్రిమితీయ స్థలం యొక్క దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x y z లో నిర్వచించబడిన పంక్తి సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం

కానానికల్ సమీకరణాన్ని కనుగొనడం అవసరం. మేము త్రిమితీయ స్థలం గురించి మాట్లాడుతున్నాము కాబట్టి, ఒక పంక్తి ఇచ్చిన పాయింట్ల గుండా వెళుతున్నప్పుడు, కావలసిన కానానికల్ సమీకరణం x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. - z 1 z 2 - z 1 .

షరతు ప్రకారం మనకు x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. అవసరమైన సమీకరణాలు ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడతాయి:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

సమాధానం: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

యూక్లిడియన్ జ్యామితిలో సరళ రేఖ యొక్క లక్షణాలు.

ఏ బిందువు ద్వారానైనా అనంతమైన సరళ రేఖలను గీయవచ్చు.

ఏదేని రెండు నాన్-సింసిడింగ్ పాయింట్ల ద్వారా ఒకే సరళ రేఖను గీయవచ్చు.

ఒక విమానంలో రెండు విభిన్న రేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద కలుస్తాయి లేదా ఉంటాయి

సమాంతర (మునుపటి నుండి అనుసరిస్తుంది).

త్రిమితీయ స్థలంలో, రెండు పంక్తుల సాపేక్ష స్థానం కోసం మూడు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

• పంక్తులు కలుస్తాయి;

• పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి;

• సరళ రేఖలు కలుస్తాయి.

నేరుగా లైన్— మొదటి ఆర్డర్ యొక్క బీజగణిత వక్రరేఖ: కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సరళ రేఖ

మొదటి డిగ్రీ (సరళ సమీకరణం) యొక్క సమీకరణం ద్వారా విమానంలో ఇవ్వబడుతుంది.

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం.

నిర్వచనం. విమానంలో ఏదైనా సరళ రేఖను మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణం ద్వారా పేర్కొనవచ్చు

Ax + Wu + C = 0,

మరియు స్థిరమైనది ఎ, బిఅదే సమయంలో సున్నాకి సమానం కాదు. ఈ మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణం అంటారు సాధారణ

సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.స్థిరాంకాల విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది ఎ, బిమరియు తోకింది ప్రత్యేక సందర్భాలు సాధ్యమే:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ఒక సరళ రేఖ మూలం గుండా వెళుతుంది

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖ ఓహ్

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖ ఓయూ

. B = C = 0, A ≠0- సరళ రేఖ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది ఓయూ

. A = C = 0, B ≠0- సరళ రేఖ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది ఓహ్

సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం ఏదైనా ఇచ్చినదానిపై ఆధారపడి వివిధ రూపాల్లో ప్రదర్శించబడుతుంది

ప్రారంభ పరిస్థితులు.

ఒక బిందువు మరియు సాధారణ వెక్టార్ నుండి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

నిర్వచనం. కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, భాగాలతో కూడిన వెక్టర్ (A, B)

సమీకరణం ఇచ్చిన రేఖకు లంబంగా

Ax + Wu + C = 0.

ఉదాహరణ. ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి A(1, 2)వెక్టర్‌కు లంబంగా (3, -1).

పరిష్కారం. A = 3 మరియు B = -1తో, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం: 3x - y + C = 0. గుణకం Cని కనుగొనడానికి

ఇచ్చిన పాయింట్ A యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఫలిత వ్యక్తీకరణలోకి మారుద్దాం: 3 - 2 + C = 0, కాబట్టి

సి = -1. మొత్తం: అవసరమైన సమీకరణం: 3x - y - 1 = 0.

రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం.

అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు ఇవ్వండి M 1 (x 1 , y 1 , z 1)మరియు M2 (x 2, y 2, z 2),అప్పుడు ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణం,

ఈ పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది:

ఏదైనా హారం సున్నా అయితే, సంబంధిత సంఖ్యను సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయాలి. పై

విమానం, పైన వ్రాసిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం సరళీకృతం చేయబడింది:

ఉంటే x 1 ≠ x 2మరియు x = x 1, ఉంటే x 1 = x 2 .

భిన్నం = కెఅని పిలిచారు వాలు నేరుగా.

ఉదాహరణ. A(1, 2) మరియు B(3, 4) పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. పైన వ్రాసిన సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

బిందువు మరియు వాలును ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

లైన్ యొక్క సాధారణ సమీకరణం అయితే Ax + Wu + C = 0దారి:

మరియు నియమించండి , అప్పుడు ఫలిత సమీకరణం అంటారు

వాలు kతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ నుండి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

సాధారణ వెక్టర్ ద్వారా సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకునే పాయింట్‌తో సారూప్యత ద్వారా, మీరు పనిని నమోదు చేయవచ్చు

ఒక బిందువు ద్వారా సరళ రేఖ మరియు సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టర్.

నిర్వచనం. ప్రతి సున్నా కాని వెక్టర్ (α 1, α 2), దీని భాగాలు పరిస్థితిని సంతృప్తిపరుస్తాయి

Aα 1 + Bα 2 = 0అని పిలిచారు సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టర్.

Ax + Wu + C = 0.

ఉదాహరణ. దిశ వెక్టర్ (1, -1) మరియు పాయింట్ A(1, 2) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మేము రూపంలో కావలసిన లైన్ యొక్క సమీకరణం కోసం చూస్తాము: Ax + By + C = 0.నిర్వచనం ప్రకారం,

గుణకాలు క్రింది షరతులను సంతృప్తి పరచాలి:

1 * A + (-1) * B = 0, అనగా. ఎ = బి.

అప్పుడు సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: Ax + Ay + C = 0,లేదా x + y + C / A = 0.

వద్ద x = 1, y = 2మాకు దొరికింది C/A = -3, అనగా అవసరమైన సమీకరణం:

x + y - 3 = 0

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో ఉంటే Ах + Ву + С = 0 С≠0, అప్పుడు, -С ద్వారా భాగిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

లేదా ఎక్కడ

కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ఏమిటంటే, కోఎఫీషియంట్ a అనేది ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్.

అక్షంతో నేరుగా ఓ,ఎ బి- అక్షంతో రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క సమన్వయం ఓయూ

ఉదాహరణ. సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇవ్వబడింది x - y + 1 = 0.ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని విభాగాలలో కనుగొనండి.

C = 1, , a = -1, b = 1.

పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే Ax + Wu + C = 0సంఖ్య ద్వారా విభజించండి అంటారు

సాధారణీకరణ కారకం, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

xcosφ + ysinφ - p = 0 -పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం.

సాధారణీకరణ కారకం యొక్క ± గుర్తును తప్పక ఎంచుకోవాలి μ*C< 0.

ఆర్- లంబ పొడవు మూలం నుండి సరళ రేఖకు పడిపోయింది,

ఎ φ - అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో ఈ లంబంగా ఏర్పడిన కోణం ఓహ్.

ఉదాహరణ. లైన్ యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇవ్వబడింది 12x - 5y - 65 = 0. వివిధ రకాల సమీకరణాలను వ్రాయడం అవసరం

ఈ సరళ రేఖ.

విభాగాలలో ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం:

వాలుతో ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం: (5 ద్వారా భాగించండి)

ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణం:

cos φ = 12/13; పాపం φ= -5/13; p = 5.

ప్రతి సరళ రేఖను విభాగాలలోని సమీకరణం ద్వారా సూచించలేమని గమనించాలి, ఉదాహరణకు, సరళ రేఖలు,

గొడ్డలికి సమాంతరంగా లేదా మూలం గుండా వెళుతుంది.

విమానంలో సరళ రేఖల మధ్య కోణం.

నిర్వచనం. రెండు లైన్లు ఇస్తే y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, అప్పుడు ఈ పంక్తుల మధ్య తీవ్రమైన కోణం

గా నిర్వచించబడుతుంది

ఒకవేళ రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి k 1 = k 2. రెండు పంక్తులు లంబంగా ఉంటాయి

ఉంటే k 1 = -1/ k 2 .

సిద్ధాంతం.

డైరెక్ట్ Ax + Wu + C = 0మరియు A 1 x + B 1 y + C 1 = 0గుణకాలు అనుపాతంలో ఉన్నప్పుడు సమాంతరంగా ఉంటాయి

A 1 = λA, B 1 = λB. ఒకవేళ కూడా С 1 = λС, అప్పుడు పంక్తులు ఏకీభవిస్తాయి. రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు

ఈ పంక్తుల సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా కనుగొనబడ్డాయి.

ఇచ్చిన రేఖకు లంబంగా ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం.

నిర్వచనం. లైన్ ఒక పాయింట్ గుండా వెళుతుంది M 1 (x 1, y 1)మరియు రేఖకు లంబంగా y = kx + b

సమీకరణం ద్వారా సూచించబడుతుంది:

బిందువు నుండి రేఖకు దూరం.

సిద్ధాంతం. ఒక పాయింట్ ఇస్తే M(x 0, y 0),అప్పుడు సరళ రేఖకు దూరం Ax + Wu + C = 0ఇలా నిర్వచించబడింది:

రుజువు. పాయింట్ లెట్ M 1 (x 1, y 1)- ఒక బిందువు నుండి లంబంగా పడిపోయిన ఆధారం ఎంఇచ్చిన కోసం

ప్రత్యక్షంగా. అప్పుడు పాయింట్ల మధ్య దూరం ఎంమరియు M 1:

(1)

కోఆర్డినేట్లు x 1మరియు 1 వద్దసమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా కనుగొనవచ్చు:

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం అనేది ఇచ్చిన పాయింట్ M 0 లంబంగా గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

సరళ రేఖ ఇవ్వబడింది. మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని రూపానికి మార్చినట్లయితే:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + బై 0 + C = 0,

అప్పుడు, పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము:

ఈ వ్యక్తీకరణలను సమీకరణం (1)గా మార్చడం ద్వారా, మేము కనుగొంటాము:

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.