సజాతీయమైనది

ఈ పాఠంలో మనం పిలవబడే వాటిని పరిశీలిస్తాము మొదటి ఆర్డర్ సజాతీయ అవకలన సమీకరణాలు. తో పాటు వేరు చేయగల సమీకరణాలుమరియు సరళ అసమాన సమీకరణాలుఈ రకమైన రిమోట్ కంట్రోల్ డిఫ్యూజర్‌ల అంశంపై దాదాపు ఏదైనా పరీక్ష పనిలో కనుగొనబడుతుంది. మీరు శోధన ఇంజిన్ నుండి పేజీకి వచ్చినట్లయితే లేదా అవకలన సమీకరణాలను అర్థం చేసుకోవడంలో చాలా నమ్మకంగా లేకుంటే, మొదట నేను ఈ అంశంపై పరిచయ పాఠం ద్వారా పని చేయాలని గట్టిగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను - మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు. వాస్తవం ఏమిటంటే, సజాతీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అనేక సూత్రాలు మరియు ఉపయోగించిన పద్ధతులు వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో సరళమైన సమీకరణాల మాదిరిగానే ఉంటాయి.

సజాతీయ అవకలన సమీకరణాలు మరియు ఇతర రకాల అవకలన సమీకరణాల మధ్య తేడా ఏమిటి? దీన్ని వెంటనే వివరించడానికి సులభమైన మార్గం ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణతో.

ఉదాహరణ 1

పరిష్కారం:
ఏమిటి ముందుగానిర్ణయించేటప్పుడు విశ్లేషించాలి ఏదైనాఅవకలన సమీకరణం మొదటి ఆర్డర్? అన్నింటిలో మొదటిది, "పాఠశాల" చర్యలను ఉపయోగించి వేరియబుల్స్ను వెంటనే వేరు చేయడం సాధ్యమేనా అని తనిఖీ చేయడం అవసరం? సాధారణంగా ఈ విశ్లేషణ మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లోని వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయడానికి ప్రయత్నించడం ద్వారా జరుగుతుంది.

ఈ ఉదాహరణలో వేరియబుల్స్ వేరు చేయలేము(మీరు నిబంధనలను భాగం నుండి భాగానికి విసిరేందుకు ప్రయత్నించవచ్చు, బ్రాకెట్‌ల నుండి కారకాలను పెంచడం మొదలైనవి). మార్గం ద్వారా, ఈ ఉదాహరణలో, గుణకం యొక్క ఉనికి కారణంగా వేరియబుల్స్ విభజించబడలేము అనే వాస్తవం చాలా స్పష్టంగా ఉంది.

ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఈ విస్తరించిన సమస్యను ఎలా పరిష్కరించాలి?

తనిఖీ చేయాలి మరియు ఈ సమీకరణం సజాతీయంగా లేదా?? ధృవీకరణ సులభం, మరియు ధృవీకరణ అల్గోరిథం ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడుతుంది:

అసలు సమీకరణానికి:

బదులుగామేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము, బదులుగామేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము, మేము ఉత్పన్నాన్ని తాకము:

లాంబ్డా అక్షరం షరతులతో కూడిన పరామితి, మరియు ఇక్కడ ఇది క్రింది పాత్రను పోషిస్తుంది: పరివర్తనల ఫలితంగా, అన్ని లాంబ్డాలను "నాశనం" చేయడం మరియు అసలు సమీకరణాన్ని పొందడం సాధ్యమైతే, ఈ అవకలన సమీకరణం సజాతీయంగా ఉంటుంది.

లాంబ్డాస్ వెంటనే ఘాతాంకం ద్వారా తగ్గించబడతాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది:

ఇప్పుడు కుడి వైపున మేము బ్రాకెట్ల నుండి లాంబ్డాను తీసుకుంటాము:

మరియు రెండు భాగాలను ఇదే లాంబ్డాతో విభజించండి:

ఫలితంగా అన్నీలాంబ్డాస్ ఒక కలలాగా, ఉదయం పొగమంచులాగా అదృశ్యమయ్యాయి మరియు అసలు సమీకరణాన్ని మేము పొందాము.

ముగింపు:ఈ సమీకరణం సజాతీయంగా ఉంటుంది

సజాతీయ అవకలన సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి?

నాకు చాలా శుభవార్త ఉంది. ఖచ్చితంగా అన్ని సజాతీయ సమీకరణాలను ఒకే (!) ప్రామాణిక ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు.

"గేమ్" ఫంక్షన్ ఉండాలి భర్తీ చేయండి పనికొన్ని ఫంక్షన్ ("x"పై కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది)మరియు "x":

వారు దాదాపు ఎల్లప్పుడూ క్లుప్తంగా వ్రాస్తారు:

అటువంటి భర్తీతో ఉత్పన్నం ఎలా మారుతుందో మేము కనుగొంటాము, మేము ఉత్పత్తి యొక్క భేదం యొక్క నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అయితే, అప్పుడు:

మేము అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

అటువంటి ప్రత్యామ్నాయం ఏమి ఇస్తుంది? ఈ భర్తీ మరియు సరళీకరణల తర్వాత, మేము హామీ ఇచ్చారుమేము వేరు చేయగల వేరియబుల్స్తో సమీకరణాన్ని పొందుతాము. గుర్తుంచుకోండిమొదటి ప్రేమ వలె :) మరియు, తదనుగుణంగా, .

ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత, మేము గరిష్ట సరళీకరణలను నిర్వహిస్తాము:

“x”పై ఆధారపడి ఒక ఫంక్షన్ కాబట్టి, దాని ఉత్పన్నాన్ని ప్రామాణిక భిన్నం వలె వ్రాయవచ్చు: .
ఈ విధంగా:

మేము వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేస్తాము, ఎడమ వైపున మీరు “te” మాత్రమే సేకరించాలి మరియు కుడి వైపున “x” మాత్రమే:

వేరియబుల్స్ వేరు చేయబడ్డాయి, ఇంటిగ్రేట్ చేద్దాం:


వ్యాసం నుండి నా మొదటి సాంకేతిక చిట్కా ప్రకారం మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలుఅనేక సందర్భాల్లో ఒక సంవర్గమానం రూపంలో స్థిరాంకాన్ని "సూత్రపరచడం" మంచిది.

సమీకరణం ఏకీకృతం అయిన తర్వాత, మనం నిర్వహించాలి రివర్స్ భర్తీ, ఇది కూడా ప్రామాణికమైనది మరియు ప్రత్యేకమైనది:
ఉంటే, అప్పుడు
ఈ విషయంలో:

20లో 18-19 సందర్భాలలో, ఒక సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారం సాధారణ సమగ్రంగా వ్రాయబడుతుంది.

సమాధానం:సాధారణ సమగ్రం:

సజాతీయ సమీకరణానికి సమాధానం దాదాపు ఎల్లప్పుడూ సాధారణ సమగ్ర రూపంలో ఎందుకు ఇవ్వబడుతుంది?
చాలా సందర్భాలలో, “ఆట”ను స్పష్టంగా వ్యక్తపరచడం అసాధ్యం (సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందడం), మరియు అది సాధ్యమైతే, చాలా తరచుగా సాధారణ పరిష్కారం గజిబిజిగా మరియు వికృతంగా మారుతుంది.

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, సాధారణ సమగ్రం యొక్క రెండు వైపులా లాగరిథమ్‌లను తూకం వేయడం ద్వారా సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందవచ్చు:

- సరే, అది సరే. అయినప్పటికీ, మీరు అంగీకరించాలి, ఇది ఇప్పటికీ కొద్దిగా వంకరగా ఉంది.

మార్గం ద్వారా, ఈ ఉదాహరణలో నేను సాధారణ సమగ్రతను చాలా “మర్యాదగా” వ్రాయలేదు. ఇది పొరపాటు కాదు, కానీ "మంచి" శైలిలో, సాధారణ సమగ్రం సాధారణంగా రూపంలో వ్రాయబడిందని నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేసిన వెంటనే, స్థిరాంకం ఎటువంటి సంవర్గమానం లేకుండా వ్రాయాలి (ఇక్కడ నియమానికి మినహాయింపు ఉంది!):

మరియు రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత, "క్లాసికల్" రూపంలో సాధారణ సమగ్రతను పొందండి:

అందుకున్న సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు సాధారణ సమగ్రతను వేరు చేయాలి, అంటే కనుగొనండి పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం:

మేము సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు గుణించడం ద్వారా భిన్నాలను తొలగిస్తాము:

అసలు అవకలన సమీకరణం పొందబడింది, అంటే పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

ఎల్లప్పుడూ తనిఖీ చేయడం మంచిది. కానీ సజాతీయ సమీకరణాలు అసహ్యకరమైనవి, ఎందుకంటే వాటి సాధారణ సమగ్రాలను తనిఖీ చేయడం సాధారణంగా కష్టం - దీనికి చాలా మంచి భేదాత్మక సాంకేతికత అవసరం. పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, ధృవీకరణ సమయంలో సరళమైన ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం ఇప్పటికే అవసరం (ఉదాహరణ చాలా సులభం అయినప్పటికీ). మీరు దాన్ని తనిఖీ చేయగలిగితే, దాన్ని తనిఖీ చేయండి!

ఉదాహరణ 2

సజాతీయత కోసం సమీకరణాన్ని తనిఖీ చేయండి మరియు దాని సాధారణ సమగ్రతను కనుగొనండి.

ఫారమ్‌లో సమాధానం రాయండి

మీరు మీ స్వంతంగా నిర్ణయించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ - తద్వారా మీరు చర్యల అల్గారిథమ్‌తో సౌకర్యవంతంగా ఉంటారు. మీరు మీ తీరిక సమయంలో తనిఖీని నిర్వహించవచ్చు, ఎందుకంటే... ఇక్కడ ఇది చాలా క్లిష్టంగా ఉంది మరియు నేను దానిని ప్రదర్శించడానికి కూడా బాధపడలేదు, లేకపోతే మీరు అలాంటి ఉన్మాది వద్దకు మళ్లీ రాలేరు :)

మరియు ఇప్పుడు వాగ్దానం చేయబడిన ముఖ్యమైన అంశం, టాపిక్ ప్రారంభంలో ప్రస్తావించబడింది,
నేను బోల్డ్ నలుపు అక్షరాలతో హైలైట్ చేస్తాను:

పరివర్తనల సమయంలో మనం గుణకాన్ని "రీసెట్" చేస్తే (స్థిరం కాదు)హారం లోకి, అప్పుడు మేము పరిష్కారాలను కోల్పోయే ప్రమాదం ఉంది!

మరియు వాస్తవానికి, మేము దీనిని మొదటి ఉదాహరణలో ఎదుర్కొన్నాము అవకలన సమీకరణాల గురించి పరిచయ పాఠం. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ప్రక్రియలో, “y” హారంలో ఉన్నట్లు తేలింది: , కానీ, స్పష్టంగా, DEకి పరిష్కారం మరియు అసమాన పరివర్తన (విభజన) ఫలితంగా దానిని కోల్పోయే ప్రతి అవకాశం ఉంది! మరొక విషయం ఏమిటంటే ఇది స్థిరాంకం యొక్క సున్నా విలువ వద్ద సాధారణ పరిష్కారంలో చేర్చబడింది. హారంలో "X" రీసెట్ చేయడం కూడా విస్మరించబడవచ్చు, ఎందుకంటే అసలు డిఫ్యూజర్‌ను సంతృప్తిపరచదు.

అదే పాఠం యొక్క మూడవ సమీకరణంతో సారూప్య కథనం, దాని పరిష్కారం సమయంలో మేము హారంలోకి “పడిపోయాము”. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇక్కడ ఈ డిఫ్యూజర్ పరిష్కారమా అని తనిఖీ చేయాల్సిన అవసరం ఉందా? అన్ని తరువాత, ఇది! కానీ ఇక్కడ కూడా “అంతా బాగానే ఉంది”, ఎందుకంటే ఈ ఫంక్షన్ సాధారణ సమగ్రంలో చేర్చబడింది వద్ద.

మరియు ఇది తరచుగా "వేరు చేయగల" సమీకరణాలతో పని చేస్తే, సజాతీయ మరియు కొన్ని ఇతర డిఫ్యూజర్‌లతో ఇది పని చేయకపోవచ్చు. చాలా అవకాశం ఉంది.

ఈ పాఠంలో ఇప్పటికే పరిష్కరించబడిన సమస్యలను విశ్లేషిద్దాం: in ఉదాహరణ 1 X యొక్క "రీసెట్" ఉంది, కానీ అది సమీకరణానికి పరిష్కారం కాదు. కానీ లో ఉదాహరణ 2మేము విభజించాము , కానీ అతను కూడా "దానితో తప్పించుకున్నాడు": నుండి , పరిష్కారాలను కోల్పోలేదు, అవి ఇక్కడ లేవు. కానీ, వాస్తవానికి, నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా “సంతోషకరమైన సందర్భాలను” సృష్టించాను మరియు ఆచరణలో ఇవి అంతటా వస్తాయి అనేది వాస్తవం కాదు:

ఉదాహరణ 3

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఇది ఒక సాధారణ ఉదాహరణ కాదా? ;-)

పరిష్కారం:ఈ సమీకరణం యొక్క సజాతీయత స్పష్టంగా ఉంది, కానీ ఇప్పటికీ - మొదటి అడుగులోవేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయడం సాధ్యమేనా అని మేము ఎల్లప్పుడూ తనిఖీ చేస్తాము. సమీకరణం కూడా సజాతీయంగా ఉంటుంది, కానీ దానిలోని వేరియబుల్స్ సులభంగా వేరు చేయబడతాయి. అవును, కొన్ని ఉన్నాయి!

"విభజన" కోసం తనిఖీ చేసిన తర్వాత, మేము భర్తీ చేస్తాము మరియు సమీకరణాన్ని వీలైనంత సులభతరం చేస్తాము:

మేము వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేస్తాము, ఎడమ వైపున “te” మరియు కుడి వైపున “x”ని సేకరిస్తాము:

మరియు ఇక్కడ ఆపు. విభజించేటప్పుడు, మేము ఒకేసారి రెండు విధులను కోల్పోయే ప్రమాదం ఉంది. నుండి, ఇవి విధులు:

మొదటి ఫంక్షన్ స్పష్టంగా సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం . మేము రెండవదాన్ని తనిఖీ చేస్తాము - మేము మా డిఫ్యూజర్‌లో దాని ఉత్పన్నాన్ని కూడా ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

- సరైన సమానత్వం పొందబడుతుంది, అంటే ఫంక్షన్ ఒక పరిష్కారం.

మరియు మేము ఈ నిర్ణయాలను కోల్పోయే ప్రమాదం ఉంది.

అదనంగా, హారం "X" గా మారింది, అయితే, భర్తీ అది సున్నా కాదని సూచిస్తుంది. ఈ వాస్తవాన్ని గుర్తుంచుకోండి. కానీ! తప్పకుండా తనిఖీ చేయండి, అసలు అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం. అది కాదు.

వీటన్నింటినీ గమనించి కొనసాగిద్దాం:

నేను తప్పక చెప్పాలి, నేను ఎడమ వైపు యొక్క సమగ్రతతో అదృష్టవంతుడిని; ఇది చాలా ఘోరంగా ఉంటుంది.

మేము కుడి వైపున ఒకే సంవర్గమానాన్ని సేకరిస్తాము మరియు సంకెళ్ళను విసిరివేస్తాము:

మరియు ఇప్పుడు రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్:

అన్ని నిబంధనలను దీని ద్వారా గుణిద్దాం:

ఇప్పుడు మీరు తనిఖీ చేయాలి - "ప్రమాదకరమైన" పరిష్కారాలను సాధారణ సమగ్రంలో చేర్చారా. అవును, రెండు పరిష్కారాలు స్థిరాంకం యొక్క సున్నా విలువ వద్ద సాధారణ సమగ్రంలో చేర్చబడ్డాయి: , కాబట్టి వాటిని అదనంగా సూచించాల్సిన అవసరం లేదు సమాధానం:

సాధారణ సమగ్రం:

పరీక్ష. పరీక్ష కూడా కాదు, కానీ స్వచ్ఛమైన ఆనందం :)

అసలు అవకలన సమీకరణం పొందబడింది, అంటే పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

దీన్ని మీరే పరిష్కరించడానికి:

ఉదాహరణ 4

సజాతీయత పరీక్షను నిర్వహించండి మరియు అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

భేదం ద్వారా సాధారణ సమగ్రతను తనిఖీ చేయండి.

పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

రెడీమేడ్ డిఫరెన్షియల్స్‌తో సజాతీయ సమీకరణం ఇవ్వబడినప్పుడు కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 5

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఇది చాలా ఆసక్తికరమైన ఉదాహరణ, మొత్తం థ్రిల్లర్!

పరిష్కారందీన్ని మరింత కాంపాక్ట్‌గా డిజైన్ చేయడం అలవాటు చేసుకుంటాం. మొదట, మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో, వేరియబుల్స్‌ను ఇక్కడ వేరు చేయలేమని మేము నిర్ధారించుకుంటాము, ఆ తర్వాత మేము సజాతీయత కోసం ఒక పరీక్షను నిర్వహిస్తాము - ఇది సాధారణంగా తుది డ్రాఫ్ట్‌లో నిర్వహించబడదు. (ప్రత్యేకంగా అవసరమైతే తప్ప). అందువల్ల, పరిష్కారం దాదాపు ఎల్లప్పుడూ ప్రవేశంతో ప్రారంభమవుతుంది: " ఈ సమీకరణం సజాతీయంగా ఉంది, భర్తీ చేద్దాం: ...».

ఒక సజాతీయ సమీకరణం రెడీమేడ్ అవకలనలను కలిగి ఉంటే, అది సవరించిన ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది:

కానీ అటువంటి ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించమని నేను సిఫార్సు చేయను, ఎందుకంటే ఇది చైనీస్ అవకలనల యొక్క గొప్ప గోడగా మారుతుంది, ఇక్కడ మీకు కన్ను మరియు కన్ను అవసరం. సాంకేతిక దృక్కోణం నుండి, ఉత్పన్నం యొక్క “డాష్” హోదాకు మారడం మరింత ప్రయోజనకరంగా ఉంటుంది; దీన్ని చేయడానికి, మేము సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలను దీని ద్వారా విభజిస్తాము:

మరియు ఇక్కడ మేము ఇప్పటికే "ప్రమాదకరమైన" పరివర్తన చేసాము!సున్నా అవకలన అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్న సరళ రేఖల కుటుంబానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. మన DU మూలాలు వారేనా? అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

ఈ సమానత్వం చెల్లుబాటు అవుతుంది, అంటే, విభజించేటప్పుడు మనం పరిష్కారాన్ని కోల్పోయే ప్రమాదం ఉంది, మరియు మేము అతనిని కోల్పోయాము- దాని నుండి ఇక సంతృప్తి చెందదుఫలిత సమీకరణం .

మనం అయితే అని గమనించాలి ప్రారంభంలోసమీకరణం ఇవ్వబడింది , అప్పుడు రూట్ గురించి చర్చ ఉండదు. కానీ మేము దానిని కలిగి ఉన్నాము మరియు మేము దానిని సమయానికి పట్టుకున్నాము.

మేము ప్రామాణిక భర్తీతో పరిష్కారాన్ని కొనసాగిస్తాము:
:

ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత, మేము సమీకరణాన్ని వీలైనంత సులభతరం చేస్తాము:

మేము వేరియబుల్స్ను వేరు చేస్తాము:

మరియు ఇక్కడ మళ్ళీ STOP: విభజించేటప్పుడు మేము రెండు ఫంక్షన్లను కోల్పోయే ప్రమాదం ఉంది. నుండి, ఇవి విధులు:

సహజంగానే, మొదటి ఫంక్షన్ సమీకరణానికి పరిష్కారం . మేము రెండవదాన్ని తనిఖీ చేస్తాము - మేము దాని ఉత్పన్నాన్ని కూడా ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

- అందుకుంది నిజమైన సమానత్వం, అంటే ఫంక్షన్ అవకలన సమీకరణానికి కూడా ఒక పరిష్కారం.

మరియు విభజించేటప్పుడు మేము ఈ పరిష్కారాలను కోల్పోయే ప్రమాదం ఉంది. అయినప్పటికీ, వారు సాధారణ సమగ్రంలోకి ప్రవేశించవచ్చు. కానీ వారు ప్రవేశించకపోవచ్చు

దీన్ని గమనించండి మరియు రెండు భాగాలను ఏకీకృతం చేద్దాం:

ఎడమ వైపు యొక్క సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రామాణిక మార్గంలో పరిష్కరించబడుతుంది పూర్తి చతురస్రాన్ని హైలైట్ చేస్తుంది, కానీ డిఫ్యూజర్‌లలో ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది అనిశ్చిత గుణకాల పద్ధతి:

నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి, మేము సమగ్రతను ప్రాథమిక భిన్నాల మొత్తానికి విస్తరిస్తాము:


ఈ విధంగా:

సమగ్రాలను కనుగొనడం:

– మనం సంవర్గమానాలను మాత్రమే గీసాము కాబట్టి, స్థిరాంకాన్ని కూడా లాగరిథమ్ క్రిందకు నెట్టివేస్తాము.

భర్తీ చేయడానికి ముందు మళ్ళీ సరళీకృతం చేయగల ప్రతిదానిని సరళీకృతం చేయడం:

గొలుసులను రీసెట్ చేస్తోంది:

మరియు రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్:

ఇప్పుడు "కోల్పోయిన విషయాలు" గురించి గుర్తుంచుకోండి: పరిష్కారం సాధారణ సమగ్రంలో చేర్చబడింది, కానీ అది "నగదు రిజిస్టర్‌ను దాటి వెళ్లింది", ఎందుకంటే హారం అని తేలింది. అందువల్ల, సమాధానంలో దీనికి ప్రత్యేక పదబంధం ఇవ్వబడుతుంది మరియు అవును - కోల్పోయిన పరిష్కారం గురించి మర్చిపోవద్దు, ఇది కూడా క్రింద ఉన్నట్లు తేలింది.

సమాధానం:సాధారణ సమగ్రం: . మరిన్ని పరిష్కారాలు:

ఇక్కడ సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్యక్తపరచడం అంత కష్టం కాదు:
, కానీ ఇది ఇప్పటికే షో-ఆఫ్.

అయితే, తనిఖీ కోసం అనుకూలమైనది. ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

మరియు ప్రత్యామ్నాయం సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపుకు:

- ఫలితంగా, సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు పొందబడింది, ఇది తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం ఉంది.

కింది డిఫ్యూజర్ దాని స్వంతంగా ఉంది:

ఉదాహరణ 6

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం. అభ్యాసం కోసం అదే సమయంలో ఇక్కడ సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నించండి.

పాఠం యొక్క చివరి భాగంలో, మేము అంశంపై రెండు విలక్షణమైన పనులను పరిశీలిస్తాము:

ఉదాహరణ 7

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం:కొట్టిన దారిలో వెళ్దాం. ఈ సమీకరణం సజాతీయంగా ఉంది, భర్తీ చేద్దాం:

ఇక్కడ "X" బాగానే ఉంది, అయితే క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ గురించి ఏమిటి? ఇది కారకాలుగా కుళ్ళిపోదు కాబట్టి: , అప్పుడు మేము ఖచ్చితంగా పరిష్కారాలను కోల్పోము. ఇది ఎల్లప్పుడూ ఇలాగే ఉంటుంది! ఎడమ వైపున పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకుని, ఇంటిగ్రేట్ చేయండి:

ఇక్కడ సరళీకరించడానికి ఏమీ లేదు, అందువల్ల రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్:

సమాధానం:సాధారణ సమగ్రం:

ఉదాహరణ 8

అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.

కాబట్టి:

అసమాన మార్పిడుల కోసం, ఎల్లప్పుడూ తనిఖీ చేయండి (కనీసం మాటల ద్వారా), మీరు మీ పరిష్కారాలను కోల్పోతున్నారా?ఈ రూపాంతరాలు ఏమిటి? సాధారణంగా దేనినైనా కుదించడం లేదా విభజించడం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, విభజించేటప్పుడు, విధులు అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారాలు కాదా అని మీరు తనిఖీ చేయాలి. అదే సమయంలో, విభజించేటప్పుడు, అటువంటి చెక్ అవసరం లేదు - ఈ డివైజర్ సున్నాకి వెళ్లదు అనే వాస్తవం కారణంగా.

ఇక్కడ మరొక ప్రమాదకరమైన పరిస్థితి ఉంది:

ఇక్కడ, వదిలించుకోవటం, మీరు DE ఒక పరిష్కారమా అని తనిఖీ చేయాలి. తరచుగా, “x” మరియు “y” అటువంటి గుణకం వలె ఉపయోగించబడతాయి మరియు వాటిని తగ్గించడం ద్వారా, పరిష్కారాలుగా మారే ఫంక్షన్‌లను కోల్పోతాము.

మరోవైపు, ఏదైనా ప్రాథమికంగా హారంలో ఉంటే, అలాంటి ఆందోళనకు కారణం లేదు. అందువల్ల, సజాతీయ సమీకరణంలో, మీరు ఫంక్షన్ గురించి ఆందోళన చెందాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది హారంలో "ప్రకటించబడింది".

సమస్యకు నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని మాత్రమే కనుగొనాల్సిన అవసరం ఉన్నప్పటికీ, జాబితా చేయబడిన సూక్ష్మబేధాలు వాటి ఔచిత్యాన్ని కోల్పోవు. చిన్నదైనప్పటికీ, మనం ఖచ్చితంగా అవసరమైన నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కోల్పోయే అవకాశం ఉంది. ఇది నిజమా కౌచీ సమస్యసజాతీయ సమీకరణాలతో ఆచరణాత్మక పనులలో ఇది చాలా అరుదుగా అడగబడుతుంది. అయితే, వ్యాసంలో అలాంటి ఉదాహరణలు ఉన్నాయి సజాతీయతకు తగ్గించే సమీకరణాలు, మీ పరిష్కార నైపుణ్యాలను బలోపేతం చేయడానికి "హాట్ ఆన్ ది హీల్స్" అధ్యయనం చేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

మరింత సంక్లిష్టమైన సజాతీయ సమీకరణాలు కూడా ఉన్నాయి. ఇబ్బంది వేరియబుల్ మార్పులు లేదా సరళీకరణలలో కాదు, కానీ వేరియబుల్స్ వేరు చేయడం వల్ల ఉత్పన్నమయ్యే కష్టమైన లేదా అరుదైన సమగ్రాలలో ఉంటుంది. అటువంటి సజాతీయ సమీకరణాలకు పరిష్కారాల ఉదాహరణలు నా దగ్గర ఉన్నాయి - భయానక సమగ్రతలు మరియు భయానక సమాధానాలు. కానీ మేము వాటి గురించి మాట్లాడము, ఎందుకంటే తదుపరి పాఠాలలో (కింద చూడుము)నిన్ను హింసించడానికి నాకు ఇంకా సమయం ఉంది, నేను నిన్ను తాజాగా మరియు ఆశాజనకంగా చూడాలనుకుంటున్నాను!

హ్యాపీ ప్రమోషన్!

పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:

ఉదాహరణ 2: పరిష్కారం:అసలు సమీకరణంలో ఈ ప్రయోజనం కోసం సజాతీయత కోసం సమీకరణాన్ని తనిఖీ చేద్దాం బదులుగాప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం , మరియు బదులుగాప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

ఫలితంగా, అసలు సమీకరణం పొందబడుతుంది, అంటే ఈ DE సజాతీయంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్
మొదటి పరిమాణం యొక్క సజాతీయ విధి

మూడవ పరిమాణం యొక్క సజాతీయ విధి

సున్నా పరిమాణం యొక్క సజాతీయ విధి

, అనగా
.

నిర్వచనం 2. మొదటి ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం వై" = f(x, వై) ఫంక్షన్ అయితే సజాతీయంగా పిలువబడుతుంది f(x, వై) అనేది సున్నా పరిమాణం యొక్క సజాతీయ విధి x మరియు వై, లేదా, వారు చెప్పినట్లు, f(x, వై) అనేది డిగ్రీ సున్నా యొక్క సజాతీయ ఫంక్షన్.

దీనిని రూపంలో సూచించవచ్చు

ఇది సజాతీయ సమీకరణాన్ని రూపంలోకి మార్చగల అవకలన సమీకరణంగా నిర్వచించడానికి అనుమతిస్తుంది (3.3).

ప్రత్యామ్నాయం
సజాతీయ సమీకరణాన్ని వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణంగా తగ్గిస్తుంది. నిజానికి, ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత y =xzమాకు దొరికింది
,
వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయడం మరియు సమగ్రపరచడం, మేము కనుగొంటాము:

,

ఉదాహరణ 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

Δ మేము ఊహిస్తున్నాము y =zx,
ఈ వ్యక్తీకరణలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి వై మరియు డి వైఈ సమీకరణంలోకి:
లేదా
మేము వేరియబుల్స్ను వేరు చేస్తాము:
మరియు ఇంటిగ్రేట్:
,

భర్తీ చేస్తోంది zపై , మాకు దొరికింది
.

ఉదాహరణ 2. సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

Δ ఈ సమీకరణంలో పి (x,వై) =x 2 -2వై 2 ,ప్ర(x,వై) =2xyరెండవ పరిమాణం యొక్క సజాతీయ విధులు, కాబట్టి, ఈ సమీకరణం సజాతీయంగా ఉంటుంది. దీనిని రూపంలో సూచించవచ్చు
మరియు పైన పేర్కొన్న విధంగా పరిష్కరించండి. కానీ మేము రికార్డింగ్ యొక్క విభిన్న రూపాన్ని ఉపయోగిస్తాము. పెడతాం వై = zx, ఎక్కడ డి వై = zdx + xdz. ఈ వ్యక్తీకరణలను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చడం, మేము కలిగి ఉంటాము

dx+2 zxdz = 0 .

మేము లెక్కింపు ద్వారా వేరియబుల్స్ను వేరు చేస్తాము

.

ఈ సమీకరణ పదాన్ని పదం వారీగా ఏకీకృతం చేద్దాం

, ఎక్కడ

అంటే
. మునుపటి ఫంక్షన్‌కి తిరిగి వస్తోంది
సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి


ఉదాహరణ 3 . సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి
.

Δ పరివర్తనల గొలుసు: ,వై = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

ఉపన్యాసం 8.

4. మొదటి ఆర్డర్ యొక్క రేఖీయ అవకలన సమీకరణాలు మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

ఇక్కడ ఉచిత పదం, సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు అని కూడా పిలుస్తారు. మేము ఈ రూపంలోని సరళ సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది వాటిలో పరిశీలిస్తాము.

ఉంటే
0, అప్పుడు సమీకరణం (4.1a)ని సరళ అసమానత అంటారు. ఉంటే
0, అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

మరియు సరళ సజాతీయంగా పిలువబడుతుంది.

సమీకరణం పేరు (4.1a) తెలియని ఫంక్షన్ వాస్తవం ద్వారా వివరించబడింది వై మరియు దాని ఉత్పన్నం దానిని సరళంగా నమోదు చేయండి, అనగా. మొదటి డిగ్రీలో.

సరళ సజాతీయ సమీకరణంలో, వేరియబుల్స్ వేరు చేయబడతాయి. రూపంలో తిరిగి వ్రాయడం
ఎక్కడ
మరియు సమగ్రపరచడం, మేము పొందుతాము:
,అవి.

ద్వారా విభజించబడినప్పుడు మేము నిర్ణయాన్ని కోల్పోతాము
. ఏది ఏమైనప్పటికీ, మేము దానిని ఊహించినట్లయితే, కనుగొన్న పరిష్కారాల కుటుంబంలో (4.3) చేర్చవచ్చు తో 0 విలువను కూడా తీసుకోవచ్చు.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అనేక పద్ధతులు ఉన్నాయి (4.1a). ప్రకారం బెర్నౌలీ పద్ధతి, యొక్క రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి రూపంలో పరిష్కారం కోరబడుతుంది X:

ఈ ఫంక్షన్లలో ఒకదానిని ఏకపక్షంగా ఎంచుకోవచ్చు, ఎందుకంటే ఉత్పత్తి మాత్రమే uv తప్పనిసరిగా అసలు సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి, మరొకటి సమీకరణం (4.1a) ఆధారంగా నిర్ణయించబడుతుంది.

సమానత్వం (4.4) యొక్క రెండు వైపులా భేదం, మేము కనుగొంటాము
.

ఉత్పన్నం కోసం ఫలిత వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయడం , అలాగే విలువ వద్ద సమీకరణంలోకి (4.1a), మేము పొందుతాము
, లేదా

ఆ. విధిగా vసజాతీయ సరళ సమీకరణం (4.6) యొక్క పరిష్కారాన్ని తీసుకుందాం:

(ఇక్కడ సిఇది వ్రాయడం అవసరం, లేకపోతే మీరు సాధారణ కాదు, కానీ ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం పొందుతారు).

ఈ విధంగా, ఉపయోగించిన ప్రత్యామ్నాయం ఫలితంగా (4.4), సమీకరణం (4.1a) వేరు చేయగల వేరియబుల్స్ (4.6) మరియు (4.7)తో రెండు సమీకరణాలకు తగ్గించబడింది.

ప్రత్యామ్నాయం
మరియు v(x) ఫార్ములాలోకి (4.4), మేము చివరకు పొందుతాము

,

.

ఉదాహరణ 1. సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

 పెట్టుకుందాం
, అప్పుడు
. వ్యక్తీకరణలను భర్తీ చేయడం మరియు అసలు సమీకరణంలోకి, మనం పొందుతాము
లేదా
(*)

గుణకాన్ని సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేద్దాం :

ఫలిత సమీకరణంలో వేరియబుల్స్ వేరు చేయడం, మేము కలిగి ఉన్నాము


(ఏకపక్ష స్థిరాంకం సి మేము వ్రాయము), ఇక్కడ నుండి v= x. విలువ దొరికింది vసమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం (*):

,
,
.

అందుకే,
అసలు సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం.

సమీకరణం (*) సమానమైన రూపంలో వ్రాయవచ్చని గమనించండి:

.

యాదృచ్ఛికంగా ఒక ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోవడం u, కాని కాదు v, మేము నమ్మవచ్చు
. ఈ పరిష్కారం భర్తీ చేయడం ద్వారా మాత్రమే పరిగణించబడే దాని నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది vపై u(ఇందుమూలంగా uపై v), కాబట్టి తుది విలువ వద్దఅదే అవుతుంది.

పైన పేర్కొన్నదాని ఆధారంగా, మేము మొదటి-ఆర్డర్ లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్‌ను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను పొందుతాము.

కొన్నిసార్లు మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణం సరళంగా మారుతుందని గమనించండి వద్దస్వతంత్ర చరరాశిగా పరిగణించబడుతుంది మరియు x- ఆధారపడిన, అనగా. పాత్రలను మార్చండి x మరియు వై. ఇది అందించిన విధంగా చేయవచ్చు xమరియు dxసమీకరణాన్ని సరళంగా నమోదు చేయండి.

ఉదాహరణ 2 . సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
.

ప్రదర్శనలో, ఈ సమీకరణం ఫంక్షన్‌కు సంబంధించి సరళంగా ఉండదు వద్ద.

అయితే, మేము పరిగణనలోకి తీసుకుంటే xయొక్క విధిగా వద్ద, అప్పుడు, దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు
, దానిని ఫారమ్‌కి తీసుకురావచ్చు

(4.1 బి)

భర్తీ చేస్తోంది పై ,మాకు దొరికింది
లేదా
. ఉత్పత్తి ద్వారా చివరి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించడం ydy, దానిని రూపానికి తీసుకువద్దాం

, లేదా
. (**)

ఇక్కడ P(y)=,
. ఇది సంబంధించి ఒక సరళ సమీకరణం x. మేము నమ్ముతున్నాము
,
. ఈ వ్యక్తీకరణలను (**) లోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది

లేదా
.

మనం v ని ఎంచుకుందాం
,
, ఎక్కడ
;
. మేము కలిగి తదుపరి
,
,
.

ఎందుకంటే
, అప్పుడు మేము రూపంలో ఈ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారానికి వస్తాము

.

సమీకరణంలో (4.1a) గమనించండి పి(x) మరియు ప్ర (x) నుండి ఫంక్షన్ల రూపంలో మాత్రమే చేర్చబడదు x, కానీ స్థిరాంకాలు కూడా: పి= a,ప్ర= బి. సరళ సమీకరణం

y= ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి కూడా పరిష్కరించవచ్చు uv మరియు వేరియబుల్స్ విభజన:

;
.

ఇక్కడనుంచి
;
;
; ఎక్కడ
. సంవర్గమానం నుండి మనల్ని మనం విడిపించుకోవడం, మేము సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందుతాము

(ఇక్కడ
).

వద్ద బి= 0 మేము సమీకరణం యొక్క పరిష్కారానికి వస్తాము

(ఘాతాంక వృద్ధి సమీకరణం (2.4) వద్ద చూడండి
).

మొదట, మేము సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణాన్ని (4.2) ఏకీకృతం చేస్తాము. పైన చెప్పినట్లుగా, దాని పరిష్కారం రూపం (4.3) కలిగి ఉంది. మేము కారకాన్ని పరిశీలిస్తాము తో(4.3) యొక్క విధిగా X, అనగా తప్పనిసరిగా వేరియబుల్ మార్పు చేయడం

ఎక్కడ నుండి, సమగ్రపరచడం, మేము కనుగొంటాము

(4.14) ప్రకారం ((4.9) కూడా చూడండి), అసమాన సరళ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణం (4.3) యొక్క సాధారణ పరిష్కారం మరియు నిర్వచించబడిన అసమాన సమీకరణం యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారం మొత్తానికి సమానం. రెండవ పదం (4.14) (మరియు (4.9)లో) చేర్చబడింది.

నిర్దిష్ట సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు గజిబిజిగా ఉండే సూత్రాన్ని (4.14) ఉపయోగించకుండా, పై గణనలను పునరావృతం చేయాలి.

పరిగణించబడిన సమీకరణానికి Lagrange పద్ధతిని వర్తింపజేద్దాం ఉదాహరణ 1 :

.

మేము సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేస్తాము
.

వేరియబుల్స్ వేరు, మేము పొందండి
మరియు తరువాత
. ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం వై = Cx. మేము రూపంలో అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారం కోసం చూస్తాము వై = సి(x)x. ఇచ్చిన సమీకరణంలో ఈ వ్యక్తీకరణను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది
;
;
,
. అసలు సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

.

ముగింపులో, బెర్నౌలీ సమీకరణం సరళ సమీకరణానికి తగ్గించబడిందని మేము గమనించాము

, ( )

రూపంలో వ్రాయవచ్చు

.

ప్రత్యామ్నాయం
ఇది సరళ సమీకరణానికి తగ్గుతుంది:

,
,
.

బెర్నౌలీ సమీకరణాలను కూడా పైన పేర్కొన్న పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు.

ఉదాహరణ 3 . సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి
.

 పరివర్తనల గొలుసు:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


సజాతీయ అవకలన సమీకరణాల ఉదాహరణలకు రెడీమేడ్ సమాధానాలుచాలా మంది విద్యార్థులు మొదటి ఆర్డర్ కోసం చూస్తున్నారు (1వ ఆర్డర్ యొక్క కంట్రోలర్లు బోధనలో సర్వసాధారణం), అప్పుడు మీరు వాటిని వివరంగా విశ్లేషించవచ్చు. కానీ ఉదాహరణలను పరిగణనలోకి తీసుకునే ముందు, మీరు సంక్షిప్త సైద్ధాంతిక విషయాలను జాగ్రత్తగా చదవాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 రూపం యొక్క సమీకరణాలు, ఇక్కడ P(x,y) మరియు Q(x,y) ఫంక్షన్‌లు ఒకే క్రమంలో ఉండే సజాతీయ విధులు అంటారు. సజాతీయ అవకలన సమీకరణం(ODR).

సజాతీయ అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే పథకం

1. ముందుగా మీరు ప్రత్యామ్నాయం y=z*xని వర్తింపజేయాలి, ఇక్కడ z=z(x) అనేది కొత్త తెలియని ఫంక్షన్ (అందువలన అసలు సమీకరణం వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో అవకలన సమీకరణానికి తగ్గించబడుతుంది.
2. ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z లేదా అవకలనలలో dy=d(zx)=z*dx+కి సమానం x*dz.
3. తర్వాత, మేము కొత్త ఫంక్షన్ y మరియు దాని డెరివేటివ్ y" (లేదా dy)ని భర్తీ చేస్తాము వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో DE x మరియు z లకు సంబంధించి.
4. వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, మేము రివర్స్ మార్పును y=z*x చేస్తాము, కాబట్టి z= y/x, మరియు మనకు లభిస్తుంది అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం (సాధారణ సమగ్రం)..
5. ప్రారంభ స్థితి y(x 0)=y 0 ఇచ్చినట్లయితే, మేము కౌచీ సమస్యకు ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము. ఇది సిద్ధాంతంలో తేలికగా అనిపిస్తుంది, కానీ ఆచరణలో, అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో ప్రతి ఒక్కరికీ అంత సరదాగా ఉండదు. అందువల్ల, మన జ్ఞానాన్ని మరింత లోతుగా చేయడానికి, సాధారణ ఉదాహరణలను చూద్దాం. సులభమైన పనుల గురించి మీకు బోధించడానికి ఎక్కువ ఏమీ లేదు, కాబట్టి మరింత క్లిష్టమైన వాటికి వెళ్దాం.

మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సజాతీయ అవకలన సమీకరణాల గణనలు

ఉదాహరణ 1.

పరిష్కారం: సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉత్పన్నం పక్కన ఉన్న కారకం అయిన వేరియబుల్ ద్వారా భాగించండి. ఫలితంగా, మేము చేరుకుంటాము 0వ క్రమం యొక్క సజాతీయ అవకలన సమీకరణం

మరియు ఇక్కడ, బహుశా, చాలా మంది ఆసక్తి కలిగి ఉన్నారు, సజాతీయ సమీకరణం యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క క్రమాన్ని ఎలా నిర్ణయించాలి?
ప్రశ్న చాలా సందర్భోచితమైనది మరియు దానికి సమాధానం క్రింది విధంగా ఉంది:
కుడి వైపున మేము ఫంక్షన్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌కు బదులుగా t*x, t*y విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. సరళీకృతం చేస్తున్నప్పుడు, పరామితి "t" ఒక నిర్దిష్ట డిగ్రీ k వరకు పొందబడుతుంది, దీనిని సమీకరణం యొక్క క్రమం అని పిలుస్తారు. మా విషయంలో, "t" తగ్గించబడుతుంది, ఇది 0వ శక్తికి సమానం లేదా సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సున్నా క్రమం.
తరువాత, కుడి వైపున మనం కొత్త వేరియబుల్ y=zxకి తరలించవచ్చు; z=y/x.
అదే సమయంలో, కొత్త వేరియబుల్ యొక్క ఉత్పన్నం ద్వారా “y” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని వ్యక్తపరచడం మర్చిపోవద్దు. భాగాల నియమం ద్వారా మనం కనుగొంటాము

అవకలనలలో సమీకరణాలురూపం తీసుకుంటుంది

మేము కుడి మరియు ఎడమ వైపున ఉన్న సాధారణ నిబంధనలను రద్దు చేసి, కొనసాగిస్తాము వేరు చేయబడిన వేరియబుల్స్తో అవకలన సమీకరణం.

DE యొక్క రెండు వైపులా ఏకీకృతం చేద్దాం

తదుపరి రూపాంతరాల సౌలభ్యం కోసం, మేము వెంటనే లాగరిథమ్ క్రింద స్థిరాంకంలోకి ప్రవేశిస్తాము

లాగరిథమ్‌ల లక్షణాల ప్రకారం, ఫలితంగా సంవర్గమాన సమీకరణం క్రింది వాటికి సమానం

ఈ ఎంట్రీ ఇంకా పరిష్కారం (సమాధానం) కాదు; వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రదర్శించిన రీప్లేస్‌మెంట్‌కి తిరిగి వెళ్లడం అవసరం

ఈ విధంగా వారు కనుగొంటారు అవకలన సమీకరణాల సాధారణ పరిష్కారం. మీరు మునుపటి పాఠాలను జాగ్రత్తగా చదివితే, వేరు చేయబడిన వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలను ఉచితంగా లెక్కించడానికి మీరు పథకాన్ని ఉపయోగించగలరని మేము చెప్పాము మరియు ఈ రకమైన సమీకరణాలను మరింత సంక్లిష్టమైన రిమోట్ కంట్రోల్ కోసం లెక్కించవలసి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 2. అవకలన సమీకరణం యొక్క సమగ్రతను కనుగొనండి

పరిష్కారం: సజాతీయ మరియు మిశ్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థలను లెక్కించే పథకం ఇప్పుడు మీకు సుపరిచితం. మేము వేరియబుల్‌ను సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలిస్తాము మరియు న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో x 2ని సాధారణ కారకంగా తీసుకుంటాము.

అందువలన, మేము సున్నా క్రమం యొక్క సజాతీయ అవకలన సమీకరణాన్ని పొందుతాము.
తదుపరి దశ z=y/x, y=z*x వేరియబుల్స్ యొక్క పునఃస్థాపనను పరిచయం చేయడం, దీన్ని మేము మీకు నిరంతరం గుర్తుచేస్తాము, తద్వారా మీరు గుర్తుంచుకోవాలి

దీని తరువాత మేము రిమోట్ కంట్రోల్‌ను అవకలనలలో వ్రాస్తాము

తరువాత మనం ఆధారపడటాన్ని మారుస్తాము వేరు చేయబడిన వేరియబుల్స్తో అవకలన సమీకరణం

మరియు మేము దానిని ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా పరిష్కరిస్తాము.

సమగ్రతలు సరళమైనవి, మిగిలిన పరివర్తనాలు లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాల ఆధారంగా నిర్వహించబడతాయి. చివరి దశలో లాగరిథమ్‌ను బహిర్గతం చేయడం. చివరగా మేము అసలు భర్తీకి తిరిగి వస్తాము మరియు దానిని రూపంలో వ్రాస్తాము

స్థిరమైన "C" ఏదైనా విలువను తీసుకోవచ్చు. కరస్పాండెన్స్ ద్వారా చదివే ప్రతి ఒక్కరికి పరీక్షలలో ఈ రకమైన సమీకరణాలతో సమస్యలు ఉంటాయి, కాబట్టి దయచేసి జాగ్రత్తగా పరిశీలించి, గణన రేఖాచిత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి.

ఉదాహరణ 3. అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం: పై పద్దతి నుండి క్రింది విధంగా, ఈ రకమైన అవకలన సమీకరణాలు పరిష్కరించబడతాయి కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా.డిపెండెన్స్‌ని మళ్లీ వ్రాద్దాం, తద్వారా ఉత్పన్నం వేరియబుల్ లేకుండా ఉంటుంది

ఇంకా, కుడి వైపున విశ్లేషించడం ద్వారా, మేము -ee శకలం ప్రతిచోటా ఉన్నట్లు చూస్తాము మరియు దానిని కొత్త తెలియనిదిగా సూచిస్తాము.
z=y/x, y=z*x.
y యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం

భర్తీని పరిగణనలోకి తీసుకుని, మేము అసలు DE ను రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

మేము ఒకే విధమైన నిబంధనలను సరళీకృతం చేస్తాము మరియు ఫలితంగా వచ్చే అన్ని వాటిని DEకి తగ్గిస్తాము వేరు చేయబడిన వేరియబుల్స్‌తో

సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా

మేము లాగరిథమ్స్ రూపంలో ఒక పరిష్కారానికి వస్తాము

మేము కనుగొన్న డిపెండెన్సీలను బహిర్గతం చేయడం ద్వారా అవకలన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం

ఇది వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రారంభ మార్పును దానిలోకి భర్తీ చేసిన తర్వాత, రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

ఇక్కడ C అనేది కౌచీ స్థితి నుండి మరింతగా నిర్ణయించబడే స్థిరాంకం. Cauchy సమస్య పేర్కొనబడకపోతే, అది ఏకపక్ష వాస్తవ విలువను పొందుతుంది.
సజాతీయ అవకలన సమీకరణాల కాలిక్యులస్‌లోని జ్ఞానం అంతే.

f(x,y) ఫంక్షన్ అంటారు సజాతీయ పనితీరుగుర్తింపు నిజమైతే, పరిమాణం n యొక్క దాని వాదనలు f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

ఉదాహరణకు, f(x,y)=x^2+y^2-xy అనేది రెండవ డైమెన్షన్ యొక్క సజాతీయ విధి.

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

n=0 అయినప్పుడు మనకు జీరో డైమెన్షన్ ఫంక్షన్ ఉంటుంది. ఉదాహరణకి, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)సున్నా పరిమాణం యొక్క సజాతీయ విధి

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y))

రూపం యొక్క అవకలన సమీకరణం \frac(dy)(dx)=f(x,y) f(x,y) అనేది దాని జీరో డైమెన్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్‌ల సజాతీయ విధి అయితే x మరియు y లకు సంబంధించి సజాతీయంగా చెప్పబడుతుంది. సజాతీయ సమీకరణాన్ని ఎల్లప్పుడూ ఇలా సూచించవచ్చు

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\కుడి).

అవసరమైన కొత్త ఫంక్షన్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా u=\frac(y)(x) , సమీకరణం (1)ని వేరుచేసే వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణంగా తగ్గించవచ్చు:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

u=u_0 అనేది \varphi(u)-u=0 సమీకరణం యొక్క మూలం అయితే, సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారం u=u_0 లేదా y=u_0x (మూలం గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ) అవుతుంది.

వ్యాఖ్య.సజాతీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, వాటిని (1) రూపానికి తగ్గించాల్సిన అవసరం లేదు. మీరు వెంటనే y=ux ప్రత్యామ్నాయాన్ని చేయవచ్చు.

ఉదాహరణ 1.సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

పరిష్కారం.సమీకరణాన్ని రూపంలో వ్రాస్దాం y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\ right)\^2}+\frac{y}{x} !}కాబట్టి ఈ సమీకరణం x మరియు y లకు సంబంధించి సజాతీయంగా మారుతుంది. u=\frac(y)(x) , లేదా y=ux పెడతాము. అప్పుడు y"=xu"+u . సమీకరణంలో y మరియు y కోసం వ్యక్తీకరణలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). మేము వేరియబుల్స్ను వేరు చేస్తాము: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). ఇక్కడ నుండి మనం ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా కనుగొంటాము

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), లేదా \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

C_1|x|=\pm(C_1x) , అప్పుడు, \pm(C_1)=C ని సూచిస్తే, మనకు లభిస్తుంది \arcsin(u)=\ln(Cx), ఎక్కడ |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)లేదా e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u స్థానంలో \frac(y)(x) , మేము సాధారణ సమగ్రతను కలిగి ఉన్నాము \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

అందువల్ల సాధారణ పరిష్కారం: y=x\sin\ln(Cx) .

వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేస్తున్నప్పుడు, మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా x\sqrt(1-u^2) ఉత్పత్తి ద్వారా విభజించాము, కాబట్టి మేము పరిష్కారాన్ని కోల్పోవచ్చు, దీని వలన ఈ ఉత్పత్తి అదృశ్యమవుతుంది.

ఇప్పుడు x=0 మరియు \sqrt(1-u^2)=0 సెట్ చేద్దాం. కానీ x\ne0 ప్రత్యామ్నాయం కారణంగా u=\frac(y)(x) , మరియు రిలేషన్ \sqrt(1-u^2)=0 నుండి మనం దానిని పొందుతాము 1-\frac(y^2)(x^2)=0, ఎక్కడ నుండి y=\pm(x) . ప్రత్యక్ష ధృవీకరణ ద్వారా y=-x మరియు y=x ఫంక్షన్‌లు కూడా ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు అని మేము నమ్ముతున్నాము.

ఉదాహరణ 2.సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సమగ్ర వక్రరేఖలు C_\alpha కుటుంబాన్ని పరిగణించండి y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\కుడి). ఈ సజాతీయ అవకలన సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన వక్రరేఖలకు సంబంధిత బిందువుల వద్ద టాంజెంట్‌లు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉన్నాయని చూపండి.

గమనిక:మేము పిలుస్తాము తగినమూలం నుండి వెలువడే అదే కిరణంపై ఉండే C_\alpha వక్రరేఖలపై ఉన్న ఆ పాయింట్లు.

పరిష్కారం.మేము కలిగి ఉన్న సంబంధిత పాయింట్ల నిర్వచనం ప్రకారం \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), కాబట్టి సమీకరణం ద్వారా y"=y"_1, ఇక్కడ y" మరియు y"_1 అనేవి వరుసగా M మరియు M_1 పాయింట్ల వద్ద సమగ్ర వక్రరేఖలు C_\alpha మరియు C_(\alpha_1)కి టాంజెంట్‌ల కోణీయ గుణకాలు. (Fig. 12).

సజాతీయతకు తగ్గించే సమీకరణాలు

ఎ.రూపం యొక్క అవకలన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\కుడి).

ఇక్కడ a,b,c,a_1,b_1,c_1 స్థిరాంకాలు మరియు f(u) అనేది దాని ఆర్గ్యుమెంట్ u యొక్క నిరంతర ఫంక్షన్.

c=c_1=0 అయితే, సమీకరణం (3) సజాతీయంగా ఉంటుంది మరియు ఇది పైన సూచించిన విధంగా ఏకీకృతం చేయబడుతుంది.

c,c_1 సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే, రెండు సందర్భాలను వేరు చేయాలి.

1) డిటర్మినెంట్ \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. x=\xi+h,~y=\eta+k సూత్రాల ప్రకారం కొత్త వేరియబుల్స్ \xi మరియు \etaని పరిచయం చేస్తున్నాము, ఇక్కడ h మరియు k ఇప్పటికీ నిర్ణయించబడని స్థిరాంకాలు, మేము సమీకరణాన్ని (3) ఫారమ్‌కి తగ్గిస్తాము

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\కుడి).

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు h మరియు k లను పరిష్కారంగా ఎంచుకోవడం

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

మేము సజాతీయ సమీకరణాన్ని పొందుతాము \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\కుడి). దాని సాధారణ సమగ్రతను కనుగొని, దానిలో \xiని x-h మరియు \etaని y-kతో భర్తీ చేస్తే, మేము సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రతను పొందుతాము (3).

2) డిటర్మినెంట్ \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. సిస్టమ్ (4) సాధారణ సందర్భంలో పరిష్కారాలు లేవు మరియు పైన వివరించిన పద్ధతి వర్తించదు; ఈ విషయంలో \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, అందువలన సమీకరణం (3) రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\కుడి). ప్రత్యామ్నాయం z=ax+by వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది.

ఉదాహరణ 3.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

పరిష్కారం.సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిగణించండి \begin(కేసులు)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(కేసులు)

ఈ వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణయాధికారి \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

సిస్టమ్ ఒక ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది x_0=-1,~y_0=3. మేము భర్తీ చేస్తాము x=\xi-1,~y=\eta+3 . అప్పుడు సమీకరణం (5) రూపం తీసుకుంటుంది

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

ఈ సమీకరణం సజాతీయ సమీకరణం. సెట్టింగ్ \eta=u\xi , మేము పొందుతాము

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, ఎక్కడ (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

వేరియబుల్స్ వేరు \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

సమగ్రపరచడం, మేము కనుగొంటాము \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)లేదా \xi^2(1+2u-u^2)=C .

x,~y వేరియబుల్స్‌కి తిరిగి వెళ్దాం:

(x+1)^2\left=C_1లేదా x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

ఉదాహరణ 4.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

పరిష్కారం.సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ \begin(కేసులు)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(కేసులు)అననుకూలమైనది. ఈ సందర్భంలో, మునుపటి ఉదాహరణలో ఉపయోగించిన పద్ధతి తగినది కాదు. సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము ప్రత్యామ్నాయం x+y=z, dy=dz-dxని ఉపయోగిస్తాము. సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

వేరియబుల్స్ వేరు, మేము పొందండి

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0అందుకే x-2z-3\ln|z-2|=C.

x,~y వేరియబుల్స్‌కి తిరిగి వస్తే, మేము ఈ సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రతను పొందుతాము

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

బి.కొన్నిసార్లు y=z^\alpha వేరియబుల్‌ని భర్తీ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని సజాతీయంగా మార్చవచ్చు. సమీకరణంలోని అన్ని పదాలు ఒకే పరిమాణంలో ఉన్నప్పుడు, వేరియబుల్ xకి డైమెన్షన్ 1, వేరియబుల్ y - డైమెన్షన్ \alpha మరియు డెరివేటివ్ \frac(dy)(dx) - డైమెన్షన్ \alpha-1ని కేటాయించినట్లయితే ఇది జరుగుతుంది.

ఉదాహరణ 5.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

పరిష్కారం.ప్రత్యామ్నాయం చేయడం y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, ఇక్కడ \alpha అనేది ప్రస్తుతానికి ఏకపక్ష సంఖ్య, దానిని మనం తర్వాత ఎంచుకుంటాము. సమీకరణంలో y మరియు dy కోసం వ్యక్తీకరణలను భర్తీ చేయడం, మేము పొందుతాము

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0లేదా \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

x^2z^(3\alpha-1) పరిమాణం ఉందని గమనించండి 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) పరిమాణం \alpha-1 , xz^(3\alpha) పరిమాణం 1+3\alpha . అన్ని పదాల కొలతలు ఒకేలా ఉంటే ఫలిత సమీకరణం సజాతీయంగా ఉంటుంది, అనగా. షరతు నెరవేరితే 3\alpha+1=\alpha-1, లేదా \alpha-1 .

y=\frac(1)(z) ; అసలు సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\కుడి)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0లేదా (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

ఇప్పుడు పెట్టుకుందాం z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. అప్పుడు ఈ సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, ఎక్కడ u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

ఈ సమీకరణంలో వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయడం \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. సమగ్రపరచడం, మేము కనుగొంటాము

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)లేదా \frac(x(u^2+1))(u)=C.

\frac(1)(xy) ద్వారా యూని రీప్లేస్ చేయడం ద్వారా, మేము ఈ సమీకరణం యొక్క సాధారణ సమగ్రమైన 1+x^2y^2=Cyని పొందుతాము.

సమీకరణం y=0 అనే స్పష్టమైన పరిష్కారాన్ని కూడా కలిగి ఉంటుంది, ఇది C\to\infty వద్ద సాధారణ సమగ్రం నుండి పొందబడుతుంది, ఒకవేళ సమగ్రం రూపంలో వ్రాయబడితే y=\frac(1+x^2y^2)(C), ఆపై C\to\infty వద్ద పరిమితికి వెళ్లండి. అందువలన, ఫంక్షన్ y=0 అసలు సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం.

మీ బ్రౌజర్‌లో జావాస్క్రిప్ట్ నిలిపివేయబడింది.
గణనలను నిర్వహించడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా ActiveX నియంత్రణలను ప్రారంభించాలి!