బ్రాకెట్లను తెరిచినప్పుడు, సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది. విస్తరిస్తున్న బ్రాకెట్లు - నాలెడ్జ్ హైపర్ మార్కెట్

బ్రాకెట్ల ముందు ఉన్న గుర్తును పరిగణనలోకి తీసుకొని బ్రాకెట్లను తెరవగల సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి;

అభివృద్ధి చెందుతున్న:

అభివృద్ధి తార్కిక ఆలోచన, శ్రద్ధ, గణిత ప్రసంగం, విశ్లేషించే సామర్థ్యం, ​​సరిపోల్చడం, సాధారణీకరించడం, తీర్మానాలు చేయడం;

పెంచడం:

బాధ్యత ఏర్పాటు, విషయం లో అభిజ్ఞా ఆసక్తి

తరగతుల సమయంలో

I. సంస్థాగత క్షణం.

దీన్ని తనిఖీ చేయండి మిత్రమా
మీరు తరగతికి సిద్ధంగా ఉన్నారా?
ప్రతిదీ స్థానంలో ఉందా? అంతా బాగానే ఉంది?
పెన్, పుస్తకం మరియు నోట్బుక్.
అందరూ సరిగ్గా కూర్చున్నారా?
అందరూ జాగ్రత్తగా చూస్తున్నారా?

నేను మీ కోసం ఒక ప్రశ్నతో పాఠాన్ని ప్రారంభించాలనుకుంటున్నాను:

భూమిపై అత్యంత విలువైన వస్తువు ఏది అని మీరు అనుకుంటున్నారు? (పిల్లల సమాధానాలు.)

ఈ ప్రశ్న వేల సంవత్సరాలుగా మానవాళిని ఆందోళనకు గురిచేస్తోంది. ప్రఖ్యాత శాస్త్రవేత్త అల్-బిరూని ఇచ్చిన సమాధానం ఇది: “జ్ఞానం అనేది ఆస్తులలో అత్యంత అద్భుతమైనది. ప్రతి ఒక్కరూ దాని కోసం ప్రయత్నిస్తారు, కానీ అది స్వయంగా రాదు.

ఈ పదాలు మన పాఠం యొక్క నినాదంగా మారనివ్వండి.

II. మునుపటి జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల నవీకరణ:

మౌఖిక లెక్కింపు:

1.1 ఈరోజు ఏ తేదీ?

2. సంఖ్య 20 గురించి మీకు ఏమి తెలుసు అని చెప్పండి?

3. కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఈ సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది?

4. వ్యతిరేక సంఖ్యను ఇవ్వండి.

5. వ్యతిరేక సంఖ్యకు పేరు పెట్టండి.

6. సంఖ్య 20 పేరు ఏమిటి?

7. ఏ సంఖ్యలను వ్యతిరేకతలు అంటారు?

8. ఏ సంఖ్యలను ప్రతికూలంగా పిలుస్తారు?

9. కంటే మాడ్యులస్ సమానంగా ఉంటుందిసంఖ్య 20? - 20?

10. వ్యతిరేక సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

2. కింది ఎంట్రీలను వివరించండి:

ఎ) తెలివైన పురాతన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఆర్కిమెడిస్ 0 287లో జన్మించాడు.

బి) తెలివైన రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లోబాచెవ్స్కీ 1792 లో జన్మించాడు.

ప్రధమ ఒలింపిక్ క్రీడలు 776లో గ్రీస్‌లో జరిగింది.

డి) మొదటి అంతర్జాతీయ ఒలింపిక్ క్రీడలు 1896లో జరిగాయి.

ఇ) XXII ఒలింపిక్ వింటర్ గేమ్స్ 2014లో జరిగాయి.

3. "గణిత రంగులరాట్నం" (అన్ని చర్యలు మౌఖికంగా నిర్వహించబడతాయి) పై ఏ సంఖ్యలు తిరుగుతున్నాయో తెలుసుకోండి.

II. కొత్త జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల ఏర్పాటు.

మీరు ఎలా ప్రదర్శించాలో నేర్చుకున్నారా వివిధ చర్యలుపూర్ణాంకాలతో. తర్వాత ఏం చేస్తాం? మేము ఉదాహరణలు మరియు సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరిస్తాము?

ఈ వ్యక్తీకరణల అర్థాన్ని తెలుసుకుందాం

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

ఉదాహరణ 1లో విధానం ఏమిటి? బ్రాకెట్లలో ఎంత ఉంది? రెండవ ఉదాహరణలో విధానం ఏమిటి? మొదటి చర్య యొక్క ఫలితం? ఈ వ్యక్తీకరణల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

వాస్తవానికి, మొదటి మరియు రెండవ వ్యక్తీకరణల ఫలితాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, అంటే మీరు వాటి మధ్య సమాన చిహ్నాన్ని ఉంచవచ్చు: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

మేము బ్రాకెట్లతో ఏమి చేసాము? (వారు దానిని తగ్గించారు.)

ఈరోజు క్లాస్‌లో ఏం చేస్తాం అనుకుంటున్నారా? (పిల్లలు పాఠం యొక్క అంశాన్ని రూపొందిస్తారు.) మా ఉదాహరణలో, బ్రాకెట్ల ముందు ఏ సంకేతం వస్తుంది. (ప్లస్.)

కాబట్టి మేము తదుపరి నియమానికి వస్తాము:

కుండలీకరణాల ముందు ఒక + గుర్తు ఉన్నట్లయితే, మీరు కుండలీకరణాల్లోని నిబంధనల చిహ్నాలను సంరక్షిస్తూ కుండలీకరణాలను మరియు ఈ + గుర్తును వదిలివేయవచ్చు. బ్రాకెట్లలో మొదటి పదం గుర్తు లేకుండా వ్రాసినట్లయితే, అది తప్పనిసరిగా + గుర్తుతో వ్రాయాలి.

అయితే బ్రాకెట్ల ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంటే?

ఈ సందర్భంలో, మీరు తీసివేసేటప్పుడు అదే విధంగా తర్కించవలసి ఉంటుంది: మీరు తీసివేసిన దానికి వ్యతిరేక సంఖ్యను జోడించాలి:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

– కాబట్టి, కుండలీకరణాల ముందు మైనస్ గుర్తు ఉన్నప్పుడు మేము వాటిని తెరిచాము.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమం ఏమిటంటే, కుండలీకరణాల ముందు “-“ గుర్తు ఉంటుంది.

a - గుర్తుకు ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను తెరవడానికి, మీరు ఈ చిహ్నాన్ని + తో భర్తీ చేయాలి, కుండలీకరణాల్లోని అన్ని పదాల చిహ్నాలను వ్యతిరేకానికి మార్చాలి, ఆపై కుండలీకరణాలను తెరవండి.

కవిత్వంలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలను విందాం:

కుండలీకరణానికి ముందు ప్లస్ ఉంది.
అని మాట్లాడుతున్నాడు
మీరు కుండలీకరణాలను ఎందుకు విస్మరించారు?
అన్ని సంకేతాలను వదిలేయండి!
కుండలీకరణానికి ముందు మైనస్ కఠినంగా ఉంటుంది
మన దారిని అడ్డుకుంటుంది
బ్రాకెట్లను తొలగించడానికి
మనం సంకేతాలను మార్చాలి!

అవును, అబ్బాయిలు, మైనస్ సంకేతం చాలా కృత్రిమమైనది, ఇది గేట్ (బ్రాకెట్లు) వద్ద ఉన్న "వాచ్‌మ్యాన్", వారు తమ "పాస్‌పోర్ట్‌లను" మార్చినప్పుడు మాత్రమే సంఖ్యలు మరియు వేరియబుల్‌లను విడుదల చేస్తారు, అంటే వారి సంకేతాలు.

మీరు కుండలీకరణాలను ఎందుకు తెరవాలి? (కుండలీకరణాలు ఉన్నప్పుడు, అసంపూర్ణత యొక్క కొంత మూలకం, ఒక రకమైన రహస్యం ఉంటుంది. ఇది ఒక మూసివున్న తలుపు లాంటిది, దాని వెనుక ఆసక్తికరమైన ఏదో ఉంది.) ఈ రోజు మనం ఈ రహస్యాన్ని అన్వేషించాము.

చరిత్రలోకి ఒక చిన్న విహారం:

వియెటా (1593) రచనలలో కర్లీ జంట కలుపులు కనిపిస్తాయి. బ్రాకెట్లు 18వ శతాబ్దపు మొదటి అర్ధభాగంలో మాత్రమే విస్తృతంగా ఉపయోగించబడ్డాయి, లైబ్నిజ్ మరియు ఆయులర్‌కు ధన్యవాదాలు.

శారీరక విద్య నిమిషం.

III. కొత్త జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల ఏకీకరణ.

పాఠ్య పుస్తకం ప్రకారం పని చేయండి:

నం. 1234 (బ్రాకెట్లను తెరవండి) - మౌఖికంగా.

నం. 1236 (బ్రాకెట్లను తెరవండి) - మౌఖికంగా.

నం. 1235 (వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి) - వ్రాతపూర్వకంగా.

నం. 1238 (వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయండి) - జంటగా పని చేయండి.

IV. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.

1. గ్రేడ్‌లు ప్రకటించబడ్డాయి.

2. హోమ్. వ్యాయామం. పేరా 39 నం. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

3. ఈ రోజు మనం ఏమి నేర్చుకున్నాము?

మీరు కొత్తగా ఏమి నేర్చుకున్నారు?

మరియు నేను మీలో ప్రతి ఒక్కరికి శుభాకాంక్షలతో పాఠాన్ని ముగించాలనుకుంటున్నాను:

“గణితం వైపు సామర్థ్యాన్ని ప్రదర్శిస్తారు,
సోమరితనం లేదు, కానీ ప్రతి రోజు అభివృద్ధి.
గుణించండి, విభజించండి, పని చేయండి, ఆలోచించండి,
గణితంతో స్నేహం చేయడం మర్చిపోవద్దు."

సంఖ్యా, సాహిత్యం మరియు వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణలలో చర్యలు నిర్వహించబడే క్రమాన్ని సూచించడానికి కుండలీకరణాలు ఉపయోగించబడతాయి. బ్రాకెట్‌లతో కూడిన వ్యక్తీకరణ నుండి ఒకేలా మారడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది వ్యక్తీకరణకు సమానంకుండలీకరణాలు లేకుండా. ఈ పద్ధతిని బ్రాకెట్లను తెరవడం అంటారు.

కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అంటే వ్యక్తీకరణ నుండి కుండలీకరణాలను తీసివేయడం.

బ్రాకెట్‌లను తెరిచేటప్పుడు రికార్డింగ్ నిర్ణయాల యొక్క విశేషాంశాలకు సంబంధించిన మరో పాయింట్ ప్రత్యేక శ్రద్ధకు అర్హమైనది. మేము బ్రాకెట్‌లతో ప్రారంభ వ్యక్తీకరణను మరియు బ్రాకెట్‌లను తెరిచిన తర్వాత పొందిన ఫలితాన్ని సమానత్వంగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణకు బదులుగా కుండలీకరణాలను విస్తరించిన తర్వాత
3−(5−7) మనకు 3−5+7 అనే వ్యక్తీకరణ వస్తుంది. మనం ఈ రెండు వ్యక్తీకరణలను సమానత్వం 3−(5−7)=3−5+7గా వ్రాయవచ్చు.

మరియు మరొకటి ముఖ్యమైన పాయింట్. గణితంలో, సంజ్ఞామానాలను కుదించడానికి, ఒక వ్యక్తీకరణలో లేదా కుండలీకరణాల్లో ముందుగా కనిపిస్తే ప్లస్ గుర్తును వ్రాయకూడదని ఆచారం. ఉదాహరణకు, మేము రెండు సానుకూల సంఖ్యలను జోడిస్తే, ఉదాహరణకు, ఏడు మరియు మూడు, అప్పుడు మేము +7+3 కాదు, కేవలం 7+3 అని వ్రాస్తాము, ఏడు కూడా సానుకూల సంఖ్య అయినప్పటికీ. అదేవిధంగా, మీరు చూస్తే, ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ (5+x) - బ్రాకెట్‌కు ముందు ప్లస్ ఉందని, అది వ్రాయబడలేదని మరియు ఐదు కంటే ముందు ప్లస్ +(+5+x) ఉందని తెలుసుకోండి.

అదనంగా సమయంలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమం

బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు, బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉన్నట్లయితే, ఈ ప్లస్ బ్రాకెట్లతో పాటు తొలగించబడుతుంది.

ఉదాహరణ. 2 + (7 + 3) ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో బ్రాకెట్‌లను తెరవండి, బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ ఉంది, అంటే బ్రాకెట్‌లలోని సంఖ్యల ముందు ఉన్న సంకేతాలను మనం మార్చలేము.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

తీసివేసేటప్పుడు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమం

బ్రాకెట్‌లకు ముందు మైనస్ ఉంటే, బ్రాకెట్‌లతో పాటు ఈ మైనస్ విస్మరించబడుతుంది, అయితే బ్రాకెట్‌లలో ఉన్న నిబంధనలు వాటి గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుస్తాయి. కుండలీకరణాల్లో మొదటి పదానికి ముందు గుర్తు లేకపోవడం + గుర్తును సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ. వ్యక్తీకరణ 2 - (7 + 3) లో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి

బ్రాకెట్ల ముందు మైనస్ ఉంది, అంటే మీరు బ్రాకెట్లలోని సంఖ్యల ముందు సంకేతాలను మార్చాలి. కుండలీకరణాల్లో సంఖ్య 7 ముందు గుర్తు లేదు, దీని అర్థం ఏడు సానుకూలంగా ఉంటుంది, దాని ముందు + గుర్తు ఉన్నట్లు పరిగణించబడుతుంది.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

బ్రాకెట్‌లను తెరిచేటప్పుడు, బ్రాకెట్‌ల ముందు ఉన్న మైనస్‌ను మరియు బ్రాకెట్‌లు 2 - (+ 7 + 3) ను ఉదాహరణ నుండి తీసివేస్తాము మరియు బ్రాకెట్‌లలో ఉన్న సంకేతాలను వ్యతిరేక వాటికి మారుస్తాము.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

గుణించేటప్పుడు కుండలీకరణాలను విస్తరించడం

బ్రాకెట్ల ముందు గుణకార చిహ్నం ఉంటే, బ్రాకెట్లలోని ప్రతి సంఖ్య బ్రాకెట్ల ముందు ఉన్న కారకంతో గుణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, మైనస్‌ను మైనస్‌తో గుణించడం ప్లస్‌ను ఇస్తుంది మరియు మైనస్‌ను ప్లస్‌తో గుణించడం మైనస్‌ను ఇస్తుంది, ప్లస్‌ను మైనస్‌తో గుణించడం మైనస్‌ను ఇస్తుంది.

అందువలన, ఉత్పత్తులలోని కుండలీకరణాలు గుణకారం యొక్క పంపిణీ ఆస్తికి అనుగుణంగా విస్తరించబడతాయి.

ఉదాహరణ. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

మీరు బ్రాకెట్‌ను బ్రాకెట్‌తో గుణించినప్పుడు, మొదటి బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదం రెండవ బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదంతో గుణించబడుతుంది.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

వాస్తవానికి, అన్ని నియమాలను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు, ఒక్కటి మాత్రమే గుర్తుంచుకోవడానికి సరిపోతుంది, ఇది: c(a−b)=ca−cb. ఎందుకు? ఎందుకంటే మీరు c బదులుగా ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు నియమం (a−b)=a−b పొందుతారు. మరియు మనం మైనస్ ఒకటిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు −(a−b)=-a+b అనే నియమం వస్తుంది. సరే, మీరు సికి బదులుగా మరొక బ్రాకెట్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు చివరి నియమాన్ని పొందవచ్చు.

విభజించేటప్పుడు కుండలీకరణాలను తెరవడం

బ్రాకెట్ల తర్వాత విభజన గుర్తు ఉంటే, బ్రాకెట్లలోని ప్రతి సంఖ్య బ్రాకెట్ల తర్వాత భాగహారంతో భాగించబడుతుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

సమూహ కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలి

ఒక వ్యక్తీకరణ సమూహ కుండలీకరణాలను కలిగి ఉంటే, అవి బయటి లేదా లోపలి వాటితో ప్రారంభించి క్రమంలో విస్తరించబడతాయి.

ఈ సందర్భంలో, బ్రాకెట్లలో ఒకదాన్ని తెరిచేటప్పుడు, మిగిలిన బ్రాకెట్లను తాకవద్దు, వాటిని తిరిగి వ్రాయడం చాలా ముఖ్యం.

ఉదాహరణ. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

ఈ ఆర్టికల్లో మేము అటువంటి ప్రాథమిక నియమాలను వివరంగా పరిశీలిస్తాము ముఖ్యమైన అంశంకుండలీకరణాలను తెరవడం వంటి గణిత కోర్సు. మీరు ఉపయోగించిన సమీకరణాలను సరిగ్గా పరిష్కరించడానికి కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలను తెలుసుకోవాలి.

జోడించేటప్పుడు కుండలీకరణాలను సరిగ్గా ఎలా తెరవాలి

"+" గుర్తుకు ముందు ఉన్న బ్రాకెట్లను విస్తరించండి

ఇది చాలా సరళమైన సందర్భం, ఎందుకంటే బ్రాకెట్ల ముందు అదనపు గుర్తు ఉంటే, బ్రాకెట్లను తెరిచినప్పుడు వాటి లోపల సంకేతాలు మారవు. ఉదాహరణ:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

"-" గుర్తుకు ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలి

IN ఈ విషయంలోమీరు బ్రాకెట్లు లేకుండా అన్ని నిబంధనలను తిరిగి వ్రాయాలి, కానీ అదే సమయంలో వాటిలోని అన్ని సంకేతాలను వ్యతిరేక వాటికి మార్చండి. "-" గుర్తుతో ముందు ఉన్న బ్రాకెట్‌ల నుండి నిబంధనలకు మాత్రమే సంకేతాలు మారుతాయి. ఉదాహరణ:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

గుణించేటప్పుడు కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలి

బ్రాకెట్ల ముందు గుణకం సంఖ్య ఉంటుంది

ఈ సందర్భంలో, మీరు ప్రతి పదాన్ని ఒక కారకం ద్వారా గుణించాలి మరియు సంకేతాలను మార్చకుండా బ్రాకెట్లను తెరవాలి. గుణకంలో “-” గుర్తు ఉంటే, గుణకారం సమయంలో నిబంధనల సంకేతాలు తిరగబడతాయి. ఉదాహరణ:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

వాటి మధ్య గుణకారం గుర్తుతో రెండు కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలి

ఈ సందర్భంలో, మీరు ప్రతి పదాన్ని మొదటి బ్రాకెట్‌ల నుండి ప్రతి పదంతో రెండవ బ్రాకెట్‌ల నుండి గుణించి, ఆపై ఫలితాలను జోడించాలి. ఉదాహరణ:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

చతురస్రంలో కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలి

రెండు పదాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం స్క్వేర్ చేయబడితే, కింది ఫార్ములా ప్రకారం బ్రాకెట్లను తెరవాలి:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

బ్రాకెట్ల లోపల మైనస్ విషయంలో, ఫార్ములా మారదు. ఉదాహరణ:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

కుండలీకరణాలను మరొక స్థాయికి ఎలా విస్తరించాలి

నిబంధనల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసాన్ని పెంచినట్లయితే, ఉదాహరణకు, 3వ లేదా 4వ శక్తికి, అప్పుడు మీరు బ్రాకెట్ యొక్క శక్తిని “చతురస్రాలు”గా విభజించాలి. సారూప్య కారకాల యొక్క అధికారాలు జోడించబడతాయి మరియు విభజించేటప్పుడు, డివిడెండ్ యొక్క శక్తి నుండి డివైజర్ యొక్క శక్తి తీసివేయబడుతుంది. ఉదాహరణ:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 బ్రాకెట్లను ఎలా తెరవాలి

3 బ్రాకెట్లను ఒకేసారి గుణించే సమీకరణాలు ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో, మీరు మొదట మొదటి రెండు బ్రాకెట్ల నిబంధనలను గుణించాలి, ఆపై ఈ గుణకారం మొత్తాన్ని మూడవ బ్రాకెట్ నిబంధనలతో గుణించాలి. ఉదాహరణ:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి ఈ నియమాలు సరళ మరియు త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సమానంగా వర్తిస్తాయి.

క్రీస్తుపూర్వం ఐదవ శతాబ్దంలో, పురాతన గ్రీకు తత్వవేత్త జెనో ఆఫ్ ఎలియా తన ప్రసిద్ధ అపోరియాలను రూపొందించాడు, వీటిలో అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది "అకిలెస్ మరియు టార్టాయిస్" అపోరియా. ఇది ఎలా అనిపిస్తుందో ఇక్కడ ఉంది:

అకిలెస్ తాబేలు కంటే పదిరెట్లు వేగంగా పరిగెడుతుంది మరియు దాని వెనుక వెయ్యి అడుగులు ఉన్నాడనుకుందాం. ఈ దూరం పరుగెత్తడానికి అకిలెస్ పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. అకిలెస్ వంద అడుగులు పరిగెత్తినప్పుడు, తాబేలు మరో పది అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ప్రక్రియ అనంతంగా కొనసాగుతుంది, అకిలెస్ తాబేలును ఎప్పటికీ పట్టుకోడు.

ఈ తార్కికం అన్ని తరువాతి తరాలకు తార్కిక షాక్‌గా మారింది. అరిస్టాటిల్, డయోజినెస్, కాంట్, హెగెల్, హిల్బర్ట్... వీళ్లంతా ఏదో ఒక విధంగా జెనో అపోరియాగా భావించారు. షాక్ చాలా బలంగా ఉంది " ... వైరుధ్యాల సారాంశం గురించి ఉమ్మడి అభిప్రాయాన్ని చేరుకోవడానికి చర్చలు నేటికీ కొనసాగుతున్నాయి శాస్త్రీయ సంఘంఇప్పటివరకు అది సాధ్యం కాలేదు... మేము సమస్య అధ్యయనంలో పాల్గొన్నాము గణిత విశ్లేషణ, సెట్ సిద్ధాంతం, కొత్త భౌతిక మరియు తాత్విక విధానాలు; వాటిలో ఏదీ సమస్యకు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన పరిష్కారం కాదు..."[వికీపీడియా, "జెనోస్ అపోరియా". ప్రతి ఒక్కరూ తాము మోసపోతున్నారని అర్థం చేసుకుంటారు, కానీ మోసం ఏమిటో ఎవరికీ అర్థం కాలేదు.

గణిత శాస్త్ర దృక్కోణం నుండి, జెనో తన అపోరియాలో పరిమాణం నుండి కు మారడాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శించాడు. ఈ పరివర్తన శాశ్వత వాటికి బదులుగా అనువర్తనాన్ని సూచిస్తుంది. నాకు అర్థమైనంత వరకు, గణిత ఉపకరణంకొలత యొక్క వేరియబుల్ యూనిట్ల ఉపయోగం ఇంకా అభివృద్ధి చేయబడలేదు లేదా Zeno యొక్క అపోరియాకు వర్తించబడలేదు. మన సాధారణ తర్కాన్ని వర్తింపజేయడం మనల్ని ఉచ్చులోకి నెట్టివేస్తుంది. మేము, ఆలోచన యొక్క జడత్వం కారణంగా, పరస్పర విలువకు సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లను వర్తింపజేస్తాము. తో భౌతిక పాయింట్దృక్కోణంలో, అకిలెస్ తాబేలుతో పట్టుకున్న సమయంలో పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు సమయం మందగించినట్లు కనిపిస్తోంది. సమయం ఆగిపోతే, అకిలెస్ ఇకపై తాబేలును అధిగమించలేరు.

మేము మా సాధారణ తర్కాన్ని మలుపు తిప్పినట్లయితే, ప్రతిదీ సరిగ్గా జరుగుతుంది. అకిలెస్ తో నడుస్తుంది స్థిరమైన వేగం. అతని మార్గంలోని ప్రతి తదుపరి విభాగం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, దానిని అధిగమించడానికి గడిపిన సమయం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువ. ఈ పరిస్థితిలో మనం "అనంతం" అనే భావనను వర్తింపజేస్తే, "అకిలెస్ తాబేలును అనంతంగా త్వరగా పట్టుకుంటాడు" అని చెప్పడం సరైనది.

ఈ తార్కిక ఉచ్చును ఎలా నివారించాలి? ఉండడానికి స్థిరమైన యూనిట్లుసమయం యొక్క కొలతలు మరియు పరస్పర పరిమాణాలకు వెళ్లవద్దు. జెనో భాషలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

అకిలెస్ వేయి అడుగులు పరిగెత్తడానికి పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. తదుపరి సమయం విరామం కోసం, మొదటిదానికి సమానం, అకిలెస్ మరో వెయ్యి మెట్లు పరుగెత్తుతుంది, తాబేలు వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు అకిలెస్ తాబేలు కంటే ఎనిమిది వందల అడుగులు ముందున్నాడు.

ఈ విధానం ఎటువంటి తార్కిక వైరుధ్యాలు లేకుండా వాస్తవికతను తగినంతగా వివరిస్తుంది. కానీ అది కాదు పూర్తి పరిష్కారంసమస్యలు. కాంతి వేగం యొక్క ఇర్రెసిస్టిబిలిటీ గురించి ఐన్స్టీన్ యొక్క ప్రకటన జెనో యొక్క అపోరియా "అకిలెస్ అండ్ ది టార్టాయిస్" కు చాలా పోలి ఉంటుంది. మనం ఇంకా ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేయాలి, పునరాలోచించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. మరియు పరిష్కారం అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో కాదు, కానీ కొలత యూనిట్లలో వెతకాలి.

జెనో యొక్క మరొక ఆసక్తికరమైన అపోరియా ఎగిరే బాణం గురించి చెబుతుంది:

ఎగిరే బాణం కదలకుండా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ప్రతి క్షణం అది విశ్రాంతిగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి క్షణం విశ్రాంతిగా ఉంటుంది కాబట్టి, అది ఎల్లప్పుడూ విశ్రాంతిగా ఉంటుంది.

ఈ అపోరియాలో, తార్కిక పారడాక్స్ చాలా సరళంగా అధిగమించబడుతుంది - ప్రతి క్షణంలో ఎగిరే బాణం అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద విశ్రాంతిగా ఉందని స్పష్టం చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది వాస్తవానికి కదలిక. ఇక్కడ మరో విషయం గమనించాలి. రహదారిపై ఉన్న కారు యొక్క ఒక ఛాయాచిత్రం నుండి దాని కదలిక యొక్క వాస్తవాన్ని లేదా దానికి దూరాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం. కారు కదులుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీకు ఒకే పాయింట్ నుండి తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం విభిన్న క్షణాలుసమయం, కానీ వాటి నుండి దూరం నిర్ణయించబడదు. కారుకు దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం వివిధ పాయింట్లుఒక సమయంలో స్థలం, కానీ వాటి నుండి కదలిక వాస్తవాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం (సహజంగా, గణనల కోసం అదనపు డేటా ఇంకా అవసరం, త్రికోణమితి మీకు సహాయం చేస్తుంది). నేను ఏమి ఎత్తి చూపాలనుకుంటున్నాను ప్రత్యేక శ్రద్ధ, సమయం లో రెండు పాయింట్లు మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు వేర్వేరు విషయాలు, అవి గందరగోళానికి గురికాకూడదు, ఎందుకంటే అవి పరిశోధన కోసం విభిన్న అవకాశాలను అందిస్తాయి.

బుధవారం, జూలై 4, 2018

సెట్ మరియు మల్టీసెట్ మధ్య తేడాలు వికీపీడియాలో బాగా వివరించబడ్డాయి. చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, “సమితిలో రెండు సారూప్య మూలకాలు ఉండకూడదు,” కానీ ఒక సెట్‌లో ఒకేలా మూలకాలు ఉంటే, అటువంటి సమితిని “మల్టీసెట్” అంటారు. ఇలాంటి అసంబద్ధ తర్కాన్ని సహేతుకమైన జీవులు ఎప్పటికీ అర్థం చేసుకోలేరు. ఇది స్థాయి మాట్లాడే చిలుకలుమరియు శిక్షణ పొందిన కోతులు, "పూర్తిగా" అనే పదం నుండి తెలివితేటలు లేవు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు సాధారణ శిక్షకులుగా వ్యవహరిస్తారు, వారి అసంబద్ధమైన ఆలోచనలను మాకు బోధిస్తారు.

ఒకప్పుడు బ్రిడ్జిని టెస్టింగ్ చేస్తున్నప్పుడు బ్రిడ్జిని నిర్మించిన ఇంజనీర్లు బ్రిడ్జి కింద బోటులో ఉన్నారు. వంతెన కూలిపోతే, సాధారణ ఇంజనీర్ తన సృష్టి యొక్క శిథిలాల కింద మరణించాడు. వంతెన భారాన్ని తట్టుకోగలిగితే, ప్రతిభావంతులైన ఇంజనీర్ ఇతర వంతెనలను నిర్మించారు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు “స్క్రూ మి, ఐ యామ్ ఇన్ హౌస్” లేదా “గణిత అధ్యయనాల వెనుక ఎలా దాచినా నైరూప్య భావనలు", వాటిని వాస్తవికతతో విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించే బొడ్డు తాడు ఒకటి ఉంది. ఈ బొడ్డు తాడు డబ్బు. వర్తించు గణిత సిద్ధాంతంగణిత శాస్త్రజ్ఞులకే సెట్ చేస్తుంది.

గణితం బాగా చదివి ఇప్పుడు జీతాలు ఇస్తూ క్యాష్ రిజిస్టర్ దగ్గర కూర్చున్నాం. కాబట్టి ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు తన డబ్బు కోసం మన దగ్గరకు వస్తాడు. మేము అతనికి మొత్తం మొత్తాన్ని లెక్కించి, మా టేబుల్‌పై వేర్వేరు పైల్స్‌లో వేస్తాము, అందులో మేము అదే విలువ కలిగిన బిల్లులను ఉంచాము. అప్పుడు మేము ప్రతి స్టాక్ నుండి ఒక బిల్లు తీసుకొని గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి అందజేస్తాము" గణిత సమితిజీతాలు." ఒకేలా మూలకాలు లేని సమితి ఒకే మూలకాలతో కూడిన సెట్‌తో సమానం కాదని అతను నిరూపించినప్పుడు మాత్రమే అతను మిగిలిన బిల్లులను స్వీకరిస్తాడని మేము గణితశాస్త్రానికి వివరిస్తాము. ఇక్కడే సరదా ప్రారంభమవుతుంది.

అన్నింటిలో మొదటిది, సహాయకుల తర్కం పని చేస్తుంది: "ఇది ఇతరులకు వర్తించవచ్చు, కానీ నాకు కాదు!" అప్పుడు వారు ఒకే డినామినేషన్‌కు చెందిన బిల్లులు వేర్వేరు బిల్లు నంబర్‌లను కలిగి ఉన్నాయని, అంటే వాటిని ఒకే మూలకాలుగా పరిగణించలేమని వారు మాకు భరోసా ఇవ్వడం ప్రారంభిస్తారు. సరే, జీతాలను నాణేలలో లెక్కిద్దాం - నాణేలపై సంఖ్యలు లేవు. ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భౌతిక శాస్త్రాన్ని పిచ్చిగా గుర్తుంచుకోవడం ప్రారంభిస్తాడు: వివిధ నాణేలపై ఉంది వివిధ పరిమాణాలుమట్టి, క్రిస్టల్ నిర్మాణంమరియు ప్రతి నాణెంలోని పరమాణువుల అమరిక ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది...

మరియు ఇప్పుడు నాకు చాలా ఉన్నాయి ఆసక్తి అడగండి: మల్టీసెట్ యొక్క మూలకాలు సమితి యొక్క మూలకాలుగా మరియు వైస్ వెర్సాగా మారే లైన్ ఎక్కడ ఉంది? అటువంటి లైన్ ఉనికిలో లేదు - ప్రతిదీ షమన్లచే నిర్ణయించబడుతుంది, సైన్స్ ఇక్కడ అబద్ధం చెప్పడానికి కూడా దగ్గరగా లేదు.

ఇక్కడ చూడండి. మేము అదే మైదాన ప్రాంతంతో ఫుట్‌బాల్ స్టేడియాలను ఎంచుకుంటాము. ఫీల్డ్‌ల ప్రాంతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి - అంటే మనకు మల్టీసెట్ ఉంది. కానీ ఇవే స్టేడియాల పేర్లను పరిశీలిస్తే, పేర్లు భిన్నంగా ఉన్నందున, మనకు చాలా లభిస్తాయి. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒకే మూలకాల సమితి ఒక సెట్ మరియు మల్టీసెట్ రెండూ. ఏది సరైనది? మరియు ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు-షమన్-షార్పిస్ట్ తన స్లీవ్ నుండి ట్రంప్‌ల ఏస్‌ను బయటకు తీస్తాడు మరియు ఒక సెట్ లేదా మల్టీసెట్ గురించి మాకు చెప్పడం ప్రారంభిస్తాడు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, అతను సరైనది అని మనల్ని ఒప్పిస్తాడు.

ఆధునిక షమన్లు ​​సెట్ సిద్ధాంతంతో ఎలా పనిచేస్తారో అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని వాస్తవికతతో ముడిపెట్టి, ఒక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తే సరిపోతుంది: ఒక సెట్ యొక్క మూలకాలు మరొక సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? "ఒకే మొత్తంగా ఊహించదగినది కాదు" లేదా "ఒకే మొత్తంగా ఊహించలేనిది" లేకుండా నేను మీకు చూపిస్తాను.

ఆదివారం, మార్చి 18, 2018

సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం టాంబురైన్‌తో షమన్ల నృత్యం, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు. అవును, గణిత పాఠాలలో, ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొని దానిని ఉపయోగించమని మనకు బోధిస్తారు, కానీ అందుకే వారు షమన్లు, వారి వారసులకు వారి నైపుణ్యాలు మరియు జ్ఞానం నేర్పడానికి, లేకుంటే షమన్లు ​​చనిపోతారు.

మీకు రుజువు కావాలా? వికీపీడియాను తెరిచి, "సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం" పేజీని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఆమె ఉనికిలో లేదు. ఏదైనా సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి గణితంలో సూత్రం లేదు. అన్ని తరువాత, సంఖ్యలు గ్రాఫిక్ చిహ్నాలు, మేము సంఖ్యలను వ్రాసే సహాయంతో మరియు గణిత శాస్త్ర భాషలో పని ఇలా ఉంటుంది: "ఏదైనా సంఖ్యను సూచించే గ్రాఫిక్ చిహ్నాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి." గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ సమస్యను పరిష్కరించలేరు, కానీ షామన్లు ​​దీన్ని సులభంగా చేయగలరు.

సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి మనం ఏమి మరియు ఎలా చేయాలో గుర్తించండి ఇచ్చిన సంఖ్య. కాబట్టి, మనము 12345 సంఖ్యను కలిగి ఉన్నాము. ఈ సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఏమి చేయాలి? క్రమంలో అన్ని దశలను పరిశీలిద్దాం.

1. ఒక కాగితంపై సంఖ్యను వ్రాయండి. ఏం చేశాం? మేము సంఖ్యను గ్రాఫికల్ సంఖ్య చిహ్నంగా మార్చాము. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

2. మేము ఒక ఫలిత చిత్రాన్ని వ్యక్తిగత సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న అనేక చిత్రాలలో కట్ చేస్తాము. చిత్రాన్ని కత్తిరించడం గణిత ప్రక్రియ కాదు.

3. వ్యక్తిగత గ్రాఫిక్ చిహ్నాలను సంఖ్యలుగా మార్చండి. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

4. ఫలిత సంఖ్యలను జోడించండి. ఇప్పుడు ఇది గణితం.

12345 సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 15. ఇవి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉపయోగించే షమన్లు ​​బోధించే "కటింగ్ మరియు కుట్టు కోర్సులు". అయితే అదంతా కాదు.

గణిత కోణం నుండి, మనం ఏ సంఖ్య వ్యవస్థలో సంఖ్యను వ్రాస్తామో అది పట్టింపు లేదు. కాబట్టి, లో వివిధ వ్యవస్థలుకాలిక్యులస్‌లో, ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. గణితంలో, సంఖ్య వ్యవస్థ సంఖ్యకు కుడివైపున సబ్‌స్క్రిప్ట్‌గా సూచించబడుతుంది. తో పెద్ద సంఖ్యలో 12345 నేను నా తలని మోసం చేయకూడదనుకుంటున్నాను, గురించి కథనం నుండి 26 సంఖ్యను చూద్దాం. ఈ సంఖ్యను బైనరీ, ఆక్టల్, డెసిమల్ మరియు హెక్సాడెసిమల్ నంబర్ సిస్టమ్‌లలో వ్రాద్దాం. మేము మైక్రోస్కోప్ క్రింద ప్రతి అడుగును చూడము; ఫలితాన్ని చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వేర్వేరు సంఖ్య వ్యవస్థలలో ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ ఫలితానికి గణితానికి సంబంధం లేదు. మీరు ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని మీటర్లు మరియు సెంటీమీటర్లలో నిర్ణయించినట్లయితే, మీరు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితాలను పొందుతారు.

సున్నా అన్ని నంబర్ సిస్టమ్‌లలో ఒకేలా కనిపిస్తుంది మరియు అంకెల మొత్తం ఉండదు. ఈ వాస్తవం అనుకూలంగా మరొక వాదన. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రశ్న: గణితంలో సంఖ్య కానిది ఎలా సూచించబడుతుంది? ఏమిటి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు సంఖ్యలు తప్ప మరేమీ లేదు? నేను దీనిని షమన్ల కోసం అనుమతించగలను, కానీ శాస్త్రవేత్తల కోసం కాదు. వాస్తవికత కేవలం సంఖ్యలకు సంబంధించినది కాదు.

పొందిన ఫలితం సంఖ్య వ్యవస్థలు సంఖ్యల కొలత యూనిట్లు అని రుజువుగా పరిగణించాలి. అన్నింటికంటే, మేము సంఖ్యలను పోల్చలేము వివిధ యూనిట్లుకొలతలు. ఒకే పరిమాణంలోని వివిధ యూనిట్ల కొలతలతో ఒకే చర్యలు వాటిని పోల్చిన తర్వాత వేర్వేరు ఫలితాలకు దారితీస్తే, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు.

అసలు గణితం అంటే ఏమిటి? ఇది ఎప్పుడు ఫలితం గణిత ఆపరేషన్సంఖ్య పరిమాణం, ఉపయోగించిన కొలత యూనిట్ మరియు చర్య ఎవరు చేస్తారు అనే దానిపై ఆధారపడి ఉండదు.

తలుపు మీద సంతకం చేయండి అతను తలుపు తెరిచి ఇలా అంటాడు:

ఓ! ఇది మహిళల విశ్రాంతి గది కాదా?
- యువతి! ఆత్మలు స్వర్గానికి ఆరోహణ సమయంలో వారి పవిత్రత గురించి అధ్యయనం చేయడానికి ఇది ఒక ప్రయోగశాల! పైన హాలో మరియు పైకి బాణం. ఏ ఇతర టాయిలెట్?

స్త్రీ... పైన ఉన్న హాలో మరియు క్రింది బాణం మగ.

అలాంటి డిజైన్ ఆర్ట్ పని రోజుకు చాలాసార్లు మీ కళ్ళ ముందు మెరుస్తూ ఉంటే,

అప్పుడు మీరు మీ కారులో అకస్మాత్తుగా వింత చిహ్నాన్ని కనుగొనడంలో ఆశ్చర్యం లేదు:

వ్యక్తిగతంగా, నేను పూపింగ్ వ్యక్తిలో మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలు (ఒక చిత్రం) (అనేక చిత్రాల కూర్పు: మైనస్ గుర్తు, సంఖ్య నాలుగు, డిగ్రీల హోదా) చూసే ప్రయత్నం చేస్తాను. మరియు ఈ అమ్మాయి తెలివితక్కువదని నేను అనుకోను, లేదు భౌతిక శాస్త్రంలో పరిజ్ఞానం. ఆమె కేవలం అవగాహన యొక్క ఆర్చ్ స్టీరియోటైప్‌ను కలిగి ఉంది గ్రాఫిక్ చిత్రాలు. మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని మనకు ఎప్పటికప్పుడు బోధిస్తారు. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ.

1A అనేది “మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలు” లేదా “ఒకటి a” కాదు. ఇది హెక్సాడెసిమల్ సంజ్ఞామానంలో "పూపింగ్ మ్యాన్" లేదా "ఇరవై ఆరు" సంఖ్య. ఈ నంబర్ సిస్టమ్‌లో నిరంతరం పనిచేసే వ్యక్తులు స్వయంచాలకంగా ఒక సంఖ్య మరియు అక్షరాన్ని ఒక గ్రాఫిక్ చిహ్నంగా గ్రహిస్తారు.

ఇప్పుడు మనం కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ సంఖ్య లేదా వ్యక్తీకరణతో గుణించబడే వ్యక్తీకరణలలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి వెళ్తాము. మైనస్ గుర్తుతో ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను తెరవడానికి ఒక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం: మైనస్ గుర్తుతో పాటు కుండలీకరణాలు విస్మరించబడ్డాయి మరియు కుండలీకరణాల్లోని అన్ని పదాల సంకేతాలు వాటి వ్యతిరేకతలతో భర్తీ చేయబడతాయి.

ఒక రకమైన వ్యక్తీకరణ రూపాంతరం కుండలీకరణాల విస్తరణ. సంఖ్యా, సాహిత్య వ్యక్తీకరణలుమరియు వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణలను కుండలీకరణాలను ఉపయోగించి కంపోజ్ చేయవచ్చు, ఇది చర్యలు నిర్వహించబడే క్రమాన్ని సూచిస్తుంది, ప్రతికూల సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, మొదలైనవి. పైన వివరించిన వ్యక్తీకరణలలో, సంఖ్యలు మరియు వేరియబుల్‌లకు బదులుగా, ఏవైనా వ్యక్తీకరణలు ఉండవచ్చని అనుకుందాం.

మరియు బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు పరిష్కారాన్ని వ్రాయడం యొక్క విశేషాంశాలకు సంబంధించి మరో అంశానికి శ్రద్ధ చూపుదాం. మునుపటి పేరాలో, మేము ఓపెనింగ్ కుండలీకరణాలు అని పిలవబడే దానితో వ్యవహరించాము. దీన్ని చేయడానికి, బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నియమాలు ఉన్నాయి, వీటిని మేము ఇప్పుడు సమీక్షిస్తాము. ఈ నియమం వాస్తవం ద్వారా నిర్దేశించబడింది సానుకూల సంఖ్యలుకుండలీకరణాలు లేకుండా వ్రాయడం ఆచారం, ఈ సందర్భంలో కుండలీకరణాలు అనవసరం. (−3.7)−(-2)+4+(-9) అనే వ్యక్తీకరణను కుండలీకరణాలు లేకుండా −3.7+2+4−9గా వ్రాయవచ్చు.

చివరగా, నియమం యొక్క మూడవ భాగం కేవలం వ్యక్తీకరణలో ఎడమవైపు ప్రతికూల సంఖ్యలను వ్రాయడం యొక్క విశేషాంశాల కారణంగా ఉంటుంది (ప్రతికూల సంఖ్యలను వ్రాయడానికి బ్రాకెట్లలోని విభాగంలో మేము పేర్కొన్నాము). మీరు సంఖ్య, మైనస్ సంకేతాలు మరియు అనేక జతల కుండలీకరణాలతో రూపొందించబడిన వ్యక్తీకరణలను ఎదుర్కోవచ్చు. మీరు బ్రాకెట్లను తెరిస్తే, అంతర్గత నుండి బాహ్యంగా మారడం, అప్పుడు పరిష్కారం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: −(-((-(5))))=-(-((-5)))=-(-(-5)) ))=-( 5)=-5.

కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలి?

ఇక్కడ వివరణ ఉంది: −(-2 x) +2 x, మరియు ఈ వ్యక్తీకరణ మొదట వస్తుంది కాబట్టి, +2 x ను 2 x, -(x2)=-x2, +(-1/ x)=-1 అని వ్రాయవచ్చు /x మరియు −(2 x y2:z)=-2 x y2:z. కుండలీకరణాలను తెరవడానికి వ్రాసిన నియమం యొక్క మొదటి భాగం ప్రతికూల సంఖ్యలను గుణించే నియమం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది. దాని రెండవ భాగం సంఖ్యలను గుణించడం కోసం నియమం యొక్క పరిణామం వివిధ సంకేతాలు. ఉత్పత్తులలో కుండలీకరణాలను తెరవడం మరియు విభిన్న సంకేతాలతో రెండు సంఖ్యల కోటీన్‌ల ఉదాహరణలకు వెళ్దాం.

బ్రాకెట్లను తెరవడం: నియమాలు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు.

పై నియమం ఈ చర్యల యొక్క మొత్తం గొలుసును పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది మరియు బ్రాకెట్లను తెరిచే ప్రక్రియను గణనీయంగా వేగవంతం చేస్తుంది. మొత్తాలు మరియు వ్యత్యాసాలు లేని మైనస్ గుర్తుతో ఉత్పత్తులు మరియు పాక్షిక వ్యక్తీకరణల వ్యక్తీకరణలలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి అదే నియమం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఈ నియమం యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలను చూద్దాం. సంబంధిత నియమాన్ని ఇద్దాం. పైన మేము ఇప్పటికే ఫారమ్ −(a) మరియు −(-a) యొక్క వ్యక్తీకరణలను ఎదుర్కొన్నాము, ఇవి కుండలీకరణాలు లేకుండా వరుసగా −a మరియు a అని వ్రాయబడ్డాయి. ఉదాహరణకు, −(3)=3, మరియు. ఇవి పేర్కొన్న నియమం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలు. ఇప్పుడు కుండలీకరణాలు మొత్తాలు లేదా వ్యత్యాసాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు తెరవడానికి ఉదాహరణలను చూద్దాం. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించే ఉదాహరణలను చూపిద్దాం. వ్యక్తీకరణ (b1+b2)ని bగా సూచిస్తాము, దాని తర్వాత మేము మునుపటి పేరాలోని వ్యక్తీకరణ ద్వారా బ్రాకెట్‌ను గుణించే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము, మనకు (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

ఇండక్షన్ ద్వారా, ఈ స్టేట్‌మెంట్‌ను ప్రతి బ్రాకెట్‌లోని ఏకపక్ష పదాల సంఖ్యకు విస్తరించవచ్చు. నుండి నియమాలను ఉపయోగించి ఫలిత వ్యక్తీకరణలో బ్రాకెట్లను తెరవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది మునుపటి పేరాలు, ఫలితంగా మనకు 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3 వస్తుంది.

బ్రాకెట్ల ముందు (+) మరియు (-) ఉంటే కుండలీకరణాలను తెరవడం గణితంలో నియమం.

ఈ వ్యక్తీకరణ మూడు కారకాల (2+4), 3 మరియు (5+7·8) యొక్క ఉత్పత్తి. మీరు బ్రాకెట్లను వరుసగా తెరవాలి. ఇప్పుడు మనం బ్రాకెట్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం కోసం నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము, మనకు ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) ఉంది. బ్రాకెట్లలో వ్రాయబడిన కొన్ని వ్యక్తీకరణలు కలిగిన డిగ్రీలు రకమైనఅనేక బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తిగా భావించవచ్చు.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ (a+b+c)2 రూపాంతరం చేద్దాం. మొదట, మేము దానిని రెండు బ్రాకెట్ల (a+b+c)·(a+b+c) ఉత్పత్తిగా వ్రాస్తాము, ఇప్పుడు మనం బ్రాకెట్‌ను బ్రాకెట్‌తో గుణిస్తాము, మనకు a·a+a·b+a·c+ వస్తుంది. b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

రెండు సంఖ్యల మొత్తాలను మరియు వ్యత్యాసాలను పెంచడం అని కూడా అనుకుందాం సహజ డిగ్రీన్యూటన్ యొక్క ద్విపద సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం మంచిది. ఉదాహరణకు, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. ముందుగా విభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయడం తక్కువ అనుకూలమైనది కాదు, ఆపై ఉత్పత్తిలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి సంబంధిత నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి బ్రాకెట్లను తెరవడం యొక్క క్రమాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. (−5)+3·(−2):(-4)−6·(−7) అనే వ్యక్తీకరణను తీసుకుందాం. మేము ఈ ఫలితాలను అసలు వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . బ్రాకెట్‌లను తెరవడం పూర్తి చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది, ఫలితంగా మనకు −5+3·2:4+6·7 ఉంటుంది. దీని అర్థం సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడికి కదులుతున్నప్పుడు, కుండలీకరణాలు తెరవడం జరిగింది.

మూడు ఉదాహరణలలో మేము కుండలీకరణాలను తొలగించామని గమనించండి. ముందుగా, 445 నుండి 889కి జోడించండి. ఈ చర్యను మానసికంగా నిర్వహించవచ్చు, కానీ ఇది చాలా సులభం కాదు. బ్రాకెట్లను తెరిచి, మార్చబడిన విధానం గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేస్తుందని చూద్దాం.

కుండలీకరణాలను మరొక స్థాయికి ఎలా విస్తరించాలి

ఉదాహరణ మరియు నియమాన్ని వివరిస్తుంది. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం: . మీరు 2 మరియు 5ని జోడించడం ద్వారా వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనవచ్చు, ఆపై ఫలిత సంఖ్యను వ్యతిరేక గుర్తుతో తీసుకోవచ్చు. బ్రాకెట్లలో రెండు కాదు, మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పదాలు ఉంటే నియమం మారదు. వ్యాఖ్య. నిబంధనల ముందు మాత్రమే సంకేతాలు తిరగబడతాయి. బ్రాకెట్లను తెరవడానికి, ఈ సందర్భంలో మనం పంపిణీ ఆస్తిని గుర్తుంచుకోవాలి.

బ్రాకెట్లలో ఒకే సంఖ్యల కోసం

మీ తప్పు సంకేతాలలో కాదు, భిన్నాలను తప్పుగా నిర్వహించడంలో ఉందా? 6వ తరగతిలో మేము సానుకూలంగా కలుసుకున్నాము మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు. మేము ఉదాహరణలు మరియు సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరిస్తాము?

బ్రాకెట్లలో ఎంత ఉంది? ఈ వ్యక్తీకరణల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు? వాస్తవానికి, మొదటి మరియు రెండవ ఉదాహరణల ఫలితం ఒకే విధంగా ఉంటుంది, అంటే వాటి మధ్య సమానమైన గుర్తును ఉంచవచ్చు: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. మేము కుండలీకరణాలతో ఏమి చేసాము?

బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నియమాలతో స్లయిడ్ 6 యొక్క ప్రదర్శన. అందువల్ల, కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి మరియు వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి మాకు సహాయపడతాయి. తరువాత, విద్యార్థులు జంటగా పని చేయమని అడుగుతారు: బ్రాకెట్‌లను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్‌లు లేకుండా సంబంధిత వ్యక్తీకరణతో కనెక్ట్ చేయడానికి వారు బాణాలను ఉపయోగించాలి.

స్లయిడ్ 11 ఒకసారి సన్నీ సిటీలో, జ్నయ్కా మరియు డున్నో తమలో ఎవరు సమీకరణాన్ని సరిగ్గా పరిష్కరించారనే దాని గురించి వాదించారు. తరువాత, విద్యార్థులు బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నియమాలను ఉపయోగించి వారి స్వంత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తారు. సమీకరణాలను పరిష్కరించడం” పాఠం లక్ష్యాలు: విద్యా (అంశంపై జ్ఞానాన్ని బలోపేతం చేయడం: “బ్రాకెట్లను తెరవడం.

పాఠం అంశం: “ప్రారంభ కుండలీకరణాలు. ఈ సందర్భంలో, మీరు ప్రతి పదాన్ని మొదటి బ్రాకెట్‌ల నుండి ప్రతి పదంతో రెండవ బ్రాకెట్‌ల నుండి గుణించి, ఆపై ఫలితాలను జోడించాలి. మొదట, మొదటి రెండు కారకాలు తీసుకోబడ్డాయి, మరొక బ్రాకెట్‌లో జతచేయబడతాయి మరియు ఈ బ్రాకెట్లలో ఇప్పటికే తెలిసిన నియమాలలో ఒకదాని ప్రకారం కుండలీకరణాలు తెరవబడతాయి.

rawalan.freezeet.ru

బ్రాకెట్లను తెరవడం: నియమాలు మరియు ఉదాహరణలు (గ్రేడ్ 7)

విలువలను లెక్కించేటప్పుడు చర్యల క్రమాన్ని మార్చడం కుండలీకరణాల యొక్క ప్రధాన విధి సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు . ఉదాహరణకి, వి సంఖ్యాపరంగా\(5·3+7\) ముందుగా గుణకారం లెక్కించబడుతుంది, ఆపై అదనంగా: \(5·3+7 =15+7=22\). కానీ వ్యక్తీకరణలో \(5·(3+7)\) బ్రాకెట్‌లలోని జోడింపు ముందుగా లెక్కించబడుతుంది, ఆపై మాత్రమే గుణకారం: \(5·(3+7)=5·10=50\).

అయితే, మేము వ్యవహరిస్తే బీజగణిత వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉంది వేరియబుల్- ఉదాహరణకు, ఇలా: \(2(x-3)\) - అప్పుడు బ్రాకెట్‌లోని విలువను లెక్కించడం అసాధ్యం, వేరియబుల్ మార్గంలో ఉంటుంది. అందువలన, ఈ సందర్భంలో, తగిన నియమాలను ఉపయోగించి బ్రాకెట్లు "తెరవబడతాయి".

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలు

బ్రాకెట్ ముందు ప్లస్ గుర్తు ఉంటే, అప్పుడు బ్రాకెట్ తీసివేయబడుతుంది, దానిలోని వ్యక్తీకరణ మారదు. వేరే పదాల్లో:

ఇక్కడ గణితశాస్త్రంలో, సంజ్ఞామానాలను తగ్గించడానికి, వ్యక్తీకరణలో మొదటగా కనిపిస్తే ప్లస్ గుర్తును వ్రాయకూడదనేది ఆచారం అని స్పష్టం చేయడం అవసరం. ఉదాహరణకు, మేము రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలను జోడిస్తే, ఉదాహరణకు, ఏడు మరియు మూడు, అప్పుడు మేము \(+7+3\) కాదు, కేవలం \(7+3\) అని వ్రాస్తాము, ఏడు కూడా సానుకూల సంఖ్య అయినప్పటికీ . అదేవిధంగా, మీరు చూసినట్లయితే, ఉదాహరణకు, \((5+x)\) - అని తెలుసుకోండి బ్రాకెట్ ముందు ప్లస్ ఉంది, అది వ్రాయబడలేదు.

ఉదాహరణ . బ్రాకెట్ తెరిచి తీసుకురండి సారూప్య నిబంధనలు: \((x-11)+(2+3x)\).
పరిష్కారం : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

బ్రాకెట్ ముందు మైనస్ గుర్తు ఉన్నట్లయితే, బ్రాకెట్ తొలగించబడినప్పుడు, దానిలోని వ్యక్తీకరణ యొక్క ప్రతి పదం చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మారుస్తుంది:

బ్రాకెట్‌లో a ఉన్నప్పుడు, ప్లస్ గుర్తు (వారు ఇప్పుడే వ్రాయలేదు) ఉందని మరియు బ్రాకెట్‌ను తీసివేసిన తర్వాత, ఈ ప్లస్ మైనస్‌గా మార్చబడిందని ఇక్కడ స్పష్టం చేయడం అవసరం.

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి \(2x-(-7+x)\).
పరిష్కారం : బ్రాకెట్ లోపల రెండు పదాలు ఉన్నాయి: \(-7\) మరియు \(x\), మరియు బ్రాకెట్ ముందు మైనస్ ఉంటుంది. దీని అర్థం సంకేతాలు మారుతాయి - మరియు ఏడు ఇప్పుడు ప్లస్ అవుతుంది మరియు x ఇప్పుడు మైనస్ అవుతుంది. బ్రాకెట్ తెరవండి మరియు మేము ఒకే విధమైన నిబంధనలను అందిస్తున్నాము .

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్‌ని తెరిచి, ఒకే విధమైన నిబంధనలను ఇవ్వండి \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
పరిష్కారం : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

బ్రాకెట్ ముందు కారకం ఉంటే, బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి సభ్యుడు దానితో గుణించబడుతుంది, అంటే:

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \(5(3-x)\).
పరిష్కారం : బ్రాకెట్‌లో మనకు \(3\) మరియు \(-x\) ఉన్నాయి మరియు బ్రాకెట్ ముందు ఐదు ఉంటుంది. బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి సభ్యుడు \(5\)తో గుణించబడుతుందని దీని అర్థం - నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను ఎంట్రీల పరిమాణాన్ని తగ్గించడానికి గణితంలో సంఖ్య మరియు కుండలీకరణాల మధ్య గుణకార చిహ్నం వ్రాయబడలేదు.

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \(-2(-3x+5)\).
పరిష్కారం : మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, కుండలీకరణాల్లోని \(-3x\) మరియు \(5\) \(-2\)తో గుణించబడతాయి.

చివరి పరిస్థితిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మిగిలి ఉంది.

బ్రాకెట్‌ను బ్రాకెట్‌తో గుణించినప్పుడు, మొదటి బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదం రెండవ పదం యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించబడుతుంది:

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \((2-x)(3x-1)\).
పరిష్కారం : మేము బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తిని కలిగి ఉన్నాము మరియు పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని వెంటనే విస్తరించవచ్చు. కానీ గందరగోళం చెందకుండా ఉండటానికి, ప్రతిదీ దశలవారీగా చేద్దాం.
దశ 1. మొదటి బ్రాకెట్‌ను తీసివేసి, ప్రతి సభ్యుని రెండవ బ్రాకెట్‌తో గుణించండి:

దశ 2. పైన వివరించిన విధంగా బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తులు మరియు కారకాన్ని విస్తరించండి:
- మొదటి విషయాలు మొదట...

దశ 3. ఇప్పుడు మనం గుణించి, సారూప్య పదాలను ప్రదర్శిస్తాము:

అటువంటి వివరంగా అన్ని పరివర్తనలను వివరించడం అవసరం లేదు, మీరు వాటిని వెంటనే గుణించవచ్చు. కానీ మీరు కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలో నేర్చుకుంటే, వివరంగా వ్రాయండి, తప్పులు చేసే అవకాశం తక్కువగా ఉంటుంది.

మొత్తం విభాగానికి గమనిక.నిజానికి, మీరు అన్ని నాలుగు నియమాలను గుర్తుంచుకోవాల్సిన అవసరం లేదు, మీరు ఒకటి మాత్రమే గుర్తుంచుకోవాలి, ఇది ఒకటి: \(c(a-b)=ca-cb\) . ఎందుకు? ఎందుకంటే మీరు c బదులుగా ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు \((a-b)=a-b\) నియమాన్ని పొందుతారు. మరియు మనం మైనస్ ఒకటిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు \(-(a-b)=-a+b\) నియమం వస్తుంది. సరే, మీరు సికి బదులుగా మరొక బ్రాకెట్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు చివరి నియమాన్ని పొందవచ్చు.

కుండలీకరణం లోపల కుండలీకరణం

కొన్నిసార్లు ఆచరణలో ఇతర బ్రాకెట్లలో గూడు కట్టిన బ్రాకెట్లతో సమస్యలు ఉన్నాయి. అటువంటి పనికి ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది: \(7x+2(5-(3x+y))\) వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి.

విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి ఇలాంటి పనులు, అవసరం:
- బ్రాకెట్ల గూడును జాగ్రత్తగా అర్థం చేసుకోండి - అందులో ఏది ఉంది;
- బ్రాకెట్‌లను వరుసగా తెరవండి, ఉదాహరణకు, లోపలి నుండి ప్రారంభించండి.

బ్రాకెట్లలో ఒకదాన్ని తెరిచేటప్పుడు ఇది ముఖ్యం మిగిలిన వ్యక్తీకరణలను తాకవద్దు, దానిని యథాతథంగా తిరిగి వ్రాయడం.
పైన వ్రాసిన పనిని ఉదాహరణగా చూద్దాం.

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, ఒకే విధమైన నిబంధనలను ఇవ్వండి \(7x+2(5-(3x+y))\).
పరిష్కారం:

లోపలి బ్రాకెట్ (లోపల ఉన్నది) తెరవడం ద్వారా పనిని ప్రారంభిద్దాం. దానిని విస్తరిస్తున్నప్పుడు, మేము దానికి నేరుగా సంబంధించిన వాటితో మాత్రమే వ్యవహరిస్తున్నాము - ఇది బ్రాకెట్ మరియు దాని ముందు ఉన్న మైనస్ (ఆకుపచ్చ రంగులో హైలైట్ చేయబడింది). మేము మిగతావన్నీ (హైలైట్ చేయబడలేదు) అదే విధంగా తిరిగి వ్రాస్తాము.

గణిత సమస్యలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం

ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్.
బహుపదిని సరళీకృతం చేయడం.
బహుపదిలను గుణించడం.

దీన్ని ఉపయోగించడం గణిత కార్యక్రమంమీరు బహుపదిని సులభతరం చేయవచ్చు.
ప్రోగ్రామ్ నడుస్తున్నప్పుడు:
- బహుపదిలను గుణిస్తుంది
- మోనోమియల్‌లను సంగ్రహిస్తుంది (సారూప్యమైన వాటిని ఇస్తుంది)
- కుండలీకరణాలను తెరుస్తుంది
- ఒక శక్తికి బహుపదిని పెంచుతుంది

బహుపది సరళీకరణ కార్యక్రమం సమస్యకు సమాధానాన్ని మాత్రమే ఇవ్వదు, అది ఇస్తుంది వివరణాత్మక పరిష్కారంవివరణలతో, అనగా. పరిష్కార ప్రక్రియను ప్రదర్శిస్తుంది, తద్వారా మీరు గణితం మరియు/లేదా బీజగణితంపై మీ పరిజ్ఞానాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు.

ఈ కార్యక్రమం విద్యార్థులకు ఉపయోగకరంగా ఉండవచ్చు మాధ్యమిక పాఠశాలలుతయారీలో పరీక్షలుమరియు పరీక్షలు, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు ముందు జ్ఞానాన్ని పరీక్షించేటప్పుడు, తల్లిదండ్రులు గణితం మరియు బీజగణితంలో అనేక సమస్యల పరిష్కారాన్ని నియంత్రించడానికి. లేదా మీరు ట్యూటర్‌ని నియమించుకోవడం లేదా కొత్త పాఠ్యపుస్తకాలను కొనుగోలు చేయడం చాలా ఖరీదైనదా? లేదా మీరు వీలైనంత త్వరగా పూర్తి చేయాలనుకుంటున్నారా? ఇంటి పనిగణితంలో లేదా బీజగణితంలో? ఈ సందర్భంలో, మీరు మా ప్రోగ్రామ్‌లను వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

ఈ విధంగా మీరు మీ స్వంత శిక్షణ మరియు/లేదా మీ శిక్షణను నిర్వహించవచ్చు. తమ్ముళ్లులేదా సోదరీమణులు, సమస్యలను పరిష్కరించే రంగంలో విద్య స్థాయి పెరుగుతుంది.

ఎందుకంటే సమస్యను పరిష్కరించడానికి చాలా మంది సిద్ధంగా ఉన్నారు, మీ అభ్యర్థన క్యూలో ఉంచబడింది.
కొన్ని సెకన్లలో పరిష్కారం క్రింద కనిపిస్తుంది.
దయచేసి ఒక్క క్షణం ఆగండి.

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం.

మోనోమియల్ మరియు బహుపది ఉత్పత్తి. బహుపది భావన

బీజగణితంలో పరిగణించబడే వివిధ వ్యక్తీకరణలలో, మోనోమియల్స్ మొత్తాలు ముఖ్యమైన స్థానాన్ని ఆక్రమించాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

మోనోమియల్స్ మొత్తాన్ని బహుపది అంటారు. బహుపదిలోని పదాలను బహుపది పదాలు అంటారు. మోనోమియల్‌లను బహుపదిలుగా కూడా వర్గీకరిస్తారు, ఒక సభ్యునితో కూడిన బహుపదిగా పరిగణించబడుతుంది.

మోనోమియల్స్ రూపంలో అన్ని నిబంధనలను సూచిస్తాం ప్రామాణిక వీక్షణ:

ఫలితంగా వచ్చే బహుపదిలో సారూప్య పదాలను అందిద్దాం:

ఫలితం బహుపది, వీటిలో అన్ని పదాలు ప్రామాణిక రూపం యొక్క మోనోమియల్‌లు మరియు వాటిలో సారూప్యమైనవి ఏవీ లేవు. ఇటువంటి బహుపదాలను అంటారు ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదాలు.

వెనుక బహుపది యొక్క డిగ్రీఒక ప్రామాణిక రూపం దాని సభ్యుల అధికారాలను అత్యధికంగా తీసుకుంటుంది. ఈ విధంగా, ద్విపదకు మూడవ డిగ్రీ ఉంటుంది మరియు ట్రినోమియల్‌కు రెండవది ఉంటుంది.

సాధారణంగా, ఒక వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉండే ప్రామాణిక ఫారమ్ బహుపది పదాలు ఘాతాంకముల అవరోహణ క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి. ఉదాహరణకి:

అనేక బహుపదిల మొత్తాన్ని ప్రామాణిక రూపంలోని బహుపదిగా మార్చవచ్చు (సరళీకరించబడింది).

కొన్నిసార్లు బహుపది యొక్క నిబంధనలను సమూహాలుగా విభజించడం అవసరం, ప్రతి సమూహాన్ని కుండలీకరణాల్లో చేర్చడం. కుండలీకరణాలను మూసివేయడం అనేది ఓపెనింగ్ కుండలీకరణాల యొక్క విలోమ పరివర్తన కాబట్టి, సూత్రీకరించడం సులభం బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నియమాలు:

బ్రాకెట్ల ముందు “+” గుర్తు ఉంచబడితే, బ్రాకెట్లలో చేర్చబడిన నిబంధనలు అదే సంకేతాలతో వ్రాయబడతాయి.

బ్రాకెట్ల ముందు “-” గుర్తు ఉంచబడితే, బ్రాకెట్లలో జతచేయబడిన నిబంధనలు వ్యతిరేక సంకేతాలతో వ్రాయబడతాయి.

మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క రూపాంతరం (సరళీకరణ).

ఉపయోగించడం ద్వార పంపిణీ ఆస్తిగుణకారాలను బహుపది (సరళీకృతం)గా, మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తిగా మార్చవచ్చు. ఉదాహరణకి:

మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి ఈ మోనోమియల్ యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తానికి మరియు బహుపది యొక్క ప్రతి పదాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఈ ఫలితం సాధారణంగా నియమం వలె రూపొందించబడింది.

ఒక బహుపది ద్వారా మోనోమియల్‌ని గుణించాలంటే, మీరు ఆ మోనోమియల్‌ని బహుపది యొక్క ప్రతి నిబంధనలతో గుణించాలి.

మొత్తంతో గుణించడానికి మేము ఇప్పటికే ఈ నియమాన్ని చాలాసార్లు ఉపయోగించాము.

బహుపదాల ఉత్పత్తి. రెండు బహుపదిల ఉత్పత్తి యొక్క రూపాంతరం (సరళీకరణ).

సాధారణంగా, రెండు బహుపదిల ఉత్పత్తి ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదం మరియు మరొక పదం యొక్క ప్రతి పదం యొక్క మొత్తానికి సమానంగా సమానంగా ఉంటుంది.

సాధారణంగా కింది నియమం ఉపయోగించబడుతుంది.

బహుపదిని బహుపదితో గుణించడానికి, మీరు ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని మరొక పదం యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించాలి మరియు ఫలిత ఉత్పత్తులను జోడించాలి.

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు. మొత్తం చతురస్రాలు, తేడాలు మరియు చతురస్రాల వ్యత్యాసం

లో కొన్ని వ్యక్తీకరణలతో బీజగణిత రూపాంతరాలుఇతరులతో పోలిస్తే తరచుగా వ్యవహరించవలసి ఉంటుంది. బహుశా అత్యంత సాధారణ వ్యక్తీకరణలు u, అంటే మొత్తం యొక్క వర్గము, వ్యత్యాసం యొక్క వర్గము మరియు చతురస్రాల వ్యత్యాసం. ఈ వ్యక్తీకరణల పేర్లు అసంపూర్ణంగా ఉన్నట్లు మీరు గమనించారు, ఉదాహరణకు, ఇది మొత్తం యొక్క వర్గమే కాదు, a మరియు b మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని సూచిస్తుంది. అయితే, a మరియు b మొత్తం యొక్క వర్గము చాలా తరచుగా జరగదు, a మరియు b అక్షరాలకు బదులుగా, ఇది వివిధ, కొన్నిసార్లు చాలా క్లిష్టమైన, వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటుంది.

వ్యక్తీకరణలను ప్రామాణిక రూపంలోని బహుపదాలుగా సులభంగా మార్చవచ్చు (సరళీకరించబడింది), మీరు బహుపదిలను గుణించేటప్పుడు ఇప్పటికే అలాంటి పనిని ఎదుర్కొన్నారు:

ఫలిత గుర్తింపులను గుర్తుంచుకోవడం మరియు ఇంటర్మీడియట్ లెక్కలు లేకుండా వాటిని వర్తింపజేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. సంక్షిప్త శబ్ద సూత్రీకరణలు దీనికి సహాయపడతాయి.

- మొత్తం యొక్క చదరపు మొత్తానికి సమానంచతురస్రాలు మరియు ఉత్పత్తిని రెట్టింపు చేయండి.

- వ్యత్యాసం యొక్క వర్గము డబుల్ ఉత్పత్తి లేకుండా చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం.

- చతురస్రాల వ్యత్యాసం వ్యత్యాసం మరియు మొత్తానికి సంబంధించిన ఉత్పత్తికి సమానం.

ఈ మూడు గుర్తింపులు పరివర్తనలో వారి ఎడమ భాగాలను కుడి వాటితో మరియు వైస్ వెర్సా - కుడి భాగాలను ఎడమ వాటితో భర్తీ చేయడానికి అనుమతిస్తాయి. అత్యంత క్లిష్టమైన విషయం ఏమిటంటే సంబంధిత వ్యక్తీకరణలను చూడటం మరియు వాటిలో a మరియు b వేరియబుల్స్ ఎలా భర్తీ చేయబడతాయో అర్థం చేసుకోవడం. సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించే అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం.

పుస్తకాలు (పాఠ్యపుస్తకాలు) యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ సారాంశాలు మరియు OGE పరీక్షలు ఆన్లైన్ గేమ్స్, పజిల్స్ గ్రాఫింగ్ ఫంక్షన్లు ఆర్థోగ్రాఫిక్ నిఘంటువురష్యన్ భాషా యువత యాస నిఘంటువు రష్యన్ పాఠశాలల కేటలాగ్ రష్యన్ పాఠశాలల కేటలాగ్ రష్యా విశ్వవిద్యాలయాల కేటలాగ్ టాస్క్‌ల జాబితా GCD మరియు LCMని కనుగొనడం బహుపదిని సులభతరం చేయడం (బహుపదిని గుణించడం) కాలమ్ గణనతో బహుపది ద్వారా బహుపదిని విభజించడం సంఖ్యా భిన్నాలుశాతాలతో కూడిన సమస్యలను పరిష్కరించడం సంక్లిష్ట సంఖ్యలు: 2 వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం, వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి మరియు భాగం సరళ సమీకరణాలుఇద్దరితో వేరియబుల్స్ సొల్యూషన్ వర్గ సమీకరణంద్విపదను వర్గీకరించడం మరియు దానిని కారకం చేయడం చతుర్భుజ త్రికోణముఅసమానతలను పరిష్కరించడం అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడం క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడం పాక్షిక సరళ ఫంక్షన్అంకగణితాన్ని పరిష్కరించడం మరియు రేఖాగణిత పురోగతిసాల్వింగ్ త్రికోణమితి, ఘాతాంక, సంవర్గమాన సమీకరణాలుపరిమితుల గణన, ఉత్పన్నం, టాంజెంట్ ఇంటిగ్రల్, యాంటీడెరివేటివ్ సొల్యూషన్త్రిభుజాలు వెక్టార్లతో చర్యల గణనలు లైన్లు మరియు విమానాల ప్రాంతంతో చర్యల గణనలు రేఖాగణిత ఆకారాలురేఖాగణిత ఆకృతుల చుట్టుకొలత వాల్యూమ్ రేఖాగణిత శరీరాలురేఖాగణిత ఘనపదార్థాల ఉపరితల వైశాల్యం
ట్రాఫిక్ సిట్యుయేషన్ కన్స్ట్రక్టర్
వాతావరణం - వార్తలు - జాతకాలు

www.mathsolution.ru

కుండలీకరణాలను విస్తరిస్తోంది

మేము బీజగణితం యొక్క ప్రాథమికాలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ పాఠంలో మనం వ్యక్తీకరణలలో కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలో నేర్చుకుందాం. కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అంటే వ్యక్తీకరణ నుండి కుండలీకరణాలను తీసివేయడం.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి, మీరు కేవలం రెండు నియమాలను గుర్తుంచుకోవాలి. సాధారణ అభ్యాసంతో, మీరు బ్రాకెట్లను తెరవవచ్చు కళ్ళు మూసుకున్నాడు, మరియు గుర్తుంచుకోవలసిన ఆ నియమాలను సురక్షితంగా మరచిపోవచ్చు.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం

కింది వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి:

ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ 2 . ఈ వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను తెరుద్దాం. కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అంటే వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని ప్రభావితం చేయకుండా వాటిని వదిలించుకోవడం. అంటే, కుండలీకరణాలను వదిలించుకున్న తర్వాత, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ 8+(−9+3) ఇప్పటికీ రెండు సమానంగా ఉండాలి.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం క్రింది విధంగా ఉంది:

బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు, బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉన్నట్లయితే, ఈ ప్లస్ బ్రాకెట్లతో పాటు తొలగించబడుతుంది.

కాబట్టి, మేము దానిని వ్యక్తీకరణలో చూస్తాము 8+(−9+3) కుండలీకరణాల ముందు ప్లస్ గుర్తు ఉంది. కుండలీకరణాలతో పాటు ఈ ప్లస్‌ని తప్పక వదిలివేయాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బ్రాకెట్లు వాటి ముందు ఉన్న ప్లస్‌తో పాటు అదృశ్యమవుతాయి. మరియు బ్రాకెట్లలో ఉన్నవి మార్పులు లేకుండా వ్రాయబడతాయి:

8−9+3 . ఈ వ్యక్తీకరణసమానం 2 , బ్రాకెట్‌లతో మునుపటి వ్యక్తీకరణ వలె, సమానంగా ఉంటుంది 2 .

8+(−9+3) మరియు 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 3 + (−1 − 4)

బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉంది, అంటే ఈ ప్లస్ బ్రాకెట్‌లతో పాటు విస్మరించబడింది. బ్రాకెట్లలో ఉన్నవి మారవు:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 2 + (−1)

IN ఈ ఉదాహరణలోకుండలీకరణాలను తెరవడం అనేది వ్యవకలనాన్ని అదనంగా భర్తీ చేసే ఒక రకమైన రివర్స్ ఆపరేషన్‌గా మారింది. దాని అర్థం ఏమిటి?

వ్యక్తీకరణలో 2−1 వ్యవకలనం జరుగుతుంది, కానీ అది అదనంగా భర్తీ చేయబడుతుంది. అప్పుడు మనకు వ్యక్తీకరణ వస్తుంది 2+(−1) . కానీ వ్యక్తీకరణలో ఉంటే 2+(−1) బ్రాకెట్లను తెరవండి, మీరు అసలు దాన్ని పొందుతారు 2−1 .

అందువల్ల, కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం కొన్ని రూపాంతరాల తర్వాత వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి ఉపయోగించవచ్చు. అంటే, బ్రాకెట్లను తొలగించి, దానిని సులభతరం చేయండి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం 2a+a−5b+b .

ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి, సారూప్య పదాలను ఇవ్వవచ్చు. సారూప్య పదాలను తగ్గించడానికి, మీరు సారూప్య పదాల గుణకాలను జోడించాలి మరియు ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగం ద్వారా గుణించాలి:

వ్యక్తీకరణ వచ్చింది 3a+(−4b). ఈ వ్యక్తీకరణలోని కుండలీకరణాలను తీసివేద్దాం. బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ ఉంది, కాబట్టి మేము బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి మొదటి నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము, అంటే, ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు వచ్చే ప్లస్‌తో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేస్తాము:

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ 2a+a−5b+bసులభతరం చేస్తుంది 3a−4b .

కొన్ని బ్రాకెట్లను తెరిచిన తర్వాత, మీరు మార్గంలో ఇతరులను ఎదుర్కోవచ్చు. మేము మొదటి వారికి అదే నియమాలను వర్తింపజేస్తాము. ఉదాహరణకు, కింది వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరింపజేద్దాం:

మీరు కుండలీకరణాలను తెరవవలసిన రెండు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో, కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం వర్తిస్తుంది, అంటే, ఈ కుండలీకరణాలకు ముందు ఉన్న ప్లస్ గుర్తుతో పాటు కుండలీకరణాలను వదిలివేయడం:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 6+(−3)+(−2)

కుండలీకరణాలు ఉన్న రెండు ప్రదేశాలలో, వాటికి ముందు ప్లస్ ఉంటుంది. ఇక్కడ మళ్ళీ కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం వర్తిస్తుంది:

కొన్నిసార్లు కుండలీకరణాల్లో మొదటి పదం గుర్తు లేకుండా వ్రాయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో 1+(2+3−4) బ్రాకెట్లలో మొదటి పదం 2 గుర్తు లేకుండా వ్రాయబడింది. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, బ్రాకెట్లు మరియు బ్రాకెట్ల ముందు ఉన్న ప్లస్ తొలగించబడిన తర్వాత రెండింటి ముందు ఏ గుర్తు కనిపిస్తుంది? సమాధానం స్వయంగా సూచిస్తుంది - రెండింటికి ముందు ప్లస్ ఉంటుంది.

వాస్తవానికి, కుండలీకరణాల్లో ఉండటం కూడా రెండింటికి ముందు ప్లస్ ఉంది, కానీ అది వ్రాయబడనందున మేము దానిని చూడలేము. సానుకూల సంఖ్యల పూర్తి సంజ్ఞామానం ఎలా ఉంటుందో మేము ఇప్పటికే చెప్పాము +1, +2, +3. కానీ సంప్రదాయం ప్రకారం, ప్లస్‌లు వ్రాయబడవు, అందుకే మనకు తెలిసిన సానుకూల సంఖ్యలను మనం చూస్తాము 1, 2, 3 .

అందువల్ల, వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించడానికి 1+(2+3−4) , మీరు ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ గుర్తుతో పాటు బ్రాకెట్‌లను ఎప్పటిలాగే వదిలివేయాలి, అయితే బ్రాకెట్‌లలో ఉన్న మొదటి పదాన్ని ప్లస్ గుర్తుతో వ్రాయండి:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −5 + (2 − 3)

బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ ఉంది, కాబట్టి బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి మేము మొదటి నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము, అంటే, ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు వచ్చే ప్లస్‌తో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేస్తాము. కానీ మొదటి పదం, మేము కుండలీకరణాల్లో ప్లస్ గుర్తుతో వ్రాస్తాము:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి (−5)

బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉంది, కానీ దాని ముందు ఇతర సంఖ్యలు లేదా వ్యక్తీకరణలు లేనందున ఇది వ్రాయబడలేదు. కుండలీకరణాలను తెరవడం యొక్క మొదటి నియమాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా కుండలీకరణాలను తీసివేయడం మా పని, అంటే, ఈ ప్లస్‌తో పాటు కుండలీకరణాలను వదిలివేయడం (ఇది అదృశ్యంగా ఉన్నప్పటికీ)

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 2a + (−6a + b)

బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉంది, అంటే ఈ ప్లస్ బ్రాకెట్‌లతో పాటు విస్మరించబడింది. బ్రాకెట్లలో ఉన్నవి మారకుండా వ్రాయబడతాయి:

2a + (−6a + b) = 2a -6a + b

ఉదాహరణ 7.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 5a + (−7b + 6c) + 3a + (-2d)

ఈ వ్యక్తీకరణలో మీరు కుండలీకరణాలను విస్తరించాల్సిన రెండు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. రెండు విభాగాలలో బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ ఉంది, అంటే బ్రాకెట్‌లతో పాటు ఈ ప్లస్ తొలగించబడింది. బ్రాకెట్లలో ఉన్నవి మారకుండా వ్రాయబడతాయి:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండవ నియమం

ఇప్పుడు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని చూద్దాం. కుండలీకరణాల ముందు మైనస్ ఉన్నప్పుడు ఇది ఉపయోగించబడుతుంది.

బ్రాకెట్‌లకు ముందు మైనస్ ఉంటే, బ్రాకెట్‌లతో పాటు ఈ మైనస్ విస్మరించబడుతుంది, అయితే బ్రాకెట్‌లలో ఉన్న నిబంధనలు వాటి గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుస్తాయి.

ఉదాహరణకు, క్రింది వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరింపజేద్దాం

బ్రాకెట్ల ముందు మైనస్ ఉందని మనం చూస్తాము. దీని అర్థం మీరు రెండవ విస్తరణ నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి, అంటే, ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు ఉన్న మైనస్ గుర్తుతో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేయండి. ఈ సందర్భంలో, బ్రాకెట్లలో ఉన్న నిబంధనలు వాటి గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుస్తాయి:

మేము కుండలీకరణాలు లేకుండా వ్యక్తీకరణను పొందాము 5+2+3 . ఈ వ్యక్తీకరణ 10కి సమానం, బ్రాకెట్‌లతో మునుపటి వ్యక్తీకరణ 10కి సమానం.

అందువలన, వ్యక్తీకరణల మధ్య 5−(−2−3) మరియు 5+2+3 మీరు సమాన చిహ్నాన్ని ఉంచవచ్చు, ఎందుకంటే అవి ఒకే విలువకు సమానంగా ఉంటాయి:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 6 − (−2 − 5)

బ్రాకెట్‌లకు ముందు మైనస్ ఉంది, కాబట్టి బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి మేము రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము, అవి ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు వచ్చే మైనస్‌తో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేస్తాము. ఈ సందర్భంలో, మేము వ్యతిరేక సంకేతాలతో బ్రాకెట్లలో ఉన్న నిబంధనలను వ్రాస్తాము:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 2 − (7 + 3)

బ్రాకెట్ల ముందు మైనస్ ఉంది, కాబట్టి మేము బ్రాకెట్లను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −(−3 + 4)

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

మీరు కుండలీకరణాలను తెరవవలసిన రెండు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. మొదటి సందర్భంలో, మీరు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి మరియు వ్యక్తీకరణ విషయానికి వస్తే +(−9−2) మీరు మొదటి నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −(-a - 1)

ఉదాహరణ 7.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −(4a + 3)

ఉదాహరణ 8.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి a − (4b + 3) + 15

ఉదాహరణ 9.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 2a + (3b - b) - (3c + 5)

మీరు కుండలీకరణాలను తెరవవలసిన రెండు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. మొదటి సందర్భంలో, మీరు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి మరియు వ్యక్తీకరణ విషయానికి వస్తే −(3c+5)మీరు రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

ఉదాహరణ 10.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −a − (-4a) + (-6b) - (-8c + 15)

మీరు బ్రాకెట్లను తెరవాల్సిన మూడు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. మొదట మీరు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి, ఆపై మొదటిది, ఆపై రెండవది మళ్లీ:

−a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = -a + 4a - 6b + 8c - 15

బ్రాకెట్ ఓపెనింగ్ మెకానిజం

మేము ఇప్పుడు పరిశీలించిన కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలు గుణకారం యొక్క పంపిణీ చట్టంపై ఆధారపడి ఉన్నాయి:

నిజానికి కుండలీకరణాలను తెరవడంప్రక్రియను ఎప్పుడు కాల్ చేయండి సాధారణ గుణకంకుండలీకరణాల్లోని ప్రతి పదంతో గుణించబడుతుంది. ఈ గుణకారం ఫలితంగా, బ్రాకెట్లు అదృశ్యమవుతాయి. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరింపజేద్దాం 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

కాబట్టి, మీరు బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణ ద్వారా సంఖ్యను గుణించవలసి వస్తే (లేదా బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణను సంఖ్యతో గుణించాలి), మీరు చెప్పాలి బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం.

అయితే మేము ఇంతకు ముందు పరిశీలించిన కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలకు సంబంధించి గుణకారం యొక్క పంపిణీ చట్టం ఎలా ఉంది?

వాస్తవం ఏమిటంటే ఏదైనా కుండలీకరణాల ముందు ఒక సాధారణ అంశం ఉంటుంది. ఉదాహరణలో 3×(4+5)సాధారణ అంశం 3 . మరియు ఉదాహరణలో a(b+c)సాధారణ కారకం ఒక వేరియబుల్ a.

కుండలీకరణాల ముందు సంఖ్యలు లేదా వేరియబుల్స్ లేకపోతే, అప్పుడు సాధారణ అంశం 1 లేదా −1 , బ్రాకెట్ల ముందు ఏ సంకేతం ఉందో దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కుండలీకరణాల ముందు ప్లస్ ఉంటే, అప్పుడు సాధారణ అంశం 1 . కుండలీకరణాల ముందు మైనస్ ఉంటే, అప్పుడు సాధారణ అంశం −1 .

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలోని కుండలీకరణాలను విస్తరింపజేద్దాం −(3b−1). బ్రాకెట్‌ల ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంది, కాబట్టి మీరు బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని ఉపయోగించాలి, అంటే బ్రాకెట్‌ల ముందు మైనస్ గుర్తుతో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేయండి. మరియు బ్రాకెట్లలో ఉన్న వ్యక్తీకరణను వ్యతిరేక సంకేతాలతో వ్రాయండి:

మేము బ్రాకెట్లను విస్తరించే నియమాన్ని ఉపయోగించి బ్రాకెట్లను విస్తరించాము. కానీ ఇదే బ్రాకెట్లను గుణకారం యొక్క పంపిణీ నియమాన్ని ఉపయోగించి తెరవవచ్చు. ఇది చేయుటకు, ముందుగా వ్రాయబడని సాధారణ కారకం 1ని బ్రాకెట్ల ముందు వ్రాయండి:

బ్రాకెట్ల ముందు గతంలో ఉన్న మైనస్ గుర్తు ఈ యూనిట్‌ను సూచిస్తుంది. ఇప్పుడు మీరు గుణకారం యొక్క పంపిణీ చట్టాన్ని ఉపయోగించి బ్రాకెట్లను తెరవవచ్చు. ఈ ప్రయోజనం కోసం సాధారణ అంశం −1 మీరు బ్రాకెట్లలోని ప్రతి పదంతో గుణించాలి మరియు ఫలితాలను జోడించాలి.

సౌలభ్యం కోసం, మేము కుండలీకరణాల్లోని వ్యత్యాసాన్ని మొత్తంతో భర్తీ చేస్తాము:

−1 (3b -1) = -1 (3b + (-1)) = -1 × 3b + (-1) × (-1) = -3b + 1

లో వలె చివరిసారిమేము వ్యక్తీకరణను పొందాము −3b+1. అటువంటి సాధారణ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి ఈసారి ఎక్కువ సమయం వెచ్చించబడిందని అందరూ అంగీకరిస్తారు. అందువల్ల, బ్రాకెట్లను తెరవడానికి రెడీమేడ్ నియమాలను ఉపయోగించడం తెలివైనది, ఈ పాఠంలో మేము చర్చించాము:

కానీ ఈ నియమాలు ఎలా పనిచేస్తాయో తెలుసుకోవడం బాధ కలిగించదు.

ఈ పాఠంలో మనం ఇంకో విషయం నేర్చుకున్నాం ఒకే విధమైన పరివర్తన. బ్రాకెట్‌లను తెరవడం, బ్రాకెట్‌ల నుండి జనరల్‌ను ఉంచడం మరియు సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడం వంటి వాటితో పాటు, మీరు పరిష్కరించాల్సిన సమస్యల పరిధిని కొద్దిగా విస్తరించవచ్చు. ఉదాహరణకి:

ఇక్కడ మీరు రెండు చర్యలను నిర్వహించాలి - మొదట బ్రాకెట్లను తెరిచి, ఆపై ఇలాంటి నిబంధనలను తీసుకురండి. కాబట్టి, క్రమంలో:

1) బ్రాకెట్లను తెరవండి:

2) మేము ఇలాంటి నిబంధనలను అందిస్తున్నాము:

ఫలిత వ్యక్తీకరణలో −10b+(-1)మీరు బ్రాకెట్లను విస్తరించవచ్చు:

ఉదాహరణ 2.కుండలీకరణాలను తెరిచి, కింది వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను జోడించండి:

1) బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం:

2) మనం ఇలాంటి నిబంధనలను అందజేద్దాం.ఈ సమయంలో, సమయం మరియు స్థలాన్ని ఆదా చేయడానికి, సాధారణ అక్షర భాగం ద్వారా గుణకాలు ఎలా గుణించబడతాయో మేము వ్రాయము.

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి 8మీ+3మీమరియు దాని విలువను కనుగొనండి m=-4

1) ముందుగా, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి 8మీ+3మీ, మీరు దానిలోని సాధారణ కారకాన్ని బయటకు తీయవచ్చు mబ్రాకెట్ల వెలుపల:

2) వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి m(8+3)వద్ద m=-4. దీన్ని చేయడానికి, వ్యక్తీకరణలో m(8+3)చరరాశికి బదులుగా mసంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = -4 × 8 + (-4) × 3 = -32 + (-12) = -44