సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ aమూలం నుండి బిందువుకు దూరం ఎ(a).

ఈ నిర్వచనాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, వేరియబుల్‌కు ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం aఏదైనా సంఖ్య, ఉదాహరణకు 3 మరియు దాన్ని మళ్లీ చదవడానికి ప్రయత్నించండి:

సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ 3 మూలం నుండి బిందువుకు దూరం ఎ(3 ).

మాడ్యూల్ సాధారణ దూరం కంటే ఎక్కువ కాదని స్పష్టమవుతుంది. మూలం నుండి పాయింట్ A(బిందువుకి దూరం) చూడటానికి ప్రయత్నిద్దాం 3 )

మూలం నుండి బిందువుకు దూరం A( 3 ) 3కి సమానం (మూడు యూనిట్లు లేదా మూడు దశలు).

సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ రెండు నిలువు వరుసల ద్వారా సూచించబడుతుంది, ఉదాహరణకు:

సంఖ్య 3 యొక్క మాడ్యులస్ క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: |3|

సంఖ్య 4 యొక్క మాడ్యులస్ క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: |4|

సంఖ్య 5 యొక్క మాడ్యులస్ క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: |5|

మేము సంఖ్య 3 యొక్క మాడ్యులస్ కోసం వెతికాము మరియు అది 3కి సమానమని కనుగొన్నాము. కాబట్టి మేము దానిని వ్రాస్తాము:

ఇలా చదువుతుంది: "మూడు సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ మూడు"

ఇప్పుడు సంఖ్య -3 యొక్క మాడ్యులస్‌ను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మళ్ళీ, మేము నిర్వచనానికి తిరిగి వస్తాము మరియు దానిలో సంఖ్య -3ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. చుక్కకు బదులుగా మాత్రమే ఎకొత్త పాయింట్ ఉపయోగించండి బి. ఫుల్ స్టాప్ ఎమేము ఇప్పటికే మొదటి ఉదాహరణలో ఉపయోగించాము.

సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ - 3 మూలం నుండి ఒక బిందువుకు దూరం బి(—3 ).

ఒక పాయింట్ నుండి మరొక పాయింట్ వరకు దూరం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు. అందువల్ల, ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్, దూరం కావడంతో, ప్రతికూలంగా ఉండదు. సంఖ్య -3 యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్య 3 అవుతుంది. మూలం నుండి పాయింట్ B(-3)కి దూరం కూడా మూడు యూనిట్లకు సమానం:

ఇలా చదువుతుంది: "మైనస్ మూడు యొక్క మాడ్యులస్ మూడు."

సంఖ్య 0 యొక్క మాడ్యులస్ 0కి సమానం, ఎందుకంటే కోఆర్డినేట్ 0తో ఉన్న పాయింట్ మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. మూలం నుండి బిందువు వరకు దూరం O(0)సున్నాకి సమానం:

"సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ సున్నా"

మేము తీర్మానాలు చేస్తాము:

• సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు;
• సానుకూల సంఖ్య మరియు సున్నా కోసం, మాడ్యులస్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతికూల సంఖ్యకు - వ్యతిరేక సంఖ్య;
• వ్యతిరేక సంఖ్యలు సమాన మాడ్యూళ్లను కలిగి ఉంటాయి.

వ్యతిరేక సంఖ్యలు

సంకేతాలలో మాత్రమే తేడా ఉన్న సంఖ్యలను అంటారు ఎదురుగా. ఉదాహరణకు, −2 మరియు 2 సంఖ్యలు వ్యతిరేకం. అవి సంకేతాలలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి. సంఖ్య −2కి మైనస్ గుర్తు ఉంది, మరియు 2కి ప్లస్ గుర్తు ఉంది, కానీ మేము దానిని చూడలేము, ఎందుకంటే ప్లస్, మేము ఇంతకు ముందు చెప్పినట్లుగా, సాంప్రదాయకంగా వ్రాయబడలేదు.

వ్యతిరేక సంఖ్యలకు మరిన్ని ఉదాహరణలు:

వ్యతిరేక సంఖ్యలు సమాన మాడ్యూళ్లను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, −2 మరియు 2 కోసం మాడ్యూల్‌లను కనుగొనండి

మూలం నుండి పాయింట్లకు దూరం అని ఫిగర్ చూపిస్తుంది A(-2)మరియు B(2)రెండు దశలకు సమానంగా సమానం.

మీకు పాఠం నచ్చిందా?
మా కొత్త VKontakte సమూహంలో చేరండి మరియు కొత్త పాఠాల గురించి నోటిఫికేషన్‌లను స్వీకరించడం ప్రారంభించండి

ప్రతి ఒక్కరూ విన్నట్లుగా కనిపించే వాటిలో మాడ్యూల్ ఒకటి, కానీ వాస్తవానికి ఎవరికీ అర్థం కాలేదు. అందువల్ల, ఈ రోజు మాడ్యూల్స్‌తో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అంకితమైన పెద్ద పాఠం ఉంటుంది.

నేను వెంటనే చెబుతాను: పాఠం కష్టం కాదు. మరియు సాధారణంగా, మాడ్యూల్స్ సాపేక్షంగా సాధారణ అంశం. “అవును, వాస్తవానికి, ఇది సంక్లిష్టంగా లేదు! ఇది నా మనస్సును దెబ్బతీస్తుంది! ” - చాలా మంది విద్యార్థులు చెబుతారు, అయితే ఈ మెదడు విచ్ఛిన్నాలన్నీ చాలా మందికి వారి తలలో జ్ఞానం లేకపోవడం వల్ల సంభవిస్తాయి, కానీ ఒక రకమైన చెత్త. మరియు ఈ పాఠం యొక్క లక్ష్యం చెత్తను జ్ఞానంగా మార్చడం.

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం

కనుక మనము వెళ్దాము. అత్యంత ముఖ్యమైన విషయంతో ప్రారంభిద్దాం: మాడ్యూల్ అంటే ఏమిటి? సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ కేవలం అదే సంఖ్య అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, కానీ మైనస్ గుర్తు లేకుండా తీసుకోబడింది. అంటే, ఉదాహరణకు, $\left| -5 \right|=5$. లేదా $\ఎడమ| -129.5 \ right|=$129.5.

ఇది చాలా సులభం? అవును, సాధారణ. అప్పుడు ధన సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ ఎంత? ఇక్కడ ఇది మరింత సరళమైనది: సానుకూల సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ఈ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది: $\left| 5 \right|=5$; $\ఎడమ| 129.5 \ right|=$129.5, మొదలైనవి.

ఇది ఆసక్తికరమైన విషయంగా మారుతుంది: వేర్వేరు సంఖ్యలు ఒకే మాడ్యూల్‌ను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు: $\left| -5 \కుడి|=\ఎడమ| 5 \right|=5$; $\ఎడమ| -129.5 \కుడి|=\ఎడమ| 129.5\కుడి|=$129.5. ఈ సంఖ్యలు ఏ రకమైనవి, వాటి మాడ్యూల్స్ ఒకేలా ఉంటాయి: ఈ సంఖ్యలు విరుద్ధంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, వ్యతిరేక సంఖ్యల మాడ్యూల్స్ సమానంగా ఉన్నాయని మేము గమనించాము:

\[\ఎడమ| -a \right|=\left| ఒక\కుడి|\]

మరో ముఖ్యమైన వాస్తవం: మాడ్యులస్ ఎప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదు. మనం ఏ సంఖ్యను తీసుకున్నా - అది సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉంటుంది - దాని మాడ్యులస్ ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా మారుతుంది (లేదా, తీవ్రమైన సందర్భాల్లో, సున్నా). అందుకే మాడ్యులస్ తరచుగా సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ అని పిలువబడుతుంది.

అదనంగా, మేము సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం మాడ్యులస్ యొక్క నిర్వచనాన్ని కలిపితే, మేము అన్ని సంఖ్యల కోసం మాడ్యులస్ యొక్క ప్రపంచ నిర్వచనాన్ని పొందుతాము. అవి: ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటే (లేదా సున్నా) సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది లేదా సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే వ్యతిరేక సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది. మీరు దీన్ని ఫార్ములాగా వ్రాయవచ్చు:

సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ కూడా ఉంది, కానీ ఇది ఎల్లప్పుడూ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. అదనంగా, వ్యతిరేకం లేని ఏకైక సంఖ్య సున్నా.

ఈ విధంగా, మేము $y=\left| ఫంక్షన్‌ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే x \right|$ మరియు దాని గ్రాఫ్‌ని గీయడానికి ప్రయత్నించండి, మీరు ఇలాంటివి పొందుతారు:

మాడ్యులస్ గ్రాఫ్ మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ఉదాహరణ

ఈ చిత్రం నుండి $\left| అని వెంటనే స్పష్టమవుతుంది -m \right|=\left| m \right|$, మరియు మాడ్యులస్ గ్రాఫ్ ఎప్పుడూ x-అక్షం క్రింద పడిపోదు. కానీ అంతే కాదు: ఎరుపు రేఖ $y=a$ సరళ రేఖను సూచిస్తుంది, ఇది సానుకూల $a$ కోసం ఒకేసారి రెండు మూలాలను ఇస్తుంది: $((x)_(1))$ మరియు $((x) _(2)) $, కానీ మేము దాని గురించి తరువాత మాట్లాడుతాము :)

పూర్తిగా బీజగణిత నిర్వచనంతో పాటు, జ్యామితీయ ఒకటి ఉంది. సంఖ్య రేఖపై రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయని అనుకుందాం: $((x)_(1))$ మరియు $((x)_(2))$. ఈ సందర్భంలో, వ్యక్తీకరణ $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ అనేది కేవలం పేర్కొన్న పాయింట్ల మధ్య దూరం. లేదా, మీరు కావాలనుకుంటే, ఈ పాయింట్లను కనెక్ట్ చేసే సెగ్మెంట్ పొడవు:

మాడ్యులస్ అనేది సంఖ్యా రేఖపై బిందువుల మధ్య దూరం

ఈ నిర్వచనం మాడ్యులస్ ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదని కూడా సూచిస్తుంది. కానీ తగినంత నిర్వచనాలు మరియు సిద్ధాంతం - వాస్తవ సమీకరణాలకు వెళ్దాం :)

ప్రాథమిక సూత్రం

సరే, మేము నిర్వచనాన్ని క్రమబద్ధీకరించాము. కానీ అది ఏ సులభతరం చేయలేదు. ఈ మాడ్యూల్‌ను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి?

ప్రశాంతంగా, ప్రశాంతంగా ఉండండి. సరళమైన విషయాలతో ప్రారంభిద్దాం. ఇలాంటివి పరిగణించండి:

\[\ఎడమ| x\right|=3\]

కాబట్టి $x$ మాడ్యులస్ 3. $x$ దేనికి సమానంగా ఉంటుంది? సరే, నిర్వచనం ప్రకారం చూస్తే, మేము $x=3$తో చాలా సంతోషంగా ఉన్నాము. నిజంగా:

\[\ఎడమ| 3\కుడి|=3\]

ఇతర సంఖ్యలు ఉన్నాయా? క్యాప్ ఉన్నట్టు తెలుస్తోంది. ఉదాహరణకు, $x=-3$ కూడా $\left| -3 \right|=3$, అనగా. అవసరమైన సమానత్వం సంతృప్తి చెందుతుంది.

కాబట్టి మనం శోధించి ఆలోచిస్తే, మనకు మరిన్ని సంఖ్యలు దొరుకుతాయా? అయితే దీనిని ఎదుర్కొందాం: ఎక్కువ సంఖ్యలు లేవు. సమీకరణం $\ఎడమ| x \right|=3$కి రెండు మూలాలు మాత్రమే ఉన్నాయి: $x=3$ మరియు $x=-3$.

ఇప్పుడు పనిని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం. $f\left(x \right)$ వేరియబుల్ $x$కి బదులుగా మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద హ్యాంగ్ అవుట్ చేయనివ్వండి మరియు కుడివైపున ట్రిపుల్ స్థానంలో $a$ని ఏకపక్ష సంఖ్యను ఉంచండి. మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

\[\ఎడమ| f\left(x \right) \right|=a\]

కాబట్టి మనం దీన్ని ఎలా పరిష్కరించగలం? నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: $f\left(x \right)$ అనేది ఏకపక్ష ఫంక్షన్, $a$ ఏదైనా సంఖ్య. ఆ. ఏదైనా సరే! ఉదాహరణకి:

\[\ఎడమ| 2x+1 \right|=5\]

\[\ఎడమ| 10x-5 \కుడి|=-65\]

రెండవ సమీకరణానికి శ్రద్ధ చూపుదాం. మీరు అతని గురించి వెంటనే చెప్పవచ్చు: అతనికి మూలాలు లేవు. ఎందుకు? ప్రతిదీ సరైనది: ఎందుకంటే మాడ్యులస్ ప్రతికూల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండాలి, ఇది ఎప్పుడూ జరగదు, ఎందుకంటే మాడ్యులస్ ఎల్లప్పుడూ సానుకూల సంఖ్య లేదా తీవ్రమైన సందర్భాల్లో సున్నా అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు.

కానీ మొదటి సమీకరణంతో ప్రతిదీ మరింత సరదాగా ఉంటుంది. రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి: మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద సానుకూల వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది, ఆపై $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, లేదా ఈ వ్యక్తీకరణ ఇప్పటికీ ప్రతికూలంగా ఉంది, ఆపై $\ఎడమవైపు| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. మొదటి సందర్భంలో, మా సమీకరణం క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

\[\ఎడమ| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

మరియు అకస్మాత్తుగా $2x+1$ సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణ నిజంగా సానుకూలంగా ఉందని తేలింది - ఇది సంఖ్య 5కి సమానం. అంటే మేము ఈ సమీకరణాన్ని సురక్షితంగా పరిష్కరించగలము - ఫలిత మూలం సమాధానం యొక్క భాగం:

ముఖ్యంగా అపనమ్మకం ఉన్నవారు కనుగొన్న మూలాన్ని అసలు సమీకరణంలోకి మార్చడానికి ప్రయత్నించవచ్చు మరియు మాడ్యులస్ క్రింద నిజంగా సానుకూల సంఖ్య ఉందని నిర్ధారించుకోండి.

ఇప్పుడు ప్రతికూల సబ్‌మోడ్యులర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను చూద్దాం:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\ end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \రైట్‌టారో 2x+1=-5\]

అయ్యో! మళ్ళీ, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది: మేము $2x+1 \lt 0$ అని భావించాము మరియు ఫలితంగా $2x+1=-5$ వచ్చింది - నిజానికి, ఈ వ్యక్తీకరణ సున్నా కంటే తక్కువ. మేము ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము, కనుగొన్న మూలం మనకు సరిపోతుందని ఇప్పటికే ఖచ్చితంగా తెలుసు:

మొత్తంగా, మేము మళ్లీ రెండు సమాధానాలను అందుకున్నాము: $x=2$ మరియు $x=3$. అవును, గణనల మొత్తం చాలా సులభమైన సమీకరణం $\left| కంటే కొంచెం పెద్దదిగా మారింది. x \right|=3$, కానీ ప్రాథమికంగా ఏమీ మారలేదు. కాబట్టి బహుశా యూనివర్సల్ అల్గోరిథం రకమైన ఉందా?

అవును, అటువంటి అల్గోరిథం ఉంది. మరియు ఇప్పుడు మేము దానిని విశ్లేషిస్తాము.

మాడ్యులస్ గుర్తును వదిలించుకోవడం

మాకు $\left| అనే సమీకరణాన్ని ఇవ్వండి f\left(x \right) \right|=a$, మరియు $a\ge 0$ (లేకపోతే, మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, మూలాలు లేవు). అప్పుడు మీరు కింది నియమాన్ని ఉపయోగించి మాడ్యులస్ గుర్తును వదిలించుకోవచ్చు:

\[\ఎడమ| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

ఈ విధంగా, మాడ్యులస్‌తో మన సమీకరణం రెండుగా విడిపోతుంది, కానీ మాడ్యులస్ లేకుండా. సాంకేతికత అంతే! రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. దీనితో ప్రారంభిద్దాం

\[\ఎడమ| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

కుడివైపు టెన్ ప్లస్ ఉన్నప్పుడు విడిగా, మైనస్ ఉన్నప్పుడు విడిగా పరిశీలిద్దాం. మాకు ఉన్నాయి:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అంతే! మాకు రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: $x=1.2$ మరియు $x=-2.8$. మొత్తం పరిష్కారం అక్షరాలా రెండు పంక్తులు పట్టింది.

సరే, ఎటువంటి సందేహం లేదు, కొంచెం తీవ్రమైన విషయాన్ని చూద్దాం:

\[\ఎడమ| 7-5x\కుడి|=13\]

మళ్ళీ మేము మాడ్యూల్‌ను ప్లస్ మరియు మైనస్‌లతో తెరుస్తాము:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మళ్ళీ రెండు పంక్తులు - మరియు సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది! నేను చెప్పినట్లుగా, మాడ్యూల్స్ గురించి సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. మీరు కొన్ని నియమాలను గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, మేము మరింత క్లిష్టమైన పనులతో కొనసాగుతాము మరియు ప్రారంభిస్తాము.

కుడి వైపు వేరియబుల్ కేసు

ఇప్పుడు ఈ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

\[\ఎడమ| 3x-2 \right|=2x\]

ఈ సమీకరణం మునుపటి వాటి నుండి ప్రాథమికంగా భిన్నంగా ఉంటుంది. ఎలా? మరియు సమాన సంకేతం యొక్క కుడి వైపున $2x$ అనే వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది - మరియు అది సానుకూలమైనదా లేదా ప్రతికూలమైనదా అని మనం ముందుగానే తెలుసుకోలేము.

ఈ సందర్భంలో ఏమి చేయాలి? ముందుగా, మనం ఒక్కసారి అర్థం చేసుకోవాలి సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు ప్రతికూలంగా మారినట్లయితే, సమీకరణానికి మూలాలు ఉండవు- మాడ్యూల్ ప్రతికూల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండదని మాకు ఇప్పటికే తెలుసు.

మరియు రెండవది, కుడి భాగం ఇప్పటికీ సానుకూలంగా ఉంటే (లేదా సున్నాకి సమానం), అప్పుడు మీరు మునుపటిలాగే సరిగ్గా పని చేయవచ్చు: మాడ్యూల్‌ను విడిగా ప్లస్ గుర్తుతో మరియు విడిగా మైనస్ గుర్తుతో తెరవండి.

అందువలన, మేము ఏకపక్ష ఫంక్షన్ల కోసం ఒక నియమాన్ని రూపొందిస్తాము $f\left(x \right)$ మరియు $g\left(x \right)$ :

\[\ఎడమ| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\ end(align) \right.\]

మన సమీకరణానికి సంబంధించి మనం పొందుతాము:

\[\ఎడమ| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\ end(align) \right.\]

సరే, మేము $2x\ge 0$ అవసరాన్ని ఎలాగైనా ఎదుర్కొంటాము. చివరికి, మనం మొదటి సమీకరణం నుండి పొందే మూలాలను మూర్ఖంగా భర్తీ చేయవచ్చు మరియు అసమానత కలిగి ఉందో లేదో తనిఖీ చేయవచ్చు.

కాబట్టి సమీకరణాన్ని స్వయంగా పరిష్కరిద్దాం:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సరే, ఈ రెండు మూలాల్లో ఏది $2x\ge 0$ అవసరాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది? అవును రెండూ! కాబట్టి, సమాధానం రెండు సంఖ్యలుగా ఉంటుంది: $x=(4)/(3)\;$ మరియు $x=0$. అదే పరిష్కారం :)

కొంతమంది విద్యార్థులు ఇప్పటికే విసుగు చెందడం ప్రారంభించారని నేను అనుమానిస్తున్నాను? సరే, మరింత సంక్లిష్టమైన సమీకరణాన్ని చూద్దాం:

\[\ఎడమ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

ఇది చెడుగా కనిపించినప్పటికీ, వాస్తవానికి ఇది ఇప్పటికీ "మాడ్యులస్ ఈక్వల్ ఫంక్షన్" రూపం యొక్క అదే సమీకరణం:

\[\ఎడమ| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

మరియు ఇది సరిగ్గా అదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది:

\[\ఎడమ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\ end(align) \right.\]

మేము తరువాత అసమానతతో వ్యవహరిస్తాము - ఇది ఏదో ఒకవిధంగా చాలా చెడ్డది (వాస్తవానికి, ఇది చాలా సులభం, కానీ మేము దానిని పరిష్కరించలేము). ప్రస్తుతానికి, ఫలిత సమీకరణాలతో వ్యవహరించడం మంచిది. మొదటి సందర్భాన్ని పరిశీలిద్దాం - మాడ్యూల్ ప్లస్ గుర్తుతో విస్తరించబడినప్పుడు:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

సరే, మీరు ఎడమవైపు నుండి అన్నింటినీ సేకరించి, సారూప్యమైన వాటిని తీసుకురావాలి మరియు ఏమి జరుగుతుందో చూడటం మంచిది కాదు. మరియు ఇది జరుగుతుంది:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మేము సాధారణ కారకం $((x)^(2))$ని బ్రాకెట్‌ల నుండి తీసుకుంటాము మరియు చాలా సులభమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\ end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

ఇక్కడ మేము ఉత్పత్తి యొక్క ముఖ్యమైన ఆస్తిని సద్వినియోగం చేసుకున్నాము, దాని కోసం మేము అసలు బహుపదిని కారకం చేసాము: కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానమైనప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం.

ఇప్పుడు రెండవ సమీకరణంతో సరిగ్గా అదే విధంగా వ్యవహరిస్తాము, ఇది మాడ్యూల్‌ను మైనస్ గుర్తుతో విస్తరించడం ద్వారా పొందబడుతుంది:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-(x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మళ్ళీ అదే విషయం: కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానమైనప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం. మాకు ఉన్నాయి:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\ end(align) \right.\]

సరే, మాకు మూడు మూలాలు ఉన్నాయి: $x=0$, $x=1.5$ మరియు $x=(2)/(3)\;$. సరే, ఈ సెట్‌లో ఏది తుది సమాధానానికి వెళుతుంది? దీన్ని చేయడానికి, అసమానత రూపంలో మాకు అదనపు పరిమితి ఉందని గుర్తుంచుకోండి:

ఈ అవసరాన్ని ఎలా పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి? కనుగొనబడిన మూలాలను భర్తీ చేసి, ఈ $x$కి అసమానత ఉందా లేదా అని తనిఖీ చేద్దాం. మాకు ఉన్నాయి:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అందువలన, రూట్ $x=1.5$ మనకు సరిపోదు. మరియు ప్రతిస్పందనగా రెండు మూలాలు మాత్రమే ఉంటాయి:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఈ సందర్భంలో కూడా సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు - మాడ్యూళ్ళతో సమీకరణాలు ఎల్లప్పుడూ అల్గోరిథం ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి. మీరు బహుపదాలు మరియు అసమానతలపై మంచి అవగాహన కలిగి ఉండాలి. అందువల్ల, మేము మరింత క్లిష్టమైన పనులకు వెళ్తాము - ఇప్పటికే ఒకటి కాదు, రెండు మాడ్యూల్స్ ఉంటాయి.

రెండు మాడ్యూళ్లతో సమీకరణాలు

ఇప్పటి వరకు, మేము సరళమైన సమీకరణాలను మాత్రమే అధ్యయనం చేసాము - ఒక మాడ్యూల్ మరియు మరొకటి ఉంది. మేము మాడ్యూల్‌కు దూరంగా అసమానత యొక్క మరొక భాగానికి ఈ “వేరేదో” పంపాము, తద్వారా చివరికి ప్రతిదీ $\left| రూపంలోని సమీకరణానికి తగ్గించబడుతుంది. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ లేదా ఇంకా సరళమైన $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

కానీ కిండర్ గార్టెన్ ముగిసింది - ఇది మరింత తీవ్రంగా పరిగణించాల్సిన సమయం. ఇలాంటి సమీకరణాలతో ప్రారంభిద్దాం:

\[\ఎడమ| f\left(x \right) \right|=\left| g\ఎడమ(x \కుడి) \కుడి|\]

ఇది "మాడ్యులస్ ఈక్వల్ మాడ్యులస్" రూపం యొక్క సమీకరణం. ప్రాథమికంగా ముఖ్యమైన అంశం ఇతర నిబంధనలు మరియు కారకాలు లేకపోవడం: ఎడమవైపున ఒక మాడ్యూల్ మాత్రమే, కుడివైపున మరొక మాడ్యూల్ - మరియు మరేమీ లేదు.

మనం ఇప్పటి వరకు చదివిన దానికంటే ఇలాంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం చాలా కష్టమని ఎవరైనా ఇప్పుడు అనుకుంటారు. కానీ లేదు: ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం మరింత సులభం. ఇక్కడ సూత్రం ఉంది:

\[\ఎడమ| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

అన్నీ! సబ్‌మోడ్యులర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లలో ఒకదాని ముందు ప్లస్ లేదా మైనస్ గుర్తును ఉంచడం ద్వారా మేము వాటిని సమం చేస్తాము. ఆపై మేము ఫలిత రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము - మరియు మూలాలు సిద్ధంగా ఉన్నాయి! అదనపు పరిమితులు లేవు, అసమానతలు మొదలైనవి లేవు. ప్రతిదీ చాలా సులభం.

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

\[\ఎడమ| 2x+3 \కుడి|=\ఎడమ| 2x-7 \కుడి|\]

ఎలిమెంటరీ వాట్సన్! మాడ్యూళ్లను విస్తరిస్తోంది:

\[\ఎడమ| 2x+3 \కుడి|=\ఎడమ| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

ప్రతి కేసును విడిగా పరిశీలిద్దాం:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మొదటి సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. ఎందుకంటే $3=-7$ ఎప్పుడు? $x$ ఏ విలువలతో? “$x$ అంటే ఏమిటి? మీరు రాళ్లతో కొట్టారా? అక్కడ $x$ ఏమీ లేదు, ”అని మీరు అంటున్నారు. మరియు మీరు సరిగ్గా ఉంటారు. మేము $x$ వేరియబుల్‌పై ఆధారపడని సమానత్వాన్ని పొందాము మరియు అదే సమయంలో సమానత్వం కూడా తప్పు. అందుకే మూలాలు లేవు :)

రెండవ సమీకరణంతో, ప్రతిదీ కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది, కానీ చాలా చాలా సులభం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ప్రతిదీ అక్షరాలా రెండు పంక్తులలో పరిష్కరించబడింది - మేము సరళ సమీకరణం నుండి మరేమీ ఆశించలేదు.

ఫలితంగా, చివరి సమాధానం: $x=1$.

కాబట్టి ఎలా? కష్టమా? అస్సలు కానే కాదు. ఇంకేదైనా ప్రయత్నిద్దాం:

\[\ఎడమ| x-1 \కుడి|=\ఎడమ| ((x)^(2))-3x+2 \కుడి|\]

మళ్ళీ మనకు $\left| రూపం యొక్క సమీకరణం ఉంది f\left(x \right) \right|=\left| g\ఎడమ(x \కుడి) \కుడి|$. అందువల్ల, మాడ్యులస్ చిహ్నాన్ని బహిర్గతం చేస్తూ మేము వెంటనే దాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

బహుశా ఇప్పుడు ఎవరైనా ఇలా అడుగుతారు: “హే, ఏమి అర్ధంలేనిది? "ప్లస్-మైనస్" ఎందుకు ఎడమవైపు కాకుండా కుడి చేతి వ్యక్తీకరణలో కనిపిస్తుంది?" ప్రశాంతంగా ఉండండి, నేను ఇప్పుడు ప్రతిదీ వివరిస్తాను. నిజమే, మంచి మార్గంలో మన సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాసి ఉండాలి:

అప్పుడు మీరు బ్రాకెట్లను తెరవాలి, అన్ని నిబంధనలను సమాన గుర్తు యొక్క ఒక వైపుకు తరలించాలి (సమీకరణం, స్పష్టంగా, రెండు సందర్భాల్లోనూ చతురస్రంగా ఉంటుంది), ఆపై మూలాలను కనుగొనండి. కానీ మీరు తప్పక అంగీకరించాలి: "ప్లస్-మైనస్" మూడు పదాలకు ముందు కనిపించినప్పుడు (ముఖ్యంగా ఈ పదాలలో ఒకటి చతురస్రాకార వ్యక్తీకరణ అయినప్పుడు), "ప్లస్-మైనస్" కేవలం రెండు పదాల ముందు కనిపించే పరిస్థితి కంటే ఏదో ఒకవిధంగా మరింత క్లిష్టంగా కనిపిస్తుంది.

కానీ అసలు సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయకుండా ఏమీ నిరోధించలేదు:

\[\ఎడమ| x-1 \కుడి|=\ఎడమ| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \కుడి|=\ఎడమ| x-1 \కుడి|\]

ఏం జరిగింది? ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు: వారు కేవలం ఎడమ మరియు కుడి వైపులా మార్చుకున్నారు. చివరికి మన జీవితాన్ని కొంచెం సులభతరం చేసే ఒక చిన్న విషయం.

సాధారణంగా, మేము ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము, ప్లస్ మరియు మైనస్‌లతో కూడిన ఎంపికలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మొదటి సమీకరణం $x=3$ మరియు $x=1$ మూలాలను కలిగి ఉంది. రెండవది సాధారణంగా ఖచ్చితమైన చతురస్రం:

\[((x)^(2))-2x+1=((\ఎడమ(x-1 \కుడి))^(2))\]

కాబట్టి, దీనికి ఒకే ఒక మూలం ఉంది: $x=1$. కానీ మేము ఇప్పటికే ఈ మూలాన్ని ముందుగానే పొందాము. కాబట్టి, రెండు సంఖ్యలు మాత్రమే తుది సమాధానానికి వెళ్తాయి:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

లక్ష్యం పూర్తియ్యింది! మీరు షెల్ఫ్ నుండి పై తీసుకొని తినవచ్చు. వాటిలో 2 ఉన్నాయి, మీది మధ్యలో ఉంది :)

ముఖ్య గమనిక. మాడ్యూల్ యొక్క విస్తరణ యొక్క విభిన్న వైవిధ్యాల కోసం ఒకే మూలాలు ఉండటం అంటే అసలు బహుపదిలు కారకంగా ఉంటాయి మరియు ఈ కారకాలలో ఖచ్చితంగా ఒక సాధారణం ఉంటుంది. నిజంగా:

\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం)& \ఎడమ| x-1 \కుడి|=\ఎడమ| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \ఎడమ| x-1 \కుడి|=\ఎడమ| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మాడ్యూల్ లక్షణాలలో ఒకటి: $\left| a\cdot b \right|=\left| ఒక \కుడి|\cdot \left| b \right|$ (అనగా ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్ మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం), కాబట్టి అసలు సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\ఎడమ| x-1 \కుడి|=\ఎడమ| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \కుడి|\]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మాకు నిజంగా ఒక సాధారణ అంశం ఉంది. ఇప్పుడు, మీరు అన్ని మాడ్యూళ్ళను ఒక వైపున సేకరిస్తే, మీరు బ్రాకెట్ నుండి ఈ కారకాన్ని తీసుకోవచ్చు:

\[\ప్రారంభం(సమలేఖనం)& \ఎడమ| x-1 \కుడి|=\ఎడమ| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \ right|; \\& \ఎడమ| x-1 \కుడి|-\ఎడమ| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \ఎడమ| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సరే, ఇప్పుడు కనీసం ఒక కారకాలు సున్నాకి సమానమైనప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం అని గుర్తుంచుకోండి:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం) \కుడివైపు.\]

ఈ విధంగా, రెండు మాడ్యూళ్ళతో ఉన్న అసలు సమీకరణం పాఠం ప్రారంభంలో మనం మాట్లాడిన రెండు సరళమైన సమీకరణాలకు తగ్గించబడింది. ఇటువంటి సమీకరణాలను అక్షరాలా రెండు పంక్తులలో పరిష్కరించవచ్చు.

ఈ వ్యాఖ్య అనవసరంగా సంక్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు మరియు ఆచరణలో వర్తించదు. అయితే, వాస్తవానికి, మీరు ఈ రోజు చూస్తున్న వాటి కంటే చాలా క్లిష్టమైన సమస్యలను ఎదుర్కోవచ్చు. వాటిలో, మాడ్యూల్‌లను బహుపదాలు, అంకగణిత మూలాలు, సంవర్గమానాలు మొదలైన వాటితో కలపవచ్చు. మరియు అటువంటి పరిస్థితులలో, బ్రాకెట్ల నుండి ఏదైనా తీసుకోవడం ద్వారా సమీకరణం యొక్క మొత్తం స్థాయిని తగ్గించే సామర్థ్యం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది :)

ఇప్పుడు నేను మరొక సమీకరణాన్ని చూడాలనుకుంటున్నాను, ఇది మొదటి చూపులో పిచ్చిగా అనిపించవచ్చు. మాడ్యూల్స్‌పై తమకు మంచి అవగాహన ఉందని భావించే వారు కూడా చాలా మంది విద్యార్థులు దానిపై చిక్కుకుంటారు.

అయితే, ఈ సమీకరణం మనం ఇంతకు ముందు చూసినదానికంటే పరిష్కరించడం చాలా సులభం. మరియు ఎందుకు అని మీరు అర్థం చేసుకుంటే, మాడ్యులితో సమీకరణాలను త్వరగా పరిష్కరించడానికి మీరు మరొక ఉపాయాన్ని పొందుతారు.

కాబట్టి సమీకరణం:

\[\ఎడమ| x-((x)^(3)) \కుడి|+\ఎడమ| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

లేదు, ఇది అక్షర దోషం కాదు: ఇది మాడ్యూళ్ల మధ్య ప్లస్. మరియు రెండు మాడ్యూళ్ల మొత్తం సున్నాకి సమానం అయిన $x$ని మనం కనుగొనాలి.

అయినా సమస్య ఏమిటి? కానీ సమస్య ఏమిటంటే ప్రతి మాడ్యూల్ సానుకూల సంఖ్య, లేదా, తీవ్రమైన సందర్భాల్లో, సున్నా. మీరు రెండు సానుకూల సంఖ్యలను జోడిస్తే ఏమి జరుగుతుంది? సహజంగానే మళ్లీ సానుకూల సంఖ్య:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\ end(align)\]

చివరి పంక్తి మీకు ఒక ఆలోచనను అందించవచ్చు: ప్రతి మాడ్యూల్ సున్నా అయితే మాత్రమే మాడ్యూల్‌ల మొత్తం సున్నా అవుతుంది:

\[\ఎడమ| x-((x)^(3)) \కుడి|+\ఎడమ| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0 \\\ end(align) \right.\]

మరియు మాడ్యూల్ సున్నాకి ఎప్పుడు సమానంగా ఉంటుంది? ఒక సందర్భంలో మాత్రమే - సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\ end(align) \right.\]

ఈ విధంగా, మేము మొదటి మాడ్యూల్ సున్నాకి రీసెట్ చేయబడిన మూడు పాయింట్లను కలిగి ఉన్నాము: 0, 1 మరియు −1; అలాగే రెండవ మాడ్యూల్ సున్నాకి రీసెట్ చేయబడిన రెండు పాయింట్లు: −2 మరియు 1. అయితే, మనకు రెండు మాడ్యూల్‌లను ఒకే సమయంలో సున్నాకి రీసెట్ చేయాలి, కనుక దొరికిన సంఖ్యలలో మనం చేర్చబడిన వాటిని ఎంచుకోవాలి రెండు సెట్లు. సహజంగానే, అటువంటి సంఖ్య మాత్రమే ఉంది: $x=1$ - ఇది చివరి సమాధానం.

చీలిక పద్ధతి

సరే, మేము ఇప్పటికే అనేక సమస్యలను కవర్ చేసాము మరియు చాలా టెక్నిక్‌లను నేర్చుకున్నాము. అంతే అనుకుంటున్నారా? కానీ కాదు! ఇప్పుడు మేము చివరి సాంకేతికతను పరిశీలిస్తాము - మరియు అదే సమయంలో చాలా ముఖ్యమైనది. మేము మాడ్యులస్‌తో సమీకరణాలను విభజించడం గురించి మాట్లాడుతాము. మనం కూడా దేని గురించి మాట్లాడుతాము? కొంచెం వెనక్కి వెళ్లి కొన్ని సాధారణ సమీకరణాలను చూద్దాం. ఉదాహరణకు ఇది:

\[\ఎడమ| 3x-5 \right|=5-3x\]

సూత్రప్రాయంగా, అటువంటి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు, ఎందుకంటే ఇది $\left| రూపం యొక్క ప్రామాణిక నిర్మాణం. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. కానీ ఈ సమీకరణాన్ని కొంచెం భిన్నమైన కోణం నుండి చూడటానికి ప్రయత్నిద్దాం. మరింత ఖచ్చితంగా, మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి. ఏదైనా సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉండవచ్చు లేదా ఈ సంఖ్యకు వ్యతిరేకం కావచ్చు అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

\[\ఎడమ| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\ end(align) \right.\]

వాస్తవానికి, ఈ అస్పష్టత మొత్తం సమస్య: మాడ్యులస్ కింద సంఖ్య మారుతుంది కాబట్టి (ఇది వేరియబుల్‌పై ఆధారపడి ఉంటుంది), ఇది సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా అనేది మాకు స్పష్టంగా తెలియదు.

అయితే ఈ సంఖ్య సానుకూలంగా ఉండాలని మీరు మొదట కోరితే ఏమి చేయాలి? ఉదాహరణకు, మాకు $3x-5 \gt 0$ అవసరం - ఈ సందర్భంలో మాడ్యులస్ గుర్తు కింద సానుకూల సంఖ్యను పొందుతామని హామీ ఇవ్వబడుతుంది మరియు మేము ఈ మాడ్యులస్‌ను పూర్తిగా వదిలించుకోవచ్చు:

అందువలన, మా సమీకరణం సరళంగా మారుతుంది, ఇది సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది:

నిజమే, ఈ ఆలోచనలన్నీ $3x-5 \gt 0$ షరతులో మాత్రమే అర్ధవంతంగా ఉంటాయి - మాడ్యూల్‌ను నిస్సందేహంగా బహిర్గతం చేయడానికి మేము ఈ అవసరాన్ని పరిచయం చేసాము. కాబట్టి, కనుగొనబడిన $x=\frac(5)(3)$ని ఈ షరతుకు ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు తనిఖీ చేయండి:

పేర్కొన్న $x$ విలువ కోసం మా అవసరం లేదు, ఎందుకంటే వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానం అని తేలింది మరియు అది సున్నా కంటే ఖచ్చితంగా ఎక్కువగా ఉండాలి. విచారంగా. :(

అయితే పర్వాలేదు! అన్నింటికంటే, మరొక ఎంపిక $3x-5 \lt 0$ ఉంది. అంతేకాకుండా: $3x-5=0$ కేసు కూడా ఉంది - ఇది కూడా పరిగణించాల్సిన అవసరం ఉంది, లేకపోతే పరిష్కారం అసంపూర్ణంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, కేసును పరిగణించండి $3x-5 \lt 0$:

సహజంగానే, మాడ్యూల్ మైనస్ గుర్తుతో తెరవబడుతుంది. కానీ అప్పుడు ఒక వింత పరిస్థితి తలెత్తుతుంది: అసలు సమీకరణంలో ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఒకే వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది:

$5-3x$ వ్యక్తీకరణ $5-3x$కి సమానం అని నేను ఆశ్చర్యపోతున్నాను? అటువంటి సమీకరణాల నుండి కెప్టెన్ అబ్వియస్‌నెస్ కూడా అతని లాలాజలాన్ని ఉక్కిరిబిక్కిరి చేస్తుంది, కానీ మనకు తెలుసు: ఈ సమీకరణం ఒక గుర్తింపు, అనగా. వేరియబుల్ యొక్క ఏదైనా విలువకు ఇది నిజం!

అంటే ఏదైనా $x$ మనకు సరిపోతుందని అర్థం. అయితే, మాకు ఒక పరిమితి ఉంది:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమాధానం ఒకే సంఖ్య కాదు, కానీ మొత్తం విరామం:

చివరగా, పరిగణించవలసిన మరో కేసు మిగిలి ఉంది: $3x-5=0$. ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా సులభం: మాడ్యులస్ క్రింద సున్నా ఉంటుంది మరియు సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ కూడా సున్నాకి సమానం (ఇది నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది):

అయితే అసలు సమీకరణం $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

మేము $3x-5 \gt 0$ కేసును పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు మేము ఇప్పటికే ఈ మూలాన్ని పొందాము. అంతేకాకుండా, ఈ రూట్ $3x-5=0$ సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం - ఇది మాడ్యూల్‌ను రీసెట్ చేయడానికి మనమే పరిచయం చేసుకున్న పరిమితి.

అందువల్ల, విరామంతో పాటు, ఈ విరామం చివరిలో ఉన్న సంఖ్యతో కూడా మేము సంతృప్తి చెందుతాము:

మాడ్యులో సమీకరణాలలో మూలాలను కలపడం

మొత్తం తుది సమాధానం: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ మాడ్యులస్‌తో చాలా సరళమైన (ముఖ్యంగా సరళమైన) సమీకరణానికి సమాధానంలో ఇటువంటి చెత్తను చూడటం చాలా సాధారణం కాదు , బాగా, దీన్ని అలవాటు చేసుకోండి: మాడ్యూల్ యొక్క కష్టం ఏమిటంటే, అటువంటి సమీకరణాలలో సమాధానాలు పూర్తిగా అనూహ్యంగా ఉంటాయి.

మరొకటి చాలా ముఖ్యమైనది: మేము మాడ్యులస్‌తో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సార్వత్రిక అల్గారిథమ్‌ను విశ్లేషించాము! మరియు ఈ అల్గోరిథం క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1. సమీకరణంలోని ప్రతి మాడ్యులస్‌ను సున్నాకి సమం చేయండి. మేము అనేక సమీకరణాలను పొందుతాము;
2. ఈ సమీకరణాలన్నింటినీ పరిష్కరించండి మరియు సంఖ్య రేఖపై మూలాలను గుర్తించండి. ఫలితంగా, సరళ రేఖ అనేక విరామాలుగా విభజించబడుతుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి అన్ని మాడ్యూల్స్ ప్రత్యేకంగా బహిర్గతం చేయబడతాయి;
3. ప్రతి విరామం కోసం అసలు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి మరియు మీ సమాధానాలను కలపండి.

అంతే! ఒక్క ప్రశ్న మాత్రమే మిగిలి ఉంది: దశ 1లో పొందిన మూలాలను ఏమి చేయాలి? మనకు రెండు మూలాలు ఉన్నాయని అనుకుందాం: $x=1$ మరియు $x=5$. వారు సంఖ్య రేఖను 3 ముక్కలుగా విభజిస్తారు:

పాయింట్లను ఉపయోగించి సంఖ్య రేఖను విరామాలుగా విభజించడం

కాబట్టి విరామాలు ఏమిటి? వాటిలో మూడు ఉన్నాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది:

1. ఎడమవైపున ఒకటి: $x \lt 1$ — యూనిట్ కూడా విరామంలో చేర్చబడలేదు;
2. సెంట్రల్: $1\le x \lt 5$ - ఇక్కడ ఒకటి విరామంలో చేర్చబడింది, కానీ ఐదు చేర్చబడలేదు;
3. కుడివైపు: $x\ge 5$ - ఐదు మాత్రమే ఇక్కడ చేర్చబడింది!

మీరు ఇప్పటికే నమూనాను అర్థం చేసుకున్నారని నేను భావిస్తున్నాను. ప్రతి విరామం ఎడమ చివరను కలిగి ఉంటుంది మరియు కుడి వైపును కలిగి ఉండదు.

మొదటి చూపులో, అటువంటి ప్రవేశం అసౌకర్యంగా, అశాస్త్రీయంగా మరియు సాధారణంగా వెర్రిగా అనిపించవచ్చు. కానీ నన్ను నమ్మండి: కొంచెం అభ్యాసం చేసిన తర్వాత, ఈ విధానం అత్యంత నమ్మదగినదని మరియు మాడ్యూళ్ళను నిస్సందేహంగా తెరవడంలో జోక్యం చేసుకోదని మీరు కనుగొంటారు. ప్రతిసారీ ఆలోచించడం కంటే అటువంటి పథకాన్ని ఉపయోగించడం ఉత్తమం: ప్రస్తుత విరామానికి ఎడమ / కుడి ముగింపు ఇవ్వండి లేదా తదుపరి దానికి "త్రో" చేయండి.

మాడ్యులస్‌తో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంతరచుగా ఇబ్బందులు కలిగిస్తుంది. అయితే, అది ఏమిటో మీరు బాగా అర్థం చేసుకుంటే సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ, మరియు మాడ్యులస్ గుర్తును కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలను ఎలా సరిగ్గా విస్తరించాలి, అప్పుడు సమీకరణంలో ఉనికి మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద వ్యక్తీకరణ, దాని పరిష్కారానికి అడ్డంకిగా నిలిచిపోతుంది.

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం. ప్రతి సంఖ్యకు రెండు లక్షణాలు ఉంటాయి: సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ మరియు దాని గుర్తు.

ఉదాహరణకు, సంఖ్య +5 లేదా కేవలం 5, "+" గుర్తు మరియు 5 యొక్క సంపూర్ణ విలువను కలిగి ఉంటుంది.

సంఖ్య -5 "-" గుర్తు మరియు 5 యొక్క సంపూర్ణ విలువను కలిగి ఉంటుంది.

5 మరియు -5 సంఖ్యల సంపూర్ణ విలువలు 5.

సంఖ్య x యొక్క సంపూర్ణ విలువను సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ అంటారు మరియు ఇది |x|తో సూచించబడుతుంది.

మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ఈ సంఖ్య సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటే సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఈ సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే వ్యతిరేక గుర్తుతో ఈ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది.

మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద కనిపించే ఏవైనా వ్యక్తీకరణలకు ఇది వర్తిస్తుంది.

మాడ్యూల్ విస్తరణ నియమం ఇలా కనిపిస్తుంది:

|f(x)|= f(x) అయితే f(x) ≥ 0, మరియు

|f(x)|= - f(x), f(x) అయితే< 0

ఉదాహరణకు |x-3|=x-3, అయితే x-3≥0 మరియు |x-3|=-(x-3)=3-x, అయితే x-3<0.

మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు ముందుగా ఉండాలి మాడ్యూల్ విస్తరణ నియమం ప్రకారం మాడ్యూల్‌ను విస్తరించండి.

అప్పుడు మన సమీకరణం లేదా అసమానత అవుతుంది రెండు వేర్వేరు సంఖ్యా విరామాలలో ఉన్న రెండు విభిన్న సమీకరణాలలోకి.

మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద వ్యక్తీకరణ ప్రతికూలంగా ఉండని సంఖ్యా విరామంలో ఒక సమీకరణం ఉంది.

మరియు మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద వ్యక్తీకరణ ప్రతికూలంగా ఉండే విరామంలో రెండవ సమీకరణం ఉంది.

ఒక సాధారణ ఉదాహరణ చూద్దాం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. మాడ్యూల్‌ను తెరవండి.

|x-3|=x-3, x-3≥0 అయితే, అనగా. x≥3 అయితే

|x-3|=-(x-3)=3-x అయితే x-3<0, т.е. если х<3

2. మేము రెండు సంఖ్యా విరామాలను అందుకున్నాము: x≥3 మరియు x<3.

ప్రతి విరామంలో అసలు సమీకరణం ఏ సమీకరణాలలోకి మారుతుందో పరిశీలిద్దాం:

ఎ) x≥3 |x-3|=x-3 కోసం, మరియు మన గాయానికి రూపం ఉంది:

శ్రద్ధ! ఈ సమీకరణం x≥3 విరామంలో మాత్రమే ఉంది!

బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను అందిద్దాం:

మరియు ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ఈ సమీకరణానికి మూలాలు ఉన్నాయి:

x 1 =0, x 2 =3

శ్రద్ధ! x-3=-x 2 +4x-3 సమీకరణం x≥3 విరామంలో మాత్రమే ఉన్నందున, మేము ఈ విరామానికి చెందిన మూలాలపై మాత్రమే ఆసక్తిని కలిగి ఉన్నాము. ఈ పరిస్థితి x 2 =3 ద్వారా మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది.

బి) x వద్ద<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

శ్రద్ధ! ఈ సమీకరణం x విరామంలో మాత్రమే ఉంటుంది<3!

బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, సారూప్య నిబంధనలను అందజేద్దాం. మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

x 1 =2, x 2 =3

శ్రద్ధ! 3-x=-x 2 +4x-3 సమీకరణం x విరామంలో మాత్రమే ఉంటుంది కాబట్టి<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

కాబట్టి: మొదటి విరామం నుండి మనం రూట్ x=3 మాత్రమే తీసుకుంటాము, రెండవది - రూట్ x=2.

మాడ్యులస్ అనేది వ్యక్తీకరణ యొక్క సంపూర్ణ విలువ. ఏదో ఒక మాడ్యూల్‌ను సూచించడానికి, స్ట్రెయిట్ బ్రాకెట్‌లను ఉపయోగించడం ఆచారం. సమాన బ్రాకెట్లలో చేర్చబడిన విలువ మాడ్యులో తీసుకోబడిన విలువ. ఏదైనా మాడ్యూల్‌ను పరిష్కరించే ప్రక్రియ చాలా స్ట్రెయిట్ బ్రాకెట్‌లను తెరవడంలో ఉంటుంది, వీటిని గణిత భాషలో మాడ్యులర్ బ్రాకెట్‌లు అంటారు. వారి బహిర్గతం నిర్దిష్ట సంఖ్యలో నియమాల ప్రకారం జరుగుతుంది. అలాగే, మాడ్యూల్‌లను పరిష్కరించే క్రమంలో, మాడ్యులర్ బ్రాకెట్‌లలో ఉన్న వ్యక్తీకరణల విలువల సెట్‌లు కనుగొనబడతాయి. చాలా సందర్భాలలో, సబ్‌మాడ్యులర్‌గా ఉన్న వ్యక్తీకరణ సున్నాతో సహా సానుకూల మరియు ప్రతికూల విలువలను పొందే విధంగా మాడ్యూల్ విస్తరించబడుతుంది. మేము మాడ్యూల్ యొక్క స్థాపించబడిన లక్షణాల నుండి ప్రారంభించినట్లయితే, ప్రక్రియలో అసలు వ్యక్తీకరణ నుండి వివిధ సమీకరణాలు లేదా అసమానతలు సంకలనం చేయబడతాయి, అప్పుడు వాటిని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది. మాడ్యూళ్ళను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకుందాం.

పరిష్కార ప్రక్రియ

మాడ్యూల్‌ను పరిష్కరించడం అనేది మాడ్యూల్‌తో అసలు సమీకరణాన్ని రాయడం ద్వారా ప్రారంభమవుతుంది. మాడ్యులస్‌తో సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి, మీరు దాన్ని పూర్తిగా తెరవాలి. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మాడ్యూల్ విస్తరించబడింది. అన్ని మాడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలను తప్పనిసరిగా పరిగణించాలి. దాని కూర్పులో చేర్చబడిన తెలియని పరిమాణాల విలువలను నిర్ణయించడం అవసరం, బ్రాకెట్లలోని మాడ్యులర్ వ్యక్తీకరణ సున్నా అవుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, మాడ్యులర్ బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణను సున్నాకి సమం చేయడం సరిపోతుంది, ఆపై ఫలిత సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని లెక్కించండి. కనుగొనబడిన విలువలు తప్పనిసరిగా నమోదు చేయబడాలి. అదే విధంగా, మీరు ఈ సమీకరణంలోని అన్ని మాడ్యూల్‌ల కోసం అన్ని తెలియని వేరియబుల్స్ విలువను కూడా నిర్ణయించాలి. తరువాత, మీరు వ్యక్తీకరణలలో వేరియబుల్స్ ఉనికి యొక్క అన్ని సందర్భాలను నిర్వచించడం మరియు పరిగణించడం ప్రారంభించాలి, అవి విలువ సున్నాకి భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు అసమానతలోని అన్ని మాడ్యూళ్లకు సంబంధించిన అసమానతల యొక్క కొన్ని వ్యవస్థను వ్రాయాలి. అసమానతలు తప్పనిసరిగా వ్రాయబడాలి, తద్వారా అవి సంఖ్య లైన్‌లో కనిపించే వేరియబుల్ కోసం అందుబాటులో ఉన్న మరియు సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలను కవర్ చేస్తాయి. అప్పుడు మీరు విజువలైజేషన్ కోసం ఇదే నంబర్ లైన్‌ను గీయాలి, దానిపై తరువాత పొందిన అన్ని విలువలను ప్లాట్ చేయాలి.

దాదాపు ప్రతిదీ ఇప్పుడు ఇంటర్నెట్‌లో చేయవచ్చు. మాడ్యూల్ నియమానికి మినహాయింపు కాదు. మీరు అనేక ఆధునిక వనరులలో ఒకదానిలో దీన్ని ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించవచ్చు. సున్నా మాడ్యూల్‌లో ఉన్న వేరియబుల్ యొక్క అన్ని విలువలు మాడ్యులర్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ప్రక్రియలో ఉపయోగించబడే ప్రత్యేక పరిమితిగా ఉంటాయి. అసలు సమీకరణంలో, మీరు అందుబాటులో ఉన్న అన్ని మాడ్యులర్ బ్రాకెట్‌లను తెరవాలి, వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చేటప్పుడు, కావలసిన వేరియబుల్ యొక్క విలువలు సంఖ్య రేఖపై కనిపించే విలువలతో సమానంగా ఉంటాయి. ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు పొందే వేరియబుల్ విలువను తప్పనిసరిగా మాడ్యూల్ ద్వారా నిర్దేశించిన పరిమితికి వ్యతిరేకంగా తనిఖీ చేయాలి. వేరియబుల్ యొక్క విలువ పరిస్థితిని పూర్తిగా సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, అది సరైనది. సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం సమయంలో పొందబడే అన్ని మూలాలు, కానీ పరిమితులకు సరిపోవు, తప్పనిసరిగా విస్మరించబడాలి.

ఈ ఆన్‌లైన్ గణిత కాలిక్యులేటర్ మీకు సహాయం చేస్తుంది మాడ్యులితో సమీకరణం లేదా అసమానతను పరిష్కరించండి. కోసం ప్రోగ్రామ్ మాడ్యులితో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంసమస్యకు సమాధానం ఇవ్వడమే కాదు, దారి తీస్తుంది వివరణలతో వివరణాత్మక పరిష్కారం, అనగా ఫలితాన్ని పొందే ప్రక్రియను ప్రదర్శిస్తుంది.

ఈ కార్యక్రమం సాధారణ విద్యా పాఠశాలల్లోని ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థులకు పరీక్షలు మరియు పరీక్షలకు సిద్ధమవుతున్నప్పుడు, ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షకు ముందు జ్ఞానాన్ని పరీక్షించేటప్పుడు మరియు గణితం మరియు బీజగణితంలో అనేక సమస్యల పరిష్కారాన్ని నియంత్రించడానికి తల్లిదండ్రులకు ఉపయోగపడుతుంది. లేదా మీరు ట్యూటర్‌ని నియమించుకోవడం లేదా కొత్త పాఠ్యపుస్తకాలను కొనుగోలు చేయడం చాలా ఖరీదైనదా? లేదా మీరు మీ గణితం లేదా బీజగణితం హోంవర్క్‌ని వీలైనంత త్వరగా పూర్తి చేయాలనుకుంటున్నారా? ఈ సందర్భంలో, మీరు మా ప్రోగ్రామ్‌లను వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

ఈ విధంగా, మీరు మీ స్వంత శిక్షణ మరియు/లేదా మీ తమ్ముళ్లు లేదా సోదరీమణుల శిక్షణను నిర్వహించవచ్చు, అయితే సమస్యలను పరిష్కరించే రంగంలో విద్యా స్థాయి పెరుగుతుంది.

|x| లేదా abs(x) - మాడ్యూల్ x

మాడ్యులితో సమీకరణం లేదా అసమానతను నమోదు చేయండి

సమీకరణం లేదా అసమానతను పరిష్కరించండి

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన కొన్ని స్క్రిప్ట్‌లు లోడ్ చేయబడలేదని మరియు ప్రోగ్రామ్ పని చేయకపోవచ్చని కనుగొనబడింది.
మీరు AdBlock ప్రారంభించబడి ఉండవచ్చు.
ఈ సందర్భంలో, దాన్ని నిలిపివేయండి మరియు పేజీని రిఫ్రెష్ చేయండి.

మీ బ్రౌజర్‌లో జావాస్క్రిప్ట్ నిలిపివేయబడింది.
పరిష్కారం కనిపించాలంటే, మీరు జావాస్క్రిప్ట్‌ని ప్రారంభించాలి.
మీ బ్రౌజర్‌లో జావాస్క్రిప్ట్‌ను ఎలా ప్రారంభించాలో ఇక్కడ సూచనలు ఉన్నాయి.

ఎందుకంటే సమస్యను పరిష్కరించడానికి చాలా మంది సిద్ధంగా ఉన్నారు, మీ అభ్యర్థన క్యూలో ఉంచబడింది.
కొన్ని సెకన్లలో పరిష్కారం క్రింద కనిపిస్తుంది.
దయచేసి వేచి ఉండండి సెకను...

ఒకవేళ నువ్వు పరిష్కారంలో లోపాన్ని గమనించారు, అప్పుడు మీరు దీని గురించి అభిప్రాయ ఫారమ్‌లో వ్రాయవచ్చు.
మర్చిపోవద్దు ఏ పనిని సూచించండిమీరు ఏమి నిర్ణయించుకుంటారు ఫీల్డ్‌లలోకి ప్రవేశించండి.

మా ఆటలు, పజిల్స్, ఎమ్యులేటర్లు:

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం.

మాడ్యులితో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు

ప్రాథమిక పాఠశాల బీజగణిత కోర్సులో, మీరు మాడ్యులితో సరళమైన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను ఎదుర్కోవచ్చు. వాటిని పరిష్కరించడానికి, \(|x-a| \) అనేది x మరియు a పాయింట్ల మధ్య సంఖ్య రేఖపై దూరం అనే వాస్తవం ఆధారంగా మీరు రేఖాగణిత పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). ఉదాహరణకు, \(|x-3|=2\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మీరు పాయింట్ 3 నుండి 2 దూరంలో ఉన్న సంఖ్య రేఖపై పాయింట్లను కనుగొనాలి. అటువంటి రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి: \(x_1=1 \) మరియు \(x_2=5\) .

అసమానతను పరిష్కరించడం \(|2x+7|

కానీ మాడ్యులీతో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన మార్గం "నిర్వచనం ద్వారా మాడ్యులస్ యొక్క వెల్లడి" అని పిలవబడే దానితో ముడిపడి ఉంటుంది:
\(a \geq 0 \), అప్పుడు \(|a|=a \);
\(a నియమం ప్రకారం, మాడ్యులితో సమీకరణం (అసమానత్వం) మాడ్యులస్ గుర్తును కలిగి లేని సమీకరణాల (అసమానతలు) సమితికి తగ్గించబడుతుంది.

పై నిర్వచనానికి అదనంగా, కింది ప్రకటనలు ఉపయోగించబడతాయి:
1) \(c > 0\), అయితే \(|f(x)|=c \) సమీకరణాల సమితికి సమానం: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) \(c > 0 \), అప్పుడు అసమానత \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \) అయితే, అసమానత \(|f(x)| > c \) అసమానతల సమితికి సమానం : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే \(f(x) ఉదాహరణ 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ఒకవేళ \(x-1 \geq 0\), అప్పుడు \(|x-1| = x-1\) మరియు ఇచ్చిన సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \రైట్‌టారో x^2 +2x -8 = 0 \).
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) అయితే.
అందువల్ల, సూచించిన రెండు సందర్భాలలో ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని విడిగా పరిగణించాలి.
1) లెట్ \(x-1 \geq 0 \), అనగా. \(x\geq 1\). సమీకరణం నుండి \(x^2 +2x -8 = 0\) మేము \(x_1=2, \; x_2=-4\)ని కనుగొంటాము. షరతు \(x \geq 1 \) విలువ \(x_1=2\) ద్వారా మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది.
2) లెట్ \(x-1 సమాధానం: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ఉదాహరణ 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

మొదటి మార్గం(నిర్వచనం ద్వారా మాడ్యూల్ విస్తరణ).
ఉదాహరణ 1లో తార్కికంగా, రెండు షరతులు నెరవేరినట్లయితే, ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని విడిగా పరిగణించాల్సిన అవసరం ఉందని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) లేదా \(x^2-6x+7

1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \), అప్పుడు \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) మరియు ఇచ్చిన సమీకరణం \(x రూపాన్ని తీసుకుంటుంది ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \రైట్‌టారో 3x^2-23x+30=0 \). ఈ చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, మనకు లభిస్తుంది: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6\) విలువ \(x^2-6x+7 \geq 0\) షరతును సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, సూచించిన విలువను చతురస్రాకార అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మనకు లభిస్తుంది: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), అనగా. \(7 \geq 0 \) నిజమైన అసమానత. దీనర్థం \(x_1=6\) అనేది ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క మూలం.
\(x_2=\frac(5)(3)\) విలువ \(x^2-6x+7 \geq 0\) షరతును సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, సూచించిన విలువను చతురస్రాకార అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మనకు లభిస్తుంది: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), అనగా. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) అనేది సరికాని అసమానత. దీనర్థం \(x_2=\frac(5)(3)\) ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క మూలం కాదు.

2) \(x^2-6x+7 విలువ \(x_3=3\) షరతును సంతృప్తిపరిస్తే \(x^2-6x+7 విలువ \(x_4=\frac(4)(3) \) సంతృప్తి చెందకపోతే షరతు \ (x^2-6x+7 కాబట్టి, ఇచ్చిన సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: \(x=6, \; x=3 \).

రెండవ మార్గం.\(|f(x)| = h(x) \) సమీకరణం ఇచ్చినట్లయితే, \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(శ్రేణి)\కుడి \)
ఈ రెండు సమీకరణాలు పైన పరిష్కరించబడ్డాయి (ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే మొదటి పద్ధతిని ఉపయోగించి), వాటి మూలాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). ఈ నాలుగు విలువలలోని షరతు \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) కేవలం రెండింటితో సంతృప్తి చెందుతుంది: 6 మరియు 3. దీని అర్థం ఇవ్వబడిన సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: \(x=6 , \; x=3 \ ).

మూడవ మార్గం(గ్రాఫిక్).
1) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం \(y = |x^2-6x+7| \). ముందుగా, పారాబొలా \(y = x^2-6x+7\)ని నిర్మిస్తాము. మాకు \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) ఉంది. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ \(y = (x-3)^2-2\) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ \(y = x^2\) నుండి దాన్ని 3 స్కేల్ యూనిట్‌లను కుడి వైపుకు మార్చడం ద్వారా పొందవచ్చు. x-axis) మరియు 2 స్కేల్ యూనిట్లు క్రిందికి (y-అక్షం వెంట). సరళ రేఖ x=3 అనేది మనకు ఆసక్తి ఉన్న పారాబొలా యొక్క అక్షం. మరింత ఖచ్చితమైన ప్లాటింగ్ కోసం నియంత్రణ పాయింట్లుగా, పాయింట్ (3; -2) తీసుకోవడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది - పారాబొలా యొక్క శీర్షం, పాయింట్ (0; 7) మరియు పాయింట్ (6; 7) పారాబొలా యొక్క అక్షానికి సంబంధించి దానికి సుష్టంగా ఉంటుంది. .
ఇప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి \(y = |x^2-6x+7| \), మీరు x-అక్షం దిగువన లేని నిర్మిత పారాబొలాలోని ఆ భాగాలను మార్చకుండా ఉంచాలి మరియు ఆ భాగాన్ని ప్రతిబింబించాలి x అక్షానికి సంబంధించి x-అక్షం క్రింద ఉన్న పారాబొలా.
2) లీనియర్ ఫంక్షన్ \(y = \frac(5x-9)(3)\) యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం. పాయింట్లు (0; –3) మరియు (3; 2) నియంత్రణ పాయింట్లుగా తీసుకోవడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

అబ్సిస్సా అక్షంతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన యొక్క పాయింట్ x = 1.8 అనేది అబ్సిస్సా అక్షంతో పారాబొలా యొక్క ఎడమ ఖండన బిందువుకు కుడి వైపున ఉండటం ముఖ్యం - ఇది పాయింట్ \(x=3-\ sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) డ్రాయింగ్ ద్వారా నిర్ణయించడం వలన, గ్రాఫ్‌లు రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తాయి - A(3; 2) మరియు B(6; 7). వీటి యొక్క అబ్సిస్సాస్‌లను భర్తీ చేయడం ఇచ్చిన సమీకరణంలో x = 3 మరియు x = 6 అనే పాయింట్లు, రెండు సందర్భాల్లోనూ సరైన సంఖ్యాపరమైన సమానత్వం లభించిందని దీని అర్థం - ఈ సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి x = 6. సమాధానం: 3;

వ్యాఖ్య. గ్రాఫికల్ పద్ధతి, దాని చక్కదనం కోసం, చాలా నమ్మదగినది కాదు. పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, సమీకరణం యొక్క మూలాలు పూర్ణాంకాలు అయినందున మాత్రమే ఇది పని చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

మొదటి మార్గం
2x–4 అనే వ్యక్తీకరణ x = 2 పాయింట్ వద్ద 0 అవుతుంది మరియు x + 3 అనే వ్యక్తీకరణ x = –3 పాయింట్ వద్ద 0 అవుతుంది. ఈ రెండు పాయింట్లు సంఖ్య రేఖను మూడు విరామాలుగా విభజిస్తాయి: \(x

మొదటి విరామాన్ని పరిగణించండి: \((-\infty; \; -3) \).
x రెండవ విరామాన్ని పరిగణించినట్లయితే: \([-3; \; 2) \).
ఒకవేళ \(-3 \leq x మూడవ విరామాన్ని పరిగణించండి: \()