సూచనలు

పార్టీలుమరియు కోణాలను ప్రాథమిక అంశాలుగా పరిగణిస్తారు ఎ. ఒక త్రిభుజం దాని కింది ప్రాథమిక అంశాలలో దేనితోనైనా పూర్తిగా నిర్వచించబడుతుంది: మూడు భుజాలు, లేదా ఒక వైపు మరియు రెండు కోణాలు, లేదా రెండు భుజాలు మరియు వాటి మధ్య కోణం. ఉనికి కోసం త్రిభుజం a, b, c అనే మూడు వైపుల ద్వారా ఇవ్వబడినది, అసమానతలు అని పిలువబడే అసమానతలను సంతృప్తి పరచడానికి ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది త్రిభుజం:
a+b >c,
a+c > b,
b+c > a.

భవనం కోసం త్రిభుజంమూడు వైపులా a, b, c, దిక్సూచిని ఉపయోగించి b వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాన్ని గీయడం CB = a విభాగంలోని పాయింట్ C నుండి అవసరం. అప్పుడు, అదే విధంగా, పాయింట్ B నుండి ఒక వృత్తాన్ని c వైపుకు సమానమైన వ్యాసార్థంతో గీయండి. వారి ఖండన స్థానం A అనేది కోరుకున్న వాటిలో మూడవ శీర్షం త్రిభుజం ABC, ఇక్కడ AB=c, CB=a, CA=b - భుజాలు త్రిభుజం. భుజాలు a, b, c ఉంటే, సమస్య అసమానతలను సంతృప్తి పరుస్తుంది త్రిభుజందశ 1లో పేర్కొనబడింది.

ఏరియా S ఈ విధంగా నిర్మించబడింది త్రిభుజంతెలిసిన భుజాలతో ABC, a, b, c, హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
ఇక్కడ a, b, c భుజాలు త్రిభుజం, p - సెమీ చుట్టుకొలత.
p = (a+b+c)/2

ఒక త్రిభుజం సమబాహుగా ఉంటే, అంటే, దాని భుజాలన్నీ సమానంగా ఉంటాయి (a=b=c).వైశాల్యం త్రిభుజంసూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
S=(a^2 v3)/4

త్రిభుజం కుడి-కోణంగా ఉంటే, అంటే, దాని కోణాలలో ఒకటి 90°కి సమానం, మరియు దానిని ఏర్పరిచే భుజాలు కాళ్లు అయితే, మూడవ వైపు హైపోటెన్యూస్. ఈ విషయంలో చతురస్రంరెండు ద్వారా విభజించబడిన కాళ్ళ ఉత్పత్తికి సమానం.
S=ab/2

కనుగొనేందుకు చతురస్రం త్రిభుజం, మీరు అనేక సూత్రాలలో ఒకదాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. ఇప్పటికే తెలిసిన డేటా ఆధారంగా ఫార్ములాను ఎంచుకోండి.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాల పరిజ్ఞానం

సూచనలు

ఒక భుజాల పరిమాణం మరియు దానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం నుండి ఈ వైపుకు తగ్గించబడిన ఎత్తు యొక్క విలువ మీకు తెలిస్తే, మీరు ఈ క్రింది వాటిని ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని కనుగొనవచ్చు: S = a*h/2, ఇక్కడ S అనేది ప్రాంతం త్రిభుజం యొక్క, a అనేది త్రిభుజం యొక్క భుజాలలో ఒకటి, మరియు h - ఎత్తు, వైపు a.

త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు తెలిసినట్లయితే దాని వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి తెలిసిన పద్ధతి ఉంది. ఇది హెరాన్ సూత్రం. దాని రికార్డింగ్‌ను సులభతరం చేయడానికి, ఒక ఇంటర్మీడియట్ విలువ పరిచయం చేయబడింది - సెమీ చుట్టుకొలత: p = (a+b+c)/2, ఇక్కడ a, b, c - . అప్పుడు హెరాన్ సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ ఘాతాంకం.

త్రిభుజం మరియు మూడు కోణాలలో ఒక భుజం మీకు తెలుసని అనుకుందాం. అప్పుడు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం సులభం: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), ఇక్కడ β అనేది a వైపుకు వ్యతిరేక కోణం, మరియు α మరియు γ అనేది ప్రక్కకు ఆనుకుని ఉన్న కోణాలు.

అంశంపై వీడియో

గమనిక

అన్ని సందర్భాలలో సరిపోయే అత్యంత సాధారణ సూత్రం హెరాన్ యొక్క సూత్రం.

మూలాలు:

చిట్కా 3: మూడు భుజాల ఆధారంగా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం అనేది పాఠశాల ప్లానిమెట్రీలో అత్యంత సాధారణ సమస్యలలో ఒకటి. ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి త్రిభుజం యొక్క మూడు వైపులా తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. సమబాహు త్రిభుజాల ప్రత్యేక సందర్భాలలో, వరుసగా రెండు మరియు ఒక వైపు పొడవులను తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• త్రిభుజాల భుజాల పొడవు, హెరాన్ సూత్రం, కొసైన్ సిద్ధాంతం

సూచనలు

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి హెరాన్ సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). మేము సెమీ చుట్టుకొలత pని వ్రాస్తే, మనకు లభిస్తుంది: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

మీరు పరిగణనల నుండి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రాన్ని పొందవచ్చు, ఉదాహరణకు, కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా.

కొసైన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). ప్రవేశపెట్టిన సంజ్ఞామానాలను ఉపయోగించి, వీటిని ఈ రూపంలో కూడా వ్రాయవచ్చు: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). అందువల్ల, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణాన్ని ఉపయోగించి S = a*c*sin(ABC)/2 సూత్రం ద్వారా కూడా కనుగొనబడుతుంది. ABC కోణం యొక్క సైన్‌ని ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగించి దాని ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). సైన్‌ను ప్రాంతం కోసం ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేసి దానిని వ్రాయడం ద్వారా , మీరు ABC త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం కోసం సూత్రాన్ని చేరుకోవచ్చు.

అంశంపై వీడియో

మరమ్మత్తు పనిని నిర్వహించడానికి, కొలవడం అవసరం కావచ్చు చతురస్రంగోడలు ఇది పెయింట్ లేదా వాల్పేపర్ యొక్క అవసరమైన మొత్తాన్ని లెక్కించడాన్ని సులభతరం చేస్తుంది. కొలతల కోసం, టేప్ కొలత లేదా కొలిచే టేప్ను ఉపయోగించడం ఉత్తమం. తర్వాత కొలతలు తీసుకోవాలి గోడలుచదును చేశారు.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• -రౌలెట్;
• - నిచ్చెన.

సూచనలు

లెక్కించడానికి చతురస్రంగోడలు, మీరు పైకప్పుల యొక్క ఖచ్చితమైన ఎత్తును తెలుసుకోవాలి మరియు నేల వెంట పొడవును కూడా కొలవాలి. ఇది క్రింది విధంగా జరుగుతుంది: ఒక సెంటీమీటర్ తీసుకొని బేస్బోర్డ్ మీద వేయండి. సాధారణంగా మొత్తం పొడవుకు ఒక సెంటీమీటర్ సరిపోదు, కాబట్టి దానిని మూలలో భద్రపరచండి, ఆపై గరిష్ట పొడవుకు దాన్ని నిలిపివేయండి. ఈ సమయంలో, పెన్సిల్‌తో ఒక గుర్తును ఉంచండి, పొందిన ఫలితాన్ని వ్రాసి, చివరి కొలత పాయింట్ నుండి ప్రారంభించి, అదే విధంగా తదుపరి కొలతలను నిర్వహించండి.

ప్రామాణిక పైకప్పులు ఇంటిని బట్టి 2 మీటర్లు 80 సెంటీమీటర్లు, 3 మీటర్లు మరియు 3 మీటర్లు 20 సెంటీమీటర్లు. ఇల్లు 50 ల ముందు నిర్మించబడి ఉంటే, అప్పుడు చాలా మటుకు అసలు ఎత్తు సూచించిన దాని కంటే కొంచెం తక్కువగా ఉంటుంది. మీరు లెక్కలు వేస్తుంటే చతురస్రంమరమ్మత్తు పని కోసం, అప్పుడు చిన్న సరఫరా బాధించదు - ప్రమాణం ఆధారంగా పరిగణించండి. మీరు ఇప్పటికీ నిజమైన ఎత్తు తెలుసుకోవాలంటే, కొలతలు తీసుకోండి. సూత్రం పొడవును కొలిచేందుకు సమానంగా ఉంటుంది, కానీ మీకు స్టెప్లాడర్ అవసరం.

ఫలిత సూచికలను గుణించండి - ఇది చతురస్రంమీది గోడలు. నిజమే, పెయింటింగ్ చేసేటప్పుడు లేదా పెయింటింగ్ కోసం తీసివేయడం అవసరం చతురస్రంతలుపు మరియు కిటికీ ఓపెనింగ్స్. దీన్ని చేయడానికి, ఓపెనింగ్ వెంట ఒక సెంటీమీటర్ వేయండి. మేము మీరు తదనంతరం మార్చబోయే డోర్ గురించి మాట్లాడుతున్నట్లయితే, డోర్ ఫ్రేమ్‌ని మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకుని తొలగించి కొనసాగించండి చతురస్రంనేరుగా ప్రారంభానికి. విండో యొక్క ప్రాంతం దాని ఫ్రేమ్ చుట్టుకొలతతో లెక్కించబడుతుంది. తర్వాత చతురస్రంవిండో మరియు ద్వారం లెక్కించబడుతుంది, గది యొక్క మొత్తం ఫలిత ప్రాంతం నుండి ఫలితాన్ని తీసివేయండి.

గది యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పును కొలవడం ఇద్దరు వ్యక్తులచే నిర్వహించబడుతుందని దయచేసి గమనించండి, ఇది సెంటీమీటర్ లేదా టేప్ కొలతను పరిష్కరించడాన్ని సులభతరం చేస్తుంది మరియు తదనుగుణంగా, మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాన్ని పొందుతుంది. మీరు పొందే సంఖ్యలు ఖచ్చితమైనవని నిర్ధారించుకోవడానికి అదే కొలతను అనేకసార్లు తీసుకోండి.

అంశంపై వీడియో

త్రిభుజం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనడం నిజంగా పనికిమాలిన పని. వాస్తవం ఏమిటంటే త్రిభుజం రెండు డైమెన్షనల్ ఫిగర్, అనగా. ఇది పూర్తిగా ఒకే విమానంలో ఉంటుంది, అంటే దానికి వాల్యూమ్ లేదు. వాస్తవానికి, మీరు ఉనికిలో లేనిదాన్ని కనుగొనలేరు. కానీ వదులుకోవద్దు! మేము ఈ క్రింది ఊహను అంగీకరించవచ్చు: రెండు డైమెన్షనల్ ఫిగర్ యొక్క వాల్యూమ్ దాని ప్రాంతం. మేము త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం కోసం చూస్తాము.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• కాగితపు షీట్, పెన్సిల్, పాలకుడు, కాలిక్యులేటర్

సూచనలు

రూలర్ మరియు పెన్సిల్ ఉపయోగించి కాగితంపై గీయండి. త్రిభుజాన్ని జాగ్రత్తగా పరిశీలించడం ద్వారా, అది విమానంలో గీసినందున దానికి నిజంగా త్రిభుజం లేదని మీరు నిర్ధారించుకోవచ్చు. త్రిభుజం యొక్క భుజాలను లేబుల్ చేయండి: ఒక వైపు "a", మరొక వైపు "b" మరియు మూడవ వైపు "c". త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలను "A", "B" మరియు "C" అక్షరాలతో లేబుల్ చేయండి.

పాలకుడితో త్రిభుజం యొక్క ఏ వైపునైనా కొలవండి మరియు ఫలితాన్ని వ్రాయండి. దీని తరువాత, దానికి ఎదురుగా ఉన్న శీర్షం నుండి కొలిచిన వైపుకు లంబంగా పునరుద్ధరించండి, అటువంటి లంబంగా త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ఉంటుంది. చిత్రంలో చూపిన సందర్భంలో, లంబంగా ఉన్న "h" "A" శీర్షం నుండి "c" వైపుకు పునరుద్ధరించబడుతుంది. ఫలిత ఎత్తును పాలకుడితో కొలవండి మరియు కొలత ఫలితాన్ని వ్రాయండి.

ఖచ్చితమైన లంబాన్ని పునరుద్ధరించడం మీకు కష్టంగా ఉండవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, మీరు వేరే సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి. రూలర్‌తో త్రిభుజం యొక్క అన్ని వైపులా కొలవండి. దీని తరువాత, భుజాల ఫలిత పొడవులను జోడించడం ద్వారా మరియు వాటి మొత్తాన్ని సగానికి విభజించడం ద్వారా త్రిభుజం "p" యొక్క సెమీ చుట్టుకొలతను లెక్కించండి. మీ పారవేయడం వద్ద సెమీ చుట్టుకొలత విలువ కలిగి, మీరు హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు క్రింది వాటి యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోవాలి: p(p-a)(p-b)(p-c).

మీరు త్రిభుజం యొక్క అవసరమైన ప్రాంతాన్ని పొందారు. త్రిభుజం యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడంలో సమస్య పరిష్కరించబడలేదు, కానీ పైన పేర్కొన్నట్లుగా, వాల్యూమ్ కాదు. మీరు త్రిమితీయ ప్రపంచంలో తప్పనిసరిగా త్రిభుజంగా ఉండే వాల్యూమ్‌ను కనుగొనవచ్చు. మన అసలు త్రిభుజం త్రిమితీయ పిరమిడ్‌గా మారిందని మనం ఊహించినట్లయితే, అటువంటి పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ మనం పొందిన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ద్వారా దాని బేస్ యొక్క పొడవు యొక్క ఉత్పత్తి అవుతుంది.

గమనిక

మీరు ఎంత జాగ్రత్తగా కొలిస్తే, మీ లెక్కలు మరింత ఖచ్చితమైనవిగా ఉంటాయి.

మూలాలు:

• కాలిక్యులేటర్ “ప్రతిదీ ప్రతిదానికీ” - సూచన విలువల కోసం ఒక పోర్టల్
• 2019లో త్రిభుజం పరిమాణం

కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో త్రిభుజాన్ని ప్రత్యేకంగా నిర్వచించే మూడు పాయింట్లు దాని శీర్షాలు. ప్రతి కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సంబంధించి వాటి స్థానాన్ని తెలుసుకోవడం, మీరు ఈ ఫ్లాట్ ఫిగర్ యొక్క ఏదైనా పారామితులను లెక్కించవచ్చు, దాని చుట్టుకొలత ద్వారా పరిమితం చేయబడిన వాటితో సహా. చతురస్రం. ఇది అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు.

సూచనలు

ప్రాంతాన్ని లెక్కించడానికి హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి త్రిభుజం. ఇది ఫిగర్ యొక్క మూడు వైపుల కొలతలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి మీ గణనలను తో ప్రారంభించండి. ప్రతి వైపు పొడవు తప్పనిసరిగా కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై దాని అంచనాల పొడవుల చతురస్రాల మొత్తం యొక్క మూలానికి సమానంగా ఉండాలి. మేము A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) మరియు C(X₃,Y₃,Z₃) కోఆర్డినేట్‌లను సూచిస్తే, వాటి భుజాల పొడవులను ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(((( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

గణనలను సరళీకృతం చేయడానికి, సహాయక వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయండి - సెమీపెరిమీటర్ (P). ఇది అన్ని వైపుల పొడవుల మొత్తంలో సగం అనే వాస్తవం నుండి: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁)- ²).

మీరు మీ పాఠశాల జ్యామితి పాఠ్యాంశాల నుండి గుర్తుంచుకోవచ్చు, త్రిభుజం అనేది ఒకే సరళ రేఖపై ఉండని మూడు పాయింట్ల ద్వారా అనుసంధానించబడిన మూడు విభాగాల నుండి ఏర్పడిన బొమ్మ. ఒక త్రిభుజం మూడు కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది, అందుకే ఆ బొమ్మ పేరు. నిర్వచనం భిన్నంగా ఉండవచ్చు. త్రిభుజాన్ని మూడు కోణాలతో బహుభుజి అని కూడా పిలుస్తారు, సమాధానం కూడా సరైనది. త్రిభుజాలు సమాన భుజాల సంఖ్య మరియు బొమ్మలలోని కోణాల పరిమాణం ప్రకారం విభజించబడ్డాయి. అందువల్ల, త్రిభుజాలు వరుసగా సమద్విబాహులు, సమబాహు మరియు స్కేలేన్, అలాగే దీర్ఘచతురస్రాకార, తీవ్రమైన మరియు మొండిగా విభజించబడ్డాయి.

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి చాలా సూత్రాలు ఉన్నాయి. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో ఎంచుకోండి, అనగా. ఏ ఫార్ములా ఉపయోగించాలో మీ ఇష్టం. కానీ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి అనేక సూత్రాలలో ఉపయోగించే కొన్ని సంకేతాలను మాత్రమే గమనించడం విలువ. కాబట్టి, గుర్తుంచుకో:

S అనేది త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం,

a, b, c అనేవి త్రిభుజం యొక్క భుజాలు,

h అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు,

R అనేది చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం,

p అనేది సెమీ చుట్టుకొలత.

మీరు మీ జ్యామితి కోర్సును పూర్తిగా మరచిపోయినట్లయితే మీకు ఉపయోగపడే ప్రాథమిక సంకేతాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి. త్రిభుజం యొక్క తెలియని మరియు మర్మమైన ప్రాంతాన్ని లెక్కించడానికి అత్యంత అర్థమయ్యే మరియు సంక్లిష్టమైన ఎంపికలు క్రింద ఉన్నాయి. ఇది కష్టం కాదు మరియు మీ ఇంటి అవసరాలకు మరియు మీ పిల్లలకు సహాయం చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని వీలైనంత సులభంగా ఎలా లెక్కించాలో గుర్తుంచుకోండి:

మా సందర్భంలో, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 sq. cm. ప్రాంతాన్ని చదరపు సెంటీమీటర్లలో (sqcm) కొలుస్తారని గుర్తుంచుకోండి.

కుడి త్రిభుజం మరియు దాని ప్రాంతం.

లంబ త్రిభుజం అనేది ఒక త్రిభుజం, దీనిలో ఒక కోణం 90 డిగ్రీలకు సమానం (అందుకే కుడి అంటారు). లంబ కోణం రెండు లంబ రేఖల ద్వారా ఏర్పడుతుంది (త్రిభుజం విషయంలో, రెండు లంబ భాగాలు). లంబ త్రిభుజంలో ఒక లంబ కోణం మాత్రమే ఉంటుంది, ఎందుకంటే... ఏదైనా ఒక త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకు సమానం. 2 ఇతర కోణాలు మిగిలిన 90 డిగ్రీలను విభజించాలి, ఉదాహరణకు 70 మరియు 20, 45 మరియు 45, మొదలైనవి. కాబట్టి, మీరు ప్రధాన విషయం గుర్తుంచుకోవాలి, లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకోవడానికి మాత్రమే మిగిలి ఉంది. మన ముందు అటువంటి లంబ త్రిభుజం ఉందని ఊహించుకుందాం మరియు దాని ప్రాంతం Sని కనుగొనాలి.

1. లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి సులభమైన మార్గం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

మా విషయంలో, కుడి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం: S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 sq. cm.

సూత్రప్రాయంగా, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఇతర మార్గాల్లో ధృవీకరించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది మాత్రమే ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది మరియు రోజువారీ జీవితంలో సహాయపడుతుంది. కానీ తీవ్రమైన కోణాల ద్వారా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కొలిచే ఎంపికలు కూడా ఉన్నాయి.

2. ఇతర గణన పద్ధతుల కోసం, మీరు తప్పనిసరిగా కొసైన్‌లు, సైన్స్ మరియు టాంజెంట్‌ల పట్టికను కలిగి ఉండాలి. మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి, ఇప్పటికీ ఉపయోగించబడే లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఇక్కడ కొన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయి:

మేము మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలని నిర్ణయించుకున్నాము మరియు కొన్ని చిన్న మచ్చలతో (మేము దానిని నోట్‌బుక్‌లో గీసాము మరియు పాత పాలకుడు మరియు ప్రొట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించాము), కానీ మాకు సరైన గణన వచ్చింది:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). మేము ఈ క్రింది ఫలితాలను పొందాము: 3.6=3.7, కానీ కణాల మార్పును పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము ఈ స్వల్పభేదాన్ని క్షమించగలము.

సమద్విబాహు త్రిభుజం మరియు దాని వైశాల్యం.

మీరు సమద్విబాహు త్రిభుజం కోసం సూత్రాన్ని లెక్కించే పనిని ఎదుర్కొంటున్నట్లయితే, ప్రధాన మరియు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి శాస్త్రీయ సూత్రంగా పరిగణించబడే వాటిని ఉపయోగించడం సులభమయిన మార్గం.

అయితే ముందుగా, సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనే ముందు, ఇది ఏ విధమైన ఫిగర్ అని తెలుసుకుందాం. సమద్విబాహు త్రిభుజం ఒక త్రిభుజం, దీనిలో రెండు వైపులా ఒకే పొడవు ఉంటుంది. ఈ రెండు వైపులా పార్శ్వం అంటారు, మూడవ వైపు బేస్ అంటారు. సమబాహు త్రిభుజంతో సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని కంగారు పెట్టవద్దు, అనగా. మూడు వైపులా సమానంగా ఉండే సాధారణ త్రిభుజం. అటువంటి త్రిభుజంలో కోణాలకు లేదా వాటి పరిమాణానికి ప్రత్యేక ధోరణులు లేవు. అయితే, సమద్విబాహు త్రిభుజంలో బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, కానీ సమాన భుజాల మధ్య కోణం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మీకు ఇప్పటికే మొదటి మరియు ప్రధాన సూత్రం తెలుసు; సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి ఇతర సూత్రాలు ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు వివిధ సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. అన్ని పద్ధతులలో, సులభమయిన మరియు తరచుగా ఉపయోగించేది బేస్ యొక్క పొడవుతో ఎత్తును గుణించడం మరియు ఫలితాన్ని రెండుగా విభజించడం. అయితే, ఈ పద్ధతి ఒకే ఒక్కదానికి దూరంగా ఉంది. వివిధ సూత్రాలను ఉపయోగించి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మీరు క్రింద చదవవచ్చు.

విడిగా, మేము నిర్దిష్ట రకాల త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని లెక్కించే మార్గాలను పరిశీలిస్తాము - దీర్ఘచతురస్రాకార, సమద్విబాహు మరియు సమబాహు. మేము ప్రతి ఫార్ములాతో పాటు దాని సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడే ఒక చిన్న వివరణను అందిస్తాము.

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సార్వత్రిక పద్ధతులు

దిగువ సూత్రాలు ప్రత్యేక సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తాయి. మేము వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి అర్థాన్ని విడదీస్తాము:

• a, b, c - మేము పరిశీలిస్తున్న బొమ్మ యొక్క మూడు వైపుల పొడవులు;
• r అనేది మన త్రిభుజంలో వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం;
• R అనేది దాని చుట్టూ వివరించగల వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం;
• α అనేది బి మరియు సి భుజాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క పరిమాణం;
• β అనేది a మరియు c మధ్య కోణం యొక్క పరిమాణం;
• γ అనేది a మరియు b భుజాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క పరిమాణం;
• h అనేది మా త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు, కోణం α నుండి a వైపుకు తగ్గించబడింది;
• p – a, b మరియు c భుజాల మొత్తంలో సగం.

మీరు ఈ విధంగా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎందుకు కనుగొనవచ్చో తార్కికంగా స్పష్టంగా ఉంది. త్రిభుజం సులభంగా సమాంతర చతుర్భుజంగా పూర్తి చేయబడుతుంది, దీనిలో త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపు వికర్ణంగా పనిచేస్తుంది. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం దాని భుజాలలో ఒకదాని పొడవును దానికి గీసిన ఎత్తు విలువతో గుణించడం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది. వికర్ణం ఈ షరతులతో కూడిన సమాంతర చతుర్భుజాన్ని 2 సారూప్య త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. అందువల్ల, మన అసలు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం ఈ సహాయక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క సగం వైశాల్యానికి సమానంగా ఉండాలి అనేది చాలా స్పష్టంగా ఉంది.

S=½ a b పాపం γ

ఈ సూత్రం ప్రకారం, ఒక త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని రెండు భుజాల పొడవులను, అంటే a మరియు b, వాటి ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క సైన్ ద్వారా గుణించడం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది. ఈ ఫార్ములా తార్కికంగా మునుపటిది నుండి తీసుకోబడింది. మనం ఎత్తును β కోణం నుండి b వైపుకు తగ్గిస్తే, అప్పుడు, లంబ త్రిభుజం యొక్క లక్షణాల ప్రకారం, a వైపు యొక్క పొడవును γ కోణంతో గుణించినప్పుడు, మేము త్రిభుజం యొక్క ఎత్తును పొందుతాము, అనగా h .

ప్రశ్నలోని బొమ్మ యొక్క వైశాల్యం వృత్తం యొక్క సగం వ్యాసార్థాన్ని గుణించడం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది, దానిని దాని చుట్టుకొలతతో చెక్కవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సెమీ చుట్టుకొలత మరియు పేర్కొన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం యొక్క ఉత్పత్తిని మేము కనుగొంటాము.

S= a b c/4R

ఈ ఫార్ములా ప్రకారం, ఫిగర్ యొక్క భుజాల ఉత్పత్తిని దాని చుట్టూ వివరించిన వృత్తం యొక్క 4 రేడియాలతో విభజించడం ద్వారా మనకు అవసరమైన విలువను కనుగొనవచ్చు.

ఈ సూత్రాలు సార్వత్రికమైనవి, ఎందుకంటే అవి ఏదైనా త్రిభుజం (స్కేలేన్, ఐసోసెల్స్, ఈక్విలేటరల్, దీర్ఘచతురస్రాకార) యొక్క వైశాల్యాన్ని గుర్తించడం సాధ్యం చేస్తాయి. ఇది మరింత క్లిష్టమైన గణనలను ఉపయోగించి చేయవచ్చు, ఇది మేము వివరంగా నివసించము.

నిర్దిష్ట లక్షణాలతో త్రిభుజాల ప్రాంతాలు

లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఈ సంఖ్య యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటంటే, దాని రెండు వైపులా ఏకకాలంలో దాని ఎత్తులు ఉంటాయి. a మరియు b కాళ్లు అయితే, c హైపోటెన్యూస్‌గా మారితే, మేము ఈ ప్రాంతాన్ని ఇలా కనుగొంటాము:

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఇది పొడవు a మరియు ఒక వైపు b పొడవుతో రెండు వైపులా ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, దాని వైశాల్యాన్ని కోణం γ యొక్క సైన్ ద్వారా a వైపు స్క్వేర్ యొక్క ఉత్పత్తిని 2 ద్వారా విభజించడం ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు.

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? అందులో, అన్ని భుజాల పొడవు a కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు అన్ని కోణాల పరిమాణం α. దీని ఎత్తు a వైపు పొడవు మరియు 3 వర్గమూలం యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం. ఒక సాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు a వైపు యొక్క వర్గాన్ని 3 యొక్క వర్గమూలంతో గుణించాలి మరియు విభజించాలి 4.

త్రిభుజం అనేది అత్యంత సాధారణ రేఖాగణిత ఆకృతులలో ఒకటి, ఇది ప్రాథమిక పాఠశాలలో మనకు బాగా తెలుసు. జ్యామితి పాఠాలలో త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలనే ప్రశ్న ప్రతి విద్యార్థి ఎదుర్కొంటుంది. కాబట్టి, ఇచ్చిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో ఏ లక్షణాలను గుర్తించవచ్చు? ఈ వ్యాసంలో అటువంటి పనిని పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన ప్రాథమిక సూత్రాలను పరిశీలిస్తాము మరియు త్రిభుజాల రకాలను కూడా విశ్లేషిస్తాము.

త్రిభుజాల రకాలు

మీరు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని పూర్తిగా భిన్నమైన మార్గాల్లో కనుగొనవచ్చు, ఎందుకంటే జ్యామితిలో మూడు కోణాలను కలిగి ఉన్న ఒకటి కంటే ఎక్కువ రకాల బొమ్మలు ఉన్నాయి. ఈ రకాలు ఉన్నాయి:

• మొద్దుబారిన.
• సమబాహు (సరైనది).
• కుడి త్రిభుజం.
• ఐసోసెల్స్.

ప్రస్తుతం ఉన్న ప్రతి త్రిభుజాల రకాలను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ రేఖాగణిత సంఖ్య అత్యంత సాధారణమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. ఏకపక్ష త్రిభుజాన్ని గీయవలసిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, ఈ ఐచ్ఛికం రక్షించటానికి వస్తుంది.

తీవ్రమైన త్రిభుజంలో, పేరు సూచించినట్లుగా, అన్ని కోణాలు తీవ్రంగా ఉంటాయి మరియు 180° వరకు జోడించబడతాయి.

ఈ రకమైన త్రిభుజం కూడా చాలా సాధారణం, కానీ తీవ్రమైన త్రిభుజం కంటే కొంత తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, త్రిభుజాలను పరిష్కరించేటప్పుడు (అనగా, దాని అనేక భుజాలు మరియు కోణాలు తెలిసినవి మరియు మీరు మిగిలిన మూలకాలను కనుగొనవలసి ఉంటుంది), కొన్నిసార్లు మీరు కోణం మందంగా ఉందో లేదో నిర్ణయించాలి. కొసైన్ ప్రతికూల సంఖ్య.

B, కోణాలలో ఒకదాని విలువ 90° మించిపోయింది, కాబట్టి మిగిలిన రెండు కోణాలు చిన్న విలువలను తీసుకోవచ్చు (ఉదాహరణకు, 15° లేదా 3° కూడా).

ఈ రకమైన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు కొన్ని సూక్ష్మ నైపుణ్యాలను తెలుసుకోవాలి, దాని గురించి మేము తరువాత మాట్లాడుతాము.

సాధారణ మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు

ఒక సాధారణ బహుభుజి అనేది n కోణాలను కలిగి ఉన్న ఒక బొమ్మ మరియు దీని భుజాలు మరియు కోణాలు అన్నీ సమానంగా ఉంటాయి. సాధారణ త్రిభుజం అంటే ఇదే. త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాల మొత్తం 180° కాబట్టి, మూడు కోణాల్లో ఒక్కొక్కటి 60°.

ఒక సాధారణ త్రిభుజం, దాని ఆస్తి కారణంగా, దీనిని ఈక్విలేటరల్ ఫిగర్ అని కూడా అంటారు.

ఒక సాధారణ త్రిభుజంలో ఒక వృత్తాన్ని మాత్రమే చెక్కవచ్చు మరియు దాని చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని మాత్రమే వివరించవచ్చు మరియు వాటి కేంద్రాలు ఒకే పాయింట్‌లో ఉన్నాయని కూడా గమనించాలి.

సమబాహు రకానికి అదనంగా, ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని కూడా వేరు చేయవచ్చు, ఇది దాని నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. అటువంటి త్రిభుజంలో, రెండు భుజాలు మరియు రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి మరియు మూడవ వైపు (సమాన కోణాలు ప్రక్కనే ఉంటాయి) ఆధారం.

ఫిగర్ ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం DEFని చూపుతుంది, దీని కోణాలు D మరియు F సమానంగా ఉంటాయి మరియు DF ఆధారం.

కుడి త్రిభుజం

లంబకోణ త్రిభుజం పేరు పెట్టబడింది, ఎందుకంటే దాని కోణాలలో ఒకటి సరిగ్గా ఉంటుంది, అంటే 90°కి సమానం. మిగిలిన రెండు కోణాలు 90° వరకు జోడించబడతాయి.

అటువంటి త్రిభుజం యొక్క అతిపెద్ద వైపు, 90° కోణానికి ఎదురుగా ఉంటుంది, ఇది హైపోటెన్యూస్, మిగిలిన రెండు భుజాలు కాళ్లు. ఈ రకమైన త్రిభుజానికి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం వర్తిస్తుంది:

కాళ్ళ పొడవు యొక్క చతురస్రాల మొత్తం హైపోటెన్యూస్ పొడవు యొక్క వర్గానికి సమానం.

ఫిగర్ హైపోటెన్యూస్ AC మరియు కాళ్లు AB మరియు BCతో ఉన్న లంబ త్రిభుజం BACని చూపుతుంది.

లంబ కోణంతో త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు దాని కాళ్ళ సంఖ్యా విలువలను తెలుసుకోవాలి.

ఇచ్చిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాలకు వెళ్దాం.

ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి ప్రాథమిక సూత్రాలు

జ్యామితిలో, చాలా రకాల త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి అనువైన రెండు సూత్రాలు ఉన్నాయి, అవి తీవ్రమైన, మందమైన, సాధారణ మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజాల కోసం. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి చూద్దాం.

వైపు మరియు ఎత్తు ద్వారా

మేము పరిశీలిస్తున్న ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి ఈ సూత్రం సార్వత్రికమైనది. ఇది చేయుటకు, వైపు పొడవు మరియు దానికి గీసిన ఎత్తు యొక్క పొడవును తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. సూత్రం (బేస్ మరియు ఎత్తు యొక్క సగం ఉత్పత్తి) క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

ఇక్కడ A అనేది ఇచ్చిన త్రిభుజం యొక్క వైపు, మరియు H అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు.

ఉదాహరణకు, తీవ్రమైన త్రిభుజం ACB యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు దాని వైపు AB ను ఎత్తు CD ద్వారా గుణించాలి మరియు ఫలిత విలువను రెండుగా విభజించాలి.

అయితే, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఈ విధంగా కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సులభం కాదు. ఉదాహరణకు, ఒక మందమైన త్రిభుజం కోసం ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి, మీరు దాని వైపులా ఒకదానిని విస్తరించాలి మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే దానికి ఎత్తును గీయాలి.

ఆచరణలో, ఈ సూత్రం ఇతరులకన్నా ఎక్కువగా ఉపయోగించబడుతుంది.

రెండు వైపులా మరియు మూలలో

ఈ ఫార్ములా, మునుపటి మాదిరిగానే, చాలా త్రిభుజాలకు అనుకూలంగా ఉంటుంది మరియు దాని అర్థంలో త్రిభుజం యొక్క ప్రక్క ప్రక్కన మరియు ఎత్తును కనుగొనే సూత్రం యొక్క పరిణామం. అంటే, ప్రశ్నలోని ఫార్ములా మునుపటి నుండి సులభంగా తీసుకోవచ్చు. దీని సూత్రీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

S = ½*sinO*A*B,

ఇక్కడ A మరియు B త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు O అనేది A మరియు B భుజాల మధ్య కోణం.

విశిష్టమైన సోవియట్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు V. M. బ్రాడిస్ పేరు మీద ఒక ప్రత్యేక పట్టికలో కోణం యొక్క సైన్ చూడవచ్చని గుర్తుచేసుకుందాం.

ఇప్పుడు అసాధారణమైన రకాల త్రిభుజాలకు మాత్రమే సరిపోయే ఇతర సూత్రాలకు వెళ్దాం.

లంబ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

త్రిభుజంలో ఎత్తును కనుగొనవలసిన అవసరాన్ని కలిగి ఉన్న సార్వత్రిక సూత్రంతో పాటు, లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతాన్ని దాని కాళ్ళ నుండి కనుగొనవచ్చు.

అందువల్ల, లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని కాళ్ళ యొక్క సగం ఉత్పత్తి, లేదా:

ఇక్కడ a మరియు b లంబ త్రిభుజం యొక్క కాళ్ళు.

సాధారణ త్రిభుజం

ఈ రకమైన రేఖాగణిత బొమ్మ భిన్నంగా ఉంటుంది, దాని వైశాల్యం దాని భుజాలలో ఒకటి మాత్రమే సూచించబడిన విలువతో కనుగొనబడుతుంది (సాధారణ త్రిభుజం యొక్క అన్ని వైపులా సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి). కాబట్టి, "భుజాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం" అనే పనిని ఎదుర్కొన్నప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:

S = A 2 *√3 / 4,

ఇక్కడ A అనేది సమబాహు త్రిభుజం వైపు.

హెరాన్ సూత్రం

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి చివరి ఎంపిక హెరాన్ సూత్రం. దీన్ని ఉపయోగించడానికి, మీరు బొమ్మ యొక్క మూడు వైపుల పొడవును తెలుసుకోవాలి. హెరాన్ సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

ఇక్కడ a, b మరియు c ఇవ్వబడిన త్రిభుజం యొక్క భుజాలు.

కొన్నిసార్లు సమస్య ఇవ్వబడుతుంది: "సాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని వైపు పొడవును కనుగొనడం." ఈ సందర్భంలో, సాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం కోసం మనకు ఇప్పటికే తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి మరియు దాని నుండి వైపు (లేదా దాని చదరపు) విలువను పొందాలి:

A 2 = 4S / √3.

పరీక్షా పనులు

గణితంలో GIA సమస్యలలో అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. అదనంగా, చాలా తరచుగా చెక్డ్ కాగితంపై త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

ఈ సందర్భంలో, బొమ్మ యొక్క ఒక వైపుకు ఎత్తును గీయడం, కణాల నుండి దాని పొడవును నిర్ణయించడం మరియు ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి సార్వత్రిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:

కాబట్టి, వ్యాసంలో సమర్పించబడిన సూత్రాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, ఏ రకమైన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో మీకు ఏవైనా సమస్యలు ఉండవు.