లాగరిథమ్‌ను శక్తికి పెంచడం. సంవర్గమానం

సంబంధించి

ఇచ్చిన ఇతర రెండు వాటి నుండి మూడు సంఖ్యలలో దేనినైనా కనుగొనే పనిని సెట్ చేయవచ్చు. a మరియు N ఇచ్చినట్లయితే, అవి ఘాతాంకం ద్వారా కనుగొనబడతాయి. డిగ్రీ x (లేదా శక్తికి పెంచడం) యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా N మరియు ఆపై a ఇవ్వబడినట్లయితే. ఇప్పుడు a మరియు N ఇచ్చిన సందర్భాన్ని పరిగణించండి, మనం xని కనుగొనాలి.

సంఖ్య N సానుకూలంగా ఉండనివ్వండి: a సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఒకదానికి సమానం కాదు: .

నిర్వచనం. సంఖ్య N యొక్క సంవర్గమానం ఆధారం aకి సంఖ్య N ను పొందేందుకు తప్పనిసరిగా పెంచాల్సిన ఘాతాంకం; సంవర్గమానం ద్వారా సూచించబడుతుంది

అందువలన, సమానత్వంలో (26.1) ఘాతాంకం a బేస్ కు N యొక్క సంవర్గమానంగా కనుగొనబడింది. పోస్ట్‌లు

కలిగి ఉంటాయి అదే అర్థం. సమానత్వం (26.1) కొన్నిసార్లు లాగరిథమ్స్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన గుర్తింపుగా పిలువబడుతుంది; వాస్తవానికి ఇది లాగరిథమ్ భావన యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది. ద్వారా ఈ నిర్వచనంసంవర్గమానం a యొక్క ఆధారం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఐక్యతకు భిన్నంగా ఉంటుంది; సంవర్గమాన సంఖ్య N సానుకూలంగా ఉంటుంది. ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు సున్నాకి లాగరిథమ్‌లు లేవు. ఇచ్చిన ఆధారంతో ఏదైనా సంఖ్య బాగా నిర్వచించబడిన సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని నిరూపించవచ్చు. కాబట్టి సమానత్వం ఉంటుంది. ఇక్కడ ముఖ్యమైన పరిస్థితి అని గమనించండి లేకుంటే x మరియు y యొక్క ఏదైనా విలువలకు సమానత్వం సరైనది కనుక ముగింపు సమర్థించబడదు.

ఉదాహరణ 1. కనుగొనండి

పరిష్కారం. సంఖ్యను పొందేందుకు, మీరు తప్పనిసరిగా బేస్ 2ని పవర్‌కి పెంచాలి.

అటువంటి ఉదాహరణలను క్రింది రూపంలో పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు గమనికలు చేయవచ్చు:

ఉదాహరణ 2. కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మన దగ్గర ఉంది

ఉదాహరణ 1 మరియు 2లో, మేము సంవర్గమాన సంఖ్యను బేస్ యొక్క శక్తిగా సూచించడం ద్వారా కావలసిన లాగరిథమ్‌ను సులభంగా కనుగొన్నాము హేతుబద్ధమైన సూచిక. IN సాధారణ కేసు, ఉదాహరణకు, మొదలైన వాటి కోసం, లాగరిథమ్ ఉన్నందున ఇది చేయలేము అహేతుక అర్థం. ఈ ప్రకటనకు సంబంధించిన ఒక సమస్యపై దృష్టి పెడతాము. పేరా 12 లో మేము ఏదైనా నిర్ణయించే అవకాశం యొక్క భావనను ఇచ్చాము నిజమైన డిగ్రీఇచ్చిన సానుకూల సంఖ్య. లాగరిథమ్‌ల పరిచయం కోసం ఇది అవసరం, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, అహేతుక సంఖ్యలు కావచ్చు.

లాగరిథమ్స్ యొక్క కొన్ని లక్షణాలను చూద్దాం.

లక్షణం 1. సంఖ్య మరియు ఆధారం సమానంగా ఉంటే, సంవర్గమానం ఒకరికి సమానం, మరియు, దానికి విరుద్ధంగా, సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం అయితే, సంఖ్య మరియు ఆధారం సమానంగా ఉంటాయి.

రుజువు. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ద్వారా మనకు మరియు ఎక్కడి నుండి ఉందా

దీనికి విరుద్ధంగా, నిర్వచనం ప్రకారం తెన్

ప్రాపర్టీ 2. ఒకదాని నుండి ఏదైనా బేస్ యొక్క సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం.

రుజువు. సంవర్గమానం నిర్వచనం ప్రకారం ( సున్నా డిగ్రీఏదైనా సానుకూల ఆధారం ఒకదానికి సమానం, చూడండి (10.1)). ఇక్కడనుంచి

Q.E.D.

సంభాషణ ప్రకటన కూడా నిజం: ఒకవేళ , అప్పుడు N = 1. నిజానికి, మనకు .

లాగరిథమ్‌ల యొక్క తదుపరి లక్షణాన్ని రూపొందించే ముందు, a మరియు b అనే రెండు సంఖ్యలు c కంటే ఎక్కువ లేదా c కంటే తక్కువగా ఉంటే మూడవ సంఖ్య cకి ఒకే వైపున ఉన్నాయని చెప్పడానికి అంగీకరిస్తాము. ఈ సంఖ్యలలో ఒకటి c కంటే ఎక్కువగా ఉంటే మరియు మరొకటి c కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు మేము అవి వెంట పడతాయని చెబుతాము వివిధ వైపులాగ్రామం నుండి

ఆస్తి 3. సంఖ్య మరియు ఆధారం ఒకదానిపై ఒకే వైపు ఉంటే, సంవర్గమానం సానుకూలంగా ఉంటుంది; సంఖ్య మరియు ఆధారం ఒకదానికి వ్యతిరేక వైపులా ఉంటే, సంవర్గమానం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

ఆస్తి 3 యొక్క రుజువు వాస్తవం ఆధారంగా డిగ్రీ a ఒకటి కంటే ఎక్కువ, బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం సానుకూలంగా ఉంటే లేదా బేస్ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ మరియు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటే లేదా బేస్ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే మరియు ఘాతాంకం సానుకూలంగా ఉంటే శక్తి ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

పరిగణించవలసిన నాలుగు కేసులు ఉన్నాయి:

వాటిలో మొదటిదాన్ని విశ్లేషించడానికి మనం పరిమితం చేస్తాము; పాఠకుడు మిగిలిన వాటిని స్వయంగా పరిశీలిస్తాడు.

అప్పుడు సమానత్వంలో ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, ఇది సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంటే నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఉదాహరణ 3. దిగువన ఉన్న లాగరిథమ్‌లలో ఏది ధనాత్మకమో మరియు ఏది ప్రతికూలమో కనుగొనండి:

పరిష్కారం, ఎ) సంఖ్య 15 మరియు బేస్ 12 ఒకదానిలో ఒకే వైపున ఉన్నందున;

బి) 1000 మరియు 2 యూనిట్ యొక్క ఒక వైపున ఉన్నందున; ఈ సందర్భంలో, సంవర్గమాన సంఖ్య కంటే బేస్ ఎక్కువగా ఉండటం ముఖ్యం కాదు;

సి) 3.1 మరియు 0.8 ఐక్యత యొక్క వ్యతిరేక వైపులా ఉంటాయి;

జి) ; ఎందుకు?

d) ; ఎందుకు?

కింది లక్షణాలు 4-6 తరచుగా సంవర్గమాన నియమాలు అని పిలుస్తారు: అవి కొన్ని సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లను తెలుసుకోవడం, వాటి ఉత్పత్తి, గుణకం మరియు వాటిలో ప్రతి డిగ్రీ యొక్క లాగరిథమ్‌లను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తాయి.

ఆస్తి 4 (ఉత్పత్తి లాగరిథమ్ నియమం). ద్వారా అనేక ధనాత్మక సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం ఈ ఆధారంగా మొత్తానికి సమానంఈ సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లు ఒకే స్థావరానికి ఉంటాయి.

రుజువు. ఇచ్చిన సంఖ్యలు సానుకూలంగా ఉండనివ్వండి.

వారి ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం కోసం, మేము లాగరిథమ్‌ను నిర్వచించే సమానత్వం (26.1) వ్రాస్తాము:

ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము

మొదటి మరియు ఘాతాంకాలను పోల్చడం చివరి వ్యక్తీకరణలు, మేము అవసరమైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము:

పరిస్థితి తప్పనిసరి అని గమనించండి; రెండు ప్రతికూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం అర్ధమే, కానీ ఈ సందర్భంలో మనం పొందుతాము

సాధారణంగా, అనేక కారకాల ఉత్పత్తి సానుకూలంగా ఉంటే, దాని సంవర్గమానం ఈ కారకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.

ప్రాపర్టీ 5 (కోటియంట్స్ యొక్క లాగరిథమ్‌లను తీసుకోవడానికి నియమం). ధనాత్మక సంఖ్యల గుణకం యొక్క సంవర్గమానం డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క లాగరిథమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం, అదే స్థావరానికి తీసుకోబడుతుంది. రుజువు. మేము స్థిరంగా కనుగొంటాము

Q.E.D.

ప్రాపర్టీ 6 (పవర్ లాగరిథమ్ రూల్). కొంత సానుకూల సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమానానికి సమానంఈ సంఖ్య ఘాతాంకంతో గుణించబడుతుంది.

రుజువు. సంఖ్యకు ప్రధాన గుర్తింపు (26.1)ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

Q.E.D.

పర్యవసానం. ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం మూలం యొక్క ఘాతాంకంతో విభజించబడిన రాడికల్ యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం:

ఆస్తి 6ని ఎలా ఉపయోగించాలో మరియు ఎలా ఉపయోగించాలో ఊహించడం ద్వారా ఈ పరిణామం యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపించవచ్చు.

ఉదాహరణ 4. a బేస్ చేయడానికి లాగరిథమ్ తీసుకోండి:

a) (అన్ని విలువలు b, c, d, e సానుకూలంగా ఉన్నాయని భావించబడుతుంది);

బి) (అని భావించబడుతుంది).

పరిష్కారం, a) ఇది వెళ్ళడానికి సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది ఈ వ్యక్తీకరణపాక్షిక శక్తులకు:

సమానత్వం (26.5)-(26.7) ఆధారంగా మనం ఇప్పుడు వ్రాయవచ్చు:

సంఖ్యల కంటే సంఖ్యల లాగరిథమ్‌లపై సరళమైన కార్యకలాపాలు జరుగుతాయని మేము గమనించాము: సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు, వాటి లాగరిథమ్‌లు జోడించబడతాయి, విభజించేటప్పుడు, అవి తీసివేయబడతాయి మొదలైనవి.

అందుకే కంప్యూటింగ్ ప్రాక్టీస్‌లో లాగరిథమ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి (పేరా 29 చూడండి).

సంవర్గమానం యొక్క విలోమ చర్యను పొటెన్షియేషన్ అంటారు, అవి: పొటెన్షియేషన్ అనేది ఒక సంఖ్య యొక్క ఇచ్చిన లాగరిథమ్ నుండి సంఖ్యను కనుగొనే చర్య. ముఖ్యంగా, పొటెన్షియేషన్ అనేది ఏ ప్రత్యేక చర్య కాదు: ఇది ఒక స్థావరాన్ని శక్తికి పెంచడానికి వస్తుంది ( సంవర్గమానానికి సమానంసంఖ్యలు). "పొటెన్షియేషన్" అనే పదాన్ని "ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్" అనే పదానికి పర్యాయపదంగా పరిగణించవచ్చు.

పొటెన్షియేటింగ్ చేసినప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా సంవర్గమాన నియమాలకు విలోమ నియమాలను ఉపయోగించాలి: సంవర్గమానాల మొత్తాన్ని ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానంతో భర్తీ చేయండి, సంవర్గమానాల వ్యత్యాసాన్ని గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌తో భర్తీ చేయండి. ముఖ్యంగా, ముందు కారకం ఉంటే సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం, అప్పుడు పొటెన్షియేషన్ సమయంలో అది సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద ఘాతాంక డిగ్రీలకు బదిలీ చేయబడాలి.

ఉదాహరణ 5. N అని తెలిసినట్లయితే కనుగొనండి

పరిష్కారం. పొటెన్షియేషన్ యొక్క ఇప్పుడే పేర్కొన్న నియమానికి సంబంధించి, మేము ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న లాగరిథమ్‌ల చిహ్నాల ముందు నిలబడి ఉన్న 2/3 మరియు 1/3 కారకాలను ఈ లాగరిథమ్‌ల సంకేతాల క్రింద ఘాతాంకాల్లోకి బదిలీ చేస్తాము; మాకు దొరికింది

ఇప్పుడు మనం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసాన్ని గుణకం యొక్క లాగరిథంతో భర్తీ చేస్తాము:

ఈ సమానత్వాల గొలుసులోని చివరి భిన్నాన్ని పొందడానికి, మేము హారంలోని అహేతుకత నుండి మునుపటి భాగాన్ని విడిపించాము (నిబంధన 25).

ఆస్తి 7. బేస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, అప్పుడు పెద్ద సంఖ్యపెద్ద సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉంటుంది (మరియు చిన్న సంఖ్యకు చిన్నది ఉంటుంది), ఆధారం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే, పెద్ద సంఖ్యకు చిన్న సంవర్గమానం ఉంటుంది (మరియు చిన్న సంఖ్యకు పెద్దది ఉంటుంది).

ఈ ఆస్తి అసమానతల సంవర్గమానాలను తీసుకోవడానికి నియమం వలె రూపొందించబడింది, వీటిలో రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉంటాయి:

అసమానతలను ఒకటి కంటే ఎక్కువ బేస్‌కి లాగరిథమ్ చేసినప్పుడు, అసమానత యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది మరియు ఒకటి కంటే తక్కువ బేస్‌కు లాగరిథింగ్ చేసినప్పుడు, అసమానత యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది (పేరా 80 కూడా చూడండి).

రుజువు లక్షణాలు 5 మరియు 3పై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒకవేళ , ఆపై మరియు, లాగరిథమ్‌లను తీసుకుంటే, మేము పొందినప్పుడు కేసును పరిగణించండి

(a మరియు N/M ఏకత్వం యొక్క ఒకే వైపున ఉంటాయి). ఇక్కడనుంచి

కింది సందర్భం, పాఠకుడు దానిని స్వయంగా గుర్తించగలడు.

ఈ వ్యాసం యొక్క దృష్టి సంవర్గమానం. ఇక్కడ మేము లాగరిథమ్, షో యొక్క నిర్వచనం ఇస్తాము ఆమోదించబడిన హోదా, మేము లాగరిథమ్‌ల ఉదాహరణలను ఇస్తాము మరియు సహజ మరియు దశాంశ లాగరిథమ్‌ల గురించి మాట్లాడుతాము. దీని తరువాత మేము ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపును పరిశీలిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం

సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క భావన పుడుతుంది ఒక నిర్దిష్ట కోణంలోవిలోమం, మీరు ఘాతాంకాన్ని కనుగొనవలసి వచ్చినప్పుడు తెలిసిన విలువడిగ్రీ మరియు తెలిసిన ఆధారం.

కానీ తగినంత ముందుమాటలు, "సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి" అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ఇది సమయం? సంబంధిత నిర్వచనం ఇద్దాం.

నిర్వచనం.

b యొక్క సంవర్గమానం a ఆధారం, ఇక్కడ a>0, a≠1 మరియు b>0 అనేది ఘాతాంకం, దీని ఫలితంగా b పొందడానికి మీరు a సంఖ్యను పెంచాలి.

ఈ దశలో, "లాగరిథమ్" అనే మాట్లాడే పదం వెంటనే రెండు తదుపరి ప్రశ్నలను లేవనెత్తుతుందని మేము గమనించాము: "ఏ సంఖ్య" మరియు "ఏ ప్రాతిపదికన." మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంవర్గమానం లేదు, కానీ కొంత ఆధారానికి సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం మాత్రమే.

వెంటనే ప్రవేశిద్దాం సంవర్గమాన సంజ్ఞామానం: a సంఖ్యను ఆధారం చేయడానికి b సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం సాధారణంగా log a bగా సూచించబడుతుంది. సంఖ్య b నుండి బేస్ eకి మరియు సంవర్గమానం 10కి చెందిన సంవర్గమానం వారి స్వంత ప్రత్యేక హోదాలను వరుసగా lnb మరియు logb కలిగి ఉంటాయి, అంటే, అవి log e b కాదు, lnb అని వ్రాస్తాయి మరియు లాగ్ 10 b కాదు, lgb.

ఇప్పుడు మనం ఇవ్వవచ్చు: .
మరియు రికార్డులు అర్థం లేదు, ఎందుకంటే వాటిలో మొదటిదానిలో సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం ఉంది ప్రతికూల సంఖ్య, రెండవదానిలో ఆధారంలో ప్రతికూల సంఖ్య ఉంది మరియు మూడవదానిలో సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ప్రతికూల సంఖ్య మరియు ఆధారంలో ఒక యూనిట్ ఉన్నాయి.

ఇప్పుడు గురించి మాట్లాడుకుందాం లాగరిథమ్‌లను చదవడానికి నియమాలు. లాగ్ a b అనేది "b యొక్క సంవర్గమానం a నుండి ఆధారం"గా చదవబడుతుంది. ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 3 అనేది మూడు నుండి బేస్ 2 వరకు ఉన్న లాగరిథమ్, మరియు ఇది బేస్ 2 నుండి మూడింట రెండు వంతుల సంవర్గమానం. వర్గమూలంఐదు నుండి. బేస్ ఇకి సంవర్గమానం అంటారు సహజ సంవర్గమానం, మరియు lnb సంజ్ఞామానం "బి యొక్క సహజ సంవర్గమానం" అని చదువుతుంది. ఉదాహరణకు, ln7 అనేది ఏడు యొక్క సహజ సంవర్గమానం మరియు మేము దానిని pi యొక్క సహజ సంవర్గమానంగా చదువుతాము. బేస్ 10 సంవర్గమానానికి ప్రత్యేక పేరు కూడా ఉంది - దశాంశ సంవర్గమానం, మరియు lgb "b యొక్క దశాంశ సంవర్గమానం"గా చదవబడుతుంది. ఉదాహరణకు, lg1 అనేది ఒకటి యొక్క దశాంశ సంవర్గమానం, మరియు lg2.75 అనేది రెండు పాయింట్ల ఏడు ఐదు వందల దశాంశ సంవర్గమానం.

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడిన a>0, a≠1 మరియు b>0 షరతులపై విడిగా నివసించడం విలువైనది. ఈ పరిమితులు ఎక్కడ నుండి వచ్చాయో వివరిద్దాం. పైన ఇచ్చిన సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరించే ఫారమ్ యొక్క సమానత్వం దీన్ని చేయడంలో మాకు సహాయపడుతుంది.

a≠1తో ప్రారంభిద్దాం. ఏదైనా శక్తికి ఒకటి సమానం కాబట్టి, సమానత్వం b=1 అయినప్పుడు మాత్రమే నిజం అవుతుంది, కానీ లాగ్ 1 1 ఏదైనా కావచ్చు వాస్తవ సంఖ్య. ఈ అస్పష్టతను నివారించడానికి, a≠1 భావించబడుతుంది.

a>0 షరతు యొక్క ప్రయోజనాన్ని మనం సమర్థిద్దాం. a=0తో, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, మనకు సమానత్వం ఉంటుంది, ఇది b=0తో మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. కానీ లాగ్ 0 0 ఏదైనా సున్నా కాని వాస్తవ సంఖ్య కావచ్చు, ఎందుకంటే సున్నాకి సున్నా కాని శక్తికి సున్నా. ఈ అస్పష్టతను నివారించడానికి a≠0 షరతు అనుమతిస్తుంది. మరియు ఎప్పుడు ఎ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

చివరగా, షరతు b>0 అసమానత a>0 నుండి అనుసరిస్తుంది, నుండి , మరియు ధనాత్మక ఆధారం కలిగిన శక్తి విలువ ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

ఈ అంశాన్ని ముగించడానికి, సంవర్గమానం యొక్క పేర్కొన్న నిర్వచనం, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య ఆధారం యొక్క నిర్దిష్ట శక్తి అయినప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క విలువను వెంటనే సూచించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది అని చెప్పండి. నిజానికి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం b=a p అయితే, b సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం a బేస్ చేయడానికి pకి సమానం అని చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది. అంటే, సమానత్వ లాగ్ a a p =p నిజం. ఉదాహరణకు, 2 3 =8, ఆపై లాగ్ 2 8=3 అని మనకు తెలుసు. మేము దీని గురించి మరింత వ్యాసంలో మాట్లాడుతాము.

ఈ రోజు మనం మాట్లాడతాము సంవర్గమాన సూత్రాలుమరియు మేము సూచనను అందిస్తాము పరిష్కార ఉదాహరణలు.

లాగరిథమ్‌ల ప్రాథమిక లక్షణాల ప్రకారం అవి స్వయంగా పరిష్కార నమూనాలను సూచిస్తాయి. పరిష్కరించడానికి సంవర్గమాన సూత్రాలను వర్తించే ముందు, మేము మీకు అన్ని లక్షణాలను గుర్తు చేద్దాం:

ఇప్పుడు, ఈ సూత్రాలు (గుణాలు) ఆధారంగా, మేము చూపుతాము లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు.

సూత్రాల ఆధారంగా లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు.

సంవర్గమానం a (లాగ్ a bతో సూచించబడుతుంది) ధనాత్మక సంఖ్య b అనేది b > 0, a > 0 మరియు 1 లతో b పొందడానికి తప్పనిసరిగా పెంచాల్సిన ఘాతాంకం.

నిర్వచనం ప్రకారం, a b = xని లాగ్ చేయండి, ఇది a x = bకి సమానం, కాబట్టి a a x = xని లాగ్ చేయండి.

లాగరిథమ్స్, ఉదాహరణలు:

లాగ్ 2 8 = 3, ఎందుకంటే 2 3 = 8

లాగ్ 7 49 = 2, ఎందుకంటే 7 2 = 49

లాగ్ 5 1/5 = -1, ఎందుకంటే 5 -1 = 1/5

దశాంశ సంవర్గమానం- ఇది సాధారణ సంవర్గమానం, దీని ఆధారం 10. ఇది lgగా సూచించబడుతుంది.

లాగ్ 10 100 = 2, ఎందుకంటే 10 2 = 100

సహజ సంవర్గమానం- సాధారణ సంవర్గమాన సంవర్గమానం కూడా, కానీ బేస్ ఇతో (e = 2.71828... - అకరణీయ సంఖ్య) ln గా సూచించబడింది.

లాగరిథమ్‌ల సూత్రాలు లేదా లక్షణాలను గుర్తుంచుకోవడం మంచిది, ఎందుకంటే లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించేటప్పుడు మనకు అవి తరువాత అవసరం, సంవర్గమాన సమీకరణాలుమరియు అసమానతలు. ఉదాహరణలతో ప్రతి ఫార్ములా ద్వారా మళ్లీ పని చేద్దాం.

• ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు
  ఒక లాగ్ a b = b

  8 2లాగ్ 8 3 = (8 2లాగ్ 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం లాగరిథమ్‌ల మొత్తానికి సమానం
  లాగ్ ఎ (బిసి) = లాగ్ ఎ బి + లాగ్ ఎ సి

  లాగ్ 3 8.1 + లాగ్ 3 10 = లాగ్ 3 (8.1*10) = లాగ్ 3 81 = 4

• సంవర్గమానం యొక్క సంవర్గమానం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 లాగ్ 5 50/9 లాగ్ 5 2 = 9 లాగ్ 5 50- లాగ్ 5 2 = 9 లాగ్ 5 25 = 9 2 = 81

• సంవర్గమాన సంఖ్య యొక్క శక్తి మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క లక్షణాలు

  లాగరిథమిక్ సంఖ్య యొక్క ఘాతాంకం లాగ్ a b m = mlog a b

  బేస్ ఎక్స్పోనెంట్ సంవర్గమానం లాగ్ a n b =1/n*log a b

  లాగ్ a n b m = m/n*log a b,

  m = n అయితే, మనకు లాగ్ a n b n = log a b వస్తుంది

  లాగ్ 4 9 = లాగ్ 2 2 3 2 = లాగ్ 2 3

• కొత్త పునాదికి మార్పు
  log a b = log c b/log c a,

  c = b అయితే, మనకు లాగ్ b b = 1 వస్తుంది

  అప్పుడు లాగ్ a b = 1/log b a

  లాగ్ 0.8 3*లాగ్ 3 1.25 = లాగ్ 0.8 3*లాగ్ 0.8 1.25/లాగ్ 0.8 3 = లాగ్ 0.8 1.25 = లాగ్ 4/5 5/4 = -1

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, లాగరిథమ్‌ల సూత్రాలు కనిపించేంత క్లిష్టంగా లేవు. ఇప్పుడు, లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలించిన తరువాత, మనం లాగరిథమిక్ సమీకరణాలకు వెళ్లవచ్చు. సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను మేము వ్యాసంలో మరింత వివరంగా పరిశీలిస్తాము: "". వదులుకోకు!

పరిష్కారం గురించి మీకు ఇంకా ప్రశ్నలు ఉంటే, వాటిని వ్యాసానికి వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి.

గమనిక: మేము వేరే తరగతి విద్యను పొందాలని మరియు విదేశాలలో చదువుకోవాలని నిర్ణయించుకున్నాము.

సమాజం అభివృద్ధి చెందడం మరియు ఉత్పత్తి మరింత సంక్లిష్టంగా మారడంతో, గణితశాస్త్రం కూడా అభివృద్ధి చెందింది. సాధారణ నుండి సంక్లిష్టమైన కదలిక. వారితో కూడిక మరియు తీసివేత పద్ధతి ద్వారా సాంప్రదాయిక అకౌంటింగ్ నుండి అనేక సార్లు పునరావృతం, గుణకారం మరియు భాగహారం అనే భావనకు వచ్చింది. గుణకారం యొక్క పునరావృత ఆపరేషన్‌ను తగ్గించడం అనేది ఘాతాంక భావనగా మారింది. 8వ శతాబ్దంలో భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు వరసేన ద్వారా సంఖ్యల ఆధారం మరియు ఘాతాంక సంఖ్య యొక్క మొదటి పట్టికలు సంకలనం చేయబడ్డాయి. వాటి నుండి మీరు లాగరిథమ్స్ సంభవించిన సమయాన్ని లెక్కించవచ్చు.

చారిత్రక స్కెచ్

16వ శతాబ్దంలో ఐరోపా పునరుజ్జీవనం మెకానిక్స్ అభివృద్ధిని కూడా ప్రేరేపించింది. టి పెద్ద మొత్తంలో గణన అవసరంగుణకారం మరియు భాగహారానికి సంబంధించినది బహుళ-అంకెల సంఖ్యలు. పురాతన పట్టికలు గొప్ప సేవను కలిగి ఉన్నాయి. సంక్లిష్ట కార్యకలాపాలను సరళమైన వాటితో భర్తీ చేయడాన్ని వారు సాధ్యం చేశారు - కూడిక మరియు తీసివేత. పెద్ద అడుగు 1544 లో ప్రచురించబడిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మైఖేల్ స్టీఫెల్ యొక్క పని ముందంజ వేసింది, దీనిలో అతను చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ఆలోచనను గ్రహించాడు. ఇది రూపంలో డిగ్రీలకు మాత్రమే కాకుండా పట్టికలను ఉపయోగించడం సాధ్యమైంది ప్రధాన సంఖ్యలు, కానీ ఏకపక్ష హేతుబద్ధమైన వాటికి కూడా.

1614లో, స్కాట్స్‌మన్ జాన్ నేపియర్, ఈ ఆలోచనలను అభివృద్ధి చేసి, మొదట పరిచయం చేశాడు కొత్త పదం"సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం." కొత్తది క్లిష్టమైన పట్టికలుసైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల లాగరిథమ్‌లు, అలాగే టాంజెంట్‌లను లెక్కించడం కోసం. ఇది ఖగోళ శాస్త్రవేత్తల పనిని బాగా తగ్గించింది.

కొత్త పట్టికలు కనిపించడం ప్రారంభించాయి, వీటిని శాస్త్రవేత్తలు విజయవంతంగా ఉపయోగించారు మూడు శతాబ్దాలు. బీజగణితంలో కొత్త ఆపరేషన్ దాని పూర్తి రూపాన్ని పొందే ముందు చాలా సమయం గడిచిపోయింది. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడింది మరియు దాని లక్షణాలు అధ్యయనం చేయబడ్డాయి.

20వ శతాబ్దంలో మాత్రమే, కాలిక్యులేటర్ మరియు కంప్యూటర్ రావడంతో, 13వ శతాబ్దాలలో విజయవంతంగా పనిచేసిన పురాతన పట్టికలను మానవత్వం వదిలివేసింది.

ఈ రోజు మనం b యొక్క సంవర్గమానాన్ని a సంఖ్య xని ఆధారం చేయడానికి పిలుస్తాము, అది b చేయడానికి a యొక్క శక్తి. ఇది ఫార్ములాగా వ్రాయబడింది: x = log a(b).

ఉదాహరణకు, లాగ్ 3(9) 2కి సమానంగా ఉంటుంది. మీరు నిర్వచనాన్ని అనుసరిస్తే ఇది స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. మనం 3ని 2కి పెంచితే, మనకు 9 వస్తుంది.

అందువలన, సూత్రీకరించబడిన నిర్వచనం కేవలం ఒక పరిమితిని మాత్రమే సెట్ చేస్తుంది: a మరియు b సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా నిజమైనవిగా ఉండాలి.

లాగరిథమ్‌ల రకాలు

క్లాసిక్ డెఫినిషన్‌ను రియల్ లాగరిథమ్ అని పిలుస్తారు మరియు వాస్తవానికి ఇది a x = b సమీకరణానికి పరిష్కారం. ఎంపిక a = 1 సరిహద్దురేఖ మరియు ఆసక్తి లేదు. శ్రద్ధ: ఏదైనా శక్తికి 1 అనేది 1కి సమానం.

సంవర్గమానం యొక్క వాస్తవ విలువబేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే నిర్వచించబడతాయి మరియు బేస్ 1కి సమానంగా ఉండకూడదు.

గణిత శాస్త్రంలో ప్రత్యేక స్థానంలాగరిథమ్‌లను ప్లే చేయండి, వాటి బేస్ పరిమాణాన్ని బట్టి పేరు పెట్టబడుతుంది:

నియమాలు మరియు పరిమితులు

సంవర్గమానాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం నియమం: ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమాన మొత్తానికి సమానం. లాగ్ abp = లాగ్ a(b) + log a(p).

ఈ స్టేట్‌మెంట్ యొక్క రూపాంతరంగా ఇలా ఉంటుంది: లాగ్ c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient ఫంక్షన్ ఫంక్షన్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం.

మునుపటి రెండు నియమాల నుండి ఇది చూడటం సులభం: log a(b p) = p * log a(b).

ఇతర లక్షణాలు ఉన్నాయి:

వ్యాఖ్య. సాధారణ తప్పు చేయవలసిన అవసరం లేదు - మొత్తం యొక్క సంవర్గమానం సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం కాదు.

అనేక శతాబ్దాలుగా, సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్ చాలా సమయం తీసుకునే పని. గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఉపయోగించారు బాగా తెలిసిన ఫార్ములాబహుపది విస్తరణ యొక్క లాగరిథమిక్ సిద్ధాంతం:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ఇక్కడ n - సహజ సంఖ్య 1 కంటే ఎక్కువ, ఇది గణన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.

ఇతర బేస్‌లతో కూడిన లాగరిథమ్‌లు ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి మారడం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం గురించి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడ్డాయి.

ఈ పద్ధతి చాలా శ్రమతో కూడుకున్నది కాబట్టి నిర్ణయించేటప్పుడు ఆచరణాత్మక సమస్యలు అమలు చేయడం కష్టం, మేము ముందుగా సంకలనం చేసిన లాగరిథమ్‌ల పట్టికలను ఉపయోగించాము, ఇది అన్ని పనిని గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది.

కొన్ని సందర్భాల్లో, ప్రత్యేకంగా రూపొందించిన లాగరిథమ్ గ్రాఫ్‌లు ఉపయోగించబడ్డాయి, ఇది తక్కువ ఖచ్చితత్వాన్ని ఇచ్చింది, కానీ శోధనను గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది కావలసిన విలువ. y = log a(x) ఫంక్షన్ యొక్క వక్రత, అనేక పాయింట్లపై నిర్మించబడింది, మీరు ఏదైనా ఇతర పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి సాధారణ రూలర్‌ని ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఇంజనీర్లు చాలా కాలంఈ ప్రయోజనాల కోసం, గ్రాఫ్ పేపర్ అని పిలవబడేది ఉపయోగించబడింది.

17వ శతాబ్దంలో, మొదటి సహాయక అనలాగ్ కంప్యూటింగ్ పరిస్థితులు కనిపించాయి, ఇది 19 వ శతాబ్దంపూర్తి రూపాన్ని పొందింది. అత్యంత విజయవంతమైన పరికరం స్లయిడ్ నియమం అని పిలువబడింది. పరికరం యొక్క సరళత ఉన్నప్పటికీ, దాని ప్రదర్శన అన్ని ఇంజనీరింగ్ గణనల ప్రక్రియను గణనీయంగా వేగవంతం చేసింది మరియు ఇది అతిగా అంచనా వేయడం కష్టం. ప్రస్తుతం, ఈ పరికరం గురించి చాలా తక్కువ మందికి తెలుసు.

కాలిక్యులేటర్లు మరియు కంప్యూటర్ల ఆగమనం ఏ ఇతర పరికరాలను ఉపయోగించకుండా చేసింది.

సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు

పరిష్కారాల కోసం వివిధ సమీకరణాలుమరియు లాగరిథమ్‌లను ఉపయోగించి అసమానతలు, క్రింది సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి:

• ఒక బేస్ నుండి మరొకదానికి పరివర్తన: లాగ్ a(b) = లాగ్ c(b) / log c(a);
• మునుపటి ఎంపిక యొక్క పర్యవసానంగా: లాగ్ a(b) = 1 / log b(a).

అసమానతలను పరిష్కరించడానికి, తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

• బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ రెండూ ఒకటి కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువ ఉంటేనే సంవర్గమానం యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది; కనీసం ఒక షరతు ఉల్లంఘించినట్లయితే, లాగరిథమ్ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
• సంవర్గమానం ఫంక్షన్ అసమానత యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపులకు వర్తించబడితే మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అసమానత యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది; లేకుంటే అది మారుతుంది.

నమూనా సమస్యలు

లాగరిథమ్‌లు మరియు వాటి లక్షణాలను ఉపయోగించడం కోసం అనేక ఎంపికలను పరిశీలిద్దాం. సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు:

లాగరిథమ్‌ను పవర్‌లో ఉంచే ఎంపికను పరిగణించండి:

• సమస్య 3. 25^లాగ్ 5(3)ని లెక్కించండి. పరిష్కారం: సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో, నమోదు క్రింది (5^2)^log5(3) లేదా 5^(2 * లాగ్ 5(3)) వలె ఉంటుంది. దానిని విభిన్నంగా వ్రాద్దాం: 5^లాగ్ 5(3*2), లేదా ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్‌గా ఉన్న సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఫంక్షన్ యొక్క వర్గంగా వ్రాయవచ్చు (5^లాగ్ 5(3))^2. లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించి, ఈ వ్యక్తీకరణ 3^2కి సమానం. సమాధానం: గణన ఫలితంగా మనకు 9 వస్తుంది.

ఆచరణాత్మక ఉపయోగం

పూర్తిగా గణిత సాధనం కావడంతో, ఇది చాలా దూరంగా ఉంది నిజ జీవితంసంవర్గమానం అకస్మాత్తుగా సంపాదించినది గొప్ప ప్రాముఖ్యతవస్తువులను వివరించడానికి వాస్తవ ప్రపంచంలో. ఉపయోగించని శాస్త్రాన్ని కనుగొనడం కష్టం. ఇది పూర్తిగా సహజంగానే కాదు, మానవతా జ్ఞాన రంగాలకు కూడా వర్తిస్తుంది.

లాగరిథమిక్ డిపెండెన్సీలు

సంఖ్యా పరాధీనతలకు ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్

చారిత్రాత్మకంగా, మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్ ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగించి అభివృద్ధి చెందాయి గణిత పద్ధతులుపరిశోధన మరియు అదే సమయంలో లాగరిథమ్‌లతో సహా గణితశాస్త్ర అభివృద్ధికి ప్రోత్సాహకంగా ఉపయోగపడింది. భౌతిక శాస్త్ర నియమాల సిద్ధాంతం గణిత శాస్త్ర భాషలో వ్రాయబడింది. వివరణలకు కేవలం రెండు ఉదాహరణలు ఇద్దాం భౌతిక చట్టాలులాగరిథమ్ ఉపయోగించి.

ఇలాంటి గణన సమస్యను పరిష్కరించండి సంక్లిష్ట పరిమాణంఅంతరిక్ష పరిశోధన సిద్ధాంతానికి పునాది వేసిన సియోల్కోవ్స్కీ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా రాకెట్ వేగాన్ని ఎలా నిర్ణయించవచ్చు:

V = I * ln (M1/M2), ఎక్కడ

• V – చివరి వేగంవిమానాల.
• I - ఇంజిన్ యొక్క నిర్దిష్ట ప్రేరణ.
• M 1 - రాకెట్ యొక్క ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి.
• M 2 - చివరి ద్రవ్యరాశి.

మరొకటి ముఖ్యమైన ఉదాహరణ - ఇది మరొక గొప్ప శాస్త్రవేత్త మాక్స్ ప్లాంక్ సూత్రంలో ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది థర్మోడైనమిక్స్‌లో సమతౌల్య స్థితిని అంచనా వేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

S = k * ln (Ω), ఎక్కడ

• S - థర్మోడైనమిక్ ప్రాపర్టీ.
• k - బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం.
• Ω అనేది వివిధ రాష్ట్రాల గణాంక బరువు.

రసాయన శాస్త్రం

సంవర్గమానాల నిష్పత్తిని కలిగి ఉన్న రసాయన శాస్త్రంలో ఫార్ములాలను ఉపయోగించడం తక్కువ స్పష్టమైనది. కేవలం రెండు ఉదాహరణలు ఇద్దాం:

• నెర్న్స్ట్ సమీకరణం, పదార్ధాల కార్యాచరణ మరియు సమతౌల్య స్థిరాంకానికి సంబంధించి మాధ్యమం యొక్క రెడాక్స్ సంభావ్యత యొక్క స్థితి.
• ఆటోలిసిస్ ఇండెక్స్ మరియు ద్రావణం యొక్క ఆమ్లత్వం వంటి స్థిరాంకాల గణన కూడా మా ఫంక్షన్ లేకుండా చేయలేము.

మనస్తత్వశాస్త్రం మరియు జీవశాస్త్రం

మరియు మనస్తత్వ శాస్త్రానికి దానితో సంబంధం ఏమిటో స్పష్టంగా లేదు. ఈ ఫంక్షన్ ద్వారా సంచలనం యొక్క బలం బాగా వివరించబడిందని తేలింది విలోమ సంబంధంఉద్దీపన తీవ్రత విలువలు తక్కువ తీవ్రత విలువకు.

పై ఉదాహరణల తరువాత, జీవశాస్త్రంలో లాగరిథమ్స్ అంశం విస్తృతంగా ఉపయోగించబడటంలో ఆశ్చర్యం లేదు. సంవర్గమాన స్పైరల్స్‌కు సంబంధించిన జీవ రూపాల గురించి మొత్తం వాల్యూమ్‌లను వ్రాయవచ్చు.

ఇతర ప్రాంతాలు

ఈ ఫంక్షన్‌తో సంబంధం లేకుండా ప్రపంచం ఉనికి అసాధ్యమని అనిపిస్తుంది మరియు ఇది అన్ని చట్టాలను శాసిస్తుంది. ముఖ్యంగా ప్రకృతి చట్టాలు సంబంధించినవి రేఖాగణిత పురోగతి. MatProfi వెబ్‌సైట్‌కి వెళ్లడం విలువైనదే, మరియు ఈ క్రింది కార్యకలాపాలలో ఇటువంటి ఉదాహరణలు చాలా ఉన్నాయి:

జాబితా అంతులేనిది కావచ్చు. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను ప్రావీణ్యం పొందిన తరువాత, మీరు అనంతమైన జ్ఞానం యొక్క ప్రపంచంలోకి ప్రవేశించవచ్చు.

సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం ఎన్ ఆధారంగా ఎ ఘాతాంకం అంటారు X , మీరు నిర్మించాల్సిన అవసరం ఉంది ఎ సంఖ్యను పొందడానికి ఎన్

అందించిన
,
,

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది
, అనగా
- ఈ సమానత్వం ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు.

బేస్ 10కి సంవర్గమానాలను దశాంశ సంవర్గమానాలు అంటారు. బదులుగా
వ్రాయడానికి
.

ఆధారానికి లాగరిథమ్స్ ఇ సహజంగా పిలువబడతాయి మరియు నియమించబడ్డాయి
.

లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు.

ఒకదాని సంవర్గమానం ఏదైనా ఆధారానికి సున్నాకి సమానం.

ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం కారకాల సంవర్గమానాల మొత్తానికి సమానం.

3) గుణకం యొక్క సంవర్గమానం లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం

కారకం
లాగరిథమ్‌ల నుండి బేస్‌కు పరివర్తన యొక్క మాడ్యులస్ అని పిలుస్తారు a బేస్ వద్ద లాగరిథమ్‌లకు బి .

లక్షణాలు 2-5 ఉపయోగించి, సంవర్గమానాలపై సాధారణ అంకగణిత కార్యకలాపాల ఫలితంగా సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణ యొక్క సంవర్గమానాన్ని తగ్గించడం తరచుగా సాధ్యపడుతుంది.

ఉదాహరణకి,

సంవర్గమానం యొక్క ఇటువంటి పరివర్తనలను లాగరిథమ్స్ అంటారు. లాగరిథమ్‌లకు విలోమ పరివర్తనలను పొటెన్షియేషన్ అంటారు.

అధ్యాయం 2. ఉన్నత గణిత అంశాలు.

1. పరిమితులు

ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి
ఒక పరిమిత సంఖ్య A అయితే, వలె xx 0 ప్రతి ముందుగా నిర్ణయించిన కోసం
, అటువంటి సంఖ్య ఉంది
అని వెంటనే
, ఆ
.

పరిమితిని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ దాని నుండి అనంతమైన మొత్తానికి భిన్నంగా ఉంటుంది:
, ఎక్కడ- b.m.v., i.e.
.

ఉదాహరణ. ఫంక్షన్ పరిగణించండి
.

ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు
, ఫంక్షన్ వై సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది:

1.1 పరిమితుల గురించి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు.

పరిమితి స్థిరమైన విలువఈ స్థిరమైన విలువకు సమానం

.

మొత్తం (తేడా) పరిమితి పరిమిత సంఖ్యవిధులు ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల మొత్తానికి (తేడా) సమానం.

పరిమిత సంఖ్యలో ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క పరిమితి ఉత్పత్తికి సమానంఈ ఫంక్షన్ల పరిమితులు.

హారం యొక్క పరిమితి సున్నా కానట్లయితే, రెండు ఫంక్షన్‌ల కోటీన్ యొక్క పరిమితి ఈ ఫంక్షన్‌ల పరిమితుల భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది.

అద్భుతమైన పరిమితులు

,
, ఎక్కడ

1.2 పరిమితి గణన ఉదాహరణలు

అయితే, అన్ని పరిమితులు అంత సులభంగా లెక్కించబడవు. చాలా తరచుగా, పరిమితిని లెక్కించడం అనేది రకం యొక్క అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి వస్తుంది: లేదా .

.

2. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

మాకు ఒక ఫంక్షన్ చేద్దాం
, విభాగంలో నిరంతరంగా
.

వాదన కొంత పెరుగుదల వచ్చింది
. అప్పుడు ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ అందుకుంటుంది
.

వాదన విలువ ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది
.

వాదన విలువ
ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

అందుకే, .

ఈ నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని ఇక్కడ కనుగొనండి
. ఈ పరిమితి ఉంటే, అది ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అంటారు.

నిర్వచనం 3 ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
వాదన ద్వారా ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ ఏకపక్షంగా సున్నాకి మారినప్పుడు, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి అంటారు.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
ఈ క్రింది విధంగా నియమించబడవచ్చు:

; ; ; .

నిర్వచనం 4 ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్ అంటారు భేదం.

2.1 ఉత్పన్నం యొక్క యాంత్రిక అర్థం.

కొన్ని దృఢమైన శరీరం లేదా మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క రెక్టిలినియర్ కదలికను పరిశీలిద్దాం.

ఏదో ఒక సమయంలో లెట్ కదిలే స్థానం
దూరంలో ఉంది ప్రారంభ స్థానం నుండి
.

కొంత కాలం తర్వాత
ఆమె దూరం వెళ్ళింది
. వైఖరి =- మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క సగటు వేగం
. దానిని పరిగణనలోకి తీసుకొని ఈ నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి
.

అందువలన, నిర్వచనం తక్షణ వేగంపదార్థ బిందువు యొక్క చలనం సమయానికి సంబంధించి మార్గం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడంలో వస్తుంది.

2.2. రేఖాగణిత అర్థంఉత్పన్నం

మాకు గ్రాఫికల్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉండండి
.

అన్నం. 1. ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

ఉంటే
, అప్పుడు పాయింట్
, పాయింట్ సమీపించే వక్రరేఖ వెంట కదులుతుంది
.

అందుకే
, అనగా వాదన యొక్క ఇచ్చిన విలువ కోసం ఉత్పన్నం యొక్క విలువ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సంఖ్యాపరంగా సమానం
.

2.3 ప్రాథమిక భేద సూత్రాల పట్టిక.

పవర్ ఫంక్షన్

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్

త్రికోణమితి ఫంక్షన్

విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్

2.4 భేదం యొక్క నియమాలు.

యొక్క ఉత్పన్నం

ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) యొక్క ఉత్పన్నం

రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం

రెండు ఫంక్షన్ల గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం

2.5 యొక్క ఉత్పన్నం క్లిష్టమైన ఫంక్షన్.

ఫంక్షన్ ఇవ్వనివ్వండి
రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహించే విధంగా

మరియు
, ఇక్కడ వేరియబుల్ అనేది ఇంటర్మీడియట్ వాదన

కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్‌కు సంబంధించి ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు xకి సంబంధించి ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానం.

ఉదాహరణ 1.

ఉదాహరణ 2.

3. డిఫరెన్షియల్ ఫంక్షన్.

ఉండనివ్వండి
, కొంత విరామంలో తేడా ఉంటుంది
దాన్ని పోనివ్వు వద్ద ఈ ఫంక్షన్ ఒక ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంది

,

అప్పుడు మనం వ్రాయవచ్చు

(1),

ఎక్కడ - అనంతమైన పరిమాణం,

ఎప్పట్నుంచి

సమానత్వం యొక్క అన్ని నిబంధనలను (1) ద్వారా గుణించడం
మాకు ఉన్నాయి:

ఎక్కడ
- బి.ఎం.వి. ఉన్నత శ్రేణుల.

పరిమాణం
ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన అని పిలుస్తారు
మరియు నియమించబడినది

.

3.1 భేదం యొక్క రేఖాగణిత విలువ.

ఫంక్షన్ ఇవ్వనివ్వండి
.

Fig.2. అవకలన యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.

.

సహజంగానే, ఫంక్షన్ యొక్క భేదం
ఇచ్చిన బిందువు వద్ద టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌కు సమానం.

3.2 వివిధ ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలు మరియు భేదాలు.

ఒకవేళ వుంటె
, అప్పుడు
మొదటి ఉత్పన్నం అంటారు.

మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నం అని పిలుస్తారు మరియు వ్రాయబడుతుంది
.

ఫంక్షన్ యొక్క nవ క్రమం యొక్క ఉత్పన్నం
(n-1)వ ఆర్డర్ ఉత్పన్నం అని పిలుస్తారు మరియు వ్రాయబడింది:

.

ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క అవకలనాన్ని రెండవ అవకలన లేదా రెండవ ఆర్డర్ అవకలన అంటారు.

.

.

3.3 భేదాన్ని ఉపయోగించి జీవసంబంధ సమస్యలను పరిష్కరించడం.

టాస్క్ 1. సూక్ష్మజీవుల కాలనీ పెరుగుదల చట్టానికి లోబడి ఉంటుందని అధ్యయనాలు చెబుతున్నాయి
, ఎక్కడ ఎన్ - సూక్ష్మజీవుల సంఖ్య (వేలల్లో), t - సమయం (రోజులు).

బి) ఈ కాలంలో కాలనీ జనాభా పెరుగుతుందా లేదా తగ్గుతుందా?

సమాధానం. కాలనీ విస్తీర్ణం పెరుగుతుంది.

టాస్క్ 2. వ్యాధికారక బాక్టీరియా యొక్క కంటెంట్‌ను పర్యవేక్షించడానికి సరస్సులోని నీరు క్రమానుగతంగా పరీక్షించబడుతుంది. ద్వారా t పరీక్ష తర్వాత రోజుల తర్వాత, బ్యాక్టీరియా యొక్క ఏకాగ్రత నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

.

సరస్సులో బ్యాక్టీరియా కనీస సాంద్రత ఎప్పుడు ఉంటుంది మరియు దానిలో ఈత కొట్టడం సాధ్యమవుతుందా?

పరిష్కారం: ఒక ఫంక్షన్ దాని ఉత్పన్నం సున్నా అయినప్పుడు గరిష్టం లేదా నిమికి చేరుకుంటుంది.

,

6 రోజులలో గరిష్టం లేదా నిమి అని నిశ్చయించుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుందాం.

సమాధానం: 6 రోజుల తర్వాత బ్యాక్టీరియా కనీస సాంద్రత ఉంటుంది.