ఈ పాఠం బీజగణిత భిన్నం యొక్క భావనను కవర్ చేస్తుంది. ప్రజలు సరళమైన జీవిత పరిస్థితులలో భిన్నాలను ఎదుర్కొంటారు: ఒక వస్తువును అనేక భాగాలుగా విభజించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, ఉదాహరణకు, ఒక కేక్‌ను పది మందికి సమానంగా కత్తిరించడం. సహజంగానే, ప్రతి ఒక్కరూ కేక్ ముక్కను పొందుతారు. ఈ సందర్భంలో, మేము సంఖ్యా భిన్నం యొక్క భావనను ఎదుర్కొంటాము, అయితే ఒక వస్తువు తెలియని సంఖ్యలో భాగాలుగా విభజించబడినప్పుడు పరిస్థితి సాధ్యమవుతుంది, ఉదాహరణకు, x ద్వారా. ఈ సందర్భంలో, పాక్షిక వ్యక్తీకరణ యొక్క భావన తలెత్తుతుంది. మీరు ఇప్పటికే 7వ తరగతిలో పూర్తి వ్యక్తీకరణలు (వేరియబుల్స్‌తో ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లుగా విభజించడం లేదు) మరియు వాటి లక్షణాలతో పరిచయం కలిగి ఉన్నారు. తరువాత మనం హేతుబద్ధమైన భిన్నం యొక్క భావనను అలాగే వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలను పరిశీలిస్తాము.
హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు విభజించబడ్డాయి పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు.
నిర్వచనం.హేతుబద్ధమైన భిన్నంరూపం యొక్క పాక్షిక వ్యక్తీకరణ , బహుపదాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. - న్యూమరేటర్ హారం.
ఉదాహరణలుహేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు:
- పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు; - మొత్తం వ్యక్తీకరణలు. మొదటి వ్యక్తీకరణలో, ఉదాహరణకు, న్యూమరేటర్ , మరియు హారం .
అర్థం బీజగణిత భిన్నంఎవరైనా వంటి బీజగణిత వ్యక్తీకరణ, దానిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ప్రత్యేకించి, మొదటి ఉదాహరణలో భిన్నం యొక్క విలువ వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు , మరియు రెండవ ఉదాహరణలో వేరియబుల్ విలువపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది.
మొదటి సాధారణ పనిని పరిశీలిద్దాం: విలువను లెక్కించడం హేతుబద్ధమైన భిన్నందానిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క విభిన్న విలువల కోసం.
ఉదాహరణ 1. a) , b) , c) కోసం భిన్నం యొక్క విలువను లెక్కించండి
పరిష్కారం.సూచించిన భిన్నంలో వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: a) , b) , c) - ఉనికిలో లేదు (మీరు సున్నాతో విభజించలేరు కాబట్టి).
సమాధానం:ఎ) 3; బి) 1; c) ఉనికిలో లేదు.
మీరు గమనిస్తే, ఏదైనా భిన్నానికి రెండు సాధారణ సమస్యలు తలెత్తుతాయి: 1) భిన్నాన్ని లెక్కించడం, 2) కనుగొనడం చెల్లుబాటు అయ్యే మరియు చెల్లని విలువలుఅక్షరం వేరియబుల్స్.
నిర్వచనం.చెల్లుబాటు అయ్యే వేరియబుల్ విలువలు- వ్యక్తీకరణ అర్థవంతంగా ఉండే వేరియబుల్స్ విలువలు. వేరియబుల్స్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల సమితిని అంటారు ODZలేదా డొమైన్.
ఈ విలువలలో భిన్నం యొక్క హారం సున్నా అయితే లిటరల్ వేరియబుల్స్ విలువ చెల్లదు. అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలు చెల్లుబాటు అవుతాయి, ఎందుకంటే భిన్నాన్ని లెక్కించవచ్చు.
ఉదాహరణ 2.
పరిష్కారం.ఈ వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కావడానికి, భిన్నం యొక్క హారం సున్నాకి సమానం కాకపోవడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. అందువలన, వేరియబుల్ యొక్క విలువలు మాత్రమే చెల్లవు, దీని కోసం హారం సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. భిన్నం యొక్క హారం , కాబట్టి మేము సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:
కాబట్టి, వేరియబుల్ విలువను బట్టి, భిన్నానికి అర్థం లేదు.
సమాధానం: -5.
ఉదాహరణ యొక్క పరిష్కారం నుండి, వేరియబుల్స్ యొక్క చెల్లని విలువలను కనుగొనే నియమం క్రింది విధంగా ఉంటుంది - భిన్నం యొక్క హారం సున్నాకి సమానం మరియు సంబంధిత సమీకరణం యొక్క మూలాలు కనుగొనబడ్డాయి.
ఇలాంటి అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ 3.వేరియబుల్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి .
పరిష్కారం..
సమాధానం..
ఉదాహరణ 4.వేరియబుల్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం..
ఈ సమస్య యొక్క ఇతర సూత్రీకరణలు ఉన్నాయి - కనుగొనండి డొమైన్లేదా ఆమోదయోగ్యమైన వ్యక్తీకరణ విలువల పరిధి (APV). దీని అర్థం వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలను కనుగొనడం. మా ఉదాహరణలో, ఇవి తప్ప అన్ని విలువలు. సంఖ్య అక్షంపై నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను వర్ణించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.
దీన్ని చేయడానికి, చిత్రంలో సూచించిన విధంగా మేము దానిపై ఒక పాయింట్‌ను కత్తిరించుకుంటాము:
అన్నం. 1
ఈ విధంగా, భిన్నం నిర్వచనం డొమైన్ 3 తప్ప అన్ని సంఖ్యలు ఉంటాయి.
సమాధానం..
ఉదాహరణ 5.వేరియబుల్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం..
ఫలిత పరిష్కారాన్ని సంఖ్యా అక్షంపై చిత్రీకరిద్దాం:
అన్నం. 2
సమాధానం..
ఉదాహరణ 6.
పరిష్కారం.. మేము రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క సమానత్వాన్ని పొందాము, మేము సంఖ్యా ఉదాహరణలను ఇస్తాము: లేదా, మొదలైనవి.
కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని గ్రాఫ్‌లో ఈ పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరిద్దాం:
అన్నం. 3. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్
ఈ గ్రాఫ్‌పై ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఆమోదయోగ్యమైన భిన్న విలువల పరిధిలో చేర్చబడలేదు.
సమాధానం..
చర్చించిన ఉదాహరణలలో, సున్నా ద్వారా విభజన సంభవించే పరిస్థితిని మేము ఎదుర్కొన్నాము. రకం విభజనతో మరింత ఆసక్తికరమైన పరిస్థితి ఉత్పన్నమయ్యే సందర్భాన్ని ఇప్పుడు పరిగణించండి.
ఉదాహరణ 7.వేరియబుల్స్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం..
భిన్నం వద్ద అర్ధమే లేదని తేలింది. కానీ ఇది అలా కాదని ఎవరైనా వాదించవచ్చు ఎందుకంటే: 
.
అంతిమ వ్యక్తీకరణ 8 వద్దకు సమానంగా ఉంటే, అసలైన దానిని కూడా గణించవచ్చు మరియు అందువల్ల వద్ద అర్థవంతంగా ఉంటుంది. అయినప్పటికీ, మేము దానిని అసలు వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనం పొందుతాము - ఇది అర్ధం కాదు.
సమాధానం..
ఈ ఉదాహరణను మరింత వివరంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, ఈ క్రింది సమస్యను పరిష్కరిద్దాం: సూచించిన భిన్నం ఏ విలువలతో సున్నాకి సమానం?
48. బీజగణిత వ్యక్తీకరణల రకాలు.
బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు సంఖ్యలు మరియు వేరియబుల్స్ నుండి కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం, హేతుబద్ధమైన శక్తికి పెంచడం మరియు మూలాలను సంగ్రహించడం మరియు కుండలీకరణాలను ఉపయోగించడం వంటి సంకేతాలను ఉపయోగించి రూపొందించబడ్డాయి.
బీజగణిత వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలు:
బీజగణిత వ్యక్తీకరణలో వేరియబుల్స్‌గా విభజించడం మరియు వేరియబుల్స్ నుండి మూలాలను వెలికితీయడం (ముఖ్యంగా, పాక్షిక ఘాతాంకంతో ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్) ఉండకపోతే, దానిని పూర్ణాంకం అంటారు. పైన వ్రాసిన వాటిలో, వ్యక్తీకరణలు 1, 2 మరియు 6 పూర్ణాంకాలు.
బీజగణిత వ్యక్తీకరణ సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం, సహజ ఘాతాంకం మరియు భాగహారంతో ఘాతాంకం యొక్క కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి సంఖ్యలు మరియు వేరియబుల్‌లతో కూడి ఉంటే మరియు వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణలుగా విభజించబడితే, దానిని భిన్నం అంటారు. కాబట్టి, పైన వ్రాసిన వాటిలో, 3 మరియు 4 వ్యక్తీకరణలు భిన్నమైనవి.
పూర్ణాంకం మరియు భిన్న వ్యక్తీకరణలను హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలు అంటారు. కాబట్టి, పైన వ్రాసిన హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలలో, వ్యక్తీకరణలు 1, 2, 3, 4 మరియు 6.
బీజగణిత వ్యక్తీకరణలో వేరియబుల్స్ యొక్క మూలాన్ని తీసుకుంటే (లేదా వేరియబుల్స్‌ను పాక్షిక శక్తికి పెంచడం), అటువంటి బీజగణిత వ్యక్తీకరణను అహేతుకం అంటారు. అందువల్ల, పైన వ్రాసిన వాటిలో, 5 మరియు 7 వ్యక్తీకరణలు అహేతుకం.
కాబట్టి, బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు హేతుబద్ధంగా మరియు అహేతుకంగా ఉంటాయి. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు, పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలుగా విభజించబడ్డాయి.
49. వేరియబుల్స్ యొక్క చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలు. బీజగణిత వ్యక్తీకరణ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్.
బీజగణిత వ్యక్తీకరణ అర్థవంతంగా ఉండే వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలు అంటారు. వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని అనుమతించదగిన విలువల సమితిని బీజగణిత వ్యక్తీకరణ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అంటారు.
మొత్తం వ్యక్తీకరణ దానిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు అర్ధమే. కాబట్టి, వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు, పేరా 48 నుండి 1, 2, 6 మొత్తం వ్యక్తీకరణలు అర్ధవంతంగా ఉంటాయి.
హారం సున్నా చేసే వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలకు భిన్న వ్యక్తీకరణలు అర్ధవంతం కావు. ఈ విధంగా, 48వ పేరా నుండి 3వ భాగపు వ్యక్తీకరణ 3 మినహా అన్ని o లకు అర్థవంతంగా ఉంటుంది మరియు పాక్షిక వ్యక్తీకరణ 4 a యొక్క విలువలు మినహా అన్ని a, b, c లకు అర్థవంతంగా ఉంటుంది.
అహేతుక వ్యక్తీకరణ వేరియబుల్స్ యొక్క ఆ విలువలకు అర్ధం కాదు, ఇది సమాన శక్తి యొక్క మూలం యొక్క చిహ్నం క్రింద లేదా పాక్షిక శక్తికి పెంచే సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణను ప్రతికూల సంఖ్యగా మారుస్తుంది. కాబట్టి, అహేతుక వ్యక్తీకరణ 5 అనేది a, b కోసం మాత్రమే అర్ధమవుతుంది మరియు అహేతుక వ్యక్తీకరణ 7 మరియు (పేరా 48 చూడండి).
బీజగణిత వ్యక్తీకరణలో వేరియబుల్స్ చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలను ఇచ్చినట్లయితే, అప్పుడు సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ పొందబడుతుంది; దాని విలువను వేరియబుల్స్ యొక్క ఎంచుకున్న విలువలకు బీజగణిత వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ అంటారు.
ఉదాహరణ. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి
పరిష్కారం. మన దగ్గర ఉంది
50. వ్యక్తీకరణ యొక్క ఒకే విధమైన పరివర్తన భావన. గుర్తింపు.
మనకు ఉన్నప్పుడు రెండు వ్యక్తీకరణలను పరిశీలిద్దాం. 0 మరియు 3 సంఖ్యలను వాటి సంబంధిత విలువలు అంటారు. వ్యక్తీకరణలు కోసం అదే వ్యక్తీకరణల యొక్క సంబంధిత విలువలను కనుగొనండి
రెండు వ్యక్తీకరణల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, సమానత్వం నిజం), లేదా అవి ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణకు, పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో).
వేరియబుల్స్ యొక్క చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలు,
పాక్షిక వ్యక్తీకరణలో చేర్చబడింది
లక్ష్యాలు:పాక్షిక వ్యక్తీకరణలలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలను కనుగొనే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి.
తరగతుల సమయంలో
I. సంస్థాగత క్షణం.
II. నోటి పని.
– *కి బదులుగా కొంత సంఖ్యను భర్తీ చేయండి మరియు ఫలిత భిన్నానికి పేరు పెట్టండి:
ఎ) ; బి) ; V) ; జి) ;
d) ; ఇ) ; మరియు) ; h) .
III. కొత్త పదార్థం యొక్క వివరణ.
కొత్త పదార్థం యొక్క వివరణ మూడు దశల్లో జరుగుతుంది:
1. విద్యార్థుల జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం.
2. హేతుబద్ధమైన భిన్నం ఎల్లప్పుడూ అర్ధవంతంగా ఉంటుందా అనే ప్రశ్న యొక్క పరిశీలన.
3. హేతుబద్ధమైన భిన్నంలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలను కనుగొనడానికి నియమం యొక్క ఉత్పన్నం.
జ్ఞానాన్ని నవీకరించేటప్పుడు, విద్యార్థులు ఈ క్రింది వాటిని అడగవచ్చు:
ప్రశ్నలు:
- ఏ భిన్నాన్ని హేతుబద్ధం అంటారు?
– ప్రతి భిన్నం పాక్షిక వ్యక్తీకరణనా?
– అందులో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఇచ్చిన విలువలకు హేతుబద్ధమైన భిన్నం యొక్క విలువను ఎలా కనుగొనాలి?
హేతుబద్ధమైన భిన్నంలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల సమస్యను స్పష్టం చేయడానికి, మీరు ఒక పనిని పూర్తి చేయమని విద్యార్థులను అడగవచ్చు.
అసైన్‌మెంట్: వేరియబుల్ యొక్క పేర్కొన్న విలువల కోసం భిన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి:
వద్ద X = 4; 0; 1.
ఈ పనిని పూర్తి చేయడం ద్వారా, విద్యార్థులు ఎప్పుడు అని అర్థం చేసుకుంటారు X= 1 భిన్నం యొక్క విలువను కనుగొనడం అసాధ్యం. ఇది క్రింది తీర్మానం చేయడానికి వారిని అనుమతిస్తుంది: మీరు సంఖ్యలను దాని హారం సున్నాగా చేసే హేతుబద్ధమైన భిన్నంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయలేరు (ఈ తీర్మానాన్ని విద్యార్థులు స్వయంగా రూపొందించాలి మరియు బిగ్గరగా మాట్లాడాలి).
దీని తరువాత, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అర్ధమయ్యే వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలను వేరియబుల్స్ యొక్క చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలు అని పిలుస్తారు అని ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థులకు తెలియజేస్తాడు.
1) వ్యక్తీకరణ పూర్ణాంకం అయితే, అందులో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలు చెల్లుబాటు అవుతాయి.
2) పాక్షిక వ్యక్తీకరణ యొక్క వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలను కనుగొనడానికి, మీరు హారం సున్నాకి వెళుతున్న విలువలను తనిఖీ చేయాలి. కనుగొనబడిన సంఖ్యలు చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలు కావు.
IV. నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల ఏర్పాటు.
1. № 10, № 11.
పాక్షిక వ్యక్తీకరణలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల గురించిన ప్రశ్నకు సమాధానం భిన్నంగా అనిపించవచ్చు. ఉదాహరణకు, హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, మినహా అన్ని సంఖ్యలు అని మనం చెప్పగలం X= 4, లేదా వేరియబుల్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువలు సంఖ్య 4ని కలిగి ఉండవు, అంటే X ≠ 4.
రెండు సూత్రీకరణలు సరైనవి; ఆకృతి సరైనదని నిర్ధారించుకోవడం ప్రధాన విషయం.
నమూనా ఫారమ్:
4X (X + 1) = 0
సమాధానం: X≠ 0 మరియు X≠ 1 (లేదా 0 మరియు –1 మినహా అన్ని సంఖ్యలు).
3. నం. 14 (ఎ, సి), నం. 15.
ఈ పనులను పూర్తి చేసేటప్పుడు, విద్యార్థులు వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువలను పరిగణనలోకి తీసుకోవలసిన అవసరాన్ని గమనించాలి.
జి) 
సమాధానం: X = 0.
అన్ని తార్కికం కోసం హేతుబద్ధతను పర్యవేక్షించండి.
ఉన్నత స్థాయి శిక్షణ ఉన్న తరగతిలో, మీరు అదనంగా నం. 18 మరియు నం. 20ని నిర్వహించవచ్చు.
పరిష్కారం
ఒకే పాజిటివ్ న్యూమరేటర్ ఉన్న అన్ని భిన్నాలలో, పెద్దది చిన్న హారంతో ఉంటుంది. అంటే, ఏ విలువలో కనుగొనడం అవసరం ఎవ్యక్తీకరణ ఎ 2 + 5 చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది.
వ్యక్తీకరణ నుండి ఎ 2 ఏ విలువకు ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు ఎ, తర్వాత వ్యక్తీకరణ ఎ 2 + 5 ఎప్పుడు చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది ఎ = 0.
సమాధానం: ఎ = 0.
అదేవిధంగా వాదిస్తూ, విలువను కనుగొనడం అవసరమని మేము కనుగొన్నాము ఎ, దీని కోసం వ్యక్తీకరణ ( ఎ– 3) 2 + 1 చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది.
సమాధానం: ఎ = 3.
పరిష్కారం
.
ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, మీరు ముందుగా వ్యక్తీకరణను భిన్నం యొక్క హారంలో మార్చాలి.
వ్యక్తీకరణ అయితే భిన్నం గొప్ప విలువను తీసుకుంటుంది (2 X +
+ వద్ద) 2 + 9 చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది. నుండి (2 X + వద్ద 2 ప్రతికూల విలువలను తీసుకోదు, ఆపై వ్యక్తీకరణ యొక్క అతి చిన్న విలువ (2 X + వద్ద) 2 + 9 సమానం 9.
అప్పుడు అసలు భిన్నం విలువ = 2.
V. పాఠం సారాంశం.
తరచుగా అడుగు ప్రశ్నలు:
- వ్యక్తీకరణలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలు ఏవి?
- మొత్తం వ్యక్తీకరణ యొక్క వేరియబుల్స్ కోసం చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలు ఏమిటి?
- భిన్న వ్యక్తీకరణలో వేరియబుల్స్ కోసం చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలను ఎలా కనుగొనాలి?
- అన్ని వేరియబుల్ విలువలు చెల్లుబాటు అయ్యే హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు ఉన్నాయా? అటువంటి భిన్నాలకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
ఇంటి పని:నం. 12, నం. 14 (బి, డి), నం. 212.