Buku Pertama Elemen dibuka dengan pelbagai definisi, diikuti oleh lima postulat terkenal. Selanjutnya, sebelum dia mula membuktikan teorem, dia memberikan senarai konsep umum. Beberapa definisi pertama adalah seperti berikut:
Definisi 1.1. Titik adalah sesuatu yang tidak ada bahagiannya.
Definisi 1.2. Garis adalah panjang tanpa lebar.
Definisi 1.3. Hujung garisan ialah titik.
Definisi 1.4. Satu garis lurus terletak secara seragam berhubung dengan titik-titik di atasnya.
Postulat ialah binaan jenis berikut:
Anda boleh melukis garis lurus yang menghubungkan satu titik dengan titik yang lain.
Konsep umum ialah aksiom, seperti:
Objek yang sama dengan objek yang sama adalah sama antara satu sama lain.
Perkara-perkara tertentu perlu diberi perhatian.
1. Euclid nampaknya mentakrifkan titik dua kali (takrif 1 dan 3) dan garis dua kali (takrif 2 dan 4). Ia agak pelik.
2. Euclid tidak pernah menggunakan takrifan dan tidak pernah merujuknya dalam seluruh teks.
3. Dia tidak mentakrifkan beberapa konsep di mana-mana sahaja. Sebagai contoh, tiada definisi susunan titik pada garis. Oleh itu, fakta bahawa satu titik terletak di antara dua yang lain juga tidak ditakrifkan, tetapi sudah tentu ia digunakan.
4. Buku Elemen kelima membincangkan kuantiti dan perkadarannya. Walau bagaimanapun, Euclid tidak mentakrifkan konsep magnitud, dan nampaknya kepada pembaca moden bahawa Euclid gagal untuk memperkenalkan kuantiti dengan ketegasan yang dia terkenal.
5. Apabila Euclid memperkenalkan kuantiti dan nombor, dia memberikan beberapa definisi, tetapi bukan postulat atau konsep umum. Sebagai contoh, seseorang mungkin menjangkakan Euclid mendalilkan bahawa , dsb., tetapi dia tidak.
Apabila Euclid memperkenalkan nombor dalam Buku ketujuh, dia memberikan definisi yang hampir sama dengan definisi asas pada permulaan Buku pertama:
Unit ialah setiap benda yang wujud dipanggil satu.
Hantar kerja baik anda di pangkalan pengetahuan adalah mudah. Gunakan borang di bawah
Pelajar, pelajar siswazah, saintis muda yang menggunakan asas pengetahuan dalam pengajian dan kerja mereka akan sangat berterima kasih kepada anda.
Disiarkan di http://www.allbest.ru
Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia
Autonomi Negeri Persekutuan institusi pendidikan lebih tinggi pendidikan vokasional Universiti Persekutuan Kazan (Wilayah Volga)
Institut Matematik dan Mekanik dinamakan sempena. N.I. Lobachevsky
Jabatan Teori dan Teknologi Pengajaran Matematik dan Sains Komputer
Arahan: (matematik dan bahasa Inggeris)
"Kepentingan Elemen Euclid dalam Sejarah Matematik"
Pelajar: Nemkova A.I.
kumpulan 05-106
Guru: Shakirova L.R.
euclid matematik greek purba
Kazan 2014
“Unit itu adalah yang melaluinya setiap yang sedia ada dianggap sebagai satu.
Nombor ialah satu set yang terdiri daripada unit."
BIOGRAFI
EUCLID (Euclid c.356-300 VS)
Euclid ialah seorang ahli matematik Yunani purba, pengarang risalah teori pertama mengenai matematik yang telah sampai kepada kita. Maklumat biografi maklumat tentang kehidupan dan kerja Euclid sangat terhad. Adalah diketahui bahawa dia berasal dari Athens dan merupakan pelajar Plato. Aktiviti saintifik ia berlaku di Iskandariah, tempat dia mencipta sekolah matematik.
PENCAPAIAN DALAM MATEMATIK
Karya utama Euclid "Elemen" (tajuk Latin - "Elemen") mengandungi pembentangan planimetri, stereometri dan beberapa isu dalam teori nombor, algebra, teori umum perhubungan dan kaedah menentukan kawasan dan isipadu, termasuk unsur had. (Kaedah keletihan). Dalam Elemen, Euclid meringkaskan semua pencapaian sebelumnya dalam matematik Yunani dan mencipta asas untuknya. perkembangan selanjutnya. Makna sejarah"Prinsip" Euclid terletak pada fakta bahawa mereka adalah orang pertama yang mencuba pembinaan logik geometri berdasarkan aksiomatik. Kelemahan utama aksiomatik Euclid harus dianggap sebagai ketidaklengkapannya; tiada aksiom kesinambungan, pergerakan dan ketertiban, jadi Euclid sering terpaksa menarik minat intuisi dan mempercayai mata. Buku XIV dan XV adalah tambahan kemudian, tetapi sama ada tiga belas buku pertama adalah karya seorang lelaki atau sekolah yang dipimpin oleh Euclid tidak diketahui. Sejak 1482 Elemen Euclid telah melalui lebih daripada 500 edisi. dalam semua bahasa di dunia.
Empat buku pertama Elemen dikhaskan untuk geometri satah, dan mereka mengkaji sifat asas angka dan bulatan rectilinear.
Buku I didahului dengan definisi konsep yang digunakan kemudian. Mereka intuitif kerana ia ditakrifkan dalam istilah realiti fizikal: "Titik ialah sesuatu yang tidak mempunyai bahagian." "Satu garis adalah panjang tanpa lebar." "Garis lurus ialah satu yang terletak sama berhubung dengan titik di atasnya." "Permukaan adalah yang hanya mempunyai panjang dan lebar," dsb.
Takrifan ini diikuti oleh lima postulat: “Andaikan:
1) bahawa garis lurus boleh dilukis dari mana-mana titik ke mana-mana titik;
2) dan bahawa garisan sempadan boleh terus dilanjutkan sepanjang garis lurus;
3) dan bahawa bulatan boleh diterangkan dari mana-mana pusat dan oleh mana-mana penyelesaian;
4) dan semua sudut tegak adalah sama antara satu sama lain;
5) dan jika garis lurus yang jatuh pada dua garis lurus membentuk sudut pedalaman pada satu sisi yang kurang daripada dua sudut tepat, maka dilanjutkan selama-lamanya kedua-dua garis lurus ini akan bertemu pada sisi yang sudutnya kurang daripada dua sudut tegak."
Tiga postulat pertama memastikan kewujudan garis lurus dan bulatan. Yang kelima, yang dipanggil postulat selari, adalah yang paling terkenal. Ia sentiasa menarik minat ahli matematik, yang cuba mendapatkannya daripada empat yang sebelumnya atau membuangnya sama sekali, sehingga pada abad ke-19. Telah didapati bahawa geometri bukan Euclidean yang lain boleh dibina dan postulat kelima mempunyai hak untuk wujud. Kemudian Euclid merumuskan aksiom yang, berbeza dengan postulat yang sah hanya untuk geometri, secara amnya boleh digunakan untuk semua sains. Euclid seterusnya membuktikan dalam Buku I sifat asas segi tiga, antaranya ialah syarat kesamarataan. Kemudian beberapa binaan geometri, seperti membina pembahagi dua sudut, titik tengah segmen dan serenjang dengan garis. Buku I juga merangkumi teori persamaan dan pengiraan luas beberapa angka rata(segi tiga, segi empat selari dan segi empat sama). Buku II meletakkan asas apa yang dipanggil algebra geometri, sejak zaman sekolah Pythagoras. Semua kuantiti di dalamnya diwakili secara geometri, dan operasi pada nombor dilakukan secara geometri. Nombor digantikan dengan segmen garisan. Buku III sepenuhnya ditujukan kepada geometri bulatan, dan kajian Buku IV poligon sekata, tertulis dalam bulatan, serta dihadkan di sekelilingnya.
Teori perkadaran, yang dibangunkan dalam Buku V, digunakan dengan baik untuk kuantiti yang sepadan dan kuantiti yang tidak boleh dibandingkan. Euclid termasuk dalam konsep "magnitud" panjang, luas, isipadu, berat, sudut, selang masa, dll. Enggan menggunakan bukti geometri, tetapi juga mengelak daripada menggunakan aritmetik, dia tidak mengaitkan kuantiti nilai berangka. Takrifan pertama Buku V Elemen Euclid: 1. Bahagian ialah magnitud (daripada) magnitud yang lebih kecil (daripada) yang lebih besar jika ia mengukur yang lebih besar. 2. Gandaan adalah lebih besar (daripada) yang lebih kecil, jika ia diukur oleh yang lebih kecil. 3. Nisbah ialah pergantungan tertentu bagi dua kuantiti homogen dalam kuantiti. 4. Kuantiti dikatakan mempunyai hubungan antara satu sama lain jika ia diambil sebagai gandaan, boleh melebihi satu sama lain. 5. Mereka mengatakan bahawa kuantiti adalah dalam nisbah yang sama: yang pertama kepada yang kedua dan yang ketiga kepada yang keempat, jika gandaan yang sama bagi yang pertama dan ketiga adalah pada masa yang sama lebih besar, atau pada masa yang sama sama, atau pada masa yang sama kurang daripada gandaan yang sama bagi kedua dan keempat setiap satu, untuk sebarang kepelbagaian, jika mengambilnya dalam susunan yang sesuai. 6. Biarkan kuantiti yang mempunyai nisbah yang sama dipanggil berkadar. Daripada lapan belas definisi yang diletakkan pada permulaan keseluruhan buku, dan konsep umum yang dirumuskan dalam Buku I, dengan keanggunan yang mengagumkan dan hampir tanpa kelemahan logik, Euclid menyimpulkan (tanpa menggunakan postulat, yang kandungannya adalah geometri) dua puluh teorem di mana sifat kuantiti dan hubungannya.
Dalam Buku VI, teori perkadaran Buku V digunakan untuk angka rectilinear, untuk geometri pada satah, dan khususnya untuk angka yang serupa, dan “angka rectilinear yang serupa ialah yang mempunyai sudut sama tertib dan sisi di sudut yang sama berkadar." Buku VII, VIII dan IX membentuk risalah tentang teori nombor; teori perkadaran di dalamnya digunakan untuk nombor. Buku VII mentakrifkan kesamaan nisbah integer, atau, dengan titik moden penglihatan, teori nombor rasional dibina. Daripada banyak sifat nombor yang dikaji oleh Euclid (pariti, kebolehbahagi, dll.), kami memetik, sebagai contoh, proposisi 20 Buku IX, yang menetapkan kewujudan nombor tak terhingga"pertama", i.e. nombor perdana: “Terdapat lebih banyak nombor pertama daripada sebarang nombor nombor pertama yang dicadangkan.” Buktinya melalui percanggahan masih boleh didapati dalam buku teks algebra.
Buku X sukar dibaca; ia mengandungi klasifikasi kuantiti tak rasional kuadratik, yang diwakili di sana oleh garis geometri dan segi empat tepat. Beginilah cara Proposisi 1 dirumuskan dalam Buku X Elemen Euclid: “Jika dua kuantiti yang tidak sama diberi dan satu bahagian ditolak daripada yang lebih besar, lebih daripada separuh, dan daripada baki - sekali lagi bahagian yang lebih besar daripada separuh, dan ini diulangi secara berterusan, maka suatu hari nanti akan kekal nilai yang kurang daripada nilai yang lebih kecil daripada nilai yang diberikan." bahasa moden: Jika a dan b ialah nombor nyata positif dan a >b, maka sentiasa wujud sedemikian nombor asli m supaya mb > a. Euclid membuktikan kesahihan transformasi geometri.
Buku XI dikhaskan untuk stereometri. Dalam Buku XII, yang juga mungkin bermula sejak Eudoxus, kawasan angka lengkung dibandingkan dengan luas poligon menggunakan Kaedah Keletihan. Subjek Buku XIII ialah pembinaan polyhedra biasa. Pembinaan pepejal Platonik, yang nampaknya melengkapkan Unsur, memberi alasan untuk mengklasifikasikan Euclid sebagai pengikut falsafah Plato.
BIDANG KEPENTINGAN
Sebagai tambahan kepada Elemen, karya Euclid berikut telah sampai kepada kami: sebuah buku di bawah nama latin"Data" (menghuraikan syarat di mana mana-mana imej matematik boleh dianggap "data"); sebuah buku mengenai optik (mengandungi doktrin perspektif), mengenai katoptrik (menggariskan teori herotan dalam cermin), sebuah buku "Pembahagian Rajah". Tidak dipelihara kerja pedagogi Euclid "Mengenai kesimpulan palsu" (dalam matematik). Euclid juga menulis karya tentang astronomi (“Fenomena”) dan muzik.
KEBAIKAN EUCLID
TEOREM EUCLID tentang nombor perdana: set nombor perdana adalah tak terhingga (Euclides' Elements, Book IX, Theorem 20). Maklumat kuantitatif yang lebih tepat tentang set nombor perdana dalam siri semula jadi terkandung dalam teorem Chebyshev mengenai nombor perdana dan formula asimptotik. hukum taburan nombor perdana.
GEOMETRI EUCLIDAN - geometri ruang yang diterangkan oleh sistem aksiom, pembentangan sistematik pertama (tetapi tidak cukup ketat) diberikan dalam Elemen Euclid. Biasanya ruang sistem geometri elektronik digambarkan sebagai satu set objek tiga jenis, dipanggil "titik," "garis lurus," dan "satah"; hubungan antara mereka: kepunyaan, perintah ("berbaring di antara"), kongruen (atau konsep pergerakan); kesinambungan. Tempat istimewa dalam aksioma E. diduduki oleh aksiom selari (postulat kelima). Aksiomatik pertama yang cukup ketat J. g telah dicadangkan oleh D. Hilbert (D. Hilbert, lihat sistem aksiom Hilbert). Terdapat pengubahsuaian sistem aksioma Hilbert dan varian lain aksioma E.G. Contohnya, dalam aksioma titik vektor konsep vektor diambil sebagai salah satu konsep asas; Aksiomatik E. g boleh berdasarkan hubungan simetri.
5) KEPENTINGAN SEJARAH "MULAI"
Kepentingan sejarah Elemen Euclid terletak pada fakta bahawa mereka adalah orang pertama yang mencuba pembinaan logik geometri berdasarkan aksiomatik. Kaedah aksiomatik, dominan dalam matematik moden, asalnya di sebahagian besarnya diwajibkan kepada Elemen Euclid.
Kelemahan utama aksiomatik Euclid harus dianggap sebagai ketidaklengkapannya; tiada aksiom kesinambungan, pergerakan dan ketertiban, jadi Euclid selalunya perlu menarik minat intuisi dan mempercayai mata. Bagi definisi titik, garis, garis, permukaan dan satah, maknanya terletak pada hakikat bahawa ia mencerminkan proses semulajadi pembentukan konsep-konsep ini.
tiada buku ilmiah tidak menikmati kejayaan yang hebat dan berkekalan seperti Elemen Euclid. Sejak 1482 ia telah melalui lebih daripada 500 edisi dalam semua bahasa di dunia. Sebagai tambahan kepada "Prinsip" yang disebutkan, karya Euclid berikut telah sampai kepada kami: sebuah buku di bawah tajuk Latin "Data", yang kandungannya adalah untuk menentukan syarat apabila mana-mana imej matematik boleh dianggap "data"; buku tentang optik (mengandungi doktrin perspektif) dan buku mengenai katoptrik (membentangkan teori herotan dalam cermin), serta "Pembahagian Rajah".
Ahli matematik suatu masa kemudian - Pappus dan D. Procolus - menyebut dan merujuk kepada karya Euclid yang belum sampai kepada kita: empat buku mengenai bahagian komik, bahan yang dimasukkan dalam karya Apollonius dari Perga; dua buku tentang tempat di permukaan; tiga buku "Porisms", yang kandungannya masih belum difahami sepenuhnya.
Kerja pedagogi "Mengenai Kesimpulan Palsu" (dalam matematik) juga tidak bertahan. Euclid juga menulis karya tentang astronomi (“Fenomena”) dan muzik. Karya-karya Euclid yang telah diturunkan kepada kita dikumpulkan dalam edisi kritikal Heiberg dan Menge (Leipzig, 1883-1916), yang mengandungi asal Yunani, terjemahan Latin dan ulasan oleh pengarang kemudian.
Disiarkan di Allbest.ru
...Dokumen yang serupa
Sebuah esei tentang kehidupan dan karya saintis Yunani kuno yang hebat Euclid, penilaian pencapaiannya dalam bidang matematik. Analisis karya utama Euclid, beliau idea asas dan sumber pembentukan mereka. Geometri pada permukaan lengkung negatif.
abstrak, ditambah 12/13/2010
Ciri-ciri tempoh matematik nilai malar. Penciptaan aritmetik, algebra, geometri dan trigonometri. ciri umum budaya matematik Yunani purba. Sekolah Pythagoras. Penemuan incommensurability, jadual Pythagoras. "Unsur" Euclid.
pembentangan, ditambah 09/20/2015
Peranan matematik dalam dunia moden. Peringkat utama perkembangan matematik. Kaedah pembinaan aksiomatik teori saintifik. Permulaan Euclid adalah contoh pembinaan aksiomatik teori saintifik. Sejarah penciptaan geometri bukan Euclidean. Gaya berfikir.
abstrak, ditambah 02/08/2009
Peringkat utama perkembangan matematik di Yunani Purba. Kajian nombor dan geometri dalam sekolah Pythagoras. Sumbangan Zeno, Democritus, Plato dan Eudoxus kepada perkembangan sains purba. Geometer hebat zaman purba Euclid dan kandungan karya utamanya "Elemen".
pembentangan, ditambah 03/10/2013
Asal usul istilah "matematik". Salah satu definisi pertama subjek matematik oleh Descartes. Intipati matematik dari sudut pandangan Kolmogorov. Penilaian pesimis terhadap keupayaan matematik G. Weyl. Rumusan Bourbaki tentang beberapa sifat matematik.
pembentangan, ditambah 05/17/2012
Matematik Yunani dan falsafahnya. Hubungan dan laluan bersama falsafah dan matematik dari awal Renaissance hingga lewat XVII abad. Falsafah dan matematik pada Zaman Pencerahan. Analisis sifat pengetahuan matematik falsafah klasik Jerman.
tesis, ditambah 09/07/2009
Analisis peranan matematik dalam menilai hubungan kuantitatif dan ruang objek dunia sebenar. Tafsiran dan rasional teorem matematik Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy dan L'Hopital. Semakan biografi, aktiviti dan karya ahli matematik yang hebat.
kerja kursus, ditambah 04/08/2013
Beberapa maklumat biografi dan legenda dari kehidupan Euclid. Asas sekolah matematik dan pembentangan geometri dalam karya "Prinsip", perihalan sifat metrik ruang dan infinitinya. Karya "Optik" dan "Catoptrics" dan ciptaan monochord.
pembentangan, ditambah 21/12/2010
Prasyarat untuk kemunculan matematik di Mesir Purba. Masalah untuk mengira "aha". Sains orang Mesir purba. Masalah dari papirus Rhind. Geometri di Mesir Purba. Kenyataan saintis hebat tentang kepentingan matematik. Kepentingan matematik Mesir pada zaman kita.
abstrak, ditambah 05/24/2012
Maksud konsep matematik. Peranan beliau dalam sains. Matematik sebagai sains berasaskan kepelbagaian model matematik, yang tugasnya adalah untuk memaparkan kejadian sebenar dan fenomena. Ciri-ciri bahasa matematik. Pepatah terkenal tentang matematik.
Selesai:
Murzagalieva A. Kh.
Seksyen 1. Penggunaan bahan sejarah mengenai topik Permulaan Euclid dalam pelajaran matematik.
Bahan sejarah tentang Permulaan Euclid
Slaid1
Di mana sungai Nil bertemu dengan laut,
Di tanah panas purba piramid,
Ahli matematik Yunani hidup - berpengetahuan,
Euclid yang bijak.
Dia belajar geometri.
Dia mengajar geometri.
Dia menulis karya yang hebat.
Nama buku ini ialah "The Beginning".
Slaid 2. Euclid - seorang ahli matematik Yunani kuno (abad ke-3 SM) bekerja di Alexandria dan menulis beberapa karya yang menjadi asas untuk pendidikan dan digunakan selama kira-kira 2200 tahun.
Selama dua ribu tahun, geometri dipelajari sama ada daripada Elemen Euclid atau daripada buku teks yang ditulis berdasarkan buku ini. Geometri klasik mula dipanggil Euclidean. Sejarah telah mengekalkan begitu sedikit maklumat tentang lelaki yang menakjubkan ini sehingga keraguan sering dinyatakan tentang kewujudannya.
Slaid3(legenda tentang mempelajari geometri) Salah satu legenda mengatakan bahawa Raja Ptolemy memutuskan untuk mempelajari geometri. Tetapi ternyata ini tidak begitu mudah dilakukan. Kemudian dia memanggil Euclid dan memintanya untuk menunjukkan kepadanya Jalan mudah kepada matematik. "Tidak ada jalan diraja ke geometri," saintis itu menjawabnya. Ini adalah bagaimana ungkapan popular ini datang kepada kita dalam bentuk legenda.
Slaid4.Guru Euclid - Plato
Slaid5.(Pembukaan sekolah matematik oleh Euclid) Di Iskandariah, Euclid mengasaskan sekolah matematik dan menulis banyak kerja oleh geometri, bersatu di bawah nama yang selalu digunakan"Permulaan" - kerja utama nyawa sendiri. Ia dipercayai telah ditulis sekitar 325 SM.
Pendahulu Euclid - Thales, Pythagoras, Aristotle dan lain-lain - banyak melakukan pembangunan geometri. Tetapi semua ini adalah serpihan yang berasingan, dan bukan satu skema logik.
Slaid6.( manuskrip Vatican)
Elemen mempunyai pengaruh yang besar terhadap perkembangan matematik sehingga ke zaman moden. Buku ini telah diterjemahkan ke dalam banyak bahasa di dunia. Dari segi jumlah cetakan semula, "Prinsip" tidak ada tandingannya di antara buku-buku sekular.
Slaid7.(mengenai struktur "Permulaan")
Kedua-dua sezaman dan pengikut Euclid tertarik dengan sifat sistematik dan logik maklumat yang disampaikan. Elemen terdiri daripada tiga belas buku, disusun mengikut satu litar logik. Setiap daripada tiga belas buku bermula dengan definisi konsep (titik, garis, satah, rajah, dll.) yang digunakan di dalamnya, dan kemudian, berdasarkan sejumlah kecil peruntukan asas (5 aksiom dan 5 postulat), diterima. tanpa bukti, keseluruhan sistem dibina geometri.
Slaid8.( apa yang diajar oleh setiap buku)
Buku I - sifat segi tiga dan segi empat selari dipelajari;
Buku II dikhaskan untuk "algebra geometri";
Buku III-IV – menggariskan geometri bulatan;
Buku V - diperkenalkan teori umum perkadaran;
Buku VI - dilampirkan kepada teori tokoh yang serupa;
Buku VII-IX ditumpukan kepada teori nombor;
Buku X - klasifikasi ketidakrasionalan dibina;
Buku XI - mengandungi asas stereometri;
Buku XII - teorem dibuktikan tentang hubungan antara kawasan bulatan, isipadu piramid dan kon;
Buku XIII dikhaskan untuk pembinaan lima polyhedra biasa.
Slaid9.( tentang buku pertama Euclid)
Buku pertama Euclid bermula dengan 23 definisi, antaranya:
Titik ialah sesuatu yang tidak mempunyai bahagian;
Garis adalah panjang tanpa lebar;
Garis dihadkan oleh mata;
Garis lurus ialah garis yang terletak sama berbanding semua titiknya;
Dua garis yang terletak dalam satah yang sama dipanggil selari jika mereka tidak bertemu, tidak kira berapa panjangnya.
Slaid10(tentang infiniti ruang)
Infiniti ruang dicirikan oleh tiga postulat:
"Garis lurus boleh dilukis dari mana-mana titik ke mana-mana titik."
"Garisan lurus berbatas boleh terus dilanjutkan sepanjang garis lurus."
"Bulatan boleh diterangkan dari mana-mana pusat dan oleh mana-mana penyelesaian."
Slaid 11-12.(kira-kira postulat kelima dan pembuktiannya oleh Proclus)
Doktrin selari dan postulat kelima yang terkenal (“Jika garis lurus yang jatuh pada dua garis lurus membentuk sudut pedalaman pada satu sisi kurang daripada dua sudut tepat, maka dilanjutkan selama-lamanya kedua-dua garis lurus ini akan bertemu pada sisi yang sudutnya kurang daripada dua sudut tepat”) menentukan sifat ruang Euclidean dan geometrinya, berbeza daripada geometri bukan Euclidean.
Proclus memberikan bukti postulat V, berdasarkan andaian, yang dia ambil sebagai jelas, bahawa jarak dari satu titik terletak pada satu sisi sudut akut, ke sisi lain, apabila mengalihkan titik ini dari puncak sudut, boleh dibuat sebesar yang dikehendaki. Ambil perhatian bahawa cadangan ini tergolong dalam geometri mutlak.
Berdasarkan andaian ini, Proclus membuktikan postulat V seperti berikut.
Biarkan perlu untuk membuktikan bahawa garis g" dan g" bersilang pada satu titik C.
Mari kita lukis melalui titik A garis lurus g""", selari dengan g". Ambil titik B pada baris g" dan lepaskan daripadanya
berserenjang dengan g""". Oleh kerana apabila titik B bergerak menjauhi A, jaraknya dari g""" meningkat selama-lamanya,
dan jarak antara garis selari g" dan g""" adalah terhingga, maka pada g"" terdapat titik C,
kepunyaan g". Pada ketika ini garisan g" dan g"" bersilang. Yang membawa kepada kesahan postulat V.
Tetapi ini dicapai hanya kerana Proclus menggunakan premis bahawa jarak antara
garis selari sudah tentu. Walau bagaimanapun, ini adalah postulat baru, bersamaan dengan postulat V
Slaid 13.( Masalah geometri dan penyelesaiannya oleh Euclid)
Dari buku pertama "Bermula"
1. Potong sudut rectilinear ini separuh.
2. Garis lurus terhad ini (iaitu segmen)
potong separuh.
Dari buku ke-3 "Bermula"
1. Cari pusat bulatan ini.
2. Potong arka ini separuh.
Dari buku ke-4 "Bermula"
1.B bulatan yang diberi masukkan kord panjang tertentu.
Dari buku ke-6 "Bermula"
1. Untuk diberi dua segmen, cari
berkadar purata.
2.Untuk tiga data cari segmen
berkadar purata keempat.
1. Untuk membahagikan sudut BAC kepada separuh, Euclid mengambil AB titik sewenang-wenangnya D dan meletakkan AE = A D pada AC Seterusnya, pada DE dia membina segi tiga sama sisi DEF. Garis lurus AF membahagikan sudut BAC.
2. Untuk membahagikan segmen AB kepada separuh, Euclid membina sebuah sama sisi segi tiga ABC, membahagikan sudut ACB dengan CD garis lurus. Titik D ialah tengah segmen AB.
3. Bukti Euclid (dengan percanggahan) berpunca daripada fakta bahawa pusat bulatan terletak pada serenjang yang dipulihkan dari tengah kord.
4. Euclid membahagikan dua kord AB dengan menyamakan lengkok yang diberi. Dari titik C, tengah kord, dia membina serenjang dengan AB, menyilang lengkok di titik yang dikehendaki D.
Slaid14. (Algoritma Euclidean)
Algoritma Euclid ialah kaedah mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua integer, dua polinomial, serta ukuran sepunya terbesar bagi dua segmen sepadan.
Untuk mencari yang terbesar pembahagi biasa dua keseluruhan nombor positif, anda perlu dahulu bilangan yang lebih besar bahagikan dengan nombor yang lebih kecil, kemudian bahagikan nombor kedua dengan baki bahagian pertama, kemudian baki pertama dengan yang kedua, dsb. Terakhir bukan sifar baki positif dalam proses ini akan menjadi pembahagi sepunya terbesar bagi nombor ini. Mari kita berikan satu contoh. Biarkan a=777, b=629. Kemudian 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4 Baki bukan sifar terakhir 37 ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 777 dan 629.
Untuk mencari ukuran sepunya terbesar bagi dua segmen, lakukan dengan cara yang sama. Operasi bahagi dengan baki digantikan dengan analog geometrinya: segmen yang lebih kecil ditangguhkan pada segmen yang lebih besar seberapa banyak kali yang mungkin: bahagian baki segmen yang lebih besar (diambil sebagai baki pemisahan) ditangguhkan pada segmen yang lebih kecil, dsb. jika segmen a dan b adalah sepadan, maka yang terakhir bukan- baki sifar akan memberikan ukuran sepunya terbesar bagi segmen ini. Dalam kes segmen yang tidak boleh dibandingkan, urutan terhasil daripada baki bukan sifar akan menjadi tidak terhingga. Mari kita ambil sebagai segmen awal sisi AB dan AC bagi sama kaki segi tiga ABC, yang mana A=C = 72°, B= 36°. Sebagai baki pertama kita akan menerima segmen AD (CD-pembahagi dua sudut C), dan, seperti yang mudah dilihat, jujukan baki sifar akan menjadi tidak terhingga. Ini bermakna segmen AB dan AC tidak boleh dibandingkan.
Algoritma Euclid telah diketahui sejak sekian lama. Ia sudah berusia lebih daripada 2000 tahun. Algoritma ini dirumuskan dalam Elemen Euclid, di mana sifat nombor perdana, gandaan sepunya terkecil, dll. diperoleh daripadanya. Sebagai kaedah mencari ukuran sepunya terbesar bagi dua segmen, algoritma Euclid (kadangkala dipanggil kaedah penolakan berselang-seli) diketahui oleh Pythagoreans. KEPADA pertengahan abad ke-16 V. Algoritma Euclid telah diperluaskan kepada polinomial daripada satu pembolehubah, ia kemudiannya mungkin untuk menentukan algoritma Euclid untuk beberapa objek algebra yang lain.
Algoritma Euclid mempunyai banyak aplikasi. Persamaan yang menentukannya memungkinkan untuk membayangkan pembahagi terbesar d nombor a Dan b dalam bentuk d=ax+by (x;y ialah integer), dan ini membolehkan anda mencari penyelesaian kepada persamaan Diophantine darjah 1 dengan dua yang tidak diketahui. Algoritma Euclidean ialah satu cara untuk mewakili nombor rasional dalam bentuk pecahan bersambung. Ia sering digunakan dalam program komputer.
Slaid 15.("Permulaan" - sebuah monumen purba)
Ia biasanya dikatakan tentang Elemen bahawa, selepas Alkitab, ia adalah monumen bertulis yang paling popular pada zaman dahulu. Buku ini mempunyai sejarahnya sendiri yang sangat luar biasa. Selama dua ribu tahun dia Buku rujukan pelajar sekolah, digunakan sebagai kursus awal geometri. Unsur-unsur itu sangat popular, dan banyak salinan dibuat daripadanya oleh jurutulis yang rajin bandar yang berbeza dan negara. Kemudian, "Prinsip" berpindah dari papirus ke perkamen, dan kemudian ke kertas. Sepanjang empat abad, Elements telah diterbitkan 2,500 kali: secara purata, 6-7 edisi diterbitkan setiap tahun. Sehingga abad ke-20, buku itu dianggap sebagai buku teks utama mengenai geometri bukan sahaja untuk sekolah, tetapi juga untuk universiti.
Slaid 16.( karya lain Euclid)
“Data” ialah masalah yang diselesaikan menggunakan algebra geometri.
"Mengenai pembahagian angka" - masalah pembinaan.
"Fenomena" ialah esei astronomi.
"Optik"
"Sections of the Canon" ialah risalah kecil yang mengandungi sepuluh masalah pada selang muzik.
Pembentangan dalam semua karya ini, seperti dalam Principia, tertakluk kepada logik yang ketat, dan teorem diperoleh daripada hipotesis fizikal dan postulat matematik yang dirumus dengan tepat.
Slaid 17.( Geometer luar biasa selepas Euclid)
Euclid meninggal dunia antara 275 dan 270 SM kajian lanjut pelbagai isu geometri diperkenalkan oleh Archimedes dan Apollonius dari Perga Selepas Apollonius tidak ada penemuan utama dalam bidang geometri. Karya Archimedes dan Apollonius dianggap terlalu rumit, mereka tidak dibaca, dan beberapa daripadanya hilang dari masa ke masa
Slaid 18.( perumpamaan tiga orang saintis)
Untuk menjadi muridnya dan memahami kebijaksanaan orang tua itu,
belayar laut, berjalan dari jauh...
Dan soalan-soalan itu tidak mudah.
Apakah titik? -
tanya Euclid,
memandang sekeliling ke arah tetamunya.
Intinya ialah
yang tidak mempunyai bahagian, -
Archelaus kerinting berkata.
Dijawab betul.
Bagus! -
Orang bijak tersenyum mesra. -
Nah, apakah rahsia talian?
Ada panjang
tetapi tidak ada lebar di dalamnya!
Back to the point lagi!
Saya ingin tahu:
Mengapa anda ingin menjadi seorang saintis?
Lagipun, jalan menuju ilmu bukan mudah?!
Saya mahu menjadi kaya
Apa khabar! Saya dengar:
sains adalah harta!
Saya pasti -
awak, Euclid, kaya
Orang bijak mengeluarkan dua syiling -
mereka diambil oleh seorang pemuda yang keliru
Semua! Pergi! -
kata saintis. -
Anda kini lebih kaya daripada Euclid...
Angin hangat tiba-tiba bertiup lebih kuat,
pokok palma bergoyang di tepi pantai.
Siapa yang akan membahagi bulatan
kepada lima bahagian?
Archilochus berdiri:
Saya boleh!
Matahari menyinari wajah gelap itu.
Kompas digenggam erat di tangan anda,
dia membahagi bulatan dengan cekap di atas pasir.
Lelaki tua itu menganggukkan kepalanya:
Kemudian Euclid bertanya:
Apa yang menarik anda kepada sains?! -
dia menepuk bahu pemuda itu.
Menjadi terkenal
seperti anda, saya mahu mendengar di mana-mana:
“Betapa pintarnya Euclid!”
Ini bermakna ilmu menjanjikan kemuliaan!
Euclid mengambil buluh yang diasah,
Seorang lelaki tua menulis pada papirus:
"Orang ramai! Dia lebih bijak daripada saya
Euclid".
- Ini, pergi!
Sekarang anda terkenal!
Nah, yang ketiga berfikir ...
Dia sedang melukis sesuatu
terpesona dengan sesuatu...
Apa yang awak lukis?
Saya melukis garisan.
Saya ingin membuktikan teorem.
Tetapi dengan cara yang berbeza
bukan macam Euclid! -
kata pemuda itu berdegil.
Berair mata
daripada orang tua itu:
dia mendapati dirinya seorang pelajar.
siapa awak
Dan dia mendengar sebagai tindak balas:
Saya dari Syracuse.
Saya Archimedes.
Adalah dinasihatkan untuk menggunakan bahan ini dalam pelajaran mengenai topik berikut:
Maklumat geometri awal
Aksiom geometri
Tujuan pelajaran: memperkenalkan rumusan pernyataan pada zaman Euclid dan membandingkannya dengan rumusan moden.
Objektif pelajaran:
- membangun, minat kognitif kepada matematik, pemikiran logik.
Aktifkan aktiviti kognitif.
Meluaskan ufuk pelajar.
Langkah-langkah pengajaran: mengemas kini pengetahuan atau "menemui" pengetahuan baharu
mesej pelajar , pembentangan projek.
Jenis aktiviti pendidikan:
- menyelesaikan masalah dengan menganalisis dan memahami teksnya;
Hasil pendidikan yang dirancang:
Keupayaan untuk mencari pelbagai sumber maklumat yang diperlukan untuk membuat keputusan masalah matematik, dan membentangkannya dalam bentuk yang boleh difahami;
Perkembangan konsep nombor, penguasaan bahasa simbolik matematik, dengan tepat dan cekap menyatakan fikiran secara lisan dan menulis, menggunakan istilah dan perlambangan matematik.
Bahagian 2. Penggunaan bahan sejarah mengenai topik "Permulaan" oleh Euclid semasa waktu ekstrakurikuler.
Bentuk penganjuran aktiviti kokurikulum – pelajaran kelab matematik.
Bentuk penyampaian bahan sejarah: mesej pelajar, persembahan persembahan.
Jenis aktiviti pendidikan:
- menyelesaikan masalah dengan menganalisis dan memahami teks masalah;
Ekstrak maklumat matematik yang diperlukan, bina rantaian logik penaakulan.
Keputusan pendidikan yang dirancang:
Gambar sains matematik sebagai sfera Aktiviti manusia, tentang peringkat perkembangannya;
Keupayaan untuk mencari maklumat daripada pelbagai sumber yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah matematik dan membentangkannya dalam bentuk yang boleh difahami;
Sumber maklumat:
1.http:// biografi. jaring/ biografi. php? ID=50
2.http:// www- sejarah. mcs. st- Andrews. ac. uk/ PictDisplay/ Euclid. html
3.rujuk. ru/ merujuk/ pandangan/13700
Ekaterina Polyakova, pelajar gred 6b
Siapa Euclid?
Karya itu menceritakan tentang biografi Ahli matematik Yunani purba Euclid (sebaliknya Euclid), pengarang risalah teori pertama mengenai matematik yang telah sampai kepada kita. Sejarah buku "Prinsip", ringkasannya.
Muat turun:
Pratonton:
Institusi pendidikan belanjawan perbandaran
"Pendidikan komprehensif Novoaganskaya sekolah Menengah No. 2"
Euclid dan bukunya "Elements"
Kerja itu dilaksanakan oleh:
Ekaterina Polyakova, pelajar gred 6b
Penyelia:
Chekina Olga Alexandrovna,
guru matematik.
Smt. Novoagansk
2014
Rancang
- Mengekalkan.
- Matlamat dan objektif.
II. Bahagian utama.
- Siapa Euclid?
- Karya utama Euclid ialah "Elemen".
- Buku beliau tentang apa?
- Apa yang Euclid lakukan?
III. Kesimpulan.
IV. Rujukan.
pengenalan
Tujuan kerja saya:
Kembangkan pengetahuan anda tentang topik yang dipilih. Ketahui lebih lanjut tentang kehidupan Euclid, karyanya, buku terkenal"Bermula."
Bersedia untuk bercakap di persidangan pelajar.
Tugasan :
1) Cari maklumat mengenai topik "Euclid dan bukunya "Elemen."
2) Berkenalan dengan bukunya "Permulaan".
3) Sediakan laporan.
4) Buat pembentangan.
5) Bercakap di persidangan.
Siapa Euclid?
Euclid (atau Euclid) ialah seorang ahli matematik Yunani purba, pengarang risalah teori pertama mengenai matematik yang telah sampai kepada kita. Maklumat biografi tentang Euclid amat terhad. Hanya diketahui bahawa guru Euclid di Athens adalah pelajar, dan semasa pemerintahan Ptolemy I (306-283 SM) beliau mengajar di Akademi Alexandria. Euclid ialah ahli matematik pertama sekolah Iskandariah.
Hampir tiada apa yang diketahui tentang kehidupan saintis ini. Hanya beberapa legenda mengenainya telah sampai kepada kami. Pengulas pertama mengenai Unsur, Proclus (abad ke-5 Masihi), tidak dapat menunjukkan di mana dan bila Euclid dilahirkan dan meninggal dunia. Menurut Proclus, "orang terpelajar ini" hidup semasa pemerintahan Ptolemy I. Beberapa data biografi telah disimpan pada halaman manuskrip Arab abad ke-12: "Euclid, anak lelaki Naukrates, yang dikenali dengan nama "Geometra", sebuah saintis zaman dahulu, berasal dari Yunani, dengan kediaman Syria, berasal dari Tyre."
Euclid menghabiskan sebahagian besar hidupnya di Alexandria - bandar yang diasaskan oleh Alexander the Great di pantai laut Mediterranean, di muara Sungai Nil. Raja Ptolemy I menjadikan Iskandariah ibu kota Mesir; untuk meninggikan negerinya, dia menarik saintis dan penyair ke negara itu, mencipta untuk mereka Museyon, sebuah kuil muses.
Kerja dia?
Memandangkan pengetahuan dalam matematik perlu ditulis entah bagaimana, Euclid menulis sebuah buku yang dipanggil "Elemen," yang mengandungi segala-galanya yang diketahui orang ketika itu tentang geometri dan sehingga kini pengetahuan ini digunakan. Benar, maka kitab-kitab kuno itu dimusnahkan tanpa belas kasihan kerana orang Kristian dan Islam tidak menyukainya. Tetapi dalam beberapa terjemahan buku "Prinsip" telah bertahan.
Karya matematik yang paling penting Euclid yang cemerlang, bukunya
"Prinsip" mempunyai usia yang sangat dihormati - lebih dari dua ribu tahun.
Kerja utama Euclid mengandungi pembentangan planimetri, stereometri dan beberapa isu dalam teori nombor (contohnya,Algoritma Euclidean);
terdiri daripada 13 buah buku, yang mana ditambah dua buah buku kira-kira lima polyhedra biasa, masih tidak diketahui siapa pengarang mereka? Mereka dikaitkan dengan Hypsicles of Alexandria.
Dalam Elemen, Euclid merumuskan perkembangan matematik Yunani sebelumnya dan mencipta asas untuk perkembangan matematik selanjutnya.
Daripada karya matematik Euclid yang lain, perlu diperhatikan "Mengenai pembahagian angka", dipelihara dalam terjemahan Arab, empat buku " Bahagian kon", bahan yang disertakan dalam kerja dengan nama yang sama Apollonius dari Perga, serta "Porisms", idea yang boleh diperolehi daripada "Koleksi Matematik" Pappus Alexandria.
Buku beliau tentang apa?
Buku Euclidean "Elemen" adalah pembentangan geometri yang dikenali sehingga hari ini dengan nama Euclidean. Ia menerangkan sifat metrik ruang, yang sains moden memanggilnya Euclidean.Ruang Euclideanialah gelanggang fenomena fizikal fizik klasik, yang asasnya diletakkan oleh Galileo dan Newton. Ruang ini kosong, tidak terhad, isotropik, mempunyai tiga dimensi. Euclid memberikan kepastian matematik kepada idea atomistik ruang kosong di mana atom bergerak. Yang paling mudah objek geometri Euclid mempunyai titik, yang ditakrifkannya sebagai yang tidak mempunyai bahagian. Dengan kata lain, titik ialah atom ruang yang tidak boleh dibahagikan.
Karya Euclid terdiri daripada 15 buah buku.
Rumus buku 1 titik permulaan geometri, dan juga mengandungi teorem asas planimetri, termasuk teorem jumlah sudut segitiga dan teorem Pythagoras.
Buku 2 membentangkan asas algebra geometri.
Buku ke-3 dikhaskan untuk sifat-sifat bulatan, tangen dan kordnya.
Buku 4 memperkatakan poligon sekata.
Buku 5 dan 6 ditumpukan kepada teori perhubungan dan aplikasinya untuk menyelesaikan masalah algebra.
Buku 7, 8 dan 9 ditumpukan kepada teori integer dan nombor rasional.
Buku 10 memperkatakan tentang ketidakrasionalan kuadratik.
Buku 11 merangkumi asas stereometri.
Dalam buku ke-12, teorem yang berkaitan dengan luas bulatan dan isipadu bola terbukti, dan nisbah isipadu piramid, kon, prisma dan silinder diterbitkan.
Buku ke-13 adalah berdasarkan keputusan yang diperolehi dalam bidang polyhedra biasa.
Buku 14 dan 15 bukan milik Euclid, ia ditulis kemudian: ke-14 - pada abad ke-2. BC e., dan ke-15 - pada abad ke-6.
Dalam Euclid kita juga menemui penerangan tentang monokord - peranti satu rentetan untuk menentukan nada rentetan dan bahagiannya. Adalah dipercayai bahawa monochord dicipta oleh Pythagoras, dan Euclid hanya menggambarkannya ("Division of the Canon," abad ke-3 SM).
Penciptaan monochord adalah penting untuk perkembangan muzik. Secara beransur-ansur, bukannya satu rentetan, dua atau tiga mula digunakan. Ini adalah permulaan penciptaan instrumen papan kekunci, pertama harpsichord, kemudian piano, dan punca kemunculan ini. alat muzik menjadi matematik.
Apa yang Euclid lakukan?
Euclid ialah pemikir kuno yang menemui ilmu geometri. Kita boleh mengatakan bahawa Euclidlah yang membawa susunan kepada matematik pada masa itu.
Euclid ialah pengarang beberapa karya mengenai astronomi, optik, muzik, dll. Pengarang Arab mengaitkan Euclid pelbagai risalah tentang mekanik, termasuk karya mengenaiskala dan penentuan graviti tentu.
Berabad-abad berlalu, orang berubah, beberapa negeri hilang dari muka bumi dan yang lain bangkit, kota runtuh, buku dan perpustakaan terbakar dalam nyala api. Dan "Prinsip," yang ditulis buat kali pertama pada papirus yang rapuh, telah melalui masa.
Dicipta pada abad ke-3. BC e. "Prinsip" tidak kehilangan maknanya sehingga kini. Mereka menduduki tempat istimewa dalam sejarah matematik.
Euclid, salah seorang ahli geometer terhebat, memutuskan untuk mencari undang-undang yang mengawal semua garis dan badan di alam semula jadi, dan menyusun undang-undang ini dalam sistem yang ketat...
Sudah tentu, semua ciri ruang Euclidean tidak ditemui serta-merta, tetapi hasil kerja berabad-abad pemikiran saintifik, tetapi titik permulaan karya ini ialah Elemen Euclid.
Pengetahuan tentang asas geometri Euclidean kini menjadi elemen yang diperlukan pendidikan umum seluruh dunia.
Kesimpulan
Hasil daripada kerja yang dilakukan, saya mula mengenali aktiviti kehidupan Euclid. Saya mempelajari sejarah buku "Prinsip" dan kandungannya.
Menyediakan laporan dan membuat pembentangan.
Pembentangan boleh digunakan bahan tambahan dalam pelajaran matematik.
Sumber maklumat