Trigonometri, sebagai sains, berasal dari Timur Purba. Pertama nisbah trigonometri telah disimpulkan oleh ahli astronomi untuk mencipta kalendar yang tepat dan navigasi oleh bintang. Pengiraan ini berkaitan dengan trigonometri sfera, semasa dalam kursus sekolah mengkaji nisbah sisi dan sudut bagi segi tiga satah.

Trigonometri ialah cabang matematik yang berkaitan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri dan hubungan antara sisi dan sudut segi tiga.

Semasa zaman kegemilangan budaya dan sains pada alaf 1 Masihi, ilmu tersebar dari Timur Purba ke Greece. Tetapi penemuan utama trigonometri adalah merit suami Khalifah Arab. Khususnya, saintis Turkmen al-Marazwi memperkenalkan fungsi seperti tangen dan kotangen, dan menyusun jadual pertama nilai untuk sinus, tangen dan kotangen. Konsep sinus dan kosinus diperkenalkan oleh saintis India. Trigonometri mendapat banyak perhatian dalam karya tokoh-tokoh zaman dahulu yang hebat seperti Euclid, Archimedes dan Eratosthenes.

Kuantiti asas trigonometri

Fungsi trigonometri asas hujah angka– ini adalah sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Setiap daripada mereka mempunyai graf sendiri: sinus, kosinus, tangen dan kotangen.

Formula untuk mengira nilai kuantiti ini adalah berdasarkan teorem Pythagoras. Ia lebih dikenali oleh pelajar sekolah dalam rumusan: "Seluar Pythagoras adalah sama dalam semua arah," kerana bukti diberikan menggunakan contoh segi tiga sama kaki sama kaki.

Perhubungan sinus, kosinus dan lain-lain mewujudkan hubungan antara sudut akut dan sisi mana-mana segi tiga tegak. Marilah kita membentangkan formula untuk mengira kuantiti ini untuk sudut A dan mengesan hubungan antara fungsi trigonometri:

Seperti yang anda lihat, tg dan ctg adalah fungsi songsang. Jika kita bayangkan kaki a sebagai hasil darab sin A dan hipotenus c, dan kaki b dalam bentuk cos A * c, maka kita dapat formula berikut untuk tangen dan kotangen:

Bulatan trigonometri

Secara grafik, hubungan antara kuantiti yang disebutkan boleh diwakili seperti berikut:

Lilitan, dalam dalam kes ini, mewakili segala-galanya nilai yang mungkin sudut α - dari 0° hingga 360°. Seperti yang dapat dilihat dari rajah, setiap fungsi mengambil negatif atau nilai positif bergantung kepada saiz sudut. Sebagai contoh, sin α akan mempunyai tanda “+” jika α tergolong dalam suku pertama dan kedua bulatan, iaitu, ia berada dalam julat dari 0° hingga 180°. Untuk α dari 180° hingga 360° (suku III dan IV), sin α hanya boleh menjadi nilai negatif.

Mari cuba membina jadual trigonometri bagi sudut tertentu dan ketahui nilai kuantiti.

Nilai α sama dengan 30°, 45°, 60°, 90°, 180° dan seterusnya dipanggil kes khas. Nilai fungsi trigonometri untuk mereka dikira dan dibentangkan dalam bentuk jadual khas.

Sudut ini tidak dipilih secara rawak. Penamaan π dalam jadual adalah untuk radian. Rad ialah sudut di mana panjang lengkok bulatan sepadan dengan jejarinya. Nilai ini telah diperkenalkan untuk mewujudkan pergantungan universal apabila mengira dalam radian, panjang sebenar jejari dalam cm tidak penting.

Sudut dalam jadual untuk fungsi trigonometri sepadan dengan nilai radian:

Jadi, tidak sukar untuk meneka bahawa 2π adalah bulatan penuh atau 360°.

Sifat fungsi trigonometri: sinus dan kosinus

Untuk mempertimbangkan dan membandingkan sifat asas sinus dan kosinus, tangen dan kotangen, adalah perlu untuk melukis fungsinya. Ini boleh dilakukan dalam bentuk lengkung yang terletak di sistem dua dimensi koordinat

Pertimbangkan jadual perbandingan sifat sinus dan kosinus:

Gelombang sinus	kosinus
y = dosa x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, untuk x = πk, dengan k ϵ Z	cos x = 0, untuk x = π/2 + πk, di mana k ϵ Z
sin x = 1, untuk x = π/2 + 2πk, dengan k ϵ Z	cos x = 1, pada x = 2πk, di mana k ϵ Z
sin x = - 1, pada x = 3π/2 + 2πk, dengan k ϵ Z	cos x = - 1, untuk x = π + 2πk, dengan k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, iaitu fungsinya ganjil	cos (-x) = cos x, iaitu fungsi genap
	fungsinya berkala, tempoh terpendek- 2π
sin x › 0, dengan x kepunyaan suku pertama dan kedua atau dari 0° hingga 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, dengan x kepunyaan suku I dan IV atau dari 270° hingga 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, dengan x kepunyaan suku ketiga dan keempat atau dari 180° hingga 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, dengan x kepunyaan suku ke-2 dan ke-3 atau dari 90° hingga 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
bertambah dalam selang [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	bertambah pada selang [-π + 2πk, 2πk]
berkurangan pada selang [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	berkurangan pada selang waktu
terbitan (sin x)’ = cos x	terbitan (cos x)’ = - sin x

Menentukan sama ada fungsi genap atau tidak adalah sangat mudah. Ia cukup untuk membayangkan bulatan trigonometri dengan tanda-tanda kuantiti trigonometri dan secara mental "lipat" graf berbanding paksi OX. Jika tanda-tandanya bertepatan, fungsinya adalah genap, dalam sebaliknya- ganjil.

Pengenalan radian dan penyenaraian sifat asas gelombang sinus dan kosinus membolehkan kami membentangkan corak berikut:

Sangat mudah untuk mengesahkan bahawa formula itu betul. Contohnya, untuk x = π/2, sinus ialah 1, begitu juga dengan kosinus bagi x = 0. Semakan boleh dilakukan dengan merujuk jadual atau dengan mengesan lengkung fungsi untuk nilai yang diberikan.

Sifat tangentsoid dan kotangentsoid

Graf bagi fungsi tangen dan kotangen berbeza dengan ketara daripada fungsi sinus dan kosinus. Nilai tg dan ctg adalah timbal balik antara satu sama lain.

1. Y = tan x.
2. Tangen cenderung kepada nilai y pada x = π/2 + πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
3. Paling tidak tempoh positif tangen adalah sama dengan π.
4. Tg (- x) = - tg x, iaitu fungsinya ganjil.
5. Tg x = 0, untuk x = πk.
6. Fungsi semakin meningkat.
7. Tg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, untuk x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Terbitan (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Mari kita pertimbangkan imej grafik kotangentoid di bawah dalam teks.

Sifat utama kotangentoid:

1. Y = katil bayi x.
2. Tidak seperti fungsi sinus dan kosinus, dalam tangentoid Y boleh mengambil nilai set semua nombor nyata.
3. Cotangentoid cenderung kepada nilai y pada x = πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
4. Tempoh positif terkecil bagi sebuah kotangentoid ialah π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, iaitu fungsinya ganjil.
6. Ctg x = 0, untuk x = π/2 + πk.
7. Fungsi semakin berkurangan.
8. Ctg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, untuk x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Terbitan (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Betul

Syarahan: Sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut sewenang-wenangnya

Sinus, kosinus sudut arbitrari

Untuk memahami apa itu fungsi trigonometri, mari kita lihat bulatan dengan jejari unit. Bulatan ini mempunyai pusat di tempat asal pada satah koordinat. Untuk menentukan fungsi yang ditentukan kita akan menggunakan vektor jejari ATAU, yang bermula di tengah bulatan, dan titik R ialah titik pada bulatan. Vektor jejari ini membentuk sudut alfa dengan paksi OH. Oleh kerana bulatan mempunyai jejari, sama dengan satu, Itu ATAU = R = 1.

Jika dari sudut R turunkan serenjang dengan paksi OH, maka kita mendapat segi tiga tepat dengan hipotenus sama dengan satu.

Jika vektor jejari bergerak mengikut arah jam, maka arah ini dipanggil negatif, jika ia bergerak lawan jam - positif.

Sinus sudut ATAU, ialah ordinat bagi titik itu R vektor pada bulatan.

Iaitu, untuk mendapatkan nilai sinus sudut yang diberi alpha adalah perlu untuk menentukan koordinat U di permukaan.

Bagaimana nilai yang diberikan telah diterima? Oleh kerana kita tahu bahawa sinus sudut arbitrari dalam segi tiga tepat ialah nisbah kaki bertentangan kepada hipotenus, kita mendapat itu

Dan sejak R=1, Itu sin(α) = y 0 .

DALAM bulatan unit nilai ordinat tidak boleh kurang daripada -1 dan lebih besar daripada 1, yang bermaksud

Sinus mengambil nilai positif pada suku pertama dan kedua bulatan unit, dan negatif pada suku ketiga dan keempat.

Kosinus sudut diberi bulatan yang dibentuk oleh vektor jejari ATAU, ialah absis titik R vektor pada bulatan.

Iaitu, untuk mendapatkan nilai kosinus alfa sudut tertentu, adalah perlu untuk menentukan koordinat X di permukaan.

Kosinus bagi sudut arbitrari dalam segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan kepada hipotenus, kita mendapat itu

Dan sejak R=1, Itu cos(α) = x 0 .

Dalam bulatan unit, nilai absis tidak boleh kurang daripada -1 dan lebih besar daripada 1, yang bermaksud

Kosinus mengambil nilai positif pada suku pertama dan keempat bulatan unit, dan negatif pada suku kedua dan ketiga.

Tangensudut sewenang-wenangnya Nisbah sinus kepada kosinus dikira.

Jika kita menganggap segi tiga tepat, maka ini adalah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Jika kita bercakap tentang tentang bulatan unit, maka ini ialah nisbah ordinat kepada absis.

Berdasarkan hubungan ini, dapat difahami bahawa tangen tidak boleh wujud jika nilai absis adalah sifar, iaitu pada sudut 90 darjah. Tangen boleh mengambil semua nilai lain.

Tangen adalah positif dalam suku pertama dan ketiga bulatan unit, dan negatif dalam kedua dan keempat.

Peperiksaan Negeri Bersatu untuk 4? Tidakkah anda akan meledak dengan kebahagiaan?

Soalannya, seperti yang mereka katakan, adalah menarik... Ada kemungkinan, adalah mungkin untuk lulus dengan 4! Dan pada masa yang sama tidak meletus... Syarat utama adalah kerap bersenam. Berikut adalah persediaan asas untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Dengan semua rahsia dan misteri Peperiksaan Negeri Bersatu, yang anda tidak akan baca dalam buku teks... Kaji bahagian ini, tentukan lebih banyak tugas daripada pelbagai sumber- dan semuanya akan berjaya! Diandaikan bahawa bahagian asas "A C cukup untuk anda!" ia tidak mendatangkan masalah kepada anda. Tetapi jika tiba-tiba ... Ikuti pautan, jangan malas!

Dan kita akan mulakan dengan topik yang hebat dan dahsyat.

Trigonometri

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Topik ini menimbulkan banyak masalah kepada pelajar. Ia dianggap sebagai salah satu yang paling teruk. Apakah sinus dan kosinus? Apakah tangen dan kotangen? apa dah jadi bulatan nombor? Sebaik sahaja anda bertanya soalan yang tidak berbahaya ini, orang itu menjadi pucat dan cuba mengalihkan perbualan... Tetapi sia-sia. ini konsep mudah. Dan topik ini tidak lebih sukar daripada yang lain. Anda hanya perlu memahami dengan jelas jawapan kepada soalan-soalan ini dari awal lagi. Ianya sangat penting. Jika anda faham, anda akan menyukai trigonometri. Jadi,

Apakah sinus dan kosinus? Apakah tangen dan kotangen?

Mari kita mulakan dengan zaman dahulu. Jangan risau, kami akan melalui semua 20 abad trigonometri dalam kira-kira 15 minit Dan, tanpa menyedarinya, kami akan mengulangi sekeping geometri dari gred 8.

Mari kita lukis segi tiga tepat dengan sisi a, b, c dan sudut X. Ini dia.

Biar saya ingatkan bahawa sisi yang membentuk sudut tegak dipanggil kaki. a dan c– kaki. Terdapat dua daripada mereka. Bahagian selebihnya dipanggil hipotenus. Dengan– hipotenus.

Segitiga dan segitiga, fikirkan! Apa nak buat dengan dia? Tetapi orang purba tahu apa yang perlu dilakukan! Mari kita ulangi perbuatan mereka. Mari kita ukur sisi V. Dalam rajah, sel-sel dilukis khas, seperti dalam Tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu Ia berlaku. V sebelah sama dengan empat sel. OKEY. Mari kita ukur sisi A.

Tiga sel. Sekarang mari bahagikan panjang sisi A V setiap panjang sisi Sekarang mari bahagikan panjang sisi. Atau, seperti yang mereka katakan, mari kita ambil sikap V. Kepada= 3/4.

a/v V Sebaliknya, anda boleh membahagikan sama dengan empat sel. OKEY. Mari kita ukur sisi pada V Kami mendapat 4/3. boleh bahagikan dengan Dengan. Dengan Hipotenus Tidak mustahil untuk mengira dengan sel, tetapi ia sama dengan 5. Kami dapat kualiti tinggi

= 4/5. Ringkasnya, anda boleh membahagikan panjang sisi dengan satu sama lain dan mendapatkan beberapa nombor. Jadi apa? Apa gunanya dalam hal ini aktiviti yang menarik

? Belum ada lagi. Senaman sia-sia, secara terang-terangan.) Sekarang mari kita lakukan ini. Mari besarkan segitiga. Mari kita panjangkan sisi dalam dan dengan X, tetapi supaya segi tiga itu kekal segi empat tepat. Sudut , sudah tentu, tidak berubah. Untuk melihat ini, tuding tetikus anda pada gambar atau sentuhnya (jika anda mempunyai tablet). parti a, b dan c akan bertukar menjadi m, n, k

, dan, sudah tentu, panjang sisi akan berubah.

Tetapi hubungan mereka tidak! Kepada Sikap Kepada ialah: = 3/4, menjadi m/n = 6/8 = 3/4. Hubungan pihak lain yang berkaitan juga tidak akan berubah . Anda boleh menukar panjang sisi dalam segi tiga tepat yang anda suka, tambah, kurangkan, – tanpa mengubah sudut x hubungan antara pihak yang berkenaan tidak akan berubah

. Anda boleh menyemaknya, atau anda boleh mengambil perkataan orang purba untuknya.

Tetapi ini sudah sangat penting! Nisbah sisi dalam segi tiga tepat tidak bergantung dalam apa cara sekalipun pada panjang sisi (pada sudut yang sama). Ini sangat penting sehingga hubungan antara pihak telah mendapat nama istimewanya sendiri. Nama awak, kononnya.) Bertemu. ? Ini ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus:

sinx = a/c

Berapakah kosinus bagi sudut x ? Ini ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus:

Denganosx= kualiti tinggi

Apakah tangen x ? Ini ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan:

tgx =Kepada

Berapakah kotangen bagi sudut x ? Ini ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sebaliknya:

ctgx = v/a

Semuanya sangat mudah. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ialah beberapa nombor. tidak berdimensi. Hanya nombor. Setiap sudut mempunyai sendiri.

Mengapa saya mengulangi semuanya dengan sangat membosankan? Kemudian apa ini perlu ingat. Penting untuk diingati. Penghafalan dapat dipermudahkan. Adakah ungkapan "Mari kita mulakan dari jauh..." biasa? Jadi mulakan dari jauh.

Resdung sudut ialah nisbah jauh dari sudut kaki ke hipotenus. kosinus– nisbah jiran kepada hipotenus.

Tangen sudut ialah nisbah jauh dari sudut kaki kepada yang dekat. Kotangen- sebaliknya.

Ia lebih mudah, bukan?

Nah, jika anda ingat bahawa dalam tangen dan kotangen hanya ada kaki, dan dalam sinus dan kosinus hipotenus muncul, maka semuanya akan menjadi agak mudah.

Seluruh keluarga mulia ini - sinus, kosinus, tangen dan kotangen juga dipanggil fungsi trigonometri.

Dan kini soalan untuk dipertimbangkan.

Mengapa kita katakan sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut? Kita bercakap tentang hubungan antara pihak, seperti... Apa kaitannya dengannya? sudut?

Jom tengok gambar kedua. Betul-betul sama seperti yang pertama.

Tuding tetikus anda pada gambar. Saya menukar sudut X. Meningkatnya daripada x kepada x. Semua hubungan telah berubah! Sikap Kepada ialah 3/4, dan nisbah yang sepadan t/v menjadi 6/4.

Dan semua hubungan lain menjadi berbeza!

Oleh itu, nisbah sisi tidak bergantung dalam apa cara sekalipun pada panjangnya (pada satu sudut x), tetapi bergantung secara mendadak pada sudut ini! Dan hanya dari dia. Oleh itu, istilah sinus, kosinus, tangen dan kotangen merujuk kepada sudut. Sudut di sini adalah yang utama.

Ia mesti difahami dengan jelas bahawa sudut itu berkait rapat dengan fungsi trigonometrinya. Setiap sudut mempunyai sinus dan kosinus sendiri. Dan hampir setiap orang mempunyai tangen dan kotangen mereka sendiri. Ia penting. Adalah dipercayai bahawa jika kita diberi sudut, maka sinus, kosinus, tangen dan kotangennya kami tahu ! Dan begitu juga sebaliknya. Memandangkan sinus, atau mana-mana fungsi trigonometri lain, ia bermakna kita tahu sudut.

Terdapat jadual khas di mana bagi setiap sudut diterangkan fungsi trigonometrinya. Mereka dipanggil jadual Bradis. Mereka telah disusun sangat lama dahulu. Apabila belum ada kalkulator atau komputer...

Sudah tentu, adalah mustahil untuk menghafal fungsi trigonometri semua sudut. Anda dikehendaki mengenali mereka hanya untuk beberapa sudut, lebih lanjut mengenainya kemudian. Tetapi jampi Saya tahu sudut, bermakna saya tahu fungsi trigonometrinya” - sentiasa berfungsi!

Jadi kami mengulangi sekeping geometri dari gred 8. Adakah kita memerlukannya untuk Peperiksaan Negeri Bersatu? Perlu. Berikut ialah masalah biasa daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu. Untuk menyelesaikan masalah ini, gred 8 sudah memadai. Gambar yang diberi:

Semua. Tiada lagi data. Kita perlu mencari panjang sisi pesawat.

Sel-sel tidak banyak membantu, segi tiga itu entah bagaimana kedudukannya tidak betul.... Sengaja, saya rasa... Dari maklumat terdapat panjang hipotenus. 8 sel. Atas sebab tertentu, sudut itu diberikan.

Di sinilah anda perlu segera mengingati tentang trigonometri. Terdapat sudut, yang bermaksud kita tahu semua fungsi trigonometrinya. Antara empat fungsi yang manakah harus kita gunakan? Mari lihat, apa yang kita tahu? Kita tahu hipotenus dan sudut, tetapi kita perlu mencari bersebelahan kateter ke sudut ini! Sudah jelas, kosinus perlu dilaksanakan! Di sini kita pergi. Kami hanya menulis, mengikut takrifan kosinus (nisbah bersebelahan kaki ke hipotenus):

cosC = BC/8

Sudut C ialah 60 darjah, kosinusnya ialah 1/2. Anda perlu tahu ini, tanpa sebarang jadual! Itu dia:

1/2 = BC/8

peringkat rendah persamaan linear. Tidak diketahui - matahari. Mereka yang terlupa cara menyelesaikan persamaan, lihat pautan, selebihnya selesaikan:

BC = 4

Apabila orang purba menyedari bahawa setiap sudut mempunyai set fungsi trigonometri sendiri, mereka mempunyai soalan yang munasabah. Adakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen ada kaitan antara satu sama lain? Supaya mengetahui satu fungsi sudut, anda boleh mencari yang lain? Tanpa mengira sudut itu sendiri?

Mereka sangat resah...)

Hubungan antara fungsi trigonometri satu sudut.

Sudah tentu, sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut yang sama adalah berkaitan antara satu sama lain. Sebarang hubungan antara ungkapan diberikan dalam matematik dengan formula. Dalam trigonometri terdapat sejumlah besar formula. Tetapi di sini kita akan melihat yang paling asas. Formula ini dipanggil: identiti asas trigonometri. Di sini mereka:

Anda perlu mengetahui formula ini dengan teliti. Tanpa mereka secara amnya tiada kaitan dalam trigonometri. Tiga lagi identiti tambahan mengikuti daripada identiti asas ini:

Saya memberi amaran kepada anda dengan segera bahawa tiga formula terakhir cepat hilang dari ingatan anda. Atas sebab tertentu.) Sudah tentu, anda boleh memperoleh formula ini daripada tiga pertama. Tetapi, dalam Masa susah... Anda faham.)

DALAM tugasan standard, seperti di bawah, terdapat cara untuk melakukannya tanpa formula yang boleh dilupakan ini. DAN mengurangkan ralat secara mendadak kerana kealpaan, dan dalam pengiraan juga. Amalan ini terdapat dalam Bahagian 555, pelajaran "Hubungan antara fungsi trigonometri sudut yang sama."

Dalam tugasan apakah dan bagaimana identiti trigonometri asas digunakan? Tugas yang paling popular ialah mencari beberapa fungsi sudut jika yang lain diberikan. Dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu tugas seperti itu hadir dari tahun ke tahun.) Contohnya:

Cari nilai sinx, jika x ialah sudut lancip dan cosx=0.8.

Tugasnya hampir asas. Kami sedang mencari formula yang mengandungi sinus dan kosinus. Berikut adalah formulanya:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Gantikan di sini kuantiti yang diketahui, iaitu, 0.8 bukannya kosinus:

sin 2 x + 0.8 2 = 1

Nah, kami mengira seperti biasa:

sin 2 x + 0.64 = 1

sin 2 x = 1 - 0.64

Itu sahaja. Kami telah mengira kuasa dua sinus, yang tinggal hanyalah mengekstrak punca kuasa dua dan jawapannya sudah sedia! Punca 0.36 ialah 0.6.

Tugasnya hampir asas. Tetapi perkataan “hampir” ada sebabnya... Hakikatnya jawapan sinx= - 0.6 juga sesuai... (-0.6) 2 juga akan menjadi 0.36.

Terdapat dua jawapan yang berbeza. Dan anda memerlukan satu. Yang kedua salah. Macam mana nak jadi!? Ya, seperti biasa.) Baca tugasan dengan teliti. Atas sebab tertentu ia berkata:... jika x ialah sudut lancip... Dan dalam tugas, setiap perkataan mempunyai makna, ya... Frasa ini adalah maklumat tambahan untuk penyelesaiannya.

Sudut lancip ialah sudut kurang daripada 90°. Dan di sudut sedemikian Semua fungsi trigonometri - sinus, kosinus, dan tangen dengan kotangen - positif. Itu. Kami hanya membuang jawapan negatif di sini. Kita ada hak.

Sebenarnya, pelajar darjah lapan tidak memerlukan kehalusan seperti itu. Mereka hanya berfungsi dengan segi tiga tepat, di mana sudut hanya boleh menjadi akut. Dan mereka tidak tahu, yang gembira, bahawa terdapat kedua-dua sudut negatif dan sudut 1000°... Dan semua sudut yang mengerikan ini mempunyai fungsi trigonometri mereka sendiri, kedua-dua tambah dan tolak...

Tetapi untuk pelajar sekolah menengah, tanpa mengambil kira tanda itu, tidak mungkin. Banyak ilmu melipatgandakan kesedihan, ya...) Dan untuk keputusan yang betul Tugasan mesti mengandungi maklumat tambahan (jika perlu). Sebagai contoh, ia boleh diberikan melalui entri berikut:

Atau cara lain. Anda akan lihat dalam contoh di bawah.) Untuk menyelesaikan contoh tersebut anda perlu tahu Suku mana sudut yang diberi x jatuh dan apakah tanda fungsi trigonometri yang dikehendaki pada suku ini?

Asas trigonometri ini dibincangkan dalam pelajaran tentang apa itu bulatan trigonometri, ukuran sudut pada bulatan ini, ukuran radian sudut. Kadangkala anda perlu mengetahui jadual sinus, kosinus tangen dan kotangen.

Jadi, mari kita perhatikan perkara yang paling penting:

Nasihat praktikal:

1. Ingat takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Ia akan menjadi sangat berguna.

2. Kami faham dengan jelas: sinus, kosinus, tangen dan kotangen bersambung rapat dengan sudut. Kita tahu satu perkara, bermakna kita tahu satu lagi.

3. Kami faham dengan jelas: sinus, kosinus, tangen dan kotangen satu sudut berkaitan antara satu sama lain mengikut asas identiti trigonometri. Kami tahu satu fungsi, yang bermaksud kami boleh (jika kami mempunyai maklumat tambahan yang diperlukan) mengira semua yang lain.

Sekarang mari buat keputusan, seperti biasa. Pertama, tugas dalam skop gred 8. Tetapi pelajar sekolah menengah boleh melakukannya juga...)

1. Kira nilai tgA jika ctgA = 0.4.

2. β ialah sudut dalam segi tiga tegak. Cari nilai tanβ jika sinβ = 12/13.

3. Tentukan sinus bagi sudut akut x jika tgх = 4/3.

4. Cari maksud ungkapan:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Cari maksud ungkapan:

(1-cosx)(1+cosx), jika sinx = 0.3

Jawapan (dipisahkan dengan koma bertitik, berantakan):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Terjadi? Hebat! Pelajar darjah lapan sudah boleh mendapatkan A mereka.)

Tidakkah semuanya berjaya? Tugasan 2 dan 3 entah bagaimana tidak begitu baik...? Tiada masalah! Terdapat satu helah yang indah untuk tugasan yang serupa. Semuanya boleh diselesaikan secara praktikal tanpa formula sama sekali! Nah, oleh itu, tanpa kesilapan. Teknik ini diterangkan dalam pelajaran: “Hubungan antara fungsi trigonometri satu sudut” dalam Bahagian 555. Semua tugas lain juga diuruskan di sana.

Ini adalah masalah Jenis Peperiksaan Negeri Bersatu, tetapi dalam versi yang dilucutkan. Peperiksaan Negeri Bersatu - ringan). Dan kini hampir tugas yang sama, tetapi dalam format penuh. Untuk pelajar sekolah menengah yang membebankan ilmu.)

6. Cari nilai tanβ jika sinβ = 12/13, dan

7. Tentukan sinх jika tgх = 4/3, dan x tergolong dalam selang (- 540°; - 450°).

8. Cari nilai ungkapan sinβ cosβ jika ctgβ = 1.

Jawapan (bercelaru):

0,8; 0,5; -2,4.

Di sini dalam masalah 6 sudut tidak dinyatakan dengan jelas... Tetapi dalam masalah 8 ia tidak dinyatakan sama sekali! Ini sengaja). Maklumat tambahan bukan sahaja diambil dari tugas, tetapi juga dari kepala.) Tetapi jika anda membuat keputusan, satu tugas yang betul dijamin!

Bagaimana jika anda belum membuat keputusan? Hmm... Nah, Seksyen 555 akan membantu di sini. Di sana penyelesaian untuk semua tugas ini diterangkan secara terperinci, sukar untuk tidak difahami.

Pelajaran ini memberikan pemahaman yang sangat terhad tentang fungsi trigonometri. Dalam darjah 8. Dan para penatua masih mempunyai soalan ...

Contohnya, jika sudut X(lihat gambar kedua di halaman ini) - buat bodoh!? Segitiga itu akan runtuh sepenuhnya! Jadi apa yang patut kita buat? Tidak akan ada kaki, tiada hipotenus... Sinus telah hilang...

Jika orang zaman dahulu tidak menemui jalan keluar dari situasi ini, kita tidak akan mempunyai telefon bimbit, TV, atau elektrik sekarang. Ya Ya! Asas teori semua perkara ini tanpa fungsi trigonometri adalah sifar tanpa kayu. Tetapi orang zaman dahulu tidak mengecewakan. Bagaimana mereka keluar adalah dalam pelajaran seterusnya.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Salah satu bidang matematik yang paling sukar dihadapi oleh pelajar ialah trigonometri. Ia tidak menghairankan: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada memori matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk memperoleh rantai logik yang kompleks.

Asal-usul trigonometri

Membiasakan diri dengan sains ini harus bermula dengan definisi sinus, kosinus dan tangen sudut, tetapi pertama-tama anda perlu memahami apa yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.

Dari segi sejarah, objek utama kajian dalam bahagian ini sains matematik ialah segi tiga tepat. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan seseorang menentukan nilai semua parameter rajah yang dipersoalkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Pada masa lalu, orang melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi dan juga dalam seni.

Peringkat pertama

Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan antara sudut dan sisi secara eksklusif menggunakan contoh segi tiga tepat. Kemudian formula khas ditemui yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam Kehidupan seharian cabang matematik ini.

Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga tepat, selepas itu pelajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fizik dan menyelesaikan masalah abstrak. persamaan trigonometri, kerja yang bermula di sekolah menengah.

Trigonometri sfera

Kemudian, apabila sains mencapai tahap perkembangan seterusnya, formula dengan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan yang berbeza digunakan, dan jumlah sudut dalam segi tiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui kewujudannya sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan berada di dalamnya ruang tiga dimensi"berbentuk arka".

Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Sila ambil perhatian - ia telah mengambil bentuk arka. Geometri sfera memperkatakan bentuk sedemikian, yang digunakan dalam geodesi, astronomi dan bidang teori dan gunaan lain.

Segitiga kanan

Setelah mengetahui serba sedikit tentang cara-cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah sinus, kosinus, tangen, pengiraan apa yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.

Langkah pertama ialah memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Ia adalah yang paling lama. Kami ingat bahawa mengikut teorem Pythagoras, ia nilai berangka sama dengan punca hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain.

Sebagai contoh, jika kedua-dua sisi masing-masing ialah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi yang tinggal, yang membentuk sudut tegak, dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga ialah sistem segi empat tepat koordinat ialah 180 darjah.

Definisi

Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang asas geometri, seseorang boleh beralih kepada definisi sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.

Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki bertentangan (iaitu, sisi bertentangan dengan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus.

Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih daripada satu! kenapa? Kerana hipotenus secara lalai adalah yang paling panjang Tidak kira berapa panjang kaki itu, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika dalam jawapan anda kepada masalah anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih daripada 1, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas tidak betul.

Akhir sekali, tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Membahagi sinus dengan kosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, kemudian bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat hubungan yang sama seperti dalam definisi tangen.

Cotangent, dengan itu, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi yang bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan satu dengan tangen.

Jadi, kita telah melihat definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita boleh beralih kepada formula.

Formula paling mudah

Dalam trigonometri anda tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Tetapi inilah yang diperlukan apabila menyelesaikan masalah.

Formula pertama yang perlu anda ketahui apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi ia menjimatkan masa jika anda perlu mengetahui saiz sudut dan bukannya sisi.

Ramai pelajar tidak dapat mengingati formula kedua, yang juga sangat popular apabila menyelesaikan tugas sekolah: hasil tambah satu dan kuasa dua tangen sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut itu. Lihat lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah dilakukan formula trigonometri sama sekali tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan penukaran dan beberapa formula asas anda boleh pada bila-bila masa menarik balik yang diperlukan lagi formula kompleks pada sehelai kertas.

Formula untuk sudut berganda dan penambahan hujah

Dua lagi formula yang perlu anda pelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka dibentangkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil darab berpasangan sinus dan kosinus ditambah.

Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan hujah dalam bentuk sudut berganda. Mereka sepenuhnya diperolehi daripada yang sebelumnya - sebagai latihan cuba dapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut dua kali boleh disusun semula untuk mengurangkan kuasa sinus, kosinus, alfa tangen.

Teorem

Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan oleh itu luas rajah, dan saiz setiap sisi, dsb.

Teorem sinus menyatakan bahawa dengan membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan sudut bertentangan, kita dapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan bersamaan dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.

Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada jumlah segi empat sama kedua-dua belah, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut bersebelahan - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.

Kesilapan yang tidak berhati-hati

Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk membuat kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita lihat yang paling popular.

Pertama, anda tidak seharusnya menukar pecahan kepada perpuluhan sehingga anda mendapat keputusan akhir - anda boleh meninggalkan jawapan sebagai pecahan sepunya, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam syarat. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat masalah akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa anda untuk perkara yang tidak perlu operasi matematik. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti punca tiga atau punca dua, kerana ia ditemui dalam masalah pada setiap langkah. Perkara yang sama berlaku untuk membundarkan nombor "hodoh".

Selanjutnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Jika anda tersilap terlupa untuk menolak dua kali hasil darab sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi anda juga akan menunjukkan kekurangan pemahaman sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan yang tidak berhati-hati.

Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus ialah 30 darjah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mengelirukan mereka, akibatnya anda pasti akan mendapat hasil yang salah.

Permohonan

Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula belajar trigonometri kerana mereka tidak memahami maksud praktikalnya. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep yang anda boleh mengira jaraknya bintang yang jauh, ramalkan kejatuhan meteorit, hantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban pada permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanya yang paling contoh yang jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, dari muzik ke perubatan.

Akhirnya

Jadi anda sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.

Keseluruhan trigonometri datang kepada fakta bahawa menggunakan parameter segitiga yang diketahui anda perlu mengira yang tidak diketahui. Terdapat enam parameter secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan saiz tiga penjuru. Satu-satunya perbezaan dalam tugas terletak pada fakta bahawa data input yang berbeza diberikan.

Anda kini tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau hipotenus yang diketahui. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama masalah trigonometri adalah mencari punca-punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematik sekolah biasa akan membantu anda.

Sinus dan kosinus pada asalnya timbul daripada keperluan untuk mengira kuantiti dalam segi tiga tepat. Adalah diperhatikan bahawa jika ukuran darjah sudut dalam segi tiga tepat tidak diubah, maka nisbah aspek, tidak kira berapa banyak sisi ini berubah panjang, sentiasa kekal sama.

Ini adalah bagaimana konsep sinus dan kosinus diperkenalkan. Sinus sudut akut dalam segi tiga tepat ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus, dan kosinus ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan hipotenus.

Teorem kosinus dan sinus

Tetapi kosinus dan sinus boleh digunakan untuk lebih daripada segi tiga tepat. Untuk mencari nilai sudut tumpul atau akut atau sisi mana-mana segi tiga, cukup menggunakan teorem kosinus dan sinus.

Teorem kosinus agak mudah: “Segi empat segi bagi sisi segitiga sama dengan jumlah segi empat sama dua sisi yang lain tolak dua kali hasil darab sisi-sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka.”

Terdapat dua tafsiran teorem sinus: kecil dan lanjutan. Menurut yang kecil: "Dalam segitiga, sudut adalah berkadar pihak lawan». Teorem ini sering mengembang disebabkan oleh sifat bulatan yang dihadkan bagi segi tiga: "Dalam segitiga, sudut adalah berkadar dengan sisi bertentangan, dan nisbahnya adalah sama dengan diameter bulatan yang dihadkan."

Derivatif

Derivatif ialah alat matematik yang menunjukkan betapa cepat fungsi berubah berbanding dengan perubahan dalam hujahnya. Derivatif digunakan dalam geometri, dan dalam beberapa disiplin teknikal.

Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu mengetahui nilai jadual derivatif fungsi trigonometri: sinus dan kosinus. Terbitan sinus ialah kosinus, dan kosinus ialah sinus, tetapi dengan tanda tolak.

Aplikasi dalam matematik

Sinus dan kosinus terutamanya sering digunakan dalam menyelesaikan segi tiga tepat dan masalah yang berkaitan dengannya.

Kemudahan sinus dan kosinus juga dicerminkan dalam teknologi. Adalah mudah untuk menilai sudut dan sisi menggunakan teorem kosinus dan sinus, pecah angka kompleks dan objek menjadi segi tiga "mudah". Jurutera sering berurusan dengan pengiraan nisbah aspek dan ukuran darjah, menghabiskan banyak masa dan usaha untuk mengira kosinus dan sinus sudut bukan jadual.

Kemudian jadual Bradis datang untuk menyelamatkan, mengandungi beribu-ribu nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut yang berbeza. DALAM zaman Soviet beberapa guru memaksa pelajar mereka menghafal muka surat jadual Bradis.

Radian - magnitud sudut lengkok, panjang sama dengan jejari atau 57.295779513° darjah.

Darjah (dalam geometri) - 1/360 bahagian bulatan atau 1/90 bahagian sudut tepat.

π = 3.141592653589793238462… ( nilai anggaran Nombor Pi).

Jadual kosinus untuk sudut: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Sudut x (dalam darjah)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Sudut x (dalam radian)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
kerana x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1