Susulan dari semalam:
Mari kita bermain dengan mozek berdasarkan kisah dongeng geometri:
Pada suatu masa dahulu terdapat segitiga. Begitu serupa sehinggakan mereka hanyalah salinan antara satu sama lain.
Mereka entah bagaimana berdiri sebelah menyebelah dalam satu garisan lurus. Dan kerana mereka semua sama tinggi -
maka gasing mereka pada tahap yang sama, di bawah pembaris:
Segitiga suka jatuh dan berdiri di atas kepala mereka. Mereka naik ke barisan atas dan berdiri di sudut seperti akrobat.
Dan kita sudah tahu - apabila mereka berdiri dengan gasing tepat dalam satu barisan,
maka tapak kakinya juga mengikut pembaris - kerana jika seseorang itu sama tinggi, maka mereka juga sama tingginya terbalik!
Mereka adalah sama dalam segala-galanya - ketinggian yang sama, dan tapak kaki yang sama,
dan gelongsor di sisi - satu lebih curam, satu lagi rata - adalah sama panjangnya
dan mereka mempunyai cerun yang sama. Nah, hanya kembar! (hanya dalam pakaian yang berbeza, masing-masing dengan kepingan teka-teki mereka sendiri).
- Di manakah segitiga sisi yang sama? Di manakah sudut yang sama?
Segitiga berdiri di atas kepala mereka, berdiri di sana, dan kemudian memutuskan untuk meluncur turun dan berbaring di baris bawah.
Mereka tergelincir dan tergelincir menuruni bukit; tetapi slaid mereka adalah sama!
Jadi mereka sesuai betul-betul di antara segi tiga yang lebih rendah, tanpa jurang, dan tiada siapa yang menolak sesiapa pun.
Kami melihat sekeliling segi tiga dan melihat ciri yang menarik.
Di mana sahaja sudut mereka berkumpul, ketiga-tiga sudut itu pasti akan bertemu:
yang terbesar ialah "sudut kepala", sudut paling tajam dan ketiga, sudut sederhana terbesar.
Mereka juga mengikat reben berwarna supaya ia akan segera jelas yang mana.
Dan ternyata bahawa tiga sudut segitiga, jika anda menggabungkannya -
membentuk satu sudut besar, "sudut terbuka" - seperti kulit buku terbuka,
_______________________O ___________________
Itulah yang dipanggil: sudut terbalik.
Mana-mana segitiga adalah seperti pasport: tiga sudut bersama-sama adalah sama dengan sudut terbentang.
Seseorang mengetuk pintu anda: - ketuk-ketuk, saya segitiga, biarkan saya bermalam!
Dan awak beritahu dia - Tunjukkan kepada saya jumlah sudut dalam bentuk kembang!
Dan ia segera jelas sama ada ini adalah segitiga sebenar atau penipu.
Tidak lulus ujian - Pusinglah seratus lapan puluh darjah dan pulanglah!
Apabila mereka menyebut "pusing 180°" bermakna pusing ke belakang dan
pergi ke arah yang bertentangan.
Perkara yang sama dalam ungkapan yang lebih biasa, tanpa "suatu masa dahulu":
Mari lakukannya pemindahan selari segi tiga ABC sepanjang paksi OX
kepada vektor AB sama panjang asas AB.
Garis DF melalui bucu C dan C 1 segi tiga
selari dengan paksi OX, disebabkan oleh fakta bahawa berserenjang dengan paksi OH
segmen h dan h 1 (ketinggian segi tiga sama) adalah sama.
Oleh itu, tapak segi tiga A 2 B 2 C 2 adalah selari dengan tapak AB
dan sama dengan panjangnya (kerana bucu C 1 dianjak relatif kepada C dengan jumlah AB).
Segitiga A 2 B 2 C 2 dan ABC adalah sama pada tiga sisi.
Oleh itu, sudut ∠A 1 ∠B ∠C 2 yang membentuk sudut lurus adalah sama dengan sudut segitiga ABC.
=> Jumlah sudut segitiga ialah 180°
Dengan pergerakan - "terjemahan", bukti yang dipanggil lebih pendek dan jelas,
kanak-kanak pun boleh memahami kepingan mozek itu.
Tetapi sekolah tradisional:
berdasarkan kesamaan sudut silang silang dalaman terputus pada garis selari
berharga kerana ia memberikan idea mengapa ini berlaku,
kenapa jumlah sudut segitiga sama dengan sudut songsang?
Kerana jika tidak garis selari tidak akan mempunyai sifat yang biasa dengan dunia kita.
Teorem berfungsi kedua-dua cara. Daripada aksiom garis selari ia mengikuti
kesamarataan pembohongan silang dan sudut menegak, dan daripada mereka - jumlah sudut segi tiga.
Tetapi sebaliknya juga benar: selagi sudut segitiga ialah 180°, terdapat garis selari
(supaya melalui titik yang tidak terletak pada garisan seseorang boleh melukis garis lurus yang unik || diberikan).
Jika suatu hari segitiga muncul di dunia yang jumlah sudutnya tidak sama dengan sudut terbentang -
maka yang selari akan berhenti selari, seluruh dunia akan bengkok dan senget.
Jika jalur dengan corak segi tiga diletakkan satu di atas yang lain -
anda boleh menutup seluruh medan dengan corak berulang, seperti lantai dengan jubin:
anda boleh mengesan bentuk yang berbeza pada grid sedemikian - heksagon, rombus,
poligon bintang dan dapatkan pelbagai parket
Menjubin pesawat dengan parket bukan sahaja permainan yang menyeronokkan, tetapi juga yang relevan. masalah matematik:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Oleh kerana setiap segi empat ialah segi empat tepat, segi empat sama, rombus, dsb.,
boleh terdiri daripada dua segi tiga,
masing-masing, jumlah sudut segiempat: 180° + 180° = 360°
Segitiga sama kaki yang sama dilipat menjadi segi empat sama dengan cara yang berbeza.
Segi empat kecil 2 bahagian. Purata 4. Dan yang terbesar daripada 8.
Berapakah bilangan yang terdapat dalam lukisan itu, yang terdiri daripada 6 segi tiga?
Maklumat awal
Pertama, mari kita lihat secara langsung konsep segi tiga.
Definisi 1
Kami akan memanggilnya segitiga angka geometri, yang terdiri daripada tiga titik yang disambungkan oleh segmen (Rajah 1).
Definisi 2
Dalam rangka Takrif 1, kita akan memanggil titik bucu segitiga.
Definisi 3
Dalam rangka Takrif 1, segmen akan dipanggil sisi segi tiga.
Jelas sekali, mana-mana segi tiga akan mempunyai 3 bucu, serta tiga sisi.
Teorem jumlah sudut dalam segitiga
Mari kita perkenalkan dan buktikan salah satu teorem utama yang berkaitan dengan segi tiga, iaitu teorem hasil tambah sudut dalam segitiga.
Teorem 1
Jumlah sudut dalam mana-mana segi tiga arbitrari ialah $180^\circ$.
Bukti.
Pertimbangkan segi tiga $EGF$. Mari kita buktikan bahawa jumlah sudut dalam segi tiga ini adalah sama dengan $180^\circ$. Mari kita buat pembinaan tambahan: lukis garis lurus $XY||EG$ (Gamb. 2)
Oleh kerana garisan $XY$ dan $EG$ adalah selari, maka $∠E=∠XFE$ terletak secara bersilang pada bahagian $FE$, dan $∠G=∠YFG$ terletak secara bersilang pada bahagian $FG$
Sudut $XFY$ akan diterbalikkan dan oleh itu bersamaan dengan $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Oleh itu
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Teorem terbukti.
Teorem Sudut Luar Segitiga
Satu lagi teorem mengenai jumlah sudut bagi segitiga boleh dianggap sebagai teorem pada sudut luar. Pertama, mari kita perkenalkan konsep ini.
Definisi 4
Kami akan memanggil sudut luar segitiga sebagai sudut yang bersebelahan dengan mana-mana sudut segi tiga (Rajah 3).
Sekarang mari kita pertimbangkan teorem secara langsung.
Teorem 2
Sudut luar segitiga adalah sama dengan hasil tambah dua sudut segitiga yang tidak bersebelahan dengannya.
Bukti.
Mari kita pertimbangkan segi tiga sewenang-wenangnya$EFG$. Biarkan ia mempunyai sudut luar segi tiga $FGQ$ (Gamb. 3).
Dengan Teorem 1, kita akan mempunyai $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, oleh itu,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Oleh kerana sudut $FGQ$ adalah luaran, ia bersebelahan dengan sudut $∠G$, maka
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Teorem terbukti.
Contoh tugasan
Contoh 1
Cari semua sudut segitiga jika ia adalah sama sisi.
Jadi apa khabar segi tiga sama sisi semua sisi adalah sama, maka kita akan mempunyai bahawa semua sudut di dalamnya juga sama antara satu sama lain. Mari kita nyatakan ukuran darjah mereka dengan $α$.
Kemudian, dengan Teorem 1 kita dapat
$α+α+α=180^\circ$
Jawapan: semua sudut sama dengan $60^\circ$.
Contoh 2
Cari semua sudut bagi segi tiga sama kaki jika salah satu sudutnya adalah sama dengan $100^\circ$.
Mari kita perkenalkan tatatanda berikut untuk sudut dalam segi tiga sama kaki:
Oleh kerana kami tidak diberikan dalam keadaan sudut tepat yang sama dengan $100^\circ$, maka dua kes adalah mungkin:
Sudut bersamaan $100^\circ$ ialah sudut pada tapak segi tiga.
Dengan menggunakan teorem pada sudut di dasar segi tiga sama kaki, kita perolehi
$∠2=∠3=100^\circ$
Tetapi hanya jumlah mereka akan lebih besar daripada $180^\circ$, yang bercanggah dengan syarat Teorem 1. Ini bermakna kes ini tidak berlaku.
Sudut yang sama dengan $100^\circ$ ialah sudut antara sisi yang sama, itu dia
Soalan dibuka 04/08/2017 pada 12:25
Tidak sangat___
2. Dalam segi tiga sama kaki, sudut pada tapak adalah tumpul.
Tidak sangat___
3. Apabila dua garis selari bersilang dengan rentas rentas, sudut terletak adalah sama
sudut sepadan.
Tidak sangat___
4. Apabila dua garis selari bersilang dengan rentas rentas, hasil tambah sudut satu sisi ialah 180°.
Tidak sangat___
5. Sudut luar segitiga adalah sama dengan beza dua sudut segitiga yang tidak bersebelahan dengannya.
Tidak sangat___
6. pepenjuru bagi segi empat selari adalah sama.
Tidak sangat___
7. Diagonal segi empat sama adalah saling berserenjang.
Tidak sangat___
8.Pepenjuru segi empat tepat membelah dua bucu segi empat tepat.
Tidak sangat___
9. Median segitiga membahagi sisi segi tiga dalam nisbah 2:1, mengira dari bucu.
Tidak sangat___
10. Pembelah dua bagi segi tiga bersilang pada satu titik.
Tidak sangat___
11. Ketinggian segi tiga sama kaki yang dilukis ke tapak ialah median dan pembahagi dua.
Tidak sangat___
12. Segitiga dengan segi empat sama pada salah satu sisinya sama dengan jumlah segi empat sama dua sisi yang lain, segi empat tepat.
Tidak sangat___
13. Sisi empat yang dua sisinya selari ialah trapezium.
Tidak sangat___
14. Dalam segi empat selari, hasil tambah kuasa dua pepenjuru adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua semua sisinya.
Tidak sangat___
15. Luas rombus adalah sama dengan hasil darab segi empat sama sisi dan sinus sudut rombus.
Tidak sangat___
16. Luas segi empat tepat adalah sama dengan separuh hasil darab segiempat sama pepenjuru dan sinus sudut antara pepenjuru.
Tidak sangat___
17. Tangen bagi sudut akut segi tiga tepat sama dengan nisbah kaki bersebelahan kepada yang bertentangan.
Tidak sangat___
18. Jejari bulatan yang dihadkan pada segi tiga tepat adalah sama dengan nisbah kaki yang bersebelahan dengan yang bertentangan.
Tidak sangat___
19.Titik tengah sisi mana-mana segi empat ialah bucu bagi segi empat selari.
Tidak sangat___
20.Jika pepenjuru segi empat selari adalah sama, maka segiempat selari ini ialah segi empat sama.
Tidak sangat___
21. Segmen yang menghubungkan titik tengah pepenjuru trapezium adalah sama dengan separuh beza tapaknya.
Tidak sangat___
22. Titik persilangan kesinambungan sisi sisi trapezoid dan bahagian tengah tapaknya terletak pada garis lurus yang sama.
Tidak sangat___
23.Jika sudut pada tapak trapezoid adalah sama, maka ia adalah sama kaki.
Tidak sangat___
24. Garis tengah trapezium adalah sama dengan separuh beza tapaknya.
Tidak sangat___
25.Nisbah keluasan angka yang serupa sama dengan pekali persamaan.
Tidak sangat___
26. Diameter berserenjang dengan kord membahagikan lengkok yang dicangkum olehnya kepada separuh.
Tidak sangat___
27. Daripada dua kord, kord yang lebih jauh dari pusat adalah lebih besar.
Tidak sangat___
28. Jejari bulatan ialah dua kali diameter.
Tidak sangat___
29. Garis lurus yang mempunyai dua titik sepunya dengan bulatan ialah tangen.
Tidak sangat___
30. Pusat bulatan yang ditulis dalam sudut terletak pada pembahagi dua sudut ini.
Tidak sangat___
31.Bucu sudut tersurat terletak di tengah bulatan.
Tidak sangat___
32.Pusat bulatan dan bulatan segi tiga sama sisi bertepatan.
Tidak sangat___
33.Bulatan boleh ditulis dalam segi empat jika jumlahnya sudut bertentangan sama dengan 180°.
Tidak sangat___
34.Lilitan bulatan adalah sama dengan ∏d, dengan d ialah diameter bulatan itu.
Tidak sangat___
35. Hasil tambah sudut poligon ialah 180°:(n-2).
Tidak sangat___
36. hipotenus segi tiga tegak adalah sama dengan kaki dibahagikan dengan sinus sudut bertentangan dengan kaki ini.
Tidak sangat___
37. Pembahagi dua segi tiga membahagikan sisinya kepada bahagian yang berkadar dengan dua sisi yang lain.
Tidak sangat___
38. Garisan yang mengandungi ketinggian segi tiga bersilang pada tiga titik.
Tidak sangat___
39. Titik persilangan pembahagi dua segi tiga ialah pusat bulatan yang dihadkan pada segi tiga ini.
Tidak sangat___
40. Sudut antara pembahagi dua sudut mencancang ialah 180°.
Tidak sangat___
Teorem ini juga dirumuskan dalam buku teks oleh L.S Atanasyan. , dan dalam buku teks oleh Pogorelov A.V. . Bukti teorem ini dalam buku teks ini tidak berbeza dengan ketara, dan oleh itu kami membentangkan buktinya, sebagai contoh, dari buku teks oleh A.V.
Teorem: Jumlah sudut segitiga ialah 180°
Bukti. Biarkan ABC - segi tiga yang diberi. Mari kita lukis garisan melalui bucu B selari dengan garis AC. Mari kita tandakan titik D di atasnya supaya titik A dan D terletak di sepanjang sisi yang berbeza daripada garisan terus BC (Rajah 6).
Sudut DBC dan ACB adalah sama dengan sudut silang silang dalaman, dibentuk oleh BC sekan dengan garis lurus selari AC dan BD. Oleh itu, jumlah sudut segitiga pada bucu B dan C adalah sama dengan sudut ABD. Dan hasil tambah ketiga-tiga sudut segitiga adalah sama dengan hasil tambah sudut ABD dan BAC. Oleh kerana ini adalah sudut pedalaman satu sisi untuk AC dan BD dan sekan AB yang selari, jumlahnya ialah 180°. Teorem terbukti.
Idea bukti ini adalah untuk melaksanakan garis selari dan penetapan kesamaan sudut yang dikehendaki. Mari kita bina semula idea pembinaan tambahan sedemikian dengan membuktikan teorem ini menggunakan konsep eksperimen pemikiran. Bukti teorem menggunakan eksperimen pemikiran. Jadi, subjek eksperimen pemikiran kami ialah sudut segitiga. Marilah kita letakkan dia secara mental dalam keadaan di mana intipatinya dapat didedahkan dengan pasti (peringkat 1).
Keadaan sedemikian akan menjadi susunan sudut segi tiga di mana ketiga-tiga bucunya akan digabungkan pada satu titik. Gabungan sedemikian mungkin jika kita membenarkan kemungkinan "menggerakkan" sudut dengan menggerakkan sisi segitiga tanpa mengubah sudut kecenderungan (Rajah 1). Pergerakan sedemikian pada dasarnya adalah transformasi mental yang berikutnya (peringkat 2).
Dengan menetapkan sudut dan sisi segitiga (Rajah 2), sudut yang diperolehi dengan "bergerak," kita secara mental membentuk persekitaran, sistem sambungan di mana kita meletakkan subjek pemikiran kita (peringkat 3).
Garis AB, "bergerak" di sepanjang garis BC dan tanpa mengubah sudut kecondongan kepadanya, memindahkan sudut 1 ke sudut 5, dan "bergerak" di sepanjang garis AC, memindahkan sudut 2 ke sudut 4. Oleh kerana dengan garis "pergerakan" sedemikian AB tidak mengubah sudut kecondongan kepada garis AC dan BC, maka kesimpulannya adalah jelas: sinar a dan a1 adalah selari dengan AB dan berubah menjadi satu sama lain, dan sinar b dan b1 ialah kesinambungan sisi BC dan AC, masing-masing. Oleh kerana sudut 3 dan sudut antara sinar b dan b1 adalah menegak, ia adalah sama. Jumlah sudut ini adalah sama dengan sudut putaran aa1 - yang bermaksud 180°.
KESIMPULAN
DALAM kerja diploma menjalankan bukti "dibina" beberapa sekolah teorem geometri, menggunakan struktur eksperimen pemikiran, yang mengesahkan hipotesis yang dirumuskan.
Bukti yang dikemukakan adalah berdasarkan idealisasi visual dan deria seperti: "mampatan", "regangan", "gelongsor", yang memungkinkan untuk mengubah yang asal. objek geometri dan menyerlahkan ciri-ciri pentingnya, yang tipikal untuk eksperimen pemikiran. Di mana eksperimen pemikiran bertindak sebagai "alat kreatif" tertentu yang menyumbang kepada kemunculan pengetahuan geometri (contohnya, tentang garis tengah trapezoid atau mengenai sudut segitiga). Idealisasi sedemikian memungkinkan untuk memahami keseluruhan idea pembuktian, idea untuk melaksanakan "pembinaan tambahan", yang membolehkan kita bercakap tentang kemungkinan pemahaman yang lebih sedar oleh pelajar sekolah tentang proses pembuktian deduktif formal teorem geometri.
Percubaan pemikiran adalah salah satu daripada kaedah asas mendapatkan dan menemui teorem geometri. Ia adalah perlu untuk membangunkan metodologi untuk memindahkan kaedah kepada pelajar. Kekal soalan terbuka tentang umur pelajar yang boleh diterima untuk "menerima" kaedah, tentang " kesan sampingan» bukti yang dikemukakan dengan cara ini.
Soalan-soalan ini memerlukan kajian tambahan. Tetapi dalam apa jua keadaan, satu perkara yang pasti: percubaan pemikiran berkembang di kalangan pelajar sekolah pemikiran teori, adalah asasnya dan, oleh itu, keupayaan untuk eksperimen mental perlu dibangunkan.