Sudah tiba masanya untuk menyelesaikannya kaedah pengekstrakan akar. Ia adalah berdasarkan sifat akar, khususnya, pada kesamaan, yang benar untuk sebarang nombor bukan negatif b.
Di bawah ini kita akan melihat kaedah utama mengekstrak akar satu demi satu.
Mari kita mulakan dengan kes yang paling mudah - mengekstrak akar daripada nombor asli menggunakan jadual segi empat sama, jadual kubus, dsb.
Jika jadual segi empat sama, kubus, dsb. Jika anda tidak mempunyainya, adalah logik untuk menggunakan kaedah mengekstrak akar, yang melibatkan penguraian nombor radikal menjadi faktor perdana.
Perlu dinyatakan khas apa yang mungkin untuk akar dengan eksponen ganjil.
Akhir sekali, mari kita pertimbangkan kaedah yang membolehkan kita mencari digit nilai akar secara berurutan.
Mari kita mulakan.
Menggunakan jadual segi empat sama, jadual kubus, dsb.
Dalam kes paling mudah, jadual segi empat sama, kiub, dsb. membolehkan anda mengekstrak akar. Apakah jadual ini?
Jadual segi empat sama integer dari 0 hingga 99 termasuk (ditunjukkan di bawah) terdiri daripada dua zon. Zon pertama jadual terletak pada latar belakang kelabu dengan memilih baris tertentu dan lajur tertentu, ia membolehkan anda mengarang nombor dari 0 hingga 99. Sebagai contoh, mari kita pilih baris 8 puluh dan lajur 3 unit, dengan ini kita tetapkan nombor 83. Zon kedua menduduki seluruh meja. Setiap sel terletak di persimpangan baris tertentu dan lajur tertentu, dan mengandungi kuasa dua nombor yang sepadan dari 0 hingga 99. Di persimpangan baris pilihan kami 8 puluh dan lajur 3 daripada satu terdapat sel dengan nombor 6,889, iaitu kuasa dua nombor 83.
Jadual kubus, jadual kuasa keempat nombor dari 0 hingga 99, dan seterusnya adalah serupa dengan jadual segi empat sama, hanya ia mengandungi kubus, kuasa keempat, dsb. dalam zon kedua. nombor yang sepadan.
Jadual segi empat sama, kubus, kuasa keempat, dsb. membolehkan anda mengekstrak punca kuasa dua, punca kubus, punca keempat, dsb. sewajarnya daripada nombor dalam jadual ini. Mari kita terangkan prinsip penggunaannya semasa mengekstrak akar.
Katakan kita perlu mengekstrak punca ke-n bagi nombor a, manakala nombor a terkandung dalam jadual kuasa ke-n. Dengan menggunakan jadual ini kita dapati nombor b supaya a=b n. Kemudian 
, oleh itu, nombor b akan menjadi punca yang dikehendaki bagi darjah ke-n.
Sebagai contoh, mari tunjukkan cara menggunakan jadual kubus untuk mengekstrak punca kubus 19,683. Kita dapati nombor 19,683 dalam jadual kubus, daripadanya kita dapati nombor ini ialah kubus nombor 27, oleh itu, 
.
Adalah jelas bahawa jadual kuasa ke-n sangat mudah untuk mengekstrak akar. Walau bagaimanapun, mereka sering tidak ada, dan menyusunnya memerlukan sedikit masa. Selain itu, selalunya perlu untuk mengekstrak akar daripada nombor yang tidak terkandung dalam jadual yang sepadan. Dalam kes ini, anda perlu menggunakan kaedah pengekstrakan akar yang lain.
Memfaktorkan nombor radikal kepada faktor perdana
Cara yang agak mudah untuk mengekstrak punca nombor asli (jika, sudah tentu, punca diekstrak) adalah dengan menguraikan nombor radikal kepada faktor perdana. miliknya intinya adalah ini: selepas itu agak mudah untuk mewakilinya sebagai kuasa dengan eksponen yang dikehendaki, yang membolehkan anda memperoleh nilai akar. Mari kita jelaskan perkara ini.
Biarkan punca ke-n bagi nombor asli a diambil dan nilainya sama b. Dalam kes ini, kesamaan a=b n adalah benar. Nombor b, seperti mana-mana nombor asli, boleh diwakili sebagai hasil darab semua faktor perdananya p 1 , p 2 , …, p m dalam bentuk p 1 ·p 2 ·…·p m , dan nombor radikal a dalam kes ini diwakili sebagai (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Oleh kerana penguraian nombor menjadi faktor perdana adalah unik, penguraian nombor radikal a menjadi faktor perdana akan mempunyai bentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, yang memungkinkan untuk mengira nilai punca. sebagai.
Ambil perhatian bahawa jika penguraian menjadi faktor perdana bagi nombor radikal a tidak boleh diwakili dalam bentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, maka punca ke-n bagi nombor a tersebut tidak diekstrak sepenuhnya.
Mari kita fikirkan perkara ini apabila menyelesaikan contoh.
Contoh.
Ambil punca kuasa dua bagi 144.
Penyelesaian.
Jika anda melihat jadual segi empat sama yang diberikan dalam perenggan sebelumnya, anda boleh melihat dengan jelas bahawa 144 = 12 2, daripadanya jelas bahawa punca kuasa dua bagi 144 adalah bersamaan dengan 12.
Tetapi berdasarkan perkara ini, kami berminat dengan cara akar diekstrak dengan menguraikan nombor radikal 144 menjadi faktor perdana. Mari lihat penyelesaian ini.
Jom reput 144 kepada faktor utama:
Iaitu, 144=2·2·2·2·3·3. Berdasarkan penguraian yang terhasil, transformasi berikut boleh dilakukan: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Oleh itu, 
.
Dengan menggunakan sifat darjah dan sifat akar, penyelesaiannya boleh dirumus sedikit berbeza: .
Jawapan:
Untuk menyatukan bahan, pertimbangkan penyelesaian kepada dua lagi contoh.
Contoh.
Kira nilai punca.
Penyelesaian.
Pemfaktoran perdana bagi nombor radikal 243 mempunyai bentuk 243=3 5 . Oleh itu, 
.
Jawapan:
Contoh.
Adakah nilai akar adalah integer?
Penyelesaian.
Untuk menjawab soalan ini, mari kita faktorkan nombor radikal ke dalam faktor perdana dan lihat sama ada ia boleh diwakili sebagai kubus integer.
Kami mempunyai 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Pengembangan yang terhasil tidak boleh diwakili sebagai kubus integer, kerana kuasa faktor perdana 7 bukan gandaan tiga. Oleh itu, punca kubus 285,768 tidak boleh diekstrak sepenuhnya.
Jawapan:
Tidak.
Mengeluarkan akar daripada nombor pecahan
Sudah tiba masanya untuk memikirkan cara mengekstrak punca nombor pecahan. Biarkan nombor radikal pecahan ditulis sebagai p/q. Mengikut sifat punca hasil bagi, kesamaan berikut adalah benar. Dari persamaan ini ia mengikuti peraturan untuk mengekstrak punca pecahan: Punca pecahan adalah sama dengan hasil bagi punca pembilang dibahagikan dengan punca penyebut.
Mari kita lihat contoh mengekstrak akar daripada pecahan.
Contoh.
Apakah punca kuasa dua bagi pecahan sepunya 25/169?
Penyelesaian.
Dengan menggunakan jadual kuasa dua, kita dapati bahawa punca kuasa dua pengangka bagi pecahan asal adalah sama dengan 5, dan punca kuasa dua penyebut adalah sama dengan 13. Kemudian 
. Ini melengkapkan pengekstrakan punca pecahan sepunya 25/169.
Jawapan:
Punca pecahan perpuluhan atau nombor bercampur diekstrak selepas menggantikan nombor radikal dengan pecahan biasa.
Contoh.
Ambil punca kubus bagi pecahan perpuluhan 474.552.
Penyelesaian.
Mari kita bayangkan pecahan perpuluhan asal sebagai pecahan biasa: 474.552=474552/1000. Kemudian 
. Ia kekal untuk mengekstrak akar kubus yang terdapat dalam pengangka dan penyebut pecahan yang terhasil. Kerana 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 dan 1 000 = 10 3, maka 
Dan 
. Yang tinggal hanyalah untuk melengkapkan pengiraan 
.
Jawapan:
.
Mengambil punca nombor negatif
Adalah berfaedah untuk memikirkan mengekstrak akar dari nombor negatif. Apabila mengkaji punca, kami berkata bahawa apabila eksponen punca ialah nombor ganjil, maka boleh ada nombor negatif di bawah tanda akar. Kami memberikan entri ini makna berikut: untuk nombor negatif −a dan eksponen ganjil bagi punca 2 n−1, 
. Persamaan ini memberi peraturan untuk mengekstrak punca ganjil daripada nombor negatif: untuk mengekstrak punca nombor negatif, anda perlu mengambil punca nombor positif yang bertentangan, dan meletakkan tanda tolak di hadapan keputusan.
Mari lihat contoh penyelesaian.
Contoh.
Cari nilai punca.
Penyelesaian.
Mari kita ubah ungkapan asal supaya terdapat nombor positif di bawah tanda akar: 
. Sekarang gantikan nombor bercampur dengan pecahan biasa: 
. Kami menggunakan peraturan untuk mengekstrak punca pecahan biasa: 
. Ia kekal untuk mengira akar dalam pengangka dan penyebut pecahan yang terhasil: 
.
Berikut adalah ringkasan ringkas penyelesaiannya: 
.
Jawapan:
.
Penentuan bitwise bagi nilai akar
Dalam kes umum, di bawah punca terdapat nombor yang, menggunakan teknik yang dibincangkan di atas, tidak boleh diwakili sebagai kuasa ke-n bagi sebarang nombor. Tetapi dalam kes ini terdapat keperluan untuk mengetahui makna akar yang diberikan, sekurang-kurangnya sehingga tanda tertentu. Dalam kes ini, untuk mengekstrak akar, anda boleh menggunakan algoritma yang membolehkan anda secara berurutan memperoleh bilangan nilai digit yang mencukupi bagi nombor yang dikehendaki.
Langkah pertama algoritma ini adalah untuk mengetahui bit yang paling penting bagi nilai akar. Untuk melakukan ini, nombor 0, 10, 100, ... dinaikkan secara berurutan kepada kuasa n sehingga saat nombor melebihi nombor radikal diperolehi. Kemudian nombor yang kita naikkan kepada kuasa n pada peringkat sebelumnya akan menunjukkan digit paling ketara yang sepadan.
Sebagai contoh, pertimbangkan langkah algoritma ini apabila mengekstrak punca kuasa dua bagi lima. Ambil nombor 0, 10, 100, ... dan kuasa duakannya sehingga kita mendapat nombor yang lebih besar daripada 5. Kami mempunyai 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, yang bermaksud digit yang paling ketara ialah digit satu. Nilai bit ini, serta yang lebih rendah, akan ditemui dalam langkah seterusnya algoritma pengekstrakan akar.
Semua langkah algoritma seterusnya bertujuan untuk menjelaskan nilai akar secara berurutan dengan mencari nilai bit seterusnya nilai akar yang dikehendaki, bermula dengan yang tertinggi dan bergerak ke yang paling rendah. Sebagai contoh, nilai punca pada langkah pertama ternyata menjadi 2, pada kedua – 2.2, pada ketiga – 2.23, dan seterusnya 2.236067977…. Mari kita terangkan bagaimana nilai digit ditemui.
Digit ditemui dengan mencari melalui nilai yang mungkin 0, 1, 2, ..., 9. Dalam kes ini, kuasa ke-n bagi nombor yang sepadan dikira secara selari, dan ia dibandingkan dengan nombor radikal. Jika pada peringkat tertentu nilai darjah melebihi nombor radikal, maka nilai digit yang sepadan dengan nilai sebelumnya dianggap dijumpai, dan peralihan ke langkah seterusnya algoritma pengekstrakan akar dibuat jika ini tidak berlaku, maka nilai digit ini ialah 9.
Mari kita terangkan perkara ini menggunakan contoh yang sama untuk mengekstrak punca kuasa dua bagi lima.
Mula-mula kita mencari nilai digit unit. Kami akan melalui nilai 0, 1, 2, ..., 9, masing-masing mengira 0 2, 1 2, ..., 9 2, sehingga kita mendapat nilai yang lebih besar daripada nombor radikal 5. Adalah mudah untuk membentangkan semua pengiraan ini dalam bentuk jadual: 
Jadi nilai digit unit ialah 2 (sejak 2 2<5
, а 2 3 >5). Mari kita teruskan untuk mencari nilai tempat persepuluh. Dalam kes ini, kita akan kuasa dua nombor 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, membandingkan nilai yang terhasil dengan nombor radikal 5: 
Sejak 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, maka nilai tempat persepuluh ialah 2. Anda boleh meneruskan untuk mencari nilai tempat perseratus: 
Ini adalah bagaimana nilai seterusnya punca lima ditemui, ia bersamaan dengan 2.23. Dan supaya anda boleh terus mencari nilai: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Untuk menyatukan bahan, kami akan menganalisis pengekstrakan akar dengan ketepatan perseratus menggunakan algoritma yang dipertimbangkan.
Mula-mula kita tentukan digit yang paling ketara. Untuk melakukan ini, kita kiub nombor 0, 10, 100, dsb. sehingga kita mendapat nombor yang lebih besar daripada 2,151,186. Kami mempunyai 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , jadi digit paling bererti ialah digit puluhan.
Mari tentukan nilainya. 
Sejak 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, maka nilai tempat puluh ialah 1. Mari kita beralih kepada unit. 
Oleh itu, nilai digit satu ialah 2. Mari kita beralih kepada persepuluh. 
Oleh kerana 12.9 3 adalah kurang daripada nombor radikal 2 151.186, maka nilai tempat persepuluh ialah 9. Ia kekal untuk melaksanakan langkah terakhir algoritma; ia akan memberi kita nilai akar dengan ketepatan yang diperlukan. 
Pada peringkat ini, nilai punca didapati tepat hingga perseratus: 
.
Sebagai kesimpulan artikel ini, saya ingin mengatakan bahawa terdapat banyak cara lain untuk mengekstrak akar. Tetapi untuk kebanyakan tugasan, tugasan yang kami pelajari di atas sudah memadai.
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 8. institusi pendidikan.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).
Menukar ungkapan dengan akar dan kuasa selalunya memerlukan berulang-alik antara akar dan kuasa. Dalam artikel ini kita akan melihat bagaimana peralihan sedemikian dibuat, apa yang mendasarinya, dan pada titik apakah ralat yang paling kerap berlaku. Kami akan menyediakan semua ini dengan contoh biasa dengan analisis terperinci penyelesaian.
Navigasi halaman.
Peralihan daripada kuasa dengan eksponen pecahan kepada akar
Kemungkinan berpindah dari darjah dengan eksponen pecahan ke punca ditentukan oleh takrifan darjah itu. Mari kita ingat bagaimana ia ditentukan: kuasa nombor positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli, dipanggil punca ke-n bagi a m, iaitu, di mana a>0 , m∈Z, n∈ N. Kuasa pecahan sifar ditakrifkan sama 
, dengan satu-satunya perbezaan bahawa dalam kes ini m tidak lagi dianggap sebagai integer, tetapi semula jadi, supaya pembahagian dengan sifar tidak berlaku.
Oleh itu, darjah sentiasa boleh digantikan dengan akar. Sebagai contoh, anda boleh pergi dari ke, dan darjah boleh digantikan dengan akar. Tetapi anda tidak sepatutnya beralih dari ungkapan ke akar, kerana darjah pada mulanya tidak masuk akal (tahap nombor negatif tidak ditakrifkan), walaupun pada hakikatnya akar mempunyai makna.
Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit dalam peralihan daripada kuasa nombor kepada akar. Peralihan kepada punca kuasa dengan eksponen pecahan, yang asasnya adalah ungkapan arbitrari, dilakukan dengan cara yang sama. Ambil perhatian bahawa peralihan yang ditentukan dijalankan pada ODZ pembolehubah untuk ungkapan asal. Contohnya, ungkapan 
pada keseluruhan ODZ pembolehubah x untuk ungkapan ini boleh digantikan dengan punca 
. Dan dari ijazah 
pergi ke akar 
, penggantian sedemikian berlaku untuk mana-mana set pembolehubah x, y dan z daripada ODZ untuk ungkapan asal.
Menggantikan akar dengan kuasa
Penggantian terbalik juga mungkin, iaitu, menggantikan akar dengan kuasa dengan eksponen pecahan. Ia juga berdasarkan kesamaan, yang dalam kes ini digunakan dari kanan ke kiri, iaitu, dalam bentuk.
Untuk positif, peralihan yang ditunjukkan adalah jelas. Sebagai contoh, anda boleh menggantikan darjah dengan , dan pergi dari akar ke darjah dengan eksponen pecahan bentuk .
Dan untuk negatif a kesamaan tidak masuk akal, tetapi akarnya masih boleh masuk akal. Sebagai contoh, akar masuk akal, tetapi ia tidak boleh digantikan oleh kuasa. Jadi adakah mungkin untuk menukarnya menjadi ungkapan dengan kuasa? Ia adalah mungkin jika anda melakukan transformasi awal, yang terdiri daripada pergi ke akar dengan nombor bukan negatif di bawahnya, yang kemudiannya digantikan dengan kuasa dengan eksponen pecahan. Mari kita tunjukkan apakah transformasi awal ini dan cara melaksanakannya.
Dalam kes akar, anda boleh melakukan transformasi berikut: 
. Dan kerana 4 ialah nombor positif, punca terakhir boleh digantikan dengan kuasa. Dan dalam kes kedua menentukan punca ganjil bagi nombor negatif−a (di mana a adalah positif), dinyatakan oleh kesamaan 
, membolehkan anda menggantikan punca dengan ungkapan di mana punca kubus dua sudah boleh digantikan dengan darjah, dan ia akan mengambil bentuk .
Ia masih perlu memikirkan bagaimana akar di mana ungkapan itu berada digantikan oleh kuasa yang mengandungi ungkapan ini dalam pangkalan. Tidak perlu tergesa-gesa untuk menggantikannya dengan , kami menggunakan huruf A untuk menandakan ungkapan tertentu. Mari kita berikan contoh untuk menjelaskan apa yang kita maksudkan dengan ini. Saya hanya mahu menggantikan akar dengan ijazah, berdasarkan kesamaan. Tetapi penggantian sedemikian sesuai hanya di bawah keadaan x−3≥0, dan untuk nilai lain pembolehubah x dari ODZ (memuaskan keadaan x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Kerana penggunaan formula yang tidak tepat ini, ralat sering berlaku apabila berpindah dari akar kepada kuasa. Sebagai contoh, dalam buku teks tugasan diberikan untuk membentangkan ungkapan dalam bentuk kuasa dengan eksponen rasional, dan jawapannya diberikan, yang menimbulkan persoalan, kerana syarat tidak menyatakan kekangan b>0. Dan dalam buku teks terdapat peralihan dari ungkapan 
, kemungkinan besar melalui transformasi berikut bagi ungkapan tidak rasional 
kepada ungkapan. Peralihan terkini juga menimbulkan persoalan, kerana ia mengecilkan DZ.
Soalan logik timbul: "Bagaimanakah seseorang boleh bergerak dengan betul dari akar ke kuasa untuk semua nilai pembolehubah dari ODZ?" Penggantian ini dilakukan berdasarkan pernyataan berikut:
Sebelum mewajarkan keputusan yang direkodkan, kami memberikan beberapa contoh penggunaannya untuk peralihan daripada akar kepada kuasa. Mula-mula, mari kita kembali kepada ungkapan. Ia perlu diganti bukan dengan , tetapi oleh (dalam kes ini m=2 ialah integer genap, n=3 ialah integer semula jadi). Contoh yang lain: 
.
Sekarang justifikasi yang dijanjikan keputusan.
Apabila m ialah integer ganjil, dan n ialah integer semula jadi, maka bagi mana-mana set pembolehubah dari ODZ untuk ungkapan, nilai ungkapan A adalah positif (jika m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Sebab tu, .
Mari kita beralih kepada keputusan kedua. Biarkan m ialah integer ganjil positif dan n nombor asli ganjil. Untuk semua nilai pembolehubah daripada ODZ yang mana nilai ungkapan A adalah bukan negatif, 
, dan yang mana ia adalah negatif, 
Keputusan berikut dibuktikan sama untuk integer negatif dan ganjil m dan integer asli ganjil n. Untuk semua nilai pembolehubah dari ODZ yang mana nilai ungkapan A adalah positif, , dan yang mana ia adalah negatif,
Akhirnya, keputusan terakhir. Biarkan m ialah integer genap, n ialah sebarang nombor asli. Untuk semua nilai pembolehubah dari ODZ yang mana nilai ungkapan A adalah positif (jika m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . Dan yang mana ia adalah negatif, . Oleh itu, jika m ialah integer genap, n ialah sebarang nombor asli, maka untuk sebarang set nilai pembolehubah daripada ODZ untuk ungkapan ia boleh digantikan dengan .
Bibliografi.
- Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.
- Algebra dan permulaan analisis matematik. darjah 11: pendidikan. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; diedit oleh A. B. Zhizhchenko. – M.: Pendidikan, 2009.- 336 ms.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Excel menggunakan fungsi terbina dalam dan pengendali matematik untuk mengekstrak punca dan menaikkan nombor kepada kuasa. Mari lihat contoh.
Contoh fungsi SQRT dalam Excel
Fungsi SQRT terbina dalam mengembalikan nilai punca kuasa dua positif. Dalam menu Fungsi, ia berada di bawah kategori Matematik.
Sintaks fungsi: =ROOT(nombor).
Satu-satunya hujah yang diperlukan ialah nombor positif yang mana fungsi mengira punca kuasa dua. Jika hujahnya negatif, Excel akan mengembalikan ralat #NUM!
Anda boleh menentukan nilai tertentu atau rujukan kepada sel dengan nilai angka sebagai hujah.
Mari lihat contoh.
Fungsi mengembalikan punca kuasa dua nombor 36. Hujah ialah nilai tertentu.
Fungsi ABS mengembalikan nilai mutlak -36. Penggunaannya membolehkan kami mengelakkan ralat semasa mengekstrak punca kuasa dua nombor negatif.
Fungsi itu mengambil punca kuasa dua hasil tambah 13 dan nilai sel C1.
Fungsi eksponen dalam Excel
Sintaks fungsi: =POWER(nilai, nombor). Kedua-dua hujah diperlukan.
Nilai ialah sebarang nilai angka sebenar. Nombor ialah penunjuk kuasa yang mana nilai tertentu mesti dinaikkan.
Mari lihat contoh.
Dalam sel C2 - hasil kuasa dua nombor 10.
Fungsi mengembalikan nombor 100 yang dinaikkan kepada ¾.
Eksponentasi menggunakan operator
Untuk menaikkan nombor kepada kuasa dalam Excel, anda boleh menggunakan pengendali matematik "^". Untuk memasukkannya, tekan Shift + 6 (dengan susun atur papan kekunci bahasa Inggeris).
Untuk membolehkan Excel mengendalikan maklumat yang dimasukkan sebagai formula, tanda “=” diletakkan terlebih dahulu. Seterusnya ialah nombor yang perlu dinaikkan kepada kuasa. Dan selepas tanda “^” ialah nilai darjah.
Daripada sebarang nilai formula matematik ini, anda boleh menggunakan rujukan kepada sel dengan nombor.
Ini mudah jika anda perlu membina berbilang nilai.
Dengan menyalin formula ke seluruh lajur, kami dengan cepat mendapat keputusan menaikkan nombor dalam lajur A kepada kuasa ketiga.
Mengeluarkan akar ke-n
ROOT ialah fungsi punca kuasa dua dalam Excel. Bagaimana untuk mengekstrak akar darjah ke-3, ke-4 dan lain-lain?
Mari kita ingat salah satu undang-undang matematik: untuk mengekstrak punca ke-n, anda perlu menaikkan nombor kepada kuasa 1/n.
Sebagai contoh, untuk mengekstrak punca kubus, kami menaikkan nombor kepada kuasa 1/3.
Mari gunakan formula untuk mengekstrak akar darjah yang berbeza dalam Excel.
Formula mengembalikan nilai punca kubus nombor 21. Untuk menaikkan kepada kuasa pecahan, operator “^” telah digunakan.
Tahniah: hari ini kita akan melihat akar - salah satu topik yang paling menarik dalam gred 8 :).
Ramai orang keliru tentang akar, bukan kerana ia kompleks (apa yang rumit mengenainya - beberapa definisi dan beberapa sifat lagi), tetapi kerana dalam kebanyakan buku teks sekolah, akar ditakrifkan melalui hutan sedemikian sehingga hanya pengarang buku teks. sendiri dapat memahami tulisan ini. Dan itupun hanya dengan sebotol wiski yang baik :)
Oleh itu, sekarang saya akan memberikan definisi akar yang paling betul dan paling cekap - satu-satunya yang perlu anda ingat. Dan kemudian saya akan menerangkan: mengapa semua ini diperlukan dan bagaimana untuk menerapkannya dalam amalan.
Tetapi pertama sekali, ingat satu perkara penting yang banyak penyusun buku teks "terlupa" atas sebab tertentu:
Akar boleh menjadi darjah genap ($\sqrt(a)$ kegemaran kami, serta semua jenis $\sqrt(a)$ dan malah $\sqrt(a)$) dan darjah ganjil (semua jenis $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, dsb.). Dan takrifan punca darjah ganjil agak berbeza daripada satu genap.
Mungkin 95% daripada semua kesilapan dan salah faham yang berkaitan dengan akar disembunyikan dalam "agak berbeza" ini. Jadi mari kita jelaskan terminologi sekali dan untuk semua:
Definisi. Malah akar n daripada nombor $a$ ialah sebarang bukan negatif nombor $b$ ialah $((b)^(n))=a$. Dan punca ganjil bagi nombor yang sama $a$ secara amnya ialah sebarang nombor $b$ yang mempunyai kesamaan yang sama: $((b)^(n))=a$.
Walau apa pun, akarnya dilambangkan seperti ini:
\(a)\]
Nombor $n$ dalam tatatanda sedemikian dipanggil eksponen akar, dan nombor $a$ dipanggil ungkapan radikal. Khususnya, untuk $n=2$ kami mendapat punca kuasa dua "kegemaran" kami (dengan cara ini, ini adalah punca darjah genap), dan untuk $n=3$ kami mendapat punca padu (darjah ganjil), iaitu juga sering dijumpai dalam masalah dan persamaan.
Contoh. Contoh klasik punca kuasa dua:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
By the way, $\sqrt(0)=0$, dan $\sqrt(1)=1$. Ini agak logik, kerana $((0)^(2))=0$ dan $((1)^(2))=1$.
Akar kubus juga biasa - tidak perlu takut kepadanya:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Nah, beberapa "contoh eksotik":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Jika anda tidak faham apa perbezaan antara darjah genap dan ganjil, baca semula definisi itu sekali lagi. Ianya sangat penting!
Sementara itu, kami akan mempertimbangkan satu ciri akar yang tidak menyenangkan, kerana itu kami perlu memperkenalkan definisi berasingan untuk eksponen genap dan ganjil.
Mengapa kita memerlukan akar sama sekali?
Selepas membaca definisi, ramai pelajar akan bertanya: "Apakah ahli matematik yang merokok apabila mereka membuat ini?" Dan sebenarnya: mengapa semua akar ini diperlukan sama sekali?
Untuk menjawab soalan ini, mari kita kembali ke sekolah rendah sebentar. Ingat: pada masa yang jauh itu, apabila pokok lebih hijau dan ladu lebih enak, kebimbangan utama kami adalah untuk mendarab nombor dengan betul. Baiklah, sesuatu seperti "lima dengan lima - dua puluh lima", itu sahaja. Tetapi anda boleh mendarab nombor bukan secara berpasangan, tetapi dalam kembar tiga, empat kali ganda, dan secara umum dalam set keseluruhan:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Walau bagaimanapun, ini bukan perkara utama. Caranya berbeza: ahli matematik adalah orang yang malas, jadi mereka sukar menulis pendaraban sepuluh lima seperti ini:
Itulah sebabnya mereka datang dengan ijazah. Mengapa tidak menulis bilangan faktor sebagai superskrip dan bukannya rentetan panjang? Sesuatu seperti ini:
Ia sangat mudah! Semua pengiraan dikurangkan dengan ketara, dan anda tidak perlu membazirkan sekumpulan helaian kertas dan buku nota untuk menulis kira-kira 5,183. Rekod ini dipanggil kuasa nombor; sekumpulan harta didapati di dalamnya, tetapi kebahagiaan itu ternyata tidak lama.
Selepas pesta minum yang megah, yang dianjurkan hanya untuk "penemuan" ijazah, beberapa ahli matematik yang degil tiba-tiba bertanya: "Bagaimana jika kita tahu tahap nombor, tetapi nombor itu sendiri tidak diketahui?" Sekarang, sesungguhnya, jika kita tahu bahawa nombor $b$ tertentu, katakan, kepada kuasa ke-5 memberikan 243, maka bagaimanakah kita boleh meneka dengan nombor $b$ itu sendiri?
Masalah ini ternyata lebih global daripada yang mungkin kelihatan pada pandangan pertama. Kerana ternyata untuk kebanyakan kuasa "siap sedia" tidak ada nombor "awal" sedemikian. Nilailah sendiri:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Anak panah kanan b=4\cdot 4\cdot 4\Anak panah kanan b=4. \\ \end(align)\]
Bagaimana jika $((b)^(3))=$50? Ternyata kita perlu mencari nombor tertentu yang, apabila didarab dengan sendirinya tiga kali, akan memberi kita 50. Tetapi apakah nombor ini? Ia jelas lebih besar daripada 3, kerana 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Iaitu nombor ini terletak di antara tiga dan empat, tetapi anda tidak akan memahami apa yang sama dengannya.
Inilah sebabnya mengapa ahli matematik menghasilkan akar $n$th. Inilah sebabnya mengapa simbol radikal $\sqrt(*)$ diperkenalkan. Untuk menetapkan nombor paling $b$, yang pada darjah yang ditunjukkan akan memberi kita nilai yang diketahui sebelum ini
\[\sqrt[n](a)=b\Anak panah kanan ((b)^(n))=a\]
Saya tidak berhujah: selalunya akar ini mudah dikira - kami melihat beberapa contoh seperti di atas. Namun, dalam kebanyakan kes, jika anda memikirkan nombor sewenang-wenangnya dan kemudian cuba mengekstrak punca darjah sewenang-wenang daripadanya, anda akan menghadapi masalah yang teruk.
Apa yang ada! Malah $\sqrt(2)$ yang paling mudah dan paling biasa tidak boleh diwakili dalam bentuk biasa kami - sebagai integer atau pecahan. Dan jika anda memasukkan nombor ini ke dalam kalkulator, anda akan melihat ini:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Seperti yang anda lihat, selepas titik perpuluhan terdapat urutan nombor yang tidak berkesudahan yang tidak mematuhi sebarang logik. Anda boleh, sudah tentu, membundarkan nombor ini untuk membandingkan dengan cepat dengan nombor lain. Sebagai contoh:
\[\sqrt(2)=1.4142...\lebih kurang 1.4 \lt 1.5\]
Atau ini contoh lain:
\[\sqrt(3)=1.73205...\lebih kurang 1.7 \gt 1.5\]
Tetapi semua pembundaran ini, pertama sekali, agak kasar; dan kedua, anda juga perlu dapat bekerja dengan nilai anggaran, jika tidak, anda boleh menangkap sekumpulan ralat yang tidak jelas (dengan cara ini, kemahiran perbandingan dan pembundaran diperlukan untuk diuji pada profil Peperiksaan Negeri Bersepadu).
Oleh itu, dalam matematik yang serius anda tidak boleh melakukannya tanpa akar - mereka adalah wakil yang sama bagi set semua nombor nyata $\mathbb(R)$, sama seperti pecahan dan integer yang telah lama kita kenali.
Ketidakupayaan untuk mewakili punca sebagai pecahan daripada bentuk $\frac(p)(q)$ bermakna punca ini bukan nombor rasional. Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional, dan ia tidak boleh diwakili dengan tepat kecuali dengan bantuan binaan radikal atau lain-lain yang direka khas untuk ini (logaritma, kuasa, had, dll.). Tetapi lebih banyak tentang itu lain kali.
Mari kita lihat beberapa contoh di mana, selepas semua pengiraan, nombor tidak rasional masih kekal dalam jawapan.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1.2599... \\ \end(align)\]
Sememangnya, dari rupa akar hampir mustahil untuk meneka nombor apa yang akan datang selepas titik perpuluhan. Walau bagaimanapun, anda boleh bergantung pada kalkulator, tetapi kalkulator tarikh yang paling maju hanya memberikan kita beberapa digit pertama nombor tidak rasional. Oleh itu, adalah lebih tepat untuk menulis jawapan dalam bentuk $\sqrt(5)$ dan $\sqrt(-2)$.
Inilah sebabnya mengapa mereka dicipta. Untuk merekodkan jawapan dengan mudah.
Mengapakah dua definisi diperlukan?
Pembaca yang penuh perhatian mungkin telah menyedari bahawa semua punca kuasa dua yang diberikan dalam contoh diambil daripada nombor positif. Nah, sekurang-kurangnya dari awal. Tetapi akar kubus boleh diekstrak dengan tenang dari mana-mana nombor - sama ada positif atau negatif.
Kenapa ini terjadi? Lihat graf fungsi $y=((x)^(2))$:
Graf fungsi kuadratik memberikan dua punca: positif dan negatif Mari cuba kira $\sqrt(4)$ menggunakan graf ini. Untuk melakukan ini, garis mendatar $y=4$ dilukis pada graf (ditandakan dengan warna merah), yang bersilang dengan parabola pada dua titik: $((x)_(1))=2$ dan $((x) )_(2)) =-2$. Ini agak logik, kerana
Semuanya jelas dengan nombor pertama - ia adalah positif, jadi ia adalah akarnya:
Tetapi kemudian apa yang perlu dilakukan dengan mata kedua? Seperti empat mempunyai dua akar sekaligus? Lagipun, jika kita kuasai nombor −2, kita juga mendapat 4. Mengapa tidak tulis $\sqrt(4)=-2$ kemudian? Dan kenapa cikgu tengok post macam nak makan awak :)
Masalahnya ialah jika anda tidak mengenakan sebarang syarat tambahan, maka quad akan mempunyai dua punca kuasa dua - positif dan negatif. Dan mana-mana nombor positif juga akan mempunyai dua daripadanya. Tetapi nombor negatif tidak akan mempunyai punca sama sekali - ini boleh dilihat dari graf yang sama, kerana parabola tidak pernah jatuh di bawah paksi y, iaitu tidak menerima nilai negatif.
Masalah yang sama berlaku untuk semua punca dengan eksponen genap:
- Tegasnya, setiap nombor positif akan mempunyai dua punca dengan eksponen genap $n$;
- Daripada nombor negatif, punca dengan genap $n$ tidak diekstrak sama sekali.
Itulah sebabnya dalam takrifan punca darjah genap $n$ secara khusus ditetapkan bahawa jawapan mestilah nombor bukan negatif. Inilah cara kita menghilangkan kekaburan.
Tetapi untuk $n$ ganjil tidak ada masalah sedemikian. Untuk melihat ini, mari kita lihat graf fungsi $y=((x)^(3))$:
Parabola kubus boleh mengambil sebarang nilai, jadi punca kubus boleh diambil daripada sebarang nombor Dua kesimpulan boleh dibuat daripada graf ini:
- Cabang-cabang parabola padu, tidak seperti yang biasa, pergi ke infiniti dalam kedua-dua arah - kedua-dua ke atas dan ke bawah. Oleh itu, tidak kira berapa ketinggian kita lukis garisan mendatar, garisan ini pasti akan bersilang dengan graf kita. Akibatnya, punca kubus sentiasa boleh diekstrak daripada sebarang nombor;
- Di samping itu, persimpangan sedemikian akan sentiasa unik, jadi anda tidak perlu memikirkan nombor mana yang dianggap sebagai akar "betul" dan yang mana satu untuk diabaikan. Itulah sebabnya menentukan punca untuk ijazah ganjil adalah lebih mudah daripada untuk ijazah genap (tidak ada keperluan untuk bukan negatif).
Sayang sekali perkara mudah ini tidak dijelaskan dalam kebanyakan buku teks. Sebaliknya, otak kita mula melonjak dengan pelbagai jenis akar aritmetik dan sifatnya.
Ya, saya tidak berhujah: anda juga perlu tahu apa itu akar aritmetik. Dan saya akan membincangkan perkara ini secara terperinci dalam pelajaran yang berasingan. Hari ini kita juga akan membincangkannya, kerana tanpa itu semua pemikiran tentang punca kepelbagaian $n$-th akan menjadi tidak lengkap.
Tetapi pertama-tama anda perlu memahami dengan jelas definisi yang saya berikan di atas. Jika tidak, kerana banyaknya istilah, kekacauan seperti itu akan bermula di kepala anda yang pada akhirnya anda tidak akan memahami apa-apa sama sekali.
Apa yang anda perlu lakukan ialah memahami perbezaan antara penunjuk genap dan ganjil. Oleh itu, mari kita kumpulkan sekali lagi semua yang anda perlu tahu tentang akar:
- Punca darjah genap hanya wujud daripada nombor bukan negatif dan itu sendiri sentiasa nombor bukan negatif. Untuk nombor negatif akar sedemikian tidak ditentukan.
- Tetapi punca darjah ganjil wujud daripada sebarang nombor dan dengan sendirinya boleh menjadi sebarang nombor: untuk nombor positif ia adalah positif, dan untuk nombor negatif, seperti yang ditunjukkan oleh topi, ia adalah negatif.
Adakah ia sukar? Tidak, ia tidak sukar. Ia jelas? Ya, ia benar-benar jelas! Jadi sekarang kita akan berlatih sedikit dengan pengiraan.
Sifat asas dan batasan
Akar mempunyai banyak sifat dan batasan pelik - ini akan dibincangkan dalam pelajaran yang berasingan. Oleh itu, sekarang kita akan mempertimbangkan hanya "helah" yang paling penting, yang hanya terpakai untuk akar dengan indeks genap. Mari kita tulis sifat ini sebagai formula:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
Dalam erti kata lain, jika kita menaikkan nombor kepada kuasa genap dan kemudian mengekstrak punca kuasa yang sama, kita tidak akan mendapat nombor asal, tetapi modulusnya. Ini adalah teorem mudah yang boleh dibuktikan dengan mudah (cukup untuk mempertimbangkan $x$ bukan negatif secara berasingan, dan kemudian negatif secara berasingan). Guru sentiasa bercakap mengenainya, ia diberikan dalam setiap buku teks sekolah. Tetapi sebaik sahaja menyelesaikan persamaan tidak rasional (iaitu persamaan yang mengandungi tanda radikal), pelajar sebulat suara melupakan formula ini.
Untuk memahami isu ini secara terperinci, mari lupakan semua formula seminit dan cuba kira dua nombor terus ke hadapan:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\kiri(-3 \kanan))^(4)))=?\]
Ini adalah contoh yang sangat mudah. Kebanyakan orang akan menyelesaikan contoh pertama, tetapi ramai orang terperangkap pada contoh kedua. Untuk menyelesaikan sebarang omong kosong tanpa masalah, sentiasa pertimbangkan prosedur:
- Pertama, nombor dinaikkan kepada kuasa keempat. Nah, ia agak mudah. Anda akan mendapat nombor baharu yang boleh didapati walaupun dalam jadual pendaraban;
- Dan sekarang dari nombor baru ini adalah perlu untuk mengekstrak akar keempat. Itu. tiada "pengurangan" akar dan kuasa berlaku - ini adalah tindakan berurutan.
Mari kita lihat ungkapan pertama: $\sqrt(((3)^(4)))$. Jelas sekali, anda perlu mengira ungkapan di bawah akar:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Kemudian kami mengekstrak punca keempat nombor 81:
Sekarang mari kita lakukan perkara yang sama dengan ungkapan kedua. Pertama, kita tingkatkan nombor −3 kepada kuasa keempat, yang memerlukan pendaraban dengan sendirinya 4 kali:
\[((\kiri(-3 \kanan))^(4))=\kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \ kiri(-3 \kanan)=81\]
Kami mendapat nombor positif, kerana jumlah bilangan tolak dalam produk ialah 4, dan mereka semua akan membatalkan satu sama lain (lagipun, tolak untuk tolak memberikan tambah). Kemudian kami mengekstrak akar semula:
Pada dasarnya, baris ini tidak mungkin ditulis, kerana jawapannya adalah sama. Itu. akar genap kuasa genap yang sama "membakar" tolak, dan dalam pengertian ini hasilnya tidak dapat dibezakan daripada modul biasa:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \kanan|=3; \\ & \sqrt(((\kiri(-3 \kanan))^(4)))=\kiri| -3 \kanan|=3. \\ \end(align)\]
Pengiraan ini sesuai dengan takrifan punca darjah genap: hasilnya sentiasa bukan negatif, dan tanda radikal juga sentiasa mengandungi nombor bukan negatif. Jika tidak, akarnya tidak ditentukan.
Nota mengenai prosedur
- Notasi $\sqrt(((a)^(2)))$ bermakna kita mengduakan nombor $a$ dahulu dan kemudian mengambil punca kuasa dua nilai yang terhasil. Oleh itu, kita boleh memastikan bahawa sentiasa terdapat nombor bukan negatif di bawah tanda akar, kerana $((a)^(2))\ge 0$ dalam apa jua keadaan;
- Tetapi tatatanda $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, sebaliknya, bermakna kita mula-mula mengambil punca nombor tertentu $a$ dan barulah hasilnya kuasa dua. Oleh itu, nombor $a$ tidak boleh menjadi negatif - ini adalah keperluan wajib yang disertakan dalam definisi.
Oleh itu, dalam keadaan apa pun, seseorang tidak boleh mengurangkan akar dan darjat tanpa berfikir, dengan itu dikatakan "memudahkan" ungkapan asal. Kerana jika punca mempunyai nombor negatif dan eksponennya adalah genap, kita mendapat banyak masalah.
Walau bagaimanapun, semua masalah ini hanya relevan untuk penunjuk genap.
Mengeluarkan tanda tolak dari bawah tanda akar
Sememangnya, akar dengan eksponen ganjil juga mempunyai ciri mereka sendiri, yang pada dasarnya tidak wujud dengan yang genap. Iaitu:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Ringkasnya, anda boleh mengeluarkan tolak dari bawah tanda akar darjah ganjil. Ini adalah harta yang sangat berguna yang membolehkan anda "membuang" semua keburukan:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Sifat mudah ini sangat memudahkan banyak pengiraan. Sekarang anda tidak perlu risau: bagaimana jika ungkapan negatif disembunyikan di bawah akar, tetapi darjah pada akar ternyata sama? Cukup untuk "membuang" semua tolak di luar akar, selepas itu mereka boleh didarabkan antara satu sama lain, dibahagikan, dan secara amnya melakukan banyak perkara yang mencurigakan, yang dalam kes akar "klasik" dijamin membawa kita ke kesilapan.
Dan di sini definisi lain datang ke tempat kejadian - yang sama dengan yang di kebanyakan sekolah mereka memulakan kajian ungkapan tidak rasional. Dan tanpanya penaakulan kita akan menjadi tidak lengkap. jumpa!
Akar aritmetik
Mari kita andaikan seketika bahawa di bawah tanda akar hanya boleh terdapat nombor positif atau, dalam kes yang melampau, sifar. Mari kita lupakan penunjuk genap/ganjil, lupakan semua definisi yang diberikan di atas - kita akan bekerja hanya dengan nombor bukan negatif. Selepas itu, apa?
Dan kemudian kita akan mendapat punca aritmetik - ia sebahagiannya bertindih dengan takrifan "standard" kami, tetapi masih berbeza daripadanya.
Definisi. Punca aritmetik bagi darjah $n$th bagi nombor bukan negatif $a$ ialah nombor bukan negatif $b$ sehingga $((b)^(n))=a$.
Seperti yang kita lihat, kita tidak lagi berminat dengan pariti. Sebaliknya, sekatan baharu muncul: ungkapan radikal kini sentiasa bukan negatif, dan akar itu sendiri juga bukan negatif.
Untuk lebih memahami bagaimana punca aritmetik berbeza daripada yang biasa, lihat pada graf bagi segi empat sama dan parabola padu yang sudah kita kenali:
Kawasan carian akar aritmetik - nombor bukan negatif Seperti yang anda lihat, mulai sekarang kami hanya berminat dengan kepingan graf yang terletak pada suku koordinat pertama - dengan koordinat $x$ dan $y$ adalah positif (atau sekurang-kurangnya sifar). Anda tidak perlu lagi melihat penunjuk untuk memahami sama ada kita mempunyai hak untuk meletakkan nombor negatif di bawah akar atau tidak. Kerana nombor negatif tidak lagi dipertimbangkan secara prinsip.
Anda mungkin bertanya: "Nah, mengapa kita memerlukan definisi yang disterilkan?" Atau: "Mengapa kita tidak dapat bertahan dengan definisi standard yang diberikan di atas?"
Baiklah, saya akan memberikan hanya satu harta kerana definisi baharu itu menjadi sesuai. Sebagai contoh, peraturan untuk eksponen:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Sila ambil perhatian: kita boleh menaikkan ungkapan radikal kepada mana-mana kuasa dan pada masa yang sama mendarabkan eksponen akar dengan kuasa yang sama - dan hasilnya akan menjadi nombor yang sama! Berikut adalah contoh:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Jadi apa masalahnya? Mengapa kita tidak boleh melakukan ini sebelum ini? Inilah sebabnya. Mari kita pertimbangkan ungkapan mudah: $\sqrt(-2)$ - nombor ini agak normal dalam pemahaman klasik kita, tetapi sama sekali tidak boleh diterima dari sudut pandangan punca aritmetik. Mari cuba tukarkannya:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Seperti yang anda lihat, dalam kes pertama kami mengeluarkan tolak dari bawah radikal (kami mempunyai hak, kerana eksponennya ganjil), dan dalam kes kedua kami menggunakan formula di atas. Itu. Dari sudut matematik, semuanya dilakukan mengikut peraturan.
WTF?! Bagaimanakah nombor yang sama boleh menjadi positif dan negatif? tak boleh. Cuma formula untuk eksponen, yang berfungsi dengan baik untuk nombor positif dan sifar, mula menghasilkan bidaah lengkap dalam kes nombor negatif.
Ia adalah untuk menghilangkan kekaburan itu bahawa akar aritmetik dicipta. Pelajaran besar yang berasingan ditujukan kepada mereka, di mana kami mempertimbangkan semua sifat mereka secara terperinci. Jadi kita tidak akan memikirkannya sekarang - pelajarannya telah ternyata terlalu panjang.
Punca algebra: untuk mereka yang ingin mengetahui lebih lanjut
Saya berfikir panjang sama ada mahu meletakkan topik ini dalam perenggan yang berasingan atau tidak. Akhirnya saya memutuskan untuk meninggalkannya di sini. Bahan ini bertujuan untuk mereka yang ingin memahami akarnya dengan lebih baik - tidak lagi pada tahap purata "sekolah", tetapi pada satu dekat dengan peringkat Olimpik.
Jadi: sebagai tambahan kepada takrif "klasik" bagi punca $n$th nombor dan pembahagian yang berkaitan kepada eksponen genap dan ganjil, terdapat lebih banyak takrifan "dewasa" yang tidak bergantung sama sekali pada pariti dan kehalusan lain. Ini dipanggil punca algebra.
Definisi. Punca algebra $n$th mana-mana $a$ ialah set semua nombor $b$ sehingga $((b)^(n))=a$. Tiada sebutan yang ditetapkan untuk akar tersebut, jadi kami hanya akan meletakkan sempang di atas:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \kanan. \kanan\) \]
Perbezaan asas daripada definisi piawai yang diberikan pada permulaan pelajaran ialah punca algebra bukanlah nombor tertentu, tetapi satu set. Dan kerana kami bekerja dengan nombor nyata, set ini hanya terdapat dalam tiga jenis:
- Set kosong. Berlaku apabila anda perlu mencari punca algebra bagi darjah genap daripada nombor negatif;
- Satu set yang terdiri daripada satu elemen tunggal. Semua punca kuasa ganjil, serta punca kuasa genap sifar, termasuk dalam kategori ini;
- Akhirnya, set itu boleh memasukkan dua nombor - $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))=-((x)_(1))$ yang sama yang kita lihat pada graf fungsi kuadratik. Oleh itu, susunan sedemikian hanya mungkin apabila mengekstrak punca darjah genap daripada nombor positif.
Kes terakhir patut dipertimbangkan dengan lebih terperinci. Mari kita hitung beberapa contoh untuk memahami perbezaannya.
Contoh. Nilaikan ungkapan:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Penyelesaian. Dengan ungkapan pertama semuanya mudah:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Ia adalah dua nombor yang merupakan sebahagian daripada set. Kerana setiap daripada mereka kuasa dua memberikan empat.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Di sini kita melihat satu set yang terdiri daripada satu nombor sahaja. Ini agak logik, kerana eksponen akar adalah ganjil.
Akhirnya, ungkapan terakhir:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Kami menerima satu set kosong. Kerana tidak ada satu nombor nyata yang, apabila dinaikkan kepada kuasa keempat (iaitu, genap!), akan memberi kita nombor negatif -16.
Nota akhir. Sila ambil perhatian: bukan secara kebetulan bahawa saya perhatikan di mana-mana bahawa kita bekerja dengan nombor nyata. Kerana terdapat juga nombor kompleks - agak mungkin untuk mengira $\sqrt(-16)$ di sana, dan banyak lagi perkara pelik.
Walau bagaimanapun, nombor kompleks hampir tidak pernah muncul dalam kursus matematik sekolah moden. Mereka telah dialih keluar daripada kebanyakan buku teks kerana pegawai kami menganggap topik itu "terlalu sukar untuk difahami."
Itu sahaja. Dalam pelajaran seterusnya kita akan melihat semua sifat utama akar dan akhirnya belajar bagaimana untuk memudahkan ungkapan tidak rasional :)
Operasi dengan kuasa dan akar. Ijazah dengan negatif ,
sifar dan pecahan penunjuk. Tentang ungkapan yang tiada makna.
Operasi dengan ijazah.
1. Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen mereka menambah:
a m · a n = a m + n .
2. Apabila membahagi darjah dengan asas yang sama, eksponen mereka adalah ditolak .
3. Darjah hasil darab dua atau lebih faktor adalah sama dengan darab darjah faktor ini.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Darjah nisbah (pecahan) adalah sama dengan nisbah darjah dividen (pembilang) dan pembahagi (penyebut):
(a/b ) n = a n / b n .
5. Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, eksponennya didarabkan:
(a m ) n = a m n .
Semua formula di atas dibaca dan dilaksanakan dalam kedua-dua arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.
CONTOH (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operasi dengan akar. Dalam semua formula di bawah, simbol bermakna punca aritmetik(ungkapan radikal adalah positif).
1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:
2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah punca dividen dan pembahagi:
3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, ia cukup untuk meningkatkan kuasa ini nombor radikal:
4. Jika kita meningkatkan darjah akar dalam m naikkan ke m kuasa ke adalah nombor radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:
5. Jika kita mengurangkan darjah akar dalam m ekstrak akar sekali dan pada masa yang sama m kuasa ke atas nombor radikal, maka nilai punca bukan akan berubah:
Memperluaskan konsep ijazah. Setakat ini kami telah mempertimbangkan darjah hanya dengan eksponen semula jadi; tetapi tindakan dengan darjah dan akar juga boleh membawa kepada negatif, sifar Dan pecahan penunjuk. Semua eksponen ini memerlukan definisi tambahan.
Ijazah dengan eksponen negatif. Kuasa beberapa nombor c eksponen negatif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan kuasa nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlakpenunjuk negatif:
T sekarang formulanya a m: a n= a m - n boleh digunakan bukan sahaja untukm, lebih daripada n, tetapi juga dengan m, kurang daripada n .
CONTOH a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .
Jika kita mahu formulaa m : a n= a m - nadil apabilam = n, kita memerlukan definisi sifar darjah.
Ijazah dengan indeks sifar. Kuasa mana-mana nombor bukan sifar dengan eksponen sifar ialah 1.
CONTOH. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata dan kepada kuasa m/n , anda perlu mengekstrak akarnya kuasa ke-m -kuasa ke- nombor ini A :
Tentang ungkapan yang tiada makna. Terdapat beberapa ungkapan sedemikian. sebarang nombor.
Malah, jika kita menganggap bahawa ungkapan ini adalah sama dengan beberapa nombor x, maka mengikut definisi operasi bahagi yang kita ada: 0 = 0 · x. Tetapi kesaksamaan ini berlaku apabila sebarang nombor x, itulah yang perlu dibuktikan.
Kes 3.
0 0 - sebarang nombor.
sungguh,
Penyelesaian. Mari kita pertimbangkan tiga kes utama:
1) x = 0 – nilai ini tidak memenuhi persamaan ini
(Kenapa?).
2) bila x> 0 kita dapat: x/x = 1, i.e. 1 = 1, yang bermaksud
Apa x– sebarang nombor; tetapi mengambil kira bahawa dalam
Dalam kes kita x> 0, jawapannya ialahx > 0 ;
3) bila x < 0 получаем: – x/x= 1, iaitu e . –1 = 1, oleh itu,
Dalam kes ini tiada penyelesaian.
Oleh itu, x > 0.