Kawasan segitiga - formula dan contoh penyelesaian masalah

Di bawah adalah formula untuk mencari luas segi tiga sewenang-wenangnya yang sesuai untuk mencari luas mana-mana segi tiga, tanpa mengira sifat, sudut atau saiznya. Formula dibentangkan dalam bentuk gambar, dengan penjelasan untuk aplikasinya atau justifikasi untuk ketepatannya. Juga, rajah yang berasingan menunjukkan korespondensi antara simbol huruf dalam formula dan simbol grafik dalam lukisan.

Catatan . Jika segi tiga mempunyai sifat istimewa (sama kaki, segi empat tepat, sama sisi), anda boleh menggunakan formula yang diberikan di bawah, serta formula khas tambahan yang hanya sah untuk segi tiga dengan sifat ini:

• "Rumus untuk luas segi tiga sama sisi"

Rumus luas segi tiga

Penjelasan untuk formula:
a, b, c- panjang sisi segi tiga yang luasnya kita ingin cari
r- jejari bulatan yang tertulis dalam segi tiga
R- jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga
h- ketinggian segi tiga diturunkan ke sisi
hlm- separuh perimeter segi tiga, 1/2 jumlah sisinya (perimeter)
α - sudut bertentangan dengan sisi a segitiga
β - sudut bertentangan dengan sisi b segi tiga itu
γ - sudut bertentangan dengan sisi c segitiga itu
h a, h b , h c- ketinggian segi tiga diturunkan ke sisi a, b, c

Sila ambil perhatian bahawa notasi yang diberikan sepadan dengan rajah di atas, supaya apabila menyelesaikan masalah geometri sebenar, secara visual lebih mudah untuk anda menggantikan nilai yang betul di tempat yang betul dalam formula.

• Luas segi tiga ialah separuh hasil darab ketinggian segi tiga dan panjang sisi yang mana ketinggian ini diturunkan(Formula 1). Ketepatan formula ini boleh difahami secara logik. Ketinggian yang diturunkan ke pangkal akan membelah segitiga sembarangan kepada dua segi empat tepat. Jika anda membina setiap daripadanya menjadi segi empat tepat dengan dimensi b dan h, maka jelas luas segi tiga ini akan sama dengan tepat separuh luas segi empat tepat (Spr = bh)
• Luas segi tiga ialah separuh hasil darab kedua-dua sisinya dan sinus sudut di antaranya(Formula 2) (lihat contoh penyelesaian masalah menggunakan formula ini di bawah). Walaupun ia kelihatan berbeza daripada yang sebelumnya, ia boleh diubah dengan mudah ke dalamnya. Jika kita menurunkan ketinggian dari sudut B ke sisi b, ternyata hasil darab sisi a dan sinus sudut γ, mengikut sifat sinus dalam segi tiga tepat, adalah sama dengan ketinggian segitiga yang kita lukis. , yang memberikan kita formula sebelumnya
• Kawasan segi tiga sewenang-wenangnya boleh didapati melalui kerja separuh jejari bulatan yang tertulis di dalamnya dengan hasil tambah panjang semua sisinya(Formula 3), secara ringkasnya, anda perlu mendarab separuh perimeter segi tiga dengan jejari bulatan bertulis (ini lebih mudah diingati)
• Luas segi tiga arbitrari boleh didapati dengan membahagikan hasil darab semua sisinya dengan 4 jejari bulatan yang dihadkan di sekelilingnya (Formula 4)
• Formula 5 mencari luas segi tiga melalui panjang sisinya dan separuh perimeternya (separuh jumlah semua sisinya)
• Formula Heron(6) ialah perwakilan formula yang sama tanpa menggunakan konsep separuh perimeter, hanya melalui panjang sisi
• Luas segi tiga arbitrari adalah sama dengan hasil darab segi empat sama sisi segi tiga dan sinus sudut yang bersebelahan dengan sisi ini dibahagikan dengan sinus berganda sudut bertentangan dengan sisi ini (Formula 7)
• Luas segi tiga arbitrari boleh didapati sebagai hasil darab dua segi empat sama bulatan yang dikelilingi oleh sinus setiap sudutnya. (Formula 8)
• Jika panjang satu sisi dan nilai dua sudut bersebelahan diketahui, maka luas segi tiga boleh didapati sebagai segi empat sama sisi ini dibahagikan dengan hasil tambah ganda kotangen sudut-sudut ini (Formula 9)
• Jika hanya panjang setiap ketinggian segi tiga diketahui (Formula 10), maka luas segi tiga tersebut adalah berkadar songsang dengan panjang ketinggian ini, seperti menurut Formula Heron.
• Formula 11 membolehkan anda mengira luas segi tiga berdasarkan koordinat bucunya, yang dinyatakan sebagai nilai (x;y) untuk setiap bucu. Sila ambil perhatian bahawa nilai yang terhasil mesti diambil modulo, kerana koordinat individu (atau semua) bucu mungkin berada dalam kawasan nilai negatif

Catatan. Berikut adalah contoh penyelesaian masalah geometri untuk mencari luas segi tiga. Jika anda perlu menyelesaikan masalah geometri yang tidak serupa di sini, tulis mengenainya dalam forum. Dalam penyelesaian, bukannya simbol "akar kuasa dua", fungsi sqrt() boleh digunakan, di mana sqrt ialah simbol punca kuasa dua, dan ungkapan radikal ditunjukkan dalam kurungan.Kadang-kadang untuk ungkapan radikal mudah simbol boleh digunakan √

Tugasan. Cari luas yang diberi dua sisi dan sudut di antara mereka

Sisi segi tiga ialah 5 dan 6 cm Sudut di antaranya ialah 60 darjah. Cari luas segi tiga itu.

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula nombor dua daripada bahagian teori pelajaran.
Luas segi tiga boleh didapati melalui panjang dua sisi dan sinus sudut di antara mereka dan akan sama dengan
S=1/2 ab sin γ

Oleh kerana kami mempunyai semua data yang diperlukan untuk penyelesaian (mengikut formula), kami hanya boleh menggantikan nilai dari keadaan masalah ke dalam formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Dalam jadual nilai fungsi trigonometri, kita akan mencari dan menggantikan nilai sinus 60 darjah ke dalam ungkapan. Ia akan sama dengan punca tiga kali dua.
S = 15 √3 / 2

Jawab: 7.5 √3 (bergantung kepada keperluan guru, anda mungkin boleh meninggalkan 15 √3/2)

Tugasan. Cari luas segi tiga sama sisi

Cari luas segi tiga sama sisi dengan sisi 3 cm.

Penyelesaian .

Luas segi tiga boleh didapati menggunakan formula Heron:

S = 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Oleh kerana a = b = c, formula untuk luas segitiga sama sisi mengambil bentuk:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Jawab: 9 √3 / 4.

Tugasan. Tukar kawasan apabila menukar panjang sisi

Berapa kali luas segitiga akan bertambah jika sisinya ditambah 4 kali?

Penyelesaian.

Oleh kerana dimensi sisi segitiga tidak diketahui oleh kami, untuk menyelesaikan masalah kami akan menganggap bahawa panjang sisi masing-masing sama dengan nombor arbitrari a, b, c. Kemudian, untuk menjawab persoalan masalah, kita akan mencari luas segitiga yang diberikan, dan kemudian kita akan mencari luas segitiga yang sisinya empat kali lebih besar. Nisbah luas segi tiga ini akan memberi kita jawapan kepada masalah tersebut.

Di bawah ini kami memberikan penjelasan teks mengenai penyelesaian masalah langkah demi langkah. Walau bagaimanapun, pada akhirnya, penyelesaian yang sama ini dibentangkan dalam bentuk grafik yang lebih mudah. Mereka yang berhajat boleh segera turun penyelesaiannya.

Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan formula Heron (lihat di atas dalam bahagian teori pelajaran). Ia kelihatan seperti ini:

S = 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lihat baris pertama gambar di bawah)

Panjang sisi segitiga arbitrari ditentukan oleh pembolehubah a, b, c.
Jika sisi ditambah sebanyak 4 kali, maka luas segitiga baru c ialah:

S 2 = 1/4 persegi((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(lihat baris kedua dalam gambar di bawah)

Seperti yang anda lihat, 4 ialah faktor biasa yang boleh diambil daripada kurungan daripada keempat-empat ungkapan mengikut peraturan am matematik.
Kemudian

S 2 = 1/4 persegi(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pada baris ketiga gambar
S 2 = 1/4 persegi(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - baris keempat

Punca kuasa dua nombor 256 diekstrak dengan sempurna, jadi mari kita keluarkan dari bawah akar
S 2 = 16 * 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lihat baris kelima gambar di bawah)

Untuk menjawab soalan yang ditanya dalam masalah, kita hanya perlu membahagikan kawasan segitiga yang terhasil dengan luas segitiga asal.
Mari kita tentukan nisbah luas dengan membahagikan ungkapan dengan satu sama lain dan mengurangkan pecahan yang terhasil.

Konsep kawasan

Konsep luas mana-mana rajah geometri, khususnya segitiga, akan dikaitkan dengan rajah seperti segi empat sama. Untuk luas unit mana-mana rajah geometri kita akan mengambil luas segi empat sama yang sisinya sama dengan satu. Untuk kesempurnaan, mari kita ingat dua sifat asas untuk konsep luas angka geometri.

Harta 1: Jika angka geometri adalah sama, maka luasnya juga sama.

Hartanah 2: Mana-mana angka boleh dibahagikan kepada beberapa angka. Selain itu, luas angka asal adalah sama dengan jumlah luas semua angka konstituennya.

Mari kita lihat contoh.

Contoh 1

Jelas sekali, salah satu sisi segitiga ialah pepenjuru segi empat tepat, satu sisinya mempunyai panjang $5$ (kerana terdapat $5$ sel), dan satu lagi ialah $6$ (kerana terdapat $6$ sel). Oleh itu, luas segi tiga ini akan sama dengan separuh daripada segi empat tepat tersebut. Luas segi empat tepat ialah

Kemudian luas segi tiga adalah sama dengan

Jawapan: $15$.

Seterusnya, kami akan mempertimbangkan beberapa kaedah untuk mencari luas segi tiga, iaitu menggunakan ketinggian dan tapak, menggunakan formula Heron dan luas segi tiga sama sisi.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga menggunakan ketinggian dan tapaknya

Teorem 1

Luas segi tiga boleh didapati sebagai separuh hasil darab panjang sisi dan tinggi pada sisi itu.

Secara matematik ia kelihatan seperti ini

$S=\frac(1)(2)αh$

dengan $a$ ialah panjang sisi, $h$ ialah ketinggian yang dilukis padanya.

Bukti.

Pertimbangkan segi tiga $ABC$ di mana $AC=α$. Ketinggian $BH$ dilukis ke sisi ini, yang bersamaan dengan $h$. Mari kita bina sehingga segi empat sama $AXYC$ seperti dalam Rajah 2.

Luas segi empat tepat $AXBH$ ialah $h\cdot AH$ dan luas segi empat tepat $HBYC$ ialah $h\cdot HC$. Kemudian

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Oleh itu, luas segi tiga yang diperlukan, dengan sifat 2, adalah sama dengan

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem terbukti.

Contoh 2

Cari luas segi tiga dalam rajah di bawah jika sel itu mempunyai luas sama dengan satu

Asas segi tiga ini bersamaan dengan $9$ (kerana $9$ ialah $9$ segi empat sama). Ketinggian juga $9$. Kemudian, dengan Teorem 1, kita dapat

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Jawapan: $40.5$.

Formula Heron

Teorem 2

Jika kita diberi tiga sisi segitiga $α$, $β$ dan $γ$, maka luasnya boleh didapati seperti berikut

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

di sini $ρ$ bermaksud separuh perimeter segi tiga ini.

Bukti.

Pertimbangkan angka berikut:

Dengan teorem Pythagoras, daripada segi tiga $ABH$ kita perolehi

Daripada segi tiga $CBH$, mengikut teorem Pythagoras, kita ada

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Daripada kedua-dua hubungan ini kita memperolehi persamaan

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Oleh kerana $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, maka $α+β+γ=2ρ$, yang bermaksud

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Dengan Teorem 1, kita dapat

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Kurikulum sekolah menyediakan untuk mengajar kanak-kanak geometri sejak kecil. Salah satu pengetahuan paling asas dalam bidang ini ialah mencari kawasan pelbagai bentuk. Dalam artikel ini kami akan cuba memberikan semua cara yang mungkin untuk mendapatkan nilai ini, daripada yang paling mudah kepada yang paling kompleks.

Asas

Formula pertama yang dipelajari oleh kanak-kanak di sekolah melibatkan mencari luas segitiga melalui panjang ketinggian dan tapaknya. Ketinggian ialah segmen yang dilukis dari bucu segi tiga pada sudut tepat ke sisi bertentangan, yang akan menjadi tapak. Bagaimana untuk mencari luas segi tiga menggunakan kuantiti ini?

Jika V ialah ketinggian dan O ialah tapak, maka luasnya ialah S=V*O:2.

Pilihan lain untuk mendapatkan nilai yang dikehendaki memerlukan kita mengetahui panjang dua sisi, serta saiz sudut di antara mereka. Jika kita mempunyai L dan M - panjang sisi, dan Q - sudut di antara mereka, maka anda boleh mendapatkan luas menggunakan formula S=(L*M*sin(Q))/2.

Formula Heron

Sebagai tambahan kepada semua jawapan lain kepada persoalan bagaimana mengira luas segi tiga, terdapat formula yang membolehkan kita memperoleh nilai yang kita perlukan, hanya mengetahui panjang sisi. Iaitu, jika kita tahu panjang semua sisi, maka kita tidak perlu melukis ketinggian dan mengira panjangnya. Kita boleh menggunakan formula Heron yang dipanggil.

Jika M, N, L ialah panjang sisi, maka kita boleh mencari luas segi tiga seperti berikut. P=(M+N+L)/2, maka nilai yang kita perlukan ialah S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Pada akhirnya, kita hanya perlu mengira punca.

Untuk segi tiga tepat, formula Heron dipermudahkan sedikit. Jika M, L ialah kaki, maka S=(P-M)*(P-L).

Kalangan

Satu lagi cara untuk mencari luas segi tiga ialah menggunakan bulatan dan bulatan. Untuk mendapatkan nilai yang kita perlukan menggunakan bulatan bertulis, kita perlu mengetahui jejarinya. Mari kita nyatakan "r". Kemudian formula yang akan kita lakukan pengiraan akan mengambil bentuk berikut: S=r*P, di mana P ialah separuh daripada jumlah panjang semua sisi.

Dalam segi tiga tepat, formula ini diubah suai sedikit. Sudah tentu, anda boleh menggunakan yang di atas, tetapi lebih baik menggunakan ungkapan yang berbeza untuk pengiraan. S=E*W, di mana E dan W ialah panjang segmen di mana hipotenus dibahagikan dengan titik tangen bulatan.

Bercakap tentang bulatan yang dihadkan, mencari luas segi tiga juga tidak sukar. Dengan memperkenalkan penetapan R sebagai jejari bulatan yang dihadkan, anda boleh mendapatkan formula berikut yang diperlukan untuk mengira nilai yang diperlukan: S= (M*N*L):(4*R). Di mana tiga kuantiti pertama ialah sisi segi tiga.

Bercakap tentang segi tiga sama, melalui beberapa transformasi matematik mudah anda boleh mendapatkan formula yang diubah suai sedikit:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

Walau apa pun, sebarang formula yang membolehkan anda mencari luas segi tiga boleh diubah mengikut data tugas. Jadi semua ungkapan bertulis bukanlah mutlak. Semasa menyelesaikan masalah, fikir untuk mencari penyelesaian yang paling sesuai.

Koordinat

Apabila mempelajari paksi koordinat, tugasan yang dihadapi pelajar menjadi lebih kompleks. Namun, tidaklah terlalu panik. Untuk mencari luas segi tiga dari koordinat bucu, anda boleh menggunakan formula Heron yang sama, tetapi sedikit diubah suai. Untuk koordinat ia mengambil bentuk berikut:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2.

Walau bagaimanapun, tiada siapa yang melarang, menggunakan koordinat, mengira panjang sisi segitiga dan kemudian, menggunakan formula yang ditulis di atas, mengira kawasan. Untuk menukar koordinat kepada panjang, gunakan formula berikut:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Nota

Artikel tersebut menggunakan tatatanda standard untuk kuantiti yang digunakan dalam kebanyakan masalah. Dalam kes ini, kuasa "1/2" bermakna anda perlu mengeluarkan punca keseluruhan ungkapan di bawah kurungan.

Berhati-hati apabila memilih formula. Sesetengah daripada mereka kehilangan kaitannya bergantung pada keadaan awal. Contohnya, formula bulatan. Ia dapat mengira keputusan untuk anda dalam apa jua keadaan, tetapi mungkin terdapat situasi apabila segitiga dengan parameter yang diberikan mungkin tidak wujud sama sekali.

Jika anda duduk di rumah dan membuat kerja rumah, maka anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian. Banyak tapak menyediakan keupayaan untuk mengira pelbagai kuantiti menggunakan parameter yang diberikan, dan tidak kira yang mana. Anda hanya boleh memasukkan data awal ke dalam medan, dan komputer (laman web) akan mengira hasilnya untuk anda. Dengan cara ini anda boleh mengelakkan kesilapan yang dilakukan kerana kecuaian.

Kami berharap artikel kami menjawab semua soalan anda mengenai pengiraan luas pelbagai segi tiga, dan anda tidak perlu mencari maklumat tambahan di tempat lain. Semoga berjaya dengan pelajaran anda!

Segitiga adalah angka yang biasa kepada semua orang. Dan ini walaupun pelbagai jenis bentuknya. Segi empat tepat, sama sisi, akut, sama kaki, tumpul. Setiap daripada mereka berbeza dalam beberapa cara. Tetapi bagi sesiapa sahaja anda perlu mengetahui luas segi tiga.

Formula biasa untuk semua segi tiga yang menggunakan panjang sisi atau ketinggian

Penamaan yang diterima pakai di dalamnya: sisi - a, b, c; ketinggian pada sisi yang sepadan pada a, n dalam, n dengan.

1. Luas segi tiga dikira sebagai hasil darab ½, sisi dan ketinggian ditolak daripadanya. S = ½ * a * n a. Rumus untuk dua sisi yang lain harus ditulis dengan cara yang sama.

2. Formula Heron, di mana separuh perimeter muncul (ia biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, berbeza dengan perimeter penuh). Separuh perimeter mesti dikira seperti berikut: tambah semua sisi dan bahagikannya dengan 2. Formula bagi separa perimeter ialah: p = (a+b+c) / 2. Kemudian kesamaan bagi luas ​rajahnya kelihatan seperti ini: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Jika anda tidak mahu menggunakan separuh perimeter, maka formula yang mengandungi hanya panjang sisi akan berguna: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Ia lebih panjang sedikit daripada yang sebelumnya, tetapi ia akan membantu jika anda terlupa cara mencari separuh perimeter.

Formula am yang melibatkan sudut segitiga

Notasi yang diperlukan untuk membaca formula: α, β, γ - sudut. Mereka terletak bertentangan dengan sisi a, b, c, masing-masing.

1. Menurutnya, separuh hasil darab dua sisi dan sinus sudut di antara mereka adalah sama dengan luas segi tiga. Iaitu: S = ½ a * b * sin γ. Formula untuk dua kes yang lain hendaklah ditulis dengan cara yang sama.

2. Luas segi tiga boleh dikira dari satu sisi dan tiga sudut yang diketahui. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Terdapat juga formula dengan satu sisi yang diketahui dan dua sudut bersebelahan. Ia kelihatan seperti ini: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Dua formula terakhir bukanlah yang paling mudah. Agak sukar untuk mengingati mereka.

Formula am untuk situasi di mana jejari bulatan bersurat atau berhad diketahui

Penamaan tambahan: r, R - jejari. Yang pertama digunakan untuk jejari bulatan bertulis. Yang kedua adalah untuk yang diterangkan.

1. Formula pertama di mana luas segi tiga dikira adalah berkaitan dengan separuh perimeter. S = r * r. Cara lain untuk menulisnya ialah: S = ½ r * (a + b + c).

2. Dalam kes kedua, anda perlu mendarab semua sisi segi tiga dan membahagikannya dengan empat kali ganda jejari bulatan yang dihadkan. Dalam ungkapan literal ia kelihatan seperti ini: S = (a * b * c) / (4R).

3. Situasi ketiga membolehkan anda melakukan tanpa mengetahui sisi, tetapi anda memerlukan nilai ketiga-tiga sudut. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Kes khas: segi tiga tepat

Ini adalah keadaan yang paling mudah, kerana hanya panjang kedua-dua kaki diperlukan. Mereka ditetapkan oleh huruf Latin a dan b. Luas segi tiga tepat adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang ditambah kepadanya.

Secara matematik ia kelihatan seperti ini: S = ½ a * b. Ia adalah yang paling mudah untuk diingati. Kerana ia kelihatan seperti formula untuk luas segi empat tepat, hanya pecahan yang muncul, menunjukkan separuh.

Kes khas: segi tiga sama kaki

Memandangkan ia mempunyai dua sisi yang sama, sesetengah formula untuk kawasannya kelihatan agak mudah. Sebagai contoh, formula Heron, yang mengira luas segi tiga sama kaki, mengambil bentuk berikut:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Jika anda mengubahnya, ia akan menjadi lebih pendek. Dalam kes ini, formula Heron untuk segi tiga sama kaki ditulis seperti berikut:

S = ¼ dalam √(4 * a 2 - b 2).

Formula kawasan kelihatan agak mudah daripada segi tiga sewenang-wenangnya jika sisi dan sudut di antara mereka diketahui. S = ½ a 2 * sin β.

Kes khas: segi tiga sama sisi

Biasanya dalam masalah, sisi mengenainya diketahui atau ia boleh diketahui dalam beberapa cara. Kemudian formula untuk mencari luas segi tiga tersebut adalah seperti berikut:

S = (a 2 √3) / 4.

Masalah untuk mencari kawasan jika segitiga digambarkan pada kertas berkotak-kotak

Situasi paling mudah ialah apabila segi tiga tepat dilukis supaya kakinya bertepatan dengan garisan kertas. Kemudian anda hanya perlu mengira bilangan sel yang sesuai dengan kaki. Kemudian darab dan bahagikan dengan dua.

Apabila segi tiga itu akut atau tumpul, ia perlu dilukis kepada segi empat tepat. Kemudian angka yang terhasil akan mempunyai 3 segi tiga. Satu adalah yang diberikan dalam masalah. Dan dua lagi adalah tambahan dan segi empat tepat. Bidang dua yang terakhir perlu ditentukan menggunakan kaedah yang diterangkan di atas. Kemudian hitung luas segi empat tepat dan tolak daripadanya yang dikira untuk yang tambahan. Luas segi tiga ditentukan.

Keadaan di mana tiada satu pun sisi segitiga bertepatan dengan garisan kertas ternyata menjadi lebih rumit. Kemudian ia perlu ditulis dalam segi empat tepat supaya bucu angka asal terletak di sisinya. Dalam kes ini, akan ada tiga segi tiga tegak tambahan.

Contoh masalah menggunakan formula Heron

keadaan. Beberapa segi tiga mempunyai sisi yang diketahui. Mereka adalah sama dengan 3, 5 dan 6 cm Anda perlu mengetahui luasnya.

Sekarang anda boleh mengira luas segi tiga menggunakan formula di atas. Di bawah punca kuasa dua ialah hasil darab empat nombor: 7, 4, 2 dan 1. Iaitu, luasnya ialah √(4 * 14) = 2 √(14).

Jika ketepatan yang lebih besar tidak diperlukan, maka anda boleh mengambil punca kuasa dua 14. Ia bersamaan dengan 3.74. Maka luasnya ialah 7.48.

Jawab. S = 2 √14 cm 2 atau 7.48 cm 2.

Contoh masalah dengan segi tiga tepat

keadaan. Satu kaki segi tiga tegak adalah 31 cm lebih besar daripada yang kedua Anda perlu mengetahui panjangnya jika luas segi tiga itu ialah 180 cm 2.
Penyelesaian. Kita perlu menyelesaikan satu sistem dua persamaan. Yang pertama berkaitan dengan kawasan. Yang kedua adalah dengan nisbah kaki, yang diberikan dalam masalah.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Pertama, nilai "a" mesti digantikan ke dalam persamaan pertama. Ternyata: 180 = ½ (dalam + 31) * dalam. Ia hanya mempunyai satu kuantiti yang tidak diketahui, jadi ia mudah untuk diselesaikan. Selepas membuka kurungan, persamaan kuadratik diperoleh: 2 + 31 360 = 0. Ini memberikan dua nilai untuk "dalam": 9 dan - 40. Nombor kedua tidak sesuai sebagai jawapan, kerana panjang sisi bagi segi tiga tidak boleh menjadi nilai negatif.

Ia kekal untuk mengira bahagian kedua: tambah 31 kepada nombor yang terhasil Ternyata 40. Ini adalah kuantiti yang dicari dalam masalah.

Jawab. Kaki segi tiga itu ialah 9 dan 40 cm.

Masalah mencari sisi melalui luas, sisi dan sudut segitiga

keadaan. Luas segitiga tertentu ialah 60 cm 2. Adalah perlu untuk mengira satu sisinya jika sisi kedua ialah 15 cm dan sudut di antara mereka ialah 30º.

Penyelesaian. Berdasarkan tatatanda yang diterima, sisi yang dikehendaki ialah "a", sisi yang diketahui ialah "b", sudut yang diberikan ialah "γ". Kemudian formula kawasan boleh ditulis semula seperti berikut:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Di sini sinus 30 darjah ialah 0.5.

Selepas transformasi, "a" ternyata sama dengan 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Iaitu 16.

Jawab. Sisi yang diperlukan ialah 16 cm.

Masalah tentang segi empat sama yang ditulis dalam segi tiga tegak

keadaan. Puncak segi empat sama dengan sisi 24 cm bertepatan dengan sudut tegak segi tiga itu. Dua lagi berbaring di sisi. Yang ketiga tergolong dalam hipotenus. Panjang salah satu kaki ialah 42 cm Berapakah luas segi tiga tepat itu?

Penyelesaian. Pertimbangkan dua segi tiga tepat. Yang pertama adalah yang dinyatakan dalam tugas. Yang kedua adalah berdasarkan kaki segitiga asal yang diketahui. Mereka serupa kerana mereka mempunyai sudut sepunya dan dibentuk oleh garis selari.

Kemudian nisbah kaki mereka adalah sama. Kaki segi tiga yang lebih kecil adalah sama dengan 24 cm (sisi segi empat sama) dan 18 cm (diberi kaki 42 cm tolak sisi segi empat sama 24 cm). Kaki yang sepadan bagi segitiga besar ialah 42 cm dan x cm Ini adalah "x" yang diperlukan untuk mengira luas segi tiga.

18/42 = 24/x, iaitu x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Maka luasnya adalah sama dengan hasil darab 56 dan 42 dibahagikan dengan dua, iaitu 1176 cm 2.

Jawab. Luas yang diperlukan ialah 1176 cm 2.

Segitiga ialah rajah geometri yang terdiri daripada tiga garis lurus yang menghubungkan pada titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Titik sambungan garis adalah bucu segitiga, yang ditetapkan oleh huruf Latin (contohnya, A, B, C). Garis lurus penghubung segitiga dipanggil segmen, yang juga biasanya dilambangkan dengan huruf Latin. Jenis segitiga berikut dibezakan:

• segi empat tepat.
• Bodoh.
• Sudut akut.
• serba boleh.
• sama sisi.
• Sama kaki.

Formula am untuk mengira luas segi tiga

Formula untuk luas segi tiga berdasarkan panjang dan tinggi

S= a*h/2,
di mana a ialah panjang sisi segi tiga yang luasnya perlu dicari, h ialah panjang ketinggian yang dilukis ke tapak.

Formula Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
dengan √ ialah punca kuasa dua, p ialah separuh perimeter bagi segi tiga itu, a,b,c ialah panjang setiap sisi segi tiga itu. Separuh perimeter segi tiga boleh dikira menggunakan formula p=(a+b+c)/2.

Formula untuk luas segi tiga berdasarkan sudut dan panjang segmen

S = (a*b*sin(α))/2,
dengan b,c ialah panjang sisi segi tiga, sin(α) ialah sinus sudut antara kedua-dua belah.

Formula untuk luas segi tiga diberi jejari bulatan bertulis dan tiga sisi

S=p*r,
di mana p ialah separuh perimeter segi tiga yang luasnya perlu dicari, r ialah jejari bulatan yang tertulis dalam segi tiga ini.

Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan yang dihadkan di sekelilingnya

S= (a*b*c)/4*R,
di mana a,b,c ialah panjang setiap sisi segi tiga, R ialah jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga itu.

Formula untuk luas segi tiga berdasarkan koordinat Cartesan titik

Koordinat Cartesan titik ialah koordinat dalam sistem xOy, di mana x ialah absis, y ialah ordinat. Sistem koordinat Cartesian xOy pada satah ialah paksi berangka yang saling berserenjang Ox dan Oy dengan asalan sepunya di titik O. Jika koordinat titik pada satah ini diberikan dalam bentuk A(x1, y1), B(x2, y2). ) dan C(x3, y3 ), maka anda boleh mengira luas segi tiga menggunakan formula berikut, yang diperoleh daripada hasil vektor dua vektor.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
di mana || bermaksud modul.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga tepat

Segitiga tegak ialah segi tiga dengan satu sudut berukuran 90 darjah. Segitiga hanya boleh mempunyai satu sudut sedemikian.

Formula untuk luas segi tiga tepat pada dua sisi

S= a*b/2,
dengan a,b ialah panjang kaki. Kaki ialah sisi yang bersebelahan dengan sudut tepat.

Formula untuk luas segi tiga tepat berdasarkan hipotenus dan sudut akut

S = a*b*sin(α)/ 2,
dengan a, b ialah kaki segi tiga, dan sin(α) ialah sinus bagi sudut di mana garis a, b bersilang.

Formula untuk luas segi tiga tepat berdasarkan sisi dan sudut bertentangan

S = a*b/2*tg(β),
dengan a, b ialah kaki segi tiga, tan(β) ialah tangen bagi sudut di mana kaki a, b disambungkan.

Bagaimana untuk mengira luas segi tiga sama kaki

Segitiga sama kaki ialah segitiga yang mempunyai dua sisi yang sama. Sisi ini dipanggil sisi, dan sisi yang lain adalah pangkalan. Untuk mengira luas segi tiga sama kaki, anda boleh menggunakan salah satu daripada formula berikut.

Formula asas untuk mengira luas segi tiga sama kaki

S=h*c/2,
di mana c ialah tapak segi tiga, h ialah ketinggian segi tiga diturunkan ke tapak.

Formula segi tiga sama kaki berdasarkan sisi dan tapak

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
di mana c ialah tapak segi tiga, a ialah saiz salah satu sisi sisi segi tiga sama kaki.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga sama sisi

Segitiga sama sisi ialah segi tiga di mana semua sisi adalah sama. Untuk mengira luas segi tiga sama sisi, anda boleh menggunakan formula berikut:
S = (√3*a*a)/4,
dengan a ialah panjang sisi segi tiga sama sisi.

Formula di atas akan membolehkan anda mengira kawasan segitiga yang diperlukan. Adalah penting untuk diingat bahawa untuk mengira luas segi tiga, anda perlu mempertimbangkan jenis segi tiga dan data yang tersedia yang boleh digunakan untuk pengiraan.