Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Topik: Bulatan

Pelajaran: Titik persilangan ketinggian segi tiga

Tiga ketinggian segi tiga bersilang pada satu titik, titik ini dipanggil pusat ortopusat.

Diberi segitiga, katakan untuk kepastian bahawa ia adalah akut (lihat Rajah 1). Tiada apa yang akan berubah jika kita mengambil segi tiga tumpul.

Buktikan itu

nasi. 1

Bukti:

Kami ingin mengurangkan pembuktian kepada teorem sebelumnya yang telah dibuktikan, sebagai contoh, teorem pada persilangan pembahagi dua serenjang.

Untuk melakukan ini, lukis garis lurus melalui bucu segitiga, selari dengan sisi bertentangan mereka (lihat Rajah 2):

melalui bucu A - garis lurus,

melalui bucu B - garis lurus,

melalui bucu C - garis lurus.

nasi. 2

Kami telah menerima segi tiga baharu, mari pertimbangkan sifatnya.

Bermaksud, . Begitu juga. Oleh itu segiempat ialah segiempat selari.

Sisi bertentangan segi empat selari adalah sama berpasangan, oleh itu , .

Begitu juga dengan pembinaan. Sisi empat ialah segiempat selari. Dari sini, .

Dari sini. Oleh itu, titik A ialah titik tengah segmen, yang bermaksud bahawa ketinggian AA 1 dalam segi tiga kecil ialah pembahagi dua serenjang dalam segi tiga besar.

Tindakan serupa boleh dilakukan untuk bucu B dan C. Kami memperoleh bahawa B ialah titik tengah segmen, BB 1 ialah pembahagi dua serenjang ke sisi segi tiga besar; C - titik tengah, СС 1 - pembahagi dua serenjang ke sisi segi tiga besar.

Kita tahu bahawa pembahagi dua serenjang dalam segi tiga besar AA 1, BB 1, CC 1 akan bersilang pada satu titik - pada titik H. Kita juga tahu bahawa pembahagi dua serenjang ini ialah ketinggian bagi segi tiga kecil, oleh itu, ketinggian segitiga itu. bersilang pada satu titik H, Q.E.D.

Kami telah membuktikan teorem pada persilangan ketinggian untuk segi tiga akut anda boleh membuktikan sendiri teorem yang sama jika segi tiga itu tidak akut. Contohnya, jika segi tiga itu bersudut tegak, pusat ortopusat bertepatan dengan bucu di mana sudut itu betul, kerana dua daripada ketinggian bertepatan dengan kaki, dan yang ketiga keluar dari puncak ini (lihat Rajah 3).

nasi. 3

Mari kita pertimbangkan tugas lucu yang akan membolehkan anda mengingati banyak fakta penting.

Tugasan

Diberi sebuah bulatan berpusat di titik O dan diameter AB. Titik C berada di luar bulatan. Dengan hanya menggunakan pembaris, turunkan serenjang dengan garis lurus AB dari titik C (lihat Rajah 4).

nasi. 4

Mari kita lukis garis lurus AC dan dapatkan titik M persilangan garis lurus yang dilukis dengan bulatan.

Mari kita lukis garis lurus BC dan dapatkan titik N persilangan garis lurus yang dilukis dengan bulatan itu.

Mari kita lukis garis lurus AN dan BM dan dapatkan titik persilangannya H (lihat Rajah 5).

Buktikan bahawa.

nasi. 5

Bukti:

Kami mengkaji teorem tentang sudut tersurat dan akibatnya. Menurut salah satu daripada akibat ini, sudut tersurat yang dicangkum oleh diameter ialah sudut tegak, oleh itu:

Ingat bahawa sudut tersurat diukur dengan separuh lengkok di mana ia terletak.

Jadi, dari sini VM ialah ketinggian segi tiga. Juga, AN ialah ketinggian segi tiga.

Dua ketinggian segi tiga bersilang pada titik H, kita tahu bahawa ketiga-tiga ketinggian segi tiga bersilang pada satu titik, yang bermaksud bahawa ketinggian ketiga akan melalui titik H. Oleh itu CK ialah ketinggian segi tiga, CK⊥AB, yang itulah yang perlu kami buktikan.

Jadi, dalam pelajaran ini kita melihat teorem tentang persilangan ketinggian segi tiga dan menyelesaikan masalah jenaka di mana kita mengingati beberapa fakta geometri yang penting.

Bibliografi

1. Alexandrov A.D. dan lain-lain Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, darjah 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Home-edu.ru ().
2. Mat.1september.ru ().

Kerja rumah

1. Tugasan 1 - buktikan teorem pada persilangan ketinggian bagi segi tiga tepat.
2. Tugasan 2 - buktikan teorem pada persilangan ketinggian bagi segi tiga akut.
3. Tugasan 3 - diberi bulatan dengan pusat O dan jejari AB. Titik C terletak di dalam bulatan. Dengan hanya menggunakan pembaris, bina satu serenjang dari titik C ke garis AB.

Arahan

Koordinat puncak parabola telah ditemui. Tuliskannya sebagai koordinat bagi satu titik (x0,y0).

Video mengenai topik

Ketinggian segi tiga dipanggil serenjang jatuh dari bucu segi tiga ke bahagian yang bertentangan atau kesinambungannya. titik persimpangan tiga ketinggian dipanggil "orthocenter". Konsep dan sifat orthocenter berguna apabila menyelesaikan masalah yang melibatkan pembinaan geometri.

Anda perlu

• segi tiga, pembaris, pen, pensel koordinat bucu segi tiga

Arahan

Tentukan jenis yang tersedia segi tiga. Kes yang paling mudah ialah segi tiga tepat, kerana kakinya secara serentak berfungsi sebagai dua ketinggian. Yang ketiga segi tiga terletak pada hipotenus. Dalam kes ini, orthocenter segi empat tepat segi tiga bertepatan dengan bucu sudut tegak.

Dalam kes akut segi tiga titik persimpangan akan berada di dalam rajah. Leret dari setiap bucu segi tiga garis berserenjang dengan sisi bertentangan dengan bucu yang diberikan. Semua garisan ini akan bersilang pada satu titik. Ini akan menjadi orthocenter yang dikehendaki.

titik persimpangan ketinggian bodoh segi tiga akan berada di luar angka. Sebelum serenjang ialah altitud dari bucu, anda perlu terlebih dahulu garis membentuk sudut tumpul segi tiga. Serenjang dalam kes ini tidak jatuh ke tepi segi tiga, tetapi ke baris yang mengandungi bahagian ini. Seterusnya, ketinggian dan titiknya diturunkan persimpangan, seperti yang diterangkan di atas.

Jika koordinat bucu diketahui segi tiga atau di angkasa, tidak sukar untuk mencari koordinat sesuatu titik persimpangan ketinggian Jika A, B, C ialah sebutan bagi sudut, O ialah ortocenter, maka segmen AO berserenjang dengan segmen BC, dan BO berserenjang dengan AC, oleh itu, anda mendapat AO-BC=0, BO-AC= 0. Sistem linear ini mencukupi untuk mencari koordinat titik O pada satah. Kira koordinat bagi vektor BC dan AC dengan menolak koordinat yang sepadan bagi titik pertama daripada koordinat titik itu. Andaikan titik O mempunyai koordinat x dan y (O(x,y)), kemudian selesaikan daripada dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Jika masalah diberikan dalam ruang, maka persamaan AO-a=0 harus ditambah pada sistem, di mana vektor a=AB*AC.

Video mengenai topik

Nota

Jangan kelirukan titik persilangan altitud (orthocenter) dengan titik persilangan median (centroid), pembahagi dua atau pembahagi dua serenjang (dilukis melalui tengah setiap sisi segi tiga).

Nasihat yang berguna

Untuk menentukan pusat orthocenter, cukup untuk mencari titik persilangan dua daripada tiga ketinggian, kerana ketinggian mana-mana segitiga sentiasa bersilang pada satu titik.

Sumber:

• Buku rujukan interaktif formula.
• lintasan ketinggian

Arahan

Pertama, adalah perlu untuk membincangkan pilihan sistem koordinat yang sesuai untuk menyelesaikan masalah. Biasanya, dalam masalah seperti ini, salah satu segitiga diletakkan pada paksi 0X supaya satu titik bertepatan dengan asalan. Oleh itu, anda tidak seharusnya menyimpang daripada kanon penyelesaian yang diterima umum dan melakukan perkara yang sama (lihat Rajah 1). Kaedah mentakrifkan segi tiga itu sendiri tidak memainkan peranan asas, kerana anda sentiasa boleh beralih dari salah satu daripadanya ke (kerana anda akan dapat mengesahkan kemudian).

Biarkan segitiga yang diperlukan ditentukan oleh dua vektor sisinya AC dan AB a(x1, y1) dan b(x2, y2), masing-masing. Selain itu, dengan pembinaan, y1=0. Bahagian ketiga BC sepadan dengan c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), mengikut ilustrasi ini. Titik A diletakkan pada asal koordinat, iaitu, ia koordinat A(0, 0). Ia juga mudah untuk menyedarinya koordinat B (x2, y2), C (x1, 0). Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa mentakrifkan segitiga dengan dua vektor secara automatik bertepatan dengan mentakrifkannya dengan tiga titik.

Seterusnya, anda perlu melengkapkan segi tiga yang diperlukan kepada segi empat selari ABDC yang sepadan. Lebih-lebih lagi, pada titik itu persimpangan pepenjuru segi empat selari mereka dibahagikan supaya AQ ialah median bagi segi tiga ABC, menurun dari A ke sisi BC. Vektor pepenjuru s mengandungi yang ini dan, mengikut peraturan selari, jumlah geometri a dan b. Kemudian s = a + b, dan yang koordinat s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Sama koordinat juga akan berada di titik D(x1+x2, y2).

Sekarang anda boleh meneruskan untuk menyusun persamaan garis lurus yang mengandungi s, median AQ dan, yang paling penting, titik yang dikehendaki persimpangan median H. Memandangkan vektor s itu sendiri ialah panduan untuk garis tertentu, dan titik A(0, 0) kepunyaannya juga diketahui, perkara paling mudah ialah menggunakan persamaan garis satah dalam bentuk kanonik: (x -x0)/m =(y-y0)/n.Di sini (x0, y0) koordinat titik sewenang-wenang garis (titik A(0, 0)), dan (m, n) – koordinat s (vektor (x1+x2, y2). Maka, garis lurus yang dikehendaki l1 akan kelihatan seperti: x/(x1+x2)=y/ y2.

Cara terbaik untuk mencarinya ialah di persimpangan. Oleh itu, anda harus mencari garis lurus lain yang mengandungi apa yang dipanggil N. Untuk melakukan ini, dalam Rajah. 1 binaan segiempat selari APBC yang lain, pepenjuru g=a+c =g(2x1-x2, -y2) mengandungi median kedua CW, diturunkan dari C ke sisi AB. Diagonal ini mengandungi titik C(x1, 0), koordinat yang akan memainkan peranan (x0, y0), dan vektor arah di sini ialah g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Oleh itu l2 diberikan oleh persamaan: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

Setelah menyelesaikan persamaan untuk l1 dan l2 bersama-sama, ia mudah dicari koordinat mata persimpangan median H:H((x1+x1)/3, y2/3).

Video mengenai topik

Petua 5: Cara melukis garis persilangan dua segi tiga

Geometri deskriptif adalah asas kepada banyak perkembangan teori dalam bidang lukisan teknikal. Pengetahuan tentang teori ini dalam membina imej objek geometri adalah perlu untuk menyatakan idea anda dengan pasti menggunakan lukisan.

Arahan

Tugas melukis garisan persimpangan untuk 2 boleh dipanggil asas dalam lukisan teknikal. Untuk membentuk barisan persimpangan untuk 2 segi tiga, anda perlu menentukan titik kepunyaan kedua-dua angka satah.

Untuk menyelesaikannya, bina dua segi tiga ABC dan EDK dalam unjuran hadapan dan mengufuk. Kemudian lukis melalui AB ABC satah bantu Pн, unjuran mengufuknya. Satah mendatar ini terbentuk barisan persimpangan 1-2 dengan satah segitiga kedua EDK, di mana titik 1 dan 2 berada di sisi ED dan EK.

Cari dengan cara yang sama barisan persimpangan 1′-2′ mengunjurkan Pн secara mendatar, dilukis melalui sisi A′B′ dalam unjuran hadapan segi tiga ABC. Unjuran hadapan 1′-2′ dan A′B′ bersilang dan memberikan titik persimpangan M′, unjuran hadapannya.

Leret barisan sambungan dari unjuran hadapan ke unjuran mendatar dan dengan itu cari unjuran mendatar titik M.

Tentukan titik kedua persimpangan satah segi tiga ABC EDK, yang mana lukis satah bantu Qv, unjuran hadapannya, melalui sisi DK dalam EDK. Talian persimpangan satah Qv dengan satah segi tiga ABC menjadi garisan 3-4 dan garisan 3′-4′ dalam unjuran hadapannya. Unjuran mendatar 3-4 dan DK bersilang antara satu sama lain dan memberikan satu mata persimpangan N, unjuran mendatarnya.

Leret barisan sambungan dari unjuran mendatar ke unjuran hadapan dan dengan itu cari titik N′, unjuran hadapannya.

Sambungkan titik garis unjuran persimpangan MN dan garisan persimpangan M′N′. Akibatnya anda akan mendapat dua baris persimpangan segi tiga EDK dan ABC dalam unjuran hadapan dan mendatar mereka.

Video mengenai topik

Sumber:

• persilangan satah segi tiga

Petua 6: Bagaimana untuk mencari ketinggian segitiga jika koordinat titik diberikan

Ketinggian ialah segmen garis lurus yang menghubungkan bahagian atas rajah dengan sisi bertentangan. Segmen ini mesti berserenjang dengan sisi, jadi hanya satu boleh dilukis dari setiap bucu ketinggian. Oleh kerana terdapat tiga bucu dalam rajah ini, terdapat bilangan ketinggian yang sama. Jika segitiga diberikan oleh koordinat bucunya, panjang setiap ketinggian boleh dikira, contohnya, dengan menggunakan formula untuk mencari luas dan mengira panjang sisi.

Arahan

Mulakan dengan mengira panjang sisi segi tiga. Tetapkan koordinat angka seperti ini: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) dan C(X₃,Y₃,Z₃). Kemudian anda boleh mengira panjang sisi AB menggunakan formula AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Untuk dua pihak yang lain ini